Prévia do material em texto

1 
 
UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE 
Faculdade de Ciências 
Departamento de Matemática e informática 
Estatistica Básica - 1ºano 
 Resumo teórico 1º Semestre de 2017 
 
 
 
INTRODUÇÃO A ANALISE COMBINATÓRIA 
Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que 
levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de 
contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana 
(1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e 
Blaise Pascal (1623-1662). 
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o 
número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições. 
Fatorial 
Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) 
como sendo: 
n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 4 x 3 x 2 x 1 para n  2. 
Para n = 0 , teremos : 0! = 1. 
Para n = 1 , teremos : 1! = 1 
Exemplos: 
a) 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 
b) 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 
c) observe que 6! = 6 x 5 x 4! 
d) 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 
e) 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5! 
f ) 10! = 10 x 9 x 8! 
 Princípio fundamental da contagem 
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de 
x1 maneiras diferentes, a segunda de x2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o 
número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: 
T = x1. x2 . x3 . ... . xn 
2 
 
Exemplo: 
 
O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do 
alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado? 
 
Solução: 
 
Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ. 
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos 
concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª 
também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 
alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que 
podem ser licenciados será igual a: 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 que resulta em 175.760.000. 
Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento 
teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. 
Permutações simples 
Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n 
elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. 
 
Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: 
 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. 
O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é 
 
Pn = n! onde n! = n x (n-1) x (n-2) x... x 1 . 
 
Exemplos: 
 
a) P6 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 
b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular 
de cinco lugares. 
P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 
 
 Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou 
não significado na linguagem comum. 
 
Exemplo: 
 
Os possíveis anagramas da palavra REI são: 
REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. 
3 
 
Permutações com elementos repetidos 
Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c 
elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é 
dado por: 
!...!!
!.),,(
cba
n
P cba
n  
Exemplo: 
 
Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA (não considere o acento) 
 
Solução: 
Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , 
a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo x o número 
procurado, podemos escrever: 
151200
!2!3!2
!10
!...!!
! .)2,3,2(
10
.),,(  P
cba
n
P cba
n 
Resposta: 151200 anagramas. 
 
Arranjos simples 
Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa x , a todo agrupamento de x 
elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de 
colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos: 
 a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb. 
b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba. 
Representando o número total de arranjos de n elementos tomados x a x (taxa x) por n
xA , teremos a 
seguinte fórmula: 
)!(
!
xn
n
An
x

 
Obs : é fácil perceber que n
nA = n! = Pn . (Verifique) 
Exemplo: 
 
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2...9. O segredo do cofre é marcado por uma 
seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no 
máximo) para conseguir abri-lo? 
 
4 
 
Solução: 
 
As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a 
terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos 
ao mesmo resultado: 
720 8 910
7!
 7! 8 910
)!310(
!1010
3 



A 
Numa reunião de sete pessoas há nove cadeiras. De quantos modos se podem sentar as pessoas? 
 
Solução: 
 
Trata-se de um problema de arranjos simples, cuja solução é encontrada calculando-se: 
181.4403 4 5 6 7 8 9
2!
 2!3 4 5 6 7 8 9
)!79(
!99
7 



A 
Combinações simples 
Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos 
formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas 
combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que 
os elementos são colocados. 
 
Exemplo: 
 
No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar: 
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd. 
b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd. 
c) combinações de taxa 4: abcd. 
Representando por n
xC o número total de combinações de n elementos tomados x a x (taxa x) , 
temos a seguinte fórmula: 
 
!)!(
!
xxn
n
C n
x

 
Nota: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por: 
  
!)!(
!
xxn
nn
x

 
Exemplo: 
 
Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá 
escolher as 10 questões? 
5 
 
 
Solução: 
 
Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um 
problema de combinação de 15 elementos com taxa 10. 
 
Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a: 
!)!(
!
xxn
n
C n
x

 
3003
!1012345
!101112131415
!10!5
!15
!10)!1015(
!1515
10 






C 
Agora que você viu o resumo da teoria, tente resolver os 3 problemas seguintes: 
01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, 
quantos coquetéis diferentes podem ser preparados? Resp: 120 
02 - Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos triângulos podem ser 
construídos com vértices nos 9 pontos marcados? Resp: 84 
03 - Uma família c om 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 
pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem? Resp: 48 
Exercício resolvido: 
 
Um salão tem 6 portas. De quantos maneiras distintas esse salão pode estar aberto? 
 
Solução: 
 
Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada 
Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente. 
 
Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem : 
 
N = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 
 
Lembrando queuma dessas opções corresponde a todas as seis portas fechadas, teremos então que o 
número procurado é igual a 64 - 1 = 63. 
 
Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos ou maneiras possíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
INTRODUÇÃO A PROBABILIDADES 
 
A estatística consiste em trabalhar com o acaso e a incerteza. A teoria da probabilidade é um 
importante instrumento analítico em uma sociedade que é forçada a medir incertezas. Tanto nos negócios 
como nas situações cotidianas da vida, temos nossa opinião, mas não temos certeza do resultado do que nos 
propomos a realizar. Podemos estar incertos se devemos ou não promover uma oferta de certo produto, se 
existe congestionamento no transito no roteiro do nosso caminho, se existe vírus no software que 
pretendemos instalar, se devemos negociar com determinado sindicato quando há forte indício de greve, se 
devemos investir em determinado equipamento quando há boas chances de recuperarmos o investimento a 
ser efetuado, contratar determinado funcionário que nos parece ser promissor, etc. 
 
