Probabilidade e Estatística

Prévia do material em texto

Probabilidade e Estatística
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
1
Probabilidade e Estatística
Livro Texto:
[1] "Noções de Probabilidade e Estatística"
 Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos
 Pedroso de Lima, Edusp (2005). 
[2] "Probabilidade: Um Curso Introdutório"
 Carlos A. B. Dantas, Edusp (2004).
2
Probabilidade e Estatística
Objetivo:
Apresentar, de forma prática, o significado
e a base teórica dos cálculo envolvidos na 
utilização da estatística, presentes em mui-
tas atividades do nosso dia-a-dia.
3
Probabilidade e Estatística
4
Ao terminar o curso:
O aluno deve estar apto a distinguir se informa-
ções estatísticas extraídas de uma massa de 
dados são significativas ou não, a relacionar o 
conteúdo matemático apresentado com dados 
objetivos e a usar os conceitos apresentados de 
forma criteriosa.
Ementa:
5
• Noções básicas de Estatística
 variáveis, amostra e população, organização dos dados
• Noções básicas de probabilidade
 eventos, espaço amostral, teorema central do limite 
• Variáveis aleatórias discretas
 distribuição de probabilidade 
 modelos discretos
• Medidas de resumo
 valor esperado, média, moda mediana
 variância, desvio padrão
 momentos 
• Distribuição marginal, condicional, correlação
• Variáveis aleatórias contínuas, modelos contínuos
• Inferência estatística - estimação
• Convergência 
• Confiabilidade 
• Noções de simulação
6
Introdução à Estatística
Conteúdo:
1.1 Porque estudar Estatística?
1.2 O que é Estatística? 
1.3 População e Amostra 
1.4 Um exemplo 
1.5 Variáveis 
1.6 Alguns exercícios
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 1
1.1 Porque estudar Estatística?
A Estatística é empregada como ferramenta fundamental 
em várias áreas, tais como: 
7
aula 1: Introdução à Estatística
• em sociologia - estudo de fatores que podem desen-
cadear comportamento violento, tipificação do uso de 
drogas, etc;
• na área médica - metodologia adequada que possi-
bilita decidir sobre a eficiência de um novo tratamento;
• na indústria - controle de qualidade de produto e 
processo;
• na pesquisa de mercado e de opinião pública - defini-
ção de novos produtos, lançamentos, vendas, etc;
• na definição de indicadores econômicos e sociais;
• meteorologia, ecologia, biologia, entre outras.
Grande parte das informações divulgadas pelos meios de 
comunicação provém de pesquisas e estudos estatísticos: 
"a inflação esse mês foi ...."
"a taxa de desemprego no Brasil no ano de 2005...."
"o candidato A tem 32% da intenção de votos, o can-
didato B tem 41% e 27% dos entrevistados não 
souberam ou não quiseram responder"
"o número de carros vendidos no país aumentou 
em 20%"
" a altura média da população aumentou em 5% "
"o time A teve 60% do tempo de posse de bola, ..."
→
→
→
→
→
→
8
aula 1: Introdução à Estatística
Pode também ajudar a responder perguntas do nosso dia 
a dia, como por exemplo:
Vou comprar 5 bilhetes de uma rifa. Terei mais chances 
de ganhar se os números dos bilhetes forem em seqüên-
cia ou se forem sorteados?
→
9
aula 1: Introdução à Estatística
Porque estudar Estatística?
Pode também ajudar a responder perguntas do nosso dia 
a dia, como por exemplo:
Vou comprar 5 bilhetes de uma rifa. Terei mais chances 
de ganhar se os números dos bilhetes forem em seqüên-
cia ou se forem sorteados?
→
→
10
aula 1: Introdução à Estatística
Porque estudar Estatística?
Será que se jogarmos sempre no mesmo número na Me-
ga Sena teremos uma possibilidade maior de ganhar?
Pode também ajudar a responder perguntas do nosso dia 
a dia, como por exemplo:
Vou comprar 5 bilhetes de uma rifa. Terei mais chances 
de ganhar se os números dos bilhetes forem em seqüên-
cia ou se forem sorteados?
→
→
→
11
aula 1: Introdução à Estatística
Porque estudar Estatística?
Será que se jogarmos sempre no mesmo número na Me-
ga Sena teremos uma possibilidade maior de ganhar?
Se em um teste com várias perguntas onde teremos que 
responder "falso" ou "verdadeiro", dá para saber se te-
remos uma probabilidade de acertar um número maior 
de respostas se "chutarmos" sempre a mesma resposta? 
ou seria melhor alternarmos as respostas?
1.2 O que é Estatística?
Conjunto de técnicas que permite organizar, descrever, 
analisar e interpretar dados, em qualquer área do co-
nhecimento, de uma forma criteriosa e sistemática.
12
aula 1: Introdução à Estatística
1.2 O que é Estatística?
dados oriundos de experimentos ou de estudos
Conjunto de técnicas que permite organizar, descrever, 
analisar e interpretar dados, em qualquer área do co-
nhecimento, de uma forma criteriosa e sistemática.
13
aula 1: Introdução à Estatística
1.2 O que é Estatística?
dados oriundos de experimentos ou de estudos
Conjunto de técnicas que permite organizar, descrever, 
analisar e interpretar dados, em qualquer área do co-
nhecimento, de uma forma criteriosa e sistemática.
14
aula 1: Introdução à Estatística
ou . . .
conjunto de técnicas desenvolvidas para auxiliar a res-
ponder, de uma forma segura e objetiva, questões que 
envolvem uma grande quantidade de informações.
Por exemplo, deseja-se obter informações sobre estudan-
tes que entram para o curso superior em uma determinada 
região, que chamaremos de Rio Azul, tais como:
- Qual a idade média dos alunos?
- Qual a relação entre o número de alunos do sexo femini-
 no e masculino?
- Qual a relação entre peso e altura dos alunos do sexo 
 masculino? E do sexo feminino?
- Praticam exercício físico?
- Têm hábito de ir ao cinema?
- Alunos e alunas têm o mesmo comportamento em rela-
 ção ao tempo que vêm televisão? 
- Qual a opinião deles em relação a qualidade dos 
 programas?
15
aula 1: Introdução à Estatística
O que é Estatística?
Para responder a essas perguntas, temos que colher 
dados, organizá-los e analisá-los, ou seja, precisamos 
saber:
 i) como obter os dados;
ii) o que fazer com eles.
16
aula 1: Introdução à Estatística
O que é Estatística?
• Sobre a obtenção dos dados:
 
17
aula 1: Introdução à Estatística
O que é Estatística?
• Sobre a obtenção dos dados:
 
18
aula 1: Introdução à Estatística
O que é Estatística?
• Se não puder, como escolher esse "grupo" de alunos?
• Nesse caso esse "grupo" de alunos pode ser qualquer?
• Se não é possível, se só é possível ou aconselhavel co-
 lher os dados de um grupo de alunos (amostra), pode-se 
 usar essas informações para concluir sobre todos os alu-
 nos de Rio Azul (população)?
• Quanto tempo demora-se para atualizar os dados?
• Se possível, quanto tempo demora-se para colher os 
 dados?
• É possível? É aconselhavel?
• Deve-se colher os dados de todos os alunos de Rio Azul? 
ii) O que fazer com os dados colhidos?
 
19
aula 1: Introdução à Estatística
O que é Estatística?
a) Se os dados forem colhidos de todos os alunos:
b) Caso não seja possível entrevistar todos os alunos:
ii) O que fazer com os dados colhidos?
 
20
aula 1: Introdução à Estatística
O que é Estatística?
• Como extrair infomações de interesse?
• Como organizar esses dados?
a) Se os dados forem colhidos de todos os alunos:
b) Caso não seja possível entrevistar todos os alunos:
ii) O que fazer com os dados colhidos?
 
21
aula 1: Introdução à Estatística
O que é Estatística?
• Como fazer para que os dados obtidos para esse 
 "grupo" de alunos possam ser generalizados para 
 obtermos infomações sobre todos os alunos?
• Como extrair infomações de interesse?
• Como organizar esses dados?
a) Se os dados forem colhidos de todos os alunos:
b) Caso não seja possível entrevistar todos os alunos:
22
aula 1: Introdução à Estatística
O que é Estatística?
Ou seja, para colher os dados, organiza-los e analisa-los 
necessitamos de técnicas conhecidas, que nos permi-
tam responder a essas questões com segurançae obje-
tividade.
23
aula 1: Introdução à Estatística
O que é Estatística?
Ou seja, para colher os dados, organizá-los e analisá-los 
necessitamos de técnicas conhecidas, que nos permi-
tam responder a essas questões com segurança e obje-
tividade.
Podemos considerar a Estatística dividida em:
Estatística descritiva
Probabilidade
Inferência estatística
→
→
→
Estatística descritiva: conjunto de técnicas destinadas a 
descrever, organizar e resumir os dados a fim de que 
possamos tirar conclusões de características de interesse.
24
aula 1: Introdução à Estatística
O que é Estatística?
Estatística descritiva: conjunto de técnicas destinadas a 
descrever, organizar e resumir os dados a fim de que 
possamos tirar conclusões de características de interesse.
Probabilidade: teoria utilizada para estudar a "incerteza"
dos fenômenos de caráter "aleatório". Pode-se dizer que 
é a teoria utilizada para quantificar o acaso.
25
aula 1: Introdução à Estatística
O que é Estatística?
Estatística descritiva: conjunto de técnicas destinadas a 
descrever, organizar e resumir os dados a fim de que 
possamos tirar conclusões de características de interesse.
Probabilidade: teoria utilizada para estudar a "incerteza"
dos fenômenos de caráter "aleatório". Pode-se dizer que 
é a teoria utilizada para quantificar o acaso.
Inferência estatística: estudo de técnicas que possibilitam 
a análise e interpretação de dados com objetivo de genera-
lizar e prever resultados.
26
aula 1: Introdução à Estatística
O que é Estatística?
1.3 População e amostra
27
aula 1: Introdução à Estatística
A população é o conjunto de todos os elementos (pes-
soas, objetos, etc) que contém as características co-
muns que temos interesse.
1.3 População e amostra
Exemplos:
i) Se o objeto de estudo forem os alunos que ingres-
 saram em cursos superiores de Rio Azul, a popula-
 ção é constituída por todos os alunos que começa-
 ram a fazer qualquer curso superior de Rio Azul.
28
aula 1: Introdução à Estatística
A população é o conjunto de todos os elementos (pes-
soas, objetos, etc) que contém as características co-
muns que temos interesse.
1.3 População e amostra
Exemplos:
i) Se o objeto de estudo forem os alunos que ingres-
 saram em cursos superiores de Rio Azul, a popula-
 ção é constituída por todos os alunos que começa-
 ram a fazer qualquer curso superior de Rio Azul.
ii) Se o objeto de pesquisa for a renda média dos mora-
 dores de uma região, a população será constituída 
 por todos os moradores. Se for a renda média do 
 chefe de família, a população será constituída por to-
 dos chefes de família.
29
aula 1: Introdução à Estatística
A população é o conjunto de todos os elementos (pes-
soas, objetos, etc) que contém as características co-
muns que temos interesse.
iii) Se o objeto da pesquisa for saber a qualificação dos 
 professores do Brasil durante um determinado perío-
 do, a população será composta por todos os professo-
 res do Brasil, de todos os níveis, no período de interes-
 se. Caso o objetoda pesquisa seja a qualificação dos 
 professores de Matemática, a população deverá ser 
 composta por todos os professores de Matemática do 
 Brasil, de todos os níveis, naquele período.
30
aula 1: Introdução à Estatística
População e Amostra
iii) Se o objeto da pesquisa for saber a qualificação dos 
 professores do Brasil durante um determinado perío-
 do, a população será composta por todos os professo-
 res do Brasil, de todos os níveis, no período de interes-
 se. Caso o objetoda pesquisa seja a qualificação dos 
 professores de Matemática, a população deverá ser 
 composta por todos os professores de Matemática do 
 Brasil, de todos os níveis, naquele período.
iv) Se o objeto da pesquisa for alguma qualidade de um
 produto de uma certa fábrica durante um período de 
 tempo, por exemplo, a durabilidade das lâmpadas pro-
 duzidas durante o ano de 2004, a população será com-
 posta por todas as lâmpadas produzidas pela fábrica 
 em questão no ano de 2004.
31
aula 1: Introdução à Estatística
População e Amostra
População
pode ser finita ou infinita
32
aula 1: Introdução à Estatística
População e Amostra
População
pode ser finita ou infinita
Em determindas situações há impossibilidade de se 
analisar toda população, ou por razões econômicas, ou 
por razões éticas, ou pela população ser infinita.
33
aula 1: Introdução à Estatística
População e Amostra
Um exemplo: 
34
aula 1: Introdução à Estatística
População e Amostra
sabemos que 30 000 torcedores estão assistindo um
determinado jogo entre 2 times e queremos quantificar 
quantos torcedores existem de cada um dos times:
Um exemplo: 
Como escolher?
35
aula 1: Introdução à Estatística
População e Amostra
sabemos que 30 000 torcedores estão assistindo um
determinado jogo entre 2 times e queremos quantificar 
quantos torcedores existem de cada um dos times:
 População - todos os torcedores que foram ao estádio
 Amostra - parcela dos torcedores que foram ao 
 estádio. 
36
aula 1: Introdução à Estatística
População e Amostra
Amostra subconjunto da população a ser estudado
o mais parecido possível com a população 
que lhe deu origem
37
aula 1: Introdução à Estatística
População e Amostra
Análise: feita na população total ou em uma amostra
Amostra subconjunto da população a ser estudado
o mais parecido possível com a população 
que lhe deu origem
38
aula 1: Introdução à Estatística
População e Amostra
Análise: feita na população total ou em uma amostra
população amostra
A1 ?
A2 ?
Amostra subconjunto da população a ser estudado
o mais parecido possível com a população 
que lhe deu origem
39
aula 1: Introdução à Estatística
População e Amostra
Análise: feita na população total ou em uma amostra
população amostra
A1
Amostra subconjunto da população a ser estudado
o mais parecido possível com a população 
que lhe deu origem
Outro exemplo: deseja-se fazer uma pesquisa para saber 
qual a porcentagem de lâmpadas fabricadas com defeito e 
qual a durabilidade de cada uma delas. Nesse caso, há
impossibilidade de se fazer a pesquisa em todas as lâmpa-
das! 
40
aula 1: Introdução à Estatística
População e Amostra
Outro exemplo: deseja-se fazer uma pesquisa para saber 
qual a porcentagem de lâmpadas fabricadas com defeito e 
qual a durabilidade de cada uma delas. Nesse caso, há
impossibilidade de se fazer a pesquisa em todas as lâmpa-
das! 
Amostra casual simples
Amostra sistemática
Amostra estratificada
41
aula 1: Introdução à Estatística
População e Amostra
Outro exemplo: deseja-se fazer uma pesquisa para saber 
qual a porcentagem de lâmpadas fabricadas com defeito e 
qual a durabilidade de cada uma delas. Nesse caso, há
impossibilidade de se fazer a pesquisa em todas as lâmpa-
das! 
Amostra casual simples
Amostra sistemática
Amostra estratificada
selecionada ao acaso. Pode ser 
com reposição ou sem reposição.
42
aula 1: Introdução à Estatística
População e Amostra
Outro exemplo: deseja-se fazer uma pesquisa para saber 
qual a porcentagem de lâmpadas fabricadas com defeito e 
qual a durabilidade de cada uma delas. Nesse caso, há
impossibilidade de se fazer a pesquisa em todas as lâmpa-
das! 
Amostra casual simples
Amostra sistemática
Amostra estratificada
selecionada ao acaso. Pode ser 
com reposição ou sem reposição.
informações adicionais a respeito 
da população, por exemplo: mais 
homens do que mulheres.
43
aula 1: Introdução à Estatística
População e Amostra
Outro exemplo: deseja-se fazer uma pesquisa para saber 
qual a porcentagem de lâmpadas fabricadas com defeito e 
qual a durabilidade de cada uma delas.Nesse caso, há
impossibilidade de se fazer a pesquisa em todas as lâmpa-
das! 
Amostra casual simples
Amostra sistemática
Amostra estratificada
selecionada ao acaso. Pode ser 
com reposição ou sem reposição.
informações adicionais a respeito 
da população, por exemplo: mais 
homens do que mulheres.
seleção de forma pré-determina-
da, por exemplo: de 5 em 5, ou de 
10 em 10, etc.
44
aula 1: Introdução à Estatística
População e Amostra
Outros tipos de amostra: Teoria da Amostragem
Amostras mais elaboradas
mais cuidados diminuição 
do tamanho 
da amostra
45
aula 1: Introdução à Estatística
População e Amostra
1.4 Um exemplo
46
aula 1: Introdução à Estatística
(bibliografia [1] e disponível no endereço: www.ime.usp.br/~noproest )
Deseja-se obter informações sobre alunos que ingressa-
ram em cursos superiores em toda região de Rio Azul, 
tais como:
- sexo
- idade
- altura
- peso
- número de filhos na família
- hábito de fumar
- tolerância à fumaça de cigarro
- se exerce atividade física
- hábito de ir ao cinema
- o que acha das salas de cinema da sua cidade
- durante quanto tempo vê televisão
- opinião sobre a qualidade dos programas
"Dados" pesquisados:
 Id: Identificação do aluno
 Turma: Turma que o aluno foi alocado
 Sexo: M - masculino, F- feminino
47
aula 1: Introdução à Estatística
Um Exemplo
 Idade: idade dos alunos em anos
 Alt: idade dos alunos em anos
 Peso: peso em quilos
 Filhos: quantos filhos a família tem
 Fuma: sobre o hábito de fumar, SIM ou NÃO
 Toler: tolerância à fumaça de cigarro
 I - indiferente
 P - incomoda pouco
 M - incomoda muito
 Exerc: tempo, em horas, que faz atividades físicas por semana
 Cine: número de vezes que vai ao cinema, por semana
 OpCine: opinião sobre as salas de cinema na cidade
 B - regular e boa
 M - muito boa
 Tv: número de horas que assiste televisão, por semana
 OpTv: opinião a respeito da programação da TV
 R - ruim
 M - média 
 B - boa
 N - não sabe
48
aula 1: Introdução à Estatística
Um Exemplo
49
aula 1: Introdução à Estatística
Um Exemplo
Cada uma das características de interesse da pesquisa 
(sexo, idade, estado civil, etc) é chamada de variável. 
Observando a tabela anterior podemos observar que te-
mos diferentes tipos de variáveis.
1.5 Variáveis
Basicamente essas variáveis podem ser classificadas 
como:
50
aula 1: Introdução à Estatística
Cada uma das características de interesse da pesquisa 
(sexo, idade, estado civil, etc) é chamada de variável. 
Observando a tabela anterior podemos observar que te-
mos diferentes tipos de variáveis.
1.5 Variáveis
Basicamente essas variáveis podem ser classificadas 
como:
nominais
Variáveis
qualitativas quantitativas
ordinais discretas contínuas
51
aula 1: Introdução à Estatística
Variáveis qualitativas: são variáveis não numéricas. Seus 
valores representam qualidade, atributo ou categoria.
Exemplos: turma, sexo, fuma, opinião sobre a TV, 
 tamanho, etc.
52
aula 1: Introdução à Estatística
Variáveis
Variáveis qualitativas: são variáveis não numéricas. Seus 
valores representam qualidade, atributo ou categoria.
Variáveis qualitativas nominais:
53
aula 1: Introdução à Estatística
Variáveis
Variáveis qualitativas ordinais:
Exemplos: turma, sexo, fuma, opinião sobre a TV, 
 tamanho, etc.
Variáveis qualitativas: são variáveis não numéricas. Seus 
valores representam qualidade, atributo ou categoria.
Variáveis qualitativas nominais: não é possível estabe-
lecer uma ordem natural entre seus valores.
54
aula 1: Introdução à Estatística
Variáveis
Variáveis qualitativas ordinais: 
Exemplos: turma, sexo, fuma, opinião sobre a TV, 
 tamanho, etc.
Exemplos: turma (A ou B), sexo (F ou M), fuma (SIM ou 
 NÃO).
Variáveis qualitativas: são variáveis não numéricas. Seus 
valores representam qualidade, atributo ou categoria.
Variáveis qualitativas nominais: não é possível estabe-
lecer uma ordem natural entre seus valores.
55
aula 1: Introdução à Estatística
Variáveis
Variáveis qualitativas ordinais: o atributo ou qualidade 
têm ordenação natural, indicando intensidade crescen-
te de realização.
Exemplos: turma, sexo, fuma, opinião sobre a TV, 
 tamanho, etc.
Exemplos: turma (A ou B), sexo (F ou M), fuma (SIM ou 
 NÃO).
Exemplos: opinião sobre o cinema ou TV (ruim, média ou 
 boa), tamanho (pequeno, médio ou grande)
Variáveis quantitativas: são variáveis de natureza nu-
mérica, obtidas através de contagem ou mensuração.
Exemplos: número de filhos, idade, altura, peso, etc.
56
aula 1: Introdução à Estatística
Variáveis
Variáveis quantitativas discretas: 
Variáveis quantitativas contínuas:
Variáveis quantitativas: são variáveis de natureza nu-
mérica, obtidas através de contagem ou mensuração.
Exemplos: número de filhos, idade, altura, peso, etc.
57
aula 1: Introdução à Estatística
Variáveis
Variáveis quantitativas discretas: obtidas a partir de
contagem sendo normalmente inteiras. Os valores são 
finitos e enumeráveis.
Exemplos: número de filhos, número de defeitos, 
 idade (?)
Variáveis quantitativas contínuas:
Variáveis quantitativas: são variáveis de natureza nu-
mérica, obtidas através de contagem ou mensuração.
Exemplos: número de filhos, idade, altura, peso, etc.
58
aula 1: Introdução à Estatística
Variáveis
Variáveis quantitativas discretas: obtidas a partir de
contagem sendo normalmente inteiras. Os valores são 
finitos e enumeráveis.
Exemplos: número de filhos, número de defeitos, 
 idade (?)
Variáveis quantitativas contínuas: obtidas normalmen-
te por mensuração e podem assumir quaisquer valores 
reais. 
Exemplos: altura, peso, idade(?).
Observações:
59
aula 1: Introdução à Estatística
Variáveis
1. Variáveis qualitativas são associadas muitas vezes a 
códigos numéricos. A natureza da variável é que tem 
que ser levada em consideração.
Exemplo: sexo feminino (1) e sexo masculino (2)
Observações:
60
aula 1: Introdução à Estatística
Variáveis
1. Variáveis qualitativas são associadas muitas vezes a 
códigos numéricos. A natureza da variável é que tem 
que ser levada em consideração.
Exemplo: sexo feminino (1) e sexo masculino (2)
2. Na prática, algumas características podem assumir 
valores discretos ou contínuos, dependendo por exem-
plo da unidade utilizada ou da situação de interesse.
Exemplo: a idade se for considerada em anos, pode-
se pensar como uma variável discreta (por exemplo: 
25 anos). Se for pensada em dias pode ser conside-
rada contínua (por exemplo: 25,16 anos).
3. Uma variável expressa por um valor numérico além de
poder ser considerada uma variável quantitativa contínua 
ou discreta (observação 2), pode até mesmo ser uma va-
riável qualitativa, dependendo de sua natureza.
61
aula 1: Introdução à Estatística
Variáveis
3. Uma variável expressa por um valor numérico além de
poder ser considerada uma variável quantitativa contínua 
ou discreta (observação 2), pode até mesmo ser uma va-
riável qualitativa, dependendo de sua natureza.
Exemplo: o peso de um lutador de boxe.
→ normalmente poderia ser uma variável quantitativa 
 contínua (por exemplo 80,750 kg);
→ dependendo da precisão da balança utilizada, pode-
 ria ser considerada como variável quantitativa dis-
 creta (por exemplo 80kg ou 81kg);
→ se o interesse for qualificar a que categoria do boxe 
 o lutador pertence, seria uma variável qualitativa or-
 dinal (por exemplo, peso meio pesado).
62
aula 1: Introdução à Estatística
Variáveis
1.6 Alguns exercícios
Falso ou Verdadeiro?
1- Estatísticaé um conjunto de técnicas destinadas a 
 organizar um conjunto de valores numéricos.
63
aula 1: Introdução à Estatística
1.6 Alguns exercícios
Falso ou Verdadeiro?
1- Estatística é um conjunto de técnicas destinadas a 
 organizar um conjunto de valores numéricos.
Estatística é mais do que isso! Ela também é res-
ponsável pela forma como os dados são coletados 
e pela conclusão em relação a toda população!
Falso!
64
aula 1: Introdução à Estatística
1.6 Alguns exercícios
Falso ou Verdadeiro?
1- Estatística é um conjunto de técnicas destinadas a 
 organizar um conjunto de valores numéricos.
Estatística é mais do que isso! Ela também é res-
ponsável pela forma como os dados são coletados 
e pela conclusão em relação a toda população!
Falso!
2- Sempre que estivermos trabalhando com números 
 devemos utilizar a Inferência Estatística.
65
aula 1: Introdução à Estatística
1.6 Alguns exercícios
Falso ou Verdadeiro?
1- Estatística é um conjunto de técnicas destinadas a 
 organizar um conjunto de valores numéricos.
Estatística é mais do que isso! Ela também é res-
ponsável pela forma como os dados são coletados 
e pela conclusão em relação a toda população!
Falso!
2- Sempre que estivermos trabalhando com números 
 devemos utilizar a Inferência Estatística.
Falso! A Inferência Estatística só faz sentido se não esti-
vermos trabalhando com a população total!
66
aula 1: Introdução à Estatística
3- A Estatística Descritiva fornece uma forma adequada de 
 tratar um conjunto de valores, numéricos ou não, com fi-
 nalidade de conhecermos o fenômeno de interesse. 
67
aula 1: Introdução à Estatística
Alguns Exercícios
3- A Estatística Descritiva fornece uma forma adequada de 
 tratar um conjunto de valores, numéricos ou não, com fi-
 nalidade de conhecermos o fenômeno de interesse. 
Ela é normalmente a primeira técnica a ser 
aplicada para nos auxiliar a explorar os da-
dos fornecidos.
Verdadeiro!
68
aula 1: Introdução à Estatística
Alguns Exercícios
3- A Estatística Descritiva fornece uma forma adequada de 
 tratar um conjunto de valores, numéricos ou não, com fi-
 nalidade de conhecermos o fenômeno de interesse. 
Ela é normalmente a primeira técnica a ser 
aplicada para nos auxiliar a explorar os da-
dos fornecidos.
Verdadeiro!
4- Qualquer amostra representa de forma adequada uma 
 população.
69
aula 1: Introdução à Estatística
Alguns Exercícios
3- A Estatística Descritiva fornece uma forma adequada de 
 tratar um conjunto de valores, numéricos ou não, com fi-
 nalidade de conhecermos o fenômeno de interesse. 
Ela é normalmente a primeira técnica a ser 
aplicada para nos auxiliar a explorar os da-
dos fornecidos.
Verdadeiro!
4- Qualquer amostra representa de forma adequada uma 
 população.
A amostra precisa ser escolhida com cuida-
do senão a conclusão pode ser totalmente 
alterada. 
Falso!
70
aula 1: Introdução à Estatística
Alguns Exercícios
Sobre a pergunta:
Se a professora me fizer várias perguntas onde terei que 
responder "falso" ou "verdadeiro", dá para saber se terei 
uma probabilidade maior de acertar se "chutar" sempre a 
mesma resposta ou se alternar as respostas?
Caso o "chute" fosse sempre o mesmo:
- se fosse escolhido falso - você acertaria 3 questões em 4
- se fosse escolhido verdadeiro - você acertaria apenas 1 em 4
Caso o "chute" fosse alternado:
- se começasse por falso - você acertaria apenas 1 em 4
- se começasse por verdadeiro - você acertaria 2 questões em 4
71
aula 1: Introdução à Estatística
Alguns Exercícios
Sobre a pergunta:
Se a professora me fizer várias perguntas onde terei que 
responder "falso" ou "verdadeiro", dá para saber se terei 
uma probabilidade maior de acertar se "chutar" sempre a 
mesma resposta ou se alternar as respostas?
Caso o "chute" fosse sempre o mesmo:
- se fosse escolhido falso - você acertaria 3 questões em 4
- se fosse escolhido verdadeiro - você acertaria apenas 1 em 4
Caso o "chute" fosse alternado:
- se começasse por falso - você acertaria apenas 1 em 4
- se começasse por verdadeiro - você acertaria 2 questões em 4
Podemos fazer alguma inferência sobre esse "problema"?
É possível generalizar esse resultado???
72
aula 1: Introdução à Estatística
Alguns Exercícios
Lembrando...vimos na aula 1-"Introdução à Estatística"
estatística
estatística descritiva
probabilidade
inferência estatística
73
aula 1: Introdução à Estatística
população e amostra
finita ou infinita casual simples, 
estratificada ou sistemática
qualitativas
quantitativas
ordinais
nominais
contínuas
discretas
variáveis
Próxima questão colocada: 
A partir de um conjunto de dados brutos, como tratar os 
valores - numéricos ou não - para extrair informações 
e/ou características de interesses? 
Aula 2
74
aula 1: Introdução à Estatística
 Sugestão da Aula 1:
Introdução à Estatística
75
aula 1: Introdução à Estatística
Revisão de como utilizar planilhas no OpenOffice: 
• Apostila de Introdução à Informática 
- Dos professores Otton Teixeira da Silveira Filho
 e Mauricio Kischinhevsky.
- Capítulos 12 e 13, disponível no seu pólo.
Introdução à Estatística
Conteúdo:
1.1 Porque estudar Estatística?
1.2 O que é Estatística? 
1.3 População e Amostra 
1.4 Um exemplo 
1.5 Variáveis 
1.6 Alguns exercícios
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 1
76
1
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Probabilidade e Estatística
2
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 2
Organização dos dados: 
tabelas de freqüência e gráficos
Conteúdo:
2.1 Tabelas de freqüência
 Exemplos
2.2 Gráficos
 Exemplos
3
Lembrando...vimos na aula 1 - "Introdução à Estatística" 
estatística
estatística descritiva
probabilidade
inferência estatística
probabilidadeinferência 
estatística
estatística descritiva
(consistência dos dados, interpretações iniciais)
amostrapopulação
4
Questão colocada ao final da Aula 1:
A partir de um conjunto de dados, como tratar os valores 
- numéricos ou não - para extrair informações e/ou carac-
terísticas de interesse? Ou seja: como organizar os dados 
de uma população ou de uma amostra? Como fornecer in-
formações sobre o conjunto dos dados?
TABELAS DE FREQÜÊNCIA
 E 
GRÁFICOS
5
aula 2: Organização dos Dados
2 Organização dos dados: tabelas de
 freqüência e gráficos.
"O uso e a divulgação ética e criteriosa 
dos dados devem ser pré-requisitos
indispensáveis e inegociáveis".
6
aula 2: Organização dos Dados
2.1 Tabelas de freqüência
Tabela com informações resumidas das variáveis de inte-
resse, construída a partir da tabela dos dados brutos.
Contém os valores das variáveis e a contagem do número 
de ocorrências
7
aula 2: Organização dos Dados
2.1 Tabelas de freqüência
Tabela com informações resumidas das variáveis de inte-
resse, construída a partir da tabela dos dados brutos.
Contém os valores das variáveis e a contagem do número 
de ocorrências
freqüências absolutas ou freqüências
8
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Para variáveis qualitativas ou quantitativas discretas:
consiste em listar os possíveis valores da variável (numéri-
cos ou não) e fazer a contagem do número de ocorrências 
na tabela de dados brutos.
É usual chamarmos de a freqüência de ocorrência da 
variável e por a freqüência total.
9
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
Na tabela sugerida na bibliografia [1] e apresentada na Au-
la 1 (disponível no endereço www.ime.usp.br/~noproest), 
verificar a freqüência associada à variável sexo.
Sexo
Mas (1)
Fem (2)
Total
13
37
n = 50
10
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Quando temos que comparar freqüências de ocorrência dos 
valores de uma dada variável de diferentes grupos ou con-
junto de dadosfreqüência relativa
Exemplo:
Na tabela sugerida na bibliografia [1] e apresentada na Au-
la 1 (disponível no endereço www.ime.usp.br/~noproest), 
verificar a freqüência associada à variável sexo.
Sexo
Mas (1)
Fem (2)
Total
13
37
n = 50
11
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
Calcular a freqüência relativa da variável sexo do exemplo 
anterior
onde
Sexo
Mas (1)
Fem (2)
Total
13
37
n = 50
12
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
onde
Exemplo:
Calcular a freqüência relativa da variável sexo do exemplo 
anterior
ou seja:
Sexo
Mas (1)
Fem (2)
Total
13
37
n = 50
0,26
 
