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MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS
CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
1
CONHECIMENTOS
DE
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS
CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
2
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS
CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
3
NOÇÕES SOBRE CONJUNTOS
Conjunto dos números naturais: N
É o conjunto: N = {0, 1, 2, 4, 5, ...}
Excluindo-se o zero desse conjunto, obtemos o conjunto
dos números inteiros positivos, indicado por:
N* = {1, 2, 3, 4, 5,...}
(* indica a exclusão do zero de um conjunto)
Conjunto dos números inteiros: Z
É o conjunto: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Este conjunto inclui os números inteiros positivos, os intei-
ros negativos e o zero como elemento central.
Dizemos que o oposto (ou simétrico) de 2 é -2, de -5
é 5, e assim por diante.
Conjunto dos números racionais: Q
Todos os números que podem ser obtidos da divisão
(razão) entre 2 números inteiros são chamados números
racionais e formam o conjunto:
Q = {x/x = a/b; a  Z e B  Z*}
Observe: O número b não pode ser zero.
Exemplos de números racionais:
a)
10
4
2 5 , Q b)
18
3
6  Q c) 
10
3
3 333 , . . . Q
Atenção: Vemos que a representação decimal de um
número racional:
1º) ou é exata 
7
4
1 75



,
2º) ou é periódica 
7
11
0 636363



, . . .
Quer dizer: na divisão de 2 inteiros, ou a conta termi-
na ou prolonga-se repetitivamente (dízima periódica).
Conjunto dos números reais: R
Existem números cuja representação decimal não é exa-
ta e nem periódica, não sendo, portanto, números racionais.
São chamados irracionais.
1,4142135624... = 2  Q
3,1415926535... =   Q
Unindo o conjunto de todos esses números com o conjun-
to dos racionais, formamos o conjunto R dos números reais.
Note que todo número natural é também inteiro, todo intei-
ro é também racional e todo racional é também real, portanto:
N Z Q R   
N
Z
Q
R
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS:
Diagramas de Venn-Euler
1ª) União (U):
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por
todos os elementos que pertencem a A ou a B.
 A B x x A ou x B   / 
Exemplo:
a) A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7}
A B  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}
       n A B n A n B n A B    
BA
.2
.0 .1 .5
.4 .3 .7
2ª) Interseção ( ):
A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto forma-
do pelos elementos que são comuns a A e B, ou seja, que
pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B.
 A B x x A e x B   /
Exemplo: a) A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 3, 5, 7}
A B  {1, 3} 
BA
.2
.1 .5
.4 .3 .7
Obs.: Quando A B =  , os conjuntos A e B são
chamados DISJUNTOS.
3ª) Diferença de Conjuntos:
A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto formado
pelos elementos que pertencem a A mas não pertencem a B.
A - B = {x / x  A e x  B}
Exemplo: Sendo A = {1, 3, 5, 7} e B = {2, 3, 5}, temos
A - B = {1, 7} 
BA .1 .3
.7 .5 .2
4ª) Complementar:
Se B  A, a diferença A - B denomina-se complementar
de B em relação a A e indica-se por:
  A
B A B
Exemplo: Sendo A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e
 B= {2, 3}, então:
CA B = A - B = {0, 1, 4, 5}
BA
.1
.2
.4
.0
.3 .5
A B
Obs.: O complementar de A em relação ao conjunto Uni-
verso, representa-se por:
U
A’ A
NÚMEROS RELATIVOS
Sejam os subconjuntos lineares dos números reais, cuja
representação através da reta geométrica se faz por intermé-
dio de intervalos. Sendo a e b dois números reais tais que a <
b, podemos definir:
1º) Intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto:
[a, b] = {x R / a x b} cuja representação na reta é:
b IR
2º) Conjunto do intervalo aberto de extremos a e b:
]a, b[ = {x R / a < x < b} 
a b IR
3º) O conjunto do intervalo semi-aberto à direita:
[a, b[ = {x R / a x < b} 
a b IR
4º) Conjunto do intervalo semi-aberto à esquerda:
]a, b] = {x R / a < x b} 
a b IR
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
4
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS:
ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO
E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS.
Adição e Subtração: a adição e subtração de números
seguem duas regras básicas a saber:
1ª) Se dois números têm sinais iguais (ambos positivos
ou ambos negativos), somamos os seus valores absolutos e
conservamos o sinal. Ex.: 7 + 3 = 10 e 5 + 12 = 17.
Obs.: Lembrar que se um número não é precedido de
sinal, ele é positivo: (7 + 3 = +7 + 3 = + 10).
2ª) Dois números com sinais diferentes, subtraímos sem-
pre, e damos o sinal daquele que possui maior valor absoluto.
Ex.: -7 + 4 = -(7 - 4) = -3 maior valor absoluto (no caso - 7) e 3
- 8 = - (8 - 3) = -5 maior valor absoluto (no caso - 8).
Multiplicação e divisão: na multiplicação e divisão de
números, seguimos também duas regras básicas:
1ª) Se dois números têm sinais iguais, o produto ou a
divisão entre eles, será sempre positivo, assim:
(+) . (+) = (+) e (+) : (+) = (+) ou (-) . (-) = (+) e (-) : (-) = (+).
2ª) Se dois números têm sinais diferentes, o produto ou a
divisão entre eles, será sempre negativo, assim:
(+) . (-) = (-) e (+) : (-) = (-) ou (-) . (+) = (-) e (-) : (+) = (-).
Obs.: Nas expressões numéricas, onde ocorrem várias
operações, devemos seguir a seguinte hierarquia.
- Primeiro: resolvemos as multiplicações ou divisões;
- Segundo: resolvemos as somas ou subtrações.
Se nessas expressões aparecerem parênteses,
colchetes ou chaves, a hierarquia de resolução será:
- Primeiro: resolvemos as operações entre parênteses;
- Segundo: resolvemos as operações entre colchetes;
- Terceiro: resolvemos as operações entre chaves.
Ex.: Efetuar: 
a) 3 - 5. (-4) + 7
3 + 20 + 7 = 30
Resp.: 30
Efetuar: b) [5 - 3 - (4 : 2 + 5) . 3] =
Resolução: [5 - 3 - (2 + 5) . 3] = [5 - 3 - 7 . 3] = [2 - 21] =
Resp.: -19
NÚMEROS PRIMOS:
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS,
MÁXIMO DIVISOR COMUM,
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
E SUAS PROPRIEDADES.
Múltiplos e divisores de um número: Um número "A"
é múltiplo de um número "B" (B 0) se a divisão de "A"por
"B" for exata e inteira.
Obs.:
a) Todo número tem uma infinidade de múltiplos, isto é, o
conjunto dos múltiplos de um número é infinito.
b) Excluindo o zero, que é múltiplo de todo número, o menor
múltiplo de um número é ele próprio.
Ex.: Montar o conjunto dos múltiplos de: a) 7 e b) 5
a) Vamos procurar todos os números que divididos por 7,
dão resultado exato e inteiro, são eles:
{0, 7, 14, 21, 28, ...}, ou {x / x = 7n e x Z } + 
b) Vamos procurar todos os números que divididos por 5,
dão resultado exato e inteiro, são eles:
{0, 5, 15, 20, 25, ...}, ou {x / x = 5n e x Z } + 
 "Um número A (A 0) é divisor de um número B, se a
divisão de B por A for exata e inteira".
Obs.: a) Todo número inteiro é diferente de 1, admite pelo
menos, dois divisores.
b) O número de divisores de um número inteiro e diferente
de zero é limitado, isto é, o conjunto dos divisores de um
número, é finito.
c) O número que admite apenas a unidade e ele próprio
como divisor é chamado número primo.
Ex.: 1) Montar o conjunto dos divisores de: a) 8 e b) 20.
Resolução:
a) Vamos procurar todos os números que dividem o 8 de
forma exata e inteira. São eles: {1, 2, 4, 8};
b) Vamos procurar todos os números que dividem o 20 em
forma exata e inteira. São eles:{1, 2, 4, 5, 10, 20}.
2) Montar o conjunto dos números primos até 50:
Resolução:
Vamos procurar os números menores que 50, que 
admitem apenas a unidade e ele próprio como fator (fator é 
sinônimo de divisor), são eles: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 
29, 31, 37, 41, 43, 47}
REGRAS DE DIVISIBILIDADE
Divisibilidade por 2: "um número admite o 2 como fator,
quando seu último algarismo for { 0, 2, 4, 6, 8} isto é, se ele for
par". Ex.: O conjunto dos números menores que 20, que admitem
o 2 como fator são: {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
Divisibilidade por 3 ou 9: "um número admite o 3 ou o 9,
como fator, quando a soma de seus algarismos for divisível
por 3 ou por 9 respectivamente".
Ex.: a) 345 é divisível por 3 pois: 3 + 4 + 5 = 12 e 12 é
divisível por 3. Sendo assim a divisãode 345 por 3 será exata
e inteira:
b) 108 é divisível por 9, pois: 1 + 0 + 8 = 9 e 9 é divisível por
9. Sendo assim a divisão de 108 por 9 será exata e inteira.
345 3
04 115
 15
 0
quociente: 115
resto: 0 
108 9
 18 12
 0
quociente: 12
resto: 0 
Obs.: É importante notar que todo número que é divisível por 9,
será divisível por 3, mas o contrário pode não ocorrer. Nos exemplos
anteriores temos: 108 é divisível por 9 e também por 3. Mas, 345 é
divisível por 3 mas não é por 9.
Divisibilidade por 4 e 25: "um número é divisível por 4 ou
25 quando os dois últimos algarismos da direita formarem um
número divisível por 4 ou 25 respectivamente". Ex.: 420 é
divisível por 4 porque 20 é divisível por 4, então:
420 4
 20 105
 0
quociente: 105
resto: 0 
1175 é divisível por 25, porque 75 é divisível por 25, então:
1175 25
 175 47
 0
quociente: 47
resto: 0 
Divisibilidade por 5: "um número é divisível por 5, quando
ele termina em 0 ou 5".
Ex.: O conjunto dos números menores que 40, divisíveis
por 5 é: {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}
Divisibilidade por 8 ou 125: "um número é divisível por 8
ou por 125, quando, os seus três últimos algarismos da direita,
formarem um número divisível por 8 ou 125, respectivamente."
 Ex.: 1º) 1032 é divisível por 8, porque 032 = 32 é divisível
por 8, então:
1032 8
 32 129
 72
 0
quociente: 129
resto: 0 
2º) 3250 é divisível por 125, porque 250 é divisível por 125,
então:
3250 125
0750 26
 000
quociente: 26
resto: 0 
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
5
Divisibilidade por 11: "um número é divisível por 11,
quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem
ímpar, e a soma dos algarismos de ordem par, é múltiplo de
11: Ex.: Verificar se o número 743.875 é divisível por 11.
Resolução: Anotando por I os algarismos de ordem ímpar
e P, os de ordem par temos:
743.875 ---- I = 7, 3, 7 P = 4, 8, 5
Somando os algarismos de ordem ímpar, temos:
7 + 3 + 7 = 17
Somando os algarismos de ordem par, temos:
4 + 8 + 5 = 17
A diferença será 17 - 17 = 0, como 0 (zero) é múltiplo de
11, o número será divisível por 11.
Decomposição de um número em fatores primos:
Todo e qualquer número que não seja primo, pode ser
decomposto num produto de seus fatores primos.
Ex.: Escrever como produto de seus fatores primos os
seguintes números: a) 50; b) 120
a) 50 2
 25 5
 5 5
 1
 
 50 = 2 . 5
2
Resolução:
 
b) 120 2
 60 2
 30 2
 15 3
 5 5
 1
 120 = 2 . 3 . 53
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.):
"Mínimo Múltiplo Comum de dois ou mais números é o menor
número diferente de zero que é divisível por todos eles ao mesmo
tempo". Para cálculo do m.m.c. de dois ou mais números podemos
estabelecer a seguinte regra:
1º) Decompomos os números em fatores primos.
2º) Multiplicam-se todos os fatores primos, comuns e não
comuns, tomados uma única vez, com os seus maiores expoentes.
Ex.: Calcular o m.m.c. dos números: 20, 24 e 30
 20 2
 10 2
 5 5
 1
 
 20 = 2 . 5
2
 24 2
 12 2
 6 2
 3 3
 1
 24 = 2 . 33
 30 2
 15 3
 5 5
 1 
 
 30 = 2 . 3 . 5
m.m.c. (20; 24; 30) = 23 . 5 . 3
m.m.c. (20; 24; 30) = 8 . 5 . 3
m.m.c. (20; 24; 30) = 120
MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.):
"Máximo Divisor Comum de dois ou mais números é o maior
de seus divisores comuns". Para o cálculo do m.d.c. de dois
ou mais números podemos estabelecer a seguinte regra:
1º) Decompomos os números em fatores primos.
2º) Multiplicamos todos os fatores primos comuns, tomados
uma única vez com seus menores expoentes.
Ex.: Calcular o m.d.c. dos números seguintes: 60, 264 e 504
 60 2
 30 2
 15 3
 5 5
 1
 
 60 = 2 . 3 . 5
2
 
 264 2
 132 2
 66 2
 33 3
 11 11
 1
 
 264 = 2 . 3 . 11
3
 
 504 2
 252 2
 126 2
 63 3
 21 3
 7 7
 1
 504 = 2 . 3 . 7
3 2
m.d.c. (60; 264; 504) = 22 . 3
m.d.c. (60; 264; 504) = 12
Relação entre o m.m.c. e m.d.c.:
"O m.m.c. de dois números é igual ao produto desses
números dividido pelo seu m.d.c."
Ex.: O produto de dois números é 576 e o seu m.d.c. é 2.
Calcular o m.m.c.
m.m.c. = = = m.m.c. = 288 
produto dos números
m.d.c.
576
2
Cálculo do número de divisores de um número:
"O número de divisores de um número é igual ao produto dos
expoentes de cada fator primo aumentados de uma unidade".
Ex.: Quantos são os divisores de 540?
Resolução: Decompondo 540 em fatores primos, temos:
 540 2 
 270 2 O nº de divisores será:
 135 3 (2 + 1) . (3 + 1) . (1 + 1) = 3 . 4 . 2 = 24
 45 3 Resposta: 24 divisores
 15 3
 5 5
 1
540 = 2 . 3 . 532
FRAÇÕES ORDINÁRIAS
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES:
Soma e Subtração: a soma ou diferença de frações é
obtida da seguinte maneira:
1º) Reduzimos as frações ao mesmo denominador;
2º) Somamos ou subtraímos os numeradores obtidos e
assim teremos a fração resultado.
Ex.: Efetuar: - +5 
6 
2
3 
5
8 
Solução: m.m.c. (6; 3; 8) = 24
5 
6 
2
3 
5
8 
- + = = 20 - 16 + 15
24 
19
24 
Produto de frações: o produto de frações é obtido multipli-
cando-se respectivamente numerador e denominador das fra-
ções (não se calcula o m.m.c. no produto).
a
b
c
d
. = a . c
b . d
Assim: 
Obs.: No produto de frações, é sempre conveniente ob-
servar se há possibilidade de simplificar.
Ex.: Efetuar: a) . b) . 73 
5 
7
6 
4
3 
Solução: a) . =
3 
5 
7
6 
7
10 
1
2
 b) . = = 
4 
3 
7
1 
4 . 7
3 . 1 
28 
3 
Ex.: Efetuar: a) : 3 
5 
7
4 
 b) 
1
3 
4
5 
c) 
2
3 
5
Solução:
3
5
7
4
 : = . =
3
5
4
7
12
35
mantém
mantém
b) 
1
3
4
5
 = . = 1
3
5
4
5
12
 c) 
2
3
5
 = . =2
3
1
5
2
15
FRAÇÕES DECIMAIS
Frações decimais: são frações cujo denominador é igual a
10 ou 100 ou 1000, ou seja, potência positiva de 10.
3
10
, 8
100
 , ...132
1000
Ex.:
Exceto as dízimas periódicas, todo número decimal pode ser
escrito na forma de fração decimal, da seguinte maneira:
0,37 = ; 2,471 = 2 = 
37
100
471
1000 1000
2471
0,333... não pode ser escrito na forma de fração decimal
Soma e subtração de números decimais: para se efe-
tuar estas operações, basta colocarmos vírgula sob vírgula, ou
seja, operar parte inteira com parte inteira e parte decimal com
parte decimal.
Ex.: a) 2,32 + 0,416 + 11 + 0,1 b) 1,432 - 0,21
Divisão de frações: o quociente das frações a/b e c/d
é: ab . d/c, isto é, mantemos a primeira fração multiplicando
pelo inverso da segunda fração.
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
6
Solução: a) b) 
Produto de números decimais: opera-se normalmen-
te. O resultado terá tantas casas decimais quanto a soma das
casas decimais dos fatores.
Ex.: 0,32 x 1,7
Solução:
0,32
1,7
 2,24
 32
0,544
2 casas decimais
1 casa decimal
3 casas decimais
Divisão de números decimais:
a) Igualar casas decimais.
b) Eliminar vírgulas,
c) Operar normalmente.
Ex.: 0,625 : 2,5 = 0,25
Solução:
a) 0,625 : 2,500 - Letra A do roteiro
b) 625 : 2500 - Letra B do roteiro
c) 
6250 2500
12500 0,25
0000
 - Letra C do roteiro
Transformação de fração para decimal: basta dividir
o numerador pelo denominador.
Ex.: a) 
2
5 
= 0,4 b) 
5
4 
= 1,25
Solução: a) 
20 5
 0 0,4 b) 
 5 4
 10 1,25
 20
 0 
NÚMERO MISTO
Denomina-se número misto à soma de um número inteiro
com uma fração própria.
Ex.: 
3 + 
4
5
é um número misto e indicamos por 
que será lido como: três inteiros e quatro quintos. 
3 
4
5
Obs.:1ª) Para se transformar um número misto em fração impró-
pria, procedemos da seguinte maneira:
2 = = (fração imprópria) 
3 
4 
2 . 4 + 3
4 
11 
4 
2ª) Para se transformar uma fração imprópria em número
misto procede-se da seguinte maneira:
37
5
37 5
2 7
= 7
2
5
37
5
Esta operação também é chamada de extração dos intei-
ros de uma fração.
GERATRIZ DE UMA PERIÓDICA
Dízima Periódica Simples: a fração geratriz da dízima
periódica simples, é obtida da seguinte maneira:
- Numerador: constituído pelo período da dízima (parte que
se repete na dízima);
- Denominador: é formado por tantos noves quanto são os
algarismos do período.
Ex.: Calcular a geratriz das dízimas seguintes:
a) 0,3737... b) 2,4242...
Solução: 
37
99a) 0,3737... = 
b) 2,4242... = 2 = 
42
99
240
99
POTÊNCIAS E RAÍZES
DEFINIÇÃO: Dado um número real a e um número inteiro
n, (n > 0) sabe-se que:
a, a, a... = an
n vezes
a é a base; n é o expoente e an é a potência.
Ex.: 53 = 5 . 5 . 5 = 125
5 - base; 3 - expoente; 125 - potência
Propriedades:
1ª) Multiplicação de potências de mesma base:
Para multiplicar duas ou mais potências de mesma base,
conserva-se a base e somam-se os expoentes.
Genericamente: am . an . ap = am+n+p
Ex.: 53 . 54 = 53+4 = 57 = 78.125
2ª) Divisão de potências de mesma base:
Para dividir duas potências de mesma base, conservam-
se as bases e subtraem-se os expoentes.
Genericamente: m - n
m
n Ex.: 
5 
5 
3
2
= 5 = 53 - 2
Consequências:
a) Potência com expoente zero: toda potência com
expoente zero é igual a 1 (um). a = a = = 1 
0 n - n a 
a 
n
n
Ex.: 50 = 1
b) Potência com expoente negativo: é equivalente a
uma fração cujo numerador é 1(um) e o denominador é a base
com o expoente positivo. Equivale ao inverso da base elevado a
um expoente de mesmo módulo e sinal diferente.
a = a = = -n 0 - n
a 0
a n
1
a n
Ex.: 2 = = -3
1
2 3
1
8
3ª) Potência de Potência: Para se elevar uma potência
a um expoente, conserva-se a base e multiplicam-se os ex-
poentes.
Genericamente: (a ) = a n
m n.m
Ex.: (2 ) = 2 = 2 = 643
2
3.2 6
Dízima Periódica Composta: a fração geratriz da dízima
periódica composta é obtida da seguinte maneira.
- Numerador: é formado pela diferença entre o número for-
mado pela parte não periódica seguida de um período, e o nú-
mero que constitui a parte não periódica.
- Denominador: constituído por um número formado por
tantos noves quantos forem os algarismos da parte periódica,
seguidos por tantos zeros quantos forem os algarismos da
parte não periódica.
Ex.: Calcular a geratriz das dízimas seguintes:
a) 0,325757... b) 2,323444...
Solução:
a) 0,325757... parte periódica = 57
 parte não periódica = 32
3257 - 32 
9900
43
132
A geratriz da dízima dada é:
3225 
9900
 = = 
b) 2,213444... parte periódica = 4
 parte não periódica = 213
2134 - 213
9000
1921
9000
A geratriz da dízima dada será: 
19921
9000
2 = 2 =
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS
CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
7
4ª) Potência de um Produto: Para se elevar um produ-
to a um expoente, eleva-se cada fator a este expoente.
Genericamente: (a . b) = a . b n n n
Ex.: (3 . 10) = 3 . 10 = 9 . 100 = 9002 2 2
5ª) Potência de Ordem Superior: É a potência cujo
expoente é outra potência.
Genericamente: am
n
Ex.: 3 = 34
3 64
6º) Multiplicando-se ou dividindo-se o índice e o expoente do
radicando por um mesmo número, o valor da raiz não se altera.
Ex.: Seja: 6 4 = 23
Dividindo-se o índice e o expoente do radicando por 3:
 6 : 3 4. = 4 = 2 3.3 2
Multiplicando-se o índice e o expoente do radicando por 2:
 6 x 2 4. = 4 = 2 12 6
Obs.: a b
c
(a )b c
Ex.: 21
3
 = 2 e (21)
3
 = 8
Potência de Números Relativos:
1º) Quando o expoente for par, o resultado será sempre
positivo. Exs.: a) +32 = 9 b) -24 = 16
2º) Quando o expoente for ímpar, o resultado terá sem-
pre o sinal da base. Exs.: 1) (-2)3 = -8 2) (+5)3 = 125
Potência de Frações: Para se elevar uma fração a um expo-
ente, eleva-se o numeradores e o denominador a este expoente.
Genericamente: ( ) =
a
b
n a
b
n
n
Ex.: ( ) = = 
-3
7
2 3
7
2
2
9
49
RADICIAÇÃO
Definição: dado um número real a e um número inteiro n, (n
> 0) denomina-se raiz n-ézima o número b tal que:
n a = b b n, onde n é o índice, b é a raiz n-ézima e a é o
radicando. O sinal recebe o nome de radical.
Ex.: 1) 4 81 = 3 2) 
3
 -64 = -4 3) 
2
 16 = 4
Observações:
1) Não existem raízes de índice par de números negati-
vos no campo dos números reais.
2) Quando o índice for igual a 2, poderá ser omitido e
neste caso, diz-se que a raiz é quadrada.
Ex.: 2 64 = 64 = 8 
3) Quando o radicando não apresentar sinal, ou se for
positivo as raízes de índice par serão consideradas positivas.
Exs.: 1) 4 16 = 2 2) 
6
 +64 = 2
4) Quando o índice for ímpar, a raiz terá o sinal do radicando.
Exs.: 1) 3 -8 = -2 2) 
5
243 = 3
Propriedades:
1ª) O produto de duas ou mais raízes de mesmo índice é
a raiz do produto dos radicandos.
Ex.: 4 16 . 81 = 16.81 
4 4
2ª) O quociente de duas raízes de mesmo índice é igual à raiz
do quociente dos radicandos. Genericamente:
3ª) A raiz de uma raiz é igual a uma raiz cujo índice é o produto
dos índices relativos a cada raiz. Genericamente:
m n a = m.n a 
Ex.: 3 64 = 64 = 64 = 2 2 3. 6
4ª) A potência de uma raiz é igual à raiz da potência de
mesmo expoente do radicando. Genericamente:
(n a = a )m n m Ex.: (3 27 = 27 ) 4 3 4
5ª) Uma raiz é igual a uma potência com expoente
fracionário cujo numerador é o expoente do radicando e o
denominador é o índice. Genericamente:
 a = a n m m/n Ex.: 2 = 2 3 4 4/3
Extração da Raiz Quadrada:
Existe uma regra prática para extrair a raiz quadrada de um
número, regra esta que será vista a seguir através de um exem-
plo. Exemplo: extrair a raiz quadrada de 135.360.
1º) Separam-se os algarismos do radicando de dois em
dois da direita para a esquerda, podendo sobrar apenas um
algarismo à esquerda 13 53 60. .
2º) Determina-se o maior número cujo quadrado não ul-
trapasse o número formado pelo(s) algarismo(s) que sobrar
(ou sobraram) à esquerda.
Este número será a raiz parcial 13 53 60 3. .
3º) Eleva-se ao quadrado o número assim obtido e sub-
trai-se do número mencionado acima e acrescenta-se ao
resultado os próximos dois algarismos à direita, obtendo-se
assim o primeiro resto parcial:
13 53 60 3. .
9
453
4º) Dobra-se a raiz e separa-se o último algarismo à
direita do resto parcial
13 53 60 3. .
9
45 3.
2 3 = 6.
5º) Divide-se a parte que sobrou à esquerda pelo dobro
da raiz, multiplicando-se o número formado pelo acréscimo
do quociente obtido à raiz pelo mesmo coeficiente. Se o pro-
duto acima for maior que o resto parcial subtrai-se uma uni-
dade ao quociente e repete-se a operação
13 53 60 3. .
9
45 3.
2 3 = 6.
45:6 = 7
67:7 = 469
Como 469 é maior que 453, reduz-se uma unidade do
quociente e repete-se a operação:
 
