Cálculo Numérico - Sequências e Séries

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<p>UNIFEI</p><p>Instituto de Matemática e Computação</p><p>LISTA 1-P1</p><p>Profs. Nancy Chachapoyas e José Vidarte</p><p>MAT00N CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>A lista de exercícios é tirada do livro texto:</p><p>Livro Texto: James Stewart; Cálculo, Vol. 2, 7a Edição, Cengage Learning, 2013.</p><p>Disponível em:</p><p>https://ead.ict.unesp.br/pluginfile.php/26291/mod_resource/content/3/Calculo%20-%20James%20Stewart%</p><p>20-%207%20Edi%C3%A7%C3%A3o%20-%20Volume%202.pdf</p><p>Observação 1 O objetivo dessa lista é auxiliar e direcionar aos estudos. Muitos de estes exercícios não são trivi-</p><p>ais e não creio serem suficientes para sua avaliação. Além disso, essa lista não conta com um gabarito, a resolução</p><p>vai por conta do leitor. Procure outros exercícios em outras referências.</p><p>Observação 2 Coloque a calculadora no modo radianos.</p><p>Capítulo 11- Sequências e Séries</p><p>1. Exercícios da Seção 11.1:3-12, 13-18, 19-22, 23-56</p><p>Exemplo 3 Exercícios resolvidos:</p><p>Encontre a fórmula para o termo geral an da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros continue.</p><p>15. {1,− 1</p><p>3</p><p>, 1</p><p>9</p><p>,− 1</p><p>27</p><p>, 1</p><p>81</p><p>, · · · } então an = −3</p><p>(</p><p>−2</p><p>3</p><p>)n−1</p><p>.</p><p>17. {1, 0,−1, 0, 1, 0,−1, 0 · · · } então an =</p><p>0, se n é par</p><p>−(−1)</p><p>n+1</p><p>2 , se n é ímpar</p><p>2. Exercícios da Seção 11.2: 3-63</p><p>Exemplo 4 Exercícios resolvidos</p><p>43. Determine se a série</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>2</p><p>n2 − 1</p><p>é convergente ou divergente expressando sn como uma soma telescópica.</p><p>se for convergente, calcule a soma. Temos que:</p><p>an =</p><p>2</p><p>n2 − 1</p><p>=</p><p>1</p><p>n− 1</p><p>− 1</p><p>n+ 1</p><p>sn = a2 + a3 + a4 + a5 + · · ·+ an</p><p>sn =</p><p>1</p><p>1</p><p>− 1</p><p>3</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>− 1</p><p>4</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>− 1</p><p>5</p><p>+</p><p>1</p><p>4</p><p>− 1</p><p>6</p><p>+ · · ·+ 1</p><p>n− 4</p><p>− 1</p><p>n− 2</p><p>+</p><p>1</p><p>n− 3</p><p>− 1</p><p>n− 1</p><p>+</p><p>1</p><p>n− 2</p><p>− 1</p><p>n</p><p>+</p><p>1</p><p>n− 1</p><p>− 1</p><p>n+ 1</p><p>sn = 1 +</p><p>1</p><p>2</p><p>− 1</p><p>n</p><p>− 1</p><p>n+ 1</p><p>lim sn =</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>https://ead.ict.unesp.br/pluginfile.php/26291/mod_resource/content/3/Calculo%20-%20James%20Stewart%20-%207%20Edi%C3%A7%C3%A3o%20-%20Volume%202.pdf</p><p>https://ead.ict.unesp.br/pluginfile.php/26291/mod_resource/content/3/Calculo%20-%20James%20Stewart%20-%207%20Edi%C3%A7%C3%A3o%20-%20Volume%202.pdf</p><p>49. Seja x = 0.9999999 . . . , some uma série geométrica para encontrar o valor de x.</p><p>Temos que</p><p>x = 0.9999999 · · · = 9</p><p>10</p><p>+</p><p>9</p><p>102</p><p>+</p><p>9</p><p>103</p><p>+ · · ·</p><p>=</p><p>9</p><p>10</p><p>(1 +</p><p>1</p><p>10</p><p>+</p><p>1</p><p>102</p><p>+</p><p>1</p><p>103</p><p>+ · · · ) = 9</p><p>10</p><p>∞∑</p><p>1</p><p>(</p><p>1</p><p>10</p><p>)n−1</p><p>=</p><p>9</p><p>10</p><p>(</p><p>1</p><p>1− 1</p><p>10</p><p>)</p><p>= 1</p><p>53. Expresse o número 2.516 como a razão de inteiros (use a série gemométrica).</p><p>Temos que</p><p>2.516 = 2 +</p><p>516</p><p>103</p><p>+</p><p>516</p><p>106</p><p>+</p><p>516</p><p>109</p><p>+ · · · =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>516</p><p>103</p><p>(</p><p>1</p><p>103</p><p>)n−1</p><p>= 2 +</p><p>516</p><p>103</p><p>1− 1</p><p>103</p><p>= 2 +</p><p>516</p><p>999</p><p>=</p><p>2514</p><p>999</p><p>.</p><p>59. Encontre os valores de x para os quais a série</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(x− 2)n</p><p>3n</p><p>A série</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(x− 2)n</p><p>3n</p><p>=</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(</p><p>x− 2</p><p>3</p><p>)n</p><p>=</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(</p><p>x− 2</p><p>3</p><p>)n−1</p><p>é uma série geométrica com r =</p><p>x− 2</p><p>3</p><p>e é conver-</p><p>gente se |r|</p>