AP2 2025 2 - Métodos Determinísticos II

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determińısticos II – 2/2025
Código da disciplina EAD06077
GABARITO - AP2
Questão 1 [1,5 pt] Explique com suas próprias palavras o que significa ter continuidade de uma
função f : R → R em um ponto x = 1.
Resolução: Dizer que uma função f é cont́ınua no ponto x = 1 significa que, ao aproximarmos x
de 1 pela esquerda ou pela direita, os valores de f(x) também se aproximam do valor que a própria
função assume em x = 1.
Formalmente, isso significa que
lim
x→1
f(x) = f(1).
Para que haja continuidade em x = 1, é necessário que três condições sejam satisfeitas:
1. f(1) esteja definido;
2. o limite limx→1 f(x) exista;
3. esse limite seja igual ao valor da função: limx→1 f(x) = f(1).
Interpretação geométrica: no gráfico, isso significa que em x = 1 não ocorre nenhum “salto”,
“buraco” ou “quebra”. Em outras palavras, podemos desenhar o gráfico de f passando pelo ponto
(1, f(1)) sem precisar levantar o lápis do papel.
Questão 2 [1,5 pt] Dê a definição algébrica, utilizando limites, da derivada de uma função
f : R → R
no ponto x = 1. Em seguida, explique a interpretação geométrica desse conceito.
Resolução: A derivada de f no ponto x = 1 é dada pelo limite
f ′(1) = lim
h→0
f(1 + h) − f(1)
h
,
se esse limite existir.
Esse quociente
f(1 + h) − f(1)
h
representa a taxa de variação média de f no intervalo entre 1 e
1 + h. Quando h → 0, obtemos a taxa de variação instantânea no ponto x = 1.
Interpretação geométrica:
O valor f ′(1) representa a inclinação (ou coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de f no
ponto (1, f(1)). Geometricamente, significa a inclinação da linha que melhor aproxima o gráfico de f
na vizinhança de x = 1. Se f ′(1) > 0, a função cresce nesse ponto; se f ′(1) 0 ⇒ L cresce em (2, 13).
- Para x > 13, por exemplo em x = 20:
L′(20) = −1200 + 900 − 78 = −378