MATEMÁTICA CORREIOS

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<p>MATEMÁTICA</p><p>3</p><p>NOÇÕES SOBRE CONJUNTOS</p><p>Conjunto dos números naturais: N</p><p>É o conjunto: N = {0, 1, 2, 4, 5, ...}</p><p>Excluindo-se o zero desse conjunto, obtemos o conjunto</p><p>dos números inteiros positivos, indicado por:</p><p>N* = {1, 2, 3, 4, 5,...}</p><p>(* indica a exclusão do zero de um conjunto)</p><p>Conjunto dos números inteiros: Z</p><p>É o conjunto: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}</p><p>Este conjunto inclui os números inteiros positivos, os intei-</p><p>ros negativos e o zero como elemento central.</p><p>Dizemos que o oposto (ou simétrico) de 2 é -2, de -5</p><p>é 5, e assim por diante.</p><p>Conjunto dos números racionais: Q</p><p>Todos os números que podem ser obtidos da divisão</p><p>(razão) entre 2 números inteiros são chamados números</p><p>racionais e formam o conjunto:</p><p>Q = {x/x = a/b; a  Z e B  Z*}</p><p>Observe: O número b não pode ser zero.</p><p>Exemplos de números racionais:</p><p>a)</p><p>10</p><p>4</p><p>2 5 , Q b)</p><p>18</p><p>3</p><p>6  Q c)</p><p>10</p><p>3</p><p>3 333 , . . . Q</p><p>Atenção: Vemos que a representação decimal de um</p><p>número racional:</p><p>1º) ou é exata</p><p>7</p><p>4</p><p>1 75</p><p></p><p></p><p></p><p>,</p><p>2º) ou é periódica</p><p>7</p><p>11</p><p>0 636363</p><p></p><p></p><p></p><p>, . . .</p><p>Quer dizer: na divisão de 2 inteiros, ou a conta termi-</p><p>na ou prolonga-se repetitivamente (dízima periódica).</p><p>Conjunto dos números reais: R</p><p>Existem números cuja representação decimal não é exa-</p><p>ta e nem periódica, não sendo, portanto, números racionais.</p><p>São chamados irracionais.</p><p>1,4142135624... = 2  Q</p><p>3,1415926535... =   Q</p><p>Unindo o conjunto de todos esses números com o conjun-</p><p>to dos racionais, formamos o conjunto R dos números reais.</p><p>Note que todo número natural é também inteiro, todo intei-</p><p>ro é também racional e todo racional é também real, portanto:</p><p>N Z Q R  </p><p>N</p><p>Z</p><p>Q</p><p>R</p><p>OPERAÇÕES COM CONJUNTOS:</p><p>Diagramas de Venn-Euler</p><p>1ª) União (U):</p><p>A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por</p><p>todos os elementos que pertencem a A ou a B.</p><p> A B x x A ou x B   /</p><p>Exemplo:</p><p>a) A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7}</p><p>A B  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}</p><p>       n A B n A n B n A B    </p><p>BA</p><p>.2</p><p>.0 .1 .5</p><p>.4 .3 .7</p><p>2ª) Interseção ( ):</p><p>A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto forma-</p><p>do pelos elementos que são comuns a A e B, ou seja, que</p><p>pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B.</p><p> A B x x A e x B   /</p><p>Exemplo: a) A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 3, 5, 7}</p><p>A B  {1, 3}</p><p>BA</p><p>.2</p><p>.1 .5</p><p>.4 .3 .7</p><p>Obs.: Quando A B =  , os conjuntos A e B são</p><p>chamados DISJUNTOS.</p><p>3ª) Diferença de Conjuntos:</p><p>A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto formado</p><p>pelos elementos que pertencem a A mas não pertencem a B.</p><p>A - B = {x / x  A e x  B}</p><p>Exemplo: Sendo A = {1, 3, 5, 7} e B = {2, 3, 5}, temos</p><p>A - B = {1, 7}</p><p>BA .1 .3</p><p>.7 .5 .2</p><p>4ª) Complementar:</p><p>Se B  A, a diferença A - B denomina-se complementar</p><p>de B em relação a A e indica-se por:</p><p>  A</p><p>B A B</p><p>Exemplo: Sendo A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e</p><p>B= {2, 3}, então:</p><p>CA B = A - B = {0, 1, 4, 5}</p><p>BA</p><p>.1</p><p>.2</p><p>.4</p><p>.0</p><p>.3 .5</p><p>A B</p><p>Obs.: O complementar de A em relação ao conjunto Uni-</p><p>verso, representa-se por:</p><p>U</p><p>A’ A</p><p>NÚMEROS RELATIVOS</p><p>Sejam os subconjuntos lineares dos números reais, cuja</p><p>representação através da reta geométrica se faz por intermé-</p><p>dio de intervalos. Sendo a e b dois números reais tais que a <</p><p>b, podemos definir:</p><p>1º) Intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto:</p><p>[a, b] = {x R / a x b} cuja representação na reta é:</p><p>b IR</p><p>2º) Conjunto do intervalo aberto de extremos a e b:</p><p>]a, b[ = {x R / a < x < b}</p><p>a b IR</p><p>3º) O conjunto do intervalo semi-aberto à direita:</p><p>[a, b[ = {x R / a x < b}</p><p>a b IR</p><p>4º) Conjunto do intervalo semi-aberto à esquerda:</p><p>]a, b] = {x R / a < x b}</p><p>a b IR</p><p>MATEMÁTICA</p><p>4</p><p>OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS:</p><p>ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO</p><p>E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS.</p><p>Adição e Subtração: a adição e subtração de números</p><p>seguem duas regras básicas a saber:</p><p>1ª) Se dois números têm sinais iguais (ambos positivos</p><p>ou ambos negativos), somamos os seus valores absolutos e</p><p>conservamos o sinal. Ex.: 7 + 3 = 10 e 5 + 12 = 17.</p><p>Obs.: Lembrar que se um número não é precedido de</p><p>sinal, ele é positivo: (7 + 3 = +7 + 3 = + 10).</p><p>2ª) Dois números com sinais diferentes, subtraímos sem-</p><p>pre, e damos o sinal daquele que possui maior valor absoluto.</p><p>Ex.: -7 + 4 = -(7 - 4) = -3 maior valor absoluto (no caso - 7) e 3</p><p>- 8 = - (8 - 3) = -5 maior valor absoluto (no caso - 8).</p><p>Multiplicação e divisão: na multiplicação e divisão de</p><p>números, seguimos também duas regras básicas:</p><p>1ª) Se dois números têm sinais iguais, o produto ou a</p><p>divisão entre eles, será sempre positivo, assim:</p><p>(+) . (+) = (+) e (+) : (+) = (+) ou (-) . (-) = (+) e (-) : (-) = (+).</p><p>2ª) Se dois números têm sinais diferentes, o produto ou a</p><p>divisão entre eles, será sempre negativo, assim:</p><p>(+) . (-) = (-) e (+) : (-) = (-) ou (-) . (+) = (-) e (-) : (+) = (-).</p><p>Obs.: Nas expressões numéricas, onde ocorrem várias</p><p>operações, devemos seguir a seguinte hierarquia.</p><p>- Primeiro: resolvemos as multiplicações ou divisões;</p><p>- Segundo: resolvemos as somas ou subtrações.</p><p>Se nessas expressões aparecerem parênteses,</p><p>colchetes ou chaves, a hierarquia de resolução será:</p><p>- Primeiro: resolvemos as operações entre parênteses;</p><p>- Segundo: resolvemos as operações entre colchetes;</p><p>- Terceiro: resolvemos as operações entre chaves.</p><p>Ex.: Efetuar:</p><p>a) 3 - 5. (-4) + 7</p><p>3 + 20 + 7 = 30</p><p>Resp.: 30</p><p>Efetuar: b) [5 - 3 - (4 : 2 + 5) . 3] =</p><p>Resolução: [5 - 3 - (2 + 5) . 3] = [5 - 3 - 7 . 3] = [2 - 21] =</p><p>Resp.: -19</p><p>NÚMEROS PRIMOS:</p><p>DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS,</p><p>MÁXIMO DIVISOR COMUM,</p><p>MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM</p><p>E SUAS PROPRIEDADES.</p><p>Múltiplos e divisores de um número: Um número "A"</p><p>é múltiplo de um número "B" (B 0) se a divisão de "A"por</p><p>"B" for exata e inteira.</p><p>Obs.:</p><p>a) Todo número tem uma infinidade de múltiplos, isto é, o</p><p>conjunto dos múltiplos de um número é infinito.</p><p>b) Excluindo o zero, que é múltiplo de todo número, o menor</p><p>múltiplo de um número é ele próprio.</p><p>Ex.: Montar o conjunto dos múltiplos de: a) 7 e b) 5</p><p>a) Vamos procurar todos os números que divididos por 7,</p><p>dão resultado exato e inteiro, são eles:</p><p>{0, 7, 14, 21, 28, ...}, ou {x / x = 7n e x Z } +</p><p>b) Vamos procurar todos os números que divididos por 5,</p><p>dão resultado exato e inteiro, são eles:</p><p>{0, 5, 15, 20, 25, ...}, ou {x / x = 5n e x Z } +</p><p>"Um número A (A 0) é divisor de um número B, se a</p><p>divisão de B por A for exata e inteira".</p><p>Obs.: a) Todo número inteiro é diferente de 1, admite pelo</p><p>menos, dois divisores.</p><p>b) O número de divisores de um número inteiro e diferente</p><p>de zero é limitado, isto é, o conjunto dos divisores de um</p><p>número, é finito.</p><p>c) O número que admite apenas a unidade e ele próprio</p><p>como divisor é chamado número primo.</p><p>Ex.: 1) Montar o conjunto dos divisores de: a) 8 e b) 20.</p><p>Resolução:</p><p>a) Vamos procurar todos os números que dividem o 8 de</p><p>forma exata e inteira. São eles: {1, 2, 4, 8};</p><p>b) Vamos procurar todos os números que dividem o 20 em</p><p>forma exata e inteira. São eles:{1, 2, 4, 5, 10, 20}.</p><p>2) Montar o conjunto dos números primos até 50:</p><p>Resolução:</p><p>Vamos procurar os números menores que 50, que</p><p>admitem apenas a unidade e ele próprio como fator (fator é</p><p>sinônimo de divisor), são eles: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,</p><p>29, 31, 37, 41, 43, 47}</p><p>REGRAS DE DIVISIBILIDADE</p><p>Divisibilidade por 2: "um número admite o 2 como fator,</p><p>quando seu último algarismo for { 0, 2, 4, 6, 8} isto é, se ele for</p><p>par". Ex.: O conjunto dos números menores que 20, que admitem</p><p>o 2 como fator são: {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}</p><p>Divisibilidade por 3 ou 9: "um número admite o 3 ou o 9,</p><p>como fator, quando a soma de seus algarismos for divisível</p><p>por 3 ou por 9 respectivamente".</p><p>Ex.: a) 345 é divisível por 3 pois: 3 + 4 + 5 = 12 e 12 é</p><p>divisível por 3. Sendo assim a divisão de 345 por 3 será exata</p><p>e inteira:</p><p>b) 108 é divisível por 9, pois: 1 + 0 + 8 = 9 e 9 é divisível por</p><p>9. Sendo assim a divisão de 108 por 9 será exata e inteira.</p><p>345 3</p><p>04 115</p><p>15</p><p>0</p><p>quociente: 115</p><p>resto: 0</p><p>108 9</p><p>18 12</p><p>0</p><p>quociente: 12</p><p>resto: 0</p><p>Obs.: É importante notar que todo número que é divisível por 9,</p><p>será divisível por 3, mas o contrário</p><p>= c Ex.: log</p><p>10</p><p>3 = log</p><p>10</p><p>x \ x = 3</p><p>SISTEMA DE LOGARÍTMOS:</p><p>a) Sistema de logarítmos decimais:</p><p>É o sistema de base 10 ou de Briggs.</p><p>Representação: log</p><p>10</p><p>x ou logx</p><p>b) Sistema de logarítmos neperianos:</p><p>É o sistema de base e ou logarítmos neperianos.</p><p>Representação: log</p><p>e</p><p>x ou 1n x onde: e = 2,718.. .</p><p>(número irracional)</p><p>RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS:</p><p>Exemplo: Resolver a equação log</p><p>x</p><p>81 = 4</p><p>Resolução: CE = {x > 0 e x 1}</p><p>log</p><p>x</p><p>81 = 4 \ 81 = x4 \ x = +-</p><p>4</p><p>81 \ x = +- 3</p><p>Verificação:</p><p>para que x = 3 para que x = -3</p><p>3 > 0 (V) e 3 1 (V) -3 > 0 (F) e -3 1 (V)</p><p>Resposta: S = {3}</p><p>PROPRIEDADES DOS LOGARÍTMOS:</p><p>1ª) Logarítmo de um produto: O logarítmo de um pro-</p><p>duto é igual à soma dos logarítmos dos fatores tomados na</p><p>mesma base, isto é:</p><p>log</p><p>b</p><p>(a . c) = log</p><p>b</p><p>a + log</p><p>b</p><p>c</p><p>Exemplo: Calcular o valor de log</p><p>3</p><p>(9 . 27)</p><p>Resolução: Aplicando a propriedade do logarítmo de um</p><p>produto, temos:</p><p>log</p><p>3</p><p>(9 . 27) = log</p><p>3</p><p>9 + log</p><p>3</p><p>27 = 2 + 3 = 5</p><p>Resposta: 5</p><p>2ª) Logarítmo de um quociente: O logarítmo de um</p><p>quociente é igual ao logarítmo do numerador menos o logarítmo</p><p>do denominador tomados na mesma base, isto é:</p><p>log</p><p>b</p><p>a/c = log</p><p>b</p><p>a - log</p><p>b</p><p>c com a >0, c > 0 e 1 b > 0</p><p>Exemplo: Calcular o valor de log</p><p>3</p><p>81/9</p><p>Resolução: Aplicando a propriedade do logarítmo do em</p><p>quociente, temos:</p><p>log</p><p>3</p><p>81/9 = log</p><p>3</p><p>81 - log</p><p>3</p><p>9 = 4 - 2 = 2</p><p>Resposta: 2</p><p>3ª) Logarítmo de uma potência: O logarítmo de uma</p><p>potência é igual ao produto do expoente pelo logaríimo da</p><p>base da potência, isto é:</p><p>log</p><p>b</p><p>an = n . log</p><p>b</p><p>a com a > 0 e 1 b > 0</p><p>Exemplo: Sabendo-se que:</p><p>log</p><p>x</p><p>a = 8, log</p><p>x</p><p>b = 2 e log</p><p>x</p><p>c = 1, calcular:</p><p>a) log x</p><p>a 3</p><p>b . c 2 4</p><p>Resolução: a) log x</p><p>a 3</p><p>b . c 2 4 = log</p><p>x</p><p>a3 = log</p><p>x</p><p>b2c4)</p><p>= 3 log</p><p>x</p><p>a - (log</p><p>x</p><p>b2 + log</p><p>x</p><p>c4)</p><p>= 3 log</p><p>x</p><p>a - 2 log</p><p>x</p><p>b - 4 log</p><p>x</p><p>c</p><p>Resposta: 16</p><p>= 3 . 8 - 2 . 2 - 4 . 1 = 24 - 4 - 4 = 16</p><p>COLOGARÍTMO: colog</p><p>a</p><p>b = -log</p><p>a</p><p>b</p><p>Chama-se cologarítmo de um número real b, positivo, uma</p><p>certa base a (0 < a 1), ao oposto do logarítmo de b na</p><p>base a.</p><p>ANTILOGARÍTMO: log</p><p>a</p><p>b = c Û b = antilog</p><p>a</p><p>c</p><p>MUDANÇA DE BASE:</p><p>a</p><p>log b = e log b =</p><p>log b</p><p>c</p><p>log a</p><p>c</p><p>a log a</p><p>b</p><p>1</p><p>LOGARÍTMOS DECIMAIS:</p><p>a) Logarítmo decimal de uma potência de 10:</p><p>Ex.: log 10 = 1; log 103 = 3;</p><p>log 0,01 = log 10-2 = -2</p><p>MATEMÁTICA</p><p>21</p><p>b) Característica e Mantissa:</p><p>Quando escrevemos o logarítmo de um número podemos</p><p>separar a parte inteira (característica) da parte não inteira</p><p>(mantissa).</p><p>Por exemplo: log 200 = 2,3010</p><p>Portanto: log 200 = 2 + 0,3010</p><p>c) Característica de log b:</p><p>1º Caso: O número b é maior ou igual a 1.</p><p>A característica de log b é obtida tomando-se a quanti-</p><p>dade de algarismos que b apresenta na parte inteira e dela</p><p>subtraindo-se uma unidade.</p><p>Ex.: I) log 3 = 0,... II) 0 log 35 = 1,...</p><p>2º Caso: O número b é menor que 1 e maior que zero.</p><p>A característica de log b é obtida tomando-se a quantida-</p><p>de de zeros que b apresenta antes do primeiro algarismo não-</p><p>nulo e colocando-se sinal negativo no número encontrado.</p><p>Ex.: I) log 0,3 = -1 + mantissa \ log 0,3 = 1...</p><p>Obs.: O traço sobre a característica indica que ela é ne-</p><p>gativa.</p><p>Quando o logarítmo é um número negativo costuma-se</p><p>escrevê-lo na forma mista ou preparada. Nesta forma, continua</p><p>a característica negativa, sendo a mantissa, porém, positiva.</p><p>Ex.:I) log 0,2 = -1 + 0,301 = 1, 301</p><p>-</p><p>II) log 0,3 = -1 + 0,477 = 1, 477</p><p>-</p><p>e) Mudança de um logarítmo negativo para a for-</p><p>ma preparada:</p><p>Exemplo:</p><p>log x = -3,421 = -3,421 =</p><p>-3 - 0,421 = -3 -1 + 1 - 0,421</p><p>Então: log x = -4 + 0,579 = 4,579</p><p>-</p><p>f) Propriedade da Mantissa:</p><p>Multiplicando-se ou dividindo-se um número por 10 (ou</p><p>potência inteira de 10) o seu logarítmo decimal CONSERVA a</p><p>mantissa só alterando a característica.</p><p>Ex.: log 2 = 0 + 0,3010 = 0,3010</p><p>log 20 = log (10 . 2) = log 10 + log 2 =</p><p>1 + 0,3010 = 1,3010</p><p>log 0,2 = log = -log 10 + log 2 =</p><p>-1 + 0,3010 = 1,3010</p><p>2</p><p>10</p><p>g) Tábuas de Logarítmos:</p><p>Os valores aproximados das mantissas dos logarítmos</p><p>se apresentam em tábuas, que são chamadas: TÁBUAS DE</p><p>LOGARÍTMOS.</p><p>PROBLEMAS:</p><p>01. As raízes da equação 3x2 + 4x + 1= 0 são:</p><p>a) -1 e -1/3 b) 1 e 1/3 c) -1 e 1/3</p><p>d) 1 e -1/3 e) N.D.A.</p><p>02. Os coeficientes a, b e c da equação:</p><p>12x2 + 17x + 5 = 0 são:</p><p>a) a = 20, b = 10 e c = 50</p><p>b) a = 12, b = 7 e c = 5</p><p>c) a = 12, b = 17 e c = 5</p><p>d) a = 12, b = 7 e c = 22</p><p>e) N. D. A.</p><p>03. Na equação 2x2 - 7x + 4= 0, a soma das raízes é igual a:</p><p>a) 3/4 b) 4/3 c) 3/7 d) 7/2 e) N.D.A.</p><p>04 - As raízes que satisfazem a equação: 2x2 + 3x - 2 = 0 são:</p><p>a) +1; -2 b) 1</p><p>2+ ; +2 c) 1</p><p>2+ ; -2 d) 1</p><p>2- ; +2 e) 1</p><p>2- ; -2</p><p>Gabarito:</p><p>01 - A 02 - C 03 - D 04 - C</p><p>SISTEMA MÉTRICO</p><p>MEDIDAS DE COMPRIMENTO:</p><p>Unidade Padrão: Metro (m)</p><p>- Múltiplos:</p><p>Decâmetro (dam) ... 1 dam = 10 m</p><p>Hectômetro (hm) ... 1 hm = 100 m</p><p>Quilômetro (km) ... 1 km = 1000 m</p><p>- Sub-Múltiplos:</p><p>Decímetro (dm) ... 1 dm = 0,1 m</p><p>Centímetro (cm) ... 1 cm = 0,01 m</p><p>Milímetro (mm) ... 1 mm = 0,001 m</p><p>Representando numa escala, teríamos:</p><p>km hm dam m dm cm mm</p><p>Ex.: Transformar em metros cada uma das medidas seguintes:</p><p>a) 10,8 km b) 50,36 dam</p><p>Solução:</p><p>a) 10,8 km - Devemos deslocar a vírgula 3 casas para a</p><p>direita (sentido da seta) 10,8 km = 10.800 m</p><p>km hm dam m</p><p>b) 50,36 dam - Devemos deslocar a vírgula 1 casa para a</p><p>direita (sentido da seta) 50,36 dam = 503,6 m</p><p>hm dam m</p><p>UNIDADES DE ÁREA:</p><p>Unidade Padrão: Metro Quadrado (m2)</p><p>- Múltiplos:</p><p>Decâmetro quadrado (dam2) ... 1 dam2 = 100 m2</p><p>Hectômetro quadrado (hm2) ... 1 hm2 = 10.000 m2</p><p>Quilômetro quadrado (km2) ... 1 km2 = 1.000.000 m2</p><p>- Sub-Múltiplos:</p><p>Decímetro quadrado (dm2) ... 1 dm2 = 0,01 m2</p><p>Centímetro quadrado (cm2) ... 1 cm2 = 0,0001 m2</p><p>Milímetro quadrado (mm2) ... 1 mm2 = 0,000001 m2</p><p>Representando numa escala, teríamos:</p><p>km hm dam m dm cm mm2 2 2 2 2 2 2</p><p>Obs.: Nas transformações de unidades, a cada unidade</p><p>ultrapassada, corresponde a 2 (dois) deslocamentos da vírgula.</p><p>Ex.: Transformar em m2 cada uma das medidas seguintes:</p><p>a) 45 dam2 b) 0,0057 km2</p><p>Solução:</p><p>a) 45 dam2 - Devemos deslocar a vírgula 2 casas para a</p><p>direita (sentido da seta) 45 dam2 = 4500 m2</p><p>hm dam m2 2 2</p><p>b) 0,0057 km2 - Devemos deslocar a vírgula 6 casas para a</p><p>direita (sentido da seta) 0,0057 km2 = 0005700 m2 = 5.700 m2</p><p>2km hm dam m2 2 2</p><p>UNIDADES DE VOLUME:</p><p>Unidade Padrão: Metro Cúbico (m3)</p><p>- Múltiplos:</p><p>Decâmetro cúbico (dam3) ... 1 dam3 = 1.000 m3</p><p>Hectômetro cúbico (hm3) ... 1 hm3 = 1.000.000 m3</p><p>Quilômetro cúbico (km3) ... 1 km3 = 1.000.000.000 m3</p><p>- Sub-Múltiplos:</p><p>Decímetro cúbico (dm3) ... 1 dm2 = 0,001 m3</p><p>Centímetro cúbico (cm3) ... 1 cm2 = 0,000001 m3</p><p>Milímetro cúbico (mm3) ... 1 mm2 = 0,00000001 m3</p><p>MATEMÁTICA</p><p>22</p><p>Representando numa escala, teríamos:</p><p>km hm dam m dm cm mm3 3 3 3 3 33</p><p>Obs.: Nas transformações de unidades, a cada unidade</p><p>ultrapassada, corresponde a 3 (três) deslocamentos da vírgula.</p><p>UNIDADES DE MASSA:</p><p>Unidade Padrão: Grama (g)</p><p>- Múltiplos: Decagrama (dag) ... 1 dag = 10 g</p><p>Hectograma (hg) ... 1 hg = 100 g</p><p>Quilograma (kg) ... 1 kg = 1.000 g</p><p>- Sub-Múltiplos: Decigrama (dg) ... 1 dg = 0,1 g</p><p>Centigrama (cg) ... 1 cg = 0,01 g</p><p>Miligrama (mg) ... 1 mg = 0,001 g</p><p>Representando numa escala, teríamos:</p><p>kg hg dag g dg cg mg</p><p>Obs.: Nas transformações de unidades, a cada unidade</p><p>ultrapassada, corresponde a 1 (um) deslocamento da vírgula.</p><p>Ex.: Transformar em grama cada uma das medidas se-</p><p>guintes:</p><p>a) 0,0375 kg b) 3,28 dag</p><p>Solução:</p><p>a) 0,0375 kg</p><p>- Devemos deslocar a vírgula 3 casas para a direita (sen-</p><p>tido da seta) 0,0375 kg = 0037,5 g = 37,5 g</p><p>Ex.: Transformar em m3 cada uma das medidas seguintes:</p><p>a) 1,73 dam3 b) 0,00037 hm3</p><p>Solução: a) 1,73 dam3</p><p>- Devemos deslocar a vírgula 3 casas para a direita (sen-</p><p>tido da seta) 1,73 dam3 =1730 m3</p><p>dam m3 3</p><p>b) 0,00037 hm3</p><p>- Devemos deslocar a vírgula 6 casas para a direita (sen-</p><p>tido da seta) 0,0037 hm3 = 0000370 m3 = 370 m3</p><p>hm dam m3 3 3</p><p>UNIDADES DE CAPACIDADE:</p><p>Unidade Padrão: Litro ( l )</p><p>- Múltiplos:</p><p>Decalitro (dal) ... 1 dal = 10 l</p><p>Hectolitro (hl) ... 1 hl = 100 l</p><p>Quilolitro(kl) ... 1 kl = 1.000 l</p><p>- Sub-Múltiplos:</p><p>Decilitro (dl) ... 1 dl = 0,1 l</p><p>Centilitro (cl) ... 1 cl = 0,01 l</p><p>Mililitro (ml) ... 1 ml = 0,001 l</p><p>Representando numa escala, teríamos:</p><p>kl hl dal l dal cl ml</p><p>Obs.: Nas transformações de unidades, a cada unidade</p><p>ultrapassada, corresponde a 1 (um) deslocamento da vírgula.