Aula 04 - Medição de Ângulos

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ICT-307 - TOPOGRAFIA
Aula 04 – MEDIÇÃO DE ÂNGULOS
Medição de ângulos
▪ Operação realizada por teodolitos ou 
estações totais
 Ângulos azimutais (ou horizontais)
 Ângulos zenitais (ou verticais)
▪ Deferentes tipos de teodolitos
 Comuns: 1’ a 6” (1º/60 a 1º/600)
 de precisão: 1” (1º/3.600)
 de alta precisão: 0,1”a 0,01” (1º/36.000 a 
1º/360.000)
Medição de ângulos
▪ Estações Totais
▪ Possuem um distanciômetro incorporado e 
podem realizar o processamento das 
informações, dotadas de uma caderneta 
eletrônica;
▪ Precisão nominal: menor valor no visor do 
equipamento;
▪ Precisão efetiva: erro médio das leituras em 
uma série de medições.
Medição de ângulos
▪ Operações básicas:
 Estacionamento;
 Nivelamento;
 Orientação -norte verdadeiro (preferencialmente), 
norte magnético, direção arbitrária conhecida, por 
ré (estaca anterior) ou vante (estaca posterior);
 Colimação (visada precisa do ponto);
 Leitura (e gravação).
Ângulos horizontais
▪ Aparelho (teodolito ou estação total) estacionado em P;
▪ Um ponto é a ré e outro a vante e o padrão é o sistema 
horário ;
▪ O ângulo pode ser interno ou externo a uma poligonal.
Orientação pelo norte 
(verdadeiro ou magnético)
Quando α for negativo, somar 360º
Orientação por uma direção 
qualquer
Orientação por ré
Orientação por vante
Ângulos de deflexão
▪ É o ângulo azimutal formado pelo lado à vante e o prolongamento 
(à vante) do lado anterior;
▪ Pode ser à direita DD ou esquerda DE do prolongamento do lado 
anterior;
▪ Sua variação é de 0º a 180º para a direita (+) ou para a esquerda (-).
Medição de ângulos zenitais
▪ É feita de forma análoga à medição dos 
ângulos horizontais;
▪ A orientação é feita pelo zênite ou pela vertical;
▪ Alguns aparelhos fornecem o ângulo a partir do 
zênite e contado de 0º a 360º no sentido 
horário;
▪ Outros fornecem a inclinação a partir da 
horizontal, sendo (+) para cima e (-) para baixo
Técnicas de medição de 
direções horizontais
▪ Simples
 Instala-se o teodolito em A, visa-se a estação B em 
pontaria direta, e anota-se Lb. A seguir visa-se a 
estação C e lê-se Lc.
Técnicas de medição de 
direções horizontais
▪ Pares conjugados (PD e PI) – Leitura Direta e Inversa;
▪ As leituras são feitas na posição direta da luneta e na posição 
inversa;
Técnicas de medição de 
direções horizontais
▪ Medidas com reiterações;
 Minimiza os efeitos de erros de gravação na 
graduação do equipamento;
▪ Medidas com repetição:
 L1 – Leitura no ponto1;
 Lf – Leitura no ponto 2 (os valores intermediários 
não são considerados);
 X- números de giros completos do círculo 
graduado;
 n – número de repetições do processo de leitura.
