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CÁLCULO NUMÉRICO 
AULA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Celina Jarletti 
 
 
 
 
CONVERSA INICIAL 
A ocorrência de sistemas de equações é bastante frequente nas ciências 
exatas e tecnologia. Assim sendo, algumas definições são necessárias: 
• Equação: é uma igualdade envolvendo termos com constantes, 
incógnitas e operações algébricas; 
• Sistema: é um conjunto de equações a serem resolvidas que apresentam 
a mesma solução; 
• Linear: quando todas as incógnitas estão elevadas à primeira potência. 
Um Sistema de Equações Lineares Algébricas (SELA) com 𝑚 equações 
e 𝑛 incógnitas é geralmente escrito na forma: 
{
𝑎11. 𝑥1+ 𝑎12. 𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛. 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21. 𝑥1+ 𝑎22. 𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛. 𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1. 𝑥1+ 𝑎𝑚2. 𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛. 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
 
Em que 𝑎𝑖𝑗 , 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1,2,… ,𝑚, 𝑗 = 1,2, . . , 𝑛 pertencem aos reais. Uma n-upla 
𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛 que satisfaz a todas equações é uma solução do sistema. 
Se 𝑏1 = 𝑏2 = ⋯ = 𝑏𝑚 = 0, o sistema é dito homogêneo. 
O sistema pode ter uma única solução ou pode ter infinitas soluções. 
Nessas condições, o sistema é possível ou consistente. O sistema tem solução 
se, e somente se o posto da matriz [𝐴] for igual ao posto da matriz aumentada 
[𝐴|𝐵]. Se os postos das matrizes [𝐴] e [𝐴|𝐵] forem iguais a 𝑛, então, a solução 
é única. Se os postos das matrizes [𝐴] e [𝐴|𝐵] forem menores que 𝑛, então, 
haverá infinitas soluções para o sistema. 
No caso de não possuir solução, é dito sistema impossível. 
Para um sistema de equações apresentar solução única, é necessário: 
a) Existir a matriz inversa 𝐴−1; 
b) O determinante da matriz A é não nulo, ou seja, det (𝐴) ≠ 0; 
c) O posto de A é igual ao número de incógnitas (𝑟 = 𝑛). 
 
 
 
 
Obs.: no caso de det(𝐴) = 0, o sistema é denominado singular e tem 
infinitas soluções ou é inconsistente. Se det (𝐴) ≠ 0, o sistema é regular (não 
singular) e tem solução única. 
Os métodos para a resolução de sistemas lineares de equações podem 
ser métodos diretos, indiretos e de otimização. A escolha do método depende 
de: 
a) propagação dos erros de arredondamento, ou seja, estabilidade numérica 
do método; 
b) armazenamento dos dados na matriz A de acordo com sua estrutura. 
TEMA 1 – MÉTODOS INDIRETOS DE SOLUÇÃO DE SELA 
Atuam sobre o sistema de equações de forma a transformá-lo em 𝑋 =
𝜓(𝑋). A partir de uma tentativa inicial (atribuição) e após algumas vezes de 
repetição de um ciclo de cálculos (iteração), mediante um critério de parada, 
obtém-se a solução do sistema de equações. 
Não se aplicam a todos os sistemas. Diz-se que haverá convergência 
de resultados quando a diagonal principal da matriz [A] for dominante, ou seja, o 
módulo (ou valor absoluto) de cada elemento da diagonal principal é maior (ou 
igual) que a soma dos módulos dos demais elementos da linha em que se 
encontra. Isso é estabelecido pelo critério das linhas, dado por: 
|𝑎𝑖𝑖| ≥ ∑ |𝑎𝑖𝑗|
𝑛
𝑗=1
𝑗≠𝑖
 
Em determinados sistemas, se o critério das linhas não for atendido, pode-
se trocar uma linha por outra. Então, atendido esse critério, aplica-se os métodos 
indiretos de resolução de sistemas de equações lineares. 
• Método de Gauss-Jacobi 
O método consiste em isolar cada uma das incógnitas do sistema de 
equações, pela ocorrência na diagonal principal, sendo [A] uma matriz 
quadrada. 
 
