TEOR PITAGORAS SENO COSS E TG

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<p>Teorema de Pitágoras</p><p>O Teorema de Pitágoras mostra a relação matemática entre os lados de um triângulo retângulo.</p><p>O teorema de Pitágoras relaciona as medidas dos lados de um triângulo retângulo da seguinte maneira:</p><p>Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.</p><p>O teorema de Pitágoras é muito importante para a Matemática, tendo influenciado outros grandes resultados matemáticos. Veja também uma das demonstrações do teorema e parte da biografia de seu criador.</p><p>Fórmula do teorema de Pitágoras</p><p>Para aplicação do teorema de Pitágoras, é necessário compreender as nomenclaturas dos lados de um triângulo retângulo. O maior lado do triângulo fica sempre oposto ao maior ângulo, que é o ângulo de 90°. Esse lado recebe o nome de hipotenusa e será representado aqui pela letra a.</p><p>Os demais lados do triângulo são chamados de catetos e serão aqui representados pelas letras b e c.</p><p>O teorema de Pitágoras afirma que é válida a relação a seguir:</p><p>Assim, podemos dizer que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.</p><p>Demonstração do teorema de Pitágoras</p><p>Vamos ver a seguir uma das maneiras de mostrar a veracidade do teorema de Pitágoras. Para isso, considere um quadrado ABCD com lado medindo (b + c), como mostra a figura:</p><p>O primeiro passo consiste em determinar a área do quadrado ABCD.</p><p>AABCD = (b + c)2 = b2 + 2bc  + c2</p><p>O segundo passo consiste em determinar a área do quadrado EFGH.</p><p>AEFGH = a2</p><p>Podemos perceber que existem quatro triângulos congruentes:</p><p>O terceiro passo é calcular a área desses triângulos:</p><p>ATriângulo = b·c</p><p>2</p><p>O quarto passo e último requer o cálculo da área do quadrado EFGH utilizando a área do quadrado ABCD. Veja que, se considerarmos a área do quadrado ABCD e retirarmos a área dos triângulos, que são as mesmas, sobra somente o quadrado EFGH, então:</p><p>AEFGH = AABCD – 4 · ATriângulo</p><p>Substituindo os valores encontrados no primeiro, segundo e terceiro passo, vamos obter:</p><p>a2 = b2 + 2bc + c2 – 4 · bc</p><p>2</p><p>a2 = b2 + 2bc + c2 – 2bc</p><p>a2 =  b2  + c2</p><p>Triângulo pitagórico</p><p>Um triângulo retângulo qualquer é chamado de triângulo pitagórico caso a medida de seus lados satisfaça o teorema de Pitágoras.</p><p>Exemplos:</p><p>O triângulo acima é pitagórico, pois:</p><p>52 = 32 + 42</p><p>Já o triângulo a seguir não é pitagórico. Veja</p><p>262 ≠ 242 +72</p><p>EXERCÍCIOS SOBRE TEOREMA DE PITÁGORAS</p><p>QUESTÃO 1 Um terreno retangular será dividido ao meio, pela sua diagonal, formando dois triângulos retângulos. A metade desse terreno será cercada com 4 fios de arame farpado. Sabendo que as dimensões desse terreno são de 20 metros de largura e 21 metros de comprimento, qual será a metragem mínima gasta de arame?