Rumos e azimutes magnéticos
▪ Azimute
Rumos e azimutes magnéticos
▪ Rumo
Conversão entre rumo e 
azimute
Declinação magnética
▪ É o ângulo azimutal formado entre o meridiano (linha Norte-Sul) 
verdadeiro e o meridiano magnético;
▪ Varia com o tempo e a posição geográfica;
▪ Órgão oficiais de cartografia (no Brasil, o Observatório Nacional) 
elaboram, periodicamente, mapas de declinação magnética, com 
curvas isogônicas;
▪ A interpolação entre essas curvas permite obter o valor para o local 
desejado;
▪ Obtém-se o valor para a data de elaboração do mapa com as curvas 
isogônicas consultado. É necessário, então, usar um mapa de curvas 
isopóricas (contém linhas de igual variação anual da declinação 
magnética);
▪ Pode ser ocidental (negativa quando o polo magnético estiver a 
oeste) ou oriental (positiva quando o polo magnético estiver a leste)
Declinação magnética
▪ Declinação magnética pode ser obtida por:
Onde:
d0 – declinação magnética na data t0 (anos), interpolada 
na carta de isogônicas;
v – variação anual da declinação para o local em questão, 
interpolada na carta de isopóricas;
Δt – tempo transcorrido a partir da data em que as cartas 
foram elaboradas (ano e fração)
Declinação magnética
Fonte: http://www.ufrgs.br/museudetopografia/Artigos/Declinação_Magnética.pdf
Curvas isogônicas - 1965
Fonte: http://www.ltc.ufes.br/geomaticsce/Aula05_Geomética 2011.pdf
Curvas isogônicas - 1970
Fonte: http://www.ltc.ufes.br/geomaticsce/Aula05_Geomética 2011.pdf
Curvas isogônicas - 1980
Fonte: http://www.ltc.ufes.br/geomaticsce/Aula05_Geomética 2011.pdf
Curvas isogônicas - 1990
Fonte: http://www.ltc.ufes.br/geomaticsce/Aula05_Geomética 2011.pdf
Curvas isogônicas - 2000
Fonte: http://www.ltc.ufes.br/geomaticsce/Aula05_Geomética 2011.pdf
Fonte: Prof. Dr. Gabriel Cremona Parma, UFSC, 2011
Observatório Nacional - ON
http://www.on.br/conteudo/modelo.php?ende
reco=servicos/servicos.html
Fonte: Observatório Nacional, 2012
Exercício 1
▪ São fornecidos os pares de leituras 
conjugadas para a visada de dois pontos A e 
B. Calcular os ângulos horizontais e verticais.
Ponto visado Círculo horizontal Círculo vertical
PD PI PD PI
A 125º32' 305º30' 87º29' 272º35'
B 84º47' 264º45' 89º13' 270º43'
Exercício 1
▪ São fornecidos os pares de leituras 
conjugadas para a visada de dois pontos A e 
B. Calcular os ângulos horizontais e verticais.
Ponto visado Círculo horizontal Círculo vertical
PD PI PD PI
A 125º32' 305º30' 87º29' 272º35'
B 84º47' 264º45' 89º13' 270º43'
Ângulos horizontais
Exercício 1
▪ São fornecidos os pares de leituras 
conjugadas para a visada de dois pontos A e 
B. Calcular os ângulos horizontais e verticais.
Ponto visado Círculo horizontal Círculo vertical
PD PI PD PI
A 125º32' 305º30' 87º29' 272º35'
B 84º47' 264º45' 89º13' 270º43'
Ângulos verticais
Exercício 2
▪ Foi feito um levantamento em São Paulo em 
01/03/1986 e obteve-se o rumo magnético de 
uma direção como sendo 41º10’SW. Sabendo 
que a declinação magnética local em 01 de 
janeiro de 1980 é igual a 16,6º W e que a 
variação anual dessa declinação é igual a 
+8’W, calcular o azimute verdadeiro 
aproximado dessa direção.
Exercício 2
▪ a) Obtenção da declinação magnética na data 
do levantamento
 Qual o tempo decorrido entre a data do 
levantamento e 1/01/1980 (a data do mapa de 
declinação magnética)?
Exercício 2
▪ a) Obtenção da declinação magnética na data 
do levantamento
 Data desejada (1/03/86) = 1986,16
 Data em 1/01/1980: 1980,00
 Período de tempo transcorrido: 6,16 anos
Exercício 2
▪ a) Obtenção da declinação magnética na data 
do levantamento
 Data desejada (1/03/86) = 1986,16
 Data em 1/01/1980: 1980,00
 Período de tempo transcorrido: 6,16 anos
 Sabe-se que a variação anual dessa declinação é 
de +8’W. Então quanto a declinação magnética 
variou nesse período?
Exercício 2
▪ a) Obtenção da declinação magnética na data 
do levantamento
 Data desejada (1/03/86) = 1986,16
 Data em 1/01/1980: 1980,00
 Período de tempo transcorrido: 6,16 anos
 Variação da declinação magnética no período: 
6,16 ∙ 8’W = 49,28’W = 0,82ºW
 Sabemos a declinação magnética em 1/01/1980. 