13
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
Calcular a freqüência relativa da variável sexo do exemplo 
anterior
onde
ou seja: e
Sexo
Mas (1)
Fem (2)
Total
13
37
n = 50
0,26
 0,74
 
14
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Observe que:
Exemplo:
Calcular a freqüência relativa da variável sexo do exemplo 
anterior
Sexo
Mas (1)
Fem (2)
Total
13
37
n = 50
0,26
 0,74
1 
15
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Para variáveis quantitativas ou qualitativas ordinais:
Nesses casos é usual acrescentarmos a freqüência acu-
mulada que tem por objetivo fornecer pontos de corte 
com uma determinada freqüência nos valores das variá-
veis.
16
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Para variáveis quantitativas ou qualitativas ordinais:
Nesses casos é usual acrescentarmos a freqüência acu-
mulada que tem por objetivo fornecer pontos de corte 
com uma determinada freqüência nos valores das variá-
veis.
Chamaremos de a freqüência acumulada, calculada 
como o somatório das freqüências de todos os valores 
da variável menores ou iguais ao valor considerado.
17
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
Construir a tabela de freqüências e freqüências acumula-
dadas para a variável "idade".
18
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
Construir a tabela de freqüências e freqüências acumula-
dadas para a variável "idade".
i) inicialmente montar a tabela
 para a freqüência de ocor-
 rência de cada idade
19
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
Construir a tabela de freqüências e freqüências acumula-
dadas para a variável "idade".
Idade ni
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Total
9
22
7
4
3
0
2
1
2
n = 50
i) inicialmente montar a tabela
 para a freqüência de ocor-
 rência de cada idade
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
20
Exemplo:
Construir a tabela de freqüências e freqüências acumula-
dadas para a variável "idade".
Idade ni
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Total
9
22
7
4
3
0
2
1
2
n = 50
ii) calcular a freqüência relativa 
 ( ) dividindo cada linha da 
 coluna por 50;
i) inicialmente montar a tabela
 para a freqüência de ocor-
 rência de cada idade
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
21
Exemplo:
Construir a tabela de freqüências e freqüências acumula-
dadas para a variável "idade".
Idade ni f i
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Total
9
22
7
4
3
0
2
1
2
n = 50
0,18
0,44
0,14
0,08
0,06
0
0,04
0,02
0,04
1
ii) calcular a freqüência relativa 
 ( ) dividindo cada linha da 
 coluna por 50;
i) inicialmente montar a tabela
 para a freqüência de ocor-
 rência de cada idade
22
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
Construir a tabela de freqüências e freqüências acumula-
dadas para a variável "idade".
Idade ni f i
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Total
9
22
7
4
3
0
2
1
2
n = 50
0,18
0,44
0,14
0,08
0,06
0
0,04
0,02
0,04
1
ii) calcular a freqüência relativa 
 ( ) dividindo cada linha da 
 coluna por 50;
i) inicialmente montar a tabela
 para a freqüência de ocor-
 rência de cada idade
iii) calcular a freqüência acumu-
 lada .
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
23
Exemplo:
Construir a tabela de freqüências e freqüências acumula-
dadas para a variável "idade".
Idade ni f i f ac
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Total
9
22
7
4
3
0
2
1
2
n = 50
0,18
0,44
0,14
0,08
0,06
0
0,04
0,02
0,04
1
0,18
ii) calcular a freqüência relativa 
 ( ) dividindo cada linha da 
 coluna por 50;
i) inicialmente montar a tabela
 para a freqüência de ocor-
 rência de cada idade
iii) calcular a freqüência acumu-
 lada .
24
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
Construir a tabela de freqüências e freqüências acumula-
dadas para a variável "idade".
Idade ni f i f ac
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Total
9
22
7
4
3
0
2
1
2
n = 50
0,18
0,44
0,14
0,08
0,06
0
0,04
0,02
0,04
1
0,18
0,62 ii) calcular a freqüência relativa 
 ( ) dividindo cada linha da 
 coluna por 50;
i) inicialmente montar a tabela
 para a freqüência de ocor-
 rência de cada idade
iii) calcular a freqüência acumu-
 lada .
25
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
Construir a tabela de freqüências e freqüências acumula-
dadas para a variável "idade".
Idade ni f i f ac
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Total
9
22
7
4
3
0
2
1
2
n = 50
0,18
0,44
0,14
0,08
0,06
0
0,04
0,02
0,04
1
0,18
0,62
0,76
ii) calcular a freqüência relativa 
 ( ) dividindo cada linha da 
 coluna por 50;
i) inicialmente montar a tabela
 para a freqüência de ocor-
 rência de cada idade
iii) calcular a freqüência acumu-
 lada .
26
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
Construir a tabela de freqüências e freqüências acumula-
dadas para a variável "idade".
Idade ni f i f ac
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Total
9
22
7
4
3
0
2
1
2
n = 50
0,18
0,44
0,14
0,08
0,06
0
0,04
0,02
0,04
1
0,18
0,62
0,76
0,84
0,9
0,9
0,94
0,96
1
ii) calcular a freqüência relativa 
 ( ) dividindo cada linha da 
 coluna por 50;
i) inicialmente montar a tabela
 para a freqüência de ocor-
 rência de cada idade
iii) calcular a freqüência acumu-
 lada .
27
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
Qual a porcentagem de alunos com 20 anos? E com 24? 
Qual a porcentagem de alunos com idade inferior a 23 anos? 
Idade ni f i f ac
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Total
9
22
7
4
3
0
2
1
2
n = 50
0,18
0,44
0,14
0,08
0,06
0
0,04
0,02
0,04
1
0,18
0,62
0,76
0,84
0,90
0,90
0,94
0,96
1
28
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
Qual a porcentagem de alunos com 20 anos? E com 24? 
Qual a porcentagem de alunos com idade inferior a 23 anos? 
f i x 100%Idade ni f i f ac
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Total
9
22
7
4
3
0
2
1
2
n = 50
0,18
0,44
0,14
0,08
0,06
0
0,04
0,02
0,04
1
0,18
0,62
0,76
0,84
0,90
0,90
0,94
0,96
1
18
44
14
8
6
0
4
2
4
100
29
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
Qual a porcentagem de alunos com 20 anos? E com 24? 
Qual a porcentagem de alunos com idade inferior a 23 anos? 
f i x 100%Idade ni f i f ac
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Total
9
22
7
4
3
0
2
1
2
n = 50
0,18
0,44
0,14
0,08
0,06
0
0,04
0,02
0,04
1
0,18
0,62
0,76
0,84
0,90
0,90
0,94
0,96
1
18
44
14
8
6
0
4
2
4
100
30
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
Qual a porcentagem de alunos com 20 anos? E com 24? 
Qual a porcentagem de alunos com idade inferior a 23 anos? 
Idade ni f i f ac
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Total
9
22
7
4
3
0
2
1
2
n = 50
0,18
0,44
0,14
0,08
0,06
0
0,04
0,02
0,04
1
0,18
0,62
0,76
0,84
0,90
0,90
0,94
0,96
1
f i x 100%
18
44
14
8
6
0
4
2
4
100
f ac x 100%
18
62
76
84
9090
94
96
100
31
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
Qual a porcentagem de alunos com 20 anos? E com 24? 
Qual a porcentagem de alunos com idade inferior a 23 anos? 
Idade ni f i f ac
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Total
9
22
7
4
3
0
2
1
2
n = 50
0,18
0,44
0,14
0,08
0,06
0
0,04
0,02
0,04
1
0,18
0,62
0,76
0,84
0,90
0,90
0,94
0,96
1
f i x 100%
18
44
14
8
6
0
4
2
4
100
f ac x 100%
18
62
76
84
90
90
94
96
100
32
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Classes ou faixas de valores:
para variáveis quantitativas contínuas ou para quanti-
tativas discretas com um conjunto possível de valores 
muito grandes é comum adotar-se a construção de fai-
xas, com amplitude definida, e contar-se o número de 
ocorrências em cada faixa.
33
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Classes ou faixas de valores:
para variáveis quantitativas contínuas ou para quanti-
tativas discretas com um conjunto possível de valores 
muito grandes é comum adotar-se a construção de fai-
xas, com amplitude definida, e contar-se o número de 
ocorrências em cada faixa.
Exemplo: na tabela da Aula 1 a variável peso que varia 
de 44 a 95kg, podemos estabelecer faixas de 10kg, co-
meçando de 40k, por exemplo: 
34
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Classes ou faixas de valores:
para variáveis quantitativas contínuas ou para quanti-
tativas discretas com um conjunto possível de valores 
muito grandes é comum adotar-se a construção de fai-
xas, com amplitude definida, e contar-se o número de 
ocorrências em cada faixa.
Exemplo: na tabela da Aula 1 a variável peso que varia 
de 44 a 95kg, podemos estabelecer faixas de 10kg, co-
meçando de 40k, por exemplo: 
de 40kg (inclusive) até 50kg (exclusive) 
de 50kg (inclusive) até 60kg (exclusive)
de 60kg (inclusive) até 70kg (exclusive)
de 70kg (inclusive) até 80kg (exclusive) 
de 80kg (inclusive) até 90kg (exclusive) 
de 90kg (inclusive) até 100kg (exclusive) 
35
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Classes ou faixas de valores:
para variáveis quantitativas contínuas ou para quanti-
tativas discretas com um conjunto possível de valores 
muito grandes é comum adotar-se a construção de fai-
xas, com amplitude definida, e contar-se o número de 
ocorrências em cada faixa.
Exemplo: na tabela da Aula 1 a variável peso que varia 
de 44 a 95kg, podemos estabelecer faixas de 10kg, co-
meçando de 40k, por exemplo: 
de 40kg (inclusive) até 50kg (exclusive) 40 50 ou [40,50)
de 50kg (inclusive) até 60kg (exclusive)
de 60kg (inclusive) até 70kg (exclusive)
de 70kg (inclusive) até 80kg (exclusive) 
de 80kg (inclusive) até 90kg (exclusive) 
de 90kg (inclusive) até 100kg (exclusive) 
Notação
36
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Classes ou faixas de valores:
para variáveis quantitativas contínuas ou para quanti-
tativas discretas com um conjunto possível de valores 
muito grandes é comum adotar-se a construção de fai-
xas, com amplitude definida, e contar-se o número de 
ocorrências em cada faixa.
Exemplo: na tabela da Aula 1 a variável peso que varia 
de 44 a 95kg, podemos estabelecer faixas de 10kg, co-
meçando de 40k, por exemplo: 
de 40kg (inclusive) até 50kg (exclusive) 40 50 ou [40,50)
de 50kg (inclusive) até 60kg (exclusive) 50 60 ou [50,60)
de 60kg (inclusive) até 70kg (exclusive) 
de 70kg (inclusive) até 80kg (exclusive) 
de 80kg (inclusive) até 90kg (exclusive) 
de 90kg (inclusive) até 100kg (exclusive)
Notação
37
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Classes ou faixas de valores:
para variáveis quantitativas contínuas ou para quanti-
tativas discretas com um conjunto possível de valores 
muito grandes é comum adotar-se a construção de fai-
xas, com amplitude definida, e contar-se o número de 
ocorrências em cada faixa.
Exemplo: na tabela da Aula 1 a variável peso que varia 
de 44 a 95kg, podemos estabelecer faixas de 10kg, co-
meçando de 40k, por exemplo: 
de 40kg (inclusive) até 50kg (exclusive) 40 50 ou [40,50)
de 50kg (inclusive) até 60kg (exclusive) 50 60 ou [50,60)
de 60kg (inclusive) até 70kg (exclusive) 60 70 ou [60,70)
de 70kg (inclusive) até 80kg (exclusive) 70 80 ou [70,80)
de 80kg (inclusive) até 90kg (exclusive) 80 90 ou [80,90)
de 90kg (inclusive) até 100kg (exclusive) 90 100 ou [90,100)
Notação
38
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo: 
Peso
40 50 8
50 60 22
60 70 8
70 80 6
80 90 5
90 100 1
Total 50 
39
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo: 
Peso
40 50 8 0,16
50 60 22 0,44
60 70 8 0,16
70 80 6 0,12
80 90 5 0,10
90 100 1 0,02
Total 50 
40
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo: 
Peso
40 50 8 0,16 0,16
50 60 22 0,44 0,60
60 70 8 0,16 0,76
70 80 6 0,12 0,88
80 90 5 0,10 0,98
90 100 1 0,02 1
Total 50 
41
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Observações:
• sempre que possível utilizar faixas com mesma ampli-
 tude, embora faixas com valores desiguais podem ser 
 convenientes nas extremidades das tabelas;
• é usual utilizarmos também a freqüência acumulada 
 ( ) em variáveis quantitativas discretas com um 
 conjunto grande de valores possiveis .
42
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
• Qual a porcentagem de alunos de Rio Azul que vê de 
 12 a 17 horas de televisão por semana (variável TV)?
• E quantos vêm até 23 horas por semana?
TV
 0 6 14
 6 12 17
 12 18 11
 18 24 4
 24 36 4
Total 50 
43
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
• Qual a porcentagem de alunos de Rio Azul que vê de 
 12 a 17 horas de televisão por semana (variável TV)?
• E quantos vêm até 23 horas por semana?
Tamanho: 6 horas
Tamanho: 12 horas
TV
 0 6 14
 6 12 17
 12 18 11
 18 24 4
 24 36 4
Total 50 
44
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
• Qual a porcentagem de alunos de Rio Azul que vê de 
 12 a 17 horas de televisão por semana (variável TV)?
• E quantos vêm até 23 horas por semana?
TV
Total 50 1 
 0 6 14 0,28
 6 12 17 0,34
 12 18 11 0,22
 18 24 4 0,08
 24 36 4 0,08
45
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
• Qual a porcentagem de alunos de Rio Azul que vê de 
 12 a 17 horas de televisão por semana (variável TV)?
• E quantos vêm até 23 horas por semana?
TV
Total 50 1 
 0 6 14 0,28
 6 12 17 0,34
 12 18 11 0,22
 18 24 4 0,08
 24 36 4 0,08
46
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
• Qual a porcentagem de alunos de Rio Azul que vê de 
 12 a 17 horas de televisão por semana (variável TV)?
• E quantos vêm até 23 horas por semana?
TV
Total 50 
 0 6 14 0,28 0,28
 6 12 17 0,34 0,62
 12 18 11 0,22 0,84
 18 24 4 0,08 0,92
 24 36 4 0,08 1
47
aula 2: Organização dos Dados
Tabelas de freqüência
Exemplo:
• Qual a porcentagem de alunos de Rio Azul que vê de 
 12 a 17 horas de televisão por semana (variável TV)?
• E quantos vêm até 23 horas por semana?
TV
Total 50 
 0 6 14 0,28 0,28
 6 12 17 0,34 0,6212 18 11 0,22 0,84
 18 24 4 0,08 0,92
 24 36 4 0,08 1
48
aula 2: Organização dos Dados
2.2 Gráficos
Muitas vezes os dados são melhor visualizados através de 
gráficos. Existe uma grande variedade de tipos de gráficos.
Definiremos 3 tipos básicos:
- disco ou pizza
- barras
- histograma
- box-plot
Cuidado - um gráfico desproporcional ou distorcido pode 
 conduzir a conclusões equivocadas!
49
aula 2: Organização dos Dados
Gráfico de disco ou pizza ou ainda diagrama circular:
Gráficos
consiste de um disco repartido em setores circulares que 
representam as porcentagens de ocorrência ( ) 
de cada valor de uma determinada variável
50
aula 2: Organização dos Dados
Gráfico de disco ou pizza ou ainda diagrama circular:
Gráficos
sexo
masculino
feminino
total
13
37
n=50
0,26
0,74
1
51
aula 2: Organização dos Dados
Gráfico de disco ou pizza ou ainda diagrama circular:
Gráficos
sexo
masculino
feminino
total
13
37
n=50
0,26
0,74
1
52
aula 2: Organização dos Dados
Gráfico de disco ou pizza ou ainda diagrama circular:
Gráficos
sexo
masculino
feminino
total
13
37
n=50
0,26
0,74
1
53
aula 2: Organização dos Dados
Gráfico de disco ou pizza ou ainda diagrama circular:
Gráficos
sexo
masculino
feminino
total
13
37
n=50
0,26
0,74
1
54
aula 2: Organização dos Dados
Gráficos
Gráfico de barras
consiste de um gráfico feito no plano cartesiano que apre-
senta no eixo das abcissas os valores da variável e no eixo 
das ordenadas a freqüência ou porcentagem equivalente.
Idade
17
18
19
20
21
22
23
24
25
total
9
22
7
4
3
0
2
1
2
n=50
55
aula 2: Organização dos Dados
Gráficos
Gráfico de barras
Alunos de Rio Azul
56
aula 2: Organização dos Dados
Gráficos
Gráfico de barras Idade dos alunos de Rio Azul
57
aula 2: Organização dos Dados
Gráficos
Gráfico de barras Idade dos alunos de Rio Azul
Alunos de Rio Azul
58
aula 2: Organização dos Dados
Gráficos
Histograma
Consiste de retângulos contíguos com área igual a 
freqüência relativa da respectiva faixa, tendo como 
base as faixas de valores da variável. A altura de cada 
retângulo é chamada de densidade de freqüência (ou 
simplesmente densidade) e é calculada pela divisão da 
área do retângulo (freqüência relativa) pela base (faixa 
de valor).
59
aula 2: Organização dos Dados
Gráficos
Exemplo
Calcular a freqüência relativa ( ) e fazer o histograma 
associado à variável "peso".
Peso
40 50 8 0,16 0,016
50 60 22 0,44 0,044
60 70 8 0,16 0,016
70 80 6 0,12 0,012
80 90 5 0,10 0,010
90 100 1 0,02 0,002
Total 50 
densidade
60
aula 2: Organização dos Dados
Gráficos
Exemplo
Calcular a freqüência relativa ( ) e fazer o histograma 
associado à variável "peso".
40 50 70 80 90 10060
Histograma para a variável "peso"
d
en
si
d
ad
e
61
aula 2: Organização dos Dados
Gráficos
Em vários casos o valor das faixas é homogêneo, como 
no exemplo anterior (sempre 10). Isso nem sempre acon-
tece. Podemos fazer, por exemplo, tabela para a variável 
altura (Alt) contando de 10 em 10 cm, com exceção das 
faixas dos extremos.
Alt
1,45 1,60 8
1,60 1,70 22
1,70 1,80 13
1,80 1,85 7
Total 50
62
aula 2: Organização dos Dados
Gráficos
Em vários casos o valor das faixas é homogêneo, como 
no exemplo anterior (sempre 10). Isso nem sempre acon-
tece. Podemos fazer, por exemplo, tabela para a variável 
altura (Alt) contando de 10 em 10 cm, com exceção das 
faixas dos extremos.
Alt
1,45 1,60 8
1,60 1,70 22
1,70 1,80 13
1,80 1,85 7
Total 50
15
10
5
63
aula 2: Organização dos Dados
Gráficos
Em vários casos o valor das faixas é homogêneo, como 
no exemplo anterior (sempre 10). Isso nem sempre acon-
tece. Podemos fazer, por exemplo, tabela para a variável 
altura (Alt) contando de 10 em 10 cm, com exceção das 
faixas dos extremos.
Alt
1,45 1,60 8
1,60 1,70 22
1,70 1,80 13
1,80 1,85 7
Total 50
0,16
0,44
0,26
0,14
64
aula 2: Organização dos Dados
Gráficos
Em vários casos o valor das faixas é homogêneo, como 
no exemplo anterior (sempre 10). Isso nem sempre acon-
tece. Podemos fazer, por exemplo, tabela para a variável 
altura (Alt) contando de 10 em 10 cm, com exceção das 
faixas dos extremos.
Alt
1,45 1,60 8
1,60 1,70 22
1,70 1,80 13
1,80 1,85 7
Total 50
0,16
0,44
0,26
0,14
densidade
0,011
0,044
0,026
0,028
fi /15
65
aula 2: Organização dos Dados
Gráficos
Em vários casos o valor das faixas é homogêneo, como 
no exemplo anterior (sempre 10). Isso nem sempre acon-
tece. Podemos fazer, por exemplo, tabela para a variável 
altura (Alt) contando de 10 em 10 cm, com exceção das 
faixas dos extremos.
Alt
1,45 1,60 8
1,60 1,70 22
1,70 1,80 13
1,80 1,85 7
Total 50
0,16
0,44
0,26
0,14
densidade
0,011
0,044
0,026
0,028
fi /10
fi /15
66
aula 2: Organização dos Dados
Gráficos
Em vários casos o valor das faixas é homogêneo, como 
no exemplo anterior (sempre 10). Isso nem sempre acon-
tece. Podemos fazer, por exemplo, tabela para a variável 
altura (Alt) contando de 10 em 10 cm, com exceção das 
faixas dos extremos.
Alt
1,45 1,60 8
1,60 1,70 22
1,70 1,80 13
1,80 1,85 7
Total 50
0,16
0,44
0,26
0,14
densidade
0,011
0,044
0,026
0,028
fi /10
fi /15
fi /5
67
aula 2: Organização dos Dados
Gráficos
Alt
1,45 1,60 8
1,60 1,70 22
1,70 1,80 13
1,80 1,85 7
Total 50
0,16
0,44
0,26
0,14
densidade
0,011
0,044
0,026
0,028
fi /10
fi /15
fi /5
1,601,45 1,70 1,80 1,85
Histograma da altura dos alunos de Rio Azul
68
aula 2: Organização dos Dados
GráficosBox-Plot
Em várias situações é importante ter uma representação
gráfica que possa mostrar determinados limites de inte-
resse, por exemplo mediana e quartis que apresentare-
mos ao longo do curso.
69
aula 2: Organização dos Dados
GráficosBox-Plot
Em várias situações é importante ter uma representação
gráfica que possa mostrar determinados limites de inte-
resse, por exemplo mediana e quartis que apresentare-
mos ao longo do curso.
peso mínimo
1
o
 quartil (25% com peso menor)
2
o
 quartil (50% com peso menor)
3
o
 quartil (75% com peso menor)
peso máximo
masc. e fem. fem. masc.
44 44 60
52 50 71,9
58 55 75
66 58 85,6
95 70 95
70
aula 2: Organização dos Dados
GráficosBox-Plot
Em várias situações é importante ter uma representação
gráfica que possa mostrar determinados limites de inte-
resse, por exemplo mediana e quartis que apresentare-
mos ao longo do curso.
peso mínimo
1
o
 quartil (25% com peso menor)
2
o
 quartil (50% com peso menor)
3
o
 quartil (75% com peso menor)
peso máximo
masc. e fem. fem. masc.
44 44 60
52 50 71,9
58 55 75
66 58 85,6
95 70 95
Nesse caso o box-plot é uma "caixa" com os limites infe-
riores e superiores dados pelos quartis, um traço no in-
terior dessa "caixa" para a mediana e uma traço vertical 
que vai do valor mínimo ao valor máximo.
71
aula 2: Organização dos Dados
GráficosBox-Plot
masc. e fem.
peso mínimo
1
o
 quartil (25% com peso menor)
2
o
 quartil (50% com peso menor)
3
o
 quartil (75% com peso menor)
peso máximo
masc. e fem. fem. masc.
44 44 60
52 50 71,9
58 55 75
66 58 85,6
95 70 95
100
10
20
30
50
60
70
90
80
40
72
aula 2: Organização dos Dados
GráficosBox-Plot
masc. e fem.
peso mínimo
1
o
 quartil (25% com peso menor)
2
o
 quartil (50% com peso menor)
3
o
 quartil (75% com peso menor)
peso máximo
masc. e fem. fem. masc.
44 44 60
52 50 71,9
58 55 75
66 58 85,6
95 70 95
100
10
20
30
50
60
70
90
80
40
73
aula 2: Organização dos Dados
GráficosBox-Plot
masc. e fem.
peso mínimo
1
o
 quartil (25% com peso menor)
2
o
 quartil (50% com peso menor)
3
o
 quartil (75% com peso menor)
peso máximo
masc. e fem. fem. masc.
44 44 60
52 50 71,9
58 55 75
66 5885,6
95 70 95
100
10
20
30
50
60
70
90
80
40
74
aula 2: Organização dos Dados
GráficosBox-Plot
masc. e fem.
peso mínimo
1
o
 quartil (25% com peso menor)
2
o
 quartil (50% com peso menor)
3
o
 quartil (75% com peso menor)
peso máximo
masc. e fem. fem. masc.
44 44 60
52 50 71,9
58 55 75
66 58 85,6
95 70 95
100
10
20
30
50
60
70
90
80
40
75
aula 2: Organização dos Dados
GráficosBox-Plot
masc. e fem.
peso mínimo
1
o
 quartil (25% com peso menor)
2
o
 quartil (50% com peso menor)
3
o
 quartil (75% com peso menor)
peso máximo
masc. e fem. fem. masc.
44 44 60
52 50 71,9
58 55 75
66 58 85,6
95 70 95
100
10
20
30
50
60
70
90
80
40
fem.
76
aula 2: Organização dos Dados
GráficosBox-Plot
masc. e fem.
peso mínimo
1
o
 quartil (25% com peso menor)
2
o
 quartil (50% com peso menor)
3
o
 quartil (75% com peso menor)
peso máximo
masc. e fem. fem. masc.
44 44 60
52 50 71,9
58 55 75
66 58 85,6
95 70 95
100
10
20
30
50
60
70
90
80
40
fem.
masc.
aula 2: Organização dos Dados
Gráficos
Lembrando...vimos na aula 2 - "Organização dos dados: 
tabelas de freqüência e gráficos"
77
Tabelas de freqüência
freqüência absoluta -
freqüência relativa -
freqüência acumulada -
aula 2: Organização dos Dados
Gráficos
Lembrando...vimos na aula 2 - "Organização dos dados: 
tabelas de freqüência e gráficos"
78
Tabelas de freqüência
freqüência absoluta -
freqüência relativa -
freqüência acumulada -
Gráficos
Pizza, disco ou 
diagrama circular
Barra
Histograma
Box Plot
Fazer exercícios do Capítulo 1da Referência [1]: 
"Noções de Probabilidade e Estatística", Marcos 
Nascimento Magalhães e Antonio Carlos Pedro-
so de Lima.
aula 2: Organização dos Dados
79
 Sugestão da Aula 2:
Organização dos dados: tabelas de 
freqüência e gráficos
aula 2: Organização dos Dados
80
 Sugestão da Aula 2:
Organização dos dados: tabelas de 
freqüência e gráficos
e... lembrando que:
"O uso e a divulgação ética e criteriosa dos dados 
devem ser pré-requesitos indispensáveis e inegociáveis".
Fazer exercícios do Capítulo 1da Referência [1]: 
"Noções de Probabilidade e Estatística", Marcos 
Nascimento Magalhães e Antonio Carlos Pedro-
so de Lima.
81
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 2
Organização dos dados: 
tabelas de freqüência e gráficos
Conteúdo:
2.1 Tabelas de freqüência
 Exemplos
2.2 Gráficos
 Exemplos
Probabilidade e Estatística
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
1
aula 2: Organização dos Dados
Lembrando...vimos na aula 2 - "Organização dos dados: 
tabelas de freqüência e gráficos"
2
Tabelas de freqüência
freqüência absoluta -
freqüência relativa -
freqüência acumulada -
aula 2: Organização dos Dados
Lembrando...vimos na aula 2 - "Organização dos dados: 
tabelas de freqüência e gráficos"
2
Tabelas de freqüência
freqüência absoluta -
freqüência relativa -
freqüência acumulada -
Gráficos
Pizza, disco ou 
diagrama circular
Barra
Histograma
Box Plot
3
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 3
Medidas de resumo 
(para um conjunto de dados)
Conteúdo:
3.1 Medidas de posição
3.2 Algumas questões 
 complementares
3.3 Exemplo
3.4 Medidas de dispersão
4
3. Medidas de resumo para um conjunto de dados
 
Consiste em fornecer informações numéricas sobre um 
conjunto de dados que possam representar por exemplo 
a tendência central desses dados ou a forma como estão 
dispersos.
4
3. Medidas de resumo para um conjunto de dados
 
