Matemática - Livro 1-280-282

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MATEMÁTICA Capítulo 2 Princípios de Geometria Plana280
De acordo com os postulados de Euclides para a Geometria Plana, é permitido:
1. traçar um segmento de reta unindo dois pontos.
2. prolongar um segmento de reta na direção em que ele se encontra.
3 traçar uma circunferência conhecendo-se o seu centro e a medida de seu raio
4. traçar uma reta que seja perpendicular a uma reta dada.
5. traçar uma reta que seja paralela a uma reta dada.
Os principais casos de congruência de triângulos são: LAL, LLL, ALA e LAAo.
As transformações geométricas que conservam a congruência das figuras transformadas são denominadas transformações isométricas. São elas: a
translação, a rotação e a reflexão.
As translações conservam também o paralelismo entre os lados correspondentes das figuras transformadas.
Se uma figura geométrica apresenta mais do que um eixo de simetria de reflexão (bilateral), então essa figura é, necessariamente, invariante por rotações com
menos do que 360° em torno de seu centro, e o menor ângulo para essas rotações é dado por =
360
n
θ , sendo n o número de eixos de simetria da figura.
Certos polígonos são denominados isósceles, como alguns triângulos ou trapézios, quando possuem um eixo de simetria.
O eixo de simetria de um segmento de reta é chamado de mediatriz do segmento
O eixo de simetria de um ângulo recebe o nome de bissetriz do ângulo.
Os paralelogramos são quadriláteros que possuem os lados opostos congruentes e paralelos entre si.
Os losangos são os paralelogramos que apresentam todos os lados congruentes.
Os retângulos são os paralelogramos que têm todos os ângulos congruentes.
Os quadrados são os paralelogramos que possuem tanto as propriedades dos losangos quanto as dos retângulos.
Os ângulos nulos medem 0°, os rasos medem 180°, e os ângulos são aqueles cujas medidas estão compreendidas entre 0° e 180°.
Os ângulos retos medem 90°, os agudos têm medidas entre 0° e 90°, e os obtusos medem entre 90° e 180°.
Dois ângulos adjacentes apresentam um lado em comum
As medidas de dois ângulos complementares somam 90°.
As medidas de dois ângulos suplementares somam 180°.
No cruzamento de duas retas, os ângulos opostos pelo vértice (opv) são congruentes, e os ângulos adjacentes são suplementares.
Nos cruzamentos de duas retas paralelas com uma transversal, os pares de ângulos correspondentes, alternos internos e alternos externos são congruen-
tes, e os pares de ângulos colaterais internos e colaterais externos são suplementares.
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer equivale a 180°.
A medida de cada ângulo externo de um triângulo equivale à soma das medidas dos dois ângulos internos do triângulo que não lhe são adjacentes.
Os ângulos da base de um triângulo, ou de um trapézio isósceles, são congruentes
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.
O comprimento de uma circunferência de raio r é dado por C = 2π   r
A área de um círculo de raio r é dada por A = π · r2.
Se duas circunferências são tangentes, então a distância entre seus centros é igual à soma ou à diferença das medidas de seus raios.
O
1
T
O
2
O
1
T
O
2
A medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da medida do arco da circunferência contido na região convexa do ângulo.
A medida de um ângulo circunscrito a uma circunferência é igual ao suplemento da medida do arco da circunferência contido na região convexa do ângulo
F
R
E
N
T
E
 3
281
Um polígono convexo com n lados também possui:
y n vértices;
y
n (n 3)
2
 diagonais;
y n ângulos internos cuja soma das medidas é (n – 2) · 180°;
y n ângulos externos cuja soma das medidas é 360°.
Os polígonos cujos lados têm o mesmo comprimento são chamados de equiláteros
Os polígonos cujos ângulos internos têm a mesma medida são denominados equiângulos, e essas medidas são expressas por:
y Medida de cada ângulo externo: e = 360°
n
.
y Medida de cada ângulo interno: i = (n – 2) · 180°
n
.
Um polígono é regular se, e somente se, for um polígono equilátero e equiângulo.
Todo polígono regular é inscritível em uma circunferência.
Quer saber mais?
y Sobre os arcos de circunferência
<www.obaricentrodamente.com/2014/09/arcos-de-circunferencia.
html>.
y Sobre os polígonos
<clubes.obmep.org.br/blog/um-pouco-sobre-poligonos-poligonos-
uma-primeira-definicao-2>.
Sites
y Sobre a obra de Euclides
<www.infoescola.com/livros/elementos-obra-de-euclides-de-
alexandria>
y Sobre a isometria
<novaescola.org.br/conteudo/2711/geometria das-transformacoes>.
y Sobre a medição dos ângulos
<www.esaas.com/grupos/matematica/estagios/Paginas/Hiparco
DeNiceia.htm>
Exercícios complementares
1 O radiano (rad) é uma unidade de medida angular tal
que 1 rad equivale a, aproximadamente, 57°17'45".
Qual a medida aproximada, em graus, minutos e se-
gundos, de um ângulo de 3,14 rad?
2 Calcule, em graus e minutos, a medida do ângulo des-
crito pelo ponteiro das horas de um relógio durante o
tempo de 135 minutos.
