calculo com raiz azm

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<p>**Explicação:** A derivada de \(a^x\) é \(a^x \ln(a)\). Aqui, \(a = 2\), então \(f'(x) =</p><p>2^{x}\ln(2)\).</p><p>36. Determine o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta: b) 1**</p><p>**Explicação:** Usamos a definição da derivada de \(\ln(x)\) em \(x = 1\): \(\lim_{x \to 0}</p><p>\frac{\ln(1 + x) - \ln(1)}{x} = \frac{1}{1} = 1\).</p><p>37. Calcule a integral indefinida \(\int (x^4 - 3x^2 + 2) \,dx\).</p><p>a) \(\frac{x^5}{5} - x^3 + 2x + C\)</p><p>b) \(\frac{x^5}{5} - \frac{3x^3}{3} + 2x + C\)</p><p>c) \(\frac{x^5}{5} - x^3 + 2 + C\)</p><p>d) \(\frac{x^4}{4} - 3x + 2 + C\)</p><p>**Resposta: a) \(\frac{x^5}{5} - x^3 + 2x + C\)**</p><p>**Explicação:** A integral de \(x^4\) é \(\frac{x^5}{5}\), a de \(-3x^2\) é \(-x^3\), e a de</p><p>\(2\) é \(2x\). Portanto, a integral total é \(\frac{x^5}{5} - x^3 + 2x + C\).</p><p>38. Encontre a equação da reta tangente à curva \(y = x^3 - 3x + 2\) no ponto (1, 0).</p><p>a) \(y = 3x - 3\)</p><p>b) \(y = -3x + 3\)</p><p>c) \(y = -3x + 2\)</p><p>d) \(y = 3x\)</p><p>**Resposta: a) \(y = 3x - 3\)**</p><p>**Explicação:** A derivada de \(y = x^3 - 3x + 2\) é \(y' = 3x^2 - 3\). No ponto \(x = 1\), a</p><p>inclinação é \(3(1)^2 - 3 = 0\). Usando a fórmula da reta tangente: \(y - 0 = 0(x - 1)\),</p><p>simplificando, obtemos \(y = 3x - 3\).</p><p>39. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>**Resposta: c) 2**</p><p>**Explicação:** Usamos a fatoração: \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). Portanto, \(\lim_{x \to 1}</p><p>\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2\).</p><p>40. Determine a derivada da função \(f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\).</p><p>a) \(-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\)</p><p>b) \(\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\)</p><p>c) \(-\frac{1}{x^2 + 1}\)</p><p>d) \(\frac{1}{x^2 + 1}\)</p><p>**Resposta: a) \(-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do quociente: \(f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) - 1 \cdot</p><p>2x}{(x^2 + 1)^2} = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\).</p><p>41. Calcule a integral definida \(\int_0^1 (x^3 + 4) \,dx\).</p><p>a) \(\frac{5}{4}\)</p><p>b) 2</p><p>c) \(\frac{7}{4}\)</p><p>d) \(\frac{9}{4}\)</p><p>**Resposta: d) \(\frac{5}{4}\)**</p><p>**Explicação:** A integral indefinida é \(\int (x^3 + 4) \,dx = \frac{x^4}{4} + 4x + C\).</p><p>Avaliando de 0 a 1: \(\left(\frac{1}{4} + 4\right) - (0) = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4}\).</p><p>42. Encontre o valor de \(c\) tal que \(f(c) = \int_0^2 (3x - 1) \,dx = 0\).</p><p>a) \(c = 1\)</p><p>b) \(c = 2\)</p><p>c) \(c = 0\)</p><p>d) \(c = -1\)</p><p>**Resposta: a) \(c = 1\)**</p><p>**Explicação:** Primeiro, calculamos a integral: \(\int (3x - 1) \,dx = \frac{3x^2}{2} - x +</p><p>C\). Avaliando de 0 a 2: \(\left(6 - 2\right) - (0) = 4\). Para \(f(c) = 0\), precisamos achar \(c\)</p><p>tal que \(3c - 1 = 0\), então \(c = \frac{1}{3}\).</p><p>43. Calcule a derivada da função \(f(x) = \sqrt{x^2 + 3}\).</p><p>a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}}\)</p><p>b) \(\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 3}}\)</p><p>c) \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}}\)</p><p>d) \(\frac{1}{2\sqrt{x^2 + 3}}\)</p><p>**Resposta: a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}}\)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 3}} \cdot 2x =</p><p>\frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}}\).</p><p>44. Determine o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^4 + 2}{3x^4 + 1}\).</p><p>a) 0</p><p>b) \(\frac{5}{3}\)</p><p>c) 1</p><p>d) 2</p><p>**Resposta: b) \(\frac{5}{3}\)**</p><p>**Explicação:** Dividimos numerador e denominador pelo maior grau de \(x\): \(\lim_{x</p><p>\to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x^4}}{3 + \frac{1}{x^4}} = \frac{5}{3}\).</p><p>45. Calcule a integral indefinida \(\int (7x^6 - 2x^3 + 4) \,dx\).</p><p>a) \(\frac{7x^7}{7} - \frac{2x^4}{4} + 4x + C\)</p><p>b) \(\frac{7x^7}{7} - \frac{2x^4}{4} + 4x + C\)</p><p>c) \(x^7 - \frac{x^4}{2} + 4x + C\)</p><p>d) \(7x^7 - 2x^4 + 4x + C\)</p><p>**Resposta: a) \(\frac{7x^7}{7} - \frac{2x^4}{4} + 4x + C\)**</p><p>**Explicação:** A integral de \(7x^6\) é \(\frac{7x^7}{7}\), a de \(-2x^3\) é \(-</p><p>\frac{2x^4}{4}\), e a de \(4\) é \(4x\). Portanto, a integral total é \(\frac{7x^7}{7} -</p><p>\frac{2x^4}{4} + 4x + C\).</p><p>46. Encontre a equação da reta tangente à curva \(y = x^4\) no ponto (1, 1).</p><p>a) \(y = 4x - 3\)</p><p>b) \(y = 4x - 4\)</p><p>c) \(y = 4x + 1\)</p><p>d) \(y = 4x\)</p><p>**Resposta: a) \(y = 4x - 3\)**</p><p>**Explicação:** A derivada de \(y = x^4\) é \(y' = 4x^3\). No ponto \(x = 1\), a inclinação é</p><p>\(4(1)^3 = 4\). Usando a fórmula da reta tangente: \(y - 1 = 4(x - 1)\), simplificando,</p><p>obtemos \(y = 4x - 3\).</p><p>47. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 3</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta: c) 3**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} =</p><p>k\). Aqui, \(k = 3\), então o limite é 3.</p><p>48. Determine a derivada da função \(f(x) = \ln(2x + 1)\).</p><p>a) \(\frac{2}{2x + 1}\)</p><p>b) \(\frac{1}{2x + 1}\)</p><p>c) \(\frac{2x}{2x + 1}\)</p><p>d) \(\frac{2x + 1}{2x}\)</p><p>**Resposta: a) \(\frac{2}{2x + 1}\)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{2x + 1} \cdot 2 = \frac{2}{2x +</p><p>1}\).</p><p>49. Calcule a integral definida \(\int_0^1 (2x^2 + 3) \,dx\).</p><p>a) \(\frac{5}{3}\)</p><p>b) 2</p><p>c) \(\frac{4}{3}\)</p><p>d) \(\frac{7}{3}\)</p>