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<p>Clasificación de los números reales</p><p>ARITMETICA</p><p>FORMULARIO</p><p>UNIDAD DE APRENDIZAJE</p><p>ALGEBRA</p><p>Propiedades de los números reales</p><p>Signos de agrupación</p><p>Leyes de los signosJerarquía de operaciones</p><p>Cerradura</p><p>Distributiva</p><p>Elemento Neutro</p><p>Inverso</p><p>Propiedad</p><p>Conmutativa</p><p>Asociativa</p><p>a + b ∈ 𝑅</p><p>Suma</p><p>a + b = b + a</p><p>a + (b + c) = (a + b) + c</p><p>a + 0 = a</p><p>a + (-a) = 0</p><p>a (b+c) = ab + ac</p><p>a * b ∈ 𝑅</p><p>Multiplicación</p><p>a * b = b * a</p><p>a (b * c) = (a * b) c</p><p>a * 1 = a</p><p>a * 1</p><p>𝑎</p><p>= 0</p><p>Números Racionales</p><p>+ + = (+)</p><p>− − = (+)</p><p>+ − = (−)</p><p>− + = (−)</p><p>Fracciones Propias Fracciones Impropias Fracciones Mixtas</p><p>Suma – resta</p><p>Multiplicación</p><p>Radicación</p><p>Teoremas</p><p>Signos de agrupación</p><p>Potencia y raíz</p><p>Multiplicación y división</p><p>Suma y resta</p><p>Suma - resta</p><p>Multiplicación</p><p>División</p><p>Racionalización</p><p>Racionales</p><p>(Q)</p><p>Irracionales</p><p>(I)</p><p>Enteros (Z)</p><p>Naturales(N)</p><p>Decimales</p><p>Decimales</p><p>puros</p><p>Signos de operación</p><p>Suma</p><p>Resta</p><p>Multiplicación</p><p>División</p><p>Potencia</p><p>Raíz</p><p>𝑎 + 𝑏</p><p>𝑎 − 𝑏</p><p>𝑎𝑏, 𝑎 𝑏 ,</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>, 𝑎/𝑏</p><p>𝑎 ∗ 𝑏, 𝑎 𝑥 𝑏</p><p>𝑎𝑛</p><p>𝑎</p><p>Signos de relación</p><p>𝑎 < 𝑏 "𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏"</p><p>𝑎 > 𝑏 "𝑎 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏"</p><p>𝑎 = 𝑏 "𝑎 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏"</p><p>Paréntesis</p><p>Corchetes</p><p>Llaves</p><p>Criterios de divisibilidad</p><p>Divisibilidad entre 2</p><p>Divisibilidad entre 3</p><p>Si termina en números pares</p><p>Si la suma de sus dígitos es múltiplo</p><p>de 3</p><p>Si sus últimos dos dígitos son 0 o</p><p>múltiplo de 4</p><p>Si su ultimo digito es 0 o 5</p><p>Si es divisible entre 2 y 3</p><p>Si su ultimo digito es 0</p><p>Divisibilidad entre 4</p><p>Divisibilidad entre 5</p><p>Divisibilidad entre 6</p><p>Divisibilidad entre 10</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑐𝑜𝑛 𝑎 < 𝑏</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≥ 𝑏 𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑐</p><p>𝑐𝑜𝑛 𝑏 < 𝑐</p><p>Con mismo denominador Con diferente denominador</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>±</p><p>𝑐</p><p>𝑑</p><p>=</p><p>𝑎𝑑 ± 𝑏𝑐</p><p>𝑏𝑑</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>±</p><p>𝑐</p><p>𝑏</p><p>=</p><p>𝑎 ± 𝑐</p><p>𝑏</p><p>División</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑐</p><p>𝑑</p><p>=</p><p>(𝑎)(𝑐)</p><p>(𝑏)(𝑑)</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>÷</p><p>𝑐</p><p>𝑑</p><p>=</p><p>(𝑎)(𝑑)</p><p>(𝑏)(𝑐)</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>÷</p><p>𝑐</p><p>𝑑</p><p>=</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑐</p><p>𝑑</p><p>=</p><p>(𝑎)(𝑑)</p><p>(𝑏)(𝑐)</p><p>Potenciación</p><p>𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎…𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑦 𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒</p><p>𝑎−𝑛 =</p><p>1</p><p>𝑎𝑛</p><p>𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛</p><p>𝑎𝑚</p><p>𝑎𝑛</p><p>= 𝑎𝑚−𝑛</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑚</p><p>=</p><p>𝑎𝑚</p><p>𝑏𝑚</p><p>𝑎0 = 1</p><p>(𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚𝑛</p><p>𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 𝑚 = 𝑎𝑚 ∙ 𝑏𝑚 ∙ 𝑐𝑚</p><p>𝑛</p><p>𝑎𝑚 = 𝑎</p><p>𝑚</p><p>𝑛 ,</p><p>𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒,𝑚 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦</p><p>𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒</p><p>𝑛</p><p>𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐</p><p>1</p><p>𝑛=</p><p>1</p><p>𝑎𝑛</p><p>∙</p><p>1</p><p>𝑏𝑛</p><p>∙</p><p>1</p><p>𝑐𝑛</p><p>= 𝑛 𝑎</p><p>𝑛</p><p>𝑏𝑛 𝑐</p><p>𝑛 𝑎</p><p>𝑏</p><p>=</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>1</p><p>𝑛</p><p>=</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>𝑛</p><p>𝑏</p><p>1</p><p>𝑛</p><p>=</p><p>𝑛 𝑎</p><p>𝑛</p><p>𝑏</p><p>𝑛 𝑚 𝑎 = 𝑚 𝑎</p><p>1</p><p>𝑛 = (𝑎</p><p>1</p><p>𝑚)</p><p>1</p><p>𝑛 = 𝑛𝑚 𝑎</p><p>𝑎</p><p>𝑛</p><p>𝑑 + 𝑏</p><p>𝑛</p><p>𝑑 − 𝑐</p><p>𝑛</p><p>𝑑 = 𝑎 + 𝑏 − 𝑐</p><p>𝑛</p><p>𝑑</p><p>𝑛 𝑎 ∙</p><p>𝑛</p><p>𝑏 ∙ 𝑛 𝑐 =</p><p>𝑛</p><p>𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐</p><p>𝑛 𝑎</p><p>𝑛</p><p>𝑏</p><p>=</p><p>𝑛 𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑐</p><p>𝑛</p><p>𝑎𝑚</p><p>=</p><p>𝑐</p><p>𝑛</p><p>𝑎𝑚</p><p>∙</p><p>𝑛</p><p>𝑎𝑛−𝑚</p><p>𝑛</p><p>𝑎𝑛−𝑚</p><p>=</p><p>𝑐∙</p><p>𝑛</p><p>𝑎𝑛−𝑚</p><p>𝑛</p><p>𝑎𝑚+𝑛−𝑚</p><p>=</p><p>𝑐∙</p><p>𝑛</p><p>𝑎𝑛−𝑚</p><p>𝑛</p><p>𝑎𝑛</p><p>=</p><p>𝑐∙</p><p>𝑛</p><p>𝑎𝑛−𝑚</p><p>𝑎</p><p>𝑏 𝑥 10𝑛</p><p>𝑎</p><p>= 𝑏 ÷ 𝑎 𝑥 10𝑛</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑐</p><p>=</p><p>(𝑎)(𝑏)</p><p>(𝑐)</p><p>𝑎</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>100</p><p>%</p><p>Enteros Negativos</p><p>Cero</p><p>exactos</p><p>Decimales</p><p>periódicos mixtos</p><p>Operaciones</p><p>Teoremas</p><p>Operaciones con raíces</p><p>Regla de tres simple</p><p>Notación científica</p><p>Suma - resta</p><p>Multiplicación</p><p>División</p><p>Potencias - raíces</p><p>𝑎 𝑥 10𝑛 ± 𝑐 𝑥 10𝑛 = 𝑎 ± 𝑐 𝑥 10𝑛</p><p>Razones y proporciones</p><p>𝑎 𝑏 𝑥 10𝑛 = 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 10𝑛</p><p>(𝑎 𝑥 10𝑚)𝑛= 𝑎𝑛 𝑥 10𝑚𝑥𝑎</p><p>Razón</p><p>Tanto por ciento</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑜 