MHS

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<p>380</p><p>U</p><p>n</p><p>id</p><p>a</p><p>d</p><p>e</p><p>F</p><p>•</p><p>O</p><p>n</p><p>d</p><p>a</p><p>s</p><p>380</p><p>R</p><p>ep</p><p>ro</p><p>d</p><p>uç</p><p>ão</p><p>p</p><p>ro</p><p>ib</p><p>id</p><p>a.</p><p>A</p><p>rt</p><p>.1</p><p>84</p><p>d</p><p>o</p><p>C</p><p>ód</p><p>ig</p><p>o</p><p>P</p><p>en</p><p>al</p><p>e</p><p>L</p><p>ei</p><p>9</p><p>.6</p><p>10</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>d</p><p>e</p><p>fe</p><p>ve</p><p>re</p><p>iro</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>98</p><p>.</p><p>Objetivos</p><p>Conhecer exemplos de</p><p>movimentos periódicos</p><p>e os sistemas que</p><p>os realizam.</p><p>Relacionar período</p><p>e frequência de um</p><p>movimento periódico.</p><p>Termos e conceitos</p><p>• oscilador harmônico</p><p>• amplitude</p><p>Seção 16.1 Movimentos periódicos</p><p>Um fenômeno é periódico quando se repete identicamente em inter-</p><p>valos de tempo iguais. O perío do T é o menor intervalo de tempo para</p><p>repetição do fenômeno.</p><p>Exemplos:</p><p>• Desprezadas a resistência do ar e forças dissipativas em geral, o pên-</p><p>dulo da figura 1 oscila da posição A até a B e retorna à A, repetindo</p><p>a oscilação. O fenômeno é periódico, pois se repete em intervalos de</p><p>tempo iguais. O período T é o intervalo de tempo para o pêndulo ir de</p><p>A a B e retornar a A.</p><p>• Desprezadas as forças dissipativas (atrito e resistência do ar), o bloco B</p><p>da figura 2, preso à mola M, executa um movimento periódico cujo</p><p>período é o intervalo de tempo para ir e voltar à posição inicial (A).</p><p>Figura 2. O oscilador harmônico.</p><p>O bloco e a mola da figura 2 constituem um conjunto denominado</p><p>oscilador harmônico (reveja Volume 1, Capítulo 15, pág. 298).</p><p>A posição do bloco B pode ser dada com o auxílio de um eixo de abs-</p><p>cissa Ox (fig. 2) orientado da esquerda para a direita. Assim, quando o</p><p>bloco está à direita de O (fig. 2B), sua abscissa x é positiva e, quando</p><p>está à esquerda de O (fig. 2D), sua abscissa x é negativa.</p><p>O valor máximo da abscissa x é denominado amplitude a. Nas posições</p><p>extremas do bloco B em que ocorreu inversão de sentido do movimento,</p><p>x  a (fig. 2A) e x  a (fig. 2E). Nessas posições, a velocidade é nula.</p><p>Considera-se a positivo.</p><p>O oscilador harmônico da figura 2 efetua um movimento periódico</p><p>cujo período T é o in ter va lo de tempo para o bloco efetuar uma oscilação</p><p>completa (da fig. 2A à fig. 2G).</p><p>Figura 1. O período T da oscilação é o intervalo de tempo para o pêndulo ir de A</p><p>até B e retornar a A.</p><p>A B A B</p><p>BM</p><p>–a O a x</p><p>O bloco é abandonado x = a.</p><p>O bloco numa posição de abscissa x.</p><p>Posição de equilíbrio (x = 0).</p><p>A abscissa x é negativa.</p><p>Posição extrema negativa x = –a.</p><p>O bloco retornando.</p><p>Completa-se um período.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>V2_P3_UN_F_CAP_16a.indd 380 02.09.09 09:14:04</p><p>381</p><p>C</p><p>a</p><p>p</p><p>ít</p><p>u</p><p>lo</p><p>1</p><p>6</p><p>•</p><p>M</p><p>o</p><p>vi</p><p>m</p><p>e</p><p>n</p><p>to</p><p>h</p><p>a</p><p>rm</p><p>ô</p><p>n</p><p>ic</p><p>o</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>(M</p><p>H</p><p>S</p><p>)</p><p>381</p><p>R</p><p>ep</p><p>ro</p><p>d</p><p>uç</p><p>ão</p><p>p</p><p>ro</p><p>ib</p><p>id</p><p>a.</p><p>A</p><p>rt</p><p>.1</p><p>84</p><p>d</p><p>o</p><p>C</p><p>ód</p><p>ig</p><p>o</p><p>P</p><p>en</p><p>al</p><p>e</p><p>L</p><p>ei</p><p>9</p><p>.6</p><p>10</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>d</p><p>e</p><p>fe</p><p>ve</p><p>re</p><p>iro</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>98</p><p>.</p><p>Nos fenômenos periódicos, além do período T, considera-se outra grandeza: a fre quên cia f.</p><p>Chama-se frequência o número de vezes em que o fenômeno se repete na unidade de</p><p>tem po.</p><p>O período T e a frequência f relacionam-se da seguinte forma:</p><p>Intervalo de tempo no de vezes em que o fenômeno se repete</p><p>(período) T 1 (vez)</p><p>(unidade de tempo) 1 f (vezes) (frequência)</p><p>Por regra de três simples e direta, temos:</p><p>fT  1 ] f </p><p>1</p><p>__</p><p>T</p><p>ou T </p><p>1</p><p>__</p><p>f</p><p>A unidade de frequência no Sistema Internacional de Unidades (ciclos por segundo) é denomi-</p><p>nada hertz (símbolo: Hz), em homenagem ao físico alemão Henrich Rudolf Hertz (1857-1894).</p><p>Observe agora a figura 3. A mola M, de constante k, exerce sobre o bloco B, de massa m, a</p><p>força elástica Fel. (reveja Volume 1, Capítulo 11, pág. 204, lei de Hooke, deformações elásticas).</p><p>A força elástica Fel. tem sentido contrário ao do eixo orientado quando os valores de x são po-</p><p>sitivos, mas tem o mesmo sentido do eixo para valores negativos de x (fig. 3B e 3C).</p><p>Levando em conta os sinais de x e os sentidos de Fel., podemos expressar algebricamente</p><p>a intensidade da força elástica assim:</p><p>Para x . 0, resulta Fel. , 0, isto é, Fel. tem sentido contrário ao do eixo orientado.</p><p>Para x , 0, resulta Fel. . 0, isto é, Fel. tem o mesmo sentido do eixo orientado.</p><p>O gráfico de Fel. em função de x está representado na figura 3D.</p><p>Fel.  kx</p><p>Figura 3. (A) Bloco na posição de equilíbrio x 5 0; (B) mola distendida, bloco na posição genérica x,</p><p>positiva, Fel. tem sentido oposto ao do eixo orientado; (C) mola comprimida, bloco na posição genérica x,</p><p>negativa, Fel. tem o mesmo sentido do eixo orientado; (D) gráfico de Fel. em função de x.</p><p>B</p><p>O</p><p>O</p><p>(k)</p><p>xO</p><p>x</p><p>m</p><p>M B</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>Fel. = –kx B v = 0</p><p>x = –a</p><p>v = 0</p><p>F'el. = –kx</p><p>x = +a</p><p>x</p><p>Fel.</p><p>O–a +a</p><p>–ka</p><p>ka</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>V2_P3_UN_F_CAP_16a.indd 381 02.09.09 09:14:04</p><p>382</p><p>U</p><p>n</p><p>id</p><p>a</p><p>d</p><p>e</p><p>F</p><p>•</p><p>O</p><p>n</p><p>d</p><p>a</p><p>s</p><p>382</p><p>R</p><p>ep</p><p>ro</p><p>d</p><p>uç</p><p>ão</p><p>p</p><p>ro</p><p>ib</p><p>id</p><p>a.</p><p>A</p><p>rt</p><p>.1</p><p>84</p><p>d</p><p>o</p><p>C</p><p>ód</p><p>ig</p><p>o</p><p>P</p><p>en</p><p>al</p><p>e</p><p>L</p><p>ei</p><p>9</p><p>.6</p><p>10</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>d</p><p>e</p><p>fe</p><p>ve</p><p>re</p><p>iro</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>98</p><p>.</p><p>Objetivos</p><p>Conceituar período</p><p>e frequência de um</p><p>movimento periódico.</p><p>Analisar o movimento</p><p>harmônico simples</p><p>descrito por um</p><p>oscilador harmônico.</p><p>Compreender a relação</p><p>entre período próprio</p><p>do oscilador, a massa</p><p>do corpo e a constante</p><p>elástica da mola.</p><p>Analisar a conversão</p><p>entre energias cinética e</p><p>potencial em um MHS.</p><p>Relacionar energia</p><p>mecânica e amplitude</p><p>no MHS.</p><p>Termos e conceitos</p><p>• força restauradora</p><p>• energia cinética</p><p>• energia potencial</p><p>Seção 16.2</p><p>No MHS o período T é o intervalo de tempo para o fenômeno se repe-</p><p>tir: na figura 4 ele é o intervalo de tempo para a esfera, abandonada na</p><p>posição (B), retornar a essa mesma posição. Em outro intervalo igual a</p><p>T o fenômeno se repete.