Controle de Processos Químicos

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<p>Controle de Processos Químicos</p><p>Aula 6 – Resposta Dinâmica de</p><p>Processos</p><p>Prof. Dr. Fábio Batista</p><p>Introdução</p><p>Sinais de testes:</p><p>•Função Degrau</p><p>•Função Rampa</p><p>•Função Parábola</p><p>•Função Impulso</p><p>•Função Senoidal</p><p>MODELO</p><p>MATEMÁTICO</p><p>Gp(s)</p><p>E(s)</p><p>Sinais</p><p>Padronizados</p><p>S(s)</p><p>?????</p><p>É a resposta de um sistema frente a um perturbação em</p><p>sua entrada.</p><p>Introdução</p><p>Resposta Transiente: estado inicial até o estado final</p><p>Resposta Permanente: quando t → ∞.</p><p>%5</p><p>Sistemas de 1ª Ordem</p><p>• Sistemas cuja saída é modela por uma ED de 1ª ordem.</p><p>)(01 tbfya</p><p>dt</p><p>dy</p><p>a </p><p>Se a0≠0</p><p>)(</p><p>00</p><p>1 tf</p><p>a</p><p>b</p><p>y</p><p>dt</p><p>dy</p><p>a</p><p>a</p><p></p><p>• Definido:</p><p>00</p><p>1 Ganho e Tempo de Constante</p><p>a</p><p>b</p><p>K</p><p>a</p><p>a</p><p>PP </p><p>)(tfKy</p><p>dt</p><p>dy</p><p>PP </p><p>Var. Desvio</p><p>TL</p><p> </p><p> </p><p>  1</p><p></p><p>s</p><p>K</p><p>sF</p><p>sY</p><p>sG</p><p>P</p><p>P</p><p></p><p>São sistemas conhecidos como First-Order Lag</p><p>São autoregulatórios – Sempre atingem um valor final</p><p>quando submetidos a uma perturbação degrau</p><p>Sistemas de 1ª Ordem</p><p>• Se a0 = 0, teremos:</p><p>)(1 tfb</p><p>dt</p><p>dy</p><p>a </p><p>Se a0=0</p><p>)(</p><p>1</p><p>tf</p><p>a</p><p>b</p><p>dt</p><p>dy</p><p></p><p> </p><p> </p><p>  s</p><p>K</p><p>sF</p><p>sY</p><p>sG P</p><p>São sistemas conhecidos como puramente capacitivos ou</p><p>puramente integrador.</p><p>Não são autorreguláveis.</p><p>Sistemas de 1ª Ordem</p><p>Características</p><p>Capacidade de armazenamento de massa e</p><p>energia.</p><p>Resistência associada ao fluxo de massa,</p><p>energia e momento.</p><p>Em plantas químicas são os sistemas mais</p><p>comuns.</p><p>Resposta Dinâmica</p><p>Consiste em analisar a resposta de um processo frente a</p><p>uma perturbação.</p><p>Sistema de 1ª ordem</p><p>1 - Sistema puramente capacitivos sujeitos a um degrau unitário</p><p> </p><p> </p><p>  s</p><p>K</p><p>sF</p><p>sY</p><p>sG P</p><p>s</p><p>Degrau</p><p>1</p><p>   tKtY P </p><p>• Característica não regulatória.</p><p>• Tanque com líquidos e gases,</p><p>sistemas de armazenamento, etc.</p><p>Resposta Dinâmica</p><p>Sistema de 1ª ordem</p><p>2 - Sistema first-order lag</p><p> </p><p> </p><p>  1</p><p></p><p>s</p><p>K</p><p>sF</p><p>sY</p><p>sG</p><p>P</p><p>P</p><p> s</p><p>Degrau</p><p>1</p><p></p><p>a) Degrau Unitário</p><p> 01)( </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>teAKty p</p><p>t</p><p>p</p><p></p><p>• Sistema autorregulatório</p><p>• O valor da resposta atinge 63,2 %</p><p>do valor final quando o tempo é</p><p>igual a uma constante de tempo.</p><p>• Após 4 constante de tempo a</p><p>resposta atinge seu valor final.</p><p>• O valor final da resposta é A x Kp.