𝑎: 𝑏 𝑐𝑜𝑛 𝑏 ≠ 0</p><p>Proporción</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>=</p><p>𝑐</p><p>𝑑</p><p>𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑏 =</p><p>𝑎𝑑</p><p>𝑏</p><p>Directa Inversa</p><p>𝑎1</p><p>𝑎2</p><p>=</p><p>𝑏1</p><p>𝑥</p><p>∴ 𝑥 =</p><p>𝑎2𝑏1</p><p>𝑎1</p><p>𝑎1</p><p>𝑎2</p><p>=</p><p>𝑏1</p><p>𝑥</p><p>∴ 𝑥 =</p><p>𝑎1𝑏1</p><p>𝑎2</p><p>𝑎 𝑥 10𝑚 𝑏 𝑥 10𝑛 = 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 10𝑚+𝑛</p><p>𝑎 𝑥 10𝑚</p><p>𝑏 𝑥 10𝑚</p><p>= 𝑎 ÷ 𝑏 𝑥 10𝑚−𝑛</p><p>𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛</p><p>𝑛</p><p>𝑎 𝑥 10𝑚 = 𝑛 𝑎 𝑥</p><p>𝑛</p><p>10𝑚 𝑐𝑜𝑛 𝑚 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑛</p><p>𝑎 𝑥 10𝑛𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 10</p><p>Realizo: Prof. Veronica Varela Ontiveros Actualizado: 20 de Sep de 2020</p><p>Reales</p><p>(R)</p><p>Expresión Algebraica</p><p>Clasificación</p><p>Signo</p><p>División Ecuaciones de Primer grado(lineal)</p><p>−4𝑥𝑦𝑧2</p><p>Exponente</p><p>Coeficiente Variable</p><p>Expresión</p><p>Algebraica</p><p>Según el</p><p>numero</p><p>de</p><p>términos</p><p>Según el</p><p>grado</p><p>Monomio</p><p>Binomio</p><p>Trinomio</p><p>Polinomio</p><p>Un termino</p><p>Absoluto</p><p>Relativo</p><p>Dos términos</p><p>Tres términos</p><p>Mas de un termino</p><p>El mayor de los grado</p><p>de sus términos</p><p>Mayor exponente</p><p>de una variable</p><p>Suma</p><p>Multiplicación</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑎 = 2𝑎 + 𝑏 + 𝑐</p><p>Se efectúa la suma en forma vertical u horizontal y se reducen</p><p>términos semejantes 𝑎 + 𝑏 + 𝑐</p><p>𝑎</p><p>2𝑎 + 𝑏 + 𝑐</p><p>Resta</p><p>(2𝑎 + 𝑏 + 𝑐) − (𝑎 + 𝑏) = 𝑎 + 𝑐</p><p>Identificar minuendo y sustraendo y realizar la reducción de</p><p>términos semejantes 2𝑎 + 𝑏 + 𝑐</p><p>−𝑎 − 𝑏</p><p>𝑎 + 𝑐</p><p>Monomio por monomio</p><p>Polinomio por monomio</p><p>Polinomio por Polinomio</p><p>Monomio entre monomio</p><p>Polinomio entre monomio</p><p>Polinomio entre Polinomio</p><p>Productos Notables</p><p>𝑎2 − 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏</p><p>𝑎 ± 𝑏 2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑏</p><p>)𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = (𝑎2 − 𝑏2</p><p>𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑥2 + 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑎𝑏</p><p>𝑎 − 𝑏 3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3</p><p>𝑚𝑥 + 𝑎 𝑛𝑥 + 𝑏 = 𝑚𝑛𝑥2 + 𝑎 ∗ 𝑛 𝑥 + 𝑏 ∗ 𝑚 𝑥 + 𝑎𝑏</p><p>Cuadrado de un binomio</p><p>Cuadrado de un trinomio</p><p>Cubo de un binomio</p><p>Binomio de la forma</p><p>Binomio con termino común</p><p>𝑎 + 𝑏 3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3</p><p>Factor común</p><p>Diferencia de cuadrados</p><p>Trinomio cuadrado perfecto</p><p>Trinomio de la forma</p><p>Suma o diferencia de cubos</p><p>Suma o diferencia de exponentes impares</p><p>Teorema: Sea la ecuación lineal 𝑎𝑥 = 𝑏</p><p>Se multiplican los coeficientes y después las bases</p><p>Se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el</p><p>monomio.</p><p>Se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio</p><p>por cada uno de los términos del segundo polinomio. Se</p><p>reducen términos semejantes.</p><p>Se realiza la división de los coeficientes y después la de las</p><p>bases, aplicando leyes de los exponentes.</p><p>Se divide cada termino del polinomio entre el monomio</p><p>𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 ± 𝑏 2</p><p>𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)</p><p>Si 𝑎 ≠ 0, 𝑥 =</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>es solución única</p><p>Si 𝑎 = 0 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑏 ≠ 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑎𝑥 = 𝑏 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛</p><p>Si 𝑎 = 0 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑏 = 0, 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑘 ∈ 𝑅 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑥 = 𝑏</p><p>Métodos de solución</p><p>Reducción (suma-resta)</p><p>Sustitución</p><p>Igualación</p><p>Cramer (Determinantes)</p><p>Trinomio de la forma</p><p>𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)</p><p>𝐸𝑗𝑒𝑚: 2𝑥 3𝑥 = 6𝑥2</p><p>𝐸𝑗𝑒𝑚: 2𝑥 + 𝑦 3𝑥 = 6𝑥2+3xy</p><p>-Multiplicar las ecuaciones dadas por algún numero.</p><p>-Sumar las ecuaciones equivalentes para eliminar una incógnita.</p><p>-Resolver la ecuación y sustituir su valor en la otra ecuación.</p><p>-Despejar una de las variables y sustituir en la ecuación restante.</p><p>-Se resuelve la ecuación de 1er grado, se obtiene valor de la</p><p>incógnita.</p><p>-El valor de la incógnita se sustituye en el despeje.</p><p>-Se elige una variable y se despeja de ambas ecuaciones.</p><p>-Los despejes se igualan y se resuelve la ecuación.</p><p>-El valor que se obtiene se sustituye en cualquiera de los despejes.</p><p>𝑥 =</p><p>𝑐1 𝑏1</p><p>𝑐2 𝑏2</p><p>𝑎1 𝑏1</p><p>𝑎2 𝑏2</p><p>; 𝑦 =</p><p>𝑎1 𝑐1</p><p>𝑎2 𝑐2</p><p>𝑎1 𝑏1</p><p>𝑎2 𝑏2</p><p>; 𝑐𝑜𝑛</p><p>𝑎1 𝑏1</p><p>𝑎2 𝑏2</p><p>≠ 0</p><p>Operaciones algebraicas</p><p>𝐸𝑗𝑒𝑚: 2𝑥 + 𝑦 3𝑥 − 5𝑦 = 6𝑥2-5xy+3xy-5𝑦2</p><p>6𝑥2-2xy-5𝑦2</p><p>Sistemas de ecuaciones.