Geometria Euclidiana Plana

Prévia do material em texto

Geometria Euclidiana 
Plana e Espacial
 Geometria de posição: ângulos, polígonos e formas circulares
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Ms. Conceição Aparecida Cruz Longo
Revisão Textual:
Profa. Esp.Vera Lídia de Sá Cicarone
5
• Geometria de posição
• Ângulos
Nesta unidade, vamos iniciar nossos estudos sobre Geometria. A 
palavra “geometria” vem do grego “geometrien”, em que “geo” 
significa terra e “metrien” medida. Geometria foi, em sua origem, 
a ciência de medição de terras. O historiador grego Heródoto 
(500 a.C.) atribuiu aos egípcios o início da geometria, mas 
outras civilizações antigas (babilônios, hindus, chineses) também 
possuíam muitas informações geométricas.
Geometria de posição: ângulos, 
polígonos e formas circulares
Temos por objetivo que, ao final desta unidade, você consiga explicitar características 
geométricas de figuras planas, identificar representações de ponto, reta e plano, representar 
e nomear ponto, reta e plano; identificar as posições das retas em vertical, horizontal e 
inclinada; identificar as posições de duas retas num plano em paralelas, concorrentes e 
coincidentes; identificar o uso de ângulos; reconhecer os ângulos reto, agudo e obtuso; 
determinar os ângulos complementares e suplementares e reconhecer ângulos congruentes 
e ângulos opostos pelo vértice; identificar polígonos convexos e polígonos não convexos e 
classificá-los de acordo com o número de lados; calcular o número de diagonais; calcular a 
soma dos ângulos internos e externos de um polígono e distinguir circunferência e círculo; 
identificar centro, raio, corda e diâmetro.
6
Unidade: Geometria de posição: ângulos, polígonos e formas circulares
Contextualização
Você já brincou de ilusão de ótica? Muitas aplicações da geometria são usadas nesse tipo de 
ilusão. Veja:
As linhas verticais são paralelas?
As duas linhas são retas, mas elas estão parecendo arcos. Essa ilusão foi descoberta pelo 
psicólogo alemão Ewald Hering, em 1861. A distorção é produzida pelo padrão das linhas do 
fundo que simula um desenho de perspectiva e cria a falsa impressão de profundidade.
E as linhas horizontais da figura abaixo, estão muito tortas?
As linhas estão perfeitamente paralelas. Esta ilusão de ótica foi primeiro descrita pelo Dr. 
Richard Gregory. Ele observou este efeito curioso nas linhas da parede de um café. Esta ilusão 
de ótica faz com que linhas horizontais paralelas se pareçam levemente tortas. É essencial, para 
7
a ilusão, que os “tijolos” estejam envoltos por uma camada de “cimento” (as linhas de cor cinza 
da imagem).
Veja as figuras que seguem. Os círculos em laranja têm o mesmo tamanho?
A ilusão de Ebbighaus é uma ilusão ótica de percepção relativa de tamanho. Os círculos externos 
que rodeiam o círculo central é que forçam a impressão de um ser maior que o outro.
E nesta imagem, você vê uma espiral?
Essa ilusão também é conhecida como falsa espiral ou pelo seu nome original: a ilusão da 
corda torcida. Os segmentos de arcos pretos sobrepostos é que parecem formar a espiral, no 
entanto os arcos são uma série de círculos concêntricos que apresentam o mesmo centro.
As ilusões de ótica com geometria é um exemplo para a exploração de conceitos 
geométricos, pois permitem o reconhecimento das figuras geométricas e de suas propriedades, 
de modo que possam estabelecer uma relação e, assim, possam desvendar o “mistério” 
envolvido na ilusão de ótica.
8
Unidade: Geometria de posição: ângulos, polígonos e formas circulares
Geometria de posição
Introdução
Em nossa vida estamos cercados de formas geométricas. Vamos observar?
Na natureza, por exemplo, percebemos similaridades com as formas geométricas.
Também observamos formas similares às formas geométricas no nosso cotidiano, como, 
por exemplo:
Enfim, vale a pena pensar um pouco mais sobre elas.
Ponto, reta e plano
As primeiras noções de geometria, chamadas primitivas, são as de ponto, reta e plano e são 
conhecidas intuitivamente, ou seja, são aceitas sem definição.
Geralmente, indicamos as seguintes notações para indicá-los:
9
 · Ponto: letras maiúsculas do nosso alfabeto.
B
O
G
C
A
T
(Ponto T)
(Ponto A)
(Ponto O)
(Ponto B)
(Ponto C)
(Ponto G)
 · Reta: letras minúsculas do nosso alfabeto.
t
a
b
r
(Reta a)
(Reta b)
(Reta r)
(Reta t)
 · Plano: letras minúsculas do alfabeto grego.
γ
α β
 (Plano α)
(Plano β) (Plano γ)
O ponto, a reta e o plano são elementos de um conjunto de pontos chamado espaço, ou seja, 
são subconjuntos desse espaço. Assim também o losango e o retângulo são subconjuntos desse 
espaço. Entre esses subconjuntos, destacamos:
Figuras planas (figuras de até duas dimensões – largura e comprimento): estão contidas 
totalmente em um plano.
10
Unidade: Geometria de posição: ângulos, polígonos e formas circulares
Figuras espaciais (figuras com uma terceira dimensão – altura ou profundidade): não estão 
contidas totalmente em um plano.
Primeiros postulados
Postulado 1: Retas e planos são conjuntos de pontos.
Postulado 2: Em uma reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos.
Postulado 3: Em um plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos.
Postulado 4: Dois pontos distintos A e B determinam uma única reta r que os contém.
B
A
r
Postulado 5: Três pontos não-colineares A, B e C determinam um único plano α que está 
contida nesse plano.
B
C
α
A
 