</p><p>Resposta Dinâmica</p><p>Sistema de 1ª ordem</p><p>2 - Sistema first-order lag</p><p>a) Degrau Unitário</p><p>0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20</p><p>0</p><p>0.5</p><p>1</p><p>1.5</p><p>2</p><p>2.5</p><p>3</p><p>3.5</p><p>4</p><p>4.5</p><p>5</p><p>X: 3.009</p><p>Y: 0.6329</p><p>Tempo (s)</p><p>T</p><p>e</p><p>m</p><p>p</p><p>e</p><p>ra</p><p>tu</p><p>ra</p><p>X: 3.008</p><p>Y: 1.898</p><p>X: 3.003</p><p>Y: 3.161</p><p>Kp = 1</p><p>Kp = 3</p><p>Kp = 5</p><p>Efeito do</p><p>Ganho</p><p>Resposta Dinâmica</p><p>Sistema de 1ª ordem</p><p>2 - Sistema first-order lag</p><p>a) Degrau Unitário</p><p>Efeito da</p><p>Constante</p><p>de Tempo</p><p>0 10 20 30 40 50 60</p><p>0</p><p>0.1</p><p>0.2</p><p>0.3</p><p>0.4</p><p>0.5</p><p>0.6</p><p>0.7</p><p>0.8</p><p>0.9</p><p>1</p><p>Tempo (s)</p><p>T</p><p>e</p><p>m</p><p>p</p><p>e</p><p>ra</p><p>tu</p><p>ra</p><p>Constante de Tempo = 3s</p><p>Constante de Tempo = 6s</p><p>Constante de Tempo = 12s</p><p>Resposta Dinâmica</p><p>Sistema de 1ª ordem</p><p>2 - Sistema first-order lag</p><p> </p><p> </p><p>  1</p><p></p><p>s</p><p>K</p><p>sF</p><p>sY</p><p>sG</p><p>P</p><p>P</p><p> 2</p><p>1</p><p>s</p><p>Rampa</p><p>b) Rampa Unitária</p><p></p><p>t</p><p>ppp eKKtKtY</p><p></p><p>)(</p><p>Resposta Dinâmica</p><p>Sistema de 2ª ordem</p><p>)(012</p><p>2</p><p>2 tbfya</p><p>dt</p><p>dy</p><p>a</p><p>dt</p><p>yd</p><p>a  )(2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 tfKy</p><p>dt</p><p>dy</p><p>dt</p><p>yd</p><p>p </p><p>0</p><p>2</p><p>a</p><p>a</p><p>0</p><p>1</p><p>a</p><p>a</p><p>0a</p><p>bOnde 2 = 2 = Kp =</p><p>período natural</p><p>de oscilação do</p><p>sistema.</p><p>fator de</p><p>amortecimento.</p><p>12)(</p><p>)(</p><p>)(</p><p>22'</p><p>'</p><p></p><p></p><p>ss</p><p>K</p><p>sF</p><p>sY</p><p>sG</p><p>p</p><p></p><p>Resposta Dinâmica</p><p>Sistema de 2ª ordem</p><p>1 – Resposta a Degrau Unitário</p><p>12)(</p><p>)(</p><p>)(</p><p>22'</p><p>'</p><p></p><p></p><p>ss</p><p>K</p><p>sF</p><p>sY</p><p>sG</p><p>p</p><p> s</p><p>Degrau</p><p>1</p><p></p><p>)12(</p><p>)(</p><p>22 </p><p></p><p>sss</p><p>K</p><p>sy</p><p>p</p><p></p><p>• A resposta do sistema dependerá das raízes do denominador de y(s).</p><p>• A raiz (polo) s=0 não interfere na forma da resposta.</p><p>• A resposta então dependerá das raízes do polinômio:</p><p>• Além do polo s=0, temos os pólos:</p><p>01222  ss </p><p></p><p></p><p></p><p> 1</p><p>1</p><p>2 </p><p>p</p><p></p><p></p><p></p><p> 1</p><p>2</p><p>2 </p><p>p</p><p>)2)(1(</p><p>/</p><p>)(</p><p>2</p><p>pspss</p><p>K</p><p>sy</p><p>p</p><p></p><p></p><p></p><p>• A forma da resposta y(t) dependerá da localização dos pólos p1 e p2.</p><p>Resposta Dinâmica</p><p>Sistema de 2ª ordem</p><p>1 – Resposta a Degrau Unitário</p><p>• Três casos são possíveis:</p><p>1 – Caso A (p1 e p2 são pólos distintos e reais)</p><p>• Sistema super amortecido ( > 1)</p><p>• A inversão de y(s) gera:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> t</p><p>senh</p><p>t</p><p>eKty t</p><p>p 1</p><p>1</p><p>1cosh1)( 2</p><p>2</p><p>2/</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ee</p><p>senh</p><p>2</p><p>cosh</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ee</p><p>Resposta Dinâmica</p><p>Sistema de 2ª ordem</p><p>1 – Resposta a Degrau Unitário</p><p>2 – Caso B (p1 e p2 são pólos iguais)</p><p>• Sistema criticamente amortecido ( = 1)</p><p>• A inversão de y(s) gera:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>  </p><p></p><p>/11)( t</p><p>p e</p><p>t</p><p>Kty</p><p>3 – Caso C (p1 e p2 são pólos complexos conjugados)</p><p>• Sistema subamortecido ( < 1)</p><p>• A inversão de y(s) gera:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>)(</p><p>1</p><p>1</p><p>1)(</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>wtseneKty</p><p>t</p><p>p</p><p></p><p> 21</p><p>w</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>1 1</p><p>tan</p><p>Resposta Dinâmica</p><p>Resposta superamortecida – Sistema de 1ª ordem em série</p><p>Resposta Dinâmica</p><p>Resposta sub amortecidas - interação de controladores</p><p>Resposta Dinâmica</p><p>Sistema de 2ª ordem</p><p>Análise das respostas</p><p>1 - A resposta subamortecida é inicialmente mais rápida do</p><p>que a criticamente amortecida ou super amortecida, que é</p><p>caracterizada como lenta.