</p><p>Grafico</p><p>Ecuaciones de segundo grado (cuadráticas)</p><p>Factorización</p><p>𝑥2 + 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑎𝑏 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)</p><p>𝑎𝑐𝑥2 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑥 + 𝑏𝑑 = (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑)</p><p>𝑎𝑛 + 𝑏𝑛=</p><p>(𝑎 + 𝑏)(𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2𝑏 + 𝑎𝑛−3𝑏2 −⋯− 𝑎𝑏𝑛−2 + 𝑏𝑛−1)</p><p>𝑎𝑛 − 𝑏𝑛=</p><p>(𝑎 − 𝑏)(𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑏 + 𝑎𝑛−3𝑏2 +⋯+ 𝑎𝑏𝑛−2 + 𝑏𝑛−1)</p><p>La ecuación de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0,</p><p>𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 𝑦 𝑎 ≠ 0</p><p>Propiedades de las raíces o soluciones de una ecuación</p><p>Discriminante: 𝐼 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐</p><p>Si 𝐼 > 0, las raíces son reales y diferentes</p><p>Si 𝐼 = 0, entonces las raíces son reales e iguales, 𝑥 = −</p><p>𝑏</p><p>2𝑎</p><p>Si 𝐼 < 0, entonces las raíces son complejas</p><p>Métodos de solución</p><p>Completando Trinomio Cuadrado Perfecto</p><p>Se suma en ambos miembros de la igualdad</p><p>𝑏</p><p>2</p><p>2</p><p>Formula General</p><p>𝑥 =</p><p>−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐</p><p>2𝑎</p><p>Se sustituyen valores de a, b y c en:</p><p>Factorización</p><p>Se factoriza la expresión y se iguala a cero cada factor</p><p>+</p><p>𝐸𝑗𝑒𝑚: -</p><p>8𝑥3</p><p>2𝑥</p><p>= −4𝑥3−1 = −4𝑥2</p><p>𝐸𝑗𝑒𝑚:</p><p>8𝑥3+6𝑥2</p><p>−2𝑥</p><p>=</p><p>8𝑥3</p><p>−2𝑥</p><p>+</p><p>6𝑥2</p><p>−2𝑥</p><p>= −4𝑥2 − 3𝑥</p><p>𝐸𝑗𝑒𝑚: 𝑥 + 1 𝑥2 + 3𝑥 + 2</p><p>−𝑥2−𝑥</p><p>2𝑥 + 2</p><p>−2𝑥</p><p>− 2</p><p>𝑥 + 2</p><p>Binomio conjugado</p><p>0</p><p>-Pares ordenados</p><p>que satisfacen</p><p>ambas ecuaciones</p><p>FORMULARIO</p><p>UNIDAD DE APRENDIZAJE</p><p>ALGEBRA</p><p>ALGEBRA</p><p>Realizo: Prof. Veronica Varela Ontiveros Actualizado: 20 de Sep de 2020</p><p>𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 = 𝒃 𝒂𝒃 = 𝒙</p><p>a= base x= argumento b= logaritmo</p><p>Sistemas</p><p>Base</p><p>del sistema Denominación</p><p>log</p><p>log10 = log = lg</p><p>log𝑒 1 = ln</p><p>𝑎</p><p>10</p><p>𝑒</p><p>Logaritmo de base a</p><p>Logaritmo común</p><p>Logaritmo natural</p><p>𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑀,𝑁, 𝑏 > 0 𝑦 ≠ 0, 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒:</p><p>Propiedades de los logaritmos (De cualquier base)</p><p>log𝑏 1 = 0</p><p>log𝑏 𝑏 = 1</p><p>log𝑏𝑀</p><p>𝑛 = 𝑛 log𝑏𝑀</p><p>log𝑏</p><p>𝑛</p><p>𝑀 =</p><p>1</p><p>𝑛</p><p>log𝑏𝑀</p><p>log𝑏 𝑀𝑁 = log𝑏𝑀 + log𝑏𝑁</p><p>log𝑏</p><p>𝑀</p><p>𝑁</p><p>= log𝑏𝑀 − log𝑏𝑁</p><p>log𝑒𝑀 = ln𝑀,</p><p>ln = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑦 𝑒 = 2.718281… .</p><p>FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS</p><p>GEOMETRIA EUCLIDIANA</p><p>Ángulos</p><p>Medidas</p><p>Sistema sexagesimal Sistema circular</p><p>Un radian ( 1 rad) = 57.29°</p><p>𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 180°</p><p>1° = 60´</p><p>1° = 60¨</p><p>Conversión de grados a radianes y de radianes a grados</p><p>Se multiplica el número de</p><p>radianes por el factor</p><p>180°/ π) y se simplifica,</p><p>esto es:</p><p>R(180°/ π)</p><p>Se multiplica el número de</p><p>grados por el factor</p><p>𝜋</p><p>180°</p><p>y</p><p>se simplifica, esto es:</p><p>𝑠</p><p>𝜋</p><p>180°</p><p>Grados a radianes Radianes a grados</p><p>Clasificación de acuerdo a su medida</p><p>Ángulos</p><p>Convexo. Mayor de 0° 𝑦 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒180°</p><p>Agudo Recto Obtuso</p><p>Llano.</p><p>Igual a180°</p><p>Cóncavo.</p><p>Mas de 180°</p><p>𝑦 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 360°</p><p>𝑀𝑖𝑑𝑒 360°</p><p>Perigonal</p><p>Complementarios Suplementarios Conjugados</p><p>< 𝑎 +< 𝑏 = 90° < 𝑎 +< 𝑏 = 180° < 𝑎 +< 𝑏 = 360°</p><p>Rectas paralelas cortadas por una secante</p><p>Triángulos</p><p>Congruentes Semejantes</p><p>Teorema de Tales Teorema de Pitágoras</p><p>Cuadriláteros</p><p>Clasificación</p><p>Teoremas:</p><p>Suma de ángulos interiores = 360°</p><p>Polígonos</p><p>Clasificación</p><p>Por sus lados Por sus ángulos</p><p>Convexo Cóncavo</p><p>- Regulares</p><p>- Irregulares</p><p>Elementos</p><p>Trazadas desde un vértice</p><p>Totales</p><p>𝑑 = 𝑛 − 3</p><p>𝑑 =</p><p>)𝑛(𝑛 − 3</p><p>2</p><p>Diagonales</p><p>Ángulos</p><p>Angulo interiorSuma de ángulos interiores</p><p>)𝑆𝑡 = 180° (𝑛 − 2</p><p>Suma de ángulos exteriores</p><p>𝑆𝑒 = 360°</p><p>Angulo exterior</p><p>i=</p><p>)180°(𝑛−2</p><p>𝑛</p><p>𝑒 =</p><p>360°</p><p>𝑛</p><p>Circunferencia y circulo</p><p>Rectas notables</p><p>Sector circular Segmento circular Semicírculo</p><p>Rectas y puntos notables</p><p>Altura</p><p>O:Ortocentro</p><p>Mediana</p><p>O:Baricentro</p><p>Bisectriz</p><p>O:Incentro</p><p>Mediatriz</p><p>O:Circuncentro</p><p>alternos internos</p><p>alternos externos</p><p>correspondientes</p><p>Colaterales internos</p><p>Colaterales externos</p><p>Ángulos</p><p>< 3 =< 5;< 4 =< 6</p><p>< 1 =< 7;< 2 =< 8</p><p>< 1 =< 5;< 4 =< 8</p><p>< 4 +< 5 = 180°</p><p>< 1+ < 8 = 180°</p><p>𝑆𝑖 𝐴´𝐵´ 𝐴𝐵 entonces</p><p>∆𝐴𝐵𝐶~𝐴´𝐵´𝐶´ +</p><p>𝑐: ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎</p><p>𝑎, 𝑏; 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜𝑠</p><p>𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2</p><p>𝑂: 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜</p><p>𝐴𝐸: 𝑎𝑟𝑐𝑜</p><p>𝐸𝐷: 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎</p><p>𝑂𝐴: 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜</p><p>𝐷𝐸: 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜</p><p>𝐵𝐶: 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒</p><p>𝐻𝐼: 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒</p><p>𝐹𝐺: 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎</p><p>𝐾𝐽: 𝑠𝑎𝑔𝑖𝑡𝑎 𝑜 𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎</p><p>𝑇 ∶ 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎</p><p>FORMULARIO</p><p>UNIDAD DE APRENDIZAJE</p><p>GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA</p><p>Realizo: Prof. Veronica Varela Ontiveros Actualizado: 20 de Sep de 