</p><p>a) 722,70 hl b) 0,0036 kl</p><p>Solução: a) 722,70 hl</p><p>- Devemos deslocar a vírgula 2 casas para a direita (sen-</p><p>tido da seta) 722,70 hl = 72.270 l</p><p>hl dal l</p><p>b) 0,0036 kl - Devemos deslocar a vírgula 3 casas para a</p><p>direita (sentido da seta) 0,0036 kl = 0003,6 l = 3,6 l</p><p>kl hl dal l</p><p>Obs. Importante: é muito comum, na prática, a trans-</p><p>formação de volume para capacidade. O vínculo entre as</p><p>duas unidades é: 1 dm3 = 1 l</p><p>Ex.: Transformar em litros, cada uma das medidas seguintes:</p><p>a) 8,5 dam3 b) 32.000 mm3</p><p>Transformar em litros é o mesmo que transformar em</p><p>dm3, entćo: 8,5 dam3 = 8.500.000 dm3</p><p>8,5 dam3 = 8.500.000 l</p><p>b) 32.000 mm3:</p><p>32.000 mm3 = 0,032000 dm3 = 0,032 dm3</p><p>32.000 mm3 = 0,032 l</p><p>dam m dm3 3 3</p><p>1,7 m3 = 1700 dm3 1,7 m3 = 1700 l 1700 l = 1,700 kl</p><p>ou 1,7 kl</p><p>kg hg dag g</p><p>b) 3,28 dag</p><p>- Devemos deslocar a vírgula 1 casa para a direita</p><p>(sentido da seta) 3,28 dag = 32,8 g</p><p>dag g</p><p>UNIDADES DE TEMPO:</p><p>Unidade Padrão: Segundo (seg)</p><p>- Múltiplos: minuto (min) ... 1 min = 60 seg</p><p>hora (h) ... 1 h = 3600 seg</p><p>- Sub-múltiplos: não existem.</p><p>Obs.: É fácil notar que: 1 h = 60 min</p><p>Ex.: 1) Transformar em segundos cada uma das medidas</p><p>seguintes:</p><p>a) 2,32 h b) 3 h e 20 min</p><p>Solução: a) Basta multiplicar por 3.600, assim:</p><p>2,32</p><p>3600</p><p>1392 2,32 h = 8.352 seg</p><p>696</p><p>8352,00</p><p>b) Transformar em segundos, as horas e os minutos,</p><p>separadamente, assim: 3600 . 3 = 10800</p><p>60 . 20 = 1200</p><p>3 h e 20 min = (10800 + 1200) seg = 12000 seg</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS:</p><p>- Transformar:</p><p>01) 18,32 dam em m 02) 0,37 mm em cm</p><p>03) 3500 mm em dm 04) 32 m2 em dm2</p><p>05) 3,152 cl em hl 06) 41,36 km2 em dam2</p><p>07) 2035,70 l em mm3 08) 13,901 ml em dal</p><p>09) 321 dm2 em dam2 10) 32,5 g em dg</p><p>11) 0,437 mm3 em dm3 12) 1.014 seg em min</p><p>13) 3,42 h em seg 14) 2.076 min em h</p><p>GABARITO:</p><p>01) 183,2 m 02) 0,037 cm</p><p>03) 35 dm 04) 3.200 dm2</p><p>05) 0,0003152 hl 06) 413.600 dam2</p><p>07) 2.035.700.000 mm3 08) 13.901 dal</p><p>09) 0,0321 dam2 10) 325 dg</p><p>11) 0,000000437 dm3 12) 16,9 min</p><p>13) 12.312 seg 14) 34,6 h</p><p>2) Um determinado recipiente tem 1,7 m3 de volume. Qual</p><p>a sua capacidade em quilolitros.</p><p>Solução: Devemos transformar 1,7 m3 para dm3 (ou li-</p><p>tros) e este resultado, para quilolitros.</p><p>dm cm mm3 3 3</p><p>MATEMÁTICA</p><p>23</p><p>SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO</p><p>Moeda</p><p>Unidade de valor-padrão utilizada como instrumento de troca</p><p>por uma comunidade.</p><p>É o meio pelo qual os preços são expressos, as dívidas</p><p>liquidadas, as mercadorias e os serviços pagos e a poupança</p><p>efetuada.</p><p>A moeda corrente é o dinheiro oficial de um país para todos</p><p>os tipos de transação.</p><p>Como o controle da moeda é vital não apenas para o equilíbrio</p><p>da economia de um país mas também para as relações comerci-</p><p>ais entre nações, é criado um sistema monetário internacional.</p><p>Origem – Na Antiguidade, as mercadorias produzidas numa</p><p>comunidade servem como meio de pagamento para suas transa-</p><p>ções comerciais.</p><p>Destaca-se sempre uma entre as demais.</p><p>Como moeda, já circularam peles, fumo, óleo de oliva, sal,</p><p>mandíbulas de porco, conchas, gado e até crânios humanos.</p><p>O ouro e a prata ganham rapidamente preferência em razão</p><p>da beleza, durabilidade, raridade e imunidade à corrosão.</p><p>Base monetária – Cabe às autoridades de um país a for-</p><p>mulação de uma política monetária para controlar a quantidade de</p><p>dinheiro em circulação.</p><p>Quando é bem-sucedida, o valor da moeda permance está-</p><p>vel.</p><p>Quanto mais altos os juros, mais caros se tornam os emprés-</p><p>timos.</p><p>Outros controles possíveis são o de entrada e saída do capi-</p><p>tal internacional e o das regras para compras a prazo.</p><p>Países de base monetária escassa incentivam a entrada de</p><p>capital estrangeiro, com o intuito de aumentar a quantia aplicada</p><p>na economia nacional.</p><p>As restrições ao consumo provocam aumento do dinheiro</p><p>poupado e, por conseqüência, das reservas do país.</p><p>Câmbio – Moedas de valor estável no mercado internacio-</p><p>nal de câmbio são consideradas fortes e traduzem a posição</p><p>comercial de um país.</p><p>A mais forte do mundo é o dólar norte-americano, adotado</p><p>como unidade monetária dos EUA em 1785.</p><p>O Brasil acumula oito alterações monetárias no período repu-</p><p>blicano: réis, cruzeiro, cruzeiro novo, cruzado, cruzado novo,</p><p>cruzeiro e cruzeiro real tiveram seu valor arrasado pela inflação.</p><p>O real, criado em 1994, apresenta, em 1995, atributos de</p><p>moeda forte, por sua pequena variação, mantendo o poder de</p><p>compra estável. Mas a avaliação do comportamento de uma mo-</p><p>eda só é válida quando feita por longos períodos.</p><p>OBSERVAÇÕES</p><p>Um pequeno histórico legislativo de nossa moeda:</p><p>a) O Decreto-lei nº 4.791, de 5 de outubro de 1942, institui o</p><p>CRUZEIRO. A centésima parte do cruzeiro passa a denominar-se</p><p>CENTAVO. O cruzeiro passava a corresponder a mil réis.</p><p>b) A Lei nº 4.511, de 1º de dezembro de 1964, mantém o</p><p>CRUZEIRO, mas determina a extinção do CENTAVO.</p><p>c) O Decreto-lei nº 1, de 13 de novembro de 1965, institui o</p><p>CRUZEIRO NOVO, restabelece o CENTAVO.</p><p>O cruzeiro passava a corresponder a um milésimo do cruzeiro</p><p>novo.</p><p>Sua vigência foi fixada para a partir de 13 de fevereiro de</p><p>1967, conforme Resolução nº 47, de 8 de fevereiro de 1967, do</p><p>Banco Central da República do Brasil, determina que a unidade</p><p>do sistema monetário brasileiro passe a denominar-se CRUZEIRO.</p><p>e) A Lei nº 7.214, de 15 de agosto de 1984, extingue o centavo.</p><p>f) O Decreto-lei nº 2.284, de 10 de março de 1986, cria o</p><p>CRUZADO, em substituição ao CRUZEIRO, correspondendo o</p><p>cruzeiro a um milésimo do cruzado.</p><p>g) A Lei nº 7.730, de 31 de janeiro de 1989, institui o CRUZADO</p><p>NOVO, em substituição ao CRUZADO, e mantém o CENTAVO.</p><p>O cruzado novo corresponde a um mil cruzados.</p><p>h) Por determinação da Lei nº 8.204, de 12 de abril de 1990,</p><p>a moeda nacional passou a denominar-se CRUZEIRO, sem outra</p><p>modificação, mantido o centavo e correspondendo o cruzeiro a</p><p>um cruzado novo.</p><p>i) A Lei nº 8.697, de 27 de agosto de 1993, alterou a moeda</p><p>nacional, estabelecendo a denominação CRUZEIRO REAL, para</p><p>a unidade do sistema monetário nacional brasileiro.</p><p>j) A Lei nº 8.880, de 27 de maio de 1994, instituiu a URV</p><p>(Unidade Real de Valor), para junto com o CRUZEIRO REAL integrar</p><p>o Sistema Monetário Nacional, ficando extinta com o advento da</p><p>nova moeda - o REAL.</p><p>k) A Lei nº 9.069, de 29 de junho de 1995, alterou a moeda</p><p>nacional, instituindo o REAL como a unidade do Sistema Monetário</p><p>Nacional, denominando a centésima parte de CENTAVO.</p><p>PROBLEMA ENVOLVENDO DINHEIRO</p><p>1 real - R$1,00 = 100 centavos</p><p>As moedas brasileiras são de 5, 10, 25, 50 e 100</p><p>centavos</p><p>e são representadas respectivamente por R$ 0,05 - R$</p><p>0,10 - R$ 0,25 - R$ 0,50 - R$ 1,00</p><p>As notas são de 5, 10, 20, 50, 100 reais</p><p>e são representadas respectivamente por R$ 5,00 - R$</p><p>10,00 - R$ 20,00 - R$ 50,00 - R$ 100,00</p><p>1) Quantos reais são necessários para se comprar 2500</p><p>centavos?</p><p>Resolução: 1 real = 100 centavos</p><p>x reais = 2500 centavos</p><p>100 . x = 2500 . 1</p><p>x = 2500/100</p><p>x = 25</p><p>Resposta: R$ 25,00</p><p>SISTEMAS LINEARES</p><p>1 - INTRODUÇÃO:</p><p>Equação Linear: Toda equação da forma</p><p>bxaxaxa nn </p><p>  </p><p>...2211</p><p>é denominada equação linear, em que:</p><p>naaa ...,,, 21 são coeficientes e</p><p>nxxx ...,,, 21 são incógnitas;</p><p>b é o termo independente.</p><p>Exemplos:</p><p>532) 321  xxxa</p><p>é uma equação linear a três incógnitas</p><p>1)  zyxb</p><p>é uma equação linear a quatro incógnitas</p><p>OBSERVAÇÕES:</p><p>1º - Quando o termo independente b for igual a zero, a</p><p>equação linear denomina-se equação linear homogênea.</p><p>Por exemplo: 5x - 3y = 0.</p><p>2º - Uma equação linear não apresenta termos da forma</p><p>2.4323 2</p><p>2</p><p>1  yxexx não são lineares.</p><p>3º - A solução de uma equação linear a n incógnitas é a</p><p>sequência de números reais ou ênupla ),,...,( 21 n , que,</p><p>colocados respectivamente no lugar de nxxx ...,, 11 , tornam</p><p>verdadeira a igualdade dada.</p><p>4º - Uma solução evidente da equação linear homogênea</p><p>3x + y = 0 é a dupla (0,0).</p><p>Exemplo: Dada a equação linear</p><p>4x - y + z = 2, encon-</p><p>trar uma de suas soluções.</p><p>Resolução: Vamos atribuir valores arbitrários a x e y e</p><p>obter o valor de z.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>24</p><p>Resposta: Uma das soluções é a tripla ordenada ( 2, 0, -6).</p><p>REGRA DE SOCIEDADE:</p><p>Definição: É uma divisão proporcional direta dos lucros</p><p>e/ou prejuízos de uma empresa ou firma em relação aos</p><p>capitais e tempos que cada sócio participou enquanto em</p><p>sociedade.</p><p>Tipos: Existem 3 casos de regra de sociedade.</p><p>1º caso: Capitais dos sócios são iguais.</p><p>Tempos de participação dos sócios são diferentes.</p><p>2º caso: Capitais dos sócios são iguais.</p><p>Tempo de participação dos sócios são iguais.</p><p>3º caso: Capitais e tempos de participação dos sócios</p><p>são diferentes.</p><p>6</p><p>202.4</p><p>0</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>z</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p>2 - SISTEMA LINEAR</p><p>Denomina-se sistema linear de m equações nas n incóg-</p><p>nitas x x xn1 2, , ..., todo sistema da forma seguinte:</p><p>Se o conjunto ordenado de números reais )...,,,( 11 n sa-</p><p>Resolução:</p><p>1º caso: Divisão proporcional direta do lucro e/ou preju-</p><p>ízo em relação aos tempos de participação dos sócios.</p><p>2º caso: Divisão proporcional direta do lucro e/ou preju-</p><p>ízo em relação aos capitais dos sócios.</p><p>3º caso: Divisão composta do lucro e/ou prejuízo em</p><p>relação ao produto do capital de cada sócio pelo respectivo</p><p>tempo que participou da sociedade.</p><p>Ex.: 1) Uma pessoa montou uma firma no dia 1º de janeiro.</p><p>No dia 1º de maio admitiu um sócio. No final do ano foi acusado</p><p>um lucro de R$ 4.000.000,00. Calcular o lucro de cada sócio.</p><p>Solução:</p><p>1º sócio trabalhou 12 meses</p><p>2º sócio trabalhou 8 meses</p><p>Pela regra prática:</p><p>a) 12 +8 = 20</p><p>b) 4.000.000,00 : 20 = 200.000</p><p>c) 200.000 x 12 = 2.400.000 => lucro do 1º sócio</p><p>200.000 x 8 = 1.600.000 => lucro do 2º sócio</p><p>Ex.: 2) Uma sociedade se fez no dia 30 de março. O 1º</p><p>sócio entrou com R$ 2.500.000,00 e o 2º com 1.700.000,00.</p><p>No dia 31 de dezembro foi constado um prejuízo de R$</p><p>2.100.000,00. Quanto coube a cada sócio?</p><p>Solução:</p><p>Pela regra prática:</p><p>a) 2.500.000 + 1.700.000 = 4.200.000</p><p>b) 2.100.000 : 4.200.000 = 0,5</p><p>c) 0,5 x 2.500.000 = 1.250.000 => prejuízo do 1º sócio</p><p>0,5 x 1.700.000 = 850.000 => prejuízo do 2º sócio</p><p>Ex.: 3) Em uma sociedade o lucro foi de R$ 2.700.000,00.</p><p>Calcular o lucro de cada sócio, sabendo que o 1º sócio</p><p>entrou com R$ 1.200.000,00 e trabalhou 3 meses e o 2º</p><p>sócio entrou com R$ 900.000,00 e trabalhou 5 meses.</p><p>Solução:</p><p>1.200.000 x 3 = 3.600.000</p><p>900.000 x 5 = 4.500.000</p><p>Pela regra prática:</p><p>a) 3.600.000 + 4.500.000 = 8.100.000</p><p>b) 2.700.000 : 8.100.000 = 1/3</p><p>c) 1/3 x 3.600.000 = 1.200.000 => lucro do 1º sócio</p><p>1/3 x 4.500.000 = 1.500.000 => lucro do 2º sócio</p><p>TESTES</p><p>1) Dois sócios lucraram R$ 90.000. O primeiro entrou</p><p>para a sociedade com R$ 20.000 e o segundo com R$ 25.000.</p><p>Qual o lucro de cada sócio?</p><p>a) R$ 40.000 R$ 50.000</p><p>b) R$ 60.000 R$ 30.000</p><p>c) R$ 55.000 R$ 35.000</p><p>d) R$ 70.000 R$ 20.000</p><p>e) R$ 65.000 R$ 25.000</p><p>2) Dois sócios tiveram um lucro de R$ 500.000. O primeiro</p><p>empregou R$ 100.000 durante 6 meses, o segundo empregou</p><p>R$ 80.000 durante 5 meses. Qual o lucro do 1º sócio?</p><p>3) Três sócios formam uma sociedade entrando cada um</p><p>com as quantias R$ 5.000, R$ 8.000 e R$ 8.000, respectiva-</p><p>mente. O primeiro permaneceu na sociedade durante 12 me-</p><p>ses, o segundo 7 meses e o terceiro 5 meses. O prejuízo des-</p><p>sas operações foi R$ 46.800. Qual o prejuízo menor dos três?</p><p>a) 18.000 b) 16.800 c) 12.000</p><p>d) 11.900 e) 16.500</p><p>GABARITO: 1) A 2) A 3) C</p><p>tisfizer a todas as equações do sistema, será denominado</p><p>solução do sistema linear.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>nnmnmm</p><p>nn</p><p>nn</p><p>bxaxaxa</p><p>bxaxaxa</p><p>bxaxaxa</p><p>...</p><p>....</p><p>....</p><p>....</p><p>...</p><p>...</p><p>2211</p><p>22222121</p><p>11212111</p><p> nn bbbaaa ...,,,,...,,, 2111211</p><p>são números reais.</p><p>OBSERVAÇÕES:</p><p>1º - Se o termo independente de todas as equações do</p><p>sistema for nulo, isto é, ,0...21  nbbb o sistema linear será</p><p>dito homogêneo.</p><p>Veja o exemplo: </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0325</p><p>04</p><p>02</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x =</p><p>y = z = 0.</p><p>Esta solução chama-se solução trivial do sistema ho-</p><p>mogêneo. Se o sistema homogêneo admitir outra solução em</p><p>que as incógnitas não são todas nulas, a solução será cha-</p><p>mada não-trivial.</p><p>2º - Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma</p><p>solução, eles são ditos sistemas equivalentes. Veja o</p><p>exemplo.</p><p> </p><p>  2,1</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>:</p><p>2,1</p><p>42</p><p>53</p><p>:</p><p>2</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>s</p><p>yx</p><p>y</p><p>x</p><p>s</p><p>s</p><p>yx</p><p>yx</p><p>s</p><p>Como os sistemas admitem a mesma solução, são equivalentes.</p><p>EXERCÍCIO: Seja o sistema</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>52</p><p>032</p><p>:</p><p>321</p><p>321</p><p>321</p><p>xxx</p><p>xxx</p><p>xxx</p><p>S</p><p>a) Verifique se (2,-1,1) é solução de S.</p><p>b) Verifique se (0,0,0) é solução de S.</p><p>R) a) é b) não é</p><p>MATEMÁTICA</p><p>25</p><p>JUROS SIMPLES</p><p>Juros simples é aquele calculado unicamente sobre o</p><p>capital inicial.</p><p>CÁLCULO DO JURO SIMPLES</p><p>Consideremos o problema:</p><p>Apliquei R$ 2.000,00 por 2 anos. Quanto receberei de</p><p>juros se a taxa foi de 36% ao ano?</p><p>Solução:</p><p>Se me pagam 36% ao ano, isto significa que recebo R$</p><p>36,00 em 1 ano em cada R$ 100,00 aplicados ou, então, que</p><p>em 100 recebo 36 em 1 ano.</p><p>Temos então:</p><p>Como as grandezas são diretamente proporcionais, vem:</p><p>isto é, receberei de juros R$ 1.440,00</p><p>Assim, designando por:</p><p>C o capital inicial ou principal;</p><p>j o juro simples;</p><p>n o tempo de aplicação;</p><p>r a taxa percentual;</p><p>i a taxa unitária,</p><p>temos: C = 2.000 / j = 1.440 / n = 2 / r = 36</p><p>Logo, de:</p><p>ou:</p><p>Lembrando que:</p><p>podemos escrever: j = C . n . i</p><p>Então, de um modo geral, podemos calcular os juros sim-</p><p>ples pela fórmula: j = C . i . n</p><p>É importante observar que essa fórmula só pode ser aplica-</p><p>da se o prazo de aplicação n for expresso na mesma</p><p>unidade de tempo a que se refere a taxa i considerada.</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>1 - Tomou-se emprestada a importância de R$ 12.000,00,</p><p>pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano. Qual será o</p><p>valor do juro a ser pago?</p><p>Solução: Temos:</p><p>C = 12.000,00 / n = 2 a / r = 30% a.a i = 0,3 a.a.</p><p>e, como: j = C . i . n</p><p>temos: j = 12.000 x 0,3 x 2</p><p>j = 7.200 isto é, o juro a ser pago é de R$ 7.200</p><p>2 . Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00 pelo prazo de</p><p>3 meses à taxa de 1,2% ao mês. Qual o valor do juro a</p><p>receber?</p><p>Solução: Temos:</p><p>C = 3.000,00 / n = 3 me / r = 1,2% a.m. i = 0,012 a.m.</p><p>donde: j = 3.000 x 0,012 x 3</p><p>j = 108 isto é, o juro a receber é de R$ 108,00</p><p>RESOLVA:</p><p>1 - Calcule os juros a serem pagos por um empréstimo de</p><p>R$ 920,00 à taxa de 5% ao trimestre, durante 3 trimestres.</p><p>2 - À taxa de 0,75% ao mês, foi empregado um capital de</p><p>R$ 5.680,00 durante 2,5 meses. Calcule os juros produzidos.</p><p>GABARITO: 1 - R$ 138,00 / 2 - R$ 106,50</p><p>JUROS COMPOSTOS</p><p>O regime de juros compostos é o mais comum no sistema</p><p>financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas</p><p>do dia-a-dia.</p><p>Os juros gerados a cada período são incorporados ao prin-</p><p>cipal para o cálculo dos juros do período seguinte.</p><p>Chamamos de capitalização o momento em que os juros</p><p>são incorporados ao principal.</p><p>Após três meses de capitalização, temos:</p><p>1º mês: M =P. (1 + i)</p><p>2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M</p><p>= P x (1 + i) x (1 + i)</p><p>3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M</p><p>= P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)</p><p>Simplificando, obtemos a fórmula: M = P . (1 + i) n</p><p>Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma</p><p>medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n</p><p>meses.</p><p>Para calcular apenas os juros basta diminuir o principal</p><p>do montante ao final do período: J = M - P</p><p>Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$6.000,00,</p><p>aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5%</p><p>ao mês. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)</p><p>Resolução:</p><p>P = R$6.000,00</p><p>t = 1 ano = 12 meses</p><p>i = 3,5 % a.m. = 0,035</p><p>M = ?</p><p>Usando a fórmula M = P.(1+i)n, obtemos:</p><p>M = 6000. (1+0,035)12 = 6000 . (1,035)12</p><p>Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:</p><p>log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x =</p><p>0,1788 => x = 1,509</p><p>Então M = 6000.1,509 = 9054.</p><p>Portanto o montante é R$ 9.054,00</p><p>RELAÇÃO ENTRE JUROS E PROGRESSÕES</p><p>- num regime de capitalização</p><p>a juros simples o saldo</p><p>cresce em progressão aritmética</p><p>- num regime de capitalização a juros compostos o</p><p>saldo cresce em progressão geométrica</p><p>TESTES</p><p>1) Uma pessoa deseja emprestar um Capital para obter taxa</p><p>de juros reais de 5% ao ano. Se a inflação do ano em questão</p><p>for 20%, qual a taxa de juros aparentes a ser cobrada?</p><p>Solução:</p><p>FATOR DE JUROS APARENTES =</p><p>FATOR DE INFLAÇÃO x FATOR DE JUROS REAIS</p><p>FATOR DE JUROS APARENTES =</p><p>1,20 x 1,05 = 1,26</p><p>TAXA DE JUROS APARENTES =</p><p>26% ao ano</p><p>2) Se uma aplicação financeira, em um ano você obteve</p><p>rendimento de 30%, e no mesmo período a taxa de inflação</p><p>foi de 25%, qual foi a taxa de juros reais?</p><p>Solução:</p><p>FATOR INFLAÇÃO, FATOR JUROS REAIS =</p><p>FATOR JUROS APARENTES</p><p>1,25 + T = 1,30</p><p>4% ao mês</p><p>MATEMÁTICA</p><p>26</p><p>ÁREA DE FIGURAS PLANAS,</p><p>VOLUMES DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS</p><p>PERÍMETRO</p><p>Definição: Perímetro é a soma das medidas dos lados de</p><p>um polígono. É representado por 2p.</p><p>Ex.:2p = 4 + 7 + 4 + 7</p><p>2p = 22m</p><p>Obs.: A metade do perímetro é o semi-perímetro (p).</p><p>No exemplo anterior:</p><p>Perímetro de uma circunferência:</p><p>2p = 2R - onde:</p><p>2p = perímetro -  = 3,14 (aproximado) - R = raio</p><p>Ex.: Calcular o perímetro e o semi-perímetro de uma cir-</p><p>cunferência de 60m de raio.</p><p>2p = 2 . 3,14 . 60 = 376, 8 m</p><p>Semi-perímetro:</p><p>ÁREAS DE FIGURAS PLANAS</p><p>Área do Quadrado:</p><p>Área do Losango:</p><p>S = l 2</p><p>onde l é a medida do lado.</p><p>Ex.: Calcular a área do qua-</p><p>drado de lado igual a 10m.</p><p>S = l 2 = 102 = 100 m2</p><p>Resposta: S = 100 m2</p><p>Área do Retângulo:</p><p>b = base</p><p>h = altura</p><p>S = b . h</p><p>Área do Triângulo:</p><p>b = base</p><p>h = altura</p><p>Ex.: Calcule a área de um triângulo de base igual a 4m e</p><p>altura igual a 5m.</p><p>Ex.: Calcule a área de um losango cujas diagonais me-</p><p>dem respectivamente 8 e 5 metros.