Curso de Formação de Sargentos

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<p>0</p><p>1</p><p>CURSO DE FORMAÇÃO E GRADUAÇÃO DE SARGENTOS (CFGS)</p><p>LIVRO DE RACIOCÍNIO</p><p>LÓGICO</p><p>Grupo de trabalho responsável pela elaboração do livro de Raciocínio Lógico do Curso de</p><p>Formação e Graduação de Sargentos (CFGS), edição 2021.</p><p>Órgão Gestor:</p><p>DETMil</p><p>General de Brigada Luís Cláudio de Mattos BASTO.</p><p>Diretor de Educação Técnica Militar.</p><p>Órgão Elaborador:</p><p>ESA</p><p>General de Brigada Flavio ALVARENGA Filho.</p><p>Comandante da Escola de Sargentos das Armas.</p><p>Órgão Executor:</p><p>ESA</p><p>Coronel JADILSON Tadeu da Silva dos Santos</p><p>Chefe da Divisão de Ensino.</p><p>Supervisão Geral.</p><p>Capitão QCO ARACELI Paula Naves.</p><p>Chefe da Seção de Disciplinas Acadêmicas. Supervisão Geral e Revisão.</p><p>2°Ten OTT DIONE Aparecido Ferreira da Silva</p><p>Adjunta da Seção de Disciplinas Acadêmicas.</p><p>Produção, Revisão e Diagramação geral.</p><p>2°Ten OTT DINALVA Ferreira da Silva</p><p>Adjunta da Seção de Disciplinas Acadêmicas.</p><p>Revisão, Produção, Revisão e Diagramação geral.</p><p>2°Ten OTT THAMARA Marques Rodrigues</p><p>Adjunta da Seção de Disciplinas Acadêmicas.</p><p>Revisão, Produção, Revisão e Diagramação geral.</p><p>1° Sargento Inf Eduardo LUINI da Silva</p><p>Auxiliar da Seção de Disciplinas Acadêmicas.</p><p>Revisão, Produção, Revisão e Diagramação geral.</p><p>Soldado Paulo Henrique ARAÚJO ÉZAR</p><p>Diagramação da capa.</p><p>2</p><p>Ficha Catalográfica</p><p>3</p><p>PREFÁCIO</p><p>O Decreto nº 9.171, de 17 de outubro de 2017, do Presidente da República, alterou o</p><p>Regulamento da Lei de Ensino do Exército, a partir do qual a Portaria nº 504-EME, de 8</p><p>de dezembro de 2017, emitiu as Diretrizes para a Equivalência de Estudos dos Cursos</p><p>Destinados aos Sargentos e Subtenentes e a Implantação do Curso de Formação de</p><p>Sargentos no Nível Superior de Tecnologia, dentre outras providências (EB20-D-</p><p>01.059). A Portaria nº 277-DECEx, de 13 de dezembro de 2017, aprovou as Instruções</p><p>Reguladoras para a Execução e a Equivalência de Nível de Educação dos Cursos destina-</p><p>dos aos Sargentos e Subtenentes (EB60-IR57.010) e determinou que, na elaboração</p><p>do novo currículo, deveria ser considerada a inclusão de disciplinas acadêmicas,</p><p>notadamente, a disciplina de Raciocínio Lógico e Estatística, objeto desta apostila.</p><p>O parágrafo 5º, da Seção IV (Das Diretrizes Curriculares Específicas do Exército para</p><p>os CFGS Tecnólogos), do Capítulo II, da Portaria 504-EME, intitulado “Dos Cursos de</p><p>Formação de Sargentos”, determinou que, na elaboração do novo currículo, deveria ser</p><p>considerada a inclusão de Raciocínio Lógico e Estatística.</p><p>Dessa forma, o ensino de Raciocínio Lógico e Estatístico ganhou o merecido lugar</p><p>na formação do líder de pequenas frações, uma vez que é capaz de organizar os</p><p>pensamentos e assim obter bons resultados em suas atividades cotidianas.</p><p>O ensino de Raciocínio Lógico e Estatístico marcará um novo paradigma na for-</p><p>mação dos sargentos enquanto líderes de pequenas frações, que poderão, por meio de</p><p>abstrações, interpretações das informações e relações entre o que foi apresentado e os</p><p>conhecimentos adquiridos, desenvolver a liderança que se espera num Exército em trans-</p><p>formação, no qual além de executores perfeitos das ordens emanadas do Comando, devem</p><p>também atuar como resolvedores de problemas e partícipes de decisões no amplo espectro</p><p>dos conflitos.</p><p>Cap QCO ARACELI Paula Naves</p><p>Chefe da Seção de Disciplinas Acadêmicas – ESA.</p><p>4</p><p>LISTA DE FIGURAS</p><p>Figura 1: Tabela-verdade e Diagrama de árvore de uma proposição simples componentes</p><p>............................................................................................................................................................. 14</p><p>Figura 2: Entradas da Tabela-verdade e do Diagrama de árvore de uma proposição composta A (a,b)</p><p>............................................................................................................................................................. 15</p><p>Figura 3 − Entradas da Tabela-verdade e do Diagrama de Árvore de uma proposição composta A</p><p>(a,b,c).Alencar (2002) (Adaptado)</p><p>............................................................................................................................................................. 16</p><p>5</p><p>SUMÁRIO</p><p>INTRODUÇÃO AO RACIOCÍNIO LÓGICO ................................................................................ 5</p><p>1. PROPOSIÇÕES .............................................................................................................................. 9</p><p>1.1 Conceito de Proposição ............................................................................................................. 10</p><p>1.2 Representação das Proposições ................................................................................................. 10</p><p>1.2.1 Proposições Simples........................................................................................................... 10</p><p>1.2.2 Proposições Compostas ...................................................................................................... 11</p><p>1.3 Valores Lógicos das Proposições e Noções da Tabela Verdade ............................................... 14</p><p>Exercícios de Aprendizado............................................................................................................. 18</p><p>2. OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES ................................................................ 19</p><p>2.1 Negação (~) ............................................................................................................................... 21</p><p>2.2 Conectivo “e” (Conjunção) (∧) ................................................................................................. 23</p><p>2.3 Conectivo “ou” Disjunção Inclusiva (V)................................................................................... 25</p><p>2.4 Condicional “então” (→) .......................................................................................................... 27</p><p>2.5 Bicondicional “se e somente se” (↔)........................................................................................ 31</p><p>Exercícios de Aprendizado.............................................................................................................. 33</p><p>3. CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE ............................................................................... 36</p><p>3.1 Passos para a construção de tabela-verdade da proposição composta ....................................... 37</p><p>3.2 Uso de parênteses e a ordem de precedência das operações proposicionais ............................. 40</p><p>Exercícios de Aprendizado.............................................................................................................. 43</p><p>4. TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES E CONTINGÊNCIAS .................................................. 45</p><p>4.1 Tautologia.................................................................................................................................. 45</p><p>4.2 Contradição ............................................................................................................................... 47</p><p>4.3 Contingência .............................................................................................................................. 49</p><p>Exercícios de Aprendizado.............................................................................................................. 50</p><p>5. IMPLICAÇÃO LÓGICA ............................................................................................................. 51</p><p>6</p><p>5.1 Implicação Lógica e suas propriedades .................................................................................... 50</p><p>𝑝 𝑞 𝑝 → ~𝑝</p><p>V F F</p><p>F V V</p><p>𝑝 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 → 𝑝</p><p>V V V V V</p><p>V F V F V</p><p>F V V F F</p><p>F F F F V</p><p>Uma contingência é uma proposição composta em cuja tabela-verdade</p><p>ocorrem, na última coluna, os valores lógicos V (verdade) e F (falsidade).</p><p>50</p><p>2) Mostrar que as seguintes proposições são contingentes:</p><p>a) 𝑝 ∨ 𝑞 → 𝑝 ∧ 𝑞</p><p>b) (𝑝 → 𝑞) → (𝑝 → 𝑞)</p><p>c) (𝑝 → (𝑝 → 𝑞)) → 𝑞</p><p>d) 𝑝 → (𝑝 → 𝑞 ∧ ~𝑞)</p><p>3) Determinar quais das seguintes proposições são tautologias, contraválidas ou</p><p>contingentes:</p><p>a) 𝑝 → (~𝑝 → 𝑞)</p><p>b) ~ 𝑝 ∨ 𝑞 → (𝑝 → 𝑞)</p><p>c) 𝑝 → (𝑞 → (𝑞 → 𝑝))</p><p>d) ((𝑝 → 𝑞) ⟷ 𝑞) → 𝑝</p><p>4) CESPE/TRE-GO/Téc Jud/2015) A proposição “Quando um indivíduo consome</p><p>álcool ou tabaco em excesso ao longo da vida, sua probabilidade de infarto do</p><p>miocárdio aumenta em 40%”. Pode ser corretamente escrita na forma (P ∨ Q) ⟶</p><p>R, em que P, Q e R sejam proposições convenientemente escolhidas.</p><p>5) (CESPE - AE/SEGER-ES/2013) Um provérbio chinês diz que:</p><p>P1: Se o seu problema não tem solução, então não é preciso se preocupar com ele,</p><p>pois nada que você fizer o resolverá.</p><p>P2: Se o seu problema tem solução, então não é preciso se preocupar com ele, pois</p><p>ele logo se resolverá.</p><p>Indicadas por P, Q e R, respectivamente, as proposições “Seu problema tem solução”,</p><p>“Nada que você fizer resolverá seu problema” e “Não é preciso se preocupar com seu</p><p>problema”, e indicados por “~” e “→”, respectivamente, os conectivos “não” e “se...,</p><p>então”, a proposição P1 pode ser corretamente representada, na linguagem lógico-</p><p>simbólica, por:</p><p>51</p><p>a) (~P) → (R → Q).</p><p>b) ((Q → (~P)) → R.</p><p>c) ((~P) → Q) → R.</p><p>d) (~P) → (Q → R).</p><p>e)((~P)→R)→Q.</p><p>5- IMPLICAÇÃO LÓGICA</p><p>5.1 Implicação Lógica e Suas propriedades</p><p>Filho (2002) define formalmente o conceito de implicação lógica como se segue:</p><p>Já Bispo et al (2016) aponta que uma implicação tautológica é uma proposição</p><p>condicional tautológica. Ou seja 𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⇒ 𝑄(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) que equivale o seguinte</p><p>“a proposição composta P implica logicamente em Q”. Em particular, toda proposição</p><p>implica uma tautologia se, e somente se uma contradição implica uma contradição Filho</p><p>(2002). Segundo esse mesmo autor, temos que, uma vez definido o conceito de</p><p>implicação lógica, é imediato inferir que a implicação lógica goza de algumas</p><p>propriedades. Tais como reflexiva, transitiva. As quais podem ser representadas como</p><p>se segue:</p><p>(𝑅𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑣𝑎) 𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⇒ 𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟, … )</p><p>(𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎)𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⇒ 𝑄(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) 𝑒 𝑄(𝑝, 𝑞, 𝑟, … . )</p><p>⇒ 𝑅(𝑝, 𝑞, 𝑟, . . ) 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⇒ 𝑅(𝑝, 𝑞, 𝑟, … . )</p><p>No exemplo a seguir, temos que as seguintes proposições 𝑝 ∧ 𝑞 ⟹ 𝑝 ∨ 𝑞 e 𝑝 ∧</p><p>𝑞 ⟹ 𝑝 ⟷ 𝑞 dadas ilustram o conceito de implicação. Para tanto, observe na tabela-</p><p>verdade esse fato.