Para Pensar
O que são pontos não-colineares?
Postulado 6: Se uma reta r tem dois de seus pontos, A e B, em um plano α, ela está 
contida nesse plano.
B
A
r
α
 
Para Pensar
O que são postulados?
11
Agora, com base nesses postulados, vamos demonstrar alguns teoremas.
Glossário
Teorema são sentenças matemáticas verdadeiras que podem ser demonstradas a partir de 
postulados ou de outros teoremas.
Teorema 1: Existe um único plano que contém uma reta r e um ponto P não pertencente a ela.
B
A
r
α
P
 
Teorema 2: Se um plano α é cortado por uma reta r e essa não está contida nesse plano, o 
único ponto é a intersecção.
r
P
 
Posição relativa entre duas retas
1 - Coplanares: são aquelas que estão contidas em um mesmo plano. Podem ser concorrentes 
ou paralelas. 
 · Retas concorrentes
Oblíquas
s
A
r
Possuem um único ponto em comum.
12
Unidade: Geometria de posição: ângulos, polígonos e formas circulares
Perpendiculares
s A
r
Ocorrem quando as duas retas concorrentes 
formam quatro ângulos retos.
 · Retas paralelas
Distintas
s
r Duas retas, r e s, são paralelas distintas 
quando não possuem ponto comum.
r = s
Duas retas, r e s, são paralelas coincidentes 
quando possuem todos os seus pontos comuns.
2 - Não-coplanares: são aquelas que não estão contidas em um mesmo plano, chamadas 
de reversas.
 · Retas reversas
r
s
Duas retas, r e s, são reversas quando não são 
coplanares, isto é, não há plano que as contenha.
13
Posição relativa entre reta e plano
1 - Reta contida no plano
r
α
Uma reta r está contida num plano α quando 
todos os seus pontos pertencem a α.
2 - Reta paralela ao plano
r
α
Uma reta r é paralela a um plano α quando 
nenhum ponto de r pertence a α.
3 - Reta concorrente ao plano
r
A
Uma reta r é concorrente a um plano α quando 
apenas um ponto de r pertence a α . Elas podem 
ser: oblíqua ou perpendiculares.
Posição relativa entre reta e plano
1 - Coincidentes
α = β
Dois planos, α e β, são coincidentes quando 
possuem todos os seus pontos comuns.
14
Unidade: Geometria de posição: ângulos, polígonos e formas circulares
2 - Distintos
 · Paralelos
α 
 β
Dois planos, α e β, são paralelos quando não 
possuem ponto comum.
• Concorrentes
Perpendiculares ou oblíquos
α 
 β
Dois planos, α e β, são concorrentes quando 
têm uma única reta comum. Eles podem ser 
perpendiculares ou oblíquos.
Exemplos
1) Se duas retas não têm ponto em comum, então elas são reversas.
RESPOSTA: Falso. Podem ser paralelas distintas.RESPOSTA: Falso. Podem ser paralelas distintas.
r
s
2) Duas retas que formam ângulo reto são perpendiculares.RESPOSTA: Falso. Podem ser ortogonais (reversas + ângulo reto).
r
s
15
3) Três pontos distintos determinam um plano.
RESPOSTA: Falso. Além de distintos devem ser não colineares, para determinar um plano.
4) Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si.
RESPOSTA: Falso, não necessariamente. No exemplo, s e t são perpendiculares a r, mas não 
são paralelas entre si. 
900
900
r
s
t
5) Duas retas ortogonais formam ângulo reto. 
RESPOSTA: Verdadeiro. Ortogonais = reversas + ângulo reto.
r
s
6) A figura representa um cubo ABCDEFGH. Assinale a alternativa falsa.
A B
CD
GH
E F
a) As retas BC e FG são paralelas.
b) As retas AC e CH são concorrentes.
16
Unidade: Geometria de posição: ângulos, polígonos e formas circulares
c) As retas BC e HG são ortogonais.
d) As retas AC e BD são perpendiculares.
e) As retas AB e CH são concorrentes.
RESPOSTA: A falsa é a alternativa e. Observe, nas figuras, que as referidas retas não se 
interceptam.
A B
C
D
GH
E F
7) Assinale a afirmação correta:
a) Uma reta e um plano são paralelos. Toda reta perpendicular à reta dada é perpendicular 
ao plano. 
b) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular 
ao plano. 
c) Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as retas do plano. 
d) Se uma reta é perpendicular a duas retas paralelas e distintas de um plano, então ela está 
contida no plano. 