2020</p><p>Circunferencia y circulo</p><p>Ángulos notables</p><p>Angulo Central Angulo Inscrito Angulo Seminscrito</p><p>Angulo Interior Angulo Exterior Angulo Circunscrito</p><p>Perímetros y superficies</p><p>Triángulos</p><p>Circunferencia y circulo</p><p>𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 cos𝛽 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝛽 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 cos 𝛼</p><p>Identidades trigonométricas</p><p>Reciprocas</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝜃 =</p><p>1</p><p>csc 𝜃</p><p>𝑐𝑜𝑠 𝜃 =</p><p>1</p><p>sec 𝜃</p><p>𝑡𝑎𝑛 𝜃 =</p><p>1</p><p>ctg 𝜃</p><p>𝑐𝑡𝑔 𝜃 =</p><p>1</p><p>tan𝜃</p><p>𝑠𝑒𝑐 𝜃 =</p><p>1</p><p>cos 𝜃𝑐𝑠𝑐 𝜃 =</p><p>1</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝜃</p><p>De cociente</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝛼</p><p>cos𝛼</p><p>= tan𝛼</p><p>𝑐𝑜𝑠 𝛼</p><p>sen 𝛼</p><p>= ctg 𝛼</p><p>Pitagóricas</p><p>𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 = 1</p><p>𝑡𝑎𝑛2 𝛼 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2 𝛼</p><p>1 + 𝑐𝑡𝑔2 𝛼 = 𝑐𝑠𝑐2 𝛼</p><p>Identidades trigonométricas de suma de ángulos</p><p>𝑡𝑎𝑛 𝛼 + 𝛽 =</p><p>tan 𝛼 + tan𝛽</p><p>1 − tan𝛼 tan𝛽</p><p>Identidades trigonométricas de diferencia de ángulos</p><p>Ángulos dobles</p><p>)𝑠𝑒𝑛 2𝛼 = 2(𝑠𝑒𝑛𝛼)(𝑐𝑜𝑠𝛼</p><p>cos 2𝛼 = 2 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 − 1</p><p>tan 2𝛼 =</p><p>2 tan 𝛼</p><p>1 − 𝑡𝑎𝑛 2𝛼</p><p>Triangulo Oblicuángulo</p><p>𝑎</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝐴</p><p>=</p><p>𝑏</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝐵</p><p>=</p><p>𝑐</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝐶</p><p>Ley de los senos</p><p>Ley de los cosenos</p><p>𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴</p><p>𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos𝐵</p><p>𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶</p><p>𝑃 = 3𝑏</p><p>𝐴 =</p><p>𝑏ℎ</p><p>2</p><p>𝑃 = 2𝑎 + 𝑏</p><p>𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐</p><p>𝐴 =</p><p>𝑏ℎ</p><p>2</p><p>𝐴 =</p><p>𝑏ℎ</p><p>2</p><p>𝐴 = )𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐</p><p>𝑆 =</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑐</p><p>2</p><p>𝑃 = 2𝜋𝑟 = 𝐷𝜋</p><p>𝐴 = 𝜋𝑟2</p><p>𝑃 = 𝑎 + 2𝑟</p><p>𝐴 =</p><p>𝜋𝑟2𝑛</p><p>360°</p><p>=</p><p>𝑎𝑟</p><p>2</p><p>𝑃 = 𝑎 + 𝑚</p><p>𝐴 =</p><p>𝜋𝑟2𝑛</p><p>360°</p><p>−</p><p>𝑚ℎ</p><p>2</p><p>< 𝐴𝑂𝐵 = ෢𝐴𝐵 < 𝐴𝐵𝐶 =</p><p>෢𝐴𝐶</p><p>2</p><p>< 𝐴𝐶𝐵 =</p><p>෢𝐴𝐶</p><p>2</p><p>< 𝐴𝐵𝐶 =</p><p>෢𝐴𝐶+ ෢𝐷𝐸</p><p>2</p><p>< 𝐴𝐵𝐶 =</p><p>෢𝐷𝐸− ෢𝐴𝐶</p><p>2</p><p>< 𝐴𝐵𝐶 =</p><p>෣𝐴𝐸𝐶−෣𝐴𝐺𝐶</p><p>2</p><p>Área (fórmula de Herón):</p><p>Cuadriláteros</p><p>𝑃 = 4𝑎</p><p>𝐴 = 𝑎2</p><p>P=2(a+b)</p><p>A= ab</p><p>)𝑃 = 2(𝑏 + 𝑐</p><p>𝐴 = ℎ𝑐</p><p>𝑃 = 4𝑎</p><p>𝐴 =</p><p>𝐷𝑑</p><p>2</p><p>𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑</p><p>𝐴 =</p><p>𝑎 + 𝑏 ℎ</p><p>2</p><p>𝑃 = 𝑛𝑏</p><p>𝐴 =</p><p>𝑃𝐶</p><p>2</p><p>TRIGONOMETRIA</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝜃 =</p><p>𝑐𝑜</p><p>ℎ</p><p>Funciones trigonométricas</p><p>𝑐𝑜𝑠 𝜃 =</p><p>𝑐𝑎</p><p>ℎ</p><p>𝑡𝑎𝑛 𝜃 =</p><p>𝑐𝑜</p><p>𝑐𝑎</p><p>𝑐𝑜𝑡 𝜃 =</p><p>𝑐𝑎</p><p>𝑐𝑜</p><p>𝑠𝑒𝑐 𝜃 =</p><p>ℎ</p><p>𝑐𝑎</p><p>𝑐𝑠𝑐 𝜃 =</p><p>ℎ</p><p>𝑐𝑜</p><p>Cofunciones 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = cos 90° − 𝛼 = cos𝛽</p><p>𝑐𝑜𝑠 𝛼 = sen 90° − 𝛼 = sen 𝛽</p><p>𝑡𝑎𝑛 𝛼 = ctg 90° − 𝛼 = ctg 𝛽</p><p>𝑐𝑡𝑔 𝛼 = tan 90° − 𝛼 = tan 𝛽</p><p>𝑠𝑒𝑐 𝛼 = csc 90° − 𝛼 = csc 𝛽</p><p>𝑐𝑠𝑐 𝛼 = sec 90° − 𝛼 = sec 𝛽</p><p>Seno</p><p>I cuadrante II cuadrante III cuadrante IV cuadrante</p><p>Coseno</p><p>Tangente</p><p>Cotangente</p><p>Secante</p><p>Cosecante</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>-</p><p>-</p><p>+</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>+</p><p>+</p><p>-</p><p>+</p><p>+</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>Triangulo Rectángulo</p><p>Grados Rad Sen Cos Tan Csc Sec Cot</p><p>0°</p><p>30°</p><p>45°</p><p>60°</p><p>90°</p><p>0</p><p>𝜋</p><p>6</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>𝜋</p><p>3</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>0 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 1 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒</p><p>3</p><p>3</p><p>2 2 3</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 2 2 1</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>3 2 3</p><p>3</p><p>2 3</p><p>3</p><p>1 0 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 1 0</p><p>Realizo: Prof. Veronica Varela Ontiveros Actualizado: 20 de Sep de 2020</p><p>Distancia entre dos puntos</p><p>GEOMETRIA ANALITICA BIDIMENSIONAL</p><p>LINEA RECTA</p><p>División de un segmento en una razón dada</p><p>Punto de división dados los extremos y la razón</p><p>Punto medio de un segmento de recta</p><p>Área de un polígono</p><p>Pendiente de una recta que pasa por dos puntos</p><p>PENDIENTE DE UNA RECTA</p><p>𝒎 =</p><p>𝒚2 − 𝒚1</p><p>𝒙2 − 𝒙1</p><p>Condición de paralelismo</p><p>𝒍𝟏 𝒍𝒍 𝒍𝟐 ֜𝒎𝟏 = 𝒎𝟐</p><p>Condición de perpendicularidad</p><p>𝒎𝟏 𝒎𝟐 = −𝟏</p><p>Angulo entre rectas</p><p>FAMILIA DE RECTAS</p><p>Ecuación general de la recta</p><p>Ecuación punto-pendiente</p><p>Ecuación punto-punto</p><p>Ecuación pendiente-ordenada al origen (forma ordinaria o</p><p>reducida</p><p>Ecuación en forma simétrica</p><p>Distancia de un punto a una recta</p><p>Rectas paralelas</p><p>Con b como parámetro</p><p>Rectas concurrentes</p><p>Con m como parámetro</p><p>Definición y elementos</p><p>Ecuación en su forma ordinaria</p><p>Ecuación en su forma general</p><p>Ecuación en su forma canónica</p><p>Análisis de la ecuación de una circunferencia</p><p>Si r es positivo la circunferencia es real</p><p>Si r es negativo la circunferencia es imaginaria</p><p>Si r es igual a cero entonces representa un punto</p><p>FAMILIA O HAZ DE CIRCUNFERENCIAS</p><p>Con p como parámetro</p><p>COORDENADAS POLARES</p><p>LUGAR GEOMETRICO</p><p>Intersecciones con los ejes ……...