</p><p>Uma proposição P (p, q, r, ...) implica logicamente ou apenas implica uma</p><p>proposição Q (p, q, r, ...) se Q (p, q, r, ...) é verdadeira (V) todas as vezes</p><p>que P (p, q, r, ...) é verdadeira (V).</p><p>52</p><p>Note que a proposição “𝑝 ∧ 𝑞" possui valor lógico verdadeira (V) somente na</p><p>primeira linha e, nesta linha, as proposições “𝑝 ∨ 𝑞" e “𝑝 ⟷ 𝑞" também são verdadeiras</p><p>(V). Logo, a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é:</p><p>As mesmas tabelas-verdade também demonstram as importantes Regras de</p><p>Inferência:</p><p>(i) 𝑝 ⟹ 𝑝 ∨ 𝑞 𝑒 𝑞 ⟹ 𝑝 ∨ 𝑞 (Adição)</p><p>(ii) 𝑝 ∧ 𝑞 ⟹ 𝑝 𝑒 𝑝 ∧ 𝑞 ⟹ 𝑞 (Simplificação)</p><p>Considere a seguinte proposição: 𝑃(𝑝, 𝑞): (𝑝 ∧ 𝑞) → (𝑝 →∼ 𝑞)</p><p>𝑝 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 ↔ 𝑞</p><p>V V V V V</p><p>V F V F F</p><p>F V V F F</p><p>F F F F V</p><p>𝑝 𝑞 ∼ 𝑞 𝑝 →∼ 𝑞 (𝑝 ∧ 𝑞) → (𝑝 →∼ 𝑞)</p><p>V V F F F</p><p>V F V V V</p><p>F V F V V</p><p>F F V V V</p><p>𝑝 ∧ 𝑞 ⟹ 𝑝 ∨ 𝑞 e 𝑝 ∧ 𝑞 ⟹ 𝑝 ⟷ 𝑞</p><p>53</p><p>Note que na última coluna da proposição dada nos ajuda a concluir que a proposição</p><p>dada é tautológica e, portanto, inferimos que a proposição em questão não é uma</p><p>implicação. Agora vamos considerar o a seguinte proposição.</p><p>𝑃(𝑝, 𝑞): (𝑝 ∧ 𝑞) → (𝑝 ∨ 𝑞)</p><p>Observe que, na próxima seção exploraremos com maiores detalhes as proposições</p><p>tautológicas. A posição deste exemplo é para situar o leitor quanto ao resultado que</p><p>figurou na coluna resultante da proposição dada. Os exemplos que se seguem foram</p><p>extraídos de Filho (2002). Considere as seguintes proposições p ↔ q, p ⟶ q, q ⟶ p.</p><p>A proposição “p ↔ q" é verdadeira (V) somente na linha 1 e 4, nestas linhas, as</p><p>proposições “p ⟶ q" e “q ⟶ p" também são verdadeiras (V). Logo, a primeira</p><p>proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é:</p><p>O próximo exemplo denomina-se a regra do silogismo disjuntivo. Vamos,</p><p>inicialmente, elaborar a tabela-verdade (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ~ 𝑝.</p><p>𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 (𝑝 ∧ 𝑞) → (𝑝 ∨ 𝑞)</p><p>V V F V V</p><p>V F V V V</p><p>F V V V V</p><p>F F V F V</p><p>𝑝 𝑞 𝑝 ↔ 𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑞 → 𝑝</p><p>V V V V V</p><p>V F F F V</p><p>F V F V F</p><p>F F V F V</p><p>𝑝 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 ∼ 𝑝 ( 𝑝 ∨ 𝑞) ∧∼ 𝑝)</p><p>V V V F F</p><p>V F V F F</p><p>F V V V V</p><p>F F F V F</p><p>𝑝 ↔ 𝑞 ⟹ 𝑝 ⟶ 𝑞 e 𝑝 ↔ 𝑞 ⟹ 𝑝 ⟶ 𝑞</p><p>54</p><p>Esta proposição é verdadeira (V) somente se a linha 3 e, nesta linha, a proposição “q”</p><p>também é verdadeira (V). Logo, subsiste a implicação lógica. E, portanto, a seguinte</p><p>proposição:</p><p>𝑝 ∨ 𝑞 →∼ 𝑝 ⇒ 𝑞</p><p>é denominada regra do silogismo disjuntivo. Outra forma desta Regra de Inferência</p><p>é:</p><p>Baseado em Filho (2002), o próximo exemplo ilustra a regra de Modus Ponens e</p><p>Modus Tollens. Eis o exemplo (𝑝 ⟶ 𝑞) ∧ 𝑝.</p><p>Esta proposição é verdadeira (V) somente na linha 1 e, nesta linha, a proposição “q”</p><p>também é verdadeira (V). Logo subsiste a implicação lógica:</p><p>(𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝 ⇒ 𝑞</p><p>Denominada regra de Modus Ponens. Por fim vamos mostrar que a seguinte</p><p>proposição composta (𝑝 → 𝑞) ∧ ∼ 𝑞 ⇒∼ 𝑝 é a regra de Modus Tollens. Tal fato fica</p><p>constatado pela sua tabela-verdade.</p><p>𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞 (𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝</p><p>V V V V</p><p>V F F F</p><p>F V V F</p><p>F F V F</p><p>𝑝 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 ∼ 𝑝 ( 𝑝 ∨ 𝑞) →∼ 𝑝</p><p>V V V F F</p><p>V F V F F</p><p>F V V V V</p><p>F F F V F</p><p>(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ~ 𝑞 ⟹ 𝑝</p><p>55</p><p>A coluna com os respectivos valores verdade da proposição composta possui valor verdade</p><p>somente na última linha da quinta coluna simultaneamente a proposição ∼ 𝑝 possui valor</p><p>verdade nesta mesma linha portanto subsiste a implicação lógica.</p><p>5.2 Tautologias e Implicação Lógica</p><p>Iniciaremos está seção enunciando o seguinte teorema. A proposição P (p, q, r, ...) ⟹</p><p>Q (p, q, r, ...) se e somente se a condicional P (p, q, r, ...) → Q (p, q, r, ...) é tautológica. Vamos</p><p>omitir a demonstração deste teorema. Para maiores informações consultar Filho (2002).</p><p>Antes de exploramos as ideias desta seção, se necessária a seguinte observação referente à</p><p>diferenciação dos seguintes símbolos → e ⇒ que comumente não são idênticos. Pois o</p><p>primeiro refere-se à operação lógica, enquanto o segundo é de relação. Filho (2002). Em</p><p>resumo conforme orienta Sérates (1997).</p><p>a) → representa uma operação entre proposições, resultando em uma proposição. Por</p><p>exemplo, dada as duas proposições 𝑝 e ∼ 𝑝 dá nova proposições 𝑝 →∼ 𝑝.</p><p>b) ⇒ representa uma relação entre duas proposições. Por exemplo,</p><p>𝑝 ∧ 𝑞 e 𝑝 ∨ 𝑞 a relação de implicação lógica entre elas é denotada por</p><p>𝑝 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑝 ∨ 𝑞.</p><p>A condicional (p ⟶ q) ∧ (q → r) → (p → r) é tautológica, conforme afirma Filho (2002)</p><p>pois, a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V. E tal exemplo ilustra o</p><p>silogismo Hipotético.</p><p>Para ilustrar melhor o teorema enunciado, vamos observar o seguinte</p><p>exemplo: 𝑃(𝑝, 𝑞): (𝑝 ∧ 𝑞) → (𝑝 ∨ 𝑞) e concluiremos, via tabela-verdade, que está</p><p>condicional é tautologica:</p><p>Note que a última coluna de sua tabela-verdade, ocorre somente o valor lógico V. Logo,</p><p>pelo Teorema 1, a proposição p ∧ q implica p ∨ q ou, simbolicamente, p ∧ q ⇒ p ∨ q. No</p><p>próximo exemplo a proposição p ↔ ~ q implica, ou não, a proposição</p><p>~ p → ~ q.</p><p>𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 → 𝑝 ∨ 𝑞</p><p>V V V V V</p><p>V F F V V</p><p>F V F V V</p><p>F F F F V</p><p>56</p><p>Portanto, a condicional (p ↔ ~ q) → (~ p → ~ q) não é tautológica, pois, na última coluna de</p><p>sua tabela-verdade, ocorre o valor lógico F. Logo, pelo Teorema 1, a proposição p ↔ ~ q não</p><p>implica ~ p → ~ q ou, simbolicamente, p ↔ ~ q ⇒ ~ p → ~ q.</p><p>O próximo resultado vem como corolário do teorema mencionado nessa seção. Se</p><p>𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⇒ 𝑄(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ), então, também se tem: 𝑃(𝑃0, 𝑄0, 𝑅0, … . ) ⇒ 𝑄(𝑃0, 𝑄0, 𝑅0, … ).</p><p>Associada à implicação P ⇒ Q. (P implica Q) está a implicação ~ Q ⇒~ P. (a negação de Q</p><p>implica a negação de P). Por fim nos vários estudos que a matemática se debruça a seguinte</p><p>ressalva deve ser levada em conta. Muitas afirmações (resultados) na Matemática são</p><p>apresentadas da seguinte forma:</p><p>Ou seja, para se concluir a consistências de muitos resultados/afirmações, segue-se o seguinte</p><p>procedimento: Supondo-se que a hipótese seja verdadeira, deve-se provar que a tese é</p><p>verdadeira. Nestes casos, e em muitas outras situações, é muito comum substituir a implicação</p><p>P ⇒ Q por ~ Q ⇒~ P, a fim de tornar seu significado mais claro ou manejável.</p><p>𝑝 𝑞 ∼ 𝑝 ∼ 𝑞 𝑝 ↔∼ 𝑞 ∼ 𝑝 →∼ 𝑞 (𝑝 ↔∼ 𝑞) → (∼ 𝑝 →∼ 𝑞)</p><p>V V F F F V V</p><p>V F F V V V V</p><p>F V V F V F F</p><p>F F V F F V V</p><p>H (Hipótese) ⇒ T (Tese)</p><p>57</p><p>EXERCÍCIOS DE APRENDIZADO</p><p>1) Mostrar que:</p><p>a) 𝑞 ⟹ 𝑝 ⟶ 𝑞</p><p>𝑞 ⟹ 𝑝 ∧ 𝑞 ⟷ 𝑝</p><p>2) Mostre que 𝑝 ↔ ~𝑞 não implica em 𝑝 → 𝑞.</p><p>3) Mostrar que p não implica 𝑝 ∧ 𝑞 e que 𝑝 ∨ 𝑞 não implica p.</p><p>58</p><p>4)(FCC/BACEN/Ana/2006) Sejam as proposições:</p><p>p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central; q: fazer frente ao fluxo</p><p>positivo. Se p implica q, então:</p><p>a) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária</p><p>para fazer frente ao fluxo positivo.</p><p>b) fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação</p><p>compradora de dó- lares por parte do Banco Central.</p><p>c) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição</p><p>suficiente para fazer frente ao fluxo positivo.</p><p>d) fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a</p><p>atuação com- pradora de dólares por parte do Banco Central.</p><p>e) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente</p><p>e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo</p><p>59</p><p>6-EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS</p><p>6.1 Conceito de equivalência lógica</p><p>Como tratado no capítulo anterior, observamos que os símbolos ↔ 𝑒 ⇔ possuem</p><p>significado distintos Sérartes (1997). Uma vez realizada tal distinção, passa-se a definir,</p><p>formalmente o conceito de equivalência. Para tanto vamos nos amparar em Filho (2002). Que</p><p>afirma que dada uma proposição 𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟, … . ) é logicamente equivalente ou apenas</p><p>equivalente a proposição 𝑄(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) se suas tabelas-verdade são idênticas. Isso posto,</p><p>segue-se a seguinte notação. Ler que uma dada proposição composta 𝑃 é equivalente a 𝑄 tem</p><p>sua representação simbólica como se segue, 𝑃 ⇔ 𝑄.</p><p>Bispo et al (2018, p.28) afirmam que: “quando uma proposição bicondicional for</p><p>tautológica, será denominada equivalência tautológica.” Filho (2002) apresenta-nos as</p><p>seguintes propriedades referente a equivalência lógica. De fato, é imediato que a equivalência</p><p>lógica goza das seguintes propriedades.</p><p>𝑖)𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⇔ 𝑅(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) (𝑅𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑣𝑎).</p><p>𝑖𝑖)𝑆𝑒 𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⇔ 𝑅(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑄(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⇔</p><p>𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) (𝑆𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎).</p><p>𝑖𝑖𝑖)𝑆𝑒 𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⇔ 𝑄(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) 𝑒 𝑄(𝑝, 𝑞, 𝑟, … )</p><p>⇔ 𝑅(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⇔ 𝑅(𝑝, 𝑞, 𝑟, … )𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎.</p><p>Neste momento, temos condições de descrever algumas regras e resultados. Para tanto,</p><p>tomaremos como base Filho (2002). A primeira regra que se segue é a da “Dupla negação”</p><p>ou seja ∼ (∼ 𝑝) ⇔ 𝑝. Tal fato se verifica pela tabela-verdade, como veremos abaixo.</p><p>𝑝 ∼ 𝑝 ∼ (∼ 𝑝)</p><p>V F V</p><p>F V F</p><p>Note que a coluna da proposição 𝑝 e ∼ (∼ 𝑝) são idênticas. Portanto ∼ (∼ 𝑝) ⇔ 𝑝</p><p>como demonstrado. Ou seja, a dupla negação equivale à afirmação. Outros fatos que</p><p>podemos demostrar são as Regras de Clavis e a Regra de Absorção.</p><p>60</p><p>Regra de Clavius</p><p>∼ p → p ⇔ p</p><p>Vamos mostrar tal fato usando a tabela-verdade.</p><p>𝑝 ∼ 𝑝 ∼ 𝑝 → 𝑝</p><p>V F F</p><p>F V V</p><p>Note que a coluna resultante da proposição ∼ 𝑝 → 𝑝 é idêntica ∼ 𝑝. Logo, temos o</p><p>que queríamos mostrar.</p><p>Regra da Absorção</p><p>𝑝 → 𝑝 ∧ 𝑞 ⇔ 𝑝 → 𝑞</p><p>Para tanto basta observar a tabela-verdade.