 
 
 
A partir de uma atribuição inicial (𝐾 = 0) para o vetor das incógnitas, gera-
se uma sequência de aproximações para ele. Os testes de parada mais usados 
são: ‖𝑋(𝑘+1) − 𝑋(𝑘)‖ ≤ 𝜖, e 
‖𝑋(𝑘+1)−𝑋(𝑘)‖
‖𝑋(𝑘+1)‖
≤ 𝜖 , em que 𝜖 é a tolerância estabelecida 
a priori. Nesse método, cada nova estimativa utiliza os valores obtidos na 
estimativa anterior do vetor das incógnitas. 
Exemplo: 
1) Determinar a solução do sistema de equações, utilizando seis casas decimais 
em seus cálculos, e com precisão 10−2 . 
{
4 𝑥1 + 9𝑥2 − 3𝑥3 = 16
6 𝑥1 + 3 𝑥2 + 1 𝑥3 = 10
1 𝑥1 − 1 𝑥2 + 3𝑥3 = 14
 
Resolução: testando o critério das linhas: 
Para a linha 1: |4| < |9| + |−3| Falha! 
Para a linha 2: |3| < |6| + |1| Falha! 
Para a linha 3: |3| > |1| + |−1| Ok! 
Com a troca da primeira linha com a segunda linha vem: 
{
6 𝑥1 + 3𝑥2 + 1𝑥3 = 10
4 𝑥1 + 9 𝑥2 − 3 𝑥3 = 16
1 𝑥1 − 1 𝑥2 + 3𝑥3 = 14
 
O critério das linhas é atendido. 
Para a linha 1: |6| > |3| + |1| Ok! 
Para a linha 2: |9| > |4| + |−3| Ok! 
Isolando as incógnitas, vem da primeira equação: 𝑥1 =
1
6
. (10 − 3𝑥2 − 𝑥3) 
Da segunda equação do sistema resulta: 𝑥2 =
1
9
. (16 − 4𝑥1 + 3𝑥3) 
E da terceira equação, obtém-se: 𝑥3 =
1
3
. (14 − 𝑥1 + 𝑥2) 
Usando uma atribuição inicial (𝐾 = 0) para 𝑋 = ⌈
0
0
0
⌉ resulta: 
 
 
 
 
𝑥1
(1) =
1
6
. (10 − 3𝑥2
(0) − 𝑥3
(0)) =
1
6
(10 − 3 . 0 − 0) =
10
6
= 1,666667 
𝑥2
(1) =
1
9
. (16 − 4𝑥1
(0) + 3𝑥3
(0)) =
1
9
(16 − 4 . 0 + 3 . 0) =
16
9
= 1,777778 
𝑥3
(1) =
1
3
. (14 − 𝑥1
(0) + 𝑥2
(0)) =
1
3
(14 − 0 + 0) =
14
3
= 4,666667 
O resultado obtido 𝑋(1) = ⌈
1,666667
1,777778
4,666667
⌉ será utilizado para uma nova estimativa: 
𝑥1
(2) =
1
6
. (10 − 3𝑥2
(1) − 𝑥3
(1)) =
1
6
(10 − 3 . 1,777778 − 4,666667) = 0,000000 
𝑥2
(2) =
1
9
. (16 − 4𝑥1
(1) + 3𝑥3
(1)) =
1
9
(16 − 4 . 1,666667 + 3 . 4,666667) = 2,592593 
𝑥3
(2) =
1
3
. (14 − 𝑥1
(1) + 𝑥2
(1)) =
1
3
(14 − 1,666667 + 1,777778) = 4,703704 
A nova estimativa para as incógnitas é 𝑋(2) = ⌈
0,000000
2,592593
4,703704
⌉ e, sucessivamente: 
𝑋(3) = ⌈
−0,413581
3,345679
5,530864
⌉ 𝑋(4) = ⌈
−0,927984
3,805213
5,919753
⌉ 𝑋(5) = ⌈
−1,222565
4,163466
6,244399
⌉; 
 𝑋(6) = ⌈
−1,455580
4,402606
6,462010
⌉ 𝑋(7) = ⌈
−1,611638
4,578706
6,619395
⌉ 𝑋(8) = ⌈
−1,725919
4,700526
6,730115
⌉ 𝑋(9) =
⌈
−1,805282
4,788223
6,808815
⌉ 𝑋(10) = ⌈
−1,862247
4,849730
6,864502
⌉ 𝑋(11) = ⌈
−1,902282
4,893610
6,903992
⌉ 
Nessas condições, é possível visualizar que os valores são: 𝑥1 → −2; 𝑥2 → 5 e 
𝑥3 → 7, como a solução do sistema de equações. 
TEMA 2 – MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 
Similar ao método anterior, sendo um processo melhor, de mais rápida 
convergência, porque utiliza as últimas estimativas para cada componente do 
vetor das incógnitas, podendo ser da iteração em curso e/ou da anterior. 
Exemplo: 
 