Nesta unidade veremos como a incerteza pode realmente ser medida, como associar-lhe números e 
como interpretar estes valores chamados de “probabilidades”, que vai nos permitir a tomar decisões 
adequadas, auxiliar a desenvolver estratégias. O ponto principal é a possibilidade de quantificar o quanto 
provável será a ocorrência de determinada situação. 
 
Definições: 
 
Para podermos falar de probabilidades, temos de ter sempre um espaço amostral, que é o conjunto de 
todos resultados possíveis de um experiência (experimento). O termo experimento sugere a incerteza do 
resultado. 
 
 Um espaço amostral é o conjunto dos resultados possíveis de uma experiência. 
 
Eventos são os resultados possíveis desta experiência, normalmente anota-se por letras maiúsculas. 
 
 
- ESPAÇO AMOSTRAL 
Exemplo: 
 Vamos determinar o espaço amostral dos seguintes experimentos aleatórios:. 
 a) Joga-se um dado, não viciado, e observa-se o número obtido na face superior. S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 b) Lança-se uma moeda, honesta, e verifica-se a face voltada para cima. S = { cara, coroa } 
 c) Joga-se uma moeda 2 vezes e observa-se o número de caras obtido. S = { 0, 1, 2, } 
 d) Joga-se uma moeda 2 vezes e observa-se a seqüência de caras e coroas. 
 S = { cara-cara, cara-coroa, coroa-cara, coroa-coroa, } 
 Deve-se observar que nem sempre os elementos de um espaço amostral são números. 
- EVENTO 
Exemplo: 
Consideremos o espaço amostral S, referente ao lança mento de um dado honesto: 
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
Podemos ter os seguintes eventos de S: 
Evento P – referente a número par. P = { 2, 4, 6 } 
Evento C – referente a número maior ou igual a cinco. C = { 5, 6 } 
Evento M – referente a número múltiplo de 3. M = { 3, 6.} 
7 
 
E assim por diante, podemos ter vários eventos de S. 
 
OBSERVAÇÂO: Podemos representar um espaço amostral S e seus eventos (A e B, por exemplo) através 
de um diagrama de Venn: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TIPOS DE EVENTOS: 
 
 – EVENTO SIMPLES 
Denominam-se eventos simples, aos eventos que são formados por um único elemento do espaço amostral. 
A = { 5 } é a representação de um evento simples do lançamento de um dado cuja face para cima é divisível 
por 5. Nenhuma das outras possibilidades são divisíveis por 5. 
 
– EVENTO CERTO: É um evento que sempre ocorre. 
O conjunto A = { 2, 3, 5, 6, 4, 1 } representa um evento certo pois ele possui todos os elementos do espaço 
amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. 
 
– EVENTO IMPOSSIVEL: É um evento que nunca ocorre. 
No lançamento conjunto de dois dados qual é a possibilidade de a soma dos números contidos nas duas faces 
para cima, ser igual a 15? 
Este é um evento impossível, pois o valor máximo que podemos obter é igual a doze (6 + 6 = 12). Podemos 
representá-lo por , ou ainda por A = { }. 
 
 – EVENTOS COMPLEMENTARES 
 
 O evento complementar de A, anotado por A , é o conjunto de todos os elementos de S, que não 
pertencem a A 
 
 
 
 A 
http://www.matematicadidatica.com.br/CriteriosDeDivisibilidade.aspx
8 
 
– EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS 
 
Dois eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos ou excludentes, se eles não puderem ocorrer 
juntos. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 Eventos mutuamente exclusivos Eventos não exclusivos 
 
 - CONCEITO CLÁSSICO DE PROBABILIDADES 
 
Seja um espaço amostral S formado por “n(S)” elementos, igualmente prováveis. Seja A um evento de S, com 
“n(A)” elementos. A probabilidade de A ocorrer, anotada por P(A), lê-se pê de A, é definida como sendo: 
 
 
 
 
 Onde 
)(AP = probabilidade de ocorrer o evento A 
)(An Número de elementos do evento A 
)(Sn Número total de resultados possíveis 
 
Isto é, a probabilidade do evento A é o quociente entre o número “n(A)” de casos favoráveis e o número “n(S)” 
de casos possíveis. 
 