</p><p>A) 300 metros</p><p>B) 280 metros</p><p>C) 140 metros</p><p>D) 70 metros</p><p>E) 29 metros</p><p>QUESTÃO 2 A área do triângulo retângulo que possui base medindo 5 cm e hipotenusa medindo 13 cm é igual a:</p><p>A) 30 cm²</p><p>B) 60 cm²</p><p>C) 24 cm²</p><p>D) 16 cm²</p><p>E) 12 cm²</p><p>QUESTÃO 3 Uma represa no formato retangular possui dimensões de 30 metros por 40 metros. Qual será a distância percorrida por uma pessoa que atravessa essa represa pela sua diagonal?</p><p>A) 45 metros</p><p>B) 50 metros</p><p>C) 65 metros</p><p>D) 70 metros</p><p>E) 80 metros</p><p>QUESTÃO 4O famoso teorema de Pitágoras nos permite calcular o valor da hipotenusa e dos catetos formadores do triângulo retângulo. Sabendo que a hipotenusa de um determinado triângulo mede 10 cm e o cateto oposto mede 6 cm, assinale a alternativa que contém a medida do cateto adjacente:</p><p>A) 7</p><p>B) 8</p><p>C) 9</p><p>D) 10</p><p>E) 11</p><p>QUESTÃO 5 Considere que o tamanho de uma televisão, dado em polegadas, corresponde ao comprimento da sua diagonal e que, no caso de televisores de tamanho normal, a largura e a altura seguem, ordenadamente, a relação 4:3. Observe a figura abaixo e considere 1 polegada = 2,5 cm.</p><p>Com relação a uma televisão plana de 40 polegadas, é correto afirmar que sua largura e sua altura são, respectivamente:</p><p>A) 60 cm e 45 cm</p><p>B) 80 cm e 60 cm</p><p>C) 64 cm e 48 cm</p><p>D) 68 cm e 51 cm</p><p>QUESTÃO 6 Um empresário adquiriu um terreno comercial em formato triangular. As medidas perpendiculares são de 120 metros e 160 metros. Após a limpeza do terreno, o proprietário decidiu construir uma cerca de arame liso com 8 fios em volta de todo o perímetro do terreno. Cada metro do fio de arame custa R$ 1,50. Diante das informações apresentadas, calcule o perímetro total do terreno utilizando o teorema de Pitágoras, a quantidade de metros de arames a ser utilizado e o valor do custo com a aquisição dos fios de arame.</p><p>A) Perímetro total de 280 metros; 2.240 metros de fios; custo de R$ 3.360.</p><p>B) Perímetro total de 300 metros; 2.400 metros de fios; custo de R$ 3.600.</p><p>C) Perímetro total de 350 metros; 2.800 metros de fios; custo de R$ 4.200.</p><p>D) Perímetro total de 480 metros; 3.840 metros de fios; custo de R$ 5.760.</p><p>E) Perímetro total de 400 metros; 3.200 metros de fios; custo de R$ 4.800.</p><p>QUESTÃO 7 O desmatamento tem sido uma problemática crescente no Brasil. Supondo que, ao efetuar o desmatamento de uma determinada área, um madeireiro se depara com uma árvore que já se encontra quebrada; parte do tronco da árvore que se manteve fixa ao solo mede 3 m e forma com este um ângulo de 90⁰; a ponta da parte quebrada que toca o solo encontra-se a 4 m de distância da base da árvore. Qual era a altura da árvore antes de se quebrar:</p><p>A) 5 m</p><p>B) 7 m</p><p>C) 8 m</p><p>D) 9 m</p><p>QUESTÃO 8 Um carro se desloca por uma rampa inclinada. Essa rampa possui 60 metros de comprimento e altura máxima de 10 metros, conforme a imagem:</p><p>A distância x entre o ponto A e B é de aproximadamente:</p><p>A) 45 metros</p><p>B) 50 metros</p><p>C) 55 metros</p><p>D) 58 metros</p><p>E) 59 metros</p><p>QUESTÃO 9 Em seu quintal, Sara decidiu criar um jardim no formato de um triângulo retângulo. Para isso é importante que ela saiba as dimensões dos lados