</p><p>Área do Trapézio:</p><p>B = base maior</p><p>b = base menor</p><p>h = altura</p><p>Ex.: Calcule a área de um trapézio cujas bases medem</p><p>respectivamente 10 e 6 metros e a altura 4 metros.</p><p>Área do Círculo:</p><p>S = R2</p><p> = 3,14</p><p>(aproximadamente)</p><p>R = raio</p><p>Ex.: Calcular a área de um círculo cujo raio mede 10m.</p><p>S = R2 = 3,14 . 102  S = 314m2</p><p>Observações Importantes:</p><p>- Triângulo Isósceles -</p><p>possui 2 lados iguais e 2 ângu-</p><p>los da base também iguais.</p><p>- Triângulo equilátero -</p><p>possui 3 lados e 3 ângulos</p><p>iguais</p><p>-</p><p>d = diagonal menor</p><p>D = diagonal maior</p><p>- Triângulo retângulo -</p><p>possui 1 ângulo reto</p><p>a - hipotenusa (lado oposto</p><p>ao ângulo reto).</p><p>b, c - catetos (lados que for-</p><p>mam o ângulo reto).</p><p>a2 = b2 + c2 =></p><p>Teorema de Pitágoras</p><p>MATEMÁTICA</p><p>27</p><p>VOLUMES DE SÓLIDOS</p><p>Volume do Paralelepípedo:</p><p>a = comprimento b = largura</p><p>c = altura v = volume</p><p>v = a . b . c</p><p>Ex.: Calcular o volume do paralelepípedo cujas dimensões (com-</p><p>primento, largura e altura), são respectivamente 5m, 3m e 2m.</p><p>V = a . b. c = 5 . 3 . 2  V = 30m3</p><p>Volume do Cubo:</p><p>O cubo é um paralelepípedo cujas dimensões são todas iguais.</p><p>V = a3</p><p>a = aresta do cubo</p><p>V = volume</p><p>Ex.: Calcular o volume de um cubo cuja aresta mede 3m.</p><p>V = a3 = 33  V = 27 m3</p><p>Volume do Prisma:</p><p>V = S</p><p>b</p><p>. h</p><p>h = altura</p><p>S</p><p>b</p><p>= área da base</p><p>V = volume</p><p>Ex.: Calcular o volume de um prisma sabendo-se que a</p><p>área de sua base é 9 m2 e a altura é 20 m.</p><p>V = Sb . h = 9 . 20  V = 180 m3</p><p>V = volume</p><p>Sb = área da base</p><p>h = altura</p><p>Ex.: Calcular o volume de uma pirâmide, sabendo-se que a</p><p>área de sua base é igual a 21 m2 e a altura 46 m.</p><p>V =  . R2 . h</p><p>V = volume</p><p> = 3,14 (aproximado)</p><p>R = raio da base</p><p>h = altura</p><p>Volume do Cone:</p><p>V = volume</p><p>p = 3,14 (aproximado)</p><p>R = raio da base</p><p>h = altura</p><p>Volume da pirâmide:</p><p>Volume do Cilindro:</p><p>PROBLEMAS</p><p>1) Calcular a área de um quadrado de 5cm de lado.</p><p>2) Um quadrado tem área igual a 64m2. Determinar a me-</p><p>dida de seu lado.</p><p>3) O perímetro de um retângulo é 50cm e sua altura é</p><p>10cm. Calcular a sua área.</p><p>4) Calcule a área de um círculo sabendo-se que o perí-</p><p>metro de sua circunferência mede 62,8m.</p><p>5) A área de um quadrado em cm2 é o quádruplo de seu</p><p>lado. Quanto mede o referido lado.</p><p>6) A área de um losango é igual a 20 cm2 e uma das</p><p>diagonais mede 8 cm. Qual a medida da outra diagonal?</p><p>7) A área de um trapézio é 30 m2 e a altura 10 m. Saben-</p><p>do-se que a base maior mede o dobro da menor, calcule as</p><p>medidas das mesmas.</p><p>8) A soma das medidas das diagonais de um losango é 7</p><p>metros. Calcule a diagonal maior, sabendo-se que a área é</p><p>igual a 6 m2.</p><p>9) O volume de um cubo é o quádruplo de sua aresta.</p><p>Calcule a aresta deste cubo.</p><p>10) O volume de um paralelepípedo é igual a 144 m3, sendo</p><p>o comprimento o dobro da largura e esta o triplo da altura.</p><p>Calcule as dimensões do paralelepípedo.</p><p>GABARITO</p><p>1) 25cm2</p><p>2) 8m</p><p>3) 150cm2</p><p>4) 314m2</p><p>5) 4cm</p><p>6) 5cm</p><p>7) 4 e 2m</p><p>8) 4m</p><p>9) 2m</p><p>10) 12; 6 e 2 metros</p><p>Ex.: Calcular o volume de um cilindro sabendo-se que o</p><p>raio da base mede 9m e a altura 20m.</p><p>V =  . R2 . h = 3,14 . 92 . 20  V = 2543,4 m3</p><p>Ex.: Calcular o volume de um cone sendo o raio da base</p><p>igual a 3m e a altura 12m.</p><p>Volume da Esfera:</p><p>V = volume</p><p>R = raio</p><p> = 3,14</p><p>Ex.: Calcular o volume de uma esfera cujo raio mede 6m.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>28</p><p>GEOMETRIA</p><p>CONCEITOS BÁSICOS</p><p>A Geometria Elementar, também chamada Geometria</p><p>Euclidiana, fundamenta-se em três entes geométricos acei-</p><p>tos sem definição: ponto, reta e plano.</p><p>Representação: pontos A, B, E, ...</p><p>retas: r, s, r, ...</p><p>planos: a, b, g, ...</p><p>Indicaremos por:</p><p>ponto: . A</p><p>reta: r</p><p>plano:</p><p></p><p>AB : uma reta que passa pelos pontos A e B.</p><p>A B</p><p>..</p><p>AB : uma semi-reta de origem em A e que contém o ponto B.</p><p>A B</p><p>..</p><p>AB : um segmento de reta de extremidades A e B.</p><p>A B</p><p>..</p><p>AB : a medida de um segmento AB.</p><p>A</p><p>2 cm</p><p>B</p><p>..</p><p>AB CD : dois segmentos AB e CD congruentes.</p><p>C</p><p>2 cm</p><p>D</p><p>..</p><p>Obs.: Postulado é uma proposição aceita como verdadei-</p><p>ra, sem demonstração. Teorema é uma proposição aceita como</p><p>verdadeira, mediante demonstração.</p><p>ÂNGULOS</p><p>Definição: ângulo geométrico é a reunião de duas semi-</p><p>retas de mesma origem e não colineares.</p><p>Nomenclatura: O... vértice OA e OB ... lados</p><p>A</p><p>B</p><p>O</p><p>Notação: AÔB - Um ângulo pode ser medido por meio de um</p><p>instrumento chamado transferidor, que tem o grau como unidade.</p><p>A medida de um ângulo geométrico é um número real a,</p><p>tal que 0 < a < 180.</p><p>Vamos convencionar que:</p><p>AÔB: ângulo geométrico</p><p>m(OB): medida do ângulo</p><p>O</p><p>B</p><p>A</p><p>t</p><p>Obs.: Dois ângulos são chamados congruentes se, e</p><p>somente se, têm a mesma medida, na mesma unidade.</p><p>Os ângulos ABC e DEF , na figura, são congruentes.</p><p>Indicamos: ABC DEF </p><p>Seja um ângulo AOB situado num plano a (o da folha) e</p><p>consideremos os semiplanos a</p><p>1</p><p>, de origem na reta OA e que</p><p>contém o lado OB , e a</p><p>2</p><p>, de origem na reta OB e que contém</p><p>o lado OA , conforme a figura (a). O conjunto dos pontos</p><p>comuns aos semiplanos a</p><p>1</p><p>e a</p><p>2</p><p>chamamos de setor angular.</p><p>O</p><p>B</p><p>A</p><p>(a)</p><p></p><p></p><p>A figura (b) mostra um setor angular.</p><p>O</p><p>B</p><p>A</p><p>(b)</p><p>Um ponto que pertence ao setor angular e não pertence</p><p>ao ângulo diz-se ponto interior ao ângulo.</p><p>Na figura, o ponto P é interior ao ângulo AOB .</p><p>O</p><p>B</p><p>.P</p><p>A</p><p>Um ponto do ponto do ângulo que não pertence ao setor</p><p>angular diz-se ponto exterior ao ângulo.</p><p>O ponto Q, na figura, é exterior ao ângulo AOB .</p><p>O</p><p>B</p><p>.Q</p><p>A</p><p>Ângulos que possuem o mesmo vértice e um lado comum</p><p>são chamados ângulos consecutivos.</p><p>Os ângulos AOB e AOC são consecutivos.</p><p>O</p><p>B</p><p>C</p><p>A</p><p>Dois ângulos consecutivos que não possuem ponto inte-</p><p>rior comum são chamados ângulos adjacentes.</p><p>Os ângulos AOB e AOC são adjacentes.</p><p>O</p><p>B</p><p>C</p><p>A</p><p>MATEMÁTICA</p><p>29</p><p>Bissetriz de um ângulo á a semi-reta interior do ângulo,</p><p>que determina com os seus lados dois ângulos adjacentes e</p><p>congruentes.</p><p>Dois ângulos são chamados opostos pelo vértice se,</p><p>e somente se, os lados de um são as semi-retas opostas dos</p><p>lados do outro.</p><p>B’ A</p><p>A’ B</p><p>O.</p><p>Na figura, os ângulos AOB e A O B'  ' ' são opostos</p><p>pelo vértice.</p><p>Indicamos: o.p.v.</p><p>Duas retas são chamadas concorrentes se, e somente</p><p>se, elas têm um único ponto comum.</p><p>r</p><p>s</p><p>P.</p><p>A figura ao lado mostra duas retas r e s concorrentes em P.</p><p>Duas retas são chamadas perpendiculares se, e so-</p><p>mente se, são concorrentes e formam ângulos adjacentes</p><p>suplementares congruentes.</p><p>....</p><p>r</p><p>s</p><p>Na figura, as retas r e s são perpendiculares.</p><p>Decorre dessa definição que duas retas perpendicula-</p><p>res formam quatro ângulos retos.</p><p>Indicamos: r s.</p><p>Mediatriz de um segmento é a reta perpendicular a este</p><p>segmento pelo seu ponto médio.</p><p>.. ..</p><p>m</p><p>MA B</p><p>A figura mostra a reta m, mediatriz do segmento AB.</p><p>O</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>.</p><p>Na figura, OC é bissetriz do ângulo AOB .</p><p>Ângulo reto é um ângulo cuja medida é 90º.</p><p>B</p><p>AO</p><p>90º.</p><p>Na figura, AOB é um ângulo reto.</p><p>O símbolo . representa um ângulo reto.</p><p>B</p><p>AO</p><p>30º</p><p>Na figura, AOB é ângulo agudo.</p><p>B</p><p>A</p><p>O</p><p>100º</p><p>Na figura, AOB é ângulo obtuso.</p><p>30º</p><p>60º</p><p>Dois ângulos são chamados suplementares se, e so-</p><p>mente se, a soma de suas medidas é igual a 180º.</p><p>130º 50º</p><p>Ângulo agudo é um ângulo cuja medida é menor que 90º.</p><p>Ângulo obtuso é um ângulo cuja medida é maior que 90º.</p><p>Dois ângulos são chamados complementares se, e</p><p>somente se, a soma de suas medidas é igual a 90º.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>30</p><p>POLÍGONO: REGIÃO PLANA LIMITADA</p><p>POR UMA LINHA POLIGONAL FECHADA</p><p>TRIÂNGULOS: Definições:</p><p>Triângulo é a reunião de três segmentos cujas extremi-</p><p>dades são três pontos não colineares.</p><p>A figura ao lado mostra um triângulo. Os pontos A, B e C</p><p>são os vértices e os segmentos AB, AC e BC são os lados do</p><p>triângulo.</p><p>Indicamos um triângulo de vértices A, B e C por  ABC.</p><p>A</p><p>.P</p><p>B C</p><p>A reunião de um triângulo com o seu interior é chamada</p><p>região triangular.</p><p>Os pontos que não pertencem à região triangular são os</p><p>pontos exteriores ao triângulo.</p><p>Na figura Q, é um exterior ao triângulo.</p><p>A</p><p>.Q</p><p>B C</p><p>Ângulo externo a um triângulo é aquele que é adjacen-</p><p>te e suplementar a um de seus ângulos internos.</p><p>Classificação dos triângulos:</p><p>Podemos classificar os triângulos de dois modos:</p><p>1º) Quanto aos lados:</p><p>Equiláteros: os que têm os três lados congruentes.</p><p>A</p><p>B C</p><p>AB AC BC </p><p>Isósceles: os que têm dois lados congruentes.</p><p>Escalenos: os que têm os três lados não congruentes</p><p>entre si.</p><p>2º) Quanto aos ângulos:</p><p>Retângulos: quando têm um ângulo reto.</p><p>Obtusângulos: quando têm um ângulo obtuso.</p><p>Os pontos comuns aos interiores dos ângulos BAC ,</p><p>ABC e ACB são os pontos interiores ao triângulo ABC.</p><p>Na figura, o ponto P é interior ao triângulo.</p><p>Os ângulos BAC , ABC e ACB são ângulos inter-</p><p>nos do triângulo.</p><p>A</p><p>B C</p><p>A</p><p>B C</p><p>Chama-se perímetro de um triângulo o número que ex-</p><p>prime a soma das medidas dos três lados. Indicamos por 2p.</p><p>Na figura, o lado BC é oposto ao ângulo BAC e o lado</p><p>BC é adjacente aos ângulos ABC e A CB .</p><p>Num triângulo, lado oposto a um ângulo é o lado que une</p><p>os vértices dos dois outros ângulos; lado adjacente a dois</p><p>ângulos é o lado que une os vértices desses dois ângulos.</p><p>Na figura, o ângulo ACD é um ângulo externo ao triân-</p><p>gulo ABC. A</p><p>B C D</p><p>A</p><p>B C</p><p>AB AC</p><p>A</p><p>B C</p><p>AB AC BC</p><p>A</p><p>B C</p><p>.</p><p>cateto</p><p>hipotenusa</p><p>c</p><p>ate</p><p>to</p><p>A</p><p>B C</p><p>Acutângulos: quando têm os três ângulos agudos.</p><p>A</p><p>B C</p><p>MATEMÁTICA</p><p>31</p><p>Elementos Notáveis de um triângulo:</p><p>Mediana de um triângulo é o segmento que une um vér-</p><p>tice ao ponto médio do lado oposto.</p><p>Na figura, AM é uma mediana do triângulo ABC.</p><p>RETAS PARALELAS:</p><p>Duas retas distintas são paralelas se, e somente se,</p><p>estão contidas no mesmo plano e não têm ponto em comum.</p><p>Na figura, as retas</p><p>r e s são paralelas.</p><p>Indicamos: r // s.</p><p>s</p><p>r</p><p>Postulados das paralelas (ou Euclides): por um ponto</p><p>fora de uma reta, existe apenas uma paralela a essa reta.</p><p>s</p><p>r</p><p>P</p><p>Duas retas r e s de um mesmo plano interceptadas pela</p><p>transversal t formam oito ângulos. Os pares de ângulos, um</p><p>com vértice em A e o outro em B, conforme figura, são assim</p><p>denominados:</p><p>1</p><p>5</p><p>2</p><p>6</p><p>3</p><p>7</p><p>4</p><p>8</p><p>A</p><p>t</p><p>r</p><p>sA</p><p>ângulos correspondentes</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>51</p><p>84</p><p>62</p><p>73</p><p>e</p><p>e</p><p>e</p><p>e</p><p>ângulos alternos internos</p><p></p><p></p><p>64</p><p>53</p><p>e</p><p>e</p><p>ângulos alternos externos</p><p></p><p></p><p>71</p><p>82</p><p>e</p><p>e</p><p>ângulos colaterais internos</p><p></p><p></p><p>54</p><p>63</p><p>e</p><p>e</p><p>ângulos colaterais externos</p><p></p><p></p><p>81</p><p>72</p><p>e</p><p>e</p><p>A</p><p>B M C</p><p>.</p><p>Bissetriz de um triângulo é o segmento da bissetriz de</p><p>um ângulo interno que tem por extremidades o vértice desse</p><p>ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto.</p><p>A</p><p>B S C</p><p>.</p><p>Na figura, AS é a bissetriz do triângulo ABC.</p><p>Altura de um triângulo é o segmento da perpendicular traçada</p><p>de um vértice à reta suporte do lado oposto, cujos extremos são</p><p>esse vértice e o ponto de encontro com essa reta.</p><p>A</p><p>B H C</p><p>..</p><p>Na figura, AH é uma altura do triângulo ABC.</p><p>Mediatriz de um triângulo é a mediatriz de um de seus lados.</p><p>A</p><p>B M</p><p>m</p><p>C</p><p>..</p><p>Na figura, a reta m é a mediatriz do lado BC do triângulo</p><p>ABC.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>32</p><p>Propriedade:</p><p>Uma reta transversal a duas retas paralelas formam ân-</p><p>gulos que obedecem às relações seguintes:</p><p>1ª) Os ângulos correspondentes e os ângulos alternos</p><p>são congruentes.</p><p>2ª) Os ângulos colaterais são suplementares.</p><p></p><p> </p><p>t</p><p>r</p><p>s</p><p>Na figura, sendo t uma transversal às retas r e s,</p><p>temos:</p><p>a = b (alternos internos)</p><p>a + g = 180º (colaterais internos)</p><p>Nota: As recíprocas das propriedades 1ª e 2ª s ã o</p><p>verdadeiras.</p><p>Ângulos de um triângulo:</p><p>Propriedade: A soma das medidas dos ângulos inter-</p><p>nos de um triângulo é igual a 180º.</p><p>Da figura, sendo  ,  A B, C as medidas dos ângulos in-</p><p>ternos, temos:</p><p>B C</p><p>A</p><p>   =A+ +B C 180º</p><p>Propriedade: Em todo triângulo, qualquer ângulo exter-</p><p>no tem medida igual à soma das medidas dos dois ângulos</p><p>internos não adjacentes a ele.</p><p>Da figura a seguir, indicando por e a medida do ângulo</p><p>externo de vértice C, temos:</p><p>B C</p><p>A</p><p>e</p><p>  e = A + B</p><p>EQUILÁTEROS NOTÁVEIS:</p><p>TRAPÉZIO:</p><p>Definição: Um quadrilátero convexo é chamado trapézio</p><p>se, e somente se, possui dois lados paralelos.</p><p>A figura abaixo mostra um trapézio ABCD de bases AD e BC.</p><p>A</p><p>B</p><p>D</p><p>C</p><p>Classificação: Podemos classificar os trapézios em</p><p>três tipos:</p><p>1º tipo: Escaleno: os lados não paralelos não são</p><p>congruentes.</p><p>A figura mostra um trapézio escaleno ABCD.</p><p>A</p><p>B</p><p>D</p><p>C</p><p>2º t ipo: Isósceles: os lados não paralelos são</p><p>congruentes.</p><p>A figura mostra um trapézio isósceles ABCD.</p><p>A</p><p>B</p><p>D</p><p>C</p><p>3º tipo: Retângulo: um lado é perpendicular às bases.</p><p>A figura mostra um trapézio retângulo ABCD,</p><p>onde o lado AB é perpendicular às bases AD e BC.</p><p>..</p><p>.</p><p>A</p><p>B</p><p>D</p><p>C</p><p>PARALELOGRAMO:</p><p>Definição: Um quadrilátero convexo é chamado</p><p>paralelogramo se, e somente se, possui os lados opostos</p><p>paralelos.</p><p>A</p><p>B</p><p>D</p><p>C</p><p>A figura mostra um paralelogramo ABCD.</p><p>RETÂNGULO:</p><p>Definição: Um quadrilátero convexo é chamado retân-</p><p>gulo se e somente se, possui os lados opostos paralelos.</p><p>..</p><p>.</p><p>..</p><p>.</p><p>A</p><p>B</p><p>D</p><p>C</p><p>A figura mostra um retângulo ABCD.</p><p>Decorre dessa definição que cada ângulo de um retân-</p><p>gulo é reto.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>33</p><p>LOSANGO:</p><p>Definição: Um quadrilátero convexo é chamado losango</p><p>se e somente se, possui os quatro lados congruentes entre si.</p><p>A</p><p>D</p><p>B</p><p>C</p><p>A figura mostra um losango ABCD</p><p>QUADRADO:</p><p>Definição: Um quadrilátero convexo é chamado qua-</p><p>drado se, e somente se, possui os quatro ângulos</p><p>congruentes entre si e os quatro lados congruentes entre si.</p><p>..</p><p>.</p><p>..</p><p>.</p><p>A</p><p>B</p><p>D</p><p>C</p><p>A figura mostra um quadrado ABCD.</p><p>FEIXE DE RETAS PARALELAS:</p><p>Definições: Em um plano, um conjunto de três ou mais</p><p>retas distintas paralelas entre si denomina-se feixe de retas</p><p>paralelas.</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>Na figura, as retas a, b e c constituem um feixe de retas</p><p>paralelas.</p><p>a</p><p>A</p><p>t</p><p>b</p><p>Bc</p><p>C</p><p>Toda reta do plano que não pertence ao feixe de parale-</p><p>las encontra todas as retas desse feixe e é denominado</p><p>transversal do feixe.</p><p>a</p><p>A A’</p><p>t t’</p><p>b</p><p>Bc</p><p>d C C’</p><p>D D’</p><p>Considere um feixe de retas paralelas a, b, c e d e duas</p><p>transversais t e t'.</p><p>Os pares de segmentos AB e A'B', BC e B'C', CD e C'D',</p><p>AC e A'C' denominam-se segmentos correspondentes:</p><p>Teorema de Tales: Se um feixe de retas paralelas tem</p><p>duas transversais, então a razão entre dois segmentos quais-</p><p>quer de uma é igual à razão entre os respectivos segmentos</p><p>correspondentes da outra.</p><p>Hipótese a // b // c // d - t e t' são transversais.</p><p>- Tese</p><p>AB A B</p><p>CD C D</p><p></p><p></p><p>' '</p><p>' '</p><p>TRIÂNGULOS SEMELHANTES:</p><p>Definição: Dois triângulos são semelhantes se, e so-</p><p>mente se, os três ângulos são ordenadamente congruentes</p><p>e os lados homólogos</p><p>são proporcionais.</p><p>A figura ao lado mostra dois triângulos ABC e A'B'C'</p><p>semelhantes.</p><p>A</p><p>B</p><p>c</p><p>a</p><p>b</p><p>C</p><p>A’</p><p>B’</p><p>c’</p><p>a’</p><p>b’</p><p>C’</p><p>Lados homólogos são os lados opostos a ângulos</p><p>ordenadamente congruentes.</p><p>Vértices homólogos são so vértices de ângulos or-</p><p>denadamente congruentes.</p><p>Razão de semelhança é a razão de dois lados</p><p>homólogos quaisquer..</p><p>Em símbolos:</p><p>ABC A B C</p><p>A A</p><p>B B</p><p>b</p><p>b</p><p>c</p><p>c</p><p>k</p><p>C C</p><p>~ ' ' '</p><p> </p><p> </p><p>' '</p><p> </p><p></p><p></p><p>   </p><p></p><p>e</p><p>a</p><p>a'</p><p>Existência dos triângulos semelhantes:</p><p>Teorema fundamental: Se uma reta é paralela a um</p><p>dos lados de um triângulo e encontra os outros dois lados em</p><p>pontos distintos, então o triângulo que ela determina é seme-</p><p>lhante ao primeiro.</p><p>Hipótese DE // BC - Tese   ADE ABC~</p><p>A</p><p>B</p><p>D E</p><p>C</p><p>Demonstração: Seja DE a reta paralela ao lado BC.</p><p>Devemos demonstrar que os triângulos ADE e ABC têm</p><p>os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados</p><p>homólogos proporcionais.</p><p>1ª parte: Os três ângulos são ordenadamente</p><p>congruentes:</p><p>Com efeito:  A A (comum)</p><p> D B (correspondentes)</p><p> E C (correspondentes)</p><p>2ª parte: Os lados homólogos são proporcionais.</p><p>De fato, pela hipótese, temos:</p><p>AD</p><p>AB</p><p>AE</p><p>AC</p><p> (1)</p><p>Tracemos EF paralela ao lado AB, temos:</p><p>AD</p><p>AB</p><p>AE</p><p>AC</p><p></p><p>A</p><p>B</p><p>D</p><p>F</p><p>E</p><p>C</p><p>Por outro lado, o quadrilátero DBFE é um paralelograma</p><p>e, portanto, BF = DE. Substituindo na igualdade anterior, vem:</p><p>AE</p><p>AC</p><p>BF</p><p>BC</p><p> (2)</p><p>Das relações (1) e (2), temos:</p><p>AD</p><p>AB</p><p>AE</p><p>AC</p><p> =</p><p>DE</p><p>BC</p><p>e</p><p>os lados homólogos são proporcionais. Logo, os triângulos</p><p>semelhantes a um terceiro são semelhantes entre si.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>34</p><p>RELAÇÕES MÉTRICAS</p><p>NO TRIÂNGULO RETÂNGULO</p><p>Consideremos um triângulo ABC, retângulo em A, e tra-</p><p>cemos AD perpendicular a BC, com D em BC.</p><p>Nomenclatura:</p><p>BC ... medida da hipotenusa BC.</p><p>AC... medida do cateto AC.</p><p>AB ... medida do cateto AB.</p><p>BD... medida da projeção de AB sobre BC.</p><p>CD ... medida da projeção de AC sobre BC.</p><p>AD... medida da altura relativa à hipotenusa BC.