Equações e Inequações Modulares

Prévia do material em texto

1www.biologiatotal.com.br
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES 
MODULARES
Nas equações e inequações modulares o foco é resolvermos equações e/ou inequações, 
mas dessa vez a incógnita aparece dentro do módulo. Normalmente resolvemos 
utilizando a definição de módulo e suas propriedades.
EQUAÇÃO MODULAR
Lembrando sempre a definição de módulo que diz que 𝑥 = � 𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0−𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 , a equação 
modular mais simples que temos é:
𝑥 = 𝑎 ⇒ � 𝑥 = 𝑎 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 𝑥 = −𝑎 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0
A partir destas condições é que as equações modulares são resolvidas.
Exemplos:
1. |4 + 𝑥| = 2
Primeiramente, usando a definição vamos estabelecer as duas condições e 
resolver cada equação.
 f 4 + 𝑥 = 2 ⇒ 𝑥 = 2 − 4 ⇒ 𝑥 = −2 ou
 f 4 + 𝑥 = −2 ⇒ 𝑥 = −2 − 4 ⇒ 𝑥 = −6
Substituindo o 𝑥 pelos resultados encontrados para fazer a verificação temos:
Para 𝑥 = − 2,
|4 − 2 | = 2 
|2| = 2
2 = 2
Para 𝑥 = − 6,
|4 − 6 | = 2 
|−2| = 2
2 = 2
2
Eq
ua
çõ
es
 E
 In
eq
ua
çõ
es
 M
od
ul
ar
es Feito a verificação, temos que a solução desta equação é:
𝑆 = {−2; −6}
2. |4𝑥 − 6| = 𝑥 − 3
Seguindo os mesmos passos do exemplo anterior temos:
 f 4𝑥 − 6 = 𝑥 − 3 ⇒ 4𝑥 − 𝑥 = 6 − 3 ⇒ 3𝑥 = 3 ⇒ 𝑥 = 1 ou
 f 4𝑥 − 6 = −(𝑥 − 3) ⇒ 4𝑥 − 6 = − 𝑥 + 3 ⇒ 4𝑥 + 𝑥 = 3 + 6 ⇒ 5𝑥 = 9 ⇒ 𝑥 = 9 
5
Precisamos que 𝑥 − 3 ≥ 0 para que o módulo faça sentido. Sendo assim, precisamos 
que 𝑥 ≥ 3. Como as duas soluções são números menores que 3, segue que o 
conjunto solução dessa equação é 𝑆 = ∅.
3. |𝑥 + 3| = |2𝑥 − 4|
Novamente, seguindo os passos anteriores temos:
 f 𝑥 + 3 = 2𝑥 − 4 ⇒ 𝑥 − 2𝑥 = −4 − 3 ⇒ −𝑥 = −7 ⇒ 𝑥 = 7 ou
 f 𝑥 + 3 = −(2𝑥 − 4) ⇒ 𝑥 + 3 = −2𝑥 + 4 ⇒ 𝑥 + 2𝑥 = 4 − 3 ⇒ 3𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 = 1
3
Pela verificação temos:
 f |7 + 3| = |2 ⋅ 7 − 4| ⇒ |10| = |14 − 4| ⇒ |10| = |10| ⇒ 10 = 10
 f
1
3
+ 3 = 2 ⋅
1
3
− 4 ⇒ 
10
3
=
2
3
− 4 ⇒ 
10
3
= −
10
3
⇒ 
10
3
= 
10
3
E, assim, a solução dessa equação é S = 1
3
, 7 .
Observação: Nesse tipo de questão normalmente abriríamos em 4 equações da 
seguinte forma:
 f 𝑥 + 3 = 2𝑥 − 4 ⇒ −𝑥 + 7 = 0
 f 𝑥 + 3 = −(2𝑥 − 4) ⇒ 3𝑥 − 1 = 0
 f −(𝑥 + 3) = 2𝑥 − 4 ⇒ 3𝑥 − 1 = 0
 f −(𝑥 + 3) = −(2𝑥 − 4) ⇒ −𝑥 + 7 = 0
Perceba que as 4 condições se reduzem à apenas duas, por isso não há necessidade 
de resolver todas, mas apenas as 2 resolvidas anteriormente.
 INEQUAÇÃO MODULAR
Para podermos resolver as inequações modulares, vamos considerar a definição de 
módulo que foi vista anteriormente e analisar os seguintes casos:
3www.biologiatotal.com.br
Eq
ua
çõ
es
 E
 In
eq
ua
çõ
es
 M
od
ul
ar
es
𝑥 > 𝑎 ↔ �
𝑥 > 𝑎 
𝑜𝑢
𝑥 < −𝑎 
 𝑥 < 𝑎 ↔ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 
 
Observando estes 2 casos podemos resolver as inequações modulares.
Exemplos:
1. |𝑥 + 4| > 1
Neste exemplo iremos utilizar a condição 1.
𝑥 + 4 > 1
𝑥 > −3 ou 
𝑥 + 4 < −1
𝑥 < −5
Assim, a solução desta inequação será:
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 < −5 𝑜𝑢 𝑥 > −3} = (−∞, −5) ∪ (−3, +∞) 
2. |𝑥 + 1| < 3
Neste exemplo iremos utilizar a condição 2.
−3 < 𝑥 + 1 < 3
−3 − 1 < 𝑥 + 1 − 1 < 3 − 1
−4 < 𝑥 < 2
Assim, a solução desta inequação será:
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| − 4 < 𝑥 < 2} = (−4, 2) 
3. |2𝑥 − 6| < 𝑥 + 1
Considerando os dois casos de módulo temos:
Caso 1: 2𝑥 − 6 ≥ 0
 f 2𝑥 − 6 ≥ 0 → 𝑥 ≥ 3
 f 2𝑥 − 6 < 𝑥 + 1 ⇒ 2𝑥 − 𝑥 < 1 + 6 ⇒ 𝑥 < 7
Considerando essas duas condições, a solução do Caso 1 é: [3, 7) .
Caso 2: 𝑥 − 6 < 0
 f 2𝑥 − 6 < 0 ⇒ 𝑥 < 3
 f −(2𝑥−6) < 𝑥+ 1 ⇒ −2𝑥+6< 𝑥+1 ⇒ − 2𝑥−𝑥< 1− 6 ⇒ −3𝑥 < −5⇒ 3𝑥> 5 ⇒ 𝑥 > 5
3
Considerando essas duas condições, a solução do Caso 2 é: 
5
3
, 3 .
http://www.biologiatotal.com.br
4
Eq
ua
çõ
es
 E
 In
eq
ua
çõ
es
 M
od
ul
ar
es A resposta da inequação do exemplo é a união entre as soluções dos casos 1 e 2: 
3,7 ∪
5
3
, 3 =
5
3
, 7 .
Observação: também podem ocorrer os casos de:
|𝑥| ≥ 𝑎 ou |𝑥| ≤ 𝑎 
Nesses casos, incluímos na resposta os casos em que |𝑥| = 𝑎 .
Representando cada um dos casos de inequação na reta real temos:
|𝑥| > 𝑎 
-a a0
|𝑥| ≥ 𝑎 
-a a0
|𝑥| < 𝑎 
-a a0
|𝑥| ≤ 𝑎 
-a a0
ANOTAÇÕES
Através dos cursos