coreção de exercicios lbf

Prévia do material em texto

<p>**Resposta:** A) 0</p><p>**Explicação:** A integral pode ser resolvida como \(\int (x^2 - 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3}</p><p>- x^2 + x\). Avaliando de 1 a 3, temos: \(\left[\frac{3^3}{3} - 3^2 + 3\right] - \left[\frac{1^3}{3}</p><p>- 1^2 + 1\right] = \left[9 - 9 + 3\right] - \left[\frac{1}{3} - 1 + 1\right] = 3 - \frac{1}{3} = 2\).</p><p>32. **Qual é o resultado de \(\frac{d}{dx}(x^2 \ln(x))\)?**</p><p>A) \(2x \ln(x) + x\)</p><p>B) \(2 \ln(x) + x\)</p><p>C) \(x^2 \frac{1}{x}\)</p><p>D) \(x^2\)</p><p>**Resposta:** A) \(2x \ln(x) + x\)</p><p>**Explicação:** Aplicando a regra do produto, temos \(u = x^2\) e \(v = \ln(x)\). Então,</p><p>\(f'(x) = u'v + uv' = 2x \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln(x) + x\).</p><p>33. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\)?**</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 3</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta:** C) 3</p><p>**Explicação:** Usando a propriedade de limites, \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k\).</p><p>Aqui, \(k = 3\), então o limite é 3.</p><p>34. **Qual é o valor da integral \(\int_1^4 (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \, dx\)?**</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 3</p><p>**Resposta:** A) 0</p><p>**Explicação:** A integral pode ser calculada como \(\int (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \, dx =</p><p>\frac{x^4}{4} - x^3 + \frac{3x^2}{2} - x\). Avaliando de 1 a 4, temos que a integral resulta em</p><p>0.</p><p>35. **Qual é a soma dos ângulos internos de um triângulo?**</p><p>A) 90°</p><p>B) 180°</p><p>C) 270°</p><p>D) 360°</p><p>**Resposta:** B) 180°</p><p>**Explicação:** A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°.</p><p>36. **Qual é a solução da equação \(x^2 + 5x + 6 = 0\)?**</p><p>A) \(x = -2\) e \(x = -3\)</p><p>B) \(x = 2\) e \(x = 3\)</p><p>C) \(x = -1\) e \(x = -6\)</p><p>D) \(x = 0\) e \(x = 6\)</p><p>**Resposta:** A) \(x = -2\) e \(x = -3\)</p><p>**Explicação:** A equação pode ser fatorada como \((x + 2)(x + 3) = 0\), resultando nas</p><p>raízes \(x = -2\) e \(x = -3\).</p><p>37. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (x^2 + 2x) \, dx\)?**</p><p>A) 1</p><p>B) 2</p><p>C) \(\frac{5}{3}\)</p><p>D) \(\frac{3}{2}\)</p><p>**Resposta:** C) \(\frac{5}{3}\)</p><p>**Explicação:** A integral é calculada como \(\int (x^2 + 2x) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2\).</p><p>Avaliando de 0 a 1, temos: \(\left[\frac{1^3}{3} + 1^2\right] - \left[0\right] = \frac{1}{3} + 1 =</p><p>\frac{4}{3}\).</p><p>38. **Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\)?**</p><p>A) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\)</p><p>B) \(\frac{x}{x^2 + 1}\)</p><p>C) \(\frac{1}{x^2 + 1}\)</p><p>D) \(\frac{1}{x}\)</p><p>**Resposta:** A) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\)</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia, a derivada de \(f(x) = \ln(g(x))\) é</p><p>\(\frac{g'(x)}{g(x)}\). Aqui, \(g(x) = x^2 + 1\), então \(g'(x) = 2x\). Assim, \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 +</p><p>1}\).</p><p>39. **Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin(x)}\)?**</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 3</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta:** A) 0</p><p>**Explicação:** Como \(\sin(x) \sim x\) quando \(x\) se aproxima de 0, temos que \(\sin(x)</p><p>\approx x\). Assim, \(\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x} = \lim_{x \to</p><p>0} x^2 = 0\).</p><p>40. **Qual é o resultado de \(\int_1^2 (x^2 + 3) \, dx\)?**</p><p>A) 5</p><p>B) 7</p><p>C) 9</p><p>D) 11</p><p>**Resposta:** C) 9</p><p>**Explicação:** A integral é calculada como \(\int (x^2 + 3) \, dx = \frac{x^3}{3} + 3x\).</p><p>Avaliando de 1 a 2, temos: \(\left[\frac{2^3}{3} + 6\right] - \left[\frac{1^3}{3} + 3\right] =</p><p>\left[\frac{8}{3} + 6\right] - \left[\frac{1}{3} + 3\right] = \left[\frac{8}{3} + \frac{18}{3}\right] -</p><p>\left[\frac{1}{3} + \frac{9}{3}\right] = \frac{26}{3} - \frac{10}{3} = \frac{16}{3}\).</p><p>41. **Qual é a soma dos ângulos internos de um quadrado?**</p><p>A) 90°</p><p>B) 180°</p><p>C) 360°</p><p>D) 720°</p><p>**Resposta:** C) 360°</p><p>**Explicação:** A soma dos ângulos internos de um quadrado (ou retângulo) é dada por</p><p>\(360°\).</p><p>42. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx\)?**</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 3</p><p>**Resposta:** B) 1</p><p>**Explicação:** A integral é calculada como \(\int (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx = x^4 - x^3 + 2x\).</p><p>Avaliando de 0 a 1, temos: \(\left[1 - 1 + 2\right] - \left[0 - 0 + 0\right] = 2 - 0 = 2\).</p><p>43. **Qual é a derivada de \(f(x) = x^4 + x^3 - 2x\)?**</p><p>A) \(4x^3 + 3x^2 - 2\)</p><p>B) \(4x^3 + 3x^2 + 2\)</p><p>C) \(3x^3 + 2x^2 - 2\)</p><p>D) \(3x^4 + 4x^3 - 2\)</p><p>**Resposta:** A) \(4x^3 + 3x^2 - 2\)</p><p>**Explicação:** Usando a regra do poder, a derivada de cada termo é \(4x^3\), \(3x^2\), e</p><p>\(-2\). Assim, \(f'(x) = 4x^3 + 3x^2 - 2\).</p><p>44. **Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)?**</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta:** B) 1</p><p>**Explicação:** Este limite é fundamental e pode ser mostrado usando a regra de</p><p>L'Hôpital. A derivada do numerador é \(e^x\) e a do denominador é 1, portanto, o limite é</p><p>\(e^0 = 1\).</p><p>45. **Qual é o resultado de \(\int_2^4 (2x - 3) \, dx\)?**</p><p>A) 1</p><p>B) 3</p>