prova aa

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**25. Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x} \)?** 
 
a) \( -\frac{1}{x^2} \) 
b) \( \frac{1}{x^2} \) 
c) \( -\frac{2}{x} \) 
d) \( \frac{2}{x} \) 
 
*Resposta: a) \( -\frac{1}{x^2} \)* 
*Explicação: A derivada de \( \frac{1}{x} \) é \( -\frac{1}{x^2} \).* 
 
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**26. Qual é o valor de \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x^2} \, dx \)?** 
 
a) \( e - 1 \) 
b) \( \frac{1}{1} - \frac{1}{e} \) 
c) \( \frac{1}{1} - \frac{1}{e^2} \) 
d) \( e - \frac{1}{e} \) 
 
*Resposta: b) \( \frac{1}{1} - \frac{1}{e} \)* 
*Explicação: A integral de \( \frac{1}{x^2} \) é \( -\frac{1}{x} \). Portanto, \( \int_{1}^{e} 
\frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{e} + 1 = \frac{1}{1} - \frac{1}{e} \).* 
 
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**27. Qual é a fórmula para a derivada da função \( f(x) = x^n \) onde \( n \) é um número 
real?** 
 
a) \( nx^{n-1} \) 
b) \( \frac{n}{x^{n-1}} \) 
c) \( \frac{n}{x^n} \) 
d) \( x^{n+1} \) 
 
*Resposta: a) \( nx^{n-1} \)* 
*Explicação: A fórmula da derivada de \( x^n \) é \( nx^{n-1} \).* 
 
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**28. Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)?** 
 
a) 0 
b) 1 
c) \( e^0 = 1 \) 
d) \( e \) 
 
*Resposta: b) 1* 
*Explicação: Este é um limite fundamental da função exponencial. Usando a série de Taylor ou 
a regra de L'Hôpital, temos que o limite é 1.* 
 
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**29. Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{1 + x^2} \)?** 
 
a) \( \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \) 
b) \( \frac{x}{1 + x^2} \) 
c) \( \frac{2x}{\sqrt{1 + x^2}} \) 
d) \( \frac{x}{2 \sqrt{1 + x^2}} \) 
 
*Resposta: a) \( \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \)* 
*Explicação: A derivada de \( \sqrt{u(x)} \) é \( \frac{u'(x)}{2 \sqrt{u(x)}} \). Aqui, \( u(x) = 1 + 
x^2 \) e \( u'(x) = 2x \). Portanto, a derivada é \( \frac{2x}{2 \sqrt{1 + x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1 + 
x^2}} \).* 
 
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**30. Qual é a integral de \( \int \cos(x) \, dx \)?** 
 
a) \( \sin(x) + C \) 
b) \( -\sin(x) + C \) 
c) \( \cos(x) + C \) 
d) \( -\cos(x) + C \) 
 
*Resposta: b) \( -\sin(x) + C \)* 
*Explicação: A integral de \( \cos(x) \) é \( \sin(x) + C \), mas para a função \( \cos(x) \), a 
integral é \( -\sin(x) + C \).* 
 
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**31. Qual é a derivada de \( f(x) = \arctan(x) \)?** 
 
a) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
b) \( \frac{1}{x^2} \) 
c) \( \frac{1}{x} \) 
d) \( \frac{1}{x + 1} \) 
 
*Resposta: a) \( \frac{1}{1 + x^2} \)* 
*Explicação: A derivada de \( \arctan(x) \) é \( \frac{1}{1 + x^2} \).* 
 
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**32. Qual é a integral de \( \int x e^{2x} \, dx \)?** 
 
a) \( \frac{e^{2x}(x - \frac{1}{2})}{2} + C \) 
b) \( \frac{e^{2x}(x + \frac{1}{2})}{2} + C \)