 
 
 
1) Determinar a solução do sistema de equações, utilizando seis casas decimais 
em seus cálculos, e com precisão até a segunda casa decimal, ou seja, 10−2. 
{
6 𝑥1 + 3𝑥2 + 1𝑥3 = 10
4 𝑥1 + 9 𝑥2 − 3 𝑥3 = 16
1 𝑥1 − 1 𝑥2 + 3𝑥3 = 14
 
Isolando as incógnitas, vem da primeira equação: 𝑥1 =
1
6
. (10 − 3𝑥2 − 𝑥3) 
Da segunda equação do sistema resulta: 𝑥2 =
1
9
. (16 − 4𝑥1 + 3𝑥3) 
E da terceira equação, obtém-se: 𝑥3 =
1
3
. (14 − 𝑥1 + 𝑥2) 
Usando uma atribuição inicial (𝐾 = 0) para 𝑋 = ⌈
0
0
0
⌉ resulta: 
𝑥1
(1) =
1
6
. (10 − 3𝑥2
(0) − 𝑥3
(0)) =
1
6
(10 − 3 . 0 − 0) =
10
6
= 1,666667 
𝑥2
(1) =
1
9
. (16 − 4𝑥1
(1) + 3𝑥3
(0)) =
1
9
(16 − 4 . 1,666667 + 3 . 0) = 1,037037 
𝑥3
(1) =
1
3
. (14 − 𝑥1
(1) + 𝑥2
(1)) =
1
3
(14 − 1,666667 + 1,037037) = 4,456790 
O resultado obtido 𝑋(1) = ⌈
1,666667
1,037037
4,456790
⌉ será utilizado para uma nova estimativa: 
𝑥1
(2) =
1
6
. (10 − 3𝑥2
(1) − 𝑥3
(1)) =
1
6
(10 − 3 . 1,037037 − 4,456790) = 0,405350 
𝑥2
(2) =
1
9
. (16 − 4𝑥1
(2) + 3𝑥3
(1)) =
1
9
(16 − 4 . 0,405350 + 3 . 4,456790) = 3,083137 
𝑥3
(2) =
1
3
. (14 − 𝑥1
(2) + 𝑥2
(2)) =
1
3
(14 − 0,405350 + 3,083137) = 5,559262 
Os valores estimados para incógnitas são 𝑋(2) = ⌈
0,405350
3,083137
5,559262
⌉ e, 
sucessivamente: 𝑋(3) = ⌈
−0801446
3,987063
6,262836
⌉ 𝑋(4) = ⌈
−1,370671
4,474577
6,615083
⌉ 
𝑋(5) = ⌈
−1,673136
4,726422
6,799853
⌉; 
 
 
 