Consiste em fornecer informações numéricas sobre um 
conjunto de dados que possam representar por exemplo 
a tendência central desses dados ou a forma como estão 
dispersos.
3.1 Medidas de posição (tendência central)
média
mediana
moda
medidas mais comuns:
5
A média fornece a média aritmética de um conjunto 
de dados, ou seja, dada uma seqüência de valores: 
 a média é escrita como:
5
A média fornece a média aritmética de um conjunto 
de dados, ou seja, dada uma seqüência de valores: 
 a média é escrita como:
5
A média fornece a média aritmética de um conjunto 
de dados, ou seja, dada uma seqüência de valores: 
 a média é escrita como:
ou
6
Em uma construção comprou-se parafusos para instalação 
das tomadas. Está descrito na embalagem que cada caixa 
contém 100 parafusos. 10 caixas foram compradas e o nú-
mero de parafusos contados, obtendo:
Exemplo
O número médio de parafusos por caixa está acima ou abai-
xo do número informado na embalagem?
6
Em uma construção comprou-se parafusos para instalação 
das tomadas. Está descrito na embalagem que cada caixa 
contém 100 parafusos. 10 caixas foram compradas e o nú-
mero de parafusos contados, obtendo:
Exemplo
O número médio de parafusos por caixa está acima ou abai-
xo do número informado na embalagem?
6
Em uma construção comprou-se parafusos para instalação 
das tomadas. Está descrito na embalagem que cada caixa 
contém 100 parafusos. 10 caixas foram compradas e o nú-
mero de parafusos contados, obtendo:
Exemplo
O número médio de parafusos por caixa está acima ou abai-
xo do número informado na embalagem?
7
Exemplo
7
Exemplo
8
Outro Exemplo
Vamos supor que os 11 alunos da disciplina Probabilidade 
e Estatística obtiveram as seguintes notas em uma prova:
notas: 0,0 2,0 6,0 6,1 6,1 6,2 6,5 6,5 6,5 7,1 8,6
Qual a média da turma?
8
Outro Exemplo
Vamos supor que os 11 alunos da disciplina Probabilidade 
e Estatística obtiveram as seguintes notas em uma prova:
notas: 0,0 2,0 6,0 6,1 6,1 6,2 6,5 6,5 6,5 7,1 8,6
Qual a média da turma?
A média da turma é dado por:
temos
Outro Exemplo
Vamos supor que os 11 alunos da disciplina Probabilidade 
e Estatística obtiveram as seguintes notas em uma prova:
notas: 0,0 2,0 6,0 6,1 6,1 6,2 6,5 6,5 6,5 7,1 8,6
Qual a média da turma?
A média da turma é dado por:
temos
8
Para um conjunto de dados organizados em uma tabe-
la de freqüências onde cada está relacionado a sua 
freqüência de ocorrência , a média pode ser calcula-
da como:
9
Para um conjunto de dados organizados em uma tabe-
la de freqüências onde cada está relacionado a sua 
freqüência de ocorrência , a média pode ser calcula-
da como:
9
Para um conjunto de dados organizados em uma tabe-
la de freqüências onde cada está relacionado a sua 
freqüência de ocorrência , a média pode ser calcula-
da como:
Exemplo
A tabela de freqüência de notas da turma é dado por:
notas: 0,0 2,0 6,0 6,1 6,2 6,5 7,1 8,6 total
ni 1 1 1 2 1 3 1 1 11
9
Para um conjunto de dados organizados em uma tabe-
la de freqüências onde cada está relacionado a sua 
freqüência de ocorrência , a média pode ser calcula-
da como:
Exemplo
A tabela de freqüência de notas da turma é dado por:
notas: 0,0 2,0 6,0 6,1 6,2 6,5 7,1 8,6 total
ni 1 1 1 2 1 3 1 1 11
9
Para o exemplo dos parafusos a tabelas de freqüências é 
dada por:
10
Para o exemplo dos parafusos a tabelas de freqüências é 
dada por:
10
E a média, utilizando essa tabela:
ou
Para o exemplo dos parafusos a tabelas de freqüências é 
dada por:
10
E a média, utilizando essa tabela:
ou
Para o exemplo dos parafusos a tabelas de freqüências é 
dada por:
10
E a média, utilizando essa tabela:
ou
A mediana ( mdobs ) é o valor que ocupa a posição central 
nos dados ordenados.
11
No Exemplo das notas do curso de Probabilidade e Esta-
tística,a tabela já ordenada, com as notas é:
notas: 0,0 2,0 6,0 6,1 6,1 6,2 6,5 6,5 6,5 7,1 8,6
posição 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A mediana ( mdobs ) é o valor que ocupa a posição central 
nos dados ordenados.
11
No Exemplo das notas do curso de Probabilidade e Esta-
tística,a tabela já ordenada, com asnotas é:
notas: 0,0 2,0 6,0 6,1 6,1 6,2 6,5 6,5 6,5 7,1 8,6
posição 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
E o valor que ocupa a posição central será o que ocupa a 
posição 6, ou seja, a nota 6,2, o que significa que foram 
5 notas abaixo de 6,2
A mediana ( mdobs ) é o valor que ocupa a posição central 
nos dados ordenados.
11
No Exemplo das notas do curso de Probabilidade e Esta-
tística,a tabela já ordenada, com as notas é:
E o valor que ocupa a posição central será o que ocupa a 
posição 6, ou seja, a nota 6,2, o que significa que foram 
5 notas abaixo de 6,2 e 5 notas acima desse valor.
notas: 0,0 2,0 6,0 6,1 6,1 6,2 6,5 6,5 6,5 7,1 8,6
posição 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
notas: 0,0 2,0 6,0 6,1 6,1 6,2 6,5 6,5 6,5 7,1 8,6
posição 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
13
No Exemplo das caixas de parafusos, onde foram conside-
radas um número par de caixas, 10 caixas, a tabela orde-
nada é dada por:
O valor mediano é dado pela média entre o número de pa-
rafusos da caixa 5 e o número de parafusos da caixa 6.
13
No Exemplo das caixas de parafusos, onde foram conside-
radas um número par de caixas, 10 caixas, a tabela orde-
nada é dada por:
O valor mediano é dado pela média entre o número de pa-
rafusos da caixa 5 e o número de parafusos da caixa 6.
No exemplo, tanto a caixa 5 como a caixa 6 têm 99 parafu-
sos e a média desses valores também será 99 parafusos!
13
No Exemplo das caixas de parafusos, onde foram conside-
radas um número par de caixas, 10 caixas, a tabela orde-
nada é dada por:
O valor mediano é dado pela média entre o número de pa-
rafusos da caixa 5 e o número de parafusos da caixa 6.
No exemplo, tanto a caixa 5 como a caixa 6 têm 99 parafu-
sos e a média desses valores também será 99 parafusos!
14
Se o número de valores (n) for ímpar:
14
Se o número de valores (n) for ímpar:
Exemplo: tabela com 9 valores
1,5 2 2,5 3 3,5 5 6 7 8 n=9
14
Se o número de valores (n) for ímpar:
Exemplo: tabela com 9 valores
1,5 2 2,5 3 3,5 5 6 7 8 n=9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
15
Se o número de valores (n) for par:
Exemplo: tabela com 10 valores
15
Se o número de valores (n) for par:
Exemplo: tabela com 10 valores
1,5 2 2,5 3 3,5 5 6 7 8 n=109
mediana - valor médio das posições 5 (3,5) e 
 6 (5,0), ou seja, 4,25! 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
15
Se o número de valores (n) for par:
16
A moda (moobs) é o valor mais freqüente, ou seja, com ma-
ior ocorrência
16
A moda (moobs) é o valor mais freqüente, ou seja, com ma-
ior ocorrência
No Exemplo das notas do curso de Probabilidade e Esta-
tística,a tabela de freqüencias, dada por :
notas: 0,0 2,0 6,0 6,1 6,2 6,5 7,1 8,6 total
ni 1 1 1 2 1 3 1 1 11
16
A moda (moobs) é o valor mais freqüente, ou seja, com ma-
ior ocorrência
No Exemplo das notas do curso de Probabilidade e Esta-
tística,a tabela de freqüencias, dada por :
O valor que ocorre mais vezes é 6,5 ou seja, a moda é 6,5!
notas: 0,0 2,0 6,0 6,1 6,2 6,5 7,1 8,6 total
ni 1 1 1 2 1 3 1 1 11
17
No Exemplo das caixas de parafusos, a tabela de freqüên-
cias, é dada por :
17
No Exemplo das caixas de parafusos, a tabela de freqüên-
cias, é dada por :
e o valor que ocorre o maior número de vezes é 100, ou se-
ja, a moda é moobs = 100!
17
No Exemplo das caixas de parafusos, a tabela de freqüên-
cias, é dada por :
e o valor que ocorre o maior número de vezes é 100, ou se-
ja, a moda é moobs = 100!
19
Algumas vezes todos os valores têm a mesma freqüência 
de ocorrência
não tem moda
18
Algumas vezes todos os valores têm a mesma freqüência 
de ocorrência
Outras vezes mais de um valor (k valores) têm a mesma 
freqüencia de ocorrência:
não tem moda
tem k modas (multimodal)
18
Algumas vezes todos os valores têm a mesma freqüência 
de ocorrência
Outras vezes mais de um valor (k valores) têm a mesma 
freqüencia de ocorrência:
não tem moda
tem k modas (multimodal)
Por exemplo, 2 valores têm a mesma freqüência de ocor-
rência
tem 2 modas (bimodal)
19
3.2 Algumas questões complementares
Questão complementar 1- Outras medidas de posição
Quartis: dividem o conjunto de valores em 4 subgrupos 
com mesmo número de elementos.
→ 
19
3.2 Algumas questões complementares
Questão complementar 1- Outras medidas de posição
Quartis: dividem o conjunto de valores em 4 subgrupos 
com mesmo número de elementos.
→ 
Q1 - primeiro quartil, significa que 25% dos valores orde-
 nados da tabela estão abaixo desse valor
Q3 - terceiro quartil, significa que 75% dos valores ordena-
 dos da tabela estão abaixo desse valor
19
3.2 Algumas questões complementares
Questão complementar 1- Outras medidas de posição
Quartis: dividem o conjunto de valores em 4 subgrupos 
com mesmo número de elementos.
→ 
Q1 - primeiro quartil, significa que 25% dos valores orde-
 nados da tabela estão abaixo desse valor
Q3 - terceiro quartil, significa que 75% dos valores ordena-
 dos da tabela estão abaixo desse valor
Decis: dividem o conjunto de valores em 10 subgrupos 
com mesmo número de elementos.
→ 
20
No Exemplo das notas do curso de Probabilidade e Esta-
tística,a tabela de notas, já ordenada, com 11 valores é:
notas: 0,0 2,0 6,0 6,1 6,1 6,2 6,5 6,5 6,5 7,1 8,6
posição 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Q1 (25%-75%)
Mediana (50%-50%)
Q3 (75%-25%)
20
No Exemplo das notas do curso de Probabilidade e Esta-
tística,a tabela de notas, já ordenada, com 11 valores é:
notas: 0,0 2,0 6,0 6,1 6,1 6,2 6,5 6,5 6,5 7,1 8,6
posição 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Q1 (25%-75%)
Mediana (50%-50%)
Q3 (75%-25%)
21
No Exemplo das caixas de parafusos, considerando-se 
agora 12 caixas, onde a caixa incluída tem 99 parafusos, 
a tabela ordenada é dada por:
21
No Exemplo das caixas de parafusos, considerando-se 
agora 12 caixas, onde a caixa incluída tem 99 parafusos, 
a tabela ordenada é dada por:
22
Muitas vezes o valor de interesse não pode ser observado 
diretamente da tabela, sendo uma função do conjunto ori-
ginal dos dados.
Questão complementar 2
Exemplo: quer se saber o custo da caixa de parafusos já 
citada, sabendo que o custo de cada parafuso é c e o da 
caixa é e.
22
Muitas vezes o valor de interesse não pode ser observado 
diretamente da tabela, sendo uma função do conjunto ori-
ginal dos dados.
Questão complementar 2
Exemplo: quer se saber o custo da caixa de parafusos já 
citada, sabendo que o custo de cada parafuso é c e o da 
caixa é e.
Tabela reescrita:
23
Exemplo: quer se saber o custo da caixa de parafusos já 
citada, sabendo que o custo de cada parafuso é c e o da 
caixa é e.
Tabela reescrita:
23
Exemplo: quer se saber o custo da caixa de parafusos já 
citada, sabendo que o custo de cada parafuso é c e o da 
caixa é e.
Tabela reescrita:
Para a média temos:
24
Para a mediana (mdobs):
24
Para a mediana (mdobs):
Para a moda (moobs):
3.3 Exemplo
Um estudante está procurando estágio para o próximo 
ano e tem que escolher entre duas companhias (A e B) 
para as quais foi aceito. Ele sabe que por 20horas se-
manais cada uma delas tem as seguintes característi-
cas (em salários mínimos):
A que conclusões podemos chegar para ajudar o estu-
dante a escolher?
25
3.4 Medidas de dispersão
Apesar das medidas de tendência central darem informa-
ções sobre o conjunto de dados elas podem estar "escon-
dendo" valiosas informações, como a variabilidade des-
ses dados, ou seja, como eles estão distribuídos.
26
3.4 Medidas de dispersão
Apesar das medidas de tendência central darem informa-
ções sobre o conjunto de dados elas podem estar "escon-
dendo" valiosas informações, como a variabilidade des-
ses dados, ou seja, como eles estão distribuídos.
Exemplo: seja a tabela 1, abaixo, com 5 valores
26
com mediana e a média mdobs = 3,0
3.4 Medidas de dispersão
Apesar das medidas de tendência central darem informa-
ções sobre o conjunto de dados elas podem estar "escon-
dendo" valiosas informações, como a variabilidade des-ses dados, ou seja, como eles estão distribuídos.
Exemplo: seja a tabela 1, abaixo, com 5 valores
E seja a tabela 2, a seguir também com 5 valores
26
com mediana mdobs = 3,0 e a média
com mediana e a média mdobs = 3,0
tabela 1
27
tabela 1
tabela 2
Observe quais as informações que as medidas de ten-
dência central não fornecem
27
28
Exemplo do estudante que deseja escolher a companhia 
para fazer estágio: considerando que as duas empresas 
têm 51 estagiários → mediana é o valor 26 da tabela or-
denada.
28
Exemplo do estudante que deseja escolher a companhia 
para fazer estágio: considerando que as duas empresas 
têm 51 estagiários → mediana é o valor 26 da tabela or-
denada.
Companhia A
28
Exemplo do estudante que deseja escolher a companhia 
para fazer estágio: considerando que as duas empresas 
têm 51 estagiários → mediana é o valor 26 da tabela or-
denada.
Companhia A
Companhia B
14 11
29
tabela 1
tabela 2
amplitude
desvio mediano
desvio médio
variância
desvio padrão
Medidas de dispersão
29
1 - Amplitude, referente a uma determinada variável, é 
 definida como a diferença entre o maior e o menor va-
 lor dessa variável no conjunto de dados. Será denota-
 da por ∆.
tabela 1
tabela 2
amplitude
desvio mediano
desvio médio
variância
desvio padrão
Medidas de dispersão
29
1 - Amplitude, referente a uma determinada variável, é 
 definida como a diferença entre o maior e o menor va-
 lor dessa variável no conjunto de dados. Será denota-
 da por ∆.
tabela 1
tabela 2
amplitude
desvio mediano
desvio médio
variância
desvio padrão
Medidas de dispersão
30
Como a amplitude só leva em conta os valores extremos, 
uma outra idéia é considerar o desvio em relação a algu-
ma medida e encontrar sua média.
tabela 1
tabela 2
30
Como a amplitude só leva em conta os valores extremos, 
uma outra idéia é considerar o desvio em relação a algu-
ma medida e encontrar sua média.
2 - Desvio mediano - definido como o somatório dos mó-
 dulos da distância de cada valor até a mediana.
tabela 1
tabela 2
30
Tabela 1
tabela 1
tabela 2
30
Tabela 2
Tabela 1
tabela 1
tabela 2
tabela 1
tabela 2
Tabela 1
Tabela 2
30
tabela 1
tabela 2
3 - Desvio médio - definido como o somatório dos módulos 
 da distância de cada valor até a média.
31
31
tabela 1
tabela 2
3 - Desvio médio - definido como o somatório dos módulos 
 da distância de cada valor até a média.
Tabela 1
31
tabela 1
tabela 2
3 - Desvio médio - definido como o somatório dos módulos 
 da distância de cada valor até a média.
Tabela 1
Tabela 2
tabela 1
tabela 2
3 - Desvio médio - definido como o somatório dos módulos 
 da distância de cada valor até a média.
Tabela 1
Tabela 2
31
tabela 1
tabela 2
4 - Variância - definido como o somatório dos quadrados 
 da distância de cada valor até a média.
32
tabela 1
tabela 2
4 - Variância - definido como o somatório dos quadrados 
 da distância de cada valor até a média.
32
Tabela 1
32
tabela 1
tabela 2
4 - Variância - definido como o somatório dos quadrados 
 da distância de cada valor até a média.
Tabela 2
Tabela 1
tabela 1
tabela 2
4 - Variância - definido como o somatório dos quadrados 
 da distância de cada valor até a média.
32
Tabela 2
Tabela 1
tabela 1
tabela 2
5 - Desvio Padrão - definido como a raiz quadrada do so-
 matório dos quadrados da distância de cada valor até 
 a média, ou seja, a raíz quadrada da variância.
33
tabela 1
tabela 2
5 - Desvio Padrão - definido como a raiz quadrada do so-
 matório dos quadrados da distância de cada valor até 
 a média, ou seja, a raíz quadrada da variância.
33
Tabela 2
Tabela 1
Tabela 2Tabela 1
Resumindo: medidas de dispersão para as tabelas 1 e 2
34
Exercício:
 calcular amplitude, desvio mediano, desvio médio, 
 variância e desvio padrão do exercício do aluno a 
 escolha de um estágio.
35
Companhia A
Companhia B
14 11
36
Companhia A
36
Companhia A
Sabemos que para a companhia A a média é 2,6 e a medi-
ana é 2,0.
mi 8,0 0,0 8,0 15,0 14,0 10,0 64,0
14,4 17,6 7,2 3,2 13,2 12,8 9,8 77,8
23,0 19,4 4,3 1,3 58,1 81,9 88,4 276,4
9,0
mi
mi
amplitude ∆
desvio.mediano
desvio médio
variância
desvio padrão
=
=
=
=
=
14 11
37
Sabemos que para a companhia B a média é 2,6 e a medi-
ana é 2,0.
Companhia B
mi 14,0 0,0 11,018,015,0 58,0
22,410,2 4,4 14,413,2 64,6
35,8 6,1 1,8 34,658,0 136,4
mi
mi
amplitude ∆
desvio.mediano
desvio médio
variância
desvio padrão
=
=
=
=
=
Companhia A
média
mediana
moda
amplitude ∆ 
desvio.mediano
desvio médio 
variância 
desvio padrão 
38
=
=
=
2,6
2,0
1,5
11,0
1,2
1,5
5,4
2,3
=
=
=
=
=
Companhia A
média
mediana
moda
amplitude ∆ 
desvio.mediano
desvio médio 
variância 
desvio padrão 
Companhia B
38
=
=
=
2,6
2,0
1,5
11,0
1,2
1,5
5,4
2,3
=
=
=
=
=
amplitude ∆ 
desvio.mediano
desvio médio
variância
desvio padrão
média
mediana
moda
=
=
=
2,6
2,0
2,0
=
=
=
=
=
6,0
1,1
1,3
2,7
1,6
39
Lembrando...vimos na aula 3 : " Medidas de resumo para 
um conjunto de dados" 
Medidas de posição 
(tendência central)
média
mediana
moda
39
Lembrando...vimos na aula 3 : " Medidas de resumo para 
um conjunto de dados" 
Medidas de posição 
(tendência central)
média
mediana
moda
amplitude
desvio mediano
desvio médio
variância
desvio padrão
Medidas de dispersão
40
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 3
Medidas de resumo 
(para um conjunto de dados)
Conteúdo:
3.1 Medidas de posição
3.2 Algumas questões 
 complementares
3.3 Exemplo
3.4 Medidas de dispersão
Probabilidade e Estatística
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
1
Probabilidade e Estatística
Livro Texto:
[1] "Noções de Probabilidade e Estatística"
 Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos
 Pedroso de Lima, Edusp (2005). 
[2] "Probabilidade: Um Curso Introdutório"
 Carlos A. B. Dantas, Edusp (2004).
2
3
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 4
Probabilidades
Conteúdo:
4.1 Introdução
4.2 Conceitos Básicos
4.3 Probabilidade
4.4 Probabilidade Condicional 
 e Independência
4.1 Introdução
Aulas anteriores conjunto de dados . 
4
aula 4: Probabilidades
Introdução
Para extrairmos informações desses dados é necessá-
rio que tenhamos um conjunto de técnicas para organi-
zar e resumir estes dados para que se transformem em 
infomações.
4.1 Introdução
Aulas anteriores conjunto de dados . 
5
aula 4: Probabilidades
Introdução
Para extrairmos informações desses dados é necessá-
rio que tenhamos um conjunto de técnicas para organi-
zar e resumir estes dados para que se transformem em 
infomações.
Introduzimos nessa aula a Teoria das Probabilidades, 
que fornece a base matemática para desenvolver nos-
sas futuras análises.
4.2 Conceitos Básicos
6
4.2.1 Fenômeno Aleatório
Situação ou acontecimento cujos resultados não podem 
ser previstos com certeza.
aula 4: Probabilidades
4.2 Conceitos Básicos
7
4.2.1 Fenômeno Aleatório
Situação ou acontecimento cujos resultados não podem 
ser previstos com certeza.
Exemplos:
→ O resultado do lançamento de um dado.
→ O clima num determinado dia da semana que vem.
→ A média final que você tirará nesta disciplina.
aula 4: Probabilidades
8
4.2.2 Espaço amostral
O conjunto de todos os resultados possíveis de um certo 
fenômeno aleatório. 
Denominaremos este espaço pela letra grega Ω (Ômega).
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
9
4.2.2 Espaço amostral
O conjunto de todos os resultados possíveis de um certo 
fenômeno aleatório. 
Denominaremos este espaço pela letra grega Ω (Ômega).
Os subconjuntos do espaço amostral são chamadosde 
eventos e são representados por letras latinas maúsculas 
(A, B, C, ...).
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
10
Exemplos:
→ Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as 
 faces obtidas
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
Ω = {CC,CR,RC,RR},
onde aqui C é cara e R coroa. 
11
Exemplos:
→ Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as 
 faces obtidas
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
Ω = {CC,CR,RC,RR},
onde aqui C é cara e R coroa. 
→ Uma moeda é lançada consecutivamente até o apare-
 cimento da primeira cara
Ω = {C,RC,RRC,RRRC,...},
que contém um número infinito de elementos.
12
Lembrando da Teoria dos Conjuntos:
→ O conjunto vazio é denotado por ∅ 
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
13
Lembrando da Teoria dos Conjuntos:
 O conjunto vazio é denotado por ∅ 
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
→ A união de dois eventos A e B representa a ocorrên-
 cia de, pelo menos, um dos eventos A ou B.
 Denotamos a união de A com B por 
14
Lembrando da Teoria dos Conjuntos:
 O conjunto vazio é denotado por ∅. 
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
 A união de dois eventos A e B representa a ocorrên-
 cia de, pelo menos, um dos eventos A ou B.
 Denotamos a união de A com B por .
→ A intersecção do evento A com B é a ocorrência simul-
 tânea de A e B.
 Denotamos a intersecção de A com B por .
15
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
Exemplo
Sejam A, B e C três eventos do 
espaço amostral Ω :
Ω = {A,B,C}
A B
C
16
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
Exemplo
Sejam A, B e C três eventos do 
espaço amostral Ω :
Ω = {A,B,C}
Pelo menos um dos eventos ocorre
A B
C
A B
C
17
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
Exemplo
Sejam A, B e C três eventos do 
espaço amostral Ω :
Ω = {A,B,C}
Pelo menos um dos eventos ocorre
Ambos os eventos ocorrem
A B
C
A B
C
A B
C
18
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
→ Dois eventos A e B são disjuntos (ou mutuamente 
 exclusivos) quando não têm elementos em comum, 
 ou seja:
19
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
→ Dois eventos A e B são disjuntos (ou mutuamente 
 exclusivos) quando não têm elementos em comum, 
 ou seja:
→ Dois eventos A e B são complementares se sua uni-
 ão é o espaço amostral e sua intersecção é vazia, ou 
 seja:
20
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
Exemplo:
A B
C
21
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
Exemplo:
A B
C
A e C: eventos disjuntos A B
C
22
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
Exemplo:
A B
C
A e C: eventos disjuntos
Ac → complementar de A
A B
C
A
Ac
23
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
Outros exemplos
→ Pelo menos um dos eventos ocorre
24
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
Outros exemplos
→ Pelo menos um dos eventos ocorre
25
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
Outros exemplos
→ Pelo menos um dos eventos ocorre
→ O evento A ocorre mas o evento B não
26
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
Outros exemplos
→ Pelo menos um dos eventos ocorre
→ O evento A ocorre mas o evento B não
27
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
Outros exemplos
→ Pelo menos um dos eventos ocorre
→ O evento A ocorre mas o evento B não
→ Nenhum deles ocorre
28
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
Outros exemplos
→ Pelo menos um dos eventos ocorre
→ O evento A ocorre mas o evento B não
→ Nenhum deles ocorre
29
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
Outros exemplos
→ Pelo menos um dos eventos ocorre
→ O evento A ocorre mas o evento B não
→ Nenhum deles ocorre
→ Exatamente um dos eventos ocorre
30
aula 4: Probabilidades
Conceitos Básicos
Outros exemplos
→ Pelo menos um dos eventos ocorre
→ O evento A ocorre mas o evento B não
→ Nenhum deles ocorre
→ Exatamente um dos eventos ocorre
4.3 Probabilidade
31
aula 4: Probabilidades
Probabilidade
Uma função P(.) é denominada probabilidade se satisfaz 
as condições:
4.3 Probabilidade
32
aula 4: Probabilidades
Probabilidade
Uma função P(.) é denominada probabilidade se satisfaz 
as condições:
ou seja, probabilidade é a função que atribui valores numé-
ricos aos eventos do espaço amostral.
,com todos os distintos.
33
aula 4: Probabilidades
Probabilidade
Questão que se coloca:
como atribuir probabilidade aos elementos do espaço 
amostral?
34
aula 4: Probabilidades
Probabilidade
Questão que se coloca:
como atribuir probabilidade aos elementos do espaço 
amostral?
1) Baseado nas características teóricas da realiza-
 ção de um fenômeno;
2) Usando as freqüências de ocorrência.
35
aula 4: Probabilidades
Probabilidade
→ Baseado nas características teóricas da realização de 
 um fenômeno
36
aula 4: Probabilidades
Probabilidade
→ Baseado nas características teóricas da realização de 
 um fenômeno
Exemplo:
Lançamento de um dado cúbico perfeitamente homogê-
neo e simétrico com os lados numerados, teremos o es-
paço amostral:
37
aula 4: Probabilidades
Probabilidade
→ Baseado nas características teóricas da realização de 
 um fenômeno
Exemplo:
Lançamento de um dado cúbico perfeitamente homogê-
neo e simétrico com os lados numerados, teremos o es-
paço amostral: 
E nesse caso a probabilidade de ocorrência de cada 
evento será:
38
aula 4: Probabilidades
Probabilidade
→ Usando as freqüências de ocorrência
Exemplo:
Pegamos um dado e jogamos várias vezes. 
Para um número suficientemente grande de lançamentos, 
podemos usar as freqüências de ocorrência como probabi-
lidades. Mas ......
39
aula 4: Probabilidades
Probabilidade
O que quer dizer número suficientemente grande de lança-
mentos?
40
aula 4: Probabilidades
Probabilidade
O que quer dizer número suficientemente grande de lança-
mentos?
Geralmente a medida que o número de repetições aumenta, 
as freqüências relativas vão se estabilizando em um número 
que chamaremos de probabilidade.
41
aula 4: Probabilidades
Probabilidade
O que quer dizer número suficientemente grande de lança-
mentos?
Geralmente a medida que o número de repetições aumenta, 
as freqüências relativas vão se estabilizando em um número 
que chamaremos de probabilidade.
Este é um procedimento comum em ciências biológicas e 
humanas.
Veremos esta questão mais profundamente em Inferência 
Estatística.
42
aula 4: Probabilidades
Probabilidade
Exemplo: 
 
