estudos para aula AW

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<p>48. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 5</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta:** C) 5</p><p>**Explicação:** Este limite é uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). Aplicando a regra</p><p>de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:</p><p>\[ \lim_{x \to 0} \frac{5\cos(5x)}{1} = 5\cos(0) = 5. \]</p><p>49. Determine a integral \( \int (2x^3 + 3x^2 - 4) \, dx \).</p><p>A) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C \)</p><p>B) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 + C \)</p><p>C) \( \frac{2}{4}x^4 + x^3 - 4 + C \)</p><p>D) \( \frac{2}{4}x^4 + \frac{3}{3}x^3 - 4 + C \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C \)</p><p>**Explicação:** Integrando:</p><p>\[ \int 2x^3 \, dx = \frac{1}{2}x^4, \quad \int 3x^2 \, dx = x^3, \quad \int -4 \, dx = -4x. \]</p><p>Portanto, a integral é \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C \).</p><p>50. Qual é a derivada de \( f(x) = 3x^5 - 2x^3 + x - 7 \)?</p><p>A) \( 15x^4 - 6x^2 + 1 \)</p><p>B) \( 15x^4 - 6x + 1 \)</p><p>C) \( 15x^4 - 6x^2 - 1 \)</p><p>D) \( 5x^4 - 2x^2 + 1 \)</p><p>**Resposta:** A) \( 15x^4 - 6x^2 + 1 \)</p><p>**Explicação:** Derivando:</p><p>\( 15x^4 \) de \( 3x^5 \), \( -6x^2 \) de \( -2x^3 \), \( 1 \) de \( x \), e \( 0 \) da constante.</p><p>Portanto, a derivada é \( 15x^4 - 6x^2 + 1 \).</p><p>51. Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 3</p><p>**Resposta:** D) 3</p><p>**Explicação:** O limite resulta em uma indeterminação \( \frac{0}{0} \). Fatoramos o</p><p>numerador: \( x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \). Assim, a expressão se torna \( x^2 + x + 1 \).</p><p>Avaliando em \( x = 1 \): \( 1^2 + 1 + 1 = 3 \).</p><p>52. Determine a integral \( \int (6x^4 - 2x^3 + 5) \, dx \).</p><p>A) \( \frac{6}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 5x + C \)</p><p>B) \( \frac{6}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + C \)</p><p>C) \( \frac{6}{5}x^5 - x^4 + 5x + C \)</p><p>D) \( \frac{6}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^4 + C \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{6}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 5x + C \)</p><p>**Explicação:** Integrando:</p><p>\[ \int 6x^4 \, dx = \frac{6}{5}x^5, \quad \int -2x^3 \, dx = -\frac{1}{2}x^4, \quad \int 5 \, dx =</p><p>5x. \]</p><p>Portanto, a integral é \( \frac{6}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 5x + C \).</p><p>53. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + 2) \)?</p><p>A) \( \frac{3x^2}{x^3 + 2} \)</p><p>B) \( \frac{1}{x^3 + 2} \)</p><p>C) \( \frac{3}{x^3 + 2} \)</p><p>D) \( \frac{3x^2 + 2}{x^3} \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{3x^2}{x^3 + 2} \)</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia:</p><p>A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot u' \) onde \( u = x^3 + 2 \) e \( u' = 3x^2 \).</p><p>Portanto, a derivada é \( \frac{3x^2}{x^3 + 2} \).</p><p>54. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{x} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 4</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta:** C) 4</p><p>**Explicação:** Este limite é uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). Aplicando a regra</p><p>de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:</p><p>\[ \lim_{x \to 0} \frac{4\sec^2(4x)}{1} = 4\sec^2(0) = 4 \cdot 1 = 4. \]</p><p>55. Determine a integral \( \int (4x^3 - 5x + 6) \, dx \).</p><p>A) \( x^4 - \frac{5}{2}x^2 + 6x + C \)</p><p>B) \( x^4 - \frac{5}{2}x^2 + C \)</p><p>C) \( 4x^4 - \frac{5}{2}x^2 + 6 + C \)</p><p>D) \( 4x^4 - 5x + 6 + C \)</p><p>**Resposta:** A) \( x^4 - \frac{5}{2}x^2 + 6x + C \)</p><p>**Explicação:** Integrando:</p><p>\[ \int 4x^3 \, dx = x^4, \quad \int -5x \, dx = -\frac{5}{2}x^2, \quad \int 6 \, dx = 6x. \]</p><p>Portanto, a integral é \( x^4 - \frac{5}{2}x^2 + 6x + C \).</p><p>56. Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{3x + 1} \)?</p><p>A) \( \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}} \)</p><p>B) \( \frac{1}{2\sqrt{3x + 1}} \)</p><p>C) \( \frac{3}{\sqrt{3x + 1}} \)</p><p>D) \( \frac{1}{\sqrt{3x + 1}} \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}} \)</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia:</p><p>A derivada de \( \sqrt{u} \) é \( \frac{1}{2\sqrt{u}} \) onde \( u = 3x + 1 \) e \( u' = 3 \). Portanto,</p><p>a derivada é \( \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}} \).</p><p>57. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta:** C) 2</p><p>**Explicação:** Este limite é uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). Aplicando a regra</p><p>de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:</p><p>\[ \lim_{x \to 0} \frac{2\cos(2x)}{1} = 2\cos(0) = 2. \]</p><p>58. Determine a integral \( \int (2x^5 - 3x^2 + 4) \, dx \).</p><p>A) \( \frac{1}{3}x^6 - x^3 + 4x + C \)</p><p>B) \( \frac{1}{3}x^6 - x^3 + C \)</p><p>C) \( \frac{2}{6}x^6 - x^3 + 4 + C \)</p><p>D) \( \frac{2}{6}x^6 - \frac{3}{3}x^3 + 4 + C \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{1}{3}x^6 - x^3 + 4x + C \)</p><p>**Explicação:** Integrando:</p><p>\[ \int 2x^5 \, dx = \frac{1}{3}x^6, \quad \int -3x^2 \, dx = -x^3, \quad \int 4 \, dx = 4x. \]</p><p>Portanto, a integral é \( \frac{1}{3}x^6 - x^3 + 4x + C \).</p><p>59. Qual é a derivada de \( f(x) = \cos(3x) + \sin(2x) \)?</p><p>A) \( -3\sin(3x) + 2\cos(2x) \)</p><p>B) \( -3\cos(3x) + 2\sin(2x) \)</p><p>C) \( -3\sin(2x) + 2\cos(3x) \)</p><p>D) \( 3\sin(3x) + 2\cos(2x) \)</p><p>**Resposta:** A) \( -3\sin(3x) + 2\cos(2x) \)</p><p>**Explicação:** A derivada de \( \cos(u) \) é \( -\sin(u) \cdot u' \) e a derivada de \( \sin(u) \)</p><p>é \( \cos(u) \cdot u' \). Portanto, a derivada é \( -3\sin(3x) + 2\cos(2x) \).</p><p>60. Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 3</p><p>**Resposta:** C) 2</p>