Apostila_Estatistica_Matematica_Vol_1[2]

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<p>Apostila de Estatística</p><p>Volume 1 – Edição 2007</p><p>Curso: Matemática e Psicologia</p><p>Amostragem, Séries Estatísticas,</p><p>Distribuição de Freqüência, Média, Mediana,</p><p>Quartil, Percentil e Desvio Padrão</p><p>Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna</p><p>Prof. Ms. Wiliam Gonzaga Pereira</p><p>Estatística</p><p>Capítulo 1 - Introdução</p><p>1.1 Histórico</p><p>A estatística é um ramo da matemática aplicada.</p><p>A partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de</p><p>registros diversos como os de nascimento, óbitos, riquezas, casamentos. Esses registros</p><p>eram utilizados para principalmente cobrar impostos.</p><p>No século XVIII , Godofredo Achenwall batizou esses estudos como uma nova ciência</p><p>com o nome de Estatística. Surgiram tabelas mais complexas, representações gráficas e</p><p>cálculo de probabilidade. Formou-se a ferramenta que através da observação de partes</p><p>(amostras) chega-se a conclusões sobre um todo (população).</p><p>1.2 Método Estatístico</p><p>Método é o conjunto de procedimentos dispostos ordenadamente para se chegar a um</p><p>desejado fim.</p><p>Dos métodos científicos pode-se destacar:</p><p>Método Experimental: consiste em manter constantes todas as causas (fatores,</p><p>componentes, variáveis), menos uma, e variar essa última para descobrir seus efeitos,</p><p>caso existam.</p><p>Método Estatístico: diante da impossibilidade de manter as causas constantes,</p><p>registram-se os resultados dessas variações procurando determinar a influência (os</p><p>efeitos) de cada uma delas.</p><p>1.3 Estatística</p><p>A Estatística é parte da Matemática Aplicada que fornece métodos de coleta,</p><p>organização, descrição, análise e interpretação de dados, úteis nas tomadas de decisão.</p><p>Estatística Descritiva: coleta, organização e descrição dos dados.</p><p>Estatística Indutiva ou Inferencial: análise e interpretação dos dados. Permite obter</p><p>conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente, objetivo essencial da</p><p>Estatística.</p><p>Probabilidade: útil para analisar situações que envolvem o acaso. Ex: a decisão de parar</p><p>de imunizar pessoas com mais de vinte anos contra determinada doença.</p><p>1.4 Método Estatístico (Pesquisa)</p><p>Exemplos:</p><p>- Indústrias realizam pesquisa entre os consumidores para o lançamento de um novo</p><p>produto</p><p>- As pesquisas eleitorais fornecem elementos para que os candidatos direcionem a</p><p>campanha</p><p>- Emissoras de tevê utilizam pesquisas que mostram a preferência dos espectadores para</p><p>organizar sua programação</p><p>- A pesquisa do desempenho dos atletas ou das equipes em uma partida ou em um</p><p>campeonato interfere no planejamento dos treinamentos</p><p>A pesquisa é composta basicamente de 5 fases</p><p>1a Coleta de Dados</p><p>Após planejamento e determinação das características mensuráveis do objeto em estudo,</p><p>inicia-se a coleta de dados. Esta pode ser direta ou indireta.</p><p>A coleta direta é feita sobre registros diversos: nascimento, casamento, óbitos,</p><p>importação, registros escolares; ou ainda quando os dados são coletados diretamente</p><p>pelo pesquisador através de questionários (ex: censo).</p><p>A coleta direta pode ser: contínua; periódica (censos); ocasional</p><p>A coleta indireta é uma coleta feita sobre dados colhidos de uma coleta direta (ex:</p><p>mortalidade infantil)</p><p>2a Crítica dos Dados</p><p>Os dados coletados devem ser observados, à procura de falhas e imperfeições, a fim de</p><p>não causarem erro nos resultados.</p><p>Exemplo 1 : Perguntas tendenciosas. Foi realizada a seguinte pesquisa:</p><p>O tráfego contribui em maior ou menor grau do que a indústria para a poluição</p><p>atmosférica ?</p><p>Resposta: 45 % para o tráfego e 32 % para a indústria.</p><p>A indústria contribui em maior ou menor grau do que o tráfego para a poluição</p><p>atmosférica ?</p><p>Resposta: 24 % para o tráfego e 57 % para a indústria.</p><p>Exemplo 2: Preservação da auto-imagem. Em uma pesquisa telefônica 94 % dos</p><p>entrevistados disseram que lavam as suas mãos após usar o banheiro, mas a observação</p><p>em banheiros públicos esse percentual cai para 68 %.</p><p>Exemplo 3: Más Amostras. As pessoas devem ser escolhidas aleatoriamente para a</p><p>pesquisa, como por exemplo, numa pesquisa de opinião na rua, deve-se entrevistar</p><p>somente quem pisou em uma determinada marca pré-determinada na calçada.</p><p>Exemplo 4. Más perguntas. A pergunta deve conter o linguajar próprio do entrevistado.</p><p>Geralmente, se o entrevistado não entender a pergunta, ele responderá qualquer coisa,</p><p>pois tem vergonha de perguntar.</p><p>3a Apuração dos Dados</p><p>É o processamento dos dados obtidos</p><p>4a Exposição dos Dados</p><p>Através de tabelas ou gráficos, tornando mais fácil seu exame e aplicação de um cálculo</p><p>estatístico</p><p>5a Análise dos Resultados</p><p>Através de métodos de estatística indutiva ou inferencial obtêm-se conclusões e</p><p>previsões de um todo através do exame de apenas uma parte desse todo.</p><p>Capítulo 2 - População e Amostra</p><p>2.1 Variável</p><p>Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. A variável pode ser</p><p>qualitativa, quando seus valores são expressos por atributos (ex: sexo, cor), ou pode ser</p><p>quantitativa, quando seus valores são expressos em números.</p><p>A variável quantitativa pode ser contínua, quando assume qualquer valor entre dois</p><p>limites (ex: peso, altura, medições), ou pode ser discreta, quando só pode assumir</p><p>valores pertencentes a um conjunto enumerável (ex: número de filhos, contagens em</p><p>geral, números inteiros).</p><p>2.2 Precisão</p><p>A precisão da medida será automaticamente indicada pelo número de decimais com que</p><p>se escrevem os valores da variável. Ex: 1,80 m indica uma medição com precisão de</p><p>centésimos.</p><p>2.3 Arredondamento</p><p>De acordo com resolução do IBGE</p><p>Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0, 1, 2, 3, ou 4, fica inalterado o</p><p>último algarismo a permanecer. Ex: 53,24 passa a 53,2 ; 17,3452 passa a 17,3</p><p>Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 6, 7, 8, ou 9, aumenta-se de uma</p><p>unidade o último algarismo a permanecer. Ex: 42,87 passa a 42,9 ; 25,08 passa a 25,1;</p><p>53,99 passa a 54,0</p><p>Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, há duas soluções:</p><p>a) Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de 0, aumenta-se de uma</p><p>unidade o último algarismo a permanecer. Ex: 2,352 passa a 2,4 ; 25,6501 passa a 25,7.</p><p>b) Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só se seguirem zeros, o último algarismo a</p><p>ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar. Ex: 24,75 passa a 24,8 ;</p><p>24,65 passa a 24,6 ; 24,7500 passa a 24,8 ; 24,6500 passa a 24,6</p><p>Exercícios. Arredonde deixando número inteiro:</p><p>2,38 = 24,65 = 0,351 = 4,24 = 328,35 =</p><p>2,97 = 6,829 = 5,55 = 89,99 =</p><p>Exercícios. Arredonde deixando uma casa decimal:</p><p>2,38 = 24,65 = 0,351 = 4,24 = 328,35 =</p><p>2,97 = 6,829 = 5,55 = 89,99 =</p><p>2.4 População e Amostra</p><p>População é o conjunto de portadores de, pelo menos, uma característica comum.</p><p>Amostra é um subconjunto finito de uma população.</p><p>A amostra é escolhida através de processos adequados que garantam o acaso na escolha</p><p>2.5 Amostragem</p><p>É o processo de colher amostras. Nesse processo, cada elemento da população passa a</p><p>ter a mesma chance de ser escolhido. Dentre os processos de amostragem pode-se</p><p>destacar três: amostragem casual ou aleatória simples, amostragem proporcional</p><p>estratificada e amostragem sistemática.</p><p>a) Amostragem casual ou aleatória simples:</p><p>É um sorteio, por exemplo, para retirar uma amostra de 9 alunos de uma sala de 90</p><p>alunos, utiliza-se um sorteio com todos os números dos alunos escritos em papéis dentro</p><p>de um saco. Para amostras grandes utiliza-se a Tabela de Números Aleatórios (Página</p><p>40). Assim para o exemplo da sala de aula, utilizando dois algarismos, através da leitura</p><p>a primeira linha (escolhida através de sorteio), obtém-se: d</p><p>C omo a população vai de 1 a 90 escolhe-se os 9 primeiros números dentro dessa faixa:</p><p>b) Amostragem proporcional estratificada:</p><p>É comum termos populações que se dividam em subpopulações (estratos) e como cada</p><p>estrato pode ter um comportamento diferente do outro, a amostra deve considerar a</p><p>a) Se em cada um de 10 meses consecutivos um fundo de investimentos renderem 1% ao mês,</p><p>qual o desvio padrão dessa taxa de rendimento?</p><p>b) Se em cada um de 6 meses consecutivos o fundo render 1% ao mês 3% ao mês em cada um</p><p>dos quatro meses seguintes, qual o desvio padrão dessas taxas de rendimento?</p><p>13. Observe os dados apresentados pelo gráfico:</p><p>a) Encontre o desvio padrão correspondente ao número anual de ações registradas no período</p><p>de 1988 a 2001.</p><p>b) Considere os períodos de 1988 a 1993 e de 1996 a 2000. Calcule o desvio padrão</p><p>correspondente a cada período. Por que se observa uma queda em relação ao desvio</p><p>encontrado no item a?</p><p>10</p><p>14. O departamento de Aviação Civil registrou durante cinco dias o percentual diário de vôos de</p><p>duas companhias aéreas, A e B, que decolaram sem atraso.</p><p>Os dados estão relacionados a seguir:</p><p>Companhia A: 90% - 92% - 95% - 88% - 91%</p><p>Companhia B: 97 % - 88% - 98% - 86% - 90%</p><p>a) Qual companhia apresentou percentual médio mais alto?</p><p>b) Qual companhia apresentou desempenho mais regular?</p><p>15. Seja um conjunto de valores 4, 1, 8, 7 e n. Qual é o valor de n que minimiza a variância</p><p>desses valores? Qual é, nesses casos, o valor da variância?</p><p>16. Considere os seguintes conjuntos de valores:</p><p>A={3, 3, 3, 3, 4, 4, } e B= {2, 2, 3, 3, 4, 4, }</p><p>Compare σ2</p><p>a com σ2</p><p>b.</p><p>17. A tabela de freqüências ao lado informa o número de filhos dos 80 funcionários de uma</p><p>escola.</p><p>Números de filhos Freqüência</p><p>absoluta</p><p>0 20</p><p>1 36</p><p>2 14</p><p>3 8</p><p>4 2</p><p>a) Qual o desvio padrão correspondente ao número de filhos?</p><p>b) Suponha que cada funcionário dessa escola tenha um novo filho. Qual será o novo desvio</p><p>padrão?</p><p>18. Sejam x1, x2..., xn, os valores assumidos por uma variável x, e σ2 a variância correspondente</p><p>a tais valores. Determine a relação existente entre a nova variância (σ2) e a variância original</p><p>(σ ) quando:</p><p>a) Cada x1 (i =1, 2,..., n) é multiplicado por 2;</p><p>b) A cada xi ( i = 1, 2,..., n ) são adicionadas 3 unidades;</p><p>c) Cada xi ( i = 1, 2,..., n ) é dividido por 5;</p><p>d) Cada x é multiplicado por 4 e ao valor obtido são adicionadas 3 unidades;</p><p>e) De cada xi subtraem-se 10 unidades.