Medidas de Dispersão em Estatística

Prévia do material em texto

<p>28/01/2022</p><p>1</p><p>Profº Dr. Frank Magno da Costa</p><p>e-mail: frank@phb.uespi.br</p><p>GOVERNO DO ESTADO DO PIAUÍ</p><p>UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PIAUÍ – UESPI</p><p>CAMPUS PROFESSOR ALEXANDRE ALVES DE OLIVEIRA</p><p>DISCIPLINA: ESTATÍSTICA BÁSICA</p><p>Dispersão ou variabilidade:</p><p>Vimos por meio da X, Mo e Md que um conjunto de</p><p>valores pode ser sintetizado, entretanto, tais valores</p><p>podem servir de comparação para dar posição de</p><p>qualquer elemento do conjunto.</p><p>Dessa forma, não é o bastante dar uma das medidas</p><p>de posição para caracterizar um conjunto de valores</p><p>Quando se trata de interpretar dados estatísticos,</p><p>mesmo aqueles já simplificados, é necessário ter-se</p><p>uma ideia retrospectiva de como se apresentavam</p><p>esses mesmo dados nas tabelas</p><p>EX: sabendo-se que a Tº média de 2 cidades é</p><p>24ºC, ainda assim somos levados a pensar a</p><p>respeito do clima dessa 2 cidades.</p><p>Dispersão ou variabilidade:</p><p>...EX: em um das cidades pode haver variação na Tº,</p><p>entre limites de muito calor e muito frio, cuja</p><p>Tº média é 24ºC.</p><p>Na outra cidade pode haver pequena variação</p><p>de Tº e com mesma Tº média e possuir uma</p><p>clima mais favorável.</p><p>Podemos concluir então que, a média, ainda que</p><p>considerada como um número que tem a faculdade de</p><p>representar uma série de valores, não pode, por si mesma,</p><p>destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que</p><p>existe entre os valores que compõem o conjunto.</p><p>Observe:</p><p>Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis X, Y e Z</p><p>X: 70, 70, 70, 70, 70</p><p>Y: 68, 69, 70, 71, 72</p><p>Z: 5, 15, 50, 120, 160</p><p>X: =</p><p>Y: =</p><p>Z: =</p><p>0s três</p><p>conjuntos</p><p>possuem a</p><p>mesma média</p><p>Qual o conjunto mais homogêneo ? Qual o 2º conjunto mais homogêneo ?</p><p>Chamando de dispersão ou variabilidade a maior ou menor diversificação</p><p>dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central</p><p>tomado como ponto de comparação, podemos dizer que X apresenta</p><p>dispersão ou variabilidade NULA</p><p>Portanto,</p><p>Para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a maior ou</p><p>menor dispersão entre estes valores e a sua medida de posição,</p><p>recorremos às medidas de DISPERSÃO OU VARIABILIDADE</p><p>Dentre estas medidas estudaremos a:</p><p>AMPLITUDE TOTAL</p><p>VARIÂNCIA</p><p>DESVIO PADRÃO</p><p>COEFICIENTE DE VARIAÇÃO</p><p>AMPLITUDE TOTAL (AT): trata-se da</p><p>diferença do maior para o menor valor. É</p><p>importante para mostrar o intervalo onde os</p><p>dados estão localizados.</p><p>Aluno</p><p>Notas</p><p>Média Amplitude</p><p>1ª 2ª 3ª 4ª 5ª</p><p>Antônio 5 5 5 5 5 5</p><p>João 6 4 5 4 6 5</p><p>José 10 5 5 5 0 5</p><p>Pedro 10 10 5 0 0 5</p><p>AT = X(max.) – X(mín.)</p><p>28/01/2022</p><p>2</p><p>AMPLITUDE TOTAL (AT):</p><p>Para dados agrupados – SEM intervalo de classe</p><p>AT = X(max.) – X(mín.)