desse triângulo. Analisando a imagem, podemos afirmar que o valor da hipotenusa é: (Use √13 = 3,6)</p><p>A) 10 cm</p><p>B) 13,4 cm</p><p>C) 15,2 cm</p><p>D) 16 cm</p><p>E) 14,4 cm</p><p>QUESTÃO 10 Analisando os triângulos a seguir, podemos afirmar que a soma x + y é igual a:</p><p>A) 29</p><p>B) 9</p><p>C) 30</p><p>D) 38</p><p>E) 40</p><p>QUESTÃO 11 Ao encerrar o expediente de trabalho, Sunara chamou um táxi para retornar à sua casa. No caminho, o semáforo sinalizou a cor amarela, mas o motorista ainda estava muito distante. Em seguida, foi sinalizado vermelho, e o motorista parou a uma distância horizontal de 3 m de um semáforo que possui 4 m de altura. Analisando a imagem, qual é o comprimento representado por x:</p><p>A) 2 m</p><p>B) 3 m</p><p>C) 4 m</p><p>D) 5 m</p><p>E) 6 m</p><p>QUESTÃO 12 Utilize a relação pitagórica para encontrar a diagonal.</p><p>A) 5</p><p>B) 6</p><p>C) 7</p><p>D) 42</p><p>E) 49</p><p>Seno, cosseno e tangente</p><p>Seno, cosseno e tangente são razões entre dois números, e esses dois números são as medidas dos lados de um triângulo retângulo.</p><p>Seno, cosseno e tangente são os nomes dados às razões trigonométricas. Grande parte dos problemas que envolvem cálculos de distância é resolvida utilizando-se a trigonometria. E para isso, é muito importante compreender seus fundamentos, começando pelo triângulo retângulo.</p><p>As razões trigonométricas são também muito importantes, pois elas relacionam as medidas de dois lados do triângulo com um dos ângulos agudos, associando essa relação com um número real.Seno, cosseno e tangente são relações estudadas em triângulos.</p><p>Características do triângulo retângulo</p><p>O triângulo retângulo é formado por um ângulo de 90° (ângulo reto). Os demais ângulos são menores que 90º, ou seja, são agudos, e, além disso, sabemos que os maiores lados estão sempre opostos aos maiores ângulos. No triângulo retângulo, o maior lado é chamado de hipotenusa e está “à frente” do ângulo reto, os demais lados são chamados de catetos.</p><p>No triângulo acima, temos que os lados que medem c e b são os catetos, e o lado que mede a é a hipotenusa. Em todo triângulo retângulo, a relação conhecia como teorema de Pitágoras é válida.</p><p>a2 = b2 + c2</p><p>Os catetos, daqui em diante, também receberão nomes especiais. As nomenclaturas dos catetos dependerão do ângulo de referência. Considerando o ângulo</p><p>em azul na imagem acima, temos que o cateto que mede b é o cateto oposto, e o cateto que está ao lado do ângulo, ou seja, que mede c é o cateto adjacente.</p><p>Antes de definir uma fórmula para o seno de um ângulo, vamos entender a ideia de seno. Imagine uma rampa, nela podemos determinar a razão entre a altura e o percurso, certo? Essa razão chamaremos de seno do ângulo α.</p><p>Assim,</p><p>sen α =   altura</p><p>percurso</p><p>Cosseno</p><p>De maneira análoga à ideia do seno, temos o sentido do cosseno, entretanto, em uma rampa, o cosseno é a razão entre o afastamento em relação ao solo e o percurso na rampa.