e) Para uma reta ser perpendicular a um plano é suficiente que ela seja perpendicular a uma 
reta do plano que passa por seu traço. 
RESPOSTA C
8) Considere as três afirmações a seguir: 
I. Se uma reta é paralela a uma reta de um plano, então ela é paralela ao plano. 
II. Se dois planos têm um ponto em comum, então eles têm uma reta em comum. 
III. Se dois planos distintos são perpendiculares a um terceiro plano, então eles são paralelos. 
É correto afirmar que 
a) I e III são falsas e II é verdadeira. 
b) I é falsa e II e III são verdadeiras. 
c) III é falsa e I e II são verdadeiras. 
17
d) I, II e III são falsas. 
e) I, II e III são verdadeiras. 
RESPOSTA A
9) Duas retas distintas que são perpendiculares a uma terceira podem ser: 
I. concorrentes entre si. 
II. perpendiculares entre si. 
III. paralelas. 
IV. reversas e não ortogonais. 
V. ortogonais. 
Associando V ou F a cada afirmação, conforme seja verdadeira ou falsa, tem-se: 
a) VVVVV 
b) VFVFV 
c) FVFFF 
d) VVVVF 
e) FFFVF
RESPOSTA: A
Ângulos
Ângulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ou duas semirretas orientadas) a 
partir de um ponto comum.
A intersecção entre os dois segmentos (ou semirretas) é denominada vértice do ângulo e os 
lados do ângulo são os dois segmentos (ou semirretas).
Lados
Vértice
V
18
Unidade: Geometria de posição: ângulos, polígonos e formas circulares
Glossário
Semirreta é uma parte da reta, limitada por um ponto numa extremidade e que se 
prolonga infinitamente no outro sentido
Ângulo pode ser associado a distintas ideias: direção, inclinação, região e giro. Veja, a seguir, 
algumas das aplicações de ângulos. 
Como medir um ângulo?
Para medir um ângulo, vamos usar o transferidor.
A unidade de representação do ângulo é o grau (º). Classificamos um ângulo em agudo, reto 
ou obtuso.
Ângulo reto: possui medida igual a 90º.
Ângulo agudo: possui medida menor que 90º.
Ângulo obtuso: possui medida maior que 90º.
Para medirmos o valor de um ângulo, utilizamos um objeto chamado transferidor. O 
transferidor é dividido em graus.
19
Observe que um dos lados do ângulo aponta para a medida 0º e a outra para a medida 50º, 
portanto o ângulo é agudo e mede 50º.
Nesse caso, um dos lados do ângulo está voltado para 0º e outro para 90º; dessa forma, o 
ângulo mede 90º e é denominado reto.
Um dos lados aponta para a medida 0º e o outro para a medida 120º, portanto, o ângulo é 
obtuso, medindo 120º.
Toda medição de ângulos deve ocorrer como foi demonstrado: um dos lados fica apontado 
para o zero e outro lado apontará para a medida da abertura do ângulo. O vértice dos ângulos, 
que é o local onde as semirretas se originam, deve ficar no centro da base do transferidor.
Existem outros tipos de transferidor. 
Veja:
20
Unidade: Geometria de posição: ângulos, polígonos e formas circulares
As subdivisões do grau
Na subdivisão, o grau foi dividido em 60 partes iguais, e cada parte dessas recebeu a 
denominação de minuto. O minuto foi dividido em 60 partes iguais, e cada parte recebeu o 
nome de segundo.
O grau constitui a unidade do sistema sexagesimal.
1º = 60’
1’ = 60”
A palavra sexigesimal refere-se à base 60.
 Explore
Pesquise sobre o surgimento dessa base. 
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=22643
Ângulos Complementares
Dados dois ângulos, dizemos que eles são complementares quando a soma das medidas for 90°.
 30° + 60° = 90°
Para descobrirmos o complemento de um ângulo, usaremos a expressão (90° – x).
Exemplo: Dê o complemento de um ângulo de 30°.
Solução: Seu complemento será 90° – 30° = 60°.
Ângulos Suplementares
Dados dois ângulos, dizemos que eles são suplementares quando a soma das medidas for 180°.
 140° + 40° = 180°
21
Para descobrirmos o suplemento de um ângulo, usaremos a expressão (180° – x).
Exemplo: A metade do suplemento de um ângulo mede 50°. Determine x.
Solução:
( )x
x .
x
x
x
−
=
− =
− = −
− = −
=
180
50
2
180 250
100 180
80
80


