I - Revisão (Matemática Básica)_ccfdd2f555408be7817d6818c16179a4

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<p>INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA (UFBA)</p><p>PROFESSOR: MAIKEL ANTONIO SAMUAYS</p><p>DISCIPLINA: MATA02 - CÁLCULO A</p><p>REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA</p><p>Neste caṕıtulo, relembraremos as principais propriedades do conjunto dos números reais, as quais</p><p>constituem a Matemática básica necessária para o entendimento e desenvolvimento do Cálculo.</p><p>Números naturais, inteiros, racionais e irracionais</p><p>Os conjuntos dos números naturais e inteiros, denotados por N e Z, respectivamente, são dados por</p><p>N = {1, 2, 3, 4, · · · } e Z = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · } .</p><p>Em outras palavras, os naturais são os números utilizados para contagem e os inteiros englobam, além</p><p>de todos os naturais, seus opostos e o número zero. Em notação de conjuntos, escrevemos N ⊂ Z e lemos</p><p>“o conjunto N está contido em Z”.</p><p>Curiosidade: A letra Z do conjunto dos inteiros vem da palavra alemã zahl, que significa número em</p><p>alemão.</p><p>Com base nestes números, constrúımos o conjunto dos números racionais Q, formado por todas as</p><p>frações (razões ou quocientes) de números inteiros:</p><p>Q =</p><p>{a</p><p>b</p><p>; a, b ∈ Z e b ̸= 0</p><p>}</p><p>.</p><p>Desta forma, dizer que x ∈ Q, ou seja, x “pertence ao conjunto dos números racionais”, significa que ele</p><p>pode ser escrito na forma x =</p><p>a</p><p>b</p><p>, sendo a, b ∈ Z e b ̸= 0. Neste caso, a e b são chamados de numerador</p><p>e denominador da fração, respectivamente.</p><p>Observação 0.1. É importante saber que uma fração pode ser utilizada para representar uma “parte”</p><p>de alguma coisa. Por exemplo, suponha que você compre uma pizza dividida em 8 pedaços iguais. Cada</p><p>pedaço pode ser representado pela fração</p><p>1</p><p>8</p><p>. Assim, se você comer 3 pedaços desta pizza, você poderá</p><p>representar essa informação por</p><p>3</p><p>8</p><p>, restando então</p><p>5</p><p>8</p><p>desta pizza.</p><p>Com a observação acima, notamos que faz sentido somarmos frações com o mesmo denominador, visto</p><p>que estamos somando pedaços de uma mesma coisa. No caso da pizza,</p><p>1</p><p>8</p><p>+</p><p>1</p><p>8</p><p>+</p><p>1</p><p>8</p><p>=</p><p>3</p><p>8</p><p>. Genericamente,</p><p>dados a, b, c ∈ Z, com b ̸= 0, definimos</p><p>a</p><p>b</p><p>+</p><p>c</p><p>b</p><p>=</p><p>a+ c</p><p>b</p><p>.</p><p>1</p><p>2</p><p>A seguir, veremos como somar frações com denominadores diferentes, bem como efetuar outras operações</p><p>entre frações.</p><p>Definição 0.1. A soma, a diferença, a multiplicação e a divisão em Q são operações definidas,</p><p>respectivamente, por</p><p>a</p><p>b</p><p>+</p><p>c</p><p>d</p><p>=</p><p>ad+ bc</p><p>bd</p><p>a</p><p>b</p><p>− c</p><p>d</p><p>=</p><p>ad− bc</p><p>bd</p><p>a</p><p>b</p><p>· c</p><p>d</p><p>=</p><p>ac</p><p>bd</p><p>a</p><p>b</p><p>÷ c</p><p>d</p><p>=</p><p>a</p><p>b</p><p>· d</p><p>c</p><p>.