Análise Real Volume 3 Análise Vetorial

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<p>Análise Real volume 3</p><p>Análise Vetorial</p><p>Lima, Elon Lages</p><p>Análise real, v.3 : Análise vetorial / Elon Lages Lima.</p><p>1 ed. Rio de Janeiro : IMPA, 2014.</p><p>146 p. : il. ; 23 cm. (Coleção matemática universitária)</p><p>Inclui bibliografia.</p><p>e-ISBN 978-85-244-0378-1</p><p>1. Análise Matemática. I. Título. II. Série.</p><p>CDD-517</p><p>COLEÇÃO MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA</p><p>Análise Real volume 3</p><p>Análise Vetorial</p><p>Elon Lages Lima</p><p>INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA</p><p>Copyright  2014 by Elon Lages Lima</p><p>Impresso no Brasil / Printed in Brazil</p><p>Capa: Sérgio Vaz, Rodolfo Capeto e Noni Geiger</p><p>Coleção Matemática Universitária</p><p>Comissão Editorial:</p><p>Elon Lages Lima</p><p>S. Collier Coutinho</p><p>Paulo Sad</p><p>Títulos Publicados:</p><p>• Análise Real, vol. 1: Funções de uma Variável – Elon Lages Lima</p><p>• EDP. Um Curso de Graduação – Valéria Iório</p><p>• Curso de Álgebra, Volume 1 – Abramo Hefez</p><p>• Álgebra Linear – Elon Lages Lima</p><p>• Introdução às Curvas Algébricas Planas – Israel Vainsencher</p><p>• Equações Diferenciais Aplicadas – Djairo G. de Figueiredo e Aloisio Freiria Neves</p><p>• Geometria Diferencial – Paulo Ventura Araújo</p><p>• Introdução à Teoria dos Números – José Plínio de Oliveira Santos</p><p>• Cálculo em uma Variável Complexa – Marcio G. Soares</p><p>• Geometria Analítica e Álgebra Linear – Elon Lages Lima</p><p>• Números Primos: Mistérios e Recordes – Paulo Ribenboim</p><p>• Análise no Espaço R</p><p>n</p><p>– Elon Lages Lima</p><p>• Análise Real, vol. 2: Funções de n Variáveis – Elon Lages Lima</p><p>• Álgebra Exterior – Elon Lages Lima</p><p>• Equações Diferenciais Ordinárias – Claus Ivo Doering e Artur Oscar Lopes</p><p>• Análise Real, vol. 3: Análise Vetorial – Elon Lages Lima</p><p>• Álgebra Linear. Exercícios e Soluções – Ralph Costa Teixeira</p><p>• Números Primos. Velhos Mistérios e Novos Recordes – Paulo Ribenboim</p><p>Distribuição:</p><p>IMPA</p><p>Estrada Dona Castorina, 110</p><p>22460-320 Rio de Janeiro, RJ</p><p>e-mail: ddic@impa.br</p><p>http://www.impa.br</p><p>Prefácio</p><p>Em prosseguimento aos assuntos tratados nos dois volumes anteri-</p><p>ores, fazemos neste livro uma introdução às integrais curviĺıneas e de</p><p>superf́ıcie.</p><p>Tradicionalmente, as superf́ıcies sobre as quais se calculam essas in-</p><p>tegrais são aquelas contidas no espaço tridimensional. Isto permite que</p><p>se integrem campos de vetores. Se, entretanto, a co-dimensão da su-</p><p>perf́ıcie é superior a 1 (mesmo que ela seja bidimensional), nela não</p><p>faz sentido integrar um campo de vetores. O objeto adequado para ser</p><p>posto sob o sinal de integral é uma forma diferencial, dado o seu caráter</p><p>intŕınseco, independente da parametrização tomada para representá-la</p><p>analiticamente.</p><p>Outra grande vantagem das formas sobre os vetores é o seu lado func-</p><p>torial, que se exprime assim: se f : M → N é uma aplicação diferenciável</p><p>da superf́ıcie M na superf́ıcie N , a cada forma ω em N corresponde uma</p><p>forma f∗ω em M e a correspondência ω 7→ f∗ω goza de propriedades</p><p>simples, elegantes e úteis. (Trata-se, na verdade, de uma formalização</p><p>do antigo conceito de mudança de variáveis.) Campos de vetores, por</p><p>seu turno, são ŕıgidos. Não se prestam a mudanças de variáveis, salvo</p><p>em casos bem especiais.</p><p>A Análise Vetorial clássica gira em torno dos chamados Teoremas</p><p>Integrais, associados a nomes ilustres como Gauss, Green, Stokes, Rie-</p><p>mann, Ostrogradsky, etc. Com o uso das formas diferenciais (especial-</p><p>mente da diferenciação exterior devida a E. Cartan) todos esses teoremas</p><p>se reduzem a um único, conhecido (um tanto injustamente) como Teo-</p><p>rema de Stokes, o qual se exprime de maneira concisa e elegante sob a</p><p>forma</p><p>∫</p><p>∂M ω =</p><p>∫</p><p>M dω.</p><p>Explicar o significado da igualdade acima, esclarecendo cada conceito</p><p>nela envolvido, dar algumas aplicações e ilustrar as diversas utilidades</p><p>de seus componentes é o principal objetivo deste livro.</p><p>É quase desnecessário esclarecer que este pequeno trabalho contém</p><p>apenas uma introdução a alguns assuntos relevantes, cuja presença no</p><p>curŕıculo universitário considero importante. Os tópicos aqui apresenta-</p><p>dos serão reencontrados mais tarde em diferentes teorias matemáticas.</p><p>Para a publicação deste livro, contei com a colaboração de Fran-</p><p>cisco Petrúcio, que cuidou das figuras, Aryana Cavalcante, que fez uma</p><p>cuidadosa revisão, José Regis, que revisou os dois primeiros caṕıtulos e</p><p>Wilson Goes, que se encarregou da digitação.</p><p>Rio de Janeiro, junho de 2007</p><p>Elon Lages Lima</p><p>Prefácio da Quarta Edição</p><p>Para tornar o texto mais claro em alguns pontos e corrigir alguns</p><p>erros em outros, foram feitos alguns acréscimos e inseridas modificações,</p><p>grande parte das quais devidas ao exame cuidadoso feito por meu colega</p><p>Paulo Sad, a quem agradeço vivamente.</p><p>Rio de Janeiro, abril de 2012</p><p>Elon Lages Lima</p><p>Conteúdo</p><p>1 Integrais Curviĺıneas 1</p><p>1 Formas diferenciais de grau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 1</p><p>2 Integrais curviĺıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11</p><p>3 Invariância homotópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14</p><p>4 O número de voltas de um caminho fechado . . . . . . . . 21</p><p>5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24</p><p>2 Formas Alternadas 28</p><p>1 Aplicações r-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28</p><p>2 Formas alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31</p><p>3 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34</p><p>4 O produto exterior de funcionais lineares . . . . . . . . . . 38</p><p>5 Coordenadas e matrizes em Ar(E) . . . . . . . . . . . . . 40</p><p>6 A Álgebra de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44</p><p>7 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47</p><p>3 Formas Diferenciais 50</p><p>1 Primeiras definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50</p><p>2 A diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56</p><p>3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65</p><p>4 Ohne Titel 67</p><p>1 A vizinhança tubular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67</p><p>2 Partições da unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75</p><p>3 O Teorema de Jordan-Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . 84</p><p>4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89</p><p>3</p><p>4 CONTEÚDO Cap. 0</p><p>5 P Teorema de Stokes 92</p><p>1 Integral de superf́ıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92</p><p>2 Superf́ıcies com bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99</p><p>3 O Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110</p><p>4 A orientação induzida no bordo . . . . . . . . . . . . . . . 114</p><p>5 Análise vetorial clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118</p><p>6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123</p><p>6 Soluções dos Exerćıcios 125</p><p>Referências Bibliográficas 143</p><p>Índice Remissivo 144</p><p>1</p><p>Integrais Curviĺıneas</p><p>1 Formas diferenciais de grau 1</p><p>Como vimos no Vol. 2 (Cap. 5), se f : U → R é uma função diferenciável</p><p>no aberto U ⊂ R</p><p>n, sua diferencial em cada ponto x ∈ U é o funcional</p><p>linear df(x) ∈ (Rn)∗ cujo valor no vetor v ∈ R</p><p>n é</p><p>df(x) · v =</p><p>∂f</p><p>∂v</p><p>(x) = 〈 grad f(x), v〉.</p><p>Na notação tradicional do Cálculo, a base canônica de (Rn)∗, dual</p><p>da base canônica {e1, . . . , en} ⊂ R</p><p>n, é representada por {dx1, . . . , dxn}.</p><p>A expressão do funcional df(x) em termos desta base é</p><p>df(x) =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>∂f</p><p>∂xi</p><p>(x) · dxi .</p><p>Isto sugere a definição seguinte.</p><p>Uma forma diferencial de grau 1, ou simplesmente uma 1-forma de-</p><p>finida no conjunto X ⊂ R</p><p>n, é uma aplicação ω : X → (Rn)∗. A cada</p><p>ponto x ∈ X, ω associa o funcional linear ω(x), o qual se exprime em</p><p>termos da base {dx1, . . . , dxn} ⊂ (Rn)∗ como</p><p>ω(x) =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>ai(x) · dxi .</p><p>As funções a1, . . . , an : X → R, cujos valores em cada ponto x ∈ X</p><p>são as coordenadas</p><p>da expressão clássica para o determinante da matriz aaa = [aij ]:</p><p>detaaa =</p><p>∑</p><p>σ</p><p>εσ · a1σ(1) · a2σ(2) · · · anσ(n) ,</p><p>na qual σ percorre todas as permutações de n objetos. Esta expressão,</p><p>por sua vez, resulta diretamente da multilinearidade alternada do de-</p><p>terminante como função das colunas de aaa. A partir dela, detaaa pode</p><p>também ser caracterizado como função n-linear alternada das linhas da</p><p>matriz aaa. (Veja [5], pag. 267.)</p><p>Como aplicação deste fato, provemos a igualdade</p><p>det</p><p>[</p><p>aaa bbb</p><p>000 ccc</p><p>]</p><p>= detaaa · detccc,</p><p>onde as matrizes aaa, bbb, 000 e ccc são r×r, r×(n−r), (n−r)×r e (n−r)×(n−r)</p><p>respectivamente. Com efeito, escrevendo, para cada bbb ∈M(r × (n− r))</p><p>fixa,</p><p>f(aaa,ccc) = det</p><p>[</p><p>aaa bbb</p><p>000 ccc</p><p>]</p><p>,</p><p>vemos que f é uma função r-linear alternada das colunas de aaa e (n− r)-</p><p>linear alternada das linhas de ccc. Portanto</p><p>f(aaa,ccc) = detaaa · f(IrIrIr, ccc) = detaaa · detccc · f(IrIrIr, In−rIn−rIn−r) = detaaa · detccc</p><p>pois</p><p>[</p><p>IrIrIr bbb</p><p>000 In−rIn−rIn−r</p><p>]</p><p>é uma matriz triangular cujos termos da diagonal são</p><p>iguais a 1, logo seu determinante é 1, como resulta da fórmula clássica</p><p>vista acima. (Ver também o Exerćıcio 5 desta Seção.)</p><p>38 Formas Alternadas Cap. 2</p><p>Considerando o caso particular em que a matriz aaa é 1 × 1 e fa-</p><p>zendo uso da multilinearidade alternada do determinante como função</p><p>das linhas e das colunas de uma matriz, o resultado acima implica os</p><p>desenvolvimentos de Laplace</p><p>detaaa =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>(−1)i+j aij ·Aij e detaaa =</p><p>n∑</p><p>j=1</p><p>(−1)i+j aij ·Aij ,</p><p>o primeiro em relação à j-ésima coluna e o segundo em relação à i-ésima</p><p>linha. Em ambas as fórmulas, Aij é o ij-ésimo menor de aaa, ou seja, é o</p><p>determinante da matriz (n − 1) × (n − 1) obtida de aaa pela omissão da</p><p>i-ésima linha e da j-ésima coluna.</p><p>4 O produto exterior de funcionais lineares</p><p>Sejam E um espaço vetorial de dimensão n e E∗ o seu dual.</p><p>O produto exterior de r funcionais lineares f1, . . . , fr ∈ E∗ é a forma</p><p>r-linear f1 ∧ · · · ∧ fr ∈ Ar(E) definida por</p><p>(f1 ∧ · · · ∧ fr)(v1, . . . , vr) = det[fi(vj)].</p><p>Como o determinante de uma matriz r × r é uma função r-linear</p><p>alternada de suas linhas e colunas, segue-se que não somente se tem</p><p>f1 ∧ · · · ∧ fr ∈ Ar(E), como a própria aplicação</p><p>Λ: E∗ × · · · ×E∗ → Ar(E),</p><p>definida por Λ(f1, . . . , fr) = f1 ∧ · · · ∧ fr , é r-linear alternada.</p><p>Teorema 7. Sejam {e1, . . . , en} ⊂ E e {ē1, . . . , ēn} ⊂ E∗ bases duais</p><p>uma da outra. Para todo subconjunto I = {i1 < · · · < ir} ⊂ In , a forma</p><p>ēI ∈ Ar(E), mencionada no Teorema 3, coincide com o produto exterior</p><p>ēi1 ∧ · · · ∧ ēir .</p><p>Demonstração: Se o conjunto J = {j1, . . . , jr} ⊂ In for diferente de</p><p>I (em particular, se a seqüência (j1, . . . , jr) tiver repetições) existirá</p><p>i ∈ I − J e então a matriz [ēiλ(ejµ)], λ, µ = 1, 2, . . . , r, terá a i-ésima</p><p>linha igual a zero, portanto</p><p>(ēi1 ∧ · · · ∧ ēir)(ej1 , . . . , ejr) = det[ēiλ(ejµ)] = 0 = ēI(ej1 , . . . , ejr),</p><p>Seção 4 O produto exterior de funcionais lineares 39</p><p>conforme a definição de ēI . Se, entretanto, for I = J , existirá uma per-</p><p>mutação σ ∈ Sr tal que a matriz [ēiλ(ejµ)] resulta da matriz identidade</p><p>[ēiλ(eiλ)] pela aplicação da permutação σ em suas colunas, logo</p><p>(ēi1 ∧ · · · ∧ ēir)(ej1 , . . . , ejr) = det[ēiλ(ejµ)] = εσ = ēI(ej1 , . . . , ejr).</p><p>Pelo Teorema 1, conclúımos que ēI = ēi1 ∧ · · · ∧ ēir .</p><p>Corolário 5. Com a notação do Teorema 7, se aaa = [aij ] ∈M(n× r) é</p><p>a matriz das coordenadas dos vetores v1, . . . , vr ∈ E na base {e1, . . . , en},</p><p>isto é, se vj =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>aijei (j = 1, . . . , r) então, para todo conjunto</p><p>I = {i1 < · · · < ir} ⊂ In , tem-se ēI(v1, . . . , vr) = detaaaI , onde aaaI é</p><p>a matriz r × r formada pelos aij tais que i ∈ I.</p><p>Com efeito, pelo Teorema 7, tem-se</p><p>ēI(v1, . . . , vr) = (ēi1 ∧ · · · ∧ ēir)(v1, . . . , vr)</p><p>= det[ēiλ(vj)] = det[aiλj ] = detaaaI .</p><p>Corolário 6. Os funcionais lineares f1, . . . , fr ∈ E∗ são linearmente</p><p>independentes se, e somente se, f1 ∧ · · · ∧ fr 6= 0.</p><p>Com efeito, se f1 ∧ · · · ∧ fr 6= 0 então, em virtude do Teorema 4, os</p><p>funcionais lineares f1, . . . , fr são L.I. pois a aplicação Λ: E∗×· · ·×E∗ →</p><p>Ar(E) é r-linear alternada. Reciprocamente, se são L.I., esses funcionais</p><p>fazem parte de uma base {f1, . . . , fr, fr+1, . . . , fn} ⊂ E∗. Então, pelo</p><p>Teorema 7, f1 ∧ · · · ∧ fr pertence a uma base de Ar(E), logo é 6= 0.</p><p>Quando uma forma alternada f = f1 ∧ · · · ∧ fr ∈ Ar(E) é o produto</p><p>exterior de funcionais lineares, diz-se que ela é decompońıvel.</p><p>O Teorema 7 assegura que toda f ∈ Ar(E) é soma de formas de-</p><p>compońıveis. Portanto, uma transformação linear A : Ar(E) → F fica</p><p>inteiramente identificada quando se conhecem os valores A(f1 ∧ · · · ∧ fr)</p><p>que ela assume nas formas decompońıveis. Mas, como não é única a</p><p>maneira de escrever uma forma f ∈ Ar(E) como soma de formas decom-</p><p>pońıveis, esses valores não podem ser atribúıdos de maneira arbitrária.</p><p>A resposta a essa questão é dada pelo Teorema 8 abaixo. Segundo ele,</p><p>para definir uma transformação linear ϕ̂ : Ar(E) → F , basta conhecer</p><p>uma aplicação r-linear alternada ϕ : E∗ × · · · × E∗ → F . Tem-se então</p><p>ϕ̂(f1 ∧ · · · ∧ fr) = ϕ(f1, . . . , fr), sendo inútil preocupar-se com os muitos</p><p>40 Formas Alternadas Cap. 2</p><p>modos de escrever f = f1 ∧ · · · ∧ fr como produto exterior de funcio-</p><p>nais lineares ou de exprimir uma forma alternada como soma de formas</p><p>decompońıveis.</p><p>Teorema 8. Seja ϕ : E∗ × · · · × E∗ → F uma aplicação r-linear alter-</p><p>nada. Existe uma, e somente uma, transformação linear ϕ̂ : Ar(E) → F</p><p>tal que ϕ̂(f1 ∧ · · · ∧ fr) = ϕ(f1, . . . , fr) para quaisquer f1, . . . , fr ∈ E∗.</p><p>Demonstração: Fixemos uma base {ē1, . . . , ēn} ⊂ E∗. Quando I =</p><p>{i1 < · · · < ir} percorre todos os subconjuntos de In com r elementos, as</p><p>formas ēI = ēi1 ∧ · · · ∧ ēir constituem uma base de Ar(E), pelo Teorema</p><p>7. Logo existe uma única transformação linear ϕ̂ : Ar(E) → F tal que</p><p>ϕ̂(ēI) = ϕ(ēi1 , . . . , ēir). Então ϕ, ϕ̂ ◦ Λ: E∗ × · · · × E∗ são aplicações r-</p><p>lineares alternadas tais que ϕ(ēi1 , . . . , ēir) = ϕ̂(Λ(ēi1 , . . . , ēir)) = ϕ̂(ēI)</p><p>para todo I = {i1 < · · · < ir}. Segue-se que ϕ = ϕ̂ ◦ Λ, ou seja,</p><p>ϕ(f1, . . . , fr) = ϕ̂(f1∧· · ·∧fr) para quaisquer f1, . . . , fr ∈ E∗. Qualquer</p><p>transformação linear T : Ar(E) → F que cumpra a condição T ◦ Λ = ϕ</p><p>coincide com ϕ̂ nas formas decompońıveis, as quais geram Ar(E), logo</p><p>T = ϕ̂, o que prova a unicidade.</p><p>Na verdade, como se vê facilmente, a bijeção ϕ̂ 7→ ϕ = ϕ̂ ◦ Λ é um</p><p>isomorfismo natural Λ# : L(Ar(E);F ) → Ar(E</p><p>∗;F ).</p><p>Em particular, tomando F = R, obtemos o isomorfismo Λ#: Ar(E)∗→</p><p>Ar(E</p><p>∗). Para cada ξ ∈ Ar(E)∗ e quaisquer f1, . . . , fr ∈ E∗, vale</p><p>(Λ#ξ)(f1, . . . , fr) = ξ(f1 ∧ · · · ∧ fr).</p><p>5 Coordenadas e matrizes em Ar(E)</p><p>Sejam {e1, . . . , en} ⊂ E uma base e {ē1, . . . , ēn} ⊂ E∗ sua dual. Para</p><p>todo v ∈ E, ēi(v) é o coeficiente de ei na expressão do vetor v como</p><p>combinação linear de e1, . . . , en .</p><p>Dados os funcionais lineares f1, . . . , fr ∈ E∗, para cada i = 1, . . . , r</p><p>temos fi =</p><p>n∑</p><p>j=1</p><p>aij ēj . Estas igualdades definem a matriz aaa = [aij ] ∈</p><p>M(r × n) das coordenadas dos funcionais f1, . . . , fr relativas à base</p><p>{ē1, . . . , ēn}. Quando J = {j1 < · · · < jr} percorre os subconjuntos de</p><p>In com r elementos, as formas r-lineares alternadas ēJ = ej1 ∧ · · · ∧ ejr</p><p>constituem uma base de Ar(E). Vejamos quais são as coordenadas do</p><p>produto exterior f1 ∧ · · · ∧ fr em relação a esta base.</p><p>Seção 5 Coordenadas e matrizes em Ar(E) 41</p><p>Devemos encontrar os números αJ tais que f1 ∧ · · · ∧ fr =</p><p>∑</p><p>J</p><p>αJ · ēJ .</p><p>Começamos lembrando que se K = {k1 < · · · < kr} é qualquer</p><p>subconjunto de In com r elementos, o valor ēK(ej1 , . . . , ejr) é 1 ou 0</p><p>conforme K = J ou K 6= J . Portanto, para todo J = {j1 < · · · < jr},</p><p>tem-se</p><p>αJ =</p><p>∑</p><p>K</p><p>αK · ēK(ej1 , . . . , ejr) = (f1 ∧ · · · ∧ fr)(ej1 , . . . , ejr)</p><p>= det[fi(ejµ)] = det[aijµ ] = detaaaJ ,</p><p>onde a notação aaaJ indica a matriz r × r formada pelas r colunas da</p><p>matriz aaa que ocupam as posições j1, . . . , jr .</p><p>Portanto, de fi =</p><p>n∑</p><p>j=1</p><p>aij ēj (i = 1, . . . , r) resulta que f1 ∧ · · · ∧ fr =</p><p>∑</p><p>J</p><p>detaaaJ ēJ .</p><p>Como aplicação deste fato, temos o</p><p>Exemplo 6 (Identidade de Lagrange.) Se aaa = [aij ] é uma matriz r × n</p><p>com r ≤ n então det(aaa · aaa⊺) =</p><p>∑</p><p>J</p><p>(detaaaJ)</p><p>2, a soma sendo estendida a</p><p>todos os subconjuntos ordenados J ⊂ In com r elementos.</p><p>Para mostrar isto, sejam v1, . . . , vr ∈ R</p><p>n e f1, . . . , fr ∈ (Rn)∗ defini-</p><p>dos por vj =</p><p>n∑</p><p>k=1</p><p>ajkek e fi =</p><p>n∑</p><p>k=1</p><p>aikēk , onde {e1, . . . , en} ⊂ R</p><p>n é a base</p><p>canônica e {ē1, . . . , ēn} ⊂ (Rn)∗ é a sua dual. Então fi(vj) =</p><p>n∑</p><p>k=1</p><p>aikajk</p><p>é o ij-ésimo elemento da matriz aaa · aaa⊺ ∈M(r × r). Portanto</p><p>det(aaa · aaa⊺) = det[fi(vj)] = (f1 ∧ · · · ∧ fr)(v1, . . . , vr)</p><p>=</p><p>∑</p><p>J</p><p>detaaaJ · ēJ(v1, . . . , vr) =</p><p>∑</p><p>J</p><p>(detaaaJ)</p><p>2.</p><p>Vimos acima que uma transformação linear A : E → F determina,</p><p>para cada r ≥ 0, a transformação linear</p><p>A∗ : Ar(F ) → Ar(E),</p><p>onde (A∗f)(v1, . . . , vr) = f(A ·v1, . . . , A ·vr), se f ∈ Ar(F ) e v1, . . . , vr ∈</p><p>E. A transformação A∗, que no caso r = 1 coincide com a adjunta de</p><p>A, diz-se induzida por A. A forma A∗f também se chama de induzida</p><p>por A e f , ou o pullback da forma f mediante a transformação linear A.</p><p>42 Formas Alternadas Cap. 2</p><p>A seguir, determinaremos a matriz da transformação linearA∗:Ar(F)→</p><p>Ar(E) a partir da matriz de A. Esta questão pressupõe, naturalmente,</p><p>escolhas de bases em E e F .</p><p>Sejam então {v1,. . . ,vm} ⊂ E, {w1,. . . ,wn} ⊂ F bases e {v̄1,. . ., v̄m}⊂</p><p>E∗, {w̄1, . . . , w̄n} ⊂ F ∗ as bases duais correspondentes.</p><p>A matriz de A relativa a essas bases é aaa = [aij ] ∈M(n×m), definida</p><p>pelas igualdades Avj =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>aijwi (j = 1, . . . ,m). Segue-se que</p><p>A∗w̄i =</p><p>m∑</p><p>j=1</p><p>aij v̄j (i = 1, . . . , n).</p><p>Estas últimas igualdades significam que a matriz de A∗ : F ∗ → E∗ nas</p><p>bases dadas é a transposta de aaa.</p><p>Para I = {i1 < · · · < ir} ⊂ In e J = {j1 < · · · < jr} ⊂ Im , as formas</p><p>r-lineares alternadas w̄I = w̄i1 ∧ · · · ∧ w̄ir e v̄J = v̄j1 ∧ · · · ∧ v̄jr compõem</p><p>bases de Ar(F ) e Ar(E) respectivamente, as quais nos permitem escrever</p><p>as igualdades</p><p>A∗w̄I =</p><p>∑</p><p>J</p><p>αIJ v̄J ,</p><p>análogas às que foram destacadas acima no caso r = 1. A fim de iden-</p><p>tificar os elementos da matriz [αIJ ], observamos que</p><p>αIJ = (A∗w̄I)(vj1 , . . . , vjr) = w̄I(Avj1 , . . . , Avjr)</p><p>= det[w̄iλ(Avjµ)] = det[aiλjµ ] = detaaaIJ</p><p>onde aaaIJ é a matriz r × r formada pelos elementos aij da matriz aaa tais</p><p>que i ∈ I e j ∈ J .</p><p>Observação. A última das igualdades acima é uma mera definição. A</p><p>penúltima resulta do fato de que o valor do funcional linear w̄i no vetor</p><p>Avj é o coeficiente de wi na expressão desse vetor como combinação</p><p>linear de w1, . . . , wn . No caso, w̄i(Avj) = aij .</p><p>Vejamos agora como variam as coordenadas de uma forma r-linear</p><p>alternada f ∈ Ar(E) diante de uma mudança de base em E.</p><p>Sejam, pois, {v1, . . . , vn}, {w1, . . . , wn} bases de E e {v̄1, . . . , v̄n},</p><p>{w̄1, . . . , w̄n} as bases duais correspondentes. Se, para cada j = 1, . . . , n,</p><p>temos vj =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>aijwi então w̄i =</p><p>n∑</p><p>j=1</p><p>aij v̄j para todo i = 1, . . . , n.</p><p>Seção 5 Coordenadas e matrizes em Ar(E) 43</p><p>Logo, se I = {i1 < · · · < ir} e J = {j1 < · · · < jr} são subconjuntos</p><p>arbitrários de In , as formas v̄J = v̄j1 ∧ · · · ∧ v̄jr e w̄I = w̄i1 ∧ · · · ∧ w̄ir</p><p>compõem bases de Ar(E). Uma forma qualquer f ∈ Ar(E) admite</p><p>expressões f =</p><p>∑</p><p>J</p><p>αJ v̄J =</p><p>∑</p><p>I</p><p>βIw̄I em termos dessas bases. A fim de</p><p>exprimir cada αJ a partir dos βI , notemos que, conforme foi observado</p><p>no ińıcio desta seção, as igualdades w̄i =</p><p>n∑</p><p>j=1</p><p>aij v̄j implicam que w̄I =</p><p>∑</p><p>J</p><p>detaaaIJ v̄J , a soma sendo estendida a todos os subconjuntos J ⊂ In</p><p>com r elementos, sendo aaaIJ a matriz r × r formada pelos aij tais que</p><p>i ∈ I e j ∈ J . Assim,</p><p>∑</p><p>J</p><p>αJ v̄J =</p><p>∑</p><p>I</p><p>βI w̄I =</p><p>∑</p><p>I,J</p><p>detaaaIJ βI · v̄J .</p><p>Comparando os coeficientes, obtemos</p><p>αJ =</p><p>∑</p><p>I</p><p>detaaaIJ · βI .</p><p>Em particular, quando r = n = dimE, a dimensão de An(E) é igual</p><p>a 1 e f = α · v̄1∧· · ·∧ v̄n = β ·w̄1∧· · ·∧w̄n . Então a fórmula de mudança</p><p>de coordenadas reduz-se a</p><p>α = det aaa · β,</p><p>onde aaa = [aij ] e vj =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>aij wi (j = 1, . . . , n).</p><p>Mostraremos agora que a transformação linear A∗ : Ar(F ) → Ar(E)</p><p>preserva o produto exterior de funcionais lineares, ou seja, tem-se</p><p>A∗(f1 ∧ · · · ∧ fr) = A∗f1 ∧ · · · ∧A∗fr</p><p>para quaisquer f1, . . . , fr ∈ F ∗.</p><p>Com efeito, para quaisquer v1, . . . , vr ∈ E, tem-se</p><p>A∗(f1 ∧ · · · ∧ fr)(v1, . . . , vr) = (f1 ∧ · · · ∧ fr)(Av1, . . . , Avr)</p><p>= det[fi(Avj)] = det[A∗fi(vj)]</p><p>= (A∗f1 ∧ · · · ∧A∗fr)(v1, . . . , vr).</p><p>44 Formas Alternadas Cap. 2</p><p>6 A Álgebra de Grassmann</p><p>Vamos definir o produto exterior de uma forma f ∈ Ar(E) por uma</p><p>forma g ∈ As(E), tendo como resultado a forma f ∧ g ∈ Ar+s(E). Isto</p><p>será feito de modo que f∧g dependa bilinearmente de f e g. Além disso,</p><p>essa multiplicação deverá ter como caso particular o produto exterior de</p><p>funcionais lineares, que temos considerado até agora. Noutras palavras,</p><p>devemos definir uma aplicação bilinear</p><p>ϕ : Ar(E) × As(E) → Ar+s(E)</p><p>tal que</p><p>ϕ(f1 ∧ · · · ∧ fr, g1 ∧ · · · ∧ gs) = f1 ∧ · · · ∧ fr ∧ g1 ∧ · · · ∧ gs (*)</p><p>para quaisquer funcionais lineares f1, . . . , fr, g1, . . . , gs em E∗.</p><p>Como os espaços vetoriais Ar(E) e As(E) são gerados por formas de-</p><p>compońıveis, se existir uma aplicação bilinear ϕ satisfazendo a relação</p><p>(*) acima, ela será única. Podemos então fazer uso de escolhas ar-</p><p>bitrárias para definir ϕ. Se a condição (*) for cumprida, as escolhas</p><p>terão sido irrelevantes.</p><p>Tomemos uma base {ē1, . . . , ēn} ⊂ E∗. Para cada I = {i1 < · · · <</p><p>ir} e cada J = {j1 < · · · < js} contidos em In , ponhamos</p><p>ϕ(ēI , ēJ) = ēi1 ∧ · · · ∧ ēir ∧ ēj1 ∧ · · · ∧ ējs .</p><p>Pelo Corolário 2, existe uma única aplicação bilinear ϕ : Ar(E) ×</p><p>As(E) → Ar+s(E) para a qual valem estas igualdades. Resta-nos ape-</p><p>nas mostrar que ϕ cumpre a condição (*). Para isto, consideremos as</p><p>aplicações</p><p>Λ: E∗ × · · · ×E∗ → Ar+s(E) e α : E∗ × · · · ×E∗ → Ar(E) × As(E),</p><p>dadas por</p><p>Λ(f1, . . . , fr, g1, . . . , gs) = f1 ∧ · · · ∧ fr ∧ g1 ∧ · · · ∧ gs</p><p>e</p><p>α(f1, . . . , fr, g1, . . . , gs) = (f1 ∧ · · · ∧ fr, g1 ∧ · · · ∧ gs).</p><p>Devemos verificar que ϕ◦α = Λ. Pelo Teorema 1, basta mostrar que</p><p>ϕ(ēi1 ∧ · · · ∧ ēir , ēj1 ∧ · · · ∧ ējs) = ēi1 ∧ · · · ∧ ēir ∧ ēj1 ∧ · · · ∧ ējs</p><p>Seção 6 A Álgebra de Grassmann 45</p><p>para qualquer seqüência (ēi1 , . . . , ēir , ēj1 , . . . , ējs) de r + s elementos da</p><p>base escolhida.</p><p>Esta igualdade é evidente se alguma das seqüências (i1, . . . , ir) ou</p><p>(j1, . . . , js) tem repetições pois, neste caso, ambos os membros são iguais</p><p>a zero. Ela também vale se i1 < · · · < ir e j1 < · · · < js pela própria</p><p>definição de ϕ. Finalmente, se ambas as seqüências têm termos to-</p><p>dos distintos, podemos levá-las à ordem crescente mediante sucessivas</p><p>transposições. Cada transposição troca o sinal de ambos os membros da</p><p>igualdade acima, logo ela é válida em todos os casos.</p><p>Dadas f ∈ Ar(E) e g ∈ As(E), escrevemos f ∧ g ∈ Ar+s(E) em vez</p><p>de ϕ(f, g). Além de bilinear, o produto exterior é anti-comutativo, do</p><p>seguinte modo: Se f ∈ Ar(E) e g ∈ As(E) então g ∧ f = (−1)rs · f ∧ g.</p><p>Isto é claro quando f e g são decompońıveis e vale em geral por</p><p>distributividade. Pelo mesmo motivo, a associatividade</p><p>(f ∧ g) ∧ h = f ∧ (g ∧ h),</p><p>que é óbvia para formas decompońıveis, também é verdadeira em geral.</p><p>Observemos ainda que as transformações linearesA∗:Ar(F )→Ar(E),</p><p>A∗ : As(F ) → As(E), induzidas pela transformação linear A : E → F ,</p><p>cumprem</p><p>A∗(f ∧ g) = A∗f ∧A∗g.</p><p>Novamente, isto já foi provado quando f e g são decompońıveis e</p><p>vale em geral pela bilinearidade de Λ.</p><p>Se dimE = n então a soma direta</p><p>Λ(E∗) = R ⊕ E∗ ⊕ A2(E) ⊕ · · · ⊕ An(E)</p><p>é um espaço vetorial de dimensão</p><p>1 + n+</p><p>(</p><p>n</p><p>2</p><p>)</p><p>+ · · · +</p><p>(</p><p>n</p><p>n− 1</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>n</p><p>n</p><p>)</p><p>= 2n.</p><p>Seus elementos são somas f = f0 + f1 + · · · + fn , onde as parcelas</p><p>fr ∈ Ar(E) são chamadas as componentes homogêneas de f . O produto</p><p>exterior</p><p>que vem de ser definido permite introduzir, de modo óbvio, uma</p><p>multiplicação em Λ(E∗), que torna este espaço vetorial uma álgebra,</p><p>chamada a Álgebra de Grassmann de E∗.</p><p>Exemplo 7 (O elemento de volume.) Orientar um espaço vetorial E</p><p>é escolher uma base {u1, . . . , un} ⊂ E, chamá-la de positiva e dizer</p><p>46 Formas Alternadas Cap. 2</p><p>que também são positivas todas as bases {v1, . . . , vn} ⊂ E tais que</p><p>vj =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>aijui (j = 1, . . . , n), onde det[aij ] > 0.</p><p>Por exemplo, se M é uma superf́ıcie orientada então, para todo</p><p>p ∈ M , o espaço vetorial tangente TpM possui uma orientação natu-</p><p>ral, segundo a qual a base</p><p>{</p><p>∂ϕ</p><p>∂x1</p><p>(x0), . . . ,</p><p>∂ϕ</p><p>∂xm</p><p>(x0)</p><p>}</p><p>⊂ TpM , associada</p><p>a uma parametrização positiva ϕ : V0 → V , com p = ϕ(x0) ∈ V , é de-</p><p>clarada uma base positiva. A orientação de TpM assim definida não</p><p>depende da parametrização positiva ϕ pois o atlas que a contém é coe-</p><p>rente.</p><p>Seja E um espaço vetorial orientado, munido de produto interno. O</p><p>elemento de volume de E é a forma Ω ∈ An(E), n = dimE, definida do</p><p>seguinte modo:</p><p>Escolhe-se uma base ortonormal positiva {u1, . . . , un} ⊂ E e, para</p><p>quaisquer v1, . . . , vn ∈ E põe-se</p><p>Ω(v1, . . . , vn) = det[aij ]</p><p>onde aij = 〈ui, vj〉 = coeficiente de ui na expressão vj =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>aijui de vj</p><p>como combinação linear de u1, . . . , un .</p><p>Esta definição deixa claro que Ω é uma forma n-linear alternada em</p><p>E mas aparentemente ela depende da escolha da base {u1, . . . , un}. Para</p><p>mostrar que não é assim, usaremos a matriz de Gram ggg = ggg(v1, . . . , vn) =</p><p>[〈vi, vj〉]. Temos 〈vi, vj〉 =</p><p>n∑</p><p>k=1</p><p>aki · akj , logo ggg = aaa⊺ · aaa, onde aaa = [aij ].</p><p>Portanto</p><p>detggg = (detaaa)2 =</p><p>(</p><p>Ω(v1, . . . , vn)</p><p>)2</p><p>.</p><p>Como evidentemente detggg não depende de escolhas arbitrárias, o mesmo</p><p>se dá com Ω(v1, . . . , vn) = ±</p><p>√</p><p>detggg.</p><p>Geometricamente, Ω(v1, . . . , vn) = ± vol. P , onde P é o parale-</p><p>leṕıpedo n-dimensional constrúıdo sobre as arestas v1, . . . , vn , tomando-</p><p>se o sinal + ou − conforme a base {v1, . . . , vn} seja positiva ou nega-</p><p>tiva. Naturalmente, se v1, . . . , vn forem linearmente dependentes, valerá</p><p>Ω(v1, . . . , vn) = 0.</p><p>Seção 7 Exerćıcios 47</p><p>7 Exerćıcios</p><p>Seção 1: Aplicações r-lineares</p><p>1. (i) Se f : E1 × · · · × Er → F é r-linear e A : F → G é linear, prove que</p><p>A ◦ f : E1 × · · · × Er → G é r-linear.</p><p>(ii) Decida se a adição s : E×E → E, s(u, v) = u+v, e a avaliação α : L2(E;F )×</p><p>E × E → F , α(f, u, v) = f(u, v) são aplicações lineares ou multilineares.</p><p>2. Seja H = L(E1, . . . , Er; R). Prove que a aplicação r-linear ϕ : E∗</p><p>1 × · · · ×</p><p>E∗</p><p>r → H, definida por ϕ(f1, . . . , fr) = f1· . . . ·fr é universal, isto é, para toda</p><p>aplicação r-linear f : E∗</p><p>1 × · · · × E∗</p><p>r → G existe uma, e somente uma, trans-</p><p>formação linear f̄ : H → G tal que f = f̄ ◦ ϕ.</p><p>3. Dados os espaços vetoriais E, F , considere a aplicação bilinear ϕ : E × F →</p><p>L(E∗;F ) definida pondo ϕ(u, v) · f = f(u) · v para quaisquer u ∈ E, v ∈ F e</p><p>f ∈ E∗. Prove as seguintes afirmações:</p><p>(i) Se {u1, . . . , um} ⊂ E e {v1, . . . , vn} ⊂ F são bases então as transformações</p><p>lineares ϕ(ui, vj), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, formam uma base de L(E∗;F ).</p><p>(ii) A aplicação bilinear ϕ é universal, ou seja, para toda aplicação bilinear</p><p>ψ : E×F → G existe uma, e somente uma, transformação linear ψ̄ : L(E∗;F ) →</p><p>G tal que ψ = ψ̄ ◦ ϕ.</p><p>4. Seja eeeij ∈M(n× n) = M a matriz cujo ij-ésimo elemento é 1 e os demais são</p><p>iguais a zero. Seja f : R</p><p>n×R</p><p>n →M a aplicação bilinear tal que f(ei, ej) = eeeij ,</p><p>onde {e1, . . . , en} ⊂ R</p><p>n é a base canônica. Prove que uma matriz não-nula</p><p>pertence à imagem de f se, e somente se, tem posto 1.</p><p>5. Uma aplicação bilinear f : E × E → F chama-se simétrica quando f(u, v) =</p><p>f(v, u) para quaisquer u, v ∈ E e anti-simétrica quando f(u, v) = −f(v, u).</p><p>Prove:</p><p>(i) Se as aplicações bilineares simétricas f, g : E×E → F são tais que f(u, u) =</p><p>g(u, u) para todo u ∈ E então f = g.</p><p>(ii) Toda aplicação bilinear ϕ : E × E → F se escreve, de modo único, como</p><p>soma ϕ = f + g onde f é simétrica e g é anti-simétrica.</p><p>Seção 2: Formas alternadas</p><p>1. A partir da definição (diretamente) prove que se f : R</p><p>2 ×R</p><p>2 → R é uma forma</p><p>bilinear alternada então existe a ∈ R tal que, para quaisquer v1 = (x1, y1) e</p><p>v2 = (x2, y2), tem-se f(v1, v2) = a(x1y2 − x2y1).</p><p>2. Seja f : R</p><p>3×R</p><p>3 → R uma forma bilinear alternada. Prove que existe um vetor</p><p>w ∈ R</p><p>3 tal que f(v1, v2) = 〈v1 × v2, w〉 para v1, v2 ∈ R</p><p>3 arbitrários.</p><p>3. Se f ∈ Lr(E; R) e σ é uma permutação de r objetos, defina a forma σf ∈</p><p>Lr(E; R) pondo (σf)(v1, . . . , vr) = f(vσ(1), . . . , vσ(r)) para quaisquer</p><p>v1, . . . , vr ∈ E. Prove que se ρ é outra permutação de r objetos tem-se</p><p>(ρσ)f = ρ(σf). Como ficaria esta igualdade se tivéssemos escrito fσ em vez</p><p>de σf?</p><p>48 Formas Alternadas Cap.2</p><p>4. Defina o operador linear A : Lr(E; R) → Lr(E; R) pondo, para cada f ∈</p><p>Lr(E; R), A · f =</p><p>∑</p><p>σ∈Gr</p><p>εσ · σf . Prove:</p><p>(i) A · f é uma forma alternada;</p><p>(ii) f ∈ Ar(E) se, e somente se, A · f = r!f ;</p><p>(iii) Considere a forma n-linear f em R</p><p>n, definida por f = ē1 ·ē2· . . . ·ēn , onde</p><p>{e1, . . . , en} ⊂ R</p><p>n é a base canônica. Prove que (A · f)(v1, . . . , vn) =</p><p>det[v1, . . . , vn], onde [v1, . . . , vn] é a matriz n × n cujas colunas são os</p><p>vetores áı indicados;</p><p>(iv) Se f1, . . . , fr ∈ E∗ então prove que f1 ∧ · · · ∧ fr = A · (f1· . . . ·fr).</p><p>5. Prove que os vetores v1, . . . , vr ∈ E são linearmente independentes se, e so-</p><p>mente se, existe f ∈ Ar(E) tal que f(v1, . . . , vr) 6= 0.</p><p>6. Uma forma n-linear f chama-se simétrica quando ∀σ ∈ G tem-se σf = f .</p><p>Prove que se f é simétrica tem-se A·f = 0. Dê um exemplo mostrando que a</p><p>rećıproca é falsa.</p><p>Seção 3: Determinantes</p><p>1. Dois operadores lineares A : E → E e B : F → F chamam-se conjugados</p><p>quando existe um isomorfismo ϕ : E → F , entre os espaços vetoriais E e F , tal</p><p>que ϕ ◦A = B ◦ ϕ. Prove que se A e B são conjugados então detA = detB.</p><p>2. Uma matriz aaa = [aij ] ∈M(n×n) chama-se anti-simétrica quando aij = −aji .</p><p>Se n é ı́mpar, prove que toda matriz n × n anti-simétrica tem determinante</p><p>nulo.</p><p>3. Calcule o determinante de uma matriz aaa = [aij ] ∈ M(n × n) sabendo que</p><p>aij = 0 quando i+ j ≤ n.</p><p>4. Sejam u1, . . . , un, v1, . . . , vn ∈ R</p><p>n tais que vj =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>aijui , j = 1, . . . , n. Pondo</p><p>aaa = [aij ], prove que f(v1, . . . , vn) = detaaa ·f(u1, . . . , un) para toda f ∈ Un(Rn).</p><p>5. Use sucessivamente o fato de que f(. . . , vi + cvj , . . . ) = f(. . . , vi, . . . ) quando</p><p>j 6= i e f ∈ An(Rn) para provar que o determinante de uma matriz triangular</p><p>é igual ao produto dos elementos de sua diagonal principal</p><p>Seção 4: O produto exterior de funcionais lineares</p><p>1. Defina uma transformação linear ϕ : R</p><p>n → An−1(R</p><p>n) pondo, para v, w1, . . . ,</p><p>wn−1 ∈ R</p><p>n, ϕ(v)·(w1, . . . , wn−1) = det[v,w1, . . . , wn−1], onde [v, w1, . . . , wn−1]</p><p>é a matriz n× n cujas colunas são os vetores áı indicados. Prove as seguintes</p><p>afirmações:</p><p>(i) ϕ é um isomorfismo;</p><p>(ii) Dado v 6= 0 em R</p><p>n, se {v, w1, . . . , wn−1} ⊂ R</p><p>n é uma base então ϕ(v) =</p><p>a · w̄1 ∧ · · · ∧ w̄n−1 , a ∈ R;</p><p>(iii) Conclua que toda forma alternada de grau n− 1 em R</p><p>n é decompońıvel.</p><p>2. Seja {e1, e2, e3, e4} ⊂ R</p><p>4 a base canônica. Prove que não existem f, g ∈ (R4)∗</p><p>tais que f ∧ g = ē1 ∧ ē2 + ē3 ∧ ē4 .</p><p>Seção 7 Exerćıcios 49</p><p>3. Sejam f1, . . . , fr ∈ E∗ linearmente independentes. Se g1, . . . , gr ∈ E∗ são tais</p><p>que</p><p>r∑</p><p>j=1</p><p>fj ∧ gj = 0, prove que, para cada j = 1, . . . , r tem-se gj =</p><p>r∑</p><p>i=1</p><p>aijfi ,</p><p>onde aij = aji .</p><p>Seção 5: Coordenadas e matrizes em Ar(E)</p><p>1. Dadas as matrizes aaa ∈ M(r × n) e bbb ∈ M(n × r), com r ≤ n, prove que</p><p>detaaa ·bbb =</p><p>∑</p><p>K</p><p>detaaaK ·detbbbK , onde K percorre todos os subconjuntos de In com</p><p>r elementos.</p><p>2. Prove que se u1, . . . , un , v1, . . . , vn ∈ R</p><p>n+1 então det[〈ui, vj〉] = 〈u1 × · · · ×</p><p>un, v1 × · · · × vn〉.</p><p>3. Seja A : E → F uma transformação linear de posto p. Se r ≤ p, prove que a</p><p>transformação linear induzida A∗ :</p><p>Ar(F ) → Ar(E) tem posto</p><p>(</p><p>p</p><p>r</p><p>)</p><p>.</p><p>Seção 6: A Álgebra de Grassmann</p><p>1. Dados arbitrariamente a1, . . . , an ∈ R, com a1 6= 0, defina os funcionais lineares</p><p>f1, . . . , fn−1 ∈ (Rn)∗ pondo f1 = a2ē1 + a1ē2 e, para 2 ≤ i ≤ n − 1, fi =</p><p>(−1)i+1(ai+1/a1)ē1 + ēi+1 onde, como no texto, {ē1, . . . , ēn} ⊂ (Rn)∗ é a base</p><p>dual da base canônica de R</p><p>n. Prove que</p><p>f1 ∧ · · · ∧ fn−1 =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>ai · ē1 ∧ · · · ∧ ēi−1 ∧ ēi+1 ∧ · · · ∧ ēn</p><p>e conclua que toda forma alternada de grau n−1 em R</p><p>n (portanto em qualquer</p><p>espaço vetorial de dimensão n) é decompońıvel.</p><p>2. Sejam {f1, . . . , fr} e {g1, . . . , gr} conjuntos linearmente independentes em E∗.</p><p>A fim de que eles sejam bases do mesmo subespaço S ⊂ E∗, prove que é</p><p>necessário e suficiente que, para algum a ∈ R, se tenha g1 ∧ · · · ∧ gr = a · f1 ∧</p><p>· · · ∧ fr .</p><p>3. Sejam f1, . . . , fr ∈ E∗ linearmente independentes. Prove que o conjunto S =</p><p>{g∧f1∧· · ·∧fr; g ∈ E∗} é um subespaço vetorial de dimensão n−r de Ar+1(E)</p><p>se n = dimE.</p><p>4. Prove que o elemento ω = f0 + f1 + · · · + fn (fi ∈ Ai(E)) da Álgebra de</p><p>Grassmann Λ(E∗) é invert́ıvel se, e somente se, f0 6= 0.</p><p>3</p><p>Formas Diferenciais</p><p>1 Primeiras definições</p><p>Uma forma diferencial de grau r num aberto U ⊂ R</p><p>n é uma aplicação</p><p>ω : U → Ar(R</p><p>n). Para cada x ∈ U , ω(x) é uma forma r-linear alternada</p><p>em R</p><p>n.</p><p>Denotamos, como é tradicional no Cálculo, por {dx1, . . . , dxn} ⊂</p><p>(Rn)∗ a base dual da base canônica {e1, . . . , en} ⊂ R</p><p>n. A base natural</p><p>de Ar(R</p><p>n) consiste nas formas dxI = dxi1 ∧ · · · ∧ dxir , onde I = {i1 <</p><p>· · · < ir} percorre todos os subconjuntos com r elementos do conjunto</p><p>In = {1, 2, . . . , n}. Então, para cada x ∈ U , temos ω(x) =</p><p>∑</p><p>I</p><p>aI(x)dxI ,</p><p>onde os aI(x) = ω(x) · (ei1 , . . . , eir) são as coordenadas de ω(x) relativas</p><p>à base composta pelos dxI . Quando as funções aI : U → R são de classe</p><p>Ck, diz-se que ω é uma forma de classe Ck.</p><p>Lembremos o significado das r-formas dxI . Dados os vetores</p><p>w1, . . . , wr ∈ R</p><p>n, seja aaa = [aij ] a matriz n × r cujas colunas são os</p><p>wj dados. Indicando com aaaI a matriz r × r formada pelos aij tais que</p><p>i ∈ I, temos dxI(w1, . . . , wr) = detaIaIaI = ± volume da projeção do para-</p><p>leleṕıpedo que tem os wi como arestas sobre o subespaço r-dimensional</p><p>de R</p><p>n constitúıdo pelos vetores x = (x1, . . . , xn) com xk = 0 se k /∈ I.</p><p>Se M ⊂ R</p><p>n é uma superf́ıcie m-dimensional, uma forma diferencial</p><p>de grau r emM é uma correspondência ω que associa a cada x ∈M uma</p><p>forma r-linear alternada ω(x) ∈ Ar(TxM). Assim, para todo x ∈ M</p><p>e toda lista de r vetores w1, . . . , wr ∈ TxM , ω(x) · (w1, . . . , wr) é um</p><p>número real que depende linearmente de cada wi e se anula quando</p><p>Seção 1 Primeiras definições 51</p><p>wi = wj com i 6= j.</p><p>Se f : M → N é uma aplicação de classe Ck (k ≥ 1) entre as su-</p><p>perf́ıcies M , N , a cada forma diferencial ω de grau r em N corresponde</p><p>uma forma f∗ω, de mesmo grau em M , chamada o pullback de ω por f ,</p><p>definida por</p><p>(f∗ω)(x) · (w1, . . . , wr) = ω(f(x)) · (f ′(x) · w1, . . . , f</p><p>′(x) · wr)</p><p>para todo x ∈M e quaisquer w1, . . . , wr ∈ TxM . Aqui, a transformação</p><p>linear f ′(x) : TxM → Tf(x)N é a derivada de f no ponto x.</p><p>Note-se que ω 7→ f∗ω define uma transformação linear, isto é,</p><p>f∗(aω + bω̄) = a · f∗ω + b · f∗ω̄ se a, b ∈ R. Além disso, f∗(ω ∧ ω̄) =</p><p>f∗ω ∧ f∗ω̄ e, se f : M → N e g : N → P são aplicações de classe Ck</p><p>(k ≥ 1) então (g ◦ f)∗ω = f∗(g∗ω) para toda ω em P .</p><p>Se M está contida na superf́ıcie N e i : M → N é a aplicação de in-</p><p>clusão, i(x) = x então, para toda forma diferencial ω em N , seu pullback</p><p>é a forma i∗ω, chamada a forma induzida por ω em M , ou a restrição</p><p>de ω a M , às vezes representada por ω|M .</p><p>Para obter i∗ω basta, na expressão ω(x) · (w1, . . . , wr), limitar-se a</p><p>considerar x ∈M e w1, . . . , wr ∈ TxM .</p><p>Seja ϕ : U0 → U ⊂ M uma parametrização local na superf́ıcie m-</p><p>dimensional M ⊂ R</p><p>n. Em cada ponto x = ϕ(u) ∈ U , indicaremos com</p><p>{du1, . . . , dum} ⊂ (TxM)∗ a base dual da base</p><p>{</p><p>∂ϕ</p><p>∂u1</p><p>(u), . . . ,</p><p>∂ϕ</p><p>∂um</p><p>(u)</p><p>}</p><p>⊂</p><p>TxM . Na verdade, a notação mais precisa seria dui(x) mas escrevemos</p><p>dui por simplicidade. As formas diferenciais duI = dui1 ∧ · · · ∧ duir ,</p><p>I = {i1 < · · · < ir} ⊂ Im , constituem, em cada ponto x ∈ U , uma</p><p>base de Ar(TxM) portanto toda forma diferencial ω de grau r em M se</p><p>exprime, em termos da parametrização ϕ, como</p><p>ω(x) =</p><p>∑</p><p>I</p><p>aI(u)duI , x = ϕ(u).