</p><p>D</p><p>Teorema: Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à</p><p>hipotenusa determina dois triângulos retângulos seme-</p><p>lhantes ao primeiro e semelhantes entre si.</p><p>Hipótese ABC é retângulo em A.</p><p>AD é altura relativa a BC.</p><p>Tese 1) DBA ~ ABC e DAC ~ ABC</p><p>2) DBA ~ DAC</p><p>D</p><p>Demonstração:</p><p>Com efeito, a altura AD separa o triângulo ABC em dois</p><p>outros triângulos retângulos: DBA e DAC.</p><p>Os triângulos retângulos DBA e ABC têm em comum o</p><p>ângulo agudo B , portanto são semelhantes pelo 1º caso.</p><p>Os triângulos retângulos DAC e ABC têm em comum o</p><p>ângulo agudo C , portanto são semelhantes pelo 1º caso, o</p><p>que demonstra o item 1 da tese:</p><p>Por outro lado, os triângulos DBA e DAC são semelhan-</p><p>tes entre si, de acordo com a propriedade transitiva de</p><p>semelhança de triângulos.</p><p>Portanto: DBA ~ DAC c.q.d</p><p>RELAÇÕES MÉTRICAS</p><p>Teorema: Em um triângulo retângulo, a medida de cada</p><p>cateto é a média geométrica entre as medidas da hipotenusa</p><p>e a sua projeção sobre ela.</p><p>Hipótese A = 90º</p><p>Tese 1 . b2 = a . n 2 . c2 = a . n</p><p>Demonstração:</p><p>1) Da semelhança dos triângulos DAC e ABC, resulta:</p><p>a / b = b / n => b2 = a . n (I) c.q.d.</p><p>D</p><p>2) Da semelhança dos triângulos DBA e ABC, resulta:</p><p>a / c = c / m => c2 = a . m (II) c.q.d.</p><p>A</p><p>Teorema: Em um triângulo retângulo, a medida da altura</p><p>relativa à hipotenusa é a medida geométrica entre as medi-</p><p>das das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.</p><p>Hipótese: A = 90º</p><p>Tese: h2 = m . n</p><p>A</p><p>h</p><p>Demonstração:</p><p>Da semelhança dos triângulos DBA e DAC, resulta:</p><p>h / m = n / h => h2 = m . n (III) c.q.d.</p><p>Hipótese: A = 90º</p><p>Tese: b . c = a . h</p><p>Teorema: Em um triângulo retângulo o produto das me-</p><p>didas dos catetos é igual ao produto das medidas da</p><p>hipotenusa e da altura.</p><p>RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO</p><p>LÓGICA SENTENCIAL E DE PRIMEIRA ORDEM</p><p>PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS</p><p>PROPOSIÇÃO</p><p>Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou</p><p>símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.</p><p>Exemplos:</p><p>a) A Lua é um satélite da Terra</p><p>b) é um número irracional</p><p>c) 3 > 5</p><p>d) Vasco da Gama descobriu o Brasil</p><p>VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES</p><p>Chama-se de valor lógico de uma proposição a verdade se a</p><p>proposição for verdadeira e a falsidade se a proposição for falsa.</p><p>Os valores lógicos verdade e falsidade são representados</p><p>por V e F respectivamente.</p><p>Por exemplo: as proposições a) e b) são verdadeiras</p><p>enquanto que as proposições c) e d) são falsas.</p><p>PRINCÍPIOS DA LÍNGUA MATEMÁTICA</p><p>I - PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO</p><p>Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo</p><p>tempo.</p><p>II - PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO</p><p>Toda proposição é verdadeira ou falsa, isto é, verifica-se</p><p>sempre um desses casos e nunca um terceiro.</p><p>PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS</p><p>Chama-se proposição simples aquela que não contém</p><p>nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma.</p><p>Demonstração:</p><p>Da semelhança dos triângulos ABC e DAC, resulta:</p><p>a / c = c / h => b . c = a . h (IV) c.q.d.</p><p>Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, o</p><p>quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos qua-</p><p>drados das medidas dos catetos.</p><p>Hipótese: A = 90ºTese: a2 = b2 + c2</p><p>Demonstração: Com efeito, temos:</p><p>b2 = a . n e c2 = a . m</p><p>Somando as igualdades membro a membro, vem:</p><p>b2 + c2 = an + am => b2 + c2 = a (n + m)</p><p>Como n + m = a, temos:</p><p>b2 + c2 = a . a => b2 + c2 = a2 e, portanto:</p><p>a2 = b2 + c2 (V) c.q.d.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>35</p><p>São representadas pelas letras minúsculas p, q, r, ...</p><p>Exemplos: p: Pedro é careca</p><p>q: 49 é quadrado perfeito</p><p>PROPOSIÇÃO COMPOSTA é aquela formada pela</p><p>combinação de outras proposições.</p><p>São representadas pelas letras maiúsculas</p><p>P, Q, R, ...</p><p>Exemplos: P: Carlos é estudante e Pedro é careca</p><p>Q: Se André é médico então sabe biologia</p><p>OBS.:</p><p>1. Escrevemos P (p, q, r,...) para indicar que a proposição</p><p>composta P é combinação das proposições simples p, q, r, ...</p><p>2. O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por</p><p>V (p) e o de uma proposição composta P indica-se por V (P).</p><p>CONECTIVOS</p><p>Chamam-se conectivos as palavras usadas para formar</p><p>novas proposições a partir de outras.</p><p>Os conectivos usuais em lógica são:</p><p>não _____________ negação ____________ ~</p><p>e _______________ conjunção___________ ^</p><p>ou ______________ disjunção ___________ v</p><p>Se... então ________ condicional __________</p><p>Se e somente se __ bicondicional ________</p><p>Exemplos:</p><p>Não tenho carro.</p><p>Pedro é estudante e Carlos professor.</p><p>Se Roberto é engenheiro então sabe matemática.</p><p>O triângulo ABC é retângulo ou Isósceles.</p><p>O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo.</p><p>OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES</p><p>- NEGAÇÃO (~)</p><p>Chama-se negação de uma proposição p a proposição</p><p>representada por não p cujo valor lógico é a verdade (v) se p</p><p>é falsa e a falsidade (f) se p é verdadeira.</p><p>Simbolicamente: ~p</p><p>O valor lógico da negação de uma proposição p é definido</p><p>pela seguinte tabela-verdade:</p><p>Em linguagem comum a negação efetua-se, nos casos mais</p><p>simples, antepondo o advérbio não ao verbo da proposição dada.</p><p>Por exemplo, a negação da proposição</p><p>p : o sol é uma estrela</p><p>~p: o sol não é uma estrela</p><p>Observe entretanto que a negação de</p><p>"Todos os homens são elegantes"</p><p>é</p><p>"Nem todos os homens são elegantes"</p><p>e a de</p><p>"Nenhum homem é elegante"</p><p>é</p><p>"Algum homem é elegante".</p><p>- CONJUNÇÃO ( ^ )</p><p>Chama-se conjunção de duas proposições p e q a</p><p>proposição representada por p e q, simbolizada por p ^ q,</p><p>cujo valor lógico é dado pela seguinte tabela-verdade:</p><p>- DISJUNÇÃO ( v )</p><p>Chama-se disjunção ou disjunção inclusiva de duas</p><p>proposições p e q a proposição representada por p ou q,</p><p>simbolizada por p v q, cujo valor lógico é dado pela tabela-verdade.</p><p>DISJUNÇÃO EXCLUSIVA ( V )</p><p>Considere as proposições:</p><p>P : Carlos é médico ou professor.</p><p>Q : Mário é alagoano ou gaúcho.</p><p>A proposição P indica que pelo menos uma das proposições</p><p>Carlos é médico, Carlos é professor é verdadeira podendo</p><p>ser ambas verdadeiras, Carlos é médico e professor. Neste</p><p>caso, o ou é inclusivo e usa-se o símbolo v.</p><p>Assim, a proposição P é a disjunção inclusiva ou disjunção das</p><p>proposições simples Carlos é médico, Carlos é professor, isto é:</p><p>P : Carlos é médico v Carlos é professor.</p><p>Por outro</p><p>lado, a proposição Q indica que somente uma das</p><p>proposições simples Mário é alagoano, Mário é gaúcho é</p><p>verdadeira pois não é possível ocorrer Mário é alagoano e gaúcho.</p><p>Dizemos, neste caso, que o ou é exclusivo e usa-se o símbolo v.</p><p>Assim, a proposição Q é a disjunção exclusiva das</p><p>proposições simples Mário é alagoano, Mário é gaúcho, isto é:</p><p>Q : Mário é alagoano v Mário é gaúcho</p><p>A disjunção exclusiva de duas proposições p e q é</p><p>simbolizada por p v q e se lê ou p ou q mas não ambos.</p><p>Seu valor lógico é definido pela tabela-verdade:</p><p>CONDICIONAL ( )</p><p>Chama-se proposição condicional de duas proposições p</p><p>e q a proposição se p então q cujo valor lógico é dado pela</p><p>tabela-verdade abaixo.</p><p>Notação: p q que se lê de uma das seguintes maneiras:</p><p>- se p então q</p><p>- p somente se q</p><p>- q se p</p><p>- p é condição suficiente para q</p><p>- q é condição necessária para p</p><p>Obs.:</p><p>1. Na condicional p q, p é chamado antecedente, q é</p><p>chamado conseqüente e o símbolo é chamado símbolo de</p><p>implicação.</p><p>2. Uma condicional p q não afirma que o conseqüente</p><p>q se deduz do antecedente p, apenas estabelece uma relação</p><p>entre os valores lógicos do antecedente e do conseqüente de</p><p>acordo com a tabela verdade acima.</p><p>BICONDICIONAL ( )</p><p>Chama-se proposição bicondicional de duas proposições</p><p>p e q a proposição p se e somente se q cujo valor lógico é</p><p>dado pela seguinte tabela-verdade.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>36</p><p>Notação: p q que se lê:</p><p>- p se e somente se q</p><p>- p é condição necessária e suficiente para q</p><p>- q é condição necessária e suficiente para p</p><p>- p se q, e p somente se q</p><p>- se p então q e se q então p.</p><p>ENUMERAÇÃO POR RECURSO</p><p>Enumeração é a seqüência de pelo menos dois elementos de</p><p>mesmo status sintático no discurso. Há três tipos de enumeração:</p><p>Aditiva - representada pelo conetivo ‘e’.</p><p>Optativa exclusiva - representada pelo conetivo ‘ou’.</p><p>Optativa não exclusiva - representada pela conexão ‘e/ou’.</p><p>Geralmente os elementos de uma enumeração são</p><p>comuns a uma classe.</p><p>Quando isso ocorre temos uma enumeração com</p><p>paralelismo de similaridade.</p><p>Hipoteticamente pode-se supor uma enumeração caótica,</p><p>aquela em que os elementos são totalmente disjuntos.</p><p>Enumeração ordenada: é aquela em que a disposição</p><p>dos elementos na seqüência admite algum tipo de ordem.</p><p>Enumeração na enumeração: há casos em que um ou</p><p>mais elementos da enumeração são enumeração.</p><p>Enumeração classificada: ocorre quando os termos</p><p>da enumeração são classes de uma taxonomia.</p><p>Diferencia-se da enumeração com paralelismo pois, no</p><p>paralelismo, não existe a obrigatoriedade de atender às regras</p><p>que definem uma taxonomia, como conter todos os elementos</p><p>do universo considerado e não haver interseção de domínios.</p><p>CLASSIFICAÇÃO DE PROPOSIÇÕES</p><p>Tautologia: proposição cuja tabela verdade é V em todas</p><p>as linhas, ou seja, ela é sempre verdadeira independentemente</p><p>do valor lógico das proposições simples que a compõem.</p><p>Contingência ou indeterminação: proposição cuja tabela</p><p>verdade tem linhas V e linhas F, dependendo das componentes.</p><p>Contradição: é uma proposição que é sempre falsa,</p><p>independentemente das componentes.</p><p>RAZÕES E PROPORÇÕES:</p><p>RAZÃO DE DUAS GRANDEZAS,</p><p>PROPORÇÃO E SUAS PROPRIEDADES,</p><p>RAZÃO:</p><p>Definição: denomina-se razão de dois números a e b, o</p><p>quociente de a por b (b = 0 ).</p><p>Notação: a/b ou a:b</p><p>Obs.: 1ª) O primeiro termo de uma razão é denominado</p><p>antecedente e o segundo conseqüente.</p><p></p><p></p><p></p><p>econsequent - b</p><p>eantecedent - a</p><p>=b : a ou</p><p>b</p><p>a</p><p>2ª) Quando o antecedente de uma razão é igual ao conse-</p><p>qüente de outra, e vice-versa, as razões são ditas inversas.</p><p>4</p><p>3</p><p>3</p><p>4</p><p>;</p><p>3</p><p>5</p><p>5</p><p>3</p><p>;</p><p></p><p>ee</p><p>a</p><p>b</p><p>e</p><p>b</p><p>a</p><p>são razões inversas.</p><p>PROPORÇÃO:</p><p>Definição: denomina-se proporção a igualdade de duas</p><p>razões.</p><p>d</p><p>c</p><p>b</p><p>a</p><p> ;</p><p>20</p><p>12</p><p>5</p><p>3</p><p>;</p><p>9</p><p>6</p><p>3</p><p>2</p><p>ou a : b = c : d</p><p>a e d (extremos da proporção)</p><p>b e c (meios da proporção)</p><p>Propriedade Fundamental das Proporções: Em</p><p>toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos</p><p>extremos.</p><p></p><p>d</p><p>c</p><p>b</p><p>a</p><p>a . d = b . c</p><p>10 . 3=15 . 2</p><p>15</p><p>10</p><p>3</p><p>2</p><p></p><p>Quarta Proporcional: denomina-se quarta proporcional ao</p><p>número que com três outros forma uma proporção.</p><p>Ex.: Determinar a quarta proporcional entre os números</p><p>3, 5 e 9.</p><p>Solução: Seja x a quarta proporcional procurada; en-</p><p>tão:</p><p></p><p>x</p><p>9</p><p>5</p><p>3</p><p>3x = 9 . 5 3x = 45  x =</p><p>3</p><p>45</p><p> x = 15</p><p>Proporção Contínua: uma proporção é chamada contí-</p><p>nua, quando ela possui os meios ou os extremos iguais.</p><p>Ex.:</p><p>2</p><p>4</p><p>4</p><p>8</p><p> ou 2 : 4 = 4 : 8 (meios iguais)</p><p>8</p><p>1 6</p><p>4</p><p>8</p><p> ou 8 : 16 = 4 : 8 (extremos iguais)</p><p>Observações Importantes:</p><p>1ª) O meio, ou extremo, comum em uma proporção contínua</p><p>é a média proporcional ou média geométrica.</p><p>Assim: </p><p>8</p><p>4</p><p>4</p><p>2</p><p>4</p><p>é a média proporcional ou média geométrica, entre 2 e 8.</p><p></p><p>8</p><p>4</p><p>16</p><p>8</p><p>8</p><p>é a média proporcional ou média geométrica, entre 16 e 4.</p><p>2ª) Os termos desiguais de uma proporção contínua, de-</p><p>nominam-se terceira proporcional. Então:</p><p>8</p><p>4</p><p>4</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>. . 4 entre alproporcion terceira a e 8</p><p>. . 4 2</p><p>9</p><p>8entrealproporcionterceiraae</p><p>Ex.: 1) Calcule a média proporcional entre 4 e 9.</p><p>Solução: Chamando de x a média proporcional ou geo-</p><p>métrica, temos:</p><p></p><p>9</p><p>4 x</p><p>x</p><p>4 . 9 = x . x 2x = 4 . 9</p><p>x = 4 . 9 x = 6</p><p>ou então: </p><p>x</p><p>x 9</p><p>4</p><p>x . x = 4 . 9</p><p>x2 = 4 . 9 x = 4 . 9 x = 6</p><p>3ª) Em uma proporção podemos permutar entre si, sem</p><p>alterar a mesma:</p><p>a) os meios entre si</p><p>b) os extremos entre si</p><p>c) os antecedentes com seus respectivos consequentes.</p><p>Ex.:</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>a .  d = b . c</p><p>a)</p><p>a</p><p>c</p><p>b</p><p>d</p><p>a .  d = b . c</p><p>b)</p><p>d</p><p>b</p><p>c</p><p>a</p><p>a .  d = b . c</p><p>c)</p><p>b</p><p>a</p><p>d</p><p>c</p><p>a .  d = b . c</p><p>Note que a proporção não foi alterada em nenhum caso,</p><p>pois se verificou a propriedade fundamental em todas elas</p><p>sem alteração: a . d = b . c</p><p>Propriedades das Proporções:</p><p>Dada a proporção</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p> podemos escrever:</p><p>MATEMÁTICA</p><p>37</p><p>1ª Propriedade:</p><p>a b</p><p>b</p><p>c d</p><p>d</p><p></p><p></p><p></p><p>ou</p><p>a b</p><p>a</p><p>c d</p><p>c</p><p></p><p></p><p></p><p>MÉDIAS</p><p>Média Aritmética (Ma): a média aritmética de dois ou</p><p>mais números, é o quociente da soma desses números pelo</p><p>número de parcelas. Assim, a média aritmética entre os nú-</p><p>meros a, b e c será:</p><p>2ª Propriedade:</p><p>d</p><p>c</p><p>b</p><p>a</p><p>d b</p><p>c a</p><p></p><p></p><p></p><p>3ª Propriedade:</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p> ou</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p></p><p>4ª Propriedade:</p><p>a . a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>c</p><p>b . d</p><p>=</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>Ma</p><p>a b c</p><p></p><p> </p><p>3</p><p>Média Aritmética Ponderada (Mp): a média aritmética</p><p>ponderada é igual ao somatório dos produtos de n números</p><p>pelos seus respectivos pesos, dividido pelo somatório des-</p><p>ses pesos. Assim, a média aritmética ponderada dos números</p><p>a, b e c de pesos respectivamente iguais a p, q e r será:</p><p>Mp</p><p>a .</p><p></p><p>p + b . q + c . r</p><p>p + q + r</p><p>Média Harmônica (Mh): denomina-se média harmônica</p><p>de vários números, o inverso da média aritmética dos inver-</p><p>sos desses números. Assim a média harmônica dos núme-</p><p>ros a, b e c será:</p><p>Mh </p><p> </p><p>3</p><p>1</p><p>a</p><p>1</p><p>b</p><p>1</p><p>c</p><p>Escala (E):</p><p>Definição: é a razão entre o comprimento do desenho e</p><p>o comprimento real a que corresponde.</p><p>E</p><p>D</p><p>R</p><p> onde: E escala</p><p>D comprimento do desenho</p><p>R comprimento real</p><p>Importante:</p><p>- As grandezas D e R devem estar na mesma unidade.</p><p>- A razão da escala deve ser uma fração irredutível.</p><p>Quando 2 cm no desenho corresponde a 1m real temos:</p><p>E =</p><p>2 cm</p><p>100 cm : 2</p><p>2 E =</p><p>1</p><p>50</p><p>: </p><p>fração irredutível</p><p>EXERCÍCIO RESOLVIDO:</p><p>1) Calcule x na proporção:</p><p> x : (3 - 0,75) = 4 : (2 - 1/8)</p><p>Solução: aplicando a propriedade fundamental em:</p><p>x</p><p>3 -</p><p></p><p>75</p><p>100</p><p>=</p><p>4</p><p>2 -</p><p>1</p><p>8</p><p>8</p><p>1 - 16</p><p>4</p><p>100</p><p>75300</p><p></p><p></p><p>x</p><p>15</p><p>8</p><p>. 4</p><p>225</p><p>. </p><p>100</p><p>x</p><p>5</p><p>24</p><p>225</p><p>100</p><p>15</p><p>8</p><p>. 4  xx</p><p>GRANDEZAS DIRETAMENTE</p><p>PROPORCIONAIS</p><p>Duas grandezas são diretamente proporcionais quando</p><p>uma cresce, a outra também ou quando uma decresce e a</p><p>outra também. Ex.: Kg de feijão e dinheiro. Um pouco de</p><p>feijão custa um preço. Se comprarmos mais quilos pagare-</p><p>mos mais.</p><p>GRANDEZAS INVERSAMENTE</p><p>PROPORCIONAIS</p><p>Duas grandezas são inversamente proporcionais quan-</p><p>do uma cresce e a outra decresce ou vice-versa. Ex.: Velo-</p><p>cidade e tempo. Andarmos com determinada velocidade para</p><p>percorrermos uma distância e demoramos um tempo. Se</p><p>aumentermos a velocidade, o tempo</p><p>diminui para per-</p><p>correr a mesma distância.</p><p>REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA</p><p>Definição: A regra de três consiste na comparação de</p><p>grandezas proporcionais diretas ou inversas. Pode ser:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>aisproporciongrandezas</p><p>demaisenvolveComposta</p><p>aisproporciongrandezasenvolveSimples</p><p>2</p><p>2</p><p>Regra de Três Simples: Pode ser:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>inversasgrandezasInversa</p><p>diretasgrandezasDireta</p><p>2</p><p>2</p><p>Direta: a resolução é feita através de proporção como a</p><p>montagem do problema. Ex.: Uma quantidade de 21 quilos de</p><p>arroz custa R$ 42,00. Calcular o preço de 15 quilos deste arroz.</p><p>Solução:</p><p>kg-arroz - R$</p><p>X</p><p>42</p><p>15</p><p>21</p><p></p><p>30</p><p>21</p><p>42 . 15000.42</p><p>15</p><p>21</p><p> X</p><p>X</p><p>Resposta: R$ 30,00</p><p>Inversa: a resolução é feita através de proporção inver-</p><p>tendo-se os dados de uma das duas grandezas proporcionais.</p><p>Ex.: Um automóvel percorre na estrada uma determinada dis-</p><p>tância. Sabendo que com a velocidade de 50 Km/h, demora 4</p><p>horas, quanto tempo gastará se a velocidade for de 40 Km/h?</p><p>Solução:</p><p>km/h - hora</p><p>X</p><p>4</p><p>40</p><p>50</p><p></p><p>50</p><p>40 4</p><p>4</p><p>40</p><p>5  </p><p>x . 50</p><p>Resposta: 5 horas</p><p>MATEMÁTICA</p><p>38</p><p>REGRA DE TRÊS COMPOSTA</p><p>Envolve mais de duas grandezas proporcionais. A reso-</p><p>lução poderá ser feita de duas maneiras.</p><p>1º método:</p><p>Comparamos a grandeza a determinar com as demais.</p><p>Se for inversa, invertermos os dados dessa grandeza (das</p><p>demais).</p><p>A grandeza a determinar não se altera.</p><p>Por fim igualamos a razão de grandeza a determinar com</p><p>a razão do produto dos dados das demais grandezas e de-</p><p>terminamos o valor procurado.</p><p>Ex.: Na alimentação de 3 cavalos, durante 7 dias são</p><p>consumidos 1470 Kg de alfafa.</p><p>Se mais cinco cavalos são adquiridos, quantos quilos de</p><p>alfafa serão necessários para alimentá-los durante 10 dias?</p><p>Solução:</p><p>alfafa(kg) dias cavalos</p><p>8</p><p>3</p><p>10</p><p>71470</p><p></p><p>x</p><p>1470 7 1470</p><p>x</p><p>x  </p><p>. 3</p><p>10 8</p><p>. 10 8</p><p>7 3.</p><p>.</p><p>.</p><p>x = 5.600</p><p>Resposta: 5.600 Kg</p><p>2º método:</p><p>Unimos por uma linha as causas dos primeiros dados</p><p>com a conseqüência dos segundos casos e por outra linha</p><p>as causas dos segundos dados com a coseqüência dos</p><p>primeiros dados.</p><p>Igualamos o produto de uma linha com o produto da outra</p><p>para determinar o valor procurado.