</p><p>Curiosidade: Para ficar natural a soma de frações com denominadores diferentes, acompanhe o seguinte</p><p>racioćınio, cuja ideia é transformar as frações envolvidas em frações que possuem o mesmo denominador:</p><p>a</p><p>b</p><p>+</p><p>c</p><p>d</p><p>=</p><p>a</p><p>b</p><p>· d</p><p>d</p><p>+</p><p>c</p><p>d</p><p>· b</p><p>b</p><p>=</p><p>a · d</p><p>b · d</p><p>+</p><p>c · b</p><p>d · b</p><p>=</p><p>ad</p><p>bd</p><p>+</p><p>cb</p><p>bd</p><p>=</p><p>ad+ bc</p><p>bd</p><p>.</p><p>Da mesma forma, como − c</p><p>d</p><p>=</p><p>−c</p><p>d</p><p>=</p><p>c</p><p>−d</p><p>, temos que</p><p>a</p><p>b</p><p>− c</p><p>d</p><p>=</p><p>a</p><p>b</p><p>+</p><p>(−c)</p><p>d</p><p>=</p><p>ad− bc</p><p>bd</p><p>.</p><p>Exemplo 0.1.</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>4</p><p>=</p><p>1 · 4 + 2 · 1</p><p>2 · 4</p><p>=</p><p>6</p><p>8</p><p>=</p><p>2 · 3</p><p>2 · 4</p><p>=</p><p>3</p><p>4</p><p>.</p><p>Note que as frações</p><p>6</p><p>8</p><p>e</p><p>3</p><p>4</p><p>representam a mesma grandeza, embora escritos de formas diferentes. A</p><p>última forma é denominada de fração irredut́ıvel, visto que não é posśıvel simplificá-la mais, assim</p><p>como fizemos com a fração</p><p>6</p><p>8</p><p>. De fato, os números 3 e 4 são primos entre si, pois o maior divisor comum</p><p>entre 3 e 4 é o 1, ou seja, mdc(3, 4) = 1, enquanto que mdc(6, 8) = 2.</p><p>Observação 0.2. Toda fração pode ser escrita na forma decimal e vice-versa. Por exemplo, temos as</p><p>seguintes representações decimais finitas (exatas)</p><p>1</p><p>10</p><p>= 0, 1</p><p>1</p><p>100</p><p>= 0, 01</p><p>25</p><p>1000</p><p>= 0, 025</p><p>5</p><p>4</p><p>= 1, 25</p><p>e as representações decimais infinitas (d́ızimas periódicas)</p><p>1</p><p>3</p><p>= 0, 333 · · · .</p><p>= 0, 3</p><p>13</p><p>11</p><p>= 1, 1818 · · · = 1, 18 0, 999 · · · = 0, 9 = 1.</p><p>Para encontrarmos a geratriz de uma d́ızima periódica, ou seja, uma fração que a representa, basta</p><p>atribuirmos a ela uma incógnita e então multiplicamos tal equação por um múltiplo de 10. Para descobrir</p><p>qual será o múltiplo, devemos identificar quantas casas decimais devemos “andar” para que o peŕıodo</p><p>da d́ızima (bloco que se repete) fique antes da v́ırgula, como nos exemplos abaixo:</p><p>x = 0, 999 · · · =⇒ 10x = 9, 999 · · · =⇒ 10x− x = 9 ∴ x = 1.</p><p>y = 12, 345345 · · · =⇒ 1000y = 12345, 345 · · · =⇒ 1000y − y = 12333 ∴ y =</p><p>12333</p><p>999</p><p>.</p><p>Observação 0.3. O śımbolo ∴ é utilizado para representar a palavra “portanto”.</p><p>No entanto, sabemos da existência de números que não podem ser expressos como frações, ou seja, são</p><p>d́ızimas não-periódicas. Tais números são chamados de números irracionais. Os exemplos mais comuns</p><p>são π = 3, 14159265 · · · e</p><p>√</p><p>2 = 1, 41421356 · · · .</p><p>3</p><p>Definição 0.2. O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é chamado de conjunto</p><p>dos números reais, o qual é denotado por R.</p><p>Note que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R e lembre-se que podemos representar geometricamente os números reais como</p><p>pontos em uma reta, chamada de reta real. Na figura abaixo, representamos alguns números reais nesta</p><p>reta, com destaque à representação de algumas ráızes quadradas, graças ao Teorema de Pitágoras:</p><p>Exemplo 0.2. A diagonal d de um quadrado de lado 1 é dada por d2 = 12 + 12. Logo, d =</p><p>√</p><p>2.