Apostila Calculo1 com Exercicios_pag47

Prévia do material em texto

<p>43</p><p>(c) Para que uma reta tangente seja horizontal devemos ter y</p><p>′</p><p>= 0. Daí, temos:</p><p>6y2 − 3x2</p><p>3y2 − 6x</p><p>= 0⇐⇒ 6y − 3x2 = 0→ 2y − x = 0→ x2 = 2y</p><p>Nesse caso, é fácil ver que o ponto no primeiro quadrante que torna a equação</p><p>destacada verdadeira é o ponto (2, 2) .</p><p>2. Derivando a curva implícitamente, temos:</p><p>1</p><p>2</p><p>√</p><p>x</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>√</p><p>y</p><p>y′ = 0⇒ y′ = −</p><p>√</p><p>y</p><p>x</p><p>Como raíz quadrada é uma função positiva, temos que y′ tem sinal �xo.</p><p>3. Precisamos ter em mente que precisamos chegar em 4y′′y3 = −9</p><p>3x2 + 4y2 = 12 (2.1)</p><p>Derivando implicitamente:</p><p>6x+ 8yy′ = 0 (2.2)</p><p>Derivando implicitamente:</p><p>6 + 8(y′2 + y′′y) = 0⇒ y′2 + y′′y =</p><p>−3</p><p>4</p><p>(2.3)</p><p>Isolando x em (2) e substituindo em (1):</p><p>16y2y′2</p><p>3</p><p>+ 4y2 = 12→ y2 =</p><p>36− 12y2</p><p>16y2</p><p>(2.4)</p><p>Usando (4) para substituir em (3):</p><p>36− 12y2</p><p>16y2</p><p>+ y′′y =</p><p>−3</p><p>4</p><p>36− 12y2 + 16y′′y3 = −12y2</p><p>4y′′y3 = −9</p><p>4. Derivando yn = xm implícitamente, temos:</p>