</p><p>Conforme demonstraremos no item 4 da seção 16.3, o período T do</p><p>MHS depende da massa m do ponto material e da constante elástica k da</p><p>mola ligada ao ponto material. Uma vez definidos a mola (e sua constante</p><p>k) e o ponto material (e sua massa m), obtém-se o período de oscilação</p><p>pela fórmula:</p><p>exercícios resolvidos</p><p>Movimento harmônico</p><p>simples (MHS)</p><p>Diz-se que um ponto material efetua um movimento harmônico</p><p>simples linear, que indicaremos simplesmente por MHS, quan do, numa</p><p>trajetória retilínea, oscila periodicamente em torno de uma posição</p><p>de equilíbrio sob a ação de uma força cuja intensidade é proporcional</p><p>à distância do ponto à posição de equilíbrio (figs. 3 e 4). Essa força</p><p>é sempre orientada para a posição de equilíbrio e chama-se força</p><p>restauradora.</p><p>O movimento de um oscilador harmônico é um MHS, no qual a força</p><p>elástica Fel.  kx é a força restauradora (fig. 3). A esfera suspensa</p><p>verticalmente (fig. 4) à mola efetua um MHS quando se desprezam as</p><p>forças dissipativas. Como o MHS é um movimento de trajetória retilínea,</p><p>a posição do móvel é dada pela abs cissa x, me dida num eixo orien ta do</p><p>a partir da posição de equilíbrio (O). A amplitude a é a distância da po si-</p><p>ção de equilíbrio até o extremo da oscilação. Nos extremos da oscilação,</p><p>a abscissa é x  a (figs. 3B e 4B) ou x  a (figs. 3C e 4C). Nesses</p><p>extremos, há inversão de sentido do movimento, ou seja, a velocidade é</p><p>anulada. Durante a oscilação, o móvel passa pela posição de equilíbrio</p><p>com velocidade máxima em módulo.</p><p>Figura 4. A esfera suspensa à mola efetua um MHS (desprezada a ação</p><p>do ar): (A) a esfera está na posição de equilíbrio; (B) puxamos a esfera e a</p><p>abandonamos; (C e D) a esfera oscila, efetuando MHS de amplitude a em</p><p>torno da posição de equilíbrio O.</p><p>(k)</p><p>–a</p><p>O</p><p>+a</p><p>x = –a</p><p>x = +a</p><p>m</p><p>x</p><p>Fel.</p><p>Fel.</p><p>A B C D</p><p>T  2s dlll</p><p>m</p><p>__</p><p>k</p><p>V2_P3_UN_F_CAP_16a.indd 382 02.09.09 09:14:04</p><p>383</p><p>C</p><p>a</p><p>p</p><p>ít</p><p>u</p><p>lo</p><p>1</p><p>6</p><p>•</p><p>M</p><p>o</p><p>vi</p><p>m</p><p>e</p><p>n</p><p>to</p><p>h</p><p>a</p><p>rm</p><p>ô</p><p>n</p><p>ic</p><p>o</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>(M</p><p>H</p><p>S</p><p>)</p><p>383</p><p>Esse período é um período próprio da oscilação e independe de sua amplitude. A amplitude</p><p>depende da energia cedida ao sistema: quando puxamos o corpo para a posição mostrada na</p><p>figura 4B, estamos cedendo a ele e à mola energia potencial e, consequentemente, definindo</p><p>uma amplitude a para a os ci la ção. Se a amplitude a for maior ou menor, cederemos mais energia</p><p>ou menos; em qual quer caso, porém, o período não se altera e pode ser calculado pela fórmula</p><p>anterior. Devido à importância dessa fórmula, nós a usa remos desde já.</p><p>As discussões sobre</p><p>energia serão feitas no item “Energia no MHS”, a seguir.</p><p>O período do MHS depende da massa m do ponto material em movimento</p><p>e da constante elástica k, mas não depende da amplitude da oscilação.</p><p>No endereço eletrônico http://br.geocities.com/saladefisica3/laboratorio/oscilador/oscilador.htm</p><p>(acesso em agosto/2009) você pode determinar a amplitude, a frequência e o período de um oscilador massa-mola.</p><p>Entre na redeEntre na rede</p><p>exercícios resolvidos</p><p>R. 111 O ponto material da figura tem massa m  0,2 kg e</p><p>está preso à mola de constante elástica k  0,8 s2 N/m.</p><p>Por meio de uma ação externa distende-se a mola</p><p>de 3 cm, abandonando-se o conjunto, que começa</p><p>a oscilar, efetuando um MHS na ausência de forças</p><p>dissipativas.</p><p>Solução:</p><p>a) O período do movimento não depende da am-</p><p>plitude, mas da massa m e da constante elástica</p><p>k. Calculando o período T para m  0,2 kg e</p><p>k  0,8 s2 N/m, obtemos:</p><p>b) Inicialmente, o conjunto bloco e mola está em</p><p>equilíbrio. Dis tendida a mola de 3 cm (cedendo</p><p>energia potencial ao sistema) e abandonando-se</p><p>em seguida o bloco, o conjunto vai oscilar. O bloco</p><p>oscila 3 cm de cada lado da posição de equi lí brio;</p><p>portanto, a amplitude é 3 cm.</p><p>c) O intervalo de tempo para o bloco abandonado</p><p>em P retornar a essa posição é igual ao período</p><p>de oscilação: T  1 s , pois corresponde ao</p><p>tempo de repetição do fenômeno.</p><p>Respostas: a) 1 s; b) 3 cm; c) 1 s</p><p>3 cm</p><p>O</p><p>O</p><p>O</p><p>3 cm3 cm</p><p>P</p><p>k</p><p>3 cm</p><p>m</p><p>P</p><p>Determine:</p><p>a) o período do movimento;</p><p>b) a amplitude de oscilação;</p><p>c) após quanto tempo, a contar do instante em que</p><p>abandonamos o bloco em P, ele retornará a essa</p><p>mesma posição.</p><p>Determine:</p><p>a) a constante elás-</p><p>tica da mola;</p><p>b) o período e a fre-</p><p>quência do MHS;</p><p>c) a amplitude do</p><p>MHS.</p><p>R. 112 Uma mola tem o comprimento de 8 cm quando</p><p>não solicitada (fig. I). Coloca-se em sua extre-</p><p>midade um corpo de massa igual a 0,1 kg e o</p><p>comprimento da mola passa a ser 12 cm (fig. II).</p><p>Por meio de uma ação externa puxa-se o corpo</p><p>até que o comprimento da mola atinja 14 cm</p><p>(fig. III), abandonando-se em seguida o conjunto,</p><p>que passa a efetuar um MHS. Despreze as forças</p><p>dissipativas e adote g  10 m/s2.</p><p>12</p><p>c</p><p>m</p><p>14</p><p>c</p><p>m</p><p>(II)</p><p>(III)</p><p>(I)</p><p>8</p><p>cm</p><p>T  2s dlll</p><p>m __</p><p>k</p><p>] T  2s dlllll</p><p>0,2</p><p>_____</p><p>0,8s2</p><p>]</p><p>] T  2s ___</p><p>2s</p><p>] T  1 s</p><p>a  3 cm</p><p>V2_P3_UN_F_CAP_16a.indd 383 02.09.09 09:14:05</p><p>384</p><p>U</p><p>n</p><p>id</p><p>a</p><p>d</p><p>e</p><p>F</p><p>•</p><p>O</p><p>n</p><p>d</p><p>a</p><p>s</p><p>384</p><p>R</p><p>ep</p><p>ro</p><p>d</p><p>uç</p><p>ão</p><p>p</p><p>ro</p><p>ib</p><p>id</p><p>a.</p><p>A</p><p>rt</p><p>.1</p><p>84</p><p>d</p><p>o</p><p>C</p><p>ód</p><p>ig</p><p>o</p><p>P</p><p>en</p><p>al</p><p>e</p><p>L</p><p>ei</p><p>9</p><p>.6</p><p>10</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>d</p><p>e</p><p>fe</p><p>ve</p><p>re</p><p>iro</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>98</p><p>.</p><p>c) Da figura II, posição de equilíbrio, à figura III,</p><p>posição em que o sistema é abandonado, a</p><p>mola foi dis ten dida 2 cm. Em relação à posição</p><p>de equilíbrio, o sistema oscilará 2 cm acima e</p><p>abaixo; logo, a am plitude é 2 cm.</p><p>a  2 cm</p><p>Respostas: a) 25 N/m; b) T 7 0,4 s e f 7 2,5 Hz;</p><p>c) 2 cm</p><p>] k  1 _____</p><p>0,04</p><p>] k  25 N/m</p><p>Fel.  P ] kx  mg ] k 3 0,04  1 ]</p><p>a) Da figura I à figura II, pela ação do peso P  mg</p><p>do corpo de massa m, a mola sofre a de for ma ção</p><p>x, dada por:</p><p>x  12 cm  8 cm ] x  4 cm</p><p>Na figura II, o corpo está em equilíbrio após a de-</p><p>formação da mola. No corpo atuam: seu peso</p><p>P  mg ] P  0,1 3 10 ] P  1 N</p><p>e a força elástica da mola, para cima, de inten-</p><p>sidade Fel.  kx, em que x  4 cm  0,04 m.</p><p>A força peso (P) e a força elástica da mola (Fel.)</p><p>se equilibram; logo:</p><p>b) O período do MHS, que independe da amplitude,</p><p>é dado por:</p><p>T  2s dlll</p><p>m __</p><p>k</p><p>] T  2s dllll</p><p>0,1</p><p>___</p><p>25</p><p>] T  2s ___</p><p>5</p><p>dlll 0,1 ]</p><p>] T 7 2s ___</p><p>5</p><p>3 0,32 ] T 7 0,4 s</p><p>f  1 __</p><p>T</p><p>7 1 ___</p><p>0,4</p><p>] f 7 2,5 Hz</p><p>(I)</p><p>8</p><p>cm</p><p>12</p><p>c</p><p>m</p><p>(II)</p><p>Fel.