</p><p>Curiosidade: A insuficiência dos números racionais e consequente criação dos irracionais é devida aos</p><p>gregos, há mais de 2500 anos.</p><p>Algumas propriedades dos números reais</p><p>O conjunto dos números reais R, munido da soma e da multiplicação usuais, é um corpo, ou seja,</p><p>satisfaz as seguintes propriedades:</p><p>(i) (x+ y) + z = x+ (y + z), ∀ x, y, z ∈ R. “Associatividade da soma”</p><p>(ii) x+ y = y + x, ∀ x, y ∈ R. “Comutatividade da soma”</p><p>(iii) x+ 0 = x, ∀ x ∈ R. “Elemento neutro aditivo”</p><p>(iv) ∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R ; x+ y = 0. Notação: y = −x = (−1)x. “Elemento oposto”</p><p>(v) (x · y) · z = x · (y · z), ∀ x, y, z ∈ R. “Associatividade da multiplicação”</p><p>(vi) x · y = y · x, ∀ x, y ∈ R. “Comutatividade da multiplicação</p><p>(vii) x · 1 = x, ∀ x ∈ R. “Elemento neutro multiplicativo”</p><p>(viii) ∀ x ∈ R \ {0} , ∃ y ∈ R ; x · y = 1. Notação: y = x−1 =</p><p>1</p><p>x</p><p>. “Elemento inverso”</p><p>(ix) x · (y + z) = x · y + x · z, ∀ x, y, z ∈ R. “Distributividade”</p><p>Das propriedades anteriores, resultam todas as regras familiares de manipulação com os números reais.</p><p>Veremos algumas no próximo resultado!</p><p>4</p><p>Proposição 0.1. Para todos x, y, z ∈ R, valem as seguintes propriedades:</p><p>(a) x+ y = x+ z =⇒ y = z. “Lei do cancelamento”</p><p>(b) x · 0 = 0, ∀ x ∈ R.</p><p>(c) xy = 0 ⇐⇒ x = 0 ou y = 0.</p><p>Demonstração. (a) Basta somar o oposto de x em ambos os lados da igualdade da hipótese, isto é,</p><p>supondo que vale x+ y = x+ z, então (x+ y) + (−x) = (x+ z) + (−x). Logo, por (ii), temos</p><p>(y+ x) + (−x) = (z + x) + (−x)</p><p>(i)</p><p>=⇒ y+ (x− x) = z + (x− x)</p><p>(iv)</p><p>=⇒ y+ 0 = z + 0</p><p>(iii)</p><p>=⇒ y = z.</p><p>(b) Note que x · 0 (iii)</p><p>= x · (0 + 0)</p><p>(ix)</p><p>= x · 0 + x · 0. Logo, somando o oposto do elemento x · 0 em ambos os</p><p>lados desta igualdade, obtemos</p><p>x · 0 + (−x · 0)︸ ︷︷ ︸</p><p>= 0</p><p>= (x · 0 + x · 0) + (−x · 0) (i)</p><p>= x · 0 + [x · 0 + (−x · 0)] (iv)= x · 0 + 0 ∴ 0 = x · 0.</p><p>(c) Se x = 0 ou y = 0, segue do item (b) que xy = 0. Por outro lado, suponha que xy = 0. Se y ̸= 0,</p><p>então por (viii) existe y−1 ∈ R. Dáı,</p><p>(xy) · y−1 = 0 · y−1 ∴ x</p><p>(</p><p>yy−1</p><p>)</p><p>= 0 ∴ x · 1 = 0 ∴ x = 0.</p><p>Analogamente, se x ̸= 0, prova-se que y = 0. □</p><p>Exemplo 0.3. Resolva as seguintes equações:</p><p>(a) (2x− 1)(x− 5) = 0.</p><p>Pela Proposição acima, temos que (2x − 1)(x − 5) = 0 ⇐⇒ 2x − 1 = 0 ou x − 5 = 0. Ou seja,</p><p>x =</p><p>1</p><p>2</p><p>ou x = 5. Portanto, o conjunto solução S da equação é dado por S =</p><p>{</p><p>1</p><p>2</p><p>, 5</p><p>}</p><p>.</p><p>(b)</p><p>x2 − 9</p><p>x− 3</p><p>= 0.</p><p>Primeiramente, note que x ̸= 3 (condição de existência). Em segundo, temos que</p><p>x2 − 9</p><p>x− 3</p><p>= 0 se, e</p><p>somente se, x2 − 9 = 0. No entanto, x2 − 9 = 0 ⇐⇒ (x − 3)(x + 3) = 0. Logo, x = 3 ou x = −3.</p><p>Levando-se em conta a condição de existência, a solução da equação será S = {−3}.</p><p>Inequações</p><p>Sejam x, y ∈ R. Dizemos que x y (“x é</p><p>maior que y”)</p><p>e x ≥ y. Vejamos algumas propriedades envolvendo os śımbolos de desigualdade:</p><p>(a) x ≤ y e y ≤ x =⇒ x = y</p><p>(b) z ≥ 0 ⇐⇒ −z ≤ 0</p><p>(c) z > 0 ⇐⇒ z−1 > 0</p><p>(d) x ≤ y ⇐⇒ x+ z ≤ y + z</p><p>(e) x ≤ y e z ≥ 0 =⇒ xz ≤ yz</p><p>(f) x ≤ y e z ≤ 0 =⇒ xz ≥ yz.