</p><p>𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 → 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 → 𝑞</p><p>V V V V V</p><p>V F F F F</p><p>F V F V V</p><p>F F F V V</p><p>Note que, as colunas das condicionais 𝑝 → 𝑝 ∧ 𝑞 e 𝑝 → 𝑞, possui valores lógicos</p><p>idênticos, ou seja, possuem, nessa linha, o valor logico verdadeiro. Logo, temos o que</p><p>queríamos mostrar. Por outro lado, o seguinte resultado também se verifica 𝑝 → 𝑞 ⇔</p><p>∼ 𝑝 ∨ 𝑞 conforme Filho (2002)</p><p>O teorema, a seguir, garante o seguinte resultado. A proposição composta</p><p>𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) é equivalente a proposição 𝑄(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) isso é, 𝑃 ⇔ 𝑄 se e somente se a</p><p>bicondicional 𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ↔ 𝑄(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) é tautológica. Omitir-se-á a demonstração</p><p>deste teorema. Para maiores informações, consultar Filho (2002). Uma vez que</p><p>enunciamos este teorema, segue-se o seguinte corolário: Se 𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⇔</p><p>𝑄(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) então, também se tem: 𝑃(𝑃0, 𝑄0, 𝑅0, … ) ⇔ 𝑄(𝑃0, 𝑄0, 𝑅0, … ), quaisquer</p><p>que sejam as proposições.</p><p>61</p><p>Orientados por Filho (2002), seguem- se os seguintes exemplos:</p><p>A bincondiocional (𝑝 ∧∼ 𝑞 → 𝑐) ↔ (𝑝 → 𝑞) onde 𝑐 é uma proposição cujo valor</p><p>lógico é F (falso). A conclusão a que se chega é que essa proposição é uma tautológia.</p><p>Veremos tal fato pela sua tabela-verdade.</p><p>𝑝 𝑞 (𝑝 ∧ ∼ 𝑞 → 𝑐) ↔ (𝑝 → 𝑞)</p><p>V V V F F V F V V V V</p><p>V F V V V F F V V F F</p><p>F V F F F V F V F V V</p><p>F F F F V V F V F V F</p><p>1 3 2 4 1 5 1 2 3</p><p>O próximo exemplo ilustra a Regra de Exportação-Importação. Eis o exemplo a</p><p>proposição (𝑝 ∧ 𝑞 → 𝑟) ↔ (𝑝 → (𝑞 → 𝑟)) é tautológica. De fato, vamos verificar a sua</p><p>tabela-verdade.</p><p>(𝑝 ∧ 𝑞 → 𝑟) ↔ (𝑝 → (𝑞 → 𝑟))</p><p>V V V V V V V V V V V</p><p>V V F F F V V F V F F</p><p>V F V V V V V V F V V</p><p>V F F V F V V F F F F</p><p>F V V V V V F V V V V</p><p>F V F V F V F F V F F</p><p>F F V V V V F V F V V</p><p>F F F V F V F F F F F</p><p>Portanto as condicionais são tautológicas conforme destacado na coluna resultante.</p><p>6.2 Proposições Associadas a uma Condicional</p><p>62</p><p>O propósito desta seção é demostrar algumas propriedades importantes, referente a</p><p>proposições associadas a uma condicional. Filho (2002, p.59) orienta que: dada a</p><p>condicional 𝑝 → 𝑞,chamam proposições associadas a 𝑝 → 𝑞 as três proposições</p><p>condicionais que contêm p e q:</p><p>a) 𝑝 → 𝑞: 𝑞 → 𝑝 Proposição recíproca</p><p>b) 𝑝 → 𝑞: ∼ 𝑝 →∼ 𝑞 Proposição contraria</p><p>c) 𝑝 → 𝑞: ∼ 𝑞 →∼ 𝑝 Proposição Contrapositiva</p><p>Mostrar-se-á veracidade destas três proposições por meio da tabela-verdade.</p><p>p q 𝑝 → 𝑞 𝑞 → 𝑝 ∼ 𝑝</p><p>→∼ 𝑞 ∼ 𝑞 →∼ 𝑝</p><p>V V V V V V</p><p>V F F V V F</p><p>F V V F F V</p><p>F F V V V V</p><p>Observe que as colunas que contêm as proposições</p><p>𝑝 → 𝑞 e ∼ 𝑞 →∼ 𝑝 são idênticas e as colunas que contêm as proposições</p><p>𝑞 → 𝑝 e ∼ 𝑝 →∼ 𝑞 também são idênticas ficando demonstrado as propriedades</p><p>elencadas.</p><p>Conclusão:</p><p>A condicional e a contrapositiva são equivalentes que em símbolos fica como se</p><p>segue:</p><p>𝑝 → 𝑞 ⇔∼ 𝑞 →∼ 𝑝</p><p>A recíproca e a contrária da condicional são equivalentes que, em símbolo, fica como</p><p>segue:</p><p>𝑞 → 𝑝 ⇔ ∼ 𝑝 →∼ 𝑞.</p><p>Considere o seguinte exemplo:</p><p>Seja a condicional relativa a um triangulo retângulo T:</p><p>𝑝 → 𝑞: 𝑆𝑒 𝑇 é 𝑟𝑒𝑡â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑇 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑢𝑚 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑜.</p><p>A recíproca dessa proposição fica.</p><p>𝑞 → 𝑝: 𝑆𝑒 𝑇 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑢𝑚 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑜, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑇 é 𝑟𝑒𝑡â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜.</p><p>63</p><p>Aqui a condicional 𝑝 → 𝑞 é verdadeira e a condicional 𝑞 → 𝑝 também é verdadeira.</p><p>Agora considere a seguinte proposição condicional.</p><p>𝑝 → 𝑞: 𝑆𝑒 𝑥2 é í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 é 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟.</p><p>A contrapositiva desta condicional é:</p><p>∼ 𝑞 →∼ 𝑝: 𝑆𝑒 𝑥 é 𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥2 é 𝑝𝑎𝑟.</p><p>De fato, se 𝑥 for par, podemos representar 𝑥 =</p><p>2𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑎𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠. Como 𝑥2 = 2.2𝑛2,segue que 𝑥2 é 𝑝𝑎𝑟.</p><p>Logo, a contrapositiva é verdadeira, e, por conseguinte, a proposição condicional dada por</p><p>𝑝 → 𝑞 também é verdadeira.</p><p>EXERCÍCIOS DE APRENDIZADO</p><p>Demonstrar por tabelas-verdade as seguintes equivalências:</p><p>a) p ∧ (p ∨ 𝑞) ⟺ 𝑝</p><p>b) p ∨ (p ∧ 𝑞) ⟺ 𝑝</p><p>c) p ⟶ p ∨ 𝑞 ⟺ 𝑝 ⟶ q</p><p>d) q ⟶ p ∨ 𝑞 ⟺ 𝑝 ⟶ q</p><p>e) (p ⟶ p) ∧ (𝑝 ⟶ 𝑟) ⟺ 𝑝 ⟶ q ∧ r</p><p>64</p><p>7- ARGUMENTOS E REGRAS DE INFERÊNCIA</p><p>Uma boa reflexão sobre o conceito de argumento na perspectiva do raciocínio lógico</p><p>encontra-se em Bispo, et al (2011) que propõem que argumento é um conjunto de n</p><p>proposições onde uma delas é consequências e depende das demais. Este mesmo autor</p><p>apresenta um exemplo que nos ajuda a embasar o tópico estudado de modo mais claro.</p><p>Eis o exemplo. Considere o seguinte cenário: Se tivesse dinheiro, iria ao cinema. Se</p><p>fosse ao cinema, me encontraria com Júlia. Não tenho dinheiro. Portanto, não</p><p>encontrarei com Júlia.</p><p>Vamos organizar as informações, ou seja, neste caso temos:</p><p>a) A premissa 𝑃1 é: Se tivesse dinheiro, iria ao cinema.</p><p>b) A premissa 𝑃2 é: Se fosse ao cinema, e encontraria com Júlia.</p><p>c) A premissa 𝑃3 é: Não tenho dinheiro.</p><p>Conclusão C é: Não me encontrei com Júlia. Colocando-o na forma de símbolos os</p><p>argumentos apresentados anteriormente, temos:</p><p>1) 𝑃1</p><p>2) 𝑃2</p><p>3) 𝑃3</p><p>4) ∴ C</p><p>Mas, se tomarmos:</p><p>D=Ter dinheiro</p><p>C=Ir Ao cinema</p><p>J= Encontrar Júlia.</p><p>Vamos apresentar na forma de argumento</p><p>1)𝐷 → 𝐶</p><p>2)𝐶 → 𝐽</p><p>3)~𝐷</p><p>4)∴ ~𝑗</p><p>Com o intuito de conceituar argumento recorremos a Filho (2002). Sejam 𝑃1, 𝑃2, …,</p><p>𝑃n (𝑛 ≥ 1) e Q proposições quaisquer, simples ou compostas chama-se argumento toda a</p><p>65</p><p>afirmação de que uma dada sequência finita 𝑃1, 𝑃2, …, 𝑃𝑛(𝑛 ≥1) de proposições tem</p><p>como sequência ou acarreta uma proposição Q.</p><p>Ademais este mesmo autor conclui que: Um argumento de premissa 𝑃1, 𝑃2, …, 𝑃n e</p><p>de conclusão Q indica-se por:</p><p>𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛 ⊣ 𝑄</p><p>E se lê de uma das seguintes maneiras:</p><p>(𝑖) 𝑃1, 𝑃2, …, 𝑃n 𝑎𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑡𝑎𝑚 𝑄</p><p>(𝑖𝑖) Q decorre de 𝑃1, 𝑃2, …, 𝑃n</p><p>(𝑖𝑖𝑖) Q se deduz de 𝑃1, 𝑃2, …, 𝑃n</p><p>(𝑖𝑣) Q se infere de 𝑃1, 𝑃2, …, 𝑃n</p><p>Por fim um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão chama-se</p><p>silogismo.</p><p>7.1 Validade de um Argumento</p><p>Enunciaremos em forma de teorema a ideia do conceito de validade de um</p><p>argumento. Um argumento 𝑃1, 𝑃2, …, 𝑃n ⊢ 𝑄 diz-se válido se e somente se a conclusão</p><p>Q é verdadeira todas as vezes que as premissas 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … . 𝑃𝑛 são verdadeiras. Filho</p><p>(2002) propõem que em outros termos, um argumento 𝑃1, 𝑃2, …, 𝑃n ⊢ 𝑄 é válido se e</p><p>somente se for V o valor lógico da conclusão Q todas as vezes que as premissas 𝑃1, 𝑃2,</p><p>…, 𝑃n tiverem o valor lógico V.</p><p>Para Bispo et al (2011, p.36) “o símbolo ⊣ é chamado de asserção, e afirma que a</p><p>proposição a direita pode ser deduzida utilizando como premissas somente as</p><p>proposições que estão à sua esquerda.” Portanto, todo argumento válido usufrui das</p><p>seguintes propriedades.</p><p>𝑖) “A Verdade das premissas é incompatível com a falsidade da</p><p>conclusão”</p><p>As proposições 𝑷𝟏, 𝑷𝟐, …, 𝑷𝒏 dizem-se as premissas do argumento, e a</p><p>proposição final Q diz a conclusão do argumento.</p><p>66</p><p>𝑖𝑖) “Um argumento não-válido diz-se um sofisma”</p><p>De acordo com Filho (2002), todo argumento possui valor lógico, digamos V se é</p><p>válido (correto, legítimo) ou F se é sofisma (incorreto ou ilegítimo). As premissas dos</p><p>argumentos são verdadeiras ou não, pelo menos admitidas como tal. Aliás, a Lógica só</p><p>se preocupa com a validade dos argumentos e não com a verdade ou falsidade das</p><p>premissas e das conclusões.</p><p>A validade de um argumento depende, exclusivamente, da relação existente entre a</p><p>premissa e a conclusão. Portanto, afirmar que um dado argumento é válido, significa</p><p>afirmar que as premissas estão de tal modo relacionas com a conclusão que não é</p><p>possível ter a conclusão falsa se as premissas são verdadeiras. (FILHO,2002, p.88)</p><p>Por outro lado</p><p>Um argumento é dito inválido somente quando todas as suas premissas são</p><p>verdadeiras e a conclusão é falsa. De modo que a verdade e a falsidade são</p><p>propriedades das proposições enquanto a validade e invalidade são propriedades dos</p><p>argumentos. (BISPO, et al, 2011, p.36)</p><p>Trataremos da validade dos argumentos de modo mais específico. Ou seja,</p><p>estabeleceremos os Critérios de validade de um argumento. De fato, um argumento 𝑃1,</p><p>𝑃2, …, 𝑃n ⊢ 𝑄 é válido se e somente se a condicional é tautológica. Filho (2002, p.88).</p><p>(𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛) → 𝑄</p><p>Assim a validade ou não validade de um argumento depende apenas da sua forma e</p><p>não de seu conteúdo. Bispo, et al (2011) argumenta que: “um argumento não pode ser</p><p>válido ou inválido ao mesmo tempo. Assim, como o valor-verdade de uma proposição</p><p>depende do contexto, enquanto a validade de um argumento depende da forma.”</p><p>Argumentos diversos podem ter a mesma forma. De modo que a forma que é que</p><p>determina a validade, ou seja, o correto a se falar é validade de uma dada forma ao invés</p><p>de falar da validade de um dado argumento, Filho (2002). Em relação á validade de um</p><p>argumento, esse mesmo autor faz referência a linguagem simbólica de modo que:</p><p>Se o argumento</p><p>𝑃1(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ), … , 𝑃𝑛(𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⊢ 𝑄 é válido, então o argumento da mesma</p><p>forma</p><p>𝑃1(𝑅, 𝑆, 𝑇, … ), … , 𝑃𝑛(𝑅, 𝑆, 𝑇, … ) ⊢ 𝑄(𝑅, 𝑆, 𝑇, … ) também é valido, quaisquer</p><p>que sejam as proposições R, S, T, ...</p><p>67</p><p>Por exemplo, o argumento válido segue 𝑝 ⊢ 𝑝 ∨ 𝑞 (*) segue-se a validade dos</p><p>argumentos:</p><p>(∼ 𝑝 ∧ 𝑟) ⊢ (∼ 𝑝 ∧ 𝑟) ∨ (∼ 𝑠 ⟶ 𝑟);</p><p>(𝑝 → 𝑟 ∨ 𝑠) ⊢ (𝑝 → 𝑟 ∨ 𝑠) ∨ (∼ 𝑟 ∧ 𝑠)</p><p>Pois, ambos têm a mesma forma de (*).</p><p>Do exemplo acima pode-se inferir que a validade ou não-validade de um argumento</p><p>depende apenas da sua forma e não do seu conteúdo ou da verdade ou falsidade das</p><p>proposições que o integram Filho (2002, p.89)</p><p>7.2 Argumentos válidos fundamentais</p><p>São argumentos válidos fundamentais ou básicos (de uso</p><p>corrente) os constantes da</p><p>seguinte lista. Filho (2002).</p><p>1) Adição (AD)</p><p>𝑖)𝑝 ⊢ 𝑝 ∨ 𝑞 ; 𝑖𝑖)𝑝 ⊣ 𝑞 ∨ 𝑝</p><p>2) Simplificação (SIMP)</p><p>𝑖)𝑝 ∧ 𝑞 ⊢ 𝑝; 𝑖𝑖)𝑝 ∧ 𝑞 ⊣ 𝑞</p><p>3) Conjunção (CONJ)</p><p>𝑖)𝑝, 𝑞 ⊢ 𝑝 ∧ 𝑞 ; 𝑖𝑖)𝑝, 𝑞 ⊢ 𝑞 ∧ 𝑝</p><p>4) Absorção (ABS)</p><p>𝑝 → 𝑞 ⊢ 𝑝 → (𝑝 ∧ 𝑞)</p><p>5) Modus ponnens (MP)</p><p>𝑝 → 𝑞, 𝑝 ⊢ 𝑞</p><p>6) Modus tollens (MT)</p><p>68</p><p>𝑝 → 𝑞, ∼ 𝑞 ⊢ ∼ 𝑝</p><p>7) Silogismo disjuntivo (SD)</p><p>𝑖)𝑝 ∨ 𝑞, ∼ 𝑝 ⊢ 𝑞; 𝑖𝑖)𝑝 ∨ 𝑞, ∼ 𝑞 ⊢ 𝑝</p><p>8) Silogismo hipotético (SH)</p><p>𝑝 → 𝑞, 𝑞 → 𝑟 ⊢ 𝑝 → 𝑟</p><p>9) Dilema construtivo (DC)</p><p>𝑝 → 𝑞, 𝑟 → 𝑠, 𝑝 ∨ 𝑟 ⊢ 𝑞 ∨ 𝑠</p><p>10) Dilema destrutivo (DD)</p><p>𝑝 → 𝑞,, 𝑟 → 𝑠, ∼ 𝑞 ∨ ~𝑠 ⊢ ~𝑝 ∨ ~𝑟</p><p>7.3-Regras de Inferência</p><p>Esta seção será orientada pela seguinte ideia.