</p><p>Se ψ : V0 → V ⊂ M é outra parametrização, com U ∩ V 6= ∅ então,</p><p>para todo x = ϕ(u) = ψ(v) ∈ U ∩ V temos os pares de bases duais</p><p>{</p><p>∂ϕ</p><p>∂u1</p><p>(u), . . . ,</p><p>∂ϕ</p><p>∂um</p><p>(u)</p><p>}</p><p>⊂ TxM, {du1, . . . , dum} ⊂ (TxM)∗,</p><p>{</p><p>∂ψ</p><p>∂v1</p><p>(v), . . . ,</p><p>∂ψ</p><p>∂vm</p><p>(v)</p><p>}</p><p>⊂ TxM, {dv1, . . . , dvm} ⊂ (TxM)∗</p><p>52 Formas Diferenciais Cap. 3</p><p>e as relações</p><p>∂ϕ</p><p>∂uj</p><p>=</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>∂vi</p><p>∂uj</p><p>· ∂ψ</p><p>∂vi</p><p>, dvi =</p><p>m∑</p><p>j=1</p><p>∂vi</p><p>∂uj</p><p>· duj .</p><p>Nestas igualdades, [∂vi/∂uj ] é a matriz jacobiana do difeomorfismo</p><p>ξ = ψ−1◦ϕ : ϕ−1(U∩V ) → ψ−1(U∩V ), calculada no ponto u, a derivada</p><p>∂ϕ/∂uj é tomada no ponto u e ∂ψ/∂vi é calculada no ponto v = ξ(u).</p><p>A parametrização ψ determina em Ar(TxM) a base constitúıda pelas</p><p>r-formas dvI = dvi1 ∧ · · · ∧ dvir . Como vimos no Caṕıtulo 2 (seção 5),</p><p>se x = ϕ(u) = ψ(v) ∈ U ∩ V então</p><p>ω(x) =</p><p>∑</p><p>J</p><p>aJ(u)duJ =</p><p>∑</p><p>I</p><p>bI(v)dvI ⇒ aJ(u) =</p><p>∑</p><p>I</p><p>det[∂vI/∂uJ ]bI(v),</p><p>onde [∂vI/∂uJ ] é a matriz r × r formada pelos elementos ∂vi/∂uj da</p><p>matriz jacobiana da mudança de parametrização ξ = ψ−1 ◦ ϕ tais que</p><p>i ∈ I e j ∈ J , sendo as derivadas calculadas no ponto u ∈ ϕ−1(U ∩ V ).</p><p>Merece destaque o caso em que ω é uma forma diferencial de grau</p><p>m na superf́ıcie M de dimensão m. Então</p><p>ω(x) = a(u)du1∧· · ·∧dum = b(v)dv1∧· · ·∧dvm ⇒ a(u) = det Jξ(u)·b(v),</p><p>onde Jξ(u) é a matriz jacobiana do difeomorfismo ξ = ψ−1 ◦ϕ calculada</p><p>no ponto u ∈ ϕ−1(U ∩ V ).</p><p>Se a superf́ıcie M é de classe Ck, tem sentido dizer que a forma</p><p>diferencial ω, definida em M , é de classe Cs, onde s ≤ k − 1. Isto</p><p>significa que cada ponto de M pertence a um aberto U ⊂ M , imagem</p><p>de uma parametrização ϕ : U0 → U , de classe Ck, relativamente à qual</p><p>se tem ω =</p><p>∑</p><p>I</p><p>aI · duI , onde as funções aI : U → R são de classe Cs. As</p><p>fórmulas de mudança de coordenadas aJ =</p><p>∑</p><p>I</p><p>det[∂vI/∂uJ ]bI mostram</p><p>que se aJ é de classe Cs, s ≤ k − 1, então o mesmo ocorre com as</p><p>coordenadas bI de ω relativas a qualquer outra parametrização ψ de</p><p>classe Ck.</p><p>Observação. Usaremos, conforme seja mais conveniente, a notação[</p><p>∂vi</p><p>∂uj</p><p>]</p><p>, ou então Jξ, para representar a matriz jacobiana do difeomor-</p><p>fismo ξ = ψ−1 ◦ϕ : ϕ−1(U ∩V ) → ψ−1(U ∩V ), segundo o qual ξ(u) = v</p><p>quando ϕ(u) = ψ(v).</p><p>Exemplo 1. Em qualquer superf́ıcie N , as formas diferenciais de grau</p><p>zero são simplesmente as funções reais g : N → R. Se f : M → N é uma</p><p>aplicação de classe Ck então o pullback de g por meio de f é f∗(g) = g◦f .</p><p>Seção 1 Primeiras definições 53</p><p>Exemplo 2. Em R, as formas diferenciais de grau 1 são do tipo</p><p>ω(x) = f(x)dx. Em abertos de R</p><p>2, as formas de grau 1 são, como</p><p>sabemos, ω(x, y) = a(x, y)dx + b(x, y)dy, que correspondem aos cam-</p><p>pos vetoriais F (x, y) = (a(x, y), b(x, y)), e as formas de grau 2 são</p><p>ω(x, y) = a(x, y)dx ∧ dy, cada uma delas equivalente à função a(x, y).</p><p>Num aberto U ⊂ R</p><p>3, uma forma diferencial de grau 1 se escreve como</p><p>ω = a dx + b dy + c dz, onde a, b, c são funções reais definidas em U , e</p><p>equivale ao campo vetorial F : U → R</p><p>3, F (p) = (a(p), b(p), c(p)), p ∈ U .</p><p>Uma forma de grau 2 em U é do tipo ω = a dy∧dz+b dz∧dx+c dx∧dy</p><p>e também pode ser identificada com o campo de vetores F = (a, b, c).</p><p>Finalmente, uma forma de grau 3 em U é dada por ω = adx ∧ dy ∧ dz</p><p>e corresponde a uma função a : U → R. Estas observações mostram por</p><p>que, em dimensões ≤ 3, formas diferenciais podem ser substitúıdas por</p><p>funções e campos vetoriais nos estudos elementares de Cálculo.</p><p>Exemplo 3. Sejam ω = ady ∧ dz+ bdz ∧ dx+ cdx∧ dy uma forma dife-</p><p>rencial de grau 2 definida no aberto A ⊂ R</p><p>3 e M uma superf́ıcie (bidi-</p><p>mensional) orientada contida em A. Considerando a inclusão i : M → A,</p><p>a restrição</p><p>i∗ω se escreve, em termos de uma parametrização positiva</p><p>ϕ : U0 → U ⊂M , ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), como</p><p>i∗ω =</p><p>(</p><p>ā · det</p><p>∂(y, z)</p><p>∂(u, v)</p><p>+ b̄ · det</p><p>∂(z, x)</p><p>∂(u, v)</p><p>+ c̄ · det</p><p>∂(x, y)</p><p>∂(u, v)</p><p>)</p><p>du ∧ dv.</p><p>Aqui, ā = a ◦ ϕ,</p><p>∂(y, z)</p><p>∂(u, v)</p><p>=</p><p>[</p><p>∂y/∂u ∂z/∂u</p><p>∂y/∂v ∂z/∂v</p><p>]</p><p>, etc.</p><p>Esta fórmula se obtém fazendo a mudança de variáveis (x, y, z) =</p><p>(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) na expressão de ω e observando que dx =</p><p>∂x</p><p>∂u</p><p>du+</p><p>∂x</p><p>∂v</p><p>dv, etc. Vê-se que o coeficiente de du∧dv em i∗ω é o produto interno</p><p>do vetor F = (ā, b̄, c̄) pelo vetor N =</p><p>∂ϕ</p><p>∂u</p><p>× ∂ϕ</p><p>∂v</p><p>, o qual é normal à</p><p>superf́ıcie M e tem o sentido dado pela orientação da mesma. Podemos</p><p>então escrever i∗ω = 〈F,N〉 · du ∧ dv, como no Cálculo.</p><p>Exemplo 4 (Elemento de volume.) Seja M uma superf́ıcie orientada</p><p>de dimensão m. O elemento de volume de M é a forma diferencial</p><p>ω, de grau m, definida pondo-se, para cada x ∈ M e w1, . . . , wm ∈</p><p>TxM , ω(x)·(w1, . . . , wm) = ± volume do paraleleṕıpedo determinado por</p><p>w1, . . . , wm . (cfr. Exemplo 7, Caṕıtulo 2.) Dada uma parametrização</p><p>54 Formas Diferenciais Cap. 3</p><p>positiva ϕ : U0 → U ⊂ M , definimos as funções gij : U0 → R pondo</p><p>gij(u) =</p><p>〈</p><p>∂ϕ</p><p>∂ui</p><p>(u),</p><p>∂ϕ</p><p>∂uj</p><p>(u)</p><p>〉</p><p>e pomos g = det[gij ]. Então, em cada ponto</p><p>x = ϕ(u) ∈ U , o volume do paraleleṕıpedo que tem</p><p>∂ϕ</p><p>∂u1</p><p>(u), . . . ,</p><p>∂ϕ</p><p>∂um</p><p>(u)</p><p>como arestas é igual a</p><p>√</p><p>g, ou seja, ω(x) ·</p><p>(</p><p>∂ϕ</p><p>∂u1</p><p>(u), . . . ,</p><p>∂ϕ</p><p>∂um</p><p>(u)</p><p>)</p><p>=</p><p>√</p><p>g.</p><p>Como {du1, . . . , dum} é a base dual de</p><p>{</p><p>∂ϕ</p><p>∂u1</p><p>, . . . ,</p><p>∂ϕ</p><p>∂um</p><p>}</p><p>, isto significa</p><p>que ω =</p><p>√</p><p>g · du1 ∧ · · · ∧ dum .</p><p>Prosseguindo com a notação do Exemplo 4, temos o</p><p>Exemplo 4a (Elemento de volume de uma hiperf́ıcie.) No caso</p><p>particular em queM ⊂ R</p><p>m+1 é uma hiperf́ıcie orientada de classe Ck, te-</p><p>mos</p><p>√</p><p>g =</p><p>∣∣∣∣</p><p>∂ϕ</p><p>∂u1</p><p>× · · · × ∂ϕ</p><p>∂um</p><p>∣∣∣∣. Escrevendo, para cada x = ϕ(u), N(x) =</p><p>∂ϕ</p><p>∂u1</p><p>(u) × · · · × ∂ϕ</p><p>∂um</p><p>(u), vemos que ν(x) = N(x)</p><p>/</p><p>|N(x)|</p><p>é um vetor unitário normal a M . O volume m-dimensional do</p><p>paraleleṕıpedo</p><p>[</p><p>∂ϕ</p><p>∂u1</p><p>(u), . . . ,</p><p>∂ϕ</p><p>∂um</p><p>(u)</p><p>]</p><p>é igual ao do paraleleṕıpedo</p><p>(m + 1)-dimensional</p><p>[</p><p>ν(x),</p><p>∂ϕ</p><p>∂u1</p><p>(u), . . . ,</p><p>∂ϕ</p><p>∂um</p><p>(u)</p><p>]</p><p>. Adotaremos em M</p><p>a orientação segundo a qual a parametrização ϕ é positiva se, e somente</p><p>se, a matriz</p><p>[</p><p>ν(x),</p><p>∂ϕ</p><p>∂u1</p><p>(u), . . . ,</p><p>∂ϕ</p><p>∂um</p><p>(u)</p><p>]</p><p>tem determinante positivo para</p><p>cada x = ϕ(u). Então</p><p>ω(x) · (w1, . . . , wm) = det[ν(x), w1, . . . , wm].</p><p>Desenvolvendo o determinante segundo os elementos da primeira coluna,</p><p>isto nos dá</p><p>ω(x) · (w1, . . . , wm) =</p><p>m+1∑</p><p>i=1</p><p>(−1)i+1 νi(x) ·Ai ,</p><p>onde ν(x) = (ν1(x), . . . , νm+1(x)) e Ai é o determinante (menor) da</p><p>matrix m×m que resulta de [w1, . . . , wm] por omissão da i-ésima linha.</p><p>Escrevendo (agora e no que se segue) dx1 ∧ · · · ∧ d̂xi ∧ · · · ∧ dxm+1</p><p>em vez de dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxm+1 , vemos que Ai =</p><p>(dx1 ∧ · · · ∧ d̂xi ∧ · · · ∧ dxm+1)(w1, . . . , wm).</p><p>Seção 1 Primeiras definições 55</p><p>Então conclúımos que, para todo x ∈ U ,</p><p>ω(x) =</p><p>m+1∑</p><p>i=1</p><p>(−1)i+1 νi(x) · dx1 ∧ · · · ∧ d̂xi ∧ · · · ∧ dxm+1</p><p>é a expressão da forma elemento de volume da hiperf́ıcie M em termos</p><p>das coordenadas do vetor unitário normal ν(x) = (ν1(x), . . . , νm+1(x))</p><p>e da base canônica {dx1, . . . , dxm+1} ⊂ (Rm+1)∗.</p><p>Quando M é a esfera unitária Sm então ν(x) = x e obtemos assim o</p><p>Exemplo 4b (Elemento de volume da esfera.) Vimos acima que o</p><p>elemento de volume da esfera Sm é a forma</p><p>ω(x) =</p><p>m+1∑</p><p>i=1</p><p>(−1)i+1 xi · dx1 ∧ · · · ∧ d̂xi ∧ · · · ∧ dxm+1 .</p><p>Na realidade, esta expressão define uma forma diferencial de grau m em</p><p>R</p><p>m+1, cuja restrição a Sm é o elemento de volume. De modo evidente,</p><p>se S é a esfera de centro a = (a1, . . . , am+1) e raio r, seu elemento de</p><p>volume é dado por</p><p>ω(x) =</p><p>m+1∑</p><p>i=1</p><p>(−1)i+1 xi − ai</p><p>r</p><p>· dx1 ∧ · · · ∧ d̂xi ∧ · · · ∧ dxm+1 .</p><p>O próximo exemplo faz uso da projeção radial f : R</p><p>m+1−{0} → Sm,</p><p>definida por f(x) = x</p><p>/</p><p>|x|. Vamos calcular a derivada f ′(x) : R</p><p>m+1 →</p><p>Tf(x)S</p><p>m. Todo vetor w ∈ R</p><p>m+1 se decompõe na soma w = cx + w̄,</p><p>onde w̄ = w − cx é ortogonal ao vetor x no qual estamos considerando</p><p>a derivada.</p><p>Portanto, para todo x ∈ R</p><p>m+1 −{0} e todo w ∈ R</p><p>m+1, temos f ′(x) ·</p><p>w = f ′(x) · cx+ f ′(x) · w̄. Mas f ′(x) · cx = 0 pois f é constante, igual a</p><p>x</p><p>/</p><p>|x|, ao longo da semi-reta</p><p>⇀</p><p>Ox, sobre a qual se situa o vetor cx. Logo</p><p>f ′(x) ·w = f ′(x) ·w̄. Sendo ortogonal a x, o vetor w̄ é tangente, no ponto</p><p>x, à esfera S de centro 0 e raio |x|, restrita à qual f é simplesmente a</p><p>multiplicação pela constante 1</p><p>/</p><p>|x|, logo f ′(x) · w = f ′(x) · w̄ = w̄</p><p>/</p><p>|x| =</p><p>(w − cx)</p><p>/</p><p>|x|.</p><p>Exemplo 5 (Elemento de ângulo sólido.) Trata-se do análogo multi-</p><p>dimensional da forma elemento de ângulo vista no Caṕıtulo 1. O ele-</p><p>mento de ângulo sólido é a forma diferencial Ω de grau m, definida em</p><p>56 Formas Diferenciais Cap. 3</p><p>R</p><p>m+1 − {0} como Ω = f∗ω, pullback da forma ω, elemento de volu-</p><p>me da esfera unitária Sm pela projeção radial f : R</p><p>m+1 − {0} → Sm,</p><p>f(x) = x</p><p>/</p><p>|x|. Assim, para x ∈ R</p><p>m+1 − {0} e w1, . . . , wm ∈ R</p><p>m+1,</p><p>tem-se</p><p>Ω(x) · (w1, . . . , wm) = ω</p><p>(</p><p>x</p><p>|x|</p><p>)</p><p>· (f ′(x) · w1, . . . , f</p><p>′(x) · wm).</p><p>Este valor é o volume orientado do paraleleṕıpedo m-dimensional cujas</p><p>arestas são os vetores f ′(x) ·wi , tangentes a Sm no ponto x</p><p>/</p><p>|x|. Como</p><p>o vetor unitário x</p><p>/</p><p>|x| é normal a Sm nesse mesmo ponto, este também</p><p>é o valor do volume orientado do paraleleṕıpedo (m + 1)-dimensional</p><p>cujas arestas são x</p><p>/</p><p>|x|, f ′(x) · w1, . . . , f</p><p>′(x) · wm . Como f ′(x) · wi =</p><p>(wi − cx)</p><p>/</p><p>|x|, temos</p><p>Ω(x) · (w1, . . . , wm) = det</p><p>[</p><p>x</p><p>|x| ,</p><p>w1 − c1x</p><p>|x| , . . . ,</p><p>wm − cmx</p><p>|x|</p><p>]</p><p>=</p><p>1</p><p>|x|m+1</p><p>det[x,w1, . . . , wm],</p><p>pois o valor de um determinante não se altera quando se subtrai de</p><p>uma de suas colunas um múltiplo de outra. Como no Exemplo 4a,</p><p>desenvolvendo o determinante segundo os elementos da primeira coluna,</p><p>e observando que (dx1 ∧ · · · ∧ d̂xi ∧ · · · ∧ dxm+1)(w1, . . . , wm) = detAi ,</p><p>onde Ai é o determinante da matriz m×m obtida de [w1, . . . , wm] por</p><p>omissão da i-ésima linha, obtemos</p><p>Ω(x) =</p><p>1</p><p>|x|m+1</p><p>m+1∑</p><p>i=1</p><p>(−1)i+1 xi · dx1 ∧ · · · ∧ d̂xi ∧ · · · ∧ dxm+1</p><p>como expressão da forma elemento de ângulo sólido.</p><p>2 A diferencial exterior</p><p>A diferencial exterior dω de uma forma ω é definida de tal modo que os</p><p>vários teoremas do Cálculo, conhecidos sob os nomes de Green, Gauss,</p><p>Ostrogradsky, Stokes, e até mesmo o Teorema Fundamental</p><p>∫ b</p><p>a df =</p><p>f(b)−f(a), sejam resumidos numa única fórmula, que se escreve</p><p>∫</p><p>M dω =∫</p><p>∂M ω e é chamada de Teorema de Stokes. Nosso próximo passo, a cami-</p><p>nho dessa fórmula, será a definição e o estabelecimento das propriedades</p><p>básicas de dω.</p><p>Seção 2 A diferencial exterior 57</p><p>Inicialmente, seja ω =</p><p>∑</p><p>I</p><p>aIdxI uma forma diferencial de grau r e</p><p>classe Ck (k ≥ 2), definida no aberto U ⊂ R</p><p>n. A forma diferencial de</p><p>grau r + 1</p><p>dω =</p><p>∑</p><p>I</p><p>daI ∧ dxI =</p><p>∑</p><p>j,I</p><p>∂aI</p><p>∂xj</p><p>· dxj ∧ dxI ,</p><p>de classe Ck−1 em U , chama-se a diferencial exterior de ω.</p><p>É claro que se α, β ∈ R então d(αω + βω̄) = α · dω + β · dω̄.</p><p>Exemplo 6. Se ω = f : U → R é uma forma de grau zero, ou seja, é sim-</p><p>plesmente uma função real, então dω = df =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>∂f</p><p>∂xi</p><p>dxi é a diferencial</p><p>usual de f . Se ω =</p><p>∑</p><p>aj dxj é uma forma de grau 1 então</p><p>dω =</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>∂ai</p><p>∂xj</p><p>dxj ∧ dxi =</p><p>∑</p><p>i<j</p><p>(</p><p>∂aj</p><p>∂xi</p><p>− ∂ai</p><p>∂xj</p><p>)</p><p>dxi ∧ dxj ,</p><p>como resulta ao se levar em conta que dxj ∧ dxi = −dxi ∧ dxj . E se</p><p>considerarmos a forma ω =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>(−1)i+1 ai dx1 ∧ · · · ∧ d̂xi ∧ · · · ∧ dxn , de</p><p>grau n− 1 no aberto U ⊂ R</p><p>n, veremos que</p><p>dω =</p><p>(</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>∂ai</p><p>∂xi</p><p>)</p><p>dx1 ∧ · · · ∧ dxn ,</p><p>pois se i 6= j então</p><p>∂ai</p><p>∂xj</p><p>· dxj ∧ dx1 ∧ · · · ∧ d̂xi ∧ · · · ∧ dxn = 0.</p><p>Teorema 1. Sejam U ⊂ R</p><p>m, V ⊂ R</p><p>n abertos, f : U → V de classe Ck</p><p>(k ≥ 2) e ω, ω̄ formas diferenciais em V , também de classe Ck. Então:</p><p>1) d(ω ∧ ω̄) = dω ∧ ω̄ + (−1)grω ω ∧ dω̄;</p><p>2) d(dω) = 0;</p><p>3) d(f∗ω) = f∗(dω).</p><p>58 Formas Diferenciais Cap. 3</p><p>Demonstração: Como d e f∗ são transformações lineares, basta con-</p><p>siderar o caso em que ω = a dxI e ω̄ = b dxJ . Então</p><p>d(w ∧ ω̄) = d(ab</p><p>dxI ∧ dxJ) = d(ab) ∧ dxI ∧ dxJ</p><p>= (b da+ a db) ∧ dxI ∧ dxJ</p><p>= b da ∧ dxI ∧ dxJ + a db ∧ dxI ∧ dxJ</p><p>= dω ∧ ω̄ + (−1)grω a dxI ∧ db ∧ dxJ</p><p>= dω ∧ ω̄ + (−1)grω ω ∧ dω̄,</p><p>pois db∧dxI = (−1)grω dxI ∧db. Isto prova 1). Quanto a 2), observemos</p><p>inicialmente que ddxI = d(1·dxI) = d1∧dxI = 0. Além disso, se cji = cij</p><p>então, como dxj ∧ dxi = −dxi ∧ dxj , tem-se</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>cij dxi ∧ dxj = 0.</p><p>Portanto, em virtude do Teorema de Schwarz, dada a : V → R de classe</p><p>C2, vale</p><p>d(da) = d</p><p></p><p></p><p>∑</p><p>j</p><p>∂a</p><p>∂xj</p><p>dxj</p><p></p><p> =</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>∂2a</p><p>∂xi∂xj</p><p>· dxi ∧ dxj = 0.</p><p>Conseqüentemente, se ω = adxI , tem-se</p><p>d(dω) = d(da ∧ dxI) = d(da) ∧ dxI − da ∧ d(dxI) = 0.</p><p>Finalmente, para provar 3), comecemos com o caso em que ω tem</p><p>grau zero, isto é, ω = g : V → R. Então f∗ω = g ◦ f : U → R. Pela</p><p>Regra da Cadeia, para todo x ∈ U e todo vetor w ∈ R</p><p>m, temos</p><p>(f∗ dω)(x) · w = (f∗(dg))(x) · w = dg(f(x)) · f ′(x) · w = d(g ◦ f)(x) · w</p><p>= d(f∗ ω)(x) · w,</p><p>logo f∗dω = df∗ω quando ω tem grau zero. Em particular, conside-</p><p>rando cada projeção xi : V → R, temos f∗ dxi = d(f∗ xi), logo f∗ dxI =</p><p>f∗ dxi1∧· · ·∧f∗dxir = d(f∗xi1)∧· · ·∧d(f∗xir). Segue-se que d(f∗ dxI) =</p><p>0. Se ω = adxI então f∗ω = f∗a · f∗dxI e dáı</p><p>d(f∗ω) = d(f∗a) ∧ f∗dxI + f∗a · d(f∗dxI)</p><p>= f∗(da) ∧ f∗dxI = f∗(da ∧ dxI) = f∗(dω).</p><p>Seção 2 A diferencial exterior 59</p><p>Definiremos agora a diferencial exterior dω de uma forma ω numa</p><p>superf́ıcie M .</p><p>Em termos de uma parametrização ϕ : U0 → U ⊂ M , a forma ω</p><p>admite a expressão ω(x) = Σ aI(u)duI , x = ϕ(u). Então pomos</p><p>dω(x) =</p><p>∑</p><p>I</p><p>daI(u) ∧ duI , x = ϕ(u) ∈ U.</p><p>A fim de ressaltar que esta definição faz uso expĺıcito da parametri-</p><p>zação ϕ, escreveremos dϕω em vez de dω e nos proporemos a mostrar</p><p>que se ψ : V0 → V ⊂M é outra parametrização então dψω(x) = dϕω(x)</p><p>para todo x ∈ U ∩ V .</p><p>Como ϕ∗ : Ar(TxM) → Ar(R</p><p>m) é, para todo x ∈ U , um isomorfismo,</p><p>basta provar que ϕ∗(dϕω) = ϕ∗(dψω) em U ∩ V .</p><p>Em primeiro lugar, observamos que, sendo {du1, . . . , dum} ⊂ TxM</p><p>a base dual de</p><p>{</p><p>∂ϕ</p><p>∂u1</p><p>(u), . . . , ∂ϕ</p><p>∂um</p><p>(u)</p><p>}</p><p>, com ∂ϕ</p><p>∂ui</p><p>(u) = ϕ′(u) · ei, tem-</p><p>se ϕ∗dui = dxi, onde {dx1, . . . , dxm} é a base dual da base canônica</p><p>{e1, . . . , em} ⊂ R</p><p>m. Portanto, se ω(x) =</p><p>∑</p><p>I</p><p>aI(u)duI , para x = ϕ(u) ∈</p><p>U ∩ V , então ϕ∗ω(u) =</p><p>∑</p><p>I</p><p>aI(u)dxI e dáı</p><p>d(ϕ∗ω) =</p><p>∑</p><p>I</p><p>daI ∧ dxI = ϕ∗(dϕω).</p><p>Sabemos que ϕ = ψ ◦ ξ : ϕ−1(U ∩ V ) → ψ−1(U ∩ V ), onde ξ =</p><p>ψ−1 ◦ ϕ : ϕ−1(U ∩ V ) → ψ−1(U ∩ V ) é o difeomorfismo de mudança de</p><p>parametrização. Logo ϕ∗ = ξ∗ ◦ ψ∗. Portanto</p><p>ϕ∗(dψω) = ξ∗(ψ∗(dψω)) = ξ∗d(ψ∗ω) =</p><p>= d(ξ∗ψ∗ω) = d(ϕ∗ω) = ϕ∗(dϕω).</p><p>Usaremos a notação Λr(M) para representar o espaço vetorial cujos</p><p>elementos são as formas diferenciais C∞ de grau r na superf́ıcie m-</p><p>dimensional M ⊂ R</p><p>n de classe C∞. A diferenciação exterior, que vem</p><p>de ser definida, é uma transformação linear</p><p>d : Λr(M) → Λr+1(M).</p><p>Uma forma diferencial ω ∈ Λr(M) chama-se fechada quando dω = 0.</p><p>Por sua vez, ω ∈ Λr+1(M), chama-se uma forma exata quando existe</p><p>60 Formas Diferenciais Cap. 3</p><p>α ∈ Λr(M) tal que dα = ω. Portanto as formas fechadas compõem o</p><p>núcleo, e as exatas a imagem, de d.</p><p>Observação. A exigência de que as formas diferenciais em Λr(M) sejam</p><p>de classe C∞ é feita a fim de que ω ∈ Λr(M) ⇒ dω ∈ Λr+1(M).</p><p>Exemplo 7. Toda forma ω ∈ Λm(M), m = dimM , é fechada pois</p><p>Λr(M) = {0} quando r > m. Como d ◦ d = 0, toda forma exata é</p><p>fechada. A rećıproca é falsa pois, como vimos no Caṕıtulo 1, a forma</p><p>Ω = (−ydx+ xdy)</p><p>/</p><p>(x2 + y2), de grau 1, é fechada mas não é exata em</p><p>R</p><p>2 − {0}. Naquele caṕıtulo, vimos também que se o aberto U ⊂ R</p><p>n</p><p>é simplesmente conexo então toda forma fechada de grau 1 em U é</p><p>exata. A seguir, provaremos o importante Lema de Poincaré, segundo</p><p>o qual toda forma fechada (de qualquer grau r) num aberto convexo é</p><p>exata. Ele será obtido como conseqüência de um resultado mais geral</p><p>que relaciona formas diferenciais com homotopia.</p><p>Observação. Uma forma de grau > 1 numa superf́ıcie simplesmente</p><p>conexa pode ser fechada sem ser exata. Tal é o caso do elemento de</p><p>volume de uma superf́ıcie compacta orientada, conforme veremos no</p><p>Caṕıtulo 5, Corolário 1.</p><p>Uma homotopia entre as aplicações cont́ınuas f, g : X → Y , onde</p><p>X ⊂ R</p><p>m e Y ⊂ R</p><p>n, é uma aplicação cont́ınua H : X × [0, 1] → Y tal</p><p>que H(x, 0) = f(x) e H(x, 1) = g(x) para todo x ∈ X. Diz-se então</p><p>que f e g são aplicações homotópicas e escreve-se f ≃ g ou, mais pre-</p><p>cisamente, H : f ≃ g. A relação f ≃ g é uma equivalência no conjunto</p><p>das aplicações cont́ınuas de X em Y . Com efeito, H : X × [0, 1] → Y ,</p><p>definida por H(x, t) = f(x), é uma homotopia f ≃ f . E se H é uma ho-</p><p>motopia entre f e g então K(x, t) = H(x, 1− t) é uma homotopia entre</p><p>g e f . Finalmente, se H : f ≃ g e K : g ≃ h então L : X × [0, 1], definida</p><p>por L(x, t) = H(x, 2t), x ∈ X, 0 ≤ t ≤ 1/2 e L(x, t) = K(x, 2t − 1) se</p><p>1/2 ≤ t ≤ 1, é uma homotopia entre f e h.</p><p>Se U ⊂ R</p><p>m é um aberto e f, g : U → Y ⊂ R</p><p>n são aplicações de classe</p><p>Ck, tem sentido falar de uma homotopia H : U × [0, 1] → Y de classe Ck</p><p>(0 ≤ k ≤ ∞) entre f e g. Embora U× [0, 1] ⊂ R</p><p>m+1 não seja um aberto,</p><p>isto significa que existem e são cont́ınuas todas as derivadas parciais de</p><p>f nos pontos (x, t) ∈ U × [0, 1], até a ordem k, apenas com a ressalva</p><p>de que nos pontos (x, 0) e (x, 1) as derivadas em relação a t devem ser</p><p>tomadas à direita e à esquerda, respectivamente. Na verdade, U×[0, 1] é</p><p>um exemplo de superf́ıcie com bordo. Seu bordo tem duas componentes</p><p>Seção 2 A diferencial exterior 61</p><p>conexas, U ×{0} e U ×{1}, que são hiperf́ıcies em R</p><p>m+1. As superf́ıcies</p><p>com bordo serão vistas no Caṕıtulo 5.</p><p>A relação de homotopia de classe Ck é ainda uma equivalência. As</p><p>propriedades reflexiva (f ≃ f) e simétrica (f ≃ g ⇒ g ≃ f) se provam</p><p>como antes mas há uma precaução a ser tomada quanto à propriedade</p><p>transitiva (f ≃ g, g ≃ h ⇒ f ≃ h) pois uma função cont́ınua ξ : [0, 1] →</p><p>R pode não ser de classe Ck embora suas restrições ξ|[0, 1/2] e ξ|[1/2, 1]</p><p>o sejam. Para evitar esta inconveniência, mostraremos agora que se as</p><p>aplicações f, g : U → Y ⊂ R</p><p>n são Ck-homotópicas então existe uma</p><p>homotopia K : U × [0, 1] → Y , de classe Ck, tal que K(x, t) = f(x) se</p><p>0 ≤ t ≤ 1/3 e K(x, t) = g(x) se 2/3 ≤ t ≤ 1, seja qual for x ∈ U . Então</p><p>K será chamada uma homotopia adaptada.</p><p>Sempre que for conveniente, podemos considerar uma homotopia</p><p>adaptada como uma aplicação H : U × R → N , de classe Ck, simples-</p><p>mente pondo H(x, t) = f(x) se t < 0 e H(x, t) = g(x) quando t > 1.</p><p>Para adaptar uma homotopia H : U × [0, 1] → Y entre f e g va-</p><p>mos utilizar uma função ζ : R → R, de classe C∞, com as seguintes</p><p>propriedades: 0 ≤ ζ(t) ≤ 1 para todo t ∈ R, ζ(t) = 0 para t ≤ 1/3</p><p>e ζ(t) = 1 quando t ≥ 2/3. Então, se H : U × [0, 1] → Y é de classe</p><p>Ck, com H(x, 0) = f(x) e H(x, 1) = g(x) para todo x ∈ U , a aplicação</p><p>K : U × [0, 1] → Y definida por K(x, t) = H(x, ζ(t)) é uma homotopia</p><p>adaptada entre f e g.</p><p>Se f, g, h : U → Y são tais que f ≃ g e g ≃ h em classe Ck, tomamos</p><p>homotopias adaptadas H : f ≃ g e K : g ≃ h e definimos L : U × [0, 1] →</p><p>Y pondo L(x, t) = H(x, 2t) se t ∈ [0, 1/2], L(x, t) = K(x, 2t − 1) se</p><p>t ∈ [1/2, 1] e teremos uma homotopia L : f ≃ h de classe Ck.</p><p>A função ζ : R → R, que empregamos acima, nos será útil noutras</p><p>ocasiões. Ela pode ser definida assim: em primeiro lugar, consideramos a</p><p>função α : R → R, definida por α(t) = e−1/t(1−t) se 0 < t < 1 e α(t) = 0</p><p>se t ≤ 0 ou t ≥ 1. Esta é uma função clássica, conhecida pelo fato de</p><p>que todas as suas derivadas nos pontos 0 e 1 se anulam. Então α é de</p><p>classe C∞.</p><p>62 Formas Diferenciais Cap. 3</p><p>1</p><p>y</p><p>x</p><p>Figura 12. Forma do gráfico da função α. O fato essencial é que α se</p><p>anula nos pontos 0 e 1, juntamente com suas derivadas de todas as ordens.</p><p>Em seguida, definimos β : R → R pondo β(t) =</p><p>1</p><p>b</p><p>∫ t</p><p>0 α(s) ds, onde</p><p>b =</p><p>∫ 1</p><p>0 α(t) dt. Então β ∈ C∞, 0 ≤ β(t) ≤ 1 para todo t ∈ R, β(t) = 0</p><p>se t ≤ 0 e β(t) = 1 se t ≥ 1. Para obter ζ agora é só mudar de escala e</p><p>transladar: pomos então ζ(t) = β(3t− 1).</p><p>1</p><p>1</p><p>y = β(x)</p><p>y</p><p>x</p><p>y = ζ(x)</p><p>x</p><p>11/3 2/3</p><p>y</p><p>Figura 13. Gráficos das funções β e ζ.</p><p>Podemos agora demonstrar o</p><p>Teorema 2(∗) . Sejam f, g : U → N aplicações C∞-homotópicas do</p><p>aberto U ⊂ R</p><p>n na superf́ıcie N , de classe C∞. Para toda forma dife-</p><p>rencial fechada ω ∈ Λr(N) existe uma forma α ∈ Λr−1(U) tal que g∗ω−</p><p>f∗ω = dα.</p><p>(∗) Ver o Teorema 3 do Caṕıtulo 4, a seguir.</p><p>Seção 2 A diferencial exterior 63</p><p>Demonstração: Como foi observado acima, a homotopia entre f e g</p><p>nos dá uma aplicação H : U × R → N , de classe C∞, tal que H(x, 0) =</p><p>f(x) e H(x, 1) = g(x) para todo x ∈ U . Usaremos H para definir</p><p>uma transformação linear L : Λr(N) → Λr−1(U) tal que g∗ω − f∗ω =</p><p>Ldω+dLω para toda ω ∈ Λr(N). Então, se ω é fechada, pondo α = Lω</p><p>o teorema estará demonstrado. Começaremos introduzindo, para todo</p><p>t ∈ R, a aplicação de inclusão it : U → U × R, onde it(x) = (x, t). Em</p><p>seguida, definiremos a transformação linear</p><p>K : Λr(U × R) → Λr−1(U)</p><p>do seguinte modo: toda forma ω ∈ Λr(U × R) se escreve, de maneira</p><p>única, como ω = dt ∧ α+ β onde nem α = α(x, t) =</p><p>∑</p><p>I</p><p>aI(x, t)dxI nem</p><p>β = β(x, t) =</p><p>∑</p><p>J</p><p>bJ(x, t)dxJ contém a diferencial dt. Então a forma</p><p>Kω ∈ Λr−1(U) é dada por</p><p>(Kω)(x) =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>α(x, t) dt =</p><p>∑</p><p>I</p><p>(∫ 1</p><p>0</p><p>aI(x, t) dt</p><p>)</p><p>dxI .</p><p>Afirmamos que, para toda forma ω ∈ Λr(U × R) tem-se</p><p>K dω + dKω = i∗1 ω − i∗0 ω.</p><p>Com efeito, como</p><p>dα =</p><p>∑</p><p>I,j</p><p>∂aI</p><p>∂xj</p><p>dxj ∧ dxI + dt ∧</p><p>∑</p><p>I</p><p>∂aI</p><p>∂t</p><p>dxI e</p><p>dβ =</p><p>∑</p><p>J,k</p><p>∂bJ</p><p>∂xk</p><p>dxk ∧ dxJ + dt ∧</p><p>∑</p><p>J</p><p>∂bJ</p><p>∂t</p><p>dxJ , segue-se que</p><p>dω = d(dt ∧ α+ β) = −dt ∧ dα+ dβ =</p><p>= dt ∧</p><p></p><p>−</p><p>∑</p><p>I,j</p><p>∂aI</p><p>∂xj</p><p>dxj ∧ dxI +</p><p>∑</p><p>J</p><p>∂bJ</p><p>∂t</p><p>dxJ</p><p></p><p>+ γ,</p><p>onde γ =</p><p>∑</p><p>J,k</p><p>∂bJ</p><p>∂xk</p><p>dxk ∧ dxJ é a parcela que não contém dt, logo não é</p><p>64 Formas Diferenciais Cap. 3</p><p>considerada por K. Então</p><p>K(dω) =</p><p>∑</p><p>J</p><p>(∫ 1</p><p>0</p><p>∂bJ</p><p>∂t</p><p>dt</p><p>)</p><p>dxJ −</p><p>∑</p><p>I,j</p><p>(∫ 1</p><p>0</p><p>∂aI</p><p>∂xj</p><p>dt</p><p>)</p><p>dxj ∧ dxI</p><p>e d(Kω) =</p><p>∑</p><p>I,j</p><p>(∫ 1</p><p>0</p><p>(</p><p>∂aI</p><p>∂xj</p><p>dt</p><p>))</p><p>dxj ∧ dxI , portanto</p><p>K(dω) + d(Kω) =</p><p>∑</p><p>J</p><p>(∫ 1</p><p>0</p><p>∂bJ</p><p>∂t</p><p>dt</p><p>)</p><p>dxJ</p><p>=</p><p>∑</p><p>J</p><p>(bJ(x, 1) − bJ(x, 0))dxJ</p><p>= i∗1 ω − i∗0 ω.</p><p>Agora definimos a transformação linear L : Λr(N) → Λr−1(U) pondo</p><p>L = K ◦H∗ e vemos que, para toda ω ∈ Λr(N), vale</p><p>L(dω) + d(Lω) = K(H∗ dω) + d(KH∗ ω) = K(dH∗ ω) + d(KH∗ ω)</p><p>= i∗1(H</p><p>∗ ω) − i∗0(H</p><p>∗ ω) = (H ◦ i1)∗ ω − (H ◦ i0)∗ ω</p><p>= g∗ ω − f∗ ω.</p><p>Como ω é fechada, temos L(dω) = L(0) = 0 logo, pondo α = Lω, con-</p><p>clúımos que L(dω)+d(Lω) = dα, portanto g∗ω−f∗ω = dα, completando</p><p>assim a demonstração.</p><p>Corolário 1 (Lema de Poincaré.) Se U ⊂ R</p><p>m é um aberto convexo</p><p>então toda forma fechada ω ∈ Λn(U) é exata.</p><p>Com efeito, se U é convexo então a aplicação identidade id: U → U</p><p>é linearmente homotópica a uma constante c : U → U , logo, para toda</p><p>forma fechada ω ∈ Λr(U), tem-se ω = (id)∗ω = (id)∗ω − c∗ω = dα para</p><p>alguma α ∈ Λr−1(U).</p><p>Corolário 2. Uma forma ω ∈ Λr(M) é fechada se, e somente se, é</p><p>localmente exata.</p><p>Exemplo 8. O rotacional de um campo de vetores F = (a, b, c), de</p><p>classe C∞ no aberto U ⊂ R</p><p>3, é definido como o campo</p><p>rot F =</p><p>(</p><p>∂c</p><p>∂y</p><p>− ∂b</p><p>∂z</p><p>,</p><p>∂a</p><p>∂z</p><p>− ∂c</p><p>∂x</p><p>,</p><p>∂b</p><p>∂x</p><p>− ∂a</p><p>∂y</p><p>)</p><p>.</p><p>Seção 3 Exerćıcios 65</p><p>A divergência de F é a função divF : U → R, definida por</p><p>divF =</p><p>∂a</p><p>∂x</p><p>+</p><p>∂b</p><p>∂y</p><p>+</p><p>∂c</p><p>∂z</p><p>·</p><p>Um cálculo direto mostra que div(rot F ) = 0. Esta igualdade pode ser</p><p>vista como uma maneira de exprimir que ddα = 0, onde α = adx+bdy+</p><p>cdz. O Lema de Poincaré permite concluir que, quando U é convexo,</p><p>vale a rećıproca, ou seja, se o campo G = (f, g, h) : U → R</p><p>3, de classe</p><p>C∞, é tal que divG = 0 então existe um campo F : U → R</p><p>3 tal que</p><p>G = rot F . Com efeito, divG = 0 significa que a forma ω = fdy ∧</p><p>dz + gdz ∧ dx+ hdx ∧ dy é fechada, logo é exata no aberto convexo U .</p><p>Então existe uma forma α = adx+ bdy+ cdz em U tal que ω = dα. Isto</p><p>significa que</p><p>f =</p><p>∂c</p><p>∂y</p><p>− ∂b</p><p>∂z</p><p>, g =</p><p>∂a</p><p>∂z</p><p>− ∂c</p><p>∂x</p><p>e h =</p><p>∂b</p><p>∂x</p><p>− ∂a</p><p>∂y</p><p>,</p><p>ou seja, que G = rot F .</p><p>3 Exerćıcios</p><p>Seção 1: Primeiras definições</p><p>1. Sejam α, β : U → (R3)∗ formas diferenciais de grau 1 no aberto U ⊂ R</p><p>3, com</p><p>α(x) ∧ β(x) 6= 0 para todo x ∈ U . Se ω : U → A2(R</p><p>3) é uma forma diferencial</p><p>de grau 2 em U tal que ω ∧ α = ω ∧ β = 0, prove que existe uma função</p><p>f : U → R tal que ω = f · (α ∧ β). Se α, β e ω são de classe Ck, prove que</p><p>f ∈ Ck.</p><p>2. Prove que uma superf́ıcie m-dimensional M é orientável se, e somente se, existe</p><p>uma forma cont́ınua ω de grau m em M tal que ω(x) 6= 0 para todo x ∈ M .</p><p>(Se M é orientada, a forma ω chama-se positiva quando ω(x) · (v1, . . . , vm) > 0</p><p>para todo x ∈M e toda base positiva {v1, . . . , vm} ⊂ TxM .)</p><p>3. Seja f : M → N um difeomorfismo local. Se N é orientável, prove que M é</p><p>orientável.</p><p>4. Sejam M , N orientadas, M conexa e f : M → N um difeomorfismo local.</p><p>Prove que o isomorfismo linear f ′(x) : TxM → Tf(x)N ou preserva orientação</p><p>para todo x ∈M ou inverte para todo x.</p><p>5. Prove que f : R</p><p>n−{0} → R</p><p>n−{0}, dada por f(x) = x</p><p>/</p><p>|x|2, é um difeomorfismo</p><p>que inverte orientação.</p><p>6. Seja f : M → N um difeomorfismo local sobrejetivo de classe Ck, k ≥ 1.</p><p>Suponha que M seja orientada e que f tenha a seguinte propriedade: se</p><p>f(x1) = f(x2) então o isomorfismo linear f ′(x2)</p><p>−1 ◦ f ′(x1) : Tx1</p><p>M → Tx2</p><p>M</p><p>66 Formas Diferenciais Cap.3</p><p>preserva orientação. Prove que N é orientável. Quando M é conexa, prove</p><p>que vale a rećıproca: se N é orientável então, para quaisquer x1, x2 ∈ M tais</p><p>que f(x1) = f(x2), o isomorfismo linear f ′(x2)</p><p>−1 ◦ f ′(x1) : Tx1</p><p>M → Tx2</p><p>M</p><p>preserva orientação.</p><p>7. Defina f : R</p><p>n+1 − {0} → M((n + 1) × (n + 1)) pondo f(x) = [xi · xj ] para</p><p>todo x = (x1, . . . , xn+1) ∈ R</p><p>n+1 − {0}. Prove que f(x) = f(y) ⇔ y = ±x e</p><p>que o conjunto Pn = f(Sn) é uma superf́ıcie n-dimensional compacta, a qual</p><p>é orientável se, e somente se, n é ı́mpar. (Pn é chamado o espaço projetivo</p><p>(real) n-dimensional.)</p><p>Seção 2: A diferencial exterior</p><p>1. Assinale (C)erto ou (E)rrado nas seguintes afirmações:</p><p>( ) Toda forma diferencial de classe C2 e grau n em R</p><p>n é exata.</p><p>( ) Sejam α, β formas de classe C2 na superf́ıcie M . Se α é fechada então</p><p>α ∧ dβ é exata.</p><p>( ) Numa superf́ıcie orientada, a forma elemento de volume é fechada mas</p><p>não é exata.</p><p>( ) O pullback de uma forma exata é uma forma exata.</p><p>2. Seja ω uma forma de classe C∞ e grau 1 no aberto U ⊂ R</p><p>n. Uma função</p><p>f : U → R − {0}, de classe C∞, chama-se um fator integrante de ω quando a</p><p>forma f · ω é fechada.</p><p>(i) Prove que se ω possui um fator integrante então ω ∧ dω = 0.</p><p>(ii) Dê um exemplo em que ω não possui fator integrante.</p><p>3. Prove que toda forma diferencial de classe Ck na esfera Sn é a restrição de</p><p>uma forma de classe Ck em R</p><p>n+1 − {0}. A partir dáı, prove que toda forma</p><p>fechada ω de grau 1 na esfera Sn, com n > 1, é exata e conclua que existe</p><p>x ∈ Sn tal que ω(x) = 0.</p><p>4. Seja Pn o espaço projetivo n-dimensional. (V. Exerćıcio 7, Seção 1.) Consi-</p><p>derando o difeomorfismo local f : Sn → Pn, prove que uma forma diferencial</p><p>fechada ω ∈ Λr(Pn) é exata se, e somente se, f∗ω é exata em Sn.</p><p>5. Prove que toda forma fechada de grau 1 no espaço projetivo Pn é exata (n > 1).</p><p>4</p><p>Ohne Titel</p><p>Neste caṕıtulo, estudaremos duas noções ligadas às superf́ıcies no espaço</p><p>euclidiano, que têm grande utilidade no desenvolvimento da teoria, a</p><p>saber: a vizinhança tubular e as partições da unidade. Como aplicação,</p><p>provaremos a versão diferenciável do Teorema de Jordan-Brouwer.</p><p>1 A vizinhança tubular</p><p>Seja M uma superf́ıcie de dimensão m em R</p><p>m+n. A bola normal aberta</p><p>de raio ε e centro no ponto x ∈M é o conjunto</p><p>B⊥(x; ε) = {x+ v; v ∈ TxM</p><p>⊥, |v| < ε}.</p><p>Tomando |v| ≤ ε em vez de |v| < ε, temos a bola normal fechada</p><p>B⊥[x; ε]. Quando M é uma hiperf́ıcie, a bola normal é um segmento</p><p>de reta perpendicular a x + TxM , com ponto médio x e comprimento</p><p>2ε.</p><p>Pretendemos mostrar que se M é uma superf́ıcie compacta de classe</p><p>Ck (k ≥ 2), existe ε > 0 tal que duas bolas normais B⊥(x; ε) e B⊥(y; ε),</p><p>com centros x 6= y quaisquer em M , são disjuntas.</p><p>Iniciamos mostrando que se M tem classe Ck e co-dimensão n então</p><p>todo ponto de M possui uma vizinhança aberta U ⊂ M na qual estão</p><p>definidos n campos</p><p>de vetores normais, de classe Ck−1, linearmente in-</p><p>dependentes em cada ponto de U .</p><p>68 Ohne Titel Cap. 4</p><p>B⊥(x; ε)</p><p>x</p><p>M</p><p>ε</p><p>Figura 14. A bola normal a M , de raio ε, no ponto x.</p><p>De fato, pelo Corolário 1, no Caṕıtulo 7 do Volume 2, M é localmente</p><p>o gráfico de uma aplicação de classe Ck. Isto significa que, escrevendo</p><p>os pontos de R</p><p>m+n sob a forma (x, y), com x ∈ R</p><p>m e y ∈ R</p><p>n, todo ponto</p><p>de M pertence a um aberto U ⊂ M tal que (x, y) ∈ U se, e somente</p><p>se, y = f(x), onde f : U0 → R</p><p>n é uma aplicação de classe Ck no aberto</p><p>U0 ⊂ R</p><p>m. Ou seja, U = {(x, f(x));x ∈ U0}.</p><p>Seja W = U0 × R</p><p>n ⊂ R</p><p>m+n. A aplicação g : W → R</p><p>n, definida por</p><p>g(x, y) = y−f(x), é uma submersão de classe Ck pois g′(x, y)·(0, w) = w</p><p>para quaisquer (x, y) ∈ W e w ∈ R</p><p>n. Se as funções-coordenada de g</p><p>são g1, . . . , gn : W → R então, em cada ponto (x, y) ∈ W , os vetores</p><p>wi(x, y) = grad gi(x, y), i = 1, . . . , n, são linearmente independentes</p><p>pois são os vetores-linha da matriz jacobiana de g no ponto (x, y). Em</p><p>particular, quando p = (x, f(x)) pertence a U = g−1(0) então cada</p><p>um dos vetores wi(p) é ortogonal a TpM = TpU pois U está contido</p><p>nas superf́ıcies de ńıvel zero de todas as funções gi . Isto nos dá n</p><p>campos vetoriais w1, . . . , wn : U → R</p><p>m+n, de classe Ck−1, normais a M</p><p>e linearmente independentes em cada ponto.</p><p>Usando o processo de Gram-Schmidt, podemos (e iremos) admitir</p><p>que, em cada ponto p ∈ U , os vetores w1(p), . . . , wn(p) constituem uma</p><p>base ortonormal do espaço vetorial TpM</p><p>⊥. Esses campos são usados</p><p>para obter a vizinhança tubular Vε(M), constrúıda no</p><p>Teorema 1. Seja M ⊂ R</p><p>m+n uma superf́ıcie compacta de dimensão</p><p>m e classe Ck (k ≥ 2). Existe um número ε > 0 tal que duas quais-</p><p>quer bolas normais B⊥(x; ε) e B⊥(y; ε), com centros em pontos distintos</p><p>Seção 1 A vizinhança tubular 69</p><p>x 6= y de M , são disjuntas. A reunião Vε(M) =</p><p>⋃</p><p>x∈M</p><p>B⊥(x; ε) dessas</p><p>bolas normais é um aberto em R</p><p>m+n e a aplicação π : Vε(M) → M ,</p><p>que associa a cada z ∈ Vε(M) o centro x = π(z) da única bola normal</p><p>B⊥(x; ε) que contém z, é de classe Ck−1.</p><p>Φ</p><p>U × Rn</p><p>0</p><p>Vε(U)</p><p>M</p><p>U</p><p>B(0; ε)</p><p>Figura 15. Vε(U) é uma vizinhança tubular local, de base U ⊂M e raio ε.</p><p>Demonstração: Começamos demonstrando o teorema localmente. To-</p><p>mamos uma cobertura de M por abertos U ⊂M , em cada um dos quais</p><p>estão definidos campos vetoriais w1, . . . , wn, de classe Ck−1, que formam</p><p>em cada ponto p ∈ U uma base ortonormal {w1(p), . . . , wn(p)} ⊂ TpM</p><p>⊥.</p><p>Escolhamos, para cada p ∈ M , um desses abertos U que contenha p</p><p>e definamos a aplicação Φ: U × R</p><p>n → R</p><p>m+n, de classe Ck−1, pondo</p><p>Φ(q, y) = q+</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>yi ·wi(q), para todo q ∈ U e todo y = (y1, . . . , yn) ∈ R</p><p>n.</p><p>Para qualquer q ∈ U , Φ transforma isometricamente a variedade afim</p><p>q×R</p><p>n sobre q+TqM</p><p>⊥ logo leva cada bola q×B(0; ε) sobre a bola normal</p><p>B⊥(q; ε). A derivada Φ′(p, 0) : TpM×R</p><p>n → R</p><p>m+n é um isomorfismo pois</p><p>Φ′(p, 0) · (u, v) = u +</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>αi · wi(p) com u ∈ TpM e v = (α1, . . . , αm).</p><p>Pelo Teorema da Aplicação Inversa, podemos restringir o aberto U ∋ p</p><p>e tomar ε > 0 de modo que Φ seja um difeomorfismo de U × B(0; ε)</p><p>sobre um aberto de R</p><p>m+n, o qual tem necessariamente a forma Vε(U) =⋃</p><p>x∈U</p><p>B⊥(x; ε). A aplicação π, definida no enunciado, é de classe Ck−1</p><p>pois π ◦ Φ: U ×B(0; ε) → U é a projeção do produto U ×B(0; ε) sobre</p><p>o primeiro fator U . Como Φ: U ×B(0; ε) → Vε(U) é um difeomorfismo,</p><p>conclúımos que o Teorema 1 vale localmente, isto é, para cada ponto</p><p>70 Ohne Titel Cap. 4</p><p>p ∈ M existem um aberto U , com p ∈ U ⊂ M , e um número ε > 0 tais</p><p>que duas bolas normais de raio ε e centro em pontos distintos x, y ∈ U</p><p>são disjuntas, a reunião Vε(U) =</p><p>⋃</p><p>x∈U</p><p>B⊥(x; ε) é aberta em R</p><p>m+n e a</p><p>projeção π : Vε(U) → U , definida pela condição π(B⊥(x; ε)) = x, é de</p><p>classe Ck−1. Provaremos agora que, escolhendo ε > 0 convenientemente,</p><p>duas bolas normais quaisquer B⊥(x; ε) e B⊥(y; ε) com x 6= y em M são</p><p>disjuntas. Suponha, por absurdo, que tal ε não exista. Então, para</p><p>cada k ∈ N, existem pontos pk 6= qk em M e zk ∈ R</p><p>m+n tais que zk ∈</p><p>B⊥(pk; 1/k)∩B⊥(qk; 1/k). Passando a uma subseqüência se necessário,</p><p>a compacidade de M nos dá um ponto p ∈ M tal que lim pk = p e,</p><p>conseqüentemente, lim zk = lim qk = p. Tomando U ∋ p e ε > 0 como</p><p>acima, teremos qk, pk ∈ U e zk ∈ Vε(U) para todo k ></p><p>1</p><p>ε</p><p>suficientemente</p><p>grande. Então, para tais valores de k, será zk ∈ B⊥(pk; ε) ∩ B⊥(qk; ε),</p><p>uma contradição.</p><p>Vε(M)</p><p>B⊥(x; ε)</p><p>M</p><p>x</p><p>ε</p><p>Figura 16. A vizinhaça tubular de raio ε da superf́ıcie M .</p><p>Exemplo 1. Se a superf́ıcie M é apenas de classe C1, o teorema acima</p><p>não se aplica. Por exemplo, o gráfico M da função f(x) = x4/3. Dado</p><p>qualquer ε > 0, existem segmentos normais a M nos pontos p = (0, 0) e</p><p>q = (x, x4/3), de comprimento menor do que ε, que se intersectam. Basta</p><p>observar que a reta normal a M no ponto p = (0, 0) é o eixo vertical e</p><p>que a reta normal a M pelo ponto q = (x, x4/3) corta o eixo y no ponto</p><p>A =</p><p>(</p><p>0, x4/3+</p><p>3</p><p>4</p><p>x2/3</p><p>)</p><p>e o segmento normal OA tem comprimento menor</p><p>do que ε se x for tomado pequeno.</p><p>Seção 1 A vizinhança tubular 71</p><p>y</p><p>y = x4/3</p><p>x</p><p>Figura 17. O gráfico da função y = x4/3 é uma curva de classe C1,</p><p>contendo a origem, em torno da qual não há vinhança tubular local.</p><p>Exemplo 2. Uma vizinhança tubular da esfera Sm é o conjunto V1(S</p><p>m)=</p><p>{x ∈ R</p><p>m+1; 0 < |x| < 2}. A projeção π : V1(S</p><p>m) → Sm é dada por</p><p>π(x) = x</p><p>/</p><p>|x|. Em cada ponto x ∈ Sm, a bola normal (aberta) de raio</p><p>ε é o segmento de reta ((1− ε)x, (1 + ε)x). A vizinhança tubular Vε(C)</p><p>de uma circunferência C ⊂ R</p><p>3 é o toro sólido que tem C como circun-</p><p>ferência central e cujos discos meridianos (suas bolas normais) têm raio</p><p>ε. Aqui, o número positivo ε deve ser menor do que o raio da circun-</p><p>ferência C.</p><p>Vε(S</p><p>1)</p><p>S1</p><p>Vε(C)</p><p>C</p><p>x</p><p>x</p><p>ε</p><p>ε</p><p>Figura 18. Vizinhanças tubulares: de S1 em R2 e de C em R3.</p><p>72 Ohne Titel Cap. 4</p><p>Exemplo 3. Da maneira como está enunciado, o Teorema 1 não é válido</p><p>para superf́ıcies não-compactas, como se vê com a superf́ıcie M ⊂ R</p><p>3,</p><p>obtida pela rotação do ramo de hipérbole H = {(0, y, z) ∈ R</p><p>3; y > 0,</p><p>z = 1/y} em torno do eixo z. Qualquer que seja ε > 0 fixado, há seg-</p><p>mentos normais a M (em pontos (x, y, z) com z grande) não-disjuntos,</p><p>de comprimento < 2ε, com centros em pontos distintos.</p><p>x y</p><p>z</p><p>M</p><p>Figura 19. Nenhuma vizinhança tubular de M em R3 pode ter raio ε</p><p>constante.</p><p>Ampliando o conceito de vizinhança tubular, admitiremos que o raio</p><p>ε > 0 das bolas normais que ocorrem em Vε(M) =</p><p>⋃</p><p>x∈M</p><p>B⊥(x; ε) seja</p><p>variável e dependa continuamente de x. Com esta providência, conse-</p><p>guiremos que toda superf́ıcie, compacta ou não, possua uma vizinhança</p><p>tubular. Esse é o conteúdo do</p><p>Teorema 2. Seja M ⊂ R</p><p>m+n uma superf́ıcie de dimensão m e classe</p><p>Ck (k ≥ 2). Existe uma função cont́ınua positiva ε : M → R</p><p>+ tal que,</p><p>para quaisquer x 6= y em M , as bolas normais B⊥(x; ε(x)) e B⊥(y; ε(y))</p><p>são disjuntas. A reunião Vε(M) =</p><p>⋃</p><p>x∈M</p><p>B⊥(x, ε(x)), chamada a vizi-</p><p>nhança tubular de M com raio ε, é um aberto em R</p><p>m+n e a aplicação</p><p>π : Vε(M) → M , definida por π(z) = x se z ∈ B⊥(x; ε(x)), é de classe</p><p>Ck−1. (Ver também o Teorema 7, mais adiante, onde mostraremos que</p><p>a função ε pode ser tomada de classe Ck.)