</p><p>Assim:</p><p>cos α = afastamento</p><p>percurso</p><p>Tangente</p><p>Também de modo semelhante às ideias de seno e cosseno, a tangente é a razão entre a altura e o afastamento de uma rampa.</p><p>Assim:</p><p>tg α = altura</p><p>afastamento</p><p>A tangente fornece-nos o índice de subida.</p><p>Relação entre seno, cosseno e tangente</p><p>De modo geral, podemos definir então seno, cosseno e tangente em um triangulo retângulo qualquer utilizando as ideias anteriores. Veja a seguir:</p><p>Tomando primeiramente o ângulo α como referencial, temos:</p><p>sen α =   Cateto oposto  =  c</p><p>Hipotenusa         a</p><p>cos α =   Cateto adjacente  =  b</p><p>Hipotenusa          a</p><p>tg α =   Cateto oposto       =     c</p><p>Cateto adjacente           b</p><p>Tomando agora o ângulo β como referencial, temos:</p><p>sen β =   Cateto oposto  =  b</p><p>Hipotenusa          a</p><p>cos β =   Cateto adjacente  =  c</p><p>Hipotenusa          a</p><p>tg β =   Cateto oposto       = b</p><p>Cateto adjacente      c</p><p>EXERCÍCIOS SOBRE SENO, COSSENO E TANGENTE</p><p>QUESTÃO 1 Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo um ângulo de 30° (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1.000 metros, a altura atingida pelo avião, em metros, é:</p><p>QUESTÃO 2 Uma escada que mede 6m está apoiada em uma parede. Sabendo-se que ela forma com o solo um ângulo α e que</p><p>cos α = √5</p><p>3</p><p>a distância de seu ponto de apoio no solo até a parede, em metros, é:</p><p>QUESTÃO 3 Ao aproximar-se de uma ilha, o capitão de um navio avistou uma montanha e decidiu medir a sua altura. Ele mediu um ângulo de 30° na direção do seu cume. Depois de navegar mais 2 km em direção à montanha, repetiu o procedimento, medindo um novo ângulo de 45°. Então, usando √3 = 1,73, qual o valor que mais se aproxima da altura dessa montanha, em quilômetros?</p><p>QUESTÃO 4 Determine os ângulos agudos de um triângulo retângulo de catetos que medem √3 cm e 1 cm.</p><p>QUESTÃO 5 Quando o Sol se encontra a 45º acima do horizonte, uma árvore projeta sua sombra no chão com o comprimento de 15 m. Determine a altura dessa árvore:</p><p>QUESTÃO 6 Determine os ângulos a e b, sabendo que a soma deles resulta em 90°.</p><p>Figura do triângulo citado na questão 6</p><p>RESPOSTAS TEOREMA PITÁGORAS</p><p>Questão 1 Alternativa B</p><p>Para encontrar a hipotenusa, que é diagonal d desse retângulo, aplicamos o teorema de Pitágoras.</p><p>d² = 20² + 21²</p><p>d² = 400 + 441</p><p>d² = 841</p><p>d = √841</p><p>d = 29</p><p>Sabendo que as dimensões do triângulo são 20, 21 e 29, vamos calcular seu perímetro.</p><p>P = 20 + 21 + 29 = 70 metros</p><p>Como haverá 4 fios de arame farpado, multiplicando o perímetro por 4, encontraremos a metragem de arame necessária.