</p><p>Simetría con los ejes y el origen.</p><p>Extensión de la curva………………</p><p>Asíntotas</p><p>Grafica</p><p>Con eje “x”, y=0 eje “y”, x=0</p><p>f(x,-y), f(-x,y), f(-x,-y)</p><p>Valores reales “x” e “y”</p><p>RECTAS NOTABLES EN EL TRIANGULO</p><p>CIRCUNFERENCIA</p><p>Rectas paralelas Rectas concurrentes</p><p>Sistema Polar</p><p>Relación entre las coordenadas polares y rectangulares</p><p>Por el Teorema de Pitágoras</p><p>En el triangulo rectángulo OAP</p><p>FORMULARIO</p><p>UNIDAD DE APRENDIZAJE</p><p>GEOMETRIA ANALITICA</p><p>Realizo: Prof. Veronica Varela Ontiveros Actualizado: 20 de Sep de 2020</p><p>Parábola horizontal con vértice en el origen</p><p>HIPERBOLAPARABOLA</p><p>Ecuación Canónica:</p><p>Directriz:</p><p>Ecuación del eje:</p><p>Lado recto:</p><p>Foco:</p><p>Elementos:</p><p>Ecuación Canónica:</p><p>Foco:</p><p>Directriz:</p><p>Ecuación del eje:</p><p>Lado recto:</p><p>Elementos:</p><p>Vértice:</p><p>Ecuación Ordinaria:</p><p>Foco:</p><p>Directriz:</p><p>Ecuación del eje:</p><p>Lado recto:</p><p>Elementos:</p><p>Vértice:</p><p>ELIPSE</p><p>Ecuación Canónica:</p><p>Focos:</p><p>Extremos del eje :</p><p>Lado recto:</p><p>Vértices:</p><p>Elementos:</p><p>Excentricidad:</p><p>Ecuación Canónica:</p><p>Focos:</p><p>Extremos del eje :</p><p>Vértices:</p><p>Elementos:</p><p>Elementos:</p><p>Focos:</p><p>Extremos del eje :</p><p>Lado recto:</p><p>𝐹(ℎ ± 𝑐, 𝑘)</p><p>𝐵(ℎ, 𝑘 ± 𝑏)</p><p>𝐿𝑅 =</p><p>2𝑏2</p><p>𝑎</p><p>Vértices: 𝑉(ℎ ±</p><p>𝑎, 𝑘)</p><p>Excentricidad: 𝑒 =</p><p>𝑐</p><p>𝑎</p><p>= (e< 1)</p><p>Ecuación Canónica:</p><p>Focos:</p><p>Extremos del eje :</p><p>Lado recto:</p><p>Vértices:</p><p>Elementos:</p><p>Excentricidad:</p><p>Ecuación Canónica:</p><p>Focos:</p><p>Extremos del eje :</p><p>Lado recto:</p><p>Vértices:</p><p>Elementos:</p><p>Excentricidad:</p><p>Ecuación Canónica:</p><p>Focos:</p><p>Extremos del eje :</p><p>Lado recto:</p><p>Vértices:</p><p>Elementos:</p><p>Excentricidad:</p><p>Ecuación Canónica:</p><p>Focos:</p><p>Extremos del eje :</p><p>Lado recto:</p><p>Vértices:</p><p>Elementos:</p><p>Asíntotas:</p><p>Ecuación Canónica:</p><p>Focos:</p><p>Extremos del eje :</p><p>Lado recto:</p><p>𝑥2</p><p>𝑎2</p><p>−</p><p>𝑦2</p><p>𝑏2</p><p>= 1</p><p>𝐹(±𝑐, 0)</p><p>𝐵(0, ±𝑏)</p><p>𝐿𝑅 =</p><p>2𝑏2</p><p>𝑎</p><p>Vértices: 𝑉(±𝑎, 0)</p><p>Elementos:</p><p>Asíntotas: 𝑙1: 𝑦 =</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>𝑥 𝑙2: 𝑦 = −</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>𝑥</p><p>Excentricidad: 𝑒 =</p><p>𝑐</p><p>𝑎</p><p>= (e< 1)</p><p>Excentricidad:</p><p>Asíntotas:</p><p>Asíntotas:</p><p>Parábola vertical con vértice en el origen</p><p>Parábola vertical con vértice en (h,k)</p><p>Hipérbola horizontal con vértice en el origen Elipse horizontal con vértice en el origen</p><p>Elipse vertical con vértice en el origen</p><p>Elipse horizontal con vértice en (h,k)</p><p>Hipérbola vertical con vértice en el origen</p><p>Hipérbola horizontal con vértice en (h,k)</p><p>Hipérbola vertical con vértice en el (h,k)Elipse vertical con vértice en (h,k)</p><p>Directriz:</p><p>Ecuación del eje:</p><p>Foco:</p><p>Elementos:</p><p>Ecuación General:</p><p>Ecuación General:</p><p>Ecuación Ordinaria:</p><p>Lado recto: Lado recto:</p><p>Excentricidad:</p><p>Ecuación Canónica:</p><p>Realizo: Prof. Veronica Varela Ontiveros Actualizado: 20 de Sep de 2020</p><p>Parábola horizontal con vértice en (h,k)</p><p>RELACIONES Y FUNCIONES</p><p>Relación</p><p>Trigonométricas</p><p>Inversas trigonométricas</p><p>Exponenciales</p><p>Logarítmicas</p><p>DERIVADA</p><p>Función</p><p>Clasificación</p><p>Trascendentes</p><p>Algebraicas</p><p>Función</p><p>LIMITES</p><p>Teoremas</p><p>lim</p><p>x→a</p><p>𝑐 = 𝑐</p><p>lim</p><p>x→a</p><p>)𝑐 ∙ 𝑓(𝑥 = 𝑐 ∙ lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓 𝑥</p><p>lim</p><p>x→a</p><p>𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) = lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓 𝑥 ± lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑔 𝑥</p><p>lim</p><p>x→a</p><p>𝑥 = 𝑎</p><p>lim</p><p>x→a</p><p>)𝑓 𝑥 ∙ 𝑔(𝑥 = lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓 𝑥 ∙ lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑔 𝑥</p><p>lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓 𝑥 𝑛 = lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓 𝑥</p><p>𝑛</p><p>Función composición (función de funciones)</p><p>Derivada por definición</p><p>lim</p><p>ℎ→0</p><p>)𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥</p><p>ℎ</p><p>Notación:</p><p>Una función se denota o escribe como 𝒚=𝒇(𝒙), donde:</p><p>x: variable independiente</p><p>y: variable dependiente</p><p>f: función, regla de asignación o correspondencia</p><p>Dominio, contra dominio y rango de una función</p><p>Propiedades de las desigualdades</p><p>Sean a, b, c ∈ 𝑅</p><p>Si a > 𝑏 𝑦 𝑏 > 𝑐, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 > 𝑐</p><p>Si a > 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 𝑦 𝑎 − 𝑐 > 𝑏 − 𝑐</p><p>𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏 𝑦 𝑐 > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 𝑦</p><p>𝑎</p><p>𝑐</p><p>></p><p>𝑏</p><p>𝑐</p><p>Tabla de intervalos</p><p>Operaciones con funciones</p><p>CONTINUIDAD</p><p>Una función 𝑓 𝑥 es continua en el punto 𝑥0 ∈ 𝑅 si</p><p>cumple con las siguientes condiciones:</p><p>Limites Indeterminados:</p><p>Son aquellos cuyo resultado es de la forma</p><p>𝟎</p><p>𝟎</p><p>por</p><p>consiguiente es necesario eliminar la indeterminación.