</p><p>5</p><p>Exemplo 0.4. Temos que 1 −2 e 7 ≤ 7 (pois 7 = 7).</p><p>Definição 0.3. Um intervalo é um subconjunto de R que tem uma das seguintes formas:</p><p>(a) [a, b] = {x ∈ R ; a ≤ x ≤ b}. “Intervalo fechado”</p><p>(b) ]a, b[ = {x ∈ R ; a a} .</p><p>(g) ]−∞, a[ = {x ∈ R ; x</p><p>4x− 3</p><p>3</p><p>.</p><p>Temos que</p><p>4x</p><p>7</p><p>− 5 ></p><p>4x− 3</p><p>3</p><p>⇐⇒ 4x</p><p>7</p><p>− 4x− 3</p><p>3</p><p>> 5 ⇐⇒ 4x</p><p>7</p><p>−</p><p>[</p><p>4x</p><p>3</p><p>− 1</p><p>]</p><p>> 5</p><p>⇐⇒ 4x</p><p>7</p><p>− 4x</p><p>3</p><p>+ 1 > 5 ⇐⇒ 4x</p><p>7</p><p>− 4x</p><p>3</p><p>> 4</p><p>⇐⇒ 12x− 28x</p><p>21</p><p>> 4</p><p>⇐⇒ −16x > 84</p><p>⇐⇒ 16x 0.</p><p>Como o sinal de um produto depende dos sinais de seus fatores, basta realizarmos uma análise de sinais:</p><p>Assim, a solução da inequação é dada por S = ]−2, 5[.</p><p>(d)</p><p>x+ 1</p><p>x− 3</p><p>0, então existe um único b > 0 tal que bn = a. Notação: b = n</p><p>√</p><p>a.</p><p>(b) Se a ∈ R e n é ı́mpar, então ∃ ! c ∈ R tal que cn = a. Notação: c = n</p><p>√</p><p>a.</p><p>8</p><p>Pelo Teorema acima, denotamos por</p><p>√</p><p>a ao único número positivo b > 0 tal que b2 = a. Além disso, o</p><p>śımbolo n</p><p>√</p><p>a é chamado de raiz n-ésima de a.</p><p>Exemplo 0.8. (a) 3</p><p>√</p><p>−8 = −2, pois (−2)3 = −8.</p><p>(b)</p><p>4</p><p>√</p><p>81 = 3, pois 34 = 81 e 3 > 0. Além disso,</p><p>√</p><p>4 = 2, pois 22 = 4 e 2 > 0.</p><p>O exemplo (c) acaba, de vez por todas, com o famoso</p><p>√</p><p>4 = ±2. Tal igualdade é falsa, por diversas</p><p>razões. Primeiramente pela dualidade de representação de um śımbolo, ou seja,</p><p>√</p><p>4 representa um, e</p><p>apenas um, número real, que no caso é o 2. Em segundo lugar, o estudante atento deve perceber que</p><p>(−2)2 = 4, porém não podemos escrever</p><p>√</p><p>4 = −2, pois −2 0, denotamos n</p><p>√</p><p>ap = a</p><p>p</p><p>n . Em particular, temos que n</p><p>√</p><p>a = a</p><p>1</p><p>n .</p><p>Proposição 0.3. Como as devidas restrições, são válidas as seguintes propriedades da radiciação:</p><p>(a) n</p><p>√</p><p>a · n</p><p>√</p><p>b =</p><p>n</p><p>√</p><p>ab.</p><p>(b) n</p><p>√</p><p>ap = nm</p><p>√</p><p>apm.</p><p>(c)</p><p>n</p><p>√</p><p>m</p><p>√</p><p>a = mn</p><p>√</p><p>a.</p><p>(d) a 0, e | − 7| = −(−7) = 7, pois −7 0. A propriedade (d) pode ser provada estudando-se os posśıveis casos de</p><p>x e y, juntamente com as regras de sinais para multiplicação. Por exemplo, se x > 0 e y</p><p>− |y| ≤ |x− y|.</p><p>Analogamente, |y| = |y − x+ x|</p><p>(h)</p><p>≤ |y − x|+ |x| = |(−1)(x− y)|+ |x| = |x− y|+ |x|. Dáı,</p><p>(2) − (|x| − |y|) ≤ |x− y|.</p><p>Finalmente, de (??) e (??), segue que ||x| − |y|| ≤ |x− y|.</p><p>□</p><p>O próximo resultado pode nos auxiliar na resolução de inequações modulares, como veremos em breve.</p><p>Teorema 0.2. Dados a > 0 e x ∈ R, temos que:</p><p>(a) |x| −1.</p><p>A solução é dada por S = R, pois |a| ≥ 0 > −1, ∀ a ∈ R.</p><p>(d) |x− 2| ≤ 1.</p><p>Aplicando o item (a) do teorema acima, temos que</p><p>|x− 2| ≤ 1</p><p>(a)⇐⇒ −1 ≤ x− 2 ≤ 1 ⇐⇒ 1 ≤ x ≤ 3 ∴ S = [1, 3] = {x ∈ R ; 1 ≤ x ≤ 3} .