 
 𝑋(6) = ⌈
−1,829853
4,857664
6,895839
⌉Nessas condições, é possível visualizar que os valores são: 𝑥1 → −2; 𝑥2 →
5 e 𝑥3 → 7, como a solução do sistema de equações. 
Comparando o método de Gauss-Jacobi com o método de Gauss-Seidel, 
observa-se que o segundo método utilizou menos iterações (11 e 6, 
respectivamente) para a resolução do mesmo sistema de equações. O número 
de iterações depende do sistema, e da tolerância de erro admitida a priori. 
TEMA 3 – MÉTODOS DIRETOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE 
EQUAÇÕES LINEARES 
São aqueles que atuam sobre as matrizes e em que, na ausência de erros 
de arredondamento, determina-se a solução do sistema de equações, com um 
número finito de passos previamente conhecidos. 
• Método de Eliminação de Gauss 
A ideia fundamental é transformar o sistema de equações 𝑨 𝑿 = 𝑩 em 
um sistema equivalente por meio de operações elementares em matrizes, de 
forma que a matriz dos coeficientes seja triangular superior após 𝑛 − 1 passos, 
sendo n o número de incógnitas. 
O processo é aplicado sobre a matriz aumentada (ou estendida) [𝐴|𝐵], e 
as operações elementares sobre matrizes são: 
a) troca de uma linha por outra; 
b) multiplicar uma linha por uma constante 𝐾 ≠ 0; 
c) multiplicar uma linha por uma constante 𝐾 ≠ 0, e somar a uma outra linha. 
Quando o sistema equivalente for obtido, determinam-se os valores das 
incógnitas por substituição para trás. 
O procedimento consiste em promover a eliminação por colunas nas quais 
a incógnita 𝑥𝑖 , 𝑐𝑜𝑚 𝑖 = 1, 2, . . , 𝑛 − 1 , é eliminada das linhas 𝑘 = 𝑖 + 1, 𝑖 + 2,… , 𝑛. 
Para cada incógnita a ser eliminada ocorre uma etapa, que considera o 
pivô (obrigatoriamente não nulo) sendo o elemento na diagonal principal da 
 
 
 
 
matriz [A]. Para cada linha abaixo daquela que contém o pivô, determinam-se os 
multiplicadores da linha, determinado por: 𝑚𝑘𝑖 =
𝑎𝑘𝑖
𝑎𝑖𝑖
 . 
A operação elementar sobre cada linha da matriz é descrita como: 
𝐿𝑘 −𝑚𝑘𝑖 . 𝐿𝑖 → 𝐿𝑘 
Exemplo: 
{
3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 1
4𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = −1
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 3
 
Sistema com 3 equações e 3 incógnitas (𝑛 = 3). O número de incógnitas a serem 
eliminadas é 𝑛 − 1 = 3 − 1 = 2, igual ao número de etapas. 
Matriz aumentada:[
3 2 1
4 1 4
1 1 2
|
1
−1
3
] 
Etapa 1: 𝑖 = 1 Pivô: 𝑎𝑖𝑖 = 𝑎11 = 3 
Multiplicadores para as linhas abaixo da linha do pivô: 
𝑚21 =
𝑎21
𝑎11
=
4
3
 e 𝑚31 =
𝑎31
𝑎11
=
1
3
 
Operando sobre as linhas 2 e 3, com 𝐿2 −𝑚21 . 𝐿1 → 𝐿2 𝑒 𝐿3 −𝑚31 . 𝐿1 → 𝐿3, 
resulta: 
[
3 2 1
0 −5/3 8/3
0 1/3 5/3
|
1
−7/3
8/3
] 
Etapa 2: 𝑖 = 2 Pivô: 𝑎𝑖𝑖 = 𝑎22 = −
5
3
 
Multiplicador para a linha abaixo da linha do pivô 𝑚32 =
𝑎32
𝑎22
=
1/3
−5/3
= −
1
5
 
Operando sobre a linha 3, com 𝐿3 −𝑚32 . 𝐿2 → 𝐿3 resulta: 
[
3 2 1
0 −5/3 8/3
0 0 11/5
|
1
−7/3
11/5
] 
A matriz dos coeficientes é triangular superior, assim, tem-se o sistema 
equivalente: 
 {
3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 1
 −
5
3
𝑥2 +
8
3
𝑥3 = −
7
3
 