</p><p>P</p><p>x = 4 cm</p><p>12</p><p>c</p><p>m</p><p>14</p><p>c</p><p>m</p><p>2 cm</p><p>2 cm2 cm</p><p>exercícios propostos</p><p>P. 398 Determine o período, a frequência e a amplitude</p><p>dos MHS indicados a seguir. A posição de equilí-</p><p>brio corresponde ao ponto O, sendo indicados os</p><p>extremos da oscilação. Não há forças dissipativas</p><p>(constante da mola: k  0,4 s2 N/m).</p><p>P. 399 Uma mola tem constante elástica igual a 4 N/m e</p><p>comprimento 0,80 m quando não solicitada (fig. I).</p><p>Coloca-se, em sua extremidade, um corpo de massa</p><p>m  0,10 kg (fig. II).</p><p>a) Determine a posição de equilíbrio da mola,</p><p>medida em relação ao teto.</p><p>b) Puxa-se o corpo 15 cm da posição de equilíbrio,</p><p>abandonando-o a seguir, no instante t  0</p><p>(fig. III). Após quanto tempo o corpo retorna</p><p>a essa posição? Qual é a amplitude de seu</p><p>movimento? Qual é o comprimento mínimo</p><p>apresentado pela mola nesse movimento? Adote</p><p>g  10 m/s2 e despreze as forças dissipativas.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>4 cmO</p><p>k = 1,2 N/m</p><p>m = 0,3 kg</p><p>15</p><p>c</p><p>m</p><p>(II)</p><p>(III)</p><p>(I)</p><p>0,80 m</p><p>t = 0</p><p>10 cm</p><p>m = 0,1 kg</p><p>O</p><p>Solução:</p><p>V2_P3_UN_F_CAP_16a.indd 384 02.09.09 09:14:05</p><p>385</p><p>C</p><p>a</p><p>p</p><p>ít</p><p>u</p><p>lo</p><p>1</p><p>6</p><p>•</p><p>M</p><p>o</p><p>vi</p><p>m</p><p>e</p><p>n</p><p>to</p><p>h</p><p>a</p><p>rm</p><p>ô</p><p>n</p><p>ic</p><p>o</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>(M</p><p>H</p><p>S</p><p>)</p><p>385</p><p>R</p><p>ep</p><p>ro</p><p>d</p><p>uç</p><p>ão</p><p>p</p><p>ro</p><p>ib</p><p>id</p><p>a.</p><p>A</p><p>rt</p><p>.1</p><p>84</p><p>d</p><p>o</p><p>C</p><p>ód</p><p>ig</p><p>o</p><p>P</p><p>en</p><p>al</p><p>e</p><p>L</p><p>ei</p><p>9</p><p>.6</p><p>10</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>d</p><p>e</p><p>fe</p><p>ve</p><p>re</p><p>iro</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>98</p><p>.</p><p>Energia no MHS</p><p>A energia mecânica pode ser dividida em duas partes: a energia cinética Ec (associada à</p><p>ve lo cidade do ponto material), e a energia potencial Ep (do tipo elástica, associada à posição</p><p>x do ponto material), dadas por:</p><p>A soma dessas energias é a energia mecânica Emec.:</p><p>No MHS as energias cinética e potencial variam, pois variam a velocidade v e a posição x do</p><p>ponto material. Entretanto, a energia mecânica permanece constante, uma vez que supomos</p><p>inexistentes as forças dissipativas ao analisarmos o MHS.</p><p>Na figura 5 reconsideramos o oscilador harmônico a partir da posição de máxima abs-</p><p>cissa (amplitude). Nas figuras 5A e 5E a energia total se reduz à energia potencial elástica</p><p>Ep </p><p>kx2</p><p>____</p><p>2</p><p>, em que x  ! a (sendo a a amplitude).</p><p>Assim, para essas posições: Emec.  Ep </p><p>kx2</p><p>____</p><p>2</p><p>em que x  !a. Portanto: Emec. </p><p>ka2</p><p>____</p><p>2</p><p>Essa fórmula permite determinar a amplitude do MHS por meio da energia:</p><p>Ec </p><p>mv2</p><p>____</p><p>2</p><p>Ep </p><p>kx2</p><p>____</p><p>2</p><p>Emec.  Ec  Ep</p><p>A amplitude do MHS depende da energia mecânica total cedida ao sistema.</p><p>Figura 5. Energia no MHS.</p><p>v = 0</p><p>O x = a</p><p>v</p><p>O x</p><p>O</p><p>x = 0</p><p>vmáx.</p><p>Ox'</p><p>v'</p><p>v = 0</p><p>vmáx.</p><p>O (x = 0)</p><p>v = 0</p><p>O x = a</p><p>x = –a O</p><p>Emec. = Ep = ——ka2</p><p>2</p><p>Emec. = Ep + Ec = —— + ——kx2</p><p>2</p><p>mv2</p><p>2</p><p>Emec. = Ec = ——–—mv 2</p><p>máx.</p><p>2</p><p>Emec. = Ep = ——ka2</p><p>2</p><p>Emec. = Ec + Ep = ——–– + ——–k (x' ) 2</p><p>2</p><p>mv'2</p><p>2</p><p>Emec. = Ec = ——–—</p><p>Emec. = Ep = ——ka2</p><p>2</p><p>mv 2</p><p>máx.</p><p>2</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>V2_P3_UN_F_CAP_16a.indd 385 02.09.09 09:14:06</p><p>386</p><p>U</p><p>n</p><p>id</p><p>a</p><p>d</p><p>e</p><p>F</p><p>•</p><p>O</p><p>n</p><p>d</p><p>a</p><p>s</p><p>386</p><p>R</p><p>ep</p><p>ro</p><p>d</p><p>uç</p><p>ão</p><p>p</p><p>ro</p><p>ib</p><p>id</p><p>a.</p><p>A</p><p>rt</p><p>.1</p><p>84</p><p>d</p><p>o</p><p>C</p><p>ód</p><p>ig</p><p>o</p><p>P</p><p>en</p><p>al</p><p>e</p><p>L</p><p>ei</p><p>9</p><p>.6</p><p>10</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>d</p><p>e</p><p>fe</p><p>ve</p><p>re</p><p>iro</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>98</p><p>.</p><p>Desse modo, com a mola distendida de x  a (fig. 5A), a energia potencial elástica equivale</p><p>à energia mecânica total cedida ao sistema, a qual define a amplitude do MHS. Durante o mo-</p><p>vimento, a energia potencial se transforma em cinética e vice-versa, mas a energia mecânica</p><p>total permanece constante, pois não estamos considerando as forças dissipativas. Observe</p><p>também que, se a mola tivesse sido mais (ou menos) distendida, teríamos cedido mais (ou</p><p>menos) energia ao sistema, alterando assim a amplitude de oscilação. No entanto, qualquer</p><p>que fosse a deformação inicial da mola, o período de oscilação já estaria definido, pois este</p><p>não depende da amplitude @ T  2s dll</p><p>m</p><p>__</p><p>k</p><p># .</p><p>Em resumo, temos:</p><p>No endereço eletrônico http://br.geocities.com/saladefisica3/laboratorio/oscilador2/oscilador2.htm</p><p>(acesso em agosto/2009) você pode determinar as energias mecânica, cinética e potencial elástica de um oscilador</p><p>massa-mola.</p><p>Entre na redeEntre na rede</p><p>Ao passar pela posição de equilíbrio O, a velocidade tem módulo máximo:</p><p>Emec.  Ep  Ec ]</p><p>ka2</p><p>____</p><p>2</p><p></p><p>m v máx.</p><p>2</p><p>______</p><p>2</p><p>] vmáx.  a dll</p><p>k</p><p>__</p><p>m</p><p>0</p><p>O gráfico da energia potencial Ep em função</p><p>da abscissa x é um arco de parábola com</p><p>a concavidade voltada para cima. Para x  0, Ep  0; para x  !a, Ep </p><p>ka2</p><p>____</p><p>2</p><p>(fig. 6A).</p><p>A representação gráfica da energia cinética Ec em função de x é também um arco de parábola,</p><p>porém com a concavidade voltada para baixo, mostrando que a soma das energias potencial</p><p>e cinética permanece constante. Para x  !a, Ec  0, e para x  0, Ec </p><p>m v máx.</p><p>2</p><p>______</p><p>2</p><p></p><p>ka2</p><p>____</p><p>2</p><p>(fig. 6B).</p><p>A energia mecânica Emec.  Ep  Ec é constante: Emec. </p><p>ka2</p><p>____</p><p>2</p><p>(fig. 6C).</p><p>0–a +a x</p><p>Ep</p><p>ka2</p><p>2</p><p>–––</p><p>0–a +a x</p><p>Ec</p><p>ka2</p><p>2</p><p>–––</p><p>0–a +a x</p><p>Em</p><p>ka2</p><p>2</p><p>–––</p><p>A B C</p><p>Figura 6.</p><p>exercício resolvido</p><p>xO AA’</p><p>x = –a</p><p>Ec = 0</p><p>Ep =</p><p>ka2</p><p>2</p><p>Emec. =</p><p>ka2</p><p>2</p><p>x = 0</p><p>Ep = 0</p><p>Emec. =</p><p>ka2</p><p>2</p><p>Ec =</p><p>mv2</p><p>máx.</p><p>2</p><p>x = +a</p><p>Ec = 0</p><p>Ep =</p><p>ka2</p><p>2</p><p>Emec. =</p><p>ka2</p><p>2</p><p>Conteúdo digital Moderna PLUS http://www.modernaplus.com.br</p><p>A Física em nosso Mundo: Oscilações amortecidas e forçadas</p><p>exercícios propostos</p><p>V2_P3_UN_F_CAP_16a.indd 386 02.09.09 09:14:07</p><p>387</p><p>C</p><p>a</p><p>p</p><p>ít</p><p>u</p><p>lo</p><p>1</p><p>6</p><p>•</p><p>M</p><p>o</p><p>vi</p><p>m</p><p>e</p><p>n</p><p>to</p><p>h</p><p>a</p><p>rm</p><p>ô</p><p>n</p><p>ic</p><p>o</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>(M</p><p>H</p><p>S</p><p>)</p><p>387</p><p>R. 113 Um ponto material de massa m  0,1 kg oscila em</p><p>torno da posição O, realizando um MHS, na ausên-</p><p>cia de forças dissipativas. A energia total mecânica</p><p>do sistema é 0,2 J. Determine:</p><p>a) a amplitude da oscilação;</p><p>b) o módulo da velocidade máxima do ponto ma-</p><p>terial;</p><p>c) o período de oscilação.