</p><p>A seguir, veremos como resolver inequações modulares mais complexas. Essencialmente, a ideia é</p><p>separar a resolução em casos, de acordo com os módulos presentes na inequação.</p><p>Exemplo 0.12. Resolva, em R, a inequação |x− 1|+ |x+ 2| −3.</p><p>Dáı, a solução deste caso é S(i) = ]− 3,−2[.</p><p>(ii) Se −2 ≤ x 0, ∀ x ∈ R. Assim, observe o estudo de sinal abaixo:</p><p>Desta forma, obtemos x 0, então x1 ≤ x2 =⇒ ax1 ≤ ax2 =⇒ ax1 + b ≤ ax2 + b. Logo, quando a > 0, a reta</p><p>f(x) = ax+ b é crescente. Analogamente, justifica-se que tal reta é decrescente quando a</p><p>2a</p><p>)2</p><p>=</p><p>b2 − 4ac</p><p>4a2</p><p>⇐⇒</p><p>√(</p><p>x+</p><p>b</p><p>2a</p><p>)2</p><p>=</p><p>√</p><p>b2 − 4ac</p><p>4a2</p><p>(⋆)⇐⇒</p><p>∣∣∣∣x+</p><p>b</p><p>2a</p><p>∣∣∣∣ =</p><p>√</p><p>b2 − 4ac</p><p>|2a|</p><p>⇐⇒</p><p>∣∣∣∣2a(x+</p><p>b</p><p>2a</p><p>)∣∣∣∣ =√b2 − 4ac ⇐⇒ 2a</p><p>(</p><p>x+</p><p>b</p><p>2a</p><p>)</p><p>= ±</p><p>√</p><p>b2 − 4ac</p><p>⇐⇒ x =</p><p>−b±</p><p>√</p><p>b2 − 4ac</p><p>2a</p><p>,</p><p>que é a conhecida Fórmula de Bháskara. Na verdade, tal fórmula foi descoberta por Sridhara, que</p><p>também era um matemático hindu, pelo menos um século antes da suposta descoberta de Bháskara!</p><p>Observação 0.11. Na passagem (⋆), como o denominador do lado direito da igualdade satisfaz 4a2 > 0,</p><p>só faz sentido o que fizemos acima quando b2 − 4ac ≥ 0. Por esse motivo, chamamos ∆</p><p>.</p><p>= b2 − 4ac de</p><p>discriminante da equação do 2º grau ax2 + bx+ c = 0. Com base nele, obtemos o seguinte critério:</p><p>• ∆ = 0 =⇒ Apenas uma raiz real;</p><p>• ∆ > 0 =⇒ Duas ráızes reais;</p><p>• ∆ 0</p><p>0, pela Fórmula de Bháskara, as ráızes r1, r2 ∈ R da equação ax2 + bx + c = 0 são</p><p>dadas por r1 =</p><p>−b+</p><p>√</p><p>∆</p><p>2a</p><p>e r2 =</p><p>−b−</p><p>√</p><p>∆</p><p>2a</p><p>. Dáı, como</p><p>S .</p><p>= r1 + r2 =</p><p>−b+</p><p>√</p><p>∆</p><p>2a</p><p>+</p><p>−b−</p><p>√</p><p>∆</p><p>2a</p><p>= − b</p><p>a</p><p>e P .</p><p>= r1 · r2 =</p><p>(</p><p>−b+</p><p>√</p><p>∆</p><p>2a</p><p>)(</p><p>−b−</p><p>√</p><p>∆</p><p>2a</p><p>)</p><p>=</p><p>c</p><p>a</p><p>,</p><p>obtemos</p><p>f(x) = ax2 + bx+ c = a</p><p>(</p><p>x2 +</p><p>b</p><p>a</p><p>x+</p><p>c</p><p>a</p><p>)</p><p>= a</p><p>(</p><p>x2 − Sx+ P</p><p>)</p><p>= a(x− r1)(x− r2).</p><p>Assim, caso ∆ > 0 e supondo r1 0 =⇒ f(x) ≥ −∆</p><p>4a</p><p>, ∀ x ∈ R. Analogamente,</p><p>a</p><p>os tempos, a qual</p><p>contém o famoso Teorema Fundamental da Álgebra:</p><p>“Toda equação polinomial com coeficientes reais (ou complexos) possui pelo menos uma raiz complexa”.</p><p>Como consequência, Gauss demonstrou que tais equações polinomiais têm exatamente n ráızes, sendo n</p><p>o grau do respectivo polinômio, das quais algumas podem ser iguais, ou seja, um polinômio de grau n ∈ N</p><p>possui, no máximo, n ráızes distintas. O número de vezes que uma mesma raiz aparece na decomposição</p><p>do polinômio em fatores de primeiro grau (em termos das ráızes) é chamada de multiplicidade da raiz.</p><p>Exemplo 0.21. (a) O número a = 1 é uma raiz de multiplicidade 1 do polinômio p(x) = x2 − 1, pois</p><p>p(x) = (x− 1)(x+ 1). Uma tal raiz recebe o nome de raiz simples.