 
 


Ângulos formados por duas retas concorrentes
 · Ângulos Opostos pelo Vértice (o.p.v.)
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando o lado de um deles é semirreta oposta ao 
lado do outro.
AÔB = CÔD
AÔC = BÔD
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal
 · Ângulos Correspondentes
Ângulos correspondentes são congruentes.
22
Unidade: Geometria de posição: ângulos, polígonos e formas circulares
 · Ângulos Alternos Internos
 
Ângulos alternos internos são congruentes.
 · Ângulos Alternos Externos
 
Ângulos alternos externos são congruentes.
 · Ângulos Colaterais Internos
 
Ângulos colaterais internos são suplementares pois, ˆ ˆd c+ =180 e ˆ ˆf e+ =180 .
23
 · Ângulos Colaterais Externos 
 
Ângulos colaterais externos são suplementares pois, ˆ ˆb a+ = 180 e ˆ ˆh g+ =180 .
Exemplos:
1) Dois ângulos opostos pelo vértice (OPV) são: 
a) complementares
b) congruentes
c) rasos 
d) suplementares 
e) replementares 
RESPOSTA: B
2) Na figura, a medida dos dois ângulos assinalados é: 
a) 30º 
b) 40º 
c) 50º
d) 60º 
e) 70º 
RESOLUÇÃO:
Os ângulos são o.p.v., portanto são congruentes.
24
Unidade: Geometria de posição: ângulos, polígonos e formas circulares
x x
x x
x
x
x ,
+ = −
− = − −
− = −
−
=
−
=
6 5 8 10
6 8 10 5
2 15
15
2
7 5
 
 



O ângulo mede: 6x + 5o e x = 7,5o
Como os ângulos medem: 6x + 5 e 8x – 10, substituímos x = 7,5o para encontrarmos o valor 
do ângulo. Assim,
6 x + 5o = 6 . 7,5o + 5o = 45o + 5o = 50º
e
8x – 10o = 8.7,5o -10o = 60o – 10o = 50º
3) Calcule a medida do ângulo x.
RESOLUÇÃO
x + 32° + 32° = 180º
x + 64° = 180°
x = 180° - 64°
x = 116°
4) Classifique as sentenças a seguir como (V) verdadeiras ou (F) falsas: 
a) Os ângulos correspondentes são suplementares. ( ) 
b) Os ângulos alternos internos são congruentes. ( ) 
c) Os ângulos alternos externos são complementares. ( ) 
d) Os ângulos colaterais internos são congruentes. ( ) 
e) Os ângulos colaterais externos são suplementares. ( ) 
RESPOSTA: F – V – F – F – V
25
5) Observe a figura em que os pontos A, O e C são alinhados.
a) Indique um ângulo reto.
b) Indique um ângulo agudo.
c) Indique um ângulo obtuso.
d) Indique um ângulo raso.
e) Qual a medida do ângulo x?
f) Qual a medida do ângulo AÔS?
RESPOSTAS:
a) RÔS
b) AÔR
c) AÔS
d) AÔC
e) 52º
f) 128°
Obs. Algumas alternativas podem apresentar outras soluções.
Polígonos
Observe as figuras a seguir:Nelas podemos identificar formas geométricas que chamamos polígonos.
26
Unidade: Geometria de posição: ângulos, polígonos e formas circulares
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As figuras seguintes não são polígonos.
Elementos de um polígono
G
H
IJ
F
Lado
ângulo interno
ângulo externo
vértice
 
