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25. **Problema**: Resolva a equação diferencial \(\frac{d^2y}{dx^2} = -y\) com condições 
iniciais \(y(0) = 0\) e \(y'(0) = 1\). 
 **Resposta**: \(y = \sin(x)\). 
 **Explicação**: A solução geral da equação diferencial é \(y = c_1 \sin(x) + c_2 \cos(x)\). 
Aplicando as condições iniciais, obtemos \(c_1 = 1\) e \(c_2 = 0\). 
 
26. **Problema**: Calcule a integral de linha de \( \vec{F} = \langle x^2, 2xy \rangle \) ao longo 
da curva \(C\) parametrizada por \(x = t\), \(y = t^2\) de \(t = 0\) a \(t = 1\). 
 **Resposta**: \(\frac{5}{6}\). 
 **Explicação**: A integral de linha é dada por \(\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}\). Calculando 
\(\vec{F} \cdot \frac{d\vec{r}}{dt}\), obtemos \(\int_0^1 (t^2 \cdot 1 + 2t \cdot t^2) \, dt = 
\frac{5}{6}\). 
 
27. **Problema**: Determine o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x}\). 
 **Resposta**: \(0\). 
 **Explicação**: Aplicando a regra de L'Hôpital, obtemos \(\lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 
0\). 
 
28. **Problema**: Resolva a equação \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\). 
 **Resposta**: \(x = \pm 1\) e \(x = \pm 2\). 
 **Explicação**: Substituindo \(y = x^2\), obtemos \(y^2 - 5y + 4 = 0\), cujas soluções são \(y 
= 1\) e \(y = 4\). Então \(x^2 = 1\) ou \(x^2 = 4\), resultando em \(x = \pm 1\) e \(x = \pm 2\). 
 
29. **Problema**: Encontre a integral \(\int_{0}^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx\). 
 **Resposta**: \(\frac{\pi}{4}\). 
 **Explicação**: Usando a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\), a integral é 
\(\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} 1 \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \cos(2x) \, dx\), que resulta em 
\(\frac{\pi}{4}\). 
 
30. **Problema**: Determine a integral de \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta**: \(\arctan(x) + C\). 
 **Explicação**: A integral de \(\frac{1}{x^2 + 1}\) é conhecida e resulta em \(\arctan(x) + C\). 
 
31. **Problema**: Resolva a equação diferencial \(y' = \frac{y}{x}\) com a condição inicial 
\(y(1) = 2\). 
 **Resposta**: \(y = 2x\). 
 **Explicação**: Separando as variáveis, obtemos \(\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}\), integrando 
obtemos \(\ln|y| = \ln|x| + C\). Aplicando a condição inicial, obtemos \(y = 2x\). 
 
32. **Problema**: Calcule a integral \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\). 
 **Resposta**: 1. 
 **Explicação**: Usando a substituição \(u = \ln(x)\), obtemos \(\int_{0}^{1} \frac{1}{u} \, du 
= \ln|u| \Big|_{0}^{1} = 1\). 
 
33. **Problema**: Encontre a solução da equação \(x^3 - 2x + 1 = 0\) usando o método de 
Newton-Raphson com \(x_0 = 1\). 
 **Resposta**: Aproximadamente \(x \approx 1.879\). 
 **Explicação**: Aplicando o método de Newton-Raphson, obtemos a solução aproximada 
por iterações. 
 
34. **Problema**: Determine o valor da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}\). 
 **Resposta**: \(2\). 
 **Explicação**: Usando a fórmula para séries geométricas, obtemos a soma como \(2\). 
 
35. **Problema**: Calcule o determinante da matriz \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 
\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\). 
 **Resposta**: \(0\). 
 **Explicação**: A matriz tem linhas que são combinações lineares umas das outras, então o 
determinante é zero. 
 
36. **Problema**: Resolva a equação diferencial \(y'' + y = \sin(x)\). 
 **Resposta**: \(y = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) - \frac{\sin(x)}{2}\). 
 **Explicação**: A solução geral é a soma da solução homogênea \(c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x)\) 
e uma solução particular \(-\frac{\sin(x)}{2}\). 
 
37. **Problema**: Determine a série de Taylor para \(e^x\) em torno de \(x = 0\). 
 **Resposta**: \(\sum_{n=0