</p><p>A constante elástica da mola é k  40 N/m.</p><p>Solução:</p><p>a) A amplitude depende da energia mecânica do</p><p>sistema. Nos extremos da oscilação a energia</p><p>mecânica é igual à energia potencial @ Ep  kx2</p><p>____</p><p>2</p><p># ,</p><p>em que a abscissa x tem módulo igual à ampli-</p><p>tude. Assim:</p><p>Emec.  ka2</p><p>____</p><p>2</p><p>Sendo Emec.  0,2 J e k  40 N/m, obtemos:</p><p>0,2  40a2</p><p>_____</p><p>2</p><p>] a2  0,01 ] a  0,1 m</p><p>exercício resolvido</p><p>c) O período independe da amplitude e da energia e</p><p>é dado por:</p><p>Respostas: a) 0,1 m; b) 2 m/s; c) T 7 0,3 s</p><p>] T  s ___</p><p>10</p><p>] T 7 0,3 s</p><p>T  2s dlll</p><p>m __</p><p>k</p><p>] T  2s dllll</p><p>0,1</p><p>___</p><p>40</p><p>] T  2s ___</p><p>20</p><p>]</p><p>b) Durante a oscilação, a velocidade varia em mó-</p><p>dulo e sentido. Nos extremos (figs. I, III e V) ela</p><p>é nula, au mentando em módulo à medida que</p><p>se aproxima da posição central. Nessa posição</p><p>k</p><p>O</p><p>v = 0</p><p>m</p><p>v = 0</p><p>v = 0</p><p>x = –a x = +a x</p><p>v = 0</p><p>m</p><p>k</p><p>v</p><p>O</p><p>v</p><p>v = 0</p><p>(I)</p><p>O</p><p>v = 0</p><p>(II)</p><p>(III)</p><p>(IV)</p><p>(V)</p><p>v = 0</p><p>O</p><p>O</p><p>O</p><p>x = +a</p><p>x = –a</p><p>x = +a</p><p>P. 400 Um ponto material de massa m  0,2 kg oscila em</p><p>torno de uma posição de equilíbrio (posição O),</p><p>com MHS. O módulo da máxima velocidade atin-</p><p>gida é 1 m/s.</p><p>P. 401 Uma partícula oscila em torno de um ponto O, num</p><p>plano horizontal, realizando um MHS. O gráfico re-</p><p>presenta a energia potencial acumulada na mola</p><p>em função da abscissa x.</p><p>Sendo a constante elástica da mola k  5 N/m,</p><p>determine:</p><p>a) a energia mecânica do sistema;</p><p>b) a amplitude do MHS;</p><p>c) o período do movimento.</p><p>exercícios propostos</p><p>O</p><p>O</p><p>O–0,2 0,2 x (m)</p><p>10</p><p>Ep ( J)</p><p>Determine:</p><p>a) a amplitude do MHS;</p><p>b) a constante elástica da mola;</p><p>c) a energia potencial e a energia cinética quando</p><p>x  0,1 m.</p><p>Emec.  Ec </p><p>m v máx.</p><p>2</p><p>______</p><p>2</p><p>] 0,2 </p><p>0,1 v</p><p>máx.</p><p>2</p><p>________</p><p>2</p><p>]</p><p>] vmáx.  2 m/s</p><p>(figs. II e IV) a energia potencial é nula e o sis-</p><p>tema só possui energia cinética: a velocidade</p><p>é máxima em módulo. Na posição central a</p><p>energia total é igual à energia cinética.</p><p>V2_P3_UN_F_CAP_16a.indd 387 02.09.09 09:14:08</p><p>388</p><p>U</p><p>n</p><p>id</p><p>a</p><p>d</p><p>e</p><p>F</p><p>•</p><p>O</p><p>n</p><p>d</p><p>a</p><p>s</p><p>388</p><p>R</p><p>ep</p><p>ro</p><p>d</p><p>uç</p><p>ão</p><p>p</p><p>ro</p><p>ib</p><p>id</p><p>a.</p><p>A</p><p>rt</p><p>.1</p><p>84</p><p>d</p><p>o</p><p>C</p><p>ód</p><p>ig</p><p>o</p><p>P</p><p>en</p><p>al</p><p>e</p><p>L</p><p>ei</p><p>9</p><p>.6</p><p>10</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>d</p><p>e</p><p>fe</p><p>ve</p><p>re</p><p>iro</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>98</p><p>.</p><p>Objetivos</p><p>Relacionar</p><p>o MHS e o MCU.</p><p>Definir as funções</p><p>cinemáticas</p><p>(função horária,</p><p>função da velocidade,</p><p>função da aceleração)</p><p>no MHS a partir da sua</p><p>relação com o MCU.</p><p>Analisar os</p><p>gráficos das funções</p><p>cinemáticas do MHS.</p><p>Compreender o que é</p><p>fase inicial no MHS.</p><p>Termos e conceitos</p><p>• pulsação</p><p>• elongação</p><p>• fase inicial</p><p>Seção 16.3</p><p>1 O MHS e o movimento circular uniforme</p><p>O MHS e o movimento circular uniforme (MCU) estão relacionados,</p><p>de modo que um pode ser estudado por meio do outro. Esse estudo</p><p>possibilita-nos chegar às equações cinemáticas do MHS.</p><p>Assim, seja o ponto P em MCU na circunferência de raio R. Os espaços s</p><p>são me didos na própria circunferência (fig. 7) e os espaços angulares A são</p><p>os ângulos centrais que de ter minam os arcos s. O ponto descreve a circun-</p><p>ferência com velocidade escalar v e velocidade angular h; a aceleração</p><p>centrípeta acp é orientada para o centro. Se os ângulos A estão em radia-</p><p>nos (reveja Volume 1, Capítulo 10), temos:</p><p>s  AR v  hR acp </p><p>v2</p><p>__</p><p>R</p><p> h2R</p><p>Considere que, no instante inicial t  0, o espaço inicial seja s0 (e A0, o</p><p>espaço angular inicial), conforme a figura 8. A função horária do MCU é:</p><p>s  s0  vt ou A  A0  ht (na forma angular)</p><p>Funções horárias e gráficos do MHS</p><p>x</p><p>ϕ</p><p>s</p><p>+</p><p>P</p><p>acp</p><p>ω</p><p>O</p><p>R</p><p>v</p><p>Figura 7.</p><p>ϕ0</p><p>s0</p><p>P0 (t = 0)</p><p>ω</p><p>O</p><p>P (t )</p><p>ϕ</p><p>x</p><p>Figura 8.</p><p>No endereço eletrônico http://www.phy.ntnu.edu.tw/oldjava/portuguese/</p><p>mecanica/shm/shm.html (acesso em agosto/2009) você encontra animações que</p><p>ilustram a relação entre o MHS e o MCU.</p><p>Entre na redeEntre na rede</p><p>Quando observamos</p><p>frontalmente uma pessoa</p><p>na bicicleta ergométrica,</p><p>vemos que seus pés</p><p>parecem apenas subir</p><p>e descer, fato que nos</p><p>leva a perceber a relação</p><p>entre o MCU e o MHS.</p><p>V2_P3_UN_F_CAP_16a.indd 388 02.09.09 09:14:10</p><p>389</p><p>C</p><p>a</p><p>p</p><p>ít</p><p>u</p><p>lo</p><p>1</p><p>6</p><p>•</p><p>M</p><p>o</p><p>vi</p><p>m</p><p>e</p><p>n</p><p>to</p><p>h</p><p>a</p><p>rm</p><p>ô</p><p>n</p><p>ic</p><p>o</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>(M</p><p>H</p><p>S</p><p>)</p><p>389</p><p>R</p><p>ep</p><p>ro</p><p>d</p><p>uç</p><p>ão</p><p>p</p><p>ro</p><p>ib</p><p>id</p><p>a.</p><p>A</p><p>rt</p><p>.1</p><p>84</p><p>d</p><p>o</p><p>C</p><p>ód</p><p>ig</p><p>o</p><p>P</p><p>en</p><p>al</p><p>e</p><p>L</p><p>ei</p><p>9</p><p>.6</p><p>10</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>d</p><p>e</p><p>fe</p><p>ve</p><p>re</p><p>iro</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>98</p><p>.</p><p>2 Função horária do MHS</p><p>Seja, agora, o ponto Q projeção ortogonal de P</p><p>no eixo orientado Ox (fig. 9). Enquanto o ponto P</p><p>descreve a circunferência em MCU, o ponto Q se</p><p>move num e noutro sentido no diâ me tro horizon-</p><p>tal orien tado Ox. A posição de Q no eixo Ox é dada</p><p>pela abscissa x, que pode ser obtida no triân gulo</p><p>destacado OPQ pela de finição do cosseno:</p><p>x  R 3 cos A</p><p>A abscissa x, que define a posição do ponto Q, é chamada elongação.</p><p>Enquanto P descreve um MCU, o ponto Q oscila no diâmetro com um movimento não uni-</p><p>for me, cuja função horária é cossenoidal. Movimentos com fun ção horária idêntica à anterior</p><p>são movimentos harmônicos simples, como iremos demonstrar no item 4, ao analisarmos a</p><p>ace le ra ção e o tipo de força que gera o movimento.</p><p>Assim, P descreve a circunferência com MCU e Q oscila em torno de O com MHS. A velo-</p><p>cidade angular h do MCU é, no MHS, denominada pulsação ou frequência angular e ex pres sa</p><p>em radianos por segundo (rad/s). O período T do MCU é o mesmo do MHS, pois a cada volta</p><p>completa de P na circunferência corresponde uma oscilação completa de Q no diâmetro ho-</p><p>rizontal. Po de mos, então, escrever:</p><p>h </p><p>2s</p><p>___</p><p>T</p><p>ou T </p><p>2s</p><p>___</p><p>h</p><p>3 Função da velocidade escalar do MHS</p><p>A velocidade de Q em MHS pode ser obtida a</p><p>partir da velocidade de P em MCU (fig. 10). No tri-</p><p>ângulo destacado ABP da figura 10, a velocidade v</p><p>de Q é a projeção da velocidade do ponto P (vP) no</p><p>eixo Ox. Como o sentido dessa velocidade é con-</p><p>trário ao sentido positivo de Ox, acrescentamos o</p><p>sinal menos ():</p><p>v  vP 3 sen A</p><p>v  ha 3 sen (A0  ht) ] v  ha 3 sen (ht  A0) </p><p>Figura 9.