Qual a probabilidade de escolhermos um estudante do se-
xo feminino ou alguém da turma B?
Sabendo que 52% dos alunos estão na turma A e 48% na 
turma B, escolhemos um estudante ao acaso.
Usemos a tabela utilizada na Aula 1 ( referência 1 ) que 
mostra o número de alunos de cada sexo numa escola:
Sexo fn
F
M
Total
37 0,74
13 0,26
50 1
43
aula 4: Probabilidades
Probabilidade
Tabela 
Da tabela e das características das turmas A e B temos
P(M) = 0,26;
P(A) = 0,52;
P(F) = 0,74; 
P(B) = 0,48.
44
aula 4: Probabilidades
Probabilidade
Pergunta colocada:
"Qual a probabilidade de escolhermos um estudante do se-
 xo feminino ou alguém da turma B?"
Não podemos simplesmente somar P(F) com P(B) já que 
teríamos probabilidade maior que 1.
Estamos somando duas vezes alguns elementos pois há 
mulheres em ambas as turmas
Queremos
P(M) = 0,26;
P(A) = 0,52;
P(F) = 0,74; 
P(B) = 0,48.
45
aula 4: Probabilidades
Probabilidade
Temos que é igual ao número de estudantes do 
sexo feminino e da turma B.
Assim, para obter a probabilidade correta temos que somar 
as probabilidades P(F) com P(B) e, então subtrair deste va-
lor 
ou seja,
46
aula 4: Probabilidades
Probabilidade
Para o caso geral, temos que a regra da adição de probabi-
lidades, a probabilidade da união de dois eventos A e B, é 
dada por
47
aula 4: Probabilidades
Probabilidade
Para o caso geral, temos que a regra da adição de probabi-
lidades, a probabilidade da união de dois eventos Ae B, é 
dada por
observe que se os eventos A e B forem disjuntos (e somen-
te neste caso),a probabilidade da união de A com B é nula e 
temos que a união é igual a soma das probabilidades dos 
dois eventos.
Esta regra pode ser estendida para soma de três ou mais
termos.
48
aula 4: Probabilidades
Probabilidade
Observe que
49
aula 4: Probabilidades
Probabilidade
Observe que
e que 
50
aula 4: Probabilidades
Probabilidade
Observe que
e que 
Logo,
4.4 Probabilidade Condicional e Independência
51
É comum o fenômeno aleatório poder ser separado em eta-
pas.
Neste caso a informação obtida numa etapa pode influen-
ciar etapas sucessivas.
Assim, vamos ganhando informações e podemos recalcular 
as probabilidades associadas aos fenômenos.
Esta probabilidade recalculada chamamos Probabilidade 
Condicional.
aula 4: Probabilidades
52
Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de 
A dado que ocorreu B é representada por P(A|B) e dada 
por
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
53
Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de 
A dado que ocorreu B é representada por P(A|B) e dada 
por
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
Caso P(B) = 0, P(A|B) pode ser definido arbitrariamente. 
Aqui usaremos se P(B) = 0, então P(A|B) = P(A).
54
Exemplo
Uma região de cem quilômetros quadrados (100 km2) con-
tém um reservatório de água subterrâneo com área igual 
a dois quilômetros (2 km2) quadrados de distribuição des-
conhecida. 
Depois de um ano de pesquisas, 20 quilômetros quadra-
dos (20 km2) foram perfurados sem encontrar água. 
Qual a probabilidade de, agora num furo ao acaso, encon-
trarmos água?
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
55
Consideremos
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
H é o evento de encontrar água, logo, 
56
Consideremos
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
onde usamos a área total como 
espaço amostral.
P(H) = 2 / 100 = 0,02
H é o evento de encontrar água, logo, 
57
Consideremos
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
P(H | I) é a probabilidade depois das perfurações iniciais, 
chamando de I a informação conhecida. Como a área fi-
cou reduzida a 80 quilômetros quadrados, temos:
onde usamos a área total como 
espaço amostral.
P(H) = 2 / 100 = 0,02
H é o evento de encontrar água, logo, 
58
Consideremos
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
P(H | I) é a probabilidade depois das perfurações iniciais, 
chamando de I a informação conhecida. Como a área fi-
cou reduzida a 80 quilômetros quadrados, temos:
onde usamos a área total como 
espaço amostral.
P(H) = 2 / 100 = 0,02
H é o evento de encontrar água, logo, 
P(H | I) = 2 / 80 = 0,025
59
Calculando pela fórmula da probabilidade condicional
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
60
Calculando pela fórmula da probabilidade condicional
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
Seja B a nova região a se procurar. Então P(B) = 0,8
Como H está contido em B então H ∩ B, logo,
P(H ∩ B) = P(H) = 0,02 e:
61
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
Independência de eventos
Dois eventos A e B são independentes, se a informação da 
ocorrência ou não de B não altera a probabilidade da ocor-
rência de A. Isto é
ou
62
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
Exemplos:
→ O Flamengo ganhar um jogo no Brasil é independente 
 do Milan ganhar um jogo na Itália
→ As condições meterolológicas de Marte são indepen-
 dentes das da Terra
63
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
Partição do espaço amostral
Os eventos C1, C2 , ... , Ck formam uma partição do espaço 
amostral, se elas não têm intersecção entre si e se a união é 
igual ao espaço amostral.
Formalmente,
64
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
Partição do espaço amostral
65
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
Exemplo
20% da produção de frutas da fazenda F1 veio com algum 
Todas as frutas, depois que chegam na fábrica, são guar-
dadas em cestos sem identificação. Quer se saber:
 a) Escolhendo uma fruta ao acaso, qual a probabilidade 
 dela ser uma das frutas com problemas?
 b) Se uma fruta com problemas for extraída, qual a pro-
 babilidade dela ser da fazenda F1? E da F2? E da F3?
Um fabricante de sorvete compra frutas de três fazendas:
 20% da fazenda F1, 
 30% da fazenda F2,
50% da fazenda F3.
problema, 5% da produção da F2 também e F3 tinha 2% 
de frutas com problemas. 
66
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
2) P(A | F1) = 0,20; 
 P(A | F2) = 0,05;
 P(A | F3) = 0,02.
Chamando de A é o evento "fruta com algum problema"
Temos que: 
1) F1, F2 e F3 formam uma partição do espaço amostral
67
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
2) P(A | F1) = 0,20; 
 P(A | F2) = 0,05;
 P(A | F3) = 0,02.
A é o evento "fruta com algum problema"
Temos que: 
1) F1, F2 e F3 formam uma partição do espaço amostral
Assim, A pode ser descrito em termos da intersecções 
de A com os eventos F1, F2 e F3.
Graficamente....
68
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
69
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
Mas ainda não conseguimos determinar a solução.
Temos que ter mais algumas ferramentas.
70
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
Para responder ao item a: 
"Escolhendo uma fruta ao acaso, qual a probabilidade dela 
 ser uma das frutas com problemas?"
Teorema da probabilidade total
Sejam F1,F2,...,Fn os eventos que formam uma partição do 
espaço amostral e seja A um evento desse espaço. Então:
Assim, para se responder ao "item a" temos:
71
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
ou:
F1
F2
F3
0,20
0,30
0,50
A
A
A
0,20
0,80
0,05
0,95
0,02
0,98
F1 ∩ A
F2 ∩ A
F3 ∩ A
0,040
0,015
0,010
72
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
ou:
F1
F2
F3
0,20
0,30
0,50
A
A
A
0,20
0,80
0,05
0,95
0,02
0,98
F1 ∩ A
F2 ∩ A
F3 ∩ A
0,040
0,015
0,010
0,040+
0,015+
0,010 
0,065
73
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
Teorema de Bayes 
Suponha que C1, C2 , ... , Ck formem uma partição do es-
paço amostral e que suas probabilidades são conhecidas.
Suponha, adicionalmente, que para um evento A, se co-
nheçam as probabilidades P(A|Ci) para todos os valores 
de i. Então, para qualquer j vale
Para responder ao ítem b: 
"Se uma fruta com problemas for extraída, qual a probabi-
 lidade dela ser da fazenda F1? "
Voltemos agora ao nosso exemplo para responder:
"Se a fruta escolhida estiver com problemas, qual a 
probabilidade dela ser da fazenda F1?" usando o Teorema 
de Bayes para calcular:
74
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
P(F1 | A);
P(F2 | A);
P(F3 | A).
75
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
Probabilidade de que a fruta com algum problema seja da 
fazenda F1:
76
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
Probabilidade de que a fruta com algum problema seja da 
fazenda F1:
77
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
F1
F2
F3
0,20
0,30
0,50
A
A
A
0,20
0,80
0,05
0,95
0,02
0,98
F1 ∩ A
F2 ∩ A
F3 ∩ A
0,040
0,015
0,010
0,040+
0,015+
0,010 
0,065
P(F1 ∩ A)
P(A)
Probabilidade
condicional
ou:
78
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e Independência
Probabilidade de que a fruta com algum problema seja da 
fazenda F2:
79
aula 4: Probabilidades
Probabilidade Condicional e IndependênciaProbabilidade de que a fruta com algum problema seja da 
fazenda F3:
80
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 4
Probabilidades
Conteúdo:
4.1 Introdução
4.2 Conceitos Básicos
4.3 Probabilidade
4.4 Probabilidade Condicional 
 e Independência
Probabilidade e Estatística
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
1
2
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 5
Variáveis aleatórias discretas
Conteúdo:
5.1 Função discreta de probabilidade
5.2 Função de distribuição de proba-
 bilidade
5.3 Alguns modelos discretos
5.3.1 Modelo uniforme discreto
5.3.2 Modelo Binomial
5.3.3 Modelo geométrico
5.3.4 Modelo de Poisson
5.3.5 Modelos Hipergeométrico
5 Variáveis aleatórias discretas
3
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Obtida a partir do estudo 
das freqüências
Suposições feitas a respeito da 
realização do fenômeno
função de probabilidade
("chance")
5 Variáveis aleatórias discretas
Obtida a partir do estudo 
das freqüências
Suposições feitas a respeito da 
realização do fenômeno
função de probabilidade
("chance")
variáveis quantitativas contínuas e discretas
4
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Aleatório:
a cada possível valor probabilidade de ocorrência
Assim, uma quantidade , associada a cada possível re-
sultado do espaço amostral, é denominada:
5
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Uma variável aleatória é uma função com valores numé-
ricos, cujo valor é determinado por "fatores de chance".
6
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Uma variável aleatória é uma função com valores numé-
ricos, cujo valor é determinado por "fatores de chance".
Assim, uma quantidade , associada a cada possível re-
sultado do espaço amostral, é denominada:
variável aleatória discreta se assume valores num con-
junto enumerável, com determinada probabilidade.
Por exemplo: número de jogos empatados, número de 
defeitos na fabricação de sapatos...
7
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Uma variável aleatória é uma função com valores numé-
ricos, cujo valor é determinado por "fatores de chance".
Assim, uma quantidade , associada a cada possível re-
sultado do espaço amostral, é denominada:
variável aleatória discreta se assume valores num con-
junto enumerável, com determinada probabilidade.
Por exemplo: número de jogos empatados, número de 
defeitos na fabricação de sapatos...
variável aleatória contínua se seu conjunto de valores é
qualquer intervalo dos números reais, sendo assim um 
conjunto não enumerável.
Por exemplo: altura dos eucaliptos após 3 anos, dura-
ção de uma conversa telefônica,...
5.1 Função discreta de probabilidade
(ou função de probabilidade)
8
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
ou, a notação:
com
Seja uma variável aleatória discreta e
seus possíveis valores. A função de probabilidade é a 
função que atribui a cada valor da variável a sua pro-
babilidade de ocorrência.
9
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Variáveis aleatórias são completamente caracterizadas 
pela sua função de probabilidade. Assim, é fundamental 
saber: dada uma variável de interesse, qual a função de 
probabilidade que melhor representa seu comportamen-
to na população?
função discreta de probabilidade
10
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Variáveis aleatórias são completamente caracterizadas 
pela sua função de probabilidade. Assim, é fundamental 
saber: dada uma variável de interesse, qual a função de 
probabilidade que melhor representa seu comportamen-
to na população?
função discreta de probabilidade
Exemplo 1
Dados do último censo em uma determinada região:
20% das famílias não têm filhos
30% têm 1 filho
35% têm 2 filhos
e o restante se divide em 3, 4 ou 5 filhos igualmente.
Qual será a função de probabilidade para a variável "nú-
mero de filhos"?
Exemplos
11
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
função discreta de probabilidade
Sendo a variável aleatória número de filhos que pode 
assumir os valores
→ → →
Sendo a variável aleatória número de filhos que pode 
assumir os valores
Sabemos que:
12
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
função discreta de probabilidade
Sabemos que:
Sendo a variável aleatória número de filhos que pode 
assumir os valores
13
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
função discreta de probabilidade
Sabemos que:
Sendo a variável aleatória número de filhos que pode 
assumir os valores
14
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
função discreta de probabilidade
15
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
função discreta de probabilidade
As estacas para a fundação de um prédio devem atingir 
15m de profundidade. A cada 5m os operadores fazem a 
medição da resistência do solo para ver se há alterações 
nessa resistência, o que acarretará na necessidade de se 
tomar medidas que alteram o preco final da obra. 
Sabendo que a probabilidade de alteração nessa resistên-
cia é de 0,1 e que em cada alteração o valor da obra será 
acrescido de 50 UPCs (unidade padrão de construção), 
quer se saber como se comportará variável "acréscimo do 
custo da obra"?
Exemplo 2:
Exemplo 2:
função discreta de probabilidade
16
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
As estacas para a fundação de um prédio devem atingir 
15m de profundidade. A cada 5m os operadores fazem a 
medição da resistência do solo para ver se há alterações 
nessa resistência, o que acarretará na necessidade de se 
tomar medidas que alteram o preco final da obra. 
Sabendo que a probabilidade de alteração nessa resistên-
cia é de 0,1 e que em cada alteração o valor da obra será 
acrescido de 50 UPCs (unidade padrão de construção), 
quer se saber como se comportará variável "acréscimo do 
custo da obra"?
3 medições
alteração na resistência do solo
complementar (sem alteração)
15m 
A
Ac
→
→
→
função discreta de probabilidade
17
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Árvore de Probabilidades
A
Ac
0,9
0,1
função discreta de probabilidade
18
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Árvore de Probabilidades
A
Ac
0,9
0,1
A
Ac
0,9
0,1
A
Ac
0,9
0,1
A
Ac0,9
0,1
A
Ac
0,9
0,1
A
Ac0,9
0,1
A
Ac0,9
0,1
função discreta de probabilidade
19
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Árvore de Probabilidades
A
Ac
0,9
0,1
A
Ac
0,9
0,1
A
Ac
0,9
0,1
A
Ac0,9
0,1
A
Ac
0,9
0,1
A
Ac0,9
0,1
A
Ac0,9
0,1
valores probabilidade
custo extra 
(CE)
(0,9)3 = 0,729ACACAC 0
função discreta de probabilidade
20
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Árvore de Probabilidades
A
Ac
0,9
0,1
A
Ac
0,9
0,1
A
Ac0,9
0,1
A
Ac0,9
0,1
A
Ac
0,9
0,1
A
Ac0,9
0,1
A
Ac0,9
0,1
valores probabilidade
custo extra 
(CE)
(0,9)3 = 0,729ACACAC 0
ACACA (0,9)2.0,1 = 0,081 50
função discreta de probabilidade
21
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Árvore de Probabilidades
A
Ac
0,9
0,1
A
Ac
0,9
0,1
A
Ac
0,9
0,1
A
Ac0,9
0,1
A
Ac0,9
0,1
A
Ac0,9
0,1
A
Ac0,9
0,1
valores probabilidade
custo extra 
(CE)
(0,9)3 = 0,729ACACAC 0
ACACA (0,9)2.0,1 = 0,081 50
50(0,9)2.0,1 = 0,081ACA AC
1000,9.(0,1)2 = 0,009ACA A
50A ACAC
1000,9.(0,1)2 = 0,009A ACA 
1000,9.(0,1)2 = 0,009A A AC
150(0,1)3 = 0,001A A A 
(0,9)2.0,1 = 0,081
função discreta de probabilidade
22
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Observe que:
• associamos a cada evento do espaço amostral a um 
valor da variável aleatória CE. Assim CE assumiu os 
valores:
CE1 = 0; CE2 = 50; CE3 = 100; CE4 = 150
Observe que:
• associamos a cada evento do espaço amostral a um 
valor da variável aleatória CE. Assim CE assumiu os 
valores:
CE1 = 0; CE2 = 50; CE3 = 100; CE4 = 150
• podemos ter um mesmo valor para a variável associ-
ado a mais de um elemento do espaço amostral. Por 
exemplo P( CE = 50 ), incluem todas as possibilidades de 
somente uma alteração em qualquer uma das 3 medições.
Como os eventos são disjuntosa probabilidade de união é 
a soma das probabilidades de cada evento, ou:
P( CE = 50 ) = P( A
c
A
c
A U A
c
A A
c
 U A A
c
A
c
 )
= P( A
c
A
c
A ) + P( A
c
A A
c
 ) + P( A A
c
A
c
 )
= 0,081 + 0,081 + 0,081 
= 0,243
função discreta de probabilidade
23
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
função discreta de probabilidade
24
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
valores probabilidade
custo extra 
(CE)
(0,9)3 = 0,729ACACAC 0
ACACA (0,9)2.0,1 = 0,081 50
50(0,9)2.0,1 = 0,081ACA AC
1000,9.(0,1)2 = 0,009ACA A
50A ACAC
1000,9.(0,1)2 = 0,009A ACA 
1000,9.(0,1)2 = 0,009A A AC
150(0,1)3 = 0,001A A A 
(0,9)2.0,1 = 0,081
P( CE=0 ) = 1 . 0,729 
= 0,729
P( CE=50 ) = 3 . 0,081 
= 0,243
P( CE=100 ) = 3 . 0,009 
= 0,027
P( CE=150 ) = 1 . 0,001
= 0,001
função discreta de probabilidade
25
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
valores probabilidade
custo extra 
(CE)
(0,9)3 = 0,729ACACAC 0
ACACA (0,9)2.0,1 = 0,081 50
50(0,9)2.0,1 = 0,081ACA AC
1000,9.(0,1)2 = 0,009ACA A
50A ACAC
1000,9.(0,1)2 = 0,009A ACA 
1000,9.(0,1)2 = 0,009A A AC
150(0,1)3 = 0,001A A A 
(0,9)2.0,1 = 0,081
P( CE=0 ) = 1 . 0,729 
= 0,729
P( CE=50 ) = 3 . 0,081 
= 0,243
P( CE=100 ) = 3 . 0,009 
= 0,027
P( CE=150 ) = 1 . 0,001
= 0,001
5.2 Função de distribuição de probabilidade 
(ou função acumulada de probabilidades)
de uma variável aleatória discreta
26
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Seja uma variável aleatória discreta e
seus possíveis valores. A função distribuição de pro-
babilidade é definida, pela seguinte expressão:
sendo x qualquer número real.
5.3 Alguns modelos discretos
27
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Dada uma distribuição de probabilidades é evidente que
alguns valores são mais prováveis do que outros. Em ge-
ral, do ponto de vista prático não há necessidade de cal-
cular as probabilidades individuais para se encontrar a 
distribuição de probabilidades.
Existem vários "tipos" de distribuição que podem ser 
descritos por "modelos de distribuição". Um pequeno 
número de modelos proporciona solução para um 
grande número de problemas.
5.3 Alguns modelos discretos
28
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Dada uma distribuição de probabilidades é evidente que
alguns valores são mais prováveis do que outros. Em ge-
ral, do ponto de vista prático não há necessidade de cal-
cular as probabilidades individuais para se encontrar a 
distribuição de probabilidades.
Existem vários "tipos" de distribuição que podem ser 
descritos por "modelos de distribuição". Um pequeno 
número de modelos proporciona solução para um 
grande número de problemas.
Uniforme
Binomial
Geométrico
Poisson
Hipergeométrico
Modelos
29
5.3.1 Modelo uniforme discreto
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
alguns modelos discretos
x
Seja uma variável aleatória discreta e
seus possíveis valores. Dizemos que segue um 
modelo uniforme discreto se atribui uma mesma pro-
babilidade a cada um de seus valores, ou seja:
30
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Exemplo: uma rifa tem 100 bilhetes numerados (de 1 a 100). 
Quero comprar 5 bilhetes. Terei mais chance de ganhar se 
eu comprar os bilhetes em ordem ou sorteados?
alguns modelos discretos
31
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Exemplo: uma rifa tem 100 bilhetes numerados (de 1 a 100). 
Quero comprar 5 bilhetes. Terei mais chance de ganhar se 
comprar os bilhetes com numeração sequencial ou com 
numeração escolhida ao acaso?
alguns modelos discretos
modelo 
uniforme 
discreto.
Chamando de o número sorteado, com i = 1, 100, e 
assumindo a honestidade da rifa, temos que:
Chamando de o número sorteado, com i = 1, 100, e 
assumindo a honestidade da rifa, temos que:
32
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Exemplo: uma rifa tem 100 bilhetes numerados (de 1 a 100). 
Quero comprar 5 bilhetes. Terei mais chance de ganhar se 
comprar os bilhetes com numeração sequencial ou com 
numeração escolhida ao acaso?
alguns modelos discretos
modelo 
uniforme 
discreto.
Assim, comprando 5 bilhetes a probabilidade de ganhar 
é 5/100, independente se os números dos bilhetes são se-
quenciais ou não.
33
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
5.3.2 Modelo Binomial
Em muitas situações a variável de interesse só pode assu-
mir 2 valores: positivo ou negativo; concorda ou não con-
corda; sim ou não; ... 
alguns modelos discretos
34
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
5.3.2 Modelo Binomial
Em muitas situações a variável de interesse só pode assu-
mir 2 valores: positivo ou negativo; concorda ou não con-
corda; sim ou não; ...
Quer se saber se jovens entre 18 e 25 anos concluíram o 
segundo grau. O evento de interesse (sucesso) é: "o jo-
vem concluiu o segundo grau".
Quer se fazer um estudo para saber se os moradores de 
uma região foram atingidos por uma moléstia contagiosa. 
O evento de interesse (sucesso) é: "a pessoa examinada 
foi contagiada".
Numa prova de múltipla escolha cada questão em 5 alter-
nativas e só uma é considerada correta. O evento de inte-
resse (sucesso) é o número de questões corretas.
alguns modelos discretos
-
-
35
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
5.3.2 Modelo Binomial
Em muitas situações a variável de interesse só pode assu-
mir 2 valores: positivo ou negativo; concorda ou não con-
corda; sim ou não; ...
Quer se saber se jovens entre 18 e 25 anos concluíram o 
segundo grau. O evento de interesse (sucesso) é: "o jo-
vem concluiu o segundo grau".
Quer se fazer um estudo para saber se os moradores de 
uma região foram atingidos por uma moléstia contagiosa. 
O evento de interesse (sucesso) é: "a pessoa examinada 
foi contagiada".
Numa prova de múltipla escolha cada questão em 5 alter-
nativas e só uma é considerada correta. O evento de inte-
resse (sucesso) é o número de questões corretas.
alguns modelos discretos
-
-
36
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
5.3.2 Modelo Binomial
Em muitas situações a variável de interesse só pode assu-
mir 2 valores: positivo ou negativo; concorda ou não con-
corda; sim ou não; ... 
Quer se saber se jovens entre 18 e 25 anos concluíram o 
segundo grau. O evento de interesse (sucesso) é: "o jo-
vem concluiu o segundo grau".
Quer se fazer um estudo para saber se os moradores de 
uma região foram atingidos por uma moléstia contagiosa. 
O evento de interesse (sucesso) é: "a pessoa examinada 
foi contagiada".
Numa prova de múltipla escolha cada questão em 5 alter-
nativas e só uma é considerada correta. O evento de inte-
resse (sucesso) é o número de questões corretas.
alguns modelos discretos
-
-
37
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Ensaio de Bernoulli: numa única tentativa de experimento, 
considera-se somente a ocorrência ou não de um determi-
nado evento (sucesso ou fracasso) e com probabilidade 
de ocorrência de sucesso igual a p. 
Sua função discreta de probabilidade é dada por:
alguns modelos discretos
Considerando "1" a ocorrência de sucesso e "0" a sua não 
ocorrência, temos: 
38
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Consideremos a repetição de n ensaios de Bernoulli inde-
pendentes e todos com a mesma probabilidade de suces-
so p. A variável aleatória que conta o número total de su-
cessos é denominada Binomial e sua função de probabi-
lidade é dada por:
alguns modelos discretos
Utilizaremos a notação
39
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Expressão do coeficiente binômial de Newton
alguns modelos discretos
Lembrando... 
40
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Exemplo:
1 - Um dado é lançado 50 vezes e quer se saber qual a 
probabilidade de sair 8 vezes faces com o número 6?
alguns modelos discretos
41
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Exemplo:
1 - Um dado é lançado 50 vezes e quer se saber qual a 
probabilidade de sair 8 vezes faces com o número 6?
Número de tentativas
Probabilidade de sucesso 
(em um evento) 
8 (8 vezes faces com número 6)alguns modelos discretos
n = 50
p = 1/6 (dado "honesto")
Número de sucessos
42
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Exemplo:
1 - Um dado é lançado 50 vezes e quer se saber qual a 
probabilidade de sair 8 vezes faces com o número 6?
Número de tentativas
Probabilidade de sucesso 
(em um evento) 
8 (8 vezes faces com número 6)
alguns modelos discretos
n = 50
p = 1/6 (dado "honesto")
Número de sucessos
Exemplo:
43
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
2- No exemplo das estacas para a fundação de um prédio 
podemos considerar que, em cada situação, aplicamos o 
modelo de Bernoulli, assumindo que o resultado de cada 
medição não é influenciado pela medição anterior, ou seja,
são independentes.
Podemos definir como "sucesso" a "não" ocorrência de al-
teração na resistência do solo, pois não implica em custo 
extra.
alguns modelos discretos
Exemplo:
44
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
2- No exemplo das estacas para a fundação de um prédio 
podemos considerar que, em cada situação, aplicamos o 
modelo de Bernoulli, assumindo que o resultado de cada 
medição não é influenciado pela medição anterior, ou seja,
são independentes.
Podemos definir como "sucesso" a "não" ocorrência de al-
teração na resistência do solo, pois não implica em custo 
extra.
alguns modelos discretos
Assim: sucesso - A
c
 (Complementar de A)
fracasso - A
Exemplo:
45
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
2- No exemplo das estacas para a fundação de um prédio 
podemos considerar que, em cada situação, aplicamos o 
modelo de Bernoulli, assumindo que o resultado de cada 
medição não é influenciado pela medição anterior, ou seja,
são independentes.
Podemos definir como "sucesso" a "não" ocorrência de al-
teração na resistência do solo, pois não implica em custo 
extra.
alguns modelos discretos
Assim: sucesso - A
c
 (Complementar de A)
fracasso - A
Podemos assumir que em 15 metros - 3 medições - pode-
mos ter 0, 1, 2 ou 3 sucessos, com custo extra CEk = 150, 
100, 50 ou 0 (zero), com k variando de 0, 1, 2 e 3 respecti-
vamente.
46
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
alguns modelos discretos
Para k=0 (CE=150)
Para k=1 (CE=100)
Para k=2 (CE=50)
Para k=3 (CE=0)
47
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
alguns modelos discretos
Para k=1 (CE=100)
Para k=2 (CE=50)
Para k=3 (CE=0)
48
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
alguns modelos discretos
Para k=0 (CE=150)
49
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
3 - Uma prova tipo teste de 20 questões independentes, ca-
da uma tem alternativa falso e verdadeiro. Se um aluno re-
solve a prova respondendo a esmo as questões, qual a pro-
babilidade de tirar 5?
alguns modelos discretos
Número de tentativas
Probabilidade de sucesso 
(em um evento) 
k = 10 acertos
n = 20
p = 0,5 (?)
Numero de sucessos
50
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
3 - Uma prova tipo teste de 20 questões independentes, ca-
da uma tem alternativa falso e verdadeiro. Se um aluno re-
solve a prova respondendo a esmo as questões, qual a pro-
babilidade de tirar 5?
alguns modelos discretos
Número de tentativas
Probabilidade de sucesso 
(em um evento) 
k = 10 acertos
n = 20
p = 0,5 (?)
Numero de sucessos
51
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
3 - Uma prova tipo teste de 20 questões independentes, ca-
da uma tem alternativa falso e verdadeiro. Se um aluno re-
solve a prova respondendo a esmo as questões, qual a pro-
babilidade de tirar 5?
alguns modelos discretos
52
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Dizemos que a variável aleatória X tem distribuição geo-
métrica de parâmetro p se sua função de probabilidade 
tem a forma:
com
Utilizamos a notação X~G(p)
5.3.3 Modelo Geométrico
53
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
Dizemos que a variável aleatória X tem distribuição geo-
métrica de parâmetro p se sua função de probabilidade 
tem a forma:
com
Utilizamos a notação X~G(p)
5.3.3 Modelo Geométrico
Se interpretarmos p como a probabilidade de sucesso, o 
modelo geométrico pode ser visto como o número de en-
saios de Bernoulli que precedem o primeiro sucesso.
54
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo geométrico
Assim, consideremos tentativas sucessivas e independen-
tes de um mesmo experimento que admite sucesso com 
probabilidade p (e fracasso com probabilidade 1-p). Seja 
X o número de tentativas para o aparecimento do primeiro 
sucesso. Logo, 
X=0 que corresponde ao sucesso na primeira tentativa (S);
 
X=1 que corresponde ao fracasso na primeira tentativa e 
 sucesso na segunda (FS);
E assim sucessivamente
55
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo geométrico
Assim, consideremos tentativas sucessivas e independen-
tes de um mesmo experimento que admite sucesso com 
probabilidade p (e fracasso com probabilidade 1-p). Seja 
X o número de tentativas para o aparecimento do primeiro 
sucesso. Logo, 
X=0 que corresponde ao sucesso na primeira tentativa (S);
 