</p><p>19. Os saldos (xi) em cadernetas de poupança de 1000 clientes de um banco em uma pequena</p><p>cidade são tais que:</p><p>000.309.119000.322 2 == ∑∑</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>i xex , para i є {1,2,...,1.000}.</p><p>11</p><p>12</p><p>a) Determine o saldo médio das cadernetas.</p><p>b) Qual é o desvio padrão correspondente aos saldos das cadernetas?</p><p>20. Uma pastelaria situada no centro de uma cidade funciona os sete dias da semana. Em certa</p><p>semana, a receita média diária era R$ 1200,00 e a soma dos quadrados das receitas diárias</p><p>totalizava R$ 10086300,00. Qual foi o desvio padrão da receita diária registrada nessa</p><p>semana?</p><p>21. Que número deve ser acrescentado ao conjunto de valores 2, 6,5 e 7 a fim de que a variância</p><p>aumente 3,3 unidades?</p><p>22. Sejam x1, x2,..., xn valores assumidos por uma variável x a média aritmética e o desvio</p><p>padrão. Suponha que de cada x1 ( i = 1, 2,..., n ) subtraímos a média e dividimos a diferença</p><p>obtida pelo desvio padrão. Qual será a nova média e o novo desvio padrão desse conjunto?</p><p>23. Dados os números a1, a2, ...,an e considerando a média aritmética M(x) dos n números ( a1-</p><p>x )2 , (a2-x) 2, ...,(an – x)2, em que x é um número real qualquer:</p><p>a) Determine x de modo que a média M(x) seja mínima;</p><p>b) Determine o valor mínimo da média M(x), que é chamado de variância de a1, a2,...,an.</p><p>13</p><p>Pode-se classificar em: histórica, geográfica, específica</p><p>A</p><p>B</p><p>existência desses estratos e a sua proporção em relação à população.</p><p>Exemplo: supondo que uma sala de aula seja composta de 54 meninos e 36 meninas.</p><p>Determine uma amostra de 9 pessoas:</p><p>Sexo População Cálculo Proporcional</p><p>Regra de três simples</p><p>Amostra</p><p>Masculino 54 54 x 9 / 90 = 5,4 5</p><p>Feminino 36 36 x 9 / 90 = 3,6 4</p><p>Total 90 9 9</p><p>Posteriormente, utiliza-se a tabela de números aleatórios para escolher 5 meninos e 4</p><p>meninas.</p><p>Verifica-se que foi realizado um arredondamento dos números 5,4 e 3,6. Esse</p><p>arredondamento é efetuado utilizando as regras de arredondamento.</p><p>Exercício: Em uma escola existem 250 alunos, distribuídos em séries conforme a</p><p>tabela. Obtenha uma amostra de 40 alunos e preencha a tabela.</p><p>Séries População Cálculo Proporcional Amostra</p><p>1a 35</p><p>2a 32</p><p>3a 30</p><p>4a 28</p><p>5a 35</p><p>6a 32</p><p>7a 31</p><p>8a 27</p><p>Total 250 40</p><p>c) Amostragem sistemática</p><p>É quando a amostragem é feita através de um sistema possível de ser aplicado pois a</p><p>população já se encontra ordenada.</p><p>Exemplo 1: em uma linha de produção, a cada 10 itens fabricados, retira-se 1 para</p><p>inspeção, tem-se uma amostra de 10 % da população.</p><p>Exemplo 2: em uma rua com 900 prédios, deseja-se uma amostra de 50. 900/50 =18 (50</p><p>grupos de 18 prédios cada). Faz-se um sorteio entre 1 e 18, por exemplo 4, então</p><p>pesquisaríamos o 4o prédio da rua, o 22o , o 40o , 58o , assim por diante.</p><p>Exercícios de População e Amostra</p><p>1) Uma universidade apresenta o seguinte quadro relativo aos seus alunos do curso de</p><p>Matemática. Obtenha uma amostra proporcional estartificada de 100 alunos.</p><p>Série Qtde Amostra</p><p>1a 85</p><p>2a 70</p><p>3a 80</p><p>4a 75</p><p>Total 100</p><p>2) Uma cidade X apresenta o seguinte quadro relativo às suas escolas de 1o grau:</p><p>Amostra Escola Homens Mulheres Total</p><p>Homens Mulheres Total</p><p>A 80 95</p><p>B 102 120</p><p>C 110 92</p><p>D 134 228</p><p>E 150 130</p><p>F 300 290</p><p>Total 120</p><p>Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 120 estudantes</p><p>3) Utilizando a tabela de números aleatórios, obtenha uma amostra de 10 pessoas de</p><p>uma sala de aula com 85 alunos, utilize a 10a e a 11a coluna para começar o sorteio.</p><p>4) Ordene uma amostra de 15 elementos de uma população ordenada formada por 210</p><p>elementos, sabendo que o elemento de ordem 149 a ela pertence ?</p><p>Capítulo 3 - Séries Estatísticas</p><p>3.1 Séries Estatísticas</p><p>Série estatística é toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados</p><p>estatísticos em função da época, do local, ou da espécie.</p><p>Pode-se classificar em: histórica, geográfica, específica</p><p>a) Séries históricas (cronológicas, temporais) - descrevem os valores da variável, em</p><p>determinado local, em função do tempo</p><p>Exemplo: Tabela – Analfabetismo na faixa de 15 anos ou mais - Brasil - 1900/2000</p><p>População de 15 anos ou mais</p><p>Ano Total(1) Analfabeta(1) Taxa de Analfabetismo</p><p>1900 9.728 6.348 65,3</p><p>1920 17.564 11.409 65,0</p><p>1940 23.648 13.269 56,1</p><p>1950 30.188 15.272 50,6</p><p>1960 40.233 15.964 39,7</p><p>1970 53.633 18.100 33,7</p><p>1980 74.600 19.356 25,9</p><p>1991 94.891 18.682 19,7</p><p>2000 119.533 16.295 13,6</p><p>Fonte: IBGE, Censo Demográfico.</p><p>Nota: (1) Em milhares</p><p>b) Séries geográficas (espaciais, territoriais ou de localização) - descrevem os valores da</p><p>variável, em um determinado instante, em função da região</p><p>Exemplo:</p><p>População Mundial</p><p>Em milhões de pessoas - 1998</p><p>Canadá 30,5</p><p>Argentina 36,1</p><p>Japão 126,2</p><p>Rússia 147,4</p><p>Brasil 165,8</p><p>Indonésia 206,3</p><p>EUA 274</p><p>Índia 982,2</p><p>China 1255,6</p><p>Fonte: O Estado de São Paulo, 01/01/2000</p><p>População Mundial em 1998</p><p>30,5 36,1</p><p>126,2 147,4 165,8 206,3</p><p>274</p><p>982,2</p><p>1255,6</p><p>0</p><p>200</p><p>400</p><p>600</p><p>800</p><p>1000</p><p>1200</p><p>1400</p><p>Arge</p><p>nti</p><p>na</p><p>Bras</p><p>il</p><p>EUA</p><p>Chin</p><p>a</p><p>em</p><p>m</p><p>ilh</p><p>õe</p><p>s</p><p>c) Séries Específicas (categóricas) - descrevem os valores da variável, em um</p><p>determinado instante e local, segundo especificações.</p><p>Custo médio das campanhas eleitorais em 1998,</p><p>segundo estimativa dos candidatos em milhões de</p><p>reais. Fonte: TSE</p><p>Presidente 25</p><p>Governador 6</p><p>Senador 3,5</p><p>Deputado Federal 1,5</p><p>Deputado Estadual 0,5</p><p>Custo médio das campanhas eleitorais em 1998, segundo</p><p>estimativa dos candidatos em milhões de reais. Fonte: TSE</p><p>25</p><p>6</p><p>3,5</p><p>1,5 0,5</p><p>0</p><p>5</p><p>10</p><p>15</p><p>20</p><p>25</p><p>30</p><p>Presidente Governador Senador Deputado</p><p>Federal</p><p>Deputado</p><p>Estadual</p><p>M</p><p>ilh</p><p>õe</p><p>s</p><p>de</p><p>R</p><p>ea</p><p>is</p><p>d) Séries Conjugadas - Tabela de Dupla Entrada</p><p>É a união de duas séries em uma só tabela</p><p>Exemplo:</p><p>População Mundial - em milhões de pessoas</p><p>País 1998 2050</p><p>Canadá 30,5 42,3</p><p>Argentina 36,1 54,5</p><p>Japão 126,2 104,9</p><p>Rússia 147,4 121,2</p><p>Brasil 165,8 244,2</p><p>Indonésia 206,3 311,8</p><p>EUA 274 349,3</p><p>Índia 982,2 1528,8</p><p>China 1255,6 1477,7</p><p>Fonte: O Estado de São Paulo, 01/01/2000</p><p>O exemplo acima é uma série geográfica-histórica</p><p>Podem também existir séries conjugadas de três ou mais entradas, fato mais raro, pois</p><p>dificulta a interpretação dos dados.</p><p>População Mundial - em milhões de pessoas</p><p>0</p><p>200</p><p>400</p><p>600</p><p>800</p><p>1000</p><p>1200</p><p>1400</p><p>1600</p><p>1800</p><p>Arge</p><p>nti</p><p>na</p><p>Bras</p><p>il</p><p>EUA</p><p>Chin</p><p>a</p><p>M</p><p>ilh</p><p>õe</p><p>s</p><p>de</p><p>p</p><p>es</p><p>so</p><p>as</p><p>1998</p><p>2050</p><p>3.2 - Distribuição de freqüência</p><p>Será tratado em capítulo a parte devido a sua importância.</p><p>Exemplo:</p><p>Idade na morte causada por arma de fogo</p><p>Idade na Morte Freqüência</p><p>15 |- 25 22</p><p>25 |- 35 10</p><p>35 |- 45 6</p><p>45 |- 55 2</p><p>55 |- 65 4</p><p>65 |- 75 5</p><p>75 |- 85 1</p><p>3.3 Dados Absolutos e Dados Relativos</p><p>Dados Absolutos: são resultantes de uma coleta direta, sem outra manipulação senão a</p><p>contagem</p><p>Dados Relativos: são resultantes de comparações, há um tratamento matemático dos</p><p>dados para uma melhor interpretação.</p><p>3.3.1 - As percentagens</p><p>a) Considere a série:</p><p>Idade na morte causada por arma de fogo</p><p>Idade na Morte Freqüência</p><p>15 |- 25 22</p><p>25 |- 35 10</p><p>35 |- 45 6</p><p>45 |- 55 2</p><p>55 |- 65 4</p><p>65 |- 75 5</p><p>75 |- 85 1</p><p>Calculando a percentagem das pessoas em cada faixa etária, pode-se preencher uma</p><p>nova coluna</p><p>Idade na Morte Freqüência %</p><p>15 |- 25 22 44</p><p>25 |- 35 10 20</p><p>35 |- 45 6 12</p><p>45 |- 55 2 4</p><p>55 |- 65 4 8</p><p>65 |- 75 5 10</p><p>75 |- 85 1 2</p><p>Total 50 100</p><p>Pode-se agora tirar uma melhor conclusão e também construir um gráfico de setores</p><p>(pizza).</p><p>Idade da Morte causada por arma de fogo</p><p>15 |- 25</p><p>44%</p><p>25 |- 35</p><p>20%</p><p>35 |- 45</p><p>12%</p><p>45 |- 55</p><p>4%</p><p>55 |- 65</p><p>8%</p><p>65 |- 75</p><p>10%</p><p>75 |- 85</p><p>2%</p><p>3.3.2 - Os índices</p><p>Os índices são razões entre duas grandezas independentes. Ex:</p><p>Relação candidato vaga = Qtde de candidatos / Qtde de vagas</p><p>Densidade demográfica = população / área de uma superfície</p><p>Renda per capita = renda total de uma população / população</p><p>3.3.3 - Os Coeficientes</p><p>Os coeficientes são razões entre o número de ocorrências e o número total. É a</p><p>porcentagem expressa na forma unitária. Ex:</p><p>Coeficiente de evasão escolar = no de alunos evadidos / no inicial de alunos</p><p>Coeficiente de aproveitamento escolar = no de alunos aprovados/ no final de alunos</p><p>3.3.4 - As Taxas</p><p>As taxas são os coeficientes multiplicados por uma potência de 10, 100, 1000, etc para</p><p>tornar o resultado mais inteligível (claro) Ex:</p><p>Taxas de mortalidade = coeficiente de mortalidade x 1000 ( lê-se mortes a cada 1000</p><p>habitantes)</p><p>Taxa de evasão escolar = coeficiente de evasão escolar x 100</p><p>Exercícios:</p><p>Exercício 1 - Considere a tabela abaixo:</p><p>Ano Qtde de Analfabetos no Brasil acima</p><p>de 15 anos em milhares de hab.</p><p>% de aumento</p><p>1960 40233 ____</p><p>1970 53633</p><p>1980 74600</p><p>1991 94891</p><p>2000 119533</p><p>Complete a tabela com uma coluna de percentagem de aumento de um período para o</p><p>outro. Não utilize casas decimais, apenas números inteiros.