</p><p>ϕ</p><p>ω</p><p>O</p><p>P</p><p>x</p><p>Q</p><p>R = a</p><p>R</p><p>x</p><p>x  a 3 cos A  a 3 cos (A0  ht) ] x  a 3 cos (ht  A0) </p><p>Figura 10.</p><p>x</p><p>ϕ</p><p>O</p><p>P</p><p>v Q</p><p>vp = ωR</p><p>x</p><p>ϕ</p><p>vB</p><p>A</p><p>Sendo R  a, isto é, o raio da circunferência igual à amplitude a, temos: x  a 3 cos A.</p><p>O ângulo A é o espaço angular do ponto P que rea liza MCU.</p><p>Sendo A  A0  ht, resulta:</p><p>Como vP  hR ou vP  ha e A  A0  ht, obtemos:</p><p>V2_P3_UN_F_CAP_16a.indd 389 02.09.09 09:14:11</p><p>390</p><p>U</p><p>n</p><p>id</p><p>a</p><p>d</p><p>e</p><p>F</p><p>•</p><p>O</p><p>n</p><p>d</p><p>a</p><p>s</p><p>390</p><p>R</p><p>ep</p><p>ro</p><p>d</p><p>uç</p><p>ão</p><p>p</p><p>ro</p><p>ib</p><p>id</p><p>a.</p><p>A</p><p>rt</p><p>.1</p><p>84</p><p>d</p><p>o</p><p>C</p><p>ód</p><p>ig</p><p>o</p><p>P</p><p>en</p><p>al</p><p>e</p><p>L</p><p>ei</p><p>9</p><p>.6</p><p>10</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>d</p><p>e</p><p>fe</p><p>ve</p><p>re</p><p>iro</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>98</p><p>.</p><p>4 Função da aceleração escalar do MHS</p><p>A aceleração de Q em MHS pode ser obtida a partir da</p><p>aceleração centrípeta de P em MCU (fig. 12). No triângulo des-</p><p>tacado da figura 12, a aceleração a de Q é a projeção de acp</p><p>no eixo Ox. Como o sentido dessa aceleração é contrário ao</p><p>sentido positivo de Ox, acrescentamos o sinal menos ():</p><p>a  acp 3 cos A</p><p>Como acp  h2R ou acp  h2a e A  A0  ht, obtemos:</p><p>A fórmula , x  a 3 cos (ht  A0), substituída em  nos conduz a: a  h2x </p><p>Como a velocidade angular h é constante, podemos afirmar:</p><p>A aceleração no MHS é proporcional à abscissa que define a</p><p>posição e tem sinal contrário ao desta abscissa.</p><p>Sendo assim, quando x é positivo, a é negativo (ponto Q na figura 12) e, quando xe é negativo,</p><p>ae é positivo (ponto Qe na figura 12).</p><p>Na posição de equilíbrio, temos:</p><p>• x  0 e a  0</p><p>Nos pontos de inversão do movimento:</p><p>Nesses dois pontos a aceleração assume módulo máximo, ou seja: OaOmáx.  h2a</p><p>Figura 12.</p><p>xO</p><p>acp = ω2R acp</p><p>Q' Qα'</p><p>ϕ</p><p>α</p><p>xx'</p><p>PP'</p><p>A B</p><p>xO</p><p>P</p><p>v</p><p>ϕ = — radπ</p><p>2</p><p>vp</p><p>O</p><p>P</p><p>v</p><p>vp</p><p>ϕ = –— rad3π</p><p>2</p><p>x</p><p>Quando o ponto Q passa pela posição de equilíbrio</p><p>O, podemos ter:</p><p>• A </p><p>s</p><p>__</p><p>2</p><p>rad (fig. 11A); como @ sen</p><p>s</p><p>__</p><p>2</p><p> 1 # , vem: v  ha</p><p>• A </p><p>3s</p><p>___</p><p>2</p><p>rad (fig. 11B); como @ sen</p><p>3s</p><p>___</p><p>2</p><p> 1 # , vem: v  ha</p><p>Portanto, em O, a velocidade escalar assume os valores:</p><p>Na posição O, o módulo da velocidade é máximo:</p><p>OvOmáx.  ha</p><p>v  ! ha</p><p>A</p><p>Figura 11.</p><p>B</p><p>a  h2a 3 cos (A0  ht) ] a  h2a 3 cos (ht  A0) </p><p>• x  a e a  h2a (valor mínimo)</p><p>• x  a e a  h2a (valor máximo)</p><p>V2_P3_UN_F_CAP_16a.indd 390 02.09.09 09:14:12</p><p>391</p><p>C</p><p>a</p><p>p</p><p>ít</p><p>u</p><p>lo</p><p>1</p><p>6</p><p>•</p><p>M</p><p>o</p><p>vi</p><p>m</p><p>e</p><p>n</p><p>to</p><p>h</p><p>a</p><p>rm</p><p>ô</p><p>n</p><p>ic</p><p>o</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>(M</p><p>H</p><p>S</p><p>)</p><p>391</p><p>R</p><p>ep</p><p>ro</p><p>d</p><p>uç</p><p>ão</p><p>p</p><p>ro</p><p>ib</p><p>id</p><p>a.</p><p>A</p><p>rt</p><p>.1</p><p>84</p><p>d</p><p>o</p><p>C</p><p>ód</p><p>ig</p><p>o</p><p>P</p><p>en</p><p>al</p><p>e</p><p>L</p><p>ei</p><p>9</p><p>.6</p><p>10</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>d</p><p>e</p><p>fe</p><p>ve</p><p>re</p><p>iro</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>98</p><p>.</p><p>Analisemos, agora, a força que causa essa aceleração. Da equação fundamental da Di nâ mica</p><p>podemos obter o valor algébrico da força resultante:</p><p>F  ma e, sendo a  h2x, vem: F  mh2x</p><p>No entanto, sendo m (massa) e h (pulsação) constantes, resulta mh2  k  constante.</p><p>Portanto:</p><p>Esse resultado significa que a força atuante em Q é do</p><p>tipo elástica restauradora, isto é, está sempre agindo no</p><p>sentido de reconduzir o ponto para a posição de equilíbrio:</p><p>quando x é positivo, F tem sentido oposto ao eixo Ox e vice-</p><p>-versa (fig. 13), e tem intensidade proporcional à abscissa x</p><p>do ponto Q em relação à posição de equilíbrio O. Assim</p><p>sendo, Q executa um MHS, pois está submetido a uma força</p><p>característica do MHS.</p><p>Desse modo, podemos concluir que as fórmulas ante-</p><p>riores ,  e  são as funções ci ne má ticas do espaço,</p><p>da velocidade e da aceleração do MHS.</p><p>De k  mh2, temos:</p><p>k  m 3 @ 2s</p><p>___</p><p>T</p><p># 2 ] @ 2s</p><p>___</p><p>T</p><p># 2 </p><p>k</p><p>__</p><p>m</p><p>] T  2s dll</p><p>m</p><p>__</p><p>k</p><p>5 Gráficos cinemáticos do MHS</p><p>Vimos que as funções cinemáticas do MHS são:</p><p>• Espaço (elongação): x  a 3 cos (ht  A0)</p><p>• Velocidade: v  ha 3 sen (ht  A0)</p><p>• Aceleração: a  h2a 3 cos (ht  A0)</p><p>O ângulo A0 é denominado fase inicial e depende das condições iniciais do movimento. No</p><p>MCU, esse ângulo corresponde ao espaço angular inicial.</p><p>As funções x  f (t), v  f (t) e a  f (t) são funções senoidais e cossenoidais, isto é, seus</p><p>gráficos são os das funções seno e cosseno, estudados em Trigono metria, indicados na</p><p>figura 14 para o caso particular em que A0  0.</p><p>F  kx </p><p>Figura 13.</p><p>xO F</p><p>P</p><p>xOF'</p><p>P'</p><p>Figura 14.</p><p>t</p><p>α</p><p>+a</p><p>–a</p><p>t</p><p>t</p><p>0,5 T 1,5 T</p><p>v</p><p>x</p><p>+ωa</p><p>–ωa</p><p>0,5 T 1,5 T</p><p>T</p><p>0,5 T</p><p>–ω2a</p><p>+ω2a</p><p>1,5 T</p><p>T</p><p>T</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>V2_P3_UN_F_CAP_16a.indd 391 02.09.09 09:14:13</p><p>392</p><p>U</p><p>n</p><p>id</p><p>a</p><p>d</p><p>e</p><p>F</p><p>•</p><p>O</p><p>n</p><p>d</p><p>a</p><p>s</p><p>392</p><p>R</p><p>ep</p><p>ro</p><p>d</p><p>uç</p><p>ão</p><p>p</p><p>ro</p><p>ib</p><p>id</p><p>a.</p><p>A</p><p>rt</p><p>.1</p><p>84</p><p>d</p><p>o</p><p>C</p><p>ód</p><p>ig</p><p>o</p><p>P</p><p>en</p><p>al</p><p>e</p><p>L</p><p>ei</p><p>9</p><p>.6</p><p>10</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>d</p><p>e</p><p>fe</p><p>ve</p><p>re</p><p>iro</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>98</p><p>.</p><p>6 Fase inicial nas funções horárias</p><p>Na função horária x  a 3 cos (ht  A0), o ângulo A0, denominado fase inicial, depende das</p><p>condições iniciais do movimento, isto é, de pen de da posição e do sentido do movimento no</p><p>instante t  0.</p><p>Um método simples para a determinação de A0, válido para casos elementares, consiste em</p><p>as sociar ao MHS um MCU em sentido anti-horário. No instante t  0, a fase inicial do MHS</p><p>corresponde ao espaço inicial angular do MCU, medido a partir do eixo Ox e orientado no</p><p>sentido anti-horário.</p><p>Nas figuras 15 e 16 indicamos alguns casos de determinação de A0.</p><p>Uma vez determinado A0, seu valor é o mesmo nas funções da posição x, velocidade v e</p><p>aceleração a. Graficamente essas funções são representadas por cossenoides ou senoides.</p><p>exercícios resolvidos</p><p>Figura 15. Enquanto o bloco descreve um MHS no eixo horizontal Ox, o ponto P descreve um MCU. Cada figura</p><p>corresponde a um particular instante t 5 0, determinando, portanto, um A0.