3 João adquiriu um software capaz de calcular a área
de um terreno poligonal a partir dos comprimentos de
seus lados e das inclinações desses lados em relação
a determinado referencial. Denominadas azimutes,
essas inclinações costumam ser expressas nas plan-
tas e escrituras dos terrenos em graus, minutos e
segundos, mas deveriam ser digitadas apenas em
graus no software. Assim, um azimute igual a 124°30',
por exemplo, deveria ser digitado como 124,5°
João consultou os valores indicados na planta de seu
terreno poligonal, digitou-os no software e percebeu
um erro considerável no valor da área obtido.
O erro aconteceu porque João tomou os algaris-
mos que indicavam os minutos e os segundos dos
azimutes indicados na planta como os algarismos das
quatro primeiras casas decimais desses valores em
graus Assim, o azimute 216°21'45" acabou sendo digi
tado como 216,3245°.
Se esse azimute tivesse sido digitado corretamente,
qual seria a soma dos quatro algarismos digitados?
4 Sobre a superfície de uma parede plana, foram pintadas
duas linhas retas, r e s, uma no alto da parede e outra
mais baixa. As linhas pintadas deveriam ter ficado para-
lelas, mas o pintor desconfiou de que elas não ficaram.
Para ter certeza disso, ele traçou uma reta vertical inter
ceptando as duas linhas já pintadas e mediu os ângulos
colaterais internos formados à direita da reta vertical.
Então, confiando nos resultados das medições, ele con-
cluiu corretamente que os prolongamentos das linhas r e
s deverão se interceptar em um ponto situado à esquer
da da reta vertical.
Sendo x e y as medidas angulares encontradas pelo
pintor, pode-se concluir que:
A x + y = 180°
b x + y < 180°
C x + y > 180°
D x > 90° e y > 90°
E x < 90° e y < 90°
MATEMÁTICA Capítulo 2 Princípios de Geometria Plana282
5 Um quadrilátero ABCD de diagonal AC é tal que os triân-
gulos ABC e ACD são escalenos. Além disso, sabe-se
que quadrilátero não possui lados paralelos de modo
que os prolongamentos dos lados AD e BC se intercep-
tam em um ponto P. Se as medidas x e y dos ângulos
internos de vértices A e B desse quadrilátero forem tais
que x + y < 180°, então a área do triângulo PAC será, ne-
cessariamente, menor do que a área do triângulo:
A PCD
b BCD
C ACD
D ABC
E PBA
6 Os irmãos Ana, Beto, Carlos e Diana dividiram umapizza
retangular em quatro pedaços desiguais:
• Ana ganhou um pedaço equivalente ao dobro do
pedaço de Beto.
• Beto ganhou um pedaço equivalente ao dobro do
pedaço de Carlos.
• Carlos ganhou um pedaço equivalente ao dobro
do pedaço de Diana.
Se todos os cortes foram feitos na direção do centro
da pizza e não sobrou nenhum pedaço, então qual a
medida do ângulo correspondente ao pedaço de Ana?
7 Inicialmente Bruno tinha dois pedaços de cartolina, um
em formato de quadrado e outro em formato de triân-
gulo equilátero. Ele os cortou ao meio de modo que
o quadrado foi cortado sobre uma de suas diagonais
e o triângulo sobre uma de suas alturas Depois disso,
Bruno percebeu que os pedaços eram triângulos re-
tângulos comhipotenusas de mesmo comprimento e
os colou formando a seguinte figura de quatro lados:
Quais são as medidas do maior e do menor ângulo
interno desse quadrilátero?
8 EEAR 2017
B
70º
40º
E
D C
A
Se ABC é um triângulo, o valor de α é
A 10° b 15° C 20° D 25°
9 Um pedaço de cartolina, branco de um lado e cinza
do outro, tem a forma de triângulo equilátero que foi
dobrado de modo que um de seus vértices encontre
o lado oposto, como mostra a figura.
Sendo α e β as medidas em radianos dos ângulos in-
dicados na gura, calcule o valor de 6β – 3α.
10 Em um trapézio isósceles ABCD, a base menor BC
tem a mesma medida que os lados não paralelos AB
e CD; e a base maior AD tem a mesma medida que a
diagonal AC. Encontre as medidas dos ângulos inter
nos desse trapézio.
11 Seja x a medida, em graus, do ângulo formado pelas
semirretas r e s de origem no vértice A do triângulo
retângulo ABC, como mostra a figura.
A
R S
sr
B
70º
x
20º
C
Sendo R e S os pontos em que as semirretas r e s
interceptam a hipotenusa BC e sabendo que o menor
ângulo agudo do triângulo mede 20°, calcule x nos
seguintes casos:
a) AR é altura, e AS é bissetriz interna do ∆ABC.
) AR é altura, e AS é mediana do ∆ABC.
c) AR é bissetriz interna, e AS é mediana do ∆ABC.
12 Unesp Considere o triângulo ABC da figura
50º
A
B C
Se a bissetriz interna do ângulo ˆB forma com a bisse-
triz externa do ângulo ˆC um ângulo de 50°, determine
a medida do ângulo interno ˆA.