</p><p>A demonstração do Teorema 2 será precedida de um lema.</p><p>Seção 1 A vizinhança tubular 73</p><p>Na prova do Teorema 1, vimos que, para cada p ∈ M , existem um</p><p>aberto U ⊂ M , com p ∈ U , e um número ε > 0 tais que duas bolas</p><p>normais de raio ε e centros em pontos distintos de U são disjuntas.</p><p>Além disso, a reunião Vε(U) =</p><p>⋃</p><p>x∈U</p><p>B⊥(x; ε) é um aberto em R</p><p>m+n e a</p><p>aplicação π : Vε(U) → U , definida por π(z) = x se z ∈ B⊥(x; ε), é de</p><p>classe Ck−1.</p><p>O conjunto Vε(U) chama-se uma vizinhança tubular local do ponto</p><p>p na superf́ıcie M .</p><p>Lema 1. Todo ponto p ∈M possui uma vizinhança tubular local Vε(U)</p><p>tal que Vε(U) ∩M = U .</p><p>Demonstração: Começamos com uma vizinhança tubular qualquer</p><p>Vε(U) do ponto p em M . Sendo U aberto em M , existe A, aberto</p><p>em</p><p>R</p><p>m+n, tal que U = A ∩ M . Em seguida, tomamos uma vizinhança</p><p>tubular Vε′(U</p><p>′) de p em M , com U ′ ⊂ U , ε′ < ε e Vε′(U</p><p>′) ⊂ A.</p><p>Afirmamos que Vε′(U</p><p>′) ∩ M = U ′. Com efeito, em primeiro lugar</p><p>Vε′(U</p><p>′) ∩ M ⊂ A ∩ M = U . Mas se algum ponto y ∈ U está em</p><p>Vε′(U</p><p>′) então y ∈ B⊥(x; ε′) ⊂ B⊥(x; ε) para algum x ∈ U ′ ⊂ U , logo</p><p>y ∈ B⊥(x; ε) ∩ B⊥(y; ε) com x, y ∈ U portanto y = x, ou seja y ∈ U ′.</p><p>Assim, Vε′(U</p><p>′) ∩M = U ′, o que prova o lema.</p><p>Demonstração do Teorema 2: O passo fundamental consiste em</p><p>mostrar que todo ponto p ∈ M possui uma vizinhança tubular local</p><p>Vε′(U</p><p>′) tal que a projeção x = π(z) ∈ U de qualquer ponto z ∈ Vε′(U</p><p>′) é</p><p>o único ponto de M situado à distância mı́nima de z. Noutras palavras,</p><p>|z − x| < |z − y| para qualquer y ∈M com y 6= x.</p><p>Começamos tomando uma vizinhança tubular local Vε(U), com p ∈</p><p>U e Vε(U) ∩ M = U . Suporemos ainda que U seja compacto, o que</p><p>não restringe a generalidade. Com centro em p, tomaremos uma bola</p><p>B(p; 3r) ⊂ Vε(U). A vizinhança tubular local que buscamos é qualquer</p><p>Vε′(U</p><p>′) com p ∈ U ′ ⊂ U , 0 < ε′ < ε e Vε′(U</p><p>′) ⊂ B(p; r).</p><p>Com efeito, dado z ∈ Vε′(U</p><p>′), seja x = π(z). A fim de provar que,</p><p>para todo y ∈ M com y 6= x tem-se |z − x| < |z − y|, observamos que</p><p>isto é claro quando y /∈ Vε(U) pois neste caso tem-se y /∈ B(p; 3r), logo</p><p>|z − y| ≥ 2r já que z ∈ B(p; r). Por outro lado, como x, z ∈ B(p; r)</p><p>vale |z − x| < 2r. Portanto, vale |z − x| < |z − y| para todo y ∈M não</p><p>pertencente a Vε(U). Resta considerar os pontos y ∈ Vε(U) ∩M , isto</p><p>é, y ∈ U . Seja y0 o ponto do compacto U mais próximo de z. Tem-se</p><p>y0 ∈ U pois do contrário seria y0 /∈ Vε(U) e então |z − x| < |z − y0|.</p><p>74 Ohne Titel Cap. 4</p><p>Assim |z − y0| é a menor distância de z a um ponto de U , portanto</p><p>z− y0 ∈ (Ty0U)⊥ = (Ty0M)⊥, ou seja, z ∈ B⊥(y0; ε). (Cfr. Exemplo 15,</p><p>Caṕıtulo 7, Volume 2.) Como as bolas normais de raio ε e centros em</p><p>pontos distintos de U são disjuntas e já sabemos que z ∈ B⊥(x; ε), segue-</p><p>se que y0 = x. Portanto x é o único ponto de M situado à distância</p><p>mı́nima de z.</p><p>Seja V a reunião de todos os abertos Vε′(U</p><p>′) acima obtidos. A</p><p>aplicação π : V → M , definida pondo-se, para cada z ∈ V , π(z) =</p><p>único ponto de M que minimiza a distância a z, é de classe Ck−1 pois</p><p>em cada Vε′(U</p><p>′) coincide com a projeção π : Vε′(U</p><p>′) → U ′. Introduzi-</p><p>mos a função cont́ınua positiva ε : M → R</p><p>+ pondo, para cada x ∈ M ,</p><p>ε(x) = d[x,Rm+n − V ] e, finalmente, pomos</p><p>Vε(M) =</p><p>⋃</p><p>x∈M</p><p>B⊥(x; ε(x)).</p><p>Quando M é compacta, existe ε > 0 tal que ε < ε(x) para todo</p><p>x ∈M , por isso o raio ε da vizinhança tubular Vε(M) pode ser tomado</p><p>constante.</p><p>No caso geral podemos, sem perda de generalidade, sempre que for</p><p>conveniente, supor que 0 < ε(x) ≤ 1 para todo x ∈ M simplesmente</p><p>tomando a função cont́ınua min{ε(x), 1} em vez de ε(x), x ∈M .</p><p>A projeção π : Vε(M) →M é um exemplo de retração, isto é, π(x) =</p><p>x para todo x ∈M . Assim, considerando a aplicação de inclusão i : M →</p><p>Vε(M), tem-se π ◦ i = id: M → M . Esta observação permite ver que</p><p>toda forma diferencial ω, na superf́ıcie M é a restrição de uma forma</p><p>diferencial ω̄, definida num aberto U do espaço euclidiano em que M</p><p>está contida. Basta tomar U = Vε(M) e pôr ω̄ = π∗ω. Então ω̄ é uma</p><p>forma em U e sua restrição a M é i∗ω̄ = i∗π∗ω = (π ◦ i)∗ω = ω.</p><p>Segue-se desta observação que o Teorema 2 do Caṕıtulo 3, demons-</p><p>trado para aplicações definidas num aberto do espaço euclidiano, é válido,</p><p>mais geralmente, quando o domı́nio das mesmas é uma superf́ıcie, con-</p><p>forme o</p><p>Teorema 3. Sejam f, g : M → N aplicações C∞-homotópicas. Para</p><p>toda forma diferencial fechada ω ∈ Λr(N) existe α ∈ Λr−1(M) tal que</p><p>g∗ω − f∗ω = dα.</p><p>Seção 2 Partições da unidade 75</p><p>Demonstração: Sejam U = Vε(M) uma vizinhança tubular de M ⊂</p><p>R</p><p>m+n, π : U → M a retração correspondente e i : M → U a aplicação</p><p>de inclusão. Se H : M ×R → N é uma homotopia C∞ entre f e g então</p><p>H : U × R → N , dada pr H(x, t) = H(π(x), t), é uma homotopia C∞</p><p>entre as extensões f̄ , ḡ : U → N , f̄ = f ◦ π, ḡ = g ◦ π. Pelo Teorema 2</p><p>do Caṕıtulo 3, existe uma forma ᾱ ∈ Λr−1(U) tal que ḡ∗ω − f̄∗ω = dᾱ.</p><p>Seja α = i∗ᾱ a restrição de ᾱ a M . Então</p><p>g∗ω − f∗ω = (ḡ ◦ i)∗ω − (f̄ ◦ i)∗ω = i∗(ḡ∗ω − f̄∗ω) = i∗(dᾱ)</p><p>= d(i∗ᾱ) = dα.</p><p>Observação 1. Conforme veremos no Teorema 8, a seguir, se f e g</p><p>são de classe C∞ e homotópicas (pura e simplesmente) então são C∞-</p><p>homotópicas.</p><p>Observação 2. Se M é compacta, ε > 0 é constante e π : Vε(M) →M</p><p>é a projeção natural, então a prova de que, para todo z ∈ Vε(M), o</p><p>ponto x = π(z) é o único em M que minimiza a distância |z − x| se</p><p>torna bem mais simples. Com efeito, existe x0 ∈ M tal que d(z,M) =</p><p>|z − x0|. Mostremos que x0 = x. De fato, pondo δ = |z − x0|, temos</p><p>z ∈ B⊥[x0, δ] ∩B⊥(x; ε). Notemos que δ ≤ ε. Se fosse x0 6= x, teŕıamos</p><p>∅ = B⊥[x0; ε] ∩B⊥(x; ε) ⊃ B⊥[x0; δ] ∩B⊥(x; ε), um absurdo.</p><p>2 Partições da unidade</p><p>Uma famı́lia de conjuntos (Xλ)λ∈L numa superf́ıcie M chama-se local-</p><p>mente finita quando, para cada x ∈ M , existem um aberto U , com</p><p>x ∈ U ⊂ M , e um subconjunto finito L0 = {λ1, . . . , λk} ⊂ L tais que</p><p>U ∩Xλ = ∅ se λ /∈ L0 . Noutras palavras, cada ponto de M tem uma</p><p>vizinhança que intersecta Xλ apenas para um número finito de ı́ndices</p><p>λ ∈ L.</p><p>Toda famı́lia localmente finita (Xλ)λ∈L é, em particular, pontual-</p><p>mente finita, isto é, para todo x ∈ M é finito o conjunto dos ı́ndices</p><p>λ ∈ L tais que x ∈ Xλ . A rećıproca é falsa pois a famı́lia dos interva-</p><p>los Jn = (1/2n, 1/n) é (obviamente) pontualmente finita mas qualquer</p><p>aberto da reta contendo 0 contém Jn para infinitos valores de n. Se a</p><p>famı́lia (Xλ)λ∈L é pontualmente finita e Xλ0 6= ∅ então existe apenas</p><p>um número finito de ı́ndices λ ∈ L tais que Xλ = Xλ0 .</p><p>76 Ohne Titel Cap. 4</p><p>Exemplo 4. Uma cobertura aberta (Aλ)λ∈L tal que, para todo λ0 ∈ L,</p><p>tem-se Aλ ∩ Aλ0 6= ∅ apenas para um conjunto finito de ı́ndices λ ∈ L</p><p>é uma famı́lia localmente finita. Muito freqüentemente isto ocorre, mas</p><p>nem sempre é assim. Por exemplo, se Ak = R</p><p>n−B[0; k] então a famı́lia</p><p>(Ak)k∈N</p><p>é uma cobertura localmente finita de R</p><p>n − {0} na qual se tem</p><p>Ak ∩Ar 6= ∅ para todo r > k.</p><p>O teorema seguinte exibe algumas propriedades das famı́lias local-</p><p>mente finitas. Nele, “fechado”’ significa fechado em M e o fecho X é</p><p>relativo a M , ou seja, X é o conjunto dos pontos de M aderentes a X.</p><p>Teorema 4. Seja (Xλ)λ∈L uma famı́lia localmente finita de conjuntos</p><p>Xλ ⊂M . Então:</p><p>1) Existe um subconjunto enumerável L0 ⊂ L tal que Xλ = ∅ quando</p><p>λ /∈ L0 . (Informalmente: toda famı́lia localmente finita é enumerável.)</p><p>2) Se todos os Xλ , λ ∈ L, estão contidos num compacto K ⊂ M</p><p>então é finito o conjunto dos ı́ndices λ ∈ L tais que Xλ 6= ∅. (Toda</p><p>famı́lia localmente finita num compacto é finita.)</p><p>3)</p><p>⋃</p><p>λ∈L</p><p>Xλ =</p><p>⋃</p><p>λ∈L</p><p>Xλ .</p><p>4) Se cada Xλ é fechado em M então</p><p>⋃</p><p>λ∈L</p><p>Xλ é fechado em M .</p><p>Demonstração: Para cada x ∈ M existem um aberto Ux ⊂ M con-</p><p>tendo x e um subconjunto finito Lx ⊂ L tais que Ux∩Xλ = ∅ se λ /∈ Lx .</p><p>Pelo Teorema de Lindelöf, a cobertura aberta (Ux)x∈M possui uma sub-</p><p>cobertura enumerável (Uxk)k∈N</p><p>. Escrevendo Uk em vez de Uxk , Lk em</p><p>vez de Lxk e L0 =</p><p>⋃</p><p>k∈N</p><p>Lk , vemos que L0 é enumerável e que λ /∈ L0</p><p>implica λ /∈ Lk e, conseqüentemente, Xλ ∩ Uk = ∅ para todo k ∈ N,</p><p>portanto Xλ =</p><p>⋃</p><p>k∈N</p><p>(Xλ ∩ Uk) = ∅.</p><p>2) A demonstração acima se aplica literalmente, com as seguintes</p><p>substituições: x ∈M → x ∈ K, Lindelöf → Borel-Lebesgue, enumerável</p><p>→ finito.</p><p>3) Tem-se</p><p>⋃</p><p>Xλ ⊂ ⋃</p><p>Xλ quer a famı́lia seja localmente finita ou</p><p>não. Para provar a inclusão inversa, suponhamos que o ponto x não</p><p>pertença a</p><p>⋃</p><p>Xλ . Isto significa que, para todo λ ∈ L, tem-se x /∈ Xλ ,</p><p>logo existe um aberto Uλ ∋ x tal que Uλ ∩ Xλ = ∅. Tomemos um</p><p>aberto U0 ∋ x tal que U0 ∩ Xλ = ∅ se λ /∈ L0 = {λ1, . . . , λk}. Pondo</p><p>A = U0 ∩ Uλ1 ∩ · · · ∩ Uλk , vemos que A é um aberto contendo x e que</p><p>A ∩ Xλ = ∅ para todo λ ∈ L. Logo x /∈ ⋃</p><p>Xλ . Isto mostra que⋃</p><p>Xλ ⊂ ⋃ Xλ .</p><p>Seção 2 Partições da unidade 77</p><p>4) Conseqüência</p><p>imediata de 3).</p><p>O suporte de uma aplicação f : X → R</p><p>n, X ⊂ R</p><p>m, é o conjunto</p><p>supp.f = {x ∈ X; x = limxk , xk ∈ X, f(xk) 6= 0}.</p><p>Noutras palavras, supp.f é o fecho (emX) do conjunto dos pontos x ∈ X</p><p>tais que f(x) 6= 0.</p><p>Analogamente se define o suporte de uma forma diferencial.</p><p>Uma partição da unidade de classe Ck numa superf́ıcie M é uma</p><p>famı́lia (ξλ)λ∈L de funções ξλ : M → R, de classe Ck, com as seguintes</p><p>propriedades:</p><p>1) ξλ(x) ≥ 0 para todo λ ∈ L e todo x ∈M ;</p><p>2) A famı́lia (supp. ξλ)λ∈L é localmente finita;</p><p>3) Para todo x ∈M , tem-se</p><p>∑</p><p>λ∈L</p><p>ξλ(x) = 1.</p><p>Quanto a 3), vale observar que, em virtude de 2), a superf́ıcie M é</p><p>coberta por abertos U , em cada um dos quais</p><p>∑</p><p>λ∈L</p><p>ξλ se reduz a uma</p><p>soma finita ξλ1 + · · ·+ξλk (com os mesmos ı́ndices λi em todos os pontos</p><p>de U).</p><p>Teorema 5. A toda cobertura aberta C = (Cλ)λ∈L de uma superf́ıcie</p><p>M , de classe Ck, corresponde uma partição da unidade</p><p>∑</p><p>λ∈L</p><p>ξλ = 1, de</p><p>classe Ck, tal que supp. ξλ ⊂ Cλ para todo λ ∈ L.</p><p>A demonstração do Teorema 5 será precedida de três lemas.</p><p>Lema 2. Seja A um aberto na superf́ıcie M , de classe Ck. Para cada</p><p>ponto p ∈ A existem abertos V , W , com p ∈W ⊂ V ⊂ A e uma função</p><p>ξ : M → R de classe Ck, com ξ(x) = 1 se x ∈W , 0 ≤ ξ(x) ≤ 1 se x ∈ V</p><p>e ξ(x) = 0 se x ∈M − V .</p><p>Demonstração: Seja ψ : Z0 → Z ⊂ A uma parametrização de classe</p><p>Ck. Mediante uma translação, podemos supor que 0 ∈ Z0 e ψ(0) = p.</p><p>Escrevendo B(r) em vez de B(0; r), vemos que existe r > 0 tal que</p><p>B(r) ⊂ Z0 . Então ϕ : B(3) → M , definida por ϕ(u) = ψ</p><p>(r</p><p>3</p><p>· u</p><p>)</p><p>, é</p><p>uma parametrização de classe Ck, com ϕ(0) = p. Pondo W = ϕ(B(1)),</p><p>V = ϕ(B(2)) e U = ϕ(B(3)), temos p ∈ W ⊂ V ⊂ U ⊂ A. A fim de</p><p>definir ξ, utilizaremos a função β : R → R, introduzida na Seção 2 do</p><p>Caṕıtulo 3. Como se viu, β : R → R é de classe C∞, com 0 ≤ β(t) ≤ 1</p><p>para todo t ∈ R, β(t) = 1 se t ≥ 1 e β(t) = 0 se t ≤ 0. Então a função</p><p>78 Ohne Titel Cap. 4</p><p>ξ∗ : R</p><p>m → R, definida por ξ∗(u) = β(2 − |u|), é de classe C∞ e tem as</p><p>seguintes propriedades: 0 ≤ ξ∗(u) ≤ 1 para todo u ∈ R</p><p>m, ξ∗(u) = 1 se</p><p>u ∈ B(1) e ξ∗(u) = 0 se u /∈ B(2).</p><p>Figura 20. Gráfico da função ξ∗.</p><p>Conclúımos a demonstração do lema com a definição de ξ : M → R.</p><p>Pomos ξ = ξ∗ ◦ ϕ−1 em U e ξ(x) = 0 para todo x ∈M − U .</p><p>Observação 3. Manteremos as notações W = ϕ(B(1)), V = ϕ(B(2))</p><p>e U = ϕ(B(3)). Sempre que houver conveniência, escreveremos ξϕ em</p><p>vez de ξ, e chamaremos ξϕ a função auxiliar associada à parametrização</p><p>ϕ. Sem perda de generalidade, podemos sempre supor que U ⊂ M é</p><p>compacto. Note-se que, pela própria construção V = ϕ(B[0; 2]) já é</p><p>compacto.</p><p>Lema 3. Toda superf́ıcie M se escreve como reunião enumerável M =⋃</p><p>i∈N</p><p>Ki de compactos tais que Ki ⊂ int.Ki+1 para todo i ∈ N.</p><p>Demonstração: Cada ponto x ∈ M pertence a um aberto Vx =</p><p>ϕ(B(2)), como no Lema 2, com V x compacto. Pelo Teorema de Lindelöf,</p><p>a cobertura M =</p><p>⋃</p><p>x∈M</p><p>Vx tem uma subcobertura enumerável M =</p><p>⋃</p><p>Vi .</p><p>Cada Li = V i é compacto e ainda se tem M =</p><p>⋃</p><p>Li . Definimos os Ki</p><p>Seção 2 Partições da unidade 79</p><p>por indução. Pomos K1 = L1 e, admitindo obtidos K1, . . . ,Ki com</p><p>Kj ⊂ int.Kj+1 para j = 1, . . . , i − 1 e Ki ⊃ L1 ∪ · · · ∪ Li , cobrimos o</p><p>compacto Ki ∪Li+1 com um número finito de conjuntos Vj e chamamos</p><p>de Ki+1 a reunião dos Lj correspondentes.</p><p>Observação. Se M é compacta, o Lema 3 é trivial: podemos tomar</p><p>Ki = M para todo i. Lembre-se também que int.Ki significa o interior</p><p>de Ki relativamente a M .</p><p>x</p><p>K1</p><p>K2</p><p>K3</p><p>K4</p><p>U3x</p><p>K5</p><p>Figura 21. Refinando adequadamente uma cobertura aberta numa</p><p>superf́ıcie.</p><p>Sejam C = (Cλ)λ∈L e C′ = (C ′</p><p>µ)µ∈L′ coberturas do conjunto X. Diz-</p><p>se que C refina C′, ou é um refinamento de C′, quando para todo λ ∈ L</p><p>existe um µ ∈ L′ tal que Cλ ⊂ C ′</p><p>µ . A famı́lia (supp. ξλ)λ∈L dos suportes</p><p>das funções ξλ numa partição da unidade</p><p>∑</p><p>λ∈L</p><p>ξλ = 1 é uma cobertura da</p><p>superf́ıcie M . Quando essa cobertura refina uma outra C = (Cµ)µ∈L′ ,</p><p>diz-se que a partição da unidade é subordinada à cobertura C. Se L′ = L</p><p>e, além disso, tem-se supp. ξλ ⊂ Cλ para todo λ ∈ L, diz-se que a</p><p>partição da unidade</p><p>∑</p><p>λ∈L</p><p>ξλ = 1 é estritamente subordinada à cober-</p><p>tura C.</p><p>O Teorema 5 diz, portanto, que toda cobertura aberta de uma su-</p><p>perf́ıcie possui uma partição da unidade estritamente subordinada a ela.</p><p>80 Ohne Titel Cap. 4</p><p>Lema 4. Toda cobertura aberta C de uma superf́ıcie M de classe Ck</p><p>pode ser refinada por uma cobertura aberta localmente finita, formada</p><p>por imagens de parametrizações ϕ : B(3) → U , de classe Ck em M , tais</p><p>que os abertos W = ϕ(B(1)) ainda cobrem M .</p><p>Demonstração: Usando o Lema 3, escrevemos M =</p><p>⋃</p><p>Ki , onde cada</p><p>Ki é compacto e Ki ⊂ int.Ki+1 para todo i ∈ N. Todo ponto x ∈ K2</p><p>pertence a algum C ∈ C. Aplicando o Lema 2, com A = C ∩ intK3 ,</p><p>conclúımos que todo x em K2 pertence a um conjunto W2x tal que o</p><p>U2x correspondente está contido em int.K3 e em algum aberto de C.</p><p>Da cobertura K2 ⊂ ⋃</p><p>x</p><p>W2x extráımos uma subcobertura finita. Seja C2</p><p>a cobertura finita de K2 formada pelos conjuntos U2x correspondentes.</p><p>Analogamente, cada ponto x da “faixa”compacta K3−int.K2 pertence a</p><p>algum conjunto W3x (na forma do Lema 2) tal que o U3x correspondente</p><p>está contido em int.K4 , em algum conjunto de C e é disjunto de K1 .</p><p>Da cobertura K3 − int.K2 ⊂ ⋃</p><p>x</p><p>W3x extráımos uma subcobertura</p><p>finita. Seja C3 a cobertura finita de K3 − int.K2 formada pelos con-</p><p>juntos U3x correspondentes. Prosseguindo analogamente, obtemos, para</p><p>cada i ≥ 3, uma cobertura finita Ci da faixa compacta Ki − int.Ki−1</p><p>por abertos do tipo U , cada um deles contido em int.Ki+1 , em algum</p><p>conjunto de C e disjunto de Ki−2 , de modo que os W correspondentes</p><p>ainda cobrem a faixa. A reunião C′ = C2 ∪ · · · ∪ Ci∪ . . . é uma cobertura</p><p>aberta de M por conjuntos do tipo U , tal que os W correspondentes</p><p>ainda cobrem M . Cada U ∈ C′ pertence a algum Ci , logo intersecta, no</p><p>máximo, um número finito de outros conjuntos de C′, a saber, os per-</p><p>tencentes a Ci−1 ∪ · · · ∪ Ci+2 . Portanto C′ é um refinamento localmente</p><p>finito de C.</p><p>Demonstração do Teorema 5. Pelo Lema 4, existe um refinamento</p><p>localmente finito C′ = (Ui)i∈N</p><p>da cobertura dada C, com Ui = ϕi(B(3)).</p><p>Para cada i ∈ N, seja ξ∗i : M → R a função auxiliar de classe Ck as-</p><p>sociada à parametrização ϕi . Os suportes V i = supp. ξ∗i formam uma</p><p>cobertura localmente finita de M , que refina C. Logo ξ∗ = Σξ∗i é uma</p><p>função de classe Ck, positiva em todos os pontos de M . As funções</p><p>ηi : M → R, definidas por ηi = ξ∗i /ξ</p><p>∗, cumprem Σηi = 1, supp. ηi = V i e</p><p>constituem uma partição da unidade de classe Ck, subordinada a C. Para</p><p>obter uma partição estritamente subordinada a C, comecemos definindo</p><p>uma “função escolha” f : N → L, isto é, para cada i ∈ N escolhamos um</p><p>ı́ndice λ = f(i) ∈ L tal que supp. ηi = V i ⊂ Cλ . Para cada λ ∈ L,</p><p>Seção 2 Partições da unidade 81</p><p>ponhamos ξλ =</p><p>∑</p><p>f(i)=λ</p><p>ηi . (Bem entendido: ξλ ≡ 0 quando f−1(λ) = ∅.)</p><p>Com os V i formam uma famı́lia localmente finita, temos</p><p>supp. ξλ =</p><p>⋃</p><p>f(i)=λ</p><p>Vi =</p><p>⋃</p><p>f(i)=λ</p><p>V i ⊂ Cλ .</p><p>A famı́lia (supp. ξλ)λ∈L é localmente finita. Com efeito, cada ponto</p><p>p ∈ M tem uma vizinhança Vp que intersecta no máximo V i1 , . . . , V ij ,</p><p>logo Vp intersecta supp. ξλ somente quando λ = f(i1), . . . , ou λ = f(ij).</p><p>Então</p><p>∑</p><p>λ∈L</p><p>ξλ = 1 é uma partição da unidade estritamente subordinada</p><p>à cobertura C = (Cλ)λ∈L .</p><p>As partições da unidade servem para definir a integral de uma forma</p><p>diferencial numa superf́ıcie. Antes disso, vamos utilizá-las a fim de de-</p><p>monstrar o teorema de aproximação de aplicações cont́ınuas por aplica-</p><p>ções diferenciáveis.</p><p>Teorema 6. Seja f : M → N uma aplicação cont́ınua entre superf́ıcies</p><p>M , de classe Ck, e N , de classe Ck+1. Dada qualquer função cont́ınua</p><p>positiva ε : M → R</p><p>+, existe uma aplicação g : M → N , de classe Ck, tal</p><p>que |f(x) − g(x)| < ε(x) para todo x ∈M .</p><p>Demonstração: Consideremos inicialmente o caso particular em que</p><p>N = R</p><p>s. Para todo p ∈ M existe um aberto Up , com p</p><p>do funcional ω(x) na base canônica, são tais que</p><p>2 Integrais Curviĺıneas Cap. 1</p><p>ai(x) = ω(x) · ei . Quando X = U ⊂ R</p><p>n é aberto e essas funções são de</p><p>classe Ck, diz-se que ω é uma forma de classe Ck e escreve-se ω ∈ Ck.</p><p>Se ω = df é a diferencial de uma função f : U → R, diz-se que ω é uma</p><p>forma exata em U e que f é sua primitiva. Evidentemente, se c ∈ R,</p><p>f + c também é primitiva de ω.</p><p>Ao afirmar que a forma ω é exata, é indispensável especificar seu</p><p>domı́nio U . Uma forma ω : U → (Rn)∗ pode ser exata num aberto</p><p>V ⊂ U e não ser exata em U .</p><p>Intimamente associado à 1-forma ω : X → (Rn)∗ é o campo de ve-</p><p>tores v : X → R</p><p>n tal que ω(x) · u = 〈v(x), u〉 para todo vetor u ∈ R</p><p>n</p><p>e todo ponto x ∈ X. Em cada ponto x ∈ X, se ω(x) =</p><p>∑</p><p>ai(x)dxi</p><p>então v(x) = (a1(x), . . . , an(x)) =</p><p>∑</p><p>ai(x)ei . A forma ω = df é exata</p><p>se, e somente se, v = grad f . A função f chama-se então uma função</p><p>potencial do campo v.</p><p>Assim, o estudo das formas diferenciais de grau 1 definidas em sub-</p><p>conjuntos do espaço R</p><p>n equivale ao estudo dos campos de vetores de-</p><p>finidos nesses conjuntos e a questão de saber se uma forma é exata ou</p><p>não corresponde a indagar se o campo de vetores que lhe corresponde é</p><p>um campo gradiente.</p><p>Uma condição necessária para que a 1-forma ω =</p><p>∑</p><p>aidxi , de classe</p><p>C1 no aberto U ⊂ R</p><p>n, seja exata é que sejam satisfeitas as chamadas</p><p>condições de integrabilidade</p><p>∂ai</p><p>∂xj</p><p>=</p><p>∂aj</p><p>∂xi</p><p>(i, j = 1, . . . , n).</p><p>Com efeito, se ω = df então ai = ∂f/∂xi , portanto</p><p>∂ai</p><p>∂xj</p><p>=</p><p>∂2f</p><p>∂xj∂xi</p><p>=</p><p>∂2f</p><p>∂xi∂xj</p><p>=</p><p>∂aj</p><p>∂xi</p><p>,</p><p>em virtude do Teorema de Schwarz. Analogamente, as condições</p><p>∂ai</p><p>∂xj</p><p>=</p><p>∂aj</p><p>∂xi</p><p>são necessárias para que o campo de vetores C1, v : U → R</p><p>n, dado</p><p>por v(x) = (a1(x), . . . , an(x)), seja o campo gradiente de uma função</p><p>f : U → R, de classe C2.</p><p>Quando ω : U → (Rn)∗, de classe C1, cumpre as condições ∂ai/∂xj =</p><p>∂aj/∂xi , diz-se que a forma ω é fechada. Com esta terminologia, toda</p><p>forma exata é fechada.</p><p>Mas nem toda forma fechada é exata. Um exemplo é fornecido pela</p><p>Seção 1 Formas diferenciais de grau 1 3</p><p>forma Ω: R</p><p>2 − {0} → (R2)∗ definida por</p><p>Ω(x, y) =</p><p>−y</p><p>x2 + y2</p><p>dx+</p><p>x</p><p>x2 + y2</p><p>dy.</p><p>Escrevendo Ω = adx+ bdy, um cálculo simples mostra que</p><p>∂b</p><p>∂x</p><p>=</p><p>y2 − x2</p><p>(x2 + y2)2</p><p>=</p><p>∂a</p><p>∂y</p><p>,</p><p>logo Ω é fechada. Entretanto, se U ⊂ R</p><p>2 −{0} é um aberto que contém</p><p>uma circunferência C, de raio r e centro na origem, Ω não é exata em</p><p>U . Para mostrar isto, consideraremos o campo de vetores v : U → R</p><p>2,</p><p>associado a Ω, o qual é dado por</p><p>v(x, y) =</p><p>( −y</p><p>x2 + y2</p><p>,</p><p>x</p><p>x2 + y2</p><p>)</p><p>.</p><p>0</p><p>y</p><p>x</p><p>Figura 1. Campo de vetores unitários u(x, y) =</p><p>(</p><p>−y√</p><p>x2+y2</p><p>, x√</p><p>x2+y2</p><p>)</p><p>.</p><p>O campo v(x, y) =</p><p>(√</p><p>x2 + y2</p><p>)−1</p><p>· u(x, y) é associado à forma Ω.</p><p>Tem-se lim</p><p>(x,y)→0</p><p>|v(x, y)| = +∞.</p><p>4 Integrais Curviĺıneas Cap. 1</p><p>Provaremos que v não é o gradiente de uma função f : U → R.</p><p>Com efeito, uma tal f , com v = grad f , assumiria um valor máximo no</p><p>ponto p da circunferência C, a qual é um conjunto compacto. Então</p><p>v(p) = grad f(p) seria normal a C, logo múltiplo do vetor</p><p>−→</p><p>Op o que é</p><p>absurdo.</p><p>Conhecida como o elemento de ângulo no plano, a 1-forma Ω provém</p><p>da tentativa de definir, no aberto U ⊂ R</p><p>2 − {0}, uma função-ângulo</p><p>θ : U → R, de classe C∞, cujo valor em cada ponto z = (x, y) ∈ U seja</p><p>uma determinação em radianos do ângulo que o semi-eixo positivo das</p><p>abcissas faz com a semi-reta</p><p>⇀</p><p>Oz. Mais precisamente, θ : U → R deve ser</p><p>C∞ e, para cada z = (x, y) ∈ U , deve-se ter</p><p>cos θ(x, y) =</p><p>x√</p><p>x2 + y2</p><p>e sen θ(x, y) =</p><p>y√</p><p>x2 + y2</p><p>· (*)</p><p>√ x</p><p>2 +</p><p>y</p><p>2</p><p>θ(x, y)</p><p>(x, y)</p><p>x</p><p>y</p><p>x0</p><p>Figura 2. A função-ângulo θ. Tem-se cos θ(x, y) = x/</p><p>√</p><p>x2 + y2.</p><p>A relação entre a 1-forma Ω e as funções-ângulo é estabelecida pelo</p><p>teorema seguinte.</p><p>Teorema 1. Há uma função-ângulo θ : U → R no aberto U ⊂ R</p><p>2 −{0}</p><p>se, e somente se, a forma Ω =</p><p>−y</p><p>x2 + y2</p><p>dx+</p><p>x</p><p>x2 + y2</p><p>dy é exata em U .</p><p>Demonstração: Mostraremos primeiro que se existir uma função-ângulo</p><p>θ : U → R então dθ = Ω em U . Com efeito, das igualdades (*) acima</p><p>Seção 1 Formas diferenciais de grau 1 5</p><p>resulta que</p><p>∂</p><p>∂x</p><p>[</p><p>cos θ(x, y)</p><p>]</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂x</p><p>(</p><p>x√</p><p>x2 + y2</p><p>)</p><p>, ou seja, −∂θ</p><p>∂x</p><p>·sen θ =</p><p>y2</p><p>(x2 + y2)3/2</p><p>,</p><p>isto é</p><p>∂θ</p><p>∂x</p><p>· y√</p><p>x2 + y2</p><p>=</p><p>−y</p><p>x2 + y2</p><p>· y√</p><p>x2 + y2</p><p>·</p><p>Segue-se que</p><p>∂θ</p><p>∂x</p><p>=</p><p>−y</p><p>x2 + y2</p><p>em todos os pontos (x, y) ∈ U com y 6= 0. De</p><p>modo análogo, derivando em relação a x ambos os membros da segunda</p><p>das igualdades (*) e utilizando a primeira delas, obtemos</p><p>∂θ</p><p>∂x</p><p>· x√</p><p>x2 + y2</p><p>=</p><p>−y</p><p>x2 + y2</p><p>· x√</p><p>x2 + y2</p><p>, logo</p><p>∂θ</p><p>∂x</p><p>=</p><p>−y</p><p>x2 + y2</p><p>em todos os pontos (x, y) ∈ U com x 6= 0. Como U ⊂ R</p><p>2 − {0},</p><p>conclúımos que</p><p>∂θ</p><p>∂x</p><p>=</p><p>−y</p><p>x2 + y2</p><p>em todos os pontos de U . De modo</p><p>semelhante, se vê que</p><p>∂θ</p><p>∂y</p><p>=</p><p>x</p><p>x2 + y2</p><p>, logo dθ = Ω em U .</p><p>A demonstração da rećıproca é mais longa e resulta da seqüência de</p><p>proposições que estabeleceremos abaixo.</p><p>Proposição A. Se θ : U → R é uma função-ângulo então θ : U → R</p><p>também é se, e somente se, θ = θ + 2kπ onde k ∈ Z é constante em</p><p>cada componente conexa de U .</p><p>Demonstração: Basta observar que dois números reais têm o mesmo</p><p>seno e o mesmo cosseno se, e somente se, diferem por um múltiplo inteiro</p><p>de 2π. E, além disso, uma função cont́ınua com domı́nio conexo e valores</p><p>inteiros é constante.</p><p>Proposição B. Se ρ =</p><p>⇀</p><p>Ob é a semi-reta em R</p><p>2 que parte da origem e</p><p>contém o ponto b ∈ S1, então existe uma função-ângulo θ : R</p><p>2 − ρ→ R.</p><p>Demonstração: A função de Euler E : R → S1, definida por E(t) =</p><p>(cos t, sen t), é um difeomorfismo local sobrejetivo entre as “superf́ıcies”de</p><p>dimensão 1, R e S1, pois sua derivada é 6= 0 (logo bijetiva) em todo ponto</p><p>t ∈ R. Assim, quando restrita a um aberto U ⊂ R no qual é injetiva,</p><p>E é um difeomorfismo de U sobre E(U). Em particular, em todo inter-</p><p>valo aberto (a, a+2π) de comprimento 2π, E é um difeomorfismo sobre</p><p>S1 − {b}, b = E(a). Dado b ∈ S1, escolhemos um ponto a ∈ R tal que</p><p>6 Integrais Curviĺıneas Cap. 1</p><p>E(a) = b, definimos a função-ângulo θ : R</p><p>2 − ρ → R pondo, para todo</p><p>z = (x, y) ∈ R</p><p>2 − ρ, θ(z) = E−1(z</p><p>/</p><p>|z|).</p><p>t R</p><p>t</p><p>0</p><p>x</p><p>y</p><p>S1</p><p>E(t) = (cos t, sen t)</p><p>E</p><p>0</p><p>Figura 3. A função de Euler E : R → S1.</p><p>(Note que, como z /∈ ρ, tem-se z</p><p>/</p><p>|z| 6= b, logo E−1 : S1−{b} → (a, a+2π)</p><p>está definida no ponto z</p><p>/</p><p>|z|.)</p><p>Corolário 1. Todo ponto z ∈ R</p><p>2−{0} é centro de um disco aberto onde</p><p>está definida uma função-ângulo.</p><p>Corolário 2. Se uma função θ : U → R, cont́ınua no aberto U ⊂</p><p>R</p><p>2 −{0}, é tal que cos θ(x, y) = x</p><p>/√</p><p>x2 + y2 e sen θ(x, y) = y</p><p>/√</p><p>x2 + y2</p><p>para todo ponto (x, y) ∈ U então θ ∈ C∞ e, portanto, é uma função-</p><p>ângulo.</p><p>Com efeito, todo ponto z0 = (x0, y0) ∈ U pertence a um disco aberto</p><p>D ⊂ U , no qual está definida uma função-ângulo θ. Como cos θ = cos θ</p><p>e sen θ = sen θ em U , segue-se que para todo ponto z = (x, y) ∈ D</p><p>existe um inteiro k tal que θ(x, y) = θ(x, y) + 2kπ. Como θ e θ são</p><p>cont́ınuas no conjunto conexo D, o número k é constante em D. Sendo</p><p>θ de classe C∞, conclúımos que θ ∈ C∞ na vizinhança de um ponto</p><p>arbitrário z0 ∈ U , ou seja, θ : U → R é uma função-ângulo.</p><p>Seção 1 Formas diferenciais de grau 1 7</p><p>Corolário 3. A forma elemento de ângulo é localmente exata.</p><p>a+ 2πa</p><p>θ(x, y) = E−1(z/|z|)</p><p>z/|z|</p><p>b = E(a)</p><p>0</p><p>ρ</p><p>z = (x, y)</p><p>S1</p><p>R</p><p>Figura 4. Uma função-ângulo θ : R2 − ρ→ R.</p><p>Proposição C. Seja U =</p><p>⋃</p><p>λ∈L</p><p>Dλ um aberto conexo em R</p><p>2, expresso</p><p>como reunião de discos abertos. Suponha que a cada λ ∈ L corresponde</p><p>um número real tλ tal que tλ − tµ ∈ Z sempre que Dλ ∩ Dµ 6= ∅. Se,</p><p>para algum λ0 ∈ L, tem-se tλ0 ∈ Z então tλ ∈ Z para todo λ ∈ L.</p><p>Demonstração: Dado arbitrariamente λ ∈ L, existem discos Dλ0 , Dλ1 ,</p><p>. . . , Dλk = Dλ tais que Dλi−1 ∩ Dλi 6= ∅, para i = 1, . . . , k, pois U é</p><p>conexo. Então tλ = (tλk − tλk−1</p><p>) + · · · + (tλ2 − tλ1) + (tλ1 − tλ0) + tλ0 é</p><p>uma soma de inteiros, logo tλ ∈ Z.</p><p>Observação. A reunião dos discos Dλ , λ ∈ L, que podem ser ligados</p><p>a Dλ0 por uma cadeia da forma acima é certamente um aberto em U .</p><p>Também é aberta a</p><p>∈ Up ⊂ M , tal</p><p>que |f(x) − f(p)| < ε(x) para qualquer x ∈ Up . (Com efeito, a função</p><p>cont́ınua ηp : x 7→ ε(x) − |f(x) − f(p)| é positiva quando x = p, logo é</p><p>positiva numa vizinhança Up de p em M .) Seja</p><p>∑</p><p>p∈M</p><p>ξp = 1 uma partição</p><p>da unidade de classe Ck, estritamente subordinada à cobertura M =⋃</p><p>p∈M</p><p>Up . Definimos então a aplicação g : M → R</p><p>s, de classe Ck, pondo,</p><p>para cada x ∈M , g(x) =</p><p>∑</p><p>p∈M</p><p>ξp(x) ·f(p). Como f(x) =</p><p>∑</p><p>p∈M</p><p>ξp(x) ·f(x),</p><p>vemos que</p><p>|f(x)−g(x)| =</p><p>∑</p><p>p∈M</p><p>ξp(x)·|f(x)−f(p)| <</p><p>∑</p><p>p∈M</p><p>ξp(x)·ε(x) = ε(x), ∀x ∈M.</p><p>O sinal < acima se deve ao fato de que, para todo x ∈ M , ou x ∈ Up ,</p><p>e neste caso |f(x) − f(p)| < ε(x), ou então ξp(x) = 0.</p><p>82 Ohne Titel Cap. 4</p><p>No caso geral, temos N ⊂ R</p><p>s para algum s. Seja Vδ(N) uma vizi-</p><p>nhança tubular de N . Definamos a função cont́ınua α : M → R</p><p>+ pondo,</p><p>para todo x ∈ M , α(x) = d(f(x),Rs − Vδ(N)). Para todo z ∈ R</p><p>s,</p><p>|z − f(x)| < α(x) implica z ∈ Vδ(N). Sem perda de generalidade,</p><p>podemos supor que ε(x) < α(x) para todo x ∈ M . Como vimos acima,</p><p>existe g0 : M → R</p><p>s, de classe Ck, tal que, para todo x ∈ M , vale</p><p>|g0(x) − f(x)| < 1</p><p>2 ε(x), logo g0(x) ∈ Vδ(N). Como N é de classe Ck+1,</p><p>a projeção natural π : Vδ(N) → N é de classe Ck. Assim, a aplicação</p><p>g : M → N , dada por g(x) = π(g0(x)), x ∈ M , é de classe Ck. Para</p><p>todo x ∈M tem-se</p><p>|f(x)− g(x)| ≤ |f(x)− g0(x)|+ |g0(x)− g(x)| < 1</p><p>2</p><p>ε(x) +</p><p>1</p><p>2</p><p>ε(x) = ε(x).</p><p>De fato, |g0(x) − g(x)| < |g0(x) − f(x)| pois f(x) ∈ N e g(x) é o único</p><p>ponto de N que está situado à distância mı́nima de g0(x).</p><p>Observação 4. Quando M é compacta, a função ε pode ser tomada</p><p>constante e então g é uma aproximação uniforme de f .</p><p>Como conseqüência do teorema de aproximação, daremos agora a</p><p>forma definitiva do Teorema 2, estabelecendo a vizinhança tubular Vε(M)</p><p>na qual ε : M → R</p><p>+ é de classe Ck quando a superf́ıcie M também for.</p><p>Teorema 7. Seja M ⊂ R</p><p>m+n uma superf́ıcie de dimensão m e classe</p><p>Ck (k ≥ 2). Existe uma função positiva ε : M → R</p><p>+, de classe Ck, com</p><p>as seguintes propriedades:</p><p>1) Para quaisquer pontos x 6= y em M , as bolas normais B⊥(x; ε(x))</p><p>e B⊥(y; ε(y)) são disjuntas;</p><p>2) A reunião Vε(M) =</p><p>⋃</p><p>x∈M</p><p>B⊥(x; ε(x)) é um aberto em R</p><p>m+n, cha-</p><p>mado a vizinhança tubular de raio ε da superf́ıcie M ;</p><p>3) A aplicação π : Vε(M) → M , definida por π(z) = x se z ∈</p><p>B(x; ε(x)), é de classe Ck−1;</p><p>4) Para todo z ∈ Vε(M), π(z) é o único ponto de M situado à</p><p>distância mı́nima de z. (Ou seja, se y ∈M e y 6= π(z) então |z−π(z)| <</p><p>|z − y|.)</p><p>Demonstração: Pelo Teorema 2, existe uma vizinhança tubular Vδ(M),</p><p>com δ : M → R</p><p>+ cont́ınua. Pelo Teorema 6, existe ε : M → R de</p><p>classe Ck tal que</p><p>∣∣ε(x) − 1</p><p>2</p><p>δ(x)</p><p>∣∣ < 1</p><p>2</p><p>δ(x) para todo x ∈ M , logo</p><p>Seção 2 Partições da unidade 83</p><p>0 < ε(x) < δ(x), o que assegura B⊥(x; ε(x)) ⊂ B⊥(x; δ(x)), logo</p><p>Vε(M) =</p><p>⋃</p><p>x∈M</p><p>B⊥(x; ε(x)) atende as exigências do enunciado acima.</p><p>Observação 5. Na demonstração do Teorema 8, utilizamos a vizinhan-</p><p>ça V da superf́ıcie N , introduzida durante a demonstração do Teorema</p><p>2. V é a reunião das vizinhanças tubulares locais de N . A vizinhança</p><p>tubular Vε(N) =</p><p>⋃</p><p>x∈N</p><p>B⊥(x; ε(x)) é definida a partir da função cont́ınua</p><p>positiva ε : N → R</p><p>+, dada por ε(x) = d(x,Rs − V ), onde N ⊂ R</p><p>s. A</p><p>projeção natural π : V → N é bem definida e tem classe Ck se N é de</p><p>classe Ck+1. V goza de uma propriedade que Vε(N) não possui, a saber:</p><p>se y ∈ N e z ∈ R</p><p>s são tais que |z − y| < ε(y) então z ∈ V (já que a</p><p>distância de um ponto qualquer de R</p><p>s − V a y é ≥ ε(y)). Segue-se dáı</p><p>que, cumprida esta desigualdade, o segmento de reta [y, z] está contido</p><p>em V , logo pode ser projetado em N por meio de π.</p><p>Teorema 8. Sejam f, g : M → N aplicações de classe Ck entre as</p><p>superf́ıcies M , de classe Ck, e N , de classe Ck+1. Se existe uma ho-</p><p>motopia H : M × [0, 1] → N (meramente cont́ınua) entre f e g, existe</p><p>também uma homotopia de classe Ck entre estas aplicações.</p><p>Demonstração: Sem mudar a notação, podemos considerar a aplicação</p><p>H como definida em M × R, pondo H(x, t) = f(x) se t ≤ 0 e H(x, t) =</p><p>g(x) se t ≥ 1. Tomamos uma vizinhança tubular Vε(N) ⊂ V onde V</p><p>é a reunião das vizinhanças tubulares locais, conforme mencionado na</p><p>Observação 5 acima. Pelo Teorema 6, obtemos uma aplicação H : M ×</p><p>R → N , de classe Ck, tal que |H(x, t) − H(x, t)| < ε(f(x)) para todo</p><p>(x, t) ∈ M × R. Então H fornece uma homotopia de classe Ck entre</p><p>as aplicações f̄ , ḡ : M → N , onde f̄(x) = H(x, 0) e ḡ(x) = H(x, 1).</p><p>Para todo x ∈M , vale |f̄(x)− f(x)| < ε(f(x)), logo o segmento de reta</p><p>[f(x), f̄(x)] está contido em V . A aplicação K : M× [0, 1] → N , definida</p><p>por K(x, t) = π((1 − t)f(x) + tf̄(x)), onde π : V → N é a projeção</p><p>natural, é uma homotopia de classe Ck entre f e f̄ . Analogamente se</p><p>mostra que ḡ ≃ g em classe Ck. Então temos f ≃ f̄ , f̄ ≃ ḡ e ḡ ≃ g</p><p>com homotopias de classe Ck. Por transitividade, resulta que f é Ck-</p><p>homotópica a g.</p><p>A partir deste teorema, quando afirmarmos que as aplicações</p><p>f, g : M → N são homotópicas, não haverá necessidade de especificar: se</p><p>elas são de classe Ck, tanto faz dizer que a homotopia é cont́ınua como</p><p>que é Ck.</p><p>84 Ohne Titel Cap. 4</p><p>3 O Teorema de Jordan-Brouwer</p><p>Uma curva de Jordan é um conjunto C homeomorfo à circunferência</p><p>unitária S1. Em 1856, C. Jordan demonstrou que se C ⊂ R</p><p>2 é uma curva</p><p>de Jordan então R</p><p>2 − C tem duas componentes conexas, das quais C é</p><p>a fronteira comum. Este resultado foi estendido por L.E.J. Brouwer em</p><p>1912, para hiperf́ıcies compactas e conexas de classe C0 em R</p><p>m+1. Pro-</p><p>varemos aqui o Teorema de Jordan-Brouwer para hiperf́ıcies orientáveis</p><p>de classe Ck, k ≥ 3. Antes, umas considerações preparatórias.</p><p>Se δ : M → R</p><p>+ é uma função positiva de classe Ck com δ(x) < ε(x)</p><p>para todo x ∈ M (por exemplo, δ(x) = ε(x)/2) então as bolas normais</p><p>fechadas B⊥[x; δ(x)] e B⊥[y; δ(y)], com centros em quaisquer pontos</p><p>distintos x, y ∈ M , são disjuntas e podemos considerar, ao lado da vi-</p><p>zinhança tubular aberta Vε(M), também a vizinhança tubular fechada</p><p>Vδ[M ] =</p><p>⋃</p><p>x∈M</p><p>B⊥[x; δ(x)] ⊂ Vε(M).</p><p>Para uso no Teorema 9, a seguir, estabeleceremos o</p><p>Lema 5. Se o subconjunto M⊂R</p><p>m+n é fechado então Vδ[M ] também é.</p><p>Demonstração: Como foi observado antes, podemos admitir que 0 <</p><p>δ(x) ≤ 1 para todo x ∈ M . Seja z0 = lim zk , zk ∈ Vδ[M ]. Devemos</p><p>provar que z0 ∈ Vδ[M ]. Indicando ainda com π : Vδ[M ] →M a restrição</p><p>da projeção de Vε(M) sobre M , seja xk = π(zk). Então |zk − xk| ≤</p><p>δ(xk) ≤ 1 para todo k ∈ N. Para todo k suficientemente grande, vale</p><p>também |zk − z0| ≤ 1. Logo a seqüência (xk) é limitada, pois</p><p>|xk| ≤ |xk − zk| + |zk − z0| + |z0| ≤ 1 + 1 + |z0|.</p><p>Passando a uma subseqüência (xr)r∈N′ , temos lim</p><p>r∈N′</p><p>xr = x0 ∈M . Obvia-</p><p>mente, lim</p><p>r∈N′</p><p>zr = z0 . Ora, para todo r ∈ N</p><p>′, temos d(zr,M) = |zr−xr| ≤</p><p>δ(xr). Passando ao limite, vem d(z0,M) = |z0 − x0| ≤ δ(x0). Assim,</p><p>x0 ∈M está situado à distância mı́nima de z0 . Logo z0 − x0 ∈ Tx0M</p><p>⊥.</p><p>E, como |z0 − x0| ≤ δ(x0), segue-se que z0 ∈ B⊥[x0, δ(x0)], ou seja,</p><p>z0 ∈ Vδ[M ].</p><p>Teorema 9 (Jordan-Brouwer diferenciável.) Seja M ⊂ R</p><p>m+1 uma hi-</p><p>perf́ıcie orientável conexa, de classe Ck (k ≥ 3), que é um subconjunto</p><p>Seção 3 O Teorema de Jordan-Brouwer 85</p><p>fechado de R</p><p>m+1. Então R</p><p>m+1−M = A∪B é a reunião de dois abertos</p><p>conexos disjuntos, dos quais M é a fronteira comum.</p><p>Demonstração: A essência da demonstração consiste em definir uma</p><p>função f : R</p><p>m+1 → R, de classe Ck−1, tal que M = f−1(0) e gradf(x) 6=</p><p>0 para todo x ∈ M . Começamos com uma vizinhança tubular V2ε(M),</p><p>que contém a vizinhança tubular fechada Vε[M ]. Como M é orientável,</p><p>existe um campo w : M → R</p><p>m+1 de vetores normais não-nulos, de classe</p><p>Ck−1. Substituindo w(x) por 2ε(x) ·w(x)</p><p>/</p><p>|w(x)|, podemos admitir que</p><p>|w(x)| = 2ε(x) para todo x ∈M . A aplicação h : M×(−2, 2) → V2ε(M),</p><p>definida por h(x, t) = x + t · w(x), é um difeomorfismo de classe Ck−1,</p><p>como foi visto na demonstração do Teorema 1. Temos h(M ×{0}) = M</p><p>e o complementar</p><p>de M × {0} em M × (−2, 2) tem duas componentes</p><p>conexas: M × (−2, 0) e M × (0, 2). Logo V2ε(M)−M tem duas compo-</p><p>nentes conexas, que são os conjuntos P = {x+t·w(x);x ∈M, 0 < t < 2}</p><p>e N = {x+ t · w(x);x ∈M,−2 < t < 0}.</p><p>Agora lançamos mão de uma função λ : R → R, de classe C∞, que</p><p>nos permite passar suavemente da constante −1 para a constante +1.</p><p>Tem-se λ(t) = −1 se t ≤ −1, λ(t) = 1 quando t ≥ 1 e λ′(t) > 0 se</p><p>−1 < t < 1. (Veja abaixo a definição precisa de λ.)</p><p>Definimos a função g : V2ε(M) → R pondo g(x + t · w(x)) = λ(t) para</p><p>todo x ∈M e todo t ∈ (−2, 2).</p><p>Tem-se g = λ ◦ p2 ◦ h−1, onde p2 : M × (−2, 2) → R é a projeção</p><p>p2(x, t) = t. Logo g é de classe Ck−1, é positiva em P , negativa em</p><p>N , anula-se sobre M e, para todo x ∈ M , grad g(x) = λ′(0) · w(x) 6= 0.</p><p>Vemos ainda que g é constante, igual a 1, nos pontos do conjunto conexo</p><p>P1 = {x + t · w(x);x ∈ M, 1 ≤ t ≤ 2} e igual a −1 nos pontos de</p><p>N1 = {x+ t · w(x);x ∈ M,−2 ≤ t ≤ −1}. Portanto o gradiente de g se</p><p>anula em todos os pontos de V2ε(M) − Vε(M).</p><p>A função f : R</p><p>m+1 → R que buscamos vai coincidir com g em V2ε(M)</p><p>e não se anulará fora de M . Para obtê-la, consideramos o campo de</p><p>vetores v : R</p><p>m+1 → R</p><p>m+1, definido por v(x) = grad g(x) se x ∈ V2ε(M)</p><p>e v(x) = 0 nos demais pontos x de R</p><p>m+1. O campo v é de classe Ck−2 e,</p><p>se escrevemos v(x) = (a1(x), . . . , am+1(x)), vemos que são cumpridas as</p><p>condições de integrabilidade ∂ai/∂xj = ∂aj/∂xi em todos os pontos de</p><p>V2ε(M) pois áı v = grad g e, nos demais pontos de R</p><p>m+1 porque neles</p><p>v se anula identicamente. Pelo Corolário 5, Caṕıtulo 1, como R</p><p>m+1 é</p><p>simplesmente conexo, existe uma função f : R</p><p>m+1 → R, de classe Ck−1,</p><p>tal que v = grad f . No conjunto conexo V2ε(M), as funções f e g têm o</p><p>86 Ohne Titel Cap. 4</p><p>mesmo gradiente. Logo, subtraindo de f uma constante, se necessário,</p><p>podemos assegurar que f e g coincidem em V2ε(M).</p><p>0</p><p>x</p><p>−1</p><p>1−1</p><p>1</p><p>y</p><p>Figura 22. A função λ.</p><p>Resta mostrar que f : R</p><p>m+1 → R não se anula fora de M . Seja</p><p>z ∈ R</p><p>m+1 − M . Se z ∈ V2ε(M) então z ∈ P , e dáı f(z) > 0, ou</p><p>z ∈ N e tem-se f(z) < 0. Se, entretanto, z /∈ V2ε(M), seja y um ponto</p><p>do conjunto fechado Vε[M ] situado à distância mı́nima de z. Todos os</p><p>pontos do segmento de reta semi-aberto [z, y) estão mais próximos de</p><p>z do que o ponto y, logo não pertencem a Vε[M ]. Conseqüentemente,</p><p>o gradiente de f se anula e f é constante no segmento [z, y]. Como</p><p>f(y) = ±1, segue-se que f(z) = ±1.</p><p>Obtida a função f com as propriedades desejadas, escrevemos R</p><p>m+1−</p><p>M = A ∪ B, onde A = {z ∈ R</p><p>m+1; f(z) > 0} e B = {z ∈ R</p><p>m+1; f(z) <</p><p>0}. Os conjuntos A e B são abertos disjuntos. Além disso, toda função</p><p>cont́ınua se anula na fronteira do conjunto dos pontos onde é positiva</p><p>(respect. negativa), logo fr. A ∪ fr. B ⊂ M . Por outro lado, toda vi-</p><p>zinhança de um ponto de M contém pontos de A e de B, portanto</p><p>M ⊂ fr. A ∩ fr. B. Segue-se que fr. A = fr. B = M .