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63. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(\cos(x))\). 
 **Resposta:** \(f'(x) = -\tan(x)\). 
 **Explicação:** Use a regra da cadeia: \(\frac{d}{dx} \ln(\cos(x)) = \frac{1}{\cos(x)} \cdot (-
\sin(x)) = -\tan(x)\). 
 
64. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} 
 
 + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2 + 1\), então \(du = 2x \, dx\). 
 
65. **Problema:** Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2}\right)^{x}\). 
 **Resposta:** \(e^{-1}\). 
 **Explicação:** Divida o numerador e o denominador por \(x^2\) e aplique o limite 
exponencial. 
 
66. **Problema:** Encontre o ponto de máximo da função \(f(x) = e^{-x^2}\). 
 **Resposta:** \(x = 0\). 
 **Explicação:** Encontre a derivada de \(f(x)\) e determine o ponto onde a derivada é zero. 
 
67. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{dx}{x^3 + 2x}\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2} \ln|x| - \frac{1}{4} \ln|x^2 + 2| + C\). 
 **Explicação:** Fatorize o denominador e use substituições apropriadas. 
 
68. **Problema:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3}\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{6}\). 
 **Explicação:** Use a série de Taylor para \(\sin(x)\): \(\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\). 
Então, \(\frac{x - \sin(x)}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x^3} \to \frac{1}{6}\). 
 
69. **Problema:** Encontre a integral definida \(\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\). 
 **Explicação:** A integral é \(\arctan(x) \bigg|_0^1\), que resulta em \(\frac{\pi}{4}\). 
 
70. **Problema:** Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 2x}}{x}\). 
 **Resposta:** 1. 
 **Explicação:** Divida o numerador e o denominador por \(x\), e use a propriedade de 
limites. 
 
Espero que essas soluções sejam úteis! Se precisar de mais alguma coisa, é só me chamar. 
Claro! Aqui estão 90 problemas de Cálculo II, com respostas e explicações detalhadas: 
 
1. **Integral**: \(\int e^{2x} \cos(3x) \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{e^{2x}(2\cos(3x) - 3\sin(3x))}{13} + C\). 
 **Explicação**: Utilize a técnica de integração por partes duas vezes. 
 
2. **Integral**: \(\int x^2 \sin(x) \, dx\). 
 **Resposta**: \(-x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) + C\). 
 **Explicação**: Integre por partes duas vezes. 
 
3. **Integral**: \(\int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\). 
 **Resposta**: \(-\sqrt{1 - x^2} + \frac{x^2}{2} \sqrt{1 - x^2} + C\). 
 **Explicação**: Use a substituição \(x = \sin(u)\). 
 
4. **Integral**: \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\ln|\ln(x)| + C\). 
 **Explicação**: Utilize a substituição \(u = \ln(x)\). 
 
5. **Integral**: \(\int x e^{x^2} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{e^{x^2}}{2} + C\). 
 **Explicação**: Use a substituição \(u = x^2\). 
 
6. **Integral**: \(\int \frac{\sin(x)}{x} \, dx\).