11
5
𝑥3 =
11
5
 
 
 
 
 
Resolvendo da última equação para a primeira equação vem: 
11
5
𝑥3 =
11
5
 𝑜𝑢 𝑥3 = 1 
−
5
 3
𝑥2 +
8
3
𝑥3 = −
7
3
 𝑜𝑢 −
5
3
𝑥2 +
8
3
 . 1 = −
7
3
 𝑜𝑢 𝑥2 = −
3
5
(−
7
3
−
8
3
) = 3 
3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 1 𝑜𝑢 𝑥1 =
1
3
. (1 − 2𝑥2 − 𝑥3) =
1
3
. (1 − 2 . 3 − 1) = −2 
A solução é 𝑋 = |
−2
3
1
| 
• Método de Gauss-Jordan 
É uma variante do método de Eliminação de Gauss. Nesse processo a 
matriz dos coeficientes é transformada em uma matriz diagonal identidade e a 
determinação das raízes ocorre no vetor das constantes da matriz aumentada. 
Exemplo: 
Primeira fase: zerando abaixo da diagonal principal como no método de 
Eliminação de Gauss. 
{
3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 1
4𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = −1
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 3
 
Matriz aumentada:[
3 1 2
1 2 −1
2 1 4
|
9
−2
14
] Etapa 1: 𝑖 = 1 Pivô: 𝑎𝑖𝑖 = 𝑎11 = 3 
Multiplicadores para as linhas abaixo da linha do pivô: 
𝑚21 =
𝑎21
𝑎11
=
4
3
 e 𝑚31 =
𝑎31
𝑎11
=
1
3
 
Operando sobre as linhas 2 e 3: 𝐿2 −𝑚21 . 𝐿1 → 𝐿2 𝑒 𝐿3 −𝑚31 . 𝐿1 → 𝐿3 
[
3 2 1
0 −5/3 8/3
0 1/3 5/3
|
1
−7/3
8/3
] 
Etapa 2: 𝑖 = 2 Pivô: 𝑎𝑖𝑖 = 𝑎22 = −
5
3
 
Multiplicador para a linha abaixo da linha do pivô 𝑚32 =
𝑎32
𝑎22
=
1/3
−5/3
= −
1
5
 
Operações sobre a linha 3: 𝐿3 −𝑚32 . 𝐿2 → 𝐿3 resultando: 
 
 
 
 
[
3 2 1
0 −5/3 8/3
0 0 11/5
|
1
−7/3
11/5
] 
Segunda fase: zerando acima da diagonal principal. 
Etapa 1: 𝑖 = 3 Pivô: 𝑎𝑖𝑖 = 𝑎33 =
11
5
 
Multiplicadores para as linhas acima da linha do pivô: 
𝑚23 =
𝑎23
𝑎33
=
8/3
11/5
=
8
3
.
5
11
=
40
33
 e 𝑚13 =
𝑎13
𝑎33
=
1
11/5
=
5
11
 
Operando sobre as linhas 2 e 1: 𝐿2 −𝑚23 . 𝐿3 → 𝐿2 𝑒 𝐿1 −𝑚13 . 𝐿3 → 𝐿1 
[
3 2 0
0 −5/3 0
0 0 11/5
|
0
−5
11/5
] 
Etapa 2: 𝑖 = 2 Pivô: 𝑎𝑖𝑖 = 𝑎22 = −
5
3
 
Multiplicador para a linha acima da linha do pivô 𝑚12 =
𝑎12
𝑎22
=
2
−5/3
= −
6
5
 
Operações sobre a linha 1: 𝐿1 −𝑚12 . 𝐿2 → 𝐿1 resultando: 
[
3 0 0
0 −5/3 0
0 0 11/5
|
−6
−5
11/5
] 
A matriz dos coeficientes é uma matriz diagonal. Para transformá-la em matriz 
identidade, divide-se cada linha pelo valor do elemento da linha (ou multiplica 
pelo inverso desse valor) na diagonal principal da matriz, resultando: 
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
−2
3
1
] 
Observa-se a solução do sistema, no vetor das constantes, ou seja, 𝑋 = |
−2
3
1
|. 
TEMA 4 – DECOMPOSIÇÃO OU FATORAÇÃO L.U. 
Um processo de fatoração para resolver sistemas de equações consiste 
em decompor a matriz dos coeficientes [A] em um produto de duas ou mais 
matrizes, e resolver uma sequência de sistemas lineares. 
 