</p><p>Para concluir, mostremos que A é conexo. (A conexidade de B se</p><p>prova do mesmo modo.) Seja, então, z ∈ A, isto é, f(z) > 0. Como</p><p>vimos acima, se y ∈ Vε[M ] é tal que |z−y| = d(z, Vε[M ]) então a função</p><p>f é constante ao longo do segmento de reta [z, y], logo f(y) > 0 e dáı</p><p>y ∈ P . Assim, todo ponto de A pode ser ligado por um caminho contido</p><p>em A a um ponto do conjunto conexo P = h(M × (0, 2)). (Aqui usamos</p><p>a conexidade de M .) Portanto A é conexo.</p><p>Seção 3 O Teorema de Jordan-Brouwer 87</p><p>Definição da função λ : R → R</p><p>Seja a : R → R a função de classe C∞ definida por a(t) = 0 se |t| ≥ 1</p><p>e a(t) = exp(1</p><p>/</p><p>(t2 − 1)) se −1 < t < 1. Seja ainda A =</p><p>∫ 1</p><p>−1 a(t) dt.</p><p>Pomos então λ(t) = (1/A) ·</p><p>∫ t</p><p>0 a(s) ds e obtemos uma função λ : R → R,</p><p>de classe C∞, tal que λ(t) = 1 se t ≥ 1, λ(t) = −1 quando t ≤ −1, λ é</p><p>crescente, com derivada positiva no intervalo (−1, 1) e λ(0) = 0.</p><p>Exemplo 5. Se M não é conexa, o complementar R</p><p>m+1 −M é ainda</p><p>desconexo, como a própria demonstração acima prova (pois R</p><p>m+1 −</p><p>M = A ∪ B é uma cisão) mas A ou B podem ser desconexos, como no</p><p>caso em que M é a reunião de duas ou mais circunferências disjuntas</p><p>no plano R</p><p>2. Prova-se em Topologia Algébrica, como conseqüência do</p><p>Teorema de Dualidade de Alexander, que se a hiperf́ıcie orientável M</p><p>tem r componentes conexas, seu complementar R</p><p>m+1 −M tem r + 1.</p><p>Exemplo 6. Seja X ⊂ R</p><p>2 o conjunto formado pela circunferência</p><p>unitária S1 reunida com o intervalo [1, 2] do eixo das abcissas. Então</p><p>R</p><p>2 − X tem duas componentes conexas mas X é a fronteira completa</p><p>de apenas uma delas.</p><p>Se a hiperf́ıcie conexa orientável M ⊂ R</p><p>m+1 é compacta então na</p><p>cisão R</p><p>m+1 −M = A ∪ B uma das componentes conexas é limitada e</p><p>a outra é ilimitada. Com efeito, existe uma bola D em R</p><p>m+1 contendo</p><p>o compacto M . O conjunto conexo R</p><p>m+1 −D ⊂ R</p><p>m+1 −M deve estar</p><p>contido numa das componentes, digamos A. Logo A é ilimitada. Como</p><p>todo conjunto ilimitado deve ter pontos em comum com R</p><p>n+1 − D,</p><p>portanto com A, e B é disjunto de A, segue-se que B é limitado (de</p><p>fato, B ⊂ D).</p><p>APÊNDICE: Toda hiperf́ıcie compacta é orientável</p><p>Na verdade, vale um pouco mais: se a hiperf́ıcieM ⊂ R</p><p>m+1 é um sub-</p><p>conjunto fechado do espaço euclidiano, então M é orientável. Isto será</p><p>demonstrado agora, por desencargo de consciência. Sem embargo, con-</p><p>tinuaremos usando a expressão “hiperf́ıcie compacta orientável”porque</p><p>achamos que se trata de um pleonasmo inofensivo.</p><p>Seja X ⊂ R</p><p>n. Diremos que duas funções f, g : X → R coincidem</p><p>localmente a menos do sinal quando todo x ∈ X tem uma vizinhança V</p><p>tal que f |V = ±g|V . (Escrevemos φ = ±ψ quando as funções reais φ,</p><p>ψ têm o mesmo domı́nio D e tem-se φ(y) = ψ(y) para todo y ∈ D, ou</p><p>88 Ohne Titel Cap. 4</p><p>então φ(y) = −ψ(y) para todo y ∈ D.)</p><p>Lema A. Seja X ⊂ R</p><p>n conexo. Se f, g : X → R coincidem localmente</p><p>a menos do sinal e f−1(0) tem interior vazio então f = ±g.</p><p>Demonstração: Sejam E = {x ∈ X; f(x) = g(x)} e U = int. E. Para</p><p>cada x ∈ U , seja V uma vizinhança de x tal que f |V = ±g|V . Então</p><p>int(V ∩ U) 6= ∅, logo existe y ∈ V ∩ U tal que 0 6= f(y) = g(y). Isto</p><p>mostra que f |V = g|V donde x ∈ U . Assim, o conjunto aberto U é</p><p>também fechado, logo U = X ou U = ∅. Isto significa que ou f = g</p><p>ou o conjunto E tem interior vazio. Usando −g em vez de g, segue-se</p><p>que ou f = −g ou o conjunto F = {x ∈ X; f(x) = −g(x)} tem interior</p><p>vazio. Como X = E ∪ F , devemos ter f = ±g.</p><p>Observação. As funções f , g não precisam ser cont́ınuas. Quando</p><p>o interior de f−1(0) não é vazio, é fácil dar exemplos em que f e g</p><p>coincidem localmente a menos do sinal mas f 6= g e f 6= −g.</p><p>O lema seguinte contém o processo fundamental de colagem.</p><p>Lema B. Seja A uma cobertura aberta de R</p><p>n. Para cada α ∈ A, seja</p><p>dada uma função fα : α → R, de classe Ck, com int. f−1</p><p>α (0) = ∅. Além</p><p>disso, sempre que α1∩α2 6= ∅, as funções fα1 e fα2 coincidem localmente</p><p>a menos do sinal em α1 ∩ α2 . Nestas condições, existe uma função</p><p>f : R</p><p>n → R, de classe Ck tal que, para cada α ∈ A, fα e f |α coincidem</p><p>localmente a menos do sinal.</p><p>Demonstração: Para cada x ∈ R</p><p>n seja U = B0 ∪ B1 ∪ · · · ∪ Br uma</p><p>cobertura do segmento de reta [0, x] por bolas abertas, onde cada Bi está</p><p>contida em algum αi ∈ A e Bi∩Bi−1 6= ∅. Descartando bolas supérfluas,</p><p>cada Bi intersectará [0, x] e Bi ∩ Bj = ∅ se |i − j| > 1. Ponhamos</p><p>f(x) = fr(x), onde fr é a última das funções fi : B0 ∪ · · · ∪ Bi → R</p><p>(i = 0, 1, . . . , r), de classe Ck, definidas sucessivamente por fi|Bi =</p><p>±fαi |Bi , o sinal sendo escolhido de modo que fi coincida com fi−1 no</p><p>conjunto conexo Bi ∩ Bi−1 . Fixemos f0 de uma vez por todas. Se</p><p>gs : V → R for constrúıda como fr porém a partir de outra cobertura</p><p>V = B0 ∪ B′</p><p>1 ∪ · · · ∪ B′</p><p>s ⊃ [0, x] então V ∩ U é conexo. Como f0 = g0 ,</p><p>segue-se do Lema A que fr = gs em V ∩ U . Portanto fr(x) = gs(x),</p><p>de modo que a função f : R</p><p>n → R está bem definida. Seja agora 2ε =</p><p>dist([0, x],Rn − U). Se y ∈ B(x; ε) e W = B0 ∪ B′′</p><p>1 ∪ · · · ∪ B′′</p><p>t ⊃ [0, y],</p><p>onde cada B′′</p><p>i tem raio ε e centro sobre [0, y], então</p><p>W ⊂ U . Pelo Lema</p><p>A, a função ht : W → R, definida como acima, coincide com fr|W , logo</p><p>Seção 4 Exerćıcios 89</p><p>f(y) = ht(y) = fr(y). Isto significa que f coincide com fr na bola</p><p>B(x; ε), logo f ∈ Ck.</p><p>Teorema. Seja M ⊂ R</p><p>n uma hiperf́ıcie de classe Ck (k ≥ 2) que é um</p><p>subconjunto fechado do espaço euclidiano. Existe uma função f : R</p><p>n →</p><p>R, de classe Ck−1, tal que M = f−1(0) e grad f(x) 6= 0 para todo x ∈M .</p><p>Demonstração: Seja λ : R → R uma função C∞ tal que λ(t) = −1</p><p>se t ≤ −1, λ′(t) > 0 se −1 < t < 1, λ(0) = 0 e λ(−t) = −λ(t). Seja</p><p>V2ε(M) uma vizinhança tubular de M . A fim de aplicar o Lema B,</p><p>cubramos o espaço R</p><p>n com os seguintes conjuntos abertos α. Um deles</p><p>é α∗ = R</p><p>n − Vε[M ]. Para obter os outros, cubramos M com abertos</p><p>U ′ ⊂ M , em cada um dos quais está definido um campo cont́ınuo (logo</p><p>Ck−1) de vetores normais unitários w : U ′ → R</p><p>n. Para cada U ′ seja</p><p>α = V2ε(U</p><p>′) = {x + tw(x);x ∈ U ′, |t| < 2ε(x)}. A função fα : α →</p><p>R, dada por fα(x + tw(x)) = λ(t/ε(x)), é de classe Ck−1. Ponhamos</p><p>ainda fα∗ : α∗ → R constante, igual a 1. As hipóteses do Lema B são</p><p>facilmente verificadas, o que nos dá uma função f : R</p><p>n → R, de classe</p><p>Ck−1, com f−1(0) = M e grad f(x) = λ′(0)</p><p>ε(x) ·w(x) para todo x ∈M , logo</p><p>grad f(x) 6= 0.</p><p>Corolário 1. Toda hiperf́ıcie M ⊂ R</p><p>n de classe Ck (k ≥ 2), que é um</p><p>subconjunto fechado de R</p><p>n, é orientável.</p><p>Com efeito, M é a imagem inversa de um valor regular de f .</p><p>4 Exerćıcios</p><p>Seção 1: A vizinhança tubular</p><p>1. Em cada um dos casos abaixo, determinar o maior valor da constante ε > 0</p><p>tal que Vε(M) seja uma vizinhança tubular de M .</p><p>(i) M ⊂ R</p><p>n é uma esfera de raio r;</p><p>(ii) M ⊂ R</p><p>n é uma variedade afim m-dimensional;</p><p>(iii) M ⊂ R</p><p>2 é a parábola de equação y = x2.</p><p>2. Diz-se que os conjuntos X ⊂ R</p><p>m e Y ⊂ R</p><p>n têm o mesmo tipo de homoto-</p><p>pia quando existem aplicações cont́ınuas f : X → Y e g : Y → X tais que</p><p>g ◦ f : X → X e f ◦ g : Y → Y são ambas homotópicas à aplicação identidade.</p><p>Então f e g se chamam equivalências homotópicas, uma inversa da outra.</p><p>90 Ohne Titel Cap.4</p><p>(i) Defina tipo de homotopia Ck (0 ≤ k ≤ ∞);</p><p>(ii) Prove que os seguintes pares de superf́ıcies têm o mesmo tipo de homotopia</p><p>C∞:</p><p>(a) Um aberto convexo e um ponto;</p><p>(b) Sn e R</p><p>n+1 − {0};</p><p>(c) M × R</p><p>n e M , onde M é uma superf́ıcie C∞;</p><p>(d) U e C, onde U = {(x, y, z) ∈ R</p><p>3;x2 + y2 > 0} e C = S1 × R é um</p><p>cilindro.</p><p>3. Seja f : M → N uma equivalência homotópica C∞. Prove que uma forma</p><p>diferencial fechada ω em N é exata se, e somente se, o pullback f∗ω é uma</p><p>forma exata em M .</p><p>4. Prove que toda forma diferencial fechada de grau 2 no aberto U = {(x, y, z) ∈</p><p>R</p><p>3;x2 + y2 > 0} é exata e que a forma fechada de grau 1 em U , dada por</p><p>ω(x, y, z) = (−ydx+ xdy)</p><p>/</p><p>(x2 + y2) não é exata.</p><p>5. Prove que a vizinhança tubular Vε(M) da superf́ıcie M ⊂ R</p><p>n é difeomorfa a</p><p>uma vizinhança da seção nula M0 = {(p, 0) ∈ νM ; p ∈ M} do fibrado normal</p><p>νM . (Veja Exerćıcio 3, Seção 2, Caṕıtulo 7, Volume 2.) Prove também que</p><p>Vε(M) tem o mesmo tipo de homotopia de M .</p><p>Seção 2: Partições da unidade</p><p>1. Sejam M = U ∪ V uma superf́ıcie C∞ e ω uma forma diferencial de classe</p><p>C∞ e grau r, definida na interseção U ∩ V dos abertos U, V ⊂ M . Prove que</p><p>existem formas de grau r e classe C∞, α em U e β em V , tais que α− β = ω</p><p>em U ∩V . Se ω é fechada, prove que dα e dβ são respectivamente as restrições</p><p>a U e a V de uma forma γ, de grau r + 1 e classe C∞ em M .</p><p>2. Seja F =</p><p>⋃</p><p>λ∈L</p><p>Fλ a reunião de uma famı́lia localmente finita de conjuntos</p><p>fechados Fλ , contidos na superf́ıcie M . Se a aplicação f : F → R</p><p>n é tal que</p><p>f |Fλ é cont́ınua para cada λ ∈ L, prove que f é cont́ınua.</p><p>3. Prove que se duas superf́ıcies M,N , de classe Ck (k ≥ 2), têm o mesmo tipo</p><p>de homotopia C0 então elas têm o mesmo tipo de homotopia Ck.</p><p>4. Sejam F ⊂ U ⊂ M onde F é fechado e U é aberto na superf́ıcie M , de classe</p><p>Ck. Prove que existe f : M → R de classe Ck tal que f(x) = 1 para todo</p><p>x ∈ F e f(x) = 0 para todo x ∈M − U .</p><p>5. Seja ϕ : U → R</p><p>n de classe Ck no subconjunto aberto U da superf́ıcie M , de</p><p>classe Ck. Dado um subconjunto F ⊂ U , fechado em M , prove que existe uma</p><p>aplicação Φ: M → R</p><p>n, de classe Ck, tal que Φ(x) = ϕ(x) para todo x ∈ F .</p><p>Seção 3: O Teorema de Jordan-Brouwer</p><p>1. Se X é um subconjunto próprio de uma hiperf́ıcie compacta e conexa M ⊂ R</p><p>n,</p><p>prove que R</p><p>n −X é conexo.</p><p>2. Dê exemplo de duas funções cont́ınuas f, g : R → R que coincidem localmente</p><p>a menos do sinal mas não se tem f = ±g.</p><p>Seção 4 Exerćıcios 91</p><p>3. Seja M uma superf́ıcie compacta e conexa, de classe Ck (k ≥ 3) e dimensão</p><p>n−1, contida na esfera Sn. Prove que Sn−M tem duas componentes conexas</p><p>que têm M como fronteira comum.</p><p>4. Seja M o conjunto das matrizes n × n com determinante 1. Quantas compo-</p><p>nentes conexas tem R</p><p>n2 −M?</p><p>5</p><p>O Teorema de Stokes</p><p>1 Integral de superf́ıcie</p><p>A fim de definir a integral de uma forma diferencial de grau m sobre uma</p><p>superf́ıcie m-dimensional orientada, consideraremos primeiro o caso de</p><p>uma forma cont́ınua ω : U → Am(Rm), num aberto U ⊂ R</p><p>m. Para todo</p><p>x ∈ U , temos ω(x) = a(x) · dx1 ∧ · · · ∧ dxm , onde a : U → R é cont́ınua.</p><p>Dado um compacto J-mensurável X ⊂ U , pomos, por definição,</p><p>∫</p><p>X</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>X</p><p>a(x) dx.</p><p>Se h : U → V é um difeomorfismo entre os abertos U, V ⊂ R</p><p>m vamos,</p><p>por conveniência, indicar com y = (y1, . . . , ym) os pontos de V e por</p><p>dy1, . . . , dym as diferenciais de suas coordenadas. Os pontos de U serão</p><p>x = (x1, . . . , xm) e dx1, . . . , dxm as diferenciais correspondentes. Dada a</p><p>forma diferencial ω(y) = a(y) · dy1 ∧ · · · ∧ dym em V , sabemos que, para</p><p>todo x ∈ U , o pullback h∗ω tem o valor</p><p>(h∗ω)(x) = a(h(x)) · detJh(x) · dx1 ∧ · · · ∧ dxm ,</p><p>onde det Jh(x) é o determinante da matriz jacobiana de h no ponto x.</p><p>Em face da definição dada, o Teorema de Mudança de Variáveis</p><p>significa</p><p>∫</p><p>X h</p><p>∗ω =</p><p>∫</p><p>h(X) ω (V. Caṕıtulo 9 do Volume 2), desde que h</p><p>preserve orientação, ou seja, detJh(x) > 0 para todo x ∈ U .</p><p>Em seguida, consideramos o caso em que ω é uma forma de grau</p><p>m cont́ınua, com suporte compacto contido num aberto U , imagem de</p><p>Seção 1 Integral de superf́ıcie 93</p><p>uma parametrização positiva ϕ : U0 → U , na superf́ıcie orientada M , de</p><p>dimensão m.</p><p>Então ϕ∗ω é uma forma de grau m no aberto U0 ⊂ R</p><p>m, com suporte</p><p>compacto, igual a ϕ−1(supp. ω).</p><p>Seja X um conjunto compacto J-mensurável, tal que supp. ϕ∗ω ⊂</p><p>X ⊂ U0. (Por exemplo, podemos tomar X como sendo a reunião de um</p><p>número finito de bolas fechadas com centros em pontos de supp. ϕ∗ω e</p><p>raios iguais à distância de supp. ϕ∗ω a R</p><p>m − U0 .)</p><p>Então definimos a integral de ω sobre M pondo</p><p>∫</p><p>M</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>X</p><p>ϕ∗ω.</p><p>Esta definição não depende do conjunto X tomado pois se Y é outro</p><p>conjunto nas mesmas condições, a forma ϕ∗ω se anula fora de X ∩ Y .</p><p>Resta ver que</p><p>∫</p><p>M ω, conforme definida acima, não depende da pa-</p><p>rametrização ϕ. De fato, se ψ : V0 → V for outra parametrização po-</p><p>sitiva em M , com supp. ω ⊂ V , tomamos X na definição anterior tal</p><p>que supp. ϕ∗ω ⊂ ϕ−1(U ∩ V ) e, considerando o compacto J-mensurável</p><p>ξ(X), onde ξ = ψ−1 ◦ ϕ : ϕ−1(U ∩ V ) → ψ−1(U ∩ V ), vemos que∫</p><p>ξ(X) ψ</p><p>∗ω =</p><p>∫</p><p>X ϕ</p><p>∗ω, em virtude do que observamos acima, (tomando</p><p>agora ξ no lugar de h) pois ξ = ψ−1 ◦ ϕ nos dá ϕ∗ = ξ∗ ◦ ψ∗, portanto∫</p><p>X ϕ</p><p>∗ω =</p><p>∫</p><p>X ξ</p><p>∗ψ∗ω =</p><p>∫</p><p>ξ(X) ψ</p><p>∗ω, levando em conta que, sendo ϕ e ψ</p><p>ambas positivas, o difeomorfismo ξ tem determinante jacobiano positivo</p><p>em todos os pontos de seu domı́nio ϕ−1(U ∩ V ).</p><p>Portanto, é leǵıtima a definição da integral</p><p>∫</p><p>M ω quando ω é uma</p><p>forma cont́ınua de grau m = dimM , com suporte compacto, contido</p><p>numa vizinhança parametrizada na superf́ıcie orientada M .</p><p>É claro que se a forma cont́ınua ω é não-negativa, mas não identi-</p><p>camente nula, então</p><p>∫</p><p>M ω > 0. Analogamente, se ω ≤ 0, mas ω não se</p><p>anula em todos os pontos de M , tem-se</p><p>∫</p><p>M ω < 0.</p><p>Seja M uma superf́ıcie orientada de dimensão m. Num ponto x ∈M ,</p><p>uma base {v1, . . . , vm} ⊂ TxM chama-se positiva</p><p>quando, para qualquer</p><p>parametrização positiva ϕ : U0 → U ⊂ M , com x = ϕ(u) ∈ U , tem-se</p><p>vj =</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>aij</p><p>∂ϕ</p><p>∂ui</p><p>(u), com det[aij ] > 0.</p><p>Se f : M → N é um difeomorfismo local de M noutra superf́ıcie</p><p>orientada N , diz-se que f preserva orientação quando, para todo x ∈M ,</p><p>a derivada f ′(x) : TxM → Tf(x)N transforma bases positivas de TxM em</p><p>bases positivas de Tf(x)N .</p><p>94 O Teorema de Stokes Cap. 5</p><p>Quando, para cada x ∈ M , a derivada f ′(x) transforma bases po-</p><p>sitivas em bases negativas, diz-se que o difeomorfismo local f inverte</p><p>orientação.</p><p>Caso a superf́ıcie M seja conexa, um difeomorfismo local de M nou-</p><p>tra superf́ıcie orientada N preserva ou inverte orientação. (Ou seja, se a</p><p>derivada f ′(x) leva bases positivas em bases positivas num ponto x ∈M</p><p>então faz o mesmo em todos os pontos de M .) Se M é desconexa, f</p><p>pode preservar orientação numa componente e inverter noutra.</p><p>Teorema 1. Sejam M , N superf́ıcies orientadas, h : M → N um dife-</p><p>omorfismo que preserva orientação e ω uma forma cont́ınua em N , de</p><p>grau m = dimN , com suporte compacto, contido na imagem de uma</p><p>parametrização. Então</p><p>∫</p><p>M h∗ω =</p><p>∫</p><p>N ω.</p><p>Demonstração: Seja ψ : V0 → V ⊂ N uma parametrização positiva</p><p>tal que supp. ω ⊂ V . Tomando U = h−1(V ), e ϕ = h−1 ◦ ψ : V0 → U ,</p><p>vemos que h∗ω é uma forma cont́ınua de grau m = dimM , cujo suporte</p><p>h−1(supp. ω) é compacto e contido na imagem da parametrização po-</p><p>sitiva ϕ : V0 → U em M . Seja Y um conjunto compacto J-mensurável</p><p>em R</p><p>n, tal que ψ−1(supp. ω) = ϕ−1(supp. h∗ω) ⊂ Y ⊂ V0 . Então, como</p><p>h ◦ ϕ = ψ, temos:</p><p>∫</p><p>M</p><p>h∗ω =</p><p>∫</p><p>Y</p><p>ϕ∗h∗ω =</p><p>∫</p><p>Y</p><p>(h ◦ ϕ)∗ω =</p><p>∫</p><p>Y</p><p>ψ∗ω =</p><p>∫</p><p>N</p><p>ω.</p><p>Se o difeomorfismo h inverte a orientação então tem-se</p><p>∫</p><p>M h∗ω =</p><p>−</p><p>∫</p><p>N ω.</p><p>Se as superf́ıcies M e N não são conexas, como o difeomorfismo h</p><p>pode preservar a orientação em algumas componentes de M e inverter</p><p>noutras, não se pode afirmar em geral qual a relação entre</p><p>∫</p><p>M h∗ω e∫</p><p>N ω.</p><p>Na etapa seguinte, definiremos a integral de uma forma cont́ınua de</p><p>grau m = dimM , com suporte compacto numa superficie orientada M ,</p><p>de classe Ck.</p><p>A fim de reduzir este caso ao anterior, tomamos uma cobertura finita</p><p>supp. ω ⊂ U1∪· · ·∪Ur , onde cada aberto Ui , i = 1, . . . , r, é a imagem de</p><p>uma parametrização positiva ϕi : Ui0 → Ui. Em seguida, consideramos</p><p>uma partição da unidade de classe Ck, ξ1 + · · · + ξr = 1, onde cada</p><p>ξi : M → [0, 1] tem suporte contido em Ui . Para cada i = 1, . . . , r, a</p><p>forma ωi = ξi·ω tem suporte compacto, (por ser um subconjunto fechado</p><p>Seção 1 Integral de superf́ıcie 95</p><p>do suporte de ω), contido na vizinhança parametrizada Ui , logo faz</p><p>sentido a integral</p><p>∫</p><p>M ωi . Pomos então, por definição,</p><p>∫</p><p>M ω =</p><p>r∑</p><p>i=1</p><p>∫</p><p>M ωi .</p><p>Resta provar que a integral</p><p>∫</p><p>M ω, assim definida, não depende da</p><p>partição da unidade</p><p>r∑</p><p>i=1</p><p>ξi = 1.</p><p>Para isto, usaremos o fato de que</p><p>∫</p><p>M</p><p>( r∑</p><p>i=1</p><p>αi</p><p>)</p><p>=</p><p>r∑</p><p>i=1</p><p>( ∫</p><p>M αi</p><p>)</p><p>quando</p><p>as formas cont́ınuas α1, . . . , αr têm suportes compactos, todos eles con-</p><p>tidos na mesma vizinhança parametrizada. (Fácil verificação.)</p><p>Seja então</p><p>s∑</p><p>j=1</p><p>ζj = 1 outra partição da unidade, estritamente subor-</p><p>dinada a uma cobertura V1 ∪ · · · ∪Vs ⊃ supp. ω, onde cada Vj tem fecho</p><p>compacto e é a imagem de uma parametrização ψj : Vj0 → Vj , a qual</p><p>supomos positiva. Pondo ω̄j = ζj ·ω e ωij = ξi · ζj ·ω, temos</p><p>r∑</p><p>i=1</p><p>ωij = ω̄j</p><p>e</p><p>s∑</p><p>j=1</p><p>ωij = ωi . Portanto</p><p>r∑</p><p>i=1</p><p>∫</p><p>M</p><p>ωi =</p><p>r∑</p><p>i=1</p><p>∫</p><p>M</p><p>s∑</p><p>j=1</p><p>ωij =</p><p>∑</p><p>i,j</p><p>∫</p><p>M</p><p>ωij =</p><p>s∑</p><p>j=1</p><p>∫</p><p>M</p><p>r∑</p><p>i=1</p><p>ωij =</p><p>s∑</p><p>j=1</p><p>∫</p><p>M</p><p>ω̄j .</p><p>O teorema seguinte resume as propriedades básicas da integral de</p><p>uma forma cont́ınua com suporte compacto numa superf́ıcie orientada.</p><p>Teorema 2. 1)</p><p>∫</p><p>M (ω + ω̄) =</p><p>∫</p><p>M ω +</p><p>∫</p><p>M ω̄.</p><p>2) Se c ∈ R então</p><p>∫</p><p>M c · ω = c ·</p><p>∫</p><p>M ω.</p><p>3) Se ω ≥ 0 mas não é identicamente nula então</p><p>∫</p><p>M ω > 0.</p><p>4) Se h : M → N é um difeomorfismo que preserva orientação então∫</p><p>M h∗ω =</p><p>∫</p><p>N ω. Se h inverte orientação então</p><p>∫</p><p>M h∗ω = −</p><p>∫</p><p>N ω.</p><p>Demonstração: 1) e 2) óbvios quando ω e ω̄ têm suportes compactos</p><p>contidos na mesma vizinhança coordenada. O caso geral reduz-se a este</p><p>por aditividade.</p><p>3) Como ω é cont́ınua, se ω(x0) > 0 então ω(x) > 0 para todo x</p><p>numa vizinhança de x0 . Assim a soma que define</p><p>∫</p><p>M ω tem pelo menos</p><p>uma parcela positiva e as demais não-negativas.</p><p>4) Isto resulta do Teorema 1 mais aditividade.</p><p>96 O Teorema de Stokes Cap. 5</p><p>Quando a superf́ıcie orientada M é compacta, toda forma diferencial</p><p>em M tem suporte compacto, portanto tem sentido considerar</p><p>∫</p><p>M ω</p><p>para qualquer forma cont́ınua de grau m = dimM .</p><p>O teorema abaixo contém uma primeira relação entre a integral e a</p><p>diferencial exterior.</p><p>Teorema 3. Seja ω uma forma diferencial de classe C1, grau m e</p><p>suporte compacto na superf́ıcie orientada M , de dimensão m+1. Então∫</p><p>M dω = 0.</p><p>Demonstração: Se ω = ω1 + · · · + ωk então</p><p>∫</p><p>M dω =</p><p>k∑</p><p>i=1</p><p>∫</p><p>M dωi . Po-</p><p>demos supor então que o suporte de ω está contido na imagem de uma</p><p>parametrização positiva ϕ : U0 → U . O caso geral reduz-se a este medi-</p><p>ante uma partição da unidade. Para todo x = ϕ(u) ∈ U , escrevamos</p><p>ω(x) =</p><p>m+1∑</p><p>i=1</p><p>(−1)i+1 ai(u)du1 ∧ · · · ∧ d̂ui ∧ · · · ∧ dum+1 .</p><p>Então</p><p>dω(x) =</p><p>[</p><p>m+1∑</p><p>i=1</p><p>∂ai</p><p>∂ui</p><p>(u)</p><p>]</p><p>du1 ∧ · · · ∧ dum+1 .</p><p>Seja K =</p><p>m+1∏</p><p>i=1</p><p>[αi, βi] um bloco em R</p><p>m+1 contendo ϕ−1(supp. ω). Con-</p><p>sideremos as funções a1, . . . , am+1 definidas (e de classe C1) em K,</p><p>pondo-as iguais a zero em K − U0 . Em particular, cada ai se anula</p><p>na fronteira de K, isto é, ai(u1, . . . , um+1) = 0 se algum uj = αj ou</p><p>uj = βj . Para cada i = 1, . . . ,m + 1, seja Ki o produto cartesiano dos</p><p>intervalos [αj , βj ], com exceção do i-ésimo. Temos:</p><p>∫</p><p>M</p><p>dω =</p><p>m+1∑</p><p>i=1</p><p>∫</p><p>K</p><p>∂ai</p><p>∂ui</p><p>(u) du1 . . . dum+1</p><p>=</p><p>m+1∑</p><p>i=1</p><p>∫</p><p>Ki</p><p>[∫ βi</p><p>αi</p><p>∂ai</p><p>∂ui</p><p>(u)dui</p><p>]</p><p>du1 . . . d̂ui . . . dum+1</p><p>=</p><p>m+1∑</p><p>i=1</p><p>∫</p><p>Ki</p><p>[ai(u1, . . . , βi, . . . ,um+1)−ai(u1, . . . , αi, . . . , um+1)]=0.</p><p>Seção 1 Integral de superf́ıcie 97</p><p>Corolário 1. Seja ω uma forma diferencial de grau m e classe C1 numa</p><p>superf́ıcie compacta orientada de dimensão m. Se ω não é identicamente</p><p>nula mas ω(x) ≥ 0 para todo x ∈ M então ω não é exata, embora seja</p><p>fechada.</p><p>Com efeito, tem-se</p><p>∫</p><p>M ω > 0.</p><p>Analogamente, se ω ≤ 0 mas não é identicamente nula então</p><p>∫</p><p>M ω<0</p><p>logo ω não é exata.</p><p>Lembremos que toda forma diferencial de classe C1 e grau m numa</p><p>superf́ıcie de dimensão m é fechada.</p><p>Exemplo 1. A forma elemento de volume é um exemplo de forma</p><p>positiva de grau m numa superf́ıcie compacta orientada de dimensão m,</p><p>logo não é exata.</p><p>Exemplo 2. Se a superf́ıcie orientada M de dimensão m não é com-</p><p>pacta, uma forma positiva de grau m em M pode ser exata. Este é</p><p>o caso da forma ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxm em R</p><p>m, pois ω = dα, onde</p><p>α =</p><p>1</p><p>m</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>(−1)i+1dx1 ∧ · · · ∧ d̂xi ∧ · · · ∧ dxm .</p><p>Corolário 2. Sejam M , N superf́ıcies compactas orientadas, de mesma</p><p>dimensão m. Se as aplicações f, g : M → N , de classe C∞, são ho-</p><p>motópicas então, para toda forma diferencial fechada ω, de grau m e</p><p>classe C∞ em N , tem-se</p><p>∫</p><p>M f∗ω =</p><p>∫</p><p>M g∗ω.</p><p>Com efeito, pelo Teorema 3 do Caṕıtulo 4, existe α ∈ Λm−1(M) tal</p><p>que g∗ω − f∗ω = dα, portanto</p><p>∫</p><p>M</p><p>g∗ω −</p><p>∫</p><p>M</p><p>f∗ω =</p><p>∫</p><p>M</p><p>(g∗ω − f∗ω) =</p><p>∫</p><p>M</p><p>dα = 0.</p><p>Um campo de vetores tangentes a uma superf́ıcie M ⊂ R</p><p>n é uma</p><p>aplicação v : M → R</p><p>n tal que v(x) ∈ TxM para todo x ∈ M . Uma</p><p>singularidade do campo v é um ponto x ∈M tal que v(x) = 0.</p><p>No caso particular da esfera Sm, um campo de vetores tangentes</p><p>é simplesmente uma aplicação v : Sm → R</p><p>m+1 tal que 〈x, v(x)〉 = 0</p><p>para todo x ∈ Sm, pois TxS</p><p>m é o complemento ortogonal do subespaço</p><p>gerado por x.</p><p>Teorema 4 (Poincaré-Brouwer). Se m é par, todo campo cont́ınuo de</p><p>vetores tangentes a Sm possui ao menos uma singularidade.</p><p>98 O Teorema de Stokes Cap. 5</p><p>v(x)</p><p>Sm</p><p>f(x)</p><p>0</p><p>x</p><p>Figura 23. A partir de um campo cont́ınuo de vetores tangentes</p><p>v : Sm → Rm+1, obtém-se uma aplicação cont́ınua f : Sm → Sm,</p><p>homotópica ao mesmo tempo à identidade e à aplicação ant́ıpoda.</p><p>Demonstração: O esquema da demonstração será o seguinte:</p><p>prova-</p><p>se que a aplicação ant́ıpoda α : Sm → Sm, definida por α(x) = −x,</p><p>inverte orientação quando m é par. Logo, em virtude do Teorema 3</p><p>e, mais especificamente, do Corolário 2, quando m é par, α não pode</p><p>ser homotópica à aplicação identidade de Sm. Mas se existir em Sm</p><p>um campo cont́ınuo de vetores tangentes sem singularidades então isso</p><p>fornecerá uma homotopia entre α e a aplicação identidade. Comecemos</p><p>provando esta última afirmação. Dado o campo v : Sm → R</p><p>m+1, com</p><p>v(x) 6= 0 e v(x) ⊥ x para todo x ∈ Sm, definamos a aplicação cont́ınua</p><p>f : Sm → Sm pondo f(x) = (x + v(x))</p><p>/</p><p>|x + v(x)|. Então f(x) 6= x e</p><p>f(x) 6= −x para todo x ∈ Sm. Isto permite que definamos as homotopias</p><p>H,K : Sm × [0, 1] → Sm, onde</p><p>H(x, t) =</p><p>(1 − t)x+ tf(x)</p><p>|(1 − t)x+ tf(x)| e K(x, t) =</p><p>(1 − t)f(x) − tx</p><p>|(1 − t)f(x) − tx| ·</p><p>H é uma homotopia entre a aplicação identidade e f , enquanto K é uma</p><p>homotopia entre f e α. Por transitividade, vemos que a existência do</p><p>campo v implica que α seja homotópica à identidade.</p><p>Resta agora mostrar que a aplicação ant́ıpoda α : Sm → Sm, α(x) =</p><p>−x, inverte orientação quando m é par. Levando em conta que o campo</p><p>de vetores v(x) = x em Sm é normal (e não-nulo), adotamos em Sm a</p><p>orientação segundo a qual uma base {w1, . . . , wm} ⊂ TxS</p><p>m é positiva</p><p>Seção 2 Superf́ıcies com bordo 99</p><p>se, e somente se, a matriz (m+1)× (m+1) cujas colunas são os vetores</p><p>x,w1, . . . , wm, nesta ordem, tem determinante positivo. A aplicação</p><p>ant́ıpoda α : Sm → Sm, sendo linear é, em cada ponto x ∈ Sm, igual à</p><p>sua derivada. Assim, para cada x em Sm, α′(x) transforma uma base</p><p>positiva {w1, . . . , wm} ⊂ TxS</p><p>m na base {−w1, . . . ,−wm} ⊂ T−xS</p><p>m, a</p><p>qual é negativa pois det[−x,−w1, . . . ,−wm] = −det[x,w1, . . . , wm] já</p><p>que m é par. Pelo mesmo motivo, α preserva orientação quando m é</p><p>ı́mpar.</p><p>2 Superf́ıcies com bordo</p><p>O Teorema de Stokes diz respeito a superf́ıcies com bordo, as quais apre-</p><p>sentaremos agora. Sua definição é praticamente a mesma das superf́ıcies</p><p>sem bordo, que vimos considerando até agora, só que as parametrizações</p><p>têm como domı́nios conjuntos abertos em semi-espaços do espaço eucli-</p><p>diano.</p><p>A cada vetor v 6= 0 em R</p><p>m+1 corresponde um semi-espaço Hv ⊂ R</p><p>m+1</p><p>definido como</p><p>Hv = {x ∈ R</p><p>m+1; 〈v, x〉 ≤ 0}.</p><p>O bordo do semi-espaçoHv é o hiperplano ∂Hv = {x ∈ R</p><p>m+1; 〈v, x〉 = 0}.</p><p>Assim, ∂Hv é o complemento ortogonal do (subespaço gerado pelo) ve-</p><p>tor v.</p><p>Tem-se Hv = Hw se, e somente se, w = c · v com c > 0.</p><p>As vezes, por simplicidade, escreveremos H em vez de Hv .</p><p>Se T : R</p><p>m+1 → R</p><p>m+1 é um operador ortogonal com Tv = w, tem-se</p><p>T (Hv) = Hw .</p><p>Hv</p><p>∂Hv</p><p>v</p><p>w</p><p>∂Hw</p><p>Hw</p><p>Figura 24. Semi-espaços.</p><p>100 O Teorema de Stokes Cap. 5</p><p>Escreveremos os pontos de R</p><p>m+1 como x = (x0, x1, . . . , xm) e, cor-</p><p>respondentemente, a base canônica será {e0, e1, . . . , em}. Um semi-</p><p>espaço freqüentemente usado é H0 = He0 , formado pelos pontos x =</p><p>(x0, x1, . . . , xm) tais que x0 ≤ 0. O bordo de H0 é o conjunto dos pon-</p><p>tos (0, x1, . . . , xm). Faremos a identificação ∂H0 = R</p><p>m, tornando assim</p><p>R</p><p>m ⊂ R</p><p>m+1.</p><p>∂H</p><p>A1</p><p>∂H</p><p>∂A2</p><p>A2</p><p>H</p><p>Figura 25. Abertos de dois tipos no semi-espaço H .</p><p>Um subconjunto aberto A no semi-espaço H tem a forma A = U∩H,</p><p>onde U é aberto em R</p><p>m+1. A interseção ∂A = A∩∂H, que é um aberto</p><p>em ∂H, chama-se o bordo de A. Se ∂A = ∅, A é simplesmente um</p><p>aberto em R</p><p>m+1.</p><p>Seja A ⊂ H um aberto no semi-espaçoH. Uma aplicação f : A→ R</p><p>n</p><p>diz-se de classe Ck (respect. diferenciável) quando f = F |A é a restrição</p><p>de uma aplicação F : U → R</p><p>n de classe Ck (respect. diferenciável) num</p><p>aberto U de R</p><p>m+1, com A ⊂ U .</p><p>Como se mostra facilmente, a composta de duas aplicações de classe</p><p>Ck (respect. diferenciáveis) em abertos de semi-espaços é ainda de classe</p><p>Ck (respect. diferenciável).</p><p>Se A ⊂ H e B ⊂ K são abertos nos semi-espaços H e K, uma</p><p>aplicação f : A → B, de classe Ck (respect. diferenciável) chama-se um</p><p>difeomorfismo quando possui uma inversa g : B → A também de classe</p><p>Ck (respect. diferenciável).</p><p>Seção 2 Superf́ıcies com bordo 101</p><p>A aplicação f : A → R</p><p>n, diferenciável no aberto A ⊂ H do semi-</p><p>espaço H tem sua derivada f ′(x) : R</p><p>m+1 → R</p><p>n, no ponto x ∈ A, definida</p><p>como F ′(x) : R</p><p>m+1 → R</p><p>n, onde F : U → R</p><p>n é qualquer extensão dife-</p><p>renciável de f a um aberto U ⊂ R</p><p>m+1 que contenha A. Se x /∈ ∂A então</p><p>é claro que esta definição não depende da aplicação F pois, neste caso,</p><p>x pertence ao interior de A em R</p><p>m+1 e então duas escolhas quaisquer</p><p>de F coincidem numa vizinhança de x.</p><p>Seja agora x ∈ ∂A = A∩∂H. Devemos mostrar que, para todo vetor</p><p>w ∈ R</p><p>m+1, o vetor F ′(x) ·w depende apenas dos valores F (y) de F nos</p><p>pontos y ∈ A, ou seja, dos valores f(y). Ora, temos w = c · v + u, onde</p><p>H = Hv e u ∈ ∂H. Logo F ′(x) · w = F ′(x) · u + c · F ′(x) · v. Como</p><p>u pertence ao hiperplano ∂H, a parcela F ′(x) · u depende apenas do</p><p>comportamento de F em A ∩ ∂H = ∂A, onde F coincide com f . E a</p><p>segunda parcela, c · F ′(x) · v, é um múltiplo de</p><p>F ′(x) · v = lim</p><p>t→0</p><p>F (x+ tv) − F (x)</p><p>t</p><p>= lim</p><p>t→0−</p><p>F (x+ tv) − F (x)</p><p>t</p><p>=</p><p>= lim</p><p>t→0−</p><p>f(x+ tv) − f(x)</p><p>t</p><p>pois para todo t < 0 suficientemente pequeno (em valor absoluto), tem-</p><p>se x+ tv ∈ H. Assim, F ′(x) · v depende apenas de f .</p><p>Portanto, a definição f ′(x) = F ′(x) : R</p><p>m+1 → R</p><p>n não depende da</p><p>escolha da aplicação F que estende f a um aberto de R</p><p>m+1. Dáı resulta</p><p>que vale a Regra da Cadeia e que uma bijeção diferenciável é um dife-</p><p>omorfismo entre abertos de semi-espaços se, e somente se, sua derivada</p><p>em cada ponto é uma transformação linear invert́ıvel.</p><p>Merece destaque o fato de que o bordo ∂A de um aberto A num semi-</p><p>espaço é invariante por difeomorfismos, conforme o teorema abaixo.</p><p>Teorema 5. Sejam A ⊂ H e B ⊂ K abertos em semi-espaços. Se</p><p>h : A→ B é um difeomorfismo de classe Ck (k ≥ 1) então h(∂A) = ∂B.</p><p>Demonstração: Seja x ∈ A−∂A. Existe um aberto U ⊂ R</p><p>m+1 tal que</p><p>x ∈ U ⊂ A. Como h′(x) : R</p><p>m+1 → R</p><p>m+1 é um isomorfismo, podemos</p><p>tomar U ∋ x tão pequeno que V = h(U) ⊂ B seja um aberto em R</p><p>m+1,</p><p>naturalmente contendo h(x). Então h(x) /∈ ∂B. Portanto h(A− ∂A) ⊂</p><p>B − ∂B. Analogamente se mostra que h−1(B − ∂B) ⊂ A − ∂A. Logo</p><p>h(∂A) = ∂B.</p><p>102 O Teorema de Stokes Cap. 5</p><p>Diz-se que o vetor w ∈ R</p><p>m+1 aponta para fora do semi-espaço Hu</p><p>quando 〈u,w〉 > 0. Se A ⊂ Hu é um aberto tal que ∂A 6= ∅, diz-se</p><p>também que w aponta para fora de A.</p><p>Teorema 6. Sejam A ⊂ Hu e B ⊂ Hv abertos em semi-espaços de</p><p>R</p><p>m+1. Dado o difeomorfismo h : A→ B, se w ∈ R</p><p>m+1 aponta para fora</p><p>de A então, para todo x ∈ ∂A, h′(x) · w aponta para fora de B.</p><p>Demonstração: Para todo x ∈ ∂A, devemos mostrar que</p><p>〈v, h′(x) · w〉 > 0, sabendo que 〈u,w〉 > 0. Pelo Teorema 5, a deri-</p><p>vada h′(x) : R</p><p>m+1 → R</p><p>m+1 transforma o hiperplano ∂Hu em ∂Hv , ou</p><p>seja, tem-se 〈v, h′(x) ·w〉 = 0 se, e somente se, 〈u,w〉 = 0. Assim sendo,</p><p>basta mostrar que 〈v, h′(x) · w〉 ≥ 0. Ora, para todo t < 0 suficiente-</p><p>mente próximo de zero, tem-se x+ t ·w ∈ A− ∂A portanto (novamente</p><p>pelo Teorema 5) h(x+ tw) ∈ B−∂B e dáı 〈v, h(x+ tw)〉 < 0. Para esses</p><p>valores de t (lembrando que 〈v, h(x)〉 = 0), temos</p><p>〈</p><p>v,</p><p>h(x+ tw) − h(x)</p><p>t</p><p>〉</p><p>=</p><p>〈</p><p>v,</p><p>h(x+ tw)</p><p>t</p><p>〉</p><p>> 0.</p><p>Passando ao limite quanto t→ 0−, vem 〈v, h′(x)·w〉 ≥ 0, como queŕıamos.</p><p>Uma superf́ıcie com bordo, de dimensão m + 1 e classe Ck, é um</p><p>conjunto M ⊂ R</p><p>n tal que cada ponto x ∈ M pertence a um aberto</p><p>U ⊂M que é imagem de uma parametrização ϕ : U0 → U , de classe Ck,</p><p>definida num subconjunto U0 , aberto em algum semi-espaço de R</p><p>m+1.</p><p>Como no caso sem bordo, uma parametrização ϕ : U0 → U , cujo</p><p>domı́nio é aberto num semi-espaço, é uma aplicação de classe Ck cuja</p><p>derivada ϕ′(u) : R</p><p>m+1 → R</p><p>n é injetiva em cada ponto u ∈ U0 e, além</p><p>disso, ϕ deve ser um homeomorfismo de U0 sobre o aberto U ⊂M .</p><p>Se ϕ : U0 → U e ψ : V0 → V são parametrizações na superf́ıcie de</p><p>classe Ck, com bordo, e U ∩V 6= ∅ então a mudança de parametrização</p><p>ξ = ψ−1 ◦ ϕ : ϕ−1(U ∩ V ) → ψ−1(U ∩ V ) é um difeomorfismo.</p><p>Este</p><p>fato foi provado no Vol. 2 (v. Corolário 3 no Cap. 7) para superf́ıcies</p><p>sem bordo. A demonstração aqui segue as mesmas linhas, salvo por um</p><p>detalhe, que é o seguinte. Quando uma aplicação f : U → R</p><p>n é definida</p><p>num aberto U ⊂ R</p><p>m+1, tanto faz dizer que f é de classe Ck como dizer</p><p>que f é localmente de classe Ck, isto é, que cada ponto x ∈ U possui</p><p>uma vizinhança aberta, contida em U , restrita à qual f é de classe Ck.</p><p>Na verdade, esta é a própria definição de f ∈ Ck.</p><p>Seção 2 Superf́ıcies com bordo 103</p><p>No Vol. 2 (loc. cit.), foi provado que a mudança de parametrização</p><p>ψ−1 ◦ ϕ : ϕ−1(U ∩ V ) → ψ−1(U ∩ V ) é localmente de classe Ck. Agora,</p><p>quando os domı́nios das parametrizações ϕ : U0 → U e ψ : V0 → V</p><p>são abertos em semi-espaços de R</p><p>m+1, aquela demonstração se aplica</p><p>perfeitamente, desde que demonstremos o</p><p>Teorema 7. Seja f : X → R</p><p>n uma aplicação definida no conjunto</p><p>(arbitrário) X ⊂ R</p><p>m+1. Suponha que, para cada x ∈ X, exista uma</p><p>aplicação Fx : Ux → R</p><p>n de classe Ck (respect. diferenciável), definida</p><p>num aberto Ux contendo x, tal que Fx(y) = f(y) se y ∈ Ux ∩X. Então,</p><p>pondo U =</p><p>⋃</p><p>x∈X</p><p>Ux , existe uma aplicação F : U → R</p><p>n, de classe Ck</p><p>(respect. diferenciável) no aberto U ⊃ X, tal que F (x) = f(x) para todo</p><p>x ∈ X.</p><p>Noutras palavras (e em particular) se f : A → R</p><p>n é localmente de</p><p>classe Ck (respect. diferenciável) então f é de classe Ck (respect. dife-</p><p>renciável).</p><p>Demonstração: Basta tomar uma partição da unidade</p><p>∑</p><p>x∈X</p><p>ξx(y) = 1,</p><p>de classe Ck no aberto U , estritamente subordinada à cobertura aberta</p><p>U =</p><p>⋃</p><p>x∈X</p><p>Ux , e depois definir F : U → R</p><p>n pondo F (y) =</p><p>∑</p><p>x∈X</p><p>ξx(y)·Fx(y).</p><p>Se y ∈ X então F (y) =</p><p>∑</p><p>x∈X</p><p>ξx(y) · f(y) = f(y). Além disso, F é de</p><p>classe Ck (respect. diferenciável) porque as funções ξx e as aplicações</p><p>Fx , x ∈ X, o são.</p><p>Por definição, numa superf́ıcie com bordo M , todo ponto x pertence</p><p>à imagem U de uma parametrização ϕ : U0 → U , definida num aberto</p><p>U0 de um semi-espaço H ⊂ R</p><p>m+1. Há duas possibilidades:</p><p>1) x = ϕ(u), onde u /∈ ∂U0 , isto é, u pertence ao interior de U0</p><p>em R</p><p>m+1.</p><p>2) x = ϕ(u), com u ∈ ∂U0 = U0 ∩ ∂H.</p><p>Como a mudança de parametrização ξ = ψ−1 ◦ ϕ : ϕ−1(U ∩ V ) →</p><p>ψ−1(U ∩ V ) é um difeomorfismo, segue-se do Teorema 5 que se o ponto</p><p>x ∈M se enquadra numa das duas categorias acima com respeito a uma</p><p>parametrização ϕ então ocorre o mesmo em relação a qualquer outra</p><p>parametrização ψ : V0 → V tal que x ∈ U ∩ V .</p><p>Assim, podemos definir o bordo da superf́ıcie M como o conjunto</p><p>∂M dos pontos x ∈M tais que existe uma parametrização ϕ : U0 → U ,</p><p>com x = ϕ(u), u ∈ ∂U0 .</p><p>104 O Teorema de Stokes Cap. 5</p><p>���������</p><p>���������</p><p>���������</p><p>���������</p><p>U0</p><p>∂M</p><p>M</p><p>U</p><p>ϕ</p><p>H</p><p>x</p><p>u</p><p>Figura 26. Parametrização de uma vizinhança do ponto x ∈ ∂M .</p><p>Se a parametrização ψ : V0 → V , na superf́ıcie com bordo M , tem</p><p>como domı́nio o aberto V0 do semi-espaço Hw ⊂ R</p><p>m+1 e T : R</p><p>m+1 →</p><p>R</p><p>m+1 é um operador ortogonal tal que T ·v = w então T (Hv) = Hw</p><p>e, pondo U0 = T−1(V0), vemos que U0 é um subconjunto aberto do</p><p>semi-espaço Hv e ϕ = ψ ◦ T : U0 → V é uma parametrização.</p><p>Sabemos que, para todo v 6= 0 em R</p><p>m+1 e todo c > 0, tem-se</p><p>Hv = Hcv . Logo, não há perda de generalidade em supor que em todo</p><p>semi-espaço Hv tem-se |v| = 1. Então existe um operador ortogonal</p><p>T : R</p><p>m+1 → R</p><p>m+1 tal que T · e0 = v onde e0 = (1, 0, . . . , 0) ∈ R</p><p>m+1.</p><p>Desta maneira, dada qualquer parametrização ψ : V0 → V em M , com</p><p>V0 ⊂ Hv , obtemos uma parametrização ϕ = ψ ◦ T : U0 → V , com a</p><p>mesma imagem V mas agora definida no aberto U0 = T−1(V0) do semi-</p><p>espaço padrão H0 = {(x0, x1, . . . , xm) ∈ R</p><p>m+1; x0 ≤ 0}.</p><p>As parametrizações que têm como domı́nio um aberto do semi-espaço</p><p>H0 serão chamadas de padronizadas. Acabamos de ver que não há perda</p><p>de generalidade em admitir que todas as parametrizações de uma su-</p><p>perf́ıcie com bordo são padronizadas.</p><p>Conforme convencionamos anteriormente, consideraremos ∂H0 = R</p><p>m</p><p>ao identificarmos (0, x1, . . . , xm) com (x1, . . . , xm).</p><p>Se M é uma superf́ıcie de classe Ck e dimensão m + 1, com bordo,</p><p>então seu bordo ∂M é uma superf́ıcie de classe Ck e dimensão m, sem</p><p>bordo.</p><p>Para ver que isto é verdade, basta considerar em M apenas para-</p><p>metrizações padronizadas. Se ϕ : U0 → U ⊂ M é uma parametrização</p><p>padronizada então ∂U0 é um aberto em R</p><p>m e a restrição de ϕ a ∂U0 é</p><p>uma parametrização em ∂M , cuja imagem é ∂U = U ∩ ∂M .</p><p>Seção 2 Superf́ıcies com bordo 105</p><p>Assim, no contexto das parametrizações padronizadas, as parametri-</p><p>zações de ∂M são as restrições a R</p><p>m das parametrizações de M (onde</p><p>dimM = m+ 1).</p><p>Seguem-se alguns exemplos de superf́ıcies com bordo.</p><p>Exemplo 3. Um semi-espaço Hu ⊂ R</p><p>m+1 é uma superf́ıcie com bordo,</p><p>na qual basta considerar a aplicação identidade id: Hu → Hu como</p><p>única parametrização. Seu bordo é ∂Hu = {x ∈ R</p><p>m+1; 〈u, x〉 = 0}.</p><p>Em particular, se u = e0 = (1, 0, . . . , 0) ∈ R</p><p>m+1 então Hu é o semi-</p><p>espaço padrão H0 = {(x0, x1, . . . , xm) ∈ R</p><p>m+1; x0 ≤ 0}, cujo bordo é</p><p>∂H0 = R</p><p>m = {x ∈ R</p><p>m+1; x0 = 0}.</p><p>Exemplo 4. O intervalo [a, b] requer pelo menos duas parametrizações</p><p>para ser considerado uma “superf́ıcie” com bordo. Elas são, por exemplo,</p><p>ϕ : (−1, 0] → (a, b] e ψ : (−1, 0] → [a, b), definidas por ϕ(t) = (b−a)t+ b</p><p>e ψ(t) = (a − b)t + a. O bordo de [a, b] é o conjunto {a, b}, com dois</p><p>elementos.</p><p>Exemplo 5. Seja B a bola fechada de centro 0 e raio 1 em R</p><p>m+1,</p><p>com m > 0. (O caso m = 0 está contido no exemplo anterior, to-</p><p>mando [a, b] = [−1, 1].) Mostremos que B é uma superf́ıcie de dimensão</p><p>m + 1, cujo bordo é a esfera unitária Sm. O interior de B pode ser</p><p>parametrizado pela aplicação identidade. Se p ∈ Sm = ∂B, podemos</p><p>parametrizar uma vizinhança de p em B tomando uma parametrização</p><p>ϕ : U0 → U de um aberto U ⊂ Sm com p ∈ U , com U0 ⊂ R</p><p>m e definindo</p><p>Φ: (−1, 0]×U0 → B por Φ(t, u) = (1+ t) ·ϕ(u). Quando ϕ descreve um</p><p>atlas em Sm, as imagens das parametrizações Φ cobrem B−{0} e, junta-</p><p>mente com a aplicação identidade do interior de B, completam um atlas</p><p>que faz da bola fechada B uma superf́ıcie com bordo, com ∂B = Sm. O</p><p>mesmo se dá com as bolas fechadas com centros nos pontos c ∈ R</p><p>m+1 e</p><p>raios r > 0 arbitrários.</p><p>Exemplo 6. O produto cartesiano M×N de uma superf́ıcie com bordo</p><p>M por uma superf́ıcie (sem bordo) N é uma superf́ıcie com bordo, sendo</p><p>∂(M × N) = ∂M × N . Isto se deve ao fato de que se U0 ⊂ H é um</p><p>aberto no semi-espaço H ⊂ R</p><p>m+1 e V0 é um aberto em R</p><p>n então U0×V0</p><p>é aberto no semi-espaço H×R</p><p>n ⊂ R</p><p>m+n+1. Como no caso de superf́ıcies</p><p>sem bordo, dadas as parametrizações ϕ : U0 → U em M e ψ : V0 → V</p><p>em N , as aplicações do tipo ϕ × ψ : U0 × V0 → U × V formam um</p><p>atlas em M × N . Convém observar que o produto cartesiano de duas</p><p>superf́ıcies com bordo não é uma superf́ıcie com bordo, pois o produto de</p><p>106 O Teorema de Stokes Cap. 5</p><p>dois semi-espaços possui vértices angulosos ou arestas, por isso não é um</p><p>semi-espaço. Por exemplo, o conjunto X = {(x, y, z) ∈ R</p><p>3; y ≤ 0, z ≤ 0}</p><p>é o produto cartesiano do semi-plano y ≤ 0 em R</p><p>2 pela semi-reta z ≤ 0</p><p>em R.