</p><p>ϕ0 = 0 MCU</p><p>P</p><p>O t = 0</p><p>x</p><p>no MCU, ϕ0 = 0</p><p>no MCU, ϕ0 = —π</p><p>2</p><p>xO</p><p>ϕ0 = —π</p><p>2 P MCU</p><p>t = 0</p><p>no MCU, ϕ0 = π</p><p>xO</p><p>MCU</p><p>t = 0</p><p>ϕ0 = π</p><p>P</p><p>no MCU, ϕ0 = –—3π</p><p>2</p><p>xO</p><p>MCU</p><p>t = 0</p><p>ϕ0 = –—3π</p><p>2</p><p>P</p><p>I — Eixo orientado para baixo</p><p>II — Eixo orientado para cima</p><p>O</p><p>P</p><p>x</p><p>—–3π</p><p>2</p><p>ϕ0 =ϕ0 = π</p><p>O</p><p>P</p><p>π</p><p>x</p><p>O P</p><p>x</p><p>π</p><p>2</p><p>—</p><p>ϕ0 = —π2</p><p>O</p><p>P</p><p>t = 0</p><p>t = 0 t = 0</p><p>t = 0</p><p>ϕ0 = 0</p><p>x</p><p>O</p><p>MCU</p><p>P</p><p>ϕ0</p><p>= π</p><p>x</p><p>π</p><p>MCU</p><p>O</p><p>MCU</p><p>P</p><p>x</p><p>ϕ0 = –—3π</p><p>2</p><p>ϕ0 = 0</p><p>O</p><p>MCU P</p><p>x</p><p>O</p><p>MCU</p><p>P</p><p>x</p><p>ϕ0 = —π2</p><p>π</p><p>2</p><p>—</p><p>—–3π</p><p>2</p><p>—–3π</p><p>2</p><p>t = 0 t = 0</p><p>MCUMCU MCU</p><p>t = 0 t = 0</p><p>Figura 16. O bloco efetua um MHS vertical e o ponto P, imaginário, efetua o MCU contado no sentido</p><p>anti-horário a partir do eixo Ox.</p><p>No endereço eletrônico http://www.walter-fendt.de/ph14br/springpendulum_br.htm (acesso em</p><p>agosto/2009) você pode analisar a oscilação de um pêndulo de mola, acompanhando a variação da elongação, da</p><p>velocidade, da aceleração, da força e da energia em função do tempo.</p><p>Entre na redeEntre na rede</p><p>A C</p><p>B D</p><p>V2_P3_UN_F_CAP_16a.indd 392 02.09.09 09:14:14</p><p>393</p><p>C</p><p>a</p><p>p</p><p>ít</p><p>u</p><p>lo</p><p>1</p><p>6</p><p>•</p><p>M</p><p>o</p><p>vi</p><p>m</p><p>e</p><p>n</p><p>to</p><p>h</p><p>a</p><p>rm</p><p>ô</p><p>n</p><p>ic</p><p>o</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>(M</p><p>H</p><p>S</p><p>)</p><p>393</p><p>R</p><p>ep</p><p>ro</p><p>d</p><p>uç</p><p>ão</p><p>p</p><p>ro</p><p>ib</p><p>id</p><p>a.</p><p>A</p><p>rt</p><p>.1</p><p>84</p><p>d</p><p>o</p><p>C</p><p>ód</p><p>ig</p><p>o</p><p>P</p><p>en</p><p>al</p><p>e</p><p>L</p><p>ei</p><p>9</p><p>.6</p><p>10</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>d</p><p>e</p><p>fe</p><p>ve</p><p>re</p><p>iro</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>98</p><p>.</p><p>exercícios resolvidos</p><p>R. 114 Um ponto material de massa m  0,04 kg oscila em torno da posição O de equilíbrio, com MHS.</p><p>A energia mecânica do sistema é 32 3 104 J.</p><p>Despreze as ações dissipativas e determine:</p><p>a) o período da oscilação;</p><p>b) a pulsação, em radianos por segundo;</p><p>c) a amplitude da oscilação;</p><p>d) a função horária da posição, a da velocidade e a da aceleração,</p><p>ado tando-se o eixo Ox orientado para a di rei ta e instante inicial</p><p>t  0 quando o móvel está na posição extrema Q, indicada na</p><p>figura;</p><p>e) o gráfico da posição x em função do tempo t, a partir de t  0 até</p><p>t  2T, sendo T o período (dado: constante elástica k  0,16 N/m).</p><p>h  2s ___</p><p>T</p><p>] h  2s ___</p><p>s</p><p>] h  2 rad/s</p><p>c) A amplitude depende da energia mecânica total:</p><p>Emec.  ka2</p><p>____</p><p>2</p><p>] 32 3 104 </p><p>0,16a2</p><p>______</p><p>2</p><p>] a  0,2 m</p><p>Nessas equações, a  0,2 m e h  2 rad/s.</p><p>A fase inicial é determinada com auxílio de um MCU associado ao MHS, cujo ponto P gira no</p><p>sentido anti-horário, com espaços angulares medidos a partir do eixo Ox.</p><p>x  0,2 3 cos (2t  s)</p><p>v  0,4 3 sen (2t  s)</p><p>a  0,8 3 cos (2t  s)</p><p>Solução:</p><p>a) O período de oscilação independe da amplitude, sendo:</p><p>T  2s dlll</p><p>m __</p><p>k</p><p>] T  2s dlllll</p><p>0,04</p><p>_____</p><p>0,16</p><p>] T  s ] T 7 3,14 s</p><p>e) O gráfico da função x  f(t), desde t  0 até t  2T, é</p><p>indicado ao lado (função cossenoidal).</p><p>Respostas: a) 7 3,14 s; b) 2 rad/s; c) 0,2 m; d) x(t)  0,2 3 cos (2t  s), v(t)  0,4 3 sen (2t  s),</p><p>a(t)  0,8 3 cos (2t  s); e) gráfico acima</p><p>O</p><p>Q</p><p>(t = 0)</p><p>x</p><p>t (s)0,5T</p><p>0,2</p><p>1,5T</p><p>x (m)</p><p>T</p><p>– 0,2</p><p>2T0</p><p>R. 115 Um ponto material realiza um MHS sobre um eixo Ox, sendo sua função horária dada por:</p><p>x  0,2 3 cos @ st  3s ___</p><p>2</p><p>#</p><p>para x em metros e t</p><p>em segundos. Determine:</p><p>a) a amplitude, a pulsação, a fase inicial e o período do movimento;</p><p>b) a função da velocidade escalar.</p><p>b) A pulsação h relaciona-se com o período pela expressão:</p><p>d) As funções horárias da posição x, velocidade v e aceleração a têm o seguinte aspecto:</p><p>O</p><p>MCU</p><p>P</p><p>t = 0</p><p>ϕ0 = π</p><p>x–a +a</p><p>x  a 3 cos (ht  A0)</p><p>v  ha 3 sen (ht  A0)</p><p>a  h2a 3 cos (ht  A0)</p><p>O exercício adota t  0 para a posição extrema à esquer-</p><p>da; logo, do MCU temos:</p><p>A0  s rad</p><p>As funções ficam:</p><p>V2_P3_UN_F_CAP_16a.indd 393 02.09.09 09:14:15</p><p>394</p><p>U</p><p>n</p><p>id</p><p>a</p><p>d</p><p>e</p><p>F</p><p>•</p><p>O</p><p>n</p><p>d</p><p>a</p><p>s</p><p>394</p><p>R</p><p>ep</p><p>ro</p><p>d</p><p>uç</p><p>ão</p><p>p</p><p>ro</p><p>ib</p><p>id</p><p>a.</p><p>A</p><p>rt</p><p>.1</p><p>84</p><p>d</p><p>o</p><p>C</p><p>ód</p><p>ig</p><p>o</p><p>P</p><p>en</p><p>al</p><p>e</p><p>L</p><p>ei</p><p>9</p><p>.6</p><p>10</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>d</p><p>e</p><p>fe</p><p>ve</p><p>re</p><p>iro</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>98</p><p>.</p><p>R. 116 Uma partícula realiza um MHS tal que os módulos máximos de sua velocidade escalar e</p><p>de sua ace le ra ção escalar são respectivamente 3,0 m/s e 6,0 m/s2. Determine a amplitude</p><p>e a pulsação do mo vi men to.</p><p>R. 117 Um corpo de massa m  1 kg oscila livremente,</p><p>suspenso a uma mola helicoidal de massa des-</p><p>prezível (fig. I). Preso ao corpo, há um estilete que</p><p>registra num papel vertical as posições do corpo.</p><p>O papel vertical envolve um cilindro que gira com</p><p>velocidade angular constante. Seja 0,20 m/s a</p><p>velocidade dos pontos do papel vertical. Os dados</p><p>obtidos no papel estão indicados na figura II.</p><p>Determine:</p><p>a) a frequência e a amplitude do movimento;</p><p>b) a constante elástica da mola.</p><p>6,0</p><p>___</p><p>3,0</p><p> h</p><p>2a ____</p><p>ha</p><p>] h  2,0 rad/s</p><p>De , obtemos: 3,0  2,0 3 a ] a  1,5 m</p><p>Resposta: a  1,5 m e h  2,0 rad/s</p><p>Solução:</p><p>a) O movimento do cilindro é uma rotação</p><p>uniforme (velocidade angular constante) e,</p><p>por meio da fi gura registrada no papel que</p><p>o envolve, podemos determinar o período</p><p>do MHS efetuado pelo cor po. Este efetua</p><p>um ciclo completo quando, passando pela</p><p>posição 1 (registrada no papel), re tor na a ela</p><p>em idênticas condições (posição 2). Nesse</p><p>intervalo de tempo, o papel, à velocidade</p><p>v  0,20 m/s, percorre, em movimento uni-</p><p>forme de função s  vt, o espaço s  0,10 m</p><p>(posição 1 p posi ção 2).</p><p>Solução:</p><p>Os módulos máximos da velocidade e da aceleração são dados por:</p><p>OvOmáx.  ha ] 3,0  ha         OaOmáx.  h2a ] 6,0  h2a </p><p>Dividindo membro a membro a equação  pela equação , vem:</p><p>Assim, para o papel que envolve o cilindro, temos: s  vt ] 0,10  0,20t ] t  0,5 s</p><p>Sendo esse o tempo necessário para o fenômeno se repetir, o período da oscilação será: T  0,5 s</p><p>A amplitude é obtida da figura no papel: observe que, verticalmente, o corpo oscila na extensão</p><p>de 0,8 m, isto é, com amplitude de 0,4 m em torno da posição de equilíbrio.