</p><p>Observe que neste método não é necessário a compara-</p><p>ção das grandezas proporcionais, mas a noção do que é</p><p>causa e conseqüência.</p><p>Conseqüência é tudo que se produz ou se faz tendo</p><p>como causa o trabalho e seus fatores para determiná-lo.</p><p>Ex.: mesmo do 1º método:</p><p>alfafa(kg) dias cavalos</p><p>8</p><p>3</p><p>10</p><p>71470</p><p>x</p><p>Para determinarmos a conseqüência faremos a pergun-</p><p>ta: o que foi feito?</p><p>A resposta é: a alimentação dos cavalos através de qui-</p><p>los de alfafa.</p><p>O restante então é a causa da alimentação dos cavalos</p><p>e do problema.</p><p>Então igualamos as duas linhas de daos como explicado</p><p>anteriormente.</p><p>x . 7 . 3 = 1470 . 10 . 8</p><p>x  </p><p>1470</p><p>5600</p><p>. 10 8</p><p>7 3</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>Resposta: 5.600 Kg</p><p>Observe que qualquer dos 2 métodos pode ser utilizado.</p><p>Cada um escolherá o que melhor entender.</p><p>PORCENTAGEM</p><p>DEFINIÇÃO: pode ser definida como sendo o número de</p><p>centésimos existentes em uma grandeza. A taxa de porcen-</p><p>tagem é a representação de uma fração onde o denominador</p><p>é 100. Assim a fração 20/100 é equivalente à notação 20%.</p><p>%  representação de porcentagem.</p><p>Ex.: 1) Dar a fração irredutivél equivalente a cada uma</p><p>das notações percentuais abaixo:</p><p>a) 15% b) 20%</p><p>Solução:</p><p>5</p><p>1</p><p>20:</p><p>100</p><p>20</p><p>=20%b)</p><p>20</p><p>3</p><p>=5 :</p><p>100</p><p>15</p><p>%15 ) a</p><p>Ex.: 2) Estabelecer a notação percentual equivalente a</p><p>cada uma das frações seguintes: a) 2/5 b) 5/4</p><p>Solução:</p><p>a)</p><p>2</p><p>5</p><p>40</p><p>100</p><p>40%= = b)</p><p>5</p><p>4</p><p>125</p><p>100</p><p>125%= =</p><p>Obs.: Taxa Milesimal é a representação de uma fração</p><p>onde o denominador é 1000. Assim 2/1000 é anotado por 2%</p><p>. Todo o trabalho algébrico da taxa milesimal segue o mesmo</p><p>procedimento da taxa percentual.</p><p>CÁLCULO DA PORCENTAGEM:</p><p>Sempre que, por exemplo, escrevendo 20% estamos nos</p><p>referindo a 20% de um determinado valor. Este valor é cha-</p><p>mado de principal, isto é, o valor sobre o qual calculamos a</p><p>porcentagem. Este valor equivale sempre a 100% ou a um</p><p>inteiro. Ex.: 20% de 500.</p><p>100</p><p>i . p</p><p>P </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>(p) principal-500</p><p>(i) taxa=20</p><p>(P) 100 mporcentage</p><p>Podemos calcular também a porcentagem através de re-</p><p>gra de três simples direta.</p><p>Ex.:</p><p>Percentual / valor</p><p>x</p><p>500</p><p>20</p><p>100</p><p></p><p>x = 100</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>(p) principal-500</p><p>(i) taxa=20</p><p>(P) 100 mporcentage</p><p>Transações Comerciais:</p><p>Existe nas transações comerciais o preço de custo de</p><p>uma mercadoria e o seu preço de venda também. Toda vez</p><p>que se calcula o percentual de lucro ou de prejuízo sobre</p><p>determinado valor, este valor equivale a 100%, como já vis-</p><p>to, pois é o principal.</p><p>Numa transação comercial pode haver lucro ou prejuízo.</p><p>Lucro (L) - o preço de venda (Pv) é maior que preço de</p><p>custo (Pc). Prejuízo (P) - o preço de venda (Pv) é menor que</p><p>o preço de custo (Pc).</p><p>Observe que:</p><p>L = Pv - Pc</p><p>% . L = % . Pv - % . Pc</p><p>P = Pc- Pv</p><p>% . P = % . Pc - % . Pv</p><p>Importante frisar que se o lucro for calculado sobre o</p><p>preço de custo, este equivale a 100% e se for sobre o preço</p><p>de venda, este também equivale a 100%.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>MATEMÁTICA</p><p>MATEMÁTICA</p><p>MATEMÁTICA</p><p>MATEMÁTICA</p><p>MATEMÁTICA</p><p>MATEMÁTICA</p><p>MATEMÁTICA</p><p>MATEMÁTICA</p><p>MATEMÁTICA</p><p>- 2013 - 2018</p><p>MATEMÁTICA</p><p>MATEMÁTICA 2019_01 a 24</p><p>MATEMÁTICA 2019_25 a 38</p><p>matemática 2</p><p>pode não ocorrer. Nos exemplos</p><p>anteriores temos: 108 é divisível por 9 e também por 3. Mas, 345 é</p><p>divisível por 3 mas não é por 9.</p><p>Divisibilidade por 4 e 25: "um número é divisível por 4 ou</p><p>25 quando os dois últimos algarismos da direita formarem um</p><p>número divisível por 4 ou 25 respectivamente". Ex.: 420 é</p><p>divisível por 4 porque 20 é divisível por 4, então:</p><p>420 4</p><p>20 105</p><p>0</p><p>quociente: 105</p><p>resto: 0</p><p>1175 é divisível por 25, porque 75 é divisível por 25, então:</p><p>1175 25</p><p>175 47</p><p>0</p><p>quociente: 47</p><p>resto: 0</p><p>Divisibilidade por 5: "um número é divisível por 5, quando</p><p>ele termina em 0 ou 5".</p><p>Ex.: O conjunto dos números menores que 40, divisíveis</p><p>por 5 é: {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}</p><p>Divisibilidade por 8 ou 125: "um número é divisível por 8</p><p>ou por 125, quando, os seus três últimos algarismos da direita,</p><p>formarem um número divisível por 8 ou 125, respectivamente."</p><p>Ex.: 1º) 1032 é divisível por 8, porque 032 = 32 é divisível</p><p>por 8, então:</p><p>1032 8</p><p>32 129</p><p>72</p><p>0</p><p>quociente: 129</p><p>resto: 0</p><p>2º) 3250 é divisível por 125, porque 250 é divisível por 125,</p><p>então:</p><p>3250 125</p><p>0750 26</p><p>000</p><p>quociente: 26</p><p>resto: 0</p><p>MATEMÁTICA</p><p>5</p><p>Divisibilidade por 11: "um número é divisível por 11,</p><p>quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem</p><p>ímpar, e a soma dos algarismos de ordem par, é múltiplo de</p><p>11: Ex.: Verificar se o número 743.875 é divisível por 11.</p><p>Resolução: Anotando por I os algarismos de ordem ímpar</p><p>e P, os de ordem par temos:</p><p>743.875 ---- I = 7, 3, 7 P = 4, 8, 5</p><p>Somando os algarismos de ordem ímpar, temos:</p><p>7 + 3 + 7 = 17</p><p>Somando os algarismos de ordem par, temos:</p><p>4 + 8 + 5 = 17</p><p>A diferença será 17 - 17 = 0, como 0 (zero) é múltiplo de</p><p>11, o número será divisível por 11.</p><p>Decomposição de um número em fatores primos:</p><p>Todo e qualquer número que não seja primo, pode ser</p><p>decomposto num produto de seus fatores primos.</p><p>Ex.: Escrever como produto de seus fatores primos os</p><p>seguintes números: a) 50; b) 120</p><p>a) 50 2</p><p>25 5</p><p>5 5</p><p>1</p><p>50 = 2 . 5</p><p>2</p><p>Resolução:</p><p>b) 120 2</p><p>60 2</p><p>30 2</p><p>15 3</p><p>5 5</p><p>1</p><p>120 = 2 . 3 . 53</p><p>MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.):</p><p>"Mínimo Múltiplo Comum de dois ou mais números é o menor</p><p>número diferente de zero que é divisível por todos eles ao mesmo</p><p>tempo". Para cálculo do m.m.c. de dois ou mais números podemos</p><p>estabelecer a seguinte regra:</p><p>1º) Decompomos os números em fatores primos.</p><p>2º) Multiplicam-se todos os fatores primos, comuns e não</p><p>comuns, tomados uma única vez, com os seus maiores expoentes.</p><p>Ex.: Calcular o m.m.c. dos números: 20, 24 e 30</p><p>20 2</p><p>10 2</p><p>5 5</p><p>1</p><p>20 = 2 . 5</p><p>2</p><p>24 2</p><p>12 2</p><p>6 2</p><p>3 3</p><p>1</p><p>24 = 2 . 33</p><p>30 2</p><p>15 3</p><p>5 5</p><p>1</p><p>30 = 2 . 3 . 5</p><p>m.m.c. (20; 24; 30) = 23 . 5 . 3</p><p>m.m.c. (20; 24; 30) = 8 . 5 . 3</p><p>m.m.c. (20; 24; 30) = 120</p><p>MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.):</p><p>"Máximo Divisor Comum de dois ou mais números é o maior</p><p>de seus divisores comuns". Para o cálculo do m.d.c. de dois</p><p>ou mais números podemos estabelecer a seguinte regra:</p><p>1º) Decompomos os números em fatores primos.</p><p>2º) Multiplicamos todos os fatores primos comuns, tomados</p><p>uma única vez com seus menores expoentes.</p><p>Ex.: Calcular o m.d.c. dos números seguintes: 60, 264 e 504</p><p>60 2</p><p>30 2</p><p>15 3</p><p>5 5</p><p>1</p><p>60 = 2 . 3 . 5</p><p>2</p><p>264 2</p><p>132 2</p><p>66 2</p><p>33 3</p><p>11 11</p><p>1</p><p>264 = 2 . 3 . 11</p><p>3</p><p>504 2</p><p>252 2</p><p>126 2</p><p>63 3</p><p>21 3</p><p>7 7</p><p>1</p><p>504 = 2 . 3 . 7</p><p>3 2</p><p>m.d.c. (60; 264; 504) = 22 . 3</p><p>m.d.c. (60; 264; 504) = 12</p><p>Relação entre o m.m.c. e m.d.c.:</p><p>"O m.m.c. de dois números é igual ao produto desses</p><p>números dividido pelo seu m.d.c."</p><p>Ex.: O produto de dois números é 576 e o seu m.d.c. é 2.</p><p>Calcular o m.m.c.</p><p>m.m.c. = = = m.m.c. = 288</p><p>produto dos números</p><p>m.d.c.</p><p>576</p><p>2</p><p>Cálculo do número de divisores de um número:</p><p>"O número de divisores de um número é igual ao produto dos</p><p>expoentes de cada fator primo aumentados de uma unidade".</p><p>Ex.: Quantos são os divisores de 540?</p><p>Resolução: Decompondo 540 em fatores primos, temos:</p><p>540 2</p><p>270 2 O nº de divisores será:</p><p>135 3 (2 + 1) . (3 + 1) . (1 + 1) = 3 . 4 . 2 = 24</p><p>45 3 Resposta: 24 divisores</p><p>15 3</p><p>5 5</p><p>1</p><p>540 = 2 . 3 . 532</p><p>FRAÇÕES ORDINÁRIAS</p><p>OPERAÇÕES COM FRAÇÕES:</p><p>Soma e Subtração: a soma ou diferença de frações é</p><p>obtida da seguinte maneira:</p><p>1º) Reduzimos as frações ao mesmo denominador;</p><p>2º) Somamos ou subtraímos os numeradores obtidos e</p><p>assim teremos a fração resultado.</p><p>Ex.: Efetuar: - +5</p><p>6</p><p>2</p><p>3</p><p>5</p><p>8</p><p>Solução: m.m.c. (6; 3; 8) = 24</p><p>5</p><p>6</p><p>2</p><p>3</p><p>5</p><p>8</p><p>- + = = 20 - 16 + 15</p><p>24</p><p>19</p><p>24</p><p>Produto de frações: o produto de frações é obtido multipli-</p><p>cando-se respectivamente numerador e denominador das fra-</p><p>ções (não se calcula o m.m.c. no produto).</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>d</p><p>. = a . c</p><p>b . d</p><p>Assim:</p><p>Obs.: No produto de frações, é sempre conveniente ob-</p><p>servar se há possibilidade de simplificar.</p><p>Ex.: Efetuar: a) . b) . 73</p><p>5</p><p>7</p><p>6</p><p>4</p><p>3</p><p>Solução: a) . =</p><p>3</p><p>5</p><p>7</p><p>6</p><p>7</p><p>10</p><p>1</p><p>2</p><p>b) . = =</p><p>4</p><p>3</p><p>7</p><p>1</p><p>4 . 7</p><p>3 . 1</p><p>28</p><p>3</p><p>Ex.: Efetuar: a) : 3</p><p>5</p><p>7</p><p>4</p><p>b)</p><p>1</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>c)</p><p>2</p><p>3</p><p>5</p><p>Solução:</p><p>3</p><p>5</p><p>7</p><p>4</p><p>: = . =</p><p>3</p><p>5</p><p>4</p><p>7</p><p>12</p><p>35</p><p>mantém</p><p>mantém</p><p>b)</p><p>1</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>= . =</p><p>1</p><p>3</p><p>5</p><p>4</p><p>5</p><p>12</p><p>c)</p><p>2</p><p>3</p><p>5</p><p>= . =2</p><p>3</p><p>1</p><p>5</p><p>2</p><p>15</p><p>FRAÇÕES DECIMAIS</p><p>Frações decimais: são frações cujo denominador é igual a</p><p>10 ou 100 ou 1000, ou seja, potência positiva de 10.</p><p>3</p><p>10</p><p>, 8</p><p>100</p><p>, ...132</p><p>1000</p><p>Ex.:</p><p>Exceto as dízimas periódicas, todo número decimal pode ser</p><p>escrito na forma de fração decimal, da seguinte maneira:</p><p>0,37 = ; 2,471 = 2 =</p><p>37</p><p>100</p><p>471</p><p>1000 1000</p><p>2471</p><p>0,333... não pode ser escrito na forma de fração decimal</p><p>Soma e subtração de números decimais: para se efe-</p><p>tuar estas operações, basta colocarmos vírgula sob vírgula, ou</p><p>seja, operar parte inteira com parte inteira e parte decimal com</p><p>parte decimal.</p><p>Ex.: a) 2,32 + 0,416 + 11 + 0,1 b) 1,432 - 0,21</p><p>Divisão de frações: o quociente das frações a/b e c/d</p><p>é: ab . d/c, isto é, mantemos a primeira fração multiplicando</p><p>pelo inverso da segunda fração.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>6</p><p>Solução: a) b)</p><p>Produto de números decimais: opera-se normalmen-</p><p>te. O resultado terá tantas casas decimais quanto a soma das</p><p>casas decimais dos fatores.</p><p>Ex.: 0,32 x 1,7</p><p>Solução:</p><p>0,32</p><p>1,7</p><p>2,24</p><p>32</p><p>0,544</p><p>2 casas decimais</p><p>1 casa decimal</p><p>3 casas decimais</p><p>Divisão de números decimais:</p><p>a) Igualar casas decimais.</p><p>b) Eliminar vírgulas,</p><p>c) Operar normalmente.</p><p>Ex.: 0,625 : 2,5 = 0,25</p><p>Solução:</p><p>a) 0,625 : 2,500 - Letra A do roteiro</p><p>b) 625 : 2500 - Letra B do roteiro</p><p>c)</p><p>6250 2500</p><p>12500 0,25</p><p>0000</p><p>- Letra C do roteiro</p><p>Transformação de fração para decimal: basta dividir</p><p>o numerador pelo denominador.</p><p>Ex.: a)</p><p>2</p><p>5</p><p>= 0,4 b)</p><p>5</p><p>4</p><p>= 1,25</p><p>Solução: a)</p><p>20 5</p><p>0 0,4 b)</p><p>5 4</p><p>10 1,25</p><p>20</p><p>0</p><p>NÚMERO MISTO</p><p>Denomina-se número misto à soma de um número inteiro</p><p>com uma fração própria.</p><p>Ex.:</p><p>3 +</p><p>4</p><p>5</p><p>é um número misto e indicamos por</p><p>que será lido como: três inteiros e quatro quintos.</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>Obs.:</p><p>1ª) Para se transformar um número misto em fração impró-</p><p>pria, procedemos da seguinte maneira:</p><p>2 = = (fração imprópria)</p><p>3</p><p>4</p><p>2 . 4 + 3</p><p>4</p><p>11</p><p>4</p><p>2ª) Para se transformar uma fração imprópria em número</p><p>misto procede-se da seguinte maneira:</p><p>37</p><p>5</p><p>37 5</p><p>2 7</p><p>= 7</p><p>2</p><p>5</p><p>37</p><p>5</p><p>Esta operação também é chamada de extração dos intei-</p><p>ros de uma fração.</p><p>GERATRIZ DE UMA PERIÓDICA</p><p>Dízima Periódica Simples: a fração geratriz da dízima</p><p>periódica simples, é obtida da seguinte maneira:</p><p>- Numerador: constituído pelo período da dízima (parte que</p><p>se repete na dízima);</p><p>- Denominador: é formado por tantos noves quanto são os</p><p>algarismos do período.</p><p>Ex.: Calcular a geratriz das dízimas seguintes:</p><p>a) 0,3737... b) 2,4242...</p><p>Solução:</p><p>37</p><p>99a) 0,3737... =</p><p>b) 2,4242... = 2 =</p><p>42</p><p>99</p><p>240</p><p>99</p><p>POTÊNCIAS E RAÍZES</p><p>DEFINIÇÃO: Dado um número real a e um número inteiro</p><p>n, (n > 0) sabe-se que:</p><p>a, a, a... = an</p><p>n vezes</p><p>a é a base; n é o expoente e an é a potência.</p><p>Ex.: 53 = 5 . 5 . 5 = 125</p><p>5 - base; 3 - expoente; 125 - potência</p><p>Propriedades:</p><p>1ª) Multiplicação de potências de mesma base:</p><p>Para multiplicar duas ou mais potências de mesma base,</p><p>conserva-se a base e somam-se os expoentes.</p><p>Genericamente: am . an . ap = am+n+p</p><p>Ex.: 53 . 54 = 53+4 = 57 = 78.125</p><p>2ª) Divisão de potências de mesma base:</p><p>Para dividir duas potências de mesma base, conservam-</p><p>se as bases e subtraem-se os expoentes.</p><p>Genericamente: m - nm</p><p>n Ex.:</p><p>5</p><p>5</p><p>3</p><p>2</p><p>= 5 = 53 - 2</p><p>Consequências:</p><p>a) Potência com expoente zero: toda potência com</p><p>expoente zero é igual a 1 (um). a = a = = 1 0 n - n a</p><p>a</p><p>n</p><p>n</p><p>Ex.: 50 = 1</p><p>b) Potência com expoente negativo: é equivalente a</p><p>uma fração cujo numerador é 1(um) e o denominador é a base</p><p>com o expoente positivo. Equivale ao inverso da base elevado a</p><p>um expoente de mesmo módulo e sinal diferente.</p><p>a = a = = -n 0 - n a 0</p><p>a n</p><p>1</p><p>a n</p><p>Ex.: 2 = = -3 1</p><p>2 3</p><p>1</p><p>8</p><p>3ª) Potência de Potência: Para se elevar uma potência</p><p>a um expoente, conserva-se a base e multiplicam-se os ex-</p><p>poentes.</p><p>Genericamente: (a ) = a n m n.m</p><p>Ex.: (2 ) = 2 = 2 = 643</p><p>2</p><p>3.2 6</p><p>Dízima Periódica Composta: a fração geratriz da dízima</p><p>periódica composta é obtida da seguinte maneira.</p><p>- Numerador: é formado pela diferença entre o número for-</p><p>mado pela parte não periódica seguida de um período, e o nú-</p><p>mero que constitui a parte não periódica.</p><p>- Denominador: constituído por um número formado por</p><p>tantos noves quantos forem os algarismos da parte periódica,</p><p>seguidos por tantos zeros quantos forem os algarismos da</p><p>parte não periódica.</p><p>Ex.: Calcular a geratriz das dízimas seguintes:</p><p>a) 0,325757... b) 2,323444...</p><p>Solução:</p><p>a) 0,325757... parte periódica = 57</p><p>parte não periódica = 32</p><p>3257 - 32</p><p>9900</p><p>43</p><p>132</p><p>A geratriz da dízima dada é:</p><p>3225</p><p>9900</p><p>= =</p><p>b) 2,213444... parte periódica = 4</p><p>parte não periódica = 213</p><p>2134 - 213</p><p>9000</p><p>1921</p><p>9000</p><p>A geratriz da dízima dada será:</p><p>19921</p><p>9000</p><p>2 = 2 =</p><p>MATEMÁTICA</p><p>7</p><p>4ª) Potência de um Produto: Para se elevar um produ-</p><p>to a um expoente, eleva-se cada fator a este expoente.</p><p>Genericamente: (a . b) = a . b n n n</p><p>Ex.: (3 . 10) = 3 . 10 = 9 . 100 = 9002 2 2</p><p>5ª) Potência de Ordem Superior: É a potência cujo</p><p>expoente é outra potência.</p><p>Genericamente: amn</p><p>Ex.: 3 = 343 64</p><p>6º) Multiplicando-se ou dividindo-se o índice e o expoente do</p><p>radicando por um mesmo número, o valor da raiz não se altera.</p><p>Ex.: Seja: 6 4 = 23</p><p>Dividindo-se o índice e o expoente do radicando por 3:</p><p>6 : 3 4. = 4 = 2 3.3 2</p><p>Multiplicando-se o índice e o expoente do radicando por 2:</p><p>6 x 2 4. = 4 = 212 6</p><p>Obs.: a bc</p><p>(a )b c</p><p>Ex.: 21</p><p>3</p><p>= 2 e (21)</p><p>3</p><p>= 8</p><p>Potência de Números Relativos:</p><p>1º) Quando o expoente for par, o resultado será sempre</p><p>positivo. Exs.: a) +32 = 9 b) -24 = 16</p><p>2º) Quando o expoente for ímpar, o resultado terá sem-</p><p>pre o sinal da base. Exs.: 1) (-2)3 = -8 2) (+5)3 = 125</p><p>Potência de Frações: Para se elevar uma fração a um expo-</p><p>ente, eleva-se o numeradores e o denominador a este expoente.</p><p>Genericamente: ( ) =</p><p>a</p><p>b</p><p>n a</p><p>b</p><p>n</p><p>n</p><p>Ex.: ( ) = =</p><p>-3</p><p>7</p><p>2 3</p><p>7</p><p>2</p><p>2</p><p>9</p><p>49</p><p>RADICIAÇÃO</p><p>Definição: dado um número real a e um número inteiro n, (n</p><p>> 0) denomina-se raiz n-ézima o número b tal que:</p><p>n a = b b n, onde n é o índice, b é a raiz n-ézima e a é o</p><p>radicando. O sinal recebe o nome de radical.</p><p>Ex.: 1) 4</p><p>81 = 3 2) 3</p><p>-64 = -4 3) 2</p><p>16 = 4</p><p>Observações:</p><p>1) Não existem raízes de índice par de números negati-</p><p>vos no campo dos números reais.</p><p>2) Quando o índice for igual a 2, poderá ser omitido e</p><p>neste caso, diz-se que a raiz é quadrada.</p><p>Ex.: 2</p><p>64 = 64 = 8</p><p>3) Quando o radicando não apresentar sinal, ou se for</p><p>positivo as raízes de índice par serão consideradas positivas.</p><p>Exs.: 1) 4</p><p>16 = 2 2) 6</p><p>+64 = 2</p><p>4) Quando o índice for ímpar, a raiz terá o sinal do radicando.</p><p>Exs.: 1) 3</p><p>-8 = -2 2) 5</p><p>243 = 3</p><p>Propriedades:</p><p>1ª) O produto de duas ou mais raízes de mesmo índice é</p><p>a raiz do produto dos radicandos.</p><p>Ex.: 4</p><p>16 . 81 = 16.81</p><p>4 4</p><p>2ª) O quociente de duas raízes de mesmo índice é igual à raiz</p><p>do quociente dos radicandos. Genericamente:</p><p>3ª) A raiz de uma raiz é igual a uma raiz cujo índice é o produto</p><p>dos índices relativos a cada raiz. Genericamente:</p><p>m n a = m.n a</p><p>Ex.: 3 64 = 64 = 64 = 2 2 3. 6</p><p>4ª) A potência de uma raiz é igual à raiz da potência de</p><p>mesmo expoente do radicando. Genericamente:</p><p>(n a = a )m n m Ex.: (3 27 = 27 )4 3 4</p><p>5ª) Uma raiz é igual a uma potência com expoente</p><p>fracionário cujo numerador é o expoente do radicando e o</p><p>denominador é o índice. Genericamente:</p><p>a = a n m m/n Ex.: 2 = 2 3 4 4/3</p><p>Extração da Raiz Quadrada:</p><p>Existe uma regra prática para extrair a raiz quadrada de um</p><p>número, regra esta que será vista a seguir através de um exem-</p><p>plo. Exemplo: extrair a raiz quadrada de 135.360.</p><p>1º) Separam-se os algarismos do radicando de dois em</p><p>dois da direita para a esquerda, podendo sobrar apenas um</p><p>algarismo à esquerda 13 53 60. .</p><p>2º) Determina-se o maior número cujo quadrado não ul-</p><p>trapasse o número formado pelo(s) algarismo(s) que sobrar</p><p>(ou sobraram) à esquerda.</p><p>Este número será a raiz parcial 13 53 60 3. .</p><p>3º) Eleva-se ao quadrado o número assim obtido e sub-</p><p>trai-se do número mencionado acima e acrescenta-se ao</p><p>resultado os próximos dois algarismos à direita, obtendo-se</p><p>assim o primeiro resto parcial:</p><p>13 53 60 3. .</p><p>9</p><p>453</p><p>4º) Dobra-se a raiz e separa-se o último algarismo à</p><p>direita do resto parcial</p><p>13 53 60 3. .