</p><p>Exercício 2 - Considerando que o Brasil, em 2000, apresentou:</p><p>População: 164 milhões de habitantes</p><p>Superfície: 8 511 996 km2</p><p>Nascimentos: 6,2 milhões</p><p>Óbitos: 3,8 milhões</p><p>Calcule:</p><p>a) o índice de densidade demográfica</p><p>b) a taxa de natalidade</p><p>c)</p><p>a taxa de mortalidade</p><p>Exercício 3 - Em certa eleição municipal foram obtidos os seguintes resultados</p><p>Candidato % do total de votos Número de votos</p><p>A 26</p><p>B 24</p><p>C 22</p><p>Brancos e nulos 196</p><p>Determine o número de votos obtido pelo candidato vencedor.</p><p>Exercício 4 : A tabela abaixo apresenta a variação percentual das vendas industriais de</p><p>aparelhos domésticos, comparando o período de julho e agosto de 2003 com o período</p><p>de julho e agosto de 2004.</p><p>Vendas industriais de aparelhos domésticos</p><p>Variação percentual jul/ago 2003 e jul/ago 2004</p><p>Refrigeradores 15,06</p><p>Freezers verticais 4,97</p><p>Freezers horizontais 42,61</p><p>Lavadoras automáticas - 18,18</p><p>Fogões - 0,17</p><p>Condicionadores de ar 83,45</p><p>Supondo que no período de jul/ago de 2003 tenham sido vendidas 200.000 lavadoras</p><p>automáticas, determine o número de unidades vendidas no mesmo período de 2004.</p><p>Capítulo 4 - Distribuição de Freqüência</p><p>4.1 Tabela Primitiva e Rol</p><p>Tabela primitiva - elementos da variável ainda não foram numericamente organizados</p><p>Ex:</p><p>Total de pontos (acertos) obtidos por 40 alunos em um teste de 175 questões</p><p>166 160 161 150 162 160 165 167 164 160</p><p>162 161 168 163 156 173 160 155 164 168</p><p>155 152 163 160 155 155 169 151 170 164</p><p>154 161 156 172 153 157 156 158 158 161</p><p>Rol - é a tabela primitiva ordenada (crescente ou decrescente).</p><p>Ex:</p><p>150 154 155 157 160 161 162 164 166 169</p><p>151 155 156 158 160 161 162 164 167 170</p><p>152 155 156 158 160 161 163 164 168 172</p><p>153 155 156 160 160 161 163 165 168 173</p><p>4.2 Distribuição de freqüência</p><p>Com isso pode-se construir uma tabela denominada Distribuição de Freqüência, sendo a</p><p>freqüência o numero de elementos relacionados a um determinado valor da variável.</p><p>Ex:</p><p>Pontos Freqüência Pontos Freqüência Pontos Freqüência</p><p>150 1 158 2 167 1</p><p>151 1 160 5 168 2</p><p>152 1 161 4 169 1</p><p>153 1 162 2 170 1</p><p>154 1 163 2 172 1</p><p>155 4 164 3 173 1</p><p>156 3 165 1</p><p>157 1 166 1 total 40</p><p>Para uma melhor visualização e economia de espaço, agrupam-se os valores em</p><p>intervalos de classe.</p><p>Ex:</p><p>Total de pontos (acertos) obtidos em um</p><p>teste de 175 questões por 40 alunos</p><p>Total de pontos Freqüência</p><p>150 |- 154 4</p><p>154 |- 158 9</p><p>158 |- 162 11</p><p>162 |- 166 8</p><p>166 |- 170 5</p><p>170 |- 174 3</p><p>Total 40</p><p>Para a confecção dessa tabela pode-se pular o passo anterior, ou seja, do rol já partir</p><p>para a tabela de distribuição de freqüências com intervalos de classe.</p><p>4.3 Elementos de uma distribuição de freqüência</p><p>a) Classes de freqüência: são os intervalos de variação da variável, representados por</p><p>i,</p><p>sendo i = 1,2,3,4,...,k, onde k é o número total de classes.</p><p>Em nosso exemplo k = 6</p><p>b) Limites da classe: são os extremos de cada classe.</p><p>Limite superior Li Limite inferior li</p><p>O símbolo li |- Li significa inclusão de li e exclusão de Li</p><p>l2 = 154 e L2 = 158</p><p>c) Amplitude de um intervalo de classe (h) é a medida do intervalo que define a</p><p>classe</p><p>h = Li - li h2 = 154-158 = 4</p><p>d) Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o limite superior da</p><p>ultima classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira (limite inferior</p><p>mínimo).</p><p>AT = L(max) - l (min)</p><p>AT = 174 - 150 = 24</p><p>Deve-se notar que AT/h = k 24/4 = 6</p><p>e) Amplitude amostral (AA) : é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo</p><p>da amostra</p><p>AA = x(máx) - x(mín) AA = 173-150 = 23</p><p>f) Ponto médio de uma classe (xi) : é o ponto que divide o intervalo de classe em duas</p><p>partes iguais</p><p>xi = (li+Li)/2 x2 = (154+158)/2 = 156</p><p>f) Freqüência simples ou absoluta: é o número de observações correspondentes a essa</p><p>classe ou a esse valor</p><p>f1 = 4 f2 = 9 f3 = 11 f4 = 8 f5 = 5 f6 = 3</p><p>nf</p><p>k</p><p>1i</p><p>i =∑</p><p>=</p><p>40f</p><p>6</p><p>1i</p><p>i =∑</p><p>=</p><p>4.4 Número de Classes, Intervalos de Classe</p><p>Determinação do número de classes: utiliza-se a regra de Sturges (obs: não é</p><p>obrigatório, é apenas uma orientação)</p><p>nlog3,31k ⋅+= onde, k é o número de classes e n é o numero total de</p><p>dados. Esta fórmula nos permite obter a seguinte tabela</p><p>n k</p><p>3 |-| 5 3</p><p>6 |-| 11 4</p><p>12 |-| 22 5</p><p>23 |-| 46 6</p><p>47 |-| 90 7</p><p>91 |-| 181 8</p><p>182 |-| 362 9</p><p>Para determinação do intervalo de classe h aplica-se</p><p>k</p><p>AAh = Quando o resultado não é exato, deve-se arredondá-lo para mais.</p><p>No caso 48,3</p><p>6</p><p>150173h ==</p><p>−</p><p>= , ou seja, 6 classes de intervalo 4.</p><p>Exercício: .As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:</p><p>1 2 3 4 5 6 6 7 7 8</p><p>2 3 3 4 5 6 6 7 8 8</p><p>2 3 4 4 5 6 6 7 8 9</p><p>2 3 4 5 5 6 6 7 8 9</p><p>2 3 4 5 5 6 7 7 8 9</p><p>Complete a distribuição de freqüência abaixo</p><p>i Notas xi fi</p><p>0 |- 2</p><p>2 |- 4</p><p>4 |- 6</p><p>6 |- 8</p><p>8 |- 10</p><p>Total 50</p><p>4.5 Tipos de freqüências</p><p>a) Freqüência Simples ou Absoluta (fi) : é o valor que representa o número de dados de</p><p>uma classe, onde :</p><p>nf</p><p>k</p><p>1i</p><p>i =∑</p><p>=</p><p>b) Freqüência Relativa (fri): é a porcentagem entre a freqüência simples e a freqüência</p><p>total:</p><p>[ ]%100</p><p>f</p><p>ffr k</p><p>1i</p><p>i</p><p>i</p><p>i ⋅=</p><p>∑</p><p>=</p><p>No exemplo: fr3 = 11/40 = 0,275 x 100 = 27,5 %</p><p>É obvio que:</p><p>%100fr</p><p>k</p><p>1i</p><p>i =∑</p><p>=</p><p>O propósito das freqüências relativas é o de permitir a análise e facilitar comparações.</p><p>c) Freqüência Acumulada (Fi): é o total das freqüências de todos os valores inferiores</p><p>ao limite superior do intervalo de uma dada classe.</p><p>k321k ffffF ++++= L ou ∑</p><p>=</p><p>=</p><p>k</p><p>1i</p><p>ik fF</p><p>No exemplo F3 = f1 + f2 + f3 = 4+9+11=24, o que significa que existem 24 alunos com</p><p>estatura inferior a 162 cm (limite superior do intervalo da terceira classe)</p><p>d) Freqüência Acumulada relativa (Fri): é a porcentagem entre a freqüência relativa</p><p>acumulada da classe e a freqüência total da distribuição.</p><p>[ ]%100</p><p>f</p><p>FFr k</p><p>1i</p><p>i</p><p>i</p><p>i ⋅=</p><p>∑</p><p>=</p><p>No exemplo temos Fr3 = 24/40 = 0,6 = 60 %, o que significa que 60 % dos alunos</p><p>acertaram menos de 162 questões</p><p>Pode-se então montar a seguinte tabela:</p><p>i Total de Pontos xi fi fri (%) Fi Fri (%)</p><p>1 150 |- 154 152 4 10,00 4 10,00</p><p>2 154 |- 158 156 9 22,50 13 32,50</p><p>3 158 |- 162 160 11 27,50 24 60,00</p><p>4 162 |- 166 164 8 20,00 32 80,00</p><p>5 166 |- 170 168 5 12,50 37 92,50</p><p>6 170 |- 174 172 3 7,50 40 100,00</p><p>Total 40 1,000</p><p>Que nos ajuda a responder:</p><p>1) Quantos alunos acertaram entre 154, inclusive, e 158 questões ? Resp. 9 alunos</p><p>2) Qual a percentagem de alunos com total de pontos inferior a 154? Resp. 10%</p><p>3) Quantos alunos acertaram menos que 162 questões ? Resp. 24 alunos</p><p>4) Quantos alunos obtiveram um total de pontos não inferior a 158? Resp. 40-13 = 27</p><p>alunos</p><p>4.6 Distribuição de Freqüência sem Intervalo de Classe</p><p>Quando se trata de variável discreta de variação relativamente pequena, cada valor pode</p><p>ser tomado como um intervalo de classe, tomando a seguinte forma:</p><p>Os resultados de um lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:</p><p>6 5 2 6 4 3 6 2 6 5</p><p>1 6 3 3 5 1 3 6 3 4</p><p>5 4 3 1 3 5 4 4 2 6</p><p>2 2 5 2 5 1 3 6 5 1</p><p>5 6 2 4 6 1 5 2 4 3</p><p>i resultados fi fri Fi Fri</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>3 3</p><p>4 4</p><p>5 5</p><p>6 6</p><p>Total 50 1,000</p><p>Exercício: Complete a tabela abaixo e responda:</p><p>i Horas de estudo por xi fi fri Fi Fri</p><p>semana</p><p>1 0 |- 5 5</p><p>2 5 |- 10 96</p><p>3 10 |- 15 57</p><p>4 15 |- 20 25</p><p>5 20 |- 25 11</p><p>6 25 |- 30 6</p><p>Total 1,000</p><p>Qual a porcentagem de pessoas que estudam menos de 15 horas ?</p><p>Qual a porcentagem de pessoas que estudam 20 ou mais horas ?</p><p>4.7 Representação Gráfica de uma Distribuição de Freqüência</p><p>Pode-se ser representado basicamente por um histograma, por um polígono de</p><p>freqüência ou por um polígono de freqüência acumulada.</p><p>a) Histograma: O histograma é formado por um conjunto de retângulos justapostos,</p><p>cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos</p><p>médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe. Seja o exemplo:</p><p>i Total de</p><p>Pontos</p><p>xi fi Fi</p><p>1 150 |- 154 152 4 4</p><p>2 154 |- 158 156 9 13</p><p>3 158 |- 162 160 11 24</p><p>4 162 |- 166 164 8 32</p><p>5 166 |- 170 168 5 37</p><p>6 170 |- 174 172 3 40</p><p>Total 40</p><p>Histograma</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>8</p><p>10</p><p>12</p><p>Fr</p><p>eq</p><p>uê</p><p>nc</p><p>ia</p><p>s</p><p>fi</p><p>150 154 158 162 166 170 174</p><p>Total de Pontos</p><p>b) Polígono de freqüência: É um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas</p><p>sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos</p><p>intervalos de classe.</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>8</p><p>10</p><p>12</p><p>148 152 156 160 164 168 172 176</p><p>f</p><p>Total de Pontos</p><p>c) Polígono de freqüência acumulada: É traçado marcando-se as freqüências</p><p>acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos</p><p>correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.</p><p>0</p><p>5</p><p>10</p><p>15</p><p>20</p><p>25</p><p>30</p><p>35</p><p>40</p><p>45</p><p>150 154 158 162 166 170 174</p><p>F</p><p>Total de pontos</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>8</p><p>10</p><p>12</p><p>148 152 156 160 164 168 172 176</p><p>fi</p><p>Total de Pontos</p><p>Polígono de freqüência com o histograma</p><p>4.8 - A Curva de Freqüência. Curva Polida</p><p>O polígono de freqüência nos fornece uma imagem real e a curva uma imagem</p><p>tendencial. A curva polida de uma amostra limitada se assemelha mais a curva</p><p>resultante de um grande número de dados, do que o polígono de freqüência obtido da</p><p>mesma amostra limitada. Utiliza-se uma nova freqüência, denominada calculada (fc).