n a
n b
=
n a
 b
Ex.: 
3
125 
=
3
64
3
125 
64
13 53 60 3. .
9
45 3.
2 3 = 6.
45:6 = 7 6
66:6 = 396
6º) Subtrai-se o resultado do primeiro resto parcial, acrescen-
tando-se ao lado do mesmo os próximos dois algarismos à direita,
dobra-se a nova raiz (36) e repete-se os passos anteriores
13 53 60 367. .
9
45 3.
2 3 = 6.
45:6 = 7 6
66:6 = 396
2 36 = 72
576:72 = 8 7
727 7 = 5089
.
.
 396
 57 60
 5089
 671
.
A raiz procurada é 367 e 671 é o resto final.
PROVA: (367)2 + 671 = 134689 + 671 = 135360
 raiz = 21,6; resto = 2,44
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS
CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
8
Obs.: A raiz quadrada de um número pode ser extraída
por aproximação. Paraisso basta acrescentar à direita do
radicando, dois zeros para cada casa decimal desejada a
extrai-se a raiz quadrada do número obtido de acordo com a
regra que foi dada.
Ex.: Extrair a raiz quadrada do número 469 com aproxi-
mação de décimos.
 4.69.00 21
4
06.9
2 2 = 4.
 6:4 = 1
 41:1 = 41
2.21 = 42
280:42 = 6 
426 6 = 2556.
 41
 280.0
 2556
 244
Nota: O número de casas decimais do resto é igual ao
número de zeros acrescentados.
PROVA: (21,6)2 + 2,44 = 466,56 + 2,44 = 469
Redução de Radicais ao mesmo índice: dois ou mais
radicais de índices diferentes podem ser reduzidos a um
mesmo índice com base na 6ª propriedade do item 2.2.
REGRA:
1º) Calcular o mínimo múltiplo comum dos respectivos
índices que será o novo índice comum a todos os radicais.
2º) Dividir o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) obtido, pelos
índices e multiplicar o resultado pelo expoente do radicando
correspondente.
Ex.: Reduzir ao mesmo índice:
3 4 ; 6 ; 82 5 3 6
m.m.c. (3; 5; 6) = 30
Dividindo-se o m.m.c. pelos índices e multiplicando os
resultados pelos expoentes dos radicandos:
30 4 ; 6 ; 820 30 18 30 5
- Operações com radicais:
1ª - Adição e subtração: Para serem somados ou sub-
traídos, os radicais devem ter o mesmo índice e o mesmo
radicando, ou seja, devem ser semelhantes. Apenas os
coeficientes dos radicandos devem ser operados.
Ex.: 4 3 + 5 3 + 3 = 
(4 + 5 + 1) 3 = 10 3 
4 4
4
4
4
2ª - Multiplicação e divisão
Para serem multiplicados ou divididos, os radicais devem
ter o mesmo índice.
Se isto não acontecer, os radicais devem ser reduzidos
ao mesmo índice. Para multiplicar ou dividir radicais, multipli-
cam-se ou dividem-se os coeficientes e os radicandos.
Ex.: 6 8 3 20 = 6 3 8 20 = 18 160. . .5 5 5 5
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
LETRAS QUE REPRESENTAM NÚMEROS
Um dos mais importantes símbolos da matemática são as
letras, usadas em lugar de números.
a) Variável
Quando escrevemos a letra x, por exemplo, podemos usá-
la para representar um número qualquer. Isto nos permite falar
a respeito de “um número”, sem fixar “qual” o número.
A letra usada para representar um elemento qualquer, não
especificado, de um conjunto numérico, chama-se variável.
Qualquer letra pode ser empregada com este fim; todavia,
as letras x, y, z são mais freqüentemente usadas.
Uma vantagem do emprego de letras é a possibilidade de
substituirmos uma expressão verbal (em que usamos pala-
vras) por uma expressão matemática ou algébrica (em que
usamos letras, números e sinais de operação e de relação).
Exemplos:
1º - Quando adicionamos dois números, a ordem em que
são considerados não altera a soma.
Tradução em linguagem matemática: x + y = y + x
2º - Se dividirmos a diferença de dois números por 2, o
resultado será 15.
Tradução: 15 2
y-x 
b) Fórmulas
Uma fórmula é a tradução, em linguagem matemática, de uma regra.
Por exemplo, você sabe que a área de um retângulo pode
ser obtida multiplicando o número que exprime a medida da
base pelo que exprime a da altura.
Tradução: S = b.h
EXPRESSÃO ALGÉBRICA. POLINÔMIO.
Uma coleção de números, variáveis (letras) e sinais de
operação, como y
x
 -3y 2x ,32ax 1, 3x 22 x é uma
expressão algébrica.
Em uma expressão da forma A + B + C + ..., A, B, C, ... são termos.
Assim 3a2 e -2b são termos da expressão 3a2 - 2b.
Uma expressão cujos termos envolvem somente multiplica-
ções e potenciações de números e variáveis chama-se polinômio.
A expressão 3x2 + 5x - 8 é um polinômio.
A expressão y- 
3
x
 não é um polinômio porque envolve a
operação de divisão por uma variável.
Se o polinômio contém uma só variável, por xemplo x,
diremos polinômio inteiro em x. O domínio das variáveis de
um polinômio é o conjunto dos números relativos, salvo indi-
cação em contrário.
Denominações particulares:
Monômio - polinômio de um só termo: -3xy2
Binômio - de dois termos: a2 - 2ab
Trinômio - de três termos: 2x2 - 5x + 7
COEFICIENTE DE UM TERMO
Um conjunto de fatores em um termo chama-se coefici-
ente dos fatores restantes. Assim, em -3a2x, temos:
-3 é o coeficiente de a2x
-3a2 é o coeficiente de x
-3x é o coeficiente de a2
Chama-se coeficiente numérico o fator numérico de um
termo: em 4a2b o coeficiente numérico é 4.
Obs.: O coeficiente 1 é subentendido x = 1x
ORDENAÇÃO
Quando os termos de um polinômio se sucedem de modo
que os expoentes de uma certa letra decrescem do primeiro
ao último, diz-se que o polinômio está ordenado segundo as
potências decrescentes dessa letra.
O polinômio 2ax3 - 5abx2 + 3a2x + 4a3b2 está ordenado segun-
do as potências decrescentes de x. Ao contrário, se as potênci-
as de uma certa letra crescem sucessivamente, o polinômio diz-
se ordenado segundo as potências crescentes da mesma letra,
como o polinômio: 2 - 3x + 4x2 + x3 em relação à letra x.
Ordenar um polinômio é dispor seus termos de modo que
os expoentes de uma letra cresçam ou descresçam. Essa
letra denomina-se principal ou ordenatriz.
TERMOS SEMELHANTES
Dois termos que têm variáveis idênticas são chamados
termos semelhantes.
222
3
1
 e 3ax- ,5 axax são termos semelhantes.
4x e 5y não são termos semelhantes.
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS
CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
9
POLINÔMIOS
DEFINIÇÃO: Toda função definida pela relação:
P(x) = a
n
xn + a
n-1
 + a
n-2
 . x
n-2
 + a
2
x2 + a
1
x + a
0
 é denominada
função polinomial ou, simplesmente "polinômio.
Em que: a
n
, a
n-1
, a
n-2
, a
2
, a
0
n N
x C é a variável
Obs.:
 1º) Se an 0 , o expoente máximo n é dito grau de
polinômio e indicamos gr (P) = n.
Exs.: a) P(x) = 7 ou P(x) = 7. x é um polinômio constante,
isto é gr(P) = 0.
b) P(x) = 2x - 1 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P) = 1.
c) P(x) = 3x + 1/2x2 4 é um polinômio do 5º grau, isto é,
gr(P) = 5.
2º) Se P(x) = 0, não se define o grau do polinômio.
3º) Não são polinômios as relações:
P(x) = x + 5 P(x) = x + 2
1
x
VALOR NUMÉRICO:
O valor numérico de um polinômio P(x), para x = a, é o
número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas
as operações indicadas pela relação que define o polinômio.
Ex.: Se P(x) = x3 + 2x2 - x - 1, o valor numérico de P(x),
para x = 2 é:
P(x) = x3 + 2x2 - x - 1
P(2) = 23 + 2 . 22 - 2 - 1
P(2) = 8 + 2 . 22 - 2 - 1
P(2) = 8 + 8 - 2 - 1
P(2) = 13
Obs.: 1º) O valor numérico de P(x), para x = 2, é a
imagem do 2 pela função polinomial P(x).
2 13
2º) Se P(a) = 0, o número a é denominado raiz ou zero, de
P(x).
No polinômio P(x) = x2 - 5x + 6, temos P(2) = 0; logo 2 é a
raiz ou zero do polinômio.
1º Exemplo: Dado o polinômio
P(x) = 2x2 - x2 + x + 3, calcular: 
P(2) - 2P (-1)
P1/2
P(2) = 8 - 4 + 2 + 3 = 9
P(-1) = 2 - 1 - 1 + 3 = 3
P(1/2) = 1/2 - 1/4 + 1/2 + 3 = 15/4
Logo: P(2) - 2P (-1)
P1/2
=
9 - 6
15/4
=
4
5
EXERCÍCIOS
1) Dados os polinômios A (x) = x3 - x2 + x + 1 e B (x) = -3x2
- x + 2, calcule: a) A(1/2) - B(-1) b) A(0) + B(1)
2) Determine m R , para que o polinômio: P ( x ) = (m -
4 x3) + (m2 - 16 x2) + (m + 4 x + 4) seja do grau 2.
3) Determine K, de modo que x = 1/2 seja raiz de: P ( x )
Se num polinômio existem termos semelhantes podemos
substituí-los por um único termo.
Realmente, a propriedade distributiva da multiplicação per-
mite escrever:
5x + 7x = (5 + 7)x = 12x
5a2b + a2b - 8a2b = (5 + 1 - 8)a2b = 2a2b.
A esta aplicação dá-se o nome de redução de termos
semelhantes.
No polinômio 3x + 5y + 4x, 3x e 4x são termos semelhantes
e podemos reduzi-los. O polinômio pode ser escrito com dois
termos: 3x + 5y + 4x = 7x + 5y.
Você deve ser capaz de escrever logo o polinômio com os
termos semelhantes reduzidos:
5ab - 3x + 2ab + 7ab + 4x
POLINÔMIO IDENTICAMENTE NULO
Denomina-se "polinômio identicamente nulo" o polinômio
que tem todos os seus coeficientes nulos.
Indicamos por P ( x ) = 0
(Lê-se: P ( x ) é idêntico a zero).
Seja o polinômio:
P ( x ) = a
n
xn + a
n - 1
xn - 1 + a
n - 2
xn - 2 + ... + a
2
x2 + a1
x + a
0
Se P ( x ) = 0 
a = 0n-1
a = 0
 .
 .
 .
n-2
a = 03
a = 02
a = 01
a = 00
Ex.: Calcular a, b e c, para as quais o polinômio: P ( x ) = ( a
+ b x2) + ( a - b - 4 x ) + ( b + 2c - 6 ) seja identicamente nulo:
Resolução: De (I) e (II) vem: a + b = 0 e a - b = 4
Se P ( x ) = 0
a + b = 0 ( I )
a - b - 4 = 0 ( II )
ab + 2c - 6 = 0 ( III )
Resolvendo o sistema, temos: a = 2 e b = -2
Substituindo b = -2 na equação
(III) - 2 + 2c - 6 = 0\C = 4
EXERCÍCIO
1) Calcule os valores de m, n e t para os quais o
polinômio P(x) = (2m - 1)x2 - (5n - 2)x2 + (3 - 2t) seja
identicamente nulo.
GABARITO: m = 1/2 n = 2/5 t = 3/2
POLINÔMIOS IGUAIS:
Dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos quan-
do assumem valores numéricos iguais para qualquer valor
comum atribuído à variável x.
Note que os polinômios A(x) = 2x2 + 1 e B(x) = x - 2, são
diferentes, pois A(1) = 3 e B(1) = -1, isto é, seus valores
numéricos, para x = 1, são diferentes.
A condição necessária e suficiente para que dois
polinômios A(x) e B(x) sejam iguais ou idênticos é que os
coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.
1º Exemplo: Determinar a, b e c para que se verifique
a identidade:
2x2 - 5x + 4 (a - 3)x2 + (a - b)x + (c - 2)
Resolução: Os coeficientes dos termos corresponden-
tes devem ser iguais, logo:
a - 3 = 2 \ a = 5
a - b = -5 \ 5 - b = -5 \ b = 10
c - 2 = 4 \ c = 6
Resposta: a = 5; b = 10; c = 6
2º Exemplo: Calcular a, b e c, sabendo-se que: x2 - 2x
+ 1 a(x2 + x + 1) + (bx + c) (x + 1)
Resolução: Eliminando os parênteses e somando os ter-
mos semelhantes no 2º termo, temos:
x2 - 2x + 1 ax2 + ax + a + bx2 + bx + cx + c
1x2 - 2x + 1 (a + b)x2 + (a + b+ c)x + (a + c)
Igualando os coeficientes correspondentes, vem:
a + b = 1 ( I )
a + b + c = -2 ( II )
a + c = 1 ( III )
Substituindo (I) em (II), 1 + c = -2 \c = -3
Substituindo c = -3 em (III) a - 3 = 1 \ a = 4
Resposta: a = 4; b = -3; c = -3
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS
CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
10
PRODUTOS NOTÁVEIS
Em álgebra é prudente identificar certos grupos de multiplica-
ção cujo produto obedece a determinada lei de formação dos
termos. São chamados de produtos notáveis.
Ex.: Sejam a e b cujo produto queremos conhecer como:
(a + b) (a + b) = (a + b)2  o quadrado do 1º termo, mais o
duplo produto do1º pelo 2º, mais o quadrado do 2º termo.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Ex.: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc
= (a + b + c)2  o quadrado do 1º termo, mais o quadra-
do do 2º termo mais o quadrado do 3º termo, mais o duplo
produto do 1º pelo 2º, mais o duplo produto do 1º pelo 3º
mais o duplo produto do 2º pelo 3º.
(a + b) a + 2ab + b
(a - b) a - 2ab + b
(a + b) a + 3a b + 3ab + b
(a - b) a - 3a b + 3ab - b
(a + b + c) a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc
2 2 2
2 2
3
2
3 2 2 3
3 3 2 2 3
2 2 2 2
Na figura: 
M
a
a
b
b
N
1ª = a2 2ª
= ab
4ª
= b23ª = ab
A área de todo o quadrado será o produto do seu lado ou
seja M. N.
Mas: M = a + b e N = a + b
M.N = (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
Considerando os quadrados e os retângulos:
Quadrado maior é a2 e o quadrado menor é b2 e os dois retân-
gulos são ab e ab somando todas as áreas.
Temos: 1ª área + 2ª área + 3ª área + 4ª área ou:
a2 + ab + ab + b2  ordenando
Colocando os quadrados nos extremos
a2 + ab + ab + b2 ou a2 + 2ab + b2 ou
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
FATORAÇÃO / TRINÔMIO DO 2º GRAU
Em aritmética é decompor um número em todos os seus
fatores até o quociente ficar um. Em Álgebra é decompor um
polinômio qualquer num produto de fatores.
Em Álgebra consideramos os seguintes casos:
1º Caso:É aquele no qual todos os termos de uma ex-
pressão têm um fator comum. Ex.:
a m + b m + c m = m (a + b + c) m é o fator comum
2x + 4y + 6z = 2 (x + 2y + 3z) 2 é o fator comum
2º Caso: Nos tetranômios ou polinômios de quatro termos,
há casos em que o fator comum vem oculto e, nesses casos,
os termos decompostos aos pares, pela regra do caso I, po-
dem ser arranjados de modo a fazer aparecer o fator comum.
Seja polinômio: bm + mn + ab + an
Há um fator comum que se acha oculto. Para fazê-lo
aparecer, separemos em pares os dois primeiros e os dois
últimos termos: bm + mn + ab + an = (bm + mn) + (ab + an)
Mas pelo 1º caso:
bm + mn = m (b + n) e ab + an = a (b + n)
Dando: bm + mn + ab + an = m (b + n) + a (b + n)
Observa-se que os dois primeiros e os dois últimos ter-
mos têm um binômio fator comum (b + n).
Dividindo toda a expressão por esse binômio, temos: (bm
+ mn + ab + an) : (b + n) = a + m
Onde: bm + mn + ab + an = (b + n) (a + m)
Calcular:
ab + ax - bx - x2 = (ab + ax) - (bx + x2) = a(b + x) - x(b + x)
ab + ax - bx - x2 = (b + x) (a - x)
3º Caso: Quando as expressões a decompor são trinômios
quadrados perfeitos, isto é, trinômios nos quais os primeiros e
o último termos são quadrados perfeitos de duas quantidades
e o segundo termo, o dobro do produto dessas quantidades.
Seja o trinômio: a2 + 2ab + b2
Observamos que os termos a2 e b2 são respectivamente,
os quadrados a e b e o segundo termo 2ab, o dobro do
produto de a por b.
Recordando a regra para a formação do quadrado da
soma de dois termos, temos: o quadrado do primeiro termo,
mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo termo, mais
o quadrado do segundo termo.
Seja a e b essas quantidades, temos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Sendo m e n essas quantidades, temos: (m + n +)2 = m2 +
2mn + n2
Mas m é raiz de m2, primeiro termo do trinômio, n é a raiz
de n2, último termo do trinômio e o sinal + que une m a n é o
sinal do segundo termo + 2mn.
Daí concluímos que: Para se decompor um trinômio qua-
drado perfeito extraem-se as raízes quadradas do primeiro e
último termo desse trinômio, ligam-se os resultados pelo sinal do
segundo termo e o binômio obtido multiplica-se por si mesmo.
Exs.: 1) Decompor x2 + 18x + 81
Os termos x2 e 81 são respectivamente os quadrados de x e
9 e 18x, o dobro do produto de 9 por x, isto é: 18x = 2 . 9 . x = 18x
Extraindo-se as raízes de x2 e 36, ligando-se os resulta-
dos pelo sinal do segundo termo (+ 18x), multiplicando por si
mesmo o fator formado, temos:
x2 + 18x + 81 = (x + 9) (x + 9) = (x + 9)2
x2 + 18x + 81 = (x + 9)2
2) Decompor x2 + 34x + 289
As raízes de x2 e 289 são respectivamente, x e 17, logo:
x2 + 34x + 289 = (x + 17) (x + 17) = (x + 17)2
x2 + 34x + 289 = (x + 17)2
4º Caso: Quando as expressões a decompor são
trinômios nos quais o primeiro e o último termos são quadra-
dos perfeitos de duas quantidades e o segundo termo é
negativo e é o dobro do produto dessas quantidades.
Decompor: a2 - 2ab + b2
Esse caso á análogo ao antecedente, a expressão dada é o
quadrado da diferença de dois termos a e b, p trinômio é pois, um
quadrado perfeito e decompõem-se em fatores do seguinte modo:
Extraem-se a raiz quadrada do primeiro e do último termo
do trinômio, ligando-se os resultados pelo sinal do segundo
termo e o binômio formado multiplica-se por si mesmo.
Ex.: 1) Decompor em fatores: x2 - 18x + 81
x2 e 81 têm raízes, respectivamente x e 9, logo:
x2 - 18x + 81 = (x - 9) (x - 9)2
x2 - 18x + 81 = (x - 9)2
2) Fatorar: a2 - 34 + 289
a e 17 são, respectivamente, as raízes de a2 e 289, logo:
a2 - 34 + 289 = (a - 17) = (a - 17)2
a2 - 34 + 289 = (a - 17)2
5º Caso: É aquele no qual a expressão a decompor é a
diferença entre os dois quadrados perfeitos.
Seja a expressão a2 - b2
Pela potenciação sabemos que a soma de duas quanti-
dades multiplicada pela sua diferença tem por produto a dife-
rença entre os quadrados dessas quantidades, isto é:
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Mas a é a raiz quadrada de a2, b, a raiz quadrada de b2, o
primeiro fator (a + b) é a soma dessas raízes, o segundo fator
(a - b), a diferença das mesmas raízes e logo concluímos que:
Quando a expressão a fatorar for a diferença entre dois
quadrados perfeitos extraem-se as raízes quadradas do 1º
e último termos da expressão: a soma das raízes será o 1ºfator, a sua diferença o 2º fator.
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
11
Ex.: 1) Fatorar: x2 - 4
x e 2 são as respectivas raízes de x2 e 4. A soma dessas
raízes (x + 2) será o 1º fator; a sua diferença x - 2 será o
outro fator e x2 - 4 = (x + 2) (x - 2)
x2 - 4 = (x + 2) (x - 2)
2) Fatorar: m4 - 1
m4 - 1 = (m2 + 1) (m2 - 1), porque m2 e 1 são raízes
respectivas de m4 e 1 (m2 + 1) é a soma dessas raízes e (m2
- 1) é a diferença m4 - 1 = (m2 + 1) (m2 - 1)
6º Caso: Quando a expressão a decompor é um trinômio
resultante do produto de dois binômios.
Seja o produto: (x + 5) (x + 3)
Efetuando vem: (x + 5) (x + 3)
MULTIPLICANDO
= x2 + 3x + 5x + 15 = x2 + 8x + 15
REDUZINDO OS TERMOS SEMELHANTES
O produto x2 + 8x + 15 resulta da multiplicação de dois
binômios cujos primeiros termos são iguais e positivos e os
segundos desiguais e positivos.
Por demonstração vimos:
1º) Que o termo x2 é positivo e é resultado da multiplicação dos
primeiros termos dos binômios e como esses termos são iguais o
1º termo x2 do produto é o quadrado do termo x dos fatores.
2º) Que o 2º termo 8x é positivo e tem por coeficiente a
soma dos segundos termos dos binômios, efetuando o 1º
termo comum dos binômios, x.
3º) Que o terceiro termo 15 é positivo e é produto dos
segundos termos dos binômios.
4º) Que os binômios têm entre seus termos componentes
o sinal + e é esse o sinal que afeta o 2º termo 8x do trinômio.
Daí concluímos que o trinômio x2 + 8x + 15 é o produto de
dois binômios de sinais iguais, +, que têm comuns os principais
termos, X, e para segundos termos dois números cuja soma
seja 8 e o produto seja 15.
Esses números são 5 e 3 porque:
5 + 3 = 8 e 5 . 3 = 15
x2 + 8x + 15 = (x + 3) (x + 5)
Logo, quando os 1º, 2º e 3º termos de um trinômio são
positivos, procurando-se mentalmente dois números cuja soma
seja o coeficiente do 2º termo e o produto, o 3º termo, liga-se
depois, pelo sinal +, a raiz do 1º fator; liga-se, ainda pelo sinal
+, a mesma raiz ao outro número achado e teremos o 2º fator.
Ex.: 1) Fatorar:x2 + 11x + 24 = (x + 8) (x + 3)
O problema consiste em determinar-se dois números:
Cuja soma seja 11 e cujo produto seja 24
Estes números são 8 e 3, porque:8 + 3 = 11 e 8 . 3 = 24
A raiz de x2, primeiro termo do trinômio, é x, o sinal de 11x,
segundo termo do trinômio é +, logo: x2 + 11x + 2x = (x + 8) (x + 3)
2) Fatorar: a2 + 5ab + 6b2 - Basta determinar dois números:
Cuja soma seja 5b e cujo produto seja 6b2.
Esses números são 3b e 2b, porque 3b + 2b = 5b e 3b . 2b
= 6b. A raiz de a2 é a, o sinal de 5ab é +, logo:
a2 + 5ab + 62 = (a + 2b) (a + 3b)
Seja o produto: (x - 3) (x - 5)
Efetuando vem: (x - 3) (x - 5)
= x2 - 5x - 3x + 15 (Multiplicando)
(x - 3) (x - 5) = x2 - 8x + 15
Reduzindo os termos semelhantes
Observemos que o 1º termo é positivo, o 2º é negativo e tem
por coeficiente a soma dos segundos termos dos binômios e o 3º
termo é positivo e é o produto dos segundos termos dos binômios.
x2 é o produto de x, isto é, o quadrado de x, -8x e a soma
de -5 e -3 afetando, como coeficiente a letra de x e + 15, o
produto de -5 por -3. Daí concluímos que, como no caso 6º o
trinômio x2 - 8x + 15 é produto de dois binômios de sinais
iguais, nesse caso -, tendo por primeiros termos a letra co-
mum x, raiz de x2, 1º termo do trinômio e por segundos ter-
mos dois números cuja soma seja -8 e o produto + 15.
Esses números são -3 e -5 logo: x2 - 8x + 15 = (x - 3) (x - 5)
Ex.: 1) Fatorar x2 - 9x + 20
Basta determinar dois números: cuja soma seja -9 e cujo
produto seja +20. Esses números são -4 e -5 porque: -4 + (-
5) = -9 e (-4) - (-5) = + 20. A raiz de x2 é x, o sinal de 9x é -,
logo: x2 - 9x + 20 = (x - 4) (x - 5)
2) Fatorar: x2 - 7x + 10
Basta determinar dois números: cuja soma seja -7 e cujo
produto seja +10. Esses números são -2 e -5 porque -2 + (-
5) = -7 e (-2) . (-5) = +10. A raiz de x2 é x, o sinal de 7x é -,
logo: x2 - 7x + 10 = (x - 2) (x - 5)
8º Caso: Quando a expressão a decompor é um trinômio,
no qual o último termo é negativo e o primeiro e o segundo
positivo. Seja o seguinte produto: (x + 15) (x - 8)
Assim: (x + 15) (x - 8) (Multiplicando)
x2 - 8x + 15x - 120
Reduzindo os termos semelhantes
Observe que:
1º) O primeiro termo é positivo, tem 1 por coeficiente e é
produto dos primeiros termos dos binômios.
2º) O segundo termo é positivo e tem por coeficiente a
diferença entre os segundos termos dos binômios, efetuan-
do o termo comum dos binômios.
3º) O terceiro termo é negativo e é produto dos segun-
dos termos dos binômios.
Mas: (x + 15) (x - 8) = x2 + 7x - 120 ou x2 + 7x - 120 = (x
+ 15) (x - 8)
Logo: Quando num trinômio o último termo é negativo e o
segundo e o primeiro positivo tendo o primeiro por coeficiente a
unidade, se extrai a raiz quadrada do primeiro termo, procuram-
se depois dois números cuja diferença seja o coeficiente do 2º
termo e o produto e o terceiro termo e formam-se os dois fatores:
O primeiro é formado pela raiz mais o maior dos números acha-
dos e o segundo pela raiz menos o menor dos números achados.
Ex.: Fatorar a2 + 13a - 300. Basta determinarem-se dois
números: cuja diferença seja +13 e cujo produto seja -300.
Esses números são +25 e -12 porque (+25) + (-12) = +13
e (+25) . (-12) = -300. Logo: a2 + 13a - 300 = (a + 25) (a - 12)
9º Caso: Quando a expressão a decompor é um trinômio,
no qual o 2º termo e o último são negativos e o 1º é positivo,
tendo por coeficiente a unidade. Seja o seguinte produto: (x
- 11) (x + 7) = (Multiplicando)
x2 + 7x - 11x - 77
Reduzindo os termos semelhantes
x2 - 4x - 77
Observe que:
1º) O primeiro termo é positivo, tem por coeficiente a
unidade e é produto dos primeiros termos dos binômios.
2º) O segundo termo é negativo e tem por coeficiente a
diferença dos segundos termos dois binômios afetando o
termo comum dos mesmos.
3º) O terceiro termo é negativo e é produto dos seguidos
termos dos binômios.
Mas: (x - 11) (x + 7) = x2 - 4x -77 ou x2 - 4x -77 = (x
- 11) (x + 7)
Logo: Quando num trinômio o segundo e o terceiro ter-
mos são negativos o primeiro positivo e tem por coeficiente a
unidade extrai-se a raiz do primeiro termo, procuram-se de-
pois dois números cuja diferença seja o coeficiente do se-
gundo termo e formam-se os dois fatores: o primeiro é for-
mado pela raiz menos o maior dos números achados e o
segundo pela raiz mais o menor dos números.
Ex.: Decompor x2 - 15x - 100. Basta achar dois números:
cuja soma seja -15 e cujo produto seja -100.
Esses números são -20 e +5 porque: (-20) + (+5) = -15 e
(-20) . (+5) = -100. Logo: x2 - 15x - 100 = (x - 20) (x + 5)
10º Caso: Quando a expressão a decompor é a soma ou
diferença de dois cubos perfeitos.
Seja as seguintes divisões: a + b
3 3
a + b
e a - b
3 3
a - b
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
12
Quando o expoente máximo da incógnita é igual a 1, a equa-
ção é do primeiro grau. O valor da incógnita que satisfaz a
equação é denominado raiz da equação. Uma equação do pri-
meiro grau admite somente uma raiz, ou seja, seu conjunto
verdade é unitário.
Ex.: x + 3 = 9
1º membro 2º membro
O valor de x (incógnita) que satisfaz a equação é 6 por-
que 6 + 3 = 9. O número 6 constitui a solução da equação e
seu conjunto verdade será então V= {6}
SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU:
Resolver uma equação do 1º grau é determinar a raiz da
mesma. Para resolver uma equação do 1º grau, deve-se
colocar todos os termos desconhecidos no primeiro membro
e os termos conhecidos no segundo membro ou vice-versa-
deve ser trocada ou invertida a operação.
Ex.: 1) 10x - 6 = 6x + 22
 Isolando os termos desconhecidos no primeiro membro
e os termos conhecidos no segundo membro, vem:
10x - 6x = 22 + 6
Observa-se que o termo 6x que estava no segundo
membro, e o termo -6 que estava no primeiro membro, tive-
ram suas operações invertidas.
Assim teremos: 4x = 28
O problema agora se reduz a encontrar o valor de x que
multiplicado por 4 é igual a28, o que equivale a dividir 28 por
4 encontrando-seassim o valor de x.
Efetuando ambos temos:
a + b3 3
- a - a b3 2
- a b + ab2 3
+ a b + ab2 2
 ab + b2 3
 - ab - b2 3
a + b
a - ab + b2 2
a - b3 3
- a + a b3 2
a b - ab2 3
- a b + ab2 2
 ab - b2 3
 - ab + b2 3
a - b
a + ab + b2 2
Sendo (a3 + b3) divisível por (a + b) e (a3 - b3) divisível por
(a - b), poderemos, aplicando o princípio fundamental da divi-
são escrever: (a3 = b3) : (a + b) = a2 - ab + b2 ou a3 + b3 = (a +
b) (a2 - ab + b2) e (a3 - b3) (a - b) = a2 + ab + b2 e a3 - b3 = (a -
b) (a2 + ab + b2)
Observamos agora quocientes e os divisores achados,
isto é, os divisores (a + b) e (a - b) e os quocientes (a2 - ab +
b2) e (a2 + ab + b2). Veremos que os binômios divisores a e b
são respectivamente as raízes cúbicas de a3 e b3 e que nos
quocientes, a2 é o quadrado da raiz cúbica do primeiro termo
a3, isto é: a = ( a )2
3 3 2
, ab. é o produto das raízes cúbicas
de a3 e b3, finalmente b2 é o quadrado da raiz cúbica do
segundo termo b3. Essas observações podem ser reunidas
na seguinte regra:
1º) Para fatorar a diferença de dois cubos perfeitos, escreve-
se para o primeiro fator a soma das raízes cúbicas das duas
quantidades, e para o segundo fator o quadrado do primeiro termo
do primeiro fator, menos (-) o produto dos dois termos do primeiro
fator, mais (+) o quadrado do último termo do primeiro fator.
2º) Para fatorar a diferença de dois cubos perfeitos, escre-
ve-se para o primeiro fator a diferença das raízes cúbicas das
duas quantidades e para o 2º fator, o quadrado do primeiro termo
do primeiro fator, mais (+) o produto dos dois termos do primeiro
fator e mais o quadrado do último termo do primeiro fator.
Exs.: 1) x3 - 8 = (x - 2) (x2 + 2x + 4)
 
3
x = x
3
8 = 2
(x - 2)
x - 83
-x - 2x3 2
-2x - 82
+2x - 4x2
- 4x - 8
+4x + 8
0
 
x - 2
x + 2x + 42
2) 
a + b = (a + b )6 6 2 2
a = a6 2 b = b6 2
(a + b ) 2 2
 
a + b6 6
-a - a b6 4 2
-a b + b 4 2 6
+a b - a b _ 4 2 2 4
- a b + b 2 4 6
+a b - b _ 2 4 6
0
 a + b
2 2
a - a b + b 4 2 2 4
EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
INTRODUÇÃO: equação é uma igualdade entre 2 expres-
sões aritméticas onde existe um fator (termo) desconhecido.
Os termos que estão à esquerda do sinal de igualdade cons-
tituem o primeiro membro e os que estão à direita do sinal de
igualdade constituem o segundo membro da equação. O ter-
mo desconhecido é denominado incógnita.
SISTEMAS DO PRIMEIRO GRAU
Definição: São sistemas cujas equações possuem in-
cógnitas elevadas a expoente 1 e em nenhuma equação
ocorre o produto de duas incógnitas.
Resolução de um Sistema do Primeiro Grau: Re-
solver um sistema do primeiro grau consiste em determinar
os valores das incógnitas que satisfaçam simultaneamente
as duas equações do sistema. Um sistema do primeiro grau
pode ser resolvido por um dos três métodos a seguir:
a) Método da Substituição: consiste em colocar uma
das incógnitas em função da outra incógnita em uma das equa-
ções e substituir na outra. Este método conduz a uma equa-
ção do primeiro grau com uma incógnita. Encontrando o valor
de uma incógnita, o valor da outra é facilmente encontrado.
Ex.: Resolver o sistema: 2x + 3y = 7
5x - 4y = 6
Solução: Colocando x em função de y na primeira equa-
ção: 2x + 3 y = 7 x =
7 - 3y
2
Substituindo a expressão da incógnita x encontrada aci-
ma na segunda equação, vem:
5x - 4y = 6 5 - 4y = 6 - 4y = 6  
(7 - 3y)
2
35 - 15y
2
35 - 15y - 8y = 12
-15y - 8y = 12 - 35
-23y = -23 (-1)
23y = 23 \ y = 1
Sendo
x = x = = x = 2  
7 - 3y
2
7 - 3 . 1
2
7 - 3 
3
A solução do sistema é x = 2 e y = 1.
Obs.: O sistema poderá ser resolvido colocando y em
função de x e procedendo como no exemplo dado.
Então: 4x = 28  x =  7 é a raiz da equação 
28
4
2) 30x + 40 = 10x + 20
30x - 10x = 20 -40
20x = -20
x =  x = -1 
-20
20
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
13
b) Método da Adição: consiste em eliminar uma das in-
cógnitas, resultando uma equação do primeiro grau a uma in-
cógnita. Para eliminar uma incógnita deve-se:
1º) Tornar simétricos os coeficientes da incógnita que se
quer eliminar;
2º) Somar membro a membro as equações resultantes
obtendo-se uma equação do primeiro grau a uma incógnita;
3º) Resolver a equação obtida no item anterior;
4º) Obter o valor da incógnita eliminada por meio de uma
das equações do sistema.
Ex.: Resolver o sistema: 2x + 3y = 7
5x - 4y = 6
1º) Eliminando a incógnita y: Sendo os coeficientes de y
de sinais trocados, basta multiplicar a 1ª equação por 4 e a
segunda por 3.
Então:
2x + 3y = 7 . (4)
5x - 4y = 6 . (3)
 8x + 12y = 28
15x - 12y = 18
Somando membro a membro as equações resultantes:
8x + 12y + 15x - 12y = 28 + 18 23x = 46 x = = 2 
46
23
X = 2
Escolhendo uma das equações originais do sistema dado,
encontra-se o valor de y:
1ª equação:
2x + 3y = 7\2 . 2 + 3y = 7\4 + 3y = 7 \3y = 3 \y = 1
Resposta: x = 2 e y = 1
c) Método da Comparação: consiste em colocar uma
incógnita em função da outra nas duas equações e igualar
as expressões obtidas, resultando uma equação do 1º grau
a uma incógnita.
Ex.: Resolver o sistema: 
2x + 3y = 7
5x - 4y = 6
Colocando x em função de y nas duas equações:
2x + 3y = 7 x = (III)
7 - 3y
2
5x + 4y = 6 x = (IV)
6 + 4y
5
Igualando as expressões obtidas:
7 - 3y
2
=
6 + 4y
5
 ; m.m.c. = (2; 5) = 10
5 (7 - 3y) = 2 (6 + 4y)\35 - 15y = 12 + 8y
- 15y - 8y = 12 - 35\-23y = -23 (-1)\23y = 23\y = 1
Pela equação III:
7 - 3y
2
x = x = x =    x = 2
7 - 3 . 1
2
4
2
Resposta: x = 2 e y = 1
Se o sistema não for dado nas formas anteriores,
o mesmo pode ser reduzido a elas por meio de ope-
rações algébricas:
5x - y
2
= 
2
9
7 (5x + 2y) = 9
 
5x + y
2
= = m.m.c. (2; 9) = 18 
2
9
 
9 (5x + y) = 4 45 + 9y = 4 (1ª equação)
7 (5x + 2y) = 9 35x + 14y = 9 (2ª equação)
O novo sistema será: 
45x + 9y = 4
35x + 14y = 9
O sistema acima será resolvido por um dos três
métodos estudados.
INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
Ex.: Dê o conjunto solução da inequação 2x - 4 > 0.
Solução:
2x - 4 > 0 \ 2x > 4 \ x > 2 \ S = {x  R / x > 2}
EXERCÍCIO
Dê o conjunto-solução de cada uma das inequações abaixo:
a) x - 3  0 c) x + 4  2x - 1
b) -3x + 9  0 d) 3x + 1 < 2x + 20
GABARITO
a) S = {x  R / x  3} c) {x  R / x  5}
b) S = {x  R / x  3} d) {x  R / x < 19}
EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
INTRODUÇÃO
Equação do segundo grau é uma igualdade da forma:
ax2 + bx + c = 0 (forma geral)
Onde a, b e c são números reais quaisquer sendo que a
deve ser diferente de zero.
A equação será incompleta se b ou c for nulo. Se todos os
coeficientes a, b e c forem diferentes de zero, a equação será
completa. Toda equação do 2º grau tem 2 raízes, no máximo.
Ex.: 4x2 - 5x + 3 = 0; x2 - 4 = 0; 2x2 + 8x = 0
SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES INCOMPLETAS
1º) Equações do tipo ax2 + bx = 0
Colocando x em evidência: x(ax +b) = 0
Sendo nulo o produto, pelo menos um dos fatores deve
ser nulo, isto é, x = 0 e ax + b = 0.
Então as raízes da equação serão: x = 0 e x = 
-b
a
Ex.: 2x2 + 8x = 0 \ x(2x + 8) = 0 \ x = 0; 2x + 8 = 0
2x = 8 x = e x = -4 
-8
2
Resposta: x = 0 ou x = -4
2º) Equações do tipo ax2 + c = 0
ax2 = -c \ x = x = 2
-c
a
-c
a
+-
Observações:
a) Se o valor de 
-c
a
 for positivo, a equação terá duas
raízes reais e simétricas, x = e x = 
-c
a
-c
a
-
b) Se o valor de 
-c
a
 for negativo, a equação não terá
raízes reais. Ex.: 1) 3x2 - 243 = 0
3x2 = 243 \ x2 = 
243
3
 \ x2 = 81
x = 81 x = 9, ou seja, x = 9 ou x = -9 +- +-
Resposta: x = 9 ou x = -9
2) x2 + 9 = 0 \ x2 = -9 (não existem raízes reais)
RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES COMPLETAS
ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são diferentes de zero.
Asraízes serão obtidas pela fórmula de Báskara:
x = 
-b b - 4ac
2a
+-
2
O termo b2 - 4ac é denominado discriminante sendo re-
presentado pela letra grega .
Então a fórmula acima terá a seguinte forma:
x = 
-b 
2a
+-
Sendo positivo, a equação terá duas raízes reais e
distintas, isto é: x = x =e
-b + 
2a1 2
-b - 
2a
Se for nulo, a equação terá duas raízes reais e iguais,
isto é, x
1
 = x
2
 = -b/2a;
Se for negativo, a equação não terá raízes reais.
Ex.: 6x2 - 9x - 15 = 0 \ a = 6; b = 9; c = -15
 = b2 - 4ac = (-9)2 - 4 . 6 (-15) = 81 + 360 = 441
 > 0, logo a equação terá duas raízes reais e distintas.
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
14
x = = = = = 
-b - 
2a1
- (-9) + 441 9 + 21 30 5 
2 . 6 12 12 2
x = = = = = -1 
-b - 
2a2
- (-9) - 441 9 - 21 -12 
2 . 6 12 12
Resposta: x
1
 = 
2
5
 ou x
2
 = -1
RELAÇÃO ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES DE
UMA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
Sendo x
1
 e x
2
 as raízes de uma equação do segundo grau
da fórmula de Báskara, sabe-se que:
x = (I) x = (II)e
-b + 
2a1 2
-b - 
2a
1º) Somando membro a membro as expressões acima (I) e (II):
x + x = + = = 
= = 
1 2
-b + 
2a
-b - 
2a
-b + - b - 
-b -b -2b -b 
2a
2a 2a a ,
então: x + x = 
1 2 a
-b
Logo se conclui que a soma das raízes de uma equação
do segundo grau é igual a 
a
-b
2º) Multiplicando membro a membro as expressões (I) e (II):
x + x = = 
1 2 2a
-b + 
2a
-b - 
4a
(-b + ) (-b - ) 
2
4a
(-b) - ( ) b -
2
2 2
= 
2
4a 2
; sendo = b2 - 4ac
x - x = = = = 
1 2 4a
b - (b - 4ac) 
2 2
2 4a
b - b + 4ac 2
2
2
4ac
4a 2
c
a
x - x = 
1 2
c
a
Logo se conclui que o produto das raízes de uma equa-
ção do 2º grau é igual a 
c
a
.
As relações acima permitem calcular a soma e o produto
das raízes sem conhecê-las.
FORMAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
CONHECENDO-SE SUAS RAÍZES
Seja a equação: ax2 + bx + c = 0 (I)
Dividindo-se a equação por a vem:
x + x + = 0 (II) 2
b
a
c
a
Seja S a soma e P o produto das raízes.
Da relação entre os coeficientes e as raízes, sabe-se que:
S = e P = 
b
a
c
a
Substituindo-se S e P na equação II, vem:
x2 - Sx + P = 0 será a equação procurada.
Ex.:
Formar a equação do 2º grau cujas raízes são 1 e 5:
Solução: x
1
 = 1; x
2
 = 5
S = x
1 
+ x
2 
= 1 + 5 = 6;
P = x
1 
. x
2 
=1 . 5 = 5
Como x2 - Sx + P = 0, a equação será: x2 - 6x + 5 = 0
Formar a equação do 2º grau cujas raízes são:
5 + 12 
2
e
5 - 12 
2
Solução: 
5 + 12 
2
5 - 12 
2
x = ;1 x =2
S - x + x - + - - - 5 
1 2
5 + 12 
2
5 - 12 
2
5 + 12 + 5 - 12 
2 2
10
P = x - x = = 
= =  P = 
1 2
5 + 12 
2
5 - 12 
2
(5 + 12) (5 - 12) 
4
25 - 12
4
13
4
13
4
A equação será:
x - 5x + = 0 4x - 20x + 13 = 0ou 2
13
4
2
SISTEMAS DO SEGUNDO GRAU
Introdução:
Nos sistemas do segundo grau serão resolvidos pelo mé-
todo da substituição como será visto nos exemplos a seguir:
x + y = 6
xy = 8
Solução: colocando x em função de y na 1ª equação, vem: 
x + y = 6 \ x = 6 - y
Substituindo o valor de x na 2ª equação, vem:
xy = 8 \ (6 - y)y = 8 \ 6y - y2 = 8 \ - y2 + 6y - 8 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau em y:
a = -1; b = 6; c = -8
= b - 4ac = 6 - 4(-1)(-8) = 36 - 32 = 42 2
1
y = = = = 2 y = 2 
2a
(-b + ) 
2(-1)
 -6 + 4 
-2
-6 + 2 
1
INEQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
1º Exemplo: Resolver a inequação x2 - 3x + 2 > 0.
a = 1 > 0
x2 - 3x + 2 = 0
D = 9 - 8 = 1 > 0
x =
2
3 + 1 x’ = 2
x” = 1
Como devemos ter f(x) > 0:
S = {x R / x < 1 ou x > 2} 
Esquema:
+
1
- + x
1 < x < 2x < 1 x >2
2
2º Exemplo:
Resolver a inequação -4x2 + 4x - 1 < 0
a = -4 < 0
-4x2 + 4x - 1 = 0
4x2 - 4x + 1 = 0
 = 16 - 16 = 0
x = = = 
2a
-b
8
4
2
1
Como devemos ter f(x) < 2:
S = {x R / x ½} 
Esquema:
- - x
½
x ½ x ½
3º Exemplo: Resolver a inequação x2 - 5x + 8 < 0
a = 1 > 0
x2 - 5x + 8 = 0
 = 25 - 32 = -7 < 0
Como devemos ter f(x) < 0: S = 
Esquema:
x
+
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
15
EQUAÇÃO BIQUADRADA
É a equação incompleta do 4º grau, contendo apenas as
potências pares da incógnita. De acordo com a definição, a
forma geral da equação biquadrada é:
ax4 + bx2 + c = 0 (1)
Onde os coeficientes a, b e c representam números reais
quaisquer com 0 a  . Considera-se sempre positivo, o que é
possível, porque, quando o primeiro termo for negativo, basta
multiplicar a equação por -1.
A resolução da equação ax4 + bx2 + c = 0.
A equação biquadrada pode ser resolvida por intermédio
de uma equação do 2º grau, bastando para tanto fazer:
x2 = y onde x4 = y2 (2)
Por substituição as igualdades (2) na equação (1), te-
mos: ay2 + by + c = 0 que chamamos EQUAÇÃO RESOLUTIVA
DA BIQUADRADA.
Admitamos que a resolutiva tenha pelo menos uma raiz real, as
raízes da biquadrada são as raízes positivas da resolutiva.
Ex.: Resolver a equação: x4 + 5x2 + 4 = 0 (1)
Efetuando: x2 = y \ x4 = y2 (2)
Substituindo em (1) temos: y2 - 5y + 4 = 0
Resolvendo a equação resolutiva:
2
9 5
 