</p><p>Limites cuando x tiende al infinito</p><p>Casos de factorización (para recordar)</p><p>Dada una función:, se dice :</p><p>൯𝐴 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 (𝐷𝑓</p><p>൯𝑦 𝐵 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 (𝐶𝑓</p><p>𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 (𝑅 )𝑓</p><p>𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏 𝑦 𝑐 < 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 𝑦</p><p>𝑎</p><p>𝑐</p><p><</p><p>𝑏</p><p>𝑐</p><p>Constante</p><p>Lineal</p><p>Cuadrática</p><p>Identidad</p><p>Racional</p><p>Raíz Cuadrada</p><p>Valor Absoluto</p><p>Mayor Entero</p><p>Característica</p><p>lim</p><p>x→a</p><p>)𝑓(𝑥</p><p>)𝑔(𝑥</p><p>=</p><p>lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>)𝑓(𝑥</p><p>lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>)𝑔(𝑥</p><p>𝑠𝑖 lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑔(𝑥) ≠ 0</p><p>)𝑎𝑥𝑛 + 𝑏𝑥𝑛−1 = 𝑥𝑛−1(𝑎𝑥 + 𝑏</p><p>𝑎2 − 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏</p><p>𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 ± 𝑏 2</p><p>)𝑥2 + 𝑥 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏 = 𝑥 + 𝑎 (𝑥 + 𝑏</p><p>)𝑎3 ± 𝑏3 = (𝑎 ± 𝑏)(𝑎2 ∓ 𝑎𝑏 + 𝑏2</p><p>Sea 𝑓 𝑥 una función , se define a su 𝑓` 𝑥 :</p><p>Interpretación geométrica de la derivada</p><p>(</p><p>)</p><p>ሾ</p><p>ሾ</p><p>ሾ</p><p>)</p><p>)</p><p>(</p><p>( ሿ</p><p>ሿ</p><p>ሿ</p><p>FORMULARIO</p><p>UNIDAD DE APRENDIZAJE</p><p>CALCULO DIFERENCIAL</p><p>Realizo: Prof. Veronica Varela Ontiveros Actualizado: 20 de Sep de 2020</p><p>Derivadas de funciones trascendentes</p><p>Trigonométricas</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>tan 𝑣 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑣 ∙</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑣</p><p>Inversas Trigonométricas</p><p>Logarítmicas</p><p>Exponenciales</p><p>Recta Tangente y normal a la curva</p><p>Recta Tangente</p><p>Derivadas de funciones algebraicas</p><p>Regla de la cadena</p><p>Angulo entre curvas</p><p>Recta normal</p><p>APLICACIONES</p><p>Máximos y mínimos de una función</p><p>Criterio de la 1era derivada</p><p>Criterio de la 2da derivada</p><p>Intervalos de crecimiento</p><p>Intervalos de concavidad:</p><p>a) Si la derivada cambia de + a – es un máximo local</p><p>b) Si la derivada cambia de - a + es un mínimo local</p><p>c) Si la derivada no cambia de signo no existe</p><p>máximo ni mínimo</p><p>a) Si la 2da derivada es mayor que 0 es un mínimo</p><p>b) Si la 2da derivada es menor que 0 es un máximo</p><p>𝐶𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑎, 𝑏 𝑠𝑖 𝑓´(𝑥) > 0</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑐 = 0</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑥 = 1</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑐 ∙ 𝑣 = 𝑐 ∙</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑢 ± 𝑣 ± 𝑤 =</p><p>𝑑𝑢</p><p>𝑑𝑥</p><p>±</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>±</p><p>𝑑𝑤</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑥𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑣𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑣𝑛−1 ∙</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑛 𝑣 =</p><p>1</p><p>𝑛</p><p>𝑛</p><p>𝑣𝑛−1</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑣 =</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>2 𝑣</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 ∙</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>+ 𝑣 ∙</p><p>𝑑𝑢</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑢</p><p>𝑣</p><p>=</p><p>𝑣 ∙</p><p>𝑑𝑢</p><p>𝑑𝑥 − 𝑢 ∙</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑣2</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑐</p><p>𝑣</p><p>= −</p><p>𝑐</p><p>𝑣2</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑣</p><p>𝑐</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑐</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>sen 𝑣 = cos 𝑣 ∙</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑣</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>cos(𝑣) = −sen 𝑣 ∙</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑣</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>cot 𝑣 = −𝑐𝑠𝑐2 𝑣 ∙</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑣</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>sec 𝑣 = sec 𝑣 ∙ tan 𝑣 ∙</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑣</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>csc 𝑣 = −csc 𝑣 ∙ cot(𝑣) ∙</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑣</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐 𝑣 =</p><p>1</p><p>𝑣 𝑣2 − 1</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝑣 =</p><p>1</p><p>1 + 𝑣2</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑣 = −</p><p>1</p><p>1 − 𝑣2</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝐿𝑛 𝑣 =</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑣</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑒𝑣 = 𝑒𝑣 ∙</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑎𝑣 = 𝑎𝑣 ∙ ln 𝑎</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑢𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢𝑣−1</p><p>𝑑𝑢</p><p>𝑑𝑥</p><p>+ ln𝑢 ∙ 𝑢𝑣</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑣 =</p><p>𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑒</p><p>𝑣</p><p>∙</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑣 =</p><p>1</p><p>1 − 𝑣2</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑡 𝑣 = −</p><p>1</p><p>1 + 𝑣2</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑠𝑐 