6 Lista de Exercícios - Espaços Vetorais - Dependência Linear, Base e Dimensão

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<p>MINIST</p><p>Av. Primeiro de Junho, n 1043 – Centro – São João Evangelista – MG – CEP 39705-000</p><p>Telefax: (33) 3412 2900/2901 – e-mail: sje@ifmg.edu.br – home page: www.ifmg.edu.br/sje</p><p>MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO</p><p>SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA</p><p>INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA</p><p>DE MINAS GERAIS</p><p>Lista de Exercícios – Dependência Linear, Base e Dimensão</p><p>Licenciatura em Matemática – Professor Wálmisson Régis de Almeida</p><p>Exercícios extraídos ou adaptados do Livro Álgebra Linear – Steinbrush e Winterle</p><p>STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra Linear. 2. Ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2009.</p><p>1) Classifique os conjuntos abaixo como LD (Linearmente Dependente) ou LI (Linearmente</p><p>Independente).</p><p>a) {(1,3)}</p><p>b) {(1,3); (2,6)}</p><p>c) {(2, −1); (3,5)}</p><p>d) {(1,0); (−1,1); (3,5)}</p><p>e) {(2, −1,3)}</p><p>f) {(1, −1,1); (−1,1,1)}</p><p>g) {(2, −1,0); (−1,3,0); (3,5,0)}</p><p>h) {(1,2, −1); (2,4, −2); (1,3,0)}</p><p>i) {(1, −1, −2); (2,1,1); (−1,0,3)}</p><p>j) {2 + 𝑥 − 𝑥2; −4 − 𝑥 + 4𝑥2; 𝑥 + 2𝑥2}</p><p>k) {1 − 𝑥 + 2𝑥2; 𝑥 − 𝑥2, 𝑥2 }</p><p>l) {(</p><p>−1 2 1</p><p>3 −2 4</p><p>) ; (</p><p>0 −1 2</p><p>−2 1 0</p><p>) ; (</p><p>−1 0 5</p><p>−1 0 3</p><p>)}</p><p>2) Determine o valor de 𝑘 para que seja LI o conjunto {(−1,0,2); (1,1,1); (𝑘, −2,0)}.</p><p>3) Determine o valor de 𝑘 para que {(</p><p>1 0</p><p>1 0</p><p>) ; (</p><p>1 1</p><p>0 0</p><p>) ; (</p><p>2 −1</p><p>𝑘 0</p><p>)} seja LD.</p><p>4) Mostre que são LD os vetores 𝑣1, 𝑣2 e 𝑣3, com 𝑣1, 𝑣2 vetores arbitrários de um espaço vetorial 𝕍 e</p><p>𝑣3 = 2𝑣1 − 𝑣2.</p><p>5) Mostre que se 𝑢, 𝑣 e 𝑤 são LI, então 𝑢 + 𝑣, 𝑢 + 𝑤 e 𝑣 + 𝑤 são também LI.</p><p>6) Sendo 𝑣1 = (1,2) ∈ ℝ2, determine 𝑣2 ∈ ℝ2 tal que {𝑣1; 𝑣2} seja uma base de ℝ2.</p><p>7) Verifique quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do ℝ2:</p><p>a) {(1,2); (−1,3)}</p><p>b) {(3, −6); (−4,8)}</p><p>c) {(0,0); (2,3)}</p><p>d) {(3, −1); (2,3)}</p><p>8) Para que valores de 𝑘 o conjunto 𝛽 = {(1, 𝑘); (𝑘, 4)} é uma base do ℝ2?</p><p>9) O conjunto 𝛽 = {(2, −1); (−3,2)} é uma base de ℝ2. Escreva o vetor genérico 𝑣 = (𝑥, 𝑦) do ℝ2</p><p>como combinação linear de 𝛽.</p><p>10) Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base de ℝ3?</p><p>a) {(1,1, −1); (2, −1,0); (3,2,0)}</p><p>b) {(1,0,1); (0, −1,2); (−2,1, −4)}</p><p>c) {(2,1, −1); (−1,0,1); (0,0,1)}</p><p>d) {(1,2,3); (4,1,2)}</p><p>e) {(0, −1,2); (2,1,3); (−1,0,1); (4, −1, −2)}</p><p>MINIST</p><p>Av. Primeiro de Junho, n 1043 – Centro – São João Evangelista – MG – CEP 39705-000</p><p>Telefax: (33) 3412 2900/2901 – e-mail: sje@ifmg.edu.br – home page: www.ifmg.edu.br/sje</p><p>MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO</p><p>SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA</p><p>INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA</p><p>DE MINAS GERAIS</p><p>11) Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base de ℙ2?</p><p>a) {2𝑡2 + 𝑡 − 4; 𝑡2 − 3𝑡 + 1}</p><p>b) {1; 𝑡; 𝑡2}</p><p>c) {2; 1 − 𝑥; 1 + 𝑥2}</p><p>12) Mostre que o conjunto {(</p><p>2 3</p><p>−1 0</p><p>) ; (</p><p>1 −1</p><p>0 −2</p><p>) ; (</p><p>−3 −2</p><p>1 −1</p><p>) ; (</p><p>3 −7</p><p>−2 5</p><p>)} é uma base de 𝕄2.