</p><p>4</p><p>ff2f</p><p>fc )1i(i)1i(</p><p>i</p><p>+− +⋅+</p><p>=</p><p>No exemplo anterior tem-se:</p><p>i Total de Pontos xi fi Fi fc</p><p>0 146 |- 150 148 0 0 (0+2*0+4)/4 = 1</p><p>1 150 |- 154 152 4 4 (0+2*4+9)/4 = 4,25</p><p>2 154 |- 158 156 9 13 (4+2*9+11)/4 = 8,25</p><p>3 158 |- 162 160 11 24 (9+2*11+8)/4 = 9,75</p><p>4 162 |- 166 164 8 32 (11+2*8+5)/4 = 8</p><p>5 166 |- 170 168 5 37 (8+2*5+3)/4 = 5,25</p><p>6 170 |- 174 172 3 40 (5+2*3+0)/4 = 2,75</p><p>7 174 |- 178 176 0 40 (3+2*0+0)/4 = 0,75</p><p>Total 40</p><p>1</p><p>4,25</p><p>8,25</p><p>9,75</p><p>8</p><p>5,25</p><p>2,75</p><p>0,75</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>8</p><p>10</p><p>12</p><p>148 152 156 160 164 168 172 176</p><p>fc</p><p>Total de Pontos</p><p>Exercício - Construa o histograma, o polígono de freqüência, o polígono de freqüência</p><p>acumulada e a curva polida da seguinte distribuição.</p><p>i Total de Faltas de</p><p>uma sala com 60</p><p>alunos</p><p>xi fi fci Fi</p><p>0</p><p>1 0 |- 2 5</p><p>2 2 |- 4 15</p><p>3 4 |- 6 25</p><p>4 6 |- 8 10</p><p>5 8 |- 10 5</p><p>6</p><p>Capítulo 5 - Medidas de Posição</p><p>5.1 Introdução</p><p>Até agora os estudos de distribuição de freqüência efetuados nos permite localizar a</p><p>maior e menor concentração dos valores de uma dada distribuição. No entanto,</p><p>para destacar as tendências características necessita-se de elementos típicos da</p><p>distribuição que são as:</p><p>Medidas de posição</p><p>Medidas de variabilidade ou dispersão</p><p>Medidas de assimetria</p><p>Medidas de curtose</p><p>As medidas de posição nos orienta quanto a posição da distribuição em relação ao</p><p>eixo horizontal. As medidas mais importantes são as medidas de tendência central (os</p><p>dados tendem a se agrupar em torno de valores centrais). Dentre elas destacam-se:</p><p>A média aritmética</p><p>A mediana</p><p>A moda</p><p>Outras medidas de posição são as separatrizes que são:</p><p>A mediana</p><p>Os quartis</p><p>Os percentis</p><p>5.2 Media Aritmética ( x )</p><p>n</p><p>x</p><p>x</p><p>n</p><p>1i</p><p>i∑</p><p>==</p><p>onde xi são os valores da variável e n o número de valores.</p><p>a) Desvio em relação a média (di) xxd ii −=</p><p>b) Propriedades: 0d</p><p>n</p><p>1i</p><p>i =∑</p><p>=</p><p>A soma algébrica dos desvio em relação a média é nula</p><p>Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) de todos os valores de uma variável, a</p><p>média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante.</p><p>Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante (c) de todos os valores de uma</p><p>variável, a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.</p><p>Exemplo: Seja a nota de 10 alunos: 8, 9, 7, 6, 10, 5,5, 5, 6,5, 7,5, 8,5</p><p>A média é 3,7</p><p>10</p><p>5,85,75,655,5106798x =</p><p>+++++++++</p><p>=</p><p>Desvios:</p><p>8 - 7,3 0,7</p><p>9 - 7,3 1,7</p><p>7 - 7,3 -0,3</p><p>6 - 7,3 -1,3</p><p>10 - 7,3 2,7</p><p>5,5 - 7,3 -1,8</p><p>5 - 7,3 -2,3</p><p>6,5 - 7,3 -0,8</p><p>7,5 - 7,3 0,2</p><p>8,5 - 7,3 1,2</p><p>Total 0,0</p><p>c) para dados agrupados (distribuição de freqüência sem intervalos de classe)</p><p>Seja a seguinte distribuição:</p><p>no de filhos (xi)</p><p>que se deseja ter</p><p>fi fi . xi</p><p>0 2 0</p><p>1 6 6</p><p>2 10 20</p><p>3 12 36</p><p>4 4 16</p><p>Total 34 78</p><p>∑</p><p>∑</p><p>=</p><p>=</p><p>⋅</p><p>=</p><p>n</p><p>1i</p><p>i</p><p>n</p><p>1i</p><p>ii</p><p>f</p><p>)xf(</p><p>x</p><p>tem-se então: 3,2~294,2</p><p>34</p><p>78x ===</p><p>d) para dados agrupados (distribuição de freqüência com intervalos de classe).</p><p>Adota-se o seguinte: todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe</p><p>coincidem com o seu ponto médio.</p><p>Seja a seguinte distribuição:</p><p>i Total de</p><p>pontos</p><p>xi fi fi . xi</p><p>1 150 |- 154 152 4 608</p><p>2 154 |- 158 156 9 1404</p><p>3 158 |- 162 160 11 1760</p><p>4 162 |- 166 164 8 1312</p><p>5 166 |- 170 168 5 840</p><p>6 170 |- 174 172 3 516</p><p>Total 40 6440</p><p>tem-se então: 161</p><p>40</p><p>6440x == pontos</p><p>Exercício 1 - Complete a tabela e calcule a média aritmética da distribuição.</p><p>Qtde de cursos de extensão</p><p>realizados por ano (xi)</p><p>pelos alunos do 3o Mat</p><p>fi fi . xi</p><p>1 2</p><p>2 4</p><p>3 6</p><p>4 8</p><p>5 3</p><p>6 1</p><p>Exercício 2 - Complete a tabela e calcule a média aritmética da distribuição.</p><p>i Salário Mensal dos</p><p>alunos do 3o Mat [R$]</p><p>xi fi fi . xi</p><p>1 450 |- 550 8</p><p>2 550 |- 650 10</p><p>3 650 |- 750 11</p><p>4 750 |- 850 16</p><p>5 850 |- 950 13</p><p>6 950 |- 1050 5</p><p>7 1050 |- 1150 1</p><p>Total</p><p>e) Processo breve</p><p>Há uma mudança de variável x por outra y, tal que:</p><p>h</p><p>xxy 0i</p><p>i</p><p>−</p><p>=</p><p>x0 é uma constante escolhida convenientemente entre os pontos médios da distribuição,</p><p>de preferência o de maior valor de freqüência, e h é o intervalo de classe. A média então</p><p>é calculada por:</p><p>( )</p><p>∑</p><p>∑</p><p>=</p><p>=</p><p>⋅⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>⋅</p><p>+= n</p><p>1i</p><p>i</p><p>n</p><p>1i</p><p>ii</p><p>0</p><p>f</p><p>hyf</p><p>xx</p><p>Exemplo: Escolhendo x0 = 160 e como h = 4</p><p>i Total de Pontos xi fi yi fi . yi</p><p>1 150 |- 154 152 4 -2 -8</p><p>2 154 |- 158 156 9 -1 -9</p><p>3 158 |- 162 160 11 0 0</p><p>4 162 |- 166 164 8 1 8</p><p>5 166 |- 170 168 5 2 10</p><p>6 170 |- 174 172 3 3 9</p><p>Total 40 10</p><p>Então: 161</p><p>40</p><p>410160x =</p><p>⋅</p><p>+= pontos</p><p>Exercício 3: Pelo processo breve, calcule a média aritmética da distribuição.</p><p>i Salário Mensal dos</p><p>alunos do 3o Mat [R$]</p><p>xi fi yi fi . yi</p><p>1 450 |- 550 8</p><p>2 550 |- 650 10</p><p>3 650 |- 750 11</p><p>4 750 |- 850 16</p><p>5 850 |- 950 13</p><p>6 950 |- 1050 5</p><p>7 1050 |- 1150 1</p><p>Total</p><p>Exercício 4: Pelo processo breve, calcule a média aritmética da distribuição.</p><p>i Valor da hora aula de</p><p>profissionais da</p><p>educação [R$]</p><p>xi fi yi fi . yi</p><p>1 30 |- 50 2</p><p>2 50 |- 70 8</p><p>3 70 |- 90 12</p><p>4 90 |- 110 10</p><p>5 110 |- 130 5</p><p>Total</p><p>5.3 A Moda (Mo)</p><p>Denomina-se moda o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.</p><p>Caso 1) Dados não agrupados.</p><p>Basta procurar o valor que mais se repete. Ex:</p><p>3,4,5,6,6,6,6,7,7,8,9 A série tem moda igual a 6 (valor modal 6)</p><p>Pode acontecer também uma série sem valor modal. Ex:</p><p>1,2,3,4,5,6,7,8,9 série amodal</p><p>Pode acontecer também uma série com mais de uma moda. Ex:</p><p>1,2,2,2,3,4,5,6,6,6,7,8,9 a série tem duas modas (2 e 6) - série bimodal</p><p>Caso 2) Dados agrupados.</p><p>a) sem intervalos de classe. Basta identificar o valor da variável que possui maior</p><p>freqüência. Ex: Seja a seguinte distribuição: Mo = 3</p><p>no de filhos (xi)</p><p>que se deseja ter</p><p>fi</p><p>0 2</p><p>1 6</p><p>2 10</p><p>3 12</p><p>4 4</p><p>Total 34</p><p>b) com intervalos de classe. A classe com maior freqüência é denominada classe</p><p>modal, o cálculo da moda bruta é semelhante ao do ponto médio do intervalo de</p><p>classe.</p><p>2</p><p>LxMo i</p><p>+</p><p>==</p><p>l</p><p>Ex: Seja a distribuição:</p><p>i Total de pontos xi fi</p><p>1 150 |- 154 152 4</p><p>2 154 |- 158 156 9</p><p>3 158 |- 162 160 11</p><p>4 162 |- 166 164 8</p><p>5 166 |- 170 168 5</p><p>6 170 |- 174 172 3</p><p>Total 40</p><p>Então: a classe modal é i = 3, logo Mo = 160 pontos</p><p>Exercício: Calcule a moda da seguinte distribuição:</p><p>i Salário Mensal dos</p><p>alunos do 3o Mat [R$]</p><p>fi</p><p>1 450 |- 550 8</p><p>2 550 |- 650 10</p><p>3 650 |- 750 11</p><p>4 750 |- 850 16</p><p>5 850 |- 950 13</p><p>6 950 |- 1050 5</p><p>7 1050 |- 1150 1</p><p>Total 64</p><p>5.4 Mediana (Md)</p><p>A mediana é o número que se encontra no centro de uma série de números, ou seja,</p><p>separa os valores em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.</p><p>Caso 1 ) Dados não agrupados</p><p>Dada uma série de valores:</p><p>5,13,10,2,18,15,6,16,9</p><p>Deve-se então ordená-los:</p><p>2,5,6,9,10,13,15,16,18</p><p>Determina-se então o valor central que é 10 (4 valores para cada lado) Md = 10</p><p>Se a série tiver número par de valores, a mediana é a média dos dois valores centrais:</p><p>2,5,6,9,10,15,16,18 Md = (9+10)/2 = 9,5</p><p>Caso 2 ) Dados agrupados</p><p>No caso de distribuição de freqüência deve-se primeiramente determinar a freqüência</p><p>acumulada. Determina-se então, o valor que divide a distribuição em duas partes iguais.</p><p>Aplica-se então:</p><p>2</p><p>fi∑</p><p>a) sem intervalos de classe. Dada a série:</p><p>no de filhos (xi)</p><p>que se deseja ter</p><p>fi Fi</p><p>0 2 2</p><p>1 6 8</p><p>2 10 18</p><p>3 12 30</p><p>4 4 34</p><p>Total 34</p><p>Então: 17</p><p>2</p><p>34</p><p>2</p><p>fi ==∑</p><p>A menor freqüência acumulada que supera esse valor é 18, que corresponde ao valor 2</p><p>da variável.</p><p>Md = 2</p><p>No caso de i</p><p>i F</p><p>2</p><p>f</p><p>=∑</p><p>acontecer, a mediana será dada por:</p><p>2</p><p>xxMd 1ii ++</p><p>= . Exemplo:</p><p>i no de filhos (xi)</p><p>que se deseja ter</p><p>fi Fi</p><p>1 0 2 2</p><p>2 1 6 8</p><p>3 2 10 18</p><p>4 3 12 30</p><p>5 4 6 36</p><p>Total 36</p><p>3</p><p>i F18</p><p>2</p><p>f</p><p>==∑</p><p>, então: 5,2</p><p>2</p><p>32Md =</p><p>+</p><p>=</p><p>Exercícios:</p><p>1) Calcule a mediana das seguintes distribuições:</p><p>i Qtde de anos de</p><p>estudo (xi)</p><p>fi Fi</p><p>1 13 6</p><p>2 14 14</p><p>3 15 24</p><p>4 16 16</p><p>5 17 8</p><p>Total</p><p>i Qtde de</p><p>disciplinas em</p><p>dependência</p><p>fi Fi</p><p>1 0 2</p><p>2 1 5</p><p>3 2 9</p><p>4 3 7</p><p>5 4 6</p><p>6 5 3</p><p>Total</p><p>b) com intervalos de classe: segue-se os seguintes passos:</p><p>1o - Determina-se as freqüências acumuladas</p><p>2o - Calcula-se</p><p>2</p><p>fi∑</p><p>3o - Marca-se a classe correspondente a freqüência acumulada imediatamente superior a</p><p>2</p><p>fi∑</p><p>(classe mediana) e emprega-se a fórmula:</p><p>( )</p><p>i</p><p>i</p><p>i f</p><p>hantF</p><p>2</p><p>f</p><p>Md</p><p>⋅</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>⎤</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎡</p><p>−</p><p>+=</p><p>∑</p><p>l</p><p>onde: é o limite inferior da classe mediana l</p><p>F(ant) é a freqüência acumulada da classe anterior a classe mediana</p><p>h é a amplitude do intervalo da classe mediana</p><p>fi é a freqüência do intervalo da classe mediana</p><p>Exemplo:</p><p>i Total de pontos fi Fi</p><p>1 150 |- 154 4 4</p><p>2 154 |- 158 9 13</p><p>3 158 |- 162 11 24</p><p>4 162 |- 166 8 32</p><p>5 166 |- 170 5 37</p><p>6 170 |- 174 3 40</p><p>Total 40</p><p>20</p><p>2</p><p>40</p><p>2</p><p>fi ==∑</p><p>, logo classe mediana é i = 3 = 158 F(ant) = 13 h = 4</p><p>f</p><p>l</p><p>3 = 11</p><p>[ ] 5,1605,2158</p><p>11</p><p>41320158Md =+=</p><p>⋅−</p><p>+=</p><p>No caso de i</p><p>i F</p><p>2</p><p>f</p><p>=∑</p><p>acontecer, a mediana será o limite superior da classe</p><p>correspondente.