</p><p>Os argumentos básicos são usados para fazer “inferências”, isto é, executar os</p><p>“passos lógicos” de uma dedução ou demonstração, e por isso chamam-se,</p><p>também regras de inferência, sendo habitual escrevê-los na forma padronizada</p><p>abaixo indicada – colocando as premissas sobre um traço horizontal e, em seguida,</p><p>a conclusão sob o mesmo traço. (FILHO,2001, p.91)</p><p>1) Regra de Adição (AD)</p><p>𝑖)</p><p>𝑝</p><p>𝑝∨𝑞</p><p>𝑖𝑖)</p><p>𝑝</p><p>𝑞∨𝑝</p><p>2) Regra de Simplificação (SIMPL)</p><p>𝑖)</p><p>𝑝∧𝑞</p><p>𝑝</p><p>𝑖𝑖)</p><p>𝑝∧𝑞</p><p>𝑞</p><p>3) Regra da Conjunção (CONJ)</p><p>69</p><p>𝑖)</p><p>𝑝</p><p>𝑞</p><p>𝑝∧𝑞</p><p>𝑖𝑖)</p><p>𝒑</p><p>𝒒</p><p>𝒒∧𝒑</p><p>4) Regra da Absorção (ABS)</p><p>𝑝 → 𝑞</p><p>𝑝 → (𝑝 ∧ 𝑞)</p><p>5) Regra de Modus ponnens (MP)</p><p>𝑝 → 𝑞</p><p>𝑝</p><p>𝑞</p><p>6) Regra do Silogismo (SD)</p><p>𝑖)</p><p>𝑝∨𝑞</p><p>~𝑝</p><p>𝑞</p><p>𝑖𝑖)</p><p>𝑝∨𝑞</p><p>~𝑞</p><p>𝑝</p><p>7) Regra do Silogismo hipotético (SH)</p><p>𝑝 → 𝑞</p><p>𝑞 → 𝑝</p><p>𝑝 → 𝑞</p><p>8) Regra do Dilema construtivo (DC)</p><p>𝑝 → 𝑞</p><p>𝑟 → 𝑠</p><p>𝑝 ∨ 𝑟</p><p>𝑞 ∨ 𝑠</p><p>9) Regra do Dilema destrutivo (DD)</p><p>𝑝 → 𝑞</p><p>𝑟 → 𝑠</p><p>~𝑞 ∨ ~𝑠</p><p>∼ 𝑝 ∨ ~𝑟</p><p>10) Regra do Modus tollens (MD)</p><p>𝑝 → 𝑞</p><p>~𝑞</p><p>~𝑝</p><p>70</p><p>EXERCÍCIOS DE APRENDIZADO</p><p>1) Indicar a Regra de Inferência que justifica a validade dos seguintes argumentos:</p><p>a) 𝑝 → 𝑞 ⊢ (𝑝 → 𝑞) ∨ ~ 𝑟</p><p>b) ~ 𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑟) ⊢ ~𝑝</p><p>c) 𝑝 → 𝑞, 𝑞 → ~𝑟 ⊢ 𝑝 → ~𝑟</p><p>d) 𝑝 → (𝑞 → 𝑟), 𝑝 ⊢ 𝑞 → 𝑟</p><p>e) (𝑞 ∨ 𝑟) → ~𝑝, ~~𝑝 ⊢ ~ (𝑞 ∨ 𝑟)</p><p>f) 𝑝 → 𝑞, 𝑟 → ~𝑠 ⊢ (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑟 → ~𝑠)</p><p>g) (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (~𝑝 ∧ 𝑟), ~ (~𝑝 ∧ 𝑟) ⊢ 𝑝 ∧ 𝑞</p><p>h) 𝑝 → 𝑞 ∨ 𝑟 ⊢ 𝑝 → 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)</p><p>2) Considere a seguinte sentença:</p><p>“O bancário será aprovado no concurso, pois é um candidato estudioso e candidatos</p><p>estudiosos passam no concurso.” A conclusão do argumento expresso por essa sentença</p><p>é a de que:</p><p>a) o bancário é estudioso.</p><p>b) existem candidatos estudiosos.</p><p>c) o bancário é estudioso ou existem alunos estudiosos.</p><p>d) candidatos estudiosos passam no concurso.</p><p>e) o bancário será aprovado no concurso.</p><p>71</p><p>03) Testar a validade dos seguintes argumentos.</p><p>Se 8 é par, então 5 não é primo.</p><p>Mas 8 é par.</p><p>Conclusão. Logo 5 é primo</p><p>4) Considere verdadeira a frase: “Quem tem amigo é feliz e quem chora não é feliz”.</p><p>Assim, é correto concluir que:</p><p>72</p><p>REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS</p><p>ALENCAR FILHO, Edgar de. Iniciação a Lógica Matemática. São Paulo. Nobel. 2002.</p><p>DAGHLIAN, Jacob. Lógica e álgebra de Boole. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1995.</p><p>ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. NBR 14724:</p><p>Informação e documentação - trabalhos acadêmicos - apresentação. Rio de Janeiro, 2011.</p><p>CARVALHO, CAMPOS, Raciocínio Lógico Simplificado. 2° Ed. Salvador: Jus PODVM.</p><p>2016.</p><p>IBGE. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Disponível em: www.ibge.gov.br</p><p>Acesso em: jan 2021.</p><p>IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; GEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. Matemática.</p><p>Volume único. 2 ed. São Paulo: Atual, 2002.</p><p>KELLER, Vicente.; BASTOS, Cleverson Leite. Aprendendo lógica. 18. ed. Petrópolis:</p><p>Vozes, 2009.</p><p>MORGADO, Augusto. C., CESAR, Benjamin. Raciocínio Lógico-Quantitativo. 3 ed. Rio</p><p>de Janeiro: Elsevier, 2008.</p><p>MORTARI, Cezar A. Introdução à lógica. 1 ed. São Paulo: UNESP, 2001.</p><p>PADILHA, Josimar, Raciocínio Lógica-Matemático Fundamentos e Métodos Práticos.</p><p>3°. Ed. Salvador: Jus PODVM. 2019.</p><p>SÉRATES, Jonafon. Raciocínio Lógico. 6°. Ed. Brasília: Gráfica e Editora Olímpica Ltda,</p><p>1997. Vol 1.</p><p>http://www.ibge.gov.br/</p><p>5.2 Tautologias e Implicação Lógica .....................................................................................................55</p><p>Exercícios de Aprendizado.............................................................................................................. 57</p><p>6. EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS .................................................................................................... 59</p><p>6.1 Conceito de equivalência lógica ................................................................................................ 59</p><p>6.2 Proposições Associadas a uma Condicional ............................................................................. 61</p><p>Exercícios de Aprendizado.............................................................................................................. 63</p><p>7. ARGUMENTOS E REGRAS DE INFERÊNCIA ...................................................................... 64</p><p>7.1 Validade de um Argumento ..................................................................................................... 65</p><p>7.2 Argumentos válidos fundamentais ........................................................................................... 67</p><p>7.3 Regras de Inferência ................................................................................................................. 68</p><p>Exercícios de Aprendizado.............................................................................................................. 70</p><p>REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................ 72</p><p>7</p><p>UD I – RACIOCÍNIO LÓGICO</p><p>INTRODUÇÃO AO RACIOCÍNIO LÓGICO</p><p>Ao estudarmos Raciocínio Lógico, temos a preocupação de investigar a validade dos</p><p>argumentos, ou seja, utilizaremos passos lógicos que nos permitam obter alguma conclusão,</p><p>a partir de dados, que podem ser verdadeiros ou falsos, de modo que, para áreas que exigem</p><p>raciocínios mais sofisticados, convém evoluir dos conhecimentos prévios sobre Lógica Básica</p><p>para raciocínios que atendam a essa sofisticação. Sendo assim, estudantes de Matemática,</p><p>Filosofia, Ciências, Línguas ou Direito se apoiam na Lógica Formal.</p><p>A apropriação do conhecimento de lógica é fundamental na compreensão de conceitos</p><p>básicos em diversas áreas do conhecimento, possibilitando por meio dessa, a compreensão de</p><p>provas em diversas áreas da ciência em geral, tornando acessível a compreensão de</p><p>raciocínios mais sofisticados.</p><p>Segundo Bispo; Castanheira; Filho (2011, p.12), “em uma primeira aproximação, a</p><p>Lógica pode ser entendida como a Ciência que estuda os princípios e os métodos que</p><p>permitem estabelecer as condições de validade e invalidade dos argumentos”. Para o autor</p><p>Abar (2006), o exercício da lógica auxilia no raciocínio, na compreensão de conceitos básicos,</p><p>e é uma ótima ferramenta de aprendizado de tópicos mais avançados referente as diversas</p><p>áreas de conhecimento.</p><p>No entanto, não é possível trabalhar com a lógica sem fazer referência ao autor que vem</p><p>sendo reconhecido como o Pai da Lógica por mais de dois mil anos “Aristóteles” Duarte;</p><p>Teixeira (2016). Conforme a filosofia aristotélica, a lógica trata das regras e leis que controlam</p><p>o pensamento para que esse seja correto. “Para Aristóteles, o objetivo da lógica era levantar</p><p>os argumentos, ou seja, encadeamentos de conceitos e juízos que levariam a novas verdades"</p><p>(DUARTE; TEIXIERA,2016, pg.19) nos princípios quando aplicados, auxilia o processo de</p><p>separar o raciocínio correto do incorreto.</p><p>A lógica, é comumente chamada de formal, simbólica ou ainda matemática, podendo</p><p>ser tratada mediante a essas três concepções, conforme Bispo; Castanheira e Filho (2011).</p><p>1° Lógica como sistema de regras;</p><p>2° Lógica como um conjunto de leis;</p><p>3° Lógica como estrutura linguística.</p><p>A lógica é a disciplina que</p><p>8</p><p>trata das formas de pensamento, da linguagem descritiva do pensamento, das leis da</p><p>argumentação e raciocínios corretos, dos métodos e dos princípios que regem o</p><p>pensamento humano. Portanto, não se trata somente de uma arte, mas também de</p><p>uma ciência. É uma ciência porque possui um objeto definido: as formas de</p><p>pensamento (KELLER; BASTOS, 1991, p.13).</p><p>No que se refere à aplicação da lógica, observamos que, na área da Ciência da</p><p>Computação, seu uso é mais acentuado como, por exemplo, na análise da complexidade de</p><p>algoritmos e banco de dados, bases da Teoria da Computação, Teoria dos Tipos, Circuitos</p><p>Digitais e Lógica Epistêmica, entre outros tópicos fundamentais na Computação. Além</p><p>disso, o estudo da lógica proporciona a aplicação de princípios que auxiliarão no processo</p><p>de distinção do raciocínio correto do incorreto tendo em vista que a lógica se preocupa com</p><p>esses aspectos da discussão referente à lógica. Nesta parte introdutória, foram identificadas</p><p>identificando algumas das dimensões do conceito de lógica e suas aplicações na sociedade.</p><p>9</p><p>1- Proposições</p><p>1.1 Conceito de Proposição</p><p>Com o propósito de conceituar proposição, recorremos a Filho (2002) que assim a</p><p>define proposição como segue:</p><p>Cabe ressaltar que uma proposição é uma sentença declarativa que pode assumir</p><p>apenas dois valores lógicos verdadeiro (V) ou falso (F). Uma proposição pode ser escrita</p><p>na linguagem usual ou na forma simbólica.</p><p>Exemplos de proposições escritas na forma usual:</p><p>1. Maria Quitéria de Jesus Medeiros foi a primeira mulher a lutar no Exército.</p><p>2. Olavo Bilac é o Patrono do Serviço Militar.</p><p>3. No Dia 19 de novembro, comemora-se o Dia da Bandeira.</p><p>4. O Dia do Soldado, no Brasil, é comemorado no dia 25 de agosto.</p><p>Uma proposição é, necessariamente, dada por uma sentença afirmativa, pois não</p><p>poderíamos atestar a verdade diante de sentenças interrogativas ou exclamativas. Dessa</p><p>forma, as sentenças abaixo são não declarativas.</p><p>1. Vamos entrar em forma! (sentença imperativa)</p><p>2. O uso do 4° uniforme é obrigatório! (sentença imperativa)</p><p>3. O portão bravo está fechado? (sentença interrogativa)</p><p>4. Faça seu trabalho!</p><p>As sentenças apresentadas acima são exemplos de sentença abertas pois não foi</p><p>possível estabelecer um valor-verdade para cada sentença. Ou seja, elas não podem ser</p><p>classificadas como verdadeiras (V) e como falsas (F). Ademais, vamos apresentar dois</p><p>Chama-se proposição todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem</p><p>um pensamento de sentido completo. As proposições transmitem</p><p>pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a</p><p>respeito de determinados entes.</p><p>10</p><p>princípios que nortearão nossa discussão. Ancorado em Filho (2002) e Bispo;</p><p>Castanheira, e Filho (2011), os seguintes princípios ou (axiomas) da lógica clássica são</p><p>verdadeiros e possuem os seguintes enunciados:</p><p>i. Princípio da identidade: Toda proposição é idêntica a si mesma;</p><p>ii. Princípio não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa</p><p>ao mesmo tempo; e</p><p>iii. Princípio do terceiro excluído: Toda a proposição ou é verdadeira ou é</p><p>falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. Dessa</p><p>forma, vamos finalizar essa seção realizando uma discussão complementar</p><p>referente a ideia de sentença. “Sentenças são orações com sujeito (termo a</p><p>respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara algo sobre o</p><p>sujeito)”. (CARVALHO; CAMPOS; 2016, p.20).