𝑣 = −</p><p>1</p><p>𝑣 𝑣2 − 1</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑑𝑥</p><p>a)</p><p>b)</p><p>𝑆𝑖 𝑓´´ 𝑥 < 0 ∴ 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎a)</p><p>b) 𝑆𝑖 𝑓´´ 𝑥 > 0 ∴ 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜</p><p>𝑆𝑖 𝑓´´ 𝑥 = 0 ∴ 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛c)</p><p>𝐷𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑎, 𝑏 𝑠𝑖 𝑓´(𝑥) < 0</p><p>Identidades trigonométricas (para recordar)</p><p>Reciprocas</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝜃 =</p><p>1</p><p>csc 𝜃</p><p>𝑐𝑜𝑠 𝜃 =</p><p>1</p><p>sec 𝜃</p><p>𝑡𝑎𝑛 𝜃 =</p><p>1</p><p>ctg 𝜃</p><p>𝑐𝑡𝑔 𝜃 =</p><p>1</p><p>tan𝜃</p><p>𝑠𝑒𝑐 𝜃 =</p><p>1</p><p>cos 𝜃𝑐𝑠𝑐 𝜃 =</p><p>1</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝜃</p><p>De cociente</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝛼</p><p>cos𝛼</p><p>= tan𝛼</p><p>Pitagóricas</p><p>𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 = 1</p><p>𝑡𝑎𝑛2 𝛼 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2 𝛼</p><p>1 + 𝑐𝑡𝑔2 𝛼 = 𝑐𝑠𝑐2 𝛼</p><p>Ángulos dobles</p><p>)𝑠𝑒𝑛 2𝛼 = 2(𝑠𝑒𝑛𝛼)(𝑐𝑜𝑠𝛼</p><p>cos 2𝛼 = 2 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 − 1</p><p>tan 2𝛼 =</p><p>2 tan 𝛼</p><p>1 − 𝑡𝑎𝑛 2𝛼</p><p>Realizo: Prof. Veronica Varela Ontiveros Actualizado: 20 de Sep de 2020</p><p>2. න 𝑎 𝑑𝑣 = 𝑎න 𝑑𝑣</p><p>1. න 𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 − 𝑑𝑤 = න𝑑𝑢 + න𝑑𝑣 −න𝑑𝑤</p><p>3. න𝑑𝑥 = x + 𝐶</p><p>4. න𝑥𝑛𝑑𝑥 =</p><p>𝑥𝑛+1</p><p>𝑛 + 1</p><p>+ 𝐶, 𝑛 ≠ −1</p><p>5. න𝑣𝑛𝑑𝑣 =</p><p>𝑣𝑛+1</p><p>𝑛 + 1</p><p>+ 𝐶, 𝑛 ≠ −1</p><p>6. න</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑣</p><p>= ln 𝑣 + 𝐶</p><p>7. න𝑎𝑣𝑑𝑣 =</p><p>𝑎𝑣</p><p>ln 𝑎</p><p>+ 𝐶</p><p>8. න𝑒𝑣𝑑𝑣 = 𝑒𝑣 + 𝐶</p><p>9. න𝑠𝑒𝑛 𝑣 𝑑𝑣 = − cos𝑣 + 𝐶</p><p>10.නcos 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑣 + 𝐶</p><p>12.න𝑐𝑜𝑡 𝑣 𝑑𝑣 = ln 𝑠𝑒𝑛𝑣 + 𝐶</p><p>15.න𝑠𝑒𝑐2𝑣 𝑑𝑣 = tan 𝑣 + 𝐶</p><p>16.න𝑐𝑠𝑐2𝑣𝑑𝑣 = − cot𝑣 + 𝐶</p><p>17.නsec 𝑣 tan 𝑣 𝑑v = sec 𝑣 + 𝐶</p><p>18.නcsc 𝑣 cot 𝑣 𝑑𝑢 = − csc 𝑣 + 𝐶</p><p>11.නtan 𝑣 𝑑𝑣 = − ln 𝑐𝑜𝑠𝑣 + 𝐶 = ln 𝑠𝑒𝑐𝑣 + 𝐶</p><p>13.න𝑠𝑒𝑐 𝑣 𝑑𝑣 = ln 𝑠𝑒𝑐𝑣 + 𝑡𝑎𝑛𝑣 + 𝐶</p><p>14.න𝑐𝑠𝑐 𝑣 𝑑𝑣 = ln 𝑐𝑠𝑐𝑣 − 𝑐𝑜𝑡𝑣 + 𝐶</p><p>22.න</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑎2 − 𝑣2</p><p>= 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛</p><p>𝑣</p><p>𝑎</p><p>+ 𝐶</p><p>24.න</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑣 𝑣2 − 𝑎2</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>𝑎𝑟𝑐 sec</p><p>𝑣</p><p>𝑎</p><p>+ C</p><p>20.න</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑣2 − 𝑎2</p><p>=</p><p>1</p><p>2𝑎</p><p>ln</p><p>𝑣 − 𝑎</p><p>v + 𝑎</p><p>+ 𝐶</p><p>21.න</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑎2 − 𝑣2</p><p>=</p><p>1</p><p>2𝑎</p><p>ln</p><p>𝑎 + 𝑣</p><p>𝑎 − 𝑣</p><p>+ 𝐶</p><p>23.න</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑣2 ± 𝑎2</p><p>= ln 𝑣 + 𝑣2 ± 𝑎2 + 𝐶</p><p>න 𝑎2 − 𝑣2 𝑑𝑣 =</p><p>𝑣</p><p>2</p><p>𝑎2 − 𝑣2 +</p><p>𝑎2</p><p>2</p><p>𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛</p><p>𝑣</p><p>𝑎</p><p>+ 𝐶</p><p>න 𝑣2 ± 𝑎2 𝑑𝑣 =</p><p>𝑣</p><p>2</p><p>𝑣2 ± 𝑎2 ±</p><p>𝑎2</p><p>2</p><p>l n 𝑣 + 𝑢2± 𝑎2 + C</p><p>Integrales de diferenciales trigonométricas</p><p>Integral de la</p><p>forma</p><p>Emplear</p><p>identidad</p><p>𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥</p><p>න𝑠𝑒𝑛𝑚𝑣𝑑𝑣,</p><p>න𝑐𝑜𝑠𝑛𝑣𝑑𝑣,</p><p>න𝑡𝑎𝑛𝑛𝑣𝑑𝑣,</p><p>න𝑐𝑜𝑡𝑛𝑣𝑑𝑣,</p><p>𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 1</p><p>𝑐𝑜𝑡2𝑥 = 𝑐𝑠𝑐2𝑥 − 1</p><p>𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥</p><p>𝑐𝑜𝑛 𝑚 𝑦 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟</p><p>𝑐𝑜𝑛 𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜</p><p>𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟</p><p>න𝑠𝑒𝑐𝑛𝑣𝑑𝑣,</p><p>න𝑐𝑠𝑐𝑛𝑣𝑑𝑣,</p><p>𝑐𝑜𝑛 𝑛 𝑝𝑎𝑟</p><p>𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥</p><p>𝑐𝑠𝑐2𝑥</p><p>= 1 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥</p><p>න𝑡𝑎𝑛𝑚𝑠𝑒𝑐𝑛𝑣𝑑𝑣,</p><p>න𝑐𝑜𝑡𝑚𝑐𝑠𝑐𝑛𝑣𝑑𝑣,</p><p>𝑐𝑜𝑛 𝑛 𝑝𝑎𝑟</p><p>𝑚 𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟</p><p>𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 1</p><p>𝑐𝑠𝑐2𝑥 − 𝑐𝑜𝑡2𝑥 = 1</p><p>න𝑐𝑜𝑠𝑛𝑣𝑑𝑣,</p><p>𝑐𝑜𝑛 𝑚 𝑦 𝑛 𝑝𝑎𝑟</p><p>න𝑠𝑒𝑛𝑚𝑣𝑑𝑣,</p><p>𝑠𝑒𝑛𝑣𝑐𝑜𝑠𝑣 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑠𝑒𝑛 2𝑣</p><p>𝑠𝑒𝑛2𝑣 =</p><p>1</p><p>2</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑐𝑜𝑠 2𝑣</p><p>𝑐𝑜𝑠2𝑣 =</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑐𝑜𝑠 2𝑣</p><p>න𝑠𝑒𝑛𝑚𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥𝑑𝑥</p><p>න 𝑠𝑒𝑛𝑚𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥</p><p>න𝑐𝑜𝑠𝑚𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 𝑑𝑥</p><p>−</p><p>cos 𝑚 + 𝑛 𝑥</p><p>2 𝑚+ 𝑛</p><p>−</p><p>cos 𝑚 − 𝑛 𝑥</p><p>2 𝑚 − 𝑛</p><p>+ 𝐶</p><p>−</p><p>sen 𝑚 + 𝑛 𝑥</p><p>2 𝑚 + 𝑛</p><p>+</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝑚 − 𝑛 𝑥</p><p>2 𝑚− 𝑛</p><p>+ 𝐶</p><p>sen 𝑚 + 𝑛 𝑥</p><p>2 𝑚 + 𝑛</p><p>+</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝑚 − 𝑛 𝑥</p><p>2 𝑚− 𝑛</p><p>+ 𝐶</p><p>𝑐𝑜𝑛 𝑚 ≠ 𝑛</p><p>Transformación</p><p>Algunas integrales que involucran expresiones de la</p><p>forma</p><p>deben resolverse utilizando las siguientes transforma-</p><p>ciones:</p><p>Integración por sustitución trigonométrica</p><p>𝑎2 − 𝑢2, 𝑢2 + 𝑎2 y 𝑢2 − 𝑎2,</p><p>𝑎2 − 𝑢2</p><p>𝑢2 + 𝑎2</p><p>𝑢2 − 𝑎2</p><p>𝑢𝑎</p><p>𝑧</p><p>𝑢</p><p>𝑧</p><p>𝑎</p><p>𝑧</p><p>𝑎</p><p>𝑢</p><p>Caso Triángulo Cambio-diferencial</p><p>𝑠𝑒𝑛𝑧 =</p><p>𝑢</p><p>𝑎</p><p>𝑢 = 𝑎𝑠𝑒𝑛𝑧</p><p>𝑑𝑢 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑧𝑑𝑧</p><p>𝑎2 − 𝑢2</p><p>= 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑧</p><p>𝑢 = 𝑎𝑡𝑎𝑛𝑧</p><p>𝑑𝑢 = 𝑎𝑠𝑒𝑐2𝑑𝑧</p><p>𝑢2 + 𝑎2</p><p>= 𝑎𝑠𝑒𝑐𝑧</p><p>𝑡𝑎𝑛𝑧 =</p><p>𝑢</p><p>𝑎</p><p>𝑠𝑒𝑐𝑧 =</p><p>𝑎</p><p>𝑢</p><p>𝑢 = 𝑎𝑠𝑒𝑐𝑧</p><p>𝑑𝑢 = 𝑎𝑠𝑒𝑐𝑧𝑡𝑎𝑛𝑑𝑧 = 𝑎𝑡𝑎𝑛𝑧</p><p>𝑢2 − 𝑎2</p><p>Integrales inmediatas</p><p>19.