2
16 - 25 5
 
1 . 2
4 . 1 . 4 - (-5) 5
 
 . 2
4a - b b-
 
222








yy
y
a
y
4 
2
8
 
2
3 5
 ' 

y \ 
2
3 5
 

y \ 1 
2
2
 
2
3 - 5
 " y
y’= 4 / y”= 1
Substituindo estes valores em (2), vem:
x2 = y’ x2 = y”
x2 = 4 x2 = 1
1- 1- ''' x' 2- 4- x"
1 1 ''x' 2 4 'x


S = {(+2, -2) (+1, -1)}
Resolva a equação: 4x4 - 5m2x2 + m4 = 0
Resolução: 4x4 - 5m2x2 + m4 = 0 (1)
Efetuando x2 = y \ x4 = y2 (2)
Substituindo em (1) temos:
4y2 - 5m2y + m4 = 0
Aplicando a fórmula vem:
8
9m 5m
 
8
16m - 25m 5m
 
4 . 2
m 4 . 4 - )5m (- 5m
 
a . 2
4ac - b b-
 
42442
42222








yy
yy
2
222
m 
8
8m
 
8
3m 5m
 ' 

y
2
222
m 
8
8m
 
8
3m 5m
 ' 

y
4
m
 
8
2m
 
8
3m - 5m
 "
2222
y
y’ = m2 /
4
m
 "y
2

Substituindo estes valores em (2) temos:
2
m-
 
4
m
 ''' x' 
2
m
 
4
m
 '''
4
m
 
4
m
 x y" x
m m " m m '
m x y' 
22
22
22
22
222







x
x
xx
x
S = {(+ m, -m) (+ m, - m)}
EQUAÇÕES IRRACIONAIS
Chamam-se equações irracionais as equações que
possuem variável sob o radical.
Exemplos:
a) x = 8 b) xx  33
c) 2123  x
Exercício Resolvido: Vamos resolver as equações
dos exemplos acima, sendo U = R:
a) x = 8 Elevando ao quadrado ambos os membros:
  22 8x  x = 64 - Devemos fazer a verificação,
Para isso, substituímos x por 64 na equação dada: 64 = 8
 8 = 8 (verdadeiro)Assim: V = {64}.
b) xx  33
Isolamos o radical no primeiro membro: 33  xx
Elevamos ao quadrado ambos os membros:
   22 33  xx  x + 3 = x2 - 6x + 9
Igualando a zero e reduzindo os termos:
x2 - 7x + 6 = 0 - Resolvendo essa equação:
x = 
2
24497 
 = 
2
57 
 x
1
 = 6 e x
2
 = 1-
Vamos fazer a verificação:
para x = 6  36  + 3 = 6 \ 639  \3 + 3 = 6
\ 6 = 6 (verdadeiro) -
para x = 1  1331  \ 134  \ 2 + 3 =
1 \ 5 = 1 (falso) - Assim: V = {6}
c) 2123 x
Elevando ao cubo ambos os membros:
 3
3
3 212 



  x  12  x = 8
Isolando o radical e reduzindo os termos: 61 x
Elevando ao quadrado ambos os membros:
 x + 1 = 36 \ x = 35
- Fazendo a verificação:
x = 35  213523   2623 
 283   223 3  \ 2 = 2 (verdadeiro)
- Assim: V = {35}.
Observe:
Na resolução de equações irracionais:
- elevamos ambos os membros à potência adequada para
eliminarmos o radical;
- se o radical não estiver isolado em um dos membros,
devemos isolá-lo;
- a verificação é necessária.
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
16
FUNÇÕES
Conceito: Sendo A e B conjuntos não vazios e uma
relação f de A em B, essa relação f é uma função ou aplica-
ção de A em B, quando a todo elemento x do conjunto A está
associado um e somente um elemento y do conjunto B.
Análise da definição de função por diagramas: A lei
f que relaciona os elementos de A e B representada pelas
setas.
1) 
A B
2) 
A B
3) 
A B
4) 
A B
5) 
A B
6) 
A B
3) f não é função, porque existe elemento de A com mais
de uma imagem em B.
4) f é função, porque cada elemento de A tem uma única
imagem em B, não importando que a imagem seja comum a
mais de um elemento de A.
5) f é função pela mesma razão anterior.
6) f é função, porque a todo elemento de A corresponde
uma só imagem em B.
No diagrama, para que f seja, função, é necessário partir
uma única flecha de todo elemento de A.
Notação de Função:
f A B:  lê-se: f é uma função de A em B, ou ainda:
f:x f(x) lê-se: a função f é definida por y = f(x).
Ex.: 1) f A B:  definida por f(x) = x+1 ou y = x+1
2) f x y:  definida por y = 2x + 3
Domínio e Imagem de uma Função:
Seja uma função f definida em A com imagens em B.
- Domínio: é o conjunto D dos elementos x C A.
- Imagem: é o conjunto Im, contido em B, formado pelas
imagens y.
- Contra-domínio: é o conjunto CD = B.
Ex.: Dados os conjuntos :
A = -3, -1, 0, 2 e B = -1, 0, 1, 2, 3, 4 determinar o
domínio, o contra-domínio e o conjunto imagem da função
f : A--- B definida por f(x) = x + 2.
Solução:
A B
f(-3) = (-3) + 2 = -1
f(-1) = (-1) + 2 = 1
f(0) = 0 + 2 = 2
f(2) = 2 + 2 = 4
Observando o diagrama, temos:
D = -3, -1, 0, 2 
I = -1, 1, 2, 4 
CD = -1, 0, 1, 2, 3, 4 = B
m
Função Sobrejetora:
Uma função f, definida em A e com imagens em B, é
sobrejetora, quando o conjunto imagem é o próprio conjunto B.
f : A B, f é sobrejetora I
m
(f) = B
 Diagrama Diagrama
 
A B
 
A B
D = A e I
m
 = B D = A e I
m
 = B
Observe que não sobra nenhum elemento em B.
Explicação:
1) f não é função, porque há elementos de A que não têm
imagens em B.
2) f é função, porque todo elemento de A tem uma só
imagem em B não importando que exista elemento em B sem o
correspondente em A.
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
17
Função Injetora:
Uma função f, definida em A, é injetora quando a quais-
quer dois elementos distintos de A correspondem dois ele-
mentos distintos de B.
 Diagrama Diagrama
 
A B
 
A B
Observe que para cada elemento de B só converge uma
flecha.
Função Bijetora:
É a função sobrejetora e injetora simultaneamente.
 Diagrama
A B
 D = A I
m
 = B
Exemplo gráfico: f : R R y = f(x) = x
Observe que não sobra nenhum elemento em B e que,
para cada elemento de B, só converge uma flecha.
NOTA: nem toda função se enquadra num dos três tipos.
Uma função pode ser não-injetora e também não-sobrejetora.
Ex.: f : A  B tal que f(x) = x2
FUNÇÃO CONSTANTE
DEFINIÇÃO:
Dado um número real a, a função definida por f (x) = a,
para todo x R , é denominada função constante.
f(x) = a  x R
Ex.: a) f(x) = 3
b) y = 4
c) f(x) = -1/2
d) f(x) = 2
e) y = -1,5
GRÁFICO:
O gráfico da função constante é uma reta paralela no
eixo x, cuja interseção com o eixo y é o ponto (0, a).
 (0, a)
x
y
 D = R I
m
 = {a}
FUNÇÃO LINEAR
DEFINIÇÃO:
Dado um número real não-nulo a, a função f : R R, tal
que f(x) = ax é denominada função linear, f(x) = ax.
Ex.: a) f(x) = -3x b) y = x (função identidade)
GRÁFICO:
O gráfico da função linear f(x) = ax é uma reta que passa
pelo ponto (0, 0), origem do sistema.
f(x) = ax f(x) = ax
(a > 0) (a < 0)
x
y
 x
y
 D = R Im = R
FUNÇÃO AFIM / FUNÇÃO DE 1º GRAU
DEFINIÇÃO:
A função f : R  R, tal que f(x) = ax + b, onde a e b, são
constantes reais, a  0, é chamada Função Afim.
f (x) = ax + b
Ex.: a) f(x) = x + 1 b) y = -x + 2 c) y = 3x - 4
GRÁFICO:
O gráfico da função afim f(x) = ax + b é uma reta que
intercepta o eixo y no ponto (0, b) e cuja inclinação é dada
pelo coeficiente a.
f(x) = ax + b
x0
y a > 0
(0, b)
 x0
y
a < 0
(0, b)
ZEROS DA FUNÇÃO DO 1º GRAU:
Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = ax + b, o
valor de x que anula a função, isto é, torna f(x) = 0.
Ex.: Calcular o zero da função f(x) = -3x + 6
Solução: -3x + 6 = 0  -3x = -6 .(-1)
3x = 6  x 
6
3
  x = 2
Portanto, o zero da função dada é x = 2.
- Interpretação Geométrica:
Geometricamente, o zero da função do 1º grau f(x) = ax
+ b, a  0, é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x.
Ex.: Dada a fnção f(x) = -3x + 6, temos:
 f(x) = - 3x + 6 zero da função (x = 2)
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
18
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU:
Ex.: Dada a função f(x) = 2x - 4, determinar os valores
reais de x, para os quais:
a) f(x) > 0 b) f(x) = 0 c) f(x) < 0
Solução: Podemos notar que a função é crescente,
pois: a = 2 > 0
O zero da função é: 2x - 4 = 0  2x = 4  x = 2
Logo: a reta intercepta o eixo x no ponto de abcissa x = 2.
Observando essas considerações, vamos fazer um es-
boço do gráfico da função:
0
f(x) < 0
2
y
f(x )> 0
f(x) = 0
-
2
f(x) > 0
(x > 2)(x < 2)
f(x) < 0
Pelo esquema, podemos dar a seguinte resposta ao problema:
f(x) = 0 para x = 2
f(x) > 0 para {x  R / x > 2}
f(x) < 0 para {x  R / x < 2}
Ex.: Dada a função f(x) = -2x - 4, determinar os valores
reais de x para os quais:
a) f(x) = 0 b) f(x) > 0 c) f(x) < 0
Solução: Podemos notar que a função é decrescente,
pois:
a = -2 < 0
O zero da função é:
-2x - 4 = 0  -2x = 4  2x = -4  x = -2
Logo: a reta intercepta o eixo x no ponto de abcissa x = -2.
Pelas considerações feitas, fazemos um esboço do grá-
fico da função:
0
f(x) = 0
-2
yf(x) > 0
f(x) < 0
-2 -
(x < -2) (x > -2)
Pelo esquema, a solução do problema é:
f(x) = 0 para x = -2
f(x) > 0 para {x  R / x < -2}
f(x) < 0 para {x  R / x > -2}
Resumo:
Função: f(x) = 2x - 4 Função: f(x) = -2x - 4
a = 2 > 0 a = -2 < 0
zero da função: x = 2 zero da função: x = -2
-
2
 -
-2
Pelo resumo podemos concluir que:
 a função tem: a função tem:
 sinal contrário de a. mesmo sinal de a.
zero da função
(y = 0)
FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO DO 2º GRAU
DEFINIÇÃO:
É a função f : R  R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com
a, b e c reais e a  0.
Ex.: a) f(x) = x2 - 4x -3 a =1 , b = -4, e c = -3
 b) f(x) = x2 + 3 a = 1, b = 0 e c = 3
 c) y = 4x2 - 10x a = -4, b = -10 e c = 0
 (5, 3)
x
(1, 3)
(2, 0)
(3, -1)
(4, 0)
y
(0, 8)
 x f(x) = - x - 6x = 8
-1 15
 0 8
 1 3
 2 0
 3 -1
 4 0
 5 3
2
b) f(x) = x2 + 6x - 8 a = -1 < 0
 x f(x) = x + 6x = - 8
-1 - 15
 0 - 8
 1 - 3
 2 0
 3 1
 4 0
 5 - 3
2
 
(5, -3)
x
(0, -8)
(2, 0)
(3, 1)
(4, 0)
y
(1, -3)
Podemos observar que se a função apresenta 2 raízes
reais distintas (  0 ), a parábola corta o eixo dos x em dois
pontos (as raízes). Lembre-se:  = b2 - 4ac.
Caso ela apresente duas raízes reaisiguais (  = 0), a
parábola tangencia o eixo dos x.
E se a função não apresenta raízes reais (  < 0), a
parábola não corta e nem tangencia o eixo dos x.
Observamos também que se a concavidade está voltada
para cima (a > 0), a parábola apresenta um ponto que é o
"mais baixo" (ponto de mínimo da função)
No caso de concavidade voltada para baixo (a < 0), a pará-
bola apresentará um ponto que é o "mais alto"(ponto de máximo
da função).
 Esse ponto (mínimo ou máximo) é chamado vértice (V) da
parábola e suas coordenadas são:
GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA:
Seu gráfico é uma parábola que terá concavidade volta-
da "para cima" se a > 0 ou voltada "para baixo" se a < 0.
Ex.: a) f(x) = - x2 - 6x + 8 a = 1 > 0
x
b
av


2
 y
av


4
A coordenada do vértice y
v
 é importante para determinar-
mos o conjunto imagem da função quadrática:
Im = {y R / y > }4a
- se a > 0 ou
Im = {y R / y < }4a
- se a < 0
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
19
Assim:
 a  0
y
av


4
x
b
av


2
 
a  0
x
b
av


2
y
av


4
O domínio da função quadrática é R.
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA:
Resumindo os gráficos apresentados e estudando o sinal da função quadrática temos:
Ex.: para que valores de x a função:
f(x) = x2 - 5x + 6 assume valores que acarretam f(x) >
0 e f(x) < 0 ?
Solução: f(x) = x2 - 5x + 6
f(x) = 0
 > 0 = 0 < 0
a > 0
 a < 0
 x = 2
x - 5x + 6 = 0 
 x = 3
1
2
2
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS
CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
20
FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
FUNÇÃO EXPONENCIAL
DEFINIÇÃO:
A função f : R R definida por f (x) = ax, com a 1
e a > 0, é denominada função exponencial de base a.
Ex.:a) y = 3x b) f (x) = 1 2
x
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS:
1º Exemplo: Resolver a equação 2x = 256
Transformando a equação dada em igualdade de mesma
base, temos: 2x = 256 \ 2x = 28
Igualando os expoentes, temos: x = 8 \ S = (8)
2º Exemplo: Resolver a equação 4x = 32
Transformando a equação dada em igualdade de mesma
base, temos:
4x = 32 \ (22)x = 25 \ 22x = 25
Igualando os expoentes, temos:
2x = 5 \ x = 5/2 S = {5/2} 
3º Exemplo: Resolver a equação: 2x = 
1 
16
Lembrar que 
1 
16 
= = 2
1 
24
-2
2 = 2 = 2 x
1 
16 
x -4 Daí: x = -4 S = {-4} 
4º Exemplo: Resolver a equação 9x+3 = 27x
9x+3 = 27x \ (32)x+3 = (33)x \ 32x+6 = 33x
Daí: 2x + 6 = 3x \ 2x - 3x = -6 \ -x = -6 \ x = 6
S = {6}
5º Exemplo: Resolver a equação (2x)x+3 = 16
(2x)x+3 = 16 \ (2x)x+3 = 24 \ 2x2+3x = 24
Daí: x2 + 3x = 4 \ x2 + 3x - 4 = 0
 = 9 + 16 = 25
x = 
-3 5+-
2
x’ = 1
x” = -4
RESOLUÇÃO DAS INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS:
1º Exemplo: Resolver a inequação 3x > 32
Como a base 3 é maior que 1, temos: x > 2
Logo: S = {x R / x > 2} 
2º Exemplo: Resolver a inequação 
1 
3
x
> 1 3
2
Como a base 1/3 é menor que 1 (0 < 1/3 <1), temos: x < 2
Logo: S = {x R / x < 2} 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Logarítmo de um número real e positivo b, na base a
(a 1 e a > 0) , é um número x ao qual se deve elevar a
base a para se obter b. Ou ainda, é todo expoente cuja
base é positiva e diferente de um.
log
a
b = x  ax = b(b > 0 e 1 a > 0)
. a - base do logarítmo
. b - antilogarítmo
. x - logarítmo
Ex.: a) log
6
 36 = x \ 6x = 36 \ 6x = 62 \ x = 2
Logo: log
6
 36 = 2
CONSEQÜÊNCIA DA DEFINIÇÃO:
1ª) log
a
1 = 0 Ex.: log
2
1 = 0; log
5
1 = 0
2ª) log
a
a = 1 Ex.: log
2
2 = 1; log
5
5 = 1
3ª) log
a
am = m Ex.: log
3
32 = 2; log
5
58 = 8
4ª) aloga b = b Ex.: 5log53 = 3; 10log107 = 7
5ª) log
a
b = log
a
 c \ b = c Ex.: log
10 
3 = log
10
x \ x = 3
SISTEMA DE LOGARÍTMOS:
a) Sistema de logarítmos decimais:
É o sistema de base 10 ou de Briggs.
Representação: log
10 
x ou logx
b) Sistema de logarítmos neperianos:
É o sistema de base e ou logarítmos neperianos.
Representação: log
e
 x ou 1n x onde: e = 2,718.. .
(número irracional)
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS:
Exemplo: Resolver a equação log
x
 81 = 4
Resolução: CE = {x > 0 e x 1}
log
x
 81 = 4 \ 81 = x4 \ x = +-
4
81 \ x = +- 3
Verificação:
para que x = 3 para que x = -3
3 > 0 (V) e 3 1 (V) -3 > 0 (F) e -3 1 (V)
Resposta: S = {3}
PROPRIEDADES DOS LOGARÍTMOS:
1ª) Logarítmo de um produto: O logarítmo de um pro-
duto é igual à soma dos logarítmos dos fatores tomados na
mesma base, isto é:
log
b
(a . c) = log
b
 a + log
b
 c
Exemplo: Calcular o valor de log
3
(9 . 27)
Resolução: Aplicando a propriedade do logarítmo de um
produto, temos:
log
3
(9 . 27) = log
3
 9 + log
3
 27 = 2 + 3 = 5
Resposta: 5
2ª) Logarítmo de um quociente: O logarítmo de um
quociente é igual ao logarítmo do numerador menos o logarítmo
do denominador tomados na mesma base, isto é:
log
b
 a/c = log
b
 a - log
b
 c com a >0, c > 0 e 1 b > 0
Exemplo: Calcular o valor de log
3
 81/9
Resolução: Aplicando a propriedade do logarítmo do em
quociente, temos:
log
3
 81/9 = log
3
 81 - log
3
 9 = 4 - 2 = 2
Resposta: 2
3ª) Logarítmo de uma potência: O logarítmo de uma
potência é igual ao produto do expoente pelo logaríimo da
base da potência, isto é:
log
b
 an = n . log
b
 a com a > 0 e 1 b > 0
Exemplo: Sabendo-se que:
log
x
 a = 8, log
x
 b = 2 e log
x
c = 1, calcular:
a) log x
a 3
b . c 2 4
Resolução: a) log x
a 3
b . c 2 4
 = log
x
 a3 = log
x
 b2c4)
= 3 log
x
 a - (log
x
 b2 + log
x
 c4)
= 3 log
x
 a - 2 log
x
 b - 4 log
x
 c
Resposta: 16
= 3 . 8 - 2 . 2 - 4 . 1 = 24 - 4 - 4 = 16
COLOGARÍTMO: colog
a
b = -log
a
b
Chama-se cologarítmo de um número real b, positivo, uma
certa base a (0 < a 1), ao oposto do logarítmo de b na
base a.
ANTILOGARÍTMO: log
a
b = c Û b = antilog
a
c
MUDANÇA DE BASE:
a
log b = e log b = 
log b
c
log a
c
a log a
b
1
LOGARÍTMOS DECIMAIS:
a) Logarítmo decimal de uma potência de 10:
Ex.: log 10 = 1; log 103 = 3;
log 0,01 = log 10-2 = -2
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS
CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
21
b) Característica e Mantissa:
Quando escrevemos o logarítmo de um número podemos
separar a parte inteira (característica) da parte não inteira
(mantissa).
Por exemplo: log 200 = 2,3010
Portanto: log 200 = 2 + 0,3010
c) Característica de log b:
1º Caso: O número b é maior ou igual a 1.
A característica de log b é obtida tomando-se a quanti-
dade de algarismos que b apresenta na parte inteira e dela
subtraindo-se uma unidade.
Ex.: I) log 3 = 0,... II) 0 log 35 = 1,...
2º Caso: O número b é menor que 1 e maior que zero.
A característica de log b é obtida tomando-se a quantida-
de de zeros que b apresenta antes do primeiro algarismo não-
nulo e colocando-se sinal negativo no número encontrado.
Ex.: I) log 0,3 = -1 + mantissa \ log 0,3 = 1...
Obs.: O traço sobre a característica indica que ela é ne-
gativa.
Quando o logarítmo é um número negativo costuma-se
escrevê-lo na forma mista ou preparada. Nesta forma, continua
a característica negativa, sendo a mantissa, porém, positiva.
Ex.:I) log 0,2 = -1 + 0,301 = 1, 301
-
II) log 0,3 = -1 + 0,477 = 1, 477
-
e) Mudança de um logarítmo negativo para a for-
ma preparada:
Exemplo:
log x = -3,421 = -3,421 = 
-3 - 0,421 = -3 -1 + 1 - 0,421
Então: log x = -4 + 0,579 = 4,579
-
f) Propriedade da Mantissa:
Multiplicando-se ou dividindo-se um número por 10 (ou
potência inteira de 10) o seu logarítmo decimal CONSERVA a
mantissa só alterando a característica.
Ex.: log 2 = 0 + 0,3010 = 0,3010
log 20 = log (10 . 2) = log 10 + log 2 =
1 + 0,3010 = 1,3010
log 0,2 = log = -log 10 + log 2 = 
-1 + 0,3010 = 1,3010
2
10
g) Tábuas de Logarítmos:
Os valores aproximados das mantissas dos logarítmos
se apresentam em tábuas, que são chamadas: TÁBUAS DE
LOGARÍTMOS.
PROBLEMAS:
01. As raízes da equação 3x2 + 4x + 1= 0 são:
a) -1 e -1/3 b) 1 e 1/3c) -1 e 1/3
d) 1 e -1/3 e) N.D.A.
02. Os coeficientes a, b e c da equação:
12x2 + 17x + 5 = 0 são:
a) a = 20, b = 10 e c = 50
b) a = 12, b = 7 e c = 5
c) a = 12, b = 17 e c = 5
d) a = 12, b = 7 e c = 22
e) N. D. A.
03. Na equação 2x2 - 7x + 4= 0, a soma das raízes é igual a:
a) 3/4 b) 4/3 c) 3/7 d) 7/2 e) N.D.A.
04 - As raízes que satisfazem a equação: 2x2 + 3x - 2 = 0 são:
a) +1; -2 b) 1 2+ ; +2 c) 
1 
2+ ; -2 d) 
1 
2- ; +2 e) 
1 
2- ; -2
Gabarito:
01 - A 02 - C 03 - D 04 - C
SISTEMA MÉTRICO
MEDIDAS DE COMPRIMENTO:
Unidade Padrão: Metro (m)
- Múltiplos:
Decâmetro (dam) ... 1 dam = 10 m
Hectômetro (hm) ... 1 hm = 100 m
Quilômetro (km) ... 1 km = 1000 m
- Sub-Múltiplos:
Decímetro (dm) ... 1 dm = 0,1 m
Centímetro (cm) ... 1 cm = 0,01 m
Milímetro (mm) ... 1 mm = 0,001 m
Representando numa escala, teríamos:
km hm dam m dm cm mm
Ex.: Transformar em metros cada uma das medidas seguintes:
a) 10,8 km b) 50,36 dam
Solução:
a) 10,8 km - Devemos deslocar a vírgula 3 casas para a
direita (sentido da seta) 10,8 km = 10.800 m
km hm dam m
b) 50,36 dam - Devemos deslocar a vírgula 1 casa para a
direita (sentido da seta) 50,36 dam = 503,6 m
hm dam m
UNIDADES DE ÁREA:
Unidade Padrão: Metro Quadrado (m2)
- Múltiplos:
Decâmetro quadrado (dam2) ... 1 dam2 = 100 m2
Hectômetro quadrado (hm2) ... 1 hm2 = 10.000 m2
Quilômetro quadrado (km2) ... 1 km2 = 1.000.000 m2
- Sub-Múltiplos:
Decímetro quadrado (dm2) ... 1 dm2 = 0,01 m2
Centímetro quadrado (cm2) ... 1 cm2 = 0,0001 m2
Milímetro quadrado (mm2) ... 1 mm2 = 0,000001 m2
Representando numa escala, teríamos:
km hm dam m dm cm mm2 2 2 2 2 2 2
Obs.: Nas transformações de unidades, a cada unidade
ultrapassada, corresponde a 2 (dois) deslocamentos da vírgula.
Ex.: Transformar em m2 cada uma das medidas seguintes:
a) 45 dam2 b) 0,0057 km2
Solução:
a) 45 dam2 - Devemos deslocar a vírgula 2 casas para a
direita (sentido da seta) 45 dam2 = 4500 m2
hm dam m2 2 2
b) 0,0057 km2 - Devemos deslocar a vírgula 6 casas para a
direita (sentido da seta) 0,0057 km2 = 0005700 m2 = 5.700 m2
2km hm dam m2 2 2
UNIDADES DE VOLUME:
Unidade Padrão: Metro Cúbico (m3)
- Múltiplos:
Decâmetro cúbico (dam3) ... 1 dam3 = 1.000 m3
Hectômetro cúbico (hm3) ... 1 hm3 = 1.000.000 m3
Quilômetro cúbico (km3) ... 1 km3 = 1.000.000.000 m3
- Sub-Múltiplos:
Decímetro cúbico (dm3) ... 1 dm2 = 0,001 m3
Centímetro cúbico (cm3) ... 1 cm2 = 0,000001 m3
Milímetro cúbico (mm3) ... 1 mm2 = 0,00000001 m3
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS
CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
22
Representando numa escala, teríamos:
km hm dam m dm cm mm3 3 3 3 3 33
Obs.: Nas transformações de unidades, a cada unidade
ultrapassada, corresponde a 3 (três) deslocamentos da vírgula.
UNIDADES DE MASSA:
Unidade Padrão: Grama (g)
- Múltiplos: Decagrama (dag) ... 1 dag = 10 g
Hectograma (hg) ... 1 hg = 100 g
Quilograma (kg) ... 1 kg = 1.000 g
- Sub-Múltiplos: Decigrama (dg) ... 1 dg = 0,1 g
Centigrama (cg) ... 1 cg = 0,01 g
Miligrama (mg) ... 1 mg = 0,001 g
Representando numa escala, teríamos:
kg hg dag g dg cg mg
Obs.: Nas transformações de unidades, a cada unidade
ultrapassada, corresponde a 1 (um) deslocamento da vírgula.
Ex.: Transformar em grama cada uma das medidas se-
guintes:
a) 0,0375 kg b) 3,28 dag
Solução:
a) 0,0375 kg
- Devemos deslocar a vírgula 3 casas para a direita (sen-
tido da seta) 0,0375 kg = 0037,5 g = 37,5 g
Ex.: Transformar em m3 cada uma das medidas seguintes:
a) 1,73 dam3 b) 0,00037 hm3
Solução: a) 1,73 dam3
- Devemos deslocar a vírgula 3 casas para a direita (sen-
tido da seta) 1,73 dam3 =1730 m3
dam m3 3
b) 0,00037 hm3
 - Devemos deslocar a vírgula 6 casas para a direita (sen-
tido da seta) 0,0037 hm3 = 0000370 m3 = 370 m3
hm dam m3 3 3
UNIDADES DE CAPACIDADE:
Unidade Padrão: Litro ( l )
- Múltiplos:
Decalitro (dal) ... 1 dal = 10 l
Hectolitro (hl) ... 1 hl = 100 l
Quilolitro(kl) ... 1 kl = 1.000 l
- Sub-Múltiplos:
Decilitro (dl) ... 1 dl = 0,1 l
Centilitro (cl) ... 1 cl = 0,01 l
Mililitro (ml) ... 1 ml = 0,001 l
Representando numa escala, teríamos:
kl hl dal l dal cl ml
Obs.: Nas transformações de unidades, a cada unidade
ultrapassada, corresponde a 1 (um) deslocamento da vírgula.
a) 722,70 hl b) 0,0036 kl
Solução: a) 722,70 hl
- Devemos deslocar a vírgula 2 casas para a direita (sen-
tido da seta) 722,70 hl = 72.270 l
hl dal l
b) 0,0036 kl - Devemos deslocar a vírgula 3 casas para a
direita (sentido da seta) 0,0036 kl = 0003,6 l = 3,6 l
kl hl dal l
Obs. Importante: é muito comum, na prática, a trans-
formação de volume para capacidade. O vínculo entre as
duas unidades é: 1 dm3 = 1 l
Ex.: Transformar em litros, cada uma das medidas seguintes:
a) 8,5 dam3 b) 32.000 mm3
Transformar em litros é o mesmo que transformar em
dm3, entćo: 8,5 dam3 = 8.500.000 dm3
8,5 dam3 = 8.500.000 l
b) 32.000 mm3:
32.000 mm3 = 0,032000 dm3 = 0,032 dm3
32.000 mm3 = 0,032 l
dam m dm3 3 3
1,7 m3 = 1700 dm3 1,7 m3 = 1700 l 1700 l = 1,700 kl
ou 1,7 kl
kg hg dag g
b) 3,28 dag
- Devemos deslocar a vírgula 1 casa para a direita
(sentido da seta) 3,28 dag = 32,8 g
dag g
UNIDADES DE TEMPO:
Unidade Padrão: Segundo (seg)
- Múltiplos: minuto (min) ... 1 min = 60 seg
hora (h) ... 1 h = 3600 seg
- Sub-múltiplos: não existem.
Obs.: É fácil notar que: 1 h = 60 min
Ex.: 1) Transformar em segundos cada uma das medidas
seguintes:
a) 2,32 h b) 3 h e 20 min
Solução: a) Basta multiplicar por 3.600, assim:
2,32
3600
1392 2,32 h = 8.352 seg
696
8352,00
b) Transformar em segundos, as horas e os minutos,
separadamente, assim: 3600 . 3 = 10800
60 . 20 = 1200
3 h e 20 min = (10800 + 1200) seg = 12000 seg
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
- Transformar:
01) 18,32 dam em m 02) 0,37 mm em cm
03) 3500 mm em dm 04) 32 m2 em dm2
05) 3,152 cl em hl 06) 41,36 km2 em dam2
07) 2035,70 l em mm3 08) 13,901 ml em dal
09) 321 dm2 em dam2 10) 32,5 g em dg
11) 0,437 mm3 em dm3 12) 1.014 seg em min
13) 3,42 h em seg 14) 2.076 min em h
GABARITO:
01) 183,2 m 02) 0,037 cm
03) 35 dm 04) 3.200 dm2
05) 0,0003152 hl 06) 413.600 dam2
07) 2.035.700.000 mm3 08) 13.901 dal
09) 0,0321 dam2 10) 325 dg
11) 0,000000437 dm3 12) 16,9 min
13) 12.312 seg 14) 34,6 h
2) Um determinado recipiente tem 1,7 m3 de volume. Qual
a sua capacidade em quilolitros.
Solução: Devemos transformar 1,7 m3 para dm3 (ou li-
tros) e este resultado, para quilolitros.
dm cm mm3 3 3
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS
CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
23
SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO
Moeda
Unidade de valor-padrão utilizada como instrumento de troca
por uma comunidade.
É o meio pelo qual os preços são expressos, as dívidas
liquidadas, as mercadorias e os serviços pagos e a poupança
efetuada.
A moeda corrente é o dinheiro oficial de um país para todos
os tipos de transação.
Como o controle da moeda é vital não apenas para o equilíbrio
da economia de um país mas também para as relações comerci-
ais entre nações, é criado um sistema monetário internacional.
Origem – Na Antiguidade, as mercadorias produzidas numa
comunidade servem como meio de pagamento para suas transa-
ções comerciais.
Destaca-se sempre uma entre as demais.
Como moeda, já circularam peles, fumo, óleo de oliva, sal,
mandíbulas de porco, conchas, gado e até crânios humanos.
O ouro e a prata ganham rapidamente preferência em razão
da beleza, durabilidade, raridade e imunidade à corrosão.
Base monetária – Cabe às autoridades de um país a for-
mulação de uma política monetária para controlar a quantidade de
dinheiro em circulação.
Quando é bem-sucedida, o valor da moeda permance está-
vel.
Quanto mais altos os juros, mais caros se tornam os emprés-
timos.
Outros controles possíveis são o de entrada e saída do capi-
tal internacional e o das regras para compras a prazo.
Países de base monetária escassa incentivam a entrada de
capital estrangeiro, com o intuito de aumentar a quantia aplicada
na economia nacional.
As restrições ao consumo provocam aumento do dinheiro
poupado e, por conseqüência, das reservasdo país.
Câmbio – Moedas de valor estável no mercado internacio-
nal de câmbio são consideradas fortes e traduzem a posição
comercial de um país.
A mais forte do mundo é o dólar norte-americano, adotado
como unidade monetária dos EUA em 1785.
O Brasil acumula oito alterações monetárias no período repu-
blicano: réis, cruzeiro, cruzeiro novo, cruzado, cruzado novo,
cruzeiro e cruzeiro real tiveram seu valor arrasado pela inflação.
O real, criado em 1994, apresenta, em 1995, atributos de
moeda forte, por sua pequena variação, mantendo o poder de
compra estável. Mas a avaliação do comportamento de uma mo-
eda só é válida quando feita por longos períodos.
OBSERVAÇÕES
Um pequeno histórico legislativo de nossa moeda:
a) O Decreto-lei nº 4.791, de 5 de outubro de 1942, institui o
CRUZEIRO. A centésima parte do cruzeiro passa a denominar-se
CENTAVO. O cruzeiro passava a corresponder a mil réis.
b) A Lei nº 4.511, de 1º de dezembro de 1964, mantém o
CRUZEIRO, mas determina a extinção do CENTAVO.
c) O Decreto-lei nº 1, de 13 de novembro de 1965, institui o
CRUZEIRO NOVO, restabelece o CENTAVO.
O cruzeiro passava a corresponder a um milésimo do cruzeiro
novo.
Sua vigência foi fixada para a partir de 13 de fevereiro de
1967, conforme Resolução nº 47, de 8 de fevereiro de 1967, do
Banco Central da República do Brasil, determina que a unidade
do sistema monetário brasileiro passe a denominar-se CRUZEIRO.
e) A Lei nº 7.214, de 15 de agosto de 1984, extingue o centavo.
f) O Decreto-lei nº 2.284, de 10 de março de 1986, cria o
CRUZADO, em substituição ao CRUZEIRO, correspondendo o
cruzeiro a um milésimo do cruzado.
g) A Lei nº 7.730, de 31 de janeiro de 1989, institui o CRUZADO
NOVO, em substituição ao CRUZADO, e mantém o CENTAVO.
O cruzado novo corresponde a um mil cruzados.
h) Por determinação da Lei nº 8.204, de 12 de abril de 1990,
a moeda nacional passou a denominar-se CRUZEIRO, sem outra
modificação, mantido o centavo e correspondendo o cruzeiro a
um cruzado novo.
i) A Lei nº 8.697, de 27 de agosto de 1993, alterou a moeda
nacional, estabelecendo a denominação CRUZEIRO REAL, para
a unidade do sistema monetário nacional brasileiro.
j) A Lei nº 8.880, de 27 de maio de 1994, instituiu a URV
(Unidade Real de Valor), para junto com o CRUZEIRO REAL integrar
o Sistema Monetário Nacional, ficando extinta com o advento da
nova moeda - o REAL.
k) A Lei nº 9.069, de 29 de junho de 1995, alterou a moeda
nacional, instituindo o REAL como a unidade do Sistema Monetário
Nacional, denominando a centésima parte de CENTAVO.
PROBLEMA ENVOLVENDO DINHEIRO
1 real - R$1,00 = 100 centavos
As moedas brasileiras são de 5, 10, 25, 50 e 100
centavos
e são representadas respectivamente por R$ 0,05 - R$
0,10 - R$ 0,25 - R$ 0,50 - R$ 1,00
As notas são de 5, 10, 20, 50, 100 reais
e são representadas respectivamente por R$ 5,00 - R$
10,00 - R$ 20,00 - R$ 50,00 - R$ 100,00
1) Quantos reais são necessários para se comprar 2500
centavos?
Resolução: 1 real = 100 centavos
 x reais = 2500 centavos
100 . x = 2500 . 1
x = 2500/100
x = 25
Resposta: R$ 25,00
SISTEMAS LINEARES
1 - INTRODUÇÃO:
Equação Linear: Toda equação da forma
bxaxaxa nn     ...2211
é denominada equação linear, em que:
naaa ...,,, 21 são coeficientes e
nxxx ...,,, 21 são incógnitas;
b é o termo independente.
Exemplos:
532) 321  xxxa
é uma equação linear a três incógnitas
1)  zyxb
é uma equação linear a quatro incógnitas
OBSERVAÇÕES:
1º - Quando o termo independente b for igual a zero, a
equação linear denomina-se equação linear homogênea.
Por exemplo: 5x - 3y = 0.
2º - Uma equação linear não apresenta termos da forma
2.4323 2
2
1  yxexx não são lineares.
3º - A solução de uma equação linear a n incógnitas é a
sequência de números reais ou ênupla ),,...,( 21 n , que,
colocados respectivamente no lugar de nxxx ...,, 11 , tornam
verdadeira a igualdade dada.
4º - Uma solução evidente da equação linear homogênea
3x + y = 0 é a dupla (0,0).
Exemplo: Dada a equação linear 4x - y + z = 2, encon-
trar uma de suas soluções.
Resolução: Vamos atribuir valores arbitrários a x e y e
obter o valor de z.
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
24
Resposta: Uma das soluções é a tripla ordenada ( 2, 0, -6).
REGRA DE SOCIEDADE:
Definição: É uma divisão proporcional direta dos lucros
e/ou prejuízos de uma empresa ou firma em relação aos
capitais e tempos que cada sócio participou enquanto em
sociedade.
Tipos: Existem 3 casos de regra de sociedade.
1º caso: Capitais dos sócios são iguais.
Tempos de participação dos sócios são diferentes.
2º caso: Capitais dos sócios são iguais.
Tempo de participação dos sócios são iguais.
3º caso: Capitais e tempos de participação dos sócios
são diferentes.
6
202.4
0
2