Exemplo: 
 Calcular a probabilidade de no lançamento de um dado equilibrado obter-se um resultado ímpar. 
 S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } => n(S) = 6 A = { 1, 3, 5 } => n(A) = 3 
 
 Então 
 
 
 
 
 
 
 
 Lançando-se duas vezes uma moeda, qual a probabilidade de ocorrer duas “caras”? 
Seja c a ocorrência de “cara” e k a ocorrência de “coroa” 
Os casos possíveis de ocorrer são os arranjos: cc, ck, kc, kk 
 
 
%2525,0
4
1
)(
4)(,,,
1)(










AP
SnkkkcckccS
AncccarasduassairA
 
 
 Qual a probabilidade de se obter uma “dama” retirando se ao acaso uma carta de um baralho? 
Baralho  13 cartas de cada naipe e 4 naipes  total 52 cartas 
 
9 
 
%69,70769,0
13
1
52
4
)(
52)(
4)(

















AP
SnbaralhodocartasS
AnbaralhododamasA
 
 
Retira-se uma carta de um baralho comum, bem embaralhado de 52 cartas. Qual a probabilidade de: 
 
 a) A = Sair um rei  P(A) = 4/52 
 b) B = Sair uma carta de espadas  P(B) = 13/52 
 
- CONCEITO FREQUÊNCIAL DE PROBABILIDADES 
 
É também chamado de conceito empírico de probabilidades. 
 
Logo após a introdução da definição clássica apareceu a semente de uma nova definição. 
 
 Na prática acontece que nem sempre é possível determinar a probabilidade de um evento. Neste caso é 
necessário ter um método de aproximação desta probabilidade. Um dos métodos utilizados é a 
experimentação que objetiva estimar o valor da probabilidade de um evento A com base em valores reais. 
Considera-se um experimento a um processo que possa ser repetido nas mesmas condições um número 
“grande” de vezes. Novamente “S” denotará o espaço de resultados do experimento. Seja A um evento cuja 
probabilidade se deseje calcular. Neste caso o experimento será repetido várias vezes, estimando-se a 
probabilidade de A pela sua frequência relativa de ocorrência, ou seja: 
 
)(
)(
)(
Sn
An
repetiçõesdetotalnúmero
Adesocorrênciadenúmero
AP  . 
 
A probabilidade avaliada através deste processo é denominada de probabilidade empírica. Então pelo 
conceito frequencial, a probabilidade é determinada com base na proporção de vezes que o evento A, ocorre 
em certo número de observações. Em outras palavras, a probabilidade é determinada pela frequência relativa, 
e quanto maior o número de observações, mais o valor calculado tenderá ao valor real da probabilidade. 
 
Observe-se que desta forma não são necessárias as hipóteses de equiprobabilidade dos eventos 
elementares nem de finitude do espaço dos resultados, superando-se portanto as duas restrições da definição 
clássica.Entretanto, esta nova “definição” introduz as seguintes dificuldades: 
 
i) é necessária certa regularidade da sequência das frequências relativas, no sentido de que a mesma 
se mantenha estável e convergindo para um valor que seria a probabilidade de A; 
ii) mesmo admitindo a existência do limite de repetições, quando parar? 
 
 
A estimativa da ocorrência de um evento pode ser determinado de 3 maneiras: 
 
1) Método Clássico – Quando o espaço amostral tem resultados igualmente provável. 
10 
 
 - Em uma caixa temos 10 fusíveis “bons” e 3 “defeituosos”. Retira-se um fusível ao acaso, a probabilidade 
dele ser defeituoso é de: 
 %08,23
13
3
)(
)(
)( 
Sn
An
AP 
 
2) Método Empírico – Tem como base a frequência relativa de ocorrência de um evento num grande número 
de provas repetidas. 
 
- Uma pesquisa de trafego realizado no trecho de uma avenida revelou que dos 200 carros que foram 
vistoriados 25 tinham pneus em más condições. A probabilidade de que o próximo carro a ser vistoriado tenha 
pneus bons é; 
 %5,87
200
175
)( 
sobservaçõeouprovasdetotalnúmero
Adesocorrênciadenúmero
AP 
 
3) Método Subjetivo – Utiliza estimativas pessoais de probabilidade, tendo como base um certo grau de 
crença, ou seja, a probabilidade neste caso é uma avaliação pessoal do grau de viabilidade de um evento. 
- Um corretor de seguros estima em 30% a probabilidade de vender hoje uma apólice de seguros a um jovem 
casal. 
 
– ALGUNS AXIOMAS SOBRE PROBABILIDADES 
 
 Seja um espaço amostral S. Sejam A e B eventos de S. Temos os seguintes axiomas: 
I) 0  P(A)  1; 
II) P(S) = 1; 
III) P() = 0 
IV) P(A) + P(A ) = 1 
 
 – REGRAS DA ADIÇÂO 
Muitas aplicações de estatística utilizam a probabilidade de “combinações” de eventos: União ou 
intersecção de dois eventos. A regra de adição é aplicada em situações que se pretende determinar a 
probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B. Portanto, a probabilidade de ocorrer um evento A ou um 
evento B (ou ambos) numa prova é igual à soma das probabilidades dos eventos ocorrerem separadamente, 
menos a probabilidades de ocorrerem simultaneamente. 
 
A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é dada por P(A ou B) ou P(A  B). 
 
Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, o valor de P(A ou B) será calculado por: 
 
 P(A ou B) = P(A  B) = P(A) + P(B) porque P(A  B) = 0 
 
Se A e B forem eventos não exclusivos, o valor de P(A ou B) será calculado por: 
 
 P(A ou B) = P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) 
Sendo P(A  B) = P(A e B). “A e B” significa ocorrer os dois eventos simultaneamente. 
11 
 
Exemplos: 
 
 Qual a probabilidade de sair 5 ou 6 quando se joga um dado. 
%33,33
3
1
6
2
6
1
6
1
 P(B) + P(A) = B) P(A )(
6
1
)(
6
1
)(6;5
















BAPBA
BPAPsairBsairA

 
 
 Qual a probabilidade de sair um número par ou um número menor que 3 quando se joga um 
dado. 
 
 
 
 
 
%67,66
3
2
6
4
6
123
6
1
3
1
2
1
B)P(A - P(B) + P(A) =)(
6
1
)(1)(2
3
1
6
2
)(2)(2,13
2
1
6
3
)(3)(6,4,2




















BAP
BAPBAnBA
BPBnquemenornúmeroB
APAnparnúmeroA
 
 
– PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral S, onde P(A) > 0. A probabilidade de B ocorrer 
condicionada a A ter ocorrido, será representada por P(B/A), e lida como: “probabilidade de B dado A” ou 
“probabilidade de B tendo ocorrido A”, é calculada por: 
 
 
)(
)(
)/(
BP
BAP
BAP

 , P (B)  0 e 
)(
)(
)/(
AP
ABP
ABP

 , P (A)  0 
 
 
Exemplo: 
 
 
Sendo P (A) = 1/3 P (B) =3/4 e P (A  B) = 11/12, calcular P (A/B). 
 
Como 
)(
)(
)/(
BP
BAP
BAP

 , devemos calcular: P (AB) = P (A) + P (B)  P (A  B) Daí, 
P (A  B) = 1/6. Logo 222,0
9
2
18
4
3
4
6
1
4/3
6/1
)(
)(
)/( 


BP
BAP
BAP 
5,0
2
1
6
3
1
3
6
1
3/1
6/1
)(
)(
)/( 


AP
BAP
ABP 
 
 
12 
 
Exemplo: 
 
O quadro abaixo se refere à distribuição de alunos presentes numa reunião, classificados por sexo e por 
curso: 
 
 Curso ADM EC Total 
 Sexo 
 
 H 40 60 100 
 M 70 80 150 
 
 Total 110 140 250 
 
Sorteia-se ao acaso um estudante da população de 250 alunos. 
 
a) Qual é a probabilidade de ser mulher? 
 
 Como o espaço amostral é composto de 250 alunos, dos quais apenas 150 satisfazem ao evento, então: 
 P (M) = 150/250 
 
b) Qual a probabilidade do aluno sorteado ser mulher, sabendo que ela estuda economia? 
 
Nesse caso o espaço amostral ficou reduzido a 140 estudantes que estudam economia, dos quais apenas 80 
são mulheres, então: 
 
 P (M/E) = 80 /140 = 0,571 Ou 571,0
140
80
140
250
250
80
250/140
250/80
)(
)(
)/( 


EP
EMP
EMP 
 
– EVENTOS INDEPENDENTES 
 
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostra S. A e B são ditos independentes se a probabilidade de um 
deles ocorrer não afetar (não influência) a probabilidade de o outro ocorrer, isto é, se: 
 
 P(A/B) = P(A) ou P(B/A) = P(B) 
 
Caso contrário são chamados de dependentes. 
 
– REGRAS DA MULTIPLICAÇÃO 
 
A probabilidade de ocorrer o evento A e o evento B ( ou seja, ambos simultaneamente) é dada por P(A e B) ou 
P(A  B). Se os eventos A e B são dependentes, temos que: 
 
 P(A e B) = P(A  B) = P(A) . P(B/A) 
 
 Se os eventos A e B são independentes, temos que: 
 
 P(A e B) = P(A  B) = P(A) . P(B) 
 
13 
 
Retirando-se aleatoriamente uma carta de um baralho, qual a probabilidade de ocorrer “Coração” e 
“espadas”? 
 
 
 
%0577,0
52
3
4
1
13
3
)/()()(
)Coração , ( 
4
1
12
3
)(
)(
)/(
3)(Coração
13)(
13
3
52
12
)(12)(Coração







ABPAPBAP
saiuquesabendoespadasairdeadeprobabilid
An
BAn
ABP
BAnespadasdeBA
BnespadasB
APAnA
 
 
 Joga-se duas moedas, qual a probabilidade de ocorrer cara nas duas? 
 
A = sair cara na 1ª moeda B = sair cara na 2ª moeda 
Sair cara na segunda moeda, não depende do resultado da primeira, A e B são eventos independentes. 
 
%2525,0
4
1
2
1
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(  BAPBPAP 
 
 
 Uma rifa é composta por 50 números, irá definir o ganhador de 2 prêmios sorteados um de 
cada vez. Se você adquiriu 5 números, qual é a probabilidade de ganhar os 2 prêmios? 
 