 
 
 
O sistema: 𝐴 𝑋 = 𝐵, fazendo 𝐴 = 𝐶 𝐷, torna-se: (𝐶𝐷)𝑋 = 𝐵. 
Se 𝑌 = 𝐷 𝑋 resolve-se 𝐶 𝑌 = 𝐵 e em seguida 𝐷 𝑋 = 𝑌. 
A vantagem dos processos de fatoração é que os sistemas de equações 
que apresentem a mesma matriz dos coeficientes e difiram apenas pelo vetor 
das constantes são facilmente resolvidos. 
A fatoração L.U. é a mais comumente empregada e L é a matriz triangular 
inferior e U a matriz triangular superior cujos elementos estão relacionados com 
o método de eliminação de Gauss. 
Exemplo: resolver os sistemas: 
{
3𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 10
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 5
2𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 7
 e {
3𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 5
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 17
2𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 13
 
A matriz dos coeficientes é a mesma para os dois sistemas. 
|
3 1 2
1 2 3
2 1 4
| 
Do método de eliminação de Gauss vem: 
𝑚21 =
𝑎21
𝑎11
=
1
3
 e 𝑚31 =
𝑎31
𝑎11
=
2
3
 e a matriz dos coeficientes é: 
|
3 1 2
0 5/3 7/3
0 1/3 8/3
| 
Continuando 𝑚32 =
𝑎32
𝑎22
=
1
3
5
3
=
1
5
 e a matriz dos coeficientes: |
3 1 2
0 5/3 7/3
0 0 11/5
| 
Os fatores (matrizes) L e U são: 
 𝐿 = |
1 0 0
1/3 1 0
2/3 1/5 1
| e 𝑈 = |
3 1 2
0 5/3 7/3
0 0 17/9
| 
Resolvendo o sistema: 
{
3𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 10
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 5
2𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 7
 
a) 𝐿 𝑌 = 𝐵 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
1𝑦1 = 10
1
3
𝑦1 + 𝑦2 = 5
2
3
𝑦1 +
1
5
𝑦2 + 𝑦3 = 7
 
Com solução: 𝑌 = [10 
5
3
 0]
𝑇
 
b) 𝑈 𝑋 = 𝑌 
{
 
 
 
 
2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 10
 
5
3
𝑥2 +
7
3
𝑥3 =
5
3
11
5
𝑥3 = 0
 
Que resulta 𝑋 = [ 3 1 0]𝑇 
Resolvendo o sistema: 
{
3𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 5
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 17
2𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 13
 
a) 𝐿 𝑌 = 𝐵 
{
 
 
 
 
1𝑦1 = 5
1
3
𝑦1 + 𝑦2 = 17
2
3
𝑦1 +
1
5
𝑦2 + 𝑦3 = 13
 
Com solução: 𝑌 = [5 
46
3
 
33
5
]
𝑇
 
b) 𝑈 𝑋 = 𝑌 
{
 
 
 
 
3𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 5
 
5
3
𝑥2 +
7
3
𝑥3 =
46
3
11
5
𝑥3 =
33
5
 
Que resulta 𝑋 = [ −3 5 3]𝑇 
 
 
 
 
 