</p><p>(b) O número 2 é uma raiz de multiplicidade 2 de q(x) = x2 − 4x+4, pois q(x) = (x− 2)2. Uma raiz de</p><p>multiplicidade 2 de um polinômio qualquer é chamada de raiz dupla.</p><p>(c) Os números 0 e −1 são ráızes de multiplicidade 3 e 5 do polinômio x3(x+ 1)5, respectivamente.</p><p>Curiosidade: Existe fórmula para obter a solução de equações polinomiais de qualquer ordem (grau)?</p><p>✓ 1º grau: ax+ b = 0 =⇒ Fórmula x = − b</p><p>a</p><p>.</p><p>✓ 2º grau: ax2 + bx+ c = 0 =⇒ Fórmula de Bháskara (Sridhara).</p><p>✓ 3º grau: ax3 + bx2 + cx+ d = 0 =⇒ Fórmula de Cardano (Tartaglia).</p><p>✓ 4º grau: ax4 + bx3 + cx2 + dx+ e = 0 =⇒ Fórmula de Ferrari.</p><p>✓ Grau maior ou igual a 5: ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex+ f = 0 =⇒ ∄ fórmula .</p><p>Ao escrevermos que uma tal fórmula não existe, não queremos dizer que ela ainda não foi descoberta!</p><p>Queremos reforçar a inscŕıvel descoberta do brilhante matemático francês Évariste Galois (25/10/1811−</p><p>31/05/1832), o qual, ao determinar a condição necessária e suficiente para que um polinômio pudesse ser</p><p>resolvido por ráızes, não só resolveu um antigo problema em aberto, como criou um domı́nio inteiramente</p><p>novo da álgebra abstrata, chamada de Teoria dos grupos. Galois morreu num duelo com 20 anos de idade!</p><p>22</p><p>IV - Função racional</p><p>São funções f da forma f(x) =</p><p>p(x)</p><p>q(x)</p><p>, sendo p e q polinômios. Neste caso, Df = {x ∈ R ; q(x) ̸= 0}.</p><p>Exemplo 0.22. A função f(x) =</p><p>1</p><p>x</p><p>é uma função racional.</p><p>V - Função raiz n-ésima</p><p>É a função f(x) = n</p><p>√</p><p>x = x1/n, sendo Df = [0,+∞[ (quando n é par) ou Df = R (quando n é ı́mpar).</p><p>A seguir, representamos os casos particulares a(x) =</p><p>√</p><p>x, b(x) = 3</p><p>√</p><p>x e c(x) = 4</p><p>√</p><p>x.</p><p>23</p><p>VI - Função modular</p><p>É a função f : R −→ R dada por f(x) = |x|.</p><p>Exemplo 0.23. Esboce o gráfico de g(x) =</p><p>∣∣x2 − 4x+ 3</p><p>∣∣.</p><p>O gráfico da função g anterior foi obtido a partir do gráfico de f , efetuando-se uma reflexão em torno</p><p>do eixo x, no intervalo em que f(x) 0. A partir de f(x),</p><p>veremos como representar novas funções, dadas pelas seguintes transformações:</p><p>(1) Deslocamento vertical para cima: y = f(x) + c</p><p>(2) Deslocamento vertical para baixo: y = f(x)− c</p><p>(3) Deslocamento horizontal para a direita: y = f(x− c)</p><p>(4) Deslocamento horizontal para a esquerda: y = f(x+ c)</p><p>(5) Reflexão em torno do eixo x: y = −f(x)</p><p>(6) Reflexão em torno do eixo y: y = f(−x)</p><p>(7) Esticamento ou compressão vertical: y = cf(x).</p><p>No caso de deslocamentos verticais, a nova imagem será a imagem da função original deslocada de</p><p>c unidades para cima ou para baixo. Em relação à deslocamentos horizontais, se g é o deslocamento</p><p>horizontal de f em c unidades para a direita, então f(x′) = g(x′ + c), ∀ x′ ∈ Df . Note:</p><p>25</p><p>Exerćıcio 1: Com base no gráfico da função f , associe as funções g(x) = f(x − 4), h(x) = f(x) + 3,</p><p>i(x) =</p><p>1</p><p>3</p><p>f(x), j(x) = −f(x+ 4) e k(x) = 2f(x+ 6) com os seus respectivos gráficos:</p><p>Exerćıcio 2: Com base no gráfico da função x 7−→ x2 abaixo, plote o gráfico das funções f(x) = (x−3)2,</p><p>g(x) = x2 + 2, h(x) = (x+ 2)2 − 1 e i(x) = −x2 − 1.