</p><p>Logo: a  0,4 m</p><p>b) Conhecido o período, podemos determinar a constante elástica da mola pela relação:</p><p>T  2s dlll</p><p>m __</p><p>k</p><p>] 0,5  2s dll</p><p>1 __</p><p>k</p><p>] 0,52  (2s)2 1 __</p><p>k</p><p>] k  4s2</p><p>_____</p><p>0,25</p><p>] k 7 158 N/m</p><p>Respostas: a) 2 Hz e 0,4 m; b) 7 158 N/m</p><p>exercícios propostos</p><p>0,15 m</p><p>0,</p><p>8</p><p>m</p><p>v = 0,20 m/s</p><p>0,</p><p>4</p><p>m</p><p>0,</p><p>4</p><p>m</p><p>s = 0,10 m</p><p>2 1</p><p>m</p><p>v = 0,20 m/s</p><p>m</p><p>0,15 m</p><p>0,</p><p>8</p><p>m</p><p>Figura I. Figura II.</p><p>E a frequência é dada por: f  1 __</p><p>T</p><p>] f  1 ___</p><p>0,5</p><p>] f  2 Hz</p><p>Solução:</p><p>a) Comparando x  0,2 3 cos @ st  3s ___</p><p>2</p><p># com x  a 3 cos (ht  A0), temos:</p><p>De T  2s ___</p><p>h</p><p>, vem: T  2s ___</p><p>s</p><p>] T  2 s</p><p>b) Sendo v  ha 3 sen (ht  A0), resulta:</p><p>Respostas: a) a  0,2 m, h  s rad/s, A0  3s ___</p><p>2</p><p>rad e T  2 s;</p><p>b) v  0,2s 3 sen @ st  3s ___</p><p>2</p><p># (v em m/s e t em s)</p><p>v  0,2s 3 sen @ st  3s ___</p><p>2</p><p># (v em m/s e t em s)</p><p>a  0,2 m h  s rad/s A0  3s ___</p><p>2</p><p>rad</p><p>V2_P3_UN_F_CAP_16a.indd 394 02.09.09 09:14:17</p><p>395</p><p>C</p><p>a</p><p>p</p><p>ít</p><p>u</p><p>lo</p><p>1</p><p>6</p><p>•</p><p>M</p><p>o</p><p>vi</p><p>m</p><p>e</p><p>n</p><p>to</p><p>h</p><p>a</p><p>rm</p><p>ô</p><p>n</p><p>ic</p><p>o</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>(M</p><p>H</p><p>S</p><p>)</p><p>395</p><p>R</p><p>ep</p><p>ro</p><p>d</p><p>uç</p><p>ão</p><p>p</p><p>ro</p><p>ib</p><p>id</p><p>a.</p><p>A</p><p>rt</p><p>.1</p><p>84</p><p>d</p><p>o</p><p>C</p><p>ód</p><p>ig</p><p>o</p><p>P</p><p>en</p><p>al</p><p>e</p><p>L</p><p>ei</p><p>9</p><p>.6</p><p>10</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>d</p><p>e</p><p>fe</p><p>ve</p><p>re</p><p>iro</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>98</p><p>.</p><p>P. 402 Um ponto material de massa m  0,1 kg oscila</p><p>em torno da posição O de equilíbrio, em MHS.</p><p>A cons tan te elástica da mola é k  0,4 N/m.</p><p>P. 403 Um ponto material realiza um MHS sobre um eixo</p><p>Ox segundo a função horária:</p><p>P. 404 A elongação de uma partícula em MHS varia com</p><p>o tempo segundo o gráfico abaixo.</p><p>P. 405 Na figura representam-se os pontos de inversão do</p><p>MHS que um bloco realiza. O período do mo vi men to</p><p>é 2 s.</p><p>P. 406 A elongação x de um ponto material em MHS varia</p><p>com o tempo segundo o gráfico a seguir.</p><p>a) Determine a pulsação h, em radianos por se-</p><p>gundo.</p><p>b) Determine as funções horárias da posição x, da</p><p>velocidade v e da aceleração a, em função do</p><p>tem po, adotando-se o eixo Ox orientado para</p><p>a direita, como se indica na figura. Adote t  0</p><p>quando o móvel se encontra na posição R.</p><p>c) Refaça o item anterior, adotando t  0 quando</p><p>o móvel se encontra na posição S, e no sentido</p><p>do movimento de R a Z.</p><p>d) Refaça o item b adotando t  0 quando o móvel</p><p>se encontra na posição Z.</p><p>As posições indicadas pelas letras R e Z corres-</p><p>pondem aos extremos da oscilação.</p><p>x  0,4 3 cos @ s __</p><p>2</p><p>t  s # (x em m e t em s)</p><p>Determine:</p><p>a) a amplitude, a pulsação, a fase inicial e o perío do</p><p>do movimento;</p><p>b) a velocidade escalar e a aceleração escalar nos</p><p>instantes t  1 s e t  2 s.</p><p>Determine:</p><p>a) a amplitude, o período e a pulsação do movi-</p><p>mento;</p><p>b) a função horária do movimento.</p><p>Determine:</p><p>a) a amplitude e a pulsação do movimento;</p><p>b) os valores máximos da velocidade escalar e da</p><p>aceleração escalar.</p><p>exercícios propostos</p><p>P. 407 Um corpo de massa 2 kg oscila livremente, sus pen-</p><p>so a uma mola helicoidal de massa desprezível.</p><p>As posições ocupadas pelo corpo são regis tradas,</p><p>por meio de um estilete preso a ele, em uma fita</p><p>de papel vertical que se desloca horizon talmente,</p><p>com velocidade constante v  0,20 m/s.</p><p>Determine:</p><p>a) a frequência e a amplitude do movimento do</p><p>corpo;</p><p>b) a constante elástica da mola;</p><p>c) a função horária do movimento do corpo, sa-</p><p>bendo que no instante t  0 a elongação é nula</p><p>e o corpo está subindo.</p><p>Adote o sentido do eixo de ordenadas para cima.</p><p>Z S</p><p>O</p><p>R</p><p>0,1 m 0,1 m</p><p>x</p><p>0</p><p>0,3</p><p>– 0,3</p><p>1 2 t (s)</p><p>x (m)</p><p>O– 0,5 +0,5 x (m)</p><p>0 1 2 3 4 t (s)</p><p>x (m)</p><p>– 0,6</p><p>– 0,6</p><p>0,75 m</p><p>0,</p><p>20</p><p>m</p><p>v</p><p>a) Determine a amplitude, a pulsação, a velocidade</p><p>escalar máxima e a aceleração escalar máxima.</p><p>b) Construa os gráficos da velocidade escalar e da</p><p>aceleração escalar em função do tempo.</p><p>V2_P3_UN_F_CAP_16a.indd 395 02.09.09 09:14:18</p><p>396</p><p>U</p><p>n</p><p>id</p><p>a</p><p>d</p><p>e</p><p>F</p><p>•</p><p>O</p><p>n</p><p>d</p><p>a</p><p>s</p><p>396</p><p>R</p><p>ep</p><p>ro</p><p>d</p><p>uç</p><p>ão</p><p>p</p><p>ro</p><p>ib</p><p>id</p><p>a.</p><p>A</p><p>rt</p><p>.1</p><p>84</p><p>d</p><p>o</p><p>C</p><p>ód</p><p>ig</p><p>o</p><p>P</p><p>en</p><p>al</p><p>e</p><p>L</p><p>ei</p><p>9</p><p>.6</p><p>10</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>d</p><p>e</p><p>fe</p><p>ve</p><p>re</p><p>iro</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>98</p><p>.</p><p>Objetivos</p><p>Reconhecer as</p><p>associações de molas,</p><p>em série ou em paralelo.</p><p>Relacionar as</p><p>constantes elásticas</p><p>das molas nas</p><p>associações, com a</p><p>constante elástica da</p><p>mola equivalente.</p><p>Termos e conceitos</p><p>• mola equivalente</p><p>Para a associação em paralelo, a constante elástica da mola equiva-</p><p>lente é dada por:</p><p>De fato, vamos aplicar à associação em paralelo uma força de inten-</p><p>sidade F, de modo que as molas sofram a mesma deformação x. Nessa</p><p>situação, a mola M1 fica sujeita a uma força de intensidade F1 e a mola M2,</p><p>a uma força de intensidade F2 , tais que F1  k1x e F2  k2x (fig. 18A).</p><p>A mola equivalente submetida à força de intensidade F sofre a mesma</p><p>deformação x (fig. 18B). De F  F1  F2 , vem: kpx  k1x  k2x; logo:</p><p>kp  k1  k2</p><p>Figura 18. (A) Associação em paralelo de duas molas; (B) mola equivalente.</p><p>k1</p><p>M1 M2</p><p>k2</p><p>x xF2F1</p><p>F</p><p>A</p><p>kp</p><p>F</p><p>x</p><p>B</p><p>Seção 16.4</p><p>kp  k1  k2</p><p>1</p><p>__</p><p>ks</p><p></p><p>1</p><p>__</p><p>k1</p><p></p><p>1</p><p>__</p><p>k2</p><p>Para a associação em série, temos:</p><p>Associação de molas</p><p>Considere duas molas M1 e M2 de constantes elásticas k1 e k2, respec-</p><p>tivamente. Essas molas podem ser associadas em paralelo ou em série</p><p>(fig. 17). A associação é considerada em paralelo quando as molas do</p><p>sistema sofrem deformações iguais. Em cada caso podemos, para efeito</p><p>de cálculo, substituir as duas por uma só, chamada mola equivalente.</p><p>Sejam kp e ks as constantes elásticas das molas equivalentes às asso-</p><p>ciações em paralelo e em série, respectivamente.</p><p>Figura 17. (A) Associação de molas em paralelo; (B) associação de molas em série.</p><p>k1</p><p>k2</p><p>M1</p><p>M2</p><p>⇒</p><p>Mola</p><p>equivalente k s</p><p>BA</p><p>k1</p><p>M1 M2</p><p>k2 ⇒</p><p>Mola</p><p>equivalente</p><p>kp</p><p>V2_P3_UN_F_CAP_16b.indd 396 31.08.09 11:55:16</p><p>397</p><p>C</p><p>a</p><p>p</p><p>ít</p><p>u</p><p>lo</p><p>1</p><p>6</p><p>•</p><p>M</p><p>o</p><p>vi</p><p>m</p><p>e</p><p>n</p><p>to</p><p>h</p><p>a</p><p>rm</p><p>ô</p><p>n</p><p>ic</p><p>o</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>(M</p><p>H</p><p>S</p><p>)</p><p>397</p><p>R</p><p>ep</p><p>ro</p><p>d</p><p>uç</p><p>ão</p><p>p</p><p>ro</p><p>ib</p><p>id</p><p>a.