Qual a declinação magnética em 1/03/1986?
Exercício 2
▪ a) Obtenção da declinação magnética na data 
do levantamento
 Data desejada (1/03/86) = 1986,16
 Data em 1/01/1980: 1980,00
 Período de tempo transcorrido: 6,16 anos
 Variação da declinação magnética no período: 
6,16 ∙ 8’W = 49,28’W = 0,82ºW
 Declinação magnética em 1/03/86: 16,6ºW + 
0,82ºW = 17,42ºW = 17º25’W
Exercício 2
▪ b) azimute magnético da direção
 Sabemos que o rumo magnético de uma 
determinada direção do levantamento 
topográfico é 41º10’SW.
 Expressar esse rumo na forma de azimute.
Exercício 2
▪ Rumo 41º10’SW.
Exercício 2
▪ b) azimute magnético da direção
 Sabemos que o rumo magnético de uma 
determinada direção do levantamento 
topográfico é 41º10’W.
 Expressar esse rumo na forma de azimute.
 R=A-180º ➔ A=41º10’+180 ➔ A=221º10’
Exercício 2
▪ c) Obtenção do azimute verdadeiro
 Conhecemos agora o azimute magnético de uma 
determinada direção do levantamento 
topográfico e também a declinação magnética. 
Qual o azimute verdadeiro?
Exercício 2
▪ c) Obtenção do azimute verdadeiro
Av = Am –d
 Av = 221º10’ -17º25’ =203º45’
Exercício 3
▪ Um ângulo foi medido através do método de 
repetição, com precisão de segundos. A 
leitura dos nônios A e B na visada à ré inicial 
foi 125º 52' 00”. Após a primeira repetição, no 
nônio A lê-se de forma aproximada o valor de 
202º 15'. Após a sexta repetição, a média das 
leituras dos nônios A e B foi 224º 12' 30”. 
Calcule o valor mais provável do ângulo.
Exercício 3
▪ Qual o valor aproximado do ângulo?
Exercício 3
▪ O valor aproximado do ângulo é:
 202º 15’ – 125º 52’ = 76º 23’
▪ Foram realizadas 6 repetições. Será que foi 
dada uma volta completa (ou duas)?
Exercício 3
▪ O valor aproximado do ângulo é:
 202º 15’ – 125º 52’ = 76º 23’
▪ Foram realizadas 6 repetições.
 6 ∙ 76º 23’ = 458º 18’ que é > que 360º e menor que 
720º. Portanto 1 volta completa.
▪ Qual o ângulo?
Exercício 3
▪ O valor aproximado do ângulo é:
 202º 15’ – 125º 52’ = 76º 23’
▪ Foram realizadas 6 repetições.
 6 ∙ 76º 23’ = 458º 18’ que é > que 360º e menor que 
720º. Portanto 1 volta completa.
▪ O ângulo procurado será:
Exercício 3
▪ O valor aproximado do ângulo é:
 202º 15’ – 125º 52’ = 76º 23’
▪ Foram realizadas 6 repetições.
 6 ∙ 76º 23’ = 458º 18’ que é > que 360º e menor que 
720º. Portanto 1 volta completa.
▪ O ângulo procurado será:
Exercício 4
▪ Em uma estação do alinhamento de uma 
estrada foram obtidos os seguintes rumos: ré 
43º17'SW; vante 73º28'NE. Calcular o ângulo 
de deflexão.
Exercício 4
▪ Pela figura:
 D = 73º 28’ – 43º 17’ = 30º 11’
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	Slide 12: Técnicas de medição de direções horizontais
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	Slide 15: Rumos e azimutes magnéticos
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	Slide 29: Exercício 1
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	Slide 39: Exercício 2
	Slide 40: Exercício 2
	Slide 41: Exercício 2
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	Slide 43: Exercício 3
	Slide 44: Exercício 3
	Slide 45: Exercício 3
	Slide 46: Exercício 3
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	Slide 48: Exercício 3
	Slide 49: Exercício 4
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