</p><p>70 × 4 = 280 metros</p><p>Questão 2 Alternativa A</p><p>Como o triângulo é retângulo, seja x a sua altura, que coincide com o cateto que não conhecemos, aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:</p><p>x² + 5² = 13²</p><p>x² + 25 = 169</p><p>x² = 169 – 25</p><p>x² = 144</p><p>x = √144</p><p>x = 12</p><p>Para calcular a área do triângulo, temos que:</p><p>Questão 3Alternativa B Desenhando a situação, temos que:</p><p>Pelo teorema de Pitágoras, temos que:</p><p>d² = 30² + 40²</p><p>d² = 900 + 1600</p><p>d² = 2500</p><p>d = √2500</p><p>d = 50 metros</p><p>Questão 4 Alternativa B Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:</p><p>10² = 6² + x²</p><p>100 = 36 + x²</p><p>100 – 36 = x²</p><p>64 = x²</p><p>x = √64</p><p>x = 8</p><p>Questão 5Alternativa B Sabendo que a TV tem dimensões proporcionais a 3 e 4, seja 3k e 4k o comprimento e a altura respectivamente, temos que:</p><p>40² = (3k)² + (4k)²</p><p>1600 = 9k² + 16k²</p><p>1600 = 25k²</p><p>1600/25 = k²</p><p>64 = k²</p><p>k = √64</p><p>k = 8</p><p>Sabendo que k = 8, então as dimensões da TV em polegadas são:</p><p>4k → 4 × 8 = 32</p><p>3k → 4 × 3 = 24</p><p>Para transformar em centímetros, basta multiplicar por 2,5, já que uma polegada equivale a 2,5 cm.</p><p>32 × 2,5 = 80 cm</p><p>24 × 2,5 = 60 cm</p><p>Questão 6Alternativa D Primeiro encontraremos a hipotenusa x.</p><p>x² = 120 ² + 160²</p><p>x² = 14.400 + 25.600</p><p>x² = 40.000</p><p>x = √40.000</p><p>x = 200</p><p>Agora calculando o perímetro, temos que:</p><p>200 + 120 + 160 = 480 metros</p><p>Como serão dadas 8 voltas, então:</p><p>480 × 8 = 3840</p><p>Sabendo que o metro custa R$1,50, então:</p><p>1,50 × 3.840 = 5760,00</p><p>Questão 7Alternativa C Para encontrar o valor da parte da árvore que quebrou, basta aplicar o teorema de Pitágoras.</p><p>x² = 3² + 4²</p><p>x² = 9 + 16</p><p>x² = 25</p><p>x = √25</p><p>x = 5</p><p>Como ainda há 3 metros que ficaram fixos no solo, a altura da árvore é de 5 + 3 = 8 metros.</p><p>Questão 8Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:</p><p>60² = 10² + x²</p><p>3600 = 100 + x²</p><p>3600 – 100 = x²</p><p>x² = 3500</p><p>x = √3500</p><p>x = 59,16 metros</p><p>Questão 9Alternativa E</p><p>Questão 10Alternativa D</p><p>Encontrando o valor de x, temos que:</p><p>41² = x² + 40²</p><p>1681 = x² + 1600</p><p>x² = 1681 – 1600</p><p>x² = 81</p><p>x = √81</p><p>x = 9</p><p>Encontrando o valor de y:</p><p>y² = 21² + 20²</p><p>y² = 441 + 400</p><p>y² = 841</p><p>y = √841</p><p>y = 29</p><p>x + y = 9 + 29 = 38</p><p>Questão 11Sabemos que:</p><p>x²  = 3² + 4²</p><p>x² = 9 + 16</p><p>x² = 25</p><p>x = √25</p><p>x = 5</p><p>Questão 12Alternativa C Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:</p><p>RESPOSTAS SENO COSSENO E TANGENTE</p><p>Questão 1 Interpretando a situação descrita no problema, temos a seguinte imagem que ilustra a situação em que a altura atingida pelo avião é dada por x:</p><p>Representação da situação-problema da questão 1</p><p>Utilizando a fórmula para o cálculo do seno, temos:</p><p>sen 30° =    x</p><p>1000</p><p>1 =    x</p><p>2    1000</p><p>2x = 1000</p><p>x = 1000</p><p>2</p><p>x = 500 m</p><p>Portanto, o avião atingiu 500 m de altura.</p><p>Questão 2 Podemos ilustrar a situação descrita pelo enunciado do problema com a seguinte figura:</p><p>Representação da situação descrita na questão 2</p><p>Utilizando a fórmula para o cálculo do cosseno, temos:</p><p>cos ɑ = √5</p><p>3</p><p>cos ɑ = x</p><p>6</p><p>√5 = x</p><p>3    6</p><p>3x = 6.√5</p><p>x = 6.