</p><p>Exercício: Calcule a mediana das seguintes distribuições:</p><p>i Salário Mensal dos</p><p>alunos do 3o Mat [R$]</p><p>fi Fi</p><p>1 450 |- 550 8</p><p>2 550 |- 650 10</p><p>3 650 |- 750 11</p><p>4 750 |- 850 16</p><p>5 850 |- 950 13</p><p>6 950 |- 1050 5</p><p>7 1050 |- 1150 1</p><p>Total 64</p><p>i Valor da hora aula de</p><p>profissionais da educação [R$]</p><p>fi Fi</p><p>1 30 |- 50 2</p><p>2 50 |- 70 8</p><p>3 70 |- 90 12</p><p>4 90 |- 110 10</p><p>5 110 |- 130 5</p><p>Total</p><p>5.5 Os Quartis</p><p>Denomina-se quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais.</p><p>Portanto, há três quartis. São mais aplicados em distribuição de freqüência com</p><p>intervalos de classe.</p><p>Primeiro Quartil (Q1) - 25 % dos dados são menores que ele e os 75 % restantes são</p><p>maiores.</p><p>Segundo Quartil (Q2) - coincide com a mediana, 50 % para cada lado.</p><p>Terceiro Quartil (Q3) - 75 % dos dados são menores que ele e os 25 % restantes são</p><p>maiores.</p><p>Para o caso de dados agrupados, basta aplicar:</p><p>4</p><p>fk i∑</p><p>, sendo k o número de ordem do</p><p>quartil. Então:</p><p>( )</p><p>i</p><p>i</p><p>i1 f</p><p>hantF</p><p>4</p><p>f</p><p>Q</p><p>⋅</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>⎤</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎡</p><p>−</p><p>+=</p><p>∑</p><p>l</p><p>( )</p><p>i</p><p>i</p><p>i2 f</p><p>hantF</p><p>4</p><p>f2</p><p>Q</p><p>⋅⎥</p><p>⎦</p><p>⎤</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎡</p><p>−</p><p>⋅</p><p>+=</p><p>∑</p><p>l</p><p>( )</p><p>i</p><p>i</p><p>i3 f</p><p>hantF</p><p>4</p><p>f3</p><p>Q</p><p>⋅⎥</p><p>⎦</p><p>⎤</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎡</p><p>−</p><p>⋅</p><p>+=</p><p>∑</p><p>l</p><p>Exemplo:</p><p>i Total de Pontos fi Fi</p><p>1 150 |- 154 4 4</p><p>2 154 |- 158 9 13</p><p>3 158 |- 162 11 24</p><p>4 162 |- 166 8 32</p><p>5 166 |- 170 5 37</p><p>6 170 |- 174 3 40</p><p>Total 40</p><p>Primeiro Quartil</p><p>10</p><p>4</p><p>40</p><p>4</p><p>fi ==∑</p><p>, logo classe do 1o Quartil é i = 2 = 154 F(ant) = 4 l</p><p>h = 4 f2 = 9</p><p>[ ] 7,15666,15666,2154</p><p>9</p><p>4410154Q1 ==+=</p><p>⋅−</p><p>+=</p><p>Segundo Quartil = Mediana</p><p>20</p><p>2</p><p>40</p><p>4</p><p>f2 i ==∑</p><p>, logo classe do 2o Quartil é i = 3 = 158 F(ant)</p><p>= 13</p><p>l</p><p>h = 4 f3 = 11</p><p>[ ] 5,1605,2158</p><p>11</p><p>41320158MdQ2 =+=</p><p>⋅−</p><p>+==</p><p>Terceiro Quartil</p><p>30</p><p>4</p><p>403</p><p>4</p><p>f3 i =</p><p>⋅</p><p>=∑</p><p>, logo classe do 3o Quartil é i = 4 = 162 F(ant)</p><p>= 24</p><p>l</p><p>h = 4 f4 = 8</p><p>[ ] 1653162</p><p>8</p><p>42430162Q3 =+=</p><p>⋅−</p><p>+=</p><p>Exercício: Calcule os quartis da seguinte distribuição:</p><p>i Salário Mensal dos alunos</p><p>do 3o Mat [R$]</p><p>fi Fi</p><p>1 450 |- 550 8</p><p>2 550 |- 650 10</p><p>3 650 |- 750 11</p><p>4 750 |- 850 16</p><p>5 850 |- 950 13</p><p>6 950 |- 1050 5</p><p>7 1050 |- 1150 1</p><p>Total 64</p><p>5.6 Os Percentis</p><p>Denomina-se percentis os noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes</p><p>iguais. Indica-se da seguinte forma:</p><p>P1,P2,P3,...P99</p><p>Note-se que: P50 = Md, P25 = Q1 e P75 = Q3</p><p>Calcula-se da mesma forma que os quartis, só que aplicando:</p><p>100</p><p>fk i∑</p><p>, sendo k o número de ordem do percentil.</p><p>( )</p><p>i</p><p>i</p><p>iK f</p><p>hantF</p><p>100</p><p>fk</p><p>P</p><p>⋅</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>⎤</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎡</p><p>−</p><p>⋅</p><p>+=</p><p>∑</p><p>l</p><p>Exemplo:</p><p>i Total de Pontos fi Fi</p><p>1 150 |- 154 4 4</p><p>2 154 |- 158 9 13</p><p>3 158 |- 162 11 24</p><p>4 162 |- 166 8 32</p><p>5 166 |- 170 5 37</p><p>6 170 |- 174 3 40</p><p>Total 40</p><p>Tem-se para o oitavo percentil:</p><p>2,3</p><p>100</p><p>408</p><p>100</p><p>f8</p><p>8k i =</p><p>⋅</p><p>==>= ∑</p><p>, logo classe do 8o Percentil é i = 1</p><p>l = 150</p><p>F(ant) = 0</p><p>h = 4</p><p>f1 = 4</p><p>[ ] 2,1532,3150</p><p>4</p><p>402,3150P8 =+=</p><p>⋅−</p><p>+=</p><p>Exercício: Calcule o percentil de ordem 20 da seguinte distribuição:</p><p>i Salário Mensal dos alunos</p><p>do 3o Mat [R$]</p><p>fi Fi</p><p>1 450 |- 550 8</p><p>2 550 |- 650 10</p><p>3 650 |- 750 11</p><p>4 750 |- 850 16</p><p>5 850 |- 950 13</p><p>6 950 |- 1050 5</p><p>7 1050 |- 1150 1</p><p>Total 64</p><p>Capítulo 6 - Medidas de Dispersão ou de Variabilidade</p><p>6.1 Amplitude total (AT)</p><p>a) a amplitude total é a diferença entre o maior valor e o menor valor observado:</p><p>MÍNMÁX xxAT −=</p><p>Exemplo: 40, 45, 48, 52, 54, 62, e 70</p><p>AT = 70 - 40 = 30</p><p>Quanto maior a amplitude total , maior será a dispersão dos valores da variável em torno</p><p>da média.</p><p>6.2 Variância (s2) e Desvio Padrão (s)</p><p>São mais estáveis que a amplitude total, não sofrem tanto a interferência de valores</p><p>extremos.</p><p>a) para dados não agrupados</p><p>A variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios:</p><p>( ) ( )</p><p>n</p><p>xx</p><p>f</p><p>xx</p><p>s</p><p>2</p><p>i</p><p>i</p><p>2</p><p>i2 ∑</p><p>∑</p><p>∑ −</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>A variância é um número em unidade quadrada em relação a média, por isso,</p><p>definiu-se o desvio padrão como a raiz quadrada da variância.</p><p>O desvio padrão é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios.</p><p>Para evitar o acúmulo de erro por arredondamento, simplifica-se o cálculo do</p><p>desvio padrão com a seguinte:</p><p>( ) ( )</p><p>n</p><p>x</p><p>xxx</p><p>2</p><p>i2</p><p>i</p><p>2</p><p>i</p><p>∑∑∑ −=−</p><p>que resulta em:</p><p>2</p><p>i</p><p>2</p><p>i</p><p>n</p><p>x</p><p>n</p><p>x</p><p>s ⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>−= ∑∑</p><p>Obs: Quando calcula-se a variância ou o desvio padrão de uma população através de</p><p>uma amostra dessa, deve-se substituir o denominador n por n-1.</p><p>Propriedades:</p><p>1a: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a (de) todos os valores de uma</p><p>variável, o desvio padrão não se altera.</p><p>2a.: Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante</p><p>(diferente de zero), o desvio padrão fica multiplicado por essa constante.</p><p>Exemplo: Calcule o desvio padrão da seguinte série:</p><p>i xi xi</p><p>2</p><p>1 8 64</p><p>2 10 100</p><p>3 11 121</p><p>4 15 225</p><p>5 16 256</p><p>6 18 324</p><p>Total 78 1090</p><p>56,316967,181</p><p>6</p><p>78</p><p>6</p><p>1090</p><p>n</p><p>x</p><p>n</p><p>x</p><p>s</p><p>22</p><p>i</p><p>2</p><p>i =−=⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛−=⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>−= ∑∑</p><p>b) para dados agrupados sem intervalos de classe: deve-se levar em conta as</p><p>freqüências.</p><p>2</p><p>ii</p><p>2</p><p>ii</p><p>n</p><p>)xf(</p><p>n</p><p>)xf(</p><p>s ⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛ ⋅</p><p>−</p><p>⋅</p><p>= ∑∑</p><p>Exemplo:</p><p>i Qtde de filhos que se</p><p>deseja ter (xi)</p><p>fi fi . xi fi . xi</p><p>2</p><p>1 0 2 0 0</p><p>2 1 6 6 6</p><p>3 2 12 24 48</p><p>4 3 7 21 63</p><p>5 4 3 12 48</p><p>Total 30 63 165</p><p>04,141,45,5</p><p>30</p><p>63</p><p>30</p><p>165</p><p>n</p><p>)xf(</p><p>n</p><p>)xf(</p><p>s</p><p>22</p><p>ii</p><p>2</p><p>ii =−=⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛−=⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛ ⋅</p><p>−</p><p>⋅</p><p>= ∑∑</p><p>Exercício: Determine o desvio padrão.</p><p>i Qtde de cursos de extensão</p><p>realizados por ano (xi)</p><p>pelos alunos do 3o Mat</p><p>fi fi . xi fi . xi</p><p>2</p><p>1 1 2</p><p>2 2 5</p><p>3 3 8</p><p>4 4 6</p><p>5 5 3</p><p>6 6 1</p><p>Total 25</p><p>c) para dados agrupados com intervalos de classe: também leva-se em conta as</p><p>freqüências e xi é o ponto médio do intervalo de classe.</p><p>Exemplo:</p><p>i Total de Pontos</p><p>xi fi fixi fixi</p><p>2</p><p>1 150 |- 154 152 4 608 92416</p><p>2 154 |- 158 156 9 1404 219024</p><p>3 158 |- 162 160 11 1760 281600</p><p>4 162 |- 166 164 8 1312 215168</p><p>5 166 |- 170 168 5 840 141120</p><p>6 170 |- 174 172 3 516 88752</p><p>Total 40 6440 1038080</p><p>57,5312592125952</p><p>40</p><p>6440</p><p>40</p><p>1038080</p><p>n</p><p>)xf(</p><p>n</p><p>)xf(</p><p>s</p><p>22</p><p>ii</p><p>2</p><p>ii ==−=⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛−=⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛ ⋅</p><p>−</p><p>⋅</p><p>= ∑∑</p><p>Processo breve: Da mesma maneira que o cálculo da média, muda-se a variável X por</p><p>outra Y, tal que:</p><p>h</p><p>xxy 0i</p><p>i</p><p>−</p><p>= e</p><p>2</p><p>ii</p><p>2</p><p>ii</p><p>n</p><p>)yf(</p><p>n</p><p>)yf(</p><p>hs ⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛ ⋅</p><p>−</p><p>⋅</p><p>⋅= ∑∑</p><p>Exemplo:</p><p>i Total de Pontos xi fi yi fiyi fiyi</p><p>2</p><p>1 150 |- 154 152 4 -2 -8 16</p><p>2 154 |- 158 156 9 -1 -9 9</p><p>3 158 |- 162 160 11 0 0 0</p><p>4 162 |- 166 164 8 1 8 8</p><p>5 166 |- 170 168 5 2 10 20</p><p>6 170 |- 174 172 3 3 9 27</p><p>Total 40 10 80</p><p>57,5391941,149375,140625,024</p><p>40</p><p>10</p><p>40</p><p>804s</p><p>2</p><p>=⋅=⋅=−⋅=⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛−⋅=</p><p>Resolva: Calcule o desvio padrão pelo processo breve.</p><p>i Salário Mensal dos</p><p>alunos do 3o Mat [R$]</p><p>xi fi yi fiyi fiyi</p><p>2</p><p>1 450 |- 550 8</p><p>2 550 |- 650 10</p><p>3 650 |- 750 11</p><p>4 750 |- 850 16</p><p>5 850 |- 950 13</p><p>6 950 |- 1050 5</p><p>7 1050 |- 1150 1</p><p>Total 64</p><p>i Peso kg xi fi yi fiyi fiyi2</p><p>1 30 |- 50 2</p><p>2 50 |- 70 8</p><p>3 70 |- 90 12</p><p>4 90 |- 110 10</p><p>5 110 |- 130 5</p><p>Total 37</p><p>6.3- Coeficiente de Variação (CV)</p><p>É a porcentagem do desvio padrão em relação a sua média.</p><p>100</p><p>x</p><p>sCV ⋅=</p><p>Exemplo: Para o exemplo anterior, das estaturas, tem-se média de 161 cm e desvio</p><p>padrão de 5,57 cm</p><p>%5,3459,3100</p><p>161</p><p>57,5CV ==⋅=</p><p>Resolva: Calcule o CV dos dois últimos exercícios de cálculo de desvio padrão pelo</p><p>processo breve.