</p><p>Exemplo 7. A vizinhança tubular fechada Vε[M ] de uma superf́ıcie M</p><p>(sem bordo) é uma superf́ıcie com bordo. Com efeito, todo ponto de</p><p>Vε[M ] pertence a uma vizinhança tubular local Vε[U ], que é um aberto</p><p>em Vε[M ], imagem do difeomorfismo Φ: U0 × B[0; 1] → Vε[u], como na</p><p>demonstração do Teorema 1, Caṕıtulo 4. Pelo Exemplo 6, U0 ×B[0; 1] é</p><p>uma superf́ıcie com bordo, logo Vε[M ] é localmente uma superf́ıcie com</p><p>bordo. Isto comprova a validez do Exemplo pois a definição de superf́ıcie</p><p>com bordo é local.</p><p>Exemplo 8. Seja f : U → R uma função de classe Ck no aberto U ⊂</p><p>R</p><p>m+1. Se 0 é um valor regular de f então o conjunto M = {x ∈</p><p>R</p><p>m+1; f(x) ≤ 0} é uma superf́ıcie com bordo, de classe Ck−1 e dimensão</p><p>m + 1, cujo bordo é N = f−1(0). Isto é válido quando f ∈ C1, mas</p><p>suporemos k ≥ 3 a fim de usar a vizinhança tubular Vε(N). Definimos o</p><p>campo de vetores normais</p><p>w : N → R</p><p>m+1, de classe Ck−1, pondo, para</p><p>cada x ∈ N , w(x) = λ(a) · grad f(x), onde λ(x) > 0 é tomado de modo</p><p>a se ter |w(x)| = ε(x). Isto nos dá o difeomorfismo Φ: (−1, 1) × N →</p><p>Vε(N), Φ(t, x) = x+ t ·w(x). O conjunto A = {x+ t ·w(x); −1 < t ≤ 0}</p><p>é aberto em M e Φ: (−1, 0]×N → A é um difeomorfismo, logo A é uma</p><p>superf́ıcie com bordo. Obviamente B = {x ∈ U ; f(x) < 0}, aberto em</p><p>R</p><p>m+1, é uma superf́ıcie. Logo M = A ∪ B é uma superf́ıcie com bordo</p><p>e ∂M = N .</p><p>Uma superf́ıcie com bordo M diz-se orientável quando admite um</p><p>atlas coerente, isto é, um conjunto A de parametrizações ϕ : U0 → U ,</p><p>ψ : V0 → V , etc, cujas imagens cobrem M e são tais que, se U ∩ V 6= ∅,</p><p>a mudança de parametrização ξ = ψ−1 ◦ ϕ : ϕ−1(U ∩ V ) → ψ−1(U ∩ V )</p><p>tem determinante jacobiano positivo em todos os pontos. O par (M,A)</p><p>chama-se uma superf́ıcie orientada e as parametrizações ϕ ∈ A dizem-se</p><p>positivas.</p><p>Mostraremos a seguir que se M é orientável então seu bordo ∂M</p><p>também é orientável e toda orientação em M determina uma em ∂M ,</p><p>chamada a orientação induzida por M .</p><p>Começamos observando que toda superf́ıcie orientávelM de dimensão</p><p>≥ 2 possui um atlas coerente cujas parametrizações são todas padroniza-</p><p>das. De fato, seja ϕ : U0 → U uma parametrização positiva em M , onde</p><p>Seção 2 Superf́ıcies com bordo 107</p><p>U0 é um aberto no semi-espaço Hv ⊂ R</p><p>m+1. Sem perda de generalidade</p><p>podemos supor |v| = 1 e então, como m+ 1 ≥ 2, existe um operador or-</p><p>togonal T : R</p><p>m+1 → R</p><p>m+1, com determinante positivo, tal que T ·e0 = v,</p><p>logo T (H0) = Hv , onde H0 = {(x0, x1, . . . , xm) ∈ R</p><p>m+1; x0 ≤ 0}.</p><p>Então, pondo V0 = T−1(U0), vemos que ϕ ◦ T : V0 → U é uma para-</p><p>metrização padronizada, positiva, com a mesma imagem U de ϕ.</p><p>Observação. Uma “superf́ıcie” com bordo, compacta e conexa, de</p><p>dimensão 1 é difeomorfa ao intervalo [0, 1], o qual admite o atlas formado</p><p>pelas parametrizações ϕ : (0, 1] → [0, 1], ϕ(t) = t e ϕ : [0, 1) → [0, 1],</p><p>ϕ(t) = t. Este atlas é coerente pois ϕ−1 ◦ϕ : (0, 1) → (0, 1) é a aplicação</p><p>identidade. Logo [0, 1] é orientável. Mas é fácil ver que não existe atlas</p><p>coerente em [0, 1] que seja padronizado. Portanto, ao considerarmos</p><p>[0, 1] como uma superf́ıcie com bordo orientável, somos obrigados a abrir</p><p>mão da exigência de usarmos somente atlas padronizado.</p><p>Teorema 8. O bordo de uma superf́ıcie orientável é também orientável.</p><p>Demonstração: Consideremos uma superf́ıcie M , munida de um</p><p>atlas coerente A. O teorema é óbvio quando M tem dimensão 1 pois seu</p><p>bordo terá dimensão 0 e será obviamente orientável. Seja então dimM =</p><p>m+ 1 ≥ 2. Pelo que vimos acima, podemos supor que todas as parame-</p><p>trizações ϕ ∈ A são padronizadas. Seja x = ϕ(u) = ψ(v) um ponto de</p><p>∂M , onde ϕ : U0 → U e ψ : V0 → V pertencem ao atlas A. Sabemos que</p><p>as restrições de ϕ a ∂U0 ⊂ R</p><p>m e de ψ a ∂V0 ⊂ R</p><p>m são parametrizações</p><p>em ∂M . Quando ϕ e ψ variam em A, estas parametrizações formam um</p><p>atlas em ∂M . Vamos agora mostrar que este atlas é coerente, isto é, que</p><p>a restrição a</p><p>ϕ−1(U∩V )∩R</p><p>m do difeomorfismo ξ = ψ−1◦ϕ : ϕ−1(U∩V ) → ψ−1(U∩V )</p><p>tem determinante jacobiano positivo em todos os pontos. Com efeito,</p><p>como o vetor e0 aponta para fora do semi-espaço H0 (formado pelos</p><p>pontos (x0, x1, . . . , xm) com x0 ≤ 0), segue-se do Teorema 6 que, para</p><p>todo u = (0, u1, . . . , um) ∈ R</p><p>m, o vetor ξ′(u) · e0 = (a0, a1, . . . , am) tem</p><p>a primeira coordenada a0 > 0. Como ξ′(u) : R</p><p>m+1 → R</p><p>m+1 deixa R</p><p>m</p><p>invariante, sua matriz jacobiana tem a forma abaixo,</p><p>Jξ(u) =</p><p></p><p></p><p>a0 0 . . . 0</p><p>a1</p><p>... AAA</p><p>am</p><p></p><p></p><p>108 O Teorema de Stokes Cap. 5</p><p>onde AAA é a matriz jacobiana da restrição de ξ a ϕ−1(U ∩ V ) ∩ R</p><p>m.</p><p>Como det Jξ(u) > 0 e a0 > 0, segue-se que det AAA > 0, como queŕıamos</p><p>demonstrar.</p><p>∂M</p><p>x</p><p>ξ′(u)·e0</p><p>e0</p><p>MV</p><p>V0</p><p>U</p><p>U0</p><p>H0</p><p>ψ</p><p>ϕ</p><p>v</p><p>u</p><p>ξ</p><p>Figura 27. Se ϕ : U0 → U e ψ : V0 → V são parametrizações compat́ıveis</p><p>em M , as restrições ϕ|(∂U0) e ψ|(∂V0) são compat́ıveis em ∂M .</p><p>Explicitamente: Se A é um atlas coerente na superf́ıcie com bordo</p><p>M , a orientação induzida por A no bordo ∂M é dada pelo atlas formado</p><p>pelas restrições das parametrizações ϕ : U0 → U em M a cada bordo</p><p>∂U0 . Se a parametrização ϕ é padronizada, as parametrizações em ∂M</p><p>são do tipo (u1, . . . , um) 7→ ϕ(0, u1, . . . , um), onde ϕ ∈ A.</p><p>Em cada ponto x de uma superf́ıcie com bordo M , o espaço vetorial</p><p>tangente TxM se define do mesmo modo que no caso em que M não</p><p>possui bordo: toma-se uma parametrização ϕ : U0 → U ⊂ M , com</p><p>x = ϕ(u), e põe-se TxM = ϕ′(u) ·Rm+1, onde m+1 é a dimensão de M .</p><p>Como já vimos que a mudança de parametrização ξ = ψ−1 ◦ϕ é um</p><p>difeomorfismo, o espaço vetorial TxM não depende da parametrização</p><p>usada para defini-lo. Sua dimensão é m+ 1, a mesma de M , ainda que</p><p>o ponto x pertença ao bordo de M .</p><p>Quando x = ϕ(u) ∈ ∂M , o ponto u pertence a ∂U0 = U0 ∩H0 , onde</p><p>H0 ⊂ R</p><p>m+1 é o hiperplano bordo do semi-espaço H no qual U0 é um</p><p>Seção 2 Superf́ıcies com bordo 109</p><p>aberto. Neste caso, a derivada ϕ′(u) : R</p><p>m+1 → TxM transforma H0 no</p><p>subespaço Tx(∂M) ⊂ TxM . Assim, em cada ponto x ∈ ∂M , o espaço</p><p>vetorial tangente a ∂M é um hiperplano em TxM .</p><p>Tx∂M</p><p>x</p><p>∂M</p><p>TxM</p><p>M</p><p>Figura 28. Tx∂M é um hiperplano em TxM .</p><p>Seja x ∈ ∂M um ponto do bordo de uma superf́ıcie orientada M , de</p><p>dimensão m + 1. Diz-se que o vetor w ∈ TxM aponta para fora da su-</p><p>perf́ıcie M quando, dada qualquer parametrização positiva ϕ : U0 → U ,</p><p>definida no aberto U0 do semi-espaço H ⊂ R</p><p>m+1, com x = ϕ(u), tem-se</p><p>w = ϕ′(u) ·w0 , onde w0 ∈ R</p><p>m+1 aponta para fora de H. Em virtude do</p><p>Teorema 6, se isto ocorre com uma parametrização positiva, ocorre com</p><p>todas.</p><p>Olhemos agora para o Teorema 8 no caso de uma curva M , isto é,</p><p>uma superf́ıcie de dimensão 1. Então o bordo ∂M tem dimensão zero:</p><p>é um conjunto de pontos isolados.</p><p>Orientar uma superf́ıcie de dimensão zero é atribuir a cada um dos</p><p>seus pontos um sinal + ou − . Se a curva M (superf́ıcie unidimensional)</p><p>é orientada, a orientação induzida no bordo é, por definição, aquela que</p><p>atribui ao ponto x ∈ ∂M o sinal + quando para uma (e portanto para</p><p>qualquer) parametrização positiva ϕ : J0 → J em M , com x = ϕ(u), o</p><p>110 O Teorema de Stokes Cap. 5</p><p>vetor-velocidade ϕ′(u) aponta para fora de M . Caso contrário, x recebe</p><p>o sinal − .</p><p>M</p><p>a</p><p>b</p><p>Figura 29. ∂M = {−a,+b}.</p><p>Por exemplo, o intervalo [a, b] é uma superf́ıcie unidimensional, orien-</p><p>tada pelo atlas coerente A = {ϕ,ψ}, onde ϕ : (a, b] → (a, b] e ψ : [a, b) →</p><p>[a, b) são restrições da função identidade de [a, b]. A orientação dada</p><p>por A induz no bordo ∂[a, b] = {a, b} a orientação {−a,+b} pois o vetor</p><p>ϕ′</p><p>+(a) = (1) aponta para dentro de [a, b] enquanto o vetor ψ′</p><p>−(b) = (1)</p><p>aponta para fora. (Aqui, (1) = e0 é o único vetor da base canônica</p><p>de R</p><p>1.)</p><p>Exemplo 9. A faixa de Moebius (fronteira inclusive) é uma superf́ıcie</p><p>compacta não-orientável, cujo bordo, difeomorfo a uma circunferência,</p><p>é orientável. Isto mostra que não vale a rećıproca do Teorema 8.</p><p>3 O Teorema de Stokes</p><p>No teorema abaixo,</p><p>∫</p><p>∂M ω significa a integral, ao longo de ∂M , da forma</p><p>diferencial i∗ω, restrição de ω a ∂M , ou seja, pullback de ω pela aplicação</p><p>de inclusão i : ∂M → M . Além disso, o bordo ∂M está munido da</p><p>orientação induzida por M .</p><p>Teorema 9 (Stokes). Seja ω uma forma diferencial de grau m e classe</p><p>C1, com suporte compacto na superf́ıcie orientada M , de dimensão m+</p><p>1, com bordo ∂M . Então</p><p>∫</p><p>M dω =</p><p>∫</p><p>∂M ω.</p><p>Demonstração: Fazendo uso de uma partição da unidade podemos,</p><p>por aditividade, supor que o suporte de ω está contido na imagem de</p><p>uma parametrização positiva ϕ : U0 → U , em termos da qual podemos</p><p>escrever, para cada x = ϕ(u) ∈ U ,</p><p>ω(x) =</p><p>m∑</p><p>i=0</p><p>(−1)i ai(u) · du0 ∧ · · · ∧ d̂ui ∧ · · · ∧ dum ,</p><p>Seção 3 O Teorema de Stokes 111</p><p>portanto</p><p>dω(x) =</p><p>( m∑</p><p>i=0</p><p>∂ai</p><p>∂ui</p><p>(u)</p><p>)</p><p>· du0 ∧ · · · ∧ dum .</p><p>(A compacidade do suporte de ω assegura que a partição da unidade é</p><p>finita, logo</p><p>∫</p><p>e d são aditivas.)</p><p>Se o suporte</p><p>de ω for disjunto de ∂M , podemos ver ω como uma</p><p>forma com suporte compacto na superf́ıcie sem bordo M − ∂M . Então,</p><p>pelo Teorema 3, tem-se</p><p>∫</p><p>M dω = 0. Ao mesmo tempo, teremos i∗ω = 0</p><p>logo</p><p>∫</p><p>∂M ω = 0. Então vale a igualdade</p><p>∫</p><p>M dω =</p><p>∫</p><p>∂M ω = 0 quando</p><p>(supp. ω) ∩ ∂M = ∅.</p><p>Podemos então admitir que (supp. ω)∩∂M 6= ∅. Além disso, vamos</p><p>supor inicialmente quem+1 ≥ 2, de modo que a parametrização positiva</p><p>ϕ : U0 → U pode ser tomada padronizada, isto é, U0 é um aberto no</p><p>semi-espaço H0 = {(u0, . . . , um) ∈ R</p><p>m+1;u0 ≤ 0}. Seja K =</p><p>m∏</p><p>i=0</p><p>[αi, βi]</p><p>um bloco em R</p><p>m+1 contendo U0 , com β0 = 0, logo K ⊂ H0 . Para cada</p><p>i = 0, . . . ,m, seja Ki =</p><p>∏</p><p>j 6=i</p><p>[αj , βj ]. Em particular, K0 =</p><p>m∏</p><p>i=1</p><p>[αi, βi] é um</p><p>bloco em H0 contendo ϕ−1(supp. i∗ω). Estendamos continuamente as</p><p>funções a0, . . . , am a todo o bloco K, pondo-as iguais a zero nos pontos</p><p>de K − U0 . Para todo x = ϕ(u) = ϕ(0, u1, . . . , um) ∈ ∂U (= U ∩ ∂M),</p><p>temos (i∗ω)(x) = a0(0, u1, . . . , um) · du1 ∧ · · · ∧ dum , logo</p><p>∫</p><p>∂M</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>∂M</p><p>i∗ω =</p><p>∫</p><p>K0</p><p>a0(0, u1, . . . , um)du1 · . . . · dum .</p><p>Agora, vamos calcular a integral de dω, usando a redução de uma</p><p>integral múltipla a integrais repetidas. Antes observemos que se para</p><p>algum i > 0, a i-ésima coordenada do ponto u ∈ K é igual a αi ou</p><p>βi então todas as funções a0, . . . , am se anulam em u, pois ϕ(u) não</p><p>pertence ao suporte de ω. O mesmo se dá se a coordenada u0 de u</p><p>é igual a α0 ; mas a0(0, u1, . . . , um) = a0(β0, u1, . . . , um) pode assumir</p><p>112 O Teorema de Stokes Cap. 5</p><p>qualquer valor. Então</p><p>∫</p><p>M</p><p>dω =</p><p>m∑</p><p>i=0</p><p>∫</p><p>K</p><p>∂ai</p><p>∂ui</p><p>(u)du0 · du1 · . . . · dum</p><p>=</p><p>m∑</p><p>i=0</p><p>∫</p><p>Ki</p><p>[∫ βi</p><p>αi</p><p>∂ai</p><p>∂ui</p><p>(u)dui</p><p>]</p><p>du0 · . . . · d̂ui · . . . · dum</p><p>=</p><p>m∑</p><p>i=0</p><p>∫</p><p>Ki</p><p>[ai(u0, . . . , βi, . . . , um) − ai(u0, . . . , αi, . . . , um)]·</p><p>· du0 · . . . · d̂ui · . . . · dum</p><p>=</p><p>∫</p><p>K0</p><p>a0(0, u1, . . . , um)du1 . . . dum =</p><p>∫</p><p>∂M</p><p>ω.</p><p>Vejamos o caso em que m + 1 = 1. Então M é uma curva (su-</p><p>perf́ıcie de dimensão 1) orientada e ω, tendo grau zero, reduz-se a uma</p><p>função f : M → R, de classe C1. Resta dizer o que significa</p><p>∫</p><p>∂M f , a</p><p>integral de uma função ao longo de um conjunto discreto. Na verdade,</p><p>nos termos da demonstração acima, se exigirmos (como é razoável) que</p><p>cada vizinhança coordenada seja conexa, ∂M consiste num único ponto</p><p>±p. Então poremos</p><p>∫</p><p>±p f = ±f(p). Com esta convenção, a demons-</p><p>tração acima se aplica: se a parametrização padronizada é positiva,</p><p>temos</p><p>∫</p><p>M df =</p><p>∫</p><p>p f = f(p) e, se é negativa,</p><p>∫</p><p>M df =</p><p>∫</p><p>−p f = −f(p).</p><p>Usaremos o Teoema de Stokes para dar uma demonstração do Teo-</p><p>rema do Ponto Fixo de Brouwer. Como o nome sugere, um ponto fixo</p><p>de uma aplicação f : X → X é um ponto x ∈ X tal que f(x) = x.</p><p>No enunciado abaixo, B é a bola fechada de centro O e raio</p><p>1 em R</p><p>n.</p><p>Teorema 10. (Brouwer). Toda aplicação cont́ınua f : B → B admite</p><p>(ao menos) um ponto fixo.</p><p>Demonstração: O primeiro passo da demonstração consiste em mos-</p><p>trar que não há perda de generalidade em supor que f é de classe C∞.</p><p>Com efeito, se existisse uma aplicação cont́ınua f : B → B sem ponto</p><p>fixo então a função cont́ınua λ : B → R, definida por λ(x) = |f(x) − x|,</p><p>seria positiva para todo x ∈ B. Como B é compacta, existiria ε > 0</p><p>tal que λ(x) > ε para todo x ∈ B. Usando o Teorema de Aproximação,</p><p>obteŕıamos g : B → B, de classe C∞, tal que |g(x) − f(x)| < ε/2 para</p><p>todo x ∈ B. Então, de |f(x) − x| ≤ |f(x) − g(x)| + |g(x) − x| resulta</p><p>Seção 3 O Teorema de Stokes 113</p><p>que |g(x) − x| ≥ |f(x) − x| − |f(x) − g(x)| ≥ ε − ε/2 = ε/2. Portanto,</p><p>se existir uma aplicação cont́ınua f : B → B sem ponto fixo, existirá</p><p>também g : B → B, de classe C∞, sem ponto fixo.</p><p>Em seguida, mostraremos que se existir uma aplicação g : B → B,</p><p>de classe C∞, sem ponto fixo, existirá uma retração ϕ : B → Sn−1, de</p><p>classe C∞, sobre Sn−1 = ∂B.</p><p>A aplicação ϕ : B → Sn−1, tal que ϕ(x) = x para todo x ∈ Sn−1, é</p><p>definida pondo, para cada x ∈ B, ϕ(x) = interseção da semi-reta</p><p>−→</p><p>g(x)x</p><p>com a esfera Sn−1. Em termos anaĺıticos, tomando o vetor unitário</p><p>u = (x− g(x))/|x− g(x)|, tem-se ϕ(x) = x+ tu, onde t ≥ 0 é escolhido</p><p>de modo que seja |x+ tu| = 1.</p><p>Sn−1</p><p>ϕ(x)</p><p>g(x)</p><p>x</p><p>Bn</p><p>Figura 30. Supondo g : Bn → Bn sem ponto fixo, obtém-se uma retração</p><p>ϕ : Bn → Sn−1.</p><p>Para concluir que t é uma função C∞ de x (e portanto ϕ também),</p><p>notamos que a condição |x + tu|2 = 1 se escreve como |x|2 + 2〈x, u〉t +</p><p>t2 = 1, ou seja, é uma equação do segundo grau</p><p>t2 + 2〈x, u〉t− (1 − |x|2) = 0,</p><p>da qual</p><p>t = −〈x, u〉 +</p><p>√</p><p>〈x, u〉2 + 1 − |x|2</p><p>é a raiz não-negativa, logo t = t(x) ∈ C∞.</p><p>O Teorema do Ponto Fixo de Brouwer resulta, por conseguinte, do</p><p>Teorema 11. Se M é uma superf́ıcie de classe Ck (k ≥ 2), compacta,</p><p>orientada, com bordo ∂M , não existe uma retração r : M → ∂M de</p><p>classe Ck.</p><p>114 O Teorema de Stokes Cap. 5</p><p>Demonstração: Dando a ∂M a orientação induzida por M , seja ω</p><p>a forma elemento de volume, ou qualquer outra forma de grau m =</p><p>dim ∂M , com</p><p>∫</p><p>∂M ω 6= 0. Supondo a existência da retração r : M →</p><p>∂M , o Teorema de Stokes nos dá</p><p>0 6=</p><p>∫</p><p>∂M</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>∂M</p><p>r∗ω =</p><p>∫</p><p>M</p><p>d(r∗ω) =</p><p>∫</p><p>M</p><p>r∗(dω) =</p><p>∫</p><p>M</p><p>r∗0 = 0.</p><p>Na primeira das igualdades acima, usamos o fato de que ω = r∗ω em ∂M</p><p>pois r|∂M = identidade. E a penúltima igualdade resulta de ser dω = 0</p><p>pois o grau de ω é a dimensão da superf́ıcie ∂M onde está definida.</p><p>Observação. A abrangência do Teorema 11 é, sem dúvida, bem maior</p><p>do que requer o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer. Mas se quisermos</p><p>apenas mostrar que a esfera Sm não é um retrato da bola Bm+1, ou</p><p>seja, que a aplicação identidade id: Sm → Sm não possui uma extensão</p><p>r : Bm+1 → Sm, de classe Ck (k ≥ 2), basta usar o Lema de Poincaré</p><p>(Corolário 1, Cap. 3), segundo o qual toda forma fechada em Bm+1 é</p><p>exata. De fato, se r existisse, como ω é fechada e portanto r∗ω também,</p><p>teŕıamos r∗ω = dα para alguma forma α, de grau m−1 em Bm+1. Ora,</p><p>considerando a inclusão i : Sm → Bm+1 tem-se r ◦ i = id: Sm → Sm e</p><p>dáı viria</p><p>ω = (id)∗ω = (r ◦ i)∗ω = i∗(r∗ω) = i∗(dα) = d(i∗α),</p><p>um absurdo. Isto nos dá uma demonstração do Teorema do Ponto Fixo</p><p>de Brouwer, sem usar Stokes.</p><p>4 A orientação induzida no bordo</p><p>Exemplo 10. O anel M = {(x, y) ∈ R</p><p>2; 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4} é uma</p><p>superf́ıcie compacta, conexa, bidimensional, com bordo ∂M = C1 ∪C2 ,</p><p>onde C1 e C2 são as circunferências de raios 1 e 2, com centro na origem.</p><p>Seção 4 A orientação induzida no bordo 115</p><p>C1</p><p>C2</p><p>M</p><p>C1</p><p>M</p><p>Figura 31. A orientação natural do anel M induz orientações</p><p>opostas nas componentes C1 e C2 do bordo ∂M = C1 ∪C2.</p><p>A orientação natural de M é aquela em que as parametrizações posi-</p><p>tivas ϕ : U0 → U ⊂ M cumprem a condição det Jϕ(x, y) > 0 para todo</p><p>(x, y) ∈ U0 . Em cada ponto z = (x, y) ∈ M tem-se TzM = R</p><p>2 e</p><p>uma base {w1, w2} ⊂ TzM é positiva se, e somente se, det[w1, w2] > 0.</p><p>Intuitivamente, isto significa que o sentido de rotação de w1 para w2 é o</p><p>mesmo de e1 = (1, 0) para e2 = (0, 1). Esse sentido positivo de rotação</p><p>costuma ser indicado por meio de uma flexa circular, como na figura.</p><p>Isto permite visualizar a orientação induzida no bordo ∂M : o sentido de</p><p>percurso em cada uma das circunferências C1 e C2 deve ser compat́ıvel</p><p>com o sentido de rotação dado pelas flexas circulares próximas.</p><p>Então se nota que as orientações induzidas por M nas duas circun-</p><p>ferências C1 e C2 são opostas uma da outra.</p><p>Vamos analisar este fato sob um ponto de vista mais geral. O ele-</p><p>mento essencial é o</p><p>Teorema 12. Seja x ∈ ∂M um ponto do bordo de uma superf́ıcie ori-</p><p>entada M , de dimensão m+ 1 ≥ 2. Uma base {w1, . . . , wm} ⊂ Tx(∂M)</p><p>é positiva relativamente à orientação induzida por M se, e somente se,</p><p>para algum (e portanto para qualquer) vetor v ∈ TxM que aponte para</p><p>fora de M , a base {v, w1, . . . , wm} ⊂ TxM é positiva.</p><p>116 O Teorema de Stokes Cap. 5</p><p>Demonstração: Seja ϕ : U0 → U ⊂ M uma parametrização positiva</p><p>padronizada, com x = ϕ(u) ∈ U . Existem vetores v0, v1, . . . , vm ∈ R</p><p>m+1</p><p>tais que v = ϕ′(u) · v0 , w1 =</p><p>ϕ′(u) · v1, . . . , wm = ϕ′(u) · vm . Como v</p><p>aponta para fora de M , a primeira coordenada de v0 é > 0. E, como</p><p>w1, . . . , wm ∈ Tx(∂M), os vetores v1, . . . , vm têm todos a primeira coor-</p><p>denada igual a zero. A matriz de passagem da base</p><p>{ ∂ϕ</p><p>∂u0</p><p>(u), . . . , ∂ϕ</p><p>∂um</p><p>(u)</p><p>}</p><p>para a base {v, w1, . . . , wm} tem como colunas os vetores v0, v1, . . . , vm ,</p><p>logo é da forma</p><p>mmm =</p><p></p><p></p><p>a0 0 . . . 0</p><p>a1</p><p>... AAA</p><p>am</p><p></p><p></p><p>onde a0 > 0 e AAA é a matriz de passagem da base positiva</p><p>{ ∂ϕ</p><p>∂u0</p><p>(u), . . . ,</p><p>∂ϕ</p><p>∂um</p><p>(u)</p><p>}</p><p>⊂ Tx(∂M) para {w1, . . . , wm}. Como detmmm = a0 ·detAAA, segue-</p><p>se que esta última base é positiva se, e somente se {v, w1, . . . , wm} ⊂</p><p>TxM é positiva.</p><p>À luz do Teorema 12, revejamos o Exemplo 10. A orientação ali</p><p>atribúıda ao anel M é aquela do plano R</p><p>2. Se olharmos para a circun-</p><p>ferência C1 como o bordo do disco D = {(x, y) ∈ R</p><p>2;x2 + y2 ≤ 1}, a</p><p>orientação induzida por D é como a que foi induzida em C2 por M .</p><p>Mas se considerarmos C1 como parte do bordo de M , a orientação áı</p><p>induzida por M é a oposta. E o motivo é simples: num ponto de C1 ,</p><p>um vetor que aponta para fora de D aponta para dentro de M .</p><p>Num contexto mais geral, seja M ⊂ R</p><p>m+1 uma hiperf́ıcie compacta</p><p>orientável de classe Ck (k ≥ 3). Usando o Teorema de Jordan-Brouwer,</p><p>podemos escrever R</p><p>m+1 = A∪B, onde A e B são superf́ıcies de dimensão</p><p>m + 1, com bordo ∂A = M = ∂B e A ∩ B = M , sendo A limitada</p><p>(portanto compacta) e B ilimitada. Os pontos de A−M serão chamados</p><p>de pontos interiores a M e os de B −M exteriores.</p><p>Pretendemos calcular a integral</p><p>∫</p><p>M Ω, onde Ω é a forma diferencial</p><p>elemento de ângulo sólido (V. Exemplo 5, Caṕıtulo 3). O domı́nio de Ω</p><p>é R</p><p>m+1 − {0}, portanto é necessário supor que 0 /∈M .</p><p>Há duas possibilidades.</p><p>Primeira: 0 ∈ B, isto é, a origem de R</p><p>m+1 está no exterior da</p><p>hiperf́ıcie M . Então Ω está definida em A e, como é uma forma fechada,</p><p>Seção 4 A orientação induzida no bordo 117</p><p>o Teorema de Stokes nos dá</p><p>∫</p><p>M</p><p>Ω =</p><p>∫</p><p>∂A</p><p>Ω =</p><p>∫</p><p>A</p><p>dΩ =</p><p>∫</p><p>A</p><p>0 = 0.</p><p>Segunda: 0 ∈ A, ou seja, a origem de R</p><p>m+1 está no interior de</p><p>M . Seja D um disco, isto é, uma bola fechada de centro 0, contida no</p><p>interior do conjunto A. O bordo S = ∂D é uma esfera.</p><p>D</p><p>0</p><p>M</p><p>Figura 32. Se a origem 0 está no interior de M então∫</p><p>M Ω = volume de Sm.</p><p>Atribuamos a A e a D a orientação natural, em que a base {e0, e1, . . . ,</p><p>em} ⊂ R</p><p>m+1 = TxA = TyD para todo x ∈ A e todo y ∈ D é positiva.</p><p>Atribuamos a M = ∂A e S = ∂D as orientações induzidas. Então, se</p><p>indicarmos com −S esta esfera munida da orientação oposta à induzida</p><p>por D, veremos que N = A − intD é uma superf́ıcie orientada, cujo</p><p>bordo é ∂N = ∂(A − intD) = M ∪ (−S). A forma Ω está definida em</p><p>N e, como dΩ = 0, o Teorema de Stokes nos dá</p><p>0 =</p><p>∫</p><p>N</p><p>∂Ω =</p><p>∫</p><p>∂N</p><p>Ω =</p><p>∫</p><p>M</p><p>Ω −</p><p>∫</p><p>S</p><p>Ω,</p><p>ou seja,</p><p>∫</p><p>M Ω =</p><p>∫</p><p>S Ω. Agora observamos que se S é qualquer esfera em</p><p>R</p><p>m+1 com centro na origem, a integral da forma Ω sobre S é igual ao</p><p>volume da esfera unitária Sm. De fato, S e Sm (se não coincidirem)</p><p>formam o bordo de uma superf́ıcie na qual a forma fechada Ω está defi-</p><p>nida, logo</p><p>∫</p><p>S Ω =</p><p>∫</p><p>Sm Ω. Mas, sobre Sm, Ω coincide com o elemento de</p><p>volume.</p><p>118 O Teorema de Stokes Cap. 5</p><p>Então fica demonstrado o</p><p>Teorema 13. Seja M uma hiperf́ıcie compacta orientada de classe Ck</p><p>(k ≥ 3) no espaço euclidiano R</p><p>m+1, com 0 /∈ M . Se Ω é a forma</p><p>elemento de ângulo sólido em R</p><p>m+1 − {0} então</p><p>∫</p><p>M Ω = 0 se a origem</p><p>0 ∈ R</p><p>m+1 está no exterior de M . Caso a origem 0 ∈ R</p><p>m+1 esteja</p><p>no interior de M , tem-se</p><p>∫</p><p>M Ω = cm , onde cm é o volume da esfera</p><p>unitária m-dimensional.</p><p>Corolário 3 (Lei de Gauss). Se M ⊂ R</p><p>3 é uma superf́ıcie orientada</p><p>compacta de classe Ck (k ≥ 3) e 0 /∈M então</p><p>∫</p><p>M</p><p>xdy ∧ dz + ydz ∧ dx+ zdx ∧ dy</p><p>(x2 + y2 + z2)3/2</p><p>= 0 ou 4π,</p><p>conforme a origem de R</p><p>3 esteja fora ou dentro de M .</p><p>Corolário 4. Seja γ : [a, b] → R</p><p>2 − {0} um caminho fechado de classe</p><p>C3, com γ′+(a) = γ′−(b) e γ(s) = γ(t) somente se s = t ou {s, t} = {a, b}.</p><p>O número de voltas n(γ, 0) é ±1 ou zero, conforme a origem 0 ∈ R</p><p>2</p><p>esteja no interior ou no exterior da imagem de γ.</p><p>0</p><p>γ1</p><p>γ2</p><p>Figura 33. A origem 0 está no interior de γ1 e no exterior de γ2.</p><p>Tem-se n(γ1; 0) = −1 e n(γ2; 0) = 0.</p><p>5 Análise vetorial clássica</p><p>Nos livros de outrora, ou mesmo nos elementares de hoje, o tratamento</p><p>das integrais de superf́ıcies não é feito por meio de formas diferenciais.</p><p>Seção 5 Análise vetorial clássica 119</p><p>Neles, integram-se apenas funções e campos de vetores. A proposição</p><p>de natureza geral, que se costuma atualmente chamar Teorema de Sto-</p><p>kes, ocorre nas apresentações tradicionais ou introdutórias de modo fra-</p><p>gmentado, sob diferentes t́ıtulos e formulações, conforme a dimensão do</p><p>domı́nio de integração.</p><p>A seguir, faremos uma breve exposição desses teoremas clássicos,</p><p>mostrando como eles estão contidos no Teorema 9, apenas com termi-</p><p>nologia e notação diferentes.</p><p>Começaremos explicando o que significa a integral de uma função</p><p>real cont́ınua f : M → R, definida numa superf́ıcie compacta orientada.</p><p>Se ω é a forma elemento de volume de M então a integral de f ao</p><p>longo de M é, por definição, a integral da forma f ·ω onde, naturalmente,</p><p>(f ·ω)(x) = f(x) · ω(x) para todo x ∈M .</p><p>Na notação tradicional, o elemento de volume de M escreve-se dM</p><p>em vez de ω. Assim,</p><p>∫</p><p>M f · dM =</p><p>∫</p><p>M f ·ω =</p><p>∫</p><p>M f , estas igualdades</p><p>significando apenas mudanças de notação.</p><p>Exemplo 11. No Volume 2 (cfr. Exemplo 20, Caṕıtulo 7), a curvatura</p><p>gaussiana K(x) da hiperf́ıcie compacta orientada M ⊂ R</p><p>m+1 no ponto</p><p>x ∈ M foi definida como o determinante da derivada γ′(x) : TxM →</p><p>TxM da aplicação normal de Gauss γ : M → Sm. (Lembremos que γ</p><p>associa a cada ponto x ∈ M o vetor unitário u = γ(x), ortogonal a</p><p>TxM = TuS</p><p>m, cujo sentido é determinado pela orientação de M .) A</p><p>integral</p><p>∫</p><p>M K · dM da função-curvatura K : M → R chama-se a curva-</p><p>tura integral da hiperf́ıcie M . O conhecido Teorema de Gauss-Bonnet da</p><p>Geometria Diferencial afirma que se a superf́ıcie M ⊂ R</p><p>3 é difeomorfa à</p><p>esfera S2 então</p><p>∫</p><p>M K ·dM = 4π. Bem mais geralmente, foi demonstrado</p><p>por H. Hopf que se M ⊂ R</p><p>2m+1 é uma hiperf́ıcie compacta orientável de</p><p>dimensão par então</p><p>∫</p><p>M K ·dM é um múltiplo inteiro do volume da esfera</p><p>unitária S2m. Mais precisamente, tem-se</p><p>∫</p><p>M K ·dM = 1</p><p>2 χ(M)·vol(S2m),</p><p>onde o inteiro par χ(M) é a caracteŕıstica de Euler-Poincaré da hiperf́ıcie</p><p>M . (Para maiores detalhes, ver [7].)</p><p>Em seguida, a Análise Vetorial clássica trata da integral de um</p><p>campo vetorial ao longo de uma superf́ıcie M em R</p><p>3 (portanto uma</p><p>hiperf́ıcie, ou seja, a co-dimensão de M é igual a 1). Por isso é posśıvel</p><p>tal integração.</p><p>De fato, seM ⊂ R</p><p>m+1 é uma hiperf́ıcie compacta orientada eX : U →</p><p>R</p><p>m+1 é um campo cont́ınuo de vetores num aberto U ⊂ R</p><p>m+1 contendo</p><p>M , a integral do campo X na hiperf́ıcie M é, por definição, igual a</p><p>120 O Teorema de Stokes Cap. 5</p><p>∫</p><p>M 〈X, ν〉 · dM , onde ν : M → R</p><p>m+1 é o campo unitário de vetores nor-</p><p>mais que determina a orientação de M (e é determinado por ela). Assim,</p><p>passamos do campo X para a função 〈X, ν〉 : M → R e recáımos no caso</p><p>anterior.</p><p>Uma interpretação f́ısica da integral</p><p>∫</p><p>M 〈X, ν〉 · dM pode ser dada</p><p>considerando X como o campo das velocidades das part́ıculas de um</p><p>fluido incompresśıvel que se desloca numa região do espaço contendo a</p><p>hiperf́ıcie M . Admitindo que se trata de um regime estacionário (steady</p><p>state), isto é, que o campo X não depende do tempo, então a integral∫</p><p>M 〈X, ν〉 · dM representa a quantidade de fluido que escoa através de</p><p>M na unidade de tempo (o que entra menos o que sai). Este número</p><p>chama-se o fluxo do campo X através da superf́ıcie M . Como o fluido é</p><p>incompresśıvel, se não há fontes nem poços no interior de M então tudo</p><p>que entra sai e conseqüentemente</p><p>∫</p><p>M 〈X, ν〉 · dM = 0.</p><p>Seja X = (a0, a1, . . . , am) definido no aberto U ⊂ R</p><p>m+1 por suas</p><p>funções-coordenada ai : U → R, de classe Ck.</p><p>Ao campo</p><p>X : U → R</p><p>m+1 associaremos a forma diferencial, de grau</p><p>m e classe Ck, αX : U → Am(Rm+1) definida por</p><p>αX =</p><p>m∑</p><p>i=0</p><p>(−1)i ai · dx0 ∧ · · · ∧ d̂xi ∧ · · · ∧ dxm .</p><p>O desenvolvimento de um determinante em relação a sua primeira</p><p>coluna mostra que, para quaisquer x ∈ U e w1, . . . , wm ∈ R</p><p>m+1, tem-se</p><p>αX(x) · (w1, . . . , wm) = det[X(x), w1, . . . , wm],</p><p>onde o segundo membro é o determinante da matriz (m+ 1) × (m+ 1)</p><p>cujas colunas são os vetores X(x), w1, . . . , wm .</p><p>Se M é uma hiperf́ıcie compacta orientada,</p><p>∫</p><p>M X foi definida acima</p><p>como</p><p>∫</p><p>M 〈X, ν〉 · ω, onde ω é o elemento de volume de M e, para cada</p><p>x ∈ M , ν(x) ∈ R</p><p>m+1 tem comprimento 1, é ortogonal a TxM e, se</p><p>{w1, . . . , wm} ⊂ TxM é uma base positiva, tem-se det[ν(x), w1, . . . , wm] ></p><p>0. Isto reduz a integral</p><p>∫</p><p>M X à integral da forma diferencial x 7→</p><p>〈X(x), ν(x)〉 · ω(x) em M .</p><p>Mostraremos agora que esta forma coincide com αX .</p><p>Seção 5 Análise vetorial clássica 121</p><p>De fato, dada qualquer base positiva {w1, . . . , wm} ⊂ TxM , temos</p><p>αX(x) · (w1, . . . , wm) = det[X(x), w1, . . . , wm] = 〈X(x), w1× · · · ×wm〉</p><p>= 〈X(x), ν(x)〉 · |w1 × · · · × wm|</p><p>= 〈X(x), ν(x)〉 · ω(x) · (w1, . . . , wm)</p><p>pois o produto vetorial w1 × · · · × wm é um vetor normal a M com</p><p>o mesmo sentido da normal positiva ν(x). Segue-se então que αX =</p><p>〈X, ν〉 · ω ao longo de M .</p><p>Portanto, se X = (a0, . . . , am) é um campo cont́ınuo de vetores no</p><p>aberto U ⊂ R</p><p>m+1 e M ⊂ U é uma hiperf́ıcie compacta orientada então</p><p>∫</p><p>M</p><p>X =</p><p>∫</p><p>M</p><p>〈X, ν〉 · dM =</p><p>∫</p><p>M</p><p>m∑</p><p>i=0</p><p>(−1)i ai dx0 ∧ · · · ∧ d̂xi ∧ · · · ∧ dxm .</p><p>Há um caso particular importante, em que X é um campo de classe</p><p>C1 no aberto U ⊂ R</p><p>m+1 e K ⊂ U é o que se costuma chamar um</p><p>domı́nio com fronteira regular de classe Ck (k ≥ 1).</p><p>Isto significa que K é uma superf́ıcie compacta, com bordo, de di-</p><p>mensão m + 1 e classe Ck, contida em U . Note-se que a orientação de</p><p>R</p><p>m+1 induz naturalmente uma orientação em K pois, para cada x ∈ K,</p><p>tem-se TxK = R</p><p>m+1. O interior de K é um subconjunto aberto limitado</p><p>em R</p><p>m+1 e o bordo ∂K (que é também a fronteira de int.K em R</p><p>m+1)</p><p>é uma hiperf́ıcie compacta orientada.</p><p>A diferencial exterior da forma αX é</p><p>dαX =</p><p>(</p><p>m∑</p><p>i=0</p><p>∂ai</p><p>∂xi</p><p>)</p><p>· dx0 ∧ · · · ∧ dxm .</p><p>A função divX : U → R, definida por</p><p>(divX)(x) =</p><p>∂a0</p><p>∂x0</p><p>(x) + · · · + ∂am</p><p>∂xm</p><p>(x)</p><p>chama-se a divergência do campo X. (cfr. Caṕıtulo 3, Exemplo 7.)</p><p>O Teorema de Stokes nos permite afirmar que, nesta situação, vale a</p><p>igualdade abaixo ∫</p><p>∂K</p><p>〈X, ν〉 =</p><p>∫</p><p>K</p><p>div X · dx,</p><p>conhecida como o Teorema da Divergência, de Gauss.</p><p>122 O Teorema de Stokes Cap. 5</p><p>Seja agora X = (a, b, c) um campo de classe C1 no aberto U ⊂ R</p><p>3,</p><p>que contém a superf́ıcie compacta orientada M (de dimensão 2), a cujo</p><p>bordo C = ∂M atribúımos a orientação induzida por M .</p><p>Ao campo X fazemos corresponder a forma diferencial βX = adx+</p><p>bdy+ cdz, de grau 1 e classe C1 em U . O Teorema de Stokes</p><p>∫</p><p>M dβX =∫</p><p>C βX nos dá</p><p>∫</p><p>M</p><p>[(</p><p>∂c</p><p>∂y</p><p>− ∂b</p><p>∂z</p><p>)</p><p>dy ∧ dz +</p><p>(</p><p>∂a</p><p>∂z</p><p>− ∂c</p><p>∂x</p><p>)</p><p>dz ∧ dx (*)</p><p>+</p><p>(</p><p>∂b</p><p>∂x</p><p>− ∂a</p><p>∂y</p><p>)</p><p>dx ∧ dy</p><p>]</p><p>=</p><p>∫</p><p>C</p><p>adx+ bdy + cdz.</p><p>Em termos do campo de vetores rotX : U → R</p><p>3, definido por</p><p>rotX =</p><p>(</p><p>∂c</p><p>∂y</p><p>− ∂b</p><p>∂z</p><p>,</p><p>∂a</p><p>∂z</p><p>− ∂c</p><p>∂x</p><p>,</p><p>∂b</p><p>∂x</p><p>− ∂a</p><p>∂y</p><p>)</p><p>,</p><p>(cfr. Exemplo 8 do Caṕıtulo 3) e em virtude da tradução acima feita da</p><p>linguagem de campos para a de formas (agora usada no sentido inverso),</p><p>a integral que ocorre como primeiro membro na igualdade (*) pode ser</p><p>escrita como</p><p>∫</p><p>M 〈 rotX, ν〉 · dM , onde ν é o campo de vetores normais</p><p>unitários definidos pela orientação de M e dM é o elemento de área da</p><p>superf́ıcie M .</p><p>Quanto ao segundo membro daquela igualdade, ele é a integral</p><p>∫</p><p>C βX .</p><p>Se chamarmos de ds a forma elemento de arco (“volume”unidimensio-</p><p>nal) em C, temos ds(v) = ±|v|, conforme o vetor v, tangente a C, aponte</p><p>para o sentido positivo da curva orientada C ou não. Então, em cada</p><p>ponto x ∈ C, temos</p><p>βX(x) · v = 〈X(x), v〉 =</p><p>〈</p><p>X(x),</p><p>v</p><p>|v|</p><p>〉</p><p>· |v| = 〈X(x), τ〉 ds(v),</p><p>onde τ ∈ TxC é o vetor unitário tangente a C no sentido positivo e v é</p><p>qualquer vetor não-nulo em TxC. Isto significa que βX = 〈X, τ〉 · ds.</p><p>Assim, podemos escrever, na linguagem da Análise Vetorial Clássica</p><p>∫</p><p>M</p><p>〈 rotX, ν〉 · dM =</p><p>∫</p><p>C</p><p>〈X, τ〉 · ds</p><p>onde ν é a normal unitária positiva em M e τ é o vetor tangente unitário</p><p>positivo em C.</p><p>Seção 6 Exerćıcios 123</p><p>Este é o chamado Teorema de Stokes clássico.</p><p>O primeiro membro representa o fluxo do campo rotX através da</p><p>superf́ıcie M e o segundo membro é a circulação do campo X ao longo</p><p>do bordo C = ∂M .</p><p>O terceiro, e mais simples, dos teoremas integrais da Análise Vetorial</p><p>clássica é o Teorema de Green.</p><p>Nele, tem-se um domı́nio compacto M ⊂ R</p><p>2, com fronteira regular</p><p>∂M de classe C1. O compacto M tem a orientação natural de R</p><p>2 e seu</p><p>bordo ∂M recebe a orientação induzida: em cada ponto x ∈ ∂M um</p><p>vetor tangente não-nulo w ∈ Tx(∂M) possui o sentido positivo na curva</p><p>∂M se, e somente se, {ν(x), w} é uma base positiva de R</p><p>2, onde ν(x) é</p><p>o vetor normal unitário que, no ponto x, aponta para fora de M .</p><p>Se f, g : U → R são funções de classe C1 no aberto U ⊂ R</p><p>2 contendo</p><p>M , o Teorema de Green diz que</p><p>∫</p><p>M</p><p>(</p><p>∂g</p><p>∂x</p><p>− ∂f</p><p>∂y</p><p>)</p><p>dxdy =</p><p>∫</p><p>∂M</p><p>fdx+ gdy.</p><p>Ele é simplesmente o Teorema 9 (nosso Stokes) aplicado à forma</p><p>diferencial β = fdx + gdy definida em U (portanto na superf́ıcie com</p><p>bordo M). O primeiro membro é uma integral dupla sobre o compacto</p><p>J-mensurável M e o segundo membro é uma integral curviĺınea.</p><p>6 Exerćıcios</p><p>Seção 1. Integral de superf́ıcie</p><p>1. Como enquadrar as integrais curviĺıneas no contexto deste caṕıtulo, já que</p><p>um caminho não é uma curva (“superf́ıcie”de dimensão 1)? E, por outro lado,</p><p>como estender a noção de integral de superf́ıcie para “caminhos” de dimensões</p><p>superiores?</p><p>2. Justifique a afirmação do texto segundo a qual se tem</p><p>∫</p><p>M</p><p>h∗ω = −</p><p>∫</p><p>N</p><p>ω quando</p><p>h : M → N é um difeomorfismo que inverte orientação.</p><p>3. Seja f : Sn → Sn uma aplicação cont́ınua. Se n é par, prove que pelo menos</p><p>uma das equações f(x) = x ou f(x) = −x possui uma raiz x ∈ Sn. Dê um</p><p>contra-exemplo para cada n ı́mpar.</p><p>4. Prove que todo campo cont́ınuo de vetores tangentes no espaço projetivo Pn,</p><p>com n par, possui singularidade.</p><p>5. Seja α uma (n − 1)-forma cont́ınua na esfera Sn, onde n é par. Prove que</p><p>existe x ∈ Sn tal que α(x) = 0.</p><p>124 O Teorema de Stokes Cap. 5</p><p>Seção 2. Superf́ıcies com bordo</p><p>1. Sejam H = {(x, y) ∈ R</p><p>2; y ≥ 0} e P = {(x, y) ∈ R</p><p>2;x ≥ 0, y ≥ 0}. Prove que</p><p>existe um homeomorfismo ϕ : R</p><p>2 → R</p><p>2 tal que ϕ(P ) = H mas ϕ não pode ser</p><p>um difeomorfismo C1.</p><p>2. Seja M uma superf́ıcie compacta orientada (sem bordo). Prove que todo dife-</p><p>omorfismo h : M →M homotópico à identidade preserva orientação.</p><p>3. Se M é uma superf́ıcie sem bordo, prove que existe uma superf́ıcie com bordo</p><p>N tal que ∂N = M .</p><p>4. Pode a faixa de Moebius ser o bordo de uma superf́ıcie M ⊂ R</p><p>3?</p><p>Seção 3. O Teorema de Stokes</p><p>1. Seja f : B → R</p><p>n+1 uma aplicação cont́ınua definida na bola unitária B = {x ∈</p><p>R</p><p>n+1; |x| ≤ 1}. Se f(Sn) ⊂ B, prove que existe x ∈ B tal que f(x) = x.</p><p>2. Seja M ⊂ R</p><p>n um “domı́nio compacto com fronteira regular”, isto é, uma</p><p>superf́ıcie compacta n-dimensional com bordo de classe Ck (k ≥ 2). Prove que</p><p>vol.M =</p><p>1</p><p>n</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>∫</p><p>∂M</p><p>(−1)i+1 xi dx1 ∧ · · · ∧ d̂xi ∧ · · · ∧ dxn .</p><p>Em particular, se n = 2, tem-se área de M = 1</p><p>2</p><p>∫</p><p>∂M</p><p>xdy − ydx.</p><p>3. Com a mesma notação do exerćıcio anterior, seja F : M → R</p><p>n uma aplicação de</p><p>classe Ck cujas funções-coordenada são f1, . . . , fn : M → R. Suponha F (x) 6= 0</p><p>para todo x ∈ ∂M . Se a forma ω =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>(−1)i+1 fi</p><p>|F |n</p><p>df1 ∧ . . . d̂fi ∧ · · · ∧ dfn é tal</p><p>que</p><p>∫</p><p>∂M</p><p>ω 6= 0, prove que existe um ponto x ∈M no qual se tem F (x) = 0.</p><p>6</p><p>Soluções dos Exerćıcios</p><p>Cada uma das seções deste caṕıtulo tem o mesmo t́ıtulo de um dos cinco caṕıtulos</p><p>anteriores e contém soluções para exerćıcios propostos naquele caṕıtulo. Em cada uma</p><p>delas, a notação p·q significa o q-ésimo exerćıcio da seção p do caṕıtulo correspondente.</p><p>reunião dos discos Dλ , λ ∈ L, que não podem</p><p>ser ligados a Dλ0 desta forma. Esses dois abertos são disjuntos e o</p><p>primeiro não é vazio. Então o segundo é, pois U é conexo. Isto justifica</p><p>a afirmação feita na demonstração.</p><p>A proposição seguinte completa a demonstração do Teorema 1.</p><p>Proposição D. Se a forma elemento de ângulo Ω é exata no aberto</p><p>U ⊂ R</p><p>2 − {0} então existe uma função-ângulo definida em U .</p><p>8 Integrais Curviĺıneas Cap. 1</p><p>Demonstração: Suponhamos inicialmente que U seja conexo. Seja</p><p>f : U → R tal que df = Ω em U . Pelo Corolário 1 da Proposição B,</p><p>podemos escrever U =</p><p>⋃</p><p>λ∈L</p><p>Dλ de modo que em cada disco aberto Dλ</p><p>está definida uma função-ângulo θλ : Dλ → R. Fixemos um λ0 ∈ L.</p><p>No conjunto conexo Dλ0 as funções f e θλ0 têm a mesma diferencial Ω.</p><p>Portanto f − θλ0 = c é constante em Dλ0 . Substituindo f por f − c,</p><p>que também é uma primitiva de Ω, podemos admitir que f = θλ0 em</p><p>Dλ0 . Para todo λ ∈ L, a diferença f−θλ é constante em Dλ ; ponhamos</p><p>tλ =</p><p>1</p><p>2π</p><p>(f − θλ). Se Dλ ∩Dµ 6= ∅, como θλ e θµ são funções-ângulo no</p><p>conjunto conexo Dλ ∩Dµ , conclúımos que</p><p>tλ − tµ =</p><p>1</p><p>2π</p><p>[(f − θλ) − (f − θµ)] =</p><p>1</p><p>2π</p><p>(θµ − θλ)</p><p>é um inteiro. Além disso, tλ0 = 0. Segue-se da Proposição C que tλ ∈ Z</p><p>para todo λ. Conseqüentemente, f (ou f − c na notação inicial) é uma</p><p>função-ângulo. Caso U não seja conexo, o argumento acima prova que</p><p>existe uma função-ângulo em cada componente conexa de U , a qual é</p><p>um conjunto aberto. Essas funções, consideradas conjuntamente, dão</p><p>uma função-ângulo θ : U → R.</p><p>Exemplo 1. Uma função u : U → R, de classe C2 no aberto U ⊂ R</p><p>2,</p><p>chama-se harmônica quando satisfaz a equação de Laplace</p><p>∂2u</p><p>∂x2</p><p>+</p><p>∂2u</p><p>∂y2</p><p>=</p><p>0. Isto equivale a afirmar que a 1-forma ω =</p><p>−∂u</p><p>∂y</p><p>dx+</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>dy, definida</p><p>em U , é fechada. Para que a forma ω seja exata, deve existir uma função</p><p>v : U → R, de classe C2, tal que</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>=</p><p>−∂u</p><p>∂y</p><p>e</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>=</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>· Estas são as</p><p>equações de Cauchy-Riemann. (cfr. Vol. 2, Cap. 5, Exemplo 7.) Elas</p><p>significam que a função f : U → C, definida por f(z) = u(z) + iv(z),</p><p>é holomorfa, isto é, possui derivada no sentido complexo em todos os</p><p>pontos de seu domı́nio U . Portanto a função harmônica u : U → R é</p><p>a parte real de uma função holomorfa f : U → C se, e somente se, a</p><p>1-forma fechada ω : U → (R2)∗, ω =</p><p>−∂u</p><p>∂y</p><p>dx+</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>dy é exata.