√5</p><p>3</p><p>x = 2√5</p><p>A distância do ponto de apoio até a parede é de aproximadamente 2√5 metros.</p><p>Questão 3 Primeiramente, vamos visualizar a situação hipotética através do desenho abaixo:</p><p>Representação da situação-problema da questão 3</p><p>Para resolver esse exercício, é preciso recordar que o cálculo da tangente é dado pelo quociente do cateto oposto pelo cateto adjacente e que, de acordo com a tabela trigonométrica dos ângulos notáveis, a tangente de 45° é 1 e a tangente de 30 é dada por √3. Sendo assim, temos:</p><p>3</p><p>tg 45° = x → x = tg 45°.y</p><p>y</p><p>tg 30° =  x → x = tg 30°.(2+ y)</p><p>2 + y</p><p>Encontramos dois valores distintos para a variável x, igualando-os, temos:</p><p>tg 45° . y = tg 30° . (2 + y)</p><p>1. y = √3 . (2 + y)</p><p>3</p><p>y = 1,73 . (2 + y)</p><p>3</p><p>3y = 1,73y + 3,46</p><p>3 y – 1,73y = 3,46</p><p>1,27y = 3,46</p><p>y = 3,46</p><p>1,27</p><p>y = 2,7 km</p><p>Mas nós procuramos pelo valor correspondente a x, podemos então substituir o valor encontrado de y em alguma das equações destacadas em vermelho:</p><p>x = tg 45°. y</p><p>x = 1 . 2,7</p><p>x = 2,7 km</p><p>Portanto, a altura da montanha é de, aproximadamente, 2,7 quilômetros.</p><p>Questão 4 Sejam os ângulos procurados a e b, temos então:</p><p>tg a = √3</p><p>1</p><p>tg a = √3</p><p>tg a = 60°</p><p>tg b = 1</p><p>√3</p><p>tg b = 1 . √3</p><p>√3  √3</p><p>tg b = √3</p><p>3</p><p>b = 30°</p><p>Os ângulos agudos procurados são 30° e 60°.</p><p>Questão 5 Para entender melhor a questão, é adequado tentar visualizar a situação do exercício. No desenho abaixo, o segmento de reta amarelo representa um raio solar que é o responsável por originar a sombra da árvore.</p><p>Esboço da situação problema da questão 5</p><p>Há um ângulo de 45° com o solo, e o comprimento da sombra é a base do triângulo. Pela tabela trigonométrica dos ângulos notáveis, verificamos que a tangente de 45° é 1. Utilizando a fórmula da tangente, temos:</p><p>tg 45° = h</p><p>15</p><p>h = 15 . tg 45°</p><p>h = 15 . 1</p><p>h = 15 m</p><p>Portanto, a altura dessa árvore é de 15 metros.</p><p>Questão 6 Se a + b = 90° e que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, podemos afirmar que o ângulo formado pelo vértice M é um ângulo reto (90°) e que a hipotenusa desse triângulo é o lado AB. Vamos então utilizar as relações fundamentais do triângulo retângulo.</p><p>tg a = cateto oposto = 10 = 2</p><p>cateto adjacente   5</p><p>tg b = cateto oposto = 5 = 0,5</p><p>cateto adjacente 10</p><p>Utilizando a tabela trigonométrica, verificamos facilmente que a = 63° e b = 27°.</p><p>image2.jpeg</p><p>image3.jpeg</p><p>image4.gif</p><p>image5.jpeg</p><p>image6.jpeg</p><p>image7.png</p><p>image8.jpeg</p><p>image9.jpeg</p><p>image10.jpeg</p><p>image11.jpeg</p><p>image12.jpeg</p><p>image13.png</p><p>image14.png</p><p>image15.png</p><p>image16.png</p><p>image17.png</p><p>image18.PNG</p><p>image19.jpeg</p><p>image20.jpeg</p><p>image21.jpeg</p><p>image22.png</p><p>image23.jpeg</p><p>image24.png</p><p>image25.png</p><p>image26.jpeg</p><p>image27.jpeg</p><p>image28.jpeg</p><p>image29.jpeg</p><p>image1.jpeg</p><p>image30.png</p>