LISTA DE EXERCÍCIOS - UNIDADE 1

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<p>UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIÁRIDO</p><p>MONITORIA INTRODUÇÃO A FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS</p><p>MONITOR: IGOR PACÍFICO XAVIER DA SILVA</p><p>LISTA DE EXERCÍCIOS</p><p>Conteúdo: Domínio de funções.</p><p>1) Determine o domínio das funções abaixo e faça um esboço da região em que se</p><p>encontram todos os pontos desse domínio.</p><p>a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1</p><p>𝑥2 +𝑦2 −1</p><p>b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 − 𝑥2 − 𝑦2</p><p>c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 − 1</p><p>d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 − 1</p><p>e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1</p><p>1−𝑥2−𝑦2</p><p>f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4−𝑦4</p><p>𝑥2−𝑦2</p><p>g) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛(𝑥𝑦 − 1)</p><p>h) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥/𝑦</p><p>2) Ache o domínio de .𝑓</p><p>a) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥+𝑦+𝑧</p><p>𝑥−𝑦−𝑧</p><p>b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 16 − 𝑥2 − 4𝑦2 −</p><p>3) Determine o conjunto domínio e faça um esboço deste conjunto para cada uma das</p><p>funções dadas.</p><p>a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥</p><p>4−𝑥2−𝑦2</p><p>b) )𝐹(𝑡) = (𝑡, 𝑡−2</p><p>𝑡+1 , 𝑙𝑛(5 − 𝑡2), 𝑒−𝑡</p><p>c) )𝐹(𝑡) = (2, 1</p><p>𝑡 ,</p><p>4</p><p>2 − 𝑡2, 𝑙𝑛(5 − 𝑡2), 𝑒−𝑡</p><p>Conteúdo: Limite de funções de várias variáveis.</p><p>1) Calcular os seguintes limites:</p><p>a)</p><p>(𝑥,𝑦) (1,2)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑒𝑥𝑦 − 𝑒𝑦 + 1</p><p>b)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑥 𝑥2 + 𝑦2</p><p>c)</p><p>(𝑥,𝑦) (−1,2)</p><p>lim</p><p>→</p><p>(𝑥3𝑦3 + 2𝑥𝑦2 + 𝑦)</p><p>d)</p><p>(𝑥,𝑦) (1,2)</p><p>lim</p><p>→</p><p>3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦2 − 2𝑥𝑦</p><p>e)</p><p>(𝑥,𝑦) (−2,1)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑥𝑦2−5𝑥+8</p><p>𝑥2+𝑦2+4𝑥𝑦</p><p>f)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,1)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑥23𝑥𝑦2</p><p>𝑥2+𝑦2</p><p>g)</p><p>(𝑥,𝑦) (1,1)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑥2−𝑦𝑥</p><p>𝑥2−𝑦2</p><p>h)</p><p>(𝑥,𝑦) (1,2)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑙𝑛 𝑥𝑦−1</p><p>2𝑥𝑦+4( )</p><p>i)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑥𝑠𝑒𝑛(1/𝑦)</p><p>j)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑥3</p><p>𝑥2+𝑦2</p><p>k)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑐𝑜𝑠 𝑥3</p><p>𝑥2+𝑦2( )</p><p>l)</p><p>(𝑥,𝑦) (1,−1)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑥3−𝑥𝑦2</p><p>𝑥+𝑦</p><p>m)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑥𝑦2</p><p>𝑥2+𝑦2</p><p>n)</p><p>(𝑥,𝑦) (1,2)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑦𝑥3−𝑦𝑥2−𝑦𝑥+𝑦+2𝑥3−2𝑥2−2𝑥+2</p><p>(𝑥−1)2(𝑦+2)</p><p>o)</p><p>(𝑥,𝑦) (1,1)</p><p>lim</p><p>→</p><p>(𝑥𝑦 − 𝑦)𝑠𝑒𝑛 1</p><p>𝑥−1( )𝑐𝑜𝑠 1</p><p>𝑦−1( )</p><p>p)</p><p>(𝑥,𝑦) (2,2)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑥3−𝑥2𝑦</p><p>𝑥2−𝑦2</p><p>2) Calcule o Limite, caso exista.</p><p>a)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑥𝑠𝑒𝑛 1</p><p>𝑥2+𝑦2( )</p><p>b)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑥</p><p>𝑥2+𝑦2</p><p>c)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑥2</p><p>𝑥2+𝑦2</p><p>d)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑥𝑦</p><p>𝑥2+𝑦2</p><p>e)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑥+𝑦</p><p>𝑥−𝑦</p><p>f)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑠𝑒𝑛(𝑥2+𝑦2)</p><p>𝑥2+𝑦2</p><p>g)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>2𝑥3−3𝑦3</p><p>𝑥3+𝑦3</p><p>h)</p><p>(𝑥,𝑦) (1,−1)</p><p>lim</p><p>→</p><p>3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦2 − 2𝑥𝑦</p><p>i)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑥2 𝑦</p><p>𝑥2+𝑦2</p><p>j)</p><p>(𝑡) (1)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝐹(𝑡) = 𝑡2−1</p><p>𝑡3−1</p><p>𝑖 + 𝑠𝑒𝑛(π/𝑡)</p><p>𝑡−1 𝑗 + 2𝑡𝑘</p><p>k)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>3𝑥2𝑦</p><p>𝑥2+𝑦2</p><p>l)</p><p>(𝑡) (1)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝐹(𝑡) = 𝑡3−8</p><p>𝑡2−4</p><p>𝑖 + 𝑐𝑜𝑠(π/𝑡)</p><p>𝑡−2 𝑗 + 2𝑡𝑘</p><p>3) Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:</p><p>a)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑥2−3𝑦2</p><p>𝑥2+𝑦2</p><p>b)</p><p>(𝑥,𝑦) (−1,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>(𝑥+1)2𝑦</p><p>(𝑥+1)4+𝑦2</p><p>c)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>2𝑥𝑦</p><p>𝑥2+𝑦2</p><p>d)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑥2−𝑦2</p><p>𝑥2+𝑦2</p><p>e)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑥4𝑦4</p><p>(𝑥2+𝑦4)3</p><p>f)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑥9𝑦</p><p>(𝑥6+𝑦2)2</p><p>g)</p><p>(𝑥,𝑦) (2,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>(𝑥−2)2𝑦</p><p>(𝑥−2)4+𝑦2</p><p>h)</p><p>(𝑥,𝑦) (0,0)</p><p>lim</p><p>→</p><p>𝑥𝑦</p><p>𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2</p><p>Conteúdo: Continuidade de funções de várias variáveis.</p><p>1) Verifique se a função dada é contínua no ponto :𝑃 = (0, 0)</p><p>𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2+𝑦2)</p><p>𝑥2+𝑦2 , 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0, 0) 𝑒 1, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0, 0){ }</p><p>2) Verifique se a função dada é contínua no ponto :𝑃 = (0, 0)</p><p>3) Verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>f)</p><p>g)</p>