</p><p>Exemplo 2. Vejamos dois casos particulares do Exemplo 1. A função</p><p>u : R</p><p>2 → R, definida por u(x, y) = x2 − y2, é harmônica. A 1-forma</p><p>a ela associada é ω = 2ydx + 2xdy, a qual é exata: ω = dv, onde</p><p>v(x, y) = 2xy. E, de fato, u é a parte real da função holomorfa f : C → C,</p><p>Seção 1 Formas diferenciais de grau 1 9</p><p>f(z) = z2. Por outro lado, a função harmônica u : R</p><p>2 − {0} → R,</p><p>u(x, y) =</p><p>1</p><p>2</p><p>log(x2 + y2) origina a 1-forma Ω =</p><p>−y</p><p>x2 + y2</p><p>dx+</p><p>x</p><p>x2 + y2</p><p>dy,</p><p>que não é exata em R</p><p>2 − {0}. Logo, u =</p><p>1</p><p>2</p><p>log(x2 + y2) não é a parte</p><p>real de uma função holomorfa em R</p><p>2 − {0}.</p><p>Exemplo 3. Seja f = a + ib uma função holomorfa no aberto U ⊂ C.</p><p>Em virtude das equações de Cauchy-Riemann, as 1-formas ω = adx−bdy</p><p>e ϕ = bdx + ady são fechadas. Elas são exatas em U se, e somente se,</p><p>existem funções u, v : U → R, de classe C2, tais que</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>= a,</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>= −b,</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>= b e</p><p>∂v</p><p>∂y</p><p>= a. Então a função complexa g = u+ iv : U → C cumpre</p><p>as condições de Cauchy-Riemann, logo é holomorfa, e g′ =</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>+ i</p><p>∂v</p><p>∂x</p><p>=</p><p>a + ib = f . Portanto, a fim de que a função holomorfa f : U → C,</p><p>dada por f = a + ib, possua uma primitiva g : U → C (isto é, g′ =</p><p>f) é necessário e suficiente que as 1-formas fechadas ω = adx − bdy e</p><p>ϕ = bdx+ ady sejam ambas exatas em U .</p><p>Exemplo 4. Como caso particular do Exemplo 3, tomemos f : C −</p><p>{0} → C, f(z) = 1/z = x/(x2 + y2) − iy/(x2 + y2). Com a notação</p><p>acima, temos ω = (xdx+ ydy)/(x2 + y2) e ϕ = Ω = elemento de ângulo.</p><p>A 1-forma ω é exata em C−{0}; de fato ω = du, onde u = log</p><p>√</p><p>x2 + y2.</p><p>Mas sabemos que Ω não é exata, logo f não admite primitiva em C−{0}.</p><p>Para concluir estas considerações gerais sobre 1-formas fechadas e</p><p>exatas, ampliaremos a validez do Corolário 3 da Proposição B acima,</p><p>provando que todo ponto do domı́nio de uma forma fechada possui uma</p><p>vizinhança, restrita à qual a forma é exata. Este é o significado do</p><p>Teorema 2. Toda forma fechada é localmente exata.</p><p>Demonstração: Provaremos que, num disco aberto em R</p><p>n, toda forma</p><p>fechada é exata. Para simplificar a notação, consideraremos a forma</p><p>fechada ω = adx+ bdy + cdz, definida no disco aberto U com centro na</p><p>origem em R</p><p>3. Temos</p><p>∂a</p><p>∂y</p><p>=</p><p>∂b</p><p>∂x</p><p>,</p><p>∂a</p><p>∂z</p><p>=</p><p>∂c</p><p>∂x</p><p>e</p><p>∂b</p><p>∂z</p><p>=</p><p>∂c</p><p>∂y</p><p>· Definimos a</p><p>função f : U → R, pondo, para todo (x, y, z) ∈ U :</p><p>f(x, y, z) =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>[</p><p>a(tx, ty, tz)x+ b(tx, ty, tz)y + c(tx, ty, tz)z</p><p>]</p><p>dt.</p><p>10 Integrais Curviĺıneas Cap. 1</p><p>Designemos por λ : [0, 1] → U o caminho retiĺıneo que liga a origem</p><p>ao ponto (x, y, z) ∈ U . Pela Regra de Leibniz (derivação sob o sinal de</p><p>integral, cfr. Teorema 3 do Cap. 3, vol. 2) temos</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>(x, y, z) =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>[</p><p>∂a</p><p>∂x</p><p>· tx+ a+</p><p>∂b</p><p>∂x</p><p>· ty +</p><p>∂c</p><p>∂x</p><p>· tz</p><p>]</p><p>dt,</p><p>onde as derivadas parciais são calculadas no ponto (tx, ty, tz). Como</p><p>∂b/∂x = ∂a/∂y e ∂c/∂x = ∂a/∂z, podemos escrever</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>(x, y, z) =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>[(</p><p>∂a</p><p>∂x</p><p>· x+</p><p>∂a</p><p>∂y</p><p>· y +</p><p>∂a</p><p>∂z</p><p>· z</p><p>)</p><p>t+ a</p><p>]</p><p>dt =</p><p>=</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>[(a ◦ λ)′ · t+ a] dt =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>[(a ◦ λ) · t]′dt = a(x, y, z).</p><p>De modo análogo se vê que</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= b e</p><p>∂f</p><p>∂z</p><p>= c, logo df = ω.</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>Figura 5. Conjuntos estrelados.</p><p>Observação. Um conjunto X ⊂ R</p><p>n chama-se estrelado quando contém</p><p>um ponto p (o vértice) tal que o segmento de reta unindo qualquer</p><p>ponto x ∈ X a p está contido em X. Por exemplo, todo conjunto</p><p>convexo é estrelado e qualquer um dos seus pontos serve de vértice. O</p><p>argumento acima mostra que se o aberto U ⊂ R</p><p>n é estrelado então</p><p>toda 1-forma fechada de classe C1 em U é exata. O teorema acima</p><p>permite acrescentar aos Exemplos 1 e 3 que toda função harmônica de</p><p>duas variáveis é localmente a parte real de uma função holomorfa e que</p><p>toda função holomorfa possui localmente uma primitiva holomorfa. E</p><p>se o aberto U ⊂ R</p><p>n é estrelado (em particular, se U = R</p><p>n), toda função</p><p>harmônica é a parte real de uma função holomorfa em U e todo campo</p><p>v : U → R</p><p>n de classe C1, que cumpra as condições de integrabilidade</p><p>∂ai</p><p>∂xj</p><p>=</p><p>∂aj</p><p>∂xi</p><p>(onde v(x) = (a1(x), . . . , an(x)) para todo x ∈ U) é o campo</p><p>gradiente de uma função f : U → R.</p><p>Seção 2 Integrais curviĺıneas 11</p><p>2 Integrais curviĺıneas</p><p>Sejam ω =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>aidxi uma 1-forma cont́ınua no conjunto X ⊂ R</p><p>n e</p><p>γ : [a, b] → X um caminho de classe C1, com γ(t) = (x1(t), . . . , xn(t)),</p><p>t ∈ [a, b]. A integral de ω ao longo de γ é definida como</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ω =</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>ω(γ(t)) · γ′(t) dt =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>ai(γ(t))</p><p>dxi</p><p>dt</p><p>dt.</p><p>Analogamente, se v : X → R</p><p>n é um campo vetorial cont́ınuo, sua integral</p><p>ao longo do caminho γ é definida como</p><p>∫</p><p>γ</p><p>v =</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>〈v(γ(t)), γ′(t)〉 dt.</p><p>Se v é o campo associado à forma ω, tem-se 〈v(γ(t)), γ′(t)〉 = ω(γ(t))·</p><p>γ′(t). Neste caso, portanto,</p><p>∫</p><p>γ ω =</p><p>∫</p><p>γ v.</p><p>Exemplo 5. Se ω = df é uma forma exata em U , tem-se:</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>df =</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>df(γ(t))·γ′(t) dt =</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>(f◦γ)′(t) dt = f(γ(b))−f(γ(a)).</p><p>Portanto a integral de uma forma exata depende apenas das extre-</p><p>midades do caminho de integração. Em particular, se γ é um caminho</p><p>fechado (γ(a) = γ(b)) e ω é exata então</p><p>∫</p><p>γ ω = 0.</p><p>Neste contexto, o Teorema 2 é fundamental: se γ e η são caminhos</p><p>de classe C1 com as mesmas extremidades, ambos contidos na mesma</p><p>bola aberta B então, para toda forma fechada ω definida em B, tem-se∫</p><p>γ ω =</p><p>∫</p><p>η ω.</p><p>O teorema seguinte mostra que</p><p>∫</p><p>γ ω é invariante sob uma repara-</p><p>metrização do caminho γ, desde que o sentido geral do percurso seja</p><p>mantido.</p><p>Teorema 3. Seja ϕ : [c, d] → [a, b] de classe C1. Se ϕ(c) = a e ϕ(d) = b</p><p>então</p><p>∫</p><p>γ◦ϕ ω =</p><p>∫</p><p>γ ω. Se, porém, ϕ(c) = b e ϕ(d) = a então</p><p>∫</p><p>γ◦ϕ ω =</p><p>−</p><p>∫</p><p>γ ω.</p><p>12 Integrais Curviĺıneas Cap. 1</p><p>Demonstração: Supondo ϕ(c) = a e ϕ(d) = b, o Teorema</p><p>1. Integrais curviĺıneas</p><p>1.1 Escrevendo ω = adx + bdy, temos a = −y e b = x, logo ∂b</p><p>∂x</p><p>= 1 e ∂a</p><p>∂y</p><p>= −1,</p><p>portanto ∂b</p><p>∂x</p><p>6= ∂a</p><p>∂y</p><p>e ω não é fechada. Um cálculo imediato mostra que as formas</p><p>α = (1/x2) ·ω, β = (1/y2) ·ω e γ = (1/xy) ·ω são fechadas no conjunto U = {(x, y) ∈</p><p>R</p><p>2;x > 0, y > 0}. Além disso, se considerarmos as funções f, g, h : U → R definidas</p><p>por f(x, y) = y/x, g(x, y) = −x/y e h(x, y) = log(y/x), teremos df = α, dg = β e</p><p>dh = γ.</p><p>1.2 O item (i) é óbvio. Por sua vez, (ii) é meramente a Regra da Cadeia.</p><p>Quanto a (iii), comecemos com o pullback ϕ∗(dyj). Lembrando que dyj ·w = j-ésima</p><p>coordenada do vetor w ∈ R</p><p>n e que, para todo x ∈ U e todo v ∈ R</p><p>m, a j-ésima</p><p>coordenada de ϕ′(x) · v é igual a</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>∂ϕj</p><p>∂xi</p><p>(x) · (dxi · v), a definição de ϕ∗ω nos dá</p><p>(ϕ∗dyj)(x) · v = dyj(ϕ(x)) · ϕ′(x) · v = dyj · (ϕ′(x) · v) =</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>∂ϕj</p><p>∂xi</p><p>(x) · (dxi · v).</p><p>Resulta então do item (i) que ω(y) = Σ aj(y) · dyj implica</p><p>(ϕ∗ω)(x) =</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>( n∑</p><p>j=1</p><p>aj(ϕ(x)) · ∂ϕj</p><p>∂xi</p><p>(x)</p><p>)</p><p>· dxi .</p><p>Prova de (iii): começamos lembrando que df = f ′. Então, pela Regra da Cadeia,</p><p>para todo x ∈ U , temos</p><p>ϕ∗(df)(x) = (df)(ϕ(x)) · ϕ′(x) = f ′(ϕ(x)) · ϕ′(x) = (f ◦ ϕ)′(x) = d(f ◦ ϕ).</p><p>125</p><p>126 Soluções dos Exerćıcios Cap.6</p><p>Os itens (iv) e (v) seguem-se de (iii). E (vi) segue-se imediatamente da Regra da</p><p>Cadeia.</p><p>1.3 (i) Definindo ϕ : R</p><p>2−{p} → R</p><p>2−{0} por ϕ(z) = z−p, vemos que Ωp = ϕ∗Ω.</p><p>Resulta então do exerćıcio anterior que Ωp é uma forma fechada em R</p><p>2−{p}. Se fosse</p><p>Ωp = df , com f : R</p><p>2 − {p} → R então, considerando o difeomorfismo ψ = ϕ−1, para</p><p>o qual se tem Ω = ψ∗Ωp viria Ω = ψ∗(df) = d(f ◦ ψ) e Ω seria exata em R</p><p>2 − {0},</p><p>uma contradição.</p><p>(ii) A definição natural de uma função-ângulo θp : U → R de vértice p requer</p><p>que seu domı́nio U esteja contido em R</p><p>2 − {p}, que θp seja de classe C∞ e que</p><p>para todo ponto (x, y) ∈ U se tenha cos θp(x, y) = (x − a)</p><p>/√</p><p>(x− a)2 + (y − b)2,</p><p>sen θp(x, y) = (y − b)</p><p>/√</p><p>(x− a)2 + (y − b)2 onde p = (a, b). Então, considerando</p><p>novamente o difeomorfismo ϕ : R</p><p>2−{p} → R</p><p>2−{0}, ϕ(z) = z−p, e pondo V = ϕ(U),</p><p>vemos que as seguintes afirmações são equivalentes:</p><p>I) Ωp é exata em U ⊂ R</p><p>2 − {p};</p><p>II) Ω é exata em V ⊂ R</p><p>2 − {0};</p><p>III) Existe uma função-ângulo θ : V → R;</p><p>IV) θp : U → R, definida por θp(z) = θ(z − p), é uma função-ângulo de vértice p.</p><p>Finalmente, para provar o item (iii) basta observar que se ρ é uma semi-reta que</p><p>contém o ponto p como origem então ρ0 = {z−p; z ∈ ρ} é uma semi-reta de origem 0.</p><p>1.4 Seja ω = adx+ bdy, logo f · ω = (f · a)dx+ (f · b)dy. Levando em conta que</p><p>∂b</p><p>∂x</p><p>= ∂a</p><p>∂y</p><p>, vemos que</p><p>∂(f · b)</p><p>∂x</p><p>=</p><p>∂(f · a)</p><p>∂y</p><p>⇔ b · ∂f</p><p>∂x</p><p>= a · ∂f</p><p>∂y</p><p>·</p><p>Como a e b não se anulam simultaneamente em ponto algum de U esta igualdade</p><p>significa que, para todo (x, y) ∈ U temos ∂f</p><p>∂x</p><p>= k ·a, ∂f</p><p>∂y</p><p>= k ·b, onde</p><p>k =</p><p>(</p><p>a · ∂f</p><p>∂x</p><p>+ b · ∂f</p><p>∂y</p><p>)/</p><p>(a2 + b2).</p><p>2.1 Sabemos que</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ω = lim</p><p>|P |→0</p><p>S(P ∗) onde P ∗ = (P, ξ) e</p><p>S(P ∗) =</p><p>k∑</p><p>i=1</p><p>ω(γ(ξi)) · γ′(ξi) · (ti − ti−1).</p><p>A diferenciabilidade uniforme de γ (Teorema 4, Caṕıtulo 2, Volume 1) assegura que,</p><p>para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que |P | < δ e ti−1 < ξi < ti implicam</p><p>∣∣∣∣</p><p>γ(ti) − γ(ti−1)</p><p>ti − ti−1</p><p>− γ′(ξi)</p><p>∣∣∣∣ <</p><p>ε</p><p>M(b− a)</p><p>Cap.6 Soluções dos Exerćıcios 127</p><p>para todo intervalo [ti−1, ti] da partição P , sendo M > 0 tal que |ω(γ(t)) ·v| ≤M · |v|</p><p>quaisquer que sejam t ∈ [a, b] e v ∈ R</p><p>n. Então |P | < δ nos garante que</p><p>|Σ(P ∗) − S(P ∗)| ≤</p><p>k∑</p><p>i=1</p><p>∣∣∣∣ω(γ(ξi)) ·</p><p>(</p><p>γ(ti) − γ(ti−1)</p><p>ti − ti−1</p><p>− γ′(ξi)</p><p>)∣∣∣∣ · (ti − ti−1)</p><p>≤M</p><p>ε</p><p>M(b− a)</p><p>·</p><p>k∑</p><p>i=1</p><p>(ti − ti−1) = ε.</p><p>Portanto lim</p><p>|P |→0</p><p>Σ(P ∗) = lim</p><p>|P |→0</p><p>S(P ∗) =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ω.</p><p>Se X for um campo de vetores em R</p><p>n com o mesmo domı́nio U e escrevermos</p><p>ω(x) ·v = 〈X(x), v〉, o resultado acima justifica a interpretação f́ısica da integral</p><p>∫</p><p>γ</p><p>X</p><p>como o trabalho da força X ao longo do caminho γ.</p><p>2.2 Para toda partição pontilhada P ∗ = (P, ξ) temos</p><p>|Σ(P ∗)| ≤</p><p>k∑</p><p>i=1</p><p>|ω(γ(ξi)) · (γ(ti) − γ(ti−1))| ≤M ·</p><p>k∑</p><p>i=1</p><p>|γ(ti) − γ(ti−1)| ≤M · ℓ(γ).</p><p>2.3</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f∗ω =</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>(f∗ω)(γ(t)) · γ′(t)dt =</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>ω(f(γ(t))) · f ′(γ(t)) · γ′(t)dt =</p><p>=</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>ω((f ◦ γ)(t)) · (f ◦ γ)′(t) =</p><p>∫</p><p>f◦γ</p><p>ω.</p><p>2.4 Note que γ1(t) = (t, 0), γ2(t) = (1, t), γ3(t) = (1 − t, 1) e γ4(t) = (0, 1 − t).</p><p>Além disso,</p><p>∫∫</p><p>Q</p><p>(</p><p>∂b</p><p>∂x</p><p>− ∂a</p><p>∂y</p><p>)</p><p>dxdy =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>dy</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>∂b</p><p>∂x</p><p>dx−</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>dx</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>∂a</p><p>∂y</p><p>dy =</p><p>=</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(</p><p>b(1, y) − b(0, y)</p><p>)</p><p>dy −</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(</p><p>a(x, 1) − a(x, 0)</p><p>)</p><p>dx.</p><p>Por outro lado,</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>ω +</p><p>∫</p><p>γ2</p><p>ω +</p><p>∫</p><p>γ3</p><p>ω +</p><p>∫</p><p>γ4</p><p>ω. Ora,</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>ω =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>a(t, 0)dt,</p><p>∫</p><p>γ2</p><p>ω =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>b(1, t)dt,</p><p>∫</p><p>γ3</p><p>ω = −</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>a(1 − t, 1)dt = −</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>a(t, 1)dt e</p><p>∫</p><p>γ4</p><p>ω = −</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>b(0, 1 −</p><p>t)dt = −</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>b(0, t)dt. O resultado segue-se.</p><p>2.5 Como dz = dx+ idy e</p><p>1</p><p>z</p><p>= (x− iy)/(x2 + y2), temos</p><p>dz</p><p>z</p><p>=</p><p>x− iy</p><p>x2 + y2</p><p>(dx+ idy) =</p><p>xdx+ ydy</p><p>x2 + y2</p><p>+ i</p><p>−ydx+ xdy</p><p>x2 + y2</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>d log(x2 + y2) + i · Ω.</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>γ</p><p>dz</p><p>z</p><p>= i·</p><p>∫</p><p>γ</p><p>Ω para todo caminho fechado γ de classe C1 por partes, contido</p><p>em U .</p><p>2.6 Seja f = u+ iv, onde u, v : U → R. Então</p><p>f(z)dz = (u+ iv)(dx+ idy) = (udx− vdy) + i(vdx+ udy).</p><p>128 Soluções dos Exerćıcios Cap.6</p><p>Assim, f(z)dz é uma forma fechada se, e somente se, ∂u</p><p>∂y</p><p>= − ∂v</p><p>∂x</p><p>e ∂u</p><p>∂x</p><p>= ∂v</p><p>∂y</p><p>. Estas são</p><p>as equações de Cauchy-Riemann, que caracterizam f = u+iv como função holomorfa.</p><p>2.7 Se ω não fosse fechada, não seria localmente exata. Então existiria uma bola</p><p>aberta B ⊂ U e um caminho fechado γ, de classe C1 por partes, contido em B, tal</p><p>que</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ω = c 6= 0. Por simplicidade, admitamos que a origem 0 seja o centro de B.</p><p>A função f : [0, 1] → R, definida por f(s) =</p><p>∫</p><p>s·γ</p><p>ω, é cont́ınua e lim</p><p>s→0</p><p>f(1) = 0. Logo</p><p>existe a ∈ (0, 1] tal que |f(a)| < |c|, portanto f(a) 6= c. Quando s varia entre a e 1,</p><p>os valores f(s) =</p><p>∫</p><p>s·γ</p><p>ω incluem todos os números entre f(a) e c, a maioria dos quais</p><p>são irracionais. Contradição.</p><p>3.1 Se existe F então definimos uma homotopia livre H : [0, 2π] × [0, 1] → X</p><p>entre γ e o caminho constante F (0) pondo H(s, t) = F ((1− t) cos s, (1− t) sen s) para</p><p>todo s ∈ [0, 2π] e todo t ∈ [0, 1]. Reciprocamente, se H : [0, 2π] × [0, 1] → X é uma</p><p>homotopia livre entre γ e o caminho constante c ∈ X, definimos F : B → X pondo</p><p>F ((1 − t) cos s, (1 − t) sen s) = H(s, t). Como H(0, t) = H(2π, t) para todo t ∈ [0, 1],</p><p>a aplicação F está bem definida. Além disso, se definirmos ϕ : [0, 2π] → B pondo</p><p>ϕ(s, t) = ((1 − t) cos s, (1 − t) sen s), veremos que F ◦ ϕ = H. Como ϕ é cont́ınua e</p><p>sobrejetiva, concluiremos que F é cont́ınua, em virtude do Teorema 20, Caṕıtulo 2,</p><p>Volume 2.</p><p>3.2 (i) Seja r tal que |z| < r para todo z ∈ U . Tomemos p ∈ R</p><p>2 − U com</p><p>|p| ≥ r. U está contido no complemento R</p><p>2 − ρ da semi-reta ρ = {t ·p; t ≥ 0}. Por</p><p>um exerćıcio anterior, existe uma função-ângulo de vértice p definida em R</p><p>2 − ρ, e</p><p>portanto definida em U .</p><p>(ii) Como no item (i), fixamos q ∈ R</p><p>2 − U tal que existe uma função-ângulo de</p><p>vértice q definida em U , ou seja, a forma Ωq é exata em U . Devemos mostrar que,</p><p>para todo p ∈ R</p><p>2 −U , a forma Ωp é exata em U , isto é, que</p><p>∫</p><p>γ</p><p>Ωp = 0 para qualquer</p><p>caminho fechado γ : [c, d] → U , de classe C1 por partes. Para isto, tomamos um</p><p>caminho λ : [0, 1] → R</p><p>2−U com λ(0) = p e λ(1) = q. Os caminhos γ−p, γ−q : [c, d] →</p><p>R</p><p>2 − {0}, definidos por t 7→ λ(t) − p e t 7→ λ(t) − q, são livremente homotópicos por</p><p>H : [c, d]× [0, 1] → R</p><p>2 −{0}, H(s, t) = γ(s)−λ(t). Então</p><p>∫</p><p>γ</p><p>Ωp =</p><p>∫</p><p>γ−p</p><p>Ω =</p><p>∫</p><p>γ−q</p><p>Ω =∫</p><p>γ</p><p>Ωq = 0, a última igualdade valendo porque Ωq é exata em U .</p><p>3.3 Dado o caminho fechado γ : [a, b] → R</p><p>n+1−{0}, a aplicaçãoH : [a, b]×[0, 1] →</p><p>R</p><p>n+1 − {0}, definida por H(s, t) = (1 − t) · γ(s) + t · (γ(s)</p><p>/</p><p>|γ(s)|) é uma homotopia</p><p>livre entre os caminhos fechados γ e γ</p><p>/</p><p>|γ| em R</p><p>n+1 − {0}, sendo este último contido</p><p>em Sn. Quando n > 1, Sn é simplesmente conexa, logo γ é livremente homotópico a</p><p>um caminho constante.</p><p>3.4 Seja dimE = n − k, com k ≥ 3. Tomando em R</p><p>n coordenadas relativas</p><p>a uma base cujos últimos n − k elementos formem uma base de E, teremos E =</p><p>{(x, y) ∈ R</p><p>k × R</p><p>n−k;x = 0}, portanto R</p><p>n − E = {(x, y) ∈ R</p><p>k × R</p><p>n−k;x 6= 0}.</p><p>Dado um caminho fechado γ : [a, b] → R</p><p>n − E, podemos escrever, para cada s ∈</p><p>[a, b], γ(s) = (γ1(s), γ2(s)), onde 0 6= γ1(s) ∈ R</p><p>k e γ2(s) ∈ R</p><p>n−k. A apllicação</p><p>H : [a, b] × [0, 1] → R</p><p>n − E definida por H(s, t) = (γ1(s), (1 − t) · γ2(s)) é uma</p><p>homotopia livre entre γ e o caminho fechado s 7→ (γ1(s), 0) em R</p><p>k−{0}. Como k ≥ 3,</p><p>R</p><p>k − {0} é simplesmente conexo, logo este último caminho fechado é homotópico a</p><p>uma constante.</p><p>Cap.6 Soluções dos Exerćıcios 129</p><p>3.5 Basta observar que</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f∗</p><p>t ω =</p><p>∫</p><p>ft◦γ</p><p>ω e que F é uma homotopia entre os</p><p>caminhos f0 ◦ γ e f1 ◦ γ.</p><p>4.1 Podemos supor que os caminhos fechados γ1, γ2 : [a, b] → R</p><p>2 − {0}, com</p><p>n(γ1) = n(γ2) = n, são definidos no mesmo intervalo [a, b]. Sejam θ1, θ2 : [a, b] → R</p><p>funções-ângulo de γ1 e γ2 respectivamente. Temos θ1(b)−θ1(a) = θ2(b)−θ2(a) = 2π·n.</p><p>Definimos então uma homotopia H : [a, b] × [0, 1] → R</p><p>2 − {0} entre γ1 e γ2 pondo,</p><p>para cada s ∈ [a, b] e cada t ∈ [0, 1],</p><p>H(s, t) = ((1 − t) · |γ1(s)| + t · |γ2(s)|) · E((1 − t) · θ1(s) + t · θ2(s)),</p><p>onde E(x) = (cosx, senx) é a função de Euler E : R → S1. Evidentemente, H</p><p>é cont́ınua, H(s, 0) = γ1(s), H(s, 1) = γ2(s) e, usando a hipótese segundo a qual</p><p>n(γ1) = n(γ2), vê-se facilmente que H(a, t) = H(b, t) para todo t ∈ [0, 1], logo H é</p><p>uma homotopia livre entre γ1 e γ2 em R</p><p>2 − {0}.</p><p>4.2 Basta provar que, para todo caminho fechado γ em R</p><p>2 − {0}, tem-se</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ω =</p><p>0. Ora, se n(γ) = k então, pelo exerćıcio anterior, γ é homotópico livremente ao</p><p>caminho η : [0, 2π] → R</p><p>2 − {0}, dado por η(s) = (cos(ks), sen(ks)). É claro que∫</p><p>η</p><p>ω = k ·</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>ω = 0. Logo</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>η</p><p>ω = 0.</p><p>4.3 Seja c = 2π·</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>ω, onde γ1 : [0, 2π] → R</p><p>2−{0} é dado por γ1(t) = (cos t, sen t).</p><p>Então a forma ω−c ·Ω tem integral nula sobre o caminho γ1 . Pelo exerćıcio anterior,</p><p>ω − c · Ω é exata, ou seja, existe f : R</p><p>2 − {0} → R tal que df = ω − c · Ω, isto é,</p><p>ω = df + c · Ω.</p><p>4.4 Segundo o Exerćıcio 2, devemos provar que</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>ω = 0, onde γ1 : [0, 2π] →</p><p>R</p><p>2−{0} é dado por γ1(t) = (cos t, sent t). Ora, para r > 0, γ1 é livremente homotópico</p><p>em R</p><p>2 − {0} (mediante uma homotopia linear) do caminho γr : [0, 2π] → R</p><p>2 − {0},</p><p>dado por γr(s) = (r·cos s, r·sen s). Portanto</p><p>∣∣∣∣</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>ω</p><p>∣∣∣∣ =</p><p>∣∣∣∣</p><p>∫</p><p>γr</p><p>ω</p><p>∣∣∣∣ ≤ r·M ·2π.</p><p>Fazendo r → 0, conclúımos que</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>ω = 0.</p><p>4.5 (i) A forma ω é o pullback ω = F ∗Ω da forma elemento de ângulo Ω pela</p><p>aplicação F : (x, y) 7→ (f(x, y), g(x, y)), definida no aberto A. Como Ω é fechada,</p><p>segue-se que ω também é.</p><p>(ii) Como acima, seja F (z) = (f(z), g(z)). Se não existisse z ∈ B tal que</p><p>F (z) = 0, o disco B estaria contido no domı́nio A da forma ω, a qual seria exa-</p><p>ta em B e dáı</p><p>∫</p><p>C</p><p>ω = 0.</p><p>4.6 Temos f(z)dz = (u + iv)(dx + idy) = (udx − vdy) + i(vdx + udy) logo∫</p><p>γ</p><p>f(z)dz =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>(udx−vdy)+ i ·</p><p>∫</p><p>γ</p><p>vdx+udy = 0 pois as formas udx−vdy e vdx+udy</p><p>são fechadas (já que f é holomorfa) e o caminho γ é homotópico a uma constante.</p><p>130 Soluções dos Exerćıcios Cap.6</p><p>2. Formas alternadas</p><p>1.1 (i) Imediato a partir das definições.</p><p>(ii) Se w = (u, v), w′ = (u′, v′) ∈ E × E então w + w′ = (u+ u′, v + v′), logo</p><p>s(w + w′) = s(u+ u′, v + v′) = u+ u′ + v + v′ = (u+ v) + (u′ + v′)</p><p>= s(u, v) + s(u′, v′) = s · w + s · w′.</p><p>Analogamente se vê que s(a · w) = a · (s · w) se a ∈ R e w ∈ E × E, portanto s é</p><p>linear. Por outro lado, α é trilinear, em virtude da bilinearidade de f e das definições</p><p>de f + f ′ e a · f .</p><p>1.2 Sejam {e1, . . . , en} ⊂ E uma base e {ē1, . . . , ēn} ⊂ E∗ sua dual. As for-</p><p>mas r-lineares ē(s), definidas no Teorema 2, constituem uma base de Lr(E; R). De-</p><p>finamos a transformação linear f̄ : E → G requerendo que, para cada seqüência</p><p>(s) = (i1, . . . , ir), seja f̄(ē(s)) = f(ēi1 , . . . , ēir ). Então as aplicações r-lineares f, f̄ ◦</p><p>ϕ : E∗</p><p>1 × · · · × E∗</p><p>r → G são tais que f(ēi1 , . . . , ēir ) = f̄(ē(s)) = f̄(ϕ(ēi1 , . . . , ēir ),</p><p>portanto f = f̄ ◦ ϕ pelo Teorema 1.</p><p>1.3 (i) Como dimL(E∗;F ) = m · n, basta provar que as transformações li-</p><p>neares ϕ(ui, vj) : E∗ → F são linearmente independentes. De fato, se tivermos∑</p><p>i,j</p><p>aijϕ(ui,vj) = 0 então, considerando a base dual {ū1, . . . , ūm} ⊂ E∗, para cada</p><p>k = 1, . . . ,m será 0 =</p><p>∑</p><p>i,j</p><p>aijϕ(ui, vj) · ūk =</p><p>∑</p><p>i,j</p><p>aij · ūk(ui) · vj =</p><p>∑</p><p>j</p><p>akjvj logo akj = 0</p><p>para todo k e todo j pois os vj são linearmente independentes.</p><p>(ii) Para obter uma transformação linear ψ̄ : L(E∗;F ) → G tal que ψ = ψ̄ ◦ ϕ,</p><p>tomamos bases {u1, . . . , um} ⊂ E, {v1, . . . , vn} ⊂ F . Então as imagens ϕ(ui, vj)</p><p>formam uma base de L(E∗;F ) e pomos ψ̄(ϕ(ui, vj)) = ψ(ui, vj). A unicidade de ψ̄</p><p>resulta do fato de que qualquer ψ̃ : L(E∗;F ) → G linear que cumpra ψ = ψ̃ ◦ ϕ deve</p><p>coincidir com ψ̄ na base formada pelos ϕ(ui, vj), logo é igual a ψ̄.</p><p>1.4 Dados u = (x1, . . . , xn), v = (y1, . . . , yn) em R</p><p>n, temos u =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>xiei , v =</p><p>n∑</p><p>j=1</p><p>yjej , logo f(u, v) =</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>xiyj ·eeeij , ou seja, f(u, v) é a matriz [xi · yj ]. Ora, é bem</p><p>sabido que as matrizes deste tipo são exatamente as que têm posto 1 ou são nulas.</p><p>1.5 (i) f(u, v) =</p><p>1</p><p>4</p><p>(f(u+ v, u+ v) − f(u− v, u− v))</p><p>=</p><p>1</p><p>4</p><p>(g(u+ v, u+ v) − g(u− v, u− v)) = g(u, v).</p><p>(ii) f(u, v) =</p><p>1</p><p>2</p><p>(f(u, v) + f(v, u)) +</p><p>1</p><p>2</p><p>(f(u, v) − f(v, u)),</p><p>logo todo f bilinear é soma de uma simétrica com uma anti-simétrica. Quanto à</p><p>unidade, basta observar que uma aplicação bilinear que é, ao mesmo tempo, simétrica</p><p>e anti-simétrica, é nula. Assim sendo, se f = a+ s = a′ + s′, teremos a− a′ = s′ − s</p><p>portanto a = a′ e s = s′.</p><p>2.1 Aplicando diretamente a definição, temos:</p><p>f(v1, v2) = f(x1e1 + y1e2, x2e1 + y2e2) = x1x2 · f(e1, e1)</p><p>+ x1y2 · f(e1, e2) + y1x2 · f(e2, e1) + y1y2 · f(e2, e2)</p><p>= (x1y2 − x2y1) · f(e1, e2) = a · (x1y2 − x2y1).</p><p>Cap.6 Soluções dos Exerćıcios 131</p><p>2.2 Se um tal vetor w = (a, b, c) de fato existir, devemos ter f(e1, e2) = 〈e1 ×</p><p>e2, w〉 = 〈e3, w〉 = c e, analogamente, f(e3, e1) = b, f(e2, e3) = a, ou seja, só pode</p><p>ser w = (f(e2, e3), f(e3, e1), f(e1, e2)). Guiados por esta observação, consideremos o</p><p>vetor w assim determinado e definamos a forma bilinear alternada g : R</p><p>3 × R</p><p>3 → R</p><p>pondo g(v1, v2) = 〈v1 × v2, w〉. Teremos então g(e1, e2) = f(e1, e2), g(e2, e3) =</p><p>f(e2, e3) e g(e1, e3) = f(e1, e3), portanto g = f .</p><p>2.3 Dados v1, . . . , vr ∈ E, ponhamos wi = vρ(i), i = 1, . . . , r. Então</p><p>[ρ(σf)](v1, . . . , vr) = (σf)(vρ(1), . . . , vρ(r)) = (σf)(w1, . . . , wr)</p><p>= f(wσ(1), . . . , wσ(r)) = f(vρσ(1), . . . , vρσ(r))</p><p>= [(ρσ)f ](v1, . . . , vr),</p><p>pois wi = vρ(i) ⇒ wσ(i) = vρσ(i) .</p><p>2.4 (i) Dizer que uma forma r-linear f é alternada significa afirmar que τf = −f</p><p>para toda transposição τ de r objetos. Lembrando que a correspondência σ 7→ τσ é</p><p>uma bijeção do conjunto Sr das permutações de r objetos e que ετσ = −εσ , vemos</p><p>que τ(A · f) =</p><p>∑</p><p>σ</p><p>εσ · τ(σf) = −</p><p>∑</p><p>σ</p><p>ετσ · (τσ)f = −A · f .</p><p>(ii) Como toda permutação é um produto de transposições, se a forma f é al-</p><p>ternada, tem-se σf = εσ · f , logo Af é uma soma de r! parcelas, todas iguais a</p><p>(εσ)</p><p>2 · f = f , ou seja, A · f = r!f . Reciprocamente, se A · f = r!f então f = 1</p><p>r!</p><p>A · f</p><p>portanto, se τ é uma transposição então τf = 1</p><p>r!</p><p>· τ(A · f) = 1</p><p>r!</p><p>(−A · f) = −f pois,</p><p>como vimos acima, τ(A · f) = −A · f .</p><p>(iii) De fato, para quaisquer v1, . . . , vr ∈ E, tem-se (f1· . . . ·fr)(v1, . . . , vr) =</p><p>f1(v1)· . . . ·fr(vr), logo</p><p>[A · (f1· . . . ·fr)(v1, . . . , vr)] =</p><p>∑</p><p>σ</p><p>εσ · f1(vσ(1))· . . . ·fr(vσ(r))</p><p>= det[fi(vj)] = (f1 ∧ · · · ∧ fr)(v1, . . . , vr),</p><p>portanto A · (f1· . . . ·fr) = f1 ∧ · · · ∧ fr .</p><p>2.5 Observe que se a lista v1, . . . , vr possui repetições então esses vetores são</p><p>linearmente dependentes, logo f(v1, . . . , vr) = 0. Portanto f é alternada, donde anti-</p><p>simétrica.</p><p>2.6 (i) Comece observando que, fixada uma transposição τ de r objetos, tem-se</p><p>ετσ = −εσ para toda σ ∈ Sr . Como</p><p>∑</p><p>σ∈Sr</p><p>εσ =</p><p>∑</p><p>σ</p><p>ετσ = −∑</p><p>σ</p><p>εσ , segue-se que</p><p>∑</p><p>σ∈Sr</p><p>εσ = 0. Portanto, se f é simétrica, tem-se Af =</p><p>∑</p><p>σ</p><p>εσ · σf =</p><p>(∑</p><p>σ</p><p>εσ</p><p>)</p><p>· f =</p><p>0. Quando r =</p><p>2, a igualdade (Af)(u, v) = f(u, v) − f(v, u) mostra que Af = 0</p><p>implica f(u, v) = f(v, u) identicamente, logo f é simétrica. Por outro lado a forma</p><p>f ∈ L3(R</p><p>3; R), caracterizada pela relação f(e1, e2, e3) = ē1 · ē2 · ē3 − ē3 · ē1 · ē2 , não é</p><p>simétrica mas cumpre A · f = 0.</p><p>3.1 Seja n = dimE = dimF . Considerando os pullbacks A∗: An(E)→ An(E),</p><p>B∗ : An(F ) → An(F ) e ϕ∗ : An(F ) → An(E), de ϕ ◦A = B ◦ϕ resulta que A∗ ◦ϕ∗ =</p><p>ϕ∗◦B∗. Sabemos que, para todo f ∈ An(E) e toda g ∈ An(F ), tem-se A∗f = detA·f</p><p>132 Soluções dos Exerćıcios Cap.6</p><p>e B∗g = detB · g. Tomando g 6= 0, tem-se ϕ∗g 6= 0 e detA · ϕ∗g = A∗(ϕ∗g) =</p><p>ϕ∗(B∗g) = ϕ∗(detB · g) = detB · ϕ∗g, portanto detA = detB.</p><p>3.2 Sabemos que detaaa⊺ = detaaa. Como aaa é anti-simétrica, temos aaa⊺ = −aaa. Logo</p><p>detaaa = detaaa⊺ = det(−aaa) = (−1)n · detaaa. Se n ı́mpar, isto nos dá detaaa = − detaaa,</p><p>logo detaaa = 0.</p><p>3.3 Se aaa ∈M(n×n) é uma matriz do tipo mencionado então os primeiros m− i</p><p>elementos de sua i-ésima linha são nulos. Podemos transformá-la numa matriz tri-</p><p>angular inferior levando a última coluna para o primeiro lugar, mediante n− 1 pulos</p><p>(transposições), a penúltima coluna para o segundo lugar com n−2 transposições etc.</p><p>No total, fazendo n(n−1)</p><p>2</p><p>= (n−1)+(n−2)+· · ·+1 transposições nas colunas de aaa ob-</p><p>temos uma matriz triangular inferior aaa′, cuja diagonal principal é a1n, a2,n−1, . . . , an1 .</p><p>Como o determinante de aaa′ é o produto dos elementos da diagonal principal, escre-</p><p>vendo sn = n(n − 1)/2, vemos que detaaa = (−1)sn a1n·a2,n−1· . . . ·an1 . (Observe-se</p><p>que sn é par quando, e somente quando, n dividido por 4 deixa resto 0 ou 1.)</p><p>3.4 Se u1, . . . , un são L.D. então v1, . . . , vn também são e ambos os membros da</p><p>igualdade proposta são iguais a zero. Caso contrário, {u1, . . . , un} é uma base de R</p><p>n</p><p>e definimos o operador A : R</p><p>n → R</p><p>n estipulando que Au1 = v1, . . . , Aun = vn . Então</p><p>f(v1, . . . , vn) = f(Au1, . . . , Aun) = Det A · f(u1, . . . , un) = detaaa · f(u1, . . . , un), pois</p><p>aaa é a matriz de A na base {u1, . . . , un}.</p><p>3.5 Isto é claro por n-linearidade quando todos os elementos fora da diagonal são</p><p>nulos. O caso geral se reduz a este subtraindo-se inicialmente múltiplos da primeira</p><p>coluna de modo a anular sucessivamente todos os elementos da primeira linha a partir</p><p>do segundo. Em seguida, subtrai-se de cada coluna, a partir da terceira, um múltiplo</p><p>da nova segunda coluna, de modo a anular todos os termos da segunda linha, a partir</p><p>do terceiro. Prossegue-se analogamente. (Experimente com uma matrix 3 × 3 ou</p><p>4 × 4.)</p><p>4.1 (i) Se 0 6= v ∈ R</p><p>n, podemos encontrar vetores w1, . . . , wn−1 ∈ R</p><p>n tais que</p><p>{v, w1, . . . , wn−1} ⊂ R</p><p>n seja uma base. Então det[v, w1, . . . , wn−1] 6= 0 portanto</p><p>ϕ(v) 6= 0. Assim, ϕ é injetiva. Como R</p><p>n e An−1(R</p><p>n) têm a mesma dimensão n,</p><p>segue-se que ϕ é um isomorfismo.</p><p>(ii) Seja ϕ(v) · (w1, . . . , wn−1) = a o valor de (n − 1)-forma ϕ(v) na seqüência</p><p>(w1, . . . , wn−1). Ponha f = a · w̄1 ∧ · · · ∧ w̄n−1 , onde {v̄, w̄1, . . . , w̄n−1} ⊂ (Rn)∗</p><p>é a base dual de {v, w1, . . . , wn−1}. As (n − 1)-formas alternadas ϕ(v) e f as-</p><p>sumem o mesmo valor ϕ(v) · (w1, . . . , wn−1) = a e ϕ(v) · (v, w1,. . ., ŵi,. . ., wn−1) =</p><p>f(v, w1, . . . , ŵi,. . ., wn−1)= 0 (i = 1, . . . , n− 1). Logo ϕ(v) = f = a · w̄1 ∧ · · · ∧ w̄n−1 .</p><p>(iii) Com efeito, toda forma (n − 1)-linear alternada g ∈ An−1(R</p><p>n) é do tipo</p><p>g = ϕ(v) para algum v ∈ R</p><p>n.</p><p>4.2 Supondo que existissem f = (a1, a2, a3, a4) e g = (b1, b2, b3, b4) tais que</p><p>f ∧ g = ē1 ∧ ē2 + ē3 ∧ ē4 , dáı resultaria que (f ∧ g)(e1, e3) = (f ∧ g)(e1, e4) =</p><p>(f ∧ g)(e2, e3) = (f ∧ g)(e2, e4) = 0, logo a1b3 = a3b1 , a1b4 = a4b1 , a2b3 = a3b2 e</p><p>a2b4 = a4b2 . Considerando os vetores vi = (ai, bi) ∈ R</p><p>2, i = 1, 2, 3, 4, as igualdades</p><p>acima significam que estes 4 vetores são colineares. A colinearidade entre v1 e v2 nos</p><p>dá a1b2 = a2b1 , logo 0 = a1b2 −a2b1 = (f ∧g)(e1, e2) = (ē1 ∧ ē2 + ē3 ∧ ē4)(e1, e2) = 1,</p><p>uma contradição.</p><p>Cap.6 Soluções dos Exerćıcios 133</p><p>4.3 Considere uma base {f1, . . . , fr, hr+1, . . . , hn} ⊂ E∗ cujos primeiros r ele-</p><p>mentos são os funcionais dados. Para cada j = 1, . . . , r, podemos escrever gj =</p><p>r∑</p><p>i=1</p><p>aijfi +</p><p>n∑</p><p>k=r+1</p><p>akjhk . Então, fazendo os ı́ndices i, j variarem de 1 a r enquanto k</p><p>varia de r + 1 a n, temos</p><p>0 =</p><p>∑</p><p>j</p><p>fj ∧ gj =</p><p>∑</p><p>i,j</p><p>aij · fj ∧ fi +</p><p>∑</p><p>j,k</p><p>akj · fj ∧ hk</p><p>=</p><p>∑</p><p>i<j</p><p>(aji − aij) · fi ∧ fj +</p><p>∑</p><p>j,k</p><p>akj · fj ∧ hk .</p><p>Como as formas fp ∧ fq com p < q constituem uma base de A2(E), levando em</p><p>conta que se tem j < k sempre, segue-se que akj = 0 para todo j = 1, . . . , r e todo</p><p>k = r+ 1, . . . , n, portanto os gj são combinações lineares dos fi apenas e, além disso,</p><p>nas expressões gj =</p><p>∑</p><p>i</p><p>aij fi tem-se aij = aji .</p><p>5.1 Sejam f1, . . . , fr ∈ (Rn)∗ e v1, . . . , vr ∈ R</p><p>n definidos por fi =</p><p>n∑</p><p>k=1</p><p>aik · ēk</p><p>e vj =</p><p>n∑</p><p>k=1</p><p>bkj · ek . Então fi(vj) = Σ aik · bkj é o ij-ésimo elemento da matriz ababab,</p><p>onde aaa = [aij ] e bbb = [bij ]. Assim, det[ababab] = det[fi(vj)] = (f1 ∧ · · · ∧ fr)(v1, . . . , vr).</p><p>Escrevendo f1 ∧ · · · ∧ fr =</p><p>∑</p><p>K</p><p>detaaaK · ēK e lembrando que ēK · (v1, . . . , vr) = detbbbK ,</p><p>ficamos com det[ababab] =</p><p>∑</p><p>K</p><p>detaaaK · detbbbK .</p><p>5.2 Seja aaa ∈ M(n × (n + 1)) a matriz cujas linhas são os vetores ui enquanto</p><p>bbb ∈ M((n + 1) × n) tem como colunas os vetores vj . Então, pelo exerćıcio anterior,</p><p>levando em conta que o ij-ésimo elemento da matriz ababab é 〈ui, vj〉, temos</p><p>det[〈ui, vj〉] = detababab =</p><p>n+1∑</p><p>k=1</p><p>detaaak · detbbbk ,</p><p>onde aaak e bbbk são as matrizes n×n que resultam de aaa e bbb por omissão da k-ésima coluna e</p><p>da k-ésima linha respectivamente. Lembrando que u1×· · ·×un =</p><p>∑</p><p>k</p><p>(−1)k+1 detaaak ·ek</p><p>e v1 ×· · ·×vn =</p><p>∑</p><p>k</p><p>(−1)k+1 detbbbk · ek , obtemos a igualdade det[〈ui, vj〉] = 〈u1 ×· · ·×</p><p>un, v1 × · · · × vn〉.</p><p>5.3 Primeiro observemos o seguinte: se A : E → F é sobrejetiva então A∗: Ar(F)→</p><p>Ar(E) é injetiva. Com efeito, sendo sobrejetiva, A possui uma inversa à direita, que</p><p>é uma transformação linear B : F → E tal que AB : F → F é a aplicação identidade.</p><p>Então B∗A∗ = (AB)∗ : Ar(E) → Ar(F ) também é a aplicação identidade, logo B∗</p><p>é inversa à esquerda de A∗ e conseqüentemente A∗ é injetiva. De modo análogo se</p><p>mostra que se A : E → F é injetiva então A∗ : Ar(F ) → Ar(E) é sobrejetiva. Seja</p><p>agora A : E → F uma transformação linear de posto p = dimF0 , onde F0 ⊂ F é a</p><p>imagem de A. A aplicação de inclusão i : F0 → F é injetiva enquanto que A0 : E → F0</p><p>(tal que A = i ◦ A0) é sobrejetiva. Assim, no diagrama abaixo, i∗ é sobrejetiva e A∗</p><p>0</p><p>é injetiva:</p><p>Ar(F )</p><p>i∗−→ Ar(Fo)</p><p>A∗</p><p>0−→ Ar(E).</p><p>134 Soluções dos Exerćıcios Cap.6</p><p>Segue-se que o posto de A∗ = A∗</p><p>0 ◦ i∗ é igual à dimensão de Ar(F0), que é</p><p>(</p><p>p</p><p>r</p><p>)</p><p>.</p><p>6.1 Temos, por exemplo</p><p>f1 = a2 · ē1 + a1 · ē2 , f2 = −a3</p><p>a1</p><p>· ē1 + ē3 , f3 =</p><p>a4</p><p>a1</p><p>· ē1 + ē3 , logo</p><p>f1 ∧ f2 = a1 · ē2 ∧ ē3 + a2 · ē1 ∧ ē3 + a3 · ē1 ∧ ē2 e dáı</p><p>f1 ∧ f2 ∧ f3 = a1 · ē2 ∧ ē3 ∧ ē4 + a2 · ē1 ∧ ē3 ∧ ē4 + a3 · ē1 ∧ ē2 ∧ ē4+</p><p>+ a4 · ē1 ∧ ē2 ∧ ē3</p><p>e assim por diante.</p><p>Ora, alterando, se necessário, a numeração dos elementos da base de R</p><p>n podemos</p><p>escrever cada f ∈ An−1(R</p><p>n) como f =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>ai · ē1 ∧ · · · ∧ ēi−1 ∧ ēi+1 ∧ · · · ∧ ēn com</p><p>a1 6= 0 salvo, naturalmente, o caso óbvio em que f = 0. Assim, toda f ∈ An−1(R</p><p>n)</p><p>é decompońıvel.</p><p>6.2 Se estes conjuntos são bases do subespaço S ⊂ E∗ então dimS = r e</p><p>dim Ar(S) = 1. Como f1 ∧ · · · ∧ fr e g1 ∧ · · · ∧ gr são elementos não-nulos de Ar(S),</p><p>existe a 6= 0 tal que g1 ∧· · ·∧gr = a ·f1 ∧· · ·∧fr . Reciprocamente, se vale esta igual-</p><p>dade então para todo h ∈ E∗, tem-se h∧(f1∧· · ·∧fr) 6= 0 ⇔ h∧(g1∧· · ·∧gr) 6= 0, ou</p><p>seja, {h, f1, . . . , fr} é L.I. se, e somente se, {h, g1, . . . , gr} é L.I. Portanto os conjuntos</p><p>{f1, . . . , fr} e {g1, . . . , gr} geram o mesmo subespaço S ⊂ E∗.</p><p>6.3 Evidentemente, S é um subespaço vetorial de E∗. Seja A : E∗ → S a trans-</p><p>formação linear definida por A · g = g ∧ f1 ∧ · · · ∧ fr . Pela própria definição</p><p>de S, A</p><p>é sobrejetiva. Além disso, g pertence ao núcleo de A se, e somente se, {g, f1, . . . , fr}</p><p>é um conjunto linearmente dependente. Portanto, o núcleo de A é o subespaço (r-</p><p>dimensional) de E∗ gerado por f1, . . . , fr . Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, a</p><p>dimensão de S é n− r.</p><p>6.4 Se f0 = 0 então ωn+1 tem pelo menos grau n + 1, logo é igual a zero</p><p>(supondo n = dimE) portanto ω, neste caso, não possui inverso. Suponhamos agora</p><p>que seja f0 = 1. Então, escrevendo ω̄ ≡ 1 − ω, temos ω̄n+1 ≡ 0, logo 1 = 1 − ω̄n+1 =</p><p>(1−ω̄)(1+ω̄+· · ·+ω̄n). Como 1−ω̄ = ω, vemos que ω possui o inverso 1+ω̄+· · ·+ω̄n.</p><p>Mais geralmente, se f0 = a 6= 0, temos ω = a · ω1 onde a componente de grau 0 de</p><p>ω1 é igual a 1, logo ω1 possui inverso e ω também possui.</p><p>3. Formas diferenciais</p><p>1.1. Sendo uma forma de grau 2 em R</p><p>3, ω = ϕ ∧ ψ é decompońıvel. Como</p><p>ω ∧ α = 0, temos, para cada p ∈ U , ϕ(p) ∧ ψ(p) ∧ α(p) = 0, logo os funcionais</p><p>lineares ϕ(p), ψ(p) e α(p) são coplanares no espaço vetorial (R3)∗ e analogamente</p><p>são coplanares ϕ(p), ψ(p) e β(p). Como α(p) ∧ β(p) 6= 0, os funcionais α(p) e β(p)</p><p>formam a base de um plano Π(p) em (R3)∗, ao qual pertencem ϕ(p) e ψ(p). Então</p><p>ω(p) = ϕ(p)∧ψ(p) = f(p) · [α(p)∧β(p)] pois {α(p)∧β(p)} é uma base de A2(Π(p)). A</p><p>igualdade ω = f ·α∧β implica que se α e β são de classe Ck, f também é. Com efeito,</p><p>sejam ω = adx∧ dy+ bdy ∧ dz+ cdx∧ dz e α∧ β = a′dx∧ dy+ b′dy ∧ dz+ c′dx∧ dz.</p><p>Cada p ∈ U possui uma vizinhança A em todos os pontos da qual se tem, digamos,</p><p>a′ 6= 0. Então de a = f · a′ resulta que f = a/a′ em A, logo f ∈ Ck.</p><p>Cap.6 Soluções dos Exerćıcios 135</p><p>1.2. Se M é orientável, a forma elemento de volume atende à questão. Recipro-</p><p>camente, se ω é uma forma cont́ınua de grau máximo, com ω(x) 6= 0 em todos os</p><p>pontos x ∈ M , diremos que uma parametrização ϕ : U0 → U ⊂ M é positiva quando</p><p>U for conexo e, para todo x = ϕ(u) ∈ U , tivermos ω(x) ·</p><p>(</p><p>∂ϕ</p><p>∂u1</p><p>(u), . . . , ∂ϕ</p><p>∂um</p><p>(u)</p><p>)</p><p>> 0.</p><p>O conjunto A dessas parametrizações chamadas de positivas é um atlas em M . Para</p><p>mostrar que A é coerente, sejam ϕ : U0 → U e ψ : V0 → V pertencentes a A,</p><p>x = ϕ(u) = ψ(v) ∈ U ∩ V , e ξ = ψ−1 ◦ ϕ : ϕ−1(U ∩ V ) → ψ−1(U ∩ V ). Sabe-</p><p>mos (Volume 2, Caṕıtulo 7, Seção 4) que a matriz aaa = [aij ] de passagem de base{</p><p>∂ψ</p><p>∂v1</p><p>(v), . . . , ∂ψ</p><p>∂vm</p><p>(v)</p><p>}</p><p>para a base</p><p>{</p><p>∂ϕ</p><p>∂u1</p><p>(u), . . . , ∂ϕ</p><p>∂um</p><p>(u)</p><p>}</p><p>em TxM é a matriz jacobi-</p><p>ana de ξ no ponto u. Além disso,</p><p>ω(x) ·</p><p>(</p><p>∂ϕ</p><p>∂u1</p><p>(u), . . . ,</p><p>∂ϕ</p><p>∂um</p><p>(u)</p><p>)</p><p>= det[aij ] · ω(x) ·</p><p>(</p><p>∂ψ</p><p>∂v1</p><p>(v), . . . ,</p><p>∂ψ</p><p>∂vm</p><p>(v)</p><p>)</p><p>.</p><p>Segue-se que det[aij ] > 0 portanto ϕ e ψ são compat́ıveis, o atlas A é coerente e M é</p><p>orientável.</p><p>1.3. Seja ω uma forma cont́ınua de grau máximo, diferente de zero em to-</p><p>dos os pontos de N . Seu pullback f∗ω tem as mesmas propriedades em M pois</p><p>f ′(x) : TxM → Tf(x)N é um isomorfismo para todo x ∈M . Logo M é orientável.</p><p>1.4. Sejam ω em M e ω̄ em N formas diferenciais cont́ınuas e positivas, cujas</p><p>existências caracterizam as orientabilidades de M e N . Para todo x ∈ M existe um</p><p>único número λ(x) 6= 0 tal que (f∗ω̄)(x) = λ(x) · ω(x). Como λ : M → R − {0}</p><p>é cont́ınua e M é conexa, ou bem λ(x) > 0 para todo x ∈ M (e então f preserva</p><p>orientação) ou λ(x) < 0 para todo x e f inverte orientação.