 Quero ganhar o primeiro e o segundo premio. 
 Ganhar o primeiro premio  
10
1
50
5
)1( P 
 Para o segundo premio, tenho 4 números e restam 49 números  
49
4
)2( P 
 %82,000816,0
490
4
49
4
10
1
)21()21(  PeP 
 
 Um projeto para ser transformado em lei deve ser aprovado pela Assembleia da republica e 
pelo conselho de constitucional. A probabilidade de que certo projeto seja aprovado pela 
Assembleia da republica é de 40%. Caso seja aprovado na Assembleia da republica, a 
probabilidade de ser aprovado no conselho de constitucional é de 80%. Calcule a probabilidade 
de este projeto ser transformado em lei. 
 
 O projeto deve ser aprovado pela Câmara dos Deputados e pelo Senado 
 
 %3232,080,040,0)()(  CCARPCCeARP 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 –TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
 
 
 Sejam A1 , A2 , ... , Ai , ... , An, partições de um espaço amostral S , isto é, jiAA ji  , . 
Seja B um evento qualquer de S. Então a probabilidade de ocorrência de B é dada por 
)\()(....)()()()()( 4321 nn ABPAPBAPBAPBAPBAPBP  
)\()(....)\()()\()()\()()( 332211 nn ABPAPABPAPABPAPABPAPBP 



n
i
ii ABPAPBP
1
)|()()( 
 
Exemplo: Uma indústria adquire um componente de três fornecedores, A, B e C. O fornecedor A é 
responsável por 40% das unidades, enquanto os fornecedores B e C são responsáveis por 30% cada um. A 
proporção de não conformidade (p.n.c.) do fornecedor A é igual a 3%, do fornecedor B é 5% e do fornecedor 
C é 4%. Uma unidade do componente em questão é selecionada aleatoriamente. Qual a probabilidade de ser 
não conforme? 
Seja D uma unidade do componente em questão ser não conforme, 
)\()()\()()\()()( CBPCPBDPBPADPAPBP  
039,0012,0015,0012,004,03,005,03,003,04,0)( BP 
Exemplo: Segundo especialistas desportivos, a probabilidade de que do “costa do sol” vença o próximo jogo é 
estimada em 0,70 se não chover, e só de 0,50 se chover. Se os registros meteorológicos anunciam uma 
probabilidade de 0,40 de chover na data do jogo, qual será então a probabilidade desse time ganhar o próximo 
jogo ? 
P(A) = 
P(ganhar) = P(ganhar  chuva ) + P(ganhar  não chuva ) 
P(ganhar) = P(chuva) P(ganhar | chuva) + P(não chuva) P(ganhar | não chuva) 
P(ganhar) = (0,40 0,50 ) + (0,60 0,70) = 0,20 + 0,42 = 0,62 ou 62% 
 
15 
 
 – TEOREMA DE BAYES 
 
 Também conhecido como fórmula de probabilidades “a posteriori”, é aplicado na seguinte situação. 
Sejam A1 , A2 , ... , Ai , ... , An partições de um espaço amostral S , isto é, jiAA ji  , . Seja B 
um evento qualquer de S. Então 
 



n
i
ii
jj
j
ABPAP
ABPAP
BAP
1
)|()(
)|()(
)|( 
 
Exemplo: 
Certo professor da UEM, 4/5 das vezes vai trabalhar usando um Honda Fit e 1/5 das da mais vezes vai 
usando um Toyota Hillux Surf. Quando ele usa o Honda Fit, 75 % das vezes ele chega em casa antes das 23 
horas e quando usa o Toyota Hillux Surf só chega em casa antes das 23 horas em 60% das vezes. 
a) Qual a probabilidade do professor chegar em casa após 23 horas? 
b) Ontem o professor chegou em casa após às 23 horas. Qual a probabilidade de que ele, no dia de 
ontem, tenha usado o Honda Fit? 
B1 = usar o Honda Fit B2 = Toyota Hillux Surf A = chegar em casa após 23 horas 
P(B1) = 4/5 = 0,80 P(B2) = 1/5 = 0,20 
P( A | B1) = 1 - 0,75 = 0,25 P( A | B2) = 1 - 0,60 = 0,40 
a) 28,040,020,025,080,0)B |A P( )(B P + )B |A P( )(B PP(A) 2211  
b) 
%43,717143,0
28,0
20,0
08,020,0
20,0
40,020,025,080,0
25,080,0
)B |A P( )(B P + )B |A P( )(B P
 )B |A P( )(B P
)/(
2211
11
1 ouABP 








 
Exercicio para auto-avaliação: 
Certo aluno da UEM 3/4 das vezes vai estudar usando um toyota vitz e usando um Fiat Uno nas demais 
vezes. Quando ele usa o toyota vitz, 35 % das vezes ele chega em casa depois das 23 horas e quando usa o 
Fiat Uno só chega em casa antes das 23 horas em 0,55 das vezes. Ontem o aluno chegou em casa antes das 
23 horas. Qual a probabilidade em percentual de que ele, no dia de ontem, tenha usado o toyota vitz? 
Resposta: 0,78 ou 78 % 
 
 
16 
 
ESTATÍSTICA BÁSICA 
_____________________________________________________________________________________________ 
Tema : Analise Combinatória (Ex. 1 á 15) e Noções de Probabilidades (Ex. 16 á 48) Ano de 2017 Ficha de Exercicio 7 
_____________________________________________________________________________________________ 
1. Calcule: a ) 6
2A b ) 10
4A c ) 4P d ) 7P e ) 8
3C f ) 10
4C 
 
