AP2-CIII-2018-2-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP2 de Cálculo III – Gabarito – 20/10/2018
Código da disciplina: EAD 01015 (Matemática/F́ısica/Qúımica ) e EAD 16062
(Engenharia de Produção )
Nome: Matŕıcula:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula e
Polo.
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mento que sirva para cálculo como também qualquer
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cador.
• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta
para registro das resoluções nas Folhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas serão o único material considerado
para correção. Quaisquer anotações feitas fora deste espaço,
mesmo que em folha de rascunho, serão ignoradas.
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Questão 1 (4,0 pontos) Considere a função F : R3 −→ R, definida por F (x, y, z) = xz2 − 4yz + x− y.
(a) (1,5 ponto) Decida se o Teorema da Função Impĺıcita pode ser utilizado para garantir que a equação
F (x, y, z) = −4 define implicitamente uma função z = f(x, y) em uma vizinhança V do ponto (1, 1) ∈ R2;
(b) (1,5 ponto) Considere a função G : R3 −→ R, definida por
G(x, y, z) = ∂F
∂z
(x, y, z),
para cada (x, y, z) ∈ R2. Decida se o Teorema da Função Impĺıcita pode ser utilizado para garantir que
a equação G(x, y, z) = 0 define implicitamente uma função z = g(x, y) em uma vizinhança W do ponto
(1, 1) ∈ R2.
(c) (1,0 ponto) Se posśıvel, calcule gx e gy, em cada (x, y) de W.
Solução:
(a) Observemos que
−4 = F (1, 1, z) = z2 − 4z =⇒ (z − 2)2 = 0 =⇒ z = 2.
Uma vez que
Fz(x, y, z) = 2xz − 4y =⇒ Fz(1, 1, 2) = 4− 4 = 0,
o Teorema da Impĺıcita não garante a existência de uma vizinhança V do ponto (1, 1), na qual a equação
F (x, y, z) = −4 defina implicitamente uma função z = f(x, y).
Cálculo III AP2 2
(b) Em primeiro lugar, obsevemos que
G(x, y, z) = Fz(x, y, z) = 2xz − 4y
para todo (x, y) ∈ R2. Observemos também que
0 = G(1, 1, z) = 2z − 4 =⇒ z = 2.
Uma vez que Gz(x, y, z) = 2x, em particular, temos Gz(1, 1, 2) = 2 6= 0. Portanto, pelo Teorema da Função
Impĺıcita, a equação G(x, y, z) = 0 define implicitamente uma função z = g(x, y) em uma vizinhança W do
ponto (1, 1) ∈ R2
(c) Pelo teorema da função impĺıcita, para cada (x, y) ∈ V, temos
gx(x, y) =
−Gx(x, y, z)
Gz(x, y, z)
= −
(
2z
2x
)
= − z
x
e
gy(x, y) =
−Gy(x, y, z)
Gz(x, y, z)
= −
(
−4
2x
)
= 2
x
.
Questão 2 (3,0 pontos)
Considere a função f : R2 −→ R, definida por
f(x, y) = 2x2 + y2 − 2xy − 2x + 1
(a) (2,0 pontos) Encontre os pontos cŕıticos de f , classificando cada um como ponto de ḿınimo local , ou
como ponto de máximo local , ou como ponto de sela ;
(b) (1,0 ponto) Em no máximo 3 linhas, e sem fazer cálculos,decida se a restrição de f ao conjunto
C =
{
(x, y) ∈ R2; |x|+ |y| ≤ 1
}
assume valor máximo e valor ḿınimo globais em C.
Solução:
(a) Como
fx(x, y) = 4x− 2y − 2 e fy(x, y) = 2y − 2x
para quaisquer (x, y) ∈ R2, os pontos cŕıcos de f são as soluções do sistema determinado pelas equações
4x− 2y = 2 e 2y − 2x = 0
Utilizando a segunda equação do sistema, temos y = x. Assim, da primeira, resulta que
4x− 2x = 2 =⇒ x = y = 1.
Portanto,
P = (1, 1)
é o único ponto cŕıtico de f . Agora, notemos que
fxx(x, y) = 4 =⇒ fxx(P ) = 4;
fyy(x, y) = 2 =⇒ fyy(P ) = 2;
fxy(x, y) = −2 =⇒ fxy(P ) = −2.
Nesse caso, sendo
H(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y)− [fxy(x, y)]2,
segue que
H(P ) = 4 > 0 e fxx(P ) = 4 > 0 =⇒ P é um ponto de ḿınimo local de f.
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(b) A restrição da função f ao conjunto C (quadrado com vértices (0, 1), (0,−1), (1, 0) e (−1, 0)) assume valores
extremos globais em C, pois f é uma função cont́ınua e C é um subconjunto compacto de R2.
Questão 3 (3,0 pontos)
Seja f : R2 −→ R uma função diferenciável, e considere também a função g : R2 −→ R, definida por
g(u, v) = f(cos(uv), u + v)
para cada (u, v) ∈ R2. Sabendo que gu(0, 1) = 10, calcule:
(a) (1,5 ponto) Calcule fy(1, 1);
(b) (1,5 ponto) Calcule gv(0, 1).
Solução:
(a) Para cada (u, v) ∈ R2, ponhamos x = x(u, v) = cos(uv) e y = y(u, v) = u + v. Nesse caso, aplicando a
Regra da Cadeia, obtemos
gu(u, v) = fx(cos(uv), u + v)xu(u, v) + fy(cos(uv), u + v)yu(u, v)
= fx(cos(uv), u + v) · (vsen (uv)) + fy(cos(uv), u + v) · 1
para todo (u, v) ∈ R2. Em particular,
gu(0, 1) = fx(1, 1) · 0 + fy(1, 1) · 1 =⇒ fy(1, 1) = gu(0, 1) = 10.
(b) Continuemos com as notações do item anterior. Aplicando novamente a Regra da Cadeia, obtemos
gv(u, v) = fx(cos(uv), u + v)xv(u, v) + fy(cos(uv), u + v)yv(u, v)
= fx(cos(uv), u + v) · (vsen (uv)) + fy(cos(uv), u + v) · 1
para todo (u, v) ∈ R2. Em particular,
gu(0, 1) = fx(1, 1) · 0 + fy(1, 1) · 1 = 10.