</p><p>1.5. Que f é um difeomorfismo, é claro, pois f ◦ f = id. Quanto à orientação,</p><p>em cada ponto x ∈ R</p><p>n−{0} o espaço tangente R</p><p>n se decompõe na soma direta R</p><p>n =</p><p>Ex⊕Fx , onde Ex é formado pelos múltiplos do vetor x e Fx pelos vetores ortogonais</p><p>a x. A derivada f ′(x) : R</p><p>n → R</p><p>n deixa invariante cada um desses subespaços. Em</p><p>Fx ela é simplesmente a multiplicação pela constante 1/r2, onde r = |x|, pois todo</p><p>v ∈ Fx é tangente à esfera de centro 0 e raio r, ao longo da qual f é simplesmente</p><p>a multiplicação por 1/r2. Por outro lado, f ′(x) transforma todo vetor v ∈ Ex num</p><p>múltiplo negativo de v pois f , ao longo da semi-reta aberta formada pelos pontos t ·u,</p><p>u = x</p><p>/</p><p>|x|, t > 0, tem a forma f(t · u) = s · u, s = 1/t2, logo tem derivada negativa.</p><p>1.6. Seja A o conjunto das parametrizações do tipo f ◦ ϕ : U0 → W ⊂ N onde</p><p>ϕ : U0 → U ⊂ M é uma parametrização positiva tal que U é conexo, e f : U → W é</p><p>um difeomorfismo. Evidentemente, A é um atlas. Para provar sua coerência, sejam</p><p>f ◦ ϕ : U0 →W , f ◦ ψ : V0 → Z pertencentes a A, com W ∩ Z 6= ∅. Então</p><p>(f ◦ψ)−1 ◦ (f ◦ϕ) = ψ−1 ◦ [(f |V )−1 ◦ (f |U)]◦ϕ : (f ◦ϕ)−1(W ∩Z) → (f ◦ψ)−1(W ∩Z)</p><p>é a composição de difeomorfismos que preservam orientação, conforme a hipótese feita</p><p>sobre f . Segue-se que A é coerente. Pelo Exerćıcio 4, ou ambas as transformações</p><p>lineares f ′(x1) : Tx1</p><p>M → TyN , f ′(x2) : Tx2</p><p>M → TyN (onde y = f(x1) = f(x2))</p><p>preservam orientação ou ambas invertem. Em qualquer caso, a composta f ′(x2)</p><p>−1 ·</p><p>f ′(x1) : Tx1</p><p>M → Tx2</p><p>M preserva orientação.</p><p>1.7. A primeira coisa a observar é que f(x) = f(y) ⇔ y = ±x. Em seguida,</p><p>consideramos cada matriz simétrica [xi ·xj ] como um ponto de R</p><p>(n+1)(n+2)/2, levando</p><p>136 Soluções dos Exerćıcios Cap.6</p><p>em conta apenas os elementos xi · xj com i ≤ j e dispondo as linhas uma após</p><p>a outra, em sua ordem natural. (Por exemplo, se x = (x1, x2, x3) então f(x) =</p><p>(x2</p><p>1, x1x2, x1x3, x</p><p>2</p><p>2, x2x3, x</p><p>2</p><p>3). Sem perda de generalidade, dado x = (x1, . . . , xn+1) ∈</p><p>R</p><p>n+1 − {0}, podemos supor x1 6= 0. A matriz jacobiana Jf(x) ∈ M(m × (n + 1)),</p><p>onde m = (n+ 1)(n+ 2)/2, tem posto n+ 1 pois suas primeiras n+ 1 linhas formam</p><p>a matriz invert́ıvel </p><p></p><p>2x1 0 0 . . . 0</p><p>x2 x1 0 . . . 0</p><p>x3 0 x1 . . . 0</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>xn+1 0 0 . . . x1</p><p></p><p></p><p>Portanto, para todo x ∈ R</p><p>n+1 − {0}, a derivada f ′(x) : R</p><p>n+1 → R</p><p>m (onde m =</p><p>(n+ 1)(n+ 2)/2) é injetiva. Em particular, chamando ainda de f a restrição à esfera</p><p>Sn, a derivada f ′(x) : TxS</p><p>n → R</p><p>m é injetiva, qualquer que seja x ∈ Sn. Assim, se</p><p>ϕ : U0 → U ⊂ Sn é uma parametrização tal que U não contém pontos ant́ıpodas, a</p><p>composta f ◦ϕ : U0 → V = f(U) é uma imersão injetiva. Para mostrar que f ◦ϕ é uma</p><p>parametrização em Pn = f(Sn), e portanto que Pn é uma superf́ıcie, resta provar que</p><p>a imagem f(A) de todo aberto A ⊂ Sn é um conjunto aberto em Pn = f(Sn), ou seja,</p><p>que F = Pn−f(A) é fechado em Pn (ou em R</p><p>m, tanto faz pois Pn é compacto). Ora,</p><p>como f é sobrejetiva, temos F = f(f−1(F )) e, escrevendo −A = {−x;x ∈ A} temos</p><p>−A aberto em Sn, logo f−1(F ) = Sn−f−1f(A) = Sn− (A∪ (−A)) é fechado em Sn,</p><p>portanto compacto e dáı F = f(f−1(F )) é compacto, portanto fechado. Vemos então</p><p>que Pn é uma superf́ıcie compacta n-dimensional em R</p><p>m, m = (n+ 1)(n+ 2)/2.</p><p>Examinemos a orientabilidade de Pn à luz do exerćıcio anterior. Pela Regra</p><p>da Cadeia, a igualdade f(−x) = f(x) implica que, para todo x ∈ Sn e todo vetor</p><p>v ∈ TxS</p><p>n = T−xS</p><p>n, tem-se f ′(−x)−1 · f ′(x) · v = −v, ou seja, a transformação linear</p><p>f ′(−x)−1 · f ′(x) : TxS</p><p>n → T−xS</p><p>n é simplesmente a multiplicação por −1. Aqui cabe</p><p>uma observação crucial. Como espaços vetoriais, TxS</p><p>n e T−xS</p><p>n coincidem. (Por isso</p><p>faz sentido dizer que uma transformação linear TxS</p><p>n → T−xS</p><p>n é a multiplicação</p><p>por −1.) Mas, segundo a orientação de Sn, uma base positiva em TxS</p><p>n é negativa</p><p>em T−xS</p><p>n e vice-versa. Portanto a multiplicação por −1 é uma transformação linear</p><p>TxS</p><p>n → T−xS</p><p>n que preserva a orientação quando n é ı́mpar e inverte quando n é par.</p><p>De acordo com o exerćıcio anterior, o espaço projetivo Pn é orientável se, e somente</p><p>se, n é ı́mpar.</p><p>2.1. Todas as afirmações são verdadeiras, exceto a terceira. A primeira, porque</p><p>toda forma de grau n em R</p><p>n é fechada, logo é exata pelo Lema de Poincaré. A</p><p>segunda, porque α ∧ dβ = d((−1)r α ∧ β) onde r = grau de α. A terceira é falsa por</p><p>causa da primeira ou, mais explicitamente, porque a forma diferencial ω = dx1∧· · ·∧</p><p>dxn , elemento de volume de R</p><p>n, cumpre ω = dα, onde α = 1</p><p>n</p><p>Σ(−1)i+1 αi · dx1 ∧</p><p>· · · ∧ d̂xi ∧ · · · ∧ dxn . (No Caṕıtulo 5, veremos que a referida afirmação é verdadeira</p><p>quando M , além de orientável, é compacta.)</p><p>A</p><p>quarta afirmação é verdadeira porque d(f∗ω) = f∗(dω).</p><p>2.2. (i) Temos d(f ·ω) = df∧ω+f ·dω = 0. Dáı resulta que df∧ω∧ω+f ·dω∧ω = 0,</p><p>ou seja, f · dω ∧ ω = 0. Como f(x) 6= 0 para todo x ∈ U , conclui-se que dω ∧ ω = 0.</p><p>(ii) A forma ω = xdy+ydz+zdx em R</p><p>3 é tal que ω∧dω = (x+y+z)dx∧dy∧dz 6= 0.</p><p>Cap.6 Soluções dos Exerćıcios 137</p><p>2.3. Considerando a projeção radial f : R</p><p>n+1−{0} → Sn, dada por f(x) = x</p><p>/</p><p>|x|</p><p>e a aplicação de inclusão i : Sn → R</p><p>n+1 − {0}, temos f ◦ i = id: Sn → Sn logo, dada</p><p>a forma ω em Sn, seu pullback ω̄ = f∗ω é uma forma em R</p><p>n+1 − {0} cuja restrição</p><p>a Sn é i∗ω̄ = i∗f∗ω = (f ◦ i)∗ω = ω.</p><p>Então, uma forma fechada ω de grau 1 em Sn é a restrição da forma fechada</p><p>ω̄ = f∗ω no aberto simplesmente conexo R</p><p>n+1 − {0}, logo ω̄ = df̄ é exata e dáı</p><p>ω = df , onde f = f̄ |Sn. A função f : Sn → R assume seu valor máximo num ponto</p><p>x ∈ Sn, logo ω(x) = df(x) = 0.</p><p>2.4. Evidentemente, se ω é exata em Pn então f∗ω é exata em Sn. Suponhamos,</p><p>reciprocamente, que f∗ω = dα seja exata. Devemos achar α0 em Pn tal que ω = dα0 .</p><p>Para isso, introduzimos a forma α̃ = 1</p><p>2</p><p>(α + A∗α), onde A : Sn → Sn é a aplicação</p><p>ant́ıpoda, definida por A(x) = −x, e A∗α é o pullback da forma α mediante A. Vê-se</p><p>facilmente que A∗α̃ = α̃ e que dα̃ = f∗ω. A igualdade A∗α̃ = α̃, implica que existe</p><p>uma forma α0 em Pn tal que α̃ = f∗α0 . Para definir α0 , tomemos arbitrariamente</p><p>y ∈ Pn e w1, . . . , wr ∈ TyP</p><p>n (r = grau de α0). Então y = f(x) = f(−x), x ∈ Sn e</p><p>wi = f ′(xi) · vi = f ′(−x) · (−vi), vi ∈ TxS</p><p>n = T−xS</p><p>n, i = 1, . . . , r. A definição de α0</p><p>é dada por</p><p>α0(y) · (w1, . . . , wr) = α̃(x) · (v1, . . . , vr) = α̃(−x) · (−v1, . . . ,−vr),</p><p>a última igualdade valendo porque α̃ = A∗α̃. Ela significa que α0 está bem definida</p><p>e a primeira igualdade acima quer dizer que f∗α0 = α̃. Então</p><p>f∗(dα0) = d(f∗α0) = dα̃ = f∗ω.</p><p>Como f é um difeomorfismo local, f∗ é um isomorfismo linear portanto de f∗(dα0) =</p><p>f∗ω resulta que ω = dα0 .</p><p>2.5. Consideremos o difeomorfismo local f : Sn → Pn. Se ω é uma forma fechada</p><p>de grau 1 em Pn, seu pullback f∗ω é ainda uma forma de grau 1 fechada em Sn. Como</p><p>a esfera Sn é simplesmente conexa, f∗ω é exata. Pelo exerćıcio anterior, segue-se que</p><p>ω é exata em Pn.</p><p>Observação. Vê-se deste modo que para toda forma fechada ω de grau 1 em</p><p>Pn tem-se</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ω = 0 para todo caminho fechado γ em Pn. No entanto, isto não quer</p><p>dizer que Pn seja simplesmente conexo. Por exemplo, se γ : [0, π] → Sn, definido por</p><p>γ(t) = (cost, sent, 0, . . . , 0), é a metade de um ćırculo máximo então η = f ◦γ : [0, π] →</p><p>Pn é um caminho fechado em Pn que não é livremente homotópico a uma constante.</p><p>(Veja [8], pág. 78.)</p><p>4. Ohne Titel</p><p>1.1 Os itens (i) e (ii) são imediatos: ε = r e ε = +∞. A resposta do item(iii)</p><p>é ε = 1/2. A razão é a seguinte: a normal a M pelo ponto p = (s, s2) corta o eixo</p><p>y, que também é normal, no ponto q = (0, s2 + 1/2), cuja distância a p é</p><p>√</p><p>s2 + 1/4,</p><p>valor tão próximo de 1/2 quanto se queira, desde que |s| seja pequeno. Logo ε ≤ 1/2.</p><p>Por outro lado, duas retas normais a M só se intersectam após pelo menos uma delas</p><p>cortar o eixo y. Logo não pode ser ε < 1/2.</p><p>138 Soluções dos Exerćıcios Cap.6</p><p>1.2. (i) Definição óbvia. Vamos aos sub-itens de (ii):</p><p>(a) Se o aberto A ⊂ R</p><p>n é convexo e p ∈ A então a aplicação constante f : A→ {p}</p><p>e a inclusão i : {p} → A são equivalências homotópicas, uma inversa da outra pois</p><p>f ◦ i = id: {p} → {p} enquanto que H : A × [0, 1] → A, definida por H(x, t) =</p><p>(1−t)x+tp, é uma homotopia entre a aplicação identidade id: A→ A e i◦f : A→ A.</p><p>(b) A inclusão i : Sn → R</p><p>n+1 − {0} e a projeção radial f : R</p><p>n+1 − {0} → Sn,</p><p>f(x) = x</p><p>/</p><p>|x| são equivalências homotópicas, pois f ◦ i = id: Sn → Sn e H : R</p><p>n+1 −</p><p>({0}× [0, 1]) → R</p><p>n+1 −{0}, definida por H(x, t) = (1− t)x+ tx</p><p>/</p><p>|x| é uma homotopia</p><p>entre a aplicação identidade id: R</p><p>n+1 − {0} → R</p><p>n+1 − {0} e i ◦ f .</p><p>(c) Considere f : M×R</p><p>n →M , f(x, v) = x e g : M →M×R</p><p>n, g(x) = (x, 0). São</p><p>equivalências homotópicas, uma inversa da outra, pois f ◦ g : M → M é a aplicação</p><p>identidade e H : (M ×R</p><p>n)× [0, 1] →M ×R</p><p>n, definida por H(x, v, t) = (x, (1− t)v) é</p><p>uma homotopia entre a aplicação identidade de M ×R</p><p>n e g ◦ f : M ×R</p><p>n →M ×R</p><p>n.</p><p>(d) O argumento aqui é o mesmo dos sub-itens anteriores: tomamos f : U → C</p><p>definida por f(v, z) = (v</p><p>/</p><p>|v|, z), v = (x, y) e g : C → U , g(v, z) = (v, z). Então</p><p>f ◦ g : C → C é a aplicação identidade enquanto que g ◦ f : U → U é homotópica à</p><p>identidade de U mediante H : U × [0, 1] → U , definida por H(v, z, t) =</p><p>(</p><p>(1 − t) v</p><p>|v|</p><p>+</p><p>tv, z</p><p>)</p><p>.</p><p>1.3. Chamemos de g : N →M uma inversa homotópica de f . Se ω = dα ∈ Λr(N)</p><p>é exata então f∗ω = f∗(dα) = d(f∗α) é exata emM . Reciprocamente seja ω ∈ Λr(N)</p><p>uma forma fechada tal que f∗ω = dβ é exata em N . Como f ◦ g ≃ id : N → N , o</p><p>Teorema 3 assegura a existência de α ∈ Λr−1(N) tal que (f ◦ g)∗ω−ω = dα, ou seja,</p><p>ω = g∗(f∗ω) − dα = g∗(dβ) − dα = d(g∗β − α), logo ω é exata.</p><p>1.4. A aplicação f : U → S1, dada por f(x, y, z) =</p><p>(</p><p>x√</p><p>x2+y2</p><p>, y√</p><p>x2+y2</p><p>)</p><p>, é uma</p><p>equivalência homotópica, da qual g : S1 → U , dada por g(x, y) = (x, y, 0) é uma</p><p>inversa. Como dimS1 = 1, toda forma de grau 2 em S1 é nula. Então, para toda</p><p>forma ω de grau 2 em U , seu pullback g∗ω é zero, logo é uma forma exata em S1.</p><p>Pelo Exerćıcio 1.3, ω é exata em U . A rećıproca é óbvia.</p><p>1.5. O fibrado normal da superf́ıcie m-dimensional M ⊂ R</p><p>n é o conjunto νM =</p><p>{(x, v) ∈M × R</p><p>n−m; v ∈ TxM</p><p>⊥}. Se Vε(M) é uma vizinhança tubular de M em R</p><p>n</p><p>então a aplicação f : νM → R</p><p>n, definida por f(x, v) = x+ v, é de classe Ck−1 se H é</p><p>de classe Ck (k ≥ 2). O conjunto U = {(x, v) ∈ νM ; |v| < ε(x)} é a imagem inversa</p><p>f−1(Vε(M)), logo é aberto em νM e contém a seção nulaM0 = {(x, 0) ∈ νM ;x ∈M}.</p><p>E, como se viu no Caṕıtulo 4, f é um difeomorfismo local bijetivo, portanto um</p><p>difeomorfismo, de U sobre Vε(M). A projeção π : Vε(M) → M é uma equivalência</p><p>homotópica, cuja inversa é a inclusão i : M → Vε(M). A homotopia que faz o trabalho</p><p>é H : Vε(M) × [0, 1] → Vε(M), definida por H(f(x, v), t) = f(x, (1 − t)v), onde f é o</p><p>difeomorfismo, definido acima, de U ⊂ νM sobre Vε(M).</p><p>2.1. Seja fU + fV = 1 uma partição da unidade de classe C∞, estritamente</p><p>subordinada à cobertura M = U ∪ V , assim as funções fU , fV : M → [0, 1] são tais</p><p>que supp.fU ⊂ U e supp.fV ⊂ V . Definamos α ∈ Λr(U) e β ∈ Λr(V ) pondo</p><p>α(x) = fV (x) · ω(x) se x ∈ U ∩ V e α(x) = 0 se x ∈ U − V , β(x) = −fU (x) · ω(x)</p><p>se x ∈ U ∩ V e β(x) = 0 se x ∈ V − U . Então, para todo x ∈ U ∩ V , α(x) − β(x) =</p><p>fV (x) · ω(x) + fU (x) · ω(x) = ω(x). Se dω = 0 então dα− dβ = 0 em U ∩ V portanto</p><p>Cap.6 Soluções dos Exerćıcios 139</p><p>as formas dα e dβ coincidem em U ∩ V , e assim definem uma forma γ ∈ Λr+1(M).</p><p>(Note que γ é exata em U e em V mas não necessariamente em M = U ∪ V .)</p><p>2.2. Se X ⊂ R</p><p>n é fechado então, para cada λ ∈ L, f−1</p><p>λ (X) é fechado em Fλ e</p><p>portanto em F . A famı́lia dos f−1</p><p>λ (X) é localmente finita, logo f−1(X) =</p><p>⋃</p><p>f−1</p><p>λ (X)</p><p>é fechado e conseqüentemente f é cont́ınua.</p><p>2.3. Este fato, que merece ser mencionado explicitamente, é uma conseqüência</p><p>imediata do Teorema 8.</p><p>2.4. Seja f + g = 1 uma partição da unidade de classe Ck estritamente subordi-</p><p>nada à cobertura aberta M = U ∪ (M − F ). Temos supp.f ⊂ U e supp.g ⊂ M − F .</p><p>Então, para todo x ∈ F , vale g(x) = 0, logo f(x) = 1. Além disso, f(x) = 0 para</p><p>todo x ∈M − U .</p><p>2.5. Como no exerćıcio anterior, obtenha f : M → R tal que f(x) = 1 para todo</p><p>x ∈ F , supp.f ⊂ U e f(x) = 0 se x ∈ M − U . Se ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) defina, para cada</p><p>i = 1, . . . , n, a função Φi : M → R pondo Φi(x) = f(x) · ϕi(x). Então a aplicação</p><p>Φ: M → R</p><p>n cujas funções-coordenada são Φ1, . . . ,Φn coincide com ϕ em F .</p><p>5. O Teorema de Stokes</p><p>1.1. Se ω : U → (Rn)∗ é uma forma cont́ınua de grau 1 em U e γ : [a, b] → U</p><p>é um caminho de classe C1, então a integral curviĺınea</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ω, conforme definida no</p><p>Caṕıtulo 1, exprime-se,</p><p>em termos dos conceitos e notações do Caṕıtulo 5, como a</p><p>integral</p><p>∫</p><p>[a,b]</p><p>γ∗ω do pullback γ∗ω ao longo da superf́ıcie unidimensional orientada</p><p>[a, b]. Um “caminho” em dimensão > 1 seria uma aplicação cont́ınua f : M → N e,</p><p>se f ∈ C1, o papel de integral curviĺınea seria desempenhado pondo-se, por definição,∫</p><p>f</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>M</p><p>f∗ω, onde ω é uma forma diferencial cont́ınua em M , cujo grau é igual à</p><p>dimensão da superf́ıcie M , que se supõe orientada e compacta, com bordo.</p><p>1.2. O ponto crucial consiste simplesmente em observar que se x < 0 então |x| =</p><p>−x. Então o Teorema de Mudança de Variáveis para integrais múltiplas, no caso em</p><p>que det Jh(x) < 0 para todo x ∈ X, lê-se</p><p>∫</p><p>h(X)</p><p>f(y)dy = −</p><p>∫</p><p>X</p><p>f(h(x)) · det Jh(x)dx.</p><p>A partir dáı, prosseguir como no texto.</p><p>1.3. O campo de vetores v : Sn → R</p><p>n+1, definido por v(x) = f(x) − 〈x, f(x)〉 · x</p><p>é tangente a Sn. Como n é par, devemos ter v(x) = 0 para algum x ∈ Sn. Isto só</p><p>pode ocorrer se f(x) = ±x.</p><p>Se n é ı́mpar, então n+ 1 = 2k é par e os pontos da esfera Sn podem ser escritos</p><p>sob a forma z = (x1, y1, x2, y2, . . . , xk, yk). A aplicação f : Sn → Sn, definida pondo-</p><p>se f(z) = (−y1, x1,−y2, x2, . . . ,−yn, xn) cumpre f(z) 6= z e f(z) 6= −z para todo</p><p>z ∈ Sn.</p><p>1.4. A projeção natural f : Sn → Pn, f(x) = [xi · xj ] se x = (x1, . . . , xn+1), é</p><p>um difeomorfismo local, logo f ′(x) : TxS</p><p>n → Tf(x)P</p><p>n é um isomorfismo, para todo</p><p>x ∈ Sn. Dado o campo cont́ınuo w de vetores tangentes a Pn, definimos o campo</p><p>v em Sn estipulando que f ′(x) · v(x) = w(f(x)) para todo x ∈ Sn. Como n é par,</p><p>existe x ∈ Sn tal que v(x) = 0 e, conseqüentemente, w(f(x)) = 0.</p><p>140 Soluções dos Exerćıcios Cap.6</p><p>1.5. Em cada ponto x ∈ Sn, considere o isomorfismo ϕx : Tx(S</p><p>n) → An−1(TxS</p><p>n),</p><p>que associa a cada vetor v∈Tx(Sn) a (n−1)-forma ω=ϕx(v) tal que ω(v1, . . . , vn−1) =</p><p>σ(v, v1, . . . , vn−1), se v1, . . . , vn−1 ∈ Tx(S</p><p>n), onde σ é o elemento de volume de</p><p>Tx(S</p><p>n). Seja ψx(ϕx)</p><p>−1. O campo de vetores v, dado por v(x) = ψx(α(x)) anula-se</p><p>em algum ponto x0 ∈ Sn (Poincaré-Brouwer). Então α(x0) = 0.</p><p>2.1. De acordo com a definição dada, dizer que f : K → L é um difeomorfismo</p><p>de classe Ck significa que existem abertos A, B tais que K ⊂ A ⊂ R</p><p>n e L ⊂ B ⊂ R</p><p>n</p><p>e aplicações ϕ : A → R</p><p>n, ψ : B → R</p><p>n, ambas de classe Ck, tais que ψ(ϕ(x)) = x</p><p>e ϕ(ψ(y)) = y para quaisquer x ∈ K e y ∈ L. Segue-se dáı que, em todo ponto</p><p>x ∈ K, a derivada ϕ′(x) : R</p><p>n → R</p><p>n é um isomorfismo e, por conseguinte, cada x ∈ K</p><p>é centro de uma bola aberta (que podemos supor contida em A), restrita à qual ϕ é</p><p>um difeomorfismo sobre um aberto de R</p><p>n. Então, diminuindo A se necessário, é ĺıcito</p><p>admitir que ϕ : A → R</p><p>n é um difeomorfismo local que aplica o subconjunto K ⊂ A</p><p>homeomorficamente. Afirmamos que existe ε > 0 tal que, chamando de U a reunião</p><p>das bolas B(x; ε) ⊂ A, com x ∈ K, ϕ é injetiva em U , logo é um difeomorfismo</p><p>de U sobre um aberto V ⊂ R</p><p>n. A existência de ε é provada por absurdo, usando</p><p>exatamente o argumento empregado para obter a vizinhança tubular. (Veja as 10</p><p>linhas que precedem o Exemplo 1, Caṕıtulo 4.)</p><p>2.2. Considere cada z = (x, y) ∈ R</p><p>2 como o número complexo z = x+ iy. Defina</p><p>o homeomorfismo ϕ : P → H pondo simplesmente ϕ(z) = z2 para todo z ∈ P . Se</p><p>existisse um difeomorfismo ϕ : P → H, consideraŕıamos seu inverso ψ : H → P e o</p><p>ponto z0 ∈ H tal que ψ(z0) = 0. É claro que ψ transformaria o eixo das abcissas X ⊂</p><p>H no ângulo reto Y = {(x, y) ∈ P ;xy = 0}, logo seria um difeomorfismo de X sobre</p><p>Y . Mas, introduzindo λ : R → P , λ(t) = ψ(z0 + te1), teŕıamos ψ′(z0) · e1 = λ′(0) 6= 0.</p><p>Mas o vetor velocidade do caminho λ no ponto t = 0 é horizontal ou vertical conforme</p><p>se considere λ′(0) como derivada à direita ou à esqureda (não respectivamente). Então</p><p>deveria ser λ′(0) = 0, uma contradição.</p><p>2.3. Podemos, sem perda de generalidade, supor M conexa. Então, se h não</p><p>preservasse a orientação de M a inverteria. Sejam ω uma forma cont́ınua de grau</p><p>máximo e positiva em M . Teŕıamos</p><p>∫</p><p>M</p><p>h∗ω < 0. Mas, como h é homotópico à</p><p>identidade, vale</p><p>∫</p><p>M</p><p>h∗ω =</p><p>∫</p><p>M</p><p>ω > 0. Contradição.</p><p>2.4. Basta tomar N = M × [0, 1).</p><p>2.5. Não, pois M teria que ter dimensão 3 e, como está contida em R</p><p>3, seria</p><p>orientável. Dáı seu bordo seria também orientável logo não poderia ser a faixa de</p><p>Moebius. (Dáı se vê que o sólido tridimensional (Moebius) ×[0, 1) não cabe em R</p><p>3.)</p><p>3.1. Note que não se está supondo que f(B) ⊂ B, logo o Teorema de Brouwer</p><p>não se aplica diretamente a f . Então introduzimos a retração ϕ : R</p><p>n+1 → B, definida</p><p>por ϕ(x) = x</p><p>/</p><p>|x| se |x| ≥ 1 e ϕ(x) = x se |x| ≤ 1. Agora o Teorema de Brouwer</p><p>se aplica a g = ϕ ◦ f : B → B. Seja x ∈ B tal que g(x) = ϕ(f(x)) = x. Se for</p><p>|f(x)| ≤ 1, teremos ϕ(f(x)) = f(x) = x e x será um ponto fixo de f , como se deseja.</p><p>Se, entretanto, for |f(x)| > 1, duas coisas acontecem: primeiro, tem que ser |x| < 1</p><p>pois f(Sn) ⊂ B (ou seja, |x| = 1 ⇒ |f(x)| ≤ 1). E, segundo, |ϕ(f(x))| = |x</p><p>/</p><p>|x| | = 1,</p><p>uma contradição. Por conseguinte, todo ponto fixo de g é um ponto fixo de f .</p><p>Cap.6 Soluções dos Exerćıcios 141</p><p>3.2. Esta fórmula, que permite reduzir o cálculo de um volume n-dimensional a</p><p>uma integral em n − 1 dimensões, é especialmente interessante no caso n = 2. Ela</p><p>resulta de uma aplicação imediata do Teorema de Stokes, observando-se apenas que</p><p>a diferencial exterior do integrando é o elemento de volume da superf́ıcie M .</p><p>3.3. Basta notar que ω = (F |M)∗Ω, onde Ω é a forma elemento de ângulo sólido,</p><p>a qual é fechada e definida em R</p><p>n−{0}. Se F (x) fosse 6= 0 para todo x ∈M , teŕıamos</p><p>de fato uma aplicação F : M → R</p><p>n − {0} e ω = (F ∗Ω)|∂M . Então seria</p><p>∫</p><p>∂M</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>∂M</p><p>F ∗Ω =</p><p>∫</p><p>M</p><p>d(F ∗Ω) =</p><p>∫</p><p>M</p><p>F ∗(dΩ) =</p><p>∫</p><p>M</p><p>F ∗0 = 0.</p><p>Referências Bibliográficas</p><p>[1] E.L. Lima, Análise Real, vol. 1 (9a</p><p>¯ edição). Coleção Matemática Universitária,</p><p>IMPA, 2007.</p><p>[2] E.L. Lima, Análise Real, vol. 2 (2a</p><p>¯ edição). Coleção Matemática Universitária,</p><p>IMPA, 2006.</p><p>[3] E.L. Lima, Curso de Análise, vol. 1 (12a</p><p>¯ edição). Projeto Euclides, IMPA,</p><p>2007.</p><p>[4] E.L. Lima, Curso de Análise, vol. 2 (9a</p><p>¯ edição). Projeto Euclides, IMPA,</p><p>2006.</p><p>[5] E.L. Lima, Álgebra Linear (6a</p><p>¯ edição). Coleção Matemática Universitária,</p><p>IMPA, 2003.</p><p>[6] E.L. Lima, Álgebra Exterior (2a</p><p>¯ edição). Coleção Matemática Universitária,</p><p>IMPA, 2005.</p><p>[7] E.L. Lima, Introdução à Topologia Diferencial. Monografias de Matemática,</p><p>IMPA, 2001.</p><p>[8] E.L. Lima, Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento. (2a</p><p>¯ edição). Pro-</p><p>jeto Euclides, 1998.</p><p>[9] S. Lang, Fundamentals of Differential Geometry. Springer, 2001.</p><p>[10] Th. Bröcker, Analysis III, Wissenschaftsverlag, 1992.</p><p>[11] J. Lafontaine, Introduction aux Variétés Différentielles, Presses Universitaires</p><p>de Grenoble, 1996.</p><p>As oito primeiras referências dizem respeito a trabalhos citados no texto. As três</p><p>finais são livros que podem servir de leitura colateral ou continuação dos temas aqui</p><p>tratados.</p><p>Índice Remissivo</p><p>Índice Remissivo</p><p>Álgebra de Grassmann, 45</p><p>Aplicação</p><p>alternada, 31</p><p>anti-simétrica, 47, 48</p><p>de classe Ck, 100</p><p>simétrica, 47</p><p>Avaliação, 29</p><p>Base</p><p>positiva, 93</p><p>Bola</p><p>normal aberta, 67</p><p>normal fechada, 67</p><p>Bordo, 99</p><p>da superf́ıcie M , 103</p><p>de A, 100</p><p>Caminho</p><p>classe Ck por partes, 13</p><p>justaposto, 13</p><p>oposto, 12</p><p>poligonal, 13</p><p>Componentes homogêneas, 45</p><p>Condições de integrabilidade, 2</p><p>Conjugados, 48</p><p>Conjunto</p><p>estrelado, 10</p><p>simplesmente conexo, 19</p><p>Curva</p><p>de Jordan, 84</p><p>Curvatura integral, 119</p><p>Decompońıvel (forma), 39</p><p>Determinante, 35, 36</p><p>Difeomorfismo, 100</p><p>Difeomorfismo local, 94</p><p>Diferencial</p><p>exata, 59</p><p>exterior, 57</p><p>Divergência, 65, 121</p><p>Domı́nio</p><p>com fronteira regular, 121</p><p>Elemento</p><p>de ângulo, 25</p><p>de ângulo sólido, 55</p><p>de volume, 46, 53</p><p>Equação</p><p>de Laplace, 8</p><p>Equivalência homotópica, 89</p><p>Espaço</p><p>projetivo real n-dimensional, 66</p><p>Famı́lia</p><p>localmente finita, 75</p><p>pontualmente finita, 75</p><p>Fator integrante, 66</p><p>Fluxo, 120</p><p>Forma, 29</p><p>r-linear, 29</p><p>anti-simétrica, 31</p><p>classe</p><p>Ck, 2</p><p>diferencial complexa, 26</p><p>diferencial de grau, 1, 50</p><p>elemento de ângulo, 4</p><p>exata, 2</p><p>fechada, 2</p><p>induzida, 51</p><p>positiva, 65</p><p>Função</p><p>ângulo, 4</p><p>ângulo de vértice p, 25</p><p>ângulo do caminho, 21</p><p>auxiliar, 78</p><p>145</p><p>146 Índice Remissivo</p><p>harmônica, 8</p><p>holomorfa, 8</p><p>potencial, 2</p><p>Grupo simétrico, 32</p><p>Homotopia, 15, 60</p><p>adaptada, 61</p><p>linear, 16</p><p>livre, 15</p><p>Integral curviĺınea, 11</p><p>Lei de Gauss, 118</p><p>Matriz de Gram, 46</p><p>Número</p><p>de voltas, 23</p><p>Orientação induzida, 106</p><p>Parametrização, 102</p><p>Parametrizações</p><p>padronizadas, 104</p><p>Partição</p><p>da unidade, 77</p><p>estritamente subordinada, 79</p><p>subordinada, 79</p><p>Permutação, 32</p><p>par, 32</p><p>positiva, 45</p><p>primitiva de uma forma, 2</p><p>Produto</p><p>exterior, 38</p><p>tensorial, 29</p><p>Pullback, 41, 51</p><p>Refinamento, 79</p><p>Reparametrização</p><p>negativa, 12</p><p>positiva, 12</p><p>Restrição, 51</p><p>Retração, 74</p><p>Rotacional, 64</p><p>Semi-espaço, 99</p><p>Singularidade, 97</p><p>Superf́ıcie</p><p>com bordo, 102</p><p>orientável, 106</p><p>Suporte, 77</p><p>Teorema</p><p>da Divergência, 121</p><p>de Brouwer, 112</p><p>de Green, 123</p><p>de Poincaré-Brouwer, 97</p><p>de Stokes, 110</p><p>Jordan-Brouwer diferenciável, 84</p><p>Tipo de homotopia, 89</p><p>Transformação linear induzida, 36</p><p>Transposição, 32</p><p>Universal, 47</p><p>Vizinhança</p><p>tubular, 68</p><p>tubular fechada, 84</p><p>tubular local, 73</p><p>Capa</p><p>Integrais Curvilíneas</p><p>Formas diferenciais de grau 1</p><p>Integrais curvilíneas</p><p>Invariância homotópica</p><p>O número de voltas de um caminho fechado</p><p>Exercícios</p><p>Formas Alternadas</p><p>Aplicações r-lineares</p><p>Formas alternadas</p><p>Determinantes</p><p>O produto exterior de funcionais lineares</p><p>Coordenadas e matrizes em Ar(E)</p><p>A Álgebra de Grassmann</p><p>Exercícios</p><p>Formas Diferenciais</p><p>Primeiras definições</p><p>A diferencial exterior</p><p>Exercícios</p><p>Ohne Titel</p><p>A vizinhança tubular</p><p>Partições da unidade</p><p>O Teorema de Jordan-Brouwer</p><p>Exercícios</p><p>P Teorema de Stokes</p><p>Integral de superfície</p><p>Superfícies com bordo</p><p>O Teorema de Stokes</p><p>A orientação induzida no bordo</p><p>Análise vetorial clássica</p><p>Exercícios</p><p>Soluções dos Exercícios</p><p>Referências Bibliográficas</p><p>Índice Remissivo</p><p>Contra-capa</p><p>de Mudança</p><p>de Variáveis (Vol. 1, Cap. 11, Teor. 2) e a Regra da Cadeia nos dão</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ω =</p><p>∫ ϕ(d)</p><p>ϕ(c)</p><p>ω(γ(t)) · γ′(t) dt =</p><p>∫ d</p><p>c</p><p>ω(γ ◦ ϕ(s)) · γ′(ϕ(s)) · ϕ′(s) ds</p><p>=</p><p>∫ d</p><p>c</p><p>ω(γ ◦ ϕ(s)) · (γ ◦ ϕ)′(s) ds =</p><p>∫</p><p>γ◦ϕ</p><p>ω.</p><p>Se for ϕ(c) = b e ϕ(d) = a, basta ver que</p><p>∫</p><p>γ =</p><p>∫ ϕ(c)</p><p>ϕ(d) = −</p><p>∫ ϕ(d)</p><p>ϕ(c) .</p><p>Dizemos que γ ◦ ϕ é uma reparametrização positiva de γ quando</p><p>ϕ : [c, d] → [a, b], γ : [a, b] → R</p><p>n, ϕ(c) = a, ϕ(d) = b e ϕ ∈ C1. Se, ao</p><p>contrário, tem-se ϕ(c) = b e ϕ(d) = a, γ ◦ ϕ chama-se uma reparame-</p><p>trização negativa de γ.</p><p>Um exemplo t́ıpico de reparametrização negativa é dado pelo ca-</p><p>minho oposto γ∗ : [a, b] → R</p><p>n do caminho γ. Tem-se, por definição,</p><p>γ∗(t) = γ(a + b − t), logo γ∗ = γ ◦ ϕ, onde ϕ : [a, b] → [a, b], dada por</p><p>ϕ(t) = a + b − t, é tal que ϕ(a) = b e ϕ(b) = a. Então</p><p>∫</p><p>γ∗ ω = −</p><p>∫</p><p>γ ω</p><p>para toda forma ω.</p><p>A função ϕ : [0, 1] → [a, b], com ϕ(s) = (1 − s)a + sb origina uma</p><p>reparametrização positiva γ = γ ◦ϕ : [0, 1] → R</p><p>n do caminho γ : [a, b] →</p><p>R</p><p>n. Tem-se</p><p>∫</p><p>γ ω =</p><p>∫</p><p>γ ω para qualquer 1-forma cont́ınua ω cujo domı́nio</p><p>contenha a imagem de γ (que é a mesma de γ).</p><p>γ2</p><p>ϕ</p><p>γ1</p><p>0</p><p>1</p><p>1/2</p><p>ψ</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>a</p><p>γ1(b) = γ2(c)</p><p>Figura 6. O caminho justaposto γ = γ1 ∨ γ2: tem-se γ1 : [a, b] → Rn e</p><p>γ2 : [c, d] → Rn, com γ1(b) = γ2(c). Então γ = γ1 ∨ γ2 : [0, 1] → Rn é dado</p><p>por γ(t) = γ1(ϕ(t)) se 0 ≤ t ≤ 1/2 e γ(t) = γ2(ψ(t)) se 1/2 ≤ t ≤ 1, onde</p><p>ϕ(t) = a+ 2t(b− a) e ψ(t) = 2c− d+ 2t(d− c).</p><p>Seção 2 Integrais curviĺıneas 13</p><p>O caminho justaposto γ = γ1 ∨ γ2 : [0, 1] → R</p><p>n, de dois caminhos</p><p>γ1, γ2 : [0, 1] → R</p><p>n, tais que γ1(1) = γ2(0), é definido por γ(t) = γ1(2t)</p><p>se t ∈ [0, 1/2] e γ(t) = γ2(2t − 1) se t ∈ [1/2, 1]. A observação que</p><p>acabamos de fazer permite definir o caminho justaposto γ = γ1∨γ2 para</p><p>quaisquer γ1 : [a, b] → R</p><p>n e γ2 : [c, d] → R</p><p>n desde que γ1(b) = γ2(c). E</p><p>podemos escolher como domı́nio de γ um intervalo compacto arbitrário.</p><p>Diz-se que o caminho γ : [a, b] → R</p><p>n é de classe Ck por partes quando</p><p>γ é cont́ınuo e, além disso, existe uma partição P = {a = t0 < t1 < · · · <</p><p>tm = b} tal que a restrição de γ a cada intervalo [tj−1, tj ], j = 1, . . . ,m,</p><p>é de classe Ck. Isto equivale a dizer que γ = γ1 ∨ · · · ∨ γm é o justaposto</p><p>de caminhos de classe Ck.</p><p>Um exemplo de caminho de classe C∞ por partes é o caminho poli-</p><p>gonal, formado pela justaposição de caminhos retiĺıneos.</p><p>Se γ : [a, b] → X ⊂ R</p><p>n é um caminho de classe C1 por partes, dado</p><p>pela justaposição γ = γ1 ∨ · · · ∨ γm de caminhos de classe C1, define-</p><p>se a integral</p><p>∫</p><p>γ ω de uma 1-forma cont́ınua ω : X → (Rn)∗ pondo-se</p><p>∫</p><p>γ ω =</p><p>m∑</p><p>j=1</p><p>∫</p><p>γj</p><p>ω.</p><p>Esta definição independe da partição P do intervalo [a, b], em cujos</p><p>intervalos [tj−1, tj ] estão definidos os caminhos γj de classe C1. Para</p><p>mostrar isto, começamos notando que se Q é uma partição que refina</p><p>P , o valor de</p><p>∫</p><p>γ ω é o mesmo, quer se use Q ou P , pois cada intervalo I</p><p>de P é a reunião de intervalos consecutivos de Q e, como γ é de classe</p><p>C1 em I, a aditividade da integral na reta garante o resultado. No caso</p><p>geral, toma-se uma partição R que refine P e Q, e as integrais, usando</p><p>P ou Q, coincidem com aquela usando R.</p><p>O teorema seguinte é a caracterização mais geral de uma 1-forma</p><p>exata.</p><p>Teorema 4. As seguintes afirmações a respeito de uma forma ω, de</p><p>classe Ck no aberto U ⊂ R</p><p>n, são equivalentes:</p><p>1) ω é exata em U .</p><p>2)</p><p>∫</p><p>γ ω = 0 para todo caminho fechado, de classe C1 por partes,</p><p>contido em U .</p><p>3)</p><p>∫</p><p>γ ω depende unicamente dos extremos γ(a) e γ(b) do caminho</p><p>γ : [a, b] → U de classe C1 por partes.</p><p>Demonstração: Evidentemente, 1) ⇒ 2). Além disso, se admitirmos</p><p>2) então, dados os caminhos γ, γ : [a, b] → U , de classe C1 por partes,</p><p>14 Integrais Curviĺıneas Cap. 1</p><p>com os mesmos extremos, isto é, γ(a) = γ(a), γ(b) = γ(b), o caminho</p><p>γ ∨ γ∗, obtido justapondo γ com o oposto γ∗ de γ, é fechado portanto,</p><p>por 2), tem-se</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ω −</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ω +</p><p>∫</p><p>γ∗</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>γ∨γ∗</p><p>ω = 0,</p><p>logo</p><p>∫</p><p>γ ω =</p><p>∫</p><p>γ ω, ou seja, 2) ⇒ 3). Suponhamos agora que valha 3)</p><p>e, temporariamente, admitamos que U seja conexo. Fixamos um ponto</p><p>p ∈ U e definimos a função f : U → R pondo, para cada x ∈ U , f(x) =∫ x</p><p>p ω, onde</p><p>∫ x</p><p>p significa a integral de ω ao longo de qualquer caminho C1</p><p>em U ligando p a x. Se ω =</p><p>∑</p><p>aidxi , vamos provar que</p><p>∂f</p><p>∂xi</p><p>(x) = ai(x),</p><p>i = 1, . . . , n, em todo ponto x ∈ U , portanto df = ω em U . Ora, usando</p><p>d</p><p>dt</p><p>para indicar sempre a derivada no ponto t = 0, temos:</p><p>∂f</p><p>∂xi</p><p>(x) =</p><p>d</p><p>dt</p><p>f(x+ tei) =</p><p>d</p><p>dt</p><p>[∫ x</p><p>p</p><p>ω +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>ω(x+ sei) · ei ds</p><p>]</p><p>=</p><p>d</p><p>dt</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>ai(x+ sei) ds = ai(x).</p><p>No caso geral, este argumento fornece uma primitiva de ω em cada</p><p>componente conexa do aberto U e isto define uma função f : U → R, de</p><p>classe Ck+1, tal que df = ω.</p><p>3 Invariância homotópica</p><p>Provaremos a seguir que a integral de uma 1-forma fechada não varia</p><p>quando se submete o caminho de integração a uma deformação cont́ınua</p><p>mantendo fixas suas extremidades ou, se o caminho for fechado, preser-</p><p>vando este fato. A deformação deve processar-se dentro do domı́nio da</p><p>forma. Ela é chamada uma homotopia. Intuitivamente, uma homotopia</p><p>H entre os caminhos γ0, γ1 : [a, b] → X no conjunto X ⊂ R</p><p>n é uma</p><p>famı́lia de caminhos Ht : [a, b] → X, t ∈ [0, 1], começando com H0 = γ0 ,</p><p>terminando com H1 = γ1 e Ht dependendo continuamente do parâmetro</p><p>t. A fim de que esta noção não seja inócua, exige-se que γ0 e γ1 tenham</p><p>as mesmas extremidades, as quais permanecem fixas durante a homoto-</p><p>pia, isto é, são as extremidades do caminho Ht para todo t ∈ [0, 1]. Se</p><p>γ0 e γ1 forem caminhos fechados, exige-se que cada Ht, t ∈ [0, 1], seja</p><p>Seção 3 Invariância homotópica 15</p><p>fechado e tem-se o que se chama de homotopia livre (pois nenhum ponto</p><p>é obrigado a permanecer fixo). Passemos às definições formais.</p><p>Sejam γ0, γ1 : [a, b] → X caminhos no conjunto X ⊂ R</p><p>n, com γ0(a) =</p><p>γ1(a) e γ0(b) = γ1(b). Uma homotopia entre γ0 e γ1 é uma aplicação</p><p>cont́ınua H : [a, b] × [0, 1] → X tal que H(a, t) = γ0(a), H(b, t) = γ0(b),</p><p>H(s, 0) = γ0(s) e H(s, 1) = γ1(s) para todo t ∈ [0, 1] e todo s ∈ [a, b].</p><p>Se γ0, γ1 : [a, b] → X são caminhos fechados, uma homotopia livre</p><p>entre γ0 e γ1 é uma aplicação cont́ınua H : [a, b] × [0, 1] → X tal que</p><p>H(a, t) = H(b, t), H(s, 0) = γ0(s) e H(s, 1) = γ1(s) para todo t ∈ [0, 1]</p><p>e todo s ∈ [a, b].</p><p>Na interpretação intuitiva acima dada, os caminhos Ht definidos pela</p><p>homotopia H são Ht : [a, b] → X, Ht(s) = H(s, t), s ∈ [a, b], t ∈ [0, 1]. A</p><p>continuidade de H exprime que o caminho Ht depende continuamente</p><p>de t.</p><p>Y</p><p>γ1</p><p>γ0</p><p>X</p><p>γ1</p><p>γ0</p><p>a b</p><p>1</p><p>0</p><p>a b</p><p>1</p><p>0</p><p>H</p><p>K</p><p>Figura 7. Uma homotopia H entre caminhos com mesmas extremidades e</p><p>uma homotopia livre K entre caminhos fechados.</p><p>Escreve-se H : γ0</p><p>∼= γ1 para indicar que H é uma homotopia entre os</p><p>caminhos γ0 e γ1 que têm as mesmas extremidades e H : γ0 ≃ γ1 para</p><p>indicar uma homotopia livre entre os caminhos fechados γ0 e γ1 .</p><p>16 Integrais Curviĺıneas Cap. 1</p><p>Ao mencionar uma homotopia entre caminhos, é essencial ter em</p><p>mente o conjunto X no qual a homotopia tem lugar (ou seja, o contra-</p><p>domı́nio da aplicação H : [a, b] × [0, 1] → X) pois, ampliando X, dois</p><p>caminhos que não eram homotópicos podem passar a ser. E vice-versa,</p><p>restringindo X, caminhos antes homotópicos podem perder esta propri-</p><p>edade.</p><p>Exemplo 6. Sejam γ0, γ1 : [a, b] → X caminhos com as mesmas extre-</p><p>midades e tais que, para todo s ∈ [a, b], o segmento de reta [γ0(s), γ1(s)]</p><p>está contido em X. Então γ0</p><p>∼= γ1 . Com efeito, a aplicação H : [a, b] ×</p><p>[0, 1] → X, definida por H(s, t) = (1 − t)γ0(s) + tγ1(s) é, como se vê</p><p>facilmente, uma homotopia entre γ0 e γ1 . H é o que se chama uma</p><p>homotopia linear. Resultado análogo vale para homotopia livre entre</p><p>caminhos fechados.</p><p>Exemplo 7. Se ϕ : [a, b] → [a, b] é uma função cont́ınua tal que ϕ(a) = a</p><p>e ϕ(b) = b então, para todo caminho γ : [a, b] → X, tem-se γ ◦ ϕ ∼=</p><p>γ. Basta considerar a função cont́ınua H :[a, b]× [0, 1]→X, dada por</p><p>H(s, t) = γ((1−t)ϕ(s)+ts). Analogamente, se ϕ(a) = b e</p><p>ϕ(b) = a, tem-</p><p>se γ◦ϕ ∼= γ∗ (oposto de γ), como mostra a homotopia H : [a, b]× [0, 1] →</p><p>X, dada por H(s, t) = γ((1 − t)ϕ(s) + t(a+ b− s)).</p><p>A relação de homotopia (com extremos fixos ou livre entre caminhos</p><p>fechados) é reflexiva, simétrica e transitiva. Com efeito, H(s, t) = γ(s) é</p><p>uma homotopia entre γ e γ. E se H : [a, b]× [0, 1] → X é uma homotopia</p><p>entre γ0 e γ1 então K : [a, b]× [0, 1] → X, dada por K(s, t) = H(s, 1− t)</p><p>é uma homotopia entre γ1 e γ0 . Finalmente, se H,K : [a, b]× [0, 1] → X</p><p>são homotopias entre γ0 e γ1 e entre γ1 e γ2 respectivamente então</p><p>L : [a, b] × [0, 1] → X, definida por L(s, t) = H(s, 2t) se t ∈ [0, 1/2] e</p><p>L(s, t) = K(s, 2t− 1) se t ∈ [1/2, 1], é uma homotopia entre γ0 e γ2 .</p><p>Teorema 5. Sejam ω uma 1-forma fechada no aberto U ⊂ R</p><p>n e</p><p>γ, η : [a, b] → U caminhos de classe C1 por partes, com as mesmas ex-</p><p>tremidades. Se γ e η são homotópicos em U então</p><p>∫</p><p>γ ω =</p><p>∫</p><p>η ω.</p><p>Demonstração: Seja H : [a, b]× [0, 1] → U uma homotopia entre γ e η.</p><p>Como a imagem H(R) do retângulo R = [a, b]× [0, 1] é um subconjunto</p><p>compacto de U , pelo Cor. 2 do Cap. 1, Vol. 2, existe ε > 0 tal que</p><p>para todo (s, t) ∈ R, a bola de centro H(s, t) e raio ε está contida em</p><p>U . Pela continuidade uniforme de H, existe δ > 0 tal que a imagem</p><p>por H de qualquer subconjunto de R com diâmetro < δ tem diâmetro</p><p>< ε, logo está contida numa bola B ⊂ U , na qual ω é exata. Tomemos</p><p>Seção 3 Invariância homotópica 17</p><p>partições P = {a = s0 < s1 < · · · < sm = b} de [a, b] e Q = {0 =</p><p>t0 < t1 < · · · < tr = 1} de [0, 1] tão finas que os retângulos Rij =</p><p>[si−1, si] × [tj−1, tj ] tenham diâmetros < δ, logo H(Rij) está contido</p><p>numa bola Bij ⊂ U . Escrevendo zij = H(si, tj), vemos que os caminhos</p><p>retiĺıneos αij = [zi−1,j , zij ] e βij = [zi,j−1, zij ], bem como αi,j−1 e βi−1,j ,</p><p>estão contidos na bola Bij . (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ r). (Notemos que β0j</p><p>e βmj são constantes, reduzidos aos pontos γ(a) e γ(b) respectivamente,</p><p>seja qual for j = 1, . . . , r.)</p><p>Consideremos os caminhos poligonais</p><p>αj = α1j ∨ α2j ∨ · · · ∨ αmj , j = 0, 1, . . . , r.</p><p>a s1 s2 b</p><p>H</p><p>1</p><p>0</p><p>t1</p><p>t2</p><p>η</p><p>γ</p><p>β13</p><p>β11</p><p>β12</p><p>α22α12 α32</p><p>U</p><p>Figura 8</p><p>O teorema estará provado se mostrarmos que</p><p>∫</p><p>γ ω =</p><p>∫</p><p>α0</p><p>ω,</p><p>∫</p><p>η ω =∫</p><p>αr</p><p>ω e</p><p>∫</p><p>αj−1</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>αj</p><p>ω para j = 1, . . . , r. Pondo, γi = γ | [si−1, si], ve-</p><p>mos que</p><p>∫</p><p>γi</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>αi0</p><p>ω para todo i = 1, . . . ,m pois γi e αi0 são caminhos</p><p>com as mesmas extremidades, contidos na bola Bi0 , na qual ω é exata.</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>ω + · · · +</p><p>∫</p><p>γm</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>α10</p><p>ω + · · · +</p><p>∫</p><p>αm0</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>α0</p><p>ω.</p><p>Com o mesmo argumento se mostra que</p><p>∫</p><p>η ω =</p><p>∫</p><p>αr</p><p>ω. Por sua vez,</p><p>∫</p><p>αij</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>β∗</p><p>i−1,j</p><p>ω +</p><p>∫</p><p>αi,j−1</p><p>ω +</p><p>∫</p><p>βij</p><p>ω = −</p><p>∫</p><p>βi−1,j</p><p>ω +</p><p>∫</p><p>αi,j−1</p><p>ω +</p><p>∫</p><p>βij</p><p>ω</p><p>pois αij e β∗i−1,j∨αi,j−1∨βij são caminhos com as mesmas extremidades,</p><p>contidos na bola Bij , na qual ω é uma forma exata.</p><p>18 Integrais Curviĺıneas Cap. 1</p><p>Bij</p><p>αij</p><p>βi−1,j</p><p>αi,j−1</p><p>βij</p><p>Figura 9. Os caminhos β∗</p><p>i−1,j ∨ αi,j−1 ∨ βij e αij estão contidos na bola</p><p>Bij e têm as mesmas extremidades. (Lembrar que β∗ significa o caminho</p><p>oposto de β.) Pelo Teorema 2, a integral da forma fechada ω é a mesma em</p><p>qualquer desses dois caminhos.</p><p>Portanto</p><p>∫</p><p>αj</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>α1j</p><p>ω +</p><p>∫</p><p>α2j</p><p>ω + · · · +</p><p>∫</p><p>αmj</p><p>ω</p><p>=</p><p>∫</p><p>α1,j−1</p><p>ω +</p><p>∫</p><p>β1j</p><p>ω −</p><p>∫</p><p>β1j</p><p>ω +</p><p>∫</p><p>α2,j−1</p><p>ω +</p><p>∫</p><p>β2j</p><p>ω − · · ·+</p><p>+</p><p>∫</p><p>βm−1,j</p><p>ω −</p><p>∫</p><p>βm−1,j</p><p>ω +</p><p>∫</p><p>αm,j−1</p><p>ω</p><p>=</p><p>∫</p><p>α1,j−1</p><p>ω +</p><p>∫</p><p>α2,j−1</p><p>ω + · · · +</p><p>∫</p><p>αm,j−1</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>αj−1</p><p>ω.</p><p>(Lembrando que</p><p>∫</p><p>β0j</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>βmj</p><p>ω = 0 pois os caminhos β0j e βmj são</p><p>constantes.)</p><p>Teorema 6. Sejam ω uma 1-forma fechada no aberto U ⊂ R</p><p>n e</p><p>γ, η : [α, β] → U caminhos fechados, de classe C1 por partes. Se γ e</p><p>η são livremente homotópicos em U então</p><p>∫</p><p>γ ω =</p><p>∫</p><p>η ω.</p><p>Seção 3 Invariância homotópica 19</p><p>Demonstração: Segue as mesmas linhas acima, apenas com uma pe-</p><p>quena alteração: para cada j = 1, . . . , r, obtém-se:</p><p>∫</p><p>αj</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>αj−1</p><p>ω −</p><p>∫</p><p>β0j</p><p>ω +</p><p>∫</p><p>βmj</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>αj−1</p><p>ω</p><p>pois os caminhos β0j e βmj são iguais.