Em um polígono, o número de lados, de vértices, de ângulos internos e externos é sempre igual.
De acordo com o número de lados, classificamos os polígonos da seguinte maneira:
 
triângulo 3 lados, 3 vértices, 3 ângulos
 quadrilátero 4 lados, 4 vértices, 4 ângulos
 
pentágono 5 lados, 5 vértices, 5 ângulos
 hexágono 6 lados, 6 vértices, 6 ângulos
27
 
heptágono 7 lados, 7 vértices, 7 ângulos
 
octógono 8 lados, 8 vértices, 8 ângulos
eneágono 9 lados, 9 vértices, 9 ângulos
 
decágono 10 lados, 10 vértices, 10 ângulos
Os polígonos também podem ser convexos e não convexos.
Exemplos de 
polígonos 
convexos:
Um polígono diz-se convexo quando o segmento de reta que une dois pontos quaisquer de 
sua região interna está sempre contido nela.
Exemplos de 
polígonos não 
convexos:
28
Unidade: Geometria de posição: ângulos, polígonos e formas circulares
Um polígono diz-se não convexo quando existem dois pontos de sua região interna tais que 
o segmento de reta por eles determinado não está contido nela.
Número de diagonais
Diagonal é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos de um polígono.
Para determinarmos o número de diagonais de um polígono, vamos observar primeiro a 
quantidade de diagonais de cada vértice.
4 diagonais
(7-3) diagonais
1 diagonal
(4-3) diagonais
 
2 diagonais
(5-3) diagonais
Como o polígono tem n vértices e em cada um deles “partem” (n – 3) diagonais, teremos 
no total n.(n – 3) diagonais.
Outra observação importante é perceber que, contando dessa maneira, a diagonal é contada 
duas vezes, por isso devemos dividir a expressão por 2.
Portanto, o número de diagonais de um polígono é: 
( ) . 3
2
n n
d
−
=
Soma das medidas dos ângulos internos (Si)
Para determinar a soma dos ângulos internos de um polígono convexo, podemos contar 
o número de triângulos em que ficou dividida a figura quando traçamos todas as diagonais a 
partir de um único vértice. Em um polígono convexo de n lados, serão (n – 2) triângulos.
3 triângulos 4 triângulos 5 triângulos
Logo, se n é o número de lados de um polígono convexo, a soma das medidas de seus 
ângulos internos será: ( ) – 2 . 180iS n= °
29
Soma das medidas dos ângulos externos (Sex)
Um ângulo externo é adjacente ao respectivo ângulo interno do polígono. Em cada vértice do 
polígono, ai + aex = 180°. Para todos os vértices teremos: Si + Sex = n . 180°.
Si = (n – 2) . 180°
Sex = n . 180° - [ (n – 2) . 180°]
Sex = n . 180° - (180 . n – 360)
Sex = 180 n – 180n + 360
 360exS = °
Exemplos:
1) Um polígono convexo tem 65 diagonais. Calcule a soma das medidas dos ângulos internos 
desse polígono.
RESOLUÇÃO
 