X=1 que corresponde ao fracasso na primeira tentativa e 
 sucesso na segunda (FS);
E assim sucessivamente
O espaço amostral para esse experimento é o conjunto:
{S, FS, FFS, FFFS, ... , FF...FS, .... }
elemento genérico
56
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo geométrico
1- Quando você percorre pela primeira vez uma determina-
da avenida, a probabilidade de se encontrar um sinal aber-
to é de 25% (p=0,25). Se você passar pela avenida 5 vezes 
qual a probabilidade de encontrar o sinal aberto somente 
na quinta vez? 
Exemplos
57
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo geométrico
1- Quando você percorre pela primeira vez uma determina-
da avenida, a probabilidade de se encontrar um sinal aber-
to é de 25% (p=0,25). Se você passar pela avenida 5 vezes 
qual a probabilidade de encontrar o sinal aberto somente 
na quinta vez? 
Exemplos
- Número de vezes para a obtenção do primeiro sucesso 
 (sinal aberto) 5 (precedem o primeiro sucesso X=4)
- p = 0,25
58
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo geométrico
1- Quando você percorre pela primeira vez uma determina-
da avenida, a probabilidade de se encontrar um sinal aber-
to é de 25% (p=0,25). Se você passar pela avenida 5 vezes 
qual a probabilidade de encontrar o sinal aberto somente 
na quinta vez? 
Exemplos
- Número de vezes para a obtenção do primeiro sucesso 
 (sinal aberto) 5 (precedem o primeiro sucesso X=4)
- p = 0,25
P(X = 4) = 0,25 (1 - 0,25)
4
 = 0,08
59
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo geométrico
2 - Faça um estudo da probabilidade do número de lança-
mentos de um dado para obter pela primeira vez a face 
com número 1?
Exemplos
60
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo geométrico
2 - Faça um estudo da probabilidade do número de lança-
mentos de um dado para obter pela primeira vez a face 
com número 1?
Exemplos
Variando X, temos por exemplo:
- Número de vezes para a obtenção do primeiro sucesso 
 X = 1
- p = 1/6
61
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo geométrico
2 - Faça um estudo da probabilidade do número de lança-
mentos de um dado para obter pela primeira vez a face 
com número 1?
Exemplos
Variando X, temos por exemplo:
- Número de vezes para a obtenção do primeiro sucesso 
 X = 1
- p = 1/6
- Número de vezes que precedem para a obtenção do 
 primeiro sucesso X = 5 ( face com número 1 da sexta 
 vez )
- p = 1/6
62
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo geométrico
63
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
5.3.4 Modelo de Poisson
Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição de 
Poisson com parâmetro , normalmente chamado de taxa 
de ocorrência, se sua função de probabilidade é dada por:
Notação utilizada: , sendo o número de ocor-
rências, e número médio de ocorrências em um deter-
minado intervalo.
No modelo de Poisson a unidade de medida é contínua 
(tempo, área, ...) e variável aleatória é discreta. 
Exemplos:número de defeitos por cm
2
, número de chamadas tele-
fônicas por minuto, clientes por hora, etc.64
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
5.3.4 Modelo de Poisson
Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição de 
Poisson com parâmetro , normalmente chamado de taxa 
de ocorrência, se sua função de probabilidade é dada por:
Notação utilizada: , sendo o número de ocor-
rências, e número médio de ocorrências em um deter-
minado intervalo.
1- Suponhamos que em um determinado posto de saúde 
cheguem 4 pessoas por hora e que essa taxa é bem 
aproximada pela distribuição de Poisson. Determinar a 
probabilidade de:
i) não chegar ninguém em meia hora;
ii) chegarem 5 pessoas também em meia hora
65
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo de Poisson
Exemplos
1- Suponhamos que em um determinado posto de saúde 
cheguem 4 pessoas por hora e que essa taxa é bem 
aproximada pela distribuição de Poisson. Determinar a 
probabilidade de:
i) não chegar ninguém em meia hora;
ii) chegarem 5 pessoas também em meia hora
66
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo de Poisson
Exemplos
taxa de ocorrências em meia hora = 2
i) número de ocorrências = 0
ii) número de ocorrências = 5
67
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo de Poisson
taxa de ocorrências em meia hora => = 2
i) número de ocorrências = 0
68
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo de Poisson
taxa de ocorrências em meia hora => = 2
i) número de ocorrências = 0
ii) número de ocorrências = 5
69
tecido
defeito amostra
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo de Poisson
2 - Suponhamos que um tecido fabricado em um determina-
do tipo de tear apresenta defeitos que podem ser aproxima-
dos pela distribuição de Poisson com uma média de 0,2 de-
feitos por metro quadrado. Determine a probabilidade de 
que em 6 m
2
 existam menos que 2 defeitos.
70
tecido
defeito amostra
Para k < 2 e λ = 0,2 x 6 = 1,2
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo de Poisson
2 - Suponhamos que um tecido fabricado em um determina-
do tipo de tear apresenta defeitos que podem ser aproxima-
dos pela distribuição de Poisson com uma média de 0,2 de-
feitos por metro quadrado. Determine a probabilidade de 
que em 6 m
2
 existam menos que 2 defeitos.
71
Para k < 2 e λ = 0,2 X 6 = 1,2
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo de Poisson
72
Para k < 2 e λ = 0,2 X 6 = 1,2
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo de Poisson
73
Para k < 2 e λ = 0,2 X 6 = 1,2
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo de Poisson
74
3 - Suponhamos que a emissão de partículas radiotivas al-
fa seja uma variável aleatória seguindo o modelo de Pois-
son a uma taxa média de ocorrência de 5 partículas por mi-
nuto. Calcule a probabilidade de haver mais de 2 emis-
sões por minuto.
Nesse caso, λ = 5 e k > 2
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo de Poisson
75
3 - Suponhamos que a emissão de partículas radiotivas al-
fa seja uma variável aleatória seguindo o modelo de Pois-
son a uma taxa média de ocorrência de 5 partículas por mi-
nuto. Calcule a probabilidade de haver mais de 2 emis-
sões por minuto.
Nesse caso, λ = 5 e k > 2
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo de Poisson
76
3 - Suponhamos que a emissão de partículas radiotivas al-
fa seja uma variável aleatória seguindo o modelo de Pois-
son a uma taxa média de ocorrência de 5 partículas por mi-
nuto. Calcule a probabilidade de haver mais de 2 emis-
sões por minuto.
Nesse caso, λ = 5 e k > 2
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo de Poisson
77
Seja um conjunto de n objetos sendo m do tipo I e n-m do 
tipo II. Seja X o número de objetos do tipo I selecionados 
por um sorteio de r objetos, com r < n feito ao acaso e sem 
reposição. Dizemos que a variável X segue o modelo Hi-
pergeométrico se sua função de probabilidade é dada pela 
expressão:
5.3.5 Modelo Hipergeométrico
78
Seja um conjunto de n objetos sendo m do tipo I e n-m do 
tipo II. Seja X o número de objetos do tipo I selecionados 
por um sorteio de r objetos, com r < n feito ao acaso e sem 
reposição. Dizemos que a variável X segue o modelo Hi-
pergeométrico se sua função de probabilidade é dada pela 
expressão:
5.3.5 Modelo Hipergeométrico
79
Seja um conjunto de n objetos sendo m do tipo I e n-m do 
tipo II. Seja X o número de objetos do tipo I selecionados 
por um sorteio de r objetos, com r < n feito ao acaso e sem 
reposição. Dizemos que a variável X segue o modelo Hi-
pergeométrico se sua função de probabilidade é dada pela 
expressão:
5.3.5 Modelo Hipergeométrico
n - população 
r - tamanho da amostra 
m - sucessos na população
k - sucessos na amostra
80
Exemplo:
Numa caixa com 10 lâmpadas, 2 são defeituosas. Extraída 
uma amostra de 4 lâmpadas determine a probabilidade de:
iii) não ter nenhum defeituosa
iv) ter menos de 2 defeituosas
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo hipergeométrico
81
Exemplo:
Numa caixa com 10 lâmpadas, 2 são defeituosas. Extraída 
uma amostra de 4 lâmpadas determine a probabilidade de:
iii) não ter nenhum defeituosa
iv) ter menos de 2 defeituosas
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo hipergeométrico
n = 10 r = 4 m = 2
82
n = 10 r = 4 m = 2
i) k = 0
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo hipergeométrico
83
n = 10 r = 4 m = 2
i) k = 0
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo hipergeométrico
84
n = 10 r = 4 m = 2
i) k < 2
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo hipergeométrico
85
n = 10 r = 4 m = 2
i) k < 2
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo hipergeométrico
86
n = 10 r = 4 m = 2
i) k < 2
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo hipergeométrico
87
n = 10 r = 4 m = 2
i) k < 2
aula 5: Variáveis aleatórias discretas
modelo hipergeométrico
88
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 5
Variáveis aleatórias discretas
Conteúdo:
5.1 Função discreta de probabilidade
5.2 Função de distribuição de proba-
 bilidade
5.3 Alguns modelos discretos
5.3.1 Modelo uniforme discreto
5.3.2 Modelo Binomial
5.3.3 Modelo geométrico
5.3.4 Modelo de Poisson
5.3.5 Modelos Hipergeométrico
Probabilidade e Estatística
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
1
2 x
Binomial
Bernoulli
Uniforme
Geométrico
Lembrando ...
Poisson
Hipergeométrico
Funções discretas de probabilidade→
Modelos discretos→
3
Medidas de resumo 
(para variáveis aleatórias discretas)
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 6
Conteúdo:
6.1 Medidas de posição
 • média
 • mediana
 • moda
6.2 Exemplo
6.3 Medidas de dispersão
 • variância
 • desvio padrão
6. Medidas de resumo para variáveis
aleatórias discretas
Descrição do comportamento das variáveis aleatórias
discretas feitas através
4
aula 6: Medidas de resumo
função de probabilidade
Medida utilizada para resumir o comportamento das 
variáveis aleatórias discretas
6. Medidas de resumo para variáveis
aleatórias discretas
Descrição do comportamento das variáveis aleatórias
discretas feitas através
5
aula 6: Medidas de resumo
função de probabilidade
Medida utilizada para resumir o comportamento das 
variáveis aleatórias discretas
6.1 Medidas de posição (tendência central)
medidas mais comuns:
média
mediana
moda
6
aula 6: Medidas de resumo
A média ou valor esperado ou esperança de uma variável
X é dada pela expressão:
medidas de posição
7
aula 6: Medidas de resumo
A média ou valor esperado ou esperança de uma variável
X é dada pela expressão:
Outras notações utilizadas para E(X)
µx ou simplesmente µ
medidas de posição
8
aula 6: Medidas de resumo
Exemplo:
Considere a variável aleatória X e a função discreta de 
probabilidade a ela associada pi
A média ou esperança ou valoresperado é dado por:
medidas de posição
9
aula 6: Medidas de resumo
Exemplo:
Considere a variável aleatória X e a função discreta de 
probabilidade a ela associada pi
A média ou esperança ou valor esperado é dado por:
medidas de posição
10
aula 6: Medidas de resumo
A mediana é o valor que satisfaz às seguintes condições:
e
medidas de posição
11
aula 6: Medidas de resumo
A mediana é o valor que satisfaz às seguintes condições:
e
Exemplo:
medidas de posição
12
aula 6: Medidas de resumo
A mediana é o valor que satisfaz às seguintes condições:
e
Exemplo:
A mediana pode ser qualquer valor entre 10 e 15.
medidas de posição
13
aula 6: Medidas de resumo
A mediana é o valor que satisfaz às seguintes condições:
e
Exemplo:
A mediana pode ser qualquer valor entre 10 e 15.
Adotaremos a mediana igual a média, ou seja:
medidas de posição
14
aula 6: Medidas de resumo
Observações:
• como no exemplo, às vezes as desigualdades que defi-
nem a mediana são verificadas em qualquer valor de um 
determinado intervalo. Nesse caso tomamos a mediana 
como o ponto médio do intervalo.
medidas de posição
15
aula 6: Medidas de resumo
Observações:
• como no exemplo, às vezes as desigualdades que defi-
nem a mediana são verificadas em qualquer valor de um 
determinado intervalo. Nesse caso tomamos a mediana 
como o ponto médio do intervalo.
• nem a mediana nem a média precisam ser valores assu-
midos pela variável aleatória. No exemplo:
medidas de posição
16
aula 6: Medidas de resumo
A moda (Mo) é o valor (ou valores) da variável que tem a
maior probabilidade de ocorrência, ou seja:
medidas de posição
17
aula 6: Medidas de resumo
A moda (Mo) é o valor (ou valores) da variável que tem a
maior probabilidade de ocorrência, ou seja:
Exemplo:
medidas de posição
18
aula 6: Medidas de resumo
Outras Observações:
• a multiplicação das variáveis aleatórias por uma constan-
te fará com que as medidas de posição fiquem multiplica-
das por essa constante;
• a adição de uma constante as variáveis aleatórias fará 
com que as medidas de posição fiquem acrescidas dessa 
constante;
Como nas medidas de resumo para um conjunto de dados 
tem-se:
medidas de posição
19
aula 6: Medidas de resumo
Outro Exemplo:
Calcular a média, a mediana e a moda.
medidas de posição
20
aula 6: Medidas de resumo
Outro Exemplo:
Calcular a média, a mediana e a moda.
medidas de posição
21
aula 6: Medidas de resumo
Outro Exemplo:
Calcular a média, a mediana e a moda.
medidas de posição
22
aula 6: Medidas de resumo
Outro Exemplo:
Calcular a média, a mediana e a moda.
medidas de posição
23
aula 6: Medidas de resumo
medidas de posição
24
aula 6: Medidas de resumo
Se estamos interessados na grandeza Y = 5 X -10, temos:
medidas de posição
25
aula 6: Medidas de resumo
Se estamos interessados na grandeza Y = 5 X -10, temos:
medidas de posição
Se estamos interessados na grandeza Y = 5 X -10, temos:
26
aula 6: Medidas de resumo
medidas de posição
27
aula 6: Medidas de resumo
Se estamos interessados na grandeza Y = 5 X -10, temos:
medidas de posição
28
aula 6: Medidas de resumo
Ou, fazendo pela tabela: Y = 5 X -10, temos:
medidas de posição
29
aula 6: Medidas de resumo
Ou, fazendo pela tabela: Y = 5 X -10, temos:
medidas de posição
30
aula 6: Medidas de resumo
Ou, fazendo pela tabela: Y = 5 X -10, temos:
medidas de posição
31
aula 6: Medidas de resumo
Ou, fazendo pela tabela: Y = 5 X -10, temos:
medidas de posição
32
aula 6: Medidas de resumo
Ou, fazendo pela tabela: Y = 5 X -10, temos:
medidas de posição
33
aula 6: Medidas de resumo
Ou, fazendo pela tabela: Y = 5 X -10, temos:
medidas de posição
34
aula 6: Medidas de resumo
medidas de posição
35
aula 6: Medidas de resumo
medidas de posição
36
aula 6: Medidas de resumo
medidas de posição
Conjunto de dados Variável aleatória
valores
média
mediana
moda
37
aula 6: Medidas de resumo
Medidas de tendência central: para um conjunto de dados 
e para variáveis aleatórias 
discretas
medidas de posição
38
aula 6: Medidas de resumo
Medidas de tendência central: para um conjunto de dados 
e para variáveis aleatórias 
discretas
Conjunto de dados Variável aleatória
valores
média
mediana
moda
medidas de posição
Conjunto de dados Variável aleatória
valores
média
mediana
moda
39
aula 6: Medidas de resumo
Medidas de tendência central: para um conjunto de dados 
e para variáveis aleatórias 
discretas
medidas de posição
Conjunto de dados Variável aleatória
valores
média
mediana
moda
40
aula 6: Medidas de resumo
Medidas de tendência central: para um conjunto de dados 
e para variáveis aleatórias 
discretas
medidas de posição
6.2 Exemplo:
41
aula 6: Medidas de resumo
Uma pequena cirurgia dentária pode ser realizada por 3 
diferentes técnicas. Foi feito um estudo para avaliar a 
recuperação, em dias (variável Xi ), para cada uma das 3 
técnicas, obtendo:
Encontrar as medidas de tendência central.
6.2 Exemplo:
42
aula 6: Medidas de resumo
6.2 Exemplo:
43
aula 6: Medidas de resumo
6.2 Exemplo:
44
aula 6: Medidas de resumo
6.2 Exemplo:
45
aula 6: Medidas de resumo
6.3 Medidas de dispersão
46
aula 6: Medidas de resumo
medidas de dispersão
Variância de uma variável aleatória discreta
Seja X uma variável aleatória com
e média µ. A variância de X é o somatório dos desvios, 
relativos à média, elevados ao quadrado e ponderados 
pela respectiva probabilidade
6.3 Medidas de dispersão
47
aula 6: Medidas de resumo
medidas de dispersão
Variância de uma variável aleatória discreta
Seja X uma variável aleatória com
e média µ. A variância de X é o somatório dos desvios, 
relativos à média, elevados ao quadrado e ponderados 
pela respectiva probabilidade
Que pode também ser definida como o valor esperado 
do desvio ao quadrado:
Ou... (fica para você mostrar...):
6.3 Medidas de dispersão
48
aula 6: Medidas de resumo
medidas de dispersão
Variância de uma variável aleatória discreta
Seja X uma variável aleatória com
e média µ. A variância de X é o somatório dos desvios, 
relativos à média, elevados ao quadrado e ponderados 
pela respectiva probabilidade
Que pode também ser definida como o valor esperado 
do desvio ao quadrado:
49
aula 6: Medidas de resumo
medidas de dispersão
Desvio padrão de uma variável aleatória discreta
Definido com a raiz quadrada da variância.
ou
50
aula 6: Medidas de resumo
medidas de dispersão
Voltando ao exemplo....
Uma pequena cirurgia dentária pode ser realizada por 3 
diferentes técnicas. Foi feito um estudo para avaliar a 
recuperação, em dias (variável Xi ), para cada uma das 3 
técnicas, obtendo:
Encontrar as medidas de dispersão
51
aula 6: Medidas de resumo
medidas de dispersão
com µ = 5
52
aula 6: Medidas de resumo
medidas de dispersão
com µ = 5
53
aula 6: Medidas de resumo
medidas de dispersão
com µ = 5
54
aula 6: Medidas de resumo
medidas de dispersão
Mais um exemplo
Cacular o valor esperado (média) e a variância da distri-
buição de Bernoulli
55
aula 6: Medidas de resumo
medidas de dispersão
Mais um exemplo
Cacular o valor esperado (média) e a variância da distri-
buição de Bernoulli
A média (E(X) ou µ)
µ = 0 x (1 - p) + 1 x p = p
56
aula 6: Medidas de resumo
medidas de dispersão
Mais um exemplo
Cacular o valor esperado (média) e a variância da distri-
buição de Bernoulli
A média (E(X) ou µ)
µ = 0 x (1 - p) + 1 x p = p
E a variância...
σ2 = (0-p)
2
 x (1-p) + (1-p)
2
 x p
57
aula 6: Medidas de resumo
medidas de dispersão
Mais um exemplo
Cacular o valor esperado (média) e a variância da distri-
buição de Bernoulli
A média (E(X) ou µ)
µ = 0 x (1 - p) + 1 x p = p
E a variância...
σ2 = (0-p)
2
 x (1-p) + (1-p)
2
 x p
σ2 = p
2
 - p
3
 + (1 - 2p + p
2
) x p
58
aula 6: Medidas de resumo
medidas de dispersão
Mais um exemplo
Cacular o valor esperado(média) e a variância da distri-
buição de Bernoulli
A média (E(X) ou µ)
µ = 0 x (1 - p) + 1 x p = p
E a variância...
σ2 = (0-p)
2
 x (1-p) + (1-p)
2
 x p
σ2 = p
2
 - p
3
 + (1 - 2p + p
2
) x p
σ2 = p
2
 - p
3
 + p - 2p
2
 + p
3
59
aula 6: Medidas de resumo
medidas de dispersão
Mais um exemplo
Cacular o valor esperado (média) e a variância da distri-
buição de Bernoulli
A média (E(X) ou µ)
µ = 0 x (1 - p) + 1 x p = p
E a variância...
σ2 = (0-p)
2
 x (1-p) + (1-p)
2
 x p
σ2 = p
2
 - p
3
 + (1 - 2p + p
2
) x p
σ2 = p
2
 - p
3
 + p - 2p
2
 + p
3
σ2 = p - p
2
 = p(1-p)
60
aula 6: Medidas de resumo
medidas de dispersão
Valor esperado e variância de modelos discretos
Variável discreta Valor esperado Variância
Geométrico
(p)
Poisson
(λ)
Binomial
(n,p)
Bernoulli
(p)
Uniforme
(1,k)
Hipergeométrica
(n,m,r)
61
aula 6: Medidas de resumo
medidas de dispersão
Medidas de dispersão: para um conjunto de dados e para
variáveis aleatórias discretas
Conjunto de dados Variável aleatória
Valores
Variância
Variância
(outra opção)
62
aula 6: Medidas de resumo
medidas de dispersão
Lembrando...vimos na aula 6: 
"Medidas de resumo 
(para variáveis aleatórias discretas)"
Medidas de posição
(tendência central) 
média
mediana
moda
Medidas de dispersão variância
desvio padrão
Pergunta: e se as variáveis que temos interesse assumem 
valores aleatórios mas pertencem ao algum intervalo de 
números reais (variáveis contínuas)? Aulas 8 e 9
63
Medidas de resumo 
(para variáveis aleatórias discretas)
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 6
Conteúdo:
6.1 Medidas de posição
 • média
 • mediana
 • moda
6.2 Exemplo
6.3 Medidas de dispersão
 • variância
 • desvio padrão
Probabilidade e Estatística
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
1
2
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 7
Variáveis bidimensionais
Conteúdo:
7 Introdução
 7.1 Função de probabilidade conjunta
 7.2 Distribuição marginal de probabilidade
 7.3 Probabilidade condicional de 
 variáveis aleatórias discretas
 7.4. Independência de variáveis aleatórias
 7.5. Covariância
 7.6 Correlação entre variáveis aleatórias discretas
7. Introdução
3
aula 7: Variáveis bidimensionais
Introdução
É comum termos interesse no comportamento conjunto de 
várias variáveis.
Variáveis bidimensionais
Exemplo:
Alunos de Rio Azul - alunos que fumam e horas de 
exercícios semanais 
(Bibliografia [1], www.ime.usp.br/~noproest )
7. Introdução
4
aula 7: Variáveis bidimensionais
Introdução
0
1
7
8
1
0
3
3
2
1
7
8
3
0
6
6
4
0
4
4
5
2
6
8
6
1
2
3
7
0
5
5
8
0
3
3
9
0
0
0
10
1
1
2
Total
6
44
50
sim
não
Total
fuma he
É comum termos interesse no comportamento conjunto de 
várias variáveis.
Variáveis bidimensionais
aula 7: Variáveis bidimensionais
Introdução
5
Apresentamos a seguir uma tabela de dupla entrada que 
mostra a probabilidade conjunta das duas variáveis: 
fuma (sim ou não) e h.e. (horas semanais de exercício - 
de 0 a 10).
2
0,02
0,14
0,16
3
0
0,12
0,12
4
0
0,08
0,08
5
0,04
0,12
0,16
6
0,02
0,04
0,06
7
0
0,1
0,1
8
0
0,06
0,06
9
0
0
0
10
0,02
0,02
0,04
Total
0,12
0,88
1
sim
não
Total
fuma he 0
0,02
0,14
0,16
1
0
0,06
0,06
onde:
aula 7: Variáveis bidimensionais
Introdução
6
Apresentamos a seguir uma tabela de dupla entrada que 
mostra a probabilidade conjunta das duas variáveis: 
fuma (sim ou não) e h.e. (horas semanais de exercício - 
de 0 a 10).
→ Assim, a probabilidade do aluno fumar e fazer 5 horas 
semanais de exercício é P(fuma=sim ; h.e.=5)=0,04 e,
2
0,02
0,14
0,16
3
0
0,12
0,12
4
0
0,08
0,08
5
0,04
0,12
0,16
6
0,02
0,04
0,06
7
0
0,1
0,1
8
0
0,06
0,06
9
0
0
0
10
0,02
0,02
0,04
Total
0,12
0,88
1
sim
não
Total
fuma he 0
0,02
0,14
0,16
1
0
0,06
0,06
aula 7: Variáveis bidimensionais
Introdução
7
Apresentamos a seguir uma tabela de dupla entrada que 
mostra a probabilidade conjunta das duas variáveis: 
fuma (sim ou não) e h.e. (horas semanais de exercício - 
de 0 a 10).
→ Assim, a probabilidade do aluno fumar e fazer 5 horas 
semanais de exercício é P(fuma=sim ; h.e.=5)=0,04 e,
→ a probabilidade do aluno que não fuma não fazer 
exercício é P(fuma=não ; h.e.=0)=0,14.
2
0,02
0,14
0,16
3
0
0,12
0,12
4
0
0,08
0,08
5
0,04
0,12
0,16
6
0,02
0,04
0,06
7
0
0,1
0,1
8
0
0,06
0,06
9
0
0
0
10
0,02
0,02
0,04
Total
0,12
0,88
1
sim
não
Total
fuma he 0
0,02
0,14
0,16
1
0
0,06
0,06
aula 7: Variáveis bidimensionais
Introdução
8
0,12
2
0,02
0,14
0,16
3
0
0,12
0,12
4
0
0,08
0,08
5
0,04
0,12
0,16
6
0,02
0,04
0,06
7
0
0,1
0,1
8
0
0,06
0,06
9
0
0
0
10
0,02
0,02
0,04
Total
0,88
1
sim
não
Total
fuma he 0
0,02
0,14
0,16
1
0
0,06
0,06
aula 7: Variáveis bidimensionais
Função de probabilidade conjunta
9
7.1 Função de probabilidade conjunta
Seja X uma variável aleatória que assume os valores 
x1, x2, ... , xn e Y uma variável aleatória, do mesmo 
experimento, que assume os valores y1, y2, ... , ym . A 
função de probabilidade conjunta associa a cada par 
(xi, yk), i = 1, 2, ..., n e k = 1, 2, ..., m a probabilidade 
P( X=xi ,Y=yk ) = p(xi, yk).
Assim, temos que:
Exemplo:
Alunos de Rio Azul idade e horas de exercícios semanais 
(Bibliografia [1], www.ime.usp.br/~noproest )
aula 7: Variáveis bidimensionais
Função de probabilidade conjunta
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Totalid
he
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 022
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 124
2 0 2 0 1 1 1 0 0 0 0 719
8 3 8 6 4 8 3 5 3 0 2 50Total
4 1 3 3 2 5 0 3 0 0 1 2218
1 1 2 1 1 1 0 1 0 0 1 917
1 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 420
0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 321
0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 223
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 225
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Totalid
he
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 022
0 0 0 0 0 0 0 0,02 0 0 0 0,0224
0,04 0 0,04 0 0,02 0,02 0,02 0 0 0 0 0,1419
0,16 0,06 0,16 0,12 0,08 0,16 0,06 0,1 0,06 0 0,04 1Total
0,08 0,02 0,06 0,06 0,04 0,1 0 0,06 0 0 0,02 0,4418
0,02 0,02 0,04 0,02 0,02 0,02 0 0,02 0 0 0,02 0,1817
0,02 0 0 0,04 0 0 0 0 0,02 0 0 0,0820
0 0 0 0 0 0 0,04 0 0,02 0 0 0,0621
0 0 0,02 0 0 0 0 0 0,02 0 0 0,0423
0 0,02 0 0 0 0,02 0 0 0 0 0 0,0425
aula 7: Variáveis bidimensionais
Função de probabilidade conjunta
11
Probabilidade (freqüência)
aula 7: Variáveis bidimensionais
Distribuição marginal de probabilidade
12
7.2 Distribuição marginal de probabilidade
Seja X uma variável aleatória discreta que assume os 
valores x1, x2, ..., xn. A distribuição marginal de 
probabilidade 
− de X=xi é definida como:
aula 7: Variáveis bidimensionais
Distribuição marginal de probabilidade
13
7.2 Distribuição marginal de probabilidade
Seja X uma variável aleatória discreta que assume os 
valores x1, x2, ..., xn. A distribuição marginal de 
probabilidade 
− de X=xi é definida como:
− e de Y=yk é dada por:
aula 7: Variáveis bidimensionais
Distribuição marginal de probabilidade
14
Assim, para a tabela de nosso exemplo, para as variáveis 
"fuma" e "h.e.", temos:
0,12
2
0,02
0,14
0,16
3
0
0,12
0,12
4
0
0,08
0,08
5
0,04
0,12
0,16
6
0,02
0,04
0,06
7
0
0,1
0,1
8
0
0,06
0,06
9
0
0
0
10
0,02
0,02
0,04
Total
0,88
1
sim
não
Total
fuma he 0
0,02
0,14
0,16
1
0
0,06
0,06
aula 7: Variáveis bidimensionais
Distribuição marginal de probabilidade
15
Assim, para a tabela de nosso exemplo, para as variáveis 
"fuma" e "h.e.", temos:
0,12
2
0,02
0,14
0,16
3
0
0,12
0,12
4
0
0,08
0,08
5
0,04
0,12
0,16
6
0,02
0,04
0,06
7
0
0,1
0,1
8
0
0,06
0,06
9
0
0
0
10
0,02
0,02
0,04
Total
0,881
sim
não
Total
fuma he 0
0,02
0,14
0,16
1
0
0,06
0,06
− para a variável fuma: P(X)
0,12
0,88
1
Fuma(X)
sim(1)
não(2)
Total
aula 7: Variáveis bidimensionais
Distribuição marginal de probabilidade
16
Assim, para a tabela de nosso exemplo, para as variáveis 
"fuma" e "h.e.", temos:
0,12
2
0,02
0,14
0,16
3
0
0,12
0,12
4
0
0,08
0,08
5
0,04
0,12
0,16
6
0,02
0,04
0,06
7
0
0,1
0,1
8
0
0,06
0,06
9
0
0
0
10
0,02
0,02
0,04
Total
0,88
1
sim
não
Total
fuma he 0
0,02
0,14
0,16
1
0
0,06
0,06
− para a variável fuma:
− para a variável horas semanais de exercícios (h.e.):
P(X)
0,12
0,88
1
Fuma(X)
sim(1)
não(2)
Total
2
0,16
3
0,12
4
0,08
5
0,16
6
0,06
7
0,1
8
0,06
9
0
10
0,04
Total
1P(Y)
0
0,16
1
0,06
h.e.(Y)
aula 7: Variáveis bidimensionais
Distribuição marginal de probabilidade
17
e, para a tabela "idade" x "horas de exercício", temos:
− para a variável idade:
− para a variável horas semanais de exercícios (h.e.):
2
0,16
3
0,12
4
0,08
5
0,16
6
0,06
7
0,1
8
0,06
9
0
10
0,04
Total
1P(Y)
0
0,16
1
0,06
h.e.(Y)
P(X)idade(X)
17 0,18
18 0,44
19 0,14
20 0,08
21 0,06
22 0
23 0,04
24 0,02
25 0,04
1
aula 7: Variáveis bidimensionais
Probabilidade condicional de variáveis aleatórias discretas
18
7.3 Probabilidade condicional de variáveis 
 aleatórias discretas
Dados duas variáveis aleatórias discretas definidas no 
mesmo espaço amostral, a probabilidade condicional de 
X=x dado que Y=y ocorreu, é dado por:
Assim, temos que:
aula 7: Variáveis bidimensionais
Independência de variáveis aleatórias
19
7.4 Independência de variáveis aleatórias
Duas variáveis aleatórias discretas são independentes se
a ocorrência de qualquer valor de uma delas não altera a 
probabilidade de ocorrência de valores da outra variável, 
para todos os valores (x,y) das variáveis (X,Y), ou:
ou,
Exemplos:
Verificar se a variável "fuma" é independente da variável 
horas de exercícios semanais.
aula 7: Variáveis bidimensionais
Independência de variáveis aleatórias
20
7.4 Independência de variáveis aleatórias
Duas variáveis aleatórias discretas são independentes se
a ocorrência de qualquer valor de uma delas não altera a 
probabilidade de ocorrência de valores da outra variável, 
para todos os valores (x,y) das variáveis (X,Y), ou:
ou,
aula 7: Variáveis bidimensionais
Independência de variáveis aleatórias
21
0,12
2
0,02
0,14
0,16
3
0
0,12
0,12
4
0
0,08
0,08
5
0,04
0,12
0,16
6
0,02
0,04
0,06
7
0
0,1
0,1
8
0
0,06
0,06
9
0
0
0
10
0,02
0,02
0,04
Total
0,88
1
sim
não
Total
fuma he 0
0,02
0,14
0,16
1
0
0,06
0,06
aula 7: Variáveis bidimensionais
Independência de variáveis aleatórias
22
0,12
2
0,02
0,14
0,16
3
0
0,12
0,12
4
0
0,08
0,08
5
0,04
0,12
0,16
6
0,02
0,04
0,06
7
0
0,1
0,1
8
0
0,06
0,06
9
0
0
0
10
0,02
0,02
0,04
Total
0,88
1
sim
não
Total
fuma he 0
0,02
0,14
0,16
1
0
0,06
0,06
fuma e não
faz exercício
P(fuma=sim, h.e.=0) = 0,02
P(fuma=sim) x P(h.e.=0) = 0,12 x 0,16 = 0,0192
aula 7: Variáveis bidimensionais
Independência de variáveis aleatórias
23
0,12
2
0,02
0,14
0,16
3
0
0,12
0,12
4
0
0,08
0,08
5
0,04
0,12
0,16
6
0,02
0,04
0,06
7
0
0,1
0,1
8
0
0,06
0,06
9
0
0
0
10
0,02
0,02
0,04
Total
0,88
1
sim
não
Total
fuma he 0
0,02
0,14
0,16
1
0
0,06
0,06
fuma e não
faz exercício
não fuma e não
faz exercício
P(fuma=não, h.e.=0) = 0,14
P(fuma=não) x P(h.e.=0) = 0,88 x 0,16 = 0,1408
P(fuma=sim, h.e.=0) = 0,02
P(fuma=sim) x P(h.e.=0) = 0,12 x 0,16 = 0,0192
aula 7: Variáveis bidimensionais
Independência de variáveis aleatórias
24
0,12
2
0,02
0,14
0,16
3
0
0,12
0,12
4
0
0,08
0,08
5
0,04
0,12
0,16
6
0,02
0,04
0,06
7
0
0,1
0,1
8
0
0,06
0,06
9
0
0
0
10
0,02
0,02
0,04
Total
0,88
1
sim
não
Total
fuma he 0
0,02
0,14
0,16
1
0
0,06
0,06
fuma e não
faz exercício
não fuma e não
faz exercício
fuma e faz 6h/sem
de exercício
P(fuma=sim, h.e.=6) = 0,02
P(fuma=sim) x P(h.e.=6) = 0,12 x 0,06 = 0,0072
P(fuma=não, h.e.=0) = 0,14
P(fuma=não) x P(h.e.=0) = 0,88 x 0,16 = 0,1408
P(fuma=sim, h.e.=0) = 0,02
P(fuma=sim) x P(h.e.=0) = 0,12 x 0,16 = 0,0192
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Totalid
he
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 022
0 0 0 0 0 0 0 0,02 0 0 0 0,0224
0,04 0 0,04 0 0,02 0,02 0,02 0 0 0 0 0,1419
0,16 0,06 0,16 0,12 0,08 0,16 0,06 0,1 0,06 0 0,04 1Total
0,08 0,02 0,06 0,06 0,04 0,1 0 0,06 0 0 0,02 0,4418
0,02 0,02 0,04 0,02 0,02 0,02 0 0,02 0 0 0,02 0,1817
0,02 0 0 0,04 0 0 0 0 0,02 0 0 0,0820
0 0 0 0 0 0 0,04 0 0,02 0 0 0,0621
0 0 0,02 0 0 0 0 0 0,02 0 0 0,0423
0 0,02 0 0 0 0,02 0 0 0 0 0 0,0425
aula 7: Variáveis bidimensionais
Independência de variáveis aleatórias
25
18 anos e 8 h/sem 
de exercício
P(Id.=18, h.e.=9) = 0,0
P(Id.=18) x P(h.e.=9) = 0,44 x 0,0 = 0,0
Outro exemplo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Totalid
he
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 022
0 0 0 0 0 0 0 0,02 0 0 0 0,0224
0,04 0 0,04 0 0,02 0,02 0,02 0 0 0 0 0,1419
0,16 0,06 0,16 0,12 0,08 0,16 0,06 0,1 0,06 0 0,04 1Total
0,08 0,02 0,06 0,06 0,04 0,1 0 0,06 0 0 0,02 0,4418
0,02 0,02 0,04 0,02 0,02 0,02 0 0,02 0 0 0,02 0,1817
0,02 0 0 0,04 0 0 0 0 0,02 0 0 0,0820
0 0 0 0 0 0 0,04 0 0,02 0 0 0,0621
0 0 0,02 0 0 0 0 0 0,02 0 0 0,0423
0 0,02 0 0 0 0,02 0 0 0 0 0 0,0425
aula 7: Variáveis bidimensionais
Independência de variáveis aleatórias
26
18 anos e 8 h/sem 
de exercício
18 anos e 5 h/sem 
de exercício
P(Id.=18, h.e.=8) = 0,0
P(Id.=18) x P(h.e.=8) = 0,44 x 0,06 = 0,03
P(Id.=18, h.e.=9) = 0,0
P(Id.=18) x P(h.e.=9) = 0,44 x 0,0 = 0,0
Outro exemplo
− as esperanças das componentes X e Y fornecem uma 
 medida de posição das distribuições de X e Y em seus 
 respectivos eixos.
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
27
7.5 Covariância
Para entender: sendo (X,Y) uma variável bidimensional
− as variâncias de X e Y dão uma medida da dispersão
de X e Y em torno de suas médias E(X) e E(Y), respectiva-
mente.
Assim, podemos calcular a média ou valor esperado ou 
esperança da variável Y (horas semanais de exercícios) e 
para a variável X (idade):
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
28
2 3 4 5 6 7 8 9 100 1h.e.(Y)
0,16 0,12 0,08 0,16 0,06 0,1 0,06 0 0,04 1P(Y) 0,16 0,06
p1 =0,16 (número de pessoas 
que não fazem exercícios)/50
Assim, podemos calcular a média ou valor esperado ou 
esperança da variável Y (horas semanais de exercícios) e 
para a variável X (idade):
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
29
2 3 4 5 6 7 8 9 100 1h.e.(Y)
0,16 0,12 0,08 0,16 0,06 0,1 0,06 0 0,04 1P(Y) 0,16 0,06
p1 =0,16 (número de pessoas 
que não fazem exercícios)/50
p2 =0,06 (número de pessoas 
que fazem 1h exercício)/50
Assim, podemos calcular a média ou valor esperado ou 
esperança da variável Y (horas semanais de exercícios) e 
para a variável X (idade):
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
30
0,32 0,36 0,32 0,8 0,36 0,7 0,48 0 0,4 3,8Yi . Pi (Y) 0 0,06
2 3 4 5 6 7 8 9 100 1h.e.(Y)
0,16 0,12 0,08 0,16 0,06 0,1 0,06 0 0,04 1P(Y) 0,16 0,06
Assim, podemos calcular a média ou valor esperado ou 
esperança da variável Y (horas semanais de exercícios) e 
para a variável X (idade):
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
31
0,32 0,36 0,32 0,8 0,36 0,7 0,48 0 0,4 3,8Yi . Pi (Y) 0 0,06
2 3 4 5 6 7 8 9 100 1h.e.(Y)
0,16 0,12 0,08 0,16 0,06 0,1 0,06 0 0,04 1P(Y) 0,16 0,06
P(X)idade(X)
17 0,18
18 0,44
19 0,14
20 0,08
21 0,06
22 0
23 0,04
24 0,02
25 0,04
1
Xi . Pi (X)
3,06
7,92
2,66
1,6
1,26
0
0,92
0,48
1
18,9
Assim, podemos calcular a média ou valor esperado ou 
esperança da variável Y (horas semanais de exercícios) e 
para a variável X (idade):
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
32
P(X)idade(X)
17 0,18
18 0,44
19 0,14
20 0,08
21 0,06
22 0
23 0,04
24 0,02
25 0,04
1
Xi . Pi (X)
3,06
7,92
2,66
1,6
1,26
0
0,92
0,48
1
18,9
momentosde primeira
 ordem
0,32 0,36 0,32 0,8 0,36 0,7 0,48 0 0,4 3,8Yi . Pi (Y) 0 0,06
2 3 4 5 6 7 8 9 100 1h.e.(Y)
0,16 0,12 0,08 0,16 0,06 0,1 0,06 0 0,04 1P(Y) 0,16 0,06
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
33
P(Y)idade(Y)
17 0,18
18 0,44
19 0,14
20 0,08
21 0,06
22 0
23 0,04
24 0,02
25 0,04
1
Y . P(Y)
3,06
7,92
2,66
1,6
1,26
0
0,92
0,48
1
18,9
(Y-18,9)2 . p(Y)
0,6498
0,3564
0,0014
0,0968
0,2646
0
0,6724
0,5202
1,4884
4,05
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
34
P(Y)idade(Y)
17 0,18
18 0,44
19 0,14
20 0,08
21 0,06
22 0
23 0,04
24 0,02
25 0,04
1
Y . P(Y)
3,06
7,92
2,66
1,6
1,26
0
0,92
0,48
1
18,9
(Y-18,9)2 . p(Y)
0,6498
0,3564
0,0014
0,0968
0,2646
0
0,6724
0,5202
1,4884
4,05
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
35
0,000
1,538
0,320 0,360 0,320 0,800 0,360 0,700 0,480 0,400 3,800Y. P(Y) 0,000 0,060
2 3 4 5 6 7 8 9 100 1h.e.(Y)
0,160 0,120 0,080 0,160 0,060 0,100 0,060 0,000 0,040 1,000P(Y) 0,160 0,060
0,518 0,077 0,003 0,230 0,290 1,024 1,058 0,000 7,520(Y-3,8)
2
 . p(Y) 2,3104 0,470
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
36
0,000
1,538
0,320 0,360 0,320 0,800 0,360 0,700 0,480 0,400 3,800Y. P(Y) 0,000 0,060
2 3 4 5 6 7 8 9 100 1h.e.(Y)
0,160 0,120 0,080 0,160 0,060 0,100 0,060 0,000 0,040 1,000P(Y) 0,160 0,060
0,518 0,077 0,003 0,230 0,290 1,024 1,058 0,000 7,520(Y-3,8)
2
 . p(Y) 2,3104 0,470
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
37
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Totalid
he
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 022
0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 223
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 225
8 3 8 6 4 8 3 5 3 0 2 50Total
24 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 321
1 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 420
2 0 2 0 1 1 1 0 0 0 0 719
4 1 3 3 2 5 0 3 0 0 1 2218
1 1 2 1 1 1 0 1 0 0 1 917
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
38
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
39
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
40
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
41
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
42
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
43
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
44
Continuando ... Covariância
A covariância dá uma idéia da dispersão dos valores da 
variável bidimensional (X,Y) em relação ao ponto
(E(X),E(Y)).
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
45
Continuando ... Covariância
A covariância dá uma idéia da dispersão dos valores da 