</p><p>Tendo em vista esses aspectos, vamos verificar, nas relações abaixo, quais sentenças</p><p>são proposições.</p><p>a) Três mais nove é igual a doze.</p><p>b) Pelé é brasileiro.</p><p>c) O jogador de futebol.</p><p>d) A idade de Maria.</p><p>e) A metade de um número.</p><p>f) O triplo de 15 é um número superior</p><p>a dez.</p><p>É correto afirmar que somente os itens (a), (b) e (f) são proposições. Como veremos na</p><p>próxima seção, toda sentença declarativa pode ser representada por símbolos ou por palavras.</p><p>1.2 Representação das Proposições</p><p>Segundo Bispo, Castanheira e Filho (2011, p.5), “uma proposição é simples se, e</p><p>somente se, contiver uma única afirmação. E será composta quando for constituída por uma</p><p>sequência finita de pelo menos duas proposições simples”</p><p>1.2.1 Proposições Simples</p><p>Chama-se proposição simples ou proposição atômica aquela que não contém nenhuma</p><p>outra proposição como parte integrante de si mesma.</p><p>11</p><p>Uma proposição é dita simples ou atômica aquela que não contém</p><p>nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma.</p><p>As proposições simples são geralmente designadas pelas letras latinas minúsculas p, q, r, s,</p><p>chamadas letras proposicionais. Assim, por exemplo, dos itens abaixo quais são consideradas</p><p>proposições simples:</p><p>a) Todo aluno da Escola de Sargentos das Armas é vibrante.</p><p>b) Abel é aluno da ESA.</p><p>c) O número vinte e cinco não é um quadrado perfeito.</p><p>d) Argentina e Brasil</p><p>e) O Brasil é um país da América do Sul.</p><p>f) Será que meu médico é competente?</p><p>g) Um quilometro tem 100 metros.</p><p>Note que dos itens acima apenas (a), (d), (f) não são proposição simples. De modo</p><p>que, na lógica sentencial, denomina-se proposição em uma frase que pode ser julgada</p><p>como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas.</p><p>1.2.2 Proposições Compostas.</p><p>Chama-se proposição composta ou proposição molecular aquela formada pela combinação</p><p>de duas ou mais proposições. Eis a definição, conforme Filho (2002, p.12).</p><p>As proposições compostas são representadas pelas letras latinas maiúsculas P, Q, R, S, também</p><p>chamada letras proposicionais conforme destaca Filho (2002). Assim, por exemplo, são proposições</p><p>compostas:</p><p>P: O corneteiro toca e a tropa avança.</p><p>Q: Homero não é honesto e João é justo.</p><p>Proposição composta é aquela formada pela composição de duas ou mais</p><p>proposições. É também chamada proposição molecular ou molécula.</p><p>12</p><p>R: Homero é justo ou João não é honesto.</p><p>As proposições compostas também costumam ser chamadas de fórmulas proposicionais ou</p><p>apenas fórmulas conforme destaca Alencar (2002). Quando interessa destacar ou explicitar</p><p>que uma proposição composta P é formada pela combinação das proposições simples p, q, r,</p><p>..., escreve-se: P (p, q, r, ...). Agora vamos observar o seguinte exemplo. Uma vez que</p><p>interpretamos a ideia conceitual de proposição composta é valido observar que a determinação</p><p>de uma proposição composta é feita pela combinação de proposições simples via conectivos</p><p>lógicos portanto passaremos agora a definir o conceito de conectivo lógico.</p><p>Chamam conectivos as palavras que se usam para formar novas proposições a partir de</p><p>outras. (ALENCAR,2002, p.13). Nesse mesmo contexto, Bispo, et al (2011), p.5) concluem</p><p>que, no contexto da lógica, trabalharemos com cinco conectivos lógicos. Eis os conectivos e</p><p>suas respectivas representações simbólicas:</p><p>(i) e ∧</p><p>(ii) ou ∨</p><p>(iii) se … , então →</p><p>(iv) se, e somente se ↔</p><p>(v) não ~</p><p>Na maioria dos casos, os conectivos ligam duas ou mais proposições (ou sentenças). Assim,</p><p>por exemplo:</p><p>1. A ESA possui duas entradas de acesso sendo uma delas o portão alfa e o portão</p><p>bravo (linguagem corrente). Logo sua representação simbólica p. Sendo 𝑝 = A ESA</p><p>possui duas entradas de acesso sendo uma delas o portão alfa 𝑞: o portão bravo. Logo</p><p>temos o que sua representação simbólica fica como se segue: 𝑝 ∧ 𝑞</p><p>2. Um aluno da ESA realiza TFM ou participa da formatura. (linguagem corrente).</p><p>Sendo: 𝑝 = Um aluno da ESA realiza TFM 𝑞: participa da formatura. Logo temos o</p><p>que sua representação simbólica fica como se segue: 𝑝 ∨ 𝑞</p><p>3. Está chovendo. Logo a negação desta proposição é: Não está chovendo. (linguagem</p><p>corrente). Sendo 𝑝: Está chovendo. Logo temos que a representação simbólica da</p><p>negação de p fica como segue: ~𝑝 = Não está chovendo.</p><p>13</p><p>4. Se o PDA for acionado, então os postos deverão ser reforçados. (linguagem</p><p>corrente). Sendo 𝑝 = Se o PDA for acionado 𝑞: Postos deverão ser acionado. Logo,</p><p>temos a representação simbólica que segue: 𝑝 → 𝑞.</p><p>5. O TFM será centralizado se e somente se houver formatura geral. (linguagem</p><p>corrente). Sendo que: 𝑝 = O TFM será centralizado 𝑞: Houver formatura. Logo,</p><p>temos a representação simbólica como se segue: 𝑝 ↔ 𝑞.</p><p>Agora suponha que P representa a seguinte proposição: hoje fez frio, e que Q</p><p>represente a proposição Abel foi à praia e R represente a seguinte proposição Luiza foi</p><p>ao comércio.</p><p>Tendo como base tais informações, julgue os seguintes itens e classifique-os em</p><p>verdadeiro ou falso.</p><p>a) Se hoje não fez frio, então Luiza não foi ao comercio e Abel não foi à praia pode ser</p><p>representada corretamente por: ~P → (~R ∧∼ Q). Resposta verdadeira</p><p>b) Hoje fez frio e Abel foi á praia pode ser corretamente representado por: ~P ∧∼ Q.</p><p>Resposta Falsa.</p><p>Nos próximos exemplos vamos continuar explorando a ideia de aplicação de</p><p>conectivos.</p><p>Exemplo 1) (FCC adaptada) Considere a seguinte proposição “Paula estuda, mas não passa</p><p>no concurso”. Nessa proposição, o conectivo, lógico é:</p><p>a) disjunção</p><p>b) conjunção</p><p>c) disjunção</p><p>d) condicional</p><p>e) bincondicional</p><p>Justificativa:</p><p>Não restam dúvidas de que o presente enunciado faz referência a uma proposição</p><p>composta de modo que na 1°) “Paula estuda”; e 2°) “Paula não passa no concurso”</p><p>representam duas proposições simples ligada por um conectivo. No presente estudo,</p><p>abordaremos quatro tipos de conectivos lógicos existentes, que são os que se seguem:</p><p>e, ou, se.... então, se e somente se. Note que, no enunciado, temos a palavra “mas”</p><p>14</p><p>imediatamente surge uma indagação: quais dos conectivos acima pode substituir a</p><p>palavra “mas”? Ao observamos o enunciado, fica evidente dois aspectos sobre Paula:</p><p>que ela estuda e que ela passa no concurso.</p><p>Portanto, o conectivo que melhor substitui a palavra “mas” é o conectivo “e’’.</p><p>Alternativa correta B. Logo, teremos o seguinte: “Paula estuda e passa no concurso”.</p><p>Observação importante: vamos tomar como regra geral que a palavra “mas” (e as demais</p><p>conjunções adversativas do tipo: porém, entretanto, contudo etc.) escrita em uma</p><p>sentença pode ser trocado pelo conectivo “e”. Sobre conectivos, veremos com mais</p><p>detalhes na próxima seção.</p><p>1.3 Valores Lógicos das Proposições e Noções da Tabela-Verdade.</p><p>Define-se valor lógico de uma proposição a verdade, se a proposição é verdadeira; e a</p><p>falsidade, se a proposição é falsa. De modo que a representação simbólica dos valores lógicos</p><p>de uma proposição é denotada abreviadamente pelas letras V e F, respectivamente. Por meio</p><p>dessa compreensão, fica estabelecido o princípio da identidade, o da não contradição e do</p><p>terceiro excluído conforme destacado acima que se referente ao valor lógico, assegura que:</p><p>“Todas as proposições têm um, e um só, dos valores seguintes V ou F”.</p><p>Por exemplo, as proposições a seguir possuem apenas um valor lógico verdadeiro.</p><p>1. Se x = 1 e y = sin</p><p>π</p><p>4</p><p>então (</p><p>x+y</p><p>2</p><p>) é um número inteiro.</p><p>2. A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado</p><p>3. Para qualquer x real a seguinte desigualdade x2 > x possui interpretação verdadeira.</p><p>4. O Dia do Soldado no Brasil é comemorado dia 25 de agosto.</p><p>Justificativa:</p><p>No item (1) o valor lógico da proposição é falso. Pois sen</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>=</p><p>√2</p><p>2</p><p>e como</p><p>𝑥 = 1 logo (</p><p>𝑥+𝑦</p><p>2</p><p>)=</p><p>2+√2</p><p>4</p><p>e esse número não pertence ao conjunto dos números inteiros.</p><p>No item (2) o valor da proposição é verdadeiro de acordo com</p><p>Constituição Federal.</p><p>No item (3), o valor da proposição é falso. Basta comparar usando 𝑥 =</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>No item (4), é imediato que o valor da proposição é verdadeiro.</p><p>Toda oração com sujeito e predicado tem que necessariamente possuir verbo.</p><p>15</p><p>Conclusão toda sentença que possui esses aspectos pode ser classificada como uma</p><p>proposição. Assim sendo, pode-se perceber que há uma relação unilateral no processo</p><p>de efetivação do valor lógico de uma proposição composta por meio do uso da</p><p>ferramenta que chamamos de tabela-verdade.</p><p>Apoiados no princípio do terceiro excluído, admite-se que uma proposição p só pode</p><p>assumir dois valores lógicos V (verdade) ou lógico F (falsa).</p><p>Em se tratando de uma proposição composta, os valores lógicos dados a cada</p><p>proposição, corresponde a cada atribuição de valores lógicos às suas respectivas</p><p>proposições simples componentes, por meio de tabelas denominadas “tabelas-</p><p>verdade” ou, alternativamente, usando o que chamamos de “diagrama de árvore”</p><p>(FILHO,2002, p.13).</p><p>Na (Figura 1), adaptada de Filho (2002), podemos observar graficamente como se</p><p>dá esta dinâmica.</p><p>Figura 1: Tabela-verdade e Diagrama de árvore de uma proposição simples componentes.</p><p>Fonte: Adaptado de Filho (2002).</p><p>A determinação do valor lógico da proposição composta fica estabelecido pela</p><p>seguinte relação, pois uma vez conhecidos os valores lógicos das proposições simples</p><p>componentes, tem-se o que se segue: “O valor lógico de uma proposição composta é</p><p>totalmente determinado pelos valores lógicos das proposições simples que a constituem</p><p>e pela operação do conectivo envolvido.” Sérates (1997, p.24)</p><p>Por exemplo, quando estamos tratando de uma proposição composta, na qual as</p><p>proposições simples são representadas por p e q, fica estabelecido que os possíveis</p><p>valores lógicos atribuídos a p e a q; nesse caso, é verdadeiro (V) ou falso (F). Adota-se</p><p>o seguinte procedimento para estabelecer o número de linhas e de colunas de uma proposição</p><p>composta.</p><p>Considere por exemplo uma proposição composta formada por duas proposições simples.</p><p>Logo o número de linhas será obtido da seguinte maneira de 2 x 2 = = 4 possibilidades</p><p>V</p><p>F</p><p>a</p><p>16</p><p>para alternamos os valores lógicos (V) ou (F). Cada uma dessas possibilidades está</p><p>representada na tabela-verdade, na Figura 2, que terá 4 linhas.</p><p>Figura 2: Entradas da Tabela-verdade e do Diagrama de árvore de uma proposição composta A (a,b)</p><p>Fonte: Adaptado de (FILHO,2002, p.14)</p><p>Observa-se que, na figura 2, os valores lógicos V e F se alternam de dois a dois, na</p><p>primeira coluna, que contém a primeira proposição simples p e de um em um, na segunda</p><p>coluna, que contém a segunda proposição simples q, e nota-se que os respectivos valores</p><p>lógicos, representados por VV, VF, FV e FF, são os arranjos binários com repetições</p><p>dos dois elementos V e F.