Prévia do material em texto

--- 
 
**45.** Determine o valor de \(\int_{0}^{\infty} x e^{-x} \, dx\). 
**Resposta:** 1 
**Explicação:** Usamos a fórmula para a integral gama \(\Gamma(n) = (n-1)!\). 
 
--- 
 
**46.** Encontre a série de Taylor de \(e^{-x}\) em torno de \(x = 0\). 
**Resposta:** \(1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots\) 
**Explicação:** É a expansão padrão da série de Taylor para \(e^{-x}\). 
 
--- 
 
**47.** Resolva a equação diferencial \(\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + y = 0\). 
**Resposta:** \(y = C_1 e^x + C_2 x e^x\) 
**Explicação:** Resolvemos usando a equação característica. 
 
--- 
 
**48.** Calcule a integral \(\int_{0}^{1} x \sqrt{ 
 
1 - x^2} \, dx\). 
**Resposta:** \(\frac{1}{8}\) 
**Explicação:** Usamos a substituição \(u = 1 - x^2\). 
 
--- 
 
**49.** Encontre a função geradora para a sequência \(a_n = n!\). 
**Resposta:** \(\frac{1}{1 - x} e^{\frac{x}{1 - x}}\) 
**Explicação:** A função geradora para \(n!\) é encontrada usando o método padrão. 
 
--- 
 
**50.** Determine a integral \(\int_{0}^{\pi} \sin^3(x) \, dx\). 
**Resposta:** \(\frac{4}{3}\) 
**Explicação:** Usamos a identidade \(\sin^3(x) = \sin(x) - \frac{1}{4} \sin(3x)\) e integramos. 
 
--- 
 
**51.** Resolva a equação \(x^2 - 4 = 0\). 
**Resposta:** \(x = \pm 2\) 
**Explicação:** Fatoramos a equação quadrática como \((x - 2)(x + 2) = 0\). 
 
--- 
 
**52.** Determine a integral \(\int e^{x} \sin(x) \, dx\). 
**Resposta:** \(\frac{e^x}{2} (\sin(x) - \cos(x)) + C\) 
**Explicação:** Usamos integração por partes duas vezes. 
 
--- 
 
**53.** Encontre a raiz da função \(f(x) = x^2 + 2x - 3\). 
**Resposta:** \(x = 1\) e \(x = -3\) 
**Explicação:** Fatoramos o polinômio como \((x - 1)(x + 3)\). 
 
--- 
 
**54.** Calcule a integral \(\int_{0}^{1} x^2 \ln(x) \, dx\). 
**Resposta:** \(-\frac{1}{9}\) 
**Explicação:** Usamos integração por partes.