z
z
y
x
2 - SISTEMA LINEAR
Denomina-se sistema linear de m equações nas n incóg-
nitas x x xn1 2, , ..., todo sistema da forma seguinte:
Se o conjunto ordenado de números reais )...,,,( 11 n sa-
Resolução:
1º caso: Divisão proporcional direta do lucro e/ou preju-
ízo em relação aos tempos de participação dos sócios.
2º caso: Divisão proporcional direta do lucro e/ou preju-
ízo em relação aos capitais dos sócios.
3º caso: Divisão composta do lucro e/ou prejuízo em
relação ao produto do capital de cada sócio pelo respectivo
tempo que participou da sociedade.
Ex.: 1) Uma pessoa montou uma firma no dia 1º de janeiro.
No dia 1º de maio admitiu um sócio. No final do ano foi acusado
um lucro de R$ 4.000.000,00. Calcular o lucro de cada sócio.
Solução:
1º sócio trabalhou 12 meses
2º sócio trabalhou 8 meses
Pela regra prática:
a) 12 +8 = 20
b) 4.000.000,00 : 20 = 200.000
c) 200.000 x 12 = 2.400.000 => lucro do 1º sócio
 200.000 x 8 = 1.600.000 => lucro do 2º sócio
Ex.: 2) Uma sociedade se fez no dia 30 de março. O 1º
sócio entrou com R$ 2.500.000,00 e o 2º com 1.700.000,00.
No dia 31 de dezembro foi constado um prejuízo de R$
2.100.000,00. Quanto coube a cada sócio?
Solução:
Pela regra prática:
a) 2.500.000 + 1.700.000 = 4.200.000
b) 2.100.000 : 4.200.000 = 0,5
c) 0,5 x 2.500.000 = 1.250.000 => prejuízo do 1º sócio
0,5 x 1.700.000 = 850.000 => prejuízo do 2º sócio
Ex.: 3) Em uma sociedade o lucro foi de R$ 2.700.000,00.
Calcular o lucro de cada sócio, sabendo que o 1º sócio
entrou com R$ 1.200.000,00 e trabalhou 3 meses e o 2º
sócio entrou com R$ 900.000,00 e trabalhou 5 meses.
Solução:
1.200.000 x 3 = 3.600.000
900.000 x 5 = 4.500.000
Pela regra prática:
a) 3.600.000 + 4.500.000 = 8.100.000
b) 2.700.000 : 8.100.000 = 1/3
c) 1/3 x 3.600.000 = 1.200.000 => lucro do 1º sócio
 1/3 x 4.500.000 = 1.500.000 => lucro do 2º sócio
TESTES
1) Dois sócios lucraram R$ 90.000. O primeiro entrou
para a sociedade com R$ 20.000 e o segundo com R$ 25.000.
Qual o lucro de cada sócio?
a) R$ 40.000 R$ 50.000
b) R$ 60.000 R$ 30.000
c) R$ 55.000 R$ 35.000
d) R$ 70.000 R$ 20.000
e) R$ 65.000 R$ 25.000
2) Dois sócios tiveram um lucro de R$ 500.000. O primeiro
empregou R$ 100.000 durante 6 meses, o segundo empregou
R$ 80.000 durante 5 meses. Qual o lucro do 1º sócio?
3) Três sócios formam uma sociedade entrando cada um
com as quantias R$ 5.000, R$ 8.000 e R$ 8.000, respectiva-
mente. O primeiro permaneceu na sociedade durante 12 me-
ses, o segundo 7 meses e o terceiro 5 meses. O prejuízo des-
sas operações foi R$ 46.800. Qual o prejuízo menor dos três?
a) 18.000 b) 16.800 c) 12.000
d) 11.900 e) 16.500
GABARITO: 1) A 2) A 3) C
tisfizer a todas as equações do sistema, será denominado
solução do sistema linear.













nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
....
....
....
...
...
2211
22222121
11212111
 nn bbbaaa ...,,,,...,,, 2111211
são números reais.
OBSERVAÇÕES:
1º - Se o termo independente de todas as equações do
sistema for nulo, isto é, ,0...21  nbbb o sistema linear será
dito homogêneo.
Veja o exemplo: 







0325
04
02
zyx
zyx
zyx
Uma soluçãoevidente do sistema linear homogêneo é x =
y = z = 0.
Esta solução chama-se solução trivial do sistema ho-
mogêneo. Se o sistema homogêneo admitir outra solução em
que as incógnitas não são todas nulas, a solução será cha-
mada não-trivial.
2º - Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma
solução, eles são ditos sistemas equivalentes. Veja o
exemplo.
 
  2,1
1
3
2
2
3
:
2,1
42
53
:
2
1
















s
yx
y
x
s
s
yx
yx
s
Como os sistemas admitem a mesma solução, são equivalentes.
EXERCÍCIO: Seja o sistema








2
52
032
:
321
321
321
xxx
xxx
xxx
S
a) Verifique se (2,-1,1) é solução de S.
b) Verifique se (0,0,0) é solução de S.
R) a) é b) não é
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
25
JUROS SIMPLES
Juros simples é aquele calculado unicamente sobre o
capital inicial.
CÁLCULO DO JURO SIMPLES
Consideremos o problema:
Apliquei R$ 2.000,00 por 2 anos. Quanto receberei de
juros se a taxa foi de 36% ao ano?
Solução:
Se me pagam 36% ao ano, isto significa que recebo R$
36,00 em 1 ano em cada R$ 100,00 aplicados ou, então, que
em 100 recebo 36 em 1 ano.
Temos então:
Como as grandezas são diretamente proporcionais, vem:
isto é, receberei de juros R$ 1.440,00
Assim, designando por:
C o capital inicial ou principal;
j o juro simples;
n o tempo de aplicação;
r a taxa percentual;
i a taxa unitária,
temos: C = 2.000 / j = 1.440 / n = 2 / r = 36
Logo, de: 
ou:
Lembrando que: 
podemos escrever: j = C . n . i
Então, de um modo geral, podemos calcular os juros sim-
ples pela fórmula: j = C . i . n
É importante observar que essa fórmula só pode ser aplica-
da se o prazo de aplicação n for expresso na mesma
unidade de tempo a que se refere a taxa i considerada.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 - Tomou-se emprestada a importância de R$ 12.000,00,
pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano. Qual será o
valor do juro a ser pago?
Solução: Temos:
C = 12.000,00 / n = 2 a / r = 30% a.a i = 0,3 a.a.
e, como: j = C . i . n
temos: j = 12.000 x 0,3 x 2
j = 7.200 isto é, o juro a ser pago é de R$ 7.200
2 . Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00 pelo prazo de
3 meses à taxa de 1,2% ao mês. Qual o valor do juro a
receber?
Solução: Temos:
C = 3.000,00 / n = 3 me / r = 1,2% a.m. i = 0,012 a.m.
donde: j = 3.000 x 0,012 x 3
j = 108 isto é, o juro a receber é de R$ 108,00
RESOLVA:
1 - Calcule os juros a serem pagos por um empréstimo de
R$ 920,00 à taxa de 5% ao trimestre, durante 3 trimestres.
2 - À taxa de 0,75% ao mês, foi empregado um capital de
R$ 5.680,00 durante 2,5 meses. Calcule os juros produzidos.
GABARITO: 1 - R$ 138,00 / 2 - R$ 106,50
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema
financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas
do dia-a-dia.
Os juros gerados a cada período são incorporados ao prin-
cipal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os juros
são incorporados ao principal.
Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: M =P. (1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M
= P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M
= P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Simplificando, obtemos a fórmula: M = P . (1 + i) n
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma
medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n
meses.
Para calcular apenas os juros basta diminuir o principal
do montante ao final do período: J = M - P
Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$6.000,00,
aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5%
ao mês. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)
Resolução:
P = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = ?
Usando a fórmula M = P.(1+i)n, obtemos:
M = 6000. (1+0,035)12 = 6000 . (1,035)12
Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:
log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x =
0,1788 => x = 1,509
Então M = 6000.1,509 = 9054.
Portanto o montante é R$ 9.054,00
RELAÇÃO ENTRE JUROS E PROGRESSÕES
- num regime de capitalização a juros simples o saldo
cresce em progressão aritmética
- num regime de capitalização a juros compostos o
saldo cresce em progressão geométrica
TESTES
1) Uma pessoa deseja emprestar um Capital para obter taxa
de juros reais de 5% ao ano. Se a inflação do ano em questão
for 20%, qual a taxa de juros aparentes a ser cobrada?
Solução:
FATOR DE JUROS APARENTES =
FATOR DE INFLAÇÃO x FATOR DE JUROS REAIS
FATOR DE JUROS APARENTES =
1,20 x 1,05 = 1,26
TAXA DE JUROS APARENTES =
26% ao ano
2) Se uma aplicação financeira, em um ano você obteve
rendimento de 30%, e no mesmo período a taxa de inflação
foi de 25%, qual foi a taxa de juros reais?
Solução:
FATOR INFLAÇÃO, FATOR JUROS REAIS =
FATOR JUROS APARENTES
1,25 + T = 1,30
 4% ao mês
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
26
ÁREA DE FIGURAS PLANAS,
VOLUMES DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS
PERÍMETRO
Definição: Perímetro é a soma das medidas dos lados de
um polígono. É representado por 2p.
Ex.:2p = 4 + 7 + 4 + 7
2p = 22m
Obs.: A metade do perímetro é o semi-perímetro (p).
No exemplo anterior: 
Perímetro de uma circunferência:
 2p = 2R - onde:
2p = perímetro -  = 3,14 (aproximado) - R = raio
Ex.: Calcular o perímetro e o semi-perímetro de uma cir-
cunferência de 60m de raio.
2p = 2 . 3,14 . 60 = 376, 8 m
Semi-perímetro:
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Área do Quadrado:
Área do Losango:
S = l 2
onde l é a medida do lado.
Ex.: Calcular a área do qua-
drado de lado igual a 10m.
S = l 2 = 102 = 100 m2
Resposta: S = 100 m2
Área do Retângulo:
b = base
h = altura
S = b . h
 Área do Triângulo:
b = base
h = altura
Ex.: Calcule a área de um triângulo de base igual a 4m e
altura igual a 5m.
Ex.: Calcule a área de um losango cujas diagonais me-
dem respectivamente 8 e 5 metros.
Área do Trapézio:
B = base maior
b = base menor
h = altura
Ex.: Calcule a área de um trapézio cujas bases medem
respectivamente 10 e 6 metros e a altura 4 metros.
 Área do Círculo:
S = R2
 = 3,14
(aproximadamente)
R = raio
Ex.: Calcular a área de um círculo cujo raio mede 10m.
S = R2 = 3,14 . 102  S = 314m2
Observações Importantes:
- Triângulo Isósceles -
possui 2 lados iguais e 2 ângu-
los da base também iguais.
- Triângulo equilátero -
possui 3 lados e 3 ângulos
iguais
-
d = diagonal menor
D = diagonal maior
- Triângulo retângulo -
possui 1 ângulo reto
a - hipotenusa (lado oposto
ao ângulo reto).
b, c - catetos (lados que for-
mam o ângulo reto).
a2 = b2 + c2 =>
Teorema de Pitágoras
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
27
VOLUMES DE SÓLIDOS
Volume do Paralelepípedo:
a = comprimento b = largura
c = altura v = volume
 v = a . b . c
Ex.: Calcular o volume do paralelepípedo cujas dimensões (com-
primento, largura e altura), são respectivamente 5m, 3m e 2m.
V = a . b. c = 5 . 3 . 2  V = 30m3
Volume do Cubo:
O cubo é um paralelepípedo cujas dimensões são todas iguais.
V = a3
a = aresta do cubo
V = volume
Ex.: Calcular o volume de um cubo cuja aresta mede 3m.
V = a3 = 33  V = 27 m3
Volume do Prisma:
V = S
b
 . h
h = altura
S
b
 = área da base
V = volume
Ex.: Calcular o volume de um prisma sabendo-se que a
área de sua base é 9 m2 e a altura é 20 m.
V = Sb . h = 9 . 20  V = 180 m3
V = volume
Sb = área da base
h = altura
Ex.: Calcular o volume de uma pirâmide, sabendo-se que a
área de sua base é igual a 21 m2 e a altura 46 m.
V =  . R2 . h
V = volume
 = 3,14 (aproximado)
R = raio da base
h = altura
Volume do Cone:
V = volume
p = 3,14 (aproximado)
R = raio da base
h = altura
Volume da pirâmide:
Volume do Cilindro:
PROBLEMAS
1) Calcular a área de um quadrado de 5cm de lado.
2) Um quadrado tem área igual a 64m2. Determinar a me-
dida de seu lado.
3) O perímetro de um retângulo é 50cm e sua altura é
10cm. Calcular a sua área.
4) Calcule a área de um círculosabendo-se que o perí-
metro de sua circunferência mede 62,8m.
5) A área de um quadrado em cm2 é o quádruplo de seu
lado. Quanto mede o referido lado.
6) A área de um losango é igual a 20 cm2 e uma das
diagonais mede 8 cm. Qual a medida da outra diagonal?
7) A área de um trapézio é 30 m2 e a altura 10 m. Saben-
do-se que a base maior mede o dobro da menor, calcule as
medidas das mesmas.
8) A soma das medidas das diagonais de um losango é 7
metros. Calcule a diagonal maior, sabendo-se que a área é
igual a 6 m2.
9) O volume de um cubo é o quádruplo de sua aresta.
Calcule a aresta deste cubo.
10) O volume de um paralelepípedo é igual a 144 m3, sendo
o comprimento o dobro da largura e esta o triplo da altura.
Calcule as dimensões do paralelepípedo.
GABARITO
1) 25cm2
2) 8m
3) 150cm2
4) 314m2
5) 4cm
6) 5cm
7) 4 e 2m
8) 4m
9) 2m
10) 12; 6 e 2 metros
Ex.: Calcular o volume de um cilindro sabendo-se que o
raio da base mede 9m e a altura 20m.
V =  . R2 . h = 3,14 . 92 . 20  V = 2543,4 m3
Ex.: Calcular o volume de um cone sendo o raio da base
igual a 3m e a altura 12m.
Volume da Esfera:
V = volume
R = raio
 = 3,14
Ex.: Calcular o volume de uma esfera cujo raio mede 6m.
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
28
GEOMETRIA
CONCEITOS BÁSICOS
A Geometria Elementar, também chamada Geometria
Euclidiana, fundamenta-se em três entes geométricos acei-
tos sem definição: ponto, reta e plano.
Representação: pontos A, B, E, ...
retas: r, s, r, ...
planos: a, b, g, ...
Indicaremos por:
ponto: . A
reta: r
plano: 

AB : uma reta que passa pelos pontos A e B.
A B
..
AB : uma semi-reta de origem em A e que contém o ponto B.
A B
..
AB : um segmento de reta de extremidades A e B.
A B
..
AB : a medida de um segmento AB.
A
2 cm
B
..
AB CD : dois segmentos AB e CD congruentes.
C
2 cm
D
..
Obs.: Postulado é uma proposição aceita como verdadei-
ra, sem demonstração. Teorema é uma proposição aceita como
verdadeira, mediante demonstração.
ÂNGULOS
Definição: ângulo geométrico é a reunião de duas semi-
retas de mesma origem e não colineares.
Nomenclatura: O... vértice OA e OB ... lados
A
B
O
Notação: AÔB - Um ângulo pode ser medido por meio de um
instrumento chamado transferidor, que tem o grau como unidade.
A medida de um ângulo geométrico é um número real a,
tal que 0 < a < 180.
Vamos convencionar que:
AÔB: ângulo geométrico
m(OB): medida do ângulo
O
B
A
t
Obs.: Dois ângulos são chamados congruentes se, e
somente se, têm a mesma medida, na mesma unidade.
Os ângulos ABC e DEF , na figura, são congruentes.
Indicamos: ABC DEF 
Seja um ângulo AOB situado num plano a (o da folha) e
consideremos os semiplanos a
1
, de origem na reta OA e que
contém o lado OB , e a
2 
, de origem na reta OB e que contém
o lado OA , conforme a figura (a). O conjunto dos pontos
comuns aos semiplanos a
1
 e a
2
 chamamos de setor angular.
O
B
A
(a)


A figura (b) mostra um setor angular.
O
B
A
(b)
Um ponto que pertence ao setor angular e não pertence
ao ângulo diz-se ponto interior ao ângulo.
Na figura, o ponto P é interior ao ângulo AOB .
O
B
.P
A
Um ponto do ponto do ângulo que não pertence ao setor
angular diz-se ponto exterior ao ângulo.
O ponto Q, na figura, é exterior ao ângulo AOB .
O
B
.Q
A
Ângulos que possuem o mesmo vértice e um lado comum
são chamados ângulos consecutivos.
Os ângulos AOB e AOC são consecutivos.
O
B
C
A
Dois ângulos consecutivos que não possuem ponto inte-
rior comum são chamados ângulos adjacentes.
Os ângulos AOB e AOC são adjacentes.
O
B
C
A
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS
CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
29
Bissetriz de um ângulo á a semi-reta interior do ângulo,
que determina com os seus lados dois ângulos adjacentes e
congruentes.
Dois ângulos são chamados opostos pelo vértice se,
e somente se, os lados de um são as semi-retas opostas dos
lados do outro.
B’ A
A’ B
O.
Na figura, os ângulos AOB e A O B'  ' ' são opostos
pelo vértice.
Indicamos: o.p.v.
Duas retas são chamadas concorrentes se, e somente
se, elas têm um único ponto comum.
r
s
P.
A figura ao lado mostra duas retas r e s concorrentes em P.
Duas retas são chamadas perpendiculares se, e so-
mente se, são concorrentes e formam ângulos adjacentes
suplementares congruentes.
....
r
s
Na figura, as retas r e s são perpendiculares.
Decorre dessa definição que duas retas perpendicula-
res formam quatro ângulos retos.
Indicamos: r s.
Mediatriz de um segmento é a reta perpendicular a este
segmento pelo seu ponto médio.
.. ..
m
MA B
A figura mostra a reta m, mediatriz do segmento AB.
O
A
C
B
.
Na figura, OC é bissetriz do ângulo AOB .
Ângulo reto é um ângulo cuja medida é 90º.
B
AO
90º.
Na figura, AOB é um ângulo reto.
O símbolo . representa um ângulo reto.
B
AO
30º
Na figura, AOB é ângulo agudo.
B
A
O
100º
Na figura, AOB é ângulo obtuso.
30º
60º
Dois ângulos são chamados suplementares se, e so-
mente se, a soma de suas medidas é igual a 180º.
130º 50º
Ângulo agudo é um ângulo cuja medida é menor que 90º.
Ângulo obtuso é um ângulo cuja medida é maior que 90º.
Dois ângulos são chamados complementares se, e
somente se, a soma de suas medidas é igual a 90º.
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
30
POLÍGONO: REGIÃO PLANA LIMITADA
POR UMA LINHA POLIGONAL FECHADA
TRIÂNGULOS: Definições:
Triângulo é a reunião de três segmentos cujas extremi-
dades são três pontos não colineares.
A figura ao lado mostra um triângulo. Os pontos A, B e C
são os vértices e os segmentos AB, AC e BC são os lados do
triângulo.
Indicamos um triângulo de vértices A, B e C por  ABC.
A
.P
B C
A reunião de um triângulo com o seu interior é chamada
região triangular.
Os pontos que não pertencem à região triangular são os
pontos exteriores ao triângulo.
Na figura Q, é um exterior ao triângulo.
A
.Q
B C
Ângulo externo a um triângulo é aquele que é adjacen-
te e suplementar a um de seus ângulos internos.
Classificação dos triângulos:
Podemos classificar os triângulos de dois modos:
1º) Quanto aos lados:
Equiláteros: os que têm os três lados congruentes.
A
B C
AB AC BC 
Isósceles: os que têm dois lados congruentes.
Escalenos: os que têm os três lados não congruentes
entre si.
2º) Quanto aos ângulos:
Retângulos: quando têm um ângulo reto.
Obtusângulos: quando têm um ângulo obtuso.
Os pontos comuns aos interiores dos ângulos BAC ,
ABC e ACB são os pontos interiores ao triângulo ABC.
Na figura, o ponto P é interior ao triângulo.
Os ângulos BAC , ABC e ACB são ângulos inter-
nos do triângulo.
A
B C
A
B C
Chama-se perímetro de um triângulo o número que ex-
prime a soma das medidas dos três lados. Indicamos por 2p.
Na figura, o lado BC é oposto ao ângulo BAC e o lado
BC é adjacente aos ângulos ABC e A CB .
Num triângulo, lado oposto a um ângulo é o lado que une
os vértices dos dois outros ângulos; lado adjacente a dois
ângulos é o lado que une os vértices desses dois ângulos.
Na figura, o ângulo ACD é um ângulo externo ao triân-
gulo ABC. A
B C D
A
B C
AB AC
A
B C
AB AC BC
A
B C
.
cateto
hipotenusa
c
ate
to
A
B C
Acutângulos: quando têm os três ângulos agudos.
A
B C
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS
CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
31
Elementos Notáveis de um triângulo:
Mediana de um triângulo é o segmento que une um vér-
tice ao ponto médio do lado oposto.
Na figura, AM é uma mediana do triângulo ABC.
RETAS PARALELAS:
Duas retas distintas são paralelas se, e somente se,
estão contidas no mesmo plano e não têm ponto em comum.
Na figura, as retas
r e s são paralelas.
Indicamos: r // s.
s
r
Postulados das paralelas (ou Euclides): por um ponto
fora de uma reta, existe apenas uma paralela a essa reta.
s
r
P
Duas retas r e s de um mesmo plano interceptadas pela
transversal t formam oito ângulos. Os pares de ângulos, um
com vértice em A e o outroem B, conforme figura, são assim
denominados:
1
5
2
6
3
7
4
8
A
t
r
sA
ângulos correspondentes 




51
84
62
73
 e 
 e 
 e 
 e 
ângulos alternos internos


64
53
 e 
 e 
ângulos alternos externos


71
82
 e 
 e 
ângulos colaterais internos


54
63
 e 
 e 
ângulos colaterais externos


81
72
 e 
 e 
A
B M C
.
Bissetriz de um triângulo é o segmento da bissetriz de
um ângulo interno que tem por extremidades o vértice desse
ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto.
A
B S C
.
Na figura, AS é a bissetriz do triângulo ABC.
Altura de um triângulo é o segmento da perpendicular traçada
de um vértice à reta suporte do lado oposto, cujos extremos são
esse vértice e o ponto de encontro com essa reta.
A
B H C
..
Na figura, AH é uma altura do triângulo ABC.
Mediatriz de um triângulo é a mediatriz de um de seus lados.
A
B M
m
C
..
Na figura, a reta m é a mediatriz do lado BC do triângulo
ABC.
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
32
Propriedade:
Uma reta transversal a duas retas paralelas formam ân-
gulos que obedecem às relações seguintes:
1ª) Os ângulos correspondentes e os ângulos alternos
são congruentes.
2ª) Os ângulos colaterais são suplementares.

 
t
r
s
Na figura, sendo t uma transversal às retas r e s,
temos:
a = b (alternos internos)
a + g = 180º (colaterais internos)
Nota: As recíprocas das propriedades 1ª e 2ª s ã o
verdadeiras.
Ângulos de um triângulo:
Propriedade: A soma das medidas dos ângulos inter-
nos de um triângulo é igual a 180º.
Da figura, sendo  ,  A B, C as medidas dos ângulos in-
ternos, temos:
B C
A
   =A+ +B C 180º
Propriedade: Em todo triângulo, qualquer ângulo exter-
no tem medida igual à soma das medidas dos dois ângulos
internos não adjacentes a ele.
Da figura a seguir, indicando por e a medida do ângulo
externo de vértice C, temos:
B C
A
e
  e = A + B
EQUILÁTEROS NOTÁVEIS:
TRAPÉZIO:
Definição: Um quadrilátero convexo é chamado trapézio
se, e somente se, possui dois lados paralelos.
A figura abaixo mostra um trapézio ABCD de bases AD e BC.
A
B
D
C
Classificação: Podemos classificar os trapézios em
três tipos:
1º tipo: Escaleno: os lados não paralelos não são
congruentes.
A figura mostra um trapézio escaleno ABCD.
A
B
D
C
2º t ipo: Isósceles: os lados não paralelos são
congruentes.
A figura mostra um trapézio isósceles ABCD.
A
B
D
C
3º tipo: Retângulo: um lado é perpendicular às bases.
A figura mostra um trapézio retângulo ABCD,
onde o lado AB é perpendicular às bases AD e BC.
..
.
A
B
D
C
PARALELOGRAMO:
Definição: Um quadrilátero convexo é chamado
paralelogramo se, e somente se, possui os lados opostos
paralelos.
A
B
D
C
A figura mostra um paralelogramo ABCD.
RETÂNGULO:
Definição: Um quadrilátero convexo é chamado retân-
gulo se e somente se, possui os lados opostos paralelos.
..
.
..
.
A
B
D
C
A figura mostra um retângulo ABCD.
Decorre dessa definição que cada ângulo de um retân-
gulo é reto.
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS
CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
33
LOSANGO:
Definição: Um quadrilátero convexo é chamado losango
se e somente se, possui os quatro lados congruentes entre si.
A
D
B
C
 A figura mostra um losango ABCD
QUADRADO:
Definição: Um quadrilátero convexo é chamado qua-
drado se, e somente se, possui os quatro ângulos
congruentes entre si e os quatro lados congruentes entre si.
..
.
..
.
A
B
D
C
A figura mostra um quadrado ABCD.
FEIXE DE RETAS PARALELAS:
Definições: Em um plano, um conjunto de três ou mais
retas distintas paralelas entre si denomina-se feixe de retas
paralelas.
a
b
c
Na figura, as retas a, b e c constituem um feixe de retas
paralelas.
a
A
t
b
Bc
C
Toda reta do plano que não pertence ao feixe de parale-
las encontra todas as retas desse feixe e é denominado
transversal do feixe.
a
A A’
t t’
b
Bc
d C C’
D D’
Considere um feixe de retas paralelas a, b, c e d e duas
transversais t e t'.
Os pares de segmentos AB e A'B', BC e B'C', CD e C'D',
AC e A'C' denominam-se segmentos correspondentes:
Teorema de Tales: Se um feixe de retas paralelas tem
duas transversais, então a razão entre dois segmentos quais-
quer de uma é igual à razão entre os respectivos segmentos
correspondentes da outra.
Hipótese a // b // c // d - t e t' são transversais.
 - Tese 
AB A B
CD C D


' '
' '
TRIÂNGULOS SEMELHANTES:
Definição: Dois triângulos são semelhantes se, e so-
mente se, os três ângulos são ordenadamente congruentes
e os lados homólogos são proporcionais.
A figura ao lado mostra dois triângulos ABC e A'B'C'
semelhantes.
A
B
c
a
b
C
 
A’
B’
c’
a’
b’
C’
Lados homólogos são os lados opostos a ângulos
ordenadamente congruentes.
Vértices homólogos são so vértices de ângulos or-
denadamente congruentes.
Razão de semelhança é a razão de dois lados
homólogos quaisquer..
Em símbolos:
ABC A B C
A A
B B
b
b
c
c
k
C C
~ ' ' '
 
 
' '
 


   

 e 
a
a'
Existência dos triângulos semelhantes:
Teorema fundamental: Se uma reta é paralela a um
dos lados de um triângulo e encontra os outros dois lados em
pontos distintos, então o triângulo que ela determina é seme-
lhante ao primeiro.
Hipótese DE // BC - Tese   ADE ABC~
A
B
D E
C
Demonstração: Seja DE a reta paralela ao lado BC.
Devemos demonstrar que os triângulos ADE e ABC têm
os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados
homólogos proporcionais.
1ª parte: Os três ângulos são ordenadamente
congruentes:
Com efeito:  A A (comum)
  D B (correspondentes)
  E C (correspondentes)
2ª parte: Os lados homólogos são proporcionais.
De fato, pela hipótese, temos: 
AD
AB
AE
AC
 (1)
Tracemos EF paralela ao lado AB, temos: 
AD
AB
AE
AC

A
B
D
F
E
C
 Por outro lado, o quadrilátero DBFE é um paralelograma
e, portanto, BF = DE. Substituindo na igualdade anterior, vem:
AE
AC
BF
BC
 (2)
Das relações (1) e (2), temos: 
AD
AB
AE
AC
 =
DE
BC
 e
os lados homólogos são proporcionais. Logo, os triângulos
semelhantes a um terceiro são semelhantes entre si.
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
34
RELAÇÕES MÉTRICAS
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Consideremos um triângulo ABC, retângulo em A, e tra-
cemos AD perpendicular a BC, com D em BC.
Nomenclatura:
BC ... medida da hipotenusa BC.
AC... medida do cateto AC.
AB... medida do cateto AB.
BD... medida da projeção de AB sobre BC.
CD ... medida da projeção de AC sobre BC.
AD... medida da altura relativa à hipotenusa BC.
D
Teorema: Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à
hipotenusa determina dois triângulos retângulos seme-
lhantes ao primeiro e semelhantes entre si.
Hipótese ABC é retângulo em A.
AD é altura relativa a BC.
Tese 1) DBA ~ ABC e DAC ~ ABC
 2) DBA ~ DAC
D
Demonstração:
Com efeito, a altura AD separa o triângulo ABC em dois
outros triângulos retângulos: DBA e DAC.
Os triângulos retângulos DBA e ABC têm em comum o
ângulo agudo B , portanto são semelhantes pelo 1º caso.
Os triângulos retângulos DAC e ABC têm em comum o
ângulo agudo C , portanto são semelhantes pelo 1º caso, o
que demonstra o item 1 da tese:
Por outro lado, os triângulos DBA e DAC são semelhan-
tes entre si, de acordo com a propriedade transitiva de
semelhança de triângulos.
Portanto: DBA ~ DAC c.q.d
RELAÇÕES MÉTRICAS
Teorema: Em um triângulo retângulo, a medida de cada
cateto é a média geométrica entre as medidas da hipotenusa
e a sua projeção sobre ela.
Hipótese A = 90º
Tese 1 . b2 = a . n 2 . c2 = a . n
Demonstração:
1) Da semelhança dos triângulos DAC e ABC, resulta:
a / b = b / n => b2 = a . n (I) c.q.d.
 