2. Quantos são os anagramas formados com as letras da palavra UNIPAC? Quantos destes anagramas 
começam com a letra U? (Anagrama: Frase elaborada usando exatamente as mesmas letras da 
sentença original) 
 
3. Considere a palavra MATEMATICA. quantos anagramas são possíveis? 
 
4. Qual é o número de comissões de 3 alunos que se podem formar tirados em um conjunto de 7 alunos? 
 
5. Considere os conjuntos A = {a,b, c, d, e} e B = {r, s, t}. Escreva: 
 
a) todos os arranjos possíveis, de 2 elementos, formados pelos elementos do conjunto A. 
b) todas as combinações possíveis, de 3 elementos, formados pelos elementos do conjunto A. 
c) todas as permutações formadas pelos elementos do conjunto B. 
 
6. Determine o número de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra ALEMANHA? 
 
7. Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de 
bebidas e 3 sobremesas diferentes. 
a) De quantas maneiras diferentes uma pessoa poderia fazer um pedido contendo, uma salada, um 
tipo de carne e 1 sobremesa? 
b) De quantas maneiras diferentes uma pessoa poderia fazer um pedido contendo, uma salada, um 
tipo de carne, 1 sobremesa e uma variedades de bebidas? 
 
8. De quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 4 casacos e 6 calças 
diferentes, usando sempre uma calca, um casaco e um par de sapatos? 
 
9. Em uma prova composta de 20 questões envolvendo V ou F, de quantas maneiras distintas teremos 
doze respostas V e oito respostas F? 
 
10. Um inspetor visita 6 máquinas diferentes durante o dia. A fim de evitar que os operários saibam quando 
ele os irá inspecionar, o inspetor varia a ordem de suas visitas. De quantas maneiras diferentes poderão 
ser feitas as visitas? 
 
11. Sete alunos foram escolhidos para representar uma turma de um colégio durante o hasteamento da 
bandeira. Se for necessário que os mesmos formem uma fila, de quantas maneiras diferentes podem 
ser dispostos os alunos? 
 
12. De uma sala de 25 alunos devem ser escolhidos 5 alunos para receberem prêmios. De quantas 
maneiras diferentes poderão ser distribuídos os prêmios se: 
a ) se todos os prêmios forem iguais 
b ) se os prêmios forem diferentes. 
 
17 
 
13. Cinco pessoas decidem viajar num automóvel. De quantas maneiras diferentes eles podem se assentar 
se: (a ) todos sabem dirigir ( b ) apenas 1 sabe dirigir. 
 
14. Os números dos telefones fixo da cidade do Maputo tem 8 algarismos cujo primeiro digito é 2 e o 
segundo digito é 1. O número máximo de telefones que podem ser instalados é: 
1.000. 000 2 .000 .000 3. 000 .000 6.000.000 7 .000 .000 
 
15. Em um torneio de futebol Moçambicano a equipa de HCB de Songo obteve 8 vitórias, 5 empates e 2 
derrotas, nas 15 partidas disputadas. De quantas maneiras distintas esses resultados podem ter 
ocorrido? 
 
16. Descreva o espaço de resultados para as seguintes experiências aleatórias: 
a) Lançar um dado e uma moeda uma vez e observar o resultado.. 
b) Um exame médico para ingresso em um clube de futebol. 
c) Pesar certo número de recém nascidos e anotar-lhes o peso. A experiência indica que o peso 
não é inferior a 1 kg nem superior a 6 kg. 
d) Investigam-se famílias com 3 crianças, anotando-se a configuração segundo o sexo. 
 
17. Defina um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios: 
a) lançamento de um dado e uma moeda; 
b) investigam-se famílias com 4 crianças, anotando-se a configuração segundo o sexo; 
c) de um grupo de 5 pessoas: A, B, C, D e E sorteiam-se duas, uma após a outra, com reposição, 
e anota-se a configuração formada. 
 
18. Quais dos seguintes pares de acontecimentos são mutuamente exclusivos: 
a) chover / não chover 
b) conduzir um carro / andar a pé 
c) nadar / sentir frio 
d) ganhar num jogo / perder no mesmo jogo 
e) extrair uma dama de um baralho / extrair uma carta vermelha de um baralho. 
 
19. Quais dos valores abaixo não podem ser probabilidades? 0, 0,0001, -0,2, 3/2, 2/3, 2 , 2,0 
 
20. Respondas as questões que se seguem: 
a) Quanto é P(A), se A é o evento "Fevereiro tem 30 dias no próximo ano"? 
b) Quanto é P(A), se A é o evento "Novembro tem 30 dias este ano"? 
c) Um espaço amostral consiste em 500 eventos separados, igualmente prováveis. Qual a 
probabilidade de cada um evento? 
d) Em um exame de admissão, cada questão tem 5 respostas possíveis. Respondendo 
aleatoriamente (por palpite)a primeira questão, qual a probabilidade de acertar? 
 
21. São lançados dois dados. Qual a probabilidade de: 
a) obter-se um par de pontos iguais? 
b) um par de pontos diferentes? 
c) um par em que o primeiro é menor que o segundo? 
d) a soma dos pontos ser um número par? 
 
22. Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos leves e 2 com defeitos graves. Uma peça é 
retirada ao acaso deste lote. Calcule a probabilidade de que esta peça: 
18 
 
a) seja boa; 
b) apresente defeito leve; 
c) apresente defeito grave; 
d) apresente defeito independentemente do tipo; 
e) seja boa ou tenha defeito leve. 
 
23. Um estudo de 500 voos da LAM selecionados aleatoriamente mostrou que 430 chegaram no horário. 
Qual é a probabilidade estimada de um vôo da LAM chegar no horário? E de nao chegar no horário? 
 
24. Qual a probabilidade de acidentes de trabalho, por ano, em uma determinada indústria se uma amostra 
aleatória de 10 firmas, que empregam um total de 8.000 pessoas, mostrou que ocorreram 400 
acidentes de trabalho durante os últimos doze meses? 
 
25. Em um jogo deve-se acertar um número entre 0 e 999 previamente sorteado. Pede-se a um 
participante do jogo que diga um número nesse intervalo. Qual a probabilidade dessa pessoa acertar o 
número sorteado? Qual a probabilidade de dizer um número incorrecto? 
 
26. Em uma pesquisa entre estudantes de uma faculdade, 1162 afirmara que “cabulavam” nos exames, 
enquanto 2468 afirmaram não “cabulavam”. Selecionando aleatoriamente um desses estudantes, 
determine a probabilidade de ele ou ela ter “cabulado” em um exame. 
 
27. Se P(A) = 1/2 e P(B) = 1/4 e A e B são acontecimentos mutuamente exclusivos, calcule: 
 a) P( A ) b) P( B ) c) P(AB) d) P(AB) 
 
28. Um grupo de 60 pessoas apresenta a seguinte composição: 
Condição Número de pessoas 
Homens Mulheres TOTAL 
Menores 15 17 32 
Adultos 18 10 28 
TOTAL 33 27 60 
 Uma pessoa é escolhida ao acaso. Pergunta-se: 
a) qual a probabilidade de ser homem? 
b) qual a probabilidade de ser adulto? 
c) qual a probabilidade de ser menor e ser mulher? 
d) sabendo-se que a pessoa escolhida é adulto, qual a probabilidade de ser homem? 
 
29. A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é 3/4 e de seu marido 3/5. Calcule a 
probabilidade de: 
a) apenas o homem estar vivo; 
b) somente a mulher estar viva; 
c) pelo menos um estar vivo; 
d) ambos estarem vivos. 
 
30. Duas cartas são retiradas de um baralho, bem embaralhado, de 52 cartas. Determine a probabilidade 
de ambas serem ases, se a primeira carta fôr: a) recolocada; b) não recolocada. 
 
31. Dados P(A)=0,3 , P(B)=0,6 e P(AB)=0,15 , achar P(A|B) e P(B|A). 
32. Dados P(A)=0,3 , P(B)=0,6 e P(AB)=0,15 , achar )(AP ; P(AB) ; )(BP e )( BAP  . 
33. Dados P(A) = 0.9, P(B) = 0.8, e P(A  B) = 0.75, achar 
a) P(A  B); b) )( BAP  ; c) )( BAP  ; d) )( BAP  e e) )( BAP  . 
19 
 
34. Carlos chega atrasado à universidade 25% das vezes, e esquece o material da aula 20% das vezes. 
Admitindo que essas ocorrências sejam independentes, determine a probabilidade de: 
a) Carlos chegar atrasado 2 dias seguidos. 
b) Carlos chegar atrasado e sem o material de aula. 
c) Carlos chegar na hora e com o material de aula. 
d) Carlos chegar na hora e sem o material de aula. 
 
35. A probabilidade de que você resolva correctamente a 1ª. questão de uma prova é 1/3 e de que seu 
colega resolva correctamente é 2/5, sendo que ambos tentam, sozinhos, resolvê-la. Considere o 
experimento em que se verifica se a questão foi resolvida correctamente ou não pelos dois. 
a) Descreva um espaço amostral adequado. 
b) Os eventos {você resolver correctamente} e {seu colega resolver correctamente} são: 
b1) mutuamente exclusivos? Justifique. b2) independentes? Justifique. 
c) Qual a probabilidade de pelo menos um resolver a questão correctamente? 
 
36. De 100 pessoas que se candidataram ao emprego de programador em uma empresa, 40 possuíam 
experiência anterior, 30 curso superior, e destes 20 possuíam ambos. 
a) Qual a probabilidade de um candidato aleatoriamente escolhido possuir curso superior ou 
experiência anterior? 
b) Qual a probabilidade de um candidato aleatoriamente escolhido possuir curso superior e 
experiência anterior? 
 
37. Sejam A e B dois eventos associados com um experimento “E”. Supondo que P(A)= 0,4, 
P(AUB) = 0,7 e P(B) = p, qual é o valor de p para que se tenha: 
 a) A e B mutuamente exclusivos; 
 b) A e B não mutuamente exclusivos e independentes. 
 