TEMA 5 – SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES 
Sistemas não lineares podem apresentar uma única solução, muitas 
soluções ou nenhuma solução. A resolução numérica dessessistemas emprega 
processos iterativos que, a partir de uma atribuição inicial, gera uma sequência 
de aproximações até um critério de parada a ser atendido. 
Considerando que o sistema de equações não lineares seja escrito na 
forma 𝐹(𝑥) = 0, um critério de parada consiste em verificar se todas as 
componentes de 𝐹(𝑥) tenham módulo muito pequeno. Outro critério de parada 
é testar se a diferença entre duas estimativas das incógnitas é muito pequena. 
Cada equação do sistema é uma função de várias incógnitas (ou 
variáveis) que pode ser escrita como: 𝑓𝑖(𝑥) = 𝑓𝑖(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = 0, com 𝑖 =
1, 2, . . , 𝑛. 
O método mais empregado é o método de Newton, que requer, 
basicamente: 
a) a determinação e a avaliação da matriz Jacobiana em cada estimativa de 
solução, que é dada por: 
𝐽(𝑋) =
|
|
 
𝜕𝑓1(𝑥)
𝜕𝑥1
𝜕𝑓1(𝑥)
𝜕𝑥2
 …
𝜕𝑓1(𝑥)
𝜕𝑥𝑛
 
𝜕𝑓2(𝑥)
𝜕𝑥1
𝜕𝑓2(𝑥)
𝜕𝑥2
 …
𝜕𝑓2(𝑥)
𝜕𝑥𝑛… … …
𝜕𝑓𝑛(𝑥)
𝜕𝑥1
 
𝜕𝑓𝑛(𝑥)
𝜕𝑥2
 … 
𝜕𝑓𝑛(𝑥)
𝜕𝑥𝑛
|
|
 
b) a resolução do sistema linear 𝐽(𝑋(𝑘)) 𝑆(𝑘) = −𝐹(𝑋(𝑘)), em que 𝑆(𝑘) é o 
vetor de atualização das estimativas da solução do sistema de equações 
lineares mediante: 𝑋(𝑘+1) = 𝑋(𝑘) + 𝑆(𝑘) 
Roteiro de cálculo: 
Dados: sistema de equações; tolerância; e atribuição inicial 𝑋(𝑘) = 𝑋(0). 
Passo 1: calcular 𝐹(𝑋(𝑘)) 𝑒 𝐽(𝑋(𝑘)) 
Passo 2: obter a solução do sistema linear: 𝐽(𝑋(𝑘)) . 𝑆(𝑘) = −𝐹(𝑋(𝑘)) 
Passo 3: fazer 𝑋(𝑘+1) = 𝑋(𝑘) + 𝑆(𝑘) 
Passo 4: testar o critério de parada: ‖𝑋(𝑘+1) − 𝑋(𝑘)‖ < 𝜖 
 
 
 
 
Se atendido, PARAR o processo. 
Caso contrário: 
Passo 5: 𝑘 = 𝑘 + 1 e voltar ao passo 1. 
Exemplo: 
Dados: {
3𝑥 + 4𝑦2 − 19 = 0
𝑥2 + 2𝑦 + 𝑥𝑦 − 7 = 0
 𝜖 = 10−2 e 𝑋(0) = |
2
1
| e 𝑘 = 0 
 
Calculando com 𝑘 = 0 
𝐽(𝑋) = |
3 8𝑦
2𝑥 + 𝑦 2 + 𝑥
|, então, 𝐽(𝑋(0)) = |
3 8
5 4 
| 
𝐹(𝑋(0)) = ⌈ 3 . 2 + 4 . 1
2 − 19
22 + 2 . 1 + 2 . 1 − 7
⌉ = ⌈
−9
1
⌉ 
 
Resolvendo o sistema linear: 𝐽(𝑋(0)) . 𝑆(0) = −𝐹(𝑋(0)), tem-se: 
|
3 8
5 4 
| . ⌈
𝑠1
𝑠2
⌉ = − ⌈
−9
1
⌉ com solução: ⌈
𝑠1
𝑠2
⌉ = |
−1,571429
1,714286
| 
 
Estimativa para as incógnitas: 
 𝑋(1) = 𝑋(0) + 𝑆(0) = |
2
1
| + |
−1,571429
1,714286
| = |
0,428571
2,714286
| 
 