D
2) Da semelhança dos triângulos DBA e ABC, resulta:
a / c = c / m => c2 = a . m (II) c.q.d.
A
Teorema: Em um triângulo retângulo, a medida da altura
relativa à hipotenusa é a medidageométrica entre as medi-
das das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
Hipótese: A = 90º
Tese: h2 = m . n
A
h
Demonstração:
Da semelhança dos triângulos DBA e DAC, resulta:
h / m = n / h => h2 = m . n (III) c.q.d.
Hipótese: A = 90º
Tese: b . c = a . h
Teorema: Em um triângulo retângulo o produto das me-
didas dos catetos é igual ao produto das medidas da
hipotenusa e da altura.
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO
LÓGICA SENTENCIAL E DE PRIMEIRA ORDEM
PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS
PROPOSIÇÃO
Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou
símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.
Exemplos:
a) A Lua é um satélite da Terra
b) é um número irracional
c) 3 > 5
d) Vasco da Gama descobriu o Brasil
VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES
Chama-se de valor lógico de uma proposição a verdade se a
proposição for verdadeira e a falsidade se a proposição for falsa.
Os valores lógicos verdade e falsidade são representados
por V e F respectivamente.
Por exemplo: as proposições a) e b) são verdadeiras
enquanto que as proposições c) e d) são falsas.
PRINCÍPIOS DA LÍNGUA MATEMÁTICA
I - PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo
tempo.
II - PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO
Toda proposição é verdadeira ou falsa, isto é, verifica-se
sempre um desses casos e nunca um terceiro.
PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS
Chama-se proposição simples aquela que não contém
nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma.
Demonstração:
Da semelhança dos triângulos ABC e DAC, resulta:
a / c = c / h => b . c = a . h (IV) c.q.d.
Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, o
quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos qua-
drados das medidas dos catetos.
Hipótese: A = 90ºTese: a2 = b2 + c2
Demonstração: Com efeito, temos:
b2 = a . n e c2 = a . m
Somando as igualdades membro a membro, vem:
b2 + c2 = an + am => b2 + c2 = a (n + m)
Como n + m = a, temos:
b2 + c2 = a . a => b2 + c2 = a2 e, portanto:
a2 = b2 + c2 (V) c.q.d.
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
35
São representadas pelas letras minúsculas p, q, r, ...
Exemplos: p: Pedro é careca
q: 49 é quadrado perfeito
PROPOSIÇÃO COMPOSTA é aquela formada pela
combinação de outras proposições.
São representadas pelas letras maiúsculas
P, Q, R, ...
Exemplos: P: Carlos é estudante e Pedro é careca
Q: Se André é médico então sabe biologia
OBS.:
1. Escrevemos P (p, q, r,...) para indicar que a proposição
composta P é combinação das proposições simples p, q, r, ...
2. O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por
V (p) e o de uma proposição composta P indica-se por V (P).
CONECTIVOS
Chamam-se conectivos as palavras usadas para formar
novas proposições a partir de outras.
Os conectivos usuais em lógica são:
não _____________ negação ____________ ~
e _______________ conjunção___________ ^
ou ______________ disjunção ___________ v
Se... então ________ condicional __________ 
Se e somente se __ bicondicional ________ 
Exemplos:
Não tenho carro.
Pedro é estudante e Carlos professor.
Se Roberto é engenheiro então sabe matemática.
O triângulo ABC é retângulo ou Isósceles.
O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo.
OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES
- NEGAÇÃO (~)
Chama-se negação de uma proposição p a proposição
representada por não p cujo valor lógico é a verdade (v) se p
é falsa e a falsidade (f) se p é verdadeira.
Simbolicamente: ~p
O valor lógico da negação de uma proposição p é definido
pela seguinte tabela-verdade:
Em linguagem comum a negação efetua-se, nos casos mais
simples, antepondo o advérbio não ao verbo da proposição dada.
Por exemplo, a negação da proposição
p : o sol é uma estrela
~p: o sol não é uma estrela
Observe entretanto que a negação de
"Todos os homens são elegantes"
é
"Nem todos os homens são elegantes"
e a de
"Nenhum homem é elegante"
é
"Algum homem é elegante".
- CONJUNÇÃO ( ^ )
Chama-se conjunção de duas proposições p e q a
proposição representada por p e q, simbolizada por p ^ q,
cujo valor lógico é dado pela seguinte tabela-verdade:
- DISJUNÇÃO ( v )
Chama-se disjunção ou disjunção inclusiva de duas
proposições p e q a proposição representada por p ou q,
simbolizada por p v q, cujo valor lógico é dado pela tabela-verdade.
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA ( V )
Considere as proposições:
P : Carlos é médico ou professor.
Q : Mário é alagoano ou gaúcho.
A proposição P indica que pelo menos uma das proposições
Carlos é médico, Carlos é professor é verdadeira podendo
ser ambas verdadeiras, Carlos é médico e professor. Neste
caso, o ou é inclusivo e usa-se o símbolo v.
Assim, a proposição P é a disjunção inclusiva ou disjunção das
proposições simples Carlos é médico, Carlos é professor, isto é:
P : Carlos é médico v Carlos é professor.
Por outro lado, a proposição Q indica que somente uma das
proposições simples Mário é alagoano, Mário é gaúcho é
verdadeira pois não é possível ocorrer Mário é alagoano e gaúcho.
Dizemos, neste caso, que o ou é exclusivo e usa-se o símbolo v.
Assim, a proposição Q é a disjunção exclusiva das
proposições simples Mário é alagoano, Mário é gaúcho, isto é:
Q : Mário é alagoano v Mário é gaúcho
A disjunção exclusiva de duas proposições p e q é
simbolizada por p v q e se lê ou p ou q mas não ambos.
Seu valor lógico é definido pela tabela-verdade:
CONDICIONAL ( )
Chama-se proposição condicional de duas proposições p
e q a proposição se p então q cujo valor lógico é dado pela
tabela-verdade abaixo.
Notação: p q que se lê de uma das seguintes maneiras:
- se p então q
- p somente se q
- q se p
- p é condição suficiente para q
- q é condição necessária para p
Obs.:
1. Na condicional p q, p é chamado antecedente, q é
chamado conseqüente e o símbolo é chamado símbolo de
implicação.
2. Uma condicional p q não afirma que o conseqüente
q se deduz do antecedente p, apenas estabelece uma relação
entre os valores lógicos do antecedente e do conseqüente de
acordo com a tabela verdade acima.
BICONDICIONAL ( )
Chama-se proposição bicondicional de duas proposições
p e q a proposição p se e somente se q cujo valor lógico é
dado pela seguinte tabela-verdade.
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS
CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
36
Notação: p q que se lê:
- p se e somente se q
- p é condição necessária e suficiente para q
- q é condição necessária e suficiente para p
- p se q, e p somente se q
- se p então q e se q então p.
ENUMERAÇÃO POR RECURSO
Enumeração é a seqüência de pelo menos dois elementos de
mesmo status sintático no discurso. Há três tipos de enumeração:
Aditiva - representada pelo conetivo ‘e’.
Optativa exclusiva - representada pelo conetivo ‘ou’.
Optativa não exclusiva - representada pela conexão ‘e/ou’.
Geralmente os elementos de uma enumeração são
comuns a uma classe.
Quando isso ocorre temos uma enumeração com
paralelismo de similaridade.
Hipoteticamente pode-se supor uma enumeração caótica,
aquela em que os elementos são totalmente disjuntos. 
Enumeração ordenada: é aquela em que a disposição
dos elementos na seqüência admite algum tipo de ordem.
Enumeração na enumeração: há casos em que um ou
mais elementos da enumeração são enumeração.
Enumeração classificada: ocorre quando os termos
da enumeração são classes de uma taxonomia.
Diferencia-se da enumeração com paralelismo pois, no
paralelismo, não existe a obrigatoriedade de atender às regras
que definem uma taxonomia, como conter todos os elementos
do universo considerado e não haver interseção de domínios.
CLASSIFICAÇÃO DE PROPOSIÇÕES
Tautologia: proposição cuja tabela verdade é V em todas
as linhas, ou seja, ela é sempre verdadeira independentemente
do valor lógico das proposições simples que a compõem.
Contingência ou indeterminação: proposição cuja tabela
verdade tem linhas V e linhas F, dependendo das componentes.
Contradição: é uma proposição que é sempre falsa,
independentemente das componentes.
RAZÕES E PROPORÇÕES:
RAZÃO DE DUAS GRANDEZAS,
PROPORÇÃO E SUAS PROPRIEDADES,RAZÃO:
Definição: denomina-se razão de dois números a e b, o
quociente de a por b (b = 0 ).
Notação: a/b ou a:b
Obs.: 1ª) O primeiro termo de uma razão é denominado
antecedente e o segundo conseqüente.



econsequent - b
eantecedent - a
=b : a ou
b
a
2ª) Quando o antecedente de uma razão é igual ao conse-
qüente de outra, e vice-versa, as razões são ditas inversas.
4
3
3
4
;
3
5
5
3
;

ee
a
b
e
b
a
 são razões inversas.
PROPORÇÃO:
Definição: denomina-se proporção a igualdade de duas
razões.
d
c
b
a
 ;
20
12
5
3
;
9
6
3
2
ou a : b = c : d
a e d (extremos da proporção)
b e c (meios da proporção)
Propriedade Fundamental das Proporções: Em
toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos
extremos.

d
c
b
a
a . d = b . c
10 . 3=15 . 2
15
10
3
2

Quarta Proporcional: denomina-se quarta proporcional ao
número que com três outros forma uma proporção.
Ex.: Determinar a quarta proporcional entre os números
3, 5 e 9.
Solução: Seja x a quarta proporcional procurada; en-
tão:

x
9
5
3
 3x = 9 . 5 3x = 45  x = 3
45
  x = 15
Proporção Contínua: uma proporção é chamada contí-
nua, quando ela possui os meios ou os extremos iguais.
Ex.: 
2
4
4
8
 ou 2 : 4 = 4 : 8 (meios iguais)
8
1 6
4
8
 ou 8 : 16 = 4 : 8 (extremos iguais)
Observações Importantes:
1ª) O meio, ou extremo, comum em uma proporção contínua
é a média proporcional ou média geométrica.
Assim: 
8
4
4
2
 4
é a média proporcional ou média geométrica, entre 2 e 8.

8
4
16
8
 8
é a média proporcional ou média geométrica, entre 16 e 4.
2ª) Os termos desiguais de uma proporção contínua, de-
nominam-se terceira proporcional. Então:
8
4
4
2
 



. . 4 entre alproporcion terceira a e 8 
. . 4 2
9
8entrealproporcionterceiraae
Ex.: 1) Calcule a média proporcional entre 4 e 9.
Solução: Chamando de x a média proporcional ou geo-
métrica, temos:

9
4 x
x
4 . 9 = x . x 2x = 4 . 9
x = 4 . 9 x = 6
ou então: 
x
x 9
4
 x . x = 4 . 9
x2 = 4 . 9 x = 4 . 9 x = 6
3ª) Em uma proporção podemos permutar entre si, sem
alterar a mesma:
a) os meios entre si
b) os extremos entre si
c) os antecedentes com seus respectivos consequentes.
Ex.: 
a
b
c
d
a .  d = b . c
a) 
a
c
b
d
a .  d = b . c
b) 
d
b
c
a
a .  d = b . c
c) 
b
a
d
c
a .  d = b . c
Note que a proporção não foi alterada em nenhum caso,
pois se verificou a propriedade fundamental em todas elas
sem alteração: a . d = b . c
Propriedades das Proporções:
Dada a proporção 
a
b
c
d
 podemos escrever:
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CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
37
1ª Propriedade:
a b
b
c d
d



 ou
a b
a
c d
c



MÉDIAS
Média Aritmética (Ma): a média aritmética de dois ou
mais números, é o quociente da soma desses números pelo
número de parcelas. Assim, a média aritmética entre os nú-
meros a, b e c será:
2ª Propriedade:
d
c
 
b
a
 
d b
c a



3ª Propriedade:
a
b
c
d
n
n
n
n
 ou
a
b
c
d
n
n
n
n

4ª Propriedade:
a . a
b
c
d
 c
b . d
=
2
2
2
2
Ma
a b c

 
3
Média Aritmética Ponderada (Mp): a média aritmética
ponderada é igual ao somatório dos produtos de n números
pelos seus respectivos pesos, dividido pelo somatório des-
ses pesos. Assim, a média aritmética ponderada dos números
a, b e c de pesos respectivamente iguais a p, q e r será:
Mp
a .

 p + b . q + c . r
p + q + r
Média Harmônica (Mh): denomina-se média harmônica
de vários números, o inverso da média aritmética dos inver-
sos desses números. Assim a média harmônica dos núme-
ros a, b e c será:
Mh 
 
3
1
a
1
b
1
c
Escala (E):
Definição: é a razão entre o comprimento do desenho e
o comprimento real a que corresponde.
E
D
R
 onde: E escala
D comprimento do desenho
R comprimento real
Importante:
- As grandezas D e R devem estar na mesma unidade.
- A razão da escala deve ser uma fração irredutível.
Quando 2 cm no desenho corresponde a 1m real temos:
E = 
2 cm
100 cm : 2
 2 E = 
1
50
: 
fração irredutível
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
1) Calcule x na proporção:
 x : (3 - 0,75) = 4 : (2 - 1/8)
Solução: aplicando a propriedade fundamental em:
x
3 -

 
75
100
= 
4
2 - 
1
8
 
8
1 - 16
 4
 
100
75300


x
 
15
8
 . 4
225
 . 
100
x
5
24
225
100
15
8
 . 4  xx
GRANDEZAS DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando
uma cresce, a outra também ou quando uma decresce e a
outra também. Ex.: Kg de feijão e dinheiro. Um pouco de
feijão custa um preço. Se comprarmos mais quilos pagare-
mos mais.
GRANDEZAS INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS
Duas grandezas são inversamente proporcionais quan-
do uma cresce e a outra decresce ou vice-versa. Ex.: Velo-
cidade e tempo. Andarmos com determinada velocidade para
percorrermos uma distância e demoramos um tempo. Se
aumentermos a velocidade, o tempo diminui para per-
correr a mesma distância.
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
Definição: A regra de três consiste na comparação de
grandezas proporcionais diretas ou inversas. Pode ser:







aisproporciongrandezas
demaisenvolveComposta
aisproporciongrandezasenvolveSimples
 
2 
 2 
Regra de Três Simples: Pode ser:





inversasgrandezasInversa
diretasgrandezasDireta
 2 
 2 
Direta: a resolução é feita através de proporção como a
montagem do problema. Ex.: Uma quantidade de 21 quilos de
arroz custa R$ 42,00. Calcular o preço de 15 quilos deste arroz.
Solução:
kg-arroz - R$
X
42
15
21

30
21
42 . 15000.42
15
21
 X
X
Resposta: R$ 30,00
Inversa: a resolução é feita através de proporção inver-
tendo-se os dados de uma das duas grandezas proporcionais.
Ex.: Um automóvel percorre na estrada uma determinada dis-
tância. Sabendo que com a velocidade de 50 Km/h, demora 4
horas, quanto tempo gastará se a velocidade for de 40 Km/h?
Solução:
km/h - hora
X
4
40
50

50
40 4
4
40
5  
x . 50
Resposta: 5 horas
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS
CONHECIMENTOS DE MATEMÁTICA
38
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Envolve mais de duas grandezas proporcionais. A reso-
lução poderá ser feita de duas maneiras.
1º método:
Comparamos a grandeza a determinar com as demais.
Se for inversa, invertermos os dados dessa grandeza (das
demais).
A grandeza a determinar não se altera.
Por fim igualamos a razão de grandeza a determinar com
a razão do produto dos dados das demais grandezas e de-
terminamos o valor procurado.
Ex.: Na alimentação de 3 cavalos, durante 7 dias são
consumidos 1470 Kg de alfafa.
Se mais cinco cavalos são adquiridos, quantos quilos de
alfafa serão necessários para alimentá-los durante 10 dias?
Solução:
alfafa(kg) dias cavalos
8
3
10
71470

x
1470 7 1470
x
x  
 . 3
10 8
 . 10 8
7 3.
.
.
x = 5.600
Resposta: 5.600 Kg
2º método:
Unimos por uma linha as causas dos primeiros dados
com a conseqüência dos segundos casos e por outra linha
as causas dos segundos dados com a coseqüência dos
primeiros dados.
Igualamos o produto de uma linha com o produto da outra
para determinar o valor procurado.
Observe que neste método não é necessário a compara-
ção das grandezas proporcionais, mas a noção do que é
causa e conseqüência.
Conseqüência é tudo que se produz ou se faz tendo
como causa o trabalho e seus fatores para determiná-lo.
Ex.: mesmo do 1º método:
alfafa(kg) dias cavalos
8
3
10
71470
x
Para determinarmos a conseqüência faremos a pergun-
ta: o que foi feito?
A resposta é: a alimentação dos cavalos através de qui-
los de alfafa.
O restante então é a causa da alimentação dos cavalos
e do problema.
Então igualamos as duas linhas de daos como explicado
anteriormente.
x . 7 . 3 = 1470 . 10 . 8
x  
1470
5600
 . 10 8
7 3
.
.
.
Resposta: 5.600 Kg
Observe que qualquer dos 2 métodos pode ser utilizado.
Cada um escolherá o que melhor entender.
PORCENTAGEM
DEFINIÇÃO: pode ser definida como sendoo número de
centésimos existentes em uma grandeza. A taxa de porcen-
tagem é a representação de uma fração onde o denominador
é 100. Assim a fração 20/100 é equivalente à notação 20%.
%  representação de porcentagem.
Ex.: 1) Dar a fração irredutivél equivalente a cada uma
das notações percentuais abaixo:
a) 15% b) 20%
Solução:
5
1
20:
100
 20
=20% b) 
20
3
=5 :
100
15
%15 ) a
Ex.: 2) Estabelecer a notação percentual equivalente a
cada uma das frações seguintes: a) 2/5 b) 5/4
Solução:
a) 
2
5
40
100
40%= = b) 
5
4
125
100
125%= =
Obs.: Taxa Milesimal é a representação de uma fração
onde o denominador é 1000. Assim 2/1000 é anotado por 2%
. Todo o trabalho algébrico da taxa milesimal segue o mesmo
procedimento da taxa percentual.
CÁLCULO DA PORCENTAGEM:
Sempre que, por exemplo, escrevendo 20% estamos nos
referindo a 20% de um determinado valor. Este valor é cha-
mado de principal, isto é, o valor sobre o qual calculamos a
porcentagem. Este valor equivale sempre a 100% ou a um
inteiro. Ex.: 20% de 500.
100
i . p
P  




 
(p) principal-500
(i) taxa=20
(P) 100 mporcentage
Podemos calcular também a porcentagem através de re-
gra de três simples direta.
Ex.:
Percentual / valor
x
500
20
100

x = 100




 
(p) principal-500
(i) taxa=20
(P) 100 mporcentage
Transações Comerciais:
Existe nas transações comerciais o preço de custo de
uma mercadoria e o seu preço de venda também. Toda vez
que se calcula o percentual de lucro ou de prejuízo sobre
determinado valor, este valor equivale a 100%, como já vis-
to, pois é o principal.
Numa transação comercial pode haver lucro ou prejuízo.
Lucro (L) - o preço de venda (Pv) é maior que preço de
custo (Pc). Prejuízo (P) - o preço de venda (Pv) é menor que
o preço de custo (Pc).
Observe que:
 
 L = Pv - Pc
% . L = % . Pv - % . Pc
 P = Pc- Pv
% . P = % . Pc - % . Pv
Importante frisar que se o lucro for calculado sobre o
preço de custo, este equivale a 100% e se for sobre o preço
de venda, este também equivale a 100%.
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS39
MATEMÁTICA
ANÁLISE COMBINATÓRIA
CONTAGEM:
PRINCÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO.
INTRODUÇÃO:
Análise combinatória é a parte da Matemática que estuda
o número de possibilidades de ocorrência de um determinado
acontecimento (evento) sem, necessariamente, descrever
todas as possibilidades.
FATORIAL:
Sendo n um número inteiro, maior que 1 (um), define-se
fatorial de n, e indica-se n!, a expressão:
1º lugar
(4)*
2º
(3)* 
 lugar 3º
(2)* 
 lugar
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
3
4
2
4
2
3
3
4
1
4
1
3
2
4
1
4
1
2
2
3
1
3
1
2
Ordem de
chegada
(24)
c c c
c c c
c c c
c c c
c c c
c c c
c c c
c c c
c c c
c c c
c c c
c c c
c c c
c c c
c c c
c c c
c c c
c c c
c c c
c c c
c c c
c c c
c c c
c c c
1 2 3
1 2 4
1 3 2
1 3 4
1 4 2
1 4 3
2 1 3
2 1 4
2 3 1
2 3 4
2 4 1
2 4 3
3 1 2
3 1 4
3 2 1
3 2 4
3 4 1
3 4 2
4 1 2
4 1 3
4 2 1
4 2 3
4 3 1
4 3 2* possibilidade(s)
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
O esquema desenvolvido no exemplo é chamado árvore
das possibilidades e facilita a resolução dos problemas de
contagem.
A partir do exemplo podemos enunciar o princípio fun-
damental da contagem, que nos mostra um método algébri-
co para determinar o número de possibilidades de ocorrer um
evento, sem precisarmos descrever todas as possibilidades.
Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas
sucessivas e independentes, de tal modo que:
p
1
 é o número de possibilidades da 1ª etapa
p
2
 é o número de possibilidades da 2ª etapa
.
.
.
p
k
 é o número de possibilidades da k-ésima etapa,
então, p
1
 . p
2
 ... p
k
 é o número total de possibilidades de o
acontecimento ocorrer.
Ex.: Os números dos telefones de São Paulo têm 7 alga-
rismos. Determinar o número máximo de telefones que podem
ser instalados, sabendo-se que os números não podem co-
meçar com zero.
Resolução:
 9 10 10 10 10 10 10
Com os algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) temos 9
possibilidades diferentes de escolha para o primeiro algaris-
mo (o zero não pode ser colocado) do número do telefone e
dez possibilidades para os outros algarismos.
Logo, pelo princípio fundamental da contagem, temos:
9 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 9 000 000
Resposta: O número de telefones é 9 000 000.
ARRANJOS SIMPLES
Arranjo simples é o tipo de agrupamento sem repetição
em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela
natureza dos elementos componentes.
Exemplo: Quantos números de dois algarismos (elemen-
tos) distintos podem ser formados usando-se os algarismos
(elementos) 2, 3, 4 e 5?
Resolução:
1º algarismo
(4)*
2º algarismo
3
4
5
2
4
5
2
3
5
2
3
4
(3)* 
números formados
23
24
25
32
34
35
42
43
45
52
53
54
(12 números)
* possibilidade(s)



 

n) de fatorial ou fatorial n :se-(lê !
1 n e IN n
n
n! = n(n - 1) (n - 2) ... 3 . 2 . 1
15 
8
120
2 6
120
 
1 . 2 1 . 2 . 3
1 . 2 . 3 . 4 . 5
 
!2!3
!5






Resposta: 15
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Vamos resolver um problema, descrevendo todos os re-
sultados possíveis de um acontecimento.
Quatro carros (c
1
, c
2
, c
3
, e c
4
) disputam uma corrida.
Quantas são as possibilidades de chegada para os três pri-
meiros lugares?
Definições especiais: 
1 1!
1 !0


n! = n . (n - 1)! = n (n - 1) . (n - 2)! = n (n - 1) . (n - 2) . (n - 3)!
Ex. : 2! !3
!5
 Resolução:
Observe que:
- o número de possibilidades para o 1º lugar é 4
- o número de possibilidades para o 2º lugar é 3
- o número de possibilidades para o 3º lugar é 2
- o número total de possibilidades é 4 . 3 . 2 = 24
Resposta: Podem ser formados doze números de dois
algarismos distintos.
Observe no exemplo dado que os grupos (números ou
elementos) obtidos diferem entre si:
- pela ordem dos elementos (23 e 32, por exemplo);
- pelos elementos componentes (natureza) (25 e 43, por
exemplo).
Os grupos assim obtidos são denominados arranjos sim-
ples dos 4 elementos tomados 2 a 2, e são indicados A
4,2
.
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS40
MATEMÁTICA
Daí define:se
Arranjos simples de n elementos tomados p a p são
todos os agrupamentos sem repetição que é possível formar
com p (n  p) elementos diferentes escolhidos entre os n
elementos de um conjunto dado.
Indica-se: A
n,p
 ou pnA
FÓRMULA DOS ARRANJOS SIMPLES
Utilizando o princípio fundamental da contagem, se tivés-
semos n elementos para formar grupos de p elementos (p n),
obteríamos:
1º algarismo 2º algarismo 3º algarismo ... pº algarismo
 n n - 1 n - 2 n - (p - 1) ou n - p + 1 
Logo, o número de arranjos simples de n elementos em
grupos de p elementos é dado por:
fatores 
1) p - (n ... 2) - (n 1) - n(n
 . ppn
A

A
n,p  lê-se: arranjos simples de n elementos tomados p
a p.
FÓRMULA UTILIZANDO O FATORIAL
Calculando A
7,4
, temos: A
7,4 
 = 7 . 6 . 5 . 4.
Multiplicando e dividindo por 3!, obtemos:
4)! - (7
7!
 
3!
7!
 
3!
3! . 4 . 5 . 6 . 7
 4,7 A
Generalizando, temos
A
n,p
 = n(n - 1) (n - 2) ... (n - p + 1).
Multiplicando e dividindo por (n - p)!, obtemos:
p)! - (n
p)! - (n
 . 1) p - (n ... 2) - (n 1) - (n n , pnA
p)! - (n
n!
pn,A 
Esta fórmula mostra que os arranjos dos n elementos to-
mados p a p podem ser escritos utilizando-se fatoriais.
Ex.: a) A
6,2
Resolução: A
6,2
 = 6 . 5 = 30
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Permutação simples é o tipo de agrupamento ordena-
do, em que entram todos os elementos em cada grupo.
Ex.: Quantos números de três algarismos distintos podem
ser formados usando-se os algarismos (elementos) 2, 4 e 5?
Resolução:
Resposta:
Podem ser formados seis números de três algarismos dis-
tintos.
Vemos, no exemplo dado, que os grupos (números) obti-
dos diferem um do outro apenas pela ordem dos elementos
(245 e 254, por exemplo).Os grupos assim obtidos são denominados permutações
simples dos 3 elementos tomados 3 a 3 e são indicados P
3
.
Observe que a permutação simples é um caso particular
de arranjo simples, isto é A
3.3 
= P
3
.
Fórmula das permutações simples
Em geral, temos:
A
n.p
 = n(n - 1) (n - 2) ... (n - p + 1)
Se n = p, vem:
A
n.n
 = P
n
 = n(n-1) (n-2) ... (n - n + 1) =
n(n-1) (n-2) ... 1.
Portanto:
P
n
 = n(n-1) (n-2) ... 1 = n!
Exemplo:
Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser
formados, usando-se os algarismos 1, 3, 5 e 7?
Resolução:
 P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
Resposta: Podem ser formados 24 números.
COMBINAÇÃO SIMPLES
Combinação simples é o tipo de agrupamento sem re-
petição em que um grupo é diferente de outro apenas pela
natureza dos elementos componentes.
Ex.: Quantas comissões de 2 pessoas podem ser forma-
das com 5 alunos (A, B, C, D e E) de uma classe?
Resolução:
1º algarismo
(3)*
2º algarismo
4
5
2
5
2
4
(2)*
3º algarismo
5
4
5
2
4
2
(1)*
números 
formados
245
254
425
452
524
542
(6 números)
* possibilidade(s)
Resposta:
Podem ser formadas 10 comissões de 2 pessoas.
No exemplo dado, note que os grupos AB e BA represen-
tam a mesma comissão.
Os alunos A e B, não importa a ordem, formam apenas
uma comissão.
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS41
MATEMÁTICA
Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3
compartimentos, o que dá C(10,3) possibilidades.
Agora coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos
restantes para obter C(10-3,2) possibilidades e finalmente
coloque as 5 bolas amarelas.
As possibilidades são C(10-3-2,5).
O número total de possibilidades pode ser calculado como:
!5!2!3
!10
!0!5
!5
!5!2
!7
!7!3
!10
5
2310
2
310
3
10






 





 






Tal metodologia pode ser generalizada.
NÚMERO DE COMBINAÇÕES COM REPETIÇÃO
Considere m elementos distintos e ordenados.
Escolha p elementos um após o outro e ordene estes
elementos na mesma ordem que os elementos dados.
O resultado é chamado uma combinação com repetição
de m elementos tomados p a p.
Denotamos o número destas combinações por C
rep
(m,p).
Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de
elementos.
Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6.
As coleções (a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c)
são exemplos de combinações com repetição de 5 elementos
escolhidos 6 a 6.
Podemos representar tais combinações por meio de
símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e
colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma
escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para
separar os objetos em função das suas diferenças
(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø
(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#
(
c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ
Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø.
Para cada combinação existe uma correspondência
biunívoca com um símbolo e reciprocamente.
Podemos construir um símbolo pondo exatamente 6 pontos
em 10 lugares.
Após isto, os espaços vazios são prenchidos com barras.
Isto pode ser feito de C(10,6) modos.
Assim: C
rep
(5,6) = C(5+6-1,6)
Generalizando isto, podemos mostrar que:
C
rep
(m,p) = C(m+p-1,p)
Isso significa que uma mesma comissão foi contada duas
vezes.
Portanto, o total de comissões é dez.
Fórmula das combinações simples
No exemplo anterior, para descobrirmos o número de com-
binações, basta calcular o número de arranjos e dividir o resul-
tado por 2 (20 : 2 = 10), que é o fatorial do número de elementos
que compõem cada comissão (2).
O número de combinações de n elementos de grupos de p
elementos é igual ao número de arranjos de n elementos toma-
dos p a p, dividido por p!, isto é,
Os grupos assim obtidos são denominados combinações
simples dos 5 elementos tomados 2 a 2, e são indicados C
5,2
.
Daí define-se:
Combinações simples de n elementos distintos tomados
p a p p) ( n são todos os subconjuntos de p elementos que
é possível formar a partir de um conjunto com n elementos.
Indica-se: C
n,p
.
10 
2
20 





Observe que os grupos obtidos diferem entre si pelos
elementos componentes (natureza), não importando a ordem
(posição) em que aparecem.
p)! - (n p!
n!
 
p!
p)! - (n
n!
 