</p><p>Observação 0.16. Para esboçar, corretamente, o gráfico de um polinômio do segundo grau sem ráızes</p><p>reais, digamos f(x) = x2 + x + 2, devemos utilizar as operações descritas anteriormente. Para isso,</p><p>precisamos realizar um completamento de quadrados:</p><p>26</p><p>Álgebra das funções</p><p>Sejam f : A −→ R e g : B −→ R funções tais que I</p><p>.</p><p>= A ∩B ̸= ∅. Define-se:</p><p>(1) A soma (diferença) entre f e g é a função f ± g : I −→ R tal que (f ± g)(x) = f(x)± g(x).</p><p>(2) O produto de f e g é a função f · g : I −→ R tal que (f · g)(x) = f(x) · g(x).</p><p>(3) O produto por escalar de f por c ∈ R é a função cf : A −→ R tal que (cf)(x) = cf(x), ∀ x ∈ A.</p><p>(4) O quociente de f por g é a função</p><p>f</p><p>g</p><p>: J −→ R tal que</p><p>(</p><p>f</p><p>g</p><p>)</p><p>(x) =</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>, onde J = {x ∈ I ; g(x) ̸= 0}.</p><p>Exemplo 0.25. Sejam f(x) = x3 e g(x) = 2. Note que A = B = R. Podemos obter, por exemplo, as</p><p>funções</p><p>(f + g)(x) = x3 + 2 (f · g)(x) = 2x3</p><p>(</p><p>g</p><p>f</p><p>)</p><p>(x) =</p><p>2</p><p>x3</p><p>, sendo Dg/f = R \ {0} .</p><p>Exemplo 0.26. Dadas f(x) = x− 9 e g(x) =</p><p>√</p><p>x− 3, temos que</p><p>(2f − g) : [0,+∞[ −→ R</p><p>x 7−→ 2(x− 9)− (</p><p>√</p><p>x− 3) = 2x−</p><p>√</p><p>x− 15.</p><p>Exemplo 0.27. Dada f(x) = x2, esboce o gráfico das funções 2f , f2 e</p><p>1</p><p>2</p><p>f .</p><p>Exemplo 0.28. Esboce o gráfico da função f = g · h, sendo g(x) =</p><p>√√</p><p>x− 1 e h(x) =</p><p>√</p><p>1 +</p><p>√</p><p>x.</p><p>27</p><p>Composição de funções</p><p>Definição 0.8. Sejam f : A −→ B e g : B −→ C duas funções. A função composta de g com f é a</p><p>função g ◦ f : A −→ C definida por (g ◦ f)(x) = g(f(x)), ∀ x ∈ A.</p><p>Observação 0.17. Para tal operação fazer sentido, basta exigir que Im(f) ⊂ Dg.</p><p>Exemplo 0.29. Sejam f : R −→ R e g : R −→ R dadas por f(x) = x + 1 e g(x) = x2 + x + 1,</p><p>respectivamente. Podemos considerar as funções g ◦ f : R −→ R e f ◦ g : R −→ R, que são dadas por:</p><p>(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x+ 1) = (x+ 1)2 + (x+ 1) + 1 = x2 + 3x+ 3</p><p>e</p><p>(f ◦ g)(x) = f(g(x)) =</p><p>(</p><p>x2 + x+ 1</p><p>)</p><p>+ 1 = x2 + x+ 2.</p><p>Exemplo 0.30. Considere as funções f(x) = 2x+ 3 e g(x) =</p><p>√</p><p>x. Note que f ◦ g está bem definida e é</p><p>dada por</p><p>(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = 2g(x) + 3 = 2</p><p>√</p><p>x+ 3,</p><p>pois Im(g) ⊂ Df . O mesmo não ocorre com a composta g ◦ f . De fato, como Im(f) = R e Dg = [0,+∞[,</p><p>então Im(f) ⊈ Dg. Assim, como (g ◦ f)(x) =</p><p>√</p><p>2x+ 3, a função composição g ◦ f só está bem definida</p><p>no conjunto</p><p>[</p><p>−3</p><p>2</p><p>,+∞</p><p>[</p><p>.</p><p>Exemplo 0.31. Considere a função f(x) =</p><p>(x+ 3)5</p><p>(x+ 3)10 + 1</p><p>. Para calcularmos a imagem de um valor x,</p><p>podemos seguir os seguintes passos:</p><p>x 7−→ x+ 3 7−→ (x+ 3)5 7−→ (x+ 3)5</p><p>[(x+ 3)5]2 + 1</p><p>.</p><p>Assim, podemos escrever a função f como a composta f = a ◦ b ◦ c, sendo a, b e c as funções dadas por</p><p>c(x) = x+ 3, b(y) = y5 e a(z) =</p><p>z</p><p>z2 + 1</p><p>.