Equações Modulares

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<p>Equações Modulares</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Conforme você vai aprofundando seus conhecimentos sobre módulos, nos</p><p>deparamos com as chamadas equações modulares. Mas o que é uma equação</p><p>modular? Chamamos de equações modulares as equações em que aparecem</p><p>módulos de expressões que contêm incógnita. Para resolvermos equações</p><p>modulares devemos respeitar as condições de existência da de�nição de módulo. A</p><p>seguir apresentamos, como exemplos, algumas equações modulares.</p><p>Exemplos resolvidos:</p><p>1)Obter a solução da equação |x + 2| = 4.</p><p>Resolução:</p><p>Pelas condições do módulo devem ter   x + 2 = 4 ou x + 2 = – 4 . Resolvendo</p><p>separadamente cada uma dessas condições temos:</p><p>x + 2 = 4 → x = 4 – 2 → x = 2</p><p>x + 2 = – 4 → x = – 4 – 2 → x = – 6</p><p>Logo o conjunto solução da equação é S = {–6; 2} .</p><p>2) Qual o valor real de x que satisfaz |2x – 15| = x – 9?</p><p>Resolução:</p><p>Por se tratar de módulo devemos ter |2x – 15| ≥ 0, dessa forma a equação só é</p><p>possível se x – 9 ≥ 0, x ≥ 9.</p><p>Pelas condições de módulo,  |2x – 15| = x –9 é equivalente a 2x – 15 = x – 9 ou 2x – 15 = –</p><p>(x – 9) , assim:</p><p>2x – 15 = x – 9 temos 2x – x = – 9 + 15, logo x = 6.</p><p>2x – 15 = – (x – 9) temos 2x – 15 = – x + 9 daí 2x + x = 9 + 15, que gera 3x = 24 logo x = 8.</p><p>Veri�que que x = 3 e nem x = 8 não satisfazem a condição x ≥ 9, portanto, o conjunto</p><p>solução da equação é vazio, ou seja, S = { }.</p><p>Funções Modulares</p><p>Até o momento você estudou alguns tipos de funções, iremos aumentar nosso rol,</p><p>introduziremos a chamada função modular: função colocada dentro de um módulo,</p><p>o que gera o nome. Seu formato principal é dado por: . A função modular</p><p>tem várias aplicações no cotidiano, como, por exemplo, a aplicação em comparação</p><p>das temperaturas entre duas ou mais cidade.</p><p>y = |f(x)|</p><p>Para construirmos o grá�co de uma função modular, pode-se substituí-la por outras</p><p>duas funções que são equivalentes a ela.</p><p>Todas as funções modulares podem ser representadas por mais de uma sentença.</p><p>Serão dados, a seguir, alguns exemplos de funções modulares.</p><p>Exemplos resolvidos:</p><p>1) Construir o grá�co da função real f(x) = |x|.</p><p>Resolução:</p><p>Pela de�nição de módulo temos . Para x ≥ 0 temos a bissetriz</p><p>do primeiro quadrante e para x < 0, a bissetriz do segundo quadrante. Outra forma</p><p>de pensar no grá�co da função é notar que g(x) = x é uma reta que passa pela</p><p>origem. Construa esse grá�co e faça a projeção da parte negativa para positiva.</p><p>Figura 1 - Grá�co de f(x) = |x|</p><p>Fonte: o autor.</p><p>y = { f(x) se f(x) ≥ 0</p><p>−f(x) se f(x) < 0</p><p>f(x) = { x se x ≥ 0</p><p>−x se x < 0</p><p>2) Seja a função f: R R de�nida por f(x) = |x2– 4|. Construa o grá�co dessa função.</p><p>Resolução:</p><p>Usando a de�nição de módulo temos . Então basta</p><p>construir o grá�co da função g(x) = x² – 4 e fazer a projeção da parte negativa para a</p><p>positiva.</p><p>Figura 2 - Grá�co da função f(x) = |x² – 4|</p><p>Fonte: o autor.</p><p>→</p><p>f(x) = { x2 − 4 se x2 − 4 ≥ 0</p><p>−x2 + 4 se x2 − 4 < 0</p>