Apostila Calculo1 com Exercicios_pag48

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<p>44</p><p>n yn−1y′ = mxm−1 ⇒ y′ =</p><p>mxm−1</p><p>n yn−1</p><p>Como y = xr e r = m/n, temos:</p><p>y′ = r</p><p>xm−1</p><p>xm−r</p><p>⇒ y′ = rxr−1</p><p>c.q.d</p><p>5. Uma dica para não errar neste tipo de questão é escrever y como y(x)</p><p>(a) Derivando x cos (xy(x)) = 0 implicitamente, temos:</p><p>cos (xy(x)) + x[− sen (xy(x)) (y(x) + y′x)] = 0</p><p>y′ =</p><p>cos(xy)− xy sen(xy)</p><p>x2 sen(xy)</p><p>Veja que a derivada é maior que zero em torno do ponto (1, π/2)</p><p>(b) Derivando xy(x) + ln (xy(x)) = 1 implicitamente, temos:</p><p>y(x) + xy′ +</p><p>y(x) + y′x</p><p>xy(x)</p><p>= 0</p><p>y′ =</p><p>−y(x)[xy(x) + 1]</p><p>x[xy(x) + 1]</p><p>=</p><p>−y(x)</p><p>x</p><p>Veja que a derivada é menor que zero em torno do ponto (1, 1)</p><p>(c) Derivando x5 + xy + y5 = 3 implicitamente, temos:</p><p>5x4 + y(x) + y′x+ 5y4(x)y′ = 0</p><p>y′ =</p><p>−[y(x) + 5x4]</p><p>x+ 5y4</p><p>Veja que a derivada é menor que zero em torno do ponto (1, 1)</p>