!
A
 pn,,  p
C pn
p)! - (n p!
n!
 , pnC
C
n,p 
  lê-se: combinação simples de n elementos toma-
dos p a p.
Ex.: Quantas comissões constituídas de 3 pessoas, por
exemplo: A B C .
Invertendo-se a ordem dessas pessoas, obtemos a mes-
ma comissão.
Portanto, o problema é de combinação.
10
 1 . 2 . 3!
3! . 4 . 5
 
3)! - (5 3!
5!
 C 3,5 
Resposta: Podemos formar 10 comissões
NÚMERO DE ARRANJOS COM REPETIÇÃO
Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere
p elementos escolhidos neste conjunto em uma ordem
determinada.
Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo
com repetição de m elementos tomados p a p.
Acontece que existem m possibilidades para a colocação
de cada elemento, logo, o número total de arranjos com
repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp.
Indicamos isto por: A
rep
(m,p) = mp
NÚMERO DE PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÃO
Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas
amarelas.
Coloque estas bolas em uma ordem determinada. Iremos
obter o número de permutações com repetição dessas bolas.
Tomemos 10 compartimentos numerados onde serão
colocadas as bolas.
PROBABILIDADE
INTRODUÇÃO
Consideremos os seguintes experimentos:
• aquecimento da água contida em uma panela;
• queda livre de um corpo.
Conhecidas certas condições, podemos prever a tempe-
ratura em que a água entrará em ebulição e a velocidade com
que o corpo atingirá o solo.
Os experimentos cujos resultados podem ser previstos,
isto é, podem ser determinados antes da sua realização, são
denominados experimentos determinísticos.
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS42
MATEMÁTICA
PROBABILIDADE DE UM EVENTO
A teoria da probabilidade se aplica a vários campos liga-
dos a nossa vida real: genética, medicina, engenharia, as-
tronomia, etc..
• Definição
Se, num fenômeno aleatório, o número de elementos do
espaço amostral é n (U) e o número de elementos do evento
A é n(A), então a probabilidade de ocorrer o evento A é o
número p(A), tal que:
Consideremos também os experimentos.
• lançamento de uma moeda e leitura da figura da face
voltada para cima;
• lançamento de um dado comum e leitura do número
voltado para cima;
• nascimento de uma criança;
• sorteio de uma carta do baralho.
Se estes experimentos forem repetidos várias vezes,
nas mesmas condições, não poderemos prever o seu resul-
tado.
Experimentos que, ao serem realizados repetidas vezes,
nas mesmas condições, apresentarem resultados variados,
não sendo possível, portanto, a previsão lógica dos resulta-
dos, são denominados experimentos aleatórios.
Os experimentos aleatórios estão sujeitos à lei do acaso.
Como não podemos prever o resultado, procuraremos
descobrir as chances de ocorrência de cada experimento
aleatório.
A teoria da probabilidade estuda a forma de estabelecer
as chances de ocorrência de cada experimento aleatório.
ELEMENTOS
Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados
possíveis de um experimento aleatório. Indicaremos o espa-
ço amostral por U.
Exemplos:
Joga-se uma moeda e lê-se a figura da face voltada para
cima.
U = {cara, coroa}
Joga-se um dado comum e lê-se o número voltado para
cima.
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Jogam-se duas moedas diferentes e lêem-se as figuras
das faces voltadas para cima.
U = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, coroa), (coroa,
cara)}
• Evento é qualquer subconjunto do espaço
amostral.
Exemplo:
Seja uma urna, contendo 3 bolas pretas e 3 bolas verme-
lhas. Dessa urna são retiradas, sucessivamente, 3 bolas.
 P PPP
 P V PPV
 P
 V P PVP
V PVV
 P VPP
 P V VPV
 V
 V P VVP
V VVV 
1ª bola 2ª bola 3ª bola
O espaço amostral será:
U = {(PPP), (PPV), (PVP), (PVV), (VPP), (VPV), (VVP),
(VVV)}
Alguns eventos:
- evento 1: as três bolas têm a mesma cor 
{(PPP) (VVV)}
- evento 2: 2 das bolas são pretas
{(PPV) (PVP) (VPP)}- evento 3: as três bolas são vermelhas
{(VVV)}
- evento 4: o número de bolas pretas é igual ao número
de bolas vermelhas { }
3ª) É comum representarmos as probabilidades em por-
centagem. Por exemplo, em vez de dizermos P(A) = 1/2,
podemos dizer P(A) = 50%.
Exemplo:
No lançamento de um dado, determine a probabilidade de
obter:
a) o número 2;
b) um número par;
c) um número múltiplo 3.
Resolução:
O espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, portanto n(U) = 6
a) ocorrência do número 2:
A = {2}, portanto n(A) = 1
 ou P(A) = 16,66%
b) ocorrência de número par:
B = {2, 4, 6}, portanto n(B) = 3
P P P P 
nnnn 6666 3333
nnnn 3333 2222
BBB
BBBB
UUUU ou P(B) = 50%
c) ocorrência de número múltiplo de 3:
C = {3, 6}, portanto n(C) = 2.
 ou P(C) = 33,33%
Respostas: a) 16,66% b) 50% c) 33,33%
PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR
Sejam A e A_ dois eventos de um espaço amostral U;
sendo A_ o evento complementar de A, temos:
Demonstração: Sejam os conjuntos:
Observação importante:
Esta definição é válida, quando o espaço amostral U for
eqüiprobabilístico, isto é, quando todos os elementos de U
tiverem a mesma probabilidade.
Notas:
1ª) P (0/) = 0 e P(U) = 1
2ª) Como
n A n A n U
n A n A n U
n U
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) )
)
 
 

 n(U n(U)
p(A) + P(A 1
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS43
MATEMÁTICA
Exemplo:
Consideremos um conjunto de 10 frutas, das quais 3
estão estragadas. Escolhendo aleatoriamente 2 frutas des-
se conjunto, determinar a probabilidade de que:
a) ambas não estejam estragadas.
b) pelo menos uma esteja estragada.
Resolução:
a) • Cálculo do número de maneiras que duas frutas
podem ser escolhidas.
• Cálculo do número de maneiras que duas frutas não
estragadas podem ser escolhidas.
b) A_ é o evento: pelo menos uma fruta está estragada.
P(A) + P( A_ ) = 1
MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES
Em análise combinatória, vimos o princípio fundamental
da contagem; em probabilidade, há uma regra análoga, deno-
minada regra do produto.
• Enunciado
Se um acontecimento é composto por vários eventos
sucessivos e independentes, de tal modo que:
o primeiro evento é A e sua probabilidade é p1
o segundo evento é B e sua probabilidade é p
2
o terceiro evento é C e sua probabilidade é p
3
o k-ésimo evento é K e sua probabilidade é p
k,
,
então a probabilidade de que os eventos A, B, C, .... , K
ocorram nessa ordem é: p
1
 . p
2
 . p
3
 ... p
k
Exemplo:
Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual a probabilidade de
que a apareça coroa nas quatro vezes?
Resolução:
U = {cara, coroa}
1º lançamento = 
3º lançamento = 
4º lançamento = 
EXERCÍCIOS:
01. De um baralho de 52 cartas, tira-se ao acaso uma
das cartas. Determine a probabilidade de que a carta seja: a)
uma dama
b) uma dama de paus
c) uma carta de ouros
02. Uma urna contém 40 cartões, numerados de 1 a 40.
Se retirarmos ao acaso um cartão dessa urna, qual a proba-
bilidade de o número escrito no cartão ser um múltiplo de 4 ou
múltiplo de 3?
03. Numa caixa de 8 peças com pequenos defeitos, 12
com grandes defeitos e 15 perfeitas. Uma peça é retirada ao
acaso.
Qual a probabilidade de que esta seja perfeita ou tenha
pequenos defeitos?
04. No lançamento de um dado, determine a probabilida-
de de obter:
a) o número 1;
b) um número primo;
c) um número divisível por 2;
d) um número menor que 5;
e) um número maior que 6.
05. Retiramos 4 bolas de uma caixa contendo 3 bolas
amarelas, 4 bolas vermelhas e 5 bolas pretas. Determine:
a) a probabilidade de que, pelo menos, uma das 4 bo-
las retiradas seja amarela;
b) a probabilidade de que nenhuma das 4 bolas retiradas
seja amarela.
Respostas:
01.a)1/13 b)1/52 c)1/4
02. 50%
03. 65,71%
04. a)1/6 b)1/2 c)1/2 d)2/3 e)0
05. a)41/55 b)14/55
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS
SEQUÊNCIA (Sucessão)
Definição: É um conjunto de coisas, objetos, números,
dispostos ordenadamente.
Ex.: - sucessão dos meses do ano: (janeiro, fevereiro,
março, ... , dezembro)
- sucessão dos números pares positivos: (2, 4, 6, 8, 10, ...).
Se a ordem for invertida, temos uma nova sucessão.
Em uma sucessão ou seqüência o primeiro termo cha-
mamos de a
1
 (a índice 1), onde o índice indica a posição
do termo. Uma sucessão de n termos seria:
(a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, ..., a
n
)
2º lançamento = 
As seqüências a serem estudadas são aquelas que obe-
decem uma lei de formação.
As seqüências podem ser definidas:
a) pelo termo geral;
b) por um termo qualquer em relação ao anterior.
a) Pelo termo geral: Neste caso, determinamos qual-
quer termo sem necessidade de calcular o seu anterior.
Ex.: a
n
 = n - 2 para n = 1 | a
1
 = 1 - 2 = -1
para n = 2 => a
2
 = 2 - 2 = 0
para n = 3 => a
3
 = 3 - 2 = 1
A seqüência será (-1, 0, 1, ...)
b) Por um termo qualquer em relação ao anterior:
Só se determina um termo se calcularmos o anterior e tiver-
mos um termo da seqüência.
Ex.: a
n
 = a
n - 1
 + 3 e a
1
 = 2
para n = 2 => a
2
 = a
2-1
 + 3 = a
1
 + 3 = 2 + 3 = 5
para n = 3 => a
3
 = a
3-1
 + 3 = a
2
 + 3 = 5 + 3 = 8
A seqüência será (2, 5, 8, ...)
Obs.: Se quisermos calcular o 20º termo do exemplo anterior:
a) an = n-2 => a20 => 20 - 2 = a20 = 18
b) an = an-1 + 3 => a20 = a19 + 3, precisamos calcular o
19 anteriores para calcular o 20º.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Definição: Progressão aritmética (P.A.) é toda seqüên-
cia na qual cada termo, a partir do segundo, é a soma do
termo anterior com uma constante (razão).
Sendo a
1
 o 1º termo e r a razão da P.A. pela definição,
podemos escrever:
Exs.: 1) (1, 3, 5, 7, ...) a
1
 = 1 e r = 2
2) (2, 1, 0, -1, -2, ...) a
1
 = 2 e r = -1
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS44
MATEMÁTICA
EXERCÍCIO: Determinar o vigésimo termo da P.A. (3, 8, ...).
Resp.98
PROPRIEDADE:
Dados três números a, b e c, em P.A., nessa ordem, temos
que b é média aritmética de a e c, ou seja:
Explicação: Por definição de P.A.,
r = b - a e r = c - b, ou b - a = c - b => 2b = a + c
INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA
Neste item vamos aprender a intercalar números reais
entre dois números dados, de tal forma que todos passem a
construir uma progressão aritmética.
Ex.: 1) Interpolar cinco meios aritmético entre 6 e 30.
Resolução: 6, - , - , - , - , - , 30
 a
1
 a
n
a
n
 = a
1
 + (n - 1)r => 30 = 6 + 6r
24 = 6r => r = 4
Resposta: (6, 10, 14, 18, 22, 26, 30)
2) Quantos meios aritméticos devemos interpolar entre
100 e 124 para que a razão seja 4?
Classificação de uma P.A.:
a) Quanto ao número de termos, a P.A. pode ser:
Finita: (2, 5, 8, 11, 14) => 5 termos
Infinita: (0, 2, 4, 6, 8, ...) => infinitos termos
b) Quanto à razão, a P.A. pode ser:
Crescente: r > 0, cada termo é maior que o anterior. Ex.:
(1, 8, 15, 22, 29, 36)
Constante: r = 0. todos os termos são iguais. Ex.: (3, 3, 3,
...)
Decrescente: r < 0, cada termo é menor que o anterior.
Ex.: (5, 2, -1, -4)
Fórmula do Termo Geral: É a fórmula que relaciona o
termo de ordem n(a
n
) com o primeiro termo (a
1
), o número de
termos (n) e a razão (r).
1º termo a
1
 = a
1
2º termo a
2
 = a
1
 + r
3º termo
4º termo
 .
 .
 .
nésimo termo
Portanto: 
Conhecidas três das quatro grandezas relacionadas,
calcula-se a quarta.
Ex. Na P.A. em que a
4
 = -7 e r = 3, calcular o primeiro
termo e o termo de ordem 10.
Solução:
a
4
 = a
1
 + 3 . r a
10
 = a
1
 + 9 . r
-7 = a
1
 + 3 . (3) a
10
 = (-16) + 9 . (3)
a
1
 = -7 -9 a
10
 = 11
a
1
 = -16 (termo de ordem 10 ou
(primeiro termo) décimo termo)
Resolução: 
a
n
 = a
1
 + (n - 1)r
124 = 100 + 4n - 4
28 = 4n
n = 7
Como n = 7 é o número total de termos, devemos interpolar
7 - 2 = 5 meios.
Resposta: 5 meios
EXERCÍCIO: Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37.
Resp. r = 3
FÓRMULA DA SOMA DOS n TERMOS DE UMA P.A.
FINITA:
 Propriedade: Consideremos a P.A. finita (6, 10, 14, 18,
22, 26, 30, 34) e nela podemos destacar: 6 e 34 são os
extremos:
Verifica-se, facilmente, que: 6 + 34 = 40 => soma dos
extremos.
Daí a propriedade: Numa P.A.finita, a soma de dois
termos eqüidistantes dos extremosé igual à somados extremos.
Assim, dada a P.A. finita:
Fórmula da Soma:
Sejam a P.A. finita (a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n-2
, a
n-1
, a
n
) e S
n
 a soma
dos termos dessa P.A..
2S
n
 = (a
1
 + a
n
) + (a
2
 + a
n-1
) + (a
3
 + a
n-2
) + ... + (a
n-2
 +
a
3
) + (a
n-1
 + a
2
) + (a
1
 + a
n
)
Como a
2 
 e a
n-1 
, a
3 
 e a
n-2
 são eqüidistantes dos extremos,
suas somas são iguais a (a
1
 + a
n 
), logo:
2S
n
 = (a
1
 + a
n
) + (a
1
 + a
n
) + (a
1
 + a
n
) + ... + (a
1
 + a
n
) + (a
1
 +
a
n
) + (a
1
 + a
n
)
2S
n
 = (a
1
 + a
n
) n
Em que:
a
1
 é o primeiro termo
a
n
 é o enésimo termo
n é o número de termos
S
n
 é a soma dos n termos
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS45
MATEMÁTICA
Ex.: 1) Achar a soma dos 30 primeiros termos da P.A. (2,
5, ...).
Resolução:
Cálculo de a
n
Cálculo de S
n
Resposta: S
30
 - 1.365
EXERCÍCIO:
Calcule a soma dos 50 primeiros termos da P.A. (2, 6,...).
Resp. S
n
 = 5.000
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Definição: Progressão Geométrica (P.G.) é toda seqüên-
cia na qual cada termo, a partir do segundo, é o produto do
termo anterior por uma constante não-nula (razão).
Obs.: Deixamos de considerar a P.G. singular, na qual:
Exemplo: (1, 2, 4, 8,...) a
1
 = 1 e q = 2
CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.G.:
a) Quanto ao número de termos, a P.G. pode ser:
- Finita: (-2, -10, -50, -250) => 4 termos
- Infinita: (4, 2, 1, 1/2, 1/4,...) =>infinitos termos
b) Quanto ao primeiro termo e a razão, a P.G. pode ser:
- Crescente: cada termo é maior que o anterior.
Ex.: 1) (1, 2, 4, 8,...) =>a
1
 > 0 e q > 1
2) (-4, -2, -1, -1/2,...) => a
1
 < 0 e 0 < q < 1
- Constante: todos os termos são iguais.
Ex.: 1) (3, 3, 3,...) =>q = 1
2) (-5, -5, -5,...) =>q = 1
- Decrescente: cada termo é menor que o anterior.
Ex.: 1) (1, 1/2, 1/4, 1/8,...) =>a
1
 > 0 e 0 < q < 1
2) (-3, -6, -12,...) => a
1
 < 0 e q > 1
- Oscilante: cada termo tem o sinal contrário ao do termo
anterior.
Ex.: 1) (3, -9, 27, -81,...) =>q < 0
2) (-32, 16, -8, 4,...) =>q < 0
FÓRMULA DO TERMO GERAL:
É a fórmula que relaciona o termo de ordem n (a
n
) com o
primeiro termo (a
1
), o número de termos (n) e a razão (q).
conhecidas três das quatro grandezas relacionadas,
calcula-se a quarta.
Sendo a
1
 o 1º termo e q a razão da P.G., pela definição,
podemos escrever:
Ex.: 1) Determinar o quinto termo (a
5
) da P.G.: (2, 6, 18,...)
Solução: a
1
 = 2 Logo: a
5
 = a
1
 . q(5-1)
q = 6 : 2 = 18 : 6 = 3 a
5
 = a
1
 . q4
n = 5 a
5
 = 2 . 34
a
5
 = 162
2) Na P.G. em que a
3
 = 36 e q = 2/3, calcular o primeiro
termo e o termo de ordem 6.
Solução:
PROPRIEDADE DA P.G.:
Dados três números a, b, c em P.G., nessa ordem, temos
a relação:
Explicação: Por definição de P.G., q = b : a e q = c : b, ou:
EXERCÍCIO: Achar o décimo termo da P.G. (2, 6,...)
Resp. 2 . 3
9
INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA
Interpolar ou inserir k meios geométricos entre os números
a e b (extremos ) é obter a P.G. de k + 2 termos, onde a é o
primeiro e b o último termo da progressão.
Para realizar a interpolação basta determinar a razão da
P.G.
Ex.: Interpolar 3 meios geométricos positivos entre os
extremos 108 (1º termo) e 64/3.
Solução: 
A P.G. é: (108, 72, 48, 32, 64/3)
Note que, se não fossem exigidos meios positivos, pode-
ríamos ter:
 e a outra P.G. seria: (108, -72, 48, -32, 64/3)
EXERCÍCIO: Inserir cinco meios geométricos entre 8 e
512.
Resp. q = 2 (8, 16, 32, 64, 128, 256, 512)
 P.G. crescente
FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA:
(termo de ordem 6 ou sexto termo)
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS46
MATEMÁTICA
Ex.: 1) Na P.G. (1, 2, 4,...) determinar a soma dos dez
primeiros termos (S
10
).
Solução:
Portanto: 
Ex.: P.G. (1, 1/2, 1/4, 1/8,...) Solução:
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
Exprimindo por meio de número as observações que se
fazem de elementos com, pelo menos, uma característica
comum (por exemplo: os alunos do sexo masculino de uma
comunidade), obtemos os chamados dados referentes a
esses elementos; podemos dizer, então:
A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que
fornece métodos para a coleta, a organização, a descrição,
a análise e a interpretação de dados quantitativos e a utili-
zação desses dados para a tomada de decisões.
A coleta, a organização, a descrição dos dados
estão a cargo da Estatística Descritiva, enquanto a análi-
se e a interpretação desses mesmos dados ficam a cargo
da Estatística Indutiva ou Inferencial.
Em geral, as pessoas, quando se referem ao termo Esta-
tística, o fazem no sentido da organização e descrição dos
dados (estatística do Ministério da Educação, estatística dos
acidentes de tráfego etc.), desconhecendo que o aspecto
essencial da Estatística é o de proporcionar métodos
inferenciais, que permitam conclusões que transcen-
dam os dados obtidos inicialmente.
Assim, é a análise e a interpretação dos dados estatísti-
cos que tornam possível o diagnóstico de uma empresa (por
exemplo, de uma escola), o conhecimento de seus proble-
mas (condições de funcionamento, produtividade), a formu-
EXERCÍCIO: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da
P.G. (2, -4, 8,...) Resp. S10 = -682
LIMITE DA SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G.
INFINITA E DECRESCENTE:
Pela fórmula da soma:
Se a P.G. é decrescente então 0 < q < 1 e an será um número
infinitamente pequeno. Então o produto a
n
 . q tende a zero.
EXERCÍCIO: Determinar o valor de x na equação:
Resp. 9/2
lação de soluções apropriadas e um planejamento objetivo
de ação.
Fases do método estatístico: Podemos distinguir no
método estatístico as seguintes fases:
Coleta de dados
Após cuidadoso planejamento e a devida determinação
das características mensuráveis do fenômeno coletivamen-
te típico* que se quer pesquisar, damos início à coleta dos
dados numéricos necessários à sua descrição.
A coleta pode ser direta e indireta.
A coleta é direta quando feita sobre elementos informa-
tivos de registro obrigatório, como os nascimentos, casa-
mentos e óbitos, a importação e exportação de mercadorias,
elementos pertinentes aos prontuários dos alunos de uma
escola ou, ainda, quando coligidos pelo próprio pesquisador
através de inquéritos e questionários, como é o caso das
notas de verificação e de exames, do censo demográfico
etc.
A coleta direta de dados pode ser classificada relativa-
mente ao fator tempo em:
a. contínua (registro) - quando feita continuamente, tal
como a de nascimentos e óbitos, a freqüência dos alunos às
aulas;
b. periódica - quando feita em intervalos constantes de
tempo, como os censos (de 10 em 10 anos), as avaliações
mensais dos alunos;
c. ocasional - quando feita extemporaneamente, a fim
de atender a uma conjuntura ou a uma emergência, como no
caso de epidemias que assolam ou dizimam rebanhos intei-
ros.
A coleta se diz indireta quando é inferida de elementos
conhecidos (coleta direta) e/ou do conhecimento de outros
fenômenos relacionados com o fenômeno estudado. Como
exemplo, podemos citar a pesquisa sobre a mortalidade infan-
til, que é feita através de dados colhidos por uma coleta direta.
Crítica dos dados
Obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente criti-
cados, à procura de possíveis falhas, imperfeições e erros,
a fim de não incorrermos em erros grosseiros ou de certo
vulto, que possam influir sensivelmete nos resultados.
A crítica é externa quando visa as causas dos erros
por parte do informante, por distração ou má interpretação
das perguntas que lhe foram feitas; é interna quando visa
observar os elementos originais dos dados da coleta.
Apuração dos dados
Nada mais é que a soma e o processamento dos dados
obtidos e a disposição mediante critérios de classificação.
Pode ser manual ou eletromecânica ou eletrônica.
Exposição ou apresentação dos dados
Por mais diversa que seja a finalidade que se tenha em
vista, os dados devem ser apresentados sob forma adequa-
da (tabelas ou gráficos), tornando mais fácil o exame da-
quilo que está sendo objeto de tratamento estatístico e ulte-
rior obtenção de medidas típicas.
Análise dos resultadosComo já dissemos, o objetivo último da Estatística é tirar
conclusões sobre o todo (população), a partir de informa-
ções fornecidas por parte representativa do todo (amostra).
Assim, realizadas as fases anteriores (Estatística Descri-
tiva) fazemos uma análise dos resultados obtidos, através
dos métodos da Estatística Indutiva ou Inferencial, que
tem por base a indução, inferência ou tirando daí conclusões
e previsões.
* Fenômeno coletivamente típico é aquele que não
apresenta regularidade na observação de casos isolados,
mas na massa de observações. (Marcos Vinícius da RO-
CHA, Curso de Estatística).
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS47
MATEMÁTICA
POPULAÇÃO
Ao conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma
característica comum, denominamos população estatís-
tica ou universo estatístico.
Assim, os estudantes, por exemplo, constituem uma po-
pulação, pois apresentam pelo menos uma característica co-
mum: são os que estudam.
Como em qualquer estudo estatístico, temos em mente
pesquisar uma ou mais características dos elementos de
alguma população; esta característica deve estar perfeita-
mente definida. E isto se dá quando, considerado um elemen-
to qualquer, podemos afirmar, sem ambigüidade, se esse
elemento pertence ou não à população. É necessário, pois,
exisir um critério de constituição da população, válido para
qualquer pessoa, no tempo ou no espaço.
Assim, quando pretendemos fazer uma pesquisa entre
os alunos das escolas de 1° grau, precisamos definir quais
são os alunos que formam o universo: os que atualmente
ocupam as carteiras das escolas, ou devemos incluir tam-
bém os que já passaram pela escola? É claro que a solução
do problema vai depender de cada caso em particular.
Na maior ia das vezes, por impossibi l idade ou
inviabilidade econômica ou temporal, limitamos as obser-
vações referentes a uma determinada pesquisa a ape-
nas uma parte da população. A essa parte proveniente
da população em estudo denominamos amostra.
Uma amostra, portanto, um subconjunto finito de uma
população.
Como vimos no capítulo anterior, a Estatística Indutiva tem
por objetivo tirar conclusões sobre as populações, com base
em resultados verificados em amostras retiradas dessa po-
pulação.
Mas para as inferências serem corretas, é necessá-rio 
garantir que a amostra seja representativa da po-pulação, 
isto é, a amostra deve possuir as mesmas ca-racterísticas 
básicas da população, no que diz respeito ao fenômemo que 
desejamos pesquisar. É preciso, pois, que a amostra ou as 
amostras que vão ser usadas sejam obtidas por processos 
adequados.
Há casos, como o de pesquisas sociais, econômicas e
de opinião, em que os problemas de amostragem são de
extrema complexidade. Mas existem também casos em que
os problemas de amostragem são bem mais fáceis.
Como exemplo, podemos citar a retirada de amostra para
controle de qualidade dos produtos ou materiais de determi-
nada indústria.
FREQÜÊNCIA SIMPLES OU ABSOLUTA
Freqüência simples ou frequência absoluta ou, sim-
plesmente, freqüência de uma classe ou de um valor indi-
vidual é o número de observações correspondentes a essa 
classe ou a esse valor.
A freqüência simples é simbolizada por f
i 
(lemos: f índice
i ou freqüência da classe i).
Assim, em nosso exemplo, temos:
f
1
 = 4; f
2
 = 9; f
3
 = 11; f
4
 = 8; f
5
 = 5 e f
6
 = 3
A soma de todas as freqüências será representada pelo
símbolo de somatório:


k
i
fi
1
É evidente que:
nfi
k
i

1
Para a distribuição em estudo, temos:
40
6
1

i
fi
Não havendo possibilidade de engano, usamos:
40 fi
Podemos, agora, dar à distribuição de freqüência das
estaturas dos 40 alunos do Colégio A a seguinte representa-
ção tabular técnica:
TABELA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A
TIPOS DE FREQÜÊNCIAS
Freqüências simples ou absolutas (f
i
) são os valores
que realmente representam o número de dados de cada classe.
Como vimos anteriormente, a soma das freqüências sim-
ples é igual ao número total dos dados:
Freqüências relativas (fr
i
) são os valores das razões
entre as freqüências simples e a freqüência total, isto é:
Logo, a freqüência relativa da terceira classe no nosso
exemplo (Tabela) é:
Evidentemente, 
Freqüência acumulada (F
i
) é o total das freqüências
de todos os valores inferiores ao limite superior do interva-
lo de uma dada classe. Temos, pois:
Assim, no exemplo apresentado no início deste capítulo,
a freqüência acumulada correspondente à terceira classe é:
o que significa existirem 24 alunos com estatura inferior
a 162 cm (limite superior do intervalo da terceira classe).
Freqüência acumulada relativa(Fr
i
) de uma classe
é a freqüência acumulada da classe, dividida pela freqüên-
cia total da distribuição:
Assim, para a terceira classe, temos:
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS48
MATEMÁTICA
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
DIAGRAMA DE BARRAS
É a representação de uma série por meio de retângu-
los, dispostos verticalmente (em colunas) ou horizon-
talmente (em barras).
Quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e as
alturas são proporcionais aos respectivos dados.
Quando em barras, os retângulos têm a mesma altura e os
comprimentos proporcionais aos respectivos dados.
Assim estamos assegurando a proporcionalidade entre
as áreas dos retângulos e os dados estatísticos.
Exemplos:
GRÁFICO EM COLUNAS
PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO
BRASIL - 2013 - 2018
GRÁFICO EM COLUNAS
OU EM BARRAS MÚLTIPLAS
É geralmente empregado quando queremos representar,
simultaneamente, dois ou mais fenômenos estudados com o
propósito de comparação.
Exemplo:
RECEITA E DESPESA
FUNDEP
2014 - 2018
Quantidades 
(1.000 unid) Anos 
919
1.063
1.128
1.165
781
859 
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2013
2014
2015
2016
2017
2018
Fonte: Simulação
PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO 
BRASIL - 2009-2014
Mil
Unidades
09 10 11 12 13 14
2013 - 2018
2013 2014 2015 2016 2017 2018
Fonte: Simulação
GRÁFICO EM BARRAS
ALUNOS REPETENTES - BRASIL 2018
Estados Quantidades
(aluno)
São Paulo
R.G. do Sul
Stª. Catarina
Pernambuco
M. Gerais
Paraná
255.620
168.555
113.602
54.091
46.023
21.903
Fonte: Simulação
ALUNOS REPETENTES - Brasil - 2014
1.000 alunos
Fonte: Simulação
2018
Valor (R$1.000.000)
2014
2013
2012
2011
2010
Fonte: Simulação
Receita Despesa
2014
2015
2016
2017
2018
2014 2015 2016 2017 2018
2014 - 2018
Fonte: Simulação
Média Aritmética (x)
Em um conjunto de dados, podemos definir vários tipos
de médias.
Porém, em nossos estudos, iremos dar mais importân-
cia a média aritmética.
MÉDIA ARITMÉTICA
É o quociente da divisão da soma dos valores da variável
pelo número deles.
x = 
 i
nsendo :
x
_ 
 a média aritmética;
x
i
 os valores da variável;
n o número de valores.
Dados não grupados: Quando desejamos conhecer a
média dos dados não-grupados, determinamos a média arit-
mética simples.
Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira diária da
vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e
12 litros, temos para a produção média da semana:
Logo: x
_
 = 14 litros
Às vezes acontece de a média ser um número diferente
de todos os da série de dados que ela representa. É o que
acontece quando temos os valores: 2, 4, 8 e 9 para os quais
a média é 5.
Esse será o número representativo desta série de valo-
res, embora não esteja representado nos dados originais.
Neste caso, costumamos dizer que a média não tem
existência concreta.
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS49
MATEMÁTICA
MODA
É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série
de valores.
Dados não agrupados
Quando lidamos com valores não agrupados, a moda é
facilmente reconhecida: basta, de acordo com a definição,
procurar o valor que mais se repete.
A série de dados 8, 9,10,11,11,11,12,12,13,14, tem moda
igual a 11, pois, o número onze aparece mais vezes que os
outros.
Na série 1,2,3,4,8,12, não apresenta moda, (amodal),
pois todos os números aparecem na série o mesmo número
de vezes.
Já na série 1,2,2,3,4,4,4,5,6,7,7,8,8,8,9, temos como moda
os números 4 e 7, poisaparecem o mesmo número de vezes
na série, dizemos então que a série é bimodal.
MEDIANA
É outra medida de posição definida como o número que
se encontra no centro de uma série de números, estando
dispostos segunda uma ordem.
Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valo-
res, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor
situado de tal forma no conjunto que o separa em dois
subconjuntos de mesmo número de elementos.
Dados não agrupados
Dada uma série de valores: 6, 7, 10, 15, 16, 21, 6, 14, 3,
24,17
Para determinar a mediana o primeiro passo é colocar a
série em ordem crescente ou decrescente de seus valores.
3, 6, 6, 7, 10, 14, 15, 16, 17, 21, 24
Em seguida, tomamos o valor central, o seja, que separa
a série em duas partes iguais, apresentando o mesmo núme-
ro de elementos à esquerda e à direita.
Concluímos que: M
d
 = 14
Se a série apresentar um número par de termos, a medi-
ana será, por definição, qualquer dos números compreendi-
dos entre os dois valores centrais da série. Convencionou-
se utilizar o ponto médio.
Exemplo:
2, 4, 6, 7, 8, 10
M = = 6,5d
6 + 7
2 
M = 6,5 d
DESVIO MÉDIO
Para um conjunto de números, x
1
, x
2
, x
3
, ...., x
n
, de média
aritmética M
a
, definimos o desvio médio d
m
 por:
d = m
xi
n
-Ma
DESVIO PADRÃO (dp)
É a mais usada das medidas de dispersão.
Assim como o desvio médio, o desvio padrão determina a
dispersão dos valores em torno da média.
É dado pela fórmula>
d = - o n
f (m )i i
2
n
 f m i i
2. .
onde n = f
i
TRIGONOMETRIA
I - ARCOS E CICLO TRIGONOMÉTRICO
1) MEDIDA DE ARCOS:
- Grau: um grauº (1º) é o arco unitário que corresponde
Na circunferência adota-se um ponto de origem (A) co-
mum para os arcos trigonométricos e a eles se associa um
sinal + ou - conforme o sentido do percurso.
Na trigonometria podemos ter arcos de mais de uma volta
(maior que 360º e arcos negativos (menores que 0º).
Ex.: 1) Determinar o ponto-extremidade do arco de 390º.
Solução: Partindo da extremidade A é preciso percorrer
uma volta e mais 30º no sentido anti-horário.
a 
1
360
 da circunferência.
- Grado: um grado (1gr) é o arco unitário que corresponde
a 
1
400
 da circunferência.
- Radiano: um radiano (1 rad) é o arco unitário que tem o
mesmo comprimento do raio da circunferência que o contém.
2) CONVERSÃO DE UNIDADES:
180º  rad 200 gr
Ex.: 1) Transforme 45º em radianos.
Solução: Como as medidas são diretamente proporcio-
nais, podemos estabelecer a regra de três:
180º  rad
45º x rad
x x  
45
180
º
º
 rad rad
4
2) Transforme
2
3

rad por 180º.
2
3
2
120

 
 . 180º
3
º Logo:
2
3

rad = 120º
3) CICLO TRIGONOMÉTRICO:
É uma circunferência à qual se associa um sistema
cartesiano ortogonal com origem no centro, sendo o raio a
unidade de medida dos eixos.
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS50
MATEMÁTICA
2) Determinar a extremidade do arco de 1.200º
.
1200º  3 .
3 voltas
 360º + 120
Na divisão por 360º temos:
.. quociente: nº de voltas
. resto: arco menor que 360º (determina o quadrante).
3) Determinar o ponto-extremidade do arco de -1542º.
    1542 4
4 voltas
102 . 360º º )
Devemos percorrer 5 meias voltas (até B) e a seguir um
II - NÚMEROS TRIGONOMÉTRICOS:
1) SENO de um arco é a ordenada do ponto extremidade
no ciclo trigonométrico.
sen x
x OM
= OM' '
cos '
sen 90º = sen
2
 90º = cos
2




1
0cos
sen 180º = sen 
 180º = cos 



 
0
1cos
sen 0º =
 0º =
0
1cos
3) TANGENTE e COTANGENTE:
Ex.: 1) Calcular tg 30º e cotg 30º.
tg 30º =
sen 30º
cos 30º
   
1 2
3 2
1
3
3
3
3
3
cotg 30º =
cos 30º
sen 30º
 
3 2
1 2
3
2) Calcular tg 90º e cotg 90º.
tg 90º =
sen 90º
cos 90º
 tg 90º = 0 
1
0
cotg 90º =
cos 90º
sen 90º
 tg 90º  
0
1
4) SECANTE e COSSECANTE:
Secante de um arco  sec x =
1
cos x
Solução:
1542º
102º
360º
4
As voltas e o resto são percorridos no sentido horário.
4) Determinar o quadrante a que pertence a extremidade
do arco de 
37
6

rad .
Solução:
37
2
7
5
37
7
5
2
7



 
Sabemos que:
2 = uma volta
p = meia volta 5 = cinco voltas
2
7

 arco menor que

2
arco de 
2
7

rad.
Obs.:     1 sen x 1 e - 1 cos x 1
Solução:
1200º
120º
360º
3
Cossecante de um arco  cossec x =
1
sen x
Ex.: 1) Calcular sec 
6

e cossec 
6

sec 
6


   
1
6
1
3 2
2
3
3
3
2 3
3cos
.
sen 270º = sen
2
 270º = cos
2
3
1
3
0


 
cos
Tangente de um arco  tg x =
sen x
cos x
Cotangente de um arco  cotg x =
cos x
sen x
sen 360º = sen 2
 360º = cos 2




0
1cos
cossec 
6


  
1
6
1
1 2
2
sen
2) COSSENO de um arco é a abscissa do ponto extremi-
dade no ciclo trigonométrico.
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS51
MATEMÁTICA
III - RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1)RELAÇÕES FUNDAMENTAIS:
R sen x x1
2 2 1  cos
Ex.: 1) Dado sen x =
3
5
 x ,  II quadrante, calcu-
R tg x
sen x
2   cos x
R
sen x3
= cotg x =
 xcos
R4 = sec x =
1
 xcos
R
sen x5
= cossec x =
1
2) RELAÇÕES DERIVADAS:
R6 = sec x = 1 + tg x
2 2
R7 = cossec x = 1 + cotg x
2 2
lar as demais funções trigonométricas.
Solução:
sen x
x x
x x x
2
2
2
2 2 2
2
1
9
25
1 1
9
25
25 9
25
16
25
16
25
4
5
 x + cos x = 1
3
5
2   
      

     
cos
cos cos cos
cos cos cos
Obs.: x  II Q
tg x tg x tg x=
sen x
cos x
=
3 5
= - 3 4


4 5
sec x =
1
cos x
sec x =
1
- 4 5
sec x = - 5 4 
cossec x =
1
sen x
cossec x =
1
3 5
cossec x = 5 3 
2) Verificar a identidade: 2 tg2 x + 3 = 2 sec2 x + 1
Solução: Vamos desenvolver o primeiro membro:
Como sec2 x = 1 + tg2 x, temos: tg2 x = -1 + sec2 x
 tg2 x = sec2 x - 1
Logo: 2tg2 x + 3 = 2(sec2 x - 1) + 3 = 2 sec2 x - 2 + 3
= 2 sec2 x + 1
3) Simplificar a expressão:
tg x .
x
 cotg x
sec2  1
Solução: 
2
3

rad
TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO
Funções Trigonométricas de Ângulos Agudos
Funções Trigonométricas de Ângulos Arbitrários
Triângulo Qualquer
Lei dos Senos:
Triângulos Especiais
Lei dos Cossenos:
a2=b2+c2-2bc cosA
b2=a2+c2-2ac cosB
c2=a2+b2-2ab cosC
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS52
MATRIZES
1. DEFINIÇÃO:
As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em
quase todos os ramos da ciência e da engenharia.
Várias operações executadas por cérebros eletrônicos
são computações por matrizes. São utilizadas na Estatística,
na Economia, na Física Atômica, etc.
Vejamos um exemplo:
Considere a tabela ao lado, que indica o número de ven-
das efetuadas por uma agência de automóveis durante o pri-
meiro trimestre.
Se quisermos saber a quantidade de carros Voyage ven-
didos em janeiro, iremos procurar o número que está na quar-
ta linha e na primeira coluna desta tabela.
No quadro indicado, os números colocados nas disposi-
ções horizontais formam o que denominamos linha e os colo-
cados nas disposições verticais chamamos de coluna.
O conjunto ordenado dos números que formam a tabela é
denomado matriz e cada número é chamado elemento da
matriz.
20 18 25
12 10 15
15 9 20
18 15 21
Neste exemplo, temos uma matriz do tipo 4 x 3 (lê-se: qua-
tro por três), isto é, uma matriz formada por 4 linhas e três
colunas.
Representa-se uma matriz colocando-se seus elementos