</p><p>A</p><p>rt</p><p>.1</p><p>84</p><p>d</p><p>o</p><p>C</p><p>ód</p><p>ig</p><p>o</p><p>P</p><p>en</p><p>al</p><p>e</p><p>L</p><p>ei</p><p>9</p><p>.6</p><p>10</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>d</p><p>e</p><p>fe</p><p>ve</p><p>re</p><p>iro</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>98</p><p>.</p><p>Para a associação de molas em série, vamos aplicar uma força de intensidade F. As</p><p>molas M1 e M2 ficam submetidas à mesma força de intensidade F e sofrem deformações x1</p><p>e x2 (fig. 19).</p><p>Essas deformações são expressas pelas fórmulas:</p><p>Por exemplo, ao cortarmos uma mola de constante elástica k em duas partes iguais, cada</p><p>parte terá constante elástica 2k. De fato, sejam k1 e k2 as constantes elásticas das partes.</p><p>Como são idênticas, temos k1  k2. Associando as partes em série, recompomos a mola inicial</p><p>de constante elástica k. Portanto:</p><p>1</p><p>__</p><p>k</p><p></p><p>1</p><p>__</p><p>k1</p><p></p><p>1</p><p>__</p><p>k2</p><p>]</p><p>1</p><p>__</p><p>k</p><p></p><p>1</p><p>__</p><p>k1</p><p></p><p>1</p><p>__</p><p>k1</p><p>]</p><p>]</p><p>1</p><p>__</p><p>k</p><p></p><p>2</p><p>__</p><p>k1</p><p>] k1  2k</p><p>Associando-se as partes em paralelo, a mola equivalente tem constante elástica 4k.</p><p>1</p><p>__</p><p>ks</p><p></p><p>1</p><p>__</p><p>k1</p><p></p><p>1</p><p>__</p><p>k2</p><p>x1 </p><p>F</p><p>__</p><p>k1</p><p>x2 </p><p>F</p><p>__</p><p>k2</p><p>A mola equivalente, sob a ação da força de intensidade F, sofre uma deformação x tal</p><p>que x </p><p>F</p><p>__</p><p>ks</p><p>.</p><p>Sendo x  x1  x2, vem:</p><p>F</p><p>__</p><p>ks</p><p></p><p>F</p><p>__</p><p>k1</p><p></p><p>F</p><p>__</p><p>k2</p><p>; logo:</p><p>Figura 19. (A) Associação em série de duas molas; (B) mola equivalente.</p><p>A</p><p>F</p><p>F</p><p>M1</p><p>M2</p><p>F</p><p>x1</p><p>x2</p><p>B</p><p>F</p><p>x = x1 + x2</p><p>k s</p><p>Para um amortecimento</p><p>mais eficiente, é usada uma</p><p>associação de molas nos</p><p>bancos de algumas bicicletas.</p><p>V2_P3_UN_F_CAP_16b.indd 397 31.08.09 11:55:17</p><p>398</p><p>U</p><p>n</p><p>id</p><p>a</p><p>d</p><p>e</p><p>F</p><p>•</p><p>O</p><p>n</p><p>d</p><p>a</p><p>s</p><p>398</p><p>R</p><p>ep</p><p>ro</p><p>d</p><p>uç</p><p>ão</p><p>p</p><p>ro</p><p>ib</p><p>id</p><p>a.</p><p>A</p><p>rt</p><p>.1</p><p>84</p><p>d</p><p>o</p><p>C</p><p>ód</p><p>ig</p><p>o</p><p>P</p><p>en</p><p>al</p><p>e</p><p>L</p><p>ei</p><p>9</p><p>.6</p><p>10</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>d</p><p>e</p><p>fe</p><p>ve</p><p>re</p><p>iro</p><p>d</p><p>e</p><p>19</p><p>98</p><p>.</p><p>Seção 16.5</p><p>Objetivos</p><p>Analisar, para pequenas</p><p>oscilações, o movimento</p><p>realizado por um pêndulo</p><p>simples, desprezando-se</p><p>a resistência do ar.</p><p>Relacionar o período</p><p>e a frequência de</p><p>oscilação do pêndulo</p><p>ao comprimento do fio</p><p>e à aceleração local da</p><p>gravidade.</p><p>Termos e conceitos</p><p>• pequenas oscilações</p><p>Para pequenos ângulos podemos escrever tg J 7 sen J. Sendo</p><p>P  mg e sen J </p><p>x</p><p>__</p><p>L</p><p>vem:</p><p>F  2 P 3 tg J</p><p>F  @ 2</p><p>mg</p><p>____</p><p>L</p><p># 3 x</p><p>• para pequenas oscilações, de abertura não superior a 10w, a esfera</p><p>pendular realiza movimento harmônico simples (MHS);</p><p>• o período desse MHS é T  2s dll</p><p>L</p><p>__ g , em que L é o comprimento do fio</p><p>e g a aceleração local da gravidade.</p><p>Pêndulo simples</p><p>Pêndulo simples é um sistema constituído por uma partícula de massa m,</p><p>suspensa por um fio ideal (fig. 20).</p><p>Ao oscilar em torno de sua posição de equilíbrio O, desprezadas as re-</p><p>sistências, o pêndulo sim ples realiza um movimento periódico (fig. 21).</p><p>Na figura 22 representamos as forças que agem na esfera numa</p><p>posição genérica P: o peso P e a tração T.</p><p>Admitindo o ângulo de abertura bem pequeno, o arco + AB pode ser</p><p>considerado praticamente re tilíneo e, desse modo, a força resultante</p><p>F  P  T tem a direção do eixo Ox e está orientada para a po si ção de</p><p>equilíbrio O, sendo portanto uma força restauradora.</p><p>Do triângulo destacado (fig. 23) e levando-se em conta o sentido do</p><p>eixo Ox, concluímos que o valor algébrico de F é:</p><p>Figura 22.</p><p>AB</p><p>O</p><p>x</p><p>θ</p><p>P</p><p>P</p><p>T</p><p>Figura 23.</p><p>O</p><p>x</p><p>θ</p><p>P</p><p>θ</p><p>L</p><p>x</p><p>T</p><p>F</p><p>P</p><p>O</p><p>m</p><p>L</p><p>Figura 20.</p><p>AB</p><p>O</p><p>L</p><p>Figura 21.</p><p>Vamos provar que:</p><p>399</p><p>C</p><p>a</p><p>p</p><p>ít</p><p>u</p><p>lo</p><p>1</p><p>6</p><p>•</p><p>M</p><p>o</p><p>vi</p><p>m</p><p>e</p><p>n</p><p>to</p><p>h</p><p>a</p><p>rm</p><p>ô</p><p>n</p><p>ic</p><p>o</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>(M</p><p>H</p><p>S</p><p>)</p><p>399</p><p>Sendo a intensidade da força restauradora proporcional à abscissa x da esfera, concluímos</p><p>que esta realiza um movimento harmônico simples.</p><p>Sendo T  2s dll</p><p>m</p><p>__</p><p>k</p><p>, obtemos:</p><p>Observe que o período do pêndulo</p><p>simples não depende da massa da esfera</p><p>pendular.</p><p>Conteúdo digital Moderna PLUS http://www.modernaplus.com.br</p><p>Atividade Experimental: O pêndulo simples</p><p>exercícios propostos</p><p>P. 408 Considere os sistemas representados nas figuras I e II, formados por duas molas idênticas de</p><p>constante elástica k. Os blocos A e B, ligados às molas, possuem mesma massa m. Despreze os</p><p>atritos. O bloco A oscila com período TA, e o bloco B, com período TB. Calcule a relação</p><p>TA ___</p><p>TB</p><p>.</p><p>P. 409 (Unicamp-SP) Um antigo relógio de pêndulo é calibrado no frio inverno gaúcho. Considerando</p><p>que o período do pêndulo desse relógio é dado por:</p><p>P. 410 (Fuvest-SP) O pêndulo de Foucault 2 popularizado pela famosa obra de Umberto Eco 2 consis-</p><p>tia de uma esfera de 28 kg, pendurada na cúpula do Panthéon de Paris por um fio de 67 m de</p><p>comprimento. Sabe-se que o período T de oscilação de um pêndulo simples é relacionado com</p><p>o seu comprimento L e com a aceleração da gravidade g pela seguinte fórmula:</p><p>T  2s dll</p><p>L __ g</p><p>L</p><p>em que L é o comprimento do pêndulo e g é a aceleração local da gravidade, pergunta-se:</p><p>a) Esse relógio atrasará ou adiantará quando transportado para o quente verão nordestino?</p><p>b) Se o relógio for transportado do Nordeste para a superfície da Lua, nas mesmas condições</p><p>de temperatura, ele atrasará ou adiantará?</p><p>Justifique as respostas.</p><p>T  2s dll</p><p>L __ g</p><p>Adote g  10 m/s2 e dlll 10  s.</p><p>a) Qual é o período de oscilação do pêndulo de Foucault? Despreze as frações de segundos.</p><p>b) O que aconteceria com o período desse pêndulo se dobrássemos a sua massa?</p><p>Figura I. Figura II.</p><p>BA</p><p>T  2s d</p><p>lllll</p><p>m</p><p>______</p><p>@ mg</p><p>____</p><p>L</p><p>#</p><p>] T  2s dll</p><p>L</p><p>__ g</p><p>Para o cálculo do período comparamos</p><p>F  2kx com F  @ 2</p><p>mg</p><p>____</p><p>L</p><p># 3 x e concluímos</p><p>que k </p><p>mg</p><p>____</p><p>L</p><p>.</p><p>No endereço eletrônico http://www.walter-fendt.de/ph14br/pendulum_br.htm (acesso em agosto/2009)</p><p>você pode analisar a oscilação de um pêndulo simples, acompanhando a variação da elongação, da velocidade, da</p><p>aceleração tangencial, da força e da energia em função do tempo.</p><p>Entre na redeEntre na rede</p><p>V2_P3_UN_F_CAP_16b.indd 399 31.08.09 11:55:21</p>