</p><p>13) Mostre que o conjunto {(1,1,0,0); (0,0,1,1); (1,0,0,3); (0,0,0,5)} é uma base do ℝ4.</p><p>14) Mostre que os vetores 𝑣1 = (1,1,1); 𝑣2 = (1,2,3); 𝑣3 = (3,0,2) e 𝑣4 = (2, −1,1) geram o ℝ3 e</p><p>encontre uma base dentre os vetores listados.</p><p>15) Mostre que os polinômios 𝑝1 = 1 + 2𝑥 − 3𝑥2; 𝑝2 = 1 − 3𝑥 + 2𝑥2 e 𝑝3 = 2 − 𝑥 + 5𝑥2 formam uma</p><p>base do espaço dos polinômios de grau ≤ 2 e calcule as coordenadas do vetor 𝑝 = −2 − 9𝑥 − 13𝑥2 na</p><p>base 𝛽 = {𝑝1; 𝑝2; 𝑝3}.</p><p>16) Determinar uma base do subespaço de ℝ4 gerado pelos vetores 𝑣1 = (1, −1,0,0); 𝑣2 =</p><p>(−2,2,2,1); 𝑣3 = (−1,1,2,1) e 𝑣4 = (0,0,4,2).</p><p>17) Seja 𝕍 = ℝ3 e o conjunto 𝛽 = {(0,1,1); (1,1,0); (1,2,1)} ⊂ ℝ3.</p><p>a) Mostre que 𝛽 não é base de ℝ3</p><p>b) Determine uma base de ℝ3 que contenha dois elementos de 𝛽.</p><p>18) Determinar a dimensão e uma base dos espaços vetoriais a seguir:</p><p>a) {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 𝑦 = 3𝑥}</p><p>b) {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 𝑦 = 5𝑥 𝑒 𝑧 = 0}</p><p>c) {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2; 𝑥 + 𝑦 = 0}</p><p>d) {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0}</p><p>e) {(</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>) ; 𝑏 = 𝑎 + 𝑐 𝑒 𝑑 = 𝑐}</p><p>f) {(</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>) ; 𝑎 + 𝑑 = 𝑏 + 𝑐}</p><p>19) Encontre uma base para os seguintes subespaços do ℝ3:</p><p>a) Todos os vetores da forma (𝑎, 𝑏, 𝑐), onde 𝑏 = 𝑎 e 𝑐 = 2𝑎;</p><p>b) Todos os vetores da forma (𝑎, 𝑏, 𝑐), onde 𝑎 = 0;</p><p>c) Todos os vetores da forma (𝑎 − 𝑏, 𝑏 + 𝑐, 2𝑎 − 𝑏 + 𝑐).</p><p>MINIST</p><p>Av. Primeiro de Junho, n 1043 – Centro – São João Evangelista – MG – CEP 39705-000</p><p>Telefax: (33) 3412 2900/2901 – e-mail: sje@ifmg.edu.br – home page: www.ifmg.edu.br/sje</p><p>MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO</p><p>SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA</p><p>INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA</p><p>DE MINAS GERAIS</p><p>20) Seja o subespaço 𝑆 = {(</p><p>𝑎 𝑏</p><p>𝑐 𝑑</p><p>) ; 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 𝑒 𝑑 = 𝑎} de 𝕄2.</p><p>a) Qual a dimensão de S?</p><p>b) O conjunto {(</p><p>1 −1</p><p>0 1</p><p>) ; (</p><p>2 1</p><p>3 4</p><p>)} é uma base de 𝑆? Justifique.</p><p>c) O conjunto {(</p><p>1 −1</p><p>0 1</p><p>) ; (</p><p>2 1</p><p>3 2</p><p>)} é uma base de 𝑆? Justifique.</p><p>21) Encontre uma base e a dimensão do espaço-solução dos sistemas:</p><p>a) {</p><p>𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 − 𝑡 = 0</p><p>2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 0</p><p>𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 2𝑡 = 0</p><p>b) {</p><p>𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 3𝑡 = 0</p><p>2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 0</p><p>4𝑥 + 7𝑦 − 𝑧 + 5𝑡 = 0</p><p>c) {</p><p>𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0</p><p>2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 0</p><p>𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 0</p><p>d) {</p><p>𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 + 𝑡 = 0</p><p>2𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 + 2𝑡 = 0</p>