</p><p>a)</p><p>154s</p><p>755x</p><p>=</p><p>=</p><p>b)</p><p>88,21s</p><p>3,84x</p><p>=</p><p>=</p><p>Conclusão: Quanto maior o CV maior será a dispersão</p><p>Quanto menor o CV menor será a dispersão</p><p>Exercícios de Revisão: Os dados abaixo referem-se a idade das pessoas que compraram</p><p>um determinado produto novo durante um dia. Determine:</p><p>i Idade xi fi Fi yi fiyi fiyi</p><p>2 fixi fixi</p><p>2</p><p>1 0 |- 10 10</p><p>2 10 |- 20 26</p><p>3 20 |- 30 15</p><p>4 30 |- 40 8</p><p>5 40 |- 50 4</p><p>6 50 |- 60 3</p><p>7 60 |- 70 2</p><p>Total</p><p>a) Média;</p><p>b) Desvio Padrão;</p><p>c) Mediana</p><p>d) Primeiro Quartil</p><p>e) Terceiro Quartil</p><p>f) P40</p><p>TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS:</p><p>4 0 8 9 3 2 1 5 0 9 7 2 3 1 1 2 2 9 9 1 6 3 2 2 0 7 3 3 4 2 7 5 7 9 3 5</p><p>9 4 2 9 8 8 3 9 5 6 5 6 0 3 5 4 2 1 5 6 0 8 7 6 7 4 7 5 8 4 4 7 4 5 7 4</p><p>9 1 6 2 3 4 9 3 5 1 3 1 7 4 6 7 5 9 1 2 3 1 0 9 3 3 7 2 1 7 4 5 0 3 0 7</p><p>1 8 9 3 3 5 4 0 7 7 8 0 6 0 0 2 8 8 8 2 0 7 0 6 3 7 2 0 8 6 8 3 4 6 6 7</p><p>5 4 6 3 4 6 8 1 0 6 9 1 3 2 0 3 4 5 8 5 1 1 0 4 0 8 4 1 6 6 3 6 5 8 2 2</p><p>8 9 7 1 4 1 9 7 8 6 9 5 9 4 1 0 4 3 8 6 8 6 3 7 7 8 0 4 7 7 9 7 7 1 9 3</p><p>3 3 3 4 4 8 5 8 0 1 4 1 7 8 0 9 4 9 7 5 9 8 7 7 6 8 6 8 7 9 9 6 6 0 3 7</p><p>4 5 4 1 4 2 7 4 5 4 5 3 7 9 6 3 0 7 0 7 8 4 3 7 5 1 0 5 0 0 3 7 8 5 8 3</p><p>0 9 3 7 3 7 5 9 0 2 2 6 2 8 6 5 4 3 8 3 6 8 7 6 8 0 0 5 7 6 7 3 0 8 2 3</p><p>0 0 3 1 2 5 7 2 2 7 0 0 5 3 8 3 0 1 6 8 9 9 2 0 3 2 6 7 5 0 6 8 9 5 9 7</p><p>4 0 5 8 6 0 2 8 6 8 1 9 6 0 1 1 2 4 1 1 2 0 4 9 5 2 8 1 3 8 2 8 3 9 8 0</p><p>4 8 5 1 7 7 0 8 2 9 6 1 6 1 5 1 5 1 9 8 3 9 5 2 9 3 6 1 7 7 5 3 4 2 1 3</p><p>8 3 7 7 3 8 8 0 7 7 6 8 1 1 0 4 2 1 3 9 2 1 6 8 0 9 1 6 7 5 5 4 5 3 4 4</p><p>9 4 7 8 1 3 9 9 9 4 5 8 0 9 3 0 1 4 7 1 2 6 1 1 3 1 3 2 5 3 0 0 1 9 3 7</p><p>7 2 5 5 0 1 7 6 5 1 3 7 4 6 7 5 3 8 9 7 0 1 1 2 1 1 1 0 5 2 5 2 3 3 8 0</p><p>7 5 0 2 3 0 9 7 0 3 3 6 8 9 7 5 1 7 7 2 7 8 3 8 5 9 5 8 9 2 5 5 8 0 2 2</p><p>0 5 4 8 6 6 0 5 9 8 7 6 8 7 8 3 1 6 8 7 4 6 6 8 9 6 3 6 5 4 0 2 2 1 0 1</p><p>7 7 3 3 6 5 7 7 5 2 5 9 4 2 7 4 3 6 6 2 1 2 2 4 9 0 6 4 8 9 9 7 0 7 9 8</p><p>8 7 1 2 0 7 3 1 5 0 9 1 9 0 1 8 2 9 8 3 1 3 6 4 8 9 6 1 1 5 1 8 1 6 8 8</p><p>9 1 4 1 8 8 4 0 5 1 7 4 1 2 9 3 2 5 3 3 9 8 7 6 6 9 3 6 4 7 4 8 4 2 3 5</p><p>1 3 3 3 9 9 4 1 5 8 1 8 8 1 2 0 9 7 2 6 1 5 7 5 2 5 2 0 7 5 1 5 8 9 4 5</p><p>6 4 0 9 5 0 9 5 0 4 3 3 2 3 6 5 5 6 7 6 0 2 2 9 5 7 8 4 8 6 0 9 0 4 1 5</p><p>6 6 1 2 3 5 2 3 3 4 5 3 9 0 2 9 5 4 3 6 5 9 5 0 6 5 6 4 4 7 1 6 7 2 0 6</p><p>3 6 8 4 3 8 5 3 1 7 3 3 9 9 3 3 8 5 9 8 1 1 7 1 3 7 6 9 3 2 3 4 4 5 7 9</p><p>6 0 9 7 0 3 9 6 6 1 9 5 8 7 2 2 4 8 1 2 4 3 4 4 7 8 7 1 3 8 1 5 8 2 6 9</p><p>2 9 5 9 4 1 2 2 8 6 4 5 0 3 4 3 2 8 2 6 7 0 9 0 9 3 9 2 1 4 7 0 4 6 8 6</p><p>9 4 9 5 5 5 9 2 5 3 8 8 2 4 9 3 6 4 7 0 3 9 6 7 6 0 7 0 6 8 6 5 6 3 9 2</p><p>6 6 7 9 3 5 6 9 3 0 0 3 0 1 3 3 1 7 8 5 1 7 0 7 7 6 5 8 7 0 5 5 9 0 6 5</p><p>6 6 5 0 6 2 3 2 2 8 9 5 2 9 0 5 1 5 1 5 4 0 7 5 0 4 9 4 4 2 2 1 2 7 4 1</p><p>6 2 6 1 2 2 0 6 0 5 2 5 2 6 3 9 2 8 3 6 2 6 5 9 1 3 5 0 8 2 1 9 6 5 0 3</p><p>2 6 6 6 3 1 7 2 8 4 3 5 1 2 8 1 2 6 0 4 9 8 0 1 6 6 0 7 2 2 9 7 6 8 1 4</p><p>6 3 1 4 6 0 4 4 7 5 2 9 5 1 7 4 3 7 3 7 7 1 1 5 2 0 8 6 7 8 6 0 5 2 2 4</p><p>2 3 1 5 5 0 4 6 7 3 2 9 1 0 3 8 3 7 8 2 3 0 7 8 1 4 3 4 3 6 8 8 8 1 9 1</p><p>9 2 8 1 4 2 3 1 5 8 2 0 8 4 0 1 6 9 1 2 5 2 4 0 2 6 5 2 9 4 2 0 0 6 7 1</p><p>9 4 8 6 1 3 9 1 3 1 5 8 1 1 7 0 3 6 4 6 3 8 9 1 4 1 7 2 6 0 4 5 1 2 3 9</p><p>9 3 1 8 4 1 6 1 2 8 4 8 0 9 0 4 7 5 6 0 0 4 5 8 5 0 4 1 8 0 1 2 7 1 8 0</p><p>4 5 8 4 2 0 2 4 6 0 6 4 9 8 2 5 0 7 5 1 8 3 4 8 9 5 9 9 2 6 0 0 6 1 6 8</p><p>8 7 5 2 6 5 0 7 2 0 2 2 0 7 2 0 0 6 2 1 5 0 9 2 0 8 2 2 9 9 4 6 8 5 9 3</p><p>7 6 6 1 7 5 1 3 7 8 6 5 6 8 9 1 3 1 3 6 4 8 7 8 9 0 7 1 3 6 2 9 8 8 7 3</p><p>3 1 7 8 9 0 4 7 7 2 9 4 4 1 4 5 1 1 5 9 4 4 7 1 6 5 7 6 9 5 6 0 2 1 0 0</p><p>9 0 5 2 8 9 1 6 6 9 2 2 4 0 4 7 2 1 9 9 2 7 7 5 7 7 4 5 4 9 2 7 6 5 4 3</p><p>9 3 3 7 7 4 8 0 4 7 3 2 8 0 6 3 6 5 9 5 8 6 8 2 2 5 6 3 3 8 9 8 7 2 9 4</p><p>9 8 4 3 7 1 9 9 8 0 0 2 4 4 5 0 7 3 1 1 8 5 8 1 8 5 8 6 8 6 7 7 0 0 7 3</p><p>2 2 9 9 6 4 8 9 2 9 5 4 1 8 1 4 3 1 0 4 6 9 3 6 9 5 0 0 8 6 6 9 2 0 5 3</p><p>7 9 9 9 4 7 9 2 9 0 9 4 3 0 1 2 2 4 7 3 6 0 2 4 1 0 2 8 9 5 3 5 5 0 0 9</p><p>8 1 6 2 9 6 3 1 5 6 3 1 0 8 5 8 8 5 5 9 2 0 9 1 9 4 4 8 2 1 6 3 5 6 9 3</p><p>4 5 7 2 1 6 5 0 1 2 9 9 8 9 2 9 1 1 5 8 3 6 9 5 1 6 6 7 5 3 2 7 1 6 8 2</p><p>7 4 0 2 0 7 8 8 9 1 4 0 1 8 7 8 9 1 1 1 1 8 5 3 5 9 8 5 3 8 5 4 2 9 2 9</p><p>9 0 2 1 4 0 9 2 5 0 6 3 0 9 9 0 1 1 2 4 9 7 1 5 2 2 4 6 8 3 9 9 9 2 1 5</p><p>8 7 4 1 4 7 9 7 4 8 7 0 8 6 2 7 4 5 1 7 0 4 5 1 5 0 3 9 4 4 4 8 3 6 9 0</p><p>3 3 5 3 8 3 6 1 0 6 8 9 0 0 7 1 5 2 0 1 8 0 7 4 2 8 2 7 2 8 2 1 8 7 3 5</p><p>6 1 8 0 4 8 5 7 8 4 0 3 4 9 2 9 4 4 1 2 7 5 4 9 8 3 5 2 8 0 5 6 0 2 8 2</p><p>6 6 5 6 6 0 8 3 9 5 1 6 7 3 7 9 1 7 4 2 5 5 4 2 9 8 6 0 5 5 7 3 8 3 0 4</p><p>9 1 3 6 3 8 0 0 4 3 5 2 6 8 2 2 5 4 1 0 3 5 3 7 0 9 9 7 8 0 7 0 8 6 3 1</p><p>3 2 3 9 0 5 8 7 8 4 4 0 0 9 6 1 2 2 6 1 4 1 2 3 3 1 5 2 9 3 2 7 3 3 1 4</p><p>6 3 8 1 2 7 1 9 8 8 3 7 1 9 7 3 2 7 4 0 0 5 9 5 9 2 3 1 3 2 5 6 3 2 9 4</p><p>Tamanho da Amostra para populações finitas</p><p>( ) ( )[ ]</p><p>( ) ( ) ([ ])n/x1n/xze1N</p><p>Nn/x1n/xzn 22</p><p>2</p><p>−⋅⋅+⋅−</p><p>⋅−⋅⋅</p><p>=</p><p>n = tamanho da amostra</p><p>N = tamanho da população</p><p>e = % de erro na forma unitária</p><p>z = intervalo de confiança, 1,96 para 95% de confiança (valor usual)</p><p>2,58 para 99% de confiança.</p><p>x/n = proporção esperada. O valor de n é máximo para x/n = 0,50</p><p>Resultando em:</p><p>[ ]</p><p>( ) [ ]</p><p>( ) 9604,0e1N</p><p>N9604,0n</p><p>50,0150,096,1e1N</p><p>N50,0150,096,1n</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>+⋅−</p><p>⋅</p><p>=</p><p>=</p><p>−⋅⋅+⋅−</p><p>⋅−⋅⋅</p><p>=</p><p>Exemplo:</p><p>erro 2% 0,02</p><p>z= 1,96</p><p>x/n = 0,5</p><p>População Amostra</p><p>100 96</p><p>200 185</p><p>300 267</p><p>400 343</p><p>500 414</p><p>600 480</p><p>700 542</p><p>800 600</p><p>900 655</p><p>1000 706</p><p>1100 755</p><p>1200 800</p><p>1300 844</p><p>1400 885</p><p>1500 923</p><p>1600 960</p><p>1700 996</p><p>1800 1029</p><p>1900 1061</p><p>2000 1091</p><p>População Amostra</p><p>10000 1936</p><p>20000 2144</p><p>30000 2223</p><p>40000 2265</p><p>50000 2291</p><p>60000 2309</p><p>70000 2321</p><p>80000 2331</p><p>90000 2339</p><p>100000 2345</p><p>População Amostra</p><p>100000 2345</p><p>200000 2373</p><p>300000 2382</p><p>400000 2387</p><p>500000 2390</p><p>600000 2391</p><p>700000 2393</p><p>800000 2394</p><p>900000 2395</p><p>1000000 2395</p><p>População Amostra</p><p>1000000 2395</p><p>2000000 2398</p><p>3000000 2399</p><p>4000000 2400</p><p>5000000 2400</p><p>6000000 2400</p><p>7000000 2400</p><p>8000000 2400</p><p>9000000 2400</p><p>10000000 2400</p><p>115000000 2401</p><p>Cálculo do erro</p><p>( ) ( )[ ]</p><p>n</p><p>n/x1n/xze −⋅</p><p>⋅= para população desconhecida</p><p>( ) ( )[ ]</p><p>1N</p><p>nN</p><p>n</p><p>n/x1n/xze</p><p>−</p><p>−</p><p>⋅</p><p>−⋅</p><p>⋅= para população conhecida</p><p>para z = 1,96 e x/n = 0,50 tem-se:</p><p>n</p><p>198,0e ⋅= para população desconhecida</p><p>)1N(n</p><p>nN98,0e</p><p>−⋅</p><p>−</p><p>⋅= para população conhecida</p><p>População = 100</p><p>Amostra Erro</p><p>10 0,30</p><p>20 0,20</p><p>30 0,15</p><p>40 0,12</p><p>50 0,10</p><p>60 0,08</p><p>70 0,06</p><p>80 0,05</p><p>90 0,03</p><p>100 0,00</p><p>Bibliografia</p><p>STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração.</p><p>São Paulo:</p><p>Editora HARBRA Ltda, 1981</p><p>BIBLIOGRAFIA:</p><p>COSTA NETO, P. L. de O. Probabilidades. São Paulo: Editora Edgard Blucher Ltda, 1985.</p><p>COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Editora Edgard Blucher Ltda, 17o ed. 1999.</p><p>CRESPO, A. A. Estatística Fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 17o ed. 1999.</p><p>DANTE, L. R. Matemática: Contexto de Aplicações. São Paulo: Editora Ática, 1999.</p><p>DOWNING, D. , CLARK, J. Estatística Aplicada. São Paulo: Editora Saraiva, 2000.</p><p>KAZMIER, L. J. Estatística Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Editora Makron</p><p>books Ltda., 1982.</p><p>LAPPONI, J. C. Estatística Usando Excel. São Paulo: Editora Lapponi, 2000.</p><p>LEVIN, J. Estatística Aplicada a Ciências Humanas, 2a edição. São Paulo: Editora Harper &</p><p>Row do Brasil Ltda, 1978.</p><p>NICK, E. , KELLNER, S. R. O. Fundamentos de Estatística para as Ciências do</p><p>Comportamento. Rio de Janeiro: Editora Renes, 1971.</p><p>SIEGEL, S. Estatística Não Paramétrica. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda, 1975.</p><p>STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Editora Harper & Row</p><p>do Brasil Ltda, 1981.</p><p>TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora</p><p>S.A., 7a ed. 1999.</p><p>Apêndice 01</p><p>1. Calcule em cada caso, a média aritmética dos valores:</p><p>a) 18 – 21 – 25 – 19 – 20 – 23 – 21</p><p>b) 35 – 36 – 37 – 38 – 39 – 40</p><p>c) 7 – 7 – 7 – 8 – 8 – 8 – 9 – 9 – 10 – 10 – 10 – 10</p><p>d) 0,5 – 0,5 – 0,5 – 0,5 – 0,25 – 0,25</p><p>e) A – a – a – a – a – b – b – b – b – c – c</p><p>f) 43 – 49 – 52 – 41 – 47 – 50 – 53 – 44</p><p>2. Um ônibus de excursão partiu com 40 turistas a bordo dos quais 8 reservaram a</p><p>viagem com antecedência e pagaram cada um R$ 300,00. Os demais pagaram</p><p>cada um R$ 340,00 pela viagem, Qual foi o preço médio que cada turista pagou</p><p>nessa excursão?</p><p>3. Sejam A = (x, 6, 3, 4, 5) e B = (9, 4, 8, x, 6, 11, 3).</p><p>a) Determine x para que as médias aritméticas dos dois conjuntos sejam iguais.</p><p>b) Determine os possíveis valores inteiros de x de modo que Ax não ultrapasse 4 e</p><p>Bx seja, no mínimo, igual a 5.</p><p>4. Para que os valores de a as médias aritméticas de (- 3, a, 10, 9) e (- 2, 3, a2, - 5)</p><p>coincidem?</p><p>5. x é uma variável que assume os valores, 11 – 8 – 7 – a – 16 – 10.</p><p>Determine a de modo que:</p><p>a) 11=x b) 1312 <≤ x c) 0<x</p><p>6. Os dados na tabela ao lado referem-se ao número de umidades de um livro</p><p>didático vendidas, mês a mês, nos dois primeiros anos após seu lançamento.</p><p>Mês 1a ano 2a ano</p><p>Janeiro 2460 3152</p><p>Fevereiro 2388 2963</p><p>Março 2126 2049</p><p>Abril 1437 1614</p><p>Maio 931 1024</p><p>Junho 605 898</p><p>Julho 619 910</p><p>Agosto 421 648</p><p>Setembro 742 937</p><p>Outubro 687 702</p><p>Novembro 1043 1051</p><p>Dezembro 1769 2016</p><p>a) Do primeiro para o segundo ano de vendas, a média mensal de livros</p><p>vendidos aumentou em x unidades. Qual é o valor de x?</p><p>b) Do primeiro para o segundo ano de vendas, a média mensal de livros</p><p>vendidos aumentou em y%. Qual é o valor de y?</p><p>7. Os dados seguintes referem - se às quantidades mensais de CDs do cantor x</p><p>vendidos durante um ano.</p><p>3000 – 4000 – 3500 – 5200 – 6700 – 5000</p><p>8500 – 7600 – 6500 – 6400 – 7000 – 5400</p><p>a) Em quantos meses as vendas mensais superaram a média de CDs vendidos?</p><p>8. A média aritmética de 80 números é igual a 40,5. Adicionando-se a esse</p><p>conjunto de valores o número 243, qual será a média aritmética?</p><p>9. A média aritmética de uma lista formada por 55 números é igual a 28.</p><p>Adicionando – se dois números a essa relação, a média aumenta em 2 unidades.</p><p>Determine-os, sabendo que um deles é o triplo do outro.</p><p>10. A média aritmética de 45 números é igual a 6. Ao acrescentarmos o número x a</p><p>esses valores, a média aumenta em 50%.</p><p>a) Qual é o valor de x?</p><p>b) Qual é a média aritmética dos números ?</p><p>12</p><p>;</p><p>8</p><p>;</p><p>6</p><p>;</p><p>4</p><p>;</p><p>2</p><p>xxxxx</p><p>11. Uma prova de Conhecimentos Gerais foi aplicada em duas turmas, A e B, com n</p><p>e m alunos, respectivamente. A média das notas da turma A foi 6,8 e a da turma</p><p>B foram 5,2. Juntando as notas das duas turmas, a média geral foi 5,8.