</p><p>Por outro lado, para determinamos o valor lógico de uma proposição composta</p><p>formada por três proposições simples, representadas pelas letras p, q e r, tem-se um total</p><p>de 2 × 2 × 2 = = 8 possibilidades de alternância dos valores lógicos verdadeiros (V)</p><p>ou falso (F). De modo que cada uma dessas possibilidades está representada, na tabela-</p><p>verdade (figura 3), que terá 8 linhas e quatro colunas. Nela, os valores V e F se alternam</p><p>de quatro em quatro na coluna que contêm a proposição a, de dois em dois para a coluna</p><p>que a proposição b e de um em um para a coluna que contêm a proposição c.</p><p>17</p><p>Fonte: Alencar (2002) (Adaptado)</p><p>De modo análogo, pode-se observar que os respectivos valores lógicos representados</p><p>pela letra V e F permutam-se de quatro em quatro para a primeira coluna que contém a</p><p>proposição p; de dois em dois na segunda coluna, que contém a proposição q, e de um</p><p>em um, na a terceira coluna, que contém a proposição r. Por fim, os respectivos valores</p><p>lógicos VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF são ditos os arranjos ternários</p><p>com repetição dos dois elementos V e F conforme destaca Filho (2002).</p><p>Portanto, o valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim,</p><p>exprime-se que p é verdadeiramente (V), escrevendo: V(p) = V. Analogamente,</p><p>exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F. Assim, por exemplo, as proposições</p><p>simples:</p><p>p: 𝑠𝑒𝑛</p><p>𝜋</p><p>3</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>q: 𝑙𝑜𝑔525 = 2</p><p>r: Tenente-Coronel Villagran Cabrita é o Patrono da Arma de Engenharia</p><p>Solução:</p><p>Do estudo de trigonometria, temos sen</p><p>√3</p><p>2</p><p>tornando assim valor da proposição falso</p><p>V(p) = F, por outro lado, temos que da definição de logaritmos segue o valor lógico da</p><p>Figura 3− Entradas da Tabela-verdade e do Diagrama de Árvore de uma proposição</p><p>composta A(a,b,c).</p><p>18</p><p>proposição p será verdadeiro, ou seja, V(q) =V, em relação á proposição r seu valor</p><p>lógico será verdadeiro, ou seja, V(r)=V.</p><p>(CESP-UnB) Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo,</p><p>denotadas por A, B, C, de acordo com art.5° da Constituição Federal. Classifique-as em</p><p>verdadeiro ou falso.</p><p>A: A prática do racismo é crime inafiançável (F)</p><p>B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado (V)</p><p>C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será</p><p>extraditado. (F).</p><p>Observo que o gabarito foi embasado na Constituição Federal.</p><p>EXERCÍCIOS DE APRENDIZADO</p><p>1. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:</p><p>a) O número de divisas da graduação do terceiro-sargento é um número ímpar.</p><p>b) Pelo menos, em um dia par da semana, ocorre formatura na ESA.</p><p>c) Marechal Candido Rondon é o patrono da Arma de Comunicações.</p><p>d)</p><p>e) As cores do Exército são vermelha e azul.</p><p>f) O número de cores da Bandeira Nacional é representado por um número natural</p><p>positivo.</p><p>g) O hexaedro regular tem 8 arestas.</p><p>h) O número 125 é cubo perfeito.</p><p>19</p><p>2- OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES</p><p>Uma vez que fica definido o conceito de proposição simples e composta o passo</p><p>seguinte é estabelecer como se aplicam as operações sobre elas, ou seja, as chamadas</p><p>operações lógicas. Se identificou que uma proposição composta é formada pela</p><p>combinação de 𝑛 proposições simples, feita por intermédio dos conectivos lógicos. As</p><p>proposições que se correlacionam por intermédio dos conectivos lógicos são chamadas de</p><p>expressões proposicionais conforme enfatiza Bispo, et al (2011).</p><p>Os conectivos exercem um papel fundamental nas operações proposicionais. Neste</p><p>contexto, conectivos figuram como operadores lógicos, enquanto os operandos são as</p><p>proposições. Por fim, que admite-se que ao combinar as proposições por meio dos</p><p>conectivos lógicos, obtemos sentenças mais ricas. Como já destacado no capítulo</p><p>anterior, exploraremos os cincos principais conectivos que podem ser representados</p><p>como se segue:</p><p>a) e</p><p>b) ou</p><p>c) se,..,então…</p><p>d)se, e somente se</p><p>e) não</p><p>No quadro abaixo, figuram os cinco principais operadores lógicos que serão</p><p>estudados, bem como suas representações simbólicas.</p><p>Conectivos Símbolo</p><p>Negação ~</p><p>Conjunção ∧</p><p>Disjunção ∨</p><p>Condicional →</p><p>Bicondicional ↔</p><p>Importante observar que, uma vez estabelecidas estas operações, elas admitem ás</p><p>regras que se aplicam as operações na aritmética ou, assemelha-se as mesmas regras</p><p>operacionais com que se efetua aos conjuntos, tais como (interseção, união etc.).</p><p>20</p><p>Agora, elencam-se cada uma das operações definidas por meio dos conectivos</p><p>citados acima, e a partir desses, explorar-se-á a construção das respectivas tabelas-</p><p>verdades das proposições compostas resultantes.</p><p>21</p><p>2.1 Negação (~)</p><p>Com o propósito de se definir o conceito do conectivo de negação recorremos a Filho</p><p>(2002) que conceitua esse conectivo como se segue:</p><p>Assim, se admitido que o valor lógico de</p><p>“p” é verdadeiro, logo a negação do valor</p><p>lógico de “p” é o oposto do valor original de p, que pode ser representado, pela seguinte</p><p>notação “~p”, que se lê: “não p”. Uma vez definida a negação de uma proposição,pode-</p><p>se a partir desse conceito, interpretar a sua tabela-verdade (BISPO; CASTANHEIRA;</p><p>FILHO, 2011, p.11). A Tabela-Verdade da negação de uma proposição simples, é dada</p><p>por:</p><p>Ou seja, ficam definida as seguintes igualdades:</p><p>i) ~V = F, ~ F = V</p><p>ou</p><p>ii)V (~ p) = ~ V(p)</p><p>Vale observar que esse conectivo não liga duas proposições, mas, simplesmente,</p><p>nega a afirmação da proposição que o precede (BISPO; CASTANHEIRA; FILHO, 2011,</p><p>p.11). Considere a seguinte proposição p: A ESA está localizada no município do Ceará.</p><p>Logo, pode-se formular a sua negação do seguinte modo ~ p: A ESA não está localizada</p><p>no município do Ceará.</p><p>Note que V(p) = F e V (~ p) = V.</p><p>Por fim, pode-se verificar a seguinte relação V (~ p) = ~ V(p), pois V (~ p) = V = ~F</p><p>= ~ V(p). Filho (2002, p.18) propõe alguns exemplos esclarecedores acerca do conectivo</p><p>da negação. Eis os exemplos.</p><p>𝑝 ~𝑝</p><p>V F</p><p>F V</p><p>A negação de uma proposição p é a proposição “não p”, que representaremos por “~</p><p>p”, cujo valor lógico é o oposto ao da proposição p.</p><p>22</p><p>Exemplo 1:</p><p>q: 2 + 3 = 5 valor lógico verdadeiro (V)</p><p>~ q: 2 + 3 valor lógico de (F)</p><p>V (~ q) = ~ V(q) = ~ V = F</p><p>Exemplo 2:</p><p>𝑞: 7</p><p>a disjunção como se segue: p ∨ q: DIEx é um documento</p><p>interno do Exército Brasileiro utilizado pela autoridade militar ou CORREIO</p><p>ELETRÔNICO – é um documento eletrônico, meramente informativo, que pode</p><p>responder por algumas rotinas de trabalho, regulado por normas específicas. V(p) = V</p><p>e V(q) = V. Logo, V (pvq) = V(p) ∨ V(q) = V ∨ V = V.</p><p>Exemplo 2:</p><p>Em relação ao corpo humano, considere o seguinte.</p><p>p: Corpo humano é um conjunto de estruturas formada por coluna, ossos e esqueleto.</p><p>q: O peso total do corpo humano é, proporcional ao seu volume.</p><p>p ∨ q: V(p) = V e V(q) = V.</p><p>Logo, V p ∨ q) = V(p) ∨ V(q) = V ∨ V = V.</p><p>Exemplo 3:</p><p>p: 13 é divisível por 3</p><p>q: 5 7</p><p>q: 3i pertence ao conjunto dos números reais.</p><p>p → q: Se 5 > 7, então 3i é real</p><p>V(p) = F e V(q) = F.</p><p>Logo, V (p → q) = V(p) → V(q) = F → F = V.</p><p>Exemplo 5:</p><p>p: -1 é um número natural.</p><p>q: 3 é um número par.</p><p>p → q: se -1 é um número natural, então 3 é um</p><p>número par. V(p) = F e V(q) = F.</p><p>Logo, V (p →q) = V(p) → V(q) = F → F = V.</p><p>30</p><p>Exemplo 6:</p><p>Considere as seguintes proposições</p><p>p: Todos os homens são mortais.</p><p>q: Sócrates é um homem.</p><p>p é condição suficiente para q. E q é condição necessária para p. Logo, podemos,</p><p>conclui-se a bicondicional, ou seja, p se e somente se q. se traduzindo-se em linguagem</p><p>simbólica temos o que segue p ↔ 𝑞.</p><p>Agora vamos considerar e a seguinte proposição composta. Se está chovendo então</p><p>existem nuvens. Que podemos representar como se segue 𝑝 → 𝑞. Se for verdadeiro que</p><p>“está chovendo” então será também verdadeiro que “existem nuvens”.</p><p>Se for verdadeiro que “existem nuvens” (que pode ser representado q → p) então</p><p>poderá ser verdadeiro ou falso que “está chovendo”. No caso em que p é falsa, significa</p><p>que “não está chovendo” e, portanto, não há qualquer obrigatoriedade sobre q e poderá</p><p>ou não existir nuvens.</p><p>Outra dimensão a ser observada, referente à condicional, pode ser referenciada por</p><p>Sérates (1997, p.30).</p><p>Dada uma proposição composta condicional p → q não afirma que o consequente q</p><p>se deduz, ou é antecedente de p. O que uma proposição composta condicional afirma</p><p>é unicamente uma relação entre os valores lógicos do antecedente e do consequente,</p><p>de acordo com a tabela-verdade da implicação material.</p><p>Por fim verifica-se que a condicional ocupa uma posição de destaque no estudo de</p><p>lógica.</p><p>31</p><p>2.5 Bicondicional “se e somente se” (↔)</p><p>Este conectivo denota o conceito de suficiente, ou seja, dada uma proposição</p><p>composta p e q, Padilha (2019) revela que a leitura que se segue é p é condição</p><p>necessária e suficiente para q. Parafraseando Sérates (1997), no contexto do estudo da</p><p>bicondicional, temos que seu consequente indica o que é suficiente para que o</p><p>antecedente ocorra, ou seja, tudo que é necessário. Formalmente, é assim definido o</p><p>conceito de bicondicional de acordo com Filho (2002) eis, a definição:</p><p>Filho (2002, p.24) acrescenta que bicondicional de duas proposições p e q pode ser</p><p>representada como se segue: p ↔ q, que também se lê de uma das seguintes maneiras:</p><p>(𝑖) “p é condição necessária e suficiente para q”</p><p>(𝑖𝑖) “q é condição necessária e suficiente para p”.</p><p>O valor lógico da bicondicional fica definido pela seguinte tabela.</p><p>Portanto, uma bicondicional é verdadeira somente quando também o são as duas</p><p>condicionantes: p → q e q → p.</p><p>Uma observação que se faz necessária é que a conjunção da sentença p → q com</p><p>a sentença q → p gera a seguinte sentença p ↔ q. Assim (p → q) ∧ (q → p) equivale a</p><p>sentença p ↔ q.</p><p>p q p ↔ q</p><p>V V V</p><p>V F F</p><p>F V F</p><p>F F V</p><p>Chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional uma</p><p>proposição representada por “p se e somente se q” cujo valor lógico é</p><p>falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q falso e a verdade nos</p><p>demais casos.</p><p>32</p><p>Exemplo 1:</p><p>p: 𝑥 é ímpar.</p><p>q: 𝑥2 é ímpar. Logo, a representação simbólica desta bicondicional será</p><p>p ↔ q: 𝑥 é ímpar se e somente se 𝑥2 é ímpar. Suponha que 𝑥=5 logo 𝑥2=25 que é um</p><p>número ímpar. Com isso pode-se supor que V(p) = V e V(q) = V. Logo, V (p ↔ q) =</p><p>V(p) ↔ V(q) = V ↔ V = V.</p><p>Exemplo 2:</p><p>p: Um triângulo é um quadrilátero.</p><p>q: Um quadrado é um quadrilátero.</p><p>p ↔ q: Um triângulo é um quadrilátero se e somente se um quadrado for um</p><p>quadrilátero. V(p) = F e V(q) = V. Logo, V (p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ V</p><p>= F.