21 15 18
20 9 15
15 10 12
25 18 20
 ou 












21 15 18
20 9 15
15 10 12
25 18 20
Uma matriz do tipo m x n (lê-se: m por n), com m, 1 n  ,
é uma tabela formada por m . n elementos dispostos em m
linhas e n colunas.
Observação:
Para indicar a ordem de uma matriz, dizemos primeiro o núme-
ro de linhas e, em seguida, o número de colunas.
Exemplo:
 
colunas) 3 e linha (1
3 x 1 ordem de matriz : 2 1 4
2. REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA
Utilizamos letras maiúsculas para indicar matrizes genéri-
entre parênteses ou entre colchetes. 
2ª coluna
3ª coluna
1ª linha
2ª linha
3ª linha
4ª linha
case letras minúsculas correspondentes para os elementos.
Algebricam ente, uma ma t riz A pode ser representada por:
Monza
Janeiro Fevereiro Março
20 18 25
Fiat 12 10 15
Gol 15 9 20
Voyage 18 15 21
*IN n e m com 
mna ... m3a m2a m1a
. . . . 
. . . . 
. . . . 
3na ... 33a 32a 31a
2na ... 23a 22a 21a
 A 

























Como o quadro A é bastante extenso, a matriz m X n será
representada abreviadamente por:
n x m )(a A ji
Os elementos da matriz A são indicados por a
ij
, em que:
   n. , ... 3, 2, 1, j e m , ... 3, 2, 1, i 
O elemento a
ij
 possui dois índices: o primeiro i, representa
a linha, e o segundo, j, indica a coluna. Com essas duas infor-
mações (linha e coluna) podemos localizar o elemento.
Assim, temos:
a
11
 (lê-se: a um um)  elemento localizado na 1ª linha e 1ª
coluna
a
32
 (lê-se: a três dois)  elemento localizado na 3ª linha e
2ª coluna
Exemplo: Achar os elementos da matriz A = (a
ij
)
3 x 2
 em que
a
ij
 = 3i - j.
Resolução: A representação genérica da matriz é:











3231
2221
1211
a a
a a
a a
 A
7 2 - 3 . 3 a 
8 1 - 3 . 3 a 
4 2 - 2 . 3 a 
5 1 - 2 . 3 a 
1 2 - 1 . 3 a 
2 1 - 1 . 3 a j - 3i a
32
31
22
21
12
11 ij






Resposta: 











7 8
4 5
1 2
 A
3 - MATRIZ QUADRADA
Se o número de linhas de uma matriz for igual ao número
de colunas, a matriz é dita quadrada.
Quando nos referimos a uma matriz quadrada n x n, pode-
mos dizer que a sua ordem é n em vez de n x n.
Exemplos:







0 1-
4 3 
 A é uma matriz de ordem 2











9 8 7
6 5 4
3 2 1
 B
 é uma matriz de ordem 3.
Observações:
1ª) Quando uma matriz tem todos os seus elementos iguais
a zero, dizemos que é uma matriz nula
Assim, C é uma matriz nula de ordem 4.
2ª) Os elementos a
ij
 de uma matriz quadrada, em que i = j,
formam uma diagonal denominada diagonal principal.
1ª coluna
a11 a12 a13 ... a1n
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS53
A outra diagonal é chamada diagonal secundária.
Resolução: 




 







1y -3x 
5y x 
1 10
5 2 
 B A







 12x4
10yx3
2yx
Resposta: x = 3 e y = -1
7 - OPERAÇÕES COM MATRIZES
A adição ou a subtração de duas matrizes, A e B, do
mesmo tipo é efetuada somndo-se ou subtraindo-se os seus
elementos correspondentes.
Exemplo:
: temos,
7 5
2- 1
 B e 
1 2-
3 4 
 A Sendo 







































8 3
1 5
 
71 52-
2-3 1 4 
 
7 5
2- 1
 
 1 2-
3 4 
 BA



























6- 7-
5 3 
 
71 52-
23 1 4 
 
7 5
2- 1
 
 1 2-
3 4 
 BA
De uma forma geral,
se A = (a
ij
)
m x n
, B = (b
ij
)
m x n
 e C = (c
ij
)
m x n
, temos:
 b a c B A C Subtração
b a c B A C Adição
ijijij
ijijij


com
 
 n ..., 3, 2, 1, j
m ..., 3, 2, 1, i


Podemos, também, efetuar a subtração da seguinte forma:
C = A - B  C = A + (-b)
Isto é matriz C é igual à matriz A adicionada à oposta da
matriz B.
Matriz oposta
Denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz -A
cujos elementos são os simétricos dos elementos correspon-
dentes de A.
Exemplo:
 
7- 6 
5 2-
A - 
7 6-
5- 2 
 A 












Observe que a oposta da matriz A é obtida trocando-se os
sinais de todos os elementos de A.
Propriedades:
1ª) A + B = B + A (comutativa)
2ª) (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)
3ª) A + 0 + A (elemento neutro)
4ª) A + (-A) = 0 ( elemento oposto)
Exemplo:
Dadas as matrizes 





















2 
4-
1-
 B e 
5 
2-
3 
 A
, calcular
a matriz X tal que X - A + B = 0.
Resolução: O 2º membro da equação é uma matriz nula de
ordem 3 x 1.
 diagonal diagonal
 principal secundária
 3 + y = 2  y = -1
 x = 3
































mnm2m1
3n3231
2n2221
1n1211
a ... a a
. . . 
. . . 
. . .
a ... a a
a ... a a
a ... a a
4 - MATRIZ UNIDADE OU MATRIZ IDENTIDADE
A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos
da diagonal principal são iguais a 1 (um) e os demais elemen-
tos são iguais a 0 (zero), é denominada matriz unidade ou
matriz identidade.
Representa-se a matriz unidade por I
n
.
Exemplos:
3. ordem de unidade matriz uma é 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 I
2. ordem de matriz uma é 
1 0
0 1
 I
3
2


















5 MATRIZ COMPOSTA
Se A é uma matriz de ordem m x n, denominamos trans-
posta de A a matriz de ordem n x m obtida pela troca ordenada
das linhas pelas colunas.
Indica-se a transposta de A por At.
Exemplo:
3x2
t
2x3
0 5 2
2 3- 1
 A é a transpostsua a 
0 2
5 3-
2 1 
 A




















Observe que:
a 1ª linha de A é igual à 1ª coluna de At.
a 2ª linha de A é igual à 2ª coluna de At.
a 3ª linha de A é igual à 3ª coluna de At.
6 - IGUALDADE DE MATRIZES
Sejam as matrizes A e B de mesma ordem. Se cada ele-
mento de A for igual ao elemento correspondente (elemento
que ocupa a mesma posição) de B, as matrizes A e B são ditas
iguais.
Assim, sendo A = (a
ij
)m x n e B = (b
ij
)
m x n
,
 
 n ..., 3, 2, 1, j 
m ..., 3, 2, 1, i , b a B A ijij


Exemplo: Dadas as matrizes
B. A que paray e calcular x ,
1y -3x 
5y x 
 B e 
1 10
5 2 
 A 




 







MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS54


































3
2
4
 
2-
4 
1 
 
5 
2-
3 
 (-B) A X
B -A X B A - X Se
D O CES
A B
X 5 8
Y 3 2
Z 4 7
Resposta: 










3
2
4
 X
Multiplicação de um número real por uma matriz
Para multiplicar uma matriz por um número real basta mul-
tiplicar todos os seus elementos pelo número, e o resultado é
uma matriz de mesma ordem.
Dada uma matriz A = (a
ij
) e um número real k, chama-se
produto de K por A a matriz B = (b
ij
), em que b
ij
 = k . a
ij
.
 
 






n ..., 3, 2, 1, j
m ..., 3, 2, 1, i
a .k b A .k B ijij
Exemplo: Calcular: 





6 3 4-
0 1- 2 
 .5
Resolução: 











30 15 20-
0 5- 10 
 
6 3 4-
0 1- 2 
 .5
Multiplicação de matrizes
Exemplo prático: uma doceira produz dois tipos de doces, A
e B. Para a produção desses doces são utilizados os ingredien-
tes X, Y e Z, conforme indica a tabela.
A tabela dada será representada pela matriz A:











7 4
2 3
8 5
 A
Suponha que sejam fabricados 50 doces do tipo A e 20
dozes do tipo B, por dia. Essa quantidade de doces pode ser
representada prla matriz coluna:







20
50
 B .
Se quisermos determinar a quantidade de ingredientes X,
Y e Z utilizada por dia, devemos proceder da seguinte forma:
Ingrediente X: 5 . 50 + 8 . 20 = 410
Ingrediente Y: 3 . 50 + 2 . 20 = 190
Ingrediente Z: 4 . 50 + 7 . 20 = 340
Essas quantidades podem ser representadas pela matriz:











340
190
410
 C
.
Podemos obter a matriz C, denominada matriz produto de
A por B, da seguinte forma:



























340
190
410
 
20
50
 . 
7 4
2 3
8 5
 C B . A
Cada elemento da matriz C é a soma dos produtos ordena-
dos de uma linha da matriz A pela coluna da matriz B, isto é:
410 = 5 . 50 + 8 . 20
190 = 3 . 50 + 2 . 20
340 = 4 . 50 + 7 . 20
Observe que a multiplicação de matrizes só é possível
quando o número de colunas da 1ª matriz é igual ao número de
linhas da 2ª matriz.
Podemosdefinir:
Dada uma matriz A = (a
ij
)
m x n
 e uma matriz B = (b
jk
)
n x p
,
denomina-se produto de A por B a matriz C = (c
ik
)
m x p
, tal
que o elemento c
ik
 é a soma dos produtos da i-ésima linha de A
pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de B.
nkin2ki2lkilij b a ... b a b a C B .A C 
Exemplo: Dadas as matrizes


















2221
1211
3231
2221
1211
b b
b b
 B e 
a a
a a
a a
 A 
,
determine a matriz C = A . B.
Resolução:
232232123121321131
2222122121221121
2212121121121111
222221
1211
233231
2221
1211
ba ba ba ba
ba ba ba ba
ba ba ba ba
 
bb
bb
 . 
a a
a a
a a
 B .A C
x
x
x































Observe que a operação de multiplicação é efetuada mul-
tiplicando-se linha por coluna, isto é, cada elemento de uma
linha é multiplicado pelo elemento correspondente de uma co-
luna e, em seguida, os produtos são adicionados.
Portanto, o elemento c
11
 (1ª linha e 1ª coluna) da matriz
produto é encontrado multiplicando-se os elementos da 1ª
linha de A pelos elementos da 1ª coluna de B e somando-se os
produtos obtidos.
Na multiplicação de duas matrizes A e B, o número de
colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B; o
produto AB terá o mesmo número de linhas de A e o mesmo
número de colunas de B.
 A
m x n
 . B
n x p
 = (A . B)
m x p
Se A é de ordem 3 x 2 e B é de ordem 2 x 2,
então A . B é de ordem 3 x 2.
Se A é de ordem 5 x 3 e B é de ordem 3 x 1,
então A . B é de ordem 5 x 1.
Se A é de ordem 3 x 4 e B é de ordem 2 x 5,
então não existe A . B.
Propriedades:
A multiplicação de matrizes possui as seguintes proprie-
dades, se existirem os produtos envolvidos:
1ª) A . (BC) = (AB) . C (associativa)
2ª) A . (B + C) = AB + AC (distributiva à direita)
3ª) (B + C) . A = BA + CA (distributiva à esquerda)
  
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS55
Observações:
1ª) A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é,
existem matrizes A e B tais que BA AB .
2ª) Se ocorrer AB = BA, dizemos que as matrizes A e B
comutam.
3ª) Na multiplicação de matrizes não vale a lei do
anulamento do produto, isto é, podemos ter AB = 0, mesmo
com 0 B e 0 A  .
4ª) Não vale também a lei do cancelamento, isto é, pode-
mos ter AB = AC, mesmo com C B e 0 A  .
Exemplo: Efetuar: 











6 5 4
3 2 1
 . 
8 0
7 9
Resolução:



































48 40 32
69 53 37
 
48 0 40 0 32 0
42 27 35 18 28 9
 
 
6 . 8 3 . 0 5 . 8 2 . 0 4 . 8 1 . 0
6 . 7 3 . 9 5 . 7 2 . 9 4 . 7 1 . 9
 
6 5 4
3 2 1
 . 
8 0
7 9
8 - MATRIZ INVERSA
Sejam dois números reais, a e b, com a  0 e b  0. Se a .
b = b . a = 1, dizemos que a e b são inversos, ou, ainda, que b
é o inverso de a e vice-versa.
Vamos utilizar um raciocínio análogo para as matrizes.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se existir uma
matriz B tal que A . B - B . A = I, dizemos que a matriz B é a
matriz inversa de A e indicamos por A-1.
Portanto:
A . A-1 = A-1 . A = I
n
Observações:
1ª) I é uma matriz identidade de mesma ordem que as
matrizes A e B.
2ª) Se existir a inversa, dizemos que a matriz A é inversível
e, em caso contrário, não inversível ou singular.
3ª) Se a matriz quadrada A é inversível, a sua inversa é
única.
Exemplo: Determinar a inversa da matriz







5 1
4 2
 A
Resposta: 














3
1
6
1
3
2
- 
6
5
 A 1
Exercícios propostos:
Resolução: Fazemos 






d c
b a
 A 1 .
Sabemos que 2
-1 I A . A 

































1 0
0 1
 
5d b5c a 
4d 2b 4c 2a
 
1 0
0 1
 
d c
b a
5 1
4 2
Pela igualdade de matrizes, temos os sistemas:
(1) 6
1
- c e 
6
5
 a 
0 5c a 
1 4c a2






(2) 3
1
- d e 
3
2
 b 
1 5d b 
0 4d b2






1) (Cescem-SP) O produto M . N da matriz M = 









1
1
1
pela matriz N = ( 1 1 1):
a) não se define
b) é uma matriz identidade de ordem 3
c) é uma matriz de cada linha e uma coluna
d) é uma matriz quadrada de ordem 3
e) não é uma matriz quadrada.
2) 






















1
2
1
 B e 
x
1
2
 A
então a matriz Y = At . B será nula para:
a) x = 0 b) x = -1 c) x = -2 d) x = -3 e) x - 4.
3) (FEI-SP) As matrizes abaixo comutam.












3 3
3 0
 e 
2 a
a a
 O valor de a é:
a) 1 b) 0 c) 2 d) -1 e) 3
Respostas: 01 - D 02 - E 03 - A
DETERMINANTES
1 - INTRODUÇÃO:
Determinante é um número real que se associa a uma
matriz quadrada.
A teoria dos determinantes surgiu quase simultaneamente
na Alemanha e no Japão. Foi desenvolvida por dois matemáti-
cos, Leibniz (1646 - 1716) e Seki Shinsuke Kowa (1642 -
1708) ao solucionarem um problema de eliminações necessá-
rias à resolução d eum sistema de m equações lineares com m
incógnitas.
2 - DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE 2ª
ORDEM
Dada a matriz quadrada de 2ª ordem







2221
1211
a a
a a
 A ,
Chama-se determinante associado à matriz A (ou
determinante de 2ª ordem) o número real obtido pela diferença
entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produ-
to dos elementos da diagonal secundária.
Então, determinante de A = a
11
 . a
22
 - a
12
 . a
21

produto dos
elementos da
diagonal
secundária
produto dos ele-
mentos da diagonal
principal
212211
 22
1211 a . a . a 
 a a
a a 
 A A det 
Indica-se:
21 
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS56






3
17
- S
11a A A det 
Observação:
Dada a matriz A = (a
ij
), de ordem 1, define-se como
determinante de A o seu próprio elemento, isto é:
Assim, na matriz A = (4), temos 4 4 A det  .
Vejamos alguns exemplos:
1) Achar o valor do determinante 1- 6
3- 4
.
Resolução: 14 18 4- (-3) . 6 - (-1) . 4 1- 6
3- 4

Resposta: 14
2) Resolver a equação: 0 5 1 - x 
 2 3 

x
Resolução:
 
3
17
- x 17- 3x 
0 2 2x - 15 5x 
0 1) -2(x - 3) 5(x 0 
 5 1 - x 
2 3 



x
Resposta:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1) Achar o valor dos determinantes:
 1 d)
 5 - 1 2 
1- 5 1 
 c)
 3 2 
4- 6 
 b)
 1- 3 
 2 5- 
 )

a
2) Resolva as equações:
0
 1 - x 1 
5 3 x 
 c)
 0 
 x 5 
 x x 
 b)
 0
7 5 
 2 x x 
 )





a
3) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de 2ª ordem tal que a
ij
= j2 + i. j.
Calcule det A.
Respostas:
1) a) -1 b) 26 c) -2 d) 5
2) a) 5 b)  5,0 c)  2,4
3) -2
CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
COM OS NÚMEROS COMPLEXOS
Resolvendo a equação 0542  xx no universo
IR, temos: 
2
44 x ; e como IR 4 , a
equação 0542  xx não admite soluções em IR,
pois estas exigem a raiz quadrada de um número negativo, o
que é impossível para os reais.
Já no início do século XVI era voz corrente entre os
matemáticos o pensamento: "não existe raiz quadrada de
número negativo porque um número negativo não é quadrado
de nenhum número".
Porém, em 1545, o matemático Cardano publicou um
trabalho em que propunha o seguinte problema:
"Dividir o número 10 em duas partes, de modo que seu
produto seja 40."
Trata-se de um problema de 2º grau. Chamando os
números procurados de x e y, teremos:





40.
10
yx
yx
Resolvendo o sistema, encontramos uma solução:
155155  e
Vamos verificar se realmente esses números são as
soluções do problema, operando de maneira usual com eles:
SOMA:
   


15.155.1515.55.5
155.155
PRODUTO:
   


15.155.1515.55.5
155.155
  4015251515.515.525 
Assim, Cardano mostrou que
155155  e eram os números
procurados.Nos séculos XVI,XVII e XVIII continuaram aparecendo
raízes quadradas de números negativos, não só nas
equações. Esses números, quando manipulados de acordo
com as regras usuais de álgebra, levevam os matemáticos a
resultados corretos que às vezes não podiam ser obtidos de
outras maneiras, e por isso, eles eram considerados números
"imaginários", nome até hoje em uso.
Os números desse tipo podem ser escritos na forma
1ba , onde a e b são números reais; assim, podemos
escrever:
1.155155
1981
1.52)1.(252252