</p><p>Resulta do Teorema 5 que se ω é uma 1-forma fechada no aberto U ⊂</p><p>R</p><p>n então a integral</p><p>∫</p><p>γ ω faz sentido, seja qual for o caminho cont́ınuo</p><p>γ : [a, b] → U , mesmo que γ não seja de classe C1 por partes.</p><p>Com efeito, a imagem de γ é um subconjunto compacto de U , logo</p><p>(pelo Corol. 2, Cap. 1, vol. 2) existe ε > 0 tal que, para todo t ∈ [a, b], a</p><p>bola de centro γ(t) e raio ε está contida em U . Como γ é uniformemente</p><p>cont́ınuo, existe δ > 0 tal que s, t ∈ [a, b], |s− t| < δ ⇒ |γ(s)− γ(t)| < ε.</p><p>Portanto, se P = {a = t0 < · · · < tk = b} é uma partição de [a, b] com</p><p>norma < δ, o caminho poligonal η : [a, b] → R</p><p>n, cujos vértices são os</p><p>pontos γ(ti), i = 0, 1, . . . , k, está contido em U e, para todo t ∈ [a, b], o</p><p>segmento de reta [γ(t), η(t)] também está contido em U . Portanto existe</p><p>uma homotopia linear H : γ ∼= η. Como η é de classe C1 por partes, a</p><p>integral</p><p>∫</p><p>η ω faz sentido. Pomos então, por definição,</p><p>∫</p><p>γ ω =</p><p>∫</p><p>η ω. Esta</p><p>definição não depende da escolha de η (ou seja, da partição P ) por</p><p>causa da transitividade da relação de homotopia: se, usando o mesmo</p><p>processo, tomássemos o caminho λ : [a, b] → U em vez de η, teŕıamos</p><p>ainda γ ∼= λ, logo λ ∼= η e, pelo Teorema 5, viria</p><p>∫</p><p>λ ω =</p><p>∫</p><p>η ω.</p><p>Um conjunto X ⊂ R</p><p>n chama-se simplesmente conexo quando é co-</p><p>nexo por caminhos e todo caminho fechado γ : [a, b] → X é livremente</p><p>homotópico a um caminho constante. Por exemplo, todo conjunto es-</p><p>trelado X ⊂ R</p><p>n (em particular, todo conjunto convexo) é simplesmente</p><p>conexo. Com efeito, se p ∈ X é o vértice da estrela e γ : [a, b] → X</p><p>é qualquer caminho em X então H : [a, b] × [0, 1] → X, definida por</p><p>H(s, t) = (1 − t)γ(s) + tp, é uma homotopia entre γ e o caminho cons-</p><p>tante, igual a p.</p><p>Pelo Teorema 6, se ω é uma 1-forma fechada em U e γ : [a, b] → U</p><p>é um caminho fechado livremente homotópico a um caminho constante</p><p>então</p><p>∫</p><p>γ ω = 0. Como conseqüência, podemos concluir que o caminho</p><p>fechado γ : [0, 2π] → R</p><p>2 − {0}, definido por γ(t) = (cos t, sen t), não é</p><p>homotópico a um caminho constante. De fato, é fácil ver que</p><p>∫</p><p>γ Ω = 2π,</p><p>onde Ω =</p><p>−y</p><p>x2 + y2</p><p>dx+</p><p>x</p><p>x2 + y2</p><p>dy é a forma elemento de ângulo.</p><p>20 Integrais Curviĺıneas Cap. 1</p><p>Assim, vemos que R</p><p>2 − {0} não é simplesmente conexo. Mais ge-</p><p>ralmente, o mesmo argumento mostra que se o conjunto X ⊂ R</p><p>2 − {0}</p><p>contém uma circunferência de centro 0 (como, por exemplo, X = S1)</p><p>então X não é simplesmente conexo. O exemplo seguinte mostra que a</p><p>situação é diferente quando n > 1.</p><p>Exemplo 8. Se n > 1, a esfera Sn é simplesmente conexa. Para mostrar</p><p>isto, consideraremos inicialmente um caminho γ : [a, b] → Sn que não</p><p>seja sobrejetivo e provaremos que ele é homotópico a um caminho cuja</p><p>imagem é um compacto com interior vazio em Sn. Com efeito, existe</p><p>pelo menos um ponto p ∈ Sn que não pertence à imagem de γ, logo tem</p><p>sentido considerar o caminho ξ ◦ γ : [a, b] → R</p><p>n, onde ξ : Sn−{p} → R</p><p>n</p><p>é a projeção estereográfica (Ex. 16, Cap. 1, vol. 2). Em R</p><p>n, ξ ◦ γ</p><p>é homotópico (linearmente) a um caminho retiĺıneo λ = [c, d]. Logo</p><p>η = ξ−1 ◦ λ é homotópico a γ = ξ−1 ◦ (ξ ◦ γ). Notemos que, sendo</p><p>λ retiĺıneo, η = ξ−1 ◦ λ é um arco de circunferência em Sn, interseção</p><p>dessa esfera com o plano (bi-dimensional) que contém o segmento [c, d]</p><p>e o ponto p, pólo da projeção estereográfica. Logo a imagem de η é um</p><p>conjunto compacto com interior vazio em Sn. No caso geral, dado o</p><p>caminho γ : [a, b] → Sn, a continuidade uniforme fornece uma partição</p><p>{a = t0 < t1 < · · · < tk = b} ⊂ [a, b] tal que os caminhos γi = γ |</p><p>[ti−1, ti] não são sobrejetivos, logo cada γi (i = 1, . . . , k) é homotópico a</p><p>λi : [ti−1, ti] → Sn, cuja imagem é um compacto com interior vazio em</p><p>Sn. Então γ = γ1 ∨ · · · ∨ γk é homotópico ao caminho λ = λ1 ∨ · · · ∨λk ,</p><p>cuja imagem é compacta e tem interior vazio em Sn. Vemos assim que,</p><p>se n > 1, todo caminho γ : [a, b] → Sn é homotópico a um caminho</p><p>λ : [a, b] → Sn, que não é sobrejetivo. Usando novamente a projeção</p><p>estereográfica, vemos</p><p>que λ pode ser considerado como um caminho em</p><p>R</p><p>n, o qual é linearmente homotópico a um caminho retiĺıneo e, como</p><p>seus extremos permanecem fixos durante a homotopia, se γ for fechado</p><p>(logo λ também), esse caminho retiĺıneo se reduz a um ponto.</p><p>Observação. A hipótese n > 1 foi usada ao afirmarmos que um arco</p><p>de circunferência tem interior vazio em Sn.</p><p>O corolário abaixo resulta dos Teoremas 4 e 6.</p><p>Corolário 4. Se o aberto U ⊂ R</p><p>n é simplesmente conexo então toda</p><p>forma fechada ω : U → (Rn)∗ é exata.</p><p>Seção 4 O número de voltas de um caminho fechado 21</p><p>Em particular, se o aberto U ⊂ C é simplesmente conexo então toda</p><p>função harmônica u : U → R é a parte real de uma função holomorfa</p><p>f : U → C e toda função holomorfa f : U → C possui uma primitiva.</p><p>Uma formulação equivalente do Corolário 4 diz que se U ⊂ R</p><p>n é</p><p>simplesmente conexo e o campo vetorial v : U → R</p><p>n, de classe C1, dado</p><p>por v(x) = (a1(x), . . . , an(x)), cumpre as condições de integrabilidade</p><p>∂ai</p><p>∂xj</p><p>=</p><p>∂aj</p><p>∂xi</p><p>então v é o gradiente de uma função f : U → R.</p><p>4 O número de voltas de um caminho fechado</p><p>Diz-se que a função cont́ınua α : [a, b] → R é uma função-ângulo do</p><p>caminho γ : [a, b] → R</p><p>2 − {0}, onde γ(t) = (x(t), y(t)), quando se</p><p>tem, para cada t ∈ [a, b], cosα(t) = x(t)</p><p>/√</p><p>x(t)2 + y(t)2 e senα(t) =</p><p>y(t)</p><p>/√</p><p>x(t)2 + y(t)2. Usando a função de Euler E : R → S1, isto equi-</p><p>vale a dizer que E(α(t)) = γ(t)</p><p>/</p><p>|γ(t)|.</p><p>Teorema 7. Dado o caminho γ : [a, b] → R</p><p>2 − {0} e escolhido α0 ∈ R</p><p>tal que E(α0) = γ(a)</p><p>/</p><p>|γ(a)|, existe uma, e somente uma, função-ângulo</p><p>α : [a, b] → R para o caminho γ tal que α(a) = α0 .</p><p>Demonstração: Suponhamos inicialmente que a imagem de γ esteja</p><p>contida no complementar R</p><p>2−ρ de uma semi-reta ρ que parte da origem.</p><p>Então, pela Proposição B, existe uma função-ângulo θ : R</p><p>2−ρ→ R, com</p><p>θ(γ(a)) = α0 . Neste caso, definimos α : [a, b] → R pondo α = θ ◦ γ. No</p><p>caso geral, a continuidade uniforme de γ</p><p>/</p><p>|γ| : [a, b] → S1, fornece uma</p><p>partição de [a, b] cujos intervalos [ti−1, ti] são tais que γ, restrito a cada</p><p>um deles, tem imagem contida no complementar de uma semi-reta ρi .</p><p>Definimos α sucessivamente nos intervalos [a, t1], [t1, t2], etc. escolhendo</p><p>o valor inicial α(t1) em [t1, t2] de modo a coincidir com o valor final α(t1)</p><p>em [a, t1] e assim por diante. Quanto à unicidade de α, basta lembrar</p><p>que duas funções-ângulo do mesmo caminho γ diferem em cada ponto</p><p>t ∈ [a, b] por um múltiplo inteiro de 2π e, sendo [a, b] conexo, esse inteiro</p><p>é constante. Se ele é zero no ponto t = a, é zero sempre e as funções</p><p>coincidem.</p><p>22 Integrais Curviĺıneas Cap. 1</p><p>0</p><p>α(t)</p><p>b</p><p>x</p><p>γ(t)</p><p>γ(t)/|γ(t)|</p><p>S1</p><p>a</p><p>γ</p><p>Figura 10. A função cont́ınua α : [a, b] → R é uma função-ângulo do</p><p>caminho γ : [a, b] → R</p><p>2 − {0} quando, para cada t ∈ [a, b], α(t) é uma</p><p>determinação da medida (em radianos) do ângulo do eixo das abcissas Ox</p><p>com a semi-reta</p><p>−−⇀</p><p>Oγ(t). Isto significa que E(α(t)) = γ(t)/|γ(t)|.</p><p>Teorema 8. Se o caminho γ : [a, b] → R</p><p>2 − {0} é de classe Ck (k ≥ 0)</p><p>então toda função-ângulo α : [a, b] → R de γ também é de classe Ck.</p><p>Demonstração: A função-ângulo definida na demonstração do Teo-</p><p>rema 7 é de classe Ck se γ ∈ Ck. Qualquer outra função-ângulo para</p><p>γ difere daquela por um múltiplo inteiro constante de 2π, logo é de</p><p>classe Ck.</p><p>Corolário 5. Se γ : [a, b] → R</p><p>2 − {0} é um caminho de classe Ck por</p><p>partes, toda função-ângulo de γ também é Ck por partes.</p><p>O teorema abaixo se refere à forma Ω = (−ydx+ xdy)</p><p>/</p><p>(x2 + y2).</p><p>Teorema 9. Seja α : [a, b] → R uma função-ângulo para o caminho</p><p>γ : [a, b] → R</p><p>2 −{0}, de classe C1 por partes. Então</p><p>∫</p><p>γ Ω = α(b)−α(a).</p><p>Demonstração: Escrevendo γ(t) = (x(t), y(t)) temos, para todo t ∈</p><p>[a, b], x(t) = |γ(t)| cosα(t) e y(t) = |γ(t)| senα(t). Abreviadamente:</p><p>Seção 4 O número de voltas de um caminho fechado 23</p><p>x = |γ| cosα e y = |γ| senα. Por definição, tem-se</p><p>∫</p><p>γ</p><p>Ω =</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>xy′ − x′y</p><p>x2 + y2</p><p>dt.</p><p>Temos x = |γ| cosα e y = |γ| senα. Logo x′ = |γ|′ cosα− |γ| senα · α′ e</p><p>y′ = |γ|′ senα+ |γ| cosα ·α′. Dáı resulta imediatamente que xy′−x′y =</p><p>|γ|2 · α′. Como |γ|2 = x2 + y2, vemos então que</p><p>∫</p><p>γ Ω =</p><p>∫ b</p><p>a α</p><p>′(t) dt =</p><p>α(b)−α(a). No caso geral, em que γ é C1 por partes, temos uma partição</p><p>P = {a = t0 < t1 < · · · < tk = b} onde γi = γ|[ti−1, ti] é de classe C1</p><p>para cada i = 1, . . . , k e, por definição,</p><p>∫</p><p>γ</p><p>Ω =</p><p>k∑</p><p>i=1</p><p>∫</p><p>γi</p><p>Ω =</p><p>k∑</p><p>i=1</p><p>[α(ti) − α(ti−1)] = α(b) − α(a).</p><p>Corolário 6. Seja γ : [a, b] → R</p><p>2 − {0} um caminho fechado, de classe</p><p>C1 por partes. O número n(γ) =</p><p>1</p><p>2π</p><p>∫</p><p>γ Ω é inteiro (positivo, negativo</p><p>ou nulo).</p><p>O número n(γ) acima introduzido chama-se o número de voltas do</p><p>caminho fechado γ em torno da origem em R</p><p>n. Deve-se observar que se</p><p>trata do número ĺıquido de voltas, ou seja, as voltas no sentido positivo</p><p>menos as dadas no sentido negativo da orientação natural Ox→ Oy do</p><p>plano.</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>γ3</p><p>γ1</p><p>γ2</p><p>Figura 11. Número de voltas de cada caminho em torno do ponto 0:</p><p>n(γ1; 0) = 2, n(γ2; 0) = −1, n(γ3; 0) = 0.</p><p>Segue-se imediatamente do Teorema 5 que o número de voltas n(γ)</p><p>do caminho fechado γ é um invariante homotópico: se γ, η : [a, b] →</p><p>R</p><p>2 − {0} são caminhos fechados, de classe C1 por partes, livremente</p><p>homotópicos então n(γ) = n(η).</p><p>24 Integrais Curviĺıneas Cap. 1</p><p>Na verdade, todas estas conclusões são válidas para caminhos fecha-</p><p>dos γ : [a, b] → R</p><p>2 − {0}, de classe C0 (isto é, apenas cont́ınuos, como</p><p>todo caminho deve ser, por definição).</p><p>Com efeito, se γ : [a, b] → R</p><p>2 −{0} é um caminho fechado (de classe</p><p>C0 apenas), consideramos, como na seção anterior, um caminho poli-</p><p>gonal fechado η : [a, b] → R</p><p>2 − {0} homotópico a γ, logo</p><p>∫</p><p>γ Ω =</p><p>∫</p><p>η Ω,</p><p>e dáı</p><p>1</p><p>2π</p><p>∫</p><p>γ Ω é um inteiro, chamado ainda o número de voltas de γ</p><p>em torno da origem. Por transitividade da homotopia, este número</p><p>n(γ) =</p><p>1</p><p>2π</p><p>∫</p><p>γ Ω não depende do caminho poligonal η e é também um</p><p>invariante homotópico do caminho γ.</p><p>Um importante complemento do Corolário 6, que será provado no</p><p>Caṕıtulo 5 (Ver Corolário 4), diz que se a imagem de γ é uma curva de</p><p>Jordan C de classe C3 então n(γ) = ±1 se a origem está no interior de</p><p>C ou n(γ) = 0 se a origem pertence ao exterior de C.</p><p>Exemplo 9. Seja γ : [0, 2π] → R</p><p>2 − {0} o caminho fechado definido</p><p>por γ(t) = (cos kt, sen kt), onde k ∈ Z. Então α : [0, 2π] → R, dada por</p><p>α(t) = kt, é uma função-ângulo de γ. Como</p><p>1</p><p>2π</p><p>[α(2π) − α(0)] = k,</p><p>vemos que o caminho γ dá k voltas em termo da origem 0, ou seja,</p><p>n(γ) = k.</p><p>5 Exerćıcios</p><p>Seção 1: Formas diferenciais de grau 1</p><p>1. Seja ω a forma em R</p><p>2 definida por ω(x, y) = −ydx+ xdy. Prove que ω não é</p><p>fechada mas as formas α = 1</p><p>x2 ·ω, β = 1</p><p>y2</p><p>·ω e γ = 1</p><p>xy</p><p>·ω são, na realidade, exatas</p><p>no conjunto U = {(x, y) ∈ R</p><p>2;x > 0, y > 0}. Ache funções f, g, h : U → R tais</p><p>que df = α, dg = β e dh = γ.</p><p>2. Sejam U ⊂ R</p><p>m, V ⊂ R</p><p>n abertos e ϕ : U → V uma aplicação de classe C1.</p><p>Para toda forma diferencial ω em V , defina o pullback de ω por ϕ como a</p><p>forma ϕ∗ω : U → (Rm)∗ tal que</p><p>(ϕ∗ω)(x) · v = ω(ϕ(x)) · (ϕ′(x) · v), x ∈ U, v ∈ R</p><p>m.</p><p>Prove as seguintes afirmações:</p><p>(i) ϕ∗(a · ω + b · ω̄) = a · ϕ∗ω + b · ϕ∗ω̄ se a, b ∈ R e ω, ω̄ : V → (Rn)∗;</p><p>(ii) (ψ ◦ ϕ)∗ω = ϕ∗(ψ∗ω) se ϕ : U → V e ψ : V →W ;</p><p>Seção 5 Exerćıcios 25</p><p>(iii) Sejam ϕ1, . . . , ϕn : U → R as funções-coordenada de ϕ.</p><p>Se ω(y) =</p><p>n∑</p><p>j=1</p><p>aj(y)dyj , y ∈ V , então, para todo x ∈ U , tem-se</p><p>(ϕ∗ω)(x) =</p><p>m∑</p><p>i=1</p><p>( n∑</p><p>j=1</p><p>aj(ϕ(x)) · ∂ϕj</p><p>∂xi</p><p>(x)</p><p>)</p><p>dxi ;</p><p>(iv) Para toda f : V → R de classe C1, tem-se ϕ∗(df) = d(f ◦ ϕ);</p><p>(v) Se ω é fechada então ϕ∗ω é fechada;</p><p>(vi) Se ω é exata em V então ϕ∗ω é exata em U .</p><p>3. O elemento de ângulo de vértice p = (a, b) é a forma diferencial Ωp , definida</p><p>em R</p><p>2 − {p} por</p><p>Ωp =</p><p>b− y</p><p>(x− a)2 + (y − b)2</p><p>· dx+</p><p>x− a</p><p>(x− a)2 + (y − b)2</p><p>· dy.</p><p>Prove as seguintes afirmações:</p><p>(i) Ωp é fechada mas não é exata em R</p><p>2 − {p};</p><p>(ii) Definindo convenientemente função-ângulo de vértice p, a forma Ωp é</p><p>exata no</p><p>aberto U ⊂ R</p><p>2−{p} se, e somente se, existe uma função-ângulo</p><p>de vértice p definida em U ;</p><p>(iii) Ωp é exata no aberto R</p><p>2 − ρ, onde ρ é uma semi-reta de origem p.</p><p>4. Seja ω : U → (Rm)∗ uma forma fechada de classe C1 que não se anula em</p><p>ponto algum de U . Dada a função f : U → R de classe C1, prove que a forma</p><p>f · ω é fechada se, e somente se, df é um múltiplo de ω.</p><p>Seção 2: Integrais curviĺıneas</p><p>1. Sejam ω : U → (Rn)∗ uma forma cont́ınua no aberto U ⊂ R</p><p>n e γ : [a, b] → U um</p><p>caminho de classe C1. Para cada partição pontilhada P ∗ = (P, ξ) do intervalo</p><p>[a, b] (cfr. Cap. 11 do Vol. 1), ponhamos Σ(P ∗) =</p><p>k∑</p><p>i=1</p><p>ω(γ(ξi)) · [γ(ti)−γ(ti−1)],</p><p>onde P = {a = t0 < t1 < · · · < tk = b}. Prove que</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ω = lim</p><p>|P |→0</p><p>Σ(P ∗), sendo</p><p>|P | = max</p><p>1≤i≤k</p><p>|ti − ti−1|.</p><p>2. Seja ω : U → (Rn)∗ cont́ınua em U ⊂ R</p><p>n. Suponha que para um certo M > 0,</p><p>valha |ω(x) ·v| ≤M · |v| quaisquer que sejam x ∈ U e v ∈ R</p><p>n. Prove que, dado</p><p>o caminho γ : [a, b] → U de classe C1, tem-se</p><p>∣∣ ∫</p><p>γ</p><p>ω</p><p>∣∣ ≤ M · ℓ(γ), onde ℓ(γ) é o</p><p>comprimento de γ.</p><p>3. Sejam U ⊂ R</p><p>m, V ⊂ R</p><p>n abertos e f : U → V uma aplicação de classe C1.</p><p>Prove que, para todo caminho γ : [a, b] → U de classe C1, tem-se</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f∗ω =∫</p><p>f◦γ</p><p>ω.</p><p>4. Seja γ = γ1∨γ2∨γ3∨γ4 o caminho poligonal fechado cuja imagem é o contorno</p><p>do quadrado Q = [0, 1] × [0, 1]. Se ω = adx + bdy é uma forma de classe C1</p><p>definida num aberto U ⊃ Q, prove que</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ω =</p><p>∫∫</p><p>Q</p><p>(</p><p>∂b</p><p>∂x</p><p>− ∂a</p><p>∂y</p><p>)</p><p>dxdy.</p><p>26 Integrais Curviĺıneas Cap. 1</p><p>5. Uma forma diferencial complexa é, no aberto U ⊂ R</p><p>2, uma expressão do tipo</p><p>ω = α+ iβ onde α e β são formas reais em U e i =</p><p>√</p><p>−1. Se γ é um caminho</p><p>de classe C1 em U põe-se</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ω =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>α + i ·</p><p>∫</p><p>γ</p><p>β. Se U ⊂ R</p><p>2 − {0} prove que∫</p><p>γ</p><p>dz</p><p>z</p><p>= i ·</p><p>∫</p><p>γ</p><p>Ω para qualquer caminho fechado γ em U .</p><p>6. No contexto do exerćıcio anterior, diz-se que a forma ω = α + iβ é fechada</p><p>quando α e β são fechadas. Se f(z) = u(z) + iv(z) e dz = dx+ idy, prove que</p><p>a forma complexa f(z)dz é fechada se, e somente se, a função de classe C1,</p><p>z 7→ f(z), é holomorfa.</p><p>7. Seja ω uma forma de classe C1 no aberto U ⊂ R</p><p>n. Se, para todo caminho</p><p>fechado γ, de classe C1 em U , a integral</p><p>∫</p><p>γ</p><p>ω for um número racional, prove</p><p>que ω é fechada.</p><p>Seção 3: Invariância homotópica</p><p>1. Seja B = B[0; 1] ⊂ R</p><p>2. Prove que o caminho fechado γ : [0, 2π] → X, no</p><p>conjunto X ⊂ R</p><p>n, é livremente homotópico a um caminho constante se, e</p><p>somente se, existe uma aplicação cont́ınua F : B → X tal que F (cos s, sen s) =</p><p>γ(s) para todo s ∈ [0, 2π].</p><p>2. Seja U ⊂ R</p><p>2 um aberto limitado. Prove as seguintes afirmações:</p><p>(i) Existe r > 0 tal que, para todo p = (a, b) ∈ R</p><p>2 −U com |p| ≥ r, a forma</p><p>Ωp =</p><p>(b− y)dx+ (x− a)dy</p><p>(x− a)2 + (y − b)2</p><p>,</p><p>definida em R</p><p>2 − {p}, é exata em U ;</p><p>(ii) Se R</p><p>2−U é conexo por caminhos então para cada p ∈ R</p><p>2−U existe uma</p><p>função-ângulo de vértice p definida em U .</p><p>3. Prove que todo caminho fechado em R</p><p>n+1 − {0} é livremente homotópico a</p><p>um caminho contido em Sn. Conclua que R</p><p>n+1 − {0} é simplesmente conexo</p><p>quando n > 1.</p><p>4. Se E ⊂ R</p><p>n é um subespaço vetorial de dimensão ≤ n− 3, prove que R</p><p>n −E é</p><p>simplesmente conexo.</p><p>5. Para cada t ∈ [0, 1], seja ft : U → V de classe C1 do aberto U ⊂ R</p><p>m no aberto</p><p>V ⊂ R</p><p>n. Suponha que ft dependa continuamente de t no sentido seguinte: a</p><p>aplicação F : U × [0, 1] → V , definida por F (x, t) = ft(x), é cont́ınua. Se ω é</p><p>uma forma fechada em V e γ : [a, b] → U é um caminho fechado de classe C1</p><p>por partes, prove que</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f∗</p><p>0ω =</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f∗</p><p>1ω.</p><p>Seção 4: O número de voltas de um caminho fechado</p><p>1. Prove que se dois caminhos fechados em R</p><p>2 − {0} dão o mesmo número de</p><p>voltas em torno da origem O então eles são livremente homotópicos.</p><p>2. Seja γ1 : [0, 2π] → R</p><p>2 − {0} o caminho definido por γ1(t) = (cost, sent). Se</p><p>uma forma fechada ω em R</p><p>2 − {0} é tal que</p><p>∫</p><p>γ1</p><p>ω = 0, prove que ω é exata.</p><p>3. Seja ω uma forma fechada em R</p><p>2−{0}. Prove que existem uma função f : R</p><p>2−</p><p>{0} → R de classe C2 e um número real c tais que ω = df + c · Ω.</p><p>Seção 5 Exerćıcios 27</p><p>4. Suponha que ω é uma forma fechada em R</p><p>2 − {0}, limitada numa vizinhança</p><p>da origem (isto é, existem δ > 0 e M > 0 tais que 0 < |z| < δ implica</p><p>|ω(z) · v| ≤M · |v| para todo v ∈ R</p><p>2). Prove que ω é exata.</p><p>5. Sejam f, g : U → R funções de classe C2 no aberto U ⊂ R</p><p>2 e B = B[p; r]</p><p>um disco fechado contido em U . Indique com o mesmo śımbolo C o bordo de</p><p>B e o caminho C : [0, 2π] → U dado por C(t) = (a + r cost, b + r sent), onde</p><p>p = (a, b). Suponha que f2 + g2 > 0 em todos os pontos de C. Prove:</p><p>(i) A forma ω =</p><p>fdg − gdf</p><p>f2 + g2</p><p>, definida no aberto A = {z ∈ U ; f(z)2+g(z)2 > 0}</p><p>é fechada;</p><p>(ii) Se</p><p>∫</p><p>C</p><p>ω 6= 0 então existe um ponto z = (x, y) ∈ B tal que f(z) = g(z) = 0.</p><p>6. Prove o Teorema de Cauchy: se a função f : U → C, de classe C1 no aberto</p><p>U ⊂ C, é holomorfa então, para cada caminho fechado γ, homotópico a uma</p><p>constante em U , tem-se</p><p>∫</p><p>γ</p><p>f(z)dz = 0.</p><p>2</p><p>Formas Alternadas</p><p>No prosseguimento deste livro a noção de integral curviĺınea, introduzida</p><p>no caṕıtulo anterior, será ampliada considerando-se situações em que o</p><p>campo de integração tem dimensão maior do que 1 (mais precisamente,</p><p>é uma superf́ıcie em R</p><p>n). Correspondentemente, é necessário generalizar</p><p>o objeto a ser integrado, o que leva à noção de forma diferencial de grau</p><p>superior. Do mesmo modo que uma forma diferencial de grau 1 é um</p><p>funcional linear cujas coordenadas variam de ponto a ponto, uma forma</p><p>de grau mais elevado (que será chamada uma forma exterior) é uma</p><p>forma alternada com coeficientes variáveis.</p><p>Este caṕıtulo é um pequeno interlúdio algébrico onde são estudados,</p><p>de forma resumida, objetos que há um século eram chamados tenso-</p><p>res covariantes anti-simétricos e hoje se denominam formas alternadas.</p><p>As noções aqui apresentadas são apenas as suficientes para o uso dos</p><p>caṕıtulos seguintes. Uma apresentação mais completa do assunto pode</p><p>ser vista em [6].</p><p>1 Aplicações r-lineares</p><p>Sejam E1, . . . , Er, F espaços vetoriais. A aplicação f:E1×· · ·×Er→F</p><p>chama-se r-linear quando é linear separadamente em relação a cada uma</p><p>de suas r variáveis. Mais explicitamente, para quaisquer v1 ∈ E1, . . . ,</p><p>vi, wi ∈ Ei, . . . , vr ∈ Er e λ ∈ R, deve-se ter</p><p>f(v1, . . . , vi + wi, . . . , vr) = f(v1, . . . , vi, . . . , vr) + f(v1, . . . , wi, . . . , vr)</p><p>Seção 1 Aplicações r-lineares 29</p><p>e f(v1, . . . , λvi, . . . , vr) = λ · f(v1, . . . , vi, . . . , vr).</p><p>O conjunto L(E1, . . . , Er;F ) das aplicações r-lineares f : E1 × · · · ×</p><p>Er → F , munido das operações de adição e multiplicação por um número</p><p>real, definidas de modo óbvio, é um espaço vetorial.</p><p>Pretendemos, no que se segue, efetuar trocas de posição entre as</p><p>variáveis; por isso nos ocuparemos principalmente do caso em que E1 =</p><p>· · · = Er . Escreveremos, então, Lr(E;F ) para significar o espaço veto-</p><p>rial formado pelas aplicações r-lineares f : E × · · · × E → F . Quando</p><p>F = R, uma aplicação r-linear f : E × · · · × E → R é chamada uma</p><p>forma r-linear.</p><p>Exemplo 1. Para r = 1, tem-se L1(E;F ) = L(E;F ) = espaço das</p><p>transformações lineares de E em F . Em particular, L1(E; R) = E∗ =</p><p>espaço dual de E. Assim, os funcionais lineares f : E → R são formas</p><p>1-lineares.</p><p>Exemplo 2. Aplicações bilineares freqüentemente encontradas são a</p><p>avaliação f : L(E;F ) × E → F , onde f(A, v) = A · v, a composição de</p><p>transformações lineares f : L(F ;G)×L(E;F ) → L(E;G), onde f(B,A)=</p><p>B · A (com A : E → F e B : F → G lineares) e o produto interno</p><p>f : R</p><p>n × R</p><p>n → R, f(x, y) = 〈x, y〉, que é uma forma bilinear.</p><p>O produto tensorial dos funcionais lineares f1, f2, . . . , fr ∈ E∗ é a</p><p>forma r-linear f = f1 · f2 · . . . · fr ∈ Lr(E; R), definida por</p><p>f(v1, v2, . . . , vr) = f1(v1) · f2(v2) · . . . · fr(vr).</p><p>Não somente o produto tensorial f1 ·f2 · . . . ·fr de funcionais lineares</p><p>é uma forma r-linear como a própria aplicação P : E∗ × · · · × E∗ →</p><p>Lr(E; R), dada por P (f1, f2, . . . , fr) = f1 ·f2 · . . . ·fr também é r-linear.</p><p>Teorema 1. Seja G um conjunto de geradores do espaço vetorial E.</p><p>Se as aplicações r-lineares f, g ∈ Lr(E;F ) são tais que f(v1, . . . , vr) =</p><p>g(v1, . . . , vr) para quaisquer v1, . . . , vr ∈ G então f = g.</p><p>Demonstração: (Indução em r.) Sejam f, g : E → F transformações</p><p>lineares tais que f(v) = g(v) para todo v ∈ G. Dado w ∈ E ar-</p><p>bitrário, temos w = Σαivi com v1, . . . , vk ∈ G, pois o conjunto G gera</p><p>E. Então f(w) = Σαi · f(vi) = Σαi · g(vi) = g(w) portanto f = g.</p><p>Supondo o teorema verdadeiro para aplicações r-lineares, sejam f, g ∈</p><p>Lr+1(E;F ) tais que f(v1, . . . , vr+1) = g(v1, . . . , vr+1) se v1, . . . , vr+1 ∈</p><p>G. Para cada v ∈ E, definamos as aplicações r-lineares fv, gv ∈ Lr(E;F )</p><p>pondo fv(v1, . . . , vr) = f(v1, . . . , vr, v) e gv(v1, . . . , vr) = g(v1, . . . , vr, v).</p><p>30 Formas Alternadas Cap. 2</p><p>Então, para todo v ∈ G, temos fv = gv . Observando que as cor-</p><p>respondências v 7→ fv e v 7→ gv são transformações lineares de E em</p><p>Lr(E;F ), conclúımos, pela primeira parte da demonstração, que fv = gv</p><p>para qualquer v ∈ E. Isto significa que f = g.</p><p>O mesmo argumento prova a seguinte versão mais geral:</p><p>Teorema 1a. Para cada i = 1, . . . , r, seja Gi um conjunto de</p><p>geradores do espaço vetorial Ei . Se as aplicações r-lineares</p><p>f, g : E1 × · · · × Er → F são tais que f(v1, . . . , vr) = g(v1, . . . , vr) para</p><p>quaisquer v1 ∈ G1, . . . , vr ∈ Gr então f = g.</p><p>Exemplo 3. Diferentemente do caso linear, a imagem de uma aplicação</p><p>multilinear f : E × · · · × E → F não é necessariamente um subespaço</p><p>vetorial de F . Por exemplo, seja P : (R2)∗ × (R2)∗ → L2(R</p><p>2; R) dada</p><p>por P (f, g) = f · g. A forma bilinear ϕ = ē1 · ē1 + ē2 · ē2 , definida a</p><p>partir da base {ē1, ē2} ⊂ (R2)∗, dual da base canônica {e1, e2} ⊂ R</p><p>2,</p><p>não pertence à imagem de P , embora ē1 · ē1 e ē2 · ē2 pertençam. De fato,</p><p>supondo, por absurdo, que existissem f, g ∈ (R2)∗ tais que ϕ = f · g,</p><p>como ϕ(e1, e2) = 0, seria f(e1) · g(e2) = 0. E, como ϕ(e1, e1) = 1, seria</p><p>f(e1) · g(e1) = 1. Conclusão: g(e2) = 0. Por outro lado, ϕ(e2, e2) = 1</p><p>implica f(e2) · g(e2) = 1, logo g(e2) 6= 0, uma contradição.</p><p>O śımbolo In indica o conjunto {1, 2, . . . , n} dos números naturais</p><p>de 1 até n.</p><p>Teorema 2. Sejam {e1, . . . , en} ⊂ E uma base e {ē1, . . . , ēn} ⊂ E∗ a</p><p>base dual. Para cada seqüência (s) = (i1, . . . , ir) de números em In ,</p><p>indiquemos com ē(s) = ēi1 · ēi2 · · · · · ēir o produto tensorial destes funcio-</p><p>nais. As formas r-lineares assim definidas compõem uma base do espaço</p><p>vetorial Lr(E; R).</p><p>Demonstração: O valor ē(s)(ej1 , . . . , ejr) é 1 ou 0 conforme a seqüência</p><p>(j1, . . . , jr) coincida ou não com (s). Portanto, se a combinação linear</p><p>f =</p><p>∑</p><p>(s)</p><p>α(s) · ē(s) é nula então, para toda seqüência (t) = (j1, . . . , jr)</p><p>tem-se</p><p>0 = f(ej1 , . . . , ejr) =</p><p>∑</p><p>(s)</p><p>α(s) · ē(s)(ej1 , . . . , ejr) = α(t),</p><p>logo todos os coeficientes α(s) são nulos e as formas ē(s) são linearmente</p><p>independentes. Em seguida, dada arbitrariamente f ∈ Lr(E; R) po-</p><p>nhamos, para cada (s) = (i1, . . . , ir), α(s) = f(ei1 , . . . , eir). A forma</p><p>Seção 2 Formas alternadas 31</p><p>r-linear g =</p><p>∑</p><p>(s)</p><p>α(s) · ē(s) é tal que</p><p>g(ei1 , . . . , eir) = f(ei1 , . . . , eir)</p><p>para toda seqüência (s) = (i1, . . . , ir) de números em In . Como os</p><p>vetores ei geram E, o Teorema 1 nos dá f = g. Assim, as r-formas ē(s)</p><p>geram Lr(E;F ) e conseqüentemente constituem uma base.</p><p>Corolário 1. Se dimE = n então dimLr(E; R) = nr.</p><p>Corolário 2. Seja {e1, . . . , en} ⊂ E uma base. Para cada seqüência</p><p>(s) = (i1, . . . , ir) de números em In , suponhamos dado um número real</p><p>α(s) . Existe uma, e somente uma, forma r-linear f ∈ Lr(E; R) tal que</p><p>f(ei1 , . . . , eir) = α(s) para cada (i1, . . . , ir) = (s).</p><p>Com efeito, basta tomar f =</p><p>∑</p><p>(s)</p><p>α(s) · ē(s) .</p><p>2 Formas alternadas</p><p>Uma aplicação r-linear f ∈ Lr(E;F ) diz-se alternada quando se tem</p><p>f(v1,. . ., vr) = 0 sempre que haja repetição na seqüência v1, . . . , vr , isto</p><p>é, quando se tenha vi = vj com i 6= j.</p><p>O conjunto Ar(E;F ) das aplicações r-lineares alternadas de E em F</p><p>é um subespaço vetorial de Lr(E;F ). Quando F = R, escreve-se Ar(E)</p><p>em vez de Ar(E; R) para designar o espaço vetorial das formas r-lineares</p><p>alternadas em E.</p><p>Exemplo 4. O produto vetorial (Vol.2, Cap.7, Seção 4) é uma aplicação</p><p>(n− 1)-linear alternada × : R</p><p>n × · · · × R</p><p>n → R</p><p>n.</p><p>Exemplo 5. A forma bilinear f : R</p><p>2 × R</p><p>2 → R, definida por f(u, v) =</p><p>xy′ − x′y, onde u = (x, y), v = (x′, y′), é alternada.</p><p>Diz-se que a aplicação f ∈ Lr(E;F ) é anti-simétrica quando seu</p><p>valor muda de sinal ao se trocarem as posições de duas de suas variáveis,</p><p>isto é, quando, para quaisquer v1, . . . , vr ∈ E, tem-se</p><p>f(. . . , vj , . . . , vi, . . . ) = −f(. . . , vi, . . . , vj , . . . ).</p><p>Tomando vi = vj = v acima, vem</p><p>f(. . . v, . . . , v, . . . ) = −f(. . . v, . . . , v, . . . ),</p><p>32 Formas Alternadas Cap. 2</p><p>logo f(. . . v, . . . , v, . . . ) = 0, portanto toda forma anti-simétrica é alter-</p><p>nada. Reciprocamente, se f ∈ Lr(E;F ) é alternada então, escrevendo</p><p>f [vi, vj ], por simplicidade, para significar f(. . . , vi, . . . , vj , . . . ), temos</p><p>0 = f [vi + vj , vi + vj ] = f [vi, vi] + f [vj , vj ] + f [vi, vj ] + f [vj , vi]</p><p>= f [vi, vj ] + f [vj , vi],</p><p>logo f é anti-simétrica.</p><p>Admitiremos que A1(E) = L1(E; R) = E∗, ou seja, que todo funcio-</p><p>nal linear é uma forma alternada. De certa maneira, isto é natural pois</p><p>não é posśıvel violar a condição de anti-simetria quando se tem apenas</p><p>uma variável. E, por extensão, aceitaremos também que A0(E) = R.</p><p>Uma permutação de r objetos é uma bijeção σ : Ir → Ir do conjunto</p><p>Ir = {1, . . . , r} sobre si mesmo. A composição de funções faz do conjunto</p><p>Sr das permutações σ : Ir → Ir um grupo com r! elementos, chamado</p><p>grupo simétrico. Uma permutação τ ∈ Sr chama-se uma transposição</p><p>quando existem i 6= j em Ir tais que τ(i) = j, τ(j) = i e τ(k) = k quando</p><p>k /∈ {i, j}. Toda permutação σ ∈ Sr se escreve na forma σ = τ1·τ2 · · · τk ,</p><p>como produto de transposições. Isto pode ser feito de várias maneiras</p><p>mas a paridade do número k é sempre a mesma, isto é, o número εσ =</p><p>(−1)k depende apenas de σ. Tem-se ερσ = ερ · εσ e εσ−1 = εσ . Quando</p><p>εσ = 1 diz-se que σ é uma permutação par. Se εσ = −1, a permutação</p><p>σ diz-se ı́mpar.</p><p>A aplicação r-linear f : E × · · · × E → F é anti-simétrica (ou alter-</p><p>nada) se, e somente se, para toda σ ∈ Sr e quaisquer v1, . . . , vr ∈ E,</p><p>tem-se f(vσ(1), . . . , vσ(r)) = εσ · f(v1, . . . , vr).</p><p>Seja {e1, . . . , en} ⊂ E uma base. Usando o Corolário 2, definimos,</p><p>para cada subconjunto I = {i1 < · · · < ir} ⊂ In com r elementos, uma</p><p>forma r-linear ēI : E × · · · ×E → R, do seguinte modo:</p><p>1) ēI(ej1 , . . . , ejr) = 0 se o conjunto J = {j1, . . . , jr} for diferente de</p><p>I. (Em particular, se a seqüência (j1, . . . , jr) tiver repetições.)</p><p>2) Se J = I então existe uma permutação σ de r objetos tal que</p><p>j1 = iσ(1), . . . , jr = iσ(r) e, neste caso, pomos ēI(ej1 , . . . , ejr) = εσ .</p><p>Em particular, ēI(ei1 , . . . , eir) = 1, ēI(. . . , ej , . . . , ej , . . . ) = 0 e</p><p>ēI(. . . , ej , . . . , ei, . . . ) = −ēI(. . . , ei, . . . , ej , . . . ).</p><p>Teorema 3. As formas r-lineares ēI acima definidas são alternadas e</p><p>constituem uma base do espaço vetorial Ar(E).</p><p>Seção 2 Formas alternadas 33</p><p>Demonstração: Continuamos usando a notação simplificada [vi, vj ] =</p><p>(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vr) sempre que, num racioćınio, as variáveis dife-</p><p>rentes de vi e vj permaneçam fixas. Então, como ēI [ei, ei] = 0 e ēI [ei, ej ]=</p><p>−ēI [ej , ei], conclúımos que, para todo v =</p><p>∑</p><p>i</p><p>αiei , vale</p><p>ēI [v, v] =</p><p>∑</p><p>i,j</p><p>αiαj · ēI [ei, ej ]</p><p>=</p><p>∑</p><p>i</p><p>αiαi · ēI [ei, ei] +</p><p>∑</p><p>i<j</p><p>αiαj · ēI [ei, ej ] +</p><p>∑</p><p>j<i</p><p>αiαj · ēI [ei, ej ]</p><p>=</p><p>∑</p><p>i<j</p><p>αiαj · ēI [ei, ej ] +</p><p>∑</p><p>i<j</p><p>αiαj · ēI [ej , ei] = 0.</p><p>(No último somatório, trocamos os nomes dos ı́ndices i e j, e subs-</p><p>titúımos αjαi por αiαj , o que não afeta o resultado.)</p><p>Portanto as formas</p><p>ēI são alternadas. Para provar que elas são li-</p><p>nearmente independentes, suponhamos que se tenha f =</p><p>∑</p><p>I</p><p>αI · ēI = 0, a</p><p>soma sendo estendida a todos os subconjuntos I ⊂ In com r elementos.</p><p>Então, para todo J = {j1 < · · · < jr} ⊂ In , temos</p><p>0 = f(ej1 , . . . , ejr) =</p><p>∑</p><p>I</p><p>αI · ēI(ej1 , . . . , ejr) = αJ ,</p><p>logo todos os coeficientes αI são nulos. Finalmente, para mostrar que as</p><p>formas ēI geram Ar(E), suponhamos dada uma forma f ∈ Ar(E). Para</p><p>cada I = {i1 < · · · < ir} ⊂ In , tomemos αI = f(ei1 , . . . , eir) e ponhamos</p><p>g =</p><p>∑</p><p>I</p><p>αI · ēI . Vamos mostrar que g = f . Para isso, basta verificar, em</p><p>virtude do Teorema 1, que se tem f(ej1 , . . . , ejr) = g(ej1 , . . . , ejr) para</p><p>toda seqüência (s) = (j1, . . . , jr) de r elementos em In . Isto é claro se a</p><p>seqüência tem elementos repetidos, pois ambas, f e g, são alternadas logo</p><p>se anulam neste caso. Também vale esta igualdade quando j1 < · · · < jr</p><p>pois isto implica f(ej1 , . . . , ejr) = αJ = g(ej1 , . . . , ejr). Finalmente, se a</p><p>seqüência de termos distintos (j1, . . . , jr) é obtida de (i1 < · · · < ir) por</p><p>uma permutação σ, temos</p><p>g(ej1 , . . . , ejr) = εσ · g(ei1 , . . . , eir) = εσ · f(ei1 , . . . , eir) = f(ej1 , . . . , ejr).</p><p>Isto completa a demonstração do Teorema 3.</p><p>34 Formas Alternadas Cap. 2</p><p>Corolário 3. Se dimE = n então dimAr(E) =</p><p>(</p><p>n</p><p>r</p><p>)</p><p>.</p><p>Com efeito,</p><p>(</p><p>n</p><p>r</p><p>)</p><p>é o número de subconjuntos de In com r elementos.</p><p>Teorema 4. Seja f : E × · · · × E → F uma aplicação r-linear alter-</p><p>nada. Se os vetores v1, . . . , vr ∈ E são linearmente dependentes então</p><p>f(v1, . . . , vr) = 0.</p><p>Demonstração: Mudando a ordem dos vetores, se necessário, podemos</p><p>admitir que vr = α1v1 + · · · + αr−1vr−1 . Então</p><p>±f(v1, . . . , vr) =</p><p>r−1∑</p><p>i=1</p><p>αi · f(v1, . . . , vi, . . . , vr−1, vi) = 0.</p><p>Corolário 4. Se r > dimE então toda aplicação r-linear alternada de</p><p>E em F é identicamente nula, ou seja, Ar(E;F ) = {0}.</p><p>Com efeito, quaisquer r vetores em E são linearmente dependentes.</p><p>3 Determinantes</p><p>Se dimE = n então o espaço vetorial An(E) das formas n-lineares al-</p><p>ternadas em E tem dimensão 1, de acordo com o Corolário 3. Ou seja,</p><p>existem formas n-lineares alternadas f : E × · · · × E → R não-nulas e,</p><p>se f é uma delas, todas as demais são do tipo g = α · f , com α ∈ R.</p><p>Este fato é a base da teoria dos determinantes, da qual faremos um</p><p>breve resumo agora. Para maiores detalhes, o leitor pode consultar [5]</p><p>ou, sob um ponto de vista mais abrangente, [6].</p><p>Seja E = R</p><p>n. Uma seqüência (v1, . . . , vn) de n vetores vj = (a1j , . . . ,</p><p>anj) pode ser vista como uma matriz aaa = [v1, . . . , vn] = [aij ] do tipo</p><p>n × n, da qual vj é a j-ésima coluna. Portanto uma forma n-linear f</p><p>em R</p><p>n é o mesmo que uma função f : M(n × n) → R, cujos valores</p><p>f(aaa) = f [v1, . . . , vn] dependem linearmente das colunas vj da matriz</p><p>aaa ∈M(n× n).</p><p>Se {e1, . . . , en} ⊂ R</p><p>n é a base canônica, vimos que existe uma única</p><p>forma n-linear alternada ē ∈ An(R</p><p>n) tal que ē(e1, . . . , en) = 1. Todas as</p><p>demais f ∈ An(R</p><p>n) são múltiplos de ē.</p><p>Seção 3 Determinantes 35</p><p>O determinante da matriz aaa ∈M(n×n) cujas colunas são os vetores</p><p>vj = (a1j , . . . , anj), j = 1, . . . , n, é definido como</p><p>detaaa = ē(v1, . . . , vn).</p><p>As colunas da matriz identidade n×n são os vetores e1, . . . , en da base</p><p>canônica de R</p><p>n. Portanto a função det : M(n × n) → R que acabamos</p><p>de definir é a única função n-linear alternada das colunas de uma matriz</p><p>que assume o valor 1 na matriz identidade. Qualquer outra função n-</p><p>linear alternada das colunas de uma matriz é um múltiplo constante</p><p>da função determinante. Segue-se desta observação que não importa o</p><p>modo como o determinante foi definido (e há vários modos diferentes).</p><p>Tudo o que conta é que detaaa seja uma função n-linear alternada das</p><p>colunas da matriz aaa e que a matriz identidade tenha determinante igual</p><p>a 1. Se f : M(n×n) → R é qualquer função tal que f(aaa) é uma função n-</p><p>linear alternada das colunas de aaa então, para cada matriz aaa ∈M(n×n),</p><p>tem-se f(aaa) = detaaa · f(InInIn), onde InInIn é a matriz identidade n× n.</p><p>Para deixar expĺıcita a dependência linear do determinante em relação</p><p>às colunas vj da matriz aaa, escreve-se, às vezes, det[v1, . . . , vn] em vez de</p><p>detaaa.</p><p>Um dos empregos mais comuns do determinante é como teste para</p><p>verificar se n vetores em R</p><p>n são linearmente independentes ou não.</p><p>Teorema 5. Os vetores v1, . . . , vn ∈ R</p><p>n são linearmente independentes</p><p>se, e somente se, det[v1, . . . , vn] 6= 0.</p><p>Demonstração: Se os vetores dados são L.I. então eles formam uma</p><p>base de R</p><p>n e, nos termos do Teorema 3, tomando I = {1 < 2 < · · · < n}</p><p>obtemos uma forma f ∈ An(R</p><p>n), (a qual lá seria chamada de v̄I) tal que</p><p>f(v1, . . . , vn) = 1. Como dimAn(R</p><p>n) = 1, temos f = α · ē, com α 6= 0.</p><p>Portanto ē =</p><p>1</p><p>α</p><p>· f e dáı</p><p>det[v1, . . . , vn] = ē(v1, . . . , vn) =</p><p>1</p><p>α</p><p>· f(v1, . . . , vn) =</p><p>1</p><p>α</p><p>6= 0.</p><p>Reciprocamente, se det[v1, . . . , vn] 6= 0 então, como det é uma forma</p><p>alternada, segue-se do Teorema 4 que os vetores v1, . . . , vn são L.I.</p><p>Além do determinante de uma matriz quadrada, tem sentido e inte-</p><p>resse o determinante de um operador linear A : E → E. Esta noção pode</p><p>ser definida intrinsecamente (isto é, sem apelo a bases e coordenadas) e</p><p>36 Formas Alternadas Cap. 2</p><p>este modo de abordagem torna mais fácil a prova de várias propriedades.</p><p>Vamos apresentá-lo a seguir.</p><p>Seja A : E → F uma transformação linear. Para todo r ≥ 0,</p><p>a transformação linear A∗ : Lr(F ; R) → Lr(E; R), definida pondo-se</p><p>(A∗ ·f)(v1, . . . , vr) = f(A·v1, . . . , A·vr), chama-se a transformação linear</p><p>induzida por A. Quando r = 1, A∗ reduz-se à adjunta A∗ : F ∗ → E∗ da</p><p>transformação linear A.</p><p>Tem-se (B · A)∗ = A∗ · B∗ e I∗ = I se I : E → E é a transformação</p><p>identidade. Segue-se que se A é invert́ıvel, o mesmo se dá com A∗,</p><p>valendo (A∗)−1 = (A−1)∗.</p><p>É claro que A∗ : Lr(F ; R) → Lr(E; R) aplica o subespaço vetorial</p><p>Ar(F ) ⊂ Lr(F ; R) em Ar(E) ⊂ Lr(E; R), ou seja, A∗ leva formas alter-</p><p>nadas em formas alternadas.</p><p>Consideremos o caso particular de um operador linear A : E → E,</p><p>no espaço vetorial E, de dimensão n. Então dimAn(E) = 1, de modo</p><p>que a transformação linear A∗ : An(E) → An(E), induzida por A, con-</p><p>siste na multiplicação por uma constante. Essa constante é chamada o</p><p>determinante do operador A. Provisoriamente vamos indicá-la com a</p><p>notação DetA, até que o identifiquemos com o determinante da matriz</p><p>de A em relação a qualquer base de E.</p><p>Assim, por definição, temos A∗ · f = DetA · f para toda f ∈ An(E)</p><p>ou, mais explicitamente:</p><p>f(Av1, . . . , Avn) = DetA · f(v1, . . . , vn)</p><p>para quaisquer v1, . . . , vn ∈ E e f ∈ An(E).</p><p>Dados A,B ∈ L(E), tomemos f 6= 0 em An(E). Então,</p><p>(DetAB)f = (AB)∗ ·f = B∗ ·A∗ ·f = DetB · (A∗f) = DetB · DetA · f,</p><p>portanto DetAB = DetA · DetB.</p><p>Teorema 6. Para todo operador linear A : E → E, tem-se DetA =</p><p>detaaa, onde aaa é a matriz de A numa base arbitrária {u1, . . . , un} ⊂ E.</p><p>Demonstração: Consideremos inicialmente o caso em que E = R</p><p>n e a</p><p>base dada é a canônica {e1, . . . , en} ⊂ R</p><p>n. As colunas da matriz aaa são</p><p>os vetores vj = (a1j , . . . , anj) = A · ej . Se ē ∈ An(R</p><p>n) é a forma tal que</p><p>ē(e1, . . . , en) = 1, temos</p><p>detaaa = ē(v1, . . . , vn) = ē(A · e1, . . . , A · en)</p><p>= DetA · ē(e1, . . . , en) = DetA.</p><p>Seção 3 Determinantes 37</p><p>No caso geral, tomamos o isomorfismo ϕ : R</p><p>n → E tal que ϕ(e1) =</p><p>u1, . . . , ϕ(en) = un e definimos A0 = ϕ−1 · A · ϕ : R</p><p>n → R</p><p>n, logo A =</p><p>ϕ ·A0 · ϕ−1. Então, como detaaa = DetA0, temos:</p><p>detaaa · ē = A∗</p><p>0 · ē = ϕ∗ ·A∗ · (ϕ∗)−1 · ē = ϕ∗ · DetA · (ϕ∗)−1 · ē</p><p>= DetA · ϕ∗ · (ϕ∗)−1 · ē = DetA · e</p><p>portanto detaaa = DetA.</p><p>Em virtude do Teorema 6, não há mais necessidade de usar a notação</p><p>Det.</p><p>Uma matriz aaa e sua transposta aaa⊺ têm o mesmo determinante. Equi-</p><p>valentemente, um operadorA : E → E e seu adjuntoA∗ têm determinan-</p><p>tes iguais. Esta importante propriedade é uma conseqüência imediata</p>