</p><p>a) Intuitivamente, responda O que é maior n ou m?</p><p>b) Determine n e m, sabendo que a diferença entre eles é igual a 14.</p><p>12. A média de “pesos” de 25 clientes hospedadas em um SPA era de 84 Kg. A elas</p><p>juntou-se um grupo de n amigas. Curiosamente, cada amiga desse grupo pesava</p><p>90 Kg. Determine o valor de n, sabendo que a média de ¨pesos¨ de todas as</p><p>clientes hospedadas no SPA aumentou em 1 quilograma.</p><p>13. A média aritmética de 15 números é 26. Retirando - se um deles, a média dos</p><p>demais passa a ser 25. Qual foi o número retirado?</p><p>14. A média aritmética de n números é 29. Retirando-se o número 24, a média</p><p>aumenta para 30. Qual é o valor de n?</p><p>15. Determine n a fim de que a média aritmética dos números 2 n, 2n + 1,2n + 2 e 2 n + 3</p><p>seja igual a 60.</p><p>16. A média aritmética de 7 números inteiros é 4. Determine-os, sabendo que eles</p><p>formam uma P. A crescente de razão 6.</p><p>17. Calcule a média aritmética entre os números reais log 3, log 4 e log 5, sabendo</p><p>que log 1,2 08,0≅ .</p><p>18. A média aritmética de 10 números, x1, x2,... , x10, é 4. Qual será a nova média se</p><p>:</p><p>a) x1 for aumentado de 4 unidades e x2 aumentado de 8 unidades?</p><p>b) x1 for subtraído de 10 unidades e x2 aumentado de 6 unidades?</p><p>19. A tabela seguinte mostra o salário médio dos trabalhadores de três cidades, A, B</p><p>e C, que compõem uma região metropolitana.</p><p>Cidade Salário médio (em reais)</p><p>A 530,00</p><p>B 600,00</p><p>C 700,00</p><p>Determine o salário médio na região metropolitana se:</p><p>a) A B e C têm o mesmo número de trabalhadores;</p><p>b) A têm 200 000 trabalhadores, B tem 300 000 e C tem 500 000;</p><p>c) A tem o dobro de trabalhadores de B, que tem o triplo de trabalhadores de C.</p><p>20. Na situação do exercício anterior, suponha que A concentre 70% dos</p><p>trabalhadores da região metropolitana. Determine o percentual de trabalhadores</p><p>que vivem em B e C, respectivamente, a fim de que o salário médio dos</p><p>trabalhadores da região seja R$ 560,00.</p><p>21. O gráfico seguinte informa a distribuição do tempo de serviço (em anos) dos</p><p>funcionários de uma pequena empresa.</p><p>Tempo de serviço</p><p>8%</p><p>26%</p><p>45%</p><p>11% 10%</p><p>0%</p><p>10%</p><p>20%</p><p>30%</p><p>40%</p><p>50%</p><p>1 2 3 4 5</p><p>anos</p><p>po</p><p>rc</p><p>en</p><p>ta</p><p>ge</p><p>m</p><p>Qual é o tempo médio de trabalho dos funcionários dessa empresa?</p><p>22. Sejam x1, x2, ..., xn os n valores assumidos por uma variável quantitativa e x a</p><p>média aritmética correspondentes a tais valores. Estabeleça uma relação entre a</p><p>nova média ( ) xex′ em cada caso a seguir.</p><p>a) Cada xi (i = 1,2,3...,n) é aumentado de duas unidades;</p><p>b) Cada xi (i = 1,2,3...,n) é multiplicado por três;</p><p>c) Cada xi (i = 1,2,3...,n) é diminuído de cinco unidades;</p><p>d) Cada xi (i = 1,2,3...,n) é multiplicado por – 2 e ao resultado são acrescentadas</p><p>três unidades;</p><p>e) Cada xi (i = 1,2,3...,n) é subtraído de x unidades.</p><p>23. A tabela seguinte mostra o número de gols por partida registrada nas duas</p><p>primeiras rodadas de um campeonato brasileiro.</p><p>No de gols Freqüência Absoluta</p><p>0 5 jogos</p><p>1 6 jogos</p><p>2 8 jogos</p><p>3 4 jogos</p><p>4 5 jogos</p><p>5 3 jogos</p><p>6 1 jogo</p><p>a) Qual foi a média de gols por partida registrada nas duas primeiras rodadas?</p><p>b) A rodada seguinte previa a realização de n jogos sábado e a dos demais no</p><p>domingo. Em cada um dos jogos desabado foram marcados 3 gols. Com isso, a</p><p>média de gols do campeonato (comparadas às duas primeiras rodadas e os jogos</p><p>de sábado) elevou-se para 2,5 gols por partida. Qual é o valor de n?</p><p>24. A média dos salários dos funcionários de uma loja é de R$ 620,00. Qual será a</p><p>nova média salarial se:</p><p>a) Cada funcionário receber um aumento de R$50,00?</p><p>b) Cada funcionário receber um aumento de 20%?</p><p>25. Uma prova foi aplicada em duas turmas, A e B ,e as médias obtidas foram 7.2 e</p><p>6.3, respectivamente. Se cada aluno da turma A tivesse obtido n pontos a menos</p><p>e cada aluno da</p><p>turma B tivesse obtido n pontos a mais, as médias das duas</p><p>turmas seriam iguais. Qual o valor de n?</p><p>26. Em uma empresa, a média salarial é R$540,00. Pretende-se dar a cada</p><p>funcionário um aumento de 5% e um abono de R$80,00. Qual será a nova média</p><p>de salários na empresa se:</p><p>a) O aumento for dado antes do abono?</p><p>b) O aumento for dado após a incorporação do abono ao salário?</p><p>27. É comum encontrarmos produtos com conteúdo líquido menor que o declarado</p><p>nas embalagens. Em uma pequena cidade, doces de leite são vendidos em copos</p><p>de vidro em cujos rótulos constam à informação relativa ao peso de 200g. Dois</p><p>fabricantes, A e B, fornecem doces com conteúdo real médio de 190 g e 195 g.,</p><p>respectivamente. Um supermercado comprou um total de n copos (somadas as</p><p>duas marcas) de doce de leite, e verificou-se que o conteúdo médio líquido do</p><p>lote era 193,5 g.</p><p>28. Cada um dos 60 alunos da turma A obteve, na avaliação de um trabalho, nota 5</p><p>ou nota 10. A média aritmética dessas notas foi 6. Determine quantos alunos</p><p>obtiveram nota 5 e quantos obtiveram nota 10?</p><p>29. O gráfico ao lado, em forma de pizza, representa as notas obtidas em uma</p><p>questão pelos 32 000 candidatos presentes à primeira fase de uma prova de</p><p>vestibular. Ele mostra, por exemplo, que 32% desses candidatos tiveram nota 2</p><p>nessa questão. Pergunta-se:</p><p>Notas de uma questão do vestibular</p><p>1 20%</p><p>2 32%</p><p>3 16%</p><p>4 12%</p><p>5 10%</p><p>6 10%</p><p>a) Quantos candidatos tiveram nota 3?</p><p>b) É possível afirmar que a nota média, nessa questão, foi menor ou igual a 2? Justifique sua</p><p>resposta.</p><p>30. Em uma fábrica, a média salarial de determinado setor, que emprega 20 funcionários, é 520</p><p>reais. Um deles, que ganhava 550 reais, foi afastado, e foram contratados 2 novos</p><p>funcionários, um com salário de 480 reais e o outro com salário de 630 reais. Qual é o</p><p>número inteiro mais próximo da nova média de salários nesse setor?</p><p>31. Em uma classe de educação infantil, a média de idade das 25 crianças é 4 anos e 3 meses.</p><p>Qual é o número de crianças com 4 anos e 9 meses que devem ingressar nessa classe a fim</p><p>de elevar essa média para 4 anos e 4 meses?</p><p>32. Um programa beneficente veiculado em um canal de TV tinha como objetivo arrecadar</p><p>fundos para crianças carentes. O telespectador poderia escolher entre 10, 20 ou 50 reais e</p><p>ligar para o número correspondente ao valor escolhido a fim de fazer a doação. Na primeira</p><p>hora, 50 000 pessoas fizeram doações, das quais 48% contribuíram com o valor mínimo,</p><p>37% com o valor intermediário e cada uma das demais com o valor maior.</p><p>a) Qual foi a média de doações na primeira hora?</p><p>b) Na hora seguinte, 30.000 pessoas contribuíram para a campanha, das quais</p><p>3</p><p>1 colaborou</p><p>com o valor mínimo. Determine o valor doado pelas demais pessoas, sabendo que a doação</p><p>média das duas primeiras horas foi R$ 22,80.</p><p>33. Um grupo de 20 nadadores, cuja média de altura é 1,88 m, está treinando para uma</p><p>competição. Se um grupo de 7 atletas cuja média de altura é 1,92 m se juntar ao primeiro</p><p>grupo, qual será a média de altura dos 27 atletas?</p><p>34. A média aritmética dos números a1, a2, a3,..., a14, a15 é 24. Qual é a média aritmética dos</p><p>números a1 + 1, a2 + 2,..., a14 + 14, a15 + 15?</p><p>35. Numa classe com vinte alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota</p><p>mínima para aprovação era 70. Realizando o exame, verificou-se que oito alunos foram</p><p>reprovados. A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, enquanto a média dos</p><p>aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão</p><p>havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa</p><p>decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e dos reprovados 68,8.</p><p>a) Calcule a média das notas da classe toda antes da atribuição dos 5 pontos extras?</p><p>b) Com a atribuição dos 5 pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados,</p><p>atingiram nota para aprovação?</p><p>36. A média aritmética dos números x1, x2,..., xn é p. Determine a média aritmética dos números</p><p>x1 – 1 x2 + 1, x4 +1,..., xn + (-1)n, considerando que:</p><p>a) n é par;</p><p>b) n é impar.</p><p>37. Em um time de futebol, o jogador mais velho entre os onze titulares foi substituído por um</p><p>jogador de 16 anos. Isso fez com que a média de idade dos 11 jogadores diminuísse 2 anos.</p><p>1</p><p>Calcule a idade do jogador mais velho que foi substituído.</p><p>38. Cresce o percentual de mulheres na população (em milhões de habitante)</p><p>Calcule o percentual da população feminina e da população masculina relativo a cada ano</p><p>constante no gráfico .A seguir, utilizando apenas uma casa após a vírgula, determine,</p><p>relativamente a cada sexo:</p><p>a) a média desses percentuais no período considerado;</p><p>b) a média desses percentuais de 1940 a 2000.</p><p>39. O gráfico abaixo representa as temperaturas médias mensais nas cidades de Goiânia e</p><p>Aragarças (consideradas a cidades mais quentes do Estado de Goiás), no período de janeiro</p><p>a agosto de 2001.</p><p>Com base nesse gráfico, julgue como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações a</p><p>seguir:</p><p>a) Em Goiânia, a temperatura média no mês de agosto é 4% superior à temperatura média no mês</p><p>de abril.</p><p>b) Em Goiânia, a média das temperaturas médias mensais no período de janeiro a agosto é igual à</p><p>temperatura média do mês de junho.</p><p>c) No período de janeiro a agosto, a amplitude (diferença entre o maior e o menor valor) da</p><p>temperatura média mensal, em Goiânia, é maior do que em Aragarças.</p><p>d) No período de janeiro a agosto, a diferença das temperaturas médias mensais entre Aragarças e</p><p>Goiânia é máxima no mês de maio.</p><p>40. Suprimindo-se um dos elementos do conjunto { }201,...,3,2,1 , a média aritmética dos</p><p>elementos restantes é 101,45. Sendo m o elemento suprimido, calcule o valor de: m+ 201.</p><p>41. Considere um conjunto de dados formado por n valores. Adicionando-se a esse conjunto o</p><p>número 119, a média aumenta 4 unidades em relação à média inicial; retirando-se do</p><p>conjunto original o número 54, a média diminuiu 1 unidade em relação à média inicial.</p><p>a) Qual é o valor de n?</p><p>b) Qual é a média aritmética inicial do conjunto de dados?