variável bidimensional (X,Y) em relação ao ponto
(E(X),E(Y)).
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
46
Continuando ... Covariância
A covariância dá uma idéia da dispersão dos valores da 
variável bidimensional (X,Y) em relação ao ponto
(E(X),E(Y)).
Ou seja, a covariância é o valor esperado do produto dos 
desvios de cada variável em relação à sua média. Pode 
também ser escrita como:
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
47
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
48
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
49
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
50
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
51
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
52
Se fizermos
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
53
Se fizermos
Exemplo
Covariância - idade e horas de exercícios semanais
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
54
Tabela de probabilidade conjunta
Id.
h.e.
Exemplo
Covariância - idade e horas de exercícios semanais
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
55
Tabela de probabilidade conjunta
Id.
h.e.
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
56
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
57
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
58
aula 7: Variáveis bidimensionais
Covariância
59
Coeficiente de correlação fica entre +1 e -1 e valores pró-
ximos de 1 indicam correlação forte! Servem para compa-
ração.
aula 7: Variáveis bidimensionais
Correlação entre variáveis aleatórias
60
7.6 Correlação entre variáveis aleatórias
O coeficiente de correlação entre variáveis aleatórias dis-
cretas X e Y é dado por:
Coeficiente de correlação fica entre +1 e -1 e valores pró-
ximos de 1 indicam correlação forte! Servem para compa-
ração.
aula 7: Variáveis bidimensionais
Correlação entre variáveis aleatórias
61
7.6 Correlação entre variáveis aleatórias
O coeficiente de correlação entre variáveis aleatórias dis-
cretas X e Y é dado por:
Para nosso exemplo ...
62
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 7
Variáveis bidimensionais
Conteúdo:
7 Introdução
 7.1 Função de probabilidade conjunta
 7.2 Distribuição marginal de probabilidade
 7.3 Probabilidade condicional de 
 variáveis aleatórias discretas
 7.4. Independência de variáveis aleatórias
 7.5. Covariância
 7.6 Correlação entre variáveis aleatórias discretas
Probabilidade e Estatística
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
1
Probabilidade e Estatística
Livro Texto:
[1] "Noções de Probabilidade e Estatística"
 Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos
 Pedroso de Lima, Edusp (2005). 
[2] "Probabilidade: Um Curso Introdutório"
 Carlos A. B. Dantas, Edusp (2004).
2
3
Variáveis aleatórias contínuas
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 8
Conteúdo:
8.1 Introdução. O que são e para 
 que são variáveis contínuas?
8.2 Função densidade de probabi-
 lidade
8.3 Medidas de posição
8.4 Variância
8.5 Momentos de Probabilidade
8.1 Introdução
O que são variáveis contínuas?
4
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Recordando da primeira aula...
nominais
Variáveis
qualitativas quantitativas
ordinais discretas contínuas
Introdução
8.1 Introdução
5
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Variáveis quantitativas: 
São variáveis de natureza numérica, obtidas através 
de contagem ou mensuração.
Variáveis quantitativas discretas: 
Obtidas a partir de contagem sendo normalmente intei-
ras. Os valores são finitos e enumeráveis.
Variáveis quantitativas contínuas: 
Obtidas normalmente por mensuração e podem assu-
mir quaisquer valores reais. 
Introdução
8.1 Introdução
6
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
O que são variáveis contínuas?
São variáveis que pertencem a um intervalo dos 
números reais.
Introdução
8.1 Introdução
7
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Exemplos de variáveis contínuas
Tamanho de parafusos produzidos numa fábrica.
Introdução
→
Peso dos pãozinhos numa padaria.
Apesar dos dois primeiros exemplos terem um padrão 
(tamanho e diâmetro do parafuso ou o peso do pão) 
ocorrem pequenas variações devido ao processo de 
produção.
Área atacada por uma praga agrícola.
→
→
8.1 Introdução
8
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Introdução
Um exemplo para ajudar a pensar...
Existe um lençol de água numa região. Pelas sondagens preliminares, este 
lençol se encontra entre 20 e 100 metros de profundidade.
Como não temos nada que nos prove em contrário, suporemos que achar
água em todas profundidades são equiprováveis.
Usando sondas, num determinado local escolhido aleatoriamente, perfura-
mos até achar água.
Isto nos dá uma variável aleatória , profundidade onde se encontrou água.
Esta variável toma qualquer valor no intervalo [20, 100].
Exemplo 6.1 da referência 1
8.1 Introdução
9
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Introdução
Uma proposta de apresentação dos dados
Vamos dividir os valores de profundidade em oito faixas de dez metros
Como todos os valores são supostos equiprováveis, vamos supor adicio-
nalmente que cada faixa também sejam equiprováveis, ou seja, valores em 
cada faixa tenha frequência relativa igual a 1/8.
Façamos um histograma com esta situação de forma que as ordenadas se-
rão as densidades de forma que cada retângulo seja a frequência relativa 
do intervalo
8.1 Introdução
10
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Introdução
Histograma1
Poderiamos fazer a mesma coisa criando faixas de largu-
ra de cinco metros, um metro ou qualquer outra medida. 
Por exemplo, poderíamos fazer a discretização como na 
próxima figura.
8.1 Introdução
11
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Introdução
Histograma 2
Continuando o procedimento, fazemos a passagem do 
discreto para o contínuo, obtemos, no limite, um retân-
gulo. 
8.1 Introdução
12
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Introdução
Histograma 2
Pela interpretação geomética do integral ....
8.1 Introdução
13
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Introdução
Pela interpretação geométrica da integral fica fácil saber 
o que faremos:
Substituiremos o somatório pela integral.→
8.1 Introdução
14
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Introdução
Reveja o material de Matemática para a Computação !→ 
8.1 Introdução
15
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Introdução
No contínuo teremos uma função: A função densidade de 
probabilidade:
Uma função auxiliar no cálculo de probabilidades
Formalmente....
Uma função é uma função contínua de probabilidade 
ou função densidade de probabilidade, para uma variável 
aleatória , se satisfaz duas condições:
8.2 Função densidade de probabilidade
16
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Função de densidade de probabilidade
A segunda condição pode ser escrita como,
→ a área definida por é igual a 1.
→ , para todo ∈ (−∞, ∞) 
8.2 Função densidade de probabilidade
17
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Função de densidade de probabilidade
Para calcular probabilidades, para a ≥ b
que representa a área sob a função densidade de proba-
bilidade definida pelo intervalo [a, b]. 
Obs:
ou seja, para variáveis aleatórias contínuas, a probabilida-
de de um valor isolado é zero. 
8.2 Função densidade de probabilidade
18
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Função de densidade de probabilidade
Graficamente....
Um exemplo:
Arqueólogos, estudaram uma região e estabeleceram um
modelo teórico para a variável , comprimento dos fósseis 
da região (escala em cm).
8.2 Função densidade de probabilidade
19
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Função de densidade de probabilidade
f(x)
x
3/40
1/40
0 20
8.2 Função densidade de probabilidade
20
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Função de densidade de probabilidade
Observe:
A função é positiva.
A integral dentro do intervalo [0, 20] é igual a 1*
Mais importante: ....
* Faça o cálculo como exercício.
8.2 Função densidade de probabilidade
21
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Função de densidade de probabilidade
A função densidade de probabilidade foi estabelecida 
por um modelo!
A modelagem da informação, ou seja, os pressupostos 
que fazemos sobre a informação, é a fonte do sucesso 
ou do fracasso em analisar tendências.
8.2 Função densidade de probabilidade
22
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Função de densidade de probabilidade
Qual a probabilidade de um fóssil, escolhido ao acaso, 
tenha o comprimento inferior a 8 cm? Graficamente 
podemos expressar esta questão como abaixo:
f(x)
x
3/40
1/40
0 20
1/40+1/50
1/50
8
8.2 Função densidade de probabilidade
23
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Função de densidade de probabilidade
Qual a probabilidade de um fóssil, escolhido ao acaso, 
tenha o comprimento inferior a 8 cm?
Calculando a área sobreada (um trapézio) obtemos
ou seja, a probabilidade de achar um fóssil menor que 
8 cm é de 28%.
8.3 Medidas de posição
24
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Medidas de posição
O valor esperado (média) da variável aleatória contínua , 
com função densidade de probabilidade é dada por
8.3 Medidas de posição
25
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Medidas de posição
A mediana é o valor que tem a propriedade
e
8.3 Medidas de posição
26
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Medidas de posição
A moda é o valor tal que,
8.4 Variância
27
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Variância
A variância é definida como,
ou ainda,
com
e σ é chamado de desvio padrão.
8.5 Momentos de Probabilidade
28
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Momentos de probabilidade
Chamamos a média de Momento de Probabilidade de
Ordem 1
e chamamos à variança em relação a origem (ou cen-
trada na origem) de Momento de Probabilidade de Or-
dem 2
8.5 Momentos de Probabilidade
29
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Momentos de probabilidade
De forma análoga, podemos definir o momento de proba-
bilidade de qualquer ordem, por exemplo n, como abaixo
Os mais importantes são os momento apresentados, ou 
seja, o de primeira e segunda ordens. Em algumas aplica-
ções são usados os momentos de terceira e quarta ordem 
que mostram assimetria da distribuição e o "estreitamen-
to" da mesma, respectivamente. 
8.5 Momentos de Probabilidade
30
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Momentos de probabilidade
Analogias físicas
A variância pode ser interpretada fisicamente como o mo-
mento de inércia da distribuição em torno do centro de 
gravidade (a média).
A média ou esperança, tem uma analogia com a física co-
mo o centro de massa de uma distribuição de partículas 
dadas pela suas posições e distribuição;
→
→
8.5 Momentos de Probabilidade
31
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Momentos de probabilidade
De volta ao problema dos arqueólogos
Vamos calcular a média e a variância de
A variável , comprimento do fóssil, tem a seguinte fun-
ção densidade de probabilidade:
8.5 Momentos de Probabilidade
32
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Momentos de probabilidade
De volta ao problema dos arqueólogos
A média, pela definição será
8.5 Momentos de Probabilidade
33
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Momentos de probabilidade
De volta ao problema dos arqueólogos
nos dá para a variância
e o desvio padrão será
e como o segundo momento é dado por
8.5 Momentos de Probabilidade
De volta ao problema dos arqueólogos
Com a definição de moda dada por
e observando o gráfico temos que Mo = 20
f(x)
x
3/40
1/40
0 20
34
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Momentos de probabilidade
8.5 Momentos de Probabilidade
De volta ao problema dos arqueólogos
Como a mediana é definida por 
já que temos o valor da mediana e sabendo que a função 
densidade de probabilidade é contínua no intervalo [0, 20], 
basta calcular
ou
35
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Momentos de probabilidade
e
8.5 Momentos de Probabilidade
De volta ao problema dos arqueólogos
que é equivalente a
Md
2
 + 20 Md - 400 = 0
que tem uma solução positiva dada por
Md €≈ 12,36
36
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
Momentos de probabilidade
37
Variáveis aleatórias contínuas
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 8
Conteúdo:
8.1 Introdução. O que são e para 
 que são variáveis contínuas?
8.2 Função densidade de probabi-
 lidade
8.3 Medidas de posição
8.4 Variância
8.5 Momentos de Probabilidade
Probabilidade e Estatística
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
1
Probabilidade e Estatística
Livro Texto:
[1] "Noções de Probabilidade e Estatística"
 Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos
 Pedroso de Lima, Edusp (2005). 
[2] "Probabilidade: Um Curso Introdutório"
 Carlos A. B. Dantas, Edusp (2004).
2
3
Variáveis aleatórias contínuas II
Modelos Contínuos
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 9
Conteúdo:
9.1 Modelos contínuos
9.2 Modelo uniforme contínuo
9.3 Modelo exponencial
9.4 Modelo normal
9.5 Mais alguns modelos contínuos
9.1 Modelos Contínuos
Como foi explicitado no exemplo dos arqueólogos, geral-
mente temos um modelo teórico que nos permite analisar 
uma informação, ou seja, fazemos pressupostos baseadosno conhecimento do problema que será estudado.
4
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Caso o modelo for mal escolhido, poderemos chegar a con-
clusões distorcidas, portanto....
"Os números não mentem mas podemos mentir com os nú-
meros"
9.2 Modelo Uniforme Contínuo
A densidade de probabilidade de uma variável aleatória
no intervalo [a, b], a < b, é dada por
5
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
ou graficamente...
6
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
f(x)
x
1/(b-a)
0 a b
9.2 Modelo Uniforme Contínuo
9.2 Modelo Uniforme Contínuo
7
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
b deve ser menor que a e resultado da subtração deve ser
positivo;
Neste modelo se supõe que os valores possíveis para a 
variável aleatória têm a mesma probabilidade de ocorrên-
cia.
8
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Esperança (média, primeiro 
momento)
Segundo momento centrado
Variância
9.2 Modelo Uniforme Contínuo
9
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Exemplo: Para verificar a resistência à pressão de tubos 
de PVC, o fabricante experimenta amostras de tubos apli-
cando pressão até acontecer o primeiro vazamento. Os tu-
bos tem 6 metros de comprimento e o ponto no qual houve
a falha é anotado pela distância em relação aos seus extre-
mos. 
Escolhe-se um tubo ao acaso para ser inspecionado.
Qual a probabilidade de que neste tubo ocorra um vaza-
mento a 1 metro das extremidades?
9.2 Modelo Uniforme Contínuo
reveja a aula 4: Probabilidades
10
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Chamamos de a variável aleatória que indica a distân-
cia do vazamento à uma extremidade. 
Supondo que todos os pontos do tubo tem igual probabi-
lidade de vazarem, vamos usar o modelo uniforme con-
tínuo com a seguinte densidade de probabilidade com 
a = 0 (posição inicial do tubo) b = 6 (posição final), ou seja,
9.2 Modelo Uniforme Contínuo
11
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
A probabilidade que queremos é ∈ {[0,1] ∪ [5,6]} que é a 
do vazamento ocorrer a um metro das extremidades. 
Graficamente...
x
f(x)
1/6
0 1 5 6
9.2 Modelo Uniforme Contínuo
12
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Portanto a probabilidade que queremos calcular será 
x
e aqui temos uma soma já que os intervalos [0,1] e [5,6] 
são disjuntos. Usando a densidade de probabilidade pa-
ra calcularmos a probabilidade temos
9.2 Modelo Uniforme Contínuo
13
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Neste caso a distribuição é dada pela expressão abaixo
x
onde α > 0. Graficamente ....
9.3 Modelo Exponencial
14
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
x
9.3 Modelo Exponencial
f(x)
x
α
0
15
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
x
Esperança (média, primeiro 
momento)
Segundo momento centrado
Variância
9.3 Modelo Exponencial
16
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
x
Muito usado em áreas como física, computação, enge-
nharia e biologia.
são problemas geralmente trabalhados por este modelo.
Tempo de sobrevivência de uma espécie;→
→ Tempos de falha;
Vida útil de equipamentos;→
Decaimento radioativo →
9.3 Modelo Exponencial
17
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
x
Exemplo:
Baseado nestes dados e supondo que o problema possa 
ser modelado pelo modelo exponencial, calcule a propor-
ção de trocas por defeito de fabricação.
Uma empresa produz lâmpadas que tem como tempo de 
duração média igual a 8000 horas. É dada uma garantia 
de reposição se a lâmpada durar menos de 50 horas.
9.3 Modelo Exponencial
18
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
x
Exemplo:
Este caso é de aplicação direta da definição da distribui-
ção integrando no intervalo de duração que permite o uso 
da garantia, ou seja, no intervalo [0, 50] e com α = 1/8000 
ou seja, a proporção de trocas por defeito será de 0,6%.
9.3 Modelo Exponencial
19
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
x
Esta distribuição tem uma propriedade chamada de 
falta de memória.
Vamos ilustrar esta propriedade através de um exemplo
9.3 Modelo Exponencial
20
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
x
Exemplo
Calcule a probabilidade de haver uma emissão em um in-
tervalo inferior a 2 minutos.
Uma fonte radioativa emite radiação. O tempo entre emis-
sões é uma variável aleatória (medida em minutos) com 
distribuição exponencial de parâmetro α = 0,2. 
9.3 Modelo Exponencial
21
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Exemplo
Vamos explorar um pouco as propriedades da distribuição 
exponencial continuando o exercício. Calculemos agora a 
probabilidade do intervalo ser superior ou igual a 7 saben-
do-se que este intervalo é superior ou igual a 5 minutos. 
Queremos saber a probabilidade condicional
Relembrando a aula 4 de Probabilidades vamos escrever ....
9.3 Modelo Exponencial
Traduzindo para probabilidades:
22
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Exemplo (continuação)
ou ainda
9.3 Modelo Exponencial
23
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Exemplo (continuação)
Podemos calcular
Observe, então, que temos, neste caso a seguinte igualda-
de
9.3 Modelo Exponencial
como o complementar de 
que nos dá
24
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Exemplo (continuação)
Isto não é coincidência!
É a manifestação da propriedade chamada de falta de me-
mória.
Se estamos avaliando um problema de, por exemplo, durabilidade de um equi-
pamento temos que a probabilidade dele durar, digamos, t + s anos (sabendo 
que ele já durou s anos) é igual a probabilidade de um equipamento novo du-
rar t anos, ou seja,neste modelo podemos esquecer a informação "idade" do 
equipamento e só importa a probabilidade que quanto mais ele poderá durar.
9.3 Modelo Exponencial
9.4 Modelo Normal
25
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Uma variável aleatória contínua tem distribuição normal 
(ou gaussiana) com parâmentros µ e σ2
 se sua função 
densidade é dada por
que pode ser representada pela figura
26
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
9.4 Modelo Normal
f(x)
Densidade Normal
xµ
27
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Esperança (média, primeiro 
momento)
Segundo momento centrado
Variância
µ
σ2
 - µ2
σ2
9.4 Modelo Normal
28
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Propriedades:
é simétrica em relação a média→
vai a zero quando x tende para infinito 
(positivamente ou negativamente)
→
tem seu valor máximo quando x é a média→
9.4 Modelo Normal
29
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
É aplicável em situações que envolvem eventos aleató-
rios; 
→
Relacionada com o Téorema do Limite Central, do qual 
falaremos mais a frente.
→
É uma aproximação de várias outras distribuições, inclu-
indo a Binomial
→
9.4 Modelo Normal
30
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modeloscontínuos
Principais Modelos Contínuos
No cálculo de probabilidades com esta distribuição é ne-
cessário calcular a integral
que só pode ser resolvida numericamente, de forma apro-
ximada.
Nos trabalhos manuais se usam tabelas.
9.4 Modelo Normal
31
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Modelo normal - Transformação de variáveis
Para evitar a criação desnecessária de várias tabelas 
com valores µ e σ2 de utiliza-se uma transformação que 
conduz sempre ao cálculo de probabilidades com média 0 
e variância 1.
Uma distribuição com média 0 e variância 1 é chamada 
Distribuição Normal Padrão ou Distribuição Normal Redu-
zida.
9.4 Modelo Normal
32
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Modelo normal - Transformação de variáveis
Façamos a mudança de variável
Pelas propriedades da média e da variância, obtemos
9.4 Modelo Normal
33
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Modelo normal - Transformação de variáveis
ou seja, a partir de qualquer valor da média e do desvio 
padrão, podemos obter as probabilidades a partir da Dis-
tribuição Normal Reduzida.
9.4 Modelo Normal
Da mesma forma, para determinar a probabilidade de
∈ [a,b] escreveremos
34
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Um estudo do Sindicato dos Bancários indica que 30% dos 
funcionários do banco tem problemas com o estresse, pro-
venientes das condições de trabalho. Numa amostra de 200 
bancários, qual a probabilidade de pelo menos 50 deles es-
tarem nesta situação?
Exemplo
Suposições
Escolhendo a Distribuição Binomial para a variável X ~ b(200;0,3) 
Supomos que todos tem a mesma probabilidade de estarem estressados→
Os bancários são sorteados ao acaso→
9.4 Modelo Normal
35
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Exemplo
Mas a Distribuição Normal é uma aproximação da Binomial. 
Vejamos quanto no caso deste exemplo.
de cálculo tedioso mesmo com uma calculadora. 
9.4 Modelo Normal
Escolhendo a Distribuição Binomial para a variável
~ b(200;0,3) a probabilidade desejada é dada por
36
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Exemplo
Do que foi estudado da Distribuição Binomial, 
se ~ b(200;0,3) então
Vamos considerar estes valores como a média 
e a variância da distribuição normal, ou seja, 
9.4 Modelo Normal
e
37
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Exemplo
O que nos dá
O resultado direto da distribuição binomial nos dá 0,9484, 
indicando boa correspondência dos valores.
Já que falamos nisto.....
9.4 Modelo Normal
38
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Modelo normal - Quanto a distribuição Normal é próxima 
da Binomial?
9.4 Modelo Normal
X~b(4,0.5)
38
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Modelo normal - Quanto a distribuição Normal é próxima 
da Binomial?
9.4 Modelo Normal
X~b(8,0.5)
38
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Modelo normal - Quanto a distribuição Normal é próxima 
da Binomial?
9.4 Modelo Normal
X~b(20,0.5)
38
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Modelo normal - Quanto a distribuição Normal é próxima 
da Binomial?
9.4 Modelo Normal
X~b(24,0.5)
39
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Principais Modelos Contínuos
Modelo normal - Quanto a distribuição Normal é próxima 
da Binomial?
mais próximo a distribuição Normal será da Binomial
Quanto maior for o número de ensaios→
Quanto mais próximo p for de 1/2→
9.4 Modelo Normal
9.5 Mais alguns modelos contínuos
40
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Distribuição Gama
para r inteiro temos as chamadas Distribuições de Erlang, 
primeiramente usadas para modelar a duração de chama-
das telefônicas em 1917.
41
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
Distribuição de Weibull
para β = 1 se reduz a distribuição exponencial.
9.5 Mais alguns modelos contínuos
42
aula 8: Variáveias aleatórias contínuas
modelos contínuos
E todos os que forem necessários, incluindo um que 
você inventar....
9.5 Mais alguns modelos contínuos
43
Variáveis aleatórias contínuas II
Modelos Contínuos
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 9
Conteúdo:
9.1 Modelos contínuos
9.2 Modelo uniforme contínuo
9.3 Modelo exponencial
9.4 Modelo normal
9.5 Mais alguns modelos contínuos
Probabilidade e Estatística
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
1
Probabilidade e Estatística
Livro Texto:
[1] "Noções de Probabilidade e Estatística"
 Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos
 Pedroso de Lima, Edusp (2005). 
[2] "Probabilidade: Um Curso Introdutório"
 Carlos A. B. Dantas, Edusp (2004).
2
3
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 10
Inferência Estatística - Estimação I
Conteúdo:
10.1 Introdução
10.2 Parâmetros, Estima-
 dores e estimativas
10.3 Vício, Consistência e 
 Eficiência
10.1 Introdução
Uma definição:
4
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Inferência Estatística é um conjunto de técnicas que 
objetiva estudar uma população através de evidências 
fornecidas por uma amostra.
Introdução
10.1 Introdução
Uma definição:
5
Inferência Estatística é um conjunto de técnicas que 
objetiva estudar uma população através de evidências 
fornecidas por uma amostra.
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
A questão está em saber aspectos da população sem 
investigar toda a população.
10.1 Introdução
Um exemplo:
6
Você e um amigo estão fazendo um trabalho no qual 
querem estimar, numa dada escola de segundo grau 
com 1000 alunos, qual a proporção de alunos pretende 
fazer vestibular.
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
Fica combinado que cada um sorteará uma amostra de 
20 alunos, por exemplo, atribuindo um número de 1 a 
1000 a cada aluno e sorteando aleatoriamente os 20.
10.1 Introdução
Perguntas:
7
Os dados levantados independentemente por você e seu 
amigo serão necessariamente idênticos? 
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
10.1 Introdução
Perguntas:
7
Os dados levantados independentemente por você e seu 
amigo serão necessariamente idênticos? 
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
Se vocês repetirem o mesmo experimento, desde a seleção 
da amostra, vocês terão os mesmos resultados?
10.1 Introdução
Perguntas:
7
Os dados levantados independentemente por você e seu 
amigo serão necessariamente idênticos? 
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
Se vocês repetirem o mesmo experimento, desde a seleção 
da amostra, vocês terão os mesmos resultados?
Mesmo não sendo os mesmos, os dados mostrarão a 
mesma tendência?
10.1 Introdução
Resposta:
8
Devido a natureza aleatória do experimento, dificilmente 
ocorrerá resultados idênticos. No entanto, esperamos que 
os resultados obtidos nos vários ensaios sejam coerentes.
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
10.1 Introdução
Resposta:
8
Devido a natureza aleatória do experimento, dificilmente 
ocorrerá resultados idênticos. No entanto, esperamos que 
os resultados obtidos nos vários ensaios sejam coerentes.
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
A única maneira que podemos ter uma situação não 
aleatória será quando toda a população for consultada. 
Isto, no entanto, em muitas situações é impossível devido 
a umapopulação muito grande e/ou pequeno tempo para 
investigarmos os dados.
10.1 Introdução
A única maneira que podemos ter uma situação não 
aleatória será quando toda a população for consultada. 
Isto, no entanto, em muitas situações é impossível devido 
a uma população muito grande e/ou pequeno tempo para 
investigarmos os dados, etc. Isto supondo que a popula-
ção não mude de opinião.....
9
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
Exemplos:
→ Preferência por um produto
→ Estimativas de votos em uma eleição
Já que usamos a palavra estimativa...
10.1 Introdução
Nesta aula apresentaremos formalmente os conceitos 
relacionados na Inferência Estatística com a denomina-
ção de Estimação. 
10
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
Notação:
Representaremos uma amostra de tamanho n retirada de 
uma população como
(X1, X2, ... , Xn)
10.1 Introdução
Um Exemplo:
11
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
Uma empresa fabrica 100 equipamentos por semana e de-
seja verificar a confiabilidade do mesmo quanto à alteração
de voltagem. Foram elaborados testes padronizados que, 
no entanto, são demorados e custosos. Devido a isto, é tes-
tada uma amostra de 5 aparelhos. 
Quais cuidados devemos ter na escolha e interpretação dos 
resultados?
10.1 Introdução
Um Exemplo:
12
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
Cuidados:
→ Quais os dias nos quais os equipamentos foram 
 produzidos?
→ Em que máquinas?
→ Quais foram os operadores destas máquinas?
→ Por quanto tempo esta amostragem será feita?
→ Etc....
10.1 Introdução
Um Exemplo:
13
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
Abordagem possível:
Sortear as máquinas testadas diariamente tentando não 
repetir operadores e/ou máquinas;
Coletar as amostras durante uma período de várias 
semanas;
Se atribuirá os valores 0 (não confiável) e 1 (confiável) 
aos aparelhos.
10.1 Introdução
Um Exemplo:
14
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
Supondo que foram testados 5 equipamentos (X1, X2, X3,
X4, X5), poderíamos ter, por exemplo, os resultados
(0, 1, 1, 1, 1) 
ou
(1, 1, 0, 1, 0)
10.1 Introdução
Mais um Exemplo:
15
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
Foram feitos 10 lançamentos de um dado de seis faces 
antes de utilizá-lo num jogo. Os resultados obtidos foram 
(1, 5, 1, 4, 1, 2, 3, 3, 2, 3). A que conclusão podemos chegar?
10.1 Introdução
Mais um Exemplo:
16
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
Foram feitos 10 lançamentos de um dado de seis faces 
antes de utilizá-lo num jogo. Os resultados obtidos foram 
(1, 5, 1, 4, 1, 2, 3, 3, 2, 3). A que conclusão podemos chegar? 
1 2 3 4 5 6
3 2 3 1 1 0
0,3 0,2 0,3 0,1 0,1 0
Face 
Freqüência 
Freqüência relativa
10.1 Introdução
Mais um Exemplo:
17
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
→ Os dados parecem indicar um certo desbalanceamento, no entanto...
→ É bom notar que mesmo um dado equilibrado pode dar estes resultados
→ Para uma melhor análise, seria bom fazer um maior número de lançamentos
1 2 3 4 5 6
3 2 3 1 1 0
0,3 0,2 0,3 0,1 0,1 0
Face 
Freqüência 
Freqüência relativa
10.1 Introdução
Mais um Exemplo:
17
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
→ Os dados parecem indicar um certo desbalanceamento, no entanto...
→ É bom notar que mesmo um dado equilibrado pode dar estes resultados
→ Para uma melhor análise, seria bom fazer um maior número de lançamentos
1 2 3 4 5 6
3 2 3 1 1 0
0,3 0,2 0,3 0,1 0,1 0
Face 
Freqüência 
Freqüência relativa
→ Mas, baseado nesta amostra, não jogue com este dado....
10.1 Introdução
Mais um exemplo ainda...
Você mudou para um novo bairro e decide perguntar para 
as pessoas, no ponto do ônibus, quanto tempo se espera 
pela chegada do ônibus. Você pesquisa 15 pessoas que 
lhe dão os resultados em minutos
(5, 10, 5, 15, 12, 12, 10, 15, 20, 15, 20, 12, 8, 10, 10)
Qual o significado? Que haverá uma espera de 10 minutos 
ou mais?
18
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
10.1 Introdução
Mais um exemplo ainda...
Você mudou para um novo bairro e decide perguntar para 
as pessoas, no ponto do ônibus, quanto tempo se espera 
pela chegada do ônibus. Você pesquisa 15 pessoas que 
lhe dão os resultados em minutos
(5, 10, 5, 15, 12, 12, 10, 15, 20, 15, 20, 12, 8, 10, 10)
Qual o significado? Que haverá uma espera de 10 minutos 
ou mais?
18
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
Média: 11,6 Moda: 10 Mediana: 12
10.1 Introdução
Mais um exemplo ainda...
(5, 10, 5, 15, 12, 12, 10, 15, 20, 15, 20, 12, 8, 10, 10)
Observações quanto as pessoas pesquisadas:
→ Deram opiniões baseadas em experiências anteriores 
 possivelmente diversas
→ Algumas delas podem ser mais desatentas que outras
→ Umas podem dar pareceres otimistas, outras pessimistas
19
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
10.1 Introdução
Mais um exemplo ainda...
(5, 10, 5, 15, 12, 12, 10, 15, 20, 15, 20, 12, 8, 10, 10)
Observações quanto as pessoas pesquisadas:
→ Deram opiniões baseadas em experiências anteriores 
 possivelmente diversas
→ Algumas delas podem ser mais desatentas que outras
→ Umas podem dar pareceres otimistas, outras pessimistas
19
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
→ Observe que a pesquisa tem muito de subjetivo
10.1 Introdução
É necessário um estudo cuidadoso para termos uma 
idéia do quanto as amostras são válidas e o quanto as in-
formações extraidas desta amostra são significativas para 
o problema que estudamos e ...
20
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
10.1 Introdução
É necessário um estudo cuidadoso para termos uma 
idéia do quanto as amostras são válidas e o quanto as in-
formações extraidas desta amostra são significativas para 
o problema que estudamos e ...
Temos que definir formalmente os aspectos intuitivos 
apresentados até agora.
20
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Introdução
10.2 Parâmetros, Estimadores e Estimativas
21
Parâmetro
As quantidades da população, em geral desconhecidas, 
sobre as quais temos interesse, são denominadas parâ-
metros e, geralmente, representadas por letras gregas.
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Parâmetros, Estimadores e Estimativas
10.2 Parâmetros, Estimadores e Estimativas
21
Parâmetro
As quantidades da população, em geral desconhecidas, 
sobre as quais temos interesse, são denominadas parâ-
metros e, geralmente, representadas por letras gregas.
Estimador
Estimador é a combinação de elementos da amostra, 
construída com a finalidade de representar (ou estimar) 
um parâmetro de interesse na população. É representa-
do por letras gregas com o sinal de circunflexo.
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Parâmetros, Estimadores e Estimativas
10.2 Parâmetros, Estimadores e Estimativas
21
Parâmetro
As quantidades da população, em geral desconhecidas, 
sobre as quais temos interesse, são denominadas parâ-
metros e, geralmente, representadas por letras gregas.
Estimador
Estimador é a combinação de elementos da amostra, 
construída com a finalidade de representar (ou estimar) 
um parâmetro de interesse na população. É representa-
do por letras gregas com o sinal de circunflexo.
Estimativa (ou estimativa pontual)
É o valor numérico assumidopelo estimador
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Parâmetros, Estimadores e Estimativas
10.2 Parâmetros, Estimadores e Estimativas
22
Parâmetro
Exemplo: θ, µ, σ
Sobre a notação: Sejam X elemento de uma amostra e 
A uma população. Então µx significa média de X refe-
rente a uma certa população e µA média da população 
A referente a uma certa variável.
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Parâmetros, Estimadores e Estimativas
10.2 Parâmetros, Estimadores e Estimativas
23
Estimador
Exemplo: θ^ , µ^ , σ^
Um estimador θ^ é uma função das variáveis aleatórias 
constituintes da amostra, ou seja, 
Sendo assim: θ^ = f(X1, X2, ..., Xn)
→ O estimador é uma variável aleatória
→ A sua distribuição probabilidade formará a base para 
 as argumentações probabilísticas para extrapolar os 
 valores obtidos para a amostra para a população.
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Parâmetros, Estimadores e Estimativas
10.2 Parâmetros, Estimadores e Estimativas
24
Um exemplo:
Queremos saber a média das alturas dos jovens ( µ ) com 
idade entre 15 e 18 anos, nascidos na região sudoeste do 
país. Vão ser selecionados aleatoriamente 10 jovens como 
amostra. 
A amostra é (X1, X2, ..., X10)
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Parâmetros, Estimadores e Estimativas
10.2 Parâmetros, Estimadores e Estimativas
25
Um exemplo:
 