</p><p>2 - Embora a resposta subamortecida seja inicialmente mais</p><p>rápida e atinja o seu valor final rapidamente, não permanece</p><p>lá, mas oscila com amplitude progressivamente</p><p>decrescente.</p><p>3 - O comportamento oscilatório se torna mais pronunciado</p><p>com valores menores do fator de amortecimento (ξ).</p><p>Caract. Resp. Subamortecida</p><p>1 - Overshoot = Razão A/B onde B é o valor final da</p><p>resposta e A é o valor máximo em que a resposta excede o</p><p>seu valor final</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>21</p><p>exp</p><p></p><p></p><p>overshoot</p><p>Caract. Resp. Subamortecida</p><p>2- Taxa de decaimento: É a razão C/A</p><p>2</p><p>2</p><p>)(</p><p>1</p><p>2</p><p>exp overshoot</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>decaimentodetaxa</p><p>Caract. Resp. Subamortecida</p><p>3-Período de oscilação</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>)(</p><p>1</p><p>1</p><p>1)(</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>wtseneKty</p><p>t</p><p>p</p><p></p><p> 21</p><p>w</p><p>fw 2</p><p>21</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p>T</p><p>Caract. Resp. Subamortecida</p><p>4-Período natural de oscilação – Resposta do processo</p><p>• Representa o período de oscilação quando uma FT tem raízes</p><p>complexas com parte real igual a zero. A resposta será oscilatória</p><p>com amplitude constante e frequência natural de oscilação wn.</p><p>• Ocorre sempre que o fator de amortecimento é nulo.</p><p>-1,5</p><p>-1</p><p>-0,5</p><p>0</p><p>0,5</p><p>1</p><p>1,5</p><p>0 5 10 15 20 25   2T</p><p></p><p>1</p><p>nw</p><p>Caract. Resp. Subamortecida</p><p>5-Tempo de Estabilização ou Tempo de Resposta</p><p>5%) (para 3 e 2%) (para 4 st</p><p>Caract. Resp. Subamortecida</p><p>6-Tempo de subida ou Tempo de Ascensão</p><p>d</p><p>n</p><p>d</p><p>r</p><p>w</p><p>w</p><p>w</p><p>tg</p><p>t</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 1 </p><p>1</p><p>nw</p><p>21  nd ww</p><p>Frequência natural</p><p>amortecida</p><p>Caract. Resp. Subamortecida</p><p>7-Tempo de Pico</p><p>d</p><p>p</p><p>w</p><p>t</p><p></p><p></p><p>Resposta Dinâmica</p><p>Sistema de 2ª ordem</p><p>2 – Resposta a Rampa Unitária</p><p>12)(</p><p>)(</p><p>)(</p><p>22'</p><p>'</p><p></p><p></p><p>ss</p><p>K</p><p>sF</p><p>sY</p><p>sG</p><p>p</p><p> 2</p><p>1</p><p>s</p><p>Degrau </p><p>• Existe um pólo múltiplo na origem.</p><p>• Independente dos pólos a saída será sempre composta por uma constante</p><p>e um termo linear (reta).</p><p>12</p><p>1</p><p>)(</p><p>222 </p><p></p><p>ss</p><p>K</p><p>s</p><p>sy</p><p>p</p><p></p><p>Processos Inerentes de 2ª Ordem</p><p>• Raramente ocorrem na Engenharia Química</p><p>• Processos que apresentam inércia e são sujeitos à aceleração</p><p>m</p><p>K</p><p>s</p><p>m</p><p>B</p><p>s</p><p>KBsmssF</p><p>sY</p><p>sG</p><p>sFsKYsBsYsYms</p><p>tFtKy</p><p>dt</p><p>dy</p><p>B</p><p>dt</p><p>tyd</p><p>m</p><p>dt</p><p>tyd</p><p>m</p><p>dt</p><p>dy</p><p>BtKytF</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>11</p><p>)(</p><p>)(</p><p>)(</p><p>)()()()(</p><p>)()(</p><p>)(</p><p>)(</p><p>)()(</p><p>Sistema Massa-Mola</p><p>Processos Inerentes de 2ª Ordem</p><p>Presença de um Sistema de Controle</p><p>• Sistemas de 2ª ordem ou ordem superiores podem decorrer da presença</p><p>de controladores.