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<p>Resolução de Sistemas Lineares</p><p>Métodos diretos - implementação</p><p>Professor Aldair</p><p>Cálculo numérico Computacional</p><p>Referência e material de estudo: Capítulo 3 RUGGIERO, Marcia A. Gomes;</p><p>LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e</p><p>computacionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books, c1998. 406 p. [Nº Chamada:</p><p>515 R931c].</p><p>1</p><p>Introdução..</p><p>3. Solução de sistemas lineares</p><p>3.1. Métodos diretos</p><p>3.1.1. Resolução de sistemas triangulares</p><p>3.1.2. Eliminação de Gauss</p><p>3.1.3 Eliminação de Gauss com pivotamento</p><p>3.1.4. Fatoração LU</p><p>Sistemas triangulares</p><p>Um algoritmo em python</p><p>Sistema 6x6 -> n=6</p><p>𝑎00𝑥0 + 𝑎01𝑥1 + 𝑎02𝑥2 + 𝑎03𝑥3 + 𝑎04𝑥4 + 𝑎05𝑥5 = 𝑏0</p><p>𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 + 𝑎14 𝑥4 + 𝑎15 𝑥5 = 𝑏1</p><p>𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 + 𝑎24 𝑥4 + 𝑎25 𝑥5 = 𝑏2</p><p>𝑎33 𝑥3 + 𝑎34 𝑥4 + 𝑎35 𝑥5 = 𝑏3</p><p>𝑎44 𝑥4 + 𝑎45 𝑥5 = 𝑏4</p><p>𝑎55 𝑥5 = 𝑏5</p><p>Eliminação Gaussiana</p><p>• Operações que zeram os elementos abaixo da diagonal principal –</p><p>transforma o sistema em um sistema triangular.</p><p>• Transforma a matriz estendida em uma matriz escalonada</p><p>1. multiplicação de um linha por uma constante não nula.</p><p>2. substituição de uma linha por ela mesma somada a um múltiplo de</p><p>outra linha.</p><p>3. permutação de duas linhas.</p><p>Exemplo:</p><p>Eliminação gaussiana para resolver o sistema</p><p>A eliminação de Gauss Jordan</p><p>• Zera os elementos abaixo e acima da diagonal principal.</p><p>• Resulta numa matriz escalonada reduzida</p><p>Eliminação de Gauss com PIVOTAMENTO PARCIAL</p><p>• É usado pois algum pivô pode ser zeros ou algo muito próximo de</p><p>zero, o que pode causar erros.</p><p>• Consiste em usar como pivô o maior valor de uma coluna.</p><p>Exemplo: Resolver o sistema abaixo por eliminação gaussiana</p><p>considerando uma aritmética de 3 dígitos significativos.</p><p>ቊ</p><p>0,0002𝑥 + 2𝑦 = 5</p><p>2𝑥 + 2𝑦 = 6</p><p>Exemplo: Resolver o sistema abaixo por eliminação gaussiana</p><p>considerando uma aritmética de 3 dígitos significativos com</p><p>pivotamento parcial.</p><p>ቊ</p><p>0,0002𝑥 + 2𝑦 = 5</p><p>2𝑥 + 2𝑦 = 6</p><p>O erro na resolução de um sistema linear</p><p>A solução exata</p><p>𝐴𝑥 = 𝑏</p><p>A solução aproximada</p><p>𝐴𝑥 = 𝑏 + 𝑟</p><p>r é o erro cometido, portanto</p><p>𝑟 = 𝐴𝑥 − 𝑏</p><p>Como r é um vetor, o tamanho desse erro poder ser calculado com o</p><p>módulo desse vetor.</p><p>𝑟 = 𝑒𝑟𝑟𝑜 = |𝐴𝑥 − 𝑏|</p><p>Exemplo: Calcular o erro para cada uma das resoluções dos sistemas</p><p>anteriores.</p><p>Exercício</p><p>1. Use uma linguagem de programação para escalonar e resolver o sistema</p><p>abaixo usando pivotamento parcial.</p><p>2. Construa um código que, em caso de sistemas que não tem solução, ou</p><p>sistemas em que a matriz A (dos coeficientes) não seja quadrada, dê</p><p>como saída a matriz escalonada. Em caso de sistemas com solução, a</p><p>saída deve ser o vetor solução.</p><p>a) Teste seu programa para uma matriz 3x3, para uma matriz 3x4 e para uma</p><p>4x3.</p><p>Bônus para quem apresentar a matriz escalonada reduzida.</p>