</p><p>9</p><p>45 3.</p><p>2 3 = 6.</p><p>5º) Divide-se a parte que sobrou à esquerda pelo dobro</p><p>da raiz, multiplicando-se o número formado pelo acréscimo</p><p>do quociente obtido à raiz pelo mesmo coeficiente. Se o pro-</p><p>duto acima for maior que o resto parcial subtrai-se uma uni-</p><p>dade ao quociente e repete-se a operação</p><p>13 53 60 3. .</p><p>9</p><p>45 3.</p><p>2 3 = 6.</p><p>45:6 = 7</p><p>67:7 = 469</p><p>Como 469 é maior que 453, reduz-se uma unidade do</p><p>quociente e repete-se a operação:</p><p>n a</p><p>n b</p><p>=</p><p>n a</p><p>b</p><p>Ex.:</p><p>3</p><p>125</p><p>=</p><p>3</p><p>64</p><p>3</p><p>125</p><p>64</p><p>13 53 60 3. .</p><p>9</p><p>45 3.</p><p>2 3 = 6.</p><p>45:6 = 7 6</p><p>66:6 = 396</p><p>6º) Subtrai-se o resultado do primeiro resto parcial, acrescen-</p><p>tando-se ao lado do mesmo os próximos dois algarismos à direita,</p><p>dobra-se a nova raiz (36) e repete-se os passos anteriores</p><p>13 53 60 367. .</p><p>9</p><p>45 3.</p><p>2 3 = 6.</p><p>45:6 = 7 6</p><p>66:6 = 396</p><p>2 36 = 72</p><p>576:72 = 8 7</p><p>727 7 = 5089</p><p>.</p><p>.</p><p>396</p><p>57 60</p><p>5089</p><p>671</p><p>.</p><p>A raiz procurada é 367 e 671 é o resto final.</p><p>PROVA: (367)2 + 671 = 134689 + 671 = 135360</p><p>raiz = 21,6; resto = 2,44</p><p>MATEMÁTICA</p><p>8</p><p>Obs.: A raiz quadrada de um número pode ser extraída</p><p>por aproximação. Para isso basta acrescentar à direita do</p><p>radicando, dois zeros para cada casa decimal desejada a</p><p>extrai-se a raiz quadrada do número obtido de acordo com a</p><p>regra que foi dada.</p><p>Ex.: Extrair a raiz quadrada do número 469 com aproxi-</p><p>mação de décimos.</p><p>4.69.00 21</p><p>4</p><p>06.9</p><p>2 2 = 4.</p><p>6:4 = 1</p><p>41:1 = 41</p><p>2.21 = 42</p><p>280:42 = 6</p><p>426 6 = 2556.</p><p>41</p><p>280.0</p><p>2556</p><p>244</p><p>Nota: O número de casas decimais do resto é igual ao</p><p>número de zeros acrescentados.</p><p>PROVA: (21,6)2 + 2,44 = 466,56 + 2,44 = 469</p><p>Redução de Radicais ao mesmo índice: dois ou mais</p><p>radicais de índices diferentes podem ser reduzidos a um</p><p>mesmo índice com base na 6ª propriedade do item 2.2.</p><p>REGRA:</p><p>1º) Calcular o mínimo múltiplo comum dos respectivos</p><p>índices que será o novo índice comum a todos os radicais.</p><p>2º) Dividir o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) obtido, pelos</p><p>índices e multiplicar o resultado pelo expoente do radicando</p><p>correspondente.</p><p>Ex.: Reduzir ao mesmo índice:</p><p>3 4 ; 6 ; 82 5 3 6</p><p>m.m.c. (3; 5; 6) = 30</p><p>Dividindo-se o m.m.c. pelos índices e multiplicando os</p><p>resultados pelos expoentes dos radicandos:</p><p>30 4 ; 6 ; 820 30 18 30 5</p><p>- Operações com radicais:</p><p>1ª - Adição e subtração: Para serem somados ou sub-</p><p>traídos, os radicais devem ter o mesmo índice e o mesmo</p><p>radicando, ou seja, devem ser semelhantes. Apenas os</p><p>coeficientes</p><p>dos radicandos devem ser operados.</p><p>Ex.: 4 3 + 5 3 + 3 =</p><p>(4 + 5 + 1) 3 = 10 3</p><p>4 4</p><p>4</p><p>4</p><p>4</p><p>2ª - Multiplicação e divisão</p><p>Para serem multiplicados ou divididos, os radicais devem</p><p>ter o mesmo índice.</p><p>Se isto não acontecer, os radicais devem ser reduzidos</p><p>ao mesmo índice. Para multiplicar ou dividir radicais, multipli-</p><p>cam-se ou dividem-se os coeficientes e os radicandos.</p><p>Ex.: 6 8 3 20 = 6 3 8 20 = 18 160. . .5 5 5 5</p><p>EXPRESSÕES ALGÉBRICAS</p><p>LETRAS QUE REPRESENTAM NÚMEROS</p><p>Um dos mais importantes símbolos da matemática são as</p><p>letras, usadas em lugar de números.</p><p>a) Variável</p><p>Quando escrevemos a letra x, por exemplo, podemos usá-</p><p>la para representar um número qualquer. Isto nos permite falar</p><p>a respeito de “um número”, sem fixar “qual” o número.</p><p>A letra usada para representar um elemento qualquer, não</p><p>especificado, de um conjunto numérico, chama-se variável.</p><p>Qualquer letra pode ser empregada com este fim; todavia,</p><p>as letras x, y, z são mais freqüentemente usadas.</p><p>Uma vantagem do emprego de letras é a possibilidade de</p><p>substituirmos uma expressão verbal (em que usamos pala-</p><p>vras) por uma expressão matemática ou algébrica (em que</p><p>usamos letras, números e sinais de operação e de relação).</p><p>Exemplos:</p><p>1º - Quando adicionamos dois números, a ordem em que</p><p>são considerados não altera a soma.</p><p>Tradução em linguagem matemática: x + y = y + x</p><p>2º - Se dividirmos a diferença de dois números por 2, o</p><p>resultado será 15.</p><p>Tradução: 15</p><p>2</p><p>y-x </p><p>b) Fórmulas</p><p>Uma fórmula é a tradução, em linguagem matemática, de uma regra.</p><p>Por exemplo, você sabe que a área de um retângulo pode</p><p>ser obtida multiplicando o número que exprime a medida da</p><p>base pelo que exprime a da altura.</p><p>Tradução: S = b.h</p><p>EXPRESSÃO ALGÉBRICA. POLINÔMIO.</p><p>Uma coleção de números, variáveis (letras) e sinais de</p><p>operação, como y</p><p>x</p><p>-3y 2x ,32ax 1, 3x 22 x é uma</p><p>expressão algébrica.</p><p>Em uma expressão da forma A + B + C + ..., A, B, C, ... são termos.</p><p>Assim 3a2 e -2b são termos da expressão 3a2 - 2b.</p><p>Uma expressão cujos termos envolvem somente multiplica-</p><p>ções e potenciações de números e variáveis chama-se polinômio.</p><p>A expressão 3x2 + 5x - 8 é um polinômio.</p><p>A expressão y-</p><p>3</p><p>x</p><p>não é um polinômio porque envolve a</p><p>operação de divisão por uma variável.</p><p>Se o polinômio contém uma só variável, por xemplo x,</p><p>diremos polinômio inteiro em x. O domínio das variáveis de</p><p>um polinômio é o conjunto dos números relativos, salvo indi-</p><p>cação em contrário.</p><p>Denominações particulares:</p><p>Monômio - polinômio de um só termo: -3xy2</p><p>Binômio - de dois termos: a2 - 2ab</p><p>Trinômio - de três termos: 2x2 - 5x + 7</p><p>COEFICIENTE DE UM TERMO</p><p>Um conjunto de fatores em um termo chama-se coefici-</p><p>ente dos fatores restantes. Assim, em -3a2x, temos:</p><p>-3 é o coeficiente de a2x</p><p>-3a2 é o coeficiente de x</p><p>-3x é o coeficiente de a2</p><p>Chama-se coeficiente numérico o fator numérico de um</p><p>termo: em 4a2b o coeficiente numérico é 4.</p><p>Obs.: O coeficiente 1 é subentendido x = 1x</p><p>ORDENAÇÃO</p><p>Quando os termos de um polinômio se sucedem de modo</p><p>que os expoentes de uma certa letra decrescem do primeiro</p><p>ao último, diz-se que o polinômio está ordenado segundo as</p><p>potências decrescentes dessa letra.</p><p>O polinômio 2ax3 - 5abx2 + 3a2x + 4a3b2 está ordenado segun-</p><p>do as potências decrescentes de x. Ao contrário, se as potênci-</p><p>as de uma certa letra crescem sucessivamente, o polinômio diz-</p><p>se ordenado segundo as potências crescentes da mesma letra,</p><p>como o polinômio: 2 - 3x + 4x2 + x3 em relação à letra x.</p><p>Ordenar um polinômio é dispor seus termos de modo que</p><p>os expoentes de uma letra cresçam ou descresçam. Essa</p><p>letra denomina-se principal ou ordenatriz.</p><p>TERMOS SEMELHANTES</p><p>Dois termos que têm variáveis idênticas são chamados</p><p>termos semelhantes.</p><p>222</p><p>3</p><p>1</p><p>e 3ax- ,5 axax são termos semelhantes.</p><p>4x e 5y não são termos semelhantes.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>9</p><p>POLINÔMIOS</p><p>DEFINIÇÃO: Toda função definida pela relação:</p><p>P(x) = a</p><p>n</p><p>xn + a</p><p>n-1</p><p>+ a</p><p>n-2</p><p>. x</p><p>n-2</p><p>+ a</p><p>2</p><p>x2 + a</p><p>1</p><p>x + a</p><p>0</p><p>é denominada</p><p>função polinomial ou, simplesmente "polinômio.</p><p>Em que: a</p><p>n</p><p>, a</p><p>n-1</p><p>, a</p><p>n-2</p><p>, a</p><p>2</p><p>, a</p><p>0</p><p>n N</p><p>x C é a variável</p><p>Obs.:</p><p>1º) Se an 0 , o expoente máximo n é dito grau de</p><p>polinômio e indicamos gr (P) = n.</p><p>Exs.: a) P(x) = 7 ou P(x) = 7. x é um polinômio constante,</p><p>isto é gr(P) = 0.</p><p>b) P(x) = 2x - 1 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P) = 1.</p><p>c) P(x) = 3x + 1/2x2 4 é um polinômio do 5º grau, isto é,</p><p>gr(P) = 5.</p><p>2º) Se P(x) = 0, não se define o grau do polinômio.</p><p>3º) Não são polinômios as relações:</p><p>P(x) = x + 5 P(x) = x + 2 1</p><p>x</p><p>VALOR NUMÉRICO:</p><p>O valor numérico de um polinômio P(x), para x = a, é o</p><p>número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas</p><p>as operações indicadas pela relação que define o polinômio.</p><p>Ex.: Se P(x) = x3 + 2x2 - x - 1, o valor numérico de P(x),</p><p>para x = 2 é:</p><p>P(x) = x3 + 2x2 - x - 1</p><p>P(2) = 23 + 2 . 22 - 2 - 1</p><p>P(2) = 8 + 2 . 22 - 2 - 1</p><p>P(2) = 8 + 8 - 2 - 1</p><p>P(2) = 13</p><p>Obs.: 1º) O valor numérico de P(x), para x = 2, é a</p><p>imagem do 2 pela função polinomial P(x).</p><p>2 13</p><p>2º) Se P(a) = 0, o número a é denominado raiz ou zero, de</p><p>P(x).</p><p>No polinômio P(x) = x2 - 5x + 6, temos P(2) = 0; logo 2 é a</p><p>raiz ou zero do polinômio.</p><p>1º Exemplo: Dado o polinômio</p><p>P(x) = 2x2 - x2 + x + 3, calcular:</p><p>P(2) - 2P (-1)</p><p>P1/2</p><p>P(2) = 8 - 4 + 2 + 3 = 9</p><p>P(-1) = 2 - 1 - 1 + 3 = 3</p><p>P(1/2) = 1/2 - 1/4 + 1/2 + 3 = 15/4</p><p>Logo: P(2) - 2P (-1)</p><p>P1/2</p><p>=</p><p>9 - 6</p><p>15/4</p><p>=</p><p>4</p><p>5</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1) Dados os polinômios A (x) = x3 - x2 + x + 1 e B (x) = -3x2</p><p>- x + 2, calcule: a) A(1/2) - B(-1) b) A(0) + B(1)</p><p>2) Determine m R , para que o polinômio: P ( x ) = (m -</p><p>4 x3) + (m2 - 16 x2) + (m + 4 x + 4) seja do grau 2.</p><p>3) Determine K, de modo que x = 1/2 seja raiz de: P ( x )</p><p>Se num polinômio existem termos semelhantes podemos</p><p>substituí-los por um único termo.</p><p>Realmente, a propriedade distributiva da multiplicação per-</p><p>mite escrever:</p><p>5x + 7x = (5 + 7)x = 12x</p><p>5a2b + a2b - 8a2b = (5 + 1 - 8)a2b = 2a2b.</p><p>A esta aplicação dá-se o nome de redução de termos</p><p>semelhantes.</p><p>No polinômio 3x + 5y + 4x, 3x e 4x são termos semelhantes</p><p>e podemos reduzi-los. O polinômio pode ser escrito com dois</p><p>termos: 3x + 5y + 4x = 7x + 5y.</p><p>Você deve ser capaz de escrever logo o polinômio com os</p><p>termos semelhantes reduzidos:</p><p>5ab - 3x + 2ab + 7ab + 4x</p><p>POLINÔMIO IDENTICAMENTE NULO</p><p>Denomina-se "polinômio identicamente nulo" o polinômio</p><p>que tem todos os seus coeficientes nulos.</p><p>Indicamos por P ( x ) = 0</p><p>(Lê-se: P ( x ) é idêntico a zero).</p><p>Seja o polinômio:</p><p>P ( x ) = a</p><p>n</p><p>xn + a</p><p>n - 1</p><p>xn - 1 + a</p><p>n - 2</p><p>xn - 2 + ... + a</p><p>2</p><p>x2 + a</p><p>1</p><p>x + a</p><p>0</p><p>Se P ( x ) = 0</p><p>a = 0n-1</p><p>a = 0</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>n-2</p><p>a = 03</p><p>a = 02</p><p>a = 01</p><p>a = 00</p><p>Ex.: Calcular a, b e c, para as quais o polinômio: P ( x ) = ( a</p><p>+ b x2) + ( a - b - 4 x ) + ( b + 2c - 6 ) seja identicamente nulo:</p><p>Resolução: De (I) e (II) vem: a + b = 0 e a - b = 4</p><p>Se P ( x ) = 0</p><p>a + b = 0 ( I )</p><p>a - b - 4 = 0 ( II )</p><p>ab + 2c - 6 = 0 ( III )</p><p>Resolvendo o sistema, temos: a = 2 e b = -2</p><p>Substituindo b = -2 na equação</p><p>(III) - 2 + 2c - 6 = 0\C = 4</p><p>EXERCÍCIO</p><p>1) Calcule os valores de m, n e t para os quais o</p><p>polinômio P(x) = (2m - 1)x2 - (5n - 2)x2 + (3 - 2t) seja</p><p>identicamente nulo.</p><p>GABARITO: m = 1/2 n = 2/5 t = 3/2</p><p>POLINÔMIOS IGUAIS:</p><p>Dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos quan-</p><p>do assumem valores numéricos iguais para qualquer valor</p><p>comum atribuído à variável x.</p><p>Note que os polinômios A(x) = 2x2 + 1 e B(x) = x - 2, são</p><p>diferentes, pois A(1) = 3 e B(1) = -1, isto é, seus valores</p><p>numéricos, para x = 1, são diferentes.</p><p>A condição necessária e suficiente para que dois</p><p>polinômios A(x) e B(x) sejam iguais ou idênticos é que os</p><p>coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.</p><p>1º Exemplo: Determinar a, b e c para que se verifique</p><p>a identidade:</p><p>2x2 - 5x + 4 (a - 3)x2 + (a - b)x + (c - 2)</p><p>Resolução: Os coeficientes dos termos corresponden-</p><p>tes devem ser iguais, logo:</p><p>a - 3 = 2 \ a = 5</p><p>a - b = -5 \ 5 - b = -5 \ b = 10</p><p>c - 2 = 4 \ c = 6</p><p>Resposta: a = 5; b = 10; c</p><p>= 6</p><p>2º Exemplo: Calcular a, b e c, sabendo-se que: x2 - 2x</p><p>+ 1 a(x2 + x + 1) + (bx + c) (x + 1)</p><p>Resolução: Eliminando os parênteses e somando os ter-</p><p>mos semelhantes no 2º termo, temos:</p><p>x2 - 2x + 1 ax2 + ax + a + bx2 + bx + cx + c</p><p>1x2 - 2x + 1 (a + b)x2 + (a + b+ c)x + (a + c)</p><p>Igualando os coeficientes correspondentes, vem:</p><p>a + b = 1 ( I )</p><p>a + b + c = -2 ( II )</p><p>a + c = 1 ( III )</p><p>Substituindo (I) em (II), 1 + c = -2 \c = -3</p><p>Substituindo c = -3 em (III) a - 3 = 1 \ a = 4</p><p>Resposta: a = 4; b = -3; c = -3</p><p>MATEMÁTICA</p><p>10</p><p>PRODUTOS NOTÁVEIS</p><p>Em álgebra é prudente identificar certos grupos de multiplica-</p><p>ção cujo produto obedece a determinada lei de formação dos</p><p>termos. São chamados de produtos notáveis.</p><p>Ex.: Sejam a e b cujo produto queremos conhecer como:</p><p>(a + b) (a + b) = (a + b)2  o quadrado do 1º termo, mais o</p><p>duplo produto do1º pelo 2º, mais o quadrado do 2º termo.</p><p>(a + b)2 = a2 + 2ab + b2</p><p>Ex.: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc</p><p>= (a + b + c)2  o quadrado do 1º termo, mais o quadra-</p><p>do do 2º termo mais o quadrado do 3º termo, mais o duplo</p><p>produto do 1º pelo 2º, mais o duplo produto do 1º pelo 3º</p><p>mais o duplo produto do 2º pelo 3º.</p><p>(a + b) a + 2ab + b</p><p>(a - b) a - 2ab + b</p><p>(a + b) a + 3a b + 3ab + b</p><p>(a - b) a - 3a b + 3ab - b</p><p>(a + b + c) a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc</p><p>2 2 2</p><p>2 2</p><p>3</p><p>2</p><p>3 2 2 3</p><p>3 3 2 2 3</p><p>2 2 2 2</p><p>Na figura:</p><p>M</p><p>a</p><p>a</p><p>b</p><p>b</p><p>N</p><p>1ª = a2 2ª</p><p>= ab</p><p>4ª</p><p>= b23ª = ab</p><p>A área de todo o quadrado será o produto do seu lado ou</p><p>seja M. N.</p><p>Mas: M = a + b e N = a + b</p><p>M.N = (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2</p><p>Considerando os quadrados e os retângulos:</p><p>Quadrado maior é a2 e o quadrado menor é b2 e os dois retân-</p><p>gulos são ab e ab somando todas as áreas.</p><p>Temos: 1ª área + 2ª área + 3ª área + 4ª área ou:</p><p>a2 + ab + ab + b2  ordenando</p><p>Colocando os quadrados nos extremos</p><p>a2 + ab + ab + b2 ou a2 + 2ab + b2 ou</p><p>(a + b)2 = a2 + 2ab + b2</p><p>FATORAÇÃO / TRINÔMIO DO 2º GRAU</p><p>Em aritmética é decompor um número em todos os seus</p><p>fatores até o quociente ficar um. Em Álgebra é decompor um</p><p>polinômio qualquer num produto de fatores.</p><p>Em Álgebra consideramos os seguintes casos:</p><p>1º Caso:É aquele no qual todos os termos de uma ex-</p><p>pressão têm um fator comum. Ex.:</p><p>a m + b m + c m = m (a + b + c) m é o fator comum</p><p>2x + 4y + 6z = 2 (x + 2y + 3z) 2 é o fator comum</p><p>2º Caso: Nos tetranômios ou polinômios de quatro termos,</p><p>há casos em que o fator comum vem oculto e, nesses casos,</p><p>os termos decompostos aos pares, pela regra do caso I, po-</p><p>dem ser arranjados de modo a fazer aparecer o fator comum.</p><p>Seja polinômio: bm + mn + ab + an</p><p>Há um fator comum que se acha oculto. Para fazê-lo</p><p>aparecer, separemos em pares os dois primeiros e os dois</p><p>últimos termos: bm + mn + ab + an = (bm + mn) + (ab + an)</p><p>Mas pelo 1º caso:</p><p>bm + mn = m (b + n) e ab + an = a (b + n)</p><p>Dando: bm + mn + ab + an = m (b + n) + a (b + n)</p><p>Observa-se que os dois primeiros e os dois últimos ter-</p><p>mos têm um binômio fator comum (b + n).</p><p>Dividindo toda a expressão por esse binômio, temos: (bm</p><p>+ mn + ab + an) : (b + n) = a + m</p><p>Onde: bm + mn + ab + an = (b + n) (a + m)</p><p>Calcular:</p><p>ab + ax - bx - x2 = (ab + ax) - (bx + x2) = a(b + x) - x(b + x)</p><p>ab + ax - bx - x2 = (b + x) (a - x)</p><p>3º Caso: Quando as expressões a decompor são trinômios</p><p>quadrados perfeitos, isto é, trinômios nos quais os primeiros e</p><p>o último termos são quadrados perfeitos de duas quantidades</p><p>e o segundo termo, o dobro do produto dessas quantidades.</p><p>Seja o trinômio: a2 + 2ab + b2</p><p>Observamos que os termos a2 e b2 são respectivamente,</p><p>os quadrados a e b e o segundo termo 2ab, o dobro do</p><p>produto de a por b.</p><p>Recordando a regra para a formação do quadrado da</p><p>soma de dois termos, temos: o quadrado do primeiro termo,</p><p>mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo termo, mais</p><p>o quadrado do segundo termo.</p><p>Seja a e b essas quantidades, temos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2</p><p>Sendo m e n essas quantidades, temos: (m + n +)2 = m2 +</p><p>2mn + n2</p><p>Mas m é raiz de m2, primeiro termo do trinômio, n é a raiz</p><p>de n2, último termo do trinômio e o sinal + que une m a n é o</p><p>sinal do segundo termo + 2mn.</p><p>Daí concluímos que: Para se decompor um trinômio qua-</p><p>drado perfeito extraem-se as raízes quadradas do primeiro e</p><p>último termo desse trinômio, ligam-se os resultados pelo sinal do</p><p>segundo termo e o binômio obtido multiplica-se por si mesmo.</p><p>Exs.: 1) Decompor x2 + 18x + 81</p><p>Os termos x2 e 81 são respectivamente os quadrados de x e</p><p>9 e 18x, o dobro do produto de 9 por x, isto é: 18x = 2 . 9 . x = 18x</p><p>Extraindo-se as raízes de x2 e 36, ligando-se os resulta-</p><p>dos pelo sinal do segundo termo (+ 18x), multiplicando por si</p><p>mesmo o fator formado, temos:</p><p>x2 + 18x + 81 = (x + 9) (x + 9) = (x + 9)2</p><p>x2 + 18x + 81 = (x + 9)2</p><p>2) Decompor x2 + 34x + 289</p><p>As raízes de x2 e 289 são respectivamente, x e 17, logo:</p><p>x2 + 34x + 289 = (x + 17) (x + 17) = (x + 17)2</p><p>x2 + 34x + 289 = (x + 17)2</p><p>4º Caso: Quando as expressões a decompor são</p><p>trinômios nos quais o primeiro e o último termos são quadra-</p><p>dos perfeitos de duas quantidades e o segundo termo é</p><p>negativo e é o dobro do produto dessas quantidades.</p><p>Decompor: a2 - 2ab + b2</p><p>Esse caso á análogo ao antecedente, a expressão dada é o</p><p>quadrado da diferença de dois termos a e b, p trinômio é pois, um</p><p>quadrado perfeito e decompõem-se em fatores do seguinte modo:</p><p>Extraem-se a raiz quadrada do primeiro e do último termo</p><p>do trinômio, ligando-se os resultados pelo sinal do segundo</p><p>termo e o binômio formado multiplica-se por si mesmo.</p><p>Ex.: 1) Decompor em fatores: x2 - 18x + 81</p><p>x2 e 81 têm raízes, respectivamente x e 9, logo:</p><p>x2 - 18x + 81 = (x - 9) (x - 9)2</p><p>x2 - 18x + 81 = (x - 9)2</p><p>2) Fatorar: a2 - 34 + 289</p><p>a e 17 são, respectivamente, as raízes de a2 e 289, logo:</p><p>a2 - 34 + 289 = (a - 17) = (a - 17)2</p><p>a2 - 34 + 289 = (a - 17)2</p><p>5º Caso: É aquele no qual a expressão a decompor é a</p><p>diferença entre os dois quadrados perfeitos.</p><p>Seja a expressão a2 - b2</p><p>Pela potenciação sabemos que a soma de duas quanti-</p><p>dades multiplicada pela sua diferença tem por produto a dife-</p><p>rença entre os quadrados dessas quantidades, isto é:</p><p>(a + b) (a - b) = a2 - b2</p><p>Mas a é a raiz quadrada de a2, b, a raiz quadrada de b2, o</p><p>primeiro fator (a + b) é a soma dessas raízes, o segundo fator</p><p>(a - b), a diferença das mesmas raízes e logo concluímos que:</p><p>Quando a expressão a fatorar for a diferença entre dois</p><p>quadrados perfeitos extraem-se as raízes quadradas do 1º</p><p>e último termos da expressão: a soma das raízes será o 1º</p><p>fator, a sua diferença o 2º fator.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>11</p><p>Ex.: 1) Fatorar: x2 - 4</p><p>x e 2 são as respectivas raízes de x2 e 4. A soma dessas</p><p>raízes (x + 2) será o 1º fator; a sua diferença x - 2 será o</p><p>outro fator e x2 - 4 = (x + 2) (x - 2)</p><p>x2 - 4 = (x + 2) (x - 2)</p><p>2) Fatorar: m4 - 1</p><p>m4 - 1 = (m2 + 1) (m2 - 1), porque m2 e 1 são raízes</p><p>respectivas de m4 e 1 (m2 + 1) é a soma dessas raízes e (m2</p><p>- 1) é a diferença m4 - 1 = (m2 + 1) (m2 - 1)</p><p>6º Caso: Quando a expressão a decompor é um trinômio</p><p>resultante do produto de dois binômios.