38. Lança-se um par de dados não viciados. Calcule a probabilidade dos dois números ser maior ou igual a 
4. 
 
39. Os arquivos da polícia revelam que, das vítimas de acidente automobilístico que utilizam cinto de 
segurança, apenas 10% sofrem ferimentos graves, enquanto que essa incidência é de 50% entre as 
vítimas que não utilizam o cinto de segurança. Estima-se em 60% o percentual dos motoristas que 
usam o cinto de segurança. 
a) Calcule a probabilidade de um motorista sofrer ferimentos graves depois de um acidente. 
b) A polícia acaba de ser chamada para investigar um acidente em que houve um indivíduo gravemente 
ferido. Calcule a probabilidade de ele estar usando o cinto no momento do acidente. 
c) Se a pessoa que dirigia o outro carro não sofreu ferimentos graves. Calcule a probabilidade de ela estar 
usando o cinto no momento do acidente. 
 
40. Numa classe há 10 homens e 20 mulheres; metade dos homens e metade das mulheres têm olhos 
castanhos. Determine a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser um homem ou ter 
olhos castanhos. 
 
41. Num centro de cálculo existem três impressoras A, B e C que imprimem a velocidades diferentes. A 
probabilidade de um ficheiro ser enviado para as impressoras A, B e C é respectivamente 0,6, 0,3 e 
0,1. Ocasionalmente a impressora avaria-se e destroi a impressão. As impressoras A, B ou C 
avariam-se, respectivamente, com probabilidade 0,01, 0,05 e 0,04. 
 
20 
 
a) Qual a probabilidade de uma impressão ser destroida? 
b) A impressão de um ficheiro foi destruida! Qual a probabilidade de ter sido enviada para a impressora B? 
c) A impressão de um ficheiro não foi destruida! Qual a probabilidade de ter sido enviada para a 
impressora B? 
 
42. Uma cadeia com três lojas A,B e C tem respectivamente 50, 75 e 100 empregados. A percentagem de 
mulheres a trabalhar em cada uma dessas lojas é 50, 60 e 70, respectivamente. No final de cada mês 
é nomeado o empregado do mês. Qual a probabilidade desse empregado trabalhar na loja C, 
sabendo que é mulher. 
 
43. Numa fabrica de produção em série, existem três inspectores, Mabenda Qualquer, Júlia Fazmal e 
Rato Teimoso Fazbem, cada um deles responsável pela verificação de 20%, 30% e 50% dos artigos 
produzidos. A probabilidade do inspector Mabenda deixar passar um artigo defeituoso é 0,05; a 
probabilidade da inspectora Júlia Fazmal deixar passar um artigo defeituoso é 0,10 e a probabilidade 
do inspector Rato Teimoso cometer o mesmo erro é 0,15. Escolha-se ao acaso um artigo que foi 
inspeccionado. 
 a) Qual a probabilidade de que seja um artigo defeituoso? 
 b) Sabendo que é defeituoso, qual a probabilidade de ter sido Mabenda Qualquer a inspecciona-
lo? 
 
44. Os senhores Ferrão e Mabunda, são os maiores criadores (de ovelhas e cabritos), grandes rivais e 
concorrentes no mercado de Songo, província de Tete. O senhor Ferrão tem 45% do total de animais 
enquanto que o Sr. Mabunda detém 30% do total de animais. Sabe-se que dos animais do senhor 
Mabunda 60% são cabritos, dos do Sr. Ferrão 70% são cabritos, enquanto dos restantes criadores, 
40% são cabritos. Num certo dia um animal foi encontrado morto. 
 a) Qual é a probabilidade de pertencer ao Sr. Ferrão? 
 b) Qual é a probabilidade de ser uma ovelha? 
 c) Qual é a probabilidade de ser uma ovelha e pertencer ao Sr. Ferrão ? 
 d) Sabendoque o animal morto é uma ovelha qual é a probabilidade de pertencer ao Sr. Ferrão? 
 
45. Num determinado curso, estão matriculados 100 estudantes, entre os quais 10 repetentes. Se extraem 
4 estudantes do curso ao acaso. Encontrar a probabilidade de que os 4 estudantes sejam todos. 
a) Estudantes repetentes. 
b) Estudantes não repetentes. 
46. três lâmpadas são escolhidas ao acaso de um grupo de 15 lâmpadas, das quais 5 são defeituosas. 
Calcular a probabilidade de que: 
a) Nenhuma seja defeituosa. 
b) Exactamente uma seja defeituosa 
c) Pelo menos uma seja defeituosa. 
 
47. Num certo colégio, 4 % dos homens e 1% das mulheres têm mais de 1,75 de altura. 60% dos 
estudantes são mulheres. Um estudante é escolhido ao acaso e tem mais de 1,75m. Qual a 
probabilidade de que seja homem? 
48. Dois homens H1 e H2, e três mulheres, M1, M2 e M3, estão num torneio de xadrez. As pessoas de 
mesmo sexo têm igual probabilidade de vencer, mas cada homem tem duas vezes mais probabilidade 
de ganhar do que qualquer mulher. Se haverá somente uma pessoa vencedora, encontre a 
probabilidade de que uma mulher vença o torneio.