 (resolvendo essa equação do 2º grau, encontramos duas soluções)
n’ = 13 e n” = -10 (não serve, pois é negativo!)
n = 13 (número de lados do polígono)
Si = (n – 2) . 180°
Si = (13 – 2) . 180°
Si = (11) . 180°
 Si = 1980°
30
Unidade: Geometria de posição: ângulos, polígonos e formas circulares
2) O número de diagonais de um polígono convexo é o dobro do número de lados. Calcule a 
quantidade de ângulos externos desse polígono.
2d n=
( ) . 3
2
n n
d
−
=
( ) . 3
2
2
n n
n
−
=
( )4 3n n n= −
4 ² 3 n n n= −
² 3 4 0n n n− − =
² 7 0n n− =
( ) 7 0n n− =
 0 7n en= =
n = 7 (número de lados do polígono)
O número de ângulos externos de um polígono é o mesmo do número de lados.
RESPOSTA: 7 ângulos externos
3) Calcule o valor de x nas figuras a seguir.
a) b) 
RESOLUÇÃO:
31
a) Si = (n – 2) . 180°
Si = (4 – 2) . 180°
Si = 2 . 180°
Si = 360°
50° + 70° + 110° + x = 360°
x = 360° - 230°
x = 130°
b) 
c) Si= (n - 2) . 180º
Si = (3 – 2) . 180°
Si = 1 . 180°
Si = 180°
70° + x + x + 10° = 180°
2x = 180° - 80°
2x = 100°
x = 50°
Portanto, os ângulos internos do triângulo medem: 50°, 60° e 70°.
4) Calcule os valores de x, y e z do triângulo seguinte.
32
Unidade: Geometria de posição: ângulos, polígonos e formas circulares
RESOLUÇÃO:
y + 120° = 180° 
y = 180° - 120°
y = 60°
x + 75° = 180°
x = 180° - 75°
x = 105°
Si = 180°
60° + 105° + z = 180°
60° + 105° + z = 180°
z = 180° - 165°
z = 15°
5) Formas circulares
Circunferência é uma curva plana cujos pontos são equidistantes de um mesmo ponto 
denominado centro.
Círculo é a superfície plana limitada pela circunferência.
raio - segmento de reta que une um ponto da circunferência ao centro.
diâmetro - segmento de reta que une dois pontos da circunferência passando pelo centro.
arco - porção da circunferência limitada por dois pontos.
corda - segmento de reta que une do is pontos da circunferência.
flecha - segmento de reta que une o ponto médio da corda ao ponto médio do arco 
correspondente.
33
Setor circular é a porção do círculo limitada por um arco e pelos raios que passam pelos 
seus pontos extremos.
 
Coroa circular é a porção do círculo compreendida entre duas circunferências concêntricas.
 
34
Unidade: Geometria de posição: ângulos, polígonos e formas circulares
Exemplos
1) Em uma circunferência de raio 2x – 3 e diâmetro 30cm, determine x.
Diâmetro = 2 x raio
30 = 2 (2x – 3)
30 = 4x – 6
4x = 30 + 6
4x = 36
x = 9
Solução: 9cm
2) Determine:
O diâmetro de uma circunferência cujo raio mede 4,5cm.
O raio de uma circunferência cujo diâmetro mede 29 cm.
Solução:
Diâmetro = 2 x raio
D = 2 . 4,5
D = 9cm
R = D : 2
R = 29 : 2
R = 14,5 cm
35
 
 Explore Explore
IMENES, L. M. Geometria dos mosaicos. Coleção Vivendo a Matemática. São Paulo: Sci-
pione, 1996.
MACHADO, N. J. Polígonos, Centopeias e outros Bichos. Coleção Vivendo a Ma-
temática. São Paulo: Scipione, 1988.
SOUZA, J. C. de M. Matemática divertida e curiosa. Rio de Janeiro/São Paulo, 
Editora Record, 2001.
 
 Explore
http://www.somatematica.com.br
http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/
Dissertacao_Arbach.pdf
Material Complementar
36
Unidade: Geometria de posição: ângulos, polígonos e formas circulares
BIGODE, A.J.L. Projeto Velear: Matemática (9º ano). São Paulo: Scipione, 2012.
DANTE, L. R. Matemática: Contexto e aplicações - 1º ano. São Paulo: Ática, 2011.
DOLCE, Oswaldo e POMPEO, Jose Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar: 
Geometria Plana. Volume 9. 8ª ed. São Paulo: Editora Atual, 2005.
PAIVA, M. Matemática: volume único. São Paulo: Moderna, 1999.
RIBEIRO, J. Matemática: Ciência e linguagem: volume único. São Paulo: Scipione, 2007.
SOUZA, J.R.; PATARO, P. R. Vontade de saber matemática, 6º ao 9º ano, 1. ed. São Paulo: 
FTD, 2009.
Referências
37
Anotações
www.cruzeirodosulvirtual.com.br
Campus Liberdade
Rua Galvão Bueno, 868
CEP 01506-000
São Paulo SP Brasil 
Tel: (55 11) 3385-3000
www.cruzeirodosulvirtual.com.br
Rua Galvão Bueno, 868
Tel: (55 11) 3385-3000