Então até esse momento as operações eram um jogo
com símbolos, pois 1 , evidentemente não é um número
real.
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS57
Em 1831, Gauss publicou um trabalho dando uma
interpletação geométrica para os símbolos, chamando-os de
"números complexos".
 y
 b P(a,b)
 a x
Seu pensamento consistia em olhar para números a e b,
do símbolo 1.  ba , e coordenadas cartesianas de pon-
to plano e associar a cada símbolo um ponto P do eixo
cartesiano e vice-versa.
Este processo algébrico pode ser melhor
operacionalizado quando se adota para o símbolo a
convenção de chamá-lo "unidade imaginária" e representá-
lo por i. Com essa convenção, as operações ficam:
1) (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i, com a,b,c,d, IR
2) (a+bi). (c+di) = ac + (ad+bc)i +bd(i)2.
e como (i)2 = -1, vem:
(a+bi),(c+di) = ac + (ad+bc)i + bd(-1)
(a+bi),(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i.
Exemplos:
a) (3+2i) + (5-8i) = (3+5) + (2-8)i = 8 - 6i
b) (3+2i) . (5-8i) = 3.5 - 24i + 10i - 16(i)2.
 = 15 - 24i + 10i + 16
 = 31 - 14i
O significado correto, do que aqui colocamos apenas
como uma convenção, quando substitui por i ou
(i)2=-1 foi dado por Gauss, como veremos a seguir.
Efetuando as operações de adição e multiplicação com
esses símbolos, usando as regras atuais, obteremos:
1) (a+b ) + (c+d ) = (a+c) + (b+d )., com
a,b,c,d IR
2) (a+b ) + (c+d ) = ac + (ad+bc) . + bd
( )2 =
= (ac-bd) + (ad+bc) . , com a,b,c,d IR.
Gauss, ao invés de escrever o símbolo a+b escre-
veu somente (a,b): um par ordenado de números reais.
Assim, a adição e a multiplicação são definidas de modo
que esses pares se comportem como antigos símbolos.
Dados os pares (a,b) e (c,d) de números reais, define-se:
Adição: (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)
Multiplicação: (a,b) . (c,d) = (ac-bd, ad-bc)
Definição:
O conjunto dos pares ordenados de números reais IR2
munido das operações adição e multiplicação definidas em I
recebe o nome de conjunto dos números complexos, e é
 y
 b P(a.b)
 a x
Igualdade de complexos:
Dois números complexos (a,b) e (c,d) são iguais quando
a somente se a=c e b=d, ou seja:
(a,b) = (c,d)  a=c e b=d.
Representação Geométrica de um número com-
plexo.
O número complexo z = a + bi pode ser representado
geometricamente no plano cartesiano IR2, uma vez que z é
um par ordenado de números reais.
Ao complexo z = a + bi vamos associar, no sistema de coor-
denadas cartesianas, o ponto cujas coordenadas são a e b.
O Ponto P(a,b) que representa o número complexo a + bi
chama-se "afixo" ou "imagem" do complexo.
A cada número complexo corresponde um e somente um
ponto no plano e, reciprocamente, a cada ponto no plano
corresponde um e somente um número complexo.
Existe, pois, uma correspondência biunívoca entre os
pontos do plano e o conjunto dos números complexos.
indicado pela letra c .
LIMITES
Diz-se que uma variável x tende a um número real a se
a diferença em módulo de x-a tende a zero. ( x  a ).
Escreve-se: x a ( x tende a a).
Exemplo : Se x = 1 / N = 1,2,3,4,... ,quando N aumenta,
x diminui, tendendo a zero.
Definição:
lim f(x) é igual a L se e somente se, dado x  a
xa e  0, existe  0,
 tal que se 0  | x - a | 
 então | f (x) -L |
Propriedades:
{
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS58
Exemplos:
Limites Laterais
Suponha que, quando x tende a a pela esquerda, isto é,
por valores menores que a, f(x) tende ao número L
1
. Este
fato é indicado por:
lim f (x) = L
1
xa
Suponha que, quando x tende a a pela direita, isto é,
por valores maiores que a, f (x) tende ao número L
2
 . Este
fato é indicado por:
lim f (x) = L
2
xa
Os números L
1
 e L
2 
são chamados, respectivamente, de
limite à esquerda de f em a e limite à direita de f em a e
referidos como limites laterais de f em a.
Limites Infinitos
Ao investigarmos lim f(x) ou lim f(x)
 xa- xa+
Pode ocorrer que, ao tender x para a, o valor f(x) da
função ou aumente sem limite, ou decresça sem limites.
Por exemplo:
f (x) = 1 / (x - 2).
Quando x se aproxima de 2 pela direita, f (x) aumenta
sem limite:
x 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001
f (x) 10 100 1.000 10.000 100.000
Quando x se aproxima de 2 pela esquerda, f (x) diminui
sem limite:
x 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999
f (x) -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000
Assim:
lim f(x) 1 / (x-2) = e lim f(x) 1 / (x-2) = - 
x2+ x2-
São consideradas indeterminações:
=> 0/0;
=> 0 . (+/-  )
=> (+/-  ) / (+/-  )
=> (+/-  ) +/- (+/-  )
DERIVADAS
Derivada de uma Função
Acréscimo da variável independente
Dados x
0
 e x
1
 denominam incremento da variável x, à
diferença:
 x x1 x0
Acréscimo de uma função
Seja y = f(x) contínua. Dados x
0
 e x
1
 podem-se obter f(x
0
)
e f(x
1
). À diferença  y = f(x1) - f(x0 ) chama-se acréscimo
ou variação da função f(x).
Como:
x
1
 = x
0
 +  x, então:  y = f(x0 +  x) - f(x0 )
Graficamente:  Y /  X = tg 
Razão Incremental
O quociente da variação da função  y pelo incremento
da variável independente  x é chamado razão incremental.
Trocando x
0
 por x (fixo momentaneamente), temos:
Observe que a razão incremental é o coeficiente
angular ( tg) da reta secante s, que passa por P e Q.
Derivada de uma função num ponto x:
Seja y = f(x) contínua. Calculamos a razão incremental
 y /  x .
O limite da razão incremental para o acréscimo  x
tendendo a zero é definido como a derivada da função f(x).
Ela pode ser indicada como:
y f(x) Lagrange
Dy = Df(x) Cauchy
dy / dx = df / dx Leibnitz
y Newton
Então:
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS59
.
Quando  x 0 , a reta secante s tende para a reta
tangente t, tg β tg α e f(x) tg α.
Geometricamente f(x) mede a inclinação da reta tangente
à curva y = f(x) no ponto P(x, f(x)).
Propriedades
1. Propriedade f(x) = C f(x) 0 .
2. Propriedade f(x) xn f(x) n xn-1
3. Propriedade (f g) (x) f(x) g(x)
4. Propriedade (f g) (x) f (x) g(x)
5. Propriedade (f.g) (x) f (x) . g(x) f(x) . g(x)
6. Propriedade
GEOMETRIA ANALÍTICA
A Geometria Analítica é uma parte da Matemática , que
através de processos particulares , estabelece as relações
existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo , uma
reta , uma circunferência ou uma figura podem ter suas
propriedades estudadas através de métodos algébricos .
Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no
século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês
René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas
cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que
permitiram a representação numérica de propriedades
geométricas. No seu livro Discurso sobre o Método, escrito
em 1637, aparece a célebre frase em latim “Cogito ergo sum”,
ou seja: “Penso, logo existo”.
Coordenadas cartesianas na reta
Seja a reta r na Fig. abaixo e sobre ela tomemos um ponto
O chamado origem. Adotemos uma unidade de medida e
suponhamos que os comprimentos medidos a partir de O,
sejam positivos à direita e negativos à esquerda.
O comprimento do segmento OA é igual a 1 u.c (uma
unidade de comprimento). É fácil concluir que existe uma
correspondência um a um (correspondência biunívoca) entre
o conjunto dos pontos da reta e o conjunto R dos números
reais. Os números são chamados abscissas dos pontos.
Assim, a abscissa do ponto A’ é -1, a abscissa da origem O
é 0, a abscissa do ponto A é 1, etc.
A reta r é chamada eixo das abscissas.
Coordenadas cartesianas no planoCom o modo simples de se representar números numa
reta, visto acima, podemos estender a idéia para o plano,
basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares
que se interceptem num ponto O, que será a origem do
sistema.
Veja a Fig. a seguir:
Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada
do ponto P. 
O eixo OX é denominado eixo das abscissas e o eixo OY
é denominado eixo das ordenadas. 
O ponto O(0,0) é a origem do sistema de coordenadas
cartesianas.
Os sinais algébricos de a e b definem regiões do plano
denominadas QUADRANTES.
No 1º quadrante, a e b são positivos, no 2º quadrante, a
é negativo e b positivo, no 3º quadrante, ambos são negativos
e finalmente no 4º quadrante a é positivo e b negativo.
Observe que todos os pontos do eixo OX tem ordenada
nula e todos os pontos do eixo OY tem abscissa nula. Assim,
dizemos que a equação do eixo OX é y = 0 e a equação do
eixo OY é x = 0. 
Os pontos do plano onde a = b, definem uma reta
denominada bissetriz do 1º quadrante, cuja equação
evidentemente é y = x. 
Já os pontos do plano onde a = -b (ou b = - a), ou seja, de
coordenadas simétricas, definem uma reta denominada bissetriz
do 2º quadrante, cuja equação evidentemente é y = - x. 
Os eixos OX e OY são denominados eixos coordenados.
Exercícios Resolvidos
1) Se o ponto P(2m-8 , m) pertença ao eixo dos y , então
a) m é um número primo
b) m é primo
c) m é um quadrado perfeito
d) m = 0
e) m < 4
Solução: 
Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y) , então a
sua abscissa é nula. 
Logo, no caso teremos 2m - 8 = 0, de onde tiramos m = 4
e portanto a alternat iva correta é a letra C, 
pois 4 é um quadrado perfeito (4 = 22).
2) Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertença à primeira bissetriz
, então podemos afirmar que :
a) r é um número natural
b) r = - 3
c) r é raiz da equação x3 - x2 + x + 14 = 0
d) r é um número inteiro menor do que - 3 .
e) não existe r nestas condições .
Solução: 
Os pontos da primeira bissetriz (reta y = x), possuem
abscissa e ordenada iguais entre si. Logo, deveremos ter: r
- 12 = 4r - 6 de onde conclui-se r = - 2. 
Das alternativas apresentadas, concluímos que a correta
é a letra C, uma vez que -2 é raiz da equação dada. Basta
substituir x por -2 ou seja:
(-2)3 - (-2)2 + (-2) + 14 = 0 o que confirma que -2 é raiz
da equação.
Fórmula da distância entre dois pontos do plano
cartesiano
Dados dois pontos do plano A(Xa,Ya) e B(Xb,Yb) , deduz-
se facilmente usando o teorema de Pitágoras a seguinte
fórmula da distancia entre os pontos A e B:
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS60
Esta fórmula também pode ser escrita como: d2
AB
 = (X
b
 -
X
a
)2 + (Y
b
 - Y
a
)2 , obtida da anterior, elevando-se ao quadrado
(quadrando-se) ambos os membros.
Exercício Resolvido
O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas
; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto
A se vê o segmento BC sob um ângulo reto .
Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é :
a) (3,0) b) (0, -1) c) (0,4)
d) (0,5) e) (0, 3)
Solução: 
Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos
concluir que o triângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o
teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados dos catetos. Portanto, podemos
escrever: AB2 + AC2 = BC2 (BC é a hipotenusa porque é o lado
que se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância,
podemos então escrever, considerando que as coordenadas
do ponto A são (0,y) , já que é dado no problema que o ponto
A está no eixo dos y e portanto sua abscissa é nula:
AB2 = ( 0 - 2 )2 + ( y - 3 )2 = 4 + ( y - 3 )2
AC2 = ( 0 - (-4))2 + ( y - 1)2 = 16 + ( y - 1 )2
BC2 = ( 2 - (-4))2 + ( 3 - 1 )2 = 40
Substituindo, vem: 4 + ( y - 3 )2 + 16 + ( y - 1 )2 = 40 \ ( y
- 3 )2 + ( y - 1)2 = 40 - 4 - 16 = 20
Desenvolvendo, fica: y2 - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 = 20 \ 2y2 -
8y - 10 = 0 \ y2 - 4y - 5 = 0 , que resolvida, encontramos y =
5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois foi dito no problema
que o ponto A está no semi-eixo positivo . Portanto, o ponto
procurado é A(0,5), o que nos leva a concluir que a
alternativa correta é a letra D.
Ponto médio de um segmento
Dado o segmento de reta AB , o ponto médio de AB é o
ponto M Î AB tal que AM = BM . Nestas condições, dados os
pontos A(x
1 
, y
1
) e B(x
2
 , y
2
) , as coordenadas do ponto médio
M(x
m
 , y
m
) serão dadas por:
Exercício Resolvido
Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC
do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W2 é
igual a:
a) 25 b) 32 c) 34
d) 44 e) 16
Solução: 
Chama-se mediana de um triângulo relativa a um lado, ao
segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado
oposto.
Assim, a mediana relativa ao lado BC será o segmento
que une o ponto A ao ponto médio de BC.
Das fórmulas de ponto médio anteriores, concluímos que
o ponto médio de BC será o ponto M( 3, 5). Portanto, o
comprimento da mediana procurado será a distância entre
os pontos A e M.
Usando a fórmula de distância encontramos AM = Ö 34
ou seja raiz quadrada de 34.
Logo, W = Ö 34 e portanto W2 = 34, o que nos leva a
concluir que a resposta correta está na alternativa C.
Baricentro de um triângulo
Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um
triângulo ABC é o ponto de encontro das 3 medianas . Sendo G
o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M é o ponto médio do
lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo).
Nestas condições , as coordenadas do baricentro G(x
g 
, y
g
) do
triângulo ABC onde A(x
a
 , y
a
) , B(x
b
 , y
b
) e C(x
c
 , y
c
) é dado por :
Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro são
iguais às médias aritméticas das coordenadas dos pontos A
B e C .
Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como
centro de gravidade) do triângulo ABC onde A(3,5) , B(4, -1)
e C(11, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto
das fórmulas.
Exercício resolvido
Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ
onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ?
Solução:
Seja o ponto Z(a,b). Temos, pela fórmula do baricentro:
3 = (2 - 4 + a) / 3 e 5 = (5 + 6 + b) / 3
Daí, vem que a = 11 e b = 4. O ponto Z será portanto Z(11, 4).
Usando a fórmula da distância entre dois pontos,
lembrando que B(3,5) e Z(11,4), 
encontraremos BZ = 651/2 u.c. (u.c. = unidades de
comprimento).
Agora resolva este:
Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) são os vértices de
um triângulo cujo baricentro é o ponto
G (6, 11). Calcule o valor de m2 + n2.
Resp: 850
O uso do Determinante de terceira ordem na
Geometria Analítica
Área de um triângulo
Seja o triângulo ABC de vértices A(x
a
 , y
a
) , B(x
b
 , x
c
) e
C(x
c
 , y
c
) . A área S desse triângulo é dada por
S = 1/2 . | D | onde | D | é o módulo do determinante formado
pelas coordenadas dos vértices A , B e C .
 Temos portanto:
A área S é normalmente expressa em u.a. (unidades de
área)
Para o cálculo do determinante de terceira ordem,
utilizamos a conhecida e prática regra de Sarrus.
Condição de alinhamento de três pontos
Três pontos estão alinhados se são colineares , isto é ,
se pertencem a uma mesma reta.
É óbvio que se os pontos A , B e C estão alinhados , então
o triângulo ABC não existe , e podemos pois considerar que
sua área é nula ( S = 0 ) .
Fazendo S = 0 na fórmula de área, concluímos que a
condição de alinhamento dos 3 pontos é que o determinante
D seja nulo , ou seja : D = 0 .
Exercício resolvido:
Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares
, então o valor de y é :
a) 4 b) 3 c) 3,5 d) 4,5 e) 2
Solução:
Para que estes pontos estejam alinhados (pontos
colineares), deveremos ter:
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS61
Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus,
obtemos:
- 32 - 3y + 15 + 24 - 3y + 20 = 0 \ y = 9/2 = 4,5.
Portanto a alternativa correta é a letra D.
Equação geral da reta.
Seja r a reta que passa pelos pontos A(x
a 
, y
a
) e B(x
b
 , y
b
).
Seja P(x , y) um ponto qualquer desta reta . Pela condição
de alinhamento de 3 pontos, podemos escrever:
Desenvolvendo o determinante acima obtemos:
(Ya - Yb) . x + (Xa - Xb) . y + (XaYb - XbYa) = 0 .
Fazendo Ya - Yb = a , Xa - Xb = b e XaYb - XbYa = c,
decorre que todo ponto P(x,y) pertencente à reta, deve
verificar a equação: ax + by + c = 0 que é chamada equação
geral da reta r .
Exemplos: 
2x + 5y - 4 = 0 (a = 2 , b = 5 , c = -4)
3x - 4y = 10 (a = 3 , b = -4 , c = -10);
observe que podemos escrever 3x - 4y - 10 = 0.
3y + 12 = 0 (a = 0 , b = 3 , c = 12)
7x + 14 = 0 (a = 7 , b = 0 , c = 14)
x = 0 (a = 1 , b = 0 , c = 0)
y = 0 (a = 0 , b = 1 , c = 0)
Observações:
a) a = 0 => y = - c/b (reta paralela ao eixo dos x )
b) b = 0 => x = - c/a (reta paralela ao eixo dos y)
Posição relativa de duas retas
Sabemos da Geometria que duas retas r e s no plano
podem ser: Paralelas; Concorrentes ou Coincidentes.
Dadas as retas r : ax + by + c = 0 e s : a’x + b’y + c’ = 0 ,
temos os seguintes casos :
 as retas são concorrentes .
Exercícios resolvidos
1 - OSEC-SP - Qual a posição relativa das retas r : x + 2y
+ 3 = 0 e s: 4x + 8y + 10 = 0?
Solução:
Temos que: 1 / 4 = 2 / 8 ¹ 3 / 10 (segundo caso acima) e, 
portanto as retas são paralelas.
2 - Dadas as retas r : 3x + 2y - 15 = 0 ; s : 9x + 6y - 45 =
0 e t : 12x + 8y - 60 = 0 , podemos afirmar:
a) elas são paralelas
b) elas são concorrentes
c) r // t // s = R
d) r // s // t = R2
e) as três equações representam uma mesma reta .
Solução:
Primeiro vamos verificar as retas r e s: 3 / 9 = 2 / 6 = -15
/ -45 (primeiro caso acima) e portanto as retas r e s são
coincidentes. 
Comparando agora, por exemplo a reta r com a reta t ,
teremos: 
3 / 12 = 2 / 8 = -15 / -60 (primeiro caso acima);
Portanto as retas r, s e t são coincidentes, ou seja,
representam a mesma reta. 
Logo a alternativa correta é a letra E.
 as retas são coincidentes .
 as retas são paralelas .
Equação segmentária da reta
Considere a reta representada na fig. a seguir:
Verificamos que a reta corta os eixos coordenados nos
pontos (p,0) e (0,q). Sendo G(x,y) um ponto genérico ou seja
um ponto qualquer da reta, através da condição de
alinhamento de 3 pontos, chegamos facilmente à equação
segmentária da reta:
Nota: se p ou q for igual a zero , não existe a equação
segmentária (Lembre-se: não existe divisão por zero);
portanto , retas que passam na origem não possuem equação
segmentária .
Exercício resolvido
Ache a equação segmentária da reta de equação geral
2x + 3y - 18 = 0.
Solução:
Podemos escrever: 2x + 3y = 18 ; dividindo ambos os
membros por 18 vem:
2x/18 + 3y/18 = 18/18 \ x / 9 + y / 6 = 1. Vemos portanto
que p = 9 e q = 6 e portanto a reta corta os eixos coordenados
nos pontos A(9,0) e B(0,6).
Equações paramétricas da reta
Quando um ponto qualquer P(x , y) de uma reta vem com
suas coordenadas x e y expressas em função de uma
terceira variável t (denominada parâmetro), nós temos nesse
caso as equações paramétricas da reta.
x = f(t) onde f é uma função do 1o. grau
y = g(t) onde g é uma função do 1o. grau
Nestas condições , para se encontrar a equação geral
da reta , basta se tirar o valor de t em uma das equações e
substituir na outra .
Exercício resolvido
Um móvel descreve uma trajetória retilínea e suas
coordenadas em função do tempo t , são:
x = 3t + 11
y = -6t - 21
Qual a equação segmentária dessa trajetória?
Solução:
Multiplicando ambos os membros da 1ª equação
paramétrica por 2, vem: 2x = 6t + 22.
Somando agora membro a membro com a 2ª equação,
obtemos: 2x + y = 32 (observe que a variável t é eliminada
nessa operação pois 6t + ( -6t ) = 0 ).
Dividindo ambos os membros da equação obtida por 32
fica:
2x / 32 + y / 32 = 32 / 32 => x / 16 + y / 32 = 1, que é a
equação segmentária procurada.
Determine a equação da reta que passa nos pontos P(2,5)
e Q(1,4).
Solução: Sendo G(x,y) um ponto qualquer da reta cuja
equação é procurada, podemos escrever:
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS62
Aplicando a regra de Sarrus para desenvolver o
determinante de 3ª ordem acima, vem:
- 4x - 2y - 5 + 8 + y + 5x = 0 Þ x - y + 3 = 0 que é a equação
geral procurada. Observe que a equação da reta também poderá
ser escrita como y = x + 3. Esta última forma, é conhecida como
equação reduzida da reta, como veremos a seguir.
Outras formas de equação da reta
Vimos na seção anterior a equação geral da reta ou seja
ax + by + c = 0 . Vamos apresentar em seqüência , outras
formas de expressar equações de retas no plano cartesiano:
Equação reduzida da reta
Seja a reta r de equação geral ax + by + c = 0 . Para achar
a equação reduzida da reta , basta tirar o valor de y ou seja:
y = (- a/b)x - c/b . 
Chamando - a/b = m e - c/b = n obtemos y = mx + n que é
a equação reduzida da reta de equação geral ax + by + c = 0 .
O valor de m é o coeficiente angular e o valor de n é o
coeficiente linear da reta . 
Observe que na equação reduzida da reta , fazendo x =
0 , obtemos y = n , ou seja, a reta r intercepta o eixo dos y no
ponto (0 , n) de ordenada n .
Quanto ao coeficiente angular m , considere a reta r
passando nos pontos A(x
1
 , y
1
) e B(x
2
 , y
2
) . 
Sendo y = mx + n a sua equação reduzida ,podemos
escrever: y
1
 = mx
1 
+ n e y
2
 = mx
2
 + n . 
Subtraindo estas equações membro a membro , obtemos
y
1
 - y
2
 = m (x
1
 - x
2
) . 
Logo , a fórmula para o cálculo do coeficiente angular da
reta que passa pelos dois pontos (x
1
 , y
1
) e (x
2
 , y
2
) é :
Retas perpendiculares
Sabemos da Geometria Plana que duas retas são
perpendiculares quando são concorrentes e formam entre si
um ângulo reto (90º) . Sejam as retas r: y = m
r
 x + n
r
 e s: y =
m
s
 x + n
s
 . Nestas condições podemos escrever a seguinte
relação entre os seus coeficientes angulares: m
s
 = - 1 / m
r
 ou
m
r 
. m
s
 = -1 .
Dizemos então que se duas retas são perpendiculares, o
produto dos seus coeficientes angulares é igual a -1.
Deixaremos de demonstrar esta propriedade, não
obstante a sua simplicidade, mas se você se interessar em
ver a demonstração, mande-me um e-mail solicitando.
Exercício resolvido
Dadas as retas de equações (2w - 2)x + (w - 1)y + w =
0 e (w - 3)y + x - 2w = 0, podemos afirmar que:
a) elas são perpendiculares para qualquer valor de w
b) elas são perpendiculares se w = 1
c) elas são perpendiculares se w = -1
d) elas são perpendiculares se w = 0
e) essas retas não podem ser perpendiculares
Solução:
Podemos escrever para a 1ª reta: y = [-(2w-2) / (w-1)].x
- w /(w-1).
Analogamente para a 2ª reta: y = [-1 / (w-3)].x + 2w / (w-
3). Ora, os coeficientes de x são os coeficientes angulares
e, pelo que já sabemos, a condição de perpendicularidade é
que o produto desses coeficientes angulares seja igual a -1.
Logo:
Efetuando os cálculos indicados e simplificando-se
obtemos: w2 - 2w + 1 = 0, que é equivalente a
(w - 1)2 = 0, de onde conclui-se que w = 1.
Mas, cuidado! Observe que 1 anula o denominador da
expressão acima e, portanto é uma raiz estranha, já que não
existe divisão por zero! Apesar das aparências, a raiz 1 não
serve! Logo, a alternativa correta é a letra E e não a letra B
como ficou aparente.
Ângulo formado por duas retas
Sendo m
r
 e m
s
 os coeficientes angulares das retas r e s
respectivamente , a tangente do ângulo agudo q formado
pelas retas é dado por :
Notas:
1 - Ângulo agudo: ângulo cuja medida está entre 0 e 90º.
2 - Observe dois casos particulares da fórmula anterior,
que merecem ser mencionados:
a) se as retas r e s, ao invés de serem concorrentes,
fossem paralelas, o ângulo q seria nulo e portanto
tg q = 0 (pois tg 0 = 0).
Nestas condições, o denominador da fórmula teria que
ser nulo, o que resultaria em m
r
 = m
s
 , ou seja, os coeficientes
angulares teriam que ser iguais.
RETAS PARALELAS POSSUEM COEFICIENTES
ANGULARES IGUAIS.
b) se as retas r e s fossem além de concorrentes,
PERPENDICULARES, teríamos q = 90º . Neste caso a tangente
não existe ( não existe tg 90º , sabemos da Trigonometria);
mas se considerarmos uma situação limite de um ângulo tão
próximo de 90º quanto se queira, sem entretantonunca se
igualar a 90º , a tangente do ângulo será um número cada
vez maior, tendendo ao infinito. Ora, para que o valor de uma
fração seja um número cada vez maior, tendendo ao infinito,
o seu denominador deve ser um número infinitamente
pequeno, tendendo a zero. Nestas condições, o denominador
da fórmula anterior 1+m
r
 . m
s
 seria um número tão próximo de
zero quanto quiséssemos e no limite teríamos 1 + m
r
 . m
s
 = 0.
Ora, se 1 + m
r
 . m
s
 = 0, podemos escrever que m
r
 . m
s
 = -
1, que é a condição necessária e suficiente para que as
retas sejam perpendiculares, conforme já vimos num texto
anterior publicado nesta página. Assim, é sempre bom lembrar:
RETAS PERPENDICULARES POSSUEM COEFICIENTES
ANGULARES QUE MULTIPLICADOS É IGUAL A MENOS UM.
Exercício resolvido
Determine o ângulo agudo formado pelas retas r : 3x - y
+ 2 = 0 e s : 2x + y - 1 = 0.
Solução:
Para a reta r : y = 3x + 2. Logo, m
r
 = 3.
Para a reta s : y = - 2x + 1. Logo, m
s
 = -2.
Substituindo os valores na fórmula anterior e efetuando
os cálculos, obtemos tgq = 1, o que significa que o ângulo
entre as retas é igual a 45º, pois tg45º = 1.
(Faça os cálculos para conferir).
Estudo da circunferência
Considere a circunferência representada no plano
cartesiano , conforme abaixo , cujo centro é o ponto
C(x
o ,
 y
o
) e cujo raio é igual a R , sendo P(x , y) um ponto
qualquer pertencente à circunferência .
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS63
Podemos escrever: PC = R e pela fórmula de distancia entre
dois pontos, já vista em outro texto publicado nesta página,
teremos: (x - x
0
)2 + (y - y
0
)2 = R2 que é conhecida como equação
reduzida da circunferência de centro C(x
0,
y
0
) e raio R.
Assim, por exemplo, a equação reduzida da
circunferência de raio 5 e centro no ponto C(2,4) é dada por:
(x - 2)2 + (y - 4)2 = 25.
Caso particular: Se o centro da circunferência coincidir
com a origem do sistema de coordenadas cartesianas ou
seja o ponto O(0,0) , a equação reduzida da circunferência
fica: x2 + y2 = R2
Para obter a Equação Geral da circunferência, basta
desenvolver a equação reduzida .
Temos:
x2 - 2x . x
o
 + x
o
2 + y2 - 2y . y
o
 + y
o
2 - R2 = 0 .
Fazendo -2x
o
 = D , -2y
o
 = E e x
o
2 + y
o
2 - R2 = F , podemos
escrever a equação x2 + y2 + D x + E y + F = 0 (Equação geral
da circunferência).
Então , concluímos que quando os coeficientes de x2 e y2
forem unitários , para determinar as coordenadas do centro da
circunferência , basta achar a metade dos coeficientes de x e
de y , com os sinais trocados ou seja : x
o
 = - D / 2 e yo = - E / 2
Se os coeficientes de x2 e de y2 não forem unitários,
temos que dividir a equação pelo coeficiente de x2 que é
sempre igual ao coeficiente de y2 , no caso da circunferência.
Para o cálculo do raio R , observemos que F = x
o
2 + y
o
2 - R2
Mas, x
o
 = - D / 2 e y
o
 = - E /2 . Logo , podemos escrever a
seguinte equação para o cálculo do raio R a partir da equação
geral da circunferência:
Os pontos F
1
 e F
2
 são denominados focos e a distancia
F
1
F
2
 é conhecida com distancia focal da elipse.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da
elipse. Como, por definição, a > c, podemos afirmar que a
excentricidade de uma elipse é um número positivo menor
que a unidade.
Cuidado! Para que a equação x2 + y2 + D x + E y + F = 0 ,
possa representar uma circunferência, tem de ser atendida
a condição D2 + E2 - 4.F > 0 , pois não existe raiz quadrada
real de número negativo .
Observe que se D2 + E2 - 4.F = 0 , a equação x2 + y2 + D x
+ E y + F = 0 representa apenas um ponto do plano cartesiano!
Por exemplo : x2 + y2 + 6x - 8y + 25 = 0 é a equação de um
ponto! Verifique.
Qual a sua interpretação para o caso D2 + E2 - 4F ser
negativo? Ora, como não existe raiz quadrada real de número
negativo, conclui-se facilmente que a circunferência não
existe neste caso!
Exemplo: 
Dada a equação x2 + y2 - 6x + 8y = 0, temos: D = - 6 , E =
8 e F = 0. 
Logo, pelas igualdades anteriores, podemos determinar
as coordenadas do centro e o raio como segue:
x
o
 = - (-6) / 2 = 3 ; y
o
 = - 8 / 2 = -4 e R = 5 (faça as contas). 
Portanto, o centro é o ponto C(3, -4) e o raio é igual a 5
u.c (u.c = unidade de comprimento).
ELIPSE
Definição:
Dados dois pontos fixos F
1
 e F
2
 de um plano, tais que a
distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se
elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um
de seus pontos P à estes pontos fixos F
1
 e F
2
 é igual a um
valor constante 2a , onde a > c.
Assim é que temos por definição:
PF
1
 + PF
2
 = 2 a
Equação reduzida da elipse
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam
F
1
(c,0) e F
2
(-c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante
com c < a, como vimos acima, podemos escrever:
PF
1
 + PF
2
 = 2.a
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos,
poderemos escrever:
Observe que x – (-c) = x + c.
Quadrando a expressão acima, vem:
Com bastante paciência e aplicando as propriedades
corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e
simplificada, chegará a:
b2.x2 + a2.y2 = a2.b2, onde b2 = a2 – c2
Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem
finalmente:
HIPÉRBOLE
Definição:
Dados dois pontos fixos F
1
 e F
2
 de um plano, tais que a
distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se
hipérbole, à curva plana cujo módulo da diferença das
distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos
F
1
 e F
2
 é igual a um valor constante 2a , onde a < c.
Assim é que temos por definição:
 PF
1
 - PF
2
  = 2 a
Os pontos F
1
 e F
2
 são denominados focos e a distancia
F
1
F
2
 é conhecida com distancia focal da hipérbole.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da
hipérbole. Como, por definição, a < c, concluímos que a
excentricidade de uma hipérbole é um número positivo maior
que a unidade.
A
1
A
2
 é denominado eixo real ou eixo transverso da
hipérbole, enquanto que B
1
B
2
 é denominado eixo não
transverso ou eixo conjugado da hipérbole. Observe na figura
acima que é válida a relação:
c2 = a2 + b2
O ponto (0,0) é o centro da hipérbole.
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS64
Equação reduzida da hipérbole
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam
F
1
(c,0) e F
2
(-c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante
com c > a, como vimos acima, podemos escrever:
½ PF
1
 - PF
2
 ½ = 2 a
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos,
poderemos escrever:
Observe que x – (-c) = x + c.
Quadrando a expressão acima, vem:
Com bastante paciência e aplicando as propriedades
corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e
simplificada, chegará a:
b2.x2 - a2.y2 = a2.b2, onde b2 = c2 – a2 , conforme pode ser
verificado na figura acima.
Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem 
finalmente:
Obs: se o eixo transverso ou eixo real (A
1
A
2
) da hipérbole
estiver no eixo dos y e o eixo não transverso ou eixo
conjugado (B
1
B
2
) estiver no eixo dos x, a equação da hipérbole
passa a ser:
PARÁBOLA
Definição
Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz)
e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abcissas
(eixo dos x), conforme figura abaixo:
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos
pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que
PF = Pd onde:
PF = distância entre os pontos P e F
PP’ = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).
Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável:
VF = p/2
Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice
na origem
Observando a figura acima, consideremos os pontos:
F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da
parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos
ter: PF = PP’
Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do
plano cartesiano:
Desenvolvendo convenientemente e simplificando a
expressão acima, chegaremos à equação reduzida da
parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber:
y2 = 2px
onde p é a medida do parâmetro da parábola.
Parábola de eixo horizontale vértice no ponto (x
0
, y
0
)
Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim,
num ponto (x
0
, y
0
), a equação acima fica:
(y - y
0
)2 = 2p(x-x
0
)
Parábola de eixo vertical e vértice na origem
Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na
origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será:
x2 = 2py
Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x
0
, y
0
)
Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na
origem, e, sim, num ponto (x
0
, y
0
), a equação acima fica:
(x - x
0
)2 = 2p(y - y
0
)
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO: POSIÇÕES RELATIVAS
ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA E ENTRE
CIRCUNFERÊNCIAS, ÂNGULOS RELACIONADOS COM
ARCOS, RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO
A circunferência possui características não comumente
encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a
única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto
sem modificar sua posição aparente.
É também a única figura que é simétrica em relação a um
número infinito de eixos de simetria.
A circunferência é importante em praticamente todas as
áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática,
Física, Quimica, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e
também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas
residências das pessoas.
Circunferência e Círculo
Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico
de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma
mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da
circunferência.
Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das
aplicações.
Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de
um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual
que uma distância r dada.
Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto.
O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto
de pontos localizados dentro da mesma.
No gráfico acima, a circunferência é a linha de cor
verde-escuro que envolve a região verde, enquanto o cír-
culo é toda a região pintada de verde reunida com a cir-
cunferência.
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS65
Pontos interiores de um círculo e exteriores a um
círculo
Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo
são os pontos do círculo que não estão na circunferência.
Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo
são os pontos localizados fora do círculo.
Raio, corda e diâmetro
Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um
segmento de reta com uma extremidade no centro da circun-
ferência e a outra extremidade num ponto qualquer da cir-
cunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC
são raios.
Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de
reta cujas extremidades pertencem à circunferência. Na fi-
gura, os segmentos de reta AC e DE são cordas.
Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um
círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferên-
cia. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunfe-
rência. Na figura, o segmento de reta AC é um diâmetro.
Posições relativas de uma reta e uma circunfe-
rência
Reta secante:
Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta
intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, pode-
mos dizer também que é a reta que contém uma corda.
Reta tangente:
Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que
intercepta a circunferência em um único ponto P.
Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto
de contato.
Na figura ao lado, o ponto P é
o ponto de tangência e a reta que
passa pelos pontos E e F é uma
reta tangente à circunferência.
Observações:
1. Raios e diâmetros são nomes de segmentos de retas
mas às vezes são também usados como os comprimentos
desses segmentos. Por exemplo, podemos dizer que ON é o
raio da circunferência, mas é usual dizer que o raio ON da
circunferência mede 10cm ou que o raio ON tem 10cm.
2. Tangentes e secantes são nomes de retas, mas tam-
bém são usados para denotar segmentos de retas ou semi-
retas. Por exemplo, "A tangente PQ" pode significar a reta
tangente à circunferência que passa pelos pontos P e Q mas
também pode ser o segmento de reta tangente à circunfe-
rência que liga os pontos P e Q. Do mesmo modo, a "secante
AC" pode significar a reta que contém a corda BC e também
pode ser o segmento de reta ligando o ponto A ao ponto C.
Propriedades das secantes e tangentes
1. Se uma reta s, secante a uma circunferência de cen-
tro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A
e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de
reta OM é perpendicular à reta secantes.
2. Se uma reta s, secante a uma circunferência de cen-
tro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e
B, a perpendicular à reta s que passa pelo centro O da circun-
ferência, passa também pelo ponto médio da corda AB.
3. Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o
centro e P um ponto da circunferência. Toda reta perpendi-
cular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de
tangência P.
4. Toda reta tangente a uma circunferência é perpendi-
cular ao raio no ponto de tangência.
Posições relativas de duas circunferências
Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a
duas circunferências ao mesmo tempo é denominada uma
tangente comum. Há duas possíveis retas tangentes comuns:
a interna e a externa.
Tangente comum interna
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS66
Tangente comum externa
Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunfe-
rências no plano, esta reta separa o plano em dois semi-
planos. Se os pontos de tangência, um em cada circunferên-
cia, estão no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente
comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada cir-
cunferência, estão em semi-planos diferentes, temos uma reta
tangente comum interna.
Circunferências internas: Uma circunferência C1 é
interna a uma circunferência C2, se todos os pontos do cír-
culo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é
externa à outra se todos os seus pontos são pontos exter-
nos à outra.
Circunferências concêntricas: Duas ou mais circun-
ferências com o mesmo centro mas com raios diferentes são
circunferências concêntricas.
Circunferências tangentes: Duas circunferências que
estão no mesmo plano, são tangentes uma à outra, se elas
são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência.
Circunf. tangentes externas
Circunf. tangentes internas
As circunferências são tangentes externas uma à outra
se os seus centros estão em lados opostos da reta tangente
comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus
centros estão do mesmo lado da reta tangente comum.
Circunferências secantes: são aquelas que possu-
em somente dois pontos distintos em comum.
Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de
reta tangentes à circunferência nos ponto A e B, então esses
segmentos AP e BP são congruentes.
Polígonos circunscritos
Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui
seus lados tangentes à circunferência.
Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está
inscrita no polígono.
Quadrilátero circunscrito
Propriedade dos quadriláteros circunscritos: Se
um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma
de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados.
Arco de circunferência e ângulo central
Seja a circunferência de centro O traçada ao lado. Pela
definição de circunferência temos que OP=OQ=OR=... e isto
indica que os raios de uma circunferência são segmentos
congruentes.
Circunferências congruentes: São circunferências
que possuem raios congruentes. Aqui a palavra raio refere-
se ao segmento de reta e não a um número.
Ângulo central: Em uma circunferência, o ângulo central
é aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência.
Na figura, o ângulo a é um ângulo central. Se numa
circunferência de centro O, um ângulo central determina um
arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo
AÔB.
Arco menor: É um arco que reúne dois pontos da
circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos
os pontos da circunferência que estãodentro do ângulo
central cujos lados contém os dois pontos. Na figura, a linha
vermelha indica o arco menor AB ou arco menor ACB.
Arco maior: É um arco que liga dois pontos da
circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos
os pontos da circunferência que estão fora do ângulo central
cujos lados contém os dois pontos. Na figura a parte azul é o
arco maior, o ponto D está no arco maior ADB enquanto o
ponto C não está no arco maior mas está no arco menor AB,
assim é frequentemente usado três letras para representar o
arco maior.
Semicircunferência: É um arco obtido pela reunião dos
pontos extremos de um diâmetro com todos os pontos da
circunferência que estão em um dos lados do diâmetro. O
arco RTS é uma semicircunferência da circunferência de
centro P e o arco RUS é outra.
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS67
Observações: Em uma circunferência dada, temos que:
A medida do arco menor é a medida do ângulo central 
correspondente a m(AÔB) e a medida do arco maior é 360 
graus menos a medida do arco menor m(AÔB).
A medida da semicircunferência é 180 graus ou Pi
radianos.
Em circunferências congruentes ou em uma simples
circunferência, arcos que possuem medidas iguais são arcos
congruentes.
Em uma circunferência, se um ponto E está entre os pontos
D e F, que são extremidades de um arco menor, então:
m(DE)+m(EF)=m(DF).
Se o ponto E está entre os pontos D e F, extremidades de
um arco maior: m(DE)+m(EF)=m(DEF).
Apenas esta última relação faz sentido para as duas
últimas figuras apresentadas.
Propriedades de arcos e cordas
Uma corda de uma circunferência é um segmento de reta
que une dois pontos da circunferência. Se os extremos de
uma corda não são extremos de um diâmetro eles são
extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles
um arco menor e o outro um arco maior. Quando não for
especificada, a expressão arco de uma corda se referirá ao
arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que
especificar.
Observações
Se um ponto X está em um arco AB e o arco AX é congruente
ao arco XB, o ponto X é o ponto médio do arco AB. Além disso,
qualquer segmento de reta que contém o ponto X é um
segmento bissetor do arco AB. O ponto médio do arco não é o
centro do arco, o centro do arco é o centro da circunferência
que contém o arco.
Para obter a distância de um ponto O a uma reta r, traçamos
uma reta perpendicular à reta dada passando pelo ponto O.
O ponto T obtido pela interseção dessas duas retas é o
ponto que determinará um extremo do segmento OT cuja medida
representa a distância entre o ponto e a reta.
Em uma mesma circunferência ou em circunferências 
congruentes, cordas congruentes possuem arcos 
congruentes e arcos congruentes possuem cordas 
congruentes. (Situação 1).
Um diâmetro que é perpendicular a uma corda é bissetor da
corda e também de seus dois arcos. (Situação 2).
Em uma mesma circunferência ou em circunferências 
congruentes, cordas que possuem a mesma distância do 
centro são congruentes. (Situação 3).
Situação 1
Situação 2
Situação 3
Polígonos inscritos na circunferência
Um polígono é inscrito em uma circunferência se cada
vértice do polígono é um ponto da circunferência e neste
caso dizemos que a circunferência é circunscrita ao polígono.
A
EI
O
Propriedade dos quadriláteros inscritos: Se um
quadrilátero está inscrito em uma circunferência então os
ângulos opostos são suplementares, isto é a soma dos
ângulos opostos é 180 graus e a soma de todos os quatro
ângulos é 360 graus.
 + Π= 180 graus
Ê + Ô = 180 graus
 + Ê + Î + Ô = 360 graus
A
EI
O
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS68
Ângulos inscritos
Ângulo inscrito: relativo a uma circunferência é um ângulo
com o vértice na circunferência e os lados secantes a ela.
Na figura à esquerda abaixo, o ângulo AVB é inscrito e
AB é o arco correspondente.
Medida do ângulo inscrito: A medida de um ângulo inscrito
em uma circunferência é igual à metade da respectiva medida
do ângulo central, ou seja, a metade de seu arco
correspondente, isto é:
m = n/2 = (1/2) m(AB)
Ângulo reto inscrito na circunferência:
O arco correspondente a um ângulo reto inscrito em uma
circunferência é a semi-circunferência.
Se um triângulo inscrito numa semi-circunferência tem
um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo
e esse diâmetro é a hipotenusa do triângulo.
Ângulo semi-inscrito e arco capaz
Ângulo semi-inscrito:
Ângulo semi-inscrito ou ângulo de segmento é um ângulo
que possui um dos lados tangente à circunferência, o outro
lado secante à circunferência e o vértice na circunferência.
Este ângulo determina um arco (menor) sobre a
circunferência.
No gráfico abaixo, a reta secante passa pelos pontos A e
B e o arco correspondente ao ângulo semi-inscrito BAC é o
arco AXB onde X é um ponto sobre o arco.
Observação: A medida do ângulo semi-inscrito é a
metade da medida do arco interceptado.
Na figura, a medida do ângulo BÂC é igual a metade da
medida do arco AXB.
Arco capaz:
Dado um segmento AB e um ângulo k, pergunta-se:
Qual é o lugar geométrico
de todos os pontos do plano
que contém os vértices dos
ângulos cujos lados passam
pelos pontos A e B sendo
todos os ângulos
congruentes ao ângulo k? Este
lugar geométrico é um arco de
circunferência denominado
arco capaz.
Observação:
Todo ângulo inscrito no arco capaz AB, com lados
passando pelos pontos A e B são congruentes e isto significa
que, o segmento de reta AB é sempre visto sob o mesmo
ângulo de visão se o vértice deste ângulo está localizado no
arco capaz.
Na figura abaixo à esquerda, os ângulos que passam por
A e B e têm vértices em V1, V2, V3, ..., são todos congruentes 
(a mesma medida).
Na figura acima à direita, o arco capaz relativo ao ângulo
semi-inscrito m de vértice em A é o arco AVB.
Se n é ângulo central então a medida de m é o dobro da
medida de n, isto é:
m(arco AB) = 2 medida(m) = medida(n)
Outras propriedades com cordas e segmentos
Agora apresentaremos alguns resultados que fazem a
conexão entre segmentos e cordas, que não são evidentes
à primeira vista.
Se a reta AB é tangente à circunferência no ponto B
então o segmento AB é o segmento tangente de A até a
circunferência.
Se a reta RT é uma reta secante que intercepta a
circunferência em S e T e R é um ponto exterior a
circunferência, então RT é um segmento secante e RS é a
parte externa do segmento secante.
Na sequência, usaremos a notação (PZ) para representar
a medida do segmento PZ, em função das dificuldades que a
linguagem HTML proporciona para a apresentação de
materiais de Matemática.
Cordas interceptando dentro da circunferência:
Se duas cordas de uma mesma circunferência se
interceptam em um ponto P dentro da circunferência, então o
produto das medidas das duas partes de uma corda é igual
ao produto das medidas das duas partes da outra corda.
(AP).(PB) = (CP).(PD)
Potência de ponto (1):
A partir de um ponto fixo P dentro de uma circunferência,
tem-se que (PA).(PB) é constante qualquer que seja a corda
AB passando por este ponto P. Este produto (PA).(PB) é
denominado a potência do ponto P em relação a esta
circunferência.
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS69
Secantes interceptando fora da circunferência:
Consideremos duas retas secantes a uma mesma
circunferência que se interceptam em um ponto P localizado
fora da circunferência.
Se uma das retas passa pelos pontos A e B e a outra reta
passa pelos pontos C e D da circunferência, então o produto
da medida do segmento secante PA pela medida da sua parte
exterior PB é igual ao produto da medida do segmento secante
PC pela medida da sua parte exterior PD.
(PA).(PB)=(PC).(PD)
Potência de ponto (2):
Se P é um ponto fixo fora da circunferência, o produto
(PA).(PB) é constante qualquer que seja a reta secante à
circunferência passando por P.
Este produto (PA).(PB) é também denominado a potência
do ponto P em relação à circunferência.
Secante e tangente interceptando fora da
circunferência:
Se uma reta secante e uma reta tangente a uma mesma
circunferênciase interceptam em um ponto P fora da
circunferência, a reta secante passando pelos pontos A e B
e a reta tangente passando pelo ponto T de tangência à
circunferência, então o quadrado da medida do segmento
tangente PT é igual ao produto da medida do segmento secante
PA pela medida da sua parte exterior PB.
(PT)2 = (PA).(PB)
Exemplo:
Consideremos a figura ao lado com as cordas AB e CD
tendo interseção no ponto P, com (AP) = 5cm, (PB) = 8cm,
(CD) = 14cm. Iremos obter a medida do segmento PD.
Tomaremos (PD)=x, para podermos escrever que (CP) =
14-x e somente utilizaremos a unidade de medida no final.
Desse modo, (PD).(PC)=(PA).(PB) e podemos escrever
que x(14-x)=5×8, de onde segue que x²-14x+40=0.
Resolvendo esta equação do segundo grau, obtemos:
x=4 ou x=10, o que significa que se uma das partes do
segmento medir 4cm, a outra medirá 10cm.
Pela figura anexada, observamos que o segmento PD é
maior que o segmento PC e concluímos que (PD)=10cm e
(PC)=4cm.
CÁLCULO VETORIAL
O cálculo vetorial é fundamental para o estudo da Física.
Existem grandezas escalares e grandezas vetoriais. As
escalares são aquelas que possuem apenas um valor e a
unidade de medida ( o tal valor recebe o nome de módulo ou
intensidade). São exemplos de grandezas escalares a massa
(Ex: 20Kg) e a temperatura (20ºC). Já as grandezas vetoriais
possuem 3 características: o módulo ou intensidade (valor
acompanhado da unidade de medida), uma direção (Ex:
horizontal, vertical, etc) e um sentido (esquerda para a direita,
cima para baixo, etc). Um vetor é representado por uma seta,
sendo que o comprimento da seta é proporcional à intensidade
do vetor. São exemplos de grandezas vetoriais a força, a
velocidade e a aceleração.
Igualdade de vetores
Dois vetores A e B são definidos como sendo iguais se
tiverem o mesmo módulo, direção e sentido. Um vetor não
tem, necessariamente, uma localização, apesar de que um
vetor possa se referir a uma quantidade definida em um
ponto. Dois vetores podem ser comparados, mesmo que
meçam quantidades físicas definidas, em diferentes pontos
do espaço e de tempo.
Operações com Vetores
Vamos estudar agora a maneira de operar com as
grandezas físicas vetoriais (ou com vetores). Já estamos
bastante familiarizados em somar ou subtrair grandezas
escalares de uma mesma espécie:
a) assim, a adição de um comprimento de 20 m de tecido
com 40 m de outro nos fornece cerca de 20 m + 40 m = 60 m;
b) um volume de 5 litros somado com um outro de 10 litros
nos fornece um volume resultante de 15 litros;
c) se subtrairmos 4 horas, de um intervalo de tempo de 15
horas, obteremos 15 h – 4 h = 11 h;
d) já a operação 10 litros + 2 horas não é possível ser
efetuada visto tratar-se de grandezas de espécies diferentes.
E com os vetores, de que forma podemos operar? Existem
métodos gráficos e analíticos. Veremos os métodos gráficos.
Adição de Vetores
O vetor resultante ou soma é obtido da
seguinte maneira: a) escolhe-se um ponto qualquer (ponto
P). b) desloca-se em qualquer ordem todos os vetores que
se deseja somar de modo que a origem do primeiro fique
sobre o ponto P e os demais fiquem dispostos de tal forma
que a origem de um coincida com o vértice de outro. c) o
vetor que vai da origem do primeiro (ponto P) à extremidade
do último (ponto Q) é, por definição, o vetor resultante
1º Caso: dois vetores de mesma direção e sentido.
2º Caso: dois vetores de mesma direção e sentidos
opostos.
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS70
3º Caso: dois vetores de direções perpendiculares.
Para achar o módulo do vetor resultante , usa-se o
Teorema de Pitágoras:
Também estaria correto se ao invés de começar com A
começássemos com B:
Podemos usar a “Regra do Paralelogramo”.
*Escolhe-se um ponto qualquer (ponto P).
*Coloca-se a origem dos dois vetores nesse ponto.
*Completa-se o paralelogramo usando linhas imaginárias.
*O vetor resultante tem origem no ponto P e tem a mesma
direção da diagonal que parte de P.
4º Caso: dois vetores com direções oblíquas.
Utilizando-se a Lei dos Cossenos pode-se deduzir que:
,
Onde 0 é o ângulo entre as direções dos dois vetores.
No exemplo em questão temos:
Também estaria correto se ao invés de começar com A
começássemos com B :
Poderíamos usar a “Regra do Paralelogramo”.
5º Caso: vários vetores com direções quaisquer.
Subtração de Vetores
Seja o vetor A chamamos de vetor oposto - A a um vetor
de mesmo módulo, direção e sentido oposto.
Exemplo:
	MATEMÁTICA 2019_01 a 24
	MATEMÁTICA 2019_25 a 38
	MATEMÁTICA 2019_39 a 51
	MATEMÁTICA 2019_52 a 70