</p><p>Ex: Tanque com um controlador que mantém o nível agindo sobre a</p><p>vazão de saída</p><p>Controlador</p><p>PI</p><p>h</p><p>Fin</p><p>V</p><p>Fo</p><p>h</p><p>0FF</p><p>dt</p><p>dh</p><p>A in </p><p>Processos de Ordem Superior</p><p>•Processos de 1ª Ordem em série</p><p>•Processos com tempo morto</p><p>•Processo com Resposta Inversa</p><p>Processos com Tempo Morto</p><p>Todos os sistemas reais possuem algum</p><p>tempo morto entre a entrada</p><p>e a saída do processo.</p><p>Processos com Tempo Morto</p><p>São difíceis de controlar pois a saída do processo (valor medido da</p><p>variável controlada) não contém informação sobre as variações</p><p>ocorridas no instante atual!!! Processo “demora a sentir a</p><p>perturbação”.</p><p>Processos com Tempo Morto</p><p>Aproximação de Padé</p><p>s</p><p>t</p><p>s</p><p>t</p><p>e</p><p>d</p><p>d</p><p>std</p><p>.</p><p>2</p><p>1</p><p>.</p><p>2</p><p>1</p><p>.</p><p></p><p></p><p></p><p>126</p><p>126</p><p>22</p><p>22</p><p>.</p><p></p><p></p><p></p><p>stst</p><p>stst</p><p>e</p><p>dd</p><p>ddstd</p><p>1ª Ordem 2ª Ordem</p><p>Processos Resposta Inversa</p><p>Controlador</p><p>V</p><p>Fin, Tin</p><p>h</p><p>h</p><p>Q</p><p>Vapor</p><p>Fout, P</p><p>s</p><p>K2</p><p>11</p><p>1</p><p>s</p><p>K</p><p></p><p>Processos Resposta Inversa</p><p>Sistemas de 1ª ordem com efeitos opostos podem gerar resposta</p><p>inversa</p><p>Ocorrerá quando:</p><p>Processo 2 reage mais rápido que o processo 1 (tau 2 < tau 1) e domina o</p><p>sistema todo no início, porém no final o processo 1 atinge valor de estado</p><p>estacionário maior que processo 2 ( K1 > K2 ) ⇒ força a resposta final do</p><p>processo na direção oposta da inicial</p><p>Processos Resposta Inversa</p><p>• Quando ocorre resposta inversa, a FT global do</p><p>processo apresenta, sempre, um zero com parte</p><p>real positiva.</p><p>• zero > 0 não afeta estabilidade do sistema em</p><p>malha aberta. Processo pode ser levado à</p><p>instabilidade pela presença deste zero, quando for</p><p>colocado sob controle “feedback”!!!</p><p>Exemplos</p><p>Considere um sistema de primeira ordem com constante de</p><p>tempo de 0,5 min e ganho unitário. Inicialmente o sistema esta</p><p>em estado estacionário. Então a entrada do processo varia</p><p>linearmente com o tempo, ou seja, ocorre uma perturbação do</p><p>tipo m(t) = t.</p><p>a) Desenvolva uma expressão que mostre como a saída</p><p>varia com o tempo, em resposta a perturbação ocorrida.</p><p>b) Qual a mínima e qual a máxima diferença que irá</p><p>ocorrer entre m(t) e y(t)? Onde esses extremos</p><p>ocorrerão?</p><p>c) Esboce o gráfico de m(t) e y(t) em um mesmo plano.</p><p>Exemplos</p><p>Considere um processo de segunda ordem com a seguinte</p><p>função de transferência:</p><p> </p><p> </p><p>  1</p><p>1</p><p>2 </p><p></p><p>sssm</p><p>sy</p><p>sG</p><p>Diante de uma perturbação degrau de amplitude 5 na entrada</p><p>no processo, determine: a) o Overshoot percentual, b) taxa de</p><p>decaimento, c) máximo valor de y(t), d) o valor final de y(t), e) o</p><p>tempo de subida, f) o período de oscilação, g) o tempo de</p><p>estabilização a 2%.</p>