A amostra é (X1, X2, ..., X10)
Podemos escolher várias funções diferentes dos valores 
amostrais como
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Parâmetros, Estimadores e Estimativas
µ̂2 = f2 (X1, X2, ..., Xn) = X1 
µ̂1 = f1 (X1, X2, ..., Xn) = mínimo + máximo
2
µ̂3 = f3 (X1, X2, ..., Xn) = 
X1+ ... + X10
10
10.2 Parâmetros, Estimadores e Estimativas
26
Todos estes são válidos!
 µ^ 1 é a média entre o mínimo e o máximo valores da 
 amostra
 µ^ 2 é o valor da primeira amostra
 µ^ 3 é o valor da média aritmética dos valores da amostra
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Parâmetros, Estimadores e Estimativas
10.2 Parâmetros, Estimadores e Estimativas
27
Dada a amostra (1,65; 1,57; 1,72; 1,66; 1,71; 1,74; 1,81; 
1,68; 1,60; 1,77) Temos: 
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Parâmetros, Estimadores e Estimativas
µ^ 2 = 1,65 
µ^ 1 = = 1,69 1,57 + 1,81
2
Os valores, curiosamente, são bem semelhantes. Como 
decidir qual deles usar?
µ^ 3 = = = 1,691,65 + 1,57 + ... + 1,77
10
16,91
10
10.2 Parâmetros, Estimadores e Estimativas
28
Mais um exemplo:
Para estimar o apoio popular a um projeto de reforma 
agrária, foram entrevistadas em todo o país. A amostra 
contém as respostas que são sim e não.
Formalizemos o problema:
As variáveis aleatórias (X1, X2, ..., X400) seguem o modelo 
de Bernoulli, ou seja, tomam valores 1 (sim) e 0 (não).
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Parâmetros, Estimadores e Estimativas
10.2 Parâmetros, Estimadores e Estimativas
29
É intuitivo considerar como estimador a proporção
amostral dos que concordam, ou seja
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Parâmetros, Estimadores e Estimativas
que pode ser escrito como
p̂ = número de entrevistados que aprovam o projeto
400
(X1, X2, ... , X400)
p̂ = X1 + X2 + ... + X400
400
10.2 Parâmetros, Estimadores e Estimativas
30
Suponha agora que temos uma amostra de tamanho n reti-
rada de uma população, ou seja, (X1, X2, ... , Xn)
Denotemos os parâmetros média, variância e proporção de 
certa característica desta população por µ, σ2
 e p . Os esti-
madores "naturais" são
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Parâmetros, Estimadores e Estimativas
10.2 Parâmetros, Estimadores e Estimativas
31
Os estimadores "naturais" são
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Parâmetros, Estimadores e Estimativas
X
_
 =
X1 + X2 + ... + Xn
n
σ̂2 = Σ
n
i = 1
(Xi − X
_
)21
n
p̂ = número de itens com a característica na amostra
n
10.2 Parâmetros, Estimadores e Estimativas
32
E mais um exemplo...
Foi coletada uma amostra de pacientes com um tipo de 
câncer. O dado estudado foi tamanho dos tumores com 
os seguintes resultados (em cm
2
): 
 (2,52; 4,45; 3,85; 4,32; 6,12; 5,88; 4,08; 5,91; 4,50; 4,86; 5,48; 5,10)
Se quer saber qual é a variabilidade no tamanho dos tu-
mores. Usaremos, então a variância σ2. Vamos conside-
rar dois estimadores:
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Parâmetros, Estimadores e Estimativas
σ^ 2 = (Xi - X
__
)21
n
O primeiro é a variância dos dados e o segundo a semi-
amplitude destes valores.
σ^ 2 = (máximo - mínimo)2
2
10.2 Parâmetros, Estimadores e Estimativas
33
E mais um exemplo...
Dados:
(2,52; 4,45; 3,85; 4,32; 6,12; 5,88; 4,08; 5,91; 4,50; 4,86; 5,48; 5,10)
Estimativas:
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Parâmetros, Estimadores e Estimativas
Embora distintos, estas são duas estimativas da dispersão 
de valores dos tamanhos dos tumores.
σ^ 2
1obs
 = [(3,52 - 4,84)2 + ... + (5,10 - 4,84)2] = 0,671
12
σ^ 2
2obs
 = = = 1,69(6,12 - 3,52)2
2
2,602
2( (
10.3 Vício, Consistência e Eficiência
34
Vício:
Se um estimador θ^ é não viciado (ou não viesado) para 
um parâmetro θ então
 E(θ^ ) = θ
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Vício, Consistência e Eficiência
ou seja, um estimador é não viciado se o seu valor esperado 
coincide com o parâmetro de interesse.
Obs: Esta definição deve valer para quantos sejam o 
número de amostras.
10.3 Vício, Consistência e Eficiência
35
Consistência:
Se um estimador θ^ é dito consistente se, à medida que o 
tamanho n da amostra aumenta, seu valor esperado con-
verge para o parâmetro de interesse e sua variância con-
verge para zero. Formalmente
 lim
n → ∞ 
 E(θ^ ) = θ
 lim
n → ∞ 
 Var(θ^ ) = 0
Obs: Nesta definição o estimador necessita ser não viciado
para valores grandes de n.
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Vício, Consistência e Eficiência
10.3 Vício, Consistência e Eficiência
36
Consistência:
Suponha que de uma característica X de uma população, 
se conhece a média e a variância, ou seja, µ e σ2
 . Uma 
amostra de tamanho n é obtida para estimar o parâmetro µ. 
Considere o estimador µ^ = X
__
 já apresentado. Vamos supor 
que o vetor amostral (X1, X2,....,Xn) é constituido de variá-
veis aleatórias independentes e todas com a mesma distri-
buição da variável X, ou seja, X1, X2,....,Xn seguem algum 
modelo com média e variância µ e σ2
, respectivamente.
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Vício, Consistência e Eficiência
10.3 Vício, Consistência e Eficiência
37
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Vício, Consistência e Eficiência
Observe que a média amostral não depende de n, logo não 
é viciada e a variância tende a 0 à medida que n cresce.
Consistência:
Pelas propriedades da esperança e da variância temos
E(µ̂1) = E(X
__
) = E = = = µ 
Var (µ̂1) = Var = = =
 Σ
n
i=1
 E(Xi)
n
nµ
n
nσ2
n2
σ2
n
 Σ
n
i=1
 Var(Xi)
n2
( )X1 + X2 + ... + Xn
n
( )X1 + X2 + ... + Xn
n
10.3 Vício, Consistência e Eficiência
37
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Vício, Consistência e Eficiência
Observe que a média amostral não depende de n, logo não 
é viciada e a variância tende a 0 à medida que n cresce.
Conclusão: X
__
 é um estimador consistente para µ.
Consistência:
Pelas propriedades da esperança e da variância temos
E(µ̂1) = E(X
__
) = E = = = µ 
Var (µ̂1) = Var == =
 Σ
n
i=1
 E(Xi)
n
nµ
n
nσ2
n2
σ2
n
 Σ
n
i=1
 Var(Xi)
n2
( )X1 + X2 + ... + Xn
n
( )X1 + X2 + ... + Xn
n
10.3 Vício, Consistência e Eficiência
38
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Vício, Consistência e Eficiência
Consistência:
Vamos colocar que o modelo de X seja o Normal, ou seja,
X ∼ N(µ, σ2
)
→ Os resultados obtidos permanecem válidos, já que não 
 estão condicionados a um determinado modelo. 
→ Podemos ter agora um outro estimador dado por 
 µ^ 2 = mediana(X1, X2,....,Xn)
 (o modelo normal é simétrico e a mediana, assim como 
 a média, é uma medida de tendência central.)
10.3 Vício, Consistência e Eficiência
39
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Vício, Consistência e Eficiência
Consistência:
Calcular este novo estimador é um pouco mais difícil 
de calcular que o anterior (um bom exercício!) e chega-
mos aos resultados
 E(µ ^2) = µ Var(µ ^2) =
que também não é viciado e é consistente para a média.
π
2
σ2
n
10.3 Vício, Consistência e Eficiência
40
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Vício, Consistência e Eficiência
Consistência:
É dada uma amostra (X1, X2,....,Xn) obtida de uma popula-
ção com média e variância, respectivamente iguais a µ e 
σ2
. Vamos mostrar que o estimador denotado anterior-
mente por σ^ 2
1 é viciado para σ2
 :
E(σ^ 2
1) = E Σ
n
i=1
 E(Xi -X
__
)21
n [ [
= E Σ
n
i=1
 (Xi - µ + µ -X
__
)21
n [ [
10.3 Vício, Consistência e Eficiência
40
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Vício, Consistência e Eficiência
Consistência:
É dada uma amostra (X1, X2,....,Xn) obtida de uma popula-
ção com média e variância, respectivamente iguais a µ e 
σ2
. Vamos mostrar que o estimador denotado anterior-
mente por σ^ 2
1 é viciado para σ2
 :
E(σ^ 2
1) = E Σ
n
i=1
 E(Xi -X
__
)21
n [ [
= E Σ
n
i=1
 (Xi - µ + µ -X
__
)21
n [ [
E(σ^ 2
1) = E Σ
n
i=1
 (Xi - µ)21
n [ [
− E Σ
n
i=1
 (X
__
 - µ)21
n [ [
= Σ
n
i=1
 E(Xi - µ)2 - E(X
__
 - µ)21
n
10.3 Vício, Consistência e Eficiência
40
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Vício, Consistência e Eficiência
Consistência:
É dada uma amostra (X1, X2,....,Xn) obtida de uma popula-
ção com média e variância, respectivamente iguais a µ e 
σ2
. Vamos mostrar que o estimador denotado anterior-
mente por σ^ 2
1 é viciado para σ2
 :
E(σ^ 2
1) = nσ21
n
− σ2 = σ2 1
n
n - 1
n( (
E(σ^ 2
1) = E Σ
n
i=1
 E(Xi -X
__
)21
n [ [
= E Σ
n
i=1
 (Xi - µ + µ -X
__
)21
n [ [
E(σ^ 2
1) = E Σ
n
i=1
 (Xi - µ)21
n [ [
− E Σ
n
i=1
 (X
__
 - µ)21
n [ [
= Σ
n
i=1
 E(Xi - µ)2 - E(X
__
 - µ)21
n
10.3 Vício, Consistência e Eficiência
40
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Vício, Consistência e Eficiência
Consistência:
É dada uma amostra (X1, X2,....,Xn) obtida de uma popula-
ção com média e variância, respectivamente iguais a µ e 
σ2
. Vamos mostrar que o estimador denotado anterior-
mente por σ^ 2
1 é viciado para σ2
 :
E(σ^ 2
1) = nσ21
n
− σ2 = σ2 1
n
n - 1
n( (
Este resultado mostra que este estimador é viciado. Mas 
podemos dar um jeito nisto....
E(σ^ 2
1) = E Σ
n
i=1
 E(Xi -X
__
)21
n [ [
= E Σ
n
i=1
 (Xi - µ + µ -X
__
)21
n [ [
E(σ^ 2
1) = E Σ
n
i=1
 (Xi - µ)21
n [ [
− E Σ
n
i=1
 (X
__
 - µ)21
n [ [
= Σ
n
i=1
 E(Xi - µ)2 - E(X
__
 - µ)21
n
10.3 Vício, Consistência e Eficiência
41
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Vício, Consistência e Eficiência
Consistência:
 