</p><p>Seja o produto: (x + 5) (x + 3)</p><p>Efetuando vem: (x + 5) (x + 3)</p><p>MULTIPLICANDO</p><p>= x2 + 3x + 5x + 15 = x2 + 8x + 15</p><p>REDUZINDO OS TERMOS SEMELHANTES</p><p>O produto x2 + 8x + 15 resulta da multiplicação de dois</p><p>binômios cujos primeiros termos são iguais e positivos e os</p><p>segundos desiguais e positivos.</p><p>Por demonstração vimos:</p><p>1º) Que o termo x2 é positivo e é resultado da multiplicação dos</p><p>primeiros termos dos binômios e como esses termos são iguais o</p><p>1º termo x2 do produto é o quadrado do termo x dos fatores.</p><p>2º) Que o 2º termo 8x é positivo e tem por coeficiente a</p><p>soma dos segundos termos dos binômios, efetuando o 1º</p><p>termo comum dos binômios, x.</p><p>3º) Que o terceiro termo 15 é positivo e é produto dos</p><p>segundos termos dos binômios.</p><p>4º) Que os binômios têm entre seus termos componentes</p><p>o sinal + e é esse o sinal que afeta o 2º termo 8x do trinômio.</p><p>Daí concluímos que o trinômio x2 + 8x + 15 é o produto de</p><p>dois binômios de sinais iguais, +, que têm comuns os principais</p><p>termos, X, e para segundos termos dois números</p><p>cuja soma</p><p>seja 8 e o produto seja 15.</p><p>Esses números são 5 e 3 porque:</p><p>5 + 3 = 8 e 5 . 3 = 15</p><p>x2 + 8x + 15 = (x + 3) (x + 5)</p><p>Logo, quando os 1º, 2º e 3º termos de um trinômio são</p><p>positivos, procurando-se mentalmente dois números cuja soma</p><p>seja o coeficiente do 2º termo e o produto, o 3º termo, liga-se</p><p>depois, pelo sinal +, a raiz do 1º fator; liga-se, ainda pelo sinal</p><p>+, a mesma raiz ao outro número achado e teremos o 2º fator.</p><p>Ex.: 1) Fatorar:x2 + 11x + 24 = (x + 8) (x + 3)</p><p>O problema consiste em determinar-se dois números:</p><p>Cuja soma seja 11 e cujo produto seja 24</p><p>Estes números são 8 e 3, porque:8 + 3 = 11 e 8 . 3 = 24</p><p>A raiz de x2, primeiro termo do trinômio, é x, o sinal de 11x,</p><p>segundo termo do trinômio é +, logo: x2 + 11x + 2x = (x + 8) (x + 3)</p><p>2) Fatorar: a2 + 5ab + 6b2 - Basta determinar dois números:</p><p>Cuja soma seja 5b e cujo produto seja 6b2.</p><p>Esses números são 3b e 2b, porque 3b + 2b = 5b e 3b . 2b</p><p>= 6b. A raiz de a2 é a, o sinal de 5ab é +, logo:</p><p>a2 + 5ab + 62 = (a + 2b) (a + 3b)</p><p>Seja o produto: (x - 3) (x - 5)</p><p>Efetuando vem: (x - 3) (x - 5)</p><p>= x2 - 5x - 3x + 15 (Multiplicando)</p><p>(x - 3) (x - 5) = x2 - 8x + 15</p><p>Reduzindo os termos semelhantes</p><p>Observemos que o 1º termo é positivo, o 2º é negativo e tem</p><p>por coeficiente a soma dos segundos termos dos binômios e o 3º</p><p>termo é positivo e é o produto dos segundos termos dos binômios.</p><p>x2 é o produto de x, isto é, o quadrado de x, -8x e a soma</p><p>de -5 e -3 afetando, como coeficiente a letra de x e + 15, o</p><p>produto de -5 por -3. Daí concluímos que, como no caso 6º o</p><p>trinômio x2 - 8x + 15 é produto de dois binômios de sinais</p><p>iguais, nesse caso -, tendo por primeiros termos a letra co-</p><p>mum x, raiz de x2, 1º termo do trinômio e por segundos ter-</p><p>mos dois números cuja soma seja -8 e o produto + 15.</p><p>Esses números são -3 e -5 logo: x2 - 8x + 15 = (x - 3) (x - 5)</p><p>Ex.: 1) Fatorar x2 - 9x + 20</p><p>Basta determinar dois números: cuja soma seja -9 e cujo</p><p>produto seja +20. Esses números são -4 e -5 porque: -4 + (-</p><p>5) = -9 e (-4) - (-5) = + 20. A raiz de x2 é x, o sinal de 9x é -,</p><p>logo: x2 - 9x + 20 = (x - 4) (x - 5)</p><p>2) Fatorar: x2 - 7x + 10</p><p>Basta determinar dois números: cuja soma seja -7 e cujo</p><p>produto seja +10. Esses números são -2 e -5 porque -2 + (-</p><p>5) = -7 e (-2) . (-5) = +10. A raiz de x2 é x, o sinal de 7x é -,</p><p>logo: x2 - 7x + 10 = (x - 2) (x - 5)</p><p>8º Caso: Quando a expressão a decompor é um trinômio,</p><p>no qual o último termo é negativo e o primeiro e o segundo</p><p>positivo. Seja o seguinte produto: (x + 15) (x - 8)</p><p>Assim: (x + 15) (x - 8) (Multiplicando)</p><p>x2 - 8x + 15x - 120</p><p>Reduzindo os termos semelhantes</p><p>Observe que:</p><p>1º) O primeiro termo é positivo, tem 1 por coeficiente e é</p><p>produto dos primeiros termos dos binômios.</p><p>2º) O segundo termo é positivo e tem por coeficiente a</p><p>diferença entre os segundos termos dos binômios, efetuan-</p><p>do o termo comum dos binômios.</p><p>3º) O terceiro termo é negativo e é produto dos segun-</p><p>dos termos dos binômios.</p><p>Mas: (x + 15) (x - 8) = x2 + 7x - 120 ou x2 + 7x - 120 = (x</p><p>+ 15) (x - 8)</p><p>Logo: Quando num trinômio o último termo é negativo e o</p><p>segundo e o primeiro positivo tendo o primeiro por coeficiente a</p><p>unidade, se extrai a raiz quadrada do primeiro termo, procuram-</p><p>se depois dois números cuja diferença seja o coeficiente do 2º</p><p>termo e o produto e o terceiro termo e formam-se os dois fatores:</p><p>O primeiro é formado pela raiz mais o maior dos números acha-</p><p>dos e o segundo pela raiz menos o menor dos números achados.</p><p>Ex.: Fatorar a2 + 13a - 300. Basta determinarem-se dois</p><p>números: cuja diferença seja +13 e cujo produto seja -300.</p><p>Esses números são +25 e -12 porque (+25) + (-12) = +13</p><p>e (+25) . (-12) = -300. Logo: a2 + 13a - 300 = (a + 25) (a - 12)</p><p>9º Caso: Quando a expressão a decompor é um trinômio,</p><p>no qual o 2º termo e o último são negativos e o 1º é positivo,</p><p>tendo por coeficiente a unidade. Seja o seguinte produto: (x</p><p>- 11) (x + 7) = (Multiplicando)</p><p>x2 + 7x - 11x - 77</p><p>Reduzindo os termos semelhantes</p><p>x2 - 4x - 77</p><p>Observe que:</p><p>1º) O primeiro termo é positivo, tem por coeficiente a</p><p>unidade e é produto dos primeiros termos dos binômios.</p><p>2º) O segundo termo é negativo e tem por coeficiente a</p><p>diferença dos segundos termos dois binômios afetando o</p><p>termo comum dos mesmos.</p><p>3º) O terceiro termo é negativo e é produto dos seguidos</p><p>termos dos binômios.</p><p>Mas: (x - 11) (x + 7) = x2 - 4x -77 ou x2 - 4x -77 = (x</p><p>- 11) (x + 7)</p><p>Logo: Quando num trinômio o segundo e o terceiro ter-</p><p>mos são negativos o primeiro positivo e tem por coeficiente a</p><p>unidade extrai-se a raiz do primeiro termo, procuram-se de-</p><p>pois dois números cuja diferença seja o coeficiente do se-</p><p>gundo termo e formam-se os dois fatores: o primeiro é for-</p><p>mado pela raiz menos o maior dos números achados e o</p><p>segundo pela raiz mais o menor dos números.</p><p>Ex.: Decompor x2 - 15x - 100. Basta achar dois números:</p><p>cuja soma seja -15 e cujo produto seja -100.</p><p>Esses números são -20 e +5 porque: (-20) + (+5) = -15 e</p><p>(-20) . (+5) = -100. Logo: x2 - 15x - 100 = (x - 20) (x + 5)</p><p>10º Caso: Quando a expressão a decompor é a soma ou</p><p>diferença de dois cubos perfeitos.</p><p>Seja as seguintes divisões: a + b3 3</p><p>a + b</p><p>e a - b3 3</p><p>a - b</p><p>MATEMÁTICA</p><p>12</p><p>Quando o expoente máximo da incógnita é igual a 1, a equa-</p><p>ção é do primeiro grau. O valor da incógnita que satisfaz a</p><p>equação é denominado raiz da equação. Uma equação do pri-</p><p>meiro grau admite somente uma raiz, ou seja, seu conjunto</p><p>verdade é unitário.</p><p>Ex.: x + 3 = 9</p><p>1º membro 2º membro</p><p>O valor de x (incógnita) que satisfaz a equação é 6 por-</p><p>que 6 + 3 = 9. O número 6 constitui a solução da equação e</p><p>seu conjunto verdade será então V= {6}</p><p>SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU:</p><p>Resolver uma equação do 1º grau é determinar a raiz da</p><p>mesma. Para resolver uma equação do 1º grau, deve-se</p><p>colocar todos os termos desconhecidos no primeiro membro</p><p>e os termos conhecidos no segundo membro ou vice-versa-</p><p>deve ser trocada ou invertida a operação.</p><p>Ex.: 1) 10x - 6 = 6x + 22</p><p>Isolando os termos desconhecidos no primeiro membro</p><p>e os termos conhecidos no segundo membro, vem:</p><p>10x - 6x = 22 + 6</p><p>Observa-se que o termo 6x que estava no segundo</p><p>membro, e o termo -6 que estava no primeiro membro, tive-</p><p>ram suas operações invertidas.</p><p>Assim teremos: 4x = 28</p><p>O problema agora se reduz a encontrar o valor de x que</p><p>multiplicado por 4 é igual a28, o que equivale a dividir 28 por</p><p>4 encontrando-se assim o valor de x.</p><p>Efetuando ambos temos:</p><p>a + b3 3</p><p>- a - a b3 2</p><p>- a b + ab2 3</p><p>+ a b + ab2 2</p><p>ab + b2 3</p><p>- ab - b2 3</p><p>a + b</p><p>a - ab + b2 2</p><p>a - b3 3</p><p>- a + a b3 2</p><p>a b - ab2 3</p><p>- a b + ab2 2</p><p>ab - b2 3</p><p>- ab + b2 3</p><p>a - b</p><p>a + ab + b2 2</p><p>Sendo (a3 + b3) divisível por (a + b) e (a3 - b3) divisível por</p><p>(a - b), poderemos, aplicando o princípio fundamental da divi-</p><p>são escrever: (a3 = b3) : (a + b) = a2 - ab + b2 ou a3 + b3 = (a +</p><p>b) (a2 - ab + b2) e (a3 - b3) (a - b) = a2 + ab + b2 e a3 - b3 = (a -</p><p>b) (a2 + ab + b2)</p><p>Observamos agora quocientes e os divisores achados,</p><p>isto é, os divisores (a + b) e (a - b) e os quocientes (a2 - ab +</p><p>b2) e (a2 + ab + b2). Veremos que os binômios divisores a e b</p><p>são respectivamente as raízes cúbicas de a3 e b3 e que nos</p><p>quocientes, a2 é o quadrado da raiz cúbica do primeiro termo</p><p>a3, isto é: a = ( a )2 3 3 2</p><p>, ab. é o produto das raízes cúbicas</p><p>de a3 e b3, finalmente b2 é o quadrado da raiz cúbica do</p><p>segundo termo b3. Essas observações podem ser reunidas</p><p>na seguinte regra:</p><p>1º) Para fatorar a diferença de dois cubos perfeitos, escreve-</p><p>se para o primeiro fator a soma das raízes cúbicas das duas</p><p>quantidades, e para o segundo fator o quadrado do primeiro termo</p><p>do primeiro fator, menos (-) o produto dos dois termos do primeiro</p><p>fator, mais (+) o quadrado do último termo do primeiro fator.</p><p>2º) Para fatorar a diferença de dois cubos perfeitos, escre-</p><p>ve-se para o primeiro fator a diferença das raízes cúbicas das</p><p>duas quantidades e para o 2º fator, o quadrado do primeiro termo</p><p>do primeiro fator, mais (+) o produto dos dois termos do primeiro</p><p>fator e mais o quadrado do último termo do primeiro</p><p>fator.</p><p>Exs.: 1) x3 - 8 = (x - 2) (x2 + 2x + 4)</p><p>3</p><p>x = x</p><p>3</p><p>8 = 2</p><p>(x - 2)</p><p>x - 83</p><p>-x - 2x3 2</p><p>-2x - 82</p><p>+2x - 4x2</p><p>- 4x - 8</p><p>+4x + 8</p><p>0</p><p>x - 2</p><p>x + 2x + 42</p><p>2)</p><p>a + b = (a + b )6 6 2 2</p><p>a = a6 2 b = b6 2</p><p>(a + b ) 2 2</p><p>a + b6 6</p><p>-a - a b6 4 2</p><p>-a b + b 4 2 6</p><p>+a b - a b _4 2 2 4</p><p>- a b + b 2 4 6</p><p>+a b - b _ 2 4 6</p><p>0</p><p>a + b2 2</p><p>a - a b + b 4 2 2 4</p><p>EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU</p><p>INTRODUÇÃO: equação é uma igualdade entre 2 expres-</p><p>sões aritméticas onde existe um fator (termo) desconhecido.</p><p>Os termos que estão à esquerda do sinal de igualdade cons-</p><p>tituem o primeiro membro e os que estão à direita do sinal de</p><p>igualdade constituem o segundo membro da equação. O ter-</p><p>mo desconhecido é denominado incógnita.</p><p>SISTEMAS DO PRIMEIRO GRAU</p><p>Definição: São sistemas cujas equações possuem in-</p><p>cógnitas elevadas a expoente 1 e em nenhuma equação</p><p>ocorre o produto de duas incógnitas.</p><p>Resolução de um Sistema do Primeiro Grau: Re-</p><p>solver um sistema do primeiro grau consiste em determinar</p><p>os valores das incógnitas que satisfaçam simultaneamente</p><p>as duas equações do sistema. Um sistema do primeiro grau</p><p>pode ser resolvido por um dos três métodos a seguir:</p><p>a) Método da Substituição: consiste em colocar uma</p><p>das incógnitas em função da outra incógnita em uma das equa-</p><p>ções e substituir na outra. Este método conduz a uma equa-</p><p>ção do primeiro grau com uma incógnita. Encontrando o valor</p><p>de uma incógnita, o valor da outra é facilmente encontrado.</p><p>Ex.: Resolver o sistema: 2x + 3y = 7</p><p>5x - 4y = 6</p><p>Solução: Colocando x em função de y na primeira equa-</p><p>ção: 2x + 3 y = 7 x =</p><p>7 - 3y</p><p>2</p><p>Substituindo a expressão da incógnita x encontrada aci-</p><p>ma na segunda equação, vem:</p><p>5x - 4y = 6 5 - 4y = 6 - 4y = 6  </p><p>(7 - 3y)</p><p>2</p><p>35 - 15y</p><p>2</p><p>35 - 15y - 8y = 12</p><p>-15y - 8y = 12 - 35</p><p>-23y = -23 (-1)</p><p>23y = 23 \ y = 1</p><p>Sendo</p><p>x = x = = x = 2  </p><p>7 - 3y</p><p>2</p><p>7 - 3 . 1</p><p>2</p><p>7 - 3</p><p>3</p><p>A solução do sistema é x = 2 e y = 1.</p><p>Obs.: O sistema poderá ser resolvido colocando y em</p><p>função de x e procedendo como no exemplo dado.</p><p>Então: 4x = 28  x =  7 é a raiz da equação</p><p>28</p><p>4</p><p>2) 30x + 40 = 10x + 20</p><p>30x - 10x = 20 -40</p><p>20x = -20</p><p>x =  x = -1</p><p>-20</p><p>20</p><p>MATEMÁTICA</p><p>13</p><p>b) Método da Adição: consiste em eliminar uma das in-</p><p>cógnitas, resultando uma equação do primeiro grau a uma in-</p><p>cógnita. Para eliminar uma incógnita deve-se:</p><p>1º) Tornar simétricos os coeficientes da incógnita que se</p><p>quer eliminar;</p><p>2º) Somar membro a membro as equações resultantes</p><p>obtendo-se uma equação do primeiro grau a uma incógnita;</p><p>3º) Resolver a equação obtida no item anterior;</p><p>4º) Obter o valor da incógnita eliminada por meio de uma</p><p>das equações do sistema.</p><p>Ex.: Resolver o sistema: 2x + 3y = 7</p><p>5x - 4y = 6</p><p>1º) Eliminando a incógnita y: Sendo os coeficientes de y</p><p>de sinais trocados, basta multiplicar a 1ª equação por 4 e a</p><p>segunda por 3.</p><p>Então:</p><p>2x + 3y = 7 . (4)</p><p>5x - 4y = 6 . (3)</p><p>8x + 12y = 28</p><p>15x - 12y = 18</p><p>Somando membro a membro as equações resultantes:</p><p>8x + 12y + 15x - 12y = 28 + 18 23x = 46 x = = 2 </p><p>46</p><p>23</p><p>X = 2</p><p>Escolhendo uma das equações originais do sistema dado,</p><p>encontra-se o valor de y:</p><p>1ª equação:</p><p>2x + 3y = 7\2 . 2 + 3y = 7\4 + 3y = 7 \3y = 3 \y = 1</p><p>Resposta: x = 2 e y = 1</p><p>c) Método da Comparação: consiste em colocar uma</p><p>incógnita em função da outra nas duas equações e igualar</p><p>as expressões obtidas, resultando uma equação do 1º grau</p><p>a uma incógnita.</p><p>Ex.: Resolver o sistema:</p><p>2x + 3y = 7</p><p>5x - 4y = 6</p><p>Colocando x em função de y nas duas equações:</p><p>2x + 3y = 7 x = (III)</p><p>7 - 3y</p><p>2</p><p>5x + 4y = 6 x = (IV)</p><p>6 + 4y</p><p>5</p><p>Igualando as expressões obtidas:</p><p>7 - 3y</p><p>2</p><p>=</p><p>6 + 4y</p><p>5</p><p>; m.m.c. = (2; 5) = 10</p><p>5 (7 - 3y) = 2 (6 + 4y)\35 - 15y = 12 + 8y</p><p>- 15y - 8y = 12 - 35\-23y = -23 (-1)\23y = 23\y = 1</p><p>Pela equação III:</p><p>7 - 3y</p><p>2</p><p>x = x = x =    x = 2</p><p>7 - 3 . 1</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>Resposta: x = 2 e y = 1</p><p>Se o sistema não for dado nas formas anteriores,</p><p>o mesmo pode ser reduzido a elas por meio de ope-</p><p>rações algébricas:</p><p>5x - y</p><p>2</p><p>=</p><p>2</p><p>9</p><p>7 (5x + 2y) = 9</p><p>5x + y</p><p>2</p><p>= = m.m.c. (2; 9) = 18</p><p>2</p><p>9</p><p>9 (5x + y) = 4 45 + 9y = 4 (1ª equação)</p><p>7 (5x + 2y) = 9 35x + 14y = 9 (2ª equação)</p><p>O novo sistema será:</p><p>45x + 9y = 4</p><p>35x + 14y = 9</p><p>O sistema acima será resolvido por um dos três</p><p>métodos estudados.</p><p>INEQUAÇÕES DO 1º GRAU</p><p>Ex.: Dê o conjunto solução da inequação 2x - 4 > 0.</p><p>Solução:</p><p>2x - 4 > 0 \ 2x > 4 \ x > 2 \ S = {x  R / x > 2}</p><p>EXERCÍCIO</p><p>Dê o conjunto-solução de cada uma das inequações abaixo:</p><p>a) x - 3  0 c) x + 4  2x - 1</p><p>b) -3x + 9  0 d) 3x + 1 < 2x + 20</p><p>GABARITO</p><p>a) S = {x  R / x  3} c) {x  R / x  5}</p><p>b) S = {x  R / x  3} d) {x  R / x < 19}</p><p>EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Equação do segundo grau é uma igualdade da forma:</p><p>ax2 + bx + c = 0 (forma geral)</p><p>Onde a, b e c são números reais quaisquer sendo que a</p><p>deve ser diferente de zero.</p><p>A equação será incompleta se b ou c for nulo. Se todos os</p><p>coeficientes a, b e c forem diferentes de zero, a equação será</p><p>completa. Toda equação do 2º grau tem 2 raízes, no máximo.</p><p>Ex.: 4x2 - 5x + 3 = 0; x2 - 4 = 0; 2x2 + 8x = 0</p><p>SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES INCOMPLETAS</p><p>1º) Equações do tipo ax2 + bx = 0</p><p>Colocando x em evidência: x(ax +b) = 0</p><p>Sendo nulo o produto, pelo menos um dos fatores deve</p><p>ser nulo, isto é, x = 0 e ax + b = 0.</p><p>Então as raízes da equação serão: x = 0 e x =</p><p>-b</p><p>a</p><p>Ex.: 2x2 + 8x = 0 \ x(2x + 8) = 0 \ x = 0; 2x + 8 = 0</p><p>2x = 8 x = e x = -4 </p><p>-8</p><p>2</p><p>Resposta: x = 0 ou x = -4</p><p>2º) Equações do tipo ax2 + c = 0</p><p>ax2 = -c \ x = x = 2 -c</p><p>a</p><p>-c</p><p>a</p><p>+-</p><p>Observações:</p><p>a) Se o valor de</p><p>-c</p><p>a</p><p>for positivo, a equação terá duas</p><p>raízes reais e simétricas, x = e x =</p><p>-c</p><p>a</p><p>-c</p><p>a</p><p>-</p><p>b) Se o valor de</p><p>-c</p><p>a</p><p>for negativo, a equação não terá</p><p>raízes reais. Ex.: 1) 3x2 - 243 = 0</p><p>3x2 = 243 \ x2 =</p><p>243</p><p>3</p><p>\ x2 = 81</p><p>x = 81 x = 9, ou seja, x = 9 ou x = -9 +- +-</p><p>Resposta: x = 9 ou x = -9</p><p>2) x2 + 9 = 0 \ x2 = -9 (não existem raízes reais)</p><p>RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES COMPLETAS</p><p>ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são diferentes de zero.</p><p>As raízes serão obtidas pela fórmula de Báskara:</p><p>x =</p><p>-b b - 4ac</p><p>2a</p><p>+-</p><p>2</p><p>O termo b2 - 4ac é denominado discriminante sendo re-</p><p>presentado pela letra grega .</p><p>Então a fórmula acima terá a seguinte forma:</p><p>x =</p><p>-b</p><p>2a</p><p>+-</p><p>Sendo positivo, a equação terá duas raízes reais e</p><p>distintas, isto é: x = x =e</p><p>-b +</p><p>2a1 2</p><p>-b -</p><p>2a</p><p>Se for nulo, a equação terá duas raízes reais e iguais,</p><p>isto é, x</p><p>1</p><p>= x</p><p>2</p><p>= -b/2a;</p><p>Se for negativo, a equação não terá raízes reais.</p><p>Ex.: 6x2 - 9x - 15 = 0 \ a = 6; b = 9; c = -15</p><p>= b2 - 4ac = (-9)2 - 4 . 6 (-15) = 81 + 360 = 441</p><p>> 0, logo a equação terá duas raízes reais e distintas.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>14</p><p>x = = = = =</p><p>-b -</p><p>2a1</p><p>- (-9) + 441 9 + 21 30 5</p><p>2 . 6 12 12 2</p><p>x = = = = = -1</p><p>-b -</p><p>2a2</p><p>- (-9) - 441 9 - 21 -12</p><p>2 . 6 12 12</p><p>Resposta: x</p><p>1</p><p>=</p><p>2</p><p>5</p><p>ou x</p><p>2</p><p>= -1</p><p>RELAÇÃO ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES DE</p><p>UMA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU</p><p>Sendo x</p><p>1</p><p>e x</p><p>2</p><p>as raízes de uma equação do segundo grau</p><p>da fórmula de Báskara, sabe-se que:</p><p>x = (I) x = (II)e</p><p>-b +</p><p>2a1 2</p><p>-b -</p><p>2a</p><p>1º) Somando membro a membro as expressões acima (I) e (II):</p><p>x + x = + = =</p><p>= =</p><p>1 2</p><p>-b +</p><p>2a</p><p>-b -</p><p>2a</p><p>-b + - b -</p><p>-b -b -2b -b</p><p>2a</p><p>2a 2a a ,</p><p>então: x + x =</p><p>1 2 a</p><p>-b</p><p>Logo se conclui que a soma das raízes de uma equação</p><p>do segundo grau é igual a</p><p>a</p><p>-b</p><p>2º) Multiplicando membro a membro as expressões (I) e (II):</p><p>x + x = =</p><p>1 2 2a</p><p>-b +</p><p>2a</p><p>-b -</p><p>4a</p><p>(-b + ) (-b - )</p><p>2</p><p>4a</p><p>(-b) - ( ) b -</p><p>2</p><p>2 2</p><p>=</p><p>2</p><p>4a 2</p><p>; sendo = b2 - 4ac</p><p>x - x = = = =</p><p>1 2 4a</p><p>b - (b - 4ac)</p><p>2 2</p><p>2 4a</p><p>b - b + 4ac 2</p><p>2</p><p>2</p><p>4ac</p><p>4a 2</p><p>c</p><p>a</p><p>x - x =</p><p>1 2</p><p>c</p><p>a</p><p>Logo se conclui que o produto das raízes de uma equa-</p><p>ção do 2º grau é igual a</p><p>c</p><p>a</p><p>.</p><p>As relações acima permitem calcular a soma e o produto</p><p>das raízes sem conhecê-las.