</p><p>Exemplo 3:</p><p>Tomando como proposições</p><p>p: Todos os nossos atos têm causas.</p><p>q: Não há atos livres.</p><p>p ↔ q: Todos os nossos atos têm causas se e somente se não há atos livres.</p><p>Agora considere, a priori, que o valor lógico de p seja V(p) = V e V(q) = V.</p><p>Portanto, V (p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ V = V.</p><p>Exemplo 4:</p><p>Se o valor lógico de q é V e o valor lógico de p ↔ q é V, então, qual será o</p><p>valor logico de p?</p><p>Justificativa</p><p>V(p) =?</p><p>V(q) = V.</p><p>Sabemos por hipótese que V (p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V e V(q) = V, logo nos resta</p><p>concluir que V(p) =V.</p><p>33</p><p>Exemplo 5:</p><p>Ao se afirmar que o cavalo correr é condição suficiente e necessária para Alice chorar</p><p>pode ser reescrita da seguinte maneira: o cavalo corre se e somente se Alice chora. Uma</p><p>propriedade que a bicondicional possui é a de ser comutativa, ou seja, essa frase pode</p><p>ser reescrita da seguinte maneira: o cavalo corre e Alice chora. Note que ambas as</p><p>afirmações são iguais.</p><p>EXERCÍCIOS DE APRENDIZADO.</p><p>1. Sejam as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduzir para a linguagem</p><p>corrente as seguintes proposições:</p><p>a) ~ p</p><p>b) p ∧ q</p><p>c) p v q</p><p>p ↔ q</p><p>d) p → ~ q</p><p>e) p v ~ q</p><p>f) ~ p ∧ ~ q</p><p>g) p ↔ ~ q</p><p>h) p ∧ ~ q → p</p><p>2. Sejam as proposições p: Cláudio fala inglês e q: Cláudio fala alemão. Traduzir para a</p><p>linguagem corrente as seguintes proposições:</p><p>a) p v q</p><p>b) p ∧ q</p><p>c) p ∧ ~ q</p><p>d) ~ p ∧ ~ q</p><p>e) ~ ~ p</p><p>f) ~ (~ p ∧ ~ q)</p><p>3. Sejam as proposições Marcos é alto e q: Marcos é elegante. Traduzir para a</p><p>linguagem simbólica as seguintes proposições:</p><p>a) Marcos é alto e elegante.</p><p>b) Marcos é alto, mas não é elegante</p><p>34</p><p>c) Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante</p><p>d) Marcos não é nem alto e nem elegante</p><p>e) Marcos é alto ou é baixo e elegante</p><p>f) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante.</p><p>4. Sejam as proposições p: Pedro fala francês, q: Pedro fala inglês e r:</p><p>Pedro fala alemão. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes</p><p>proposições:</p><p>a) Pedro fala francês ou inglês, mas não fala alemão</p><p>b) Pedro fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão</p><p>c) É falso que Pedro fala francês, mas que não fala alemão</p><p>d) É falso que Pedro fala inglês ou alemão, mas que não fala francês</p><p>5. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:</p><p>a) O número 17 é primo.</p><p>b) Fortaleza é a capital do Maranhão.</p><p>c) e</p><p>d)</p><p>e) é irracional</p><p>f) Hexaedro regular tem 8 arestas.</p><p>g) ou Londres é a capital da Itália</p><p>h) ou Recife é a capital do Ceará</p><p>i)</p><p>j)</p><p>k) Se 3 + 2 = 6 então 4 + 4 = 9</p><p>l) Se é irracional</p><p>m)</p><p>n) 3 + 4 = 7 se e somente se =125</p><p>o)</p><p>p)</p><p>q)</p><p>r) Não é verdade que 12 é um número ímpar</p><p>35</p><p>s) Não é verdade que Belém é a capital do Pará</p><p>t) É falso que 2 + 3 = 5 e 1 + 1 = 3</p><p>u) ~ )</p><p>v) ~ )</p><p>36</p><p>3- CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE</p><p>No capítulo um, houve um primeiro contato com o processo de elaboração do que</p><p>chamamos de tabela-verdade. Nessa etapa da escrita por meio dos conceitos, já</p><p>explorados, identificar-se-á qual o lugar da tabela-verdade no processo de determinação</p><p>do valor-verdade (V) ou (F) de uma proposição composta. De fato, sabe-se que uma</p><p>proposição composta é determinada pela combinação de um número finito de</p><p>proposições simples, p, q, r, ..., via conectivos lógicos.</p><p>Bispo e Castanheira e Filho (2011) argumentam que por meio da combinação dos</p><p>conectivos, constroem-se proposições compostas. Então, como é o processo de</p><p>elaboração da tabela-verdade de uma proposição composta? Responder a essa questão</p><p>é um dos focos centrais deste capítulo. Tomando como base os cincos conectivos a saber</p><p>(negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional) já explorados em capítulos</p><p>anteriores deste trabalho será demostrado como se dá o processo de elaboração da</p><p>tabela-verdade de proposições compostas tendo como contexto as operações do cálculo</p><p>proposicional.</p><p>O processo de formalização consiste em converter o conjunto de proposições</p><p>interligadas em uma mesma estrutura composta de (a) Letras proposicionais;(b)</p><p>Conectivos lógicos; e (c) Símbolos. (BISPO e CASTANHEIRA e FILHO 2011, p.11)</p><p>Primeiro passo é indagar quantas linhas possui uma tabela- verdade de uma</p><p>proposição composta com 𝑛 proposições simples. Padilha (2019) responde a essa</p><p>indagação sugerindo o seguinte: “Se uma proposição composta é formada por 𝑛</p><p>variáveis simples proposicionais, a sua tabela-verdade possuirá 2𝑛linhas”. Numa</p><p>linguagem simbólica fica assim representado.</p><p>N° de Linhas = 2𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖çõ𝑒𝑠</p><p>O resultado do apresentado acima provém de um teorema conforme destaca.</p><p>Omitiremos a demonstração deste teorema. Para maiores informações basta consultar</p><p>Filho (2002, p.30). Observe como se dá o passo a passo para construção da tabela-</p><p>verdade de uma proposição composta.</p><p>37</p><p>3.1 Passos para a construção de tabela-verdade da proposição</p><p>composta</p><p>Padilha (2019) sugere a seguinte questão: Qual o número de valorações distintas que</p><p>podem ser obtidas para proposições com exatamente duas variáveis proposicionais?</p><p>Aplicando o resultado do teorema apresentado acima, tem-se duas proposições ou seja</p><p>𝑛=2 então pelo resultado do teorema enunciado na página anterior segue o seguinte</p><p>resultado 22=4 linhas.</p><p>O próximo exemplo, retiramos do livro “Iniciação à Logica Matemática”, escrito por</p><p>Filho (2002), propõe como que se o seguinte e considere a seguinte proposição</p><p>composta:</p><p>𝑃(𝑝, 𝑞) =∼ (𝑝 ∧∼ 𝑞)</p><p>Queremos elaborar a tabela-verdade desta proposição composta. Observe que os passos</p><p>procedimentais foram inspirados na referência citada acima. Observe:</p><p>1º Passo da Resolução: Inicia-se preenchendo, em primeiro lugar, o par de colunas</p><p>correspondentes às duas proposições simples componentes p e q.</p><p>2º Passo da Resolução: Em seguida, forma-se a coluna para ~ q.</p><p>3º Passo da Resolução: Depois, forma-se a coluna para (p ∧ ~ q).</p><p>𝑝 𝑞</p><p>V V</p><p>V F</p><p>F V</p><p>F F</p><p>∼ 𝑞</p><p>F</p><p>V</p><p>F</p><p>V</p><p>38</p><p>Concatenando os passos acima segue a seguinte tabela verdade:</p><p>Os valores lógicos da proposição composta dada encontram-se na coluna destacada.</p><p>Ou, de modo abreviado, como se segue:</p><p>Filho (2002) propõe a seguinte observação: Considere a seguinte proposição</p><p>composta P (p, q) de modo que se associe a cada um dos elementos do conjunto 𝑈 −</p><p>{𝑉𝑉, 𝑉𝐹, 𝐹𝑉, 𝐹𝐹} um único elemento do conjunto {𝑉, 𝐹}, isto é, P (p, q) outra coisa</p><p>não é que uma função de U em {𝑉, 𝐹}: 𝑃 (𝑝, 𝑞): 𝑈 → {𝑉, 𝐹}, cuja representação gráfica</p><p>por um diagrama sagital é a seguinte:</p><p>(𝑝 ∧∼ 𝑞)</p><p>F</p><p>V</p><p>F</p><p>F</p><p>𝑝 𝑞 ∼ 𝑞 (𝑝 ∧∼ 𝑞) ∼ (𝑝 ∧∼ 𝑞)</p><p>V V F F V</p><p>V F V</p><p>V F</p><p>F V F F V</p><p>F F V F V</p><p>P (VV, VF, FV, FF) = VFVV</p><p>39</p><p>Neste momento, cabe ressaltar um outro exemplo extraído do livro Raciocínio</p><p>Lógico-Matemático Fundamentos e Métodos, escrito por Padilha (2019): Segue o</p><p>enunciado do exemplo. Construa a tabela-verdade das seguintes proposições compostas.</p><p>𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟) = (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ 𝑟. Para esse exemplo, constrói-se, de modo resumido, a tabela-</p><p>verdade da proposição composta com coluna contendo os seus respectivos valores</p><p>lógicos.</p><p>Nos dois últimos exemplos, havia proposições compostas constituídas de três</p><p>proposições simples e, portanto, pelo teorema ora estudado, tínhamos 𝑛 =</p><p>3 𝑒, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 23=8 linhas. Importante fazer este destaque para que nesta</p><p>etapa do processo possamos articular o número de proposições simples componentes</p><p>com o número de linhas. No processo de elaboração da tabela-verdade da proposição</p><p>composta, enfatiza-se que os seguintes passos devem ser atendidos, conforme destaca</p><p>Carvalho e Campos (2016):</p><p>Inicialmente, deve-se considerar tudo que estiver dentro dos parênteses, depois as</p><p>operações lógicas que estiverem fora dos parênteses seguindo a seguinte hierarquia:</p><p>a) as negações (~);</p><p>b) as conjunções (e);</p><p>c) as disjunções (ou);</p><p>d) as condicionais (então);</p><p>e) Faremos a bincondicional (...Se e somente SE.).</p><p>Construa a tabela-verdade da seguinte proposição 𝑃(𝑝, 𝑞) = (𝑝 ↔ 𝑞) ⟶ ~(𝑝 ∨∼</p><p>𝑞), seguindo os passos sugeridos acima, não necessariamente seguindo a ordem. Para</p><p>tanto,considerare o seguinte exemplo.</p><p>𝑝 𝑞 𝑟 (𝑝 ∧ 𝑞) (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ 𝑟</p><p>V V V V V</p><p>V V F V V</p><p>V F V F V</p><p>V F F F F</p><p>F V V F V</p><p>F V F F F</p><p>F F V F V</p><p>F F F F F</p><p>40</p><p>Serão descritos os passos procedimentais que foram atendidos no processo de</p><p>elaboração da tabela-verdade da proposição composta em destaque. Inicialmente, foram</p><p>inseridos os respectivos valores lógicos das proposições simples que estão entre</p><p>parêntese, depois insiram-se os valores lógicos da negação. Depois, faram feitas a</p><p>coluna da conjunção e, em seguida, a da negação da conjunção e por fim, na última</p><p>coluna inseridos os respectivos valores da proposição composta. Na próxima seção,</p><p>serão explorados o papel dos parênteses no processo de eliminação de ambiguidades em</p><p>proposições compostas e como estes se articulam na elaboração da tabela-verdade.</p><p>3.2 Uso de parênteses e a ordem de precedência das operações</p><p>proposicionais</p><p>Carvalho e Campos (2016) que trazem a seguinte reflexão “o emprego de</p><p>parênteses na simbolização das proposições deve ser feito para evitar</p><p>ambiguidades”. Nesta seção, será explorado de modo mais claro, este aspecto do</p><p>processo de elaboração da tabela-verdade. Para tanto, considere os seguintes exemplos.</p><p>A proposição p ∨ q ∧ r, por exemplo, sem a presença de parênteses fica ambígua</p><p>conforme destaca Filho (2002). Porém, com os parênteses, obtem-se a duas proposições</p><p>a seguir:</p><p>(𝑖) (p ∨ q) ∧ r</p><p>(𝑖𝑖)p ∨ (q ∧ r)</p><p>No exemplo (i) na proposição composta fica estabelecido que o</p><p>conectivo principal é “∧” e no exemplo (ii) temos que conectivo</p><p>principal é “∨”, é uma disjunção. Essas duas proposições são</p><p>distintas, fato que pode ser verificado, ao comparar as respectivas</p><p>tabelas-verdade, onde elas apresentam saídas diferentes. (FILHO,</p><p>2002, p.38)</p><p>Os argumentos e os exemplos que se seguem estão apoiados no Livro “Iniciação a</p><p>Logica-Matemática”, escrito por Filho (2002). Examine como o emprego dos parênteses</p><p>𝑝 𝑞 (𝑝 ↔ 𝑞) ∼ 𝑞 𝑝 ∨∼ 𝑞 ∼ (𝑝 ∨ 𝑞) (𝑝 ↔ 𝑞) ⟶ ~(𝑝 ∨∼ 𝑞)</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>F</p><p>V</p><p>F</p><p>F</p><p>V F F V V F V</p><p>F V F F F V V</p><p>F F V V V F F</p><p>41</p><p>numa proposição composta possibilita a criação de uma nova proposição composta, e</p><p>identifique como a organização dos conectivos lógicos articula-se no processo de</p><p>elaboração da tabela-verdade.