</p><p>De fato, (a ◦ b ◦ c)(x) = a(b(c(x))) = a(b(x+ 3)) = a</p><p>(</p><p>(x+ 3)5</p><p>)</p><p>=</p><p>(x+ 3)5</p><p>[(x+ 3)5]2 + 1</p><p>= f(x), ∀ x ∈ R.</p><p>28</p><p>Gráficos de funções reais como subconjuntos do R2</p><p>Como vimos, o gráfico de uma função real f é um subconjunto do plano R2 = R × R definido por</p><p>Gf =</p><p>{</p><p>(x, y) ∈ R2 ; y = f(x), x ∈ Df</p><p>}</p><p>.</p><p>Assim, pela definição de função, nem toda “curva” no plano é, necessariamente, o gráfico de uma</p><p>função. Vejamos alguns exemplos:</p><p>Geometricamente, basta aplicar o famoso Teste da reta vertical: se você encontrar uma reta vertical</p><p>que contenha mais de um ponto de interseção como a “curva” dada, tal curva não representa o gráfico</p><p>de uma função. A seguir, exemplificaremos matematicamente como determinar se uma dada “curva” no</p><p>plano é ou não o gráfico de uma função.</p><p>Exemplo 0.32. O conjunto A =</p><p>{</p><p>(x, y) ∈ R2 ; x2 + y2 − 2y = 0</p><p>}</p><p>representa o gráfico de alguma função?</p><p>Completando quadrados, temos que x2 + y2 − 2y = 0 ⇐⇒ x2 + (y − 1)2 = 1, que é a equação da</p><p>circunferência</p><p>centrada em (0, 1) e de raio 1. Pelo teste da reta vertical, é claro que A não representa o</p><p>gráfico de uma função. No entanto, para verificar tal fato matematicamente, devemos isolar a variável y</p><p>(por que?). Assim, como</p><p>então, para cada x ∈ ]− 1, 1[, existe mais de um y satisfazendo (x, y) ∈ A. Portanto, A não é gráfico de</p><p>função.</p><p>Observação 0.18. Como demonstrado, o conjunto A acima não é gráfico de função. No entanto, pelo</p><p>mesmo procedimento, segue que o conjunto B =</p><p>{</p><p>(x, y) ∈ R2 ; x2 + y2 − 2y = 0, y > 1</p><p>}</p><p>é o gráfico da</p><p>função f(x) = 1 +</p><p>√</p><p>1− x2.</p><p>29</p><p>Considerações finais sobre funções</p><p>✓ Uma função definida por partes (ou função definida por mais de uma sentença) é uma</p><p>função caracterizada por fórmulas distintas para diferentes partes do seu domı́nio. Por exemplo:</p><p>✓ Muitas fórmulas matemáticas, f́ısicas ou qúımicas são, na verdade, funções matemáticas. Por</p><p>exemplo, a área A de um ćırculo de raio r, dada pela fórmula A = πr2, nada mais é do que uma função</p><p>do raio, ou seja, A = A(r). Além disso, é frequente utilizarmos funções (e em breve, as ferramentas do</p><p>Cálculo) para descrever situações hipotéticas e até mesmo reais. Vejamos alguns exemplos:</p><p>Exemplo 0.33. Suponha que a queda de uma pedra na Lagoa do Abaeté crie ondas circulares que se</p><p>espalham à uma velocidade de 6 cm/s. Com base nestas informações, encontremos a área A do ćırculo</p><p>em função do tempo t.</p><p>Observação 0.19. Numa situação real, a velocidade tende a diminuir com o tempo. Desta forma, para</p><p>modelar tal situação, faz-se necessário falar em variação de grandezas (veremos em Derivadas!)</p><p>Exemplo 0.34. Para a produção de um determinado produto, tem-se um custo fixo de R$ 1.800, 00 para</p><p>a compra de máquinas e um custo variável de R$ 20, 00 por produto. Sabendo que o produto é vendido</p><p>por R$ 50, 00 a unidade, podemos encontrar as funções custo total CT , receita R e lucro L. Para isso,</p><p>denote por q ∈ N ∪ {0} a quantidade de produtos. Assim,</p>