න</p><p>𝑑𝑣</p><p>𝑣2 + 𝑎2</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>𝑎𝑟𝑐 tan</p><p>𝑣</p><p>𝑎</p><p>+ 𝐶</p><p>METODOS DE INTEGRACIÓN</p><p>25.</p><p>26.</p><p>FORMULARIO</p><p>UNIDAD DE APRENDIZAJE</p><p>CALCULO INTEGRAL</p><p>Realizo: Prof. Veronica Varela Ontiveros Actualizado: 20 de Sep de 2020</p><p>Donde:</p><p>1. 𝑢 es una función fácil de derivar</p><p>2. 𝑑𝑣 es una función fácil de integrar</p><p>3. ׬ 𝑣𝑑𝑢 es mas sencilla que la integral inicial</p><p>Integración por partes</p><p>න𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − න𝒗 𝒅𝒖</p><p>Integración por fracciones parciales</p><p>Integrales de la forma:</p><p>න</p><p>𝑃(𝑥)</p><p>𝑄(𝑥)</p><p>𝑑𝑥</p><p>Donde 𝑃(𝑥) y 𝑄 𝑥 son polinomios</p><p>tales que el grado 𝑃(𝑥) es menor</p><p>que el grado de 𝑄 𝑥 .</p><p>Caso I.</p><p>El denominador tiene solo factores de primer grado</p><p>que no se repiten.</p><p>A cada factor de la forma: 𝒂𝒙 + 𝒃, le corresponde una</p><p>fracción de la forma</p><p>𝐴</p><p>𝑧𝑥+𝑏</p><p>. Donde 𝐴 es una constante</p><p>por determinar.</p><p>Caso II.</p><p>Los factores del denominador son todos de 1er grado y</p><p>algunos se repiten. Si se tiene un factor de la forma</p><p>(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛, se desarrolla una suma como sigue:</p><p>𝑨</p><p>(𝒂𝒙+𝒃)𝒏</p><p>+</p><p>𝑩</p><p>(𝒂𝒙+𝒃)𝒏−𝟏</p><p>+</p><p>𝑪</p><p>(𝒂𝒙+𝒃)𝒏−𝟐</p><p>+…+</p><p>𝒁</p><p>(𝒂𝒙+𝒃)𝒏</p><p>Donde𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑦 𝑍 son constantes por determinar.</p><p>Caso III</p><p>El denominador contiene factores de segundo grado y</p><p>ninguno de ellos se repite. A todo factor de la forma</p><p>𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, le corresponde una fracción de la forma:</p><p>𝑨𝒙 + 𝑩</p><p>𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄</p><p>Donde 𝐴 y 𝐵son constantes por determinar.</p><p>Caso IV</p><p>Los factores del denominador son todos de segundo</p><p>grado y algunos se repiten. Si existe algún factor de</p><p>segundo grado de la forma (𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄)𝒏 , se</p><p>desarrolla una suma de 𝑛 fracciones parciales, de la</p><p>forma:</p><p>𝑨𝒙+𝑩</p><p>𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄</p><p>+</p><p>𝑪𝒙+𝑫</p><p>𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄</p><p>𝟐 +…+</p><p>𝑽𝒙+𝑾</p><p>𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄</p><p>𝒏−𝟏 +</p><p>𝒀𝒙+𝒁</p><p>𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄</p><p>𝒏</p><p>Constante de integración</p><p>Dada la integral indefinida</p><p>׬ 𝒇´ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪 donde 𝐶 recibe el nombre</p><p>de constante de integración.</p><p>Integral definida</p><p>Representa el área que forma la función 𝑓 𝑥 con el</p><p>eje X en el intervalo 𝑎, 𝑏</p><p>Calculo de una integral definida</p><p>1. Se integra la diferencial de la función</p><p>2. Se sustituye la variable de la integral que se</p><p>obtuvo y los resultados se restan para obtener</p><p>el valor de la integral definida.</p><p>Longitud de arco</p><p>Sea la función 𝑦 = 𝑓 𝑥 continua en el intervalo</p><p>𝑎, 𝑏 , entonces la longitud de arco se define como:</p><p>𝐿 = න</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>1 + 𝑓´(𝑥)2 𝑑𝑥</p><p>Área bajo la curva</p><p>El área limitada por la curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 continua en</p><p>𝑎, 𝑏 , el eje 𝑋 y las rectas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, es:</p><p>El área limitada por la curva 𝑥 = 𝑓 𝑦 continua en</p><p>𝑐, 𝑑 , el eje 𝑌 y las rectas 𝑦 = 𝑐, 𝑦 = 𝑑, es:</p><p>Área entre curvas planas</p><p>Á𝑟𝑒𝑎 = න</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑦𝑑𝑥</p><p>Á𝑟𝑒𝑎 = න</p><p>𝑐</p><p>𝑑</p><p>𝑓 𝑦 𝑑𝑦 = න</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑥𝑑𝑦</p><p>El área comprendida entre las curvas 𝑓 𝑥 y 𝑔 𝑥 ,</p><p>tomando rectángulos de base 𝑑𝑥, está definida</p><p>como:</p><p>𝐴 = න</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥</p><p>Volumen de solidos de revolución</p><p>Método de discos</p><p>Se utiliza cuando el eje de rotación forma parte del</p><p>contorno del área plana.</p><p>Método de arandelas</p><p>Método de capas</p><p>Propiedades de la integral definida</p><p>න</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −න</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>𝑓 𝑥 𝑑𝑥</p><p>න</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)</p><p>donde 𝑐 es una</p><p>constante</p><p>න</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) = න</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± න</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑔 𝑥 𝑑𝑥</p><p>න</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න</p><p>𝑎</p><p>𝑐</p><p>𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +න</p><p>𝑐</p><p>𝑏</p><p>𝑓 𝑥 𝑑𝑥</p><p>Con</p><p>𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏</p><p>APLICACIONES DE LA INTEGRAL</p><p>Se utiliza cuando el eje de rotación forma parte del</p><p>contorno del área plana.</p><p>El volumen de la capa se expresa en función de la</p><p>circunferencia media, la altura y el espesor de la capa</p><p>cilíndrica, generada al girar el rectángulo.</p><p>𝑉 = 𝜋න</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑓(𝑥) 2𝑑𝑥 𝑉 = 𝜋න</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑓 𝑥 − 𝑘 2𝑑𝑥</p><p>𝑉 = 𝜋න</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>𝑓(𝑥) 2 − 𝑔(𝑥) 2𝑑𝑥</p><p>Realizo: Prof. Veronica Varela Ontiveros Actualizado: 20 de Sep de 2020</p>