</p><p>Vamos observar as seguintes proposições “p ∨ q ∧ r” (sem o emprego dos parênteses)</p><p>e “(p ∨ q) ∧ r” (com o emprego dos parênteses). Note o seguinte, ao comparamos as</p><p>duas situações, percebemos que estas duas proposições não têm o mesmo significado.</p><p>O emprego dos parênteses muda a interpretação a ser realizada. Vejamos outra situação.</p><p>Considere a seguinte expressão 𝑝 ∧ 𝑞 → 𝑟 ∨ 𝑠 . De fato, ao se empregar parênteses nessa</p><p>proposição obtem-se novas proposições. Basta observar o que se segue:</p><p>𝑖)((𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑟) ∨ 𝑠</p><p>𝑖𝑖)𝑝 ∧ ((𝑞 → 𝑟) ∨ 𝑠)</p><p>𝑖𝑖𝑖)(𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑟)) ∨ 𝑠</p><p>𝑖𝑣)𝑝 ∧ (𝑞 → (𝑟 ∨ 𝑠)</p><p>𝑣)(𝑝 ∧ 𝑞) → (𝑟 ∨ 𝑠)</p><p>Por uma questão de simplificação da escrita, desde que não venham a ocorrer</p><p>ambiguidades, a supressão de parênteses pode ser admitida. De fato, verifica-se que o</p><p>emprego dos parênteses possibilita a elaboração de novas proposições e, com isso, a</p><p>possibilidade de elaboração de novas tabelas-verdades distintas. Em geral, a ordem</p><p>hierárquica para os conectivos, passa pelo seguinte processo do mais “fraco” para o mais</p><p>“forte”. Em relação à hierarquia, Filho (2002, p.38) faz o seguinte destaque “A supressão</p><p>de parênteses nas proposições simbolizadas se faz mediante algumas convenções, das</p><p>quais são particularmente importantes as duas seguintes”</p><p>a) A ordem de precedência para os conectivos é:</p><p>𝑖) ∼ 𝑖𝑖) ∧ 𝑒 ∨ 𝑖𝑖𝑖) → 𝑖𝑣) ↔</p><p>De modo que o conectivo considerado mais fraco é “∼” e o mais forte é “↔”,</p><p>conforme enfatiza Filho (2002). O próximo exemplo foi extraído do livro “Iniciação à</p><p>Lógica Matemática” escrito Filho (2002). Considere a seguinte proposição:</p><p>𝑝 → 𝑞 ↔ 𝑠 ∨ 𝑟.</p><p>42</p><p>Imediatamente, conclui-se que essa proposição tem como conectivo principal a</p><p>bicondicional e, portanto, a proposição é dita bicondicional e não se pode classificá-la</p><p>como condicional ou conjunção. Agora, se quisermos transformá-la em uma condicional</p><p>será necessário o uso de parênteses. Vejamos.</p><p>𝑝 → (𝑞 ↔ 𝑠 ∧ 𝑟)</p><p>Para transformá-la em conjunção seguimos o mesmo procedimento. Portanto</p><p>considere o que se segue:</p><p>(𝑝 → 𝑞 ↔ 𝑠) ∧ 𝑟.</p><p>Orientados por Filho (2002) vê-se qual a conduta procedimental na situação de</p><p>termos uma proposição composta com a repetição de conectivos. Vejamos os seguintes</p><p>exemplos.</p><p>((∼ (∼ 𝑝 ∧ 𝑞))) ∨ (∼ 𝑝)); ((𝑝 ∨ (∼ 𝑝)) ∧ (𝑟 ∧ (∼ 𝑝)))</p><p>(((𝑝 ∨ (∼ 𝑞)) ∧ 𝑟) ∧ (∼ 𝑝)); ((∼ 𝑝) → (𝑞 → (∼ (𝑝 ∨ 𝑟)))</p><p>que podem ser reescritas de modo mais simplificado, repare:</p><p>∼∼ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨∼ 𝑝; (𝑝 ∨ ~𝑞) ∧ (𝑟 ∧ ~𝑝)</p><p>(𝑝 ∨ ~𝑞) ∧ 𝑟 ∧ ~𝑝; ∼ 𝑝 → (𝑞 →∼ (𝑝 ∨ 𝑟))</p><p>43</p><p>EXERCÍCIOS DE APRENDIZADO</p><p>1. Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições:</p><p>a) ~ (𝑝 ∨ ~𝑞)</p><p>b) ~ (𝑝 ⟶ ~𝑞)</p><p>c) 𝑝 ⋀ 𝑞 ⟶ 𝑝 ⋁ 𝑞</p><p>d) ~𝑝 ⟶ (𝑞 → 𝑝)</p><p>e) (𝑝 → 𝑞) → 𝑝 ∧ 𝑞</p><p>f) 𝑞 ⟷ ~𝑞 ∧ 𝑝</p><p>g) (𝑝 ↔ ~𝑞) ⟷ 𝑞 → 𝑝</p><p>h) (𝑝 ↔ ~𝑞) → ~𝑝 ∧ 𝑞</p><p>2. Determinar P (VV, VF, FV, FF) em cada um dos seguintes casos:</p><p>a) P (p, q) = ~ (~𝑝 ⟷ 𝑞)</p><p>b) P (p, q) = ~𝑝 ⋁ 𝑞 → 𝑝</p><p>c) P (p, q) = (𝑝 ⋁ 𝑞) ∧ ~ (𝑝 ∧ 𝑞)</p><p>d) P (p, q) = (𝑝 ∧ ~𝑞) ⋁ (~𝑝 ∧ 𝑞)</p><p>e) P (p, q) = ~ ((𝑝 ⋁ 𝑞) ∧ (~𝑝 ⋁~ 𝑞))</p><p>f) P (p, q) = ~𝑞 ∨ 𝑝 ⟷</p><p>𝑞 → ~𝑝</p><p>g) P (p, q) = (𝑝 ⋁ 𝑞) ∧ ~𝑝 → (𝑞 → 𝑝)</p><p>3. Determinar P (VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) em cada um dos</p><p>seguintes casos:</p><p>a) P (p, q, r) = 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)</p><p>b) P (p, q, r) = (𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ 𝑟</p><p>c) P (p, q, r) = ~𝑝 ∨ (𝑞 ∧ ~𝑟)</p><p>d) P (p, q, r) = (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)</p><p>44</p><p>e) P (p, q, r) = (𝑝 ∨ ~𝑟) ∧ (𝑞 ∨ ~𝑟)</p><p>f) P (p, q, r) = ~ (𝑝 ∨ ~𝑞) ∧ (~𝑝 ∨ 𝑟)</p><p>4. Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente F e V,</p><p>determinar o valor lógico (V ou F) da proposição:</p><p>(𝑝 ∧ (~𝑞 → 𝑝)) ∧ ~ ((𝑝 ⟷ ~𝑞) ⟶ 𝑞 ∨ ~𝑝)</p><p>5. Sabendo que a condicional 𝑝 → 𝑞 é verdadeira (V), determinar o valor lógico (V ou</p><p>F) das condicionais:</p><p>𝑝 ∨ 𝑟 ⟶ 𝑞 ∨ 𝑟 e 𝑝 ∧ 𝑟 ⟶ 𝑞 ∧ 𝑟</p><p>45</p><p>4-TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES E CONTINGÊNCIAS</p><p>4.1 Tautologia</p><p>Neste capítulo, iremos direcionar nosso estudo para o conceito de Tautologia,</p><p>contradições e contingências de proposições compostas. Especificamente, nesta seção,</p><p>iremos explorar o conceito de tautologia. Sérates (1997, p.43) nos aponta para o</p><p>conceito de tautologia assim definida “denomina-se tautologia a proposição composta</p><p>cuja última coluna da sua tabela-verdade figura somente os valores verdade V (verdade).</p><p>Por outro lado, Padilha (2019, p.81) pondera: “Uma proposição composta formada</p><p>por duas ou mais proposições, é uma tautologia se ela for sempre verdadeira,</p><p>independentes da verdade dos termos”. Já Filho (2002) formaliza o conceito de</p><p>tautologia como se segue:</p><p>Padilha (2019, p.81) reitera que “Quando uma proposição composta é sempre</p><p>verdadeira, independente dos valores das proposições simples que a compõem, então</p><p>teremos uma tautologia.” Numa linguagem simbólica Filho, (2002, p.43) enfatiza que:</p><p>Em outros termos, tautologia é toda proposição composta P (p, q, r, ...)</p><p>cujo valor lógico é sempre V (verdade), quaisquer que sejam os</p><p>valores lógicos das proposições simples componentes p, q, r, ...As</p><p>tautologias são também denominadas proposições tautológicas ou</p><p>proposições logicamente verdadeiras. (FILHO, 2002, p. 43).</p><p>Isso posto, já temos condições de, intuitivamente, concluir o que se segue: as</p><p>proposições 𝑝 ⟶ 𝑝 𝑒 𝑝 ⟷ 𝑝 são tautológicas via Princípio da Identidade para as</p><p>proposições composta.</p><p>Orientado por Filho (2002), temos o que se segue: a proposição ~ (p ∧ ~ p) é um</p><p>exemplo que traduz a ideia do Princípio da não contradição, como pode ser visto na sua</p><p>tabela-verdade:</p><p>𝑝 ∼ 𝑝 𝑝 ∧∼ 𝑝 ∼ (𝑝 ∧∼ 𝑝)</p><p>V F F V</p><p>F V F V</p><p>Chama-se tautologia toda proposição composta cuja última coluna da sua</p><p>tabela-verdade encerra somente com a letra V (verdade)</p><p>46</p><p>Como já mencionado, o Princípio do Terceiro Excluído tem o seguinte teor “Uma</p><p>proposição não pode ser, simultaneamente, verdadeira ou falsa” Filho (2002, p.43). Com</p><p>o auxílio da tabela-verdade, podemos identificar que, na última coluna da tabela-verdade</p><p>de ~ (p ∧ ~ p), só há o valor lógico V (verdade). Portanto, percebemos a importância da</p><p>tabela-verdade no processo identificação da tautologia de uma proposição.</p><p>Agora, faremos um destaque para o Princípio do terceiro excluído. Filho (2002) diz</p><p>que pode ser interpretado pela seguinte proposição “p ∨ ~ p” e conforme a tabela-verdade</p><p>abaixo podemos afirmar que tal proposição é tautológica.</p><p>No exemplo acima, ilustramos o princípio do terceiro excluído o qual significa que</p><p>se: “uma proposição ou é verdadeira ou é falsa” Bispo et al (2016, p.23), ela é uma</p><p>afirmação verdadeira. Por fim, temos:</p><p>O Princípio da Identidade. Salientamos que tal princípio pode</p><p>ser representado pela seguinte proposição 𝑝 ⟷ 𝑞 cuja</p><p>condição de ser uma tautologia pode ser percebida sem</p><p>dificuldades. (BISPO et al, p.25)</p><p>De fato, conforme ilustra a tabela-verdade podemos concluir que proposição</p><p>composta citada acima é tautológica. Outro exemplo de proposição tautológica é o que</p><p>se segue: 𝑝 ∨∼ (𝑝 ∧∼ 𝑞)</p><p>𝑝 ∼ 𝑝 𝑝 ∨∼ 𝑝</p><p>V F V</p><p>F V V</p><p>𝑝 𝑞 (𝑝 ∧∼ 𝑞) 𝑝 ∨∼ (𝑝 ∧∼ 𝑞)</p><p>V V F V</p><p>V F V V</p><p>F V F V</p><p>F F F V</p><p>47</p><p>Conclusão que tivemos via tabela-verdade é que a proposição citada acima é</p><p>tautológica pois a última coluna de sua tabela-verdade só apresenta o valor lógico V</p><p>(verdade). Vamos mostrar conforme destaca Carvalho e Campos (2016) que a seguinte</p><p>proposição é tautológica.</p><p>(𝑝 ∧ 𝑞) → (𝑝 ∨ 𝑞)</p><p>Por fim temos o que se segue o Princípio de Substituição para as Tautologias “Se</p><p>P (p, q, r, ...) é uma tautologia, então 𝑃 (𝑃*, 𝑄*, 𝑅*, …) também é uma tautologia,</p><p>quaisquer que sejam as proposições 𝑃*, 𝑄*, 𝑅*, …” Filho (2002, p.45). Antes de</p><p>iniciarmos a próxima seção, vamos fazer a seguinte indagação. E se na coluna resultante</p><p>figurar somente o valor lógico falso, como podemos classificar tal proposição? A</p><p>resposta a essa indagação será respondida na próxima seção.</p><p>4.2 Contradição</p><p>Chama-se contradição toda proposição composta cuja última coluna da sua tabela-</p><p>verdade encerra somente a letra F (falsidade) afirma Filho (2002). Considere o seguinte</p><p>exemplo:</p><p>𝑖) ∼ 𝑝 ∧ 𝑝</p><p>𝑝 𝑞 (𝑝 ∧ 𝑞) (𝑝 ∨ 𝑞) (𝑝 ∧ 𝑞) → (𝑝 ∨ 𝑞)</p><p>V V V V V</p><p>V F F V V</p><p>F V F V V</p><p>F F F F V</p><p>𝑝 ~𝑝 ∼ 𝑝 ∧ 𝑝</p><p>V F F</p><p>F V F</p><p>Uma contradição é uma proposição composta cujo valor lógico é sempre</p><p>a falsidade (F), independente dos valores lógicos das proposições</p><p>simples que a compõem.</p><p>48</p><p>No que concerne à contradição, considere a seguinte proposição composta P (p, q, r,</p><p>...) cujo valor lógico é sempre V (VERDADE), para quaisquer que sejam os valores</p><p>lógicos das proposições simples componentes p, q, r,.Como uma tautologia é sempre</p><p>verdadeira (V), segue que a negação de uma tautologia é sempre falsa (F), ou seja, é uma</p><p>contradição, e vice-versa. Portanto, P (p, q, r, ...) é uma tautologia se e somente se ~ P</p><p>(p, q, r, ...) é uma contradição, e P (p, q, r, ...) é uma contradição se e somente se ~ P (p,</p><p>q, r, ...) é uma tautologia. (FILHO,2002, p.46).</p><p>As contradições são também denominadas proposições contra válidas ou proposições</p><p>logicamente falsas. Filho (2002). Admitimos que, para as contradições vale o “Princípio</p><p>de substituição” análogo ao que foi dado para as tautologias: Ou seja, se P (p, q, r, ...) é</p><p>uma contradição, então 𝑃 (𝑃*, 𝑄*, 𝑅*, …) também é uma contradição, quaisquer que</p><p>sejam as proposições 𝑃*, 𝑄*, 𝑅*etc.</p><p>A seguinte proposição p ↔ ~ p é contradição conforme mostra a tabela-verdade:</p><p>Note que a última coluna da tabla-verdade de p ↔ ~ p só apresenta o valor lógico F</p><p>(falsidade). Por fim vamos demostrar que a seguinte proposição ~ p ∧ (p ∧ ~ q) é uma</p><p>contradição, conforme se vê pela sua tabela-verdade.</p><p>𝑝 ~𝑝 𝑝 ↔ ~𝑝</p><p>V F F</p><p>F V F</p><p>𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 𝑝 ∧∼ 𝑞 ∼ 𝑝 ∧ (𝑝 ∧∼ 𝑞)</p><p>V V F F F F</p><p>V F F V V F</p><p>F V V F F F</p><p>F F V V F F</p><p>49</p><p>4.3 Contingência</p><p>Chama-se contingência toda a proposição composta em cuja última coluna da sua</p><p>tabela-verdade figuram as letas V e F cada uma pelo menos uma vez. Filho (2002)</p><p>Padilha (2019) conclui que “uma proposição composta será uma contingência sempre</p><p>que não for, nem tautologia e nem contradição. A proposição p → ~ p é uma</p><p>contingência, conforme se vê pela sua tabela-verdade:</p><p>De fato, a proposição citada acima é uma contingência. Por fim vamos mostrar que</p><p>a seguinte proposição p ∨ q → p é uma contingência.</p><p>EXERCÍCIOS DE APRENDIZADO:</p><p>1) Mostrar que as seguintes proposições são tautológicas:</p><p>a) (𝑝 → 𝑝) ∨ (𝑝 → ~𝑝)</p><p>b) (𝑝 ↔ 𝑝 ∧ ~𝑝) → ~𝑝</p><p>c) (𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝 → 𝑞</p><p>d) 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ ~𝑝)</p>