questões -AF

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c) \( 2x e^{2x} \) 
 d) \( e^{2x^2} \) 
 **Resposta: a) \( 2x e^{x^2} \)** 
 **Explicação:** A derivada de \( e^{x^2} \) usa a regra da cadeia. A derivada de \( e^u \) é \( 
e^u \cdot u' \), onde \( u = x^2 \) e \( u' = 2x \). 
 
2. **Qual é o valor da integral \( \int_0^1 x^3 \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{4} \) 
 b) \( \frac{1}{5} \) 
 c) \( \frac{1}{6} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta: b) \( \frac{1}{5} \)** 
 **Explicação:** Integrando \( x^3 \), obtemos \( \frac{x^4}{4} \). Avaliando de 0 a 1, temos \( 
\frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} \). 
 
3. **Qual é a segunda derivada de \( f(x) = \sin(x) \)?** 
 a) \( \sin(x) \) 
 b) \( -\sin(x) \) 
 c) \( \cos(x) \) 
 d) \( -\cos(x) \) 
 **Resposta: d) \( -\cos(x) \)** 
 **Explicação:** A primeira derivada de \( \sin(x) \) é \( \cos(x) \). A segunda derivada, então, 
é \( -\sin(x) \). 
 
4. **Qual é a integral indefinida de \( \cos(x) \)?** 
 a) \( \sin(x) + C \) 
 b) \( -\sin(x) + C \) 
 c) \( \cos(x) + C \) 
 d) \( -\cos(x) + C \) 
 **Resposta: a) \( \sin(x) + C \)** 
 **Explicação:** A integral de \( \cos(x) \) é \( \sin(x) \) mais a constante de integração \( C \). 
 
5. **Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x) \).** 
 a) \( \frac{1}{x} \) 
 b) \( \ln(x) \) 
 c) \( x \ln(x) \) 
 d) \( \frac{x}{\ln(x)} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{1}{x} \)** 
 **Explicação:** A derivada de \( \ln(x) \) é \( \frac{1}{x} \). 
 
6. **Qual é a integral de \( x e^x \)?** 
 a) \( x e^x - e^x + C \) 
 b) \( e^x + x e^x + C \) 
 c) \( e^x (x - 1) + C \) 
 d) \( e^x (x + 1) + C \) 
 **Resposta: a) \( x e^x - e^x + C \)** 
 **Explicação:** Usando integração por partes, com \( u = x \) e \( dv = e^x dx \), obtemos \( 
\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C \). 
 
7. **Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(x) \)?** 
 a) \( \sec^2(x) \) 
 b) \( \sec(x) \) 
 c) \( \cos^2(x) \) 
 d) \( \sin(x) \) 
 **Resposta: a) \( \sec^2(x) \)** 
 **Explicação:** A derivada de \( \tan(x) \) é \( \sec^2(x) \). 
 
8. **Qual é o resultado da integral \( \int \frac{1}{x} \, dx \)?** 
 a) \( \ln|x| + C \) 
 b) \( \frac{1}{x} + C \) 
 c) \( x + C \) 
 d) \( \ln(x) + C \) 
 **Resposta: a) \( \ln|x| + C \)** 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x} \) é \( \ln|x| + C \). 
 
9. **Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x} \)?** 
 a) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 
 b) \( \frac{1}{x} \) 
 c) \( \frac{1}{2x} \) 
 d) \( \frac{1}{2x^{3/2}} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \)** 
 **Explicação:** A função \( \sqrt{x} \) pode ser reescrita como \( x^{1/2} \). Sua derivada é \( 
\frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \). 
 
10. **Qual é o valor de \( \int e^{-x^2} \, dx \) de -∞ a ∞?** 
 a) \( \sqrt{\pi} \) 
 b) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( \sqrt{e} \) 
 **Resposta: a) \( \sqrt{\pi} \)** 
 **Explicação:** A integral de \( e^{-x^2} \) sobre todo o eixo real é uma integral Gaussiana, 
cujo valor é \( \sqrt{\pi} \). 
 
11. **Qual é a derivada de \( f(x) = x^2 \ln(x) \)?** 
 a) \( 2x \ln(x) + x \) 
 b) \( 2x \ln(x) + x^2 \) 
 c) \( \ln(x) + 2x \) 
 d) \( x \ln(x) + x \) 
 **Resposta: a) \( 2x \ln(x) + x \)** 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, a derivada de \( x^2 \ln(x) \) é \( 2x \ln(x) + x 
\cdot \frac{1}{x} \). 
 
12. **Qual é a integral de \( \frac{1}{1 + x^2} \)?** 
 a) \( \arctan(x) + C \) 
 b) \( \arcsin(x) + C \)