</p><p>xi 0 1 2 3 4</p><p>fi 2 6 12 7 3</p><p>AT = ?</p><p>AMPLITUDE TOTAL (AT):</p><p>Para dados agrupados – COM intervalo de classe</p><p>Nesse caso, a AT é a diferença entre o</p><p>limite superior da última classe e o limite</p><p>inferior da primeira classe</p><p>AT = L(max.) – l(mín)</p><p>ESTATURA. (cm) FREQUÊNCIA.</p><p>150 154 4</p><p>154 158 9</p><p>158 162 11</p><p>166 166 8</p><p>166 170 5</p><p>170 174 3</p><p>Total Σ = 40</p><p>ī</p><p>Dados Fictícios</p><p>Tabela 2. Estaturas de 40 alunos do colégio A.</p><p>ī</p><p>ī</p><p>ī</p><p>ī</p><p>ī</p><p>AT = L(max.) – l(mín)</p><p>AT = ?</p><p>AT = ?</p><p>AT:tem o inconveniente de só levar em conta os 2 valores</p><p>extremos, o que quase sempre invalida a idoneidade do</p><p>resultado. É, portanto, uma indicação aproximada da</p><p>dispersão</p><p>Faz-se uso da AT quando:</p><p>Deseja-se determinar a amplitude de Tº em um dia ou no ano;</p><p>No controle de qualidade;</p><p>Como uma medida de cálculo rápido;</p><p>A compreensão popular é mais importante que a exatidão e a</p><p>estabilidade.</p><p>VARIÂNCIA ou S²: junto com o desvio padrão</p><p>não comete a falha de instabilidade que</p><p>comete a AT, pois levam em consideração a</p><p>totalidade dos valores da variável, sendo essa</p><p>uma das razões pelas quais são utilizadas.</p><p>A S2 baseia-se nos desvios em torno da</p><p>média, porém determinando-se a média dos</p><p>quadrados dos desvios</p><p>s² = SQD →s² = ∑(x-X)² → s² = ∑(x-X)²</p><p>g.l. Σfi n</p><p>DESVIO MÉDIO EM RELAÇÃO À MÉDIA : É a</p><p>diferença entre cada valor da variável e a</p><p>média do conjunto.</p><p>DM = X-X</p><p>Se X= (2,3,4,6,7,8), determinar o DM:</p><p>28/01/2022</p><p>3</p><p>SOMA DE QUADRADOS DOS DESVIO - SQD</p><p>Dados (x) Desvios (x – X) Quadrado dos desvios</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>6</p><p>7</p><p>8</p><p>X = ∑ ( x – X ) = ∑ ( x – X )2 =</p><p>É sensível ao tamanho da amostra !!!</p><p>VARIÂNCIA ou S²: sendo a variância calculada</p><p>a partir da soma dos quadrados dos desvios,</p><p>ela é um número em unidade quadrada em</p><p>relação a variável em questão, o que, sob o</p><p>ponto de vista prático é um inconveniente.</p><p>Por isso, imaginou-se uma nova medida que</p><p>tem utilidade e interpretação prática</p><p>denominada de DESVIO PADRÃO</p><p>DESVIO PADRÃO (DP ou S): é definido como:</p><p>a raiz quadrada da variância.</p><p>Trata-se, portanto, de uma medida de</p><p>dispersão com as mesmas propriedades da</p><p>variância e tem a mesma unidade de medida</p><p>dos dados.</p><p>S = √s2 s = √ ∑(xi-X)²</p><p>n</p><p>NOTA: tanto variância como desvio padrão são</p><p>usados como medida de dispersão ou</p><p>variabilidade.</p><p>O uso de uma ou de outra dependerá da</p><p>finalidade.</p><p>A S2 é uma medida que tem pouca utilidade</p><p>como estatística descritiva, porém é</p><p>extremamente importante na inferência</p><p>estatística e em combinações de amostras.