</p><p>FORMAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU</p><p>CONHECENDO-SE SUAS RAÍZES</p><p>Seja a equação: ax2 + bx + c = 0 (I)</p><p>Dividindo-se a equação</p><p>por a vem:</p><p>x + x + = 0 (II) 2 b</p><p>a</p><p>c</p><p>a</p><p>Seja S a soma e P o produto das raízes.</p><p>Da relação entre os coeficientes e as raízes, sabe-se que:</p><p>S = e P =</p><p>b</p><p>a</p><p>c</p><p>a</p><p>Substituindo-se S e P na equação II, vem:</p><p>x2 - Sx + P = 0 será a equação procurada.</p><p>Ex.:</p><p>Formar a equação do 2º grau cujas raízes são 1 e 5:</p><p>Solução: x</p><p>1</p><p>= 1; x</p><p>2</p><p>= 5</p><p>S = x</p><p>1</p><p>+ x</p><p>2</p><p>= 1 + 5 = 6;</p><p>P = x</p><p>1</p><p>. x</p><p>2</p><p>=1 . 5 = 5</p><p>Como x2 - Sx + P = 0, a equação será: x2 - 6x + 5 = 0</p><p>Formar a equação do 2º grau cujas raízes são:</p><p>5 + 12</p><p>2</p><p>e</p><p>5 - 12</p><p>2</p><p>Solução:</p><p>5 + 12</p><p>2</p><p>5 - 12</p><p>2</p><p>x = ;1 x =2</p><p>S - x + x - + - - - 5</p><p>1 2</p><p>5 + 12</p><p>2</p><p>5 - 12</p><p>2</p><p>5 + 12 + 5 - 12</p><p>2 2</p><p>10</p><p>P = x - x = =</p><p>= =  P =</p><p>1 2</p><p>5 + 12</p><p>2</p><p>5 - 12</p><p>2</p><p>(5 + 12) (5 - 12)</p><p>4</p><p>25 - 12</p><p>4</p><p>13</p><p>4</p><p>13</p><p>4</p><p>A equação será:</p><p>x - 5x + = 0 4x - 20x + 13 = 0ou 2 13</p><p>4</p><p>2</p><p>SISTEMAS DO SEGUNDO GRAU</p><p>Introdução:</p><p>Nos sistemas do segundo grau serão resolvidos pelo mé-</p><p>todo da substituição como será visto nos exemplos a seguir:</p><p>x + y = 6</p><p>xy = 8</p><p>Solução: colocando x em função de y na 1ª equação, vem:</p><p>x + y = 6 \ x = 6 - y</p><p>Substituindo o valor de x na 2ª equação, vem:</p><p>xy = 8 \ (6 - y)y = 8 \ 6y - y2 = 8 \ - y2 + 6y - 8 = 0</p><p>Resolvendo a equação do 2º grau em y:</p><p>a = -1; b = 6; c = -8</p><p>= b - 4ac = 6 - 4(-1)(-8) = 36 - 32 = 42 2</p><p>1</p><p>y = = = = 2 y = 2 </p><p>2a</p><p>(-b + )</p><p>2(-1)</p><p>-6 + 4</p><p>-2</p><p>-6 + 2</p><p>1</p><p>INEQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU</p><p>1º Exemplo: Resolver a inequação x2 - 3x + 2 > 0.</p><p>a = 1 > 0</p><p>x2 - 3x + 2 = 0</p><p>D = 9 - 8 = 1 > 0</p><p>x =</p><p>2</p><p>3 + 1 x’ = 2</p><p>x” = 1</p><p>Como devemos ter f(x) > 0:</p><p>S = {x R / x < 1 ou x > 2}</p><p>Esquema:</p><p>+</p><p>1</p><p>- + x</p><p>1 < x < 2x < 1 x >2</p><p>2</p><p>2º Exemplo:</p><p>Resolver a inequação -4x2 + 4x - 1 < 0</p><p>a = -4 < 0</p><p>-4x2 + 4x - 1 = 0</p><p>4x2 - 4x + 1 = 0</p><p>= 16 - 16 = 0</p><p>x = = =</p><p>2a</p><p>-b</p><p>8</p><p>4</p><p>2</p><p>1</p><p>Como devemos ter f(x) < 2:</p><p>S = {x R / x ½}</p><p>Esquema:</p><p>- - x</p><p>½</p><p>x ½ x ½</p><p>3º Exemplo: Resolver a inequação x2 - 5x + 8 < 0</p><p>a = 1 > 0</p><p>x2 - 5x + 8 = 0</p><p>= 25 - 32 = -7 < 0</p><p>Como devemos ter f(x) < 0: S =</p><p>Esquema:</p><p>x</p><p>+</p><p>MATEMÁTICA</p><p>15</p><p>EQUAÇÃO BIQUADRADA</p><p>É a equação incompleta do 4º grau, contendo apenas as</p><p>potências pares da incógnita. De acordo com a definição, a</p><p>forma geral da equação biquadrada é:</p><p>ax4 + bx2 + c = 0 (1)</p><p>Onde os coeficientes a, b e c representam números reais</p><p>quaisquer com 0 a  . Considera-se sempre positivo, o que é</p><p>possível, porque, quando o primeiro termo for negativo, basta</p><p>multiplicar a equação por -1.</p><p>A resolução da equação ax4 + bx2 + c = 0.</p><p>A equação biquadrada pode ser resolvida por intermédio</p><p>de uma equação do 2º grau, bastando para tanto fazer:</p><p>x2 = y onde x4 = y2 (2)</p><p>Por substituição as igualdades (2) na equação (1), te-</p><p>mos: ay2 + by + c = 0 que chamamos EQUAÇÃO RESOLUTIVA</p><p>DA BIQUADRADA.</p><p>Admitamos que a resolutiva tenha pelo menos uma raiz real, as</p><p>raízes da biquadrada são as raízes positivas da resolutiva.</p><p>Ex.: Resolver a equação: x4 + 5x2 + 4 = 0 (1)</p><p>Efetuando: x2 = y \ x4 = y2 (2)</p><p>Substituindo em (1) temos: y2 - 5y + 4 = 0</p><p>Resolvendo a equação resolutiva:</p><p>2</p><p>9 5</p><p>2</p><p>16 - 25 5</p><p>1 . 2</p><p>4 . 1 . 4 - (-5) 5</p><p>. 2</p><p>4a - b b-</p><p>222</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>yy</p><p>y</p><p>a</p><p>y</p><p>4</p><p>2</p><p>8</p><p>2</p><p>3 5</p><p>' </p><p></p><p>y \</p><p>2</p><p>3 5</p><p></p><p>y \ 1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>3 - 5</p><p>" y</p><p>y’= 4 / y”= 1</p><p>Substituindo estes valores em (2), vem:</p><p>x2 = y’ x2 = y”</p><p>x2 = 4 x2 = 1</p><p>1- 1- ''' x' 2- 4- x"</p><p>1 1 ''x' 2 4 'x</p><p></p><p></p><p>S = {(+2, -2) (+1, -1)}</p><p>Resolva a equação: 4x4 - 5m2x2 + m4 = 0</p><p>Resolução: 4x4 - 5m2x2 + m4 = 0 (1)</p><p>Efetuando x2 = y \ x4 = y2 (2)</p><p>Substituindo em (1) temos:</p><p>4y2 - 5m2y + m4 = 0</p><p>Aplicando a fórmula vem:</p><p>8</p><p>9m 5m</p><p>8</p><p>16m -25m 5m</p><p>4 . 2</p><p>m 4 . 4 - )5m (- 5m</p><p>a . 2</p><p>4ac - b b-</p><p>42442</p><p>42222</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>yy</p><p>yy</p><p>2</p><p>222</p><p>m</p><p>8</p><p>8m</p><p>8</p><p>3m 5m</p><p>' </p><p></p><p>y</p><p>2</p><p>222</p><p>m</p><p>8</p><p>8m</p><p>8</p><p>3m 5m</p><p>' </p><p></p><p>y</p><p>4</p><p>m</p><p>8</p><p>2m</p><p>8</p><p>3m - 5m</p><p>"</p><p>2222</p><p>y</p><p>y’ = m2 /</p><p>4</p><p>m</p><p>"y</p><p>2</p><p></p><p>Substituindo estes valores em (2) temos:</p><p>2</p><p>m-</p><p>4</p><p>m</p><p>''' x'</p><p>2</p><p>m</p><p>4</p><p>m</p><p>'''</p><p>4</p><p>m</p><p>4</p><p>m</p><p>x y" x</p><p>m m " m m '</p><p>m x y'</p><p>22</p><p>22</p><p>22</p><p>22</p><p>222</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>x</p><p>x</p><p>xx</p><p>x</p><p>S = {(+ m, -m) (+ m, - m)}</p><p>EQUAÇÕES IRRACIONAIS</p><p>Chamam-se equações irracionais as equações que</p><p>possuem variável sob o radical.</p><p>Exemplos:</p><p>a) x = 8 b) xx  33</p><p>c) 2123  x</p><p>Exercício Resolvido: Vamos resolver as equações</p><p>dos exemplos acima, sendo U = R:</p><p>a) x = 8 Elevando ao quadrado ambos os membros:</p><p>  22</p><p>8x  x = 64 - Devemos fazer a verificação,</p><p>Para isso, substituímos x por 64 na equação dada: 64 = 8</p><p> 8 = 8 (verdadeiro)Assim: V = {64}.</p><p>b) xx  33</p><p>Isolamos o radical no primeiro membro: 33  xx</p><p>Elevamos ao quadrado ambos os membros:</p><p>   22</p><p>33  xx  x + 3 = x2 - 6x + 9</p><p>Igualando a zero e reduzindo os termos:</p><p>x2 - 7x + 6 = 0 - Resolvendo essa equação:</p><p>x =</p><p>2</p><p>24497 </p><p>=</p><p>2</p><p>57 </p><p>x</p><p>1</p><p>= 6 e x</p><p>2</p><p>= 1-</p><p>Vamos fazer a verificação:</p><p>para x = 6  36  + 3 = 6 \ 639  \3 + 3 = 6</p><p>\ 6 = 6 (verdadeiro) -</p><p>para x = 1  1331  \ 134  \ 2 + 3 =</p><p>1 \ 5 = 1 (falso) - Assim: V = {6}</p><p>c) 2123  x</p><p>Elevando ao cubo ambos os membros:</p><p> 3</p><p>3</p><p>3 212 </p><p></p><p></p><p></p><p>  x  12  x = 8</p><p>Isolando o radical e reduzindo os termos: 61 x</p><p>Elevando ao quadrado ambos os membros:</p><p> x + 1 = 36 \ x = 35</p><p>- Fazendo a verificação:</p><p>x = 35  213523   2623 </p><p> 283   223 3  \ 2 = 2 (verdadeiro)</p><p>- Assim: V = {35}.</p><p>Observe:</p><p>Na resolução de equações irracionais:</p><p>- elevamos ambos os membros à potência adequada para</p><p>eliminarmos o radical;</p><p>- se o radical não estiver isolado em um dos membros,</p><p>devemos isolá-lo;</p><p>- a verificação é necessária.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>16</p><p>FUNÇÕES</p><p>Conceito: Sendo A e B conjuntos não vazios e uma</p><p>relação f de A em B, essa relação f é uma função ou aplica-</p><p>ção de A em B, quando a todo elemento x do conjunto A está</p><p>associado um e somente um elemento y do conjunto B.</p><p>Análise da definição de função por diagramas: A lei</p><p>f que relaciona os elementos de A e B representada pelas</p><p>setas.</p><p>1)</p><p>A B</p><p>2)</p><p>A B</p><p>3)</p><p>A B</p><p>4)</p><p>A B</p><p>5)</p><p>A B</p><p>6)</p><p>A B</p><p>3) f não é função, porque existe elemento de A com mais</p><p>de uma imagem em B.</p><p>4) f é função, porque cada elemento de A tem uma única</p><p>imagem em B, não importando que a imagem seja comum a</p><p>mais de um elemento de A.</p><p>5) f é função pela mesma razão anterior.</p><p>6) f é função, porque a todo elemento de A corresponde</p><p>uma só imagem em B.</p><p>No diagrama, para que f seja, função, é necessário partir</p><p>uma única flecha de todo elemento de A.</p><p>Notação de Função:</p><p>f A B:  lê-se: f é uma função de A em B, ou ainda:</p><p>f:x f(x) lê-se: a função f é definida por y = f(x).</p><p>Ex.: 1) f A B:  definida por f(x) = x+1 ou y = x+1</p><p>2) f x y:  definida por y = 2x + 3</p><p>Domínio e Imagem de uma Função:</p><p>Seja uma função f definida em A com imagens em B.</p><p>- Domínio: é o conjunto D dos elementos x C A.</p><p>- Imagem: é o conjunto Im, contido em B, formado pelas</p><p>imagens y.</p><p>- Contra-domínio: é o conjunto CD = B.</p><p>Ex.: Dados os conjuntos :</p><p>A = -3, -1, 0, 2 e B = -1, 0, 1, 2, 3, 4 determinar o</p><p>domínio, o contra-domínio e o conjunto imagem da função</p><p>f : A--- B definida por f(x) = x + 2.</p><p>Solução:</p><p>A B</p><p>f(-3) = (-3) + 2 = -1</p><p>f(-1) = (-1) + 2 = 1</p><p>f(0) = 0 + 2 = 2</p><p>f(2) = 2 + 2 = 4</p><p>Observando o diagrama, temos:</p><p>D = -3, -1, 0, 2</p><p>I = -1, 1, 2, 4</p><p>CD = -1, 0, 1, 2, 3, 4 = B</p><p>m</p><p>Função Sobrejetora:</p><p>Uma função f, definida em A e com imagens em B, é</p><p>sobrejetora, quando o conjunto imagem é o próprio conjunto B.</p><p>f : A B, f é sobrejetora I</p><p>m</p><p>(f) = B</p><p>Diagrama Diagrama</p><p>A B A B</p><p>D = A e I</p><p>m</p><p>= B D = A e I</p><p>m</p><p>= B</p><p>Observe que não sobra nenhum elemento em B.</p><p>Explicação:</p><p>1) f não é função, porque há elementos de A que não têm</p><p>imagens em B.</p><p>2) f é função, porque todo elemento de A tem uma só</p><p>imagem em B não importando que exista elemento em B sem o</p><p>correspondente em A.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>17</p><p>Função Injetora:</p><p>Uma função f, definida em A, é injetora quando a quais-</p><p>quer</p><p>dois elementos distintos de A correspondem dois ele-</p><p>mentos distintos de B.</p><p>Diagrama Diagrama</p><p>A B A B</p><p>Observe que para cada elemento de B só converge uma</p><p>flecha.</p><p>Função Bijetora:</p><p>É a função sobrejetora e injetora simultaneamente.</p><p>Diagrama</p><p>A B</p><p>D = A I</p><p>m</p><p>= B</p><p>Exemplo gráfico: f : R R y = f(x) = x</p><p>Observe que não sobra nenhum elemento em B e que,</p><p>para cada elemento de B, só converge uma flecha.</p><p>NOTA: nem toda função se enquadra num dos três tipos.</p><p>Uma função pode ser não-injetora e também não-sobrejetora.</p><p>Ex.: f : A  B tal que f(x) = x2</p><p>FUNÇÃO CONSTANTE</p><p>DEFINIÇÃO:</p><p>Dado um número real a, a função definida por f (x) = a,</p><p>para todo x R , é denominada função constante.</p><p>f(x) = a  x R</p><p>Ex.: a) f(x) = 3</p><p>b) y = 4</p><p>c) f(x) = -1/2</p><p>d) f(x) = 2</p><p>e) y = -1,5</p><p>GRÁFICO:</p><p>O gráfico da função constante é uma reta paralela no</p><p>eixo x, cuja interseção com o eixo y é o ponto (0, a).</p><p>(0, a)</p><p>x</p><p>y</p><p>D = R I</p><p>m</p><p>= {a}</p><p>FUNÇÃO LINEAR</p><p>DEFINIÇÃO:</p><p>Dado um número real não-nulo a, a função f : R R, tal</p><p>que f(x) = ax é denominada função linear, f(x) = ax.</p><p>Ex.: a) f(x) = -3x b) y = x (função identidade)</p><p>GRÁFICO:</p><p>O gráfico da função linear f(x) = ax é uma reta que passa</p><p>pelo ponto (0, 0), origem do sistema.</p><p>f(x) = ax f(x) = ax</p><p>(a > 0) (a < 0)</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>D = R Im = R</p><p>FUNÇÃO AFIM / FUNÇÃO DE 1º GRAU</p><p>DEFINIÇÃO:</p><p>A função f : R  R, tal que f(x) = ax + b, onde a e b, são</p><p>constantes reais, a  0, é chamada Função Afim.</p><p>f (x) = ax + b</p><p>Ex.: a) f(x) = x + 1 b) y = -x + 2 c) y = 3x - 4</p><p>GRÁFICO:</p><p>O gráfico da função afim f(x) = ax + b é uma reta que</p><p>intercepta o eixo y no ponto (0, b) e cuja inclinação é dada</p><p>pelo coeficiente a.</p><p>f(x) = ax + b</p><p>x0</p><p>y a > 0</p><p>(0, b)</p><p>x0</p><p>y</p><p>a < 0</p><p>(0, b)</p><p>ZEROS DA FUNÇÃO DO 1º GRAU:</p><p>Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = ax + b, o</p><p>valor de x que anula a função, isto é, torna f(x) = 0.</p><p>Ex.: Calcular o zero da função f(x) = -3x + 6</p><p>Solução: -3x + 6 = 0  -3x = -6 .(-1)</p><p>3x = 6  x </p><p>6</p><p>3  x = 2</p><p>Portanto, o zero da função dada é x = 2.</p><p>- Interpretação Geométrica:</p><p>Geometricamente, o zero da função do 1º grau f(x) = ax</p><p>+ b, a  0, é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x.</p><p>Ex.: Dada a fnção f(x) = -3x + 6, temos:</p><p>f(x) = - 3x + 6 zero da função (x = 2)</p><p>MATEMÁTICA</p><p>18</p><p>ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU:</p><p>Ex.: Dada a função f(x) = 2x - 4, determinar os valores</p><p>reais de x, para os quais:</p><p>a) f(x) > 0 b) f(x) = 0 c) f(x) < 0</p><p>Solução: Podemos notar que a função é crescente,</p><p>pois: a = 2 > 0</p><p>O zero da função é: 2x - 4 = 0  2x = 4  x = 2</p><p>Logo: a reta intercepta o eixo x no ponto de abcissa x = 2.</p><p>Observando essas considerações, vamos fazer um es-</p><p>boço do gráfico da função:</p><p>0</p><p>f(x) < 0</p><p>2</p><p>y</p><p>f(x )> 0</p><p>f(x) = 0</p><p>-</p><p>2</p><p>f(x) > 0</p><p>(x > 2)(x < 2)</p><p>f(x) < 0</p><p>Pelo esquema, podemos dar a seguinte resposta ao problema:</p><p>f(x) = 0 para x = 2</p><p>f(x) > 0 para {x  R / x > 2}</p><p>f(x) < 0 para {x  R / x < 2}</p><p>Ex.: Dada a função f(x) = -2x - 4, determinar os valores</p><p>reais de x para os quais:</p><p>a) f(x) = 0 b) f(x) > 0 c) f(x) < 0</p><p>Solução: Podemos notar que a função é decrescente,</p><p>pois:</p><p>a = -2 < 0</p><p>O zero da função é:</p><p>-2x - 4 = 0  -2x = 4  2x = -4  x = -2</p><p>Logo: a reta intercepta o eixo x no ponto de abcissa x = -2.</p><p>Pelas considerações feitas, fazemos um esboço do grá-</p><p>fico da função:</p><p>0</p><p>f(x) = 0</p><p>-2</p><p>yf(x) > 0</p><p>f(x) < 0</p><p>-2 -</p><p>(x < -2) (x > -2)</p><p>Pelo esquema, a solução do problema é:</p><p>f(x) = 0 para x = -2</p><p>f(x) > 0 para {x  R / x < -2}</p><p>f(x) < 0 para {x  R / x > -2}</p><p>Resumo:</p><p>Função: f(x) = 2x - 4 Função: f(x) = -2x - 4</p><p>a = 2 > 0 a = -2 < 0</p><p>zero da função: x = 2 zero da função: x = -2</p><p>-</p><p>2</p><p>-</p><p>-2</p><p>Pelo resumo podemos concluir que:</p><p>a função tem: a função tem:</p><p>sinal contrário de a. mesmo sinal de a.</p><p>zero da função</p><p>(y = 0)</p><p>FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO DO 2º GRAU</p><p>DEFINIÇÃO:</p><p>É a função f : R  R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com</p><p>a, b e c reais e a  0.</p><p>Ex.: a) f(x) = x2 - 4x -3 a =1 , b = -4, e c = -3</p><p>b) f(x) = x2 + 3 a = 1, b = 0 e c = 3</p><p>c) y = 4x2 - 10x a = -4, b = -10 e c = 0</p><p>(5, 3)</p><p>x</p><p>(1, 3)</p><p>(2, 0)</p><p>(3, -1)</p><p>(4, 0)</p><p>y</p><p>(0, 8)</p><p>x f(x) = - x - 6x = 8</p><p>-1 15</p><p>0 8</p><p>1 3</p><p>2 0</p><p>3 -1</p><p>4 0</p><p>5 3</p><p>2</p><p>b) f(x) = x2 + 6x - 8 a = -1 < 0</p><p>x f(x) = x + 6x = - 8</p><p>-1 - 15</p><p>0 - 8</p><p>1 - 3</p><p>2 0</p><p>3 1</p><p>4 0</p><p>5 - 3</p><p>2</p><p>(5, -3)</p><p>x</p><p>(0, -8)</p><p>(2, 0)</p><p>(3, 1)</p><p>(4, 0)</p><p>y</p><p>(1, -3)</p><p>Podemos observar que se a função apresenta 2 raízes</p><p>reais distintas (  0 ), a parábola corta o eixo dos x em dois</p><p>pontos (as raízes). Lembre-se:  = b2 - 4ac.</p><p>Caso ela apresente duas raízes reais iguais (  = 0), a</p><p>parábola tangencia o eixo dos x.</p><p>E se a função não apresenta raízes reais (  < 0), a</p><p>parábola não corta e nem tangencia o eixo dos x.</p><p>Observamos também que se a concavidade está voltada</p><p>para cima (a > 0), a parábola apresenta um ponto que é o</p><p>"mais baixo" (ponto de mínimo da função)</p><p>No caso de concavidade voltada para baixo (a < 0), a pará-</p><p>bola apresentará um ponto que é o "mais alto"(ponto de máximo</p><p>da função).</p><p>Esse ponto (mínimo ou máximo) é chamado vértice (V) da</p><p>parábola e suas coordenadas são:</p><p>GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA:</p><p>Seu gráfico é uma parábola que terá concavidade volta-</p><p>da "para cima" se a > 0 ou voltada "para baixo" se a < 0.</p><p>Ex.: a) f(x) = - x2 - 6x + 8 a = 1 > 0</p><p>x</p><p>b</p><p>av </p><p></p><p>2</p><p>y</p><p>av </p><p></p><p>4</p><p>A coordenada do vértice y</p><p>v</p><p>é importante para determinar-</p><p>mos o conjunto imagem da função quadrática:</p><p>Im = {y R / y > }4a</p><p>- se a > 0 ou</p><p>Im = {y R / y < }4a</p><p>- se a < 0</p><p>MATEMÁTICA</p><p>19</p><p>Assim:</p><p>a  0</p><p>y</p><p>av </p><p></p><p>4</p><p>x</p><p>b</p><p>av </p><p></p><p>2</p><p>a  0</p><p>x</p><p>b</p><p>av </p><p></p><p>2</p><p>y</p><p>av </p><p></p><p>4</p><p>O domínio da função quadrática é R.</p><p>ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA:</p><p>Resumindo os gráficos apresentados e estudando o sinal da função quadrática temos:</p><p>Ex.: para que valores de x a função:</p><p>f(x) = x2 - 5x + 6 assume valores que acarretam f(x) ></p><p>0 e f(x) < 0 ?</p><p>Solução: f(x) = x2 - 5x + 6</p><p>f(x) = 0</p><p>> 0 = 0 < 0</p><p>a > 0</p><p>a < 0</p><p>x = 2</p><p>x - 5x + 6 = 0</p><p>x = 3</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>MATEMÁTICA</p><p>20</p><p>FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS</p><p>FUNÇÃO EXPONENCIAL</p><p>DEFINIÇÃO:</p><p>A função f : R R definida por f (x) = ax, com a 1</p><p>e a > 0, é denominada função exponencial de base a.</p><p>Ex.:a) y = 3x b) f (x) =</p><p>1</p><p>2</p><p>x</p><p>RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS:</p><p>1º Exemplo: Resolver a equação 2x = 256</p><p>Transformando a equação dada em igualdade de mesma</p><p>base, temos: 2x = 256 \ 2x = 28</p><p>Igualando os expoentes, temos: x = 8 \ S = (8)</p><p>2º Exemplo: Resolver a equação 4x = 32</p><p>Transformando a equação dada em igualdade de mesma</p><p>base, temos:</p><p>4x = 32 \ (22)x = 25 \ 22x = 25</p><p>Igualando os expoentes, temos:</p><p>2x = 5 \ x = 5/2 S = {5/2}</p><p>3º Exemplo: Resolver a equação: 2x =</p><p>1</p><p>16</p><p>Lembrar que</p><p>1</p><p>16</p><p>= = 2</p><p>1</p><p>24</p><p>-2</p><p>2 = 2 = 2 x 1</p><p>16</p><p>x -4 Daí: x = -4 S = {-4}</p><p>4º Exemplo: Resolver a equação 9x+3 = 27x</p><p>9x+3 = 27x \ (32)x+3 = (33)x \ 32x+6 = 33x</p><p>Daí: 2x + 6 = 3x \ 2x - 3x = -6 \ -x = -6 \ x = 6</p><p>S = {6}</p><p>5º Exemplo: Resolver a equação (2x)x+3 = 16</p><p>(2x)x+3 = 16 \ (2x)x+3 = 24 \ 2x2+3x = 24</p><p>Daí: x2 + 3x = 4 \ x2 + 3x - 4 = 0</p><p> = 9 + 16 = 25</p><p>x =</p><p>-3 5+-</p><p>2</p><p>x’ = 1</p><p>x” = -4</p><p>RESOLUÇÃO DAS INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS:</p><p>1º Exemplo: Resolver a inequação 3x > 32</p><p>Como a base 3 é maior que 1, temos: x > 2</p><p>Logo: S = {x R / x > 2} </p><p>2º Exemplo: Resolver a inequação</p><p>1</p><p>3</p><p>x</p><p>> 1</p><p>3</p><p>2</p><p>Como a base 1/3 é menor que 1 (0 < 1/3 <1), temos: x < 2</p><p>Logo: S = {x R / x < 2} </p><p>FUNÇÃO LOGARÍTMICA</p><p>Logarítmo de um número real e positivo b, na base a</p><p>(a 1 e a > 0) , é um número x ao qual se deve elevar a</p><p>base a para se obter b. Ou ainda, é todo expoente cuja</p><p>base é positiva e diferente de um.</p><p>log</p><p>a</p><p>b = x  ax = b(b > 0 e 1 a > 0)</p><p>. a - base do logarítmo</p><p>. b - antilogarítmo</p><p>. x - logarítmo</p><p>Ex.: a) log</p><p>6</p><p>36 = x \ 6x = 36 \ 6x = 62 \ x = 2</p><p>Logo: log</p><p>6</p><p>36 = 2</p><p>CONSEQÜÊNCIA DA DEFINIÇÃO:</p><p>1ª) log</p><p>a</p><p>1 = 0 Ex.: log</p><p>2</p><p>1 = 0; log</p><p>5</p><p>1 = 0</p><p>2ª) log</p><p>a</p><p>a = 1 Ex.: log</p><p>2</p><p>2 = 1; log</p><p>5</p><p>5 = 1</p><p>3ª) log</p><p>a</p><p>am = m Ex.: log</p><p>3</p><p>32 = 2; log</p><p>5</p><p>58 = 8</p><p>4ª) aloga b = b Ex.: 5log53 = 3; 10log107 = 7</p><p>5ª) log</p><p>a</p><p>b = log</p><p>a</p><p>c \ b</p>