Apostila Calculo1 com Exercicios_pag61

Prévia do material em texto

<p>57</p><p>Além disso,</p><p>V ”(x) = −3x</p><p>2</p><p>≤ 0, ∀x ∈</p><p>[</p><p>0, 20</p><p>√</p><p>3</p><p>]</p><p>,</p><p>isto é, a função é côncava no seu domínio. Logo, o ponto crítico x0 = 20 é o ponto</p><p>de máximo absoluto.</p><p>Resposta: As dimensões da caixa de volume máximo são: x0 = 20 cm e h0 = 10</p><p>cm.</p><p>2. Sejam x e y os lados do retângulo de perímetro L e área A.</p><p>Então,</p><p>L = 2x+ 2y e A = xy. (2.1)</p><p>(a) Da primeira igualdade em (2.1) temos para L �xado, y = L/2 − x, de modo</p><p>que, substiuindo na expressão da área, obtemos A = x(L/2− x). Temos assim</p><p>a função área A : [0, L/2] → R de�nida por</p><p>A(x) =</p><p>Lx</p><p>2</p><p>− x2.</p><p>Derivando temos, A′(x) = 0 ⇐⇒ x = L/4. Além disso, A”(x) = −2 ≤ 0</p><p>para todo x. Logo, a função A é côncava e x0 = L/4 é ponto de máximo</p><p>absoluto. Mas x0 = L/4 implica que y0 = L/4.</p><p>(b) Se �xarmos a área A, obtemos de (2.1) y = A/x, de modo que o perímetro se</p><p>expressa pela função L : (0,+∞) → R de�nida por,</p><p>L(x) = 2x+</p><p>2A</p><p>x</p><p>. (2.2)</p><p>Observe que</p><p>lim</p><p>x→0−</p><p>L(x) = lim</p><p>x→+∞</p><p>L(x) = +∞,</p><p>de modo que a função L(x) não possui máximo absoluto. Por outro lado,</p><p>L′(x) = 2− 2A</p><p>x2</p><p>= 0 ⇐⇒ x =</p><p>√</p><p>A.</p>