</p><p>O desvio padrão pode ser descrito do seguinte modo:</p><p>Além de + prático, esse método é também + preciso</p><p>Quando a média não é exata, ela precisa ser</p><p>arredondada, e cada desvio fica afetado</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p></p><p>n</p><p>x</p><p>n</p><p>x</p><p>s ii</p><p>O desvio padrão possui algumas propriedades</p><p>P1: somando-se ou subtraindo-se uma constante</p><p>C de todos os valores de uma variável, o</p><p>desvio padrão não se altera:</p><p>Yi = Xi ±C → sy = sx</p><p>P2: multiplicando-se todos os valores de uma</p><p>variável por uma constante (diferente de</p><p>zero), o desvio padrão fica multiplicado por</p><p>essa constante</p><p>Yi = C x Xi → Sy = C x Sx</p><p>28/01/2022</p><p>4</p><p>S = ?</p><p>DESVIO PADRÃO (DP ou S): Para dados NÃO</p><p>agrupados</p><p>Xi Xi</p><p>2</p><p>40</p><p>45</p><p>48</p><p>52</p><p>54</p><p>62</p><p>70</p><p>Σ = Σ =</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p></p><p>n</p><p>x</p><p>n</p><p>x</p><p>s ii</p><p>40; 45; 48; 52; 54; 62; 70</p><p>S = ?</p><p>DESVIO PADRÃO (DP ou S): Para dados NÃO</p><p>agrupados</p><p>Xi Xi</p><p>2</p><p>8</p><p>10</p><p>11</p><p>15</p><p>16</p><p>18</p><p>Σ = Σ =</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p></p><p>n</p><p>x</p><p>n</p><p>x</p><p>s ii</p><p>RESOLVA:</p><p>Comprove a P1, somando 5 a cada valor da variável</p><p>Comprove a P2, multiplicando por 2 cada valor da variável</p><p>Como, neste caso, temos a presença de</p><p>frequências, devemos levá-las em consideração,</p><p>através da seguinte fórmula:</p><p>DESVIO PADRÃO (DP ou S): Para dados agrupados</p><p>Sem intervalo de classe:</p><p>( )</p><p>22</p><p>..</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p></p><p>n</p><p>xf</p><p>n</p><p>xf</p><p>s ii</p><p>ii</p><p>DESVIO PADRÃO (DP ou S): Para dados agrupados</p><p>Sem intervalo de classe:</p><p>xi fi</p><p>0 2</p><p>1 6</p><p>2 12</p><p>3 7</p><p>4 3</p><p>Σ =</p><p>xi fi fixi fixi</p><p>2</p><p>0 2</p><p>1 6</p><p>2 12</p><p>3 7</p><p>4 3</p><p>Σ = Σ = Σ =</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p></p><p>n</p><p>xf</p><p>n</p><p>xf</p><p>s iiii</p><p>Abre-se uma coluna para os produtos fixi e outra para fixi</p><p>2.</p><p>Para obter fixi</p><p>2 basta multiplicar cada fixi pelo seu xi</p><p>DESVIO PADRÃO (DP ou S): Para dados agrupados</p><p>Sem intervalo de classe:</p><p>xi fi fixi fixi</p><p>2</p><p>1 2 2 2</p><p>2 5</p><p>3 8</p><p>4 6</p><p>5 3</p><p>6 1</p><p>Σ = Σ = Σ =</p><p>RESOLVER:</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p></p><p>n</p><p>xf</p><p>n</p><p>xf</p><p>s iiii</p><p>DESVIO PADRÃO (DP ou S): Para dados agrupados</p><p>COM intervalo de classe:</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p></p><p>n</p><p>xf</p><p>n</p><p>xf</p><p>s iiii</p><p>i ESTATURA (cm) fi</p><p>1 150 154 4</p><p>2 154 158 9</p><p>3 158 162 11</p><p>4 166 166 8</p><p>5 166 170 5</p><p>6 170 174 3</p><p>Total Σ = 40</p><p>ī</p><p>Dados Fictícios</p><p>Tabela 2. Estaturas de 40 alunos do colégio A.</p><p>ī</p><p>ī</p><p>ī</p><p>ī</p><p>ī</p><p>Começamos por abrir colunas para xi (ponto médio); para fixi e para fixi</p><p>2</p><p>S = ?