</p><p>2</p><p>Apêndice 2</p><p>1. Calcule a moda e a mediana de cada um dos seguintes conjuntos de valores:</p><p>a) 9 – 8 – 8 – 7 – 10 – 12 – 11 – 8 – 8 – 7 – 6 – 14 – 10</p><p>b) 0 – 0 – 0 – 1 – 1 – 1 – 1 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 3 – 3 – 3 – 3 – 3 – 3</p><p>c) 40 – 44 – 42 – 23 – 36 – 40</p><p>d) 0,6 – 0,7 – 0,7 – 0,5 – 0,8 – 0,6 – 0,4 – 0,9</p><p>2. Determine as medidas de centralidade (média, mediana e moda) correspondentes aos</p><p>percentuais relacionados na tabela a seguir:</p><p>Os 20 municípios com menor taxa de</p><p>analfabetismo no Brasil ( % )</p><p>Município Taxa de</p><p>analfabetismo</p><p>1o São João do Oeste (SC) 0,9</p><p>2o Morro Reuter (RS) 1,6</p><p>3o Harmonia (RS) 1,8</p><p>4o Pomerode (SC) 1,9</p><p>5o Bom Princípio (RS) 1,9</p><p>6o São Vendelino (RS) 1,9</p><p>7o Feliz (RS) 1,9</p><p>8o Lagoa dos Três Cantos (RS) 2,0</p><p>9o Salvador das Missões (RS) 2,2</p><p>10o Ivotí (RS) 2,3</p><p>11o Quatro Pontes (PR) 2,4</p><p>12o Vale Real (RS) 2,5</p><p>13o Timbó (SC) 2,6</p><p>14o Dois Irmãos (RS) 2,6</p><p>15o Jaraguá do Sul (SC) 2,6</p><p>16o São José do Hortêncio (RS) 2,7</p><p>17o Teutônia (RS) 2,7</p><p>18o Blumenau (SC) 2,8</p><p>19o Linha Nova (RS) 2,8</p><p>20o Nova Petrópolis (RS) 2,8</p><p>3</p><p>3. As tabelas seguintes relacionam os países com consumo anual de peixe.</p><p>Os maiores consumidores</p><p>País</p><p>Quantidade de peixe consumido (milhões</p><p>de tonelada )</p><p>1o China 30</p><p>2o Japão 8</p><p>3o Estados Unidos 6</p><p>4o Índia 4</p><p>5o Indonésia 4</p><p>6o Rússia 3</p><p>7o Coréia do Sul 2</p><p>8o Filipinas 2</p><p>9o França 2</p><p>10o Espanha 2</p><p>a) Calcule a média, a mediana e a moda dos dados apresentados. Por que a média é bem maior</p><p>que as outras duas medidas?</p><p>b) Sabendo que a população da China é 1,285 bilhões de habitante e a da Espanha é 39,9</p><p>milhões de habitante, mostre que o consumo per capita anual na Espanha é maior que o</p><p>dobro do consumo per capita na China.</p><p>(dados extraídos de: Almanaque Abril, 2002.).</p><p>4. As tabelas seguintes informam o número de jornais diários em circulação na região</p><p>metropolitana das capitais brasileiras.</p><p>Cidade Jornais em</p><p>circulação</p><p>Cidade Jornais em</p><p>circulação</p><p>Cidade Jornais em</p><p>circulação</p><p>Aracaju 3 Aracaju 3 Porto</p><p>Velho</p><p>3</p><p>Belém 3 Belém 3 Recife 4</p><p>Belo</p><p>Horizonte</p><p>6 Belo</p><p>Horizonte</p><p>6 Rio</p><p>Branco</p><p>4</p><p>Boa Vista 3 Boa Vista 3 Rio de</p><p>Janeiro</p><p>11</p><p>Brasília 2 Brasília 2 Salvador 4</p><p>Campo</p><p>Grande</p><p>2 Campo</p><p>Grande</p><p>2 São Luís 2</p><p>Cuiabá 3 Cuiabá 3 São Paulo 16</p><p>Curitiba 8 Curitiba 8 Teresina 5</p><p>4</p><p>Florianópolis 3 Florianópolis 3 Vitória 2</p><p>a) Intuitivamente, responda: Qual medida de centralidade – a média ou a mediana – é mais</p><p>adequada para representar esses valores?</p><p>b) Calcule a média, a moda e a mediana.</p><p>c) Elimine os dois Estados com maior número de jornais e recalcule a média.</p><p>5. Um instituto de pesquisa fez um levantamento dos preços por quilo de vários produtos em</p><p>um sacolão. Os resultados estão na tabela abaixo.</p><p>Preço (em reais ) Freqüência (%)</p><p>2,00 30</p><p>3,00 40</p><p>4,00 20</p><p>6,00 10</p><p>Responda:</p><p>Qual é a média, a moda e a mediana do preço por quilo dos produtos á venda nesse sacolão?</p><p>6. O gráfico ao lado informa a distribuição do número de filhos de 800 funcionários de uma</p><p>empresa.</p><p>a) Quantos funcionários têm exatamente 2 filhos?</p><p>b) Qual é a mediana do número de filhos?</p><p>c) Qual é a moda do número de filhos?</p><p>7. A tabela seguinte informa o número de defeitos, por peça, encontrados durante uma</p><p>inspeção feita em um lote de 80 peças que chegou a um porto.</p><p>Número de defeitos por peça 0 1 2 3 4</p><p>Número de peças 12 20 24 16 8</p><p>a) Considerando o número de defeitos por peça, qual é a mediana dos valores encontrados?</p><p>b) Qual será a nova mediana se forem acrescentadas a esse lote 18 peças, cada uma com</p><p>exatamente 1 defeito?</p><p>c) Adicionando-se ao lote inicial n peças, cada uma com 3 defeitos, o valor da mediana passa a</p><p>ser 3. Qual é o menor valor possível de n?</p><p>8. Os valores ordenados abaixo referem-se ao número de desistências mensais de reservas</p><p>solicitadas a uma companhia aérea.</p><p>48 – 52 – 58 – 63 – 68 – x – 76 – 82 – y – 96 – 98 – 102</p><p>a) Sabendo que a mediana desses valores é 73 e que a média é 75 quais são os valores</p><p>de x e de y?</p><p>5</p><p>b) Supondo que em cada um dos 5 meses seguintes o número de desistências variou</p><p>entre 50 e 60, qual será o valor da mediana relativa a esses 17 meses?</p><p>9. Considere a seqüência decrescente:</p><p>2n , 2n – 1 , ..., 2n – 5 (em que n é um número natural)</p><p>Sabendo que a mediana dos elementos dessa seqüência é 6, determine:</p><p>a) O valor de n;</p><p>b) A média aritmética dos elementos dessa seqüência.</p><p>10. A tabela adiante apresenta o levantamento das quantidades de peças defeituosas para cada</p><p>lote de 100 unidades fabricadas em uma linha de produção de autopeças durante um período</p><p>de 30 dias úteis.</p><p>Dia No de peças</p><p>defeituosas</p><p>Dia No de peças</p><p>defeituosas</p><p>Dia No de peças</p><p>defeituosas</p><p>1 6 11 1 21 2</p><p>2 4 12 5 22 6</p><p>3 3 13 4 23 3</p><p>4 4 14 1 24 5</p><p>5 2 15 3 25 2</p><p>6 4 16 7 26 1</p><p>7 3 17 5 27 3</p><p>8 5 18 6 28 2</p><p>9 1 19 4 29 5</p><p>10 2 20 3 30 7</p><p>Considerando S a série numérica de distribuição de freqüências de peças defeituosas por lote de 100</p><p>unidades, julgue os itens abaixo:</p><p>a) A moda da série S é 5.</p><p>b) Durante o período de levantamento desses dados, o percentual de peças defeituosas ficou,</p><p>em média, abaixo de 3,7%.</p><p>c) Os dados obtidos nos 10 primeiros dias do levantamento geram uma série numérica de</p><p>distribuição de freqüências com a mesma mediana da sérieS.</p><p>11. Uma pesquisa realizada com 280 pessoas fez o levantamento da freqüência anual de visitas</p><p>ao dentista. Os resultados aparecem na tabela abaixo.</p><p>Número de visitas ao dentista por ano Número de pessoas</p><p>0 63</p><p>1 105</p><p>2 39</p><p>3 47</p><p>6</p><p>4 16</p><p>5 ou mais 10</p><p>total 280</p><p>a) Qual é o número mediano de visitas?</p><p>b) Quantas pessoas dessa amostra que visitam o dentista uma única vez por ano deveriam</p><p>passar a visitá-lo duas vezes por ano a fim de que a mediana passasse a ser 1,5 visitas?</p><p>7</p><p>Apêndice 3</p><p>1. Calcule o desvio padrão dos seguintes conjuntos de valores:</p><p>a) 2 – 3 – 4 – 5 – 6</p><p>b) 2 – 2 – 3 – 4 – 4</p><p>c) (-2 ) – ( - 1 ) – ( - 1) – 0 – 1 – 3</p><p>d)</p><p>2</p><p>1 -</p><p>8</p><p>1 -</p><p>4</p><p>1 -</p><p>5</p><p>1 -</p><p>10</p><p>1</p><p>e) 70 – 65 – 60 – 60 – 65 – 68 – 72 – 60</p><p>2. A tabela seguinte informa a participação percentual dos Estados da região Nordeste no</p><p>produto interno bruto (PIB) nacional.</p><p>Alagoas 0,9%</p><p>Bahia 4,4%</p><p>Ceará 1,8%</p><p>Maranhão 1,0%</p><p>Paraíba 0,7%</p><p>Pernambuco 2,3%</p><p>Piauí 0,5%</p><p>Rio Grande do Norte 0,9%</p><p>Sergipe 0,5%</p><p>a) Calcule a média ( x ) e o desvio padrão() dos percentuais acima.</p><p>b) Quantos Estados têm participação pertencente ao intervalo [ x -</p><p>2</p><p>1 σ, x +</p><p>2</p><p>1 σ]?</p><p>3. O gráfico seguinte mostra os números relativos aos turistas estrangeiros que estiveram no</p><p>Brasil no período de 1998 a 2002.</p><p>Números de turistas ( em milhões )</p><p>a) Qual é o desvio padrão dos dados apresentados?</p><p>8</p><p>4. Os dados seguintes referem-se às porcentagens da população de países sul americano que</p><p>vive em áreas urbanas.</p><p>Argentina 90%</p><p>Bolívia 63%</p><p>Brasil 81%</p><p>Chile 86%</p><p>Colômbia 74%</p><p>Equador 65%</p><p>Paraguai 56%</p><p>Peru 73%</p><p>Uruguai 91%</p><p>Venezuela 87%</p><p>a) Calcule a média e o desvio padrão dos percentuais acima.</p><p>b) Elimine os dois países com menores percentuais. O que ocorrerá com o desvio padrão? Faça</p><p>os cálculos para confirmar sua resposta.</p><p>5. Um conjunto é formado por três elementos: 8, 10 e x. Determine os possíveis valores de x</p><p>para os quais a variância desses elementos é igual a</p><p>3</p><p>26 .</p><p>6. Sejam x1, x2,... xk os valores distintos assumidos por uma variável x, com freqüências</p><p>absolutas iguais a n1, n2, ..., nk, respectivamente. Encontre uma expressão para a variância</p><p>desses valores.</p><p>7. A tabela seguinte informa a distribuição do número de cartões amarelos recebidos por um</p><p>time durante os 35 jogos de um torneio:</p><p>Número de cartões Número de jogos</p><p>0 5</p><p>1 19</p><p>2 10</p><p>3 7</p><p>4 4</p><p>a) Calcule o desvio padrão referente ao número de cartões recebidos.</p><p>8. Um professor aplicou um exercício em sua turma de 60 alunos e as notas possíveis eram</p><p>zero, 0,5 ponto. Sabendo que 40% dos alunos não obtiveram pontuação, 35% conseguiram</p><p>0,5 pontos e o restante atingiram a pontuação máxima, determine:</p><p>a) A mediana dos pontos obtidos pelos alunos nessa atividade;</p><p>b) A variância correspondente aos pontos obtidos pelos alunos.</p><p>9</p><p>9. A secretaria de saúde de uma cidade está interessada em saber com que freqüência semanal</p><p>seus habitantes praticam atividades físicas. Para isso, uma equipe entrevistou n pessoas e os</p><p>resultados encontram-se no gráfico seguinte:</p><p>a) Determine o valor de n.</p><p>b) Qual é a média das freqüências de atividades físicas?</p><p>c) Qual é a moda e a mediana dos dados obtidos?</p><p>d) Qual é o desvio padrão dos dados obtidos?</p><p>10. Um conjunto de dados possui n valores (n > 3 ), dos quais três são iguais a 2 e os demais</p><p>iguais a 5.</p><p>a) Determine, em função de n, a média aritmética desses elementos.</p><p>b) Determine o maior valor inteiro de n para qual a variância desse conjunto de valores seja</p><p>maior que 2.</p><p>11. Para um conjunto X = ( x1, x2, x3, x4), a média aritmética de X é definida por</p><p>x =</p><p>4</p><p>xxxxx ++++ e a variância e x é definida por:</p><p>v =</p><p>4</p><p>1 [( x1 - x )2 + ... + (x4 - x )2].</p><p>Dado o conjunto X= (2, 5, 8, 9 ), pede-se.</p><p>a) Calcular a média aritmética de x.</p><p>b) Calcular a variância de x.</p><p>c) Quais elementos de x pertencem ao intervalo [ x - v , x + v ]?</p><p>12. Dados n valores x1, x2, x3,..., xn, seja M sua média aritmética. Chama-se variância desses</p><p>valores ao número σ2 dado por:</p><p>n</p><p>Mx</p><p>n</p><p>i</p><p>i∑</p><p>=</p><p>−</p><p>= 1</p><p>2</p><p>2</p><p>)(</p><p>σ</p><p>A raiz quadrada não negativa da variância chama-se desvio padrão.</p>