Teste de convergência: ‖𝑋(1) − 𝑋(0)‖ < 10−2 
‖𝑋(1) − 𝑋(0)‖ = 𝑚á𝑥{1,571429; 1,714286} = 1,714286 ≫ 10−2 
Não atendido. Então, 𝑲 = 𝑲+ 𝟏 = 𝟎 + 𝟏 = 𝟏 
 
A tabela a seguir, apresenta a sequência de cálculos nas iterações necessárias 
até atender o critério de parada. 
K Sistema Linear a ser resolvido 
 𝐽(𝑋(𝑘)) . 𝑆(𝑘) = −𝐹(𝑋(𝑘)) 
Solução obtida 
𝑆(𝑘) 
Estimativa 
𝑋(𝑘+1) 
0 |
3 8
5 4 
| . ⌈
𝑠1
𝑠2
⌉ = − ⌈
−9
1
⌉ |
−1,571429
1,714286
| |
0,428571
2,714286
| 
 
 
 
 
1 |
3 21,714288
3,571428 2,428571 
| . ⌈
𝑠1
𝑠2
⌉ = − ⌈
11,755150
−0,224491
⌉ |
0,475669
−0,607073
| |
0,904240
2,107213
| 
2 |
3 16,857704
3,915693 2,904240 
| . ⌈
𝑠1
𝑠2
⌉ = − ⌈
1,474107
−0,062498
⌉ |
0,015952
−0,090283
| |
0,9201922
2,016928
| 
3 |
3 16,135424
3,857312 2,920192 
| . ⌈
𝑠1
𝑠2
⌉ = − ⌈
0,032570
−0,263430
⌉ |
0,081260
−0,017127
| |
1,001458
1,999801
| 
4 |
3 15,998408
4,002717 3,001458 
| . ⌈
𝑠1
𝑠2
⌉ = − ⌈
0,001190
0,005137
⌉ |
−0,001426
0,000193
| |
1,000027
1,999994
| 
 
‖𝑋(4) − 𝑋(3)‖ = 𝑚á𝑥{‖𝑆‖} = 0,001426 < 10−2 
Critério de Parada atendido. 
Então, a solução aproximada obtida conduz para 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 2. 
NA PRÁTICA 
Situações com sistemas de equações ocorrem frequentemente. Pode ser 
desde a determinação da equação de uma parábola que passe por três pontos, 
ou a solução de um circuito elétrico puramente resistivo, ou, ainda, situações 
mais elaboradas como em cálculos de estruturas, redes elétricas, vibrações em 
sistemas mecânicos e solução de equações diferenciais. 
FINALIZANDO 
Ocorrendo o sistema de equações em um problema a ser solucionado, a 
escolha da técnica apropriada é fundamental para a obtenção do resultado 
desejado. A linearidade ou não do sistema é o primeiro item a ser observado, 
que levará às possíveis técnicas de solução. 
Nos sistemas lineares é possível optar por métodos numéricos distintos 
dependendo da dominância na diagonal principal ou por manuseio em matrizes. 
São soluções de rotinas previamente estabelecidas e de fácil empregabilidade. 
 Bons estudos a todos! 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
BARROSO, L. C. et al. Cálculo numérico. Harbra Editora, 1983. 
BARROSO, L. C. Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: 
Harbra, 1987. 
BURIAN, R.; HETEM JUNIOR, A. Cálculo Numérico. Rio de Janeiro: LTC, 
2007. 
BURDEN, R.; FAIRES, J. D. Análise numérica. 8. ed. São Paulo: Cengage 
Learning, 2008. 
CASTANHERIA, N. P; ROCHA, A.; MACEDO, L. R. D de. Tópicos 
de matemática aplicada. Curitiba: InterSaberes, 2013. 
FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
JARLETTI, A. C. Cálculo numérico. Curitiba: Intersaberes, 2017. 
KOPCHENOVA, N. V.; MARON, I. A. Computational Mathematics. Mir 
Publishers: Moscou, 1975. 
RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico, aspectos teóricos 
e computacionais. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2014. 
SPERANDIO, D. Cálculo numérico. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.