</p><p>28/01/2022</p><p>5</p><p>DESVIO PADRÃO (DP ou S): Para dados agrupados</p><p>COM intervalo de classe:</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p></p><p>n</p><p>xf</p><p>n</p><p>xf</p><p>s iiii</p><p>i ESTATURA. (cm) fi xi fixi fixi</p><p>2</p><p>1 150 154 4</p><p>2 154 158 9</p><p>3 158 162 11</p><p>4 166 166 8</p><p>5 166 170 5</p><p>6 170 174 3</p><p>Total Σ = 40</p><p>ī</p><p>Dados Fictícios</p><p>Tabela 2. Estaturas de 40 alunos do colégio A.</p><p>ī</p><p>ī</p><p>ī</p><p>ī</p><p>ī</p><p>S = ?</p><p>Ex:</p><p>i CUSTOS (R$) fi xi fixi fixi</p><p>2</p><p>1 450 - 550 8</p><p>2 550 - 650 10</p><p>3 650 - 750 11</p><p>4 750 - 850 16</p><p>5 850 - 950 13</p><p>6 950 - 1050 5</p><p>7 1050 - 1150 1</p><p>Σ = 64 Σ = Σ =</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p></p><p>n</p><p>xf</p><p>n</p><p>xf</p><p>s iiii</p><p>S = ?</p><p>Desvio Padrão (S)</p><p>O desvio padrão por si</p><p>só não nos diz muita coisa.</p><p>Assim, um desvio padrão de duas unidades pode ser</p><p>considerado pequeno para uma série de valores cujo valor</p><p>médio é 200</p><p>Porém, se a média for igual a 20, o mesmo não pode ser</p><p>dito</p><p>DESVIO PADRÃO (S)</p><p>O S é expresso na mesma unidade dos dados</p><p>originais da amostra, isto limita o seu emprego,</p><p>quando desejamos comparar 2 ou + séries de</p><p>valores, relativamente à sua dispersão, quando</p><p>expressas em unidades diferentes.</p><p>VARIÁVEL X S</p><p>ESTATURAS (cm) 175 5,0</p><p>PESOS (Kg) 68 2,0</p><p>COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV)</p><p>Para contornar essa limitação, podemos caracterizar</p><p>a dispersão dos dados em termos relativos a seu</p><p>valor médio, medida essa denominada de</p><p>COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV)</p><p>Chama-se de coeficiente de variação o número</p><p>expresso pela fórmula:</p><p>100x</p><p>X</p><p>S</p><p>CV =</p><p>COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV)</p><p>Indica a dispersão, variação ou variabilidade dos</p><p>dados em relação à média.</p><p>Classificação da distribuição quanto à dispersão:</p><p>DISPERSÃO BAIXA: CV ≤ 15%</p><p>DISPERSÃO MÉDIA: 15% < CV < 30%</p><p>DISPERSÃO ALTA: CV ≥ 30%</p><p>Calcular o CV para os 2 exemplos anteriores.</p><p>28/01/2022</p><p>6</p><p>COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV)</p><p>Tomemos os resultados das medidas das</p><p>estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de</p><p>indivíduos:</p><p>VARIÁVEL X S</p><p>ESTATURAS (cm) 175 5,0</p><p>PESOS (Kg) 68 2,0</p><p>100x</p><p>X</p><p>S</p><p>CV =</p><p>CVE = ?</p><p>CVP = ?</p><p>Interpretação:</p><p>Nesse grupo de indivíduos, os pesos apresentam</p><p>maior grau de dispersão, variabilidade ou ainda</p><p>variação quando comparado as estaturas</p><p>i</p><p>Peso (Kg)</p><p>Rebanho A Rebanho B</p><p>1 50 470</p><p>2 70 490</p><p>3 60 460</p><p>4 80 480</p><p>x</p><p>s</p><p>CV</p><p>Pesos dos animais de dois rebanhos diferentes</p><p>Interpretação:</p>