para os cálculos podemos usar a expressão
Este estimador é chamado de variância amostral.
S2 = Σ
n
i=1
(Xi - X
__
)21
n - 1
S2 = Σ
n
i=1
(X2
i - nX
__
2)1
n - 1
n - 1, a dependência por n desaparece e teremos um 
estimador não viciado dado por 
Se multiplicarmos o estimador σ^ por n e dividi-lo por
10.3 Vício, Consistência e Eficiência
42
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Vício, Consistência e Eficiência
Mais uma definição:
Eficiência
Dados dois estimadores θ^ 1 e θ^ 2 , não viciados para o 
parâmetro θ, dizemos que θ^ 1 é mais eficiente do que θ2 
se Var(θ^ 1) < Var(θ^ 2).
10.3 Vício, Consistência e Eficiência
43
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Vício, Consistência e Eficiência
Eficiência
Um exemplo:
Vimos anteriormente dois estimadores não viciados distri-
buição Normal, ou seja, 
dos quais foram calculadas as variâncias. Assim, teremos 
que
µ̂1 = X
__
 e µ̂2 = mediana(X1, ... , Xn)
= 2
π
σ2
n
1
π/2 σ2/n
=
Var(µ̂2)
Var(µ̂1)
que é um número menor que 1.
10.3 Vício, Consistência e Eficiência
43
aula 10: Inferência Estatística - Estimação I
Vício, Consistência e Eficiência
Eficiência
Um exemplo:
Vimos anteriormente dois estimadores não viciados distri-
buição Normal, ou seja, 
dos quais foram calculadas as variâncias. Assim, teremos 
que
µ̂1 = X
__
 e µ̂2 = mediana(X1, ... , Xn)
= 2
π
σ2
n
1
π/2 σ2/n
=
Var(µ̂2)
Var(µ̂1)
que é um número menor que 1.Logo Var(µ^ 1) < Var(µ^ 2) 
o que nos faz concluir que µ^ 1 é mais eficiente do que µ^ 2 .
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 10
Inferência Estatística - Estimação I
Conteúdo:
10.1 Introdução
10.2 Parâmetros, Estima-
 dores e estimativas
10.3 Vício, Consistência e 
 Eficiência
44
Probabilidade e Estatística
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
1
Probabilidade e Estatística
Livro Texto:
[1] "Noções de Probabilidade e Estatística"
 Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos
 Pedroso de Lima, Edusp (2005). 
[2] "Probabilidade: Um Curso Introdutório"
 Carlos A. B. Dantas, Edusp (2004).
2
3
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 11
 Inferência Estatística - Estimação II
Conteúdo:
11.1 Distribuições Amostrais
11.2 Teorema Central do Limite
11.3 Estimação por Intervalo
11.0 Recapitulando
4
inferência estatística - estimação
recapitulando
Uma definição:
Inferência Estatística é um conjunto de técnicas que obje-
tiva estudar uma população através de evidências forneci-
das por uma amostra.
11.1 Distribuições Amostrais
5
inferência estatística - estimação
distribuições amostrais
Estimadores são funções de variáveis aleatórias sendo, 
também, variáveis aleatórias. Mas....
Qual a distribuição de probabilidade dos estimadores?
11.1 Distribuições Amostrais
6
inferência estatística - estimação
distribuições amostrais
Para variar, um exemplo:
Com uma moeda equilibrada, jogamos três vezes. Se sai 
cara, você ganha um ponto, se sai coroa, você perde um 
ponto. 
Vamos chamar de a variável aleatória que toma os va-
lores 1 e -1, com probabilidades iguais e vamos determinar 
as funções de probabilidade dos estimadores e
11.1 Distribuições Amostrais
7
inferência estatística - estimação
distribuições amostrais
(-1, -1, -1)
(-1, -1, 1)
(-1, 1, -1)
(-1, 1, 1)
( 1, -1, -1)
( 1, -1, 1)
( 1, 1, -1)
( 1, 1, 1)
probabilidade
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
-1
-1/3
-1/3
1/3
-1/3
1/3
1/3
1
0
4/3
4/3
4/3
4/3
4/3
4/3
0
O vetor amostral é constituido de variáveis 
aleatórias independentes e identicamente distribuidas 
com função de probabilidade igual à de .
11.1 Distribuições Amostrais
8
inferência estatística - estimação
distribuições amostrais
Destes dados podemos tirar as informações
E(X) = 0 (média) Var(X) = 1 (variância)
Os valores tabelados são simples de calcular. Por exem-
plo, para a amostra (-1, 1, -1) escreveremos
11.1 Distribuições Amostrais
9
inferência estatística - estimação
distribuições amostrais
Por meio da tabela, podemosconstruir as distribuições 
dos estimadores:
que nos dão os valores esperados
0 4/3
1/4 3/4pi
-1 -1/3 1/3 1
1/8 3/8 3/8 1/8pi
11.1 Distribuições Amostrais
10
inferência estatística - estimação
distribuições amostrais
Observe que:
Assim temos que ambos os estimadores são não viciados. 
Mas assim é fácil, não? E num caso mais geral?
11.1 Distribuições Amostrais
11
inferência estatística - estimação
distribuições amostrais
No problema anterior é possível enumerar as amostras, 
o que facilita achar a função de probabilidade. 
Importante
No entanto,
Assim, em geral, obter a distribuição de probabilidade de 
estimadores é um problema importante e, muitas vezes, 
difícil. 
Se tivesse distribuição Uniforme (portanto, contínua), 
entre -1 e 1, não seria viável enumerar todas as amos-
tras possíveis. 
11.1 Distribuições Amostrais
12
inferência estatística - estimação
distribuições amostrais
Vamos para o caso da distribuição Normal, ou seja,
Também já vimos que qualquer combinação linear de Xi 
tem também uma distribuição Normal, ou seja,
tem distribuição Normal.
Temos que representa uma amostra aleatória 
com elementos independentes e identicamente distribuí-
dos, com média e variância .
Conclusão: 
11.1 Distribuições Amostrais
13
inferência estatística - estimação
distribuições amostrais
Com estes dados podemos obter a distribuição média 
amostral para a distribuição Normal se tomarmos no 
somatório ai = 1/n para n = 1, ..., n.
Usando as propriedades da Esperança e da Variância 
obtemos
Conclusão: Uma coleção de variáveis aleatórias inde-
pendentes, com uma mesma distribuição de probabi-
lidade dada por um modelo Normal com média e va-
riância ,terá a média amostral também com
distribuição Normal mas com média e variância 
11.1 Distribuições Amostrais
14
inferência estatística - estimação
distribuições amostrais
Com estes dados podemos obter a distribuição média 
amostral para a distribuição Normal se tomarmos no 
somatório ai = 1/n para n = 1, ..., n.
Usando as propriedades da Esperança e da Variância 
obtemos
11.1 Distribuições Amostrais
15
inferência estatística - estimação
distribuições amostrais
Tomando o resultado anterior, podemos concluir que a 
medida que a amostra cresce, a probabilidade de a mé-
dia amostral estar na vizinhança da média da população 
se torna maior.
Observe:
11.1 Distribuições Amostrais
16
inferência estatística - estimação
distribuições amostrais
Mais um exemplo:
Graficamente, vemos o efeito do crescimento de n sobre 
a distribuição amostral a figura que se segue, para n 
igual a 10, 30, 50 e 100...
A variável aleatória tem distribuição N(10, 16/n), pelo 
resultado que achamos para a distribuição média amos-
tral para a distribuição Normal.
Considere uma amostra independente da tamanho n de 
uma variável com distribuição normal de média 10 e va-
riância 16, ou seja, N(10, 16). Como se comporta em 
função de n?
11.1 Distribuições Amostrais
17
inferência estatística - estimação
distribuições amostrais
A medida que n cresce, mais a distribuição se estreita 
em torno da média
11.1 Distribuições Amostrais
18
inferência estatística - estimação
distribuições amostrais
Mais um exemplo:
Numa empresa se aceitará um lote de 1000 peças somente 
se as mesmas tiverem comprimento médio entre 5 e 10 cm, 
tomando uma amostra de 10 peças. Sabe-se que o compri-
mento das peças é uma variável aleatória com distribuição 
Normal de média 7,5 cm e variância 20 cm. 
O que podemos dizer da aceitação do lote de peças?
11.1 Distribuições Amostrais
19
inferência estatística - estimação
distribuições amostrais
Definindo como o comprimento da i-ésima peça retirada, 
com i indo de 1 até 10, temos que a média das peças a se-
rem retiradas, representada por , terá distribuição Normal 
com média 7,5 cm e variância 20/10 = 2 cm
2
. Assim, a pro-
babilidade de aceitar o lote será
ou seja, mais de 92% de probabilidade do lote ser aceito.
Foi usada a tabela para N(0, 1). 
Mais um exemplo:
11.1 Distribuições Amostrais
20
inferência estatística - estimação
distribuições amostrais
De uma maneira geral, não temos informações a respeito 
da distribuição das variáveis da amostra.
No entanto, sob certas condições, pode ser mostrado que:
Para um tamanho de amostra suficientemente grande, a 
distribuição de probabilidade média amostral pode ser 
aproximada por uma distribuição Normal.
Este fato constitui .....
11.2 Teorema Central do Limite
21
inferência estatística - estimação
teorema central do limite
onde Z ~ N(0,1).
Traduzindo....
Suponha uma amostra aleatória simples de tamanho n 
retirada de uma população de média e variância 
sem que se especifique o modelo da variável aleatória. 
Representando esta amostra por e de-
notando sua média por , temos que
Teorema Central do Limite
Teorema Central do Limite
11.2 Teorema Central do Limite
22
inferência estatística - estimação
teorema central do limite
Estudos feitos envolvendo simulações indicam que para n 
por volta de 30 já são obtidos bons resultados.
O teorema garante que para n suficientemente grande a 
distribuição da média amostral, devidamente padronizada, 
se comporta segundo o modelo Normal com média 0 e va-
riância 1.
Com isto, quando estamos trabalhando com a média amos-
tral, o teorema permite que estudemos probabilistica-
mente usando a distribuição Normal.
11.2 Teorema Central do Limite
23
inferência estatística - estimação
teorema central do limite
Não demonstramos o teorema no entanto, você pode fazer 
uma série de simulações que apoiam o resultado enunciado. 
Já que vocês são do curso de Tecnologia em Sistemas de 
Computação, usem o computador para fazerem o seguinte 
procedimento:
• Simule uma coleta de amostras de um modelo;
• Repita esta coleta um número grande de vezes, calcule as 
 médias amostrais e crie um histograma com estes valores;
• Varie o tamanho da amostra;
• Varie o modelo;
• Compare os gráficos obtidos.
11.2 Teorema Central do Limite
inferência estatística - estimação
teorema central do limite
Exemplo computacional
Exponencial
24 10 amostras 30 amostras 50 amostras
Uniforme
10 amostras 30 amostras 50 amostras
11.2 Teorema Central do Limite
inferência estatística - estimação
teorema central do limite
Exemplo computacional
Binomial(10;0,1)
25
10 amostras 30 amostras 50 amostras
Mais um exemplo:
11.2 Teorema Central do Limite
26
inferência estatística - estimação
teorema central do limite
onde o último resultado foi obtido usando a tabela da N(0, 1).
Uma variável aleatória , toma os valores 3, 6, e 8 com 
probabilidades 0,4; 0,3 e 0,3 respectivamente. Uma amos-
tra com 40 observações é sorteada. Não se conhece a dis-
tribuição de e temos que a média e a variância tem os 
valores 5,4 e 4,44 respectivamente.Queremos saber qual a 
probabilidade da média amostral ser superior a 5, ou seja, 
11.2 Teorema Central do Limite
27
inferência estatística - estimação
teorema central do limite
E mais um exemplo:
Recordando que para o modelo Exponencial
temos que:
Numa certa cidade, a duração das ligações telefônicas 
seguem o modelo Exponencial com parâmetro 1/3, ou 
seja ~exp(1/3). Observando uma amostra de 50 chama-
das, qual a probabilidade delas, em média, não ultrapas-
sarem 4 minutos?
11.2 Teorema Central do Limite
27
inferência estatística - estimação
teorema central do limite
Supondo que esta amostra seja suficientemente grande, 
podemos usar o Teorema Central do Limite para calcular 
a probabilidade desejada, ou seja, 
ou seja, é praticamente certo que a média amostral das li-
gações serão menores do que 4 minutos. Poderíamos usar 
aqui a distribuição de Erlang, mostradana aula 9. Mas, 
neste caso, teríamos de ter mais um parâmetro estimado. 
Veja a referência [2] Probabilidade: Um Curso Introdutório 
de Carlos A. B. Dantas.
 ~exp(1/3)
11.2 Teorema Central do Limite
29
inferência estatística - estimação
teorema central do limite
Distribuição de Proporção amostral
Lembrem que definimos a proporção amostral como
Se temos que o i-ésimo indivíduo de uma variável alea-
tória Yi tal que esta valha 1 se o indivíduo tem esta ca-
racterística e 0 caso não a tenha. Podemos reescrever 
a proporção amostral como
Ou seja, a proporção amostral é a média das variáveis 
aleatórias convenientemente definidas.
11.2 Teorema Central do Limite
30
inferência estatística - estimação
teorema central do limite
Distribuição de Proporção amostral
Com a proporção de indivíduos com a característica na 
população escrita como p e que os indivíduos foram se-
lecionados aleatoriamente, temos que Y1, ... , Yn formam 
uma seqüência de variáveis aleatórias independentes 
com distribuição de Bernoulli. Então, como
Temos que p
^
 é um estimador não viciado e consistente 
com p.
11.2 Teorema Central do Limite
31
inferência estatística - estimação
teorema central do limite
Distribuição de Proporção amostral
Num lote de peças 40% estavam fora de especificação. 
Qual a probabilidade de acharmos uma proporção de 
peças menor que 50% numa amostra de 30 peças?
Modelo Binomial
Modelo Normal com o uso do Teorema Central do Limite
Obs: O cálculo do modelo Binomial é bem mais complexo que o do modelo 
 Normal.
Este problema se encaixa perfeitamente no modelo Bi-
nomial e, aproximadamente, pelo modelo Normal. Re-
presentando como proporção amostral das peças de-
feituosas como p
^
, teremos
11.2 Teorema Central do Limite
32
inferência estatística - estimação
teorema central do limite
Distribuição de Proporção amostral
Modelo Binomial
Modelo Normal com o uso do Teorema Central do Limite
Com uma amostra de apenas tamanho 30 obtemos um 
resultado aproximado muito bom.
11.3 Estimação por intervalo
33
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Os estimadores vistos até agora fornessem um único valor 
numérico para os parâmetros de interesse. São estimado-
res pontuais.
É uma informação útil se soubermos a medida de precisão 
do valor obtido.
Veremos agora um método de estimação chamado interva-
lo de confiança que incorpora estimativa pontual do parâ-
metro e informações a respeito de sua variabilidade.
11.3 Estimação por intervalo
34
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Intervalo de confiança
Vejamos o caso do intervalo de confiança para a média 
numa população Normal da qual conhecemos a média 
e a variância, .
Ainda supomos ter uma amostra de tamanho n dada 
por . Já vimos que a média amostral 
tem uma distribuição Normal com média e variância 
dadas por
Assim temos,
Mas qual o intervalo de confiança deste valor?
11.3 Estimação por intervalo
35
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Intervalo de confiança
O índice de zγ/2 apresenta o valor de γ dividido por 2 uma 
vez que este valor deve ser igualmente distribuido em 
torno da origem. Ou num gráfico .... 
Vamos introduzir um valor tal que 0 < γ < 1. Podemos 
achar um valor tal que 
11.3 Estimação por intervalo
36
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
11.3 Estimação por intervalo
37
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
O valor zγ/2 pode ser obtido da tabela da Normal padrão, 
localizando o valor de γ/2 na tabela e obtendo o valor de 
zγ/2 nas margens correspondentes. Feito isto, temos o 
intervalo
que pode ser reescrito como
- zγ/2 < z < zγ/2 ⇒ - zγ/2 < < zγ/2
< µ < - zγ/2 + zγ/2 
11.3 Estimação por intervalo
38
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Daqui então
podemos tirar o intervalo de confiança para a média com 
coeficiente de confiança γ, sendo dado por 
Como interpretar esta definição?
11.3 Estimação por intervalo
39
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Intervalo de confiança
Como interpretar esta definição?
• Envolve que é variável aleatória logo, o intervalo 
 também é aleatório;
• A probabilidade deste intervalo conter µ é dada por γ;
• Ao coletar a amostra, torna-se e, conhecidos
σ, n, zγ/2 o intervalo passa a ser numérico.
No resumo....
11.3 Estimação por intervalo
40
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Se obtivermos várias amostras de mesmo tamanho e, 
para cada uma delas, calcularmos os correspondentes 
intervalos de confiança com coeficiente de confiança γ, 
esperamos que a proporção de intervalos que conte-
nham o valor de µ seja igual a γ. 
Intervalo de confiança
11.3 Estimação por intervalo
41
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Suponha que os comprimentos de jacarés adultos de uma 
determinada raça siga o modelo Normal com média µ des-
conhecida e variância igual a 0,01 m
2
. Uma amostra de 10 
animais deu a média 1,69m. Estime γ.
A probabilidade de é normal com a média µ e a variân-
cia é σ2= 0,01/10 = 0,001 m
2
.
Vamos obter o intervalo de confiança para µ com coefici-
ente γ.
Estabelecendo γ = 95% obtemos da tabela Normal
11.3 Estimação por intervalo
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Intervalo de confiança
Adotando a interpretação dada na tela anterior temos que
estes cálculos indicam que:
• ao construirmos 100 intervalos, 95 conteriam a verdadei-
 ra média;
• a verdadeira média estaria dentro do intervalo [1,63; 1,75], 
 uma amplitude de 12 cm, relativamente pequena em com-
 paração ao valor presumido da média.
42
11.3 Estimação por intervalo
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Intervalo de confiança
Adotando a interpretação dada na tela anterior temos que
estes cálculos indicam que:
• ao construirmos 100 intervalos, 95 conteriam a verdadei-
 ra média;
• a verdadeira média estaria dentro do intervalo [1,63; 1,75], 
 uma amplitude de 12 cm, relativamente pequena em com-
 paração ao valor presumido da média.
Obs: O tamanho de jacarés, e de quaisquer seres vivos, não 
seguem rigidamente o modelo Normal. Não existe a possi-
bilidade de acharmos um jacaré de 1km de comprimento, 
embora seja possível (mas improvável) pelo modelo Normal.
43
11.3 Estimação por intervalo
44
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
A amplitude de confiança é dada formalmente como
Observe que esta expressão depende da:
• confiança γ ;
• do desvio padrão σ ;
• do tamanho da amostra n.
Logo......
11.3 Estimação por intervalo
45
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Amplitude de confiança
A medida que aumentamos a confiança, o valor de zγ/2fica 
maior e a amplitude do intervalo aumenta pois com inter-
valos maiores temos maior probabilidade de incluirmos a 
verdadeira média.
A medida que aumentamos o número de amostras, diminui 
o intervalo, aumentando assim a probabilidade de termos 
um valor mais próximo da média verdadeira.
11.3 Estimação por intervalo
46
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Um exemplo
Queremos saber a vida média de uma bateria de uma certa 
marca. Baseado em estudos de outros fabricantes há indí-
cios que a vida de baterias seguem o modelo Normal com 
desvio padrão de 4,5 meses. 
Qual o tamanho da amostra deverá ter para que a amplitu-
de de confiança seja de 90% para uma vida média de 3
meses?
Para achar n vamos usar a equação
11.3 Estimação por intervalo
47
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Um exemplo
Para achar n vamos usar a equação
Para 2zγ/2 = 1,64, correspondente à γ = 0,90 e como 
σ = 4,5 , temos
Assim a amostra deverá ser de tamanho 25 ecomo so-
brevalorizamos n, a amplitude do intervalo será ligeira-
mente menor que 3 e, portanto, mais informativo.
11.3 Estimação por intervalo
48
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Um provedor de acesso à Internet está monitorando a 
duração do tempo das conexões de seus clientes. O que 
se pretende é avaliar a necessidade de expansão dos 
equipamentos. Não se conhece a média e a distribuição 
de probabilidade mas o desvio padrão, por analogia a 
outros serviços, é igual a minutos.
Qual a verdadeira média com confiança de 92%?
Uma amostra de 500 conexões resultou num valor médio 
observado de 25 minutos.
Mais um exemplo
11.3 Estimação por intervalo
49
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Mais um exemplo
Como não se conhece a média e a distribuição de proba-
bilidade, usaremos o Teorema Central do Limite já que a 
amostra é de tamanho 500.
Já vimos exemplos onde tamanhos menores nos davam 
resultados úteis. Assim, para um coeficiente de confiança 
de 92%, obtemos o intervalo de confiança como abaixo
com uma amplitude de apenas 1,1!
11.3 Estimação por intervalo
50
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Um exemplo médico
Num experimento, pretende-se estimar a proporção p de 
cura pelo uso de um medicamento. Aleatoriamente, foi 
selecionada uma amostra de 200 pacientes e pretende-se 
que 160 pacientes estejam curados depois do tratamento. 
Como estimar a partir do experimento a proporção p da 
população como um todo?
Uma estimativa pontual para p é dada por p^ obs=160/200=0,8 
Embora não haja indícios sobre a distribuição da propor-
ção pontual, o Teorema Central do Limite garante que, pa-
ra um número grande o suficiente, podemos aproximar a 
distribuição desconhecida com a distribuição Normal.
11.3 Estimação por intervalo
51
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Um exemplo médico
Temos, então, como aproximação,
Continuando com nossas hipóteses, vamos examinar um 
intervalo de confiança com coeficiente γ = 0,95 (zγ / 2=1,96) 
e , daí, calcularmos o intervalo de confiança, 
Obs: p é desconhecido e, portanto, o cálculo é impossível. 
Temos que fazer mais hipóteses!
11.3 Estimação por intervalo
52
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Um exemplo médico
Com mais esta suposição, podemos calcular o intervalo co-
mo:
Mas esta não é a única abordagem possível.....
Mais uma hipótese: Vamos substituir p(1 - p) por p^ obs(1-p^ obs),
ou seja, estamos usando a estimativa pontual para substituir 
p.
11.3 Estimação por intervalo
53
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Um exemplo médico
Outra hipótese: Observando que p(1 - p) tem valor máximo 
¼ para 0 ≤ p ≤ 1, usando este valor numérico, obtemos
que tem amplitude superior ao caso anterior.
Como interpretar estes valores?
11.3 Estimação por intervalo
54
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Um exemplo médico
Como interpretar estes valores?
IC1 é usualmente denominada de abordagem otimista.
Parte da crença de que a estimativa de p é próxima o 
suficiente da realidade para termos também uma boa 
aproximação da variância p(1 - p)/n.
IC2 é denominada de abordagem conservativa porque 
preferimos substituir a variância por um valor clara-
mente superior ao real. Assim estamos assegurando 
que o coeficiente de segurança será no mínimo.
11.3 Estimação por intervalo
55
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Um exemplo médico
Como interpretar estes valores?
Lembrando que a variância de um estimador é uma medi-
da de sua precisão...
Ao adotarmos IC2 (conservativo) estamos aceitando uma 
amplitude maior para o intervalo. 
11.3 Estimação por intervalo
56
inferência estatística - estimação
estimação por intervalo
Num resumo: 
Intervalos de confiança para a média e proporção
(otimista)
(conservativo)
µ
p
p
57
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 11
 Inferência Estatística - Estimação II
Conteúdo:
11.1 Distribuições Amostrais
11.2 Teorema Central do Limite
11.3 Estimação por Intervalo
Probabilidade e Estatística
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
1
Probabilidade e Estatística
Livro Texto:
[1] "Noções de Probabilidade e Estatística"
 Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos
 Pedroso de Lima, Edusp (2005). 
[2] "Probabilidade: Um Curso Introdutório"
 Carlos A. B. Dantas, Edusp (2004).
2
3
Conteúdo:
12.1 Introdução
12.2 Teste para a Média 
 Populacional
12.3 Teste para a Média com 
 Variância Desconhecida
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 12
Inferência Estatística - Testes de Hipóteses
12.1 Introdução
4
inferência estatística - testes de hipóteses I
introdução
Ao trabalharmos com probabilidade estamos trabalhando 
com o que não conhecemos.
Para trabalharmos temos, então, que fazer hipóteses sobre
A média da população
O modelo 
Etc.
12.1 Introdução
5
inferência estatística - testes de hipóteses I
introdução
Nas aulas 10 e 11 vimos:
Estimação
Agora veremos como avaliar as hipóteses necessárias 
para a obtenção de informações.
Procedimento Clássico de testes de hipóteses.
12.1 Introdução
Hipóteses:
• A população doente também segue uma distribuição 
 Normal
• O desvio padrão dos doentes é também de 6 unida-
 des/ml.
Um exemplo:
Em pessoas sadias, uma determinada substância encon-
trada no sangue se comporta segundo um modelo Nor-
mal com média 14 unidades/ml com desvio padrão 6 uni-
dades/ml. 
Portadores de uma determinada doença, tem a mesma 
substância com valores alterados para uma média de 18 
unidades/ml.
inferência estatística - testes de hipóteses I
introdução
12.1 Introdução
7
inferência estatística - testes de hipóteses I
introdução
O exemplo num gráfico:
5 10 15 20 25
12.1 Introdução
8
inferência estatística - testes de hipóteses I
introdução
Como foi visto, as duas distribuições tem uma área em 
comum, ou seja, existem valores dentro da normalidade 
média que podem estar dentro dos parâmetros de anor-
malidade média.
Como distinguir, então, os doentes dos sãos?
12.1 Introdução
9
inferência estatística - testes de hipóteses I
introdução
Vamos dizer que queremos testar um tratamento para 
combater esta doença. Tomemos uma amostra aleatória 
de 30 pessoas e representemos as amostras Xi como 
(X1, ..., X30). Temos então que
podendo termos 14 ou 18 para a média. 
Se o valor obtido pela amostra tiver um valor médio "alto
e próximo" de 18, diremos que o tratamento não funciona 
mas se a amostra tiver um valor médio "baixo e próximo" 
de 14 então o tratamento é efetivo.
Mas o que quer dizer "alto", "baixo" e "próximo"?
12.1 Introdução
10
inferência estatística - testes de hipóteses I
introdução
Quando temos situações similares a esta, temos que fazer 
um estudo probabilístico do problema o que inclui um teste 
das hipóteses que estamos fazendo.
12.1 Introdução
11
inferência estatística - testes de hipóteses I
introdução
Um exemplo:
Queremos estudar a tolerância de um equipamento eletrô-
nico. Pelas características do equipamento se admite que 
a probabilidade de falha é constante, ou seja, após cada 
teste existe uma probablidade p que ele falhe. 
Pretende-se verificar se o modelo geométrico com p=0,4 é 
adequado para caracterizar a variável aleatória X que re-
presenta o número de testes antes de se apresentar uma 
falha.
Note que:
Estamos testando o modelo e não a variável
12.1 Introdução
12
inferência estatística - testes de hipóteses I
introdução
Testando o modelo
Mas o que quer dizer não muito diferente?
Supondo que temos uma amostra de 80 equipamentos para 
os testes e, assim, temos 80 realizações da variável X dadas 
pelo vetor amostral(X1, ..., X80). Assim Xi representa o nú-
mero de impactos até i-ésimo equipamento falhar e podemos 
construir uma tabela de frequência agrupando, ou não, os 
valores da variável X em categorias.
Se a hipótese de que a distribuição ser do tipo geométrico, 
devemos ter uma frequência não muito diferente da obtida 
diretamente da distribuição. 
Um exemplo:
12.1 Introdução
13
inferência estatística - testes de hipóteses I
introdução
Mas o que quer dizer não muito diferente?
Um exemplo:
Podemos avaliar a "distância" entre os valores esperados 
(ei) e os observados (oi) usando, por exemplo,
com k sendo o total das categorias que atribuimos para a 
variável X.
12.1 Introdução
14
inferência estatística - testes de hipóteses I
introdução
Nas duas situações que foram apresentadas estabelecemos 
procedimentos, ainda incompletos para dois tipos de teste:
O primeiro se refere a média populacional
O segundo é sobre a distribuição de probabilidade
Faça os exercícios da seção 8.1
Hipóteses:
• A população doente também segue uma distribuição 
 Normal
• O desvio padrão dos doentes é também de 6 unida-
 des/ml.
Voltando ao primeiro exemplo:
Em pessoas sadias, uma determinada substância encon-
trada no sangue se comporta segundo um modelo Nor-
mal com média 14 unidades/ml com desvio padrão 6 uni-
dades/ml. 
Portadores de uma determinada doença, tem a mesma 
substância com valores alterados para uma média de 18 
unidades/ml.
12.1 Introdução
15
inferência estatística - testes de hipóteses I
introdução
12.2 Teste para Média Populacional
16
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Aqui é suposto que é conhecida a variância populacional. 
Embora um caso particular, existem muitas aplicações em 
que é possível trabalhar com esta suposição:
• Se podemos assegurar que uma máquina fornece medi-
das com uma precisão constante;
• Usar informações de estudos estatísticos de casos simi-
lares ao que estamos tratando.
12.2 Teste para Média Populacional
17
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Voltando ao primeiro exemplo:
Vamos usar a média amostral , um estimador não viciado
e consistente com µ. Com o valor observado de , deno-
minado Xobs avaliaremos o tratamento proposto.
• Como é variável aleatória, ela pode apresentar valores 
maiores que 14 mesmo que µ = 14. 
• Um critério para decidir sobre o valor de µ é determinar 
um valor crítico Xc, tal que se for maior que Xc, concluí-
mos que a amostra da população com média 14, sendo o 
tratamento eficaz.
Obs: sendo aleatória, podemos incluir a igualdade a Xc 
em qualquer decisão.
12.2 Teste para Média Populacional
18
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Voltando ao primeiro exemplo:
Graficamente
Xc
Xobs
µ=14 µ=18
A questão é que temos não só que determinar Xc como 
quantificar os erros associados às conclusões.
12.2 Teste para Média Populacional
19
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Voltando ao primeiro exemplo:
Investigaremos se um determinado tratamento será ca-
paz de promover a cura da população doente, ou seja, 
transferir esta população (de média 18 unidades/ml) pa-
ra a de sãos (de média 14 unidades/ml). 
H0 : Hipótese nula (tratamento não eficaz)
Ha : Hipótese alternativa (tratamento eficaz)
Temos duas hipóteses:
12.2 Teste para Média Populacional
20
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Voltando ao primeiro exemplo:
O tratamento é eficaz se fizer os indivíduos da amostra 
mudarem para uma população de média menor que 18 
unidades/ml. Caso contrário a média não se alteraria. 
Assim as hipóteses de interesse seriam escritas como
Aqui temos uma hipótese composta unilateral.
H0 : µ = 18 versus Ha : µ < 18
12.2 Teste para Média Populacional
21
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Voltando ao primeiro exemplo:
Para verificarmos se o tratamento produz algum efeito, 
seja benéfico ( µ < 18 ) ou danoso ( µ > 18 ), devemos 
construir um teste de hipóteses bilateral:
Por uma conveniência técnica deixamos a igualdade na 
hipótese nula.
H0 : µ = 18 versus Ha : µ ≠ 18
12.2 Teste para Média Populacional
Voltando ao primeiro exemplo:
Os dois erros que podem ser cometidos ao realizar um 
teste de hipóteses são: 
 i) Rejeitar a hipótese H0 quando tal hipótese é verdadeira 
 (Erro tipo I);
ii) Não rejeitar a hipótese Ha quando ela deveria ser rejei-
 tada (Erro tipo II).
Num resumo temos
Decisão 
22
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Rejeitar H0
Não rejeitar H0
H0 Verdadeira H0 Falsa
Erro Tipo I
Erro Tipo II
Sem Erro
Sem Erro
12.2 Teste para Média Populacional
Voltando ao primeiro exemplo:
No caso de nosso exemplo temos
23
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
α = P(erro tipo I) = P(rejeitar H0 e H0 verdadeira)
β = P(erro tipo II) = P(não rejeitar H0 e H0 falsa)
α = P(concluir que o tratamento é eficaz quando na 
 verdade ele não é); 
β = P(concluir que o tratamento não é eficaz quando 
 na verdade ele é); 
A situação ideal é quando estas probabilidades são pró-
ximas de zero, mas....
Uma parte importante do teste de hipóteses é controlar a 
probabilidade de cometermos um erro do tipo I. Denota-
remos esta probabilidade por α e denotaremos por β a 
probablidade de erro do tipo II.
12.2 Teste para Média Populacional
Voltando ao primeiro exemplo:
24
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Observe que ao deslocarmos Xc , variamos as probabili-
dades α e β de forma que ao diminuirmos uma, aumen-
tamos a outra, como pode ser visto na figura abaixo:
Portanto, devemos evitar o erro do tipo I, ou seja, α deve
ve ser o menor possível.
xc
região de aceitaçãoregião de rejeição
Doente (H0)Sadio(Ha)
βα
14 18
12.2 Teste para Média Populacional
Voltando ao primeiro exemplo:
25
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
α = P(erro tipo I) = P(rejeitar H0 e H0 verdadeira) ou
com Z ∼ N(0,1). Se dado α obtemos zc na tabela Normal.
Nos resta calcular xc .... 
Supondo α conhecido vamos descrever como determinar 
o valor crítico Xc.
Notando que
12.2 Teste para Média Populacional
Voltando ao primeiro exemplo:
26
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
calculando xc ...
Se fizermos α = 0,05, 5% de probabilidade para dar erro 
do tipo I, temos
logo
assim o método é eficaz se a média observada for menor 
que 16,20 .
12.2 Teste para Média Populacional
Voltando ao primeiro exemplo:
27
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
A região dada pelo conjunto de números reais menores 
que 16,20 é denominada Região de Rejeição ou Região 
Crítica (RC). No caso no qual estamos trabalhando ela 
será
Graficamente...
Denominamos Região de Aceitação (RA) ao complemen-
tar de RC. Se a amostra obtida nos deu como estimativa
 pertencente à RC, então rejeitamos H0 no 
nível de significância α = 0,05.
12.2 Teste para Média Populacional
Voltando ao primeiro exemplo:
28
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
16,20
região de rejeição
Doente (H0)Sadio(Ha)
14 18
x
_
obs
12.2 Teste para Média Populacional
Hipóteses Bilaterais
De forma similar do que no caso unilateral, podemos cons-
truir testes de hipóteses bilaterais.
A diferença está em termos que considerar uma Região de 
Rejeição composta de duas partes disjuntas.
29
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
12.2 Teste para Média Populacional
Hipóteses Bilaterais
Exemplificando, suponha que µ é conhecida e que as 
hipóteses numae alternativa são expressas como
30
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
H0 : µ = µ0; Ha : µ ≠ µ0
A Região de Crítica (RC) será
e, para um valor α fixo, determinamos xc1 e xc2 de mo-
do que
12.2 Teste para Média Populacional
31
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Graficamente fica mais fácil de perceber...
Hipóteses Bilaterais
Como a densidade Normal é simétrica, distribuimos a 
massa α igualmente entre as duas partes da Região 
de Rejeição, ou seja,
12.2 Teste para Média Populacional
32
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Escolha dos valores críticos
Hipóteses Bilaterais
α/2α/2
µ0 xc
2
xc
1
Distribuição de x
_
 sobre H0
12.2 Teste para Média Populacional
33
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Hipóteses Bilaterais
...e mais um exemplo
Um pesquisador deseja estudar o efeito de uma substân-
cia no tempo de reação de certas cobaias submetidas a 
um estímulo elétrico. Os valores de tempo de reação fo-
ram 9,1; 9,3; 7,2; 7,5; 13,3; 10,9; 7,2; 9,9; 8,0; 8,6. Admite-
se que o tempo de reação segue, em geral, o modelo Nor-
mal com média 8 e desvio padrão 2 segundos. O pesqui-
sador desconfia que o tempo médio sobre alteração pela 
substância.
Neste caso as hipóteses de interesse são
12.2 Teste para Média Populacional
34
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Hipóteses Bilaterais
...e mais um exemplo
Neste caso as hipóteses de interesse são
H0 : as cobaias apresentam tempo de reação padrão;
Ha : as cobaias apresentam tempo de reação alterado.
12.2 Teste para Média Populacional
35
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Hipóteses Bilaterais
...e mais um exemplo
Em termos estatísticos, as hipóteses envolvem µ e podem 
ser escritas como
H0 : µ = 8,0; Ha : µ ≠ 8,0;
É natural usarmos a média amostral para construir a es-
tatística de teste e usamos que já que a amos-
tra é de tamanho 10 e o desvio padrão vale 2. Pela forma 
que Ha foi especificado, teremos a região crítica como 
ou 0,06 = P(erro tipo I) = P(rejeitar H0 e H0 verdadeira)
12.2 Teste para Média Populacional
36
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
ou ainda
Hipóteses Bilaterais
...e mais um exemplo
Fixando α = 0,06 termos:
onde
12.2 Teste para Média Populacional
37
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Hipóteses Bilaterais
...e mais um exemplo
donde podemos expressar a Região Crítica como
Da tabela da distribuição Normal obtemos zc1 = -1,88 e 
zc2 = 1,88. Logo,
onde
12.2 Teste para Média Populacional
38
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Hipóteses Bilaterais
...e mais um exemplo
Região Crítica
Ao calcular a média amostral achamos 9,1 que está fora 
de RC, aceitamos a hipótese H0 com significância 6%, 
valor de α . 
Este resultado indica que o tempo de reação das cobaias 
não fica alterado pela substância pesquisada.
Podemos fazer um pouco mais....
12.2 Teste para Média Populacional
39
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Hipóteses Bilaterais
...e mais um exemplo
Qual é a probabilidade do erro tipo II?
O erro tipo II é a probabilidade de aceitar incorretamente H0.
Mas isto não é tão simples pois existem vários valores pos-
síveis para µ já que a hipótese alternativa Ha é composta e 
temos que a probabilidade do erro tipo II é função de µ, ou 
seja, β(µ) 
Calculemos o caso
µ = 9,0.
12.2 Teste para Média Populacional
40
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Hipóteses Bilaterais
...e mais um exemplo
Calculemos o caso µ = 9,0. 
Para o caso µ = 9 e com probabilidade de 62,52% estaría-
mos concluindo, de forma equivocada, que H0 é verdadeira.
12.2 Teste para Média Populacional
41
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Hipóteses Bilaterais
Função poder π(µ)
Definimos a função poder como 
 π(µ) = P(rejeitar H0 | µ) 
Se a média for a de H0 , a função poder é igual ao nível de 
significância α ;
Se µ é um dos valores de Ha , a função poder será dada por
π(µ) = 1 − β(µ) ;
Para um mesmo nível de significância, quanto maior o poder 
melhor o teste.
No caso do exercício tratado anteriormente temos o gráfico 
da função poder dado por...
12.2 Teste para Média Populacional
42
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Hipóteses Bilaterais
Função poder π(µ)
A medida que nos afastamos da região de hipótese nula, 
π(µ) aumenta.
1,0
α
0,4
0,8
0,6
0,2
85 11
12.2 Teste para Média Populacional
43
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Resumo
Não é possível diminuir simultaneamente os dois erros 
num mesmo teste;
Podemos diminuir simultaneamente os dois erros aumen-
tando o tamanho da amostra;
Mesmo que não se conheça a distribuição da população, 
podemos contornar este problema usando o Teorema 
Central do Limite.
12.2 Teste para Média Populacional
44
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Sumário para um teste de hipóteses
1. Estabelecer as hipóteses nula e alternativa;
2. Definir a forma da região crítica, com base na hipótese 
 alternativa;
3. Identificar a distribuição do estimador e obter sua esti-
 mativa;
4. Fixar α e obter a região crítica;
5. Concluir o teste com base na estimativa e na região 
 crítica.
12.2 Teste para Média Populacional
45
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Mais um exemplo
Um relatório afirma que 40% da água obtida em poços arte-
sianos no nordeste é salobra. Tal relatório foi colocado em 
discussão e, para redimir dúvidas foram examinados 400 
poços e 120 deles tinham água salobra. Qual seria a conclu-
são que se chega para um nível de 3%?
Vamos construir o teste...
12.2 Teste para Média Populacional
46
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Mais um exemplo
Definindo as hipóteses
• O parâmetro de interesse é a proporção p de poços com 
água salobra. Pela informação fornecida, temos um teste 
bilateral com
H0 : p = 0,40; Ha : p ≠ 0,40.
12.2 Teste para Média Populacional
47
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Mais um exemplo
• Sabemos que o melhor estimador para p é a proporção 
amostral p
^
 cuja distribuição pode ser aproximada por um 
modelo Normal, ou seja,
p
^
 ~ N(p, p(1-p)/n)
• Dado que o testes é bilateral, a Região Crítica é da forma
12.2 Teste para Média Populacional
48
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Mais um exemplo
Para α = 0,03, os valores pc1 e pc2 são calculados através de 
• Sob a hipótese H0 , p vale 0,40 e, portanto, 
Calculando a probabilidade ...
12.2 Teste para Média Populacional
49
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Mais um exemplo
Calculando a probabilidade
Da tabela N(0,1) segue
e isto resulta em....
12.2 Teste para Média Populacional
50
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média populacional
Mais um exemplo
E isto resulta em pc1 = 0,347. De maneira análoga obtemos 
pc2 = 0,453.
Finalmente obtemos a Região Crítica
A amostra forneceu p
^
obs = 120/400 = 0,300 que pertence 
à região crítica. Com isto a hipótese nula deve ser rejei-
tada ao nível de 3%, ou seja,
O relatório não está correto.
12.3 Teste para Média com Variância
Desconhecida
51
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média com variância desconhecida
Neste caso mais geralvamos começar trabalhando com a 
suposição de que a distribuição é Normal.
Vamos supor que nossa amostra seja representada pelo 
vetor amostral (X1, ..., Xn), todas com densidade Normal de 
média µ e variância σ2. Usaremos o estimador S2 que já 
vimos na Aula 10:
12.3 Teste para Média com Variância
Desconhecida
52
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média com variância desconhecida
E definimos a variável padronizada T
que é aleatória. Mas, devido ao denominador acima envol-
ver S, a distribuição de T não é Normal como X
__
. A distri-
buição de T é denominada densidade t de Student e seu 
parâmetro é chamado de graus de liberdade, que neste 
caso corresponde ao número de dados menos 1.
• A notação desta distribuição é t(n-1).
• Para os cálculos manuais são utilizadas tabelas.
12.3 Teste para Média com Variância
Desconhecida
53
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média com variância desconhecida
Modelo t-Student
O modelo t-Student tem caudas de maior massa do que 
N(0, 1).
t-student
Normal Padrão
0 2 4-2-4
12.3 Teste para Média com Variância
Desconhecida
54
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média com variância desconhecida
Modelo t-Student
• A medida que o tamanho da amostra aumenta, t-Student 
tende para a Normal padrão;
• As tabelas de t-Student se limitam a 120 graus de liber-
dade;
• Para graus superiores a 120, as probablidades são obti-
das da tabela da distribuição Normal.
12.3 Teste para Média com Variância
Desconhecida
55
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média com variância desconhecida
Modelo t-Student
• A Região Crítica neste caso envolve S2 que sendo alea-
tória faz com que amostras diferentes forneçam, em geral, 
regiões críticas diferentes;
• Optamos, então, por usar na região crítica valores da 
quantidade padronizada T.
12.3 Teste para Média com Variância
Desconhecida
56
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média com variância desconhecida
Um exemplo
Se investiga se uma doença dos rins altera o consumo de 
oxigênio destes orgãos. No caso de indivíduos sadios ad-
mite-se que o consumo tem distribuição Normal com mé-
dia 12cm3 /minuto. Uma amostra de cinco pacientes com 
a doença obteve os valores (14,4; 12,9; 15,0; 13,7; 13,5). 
Qual seria a conclusão ao nível de significância de 1%?
12.3 Teste para Média com Variância
Desconhecida
57
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média com variância desconhecida
Um exemplo
H0 : a doença não altera a média de consumo renal de oxi-
gênio; 
Ha : indivíduos portadores da doença tem a média alterada.
Em termos da média populacional, estamos testando as hi-
póteses
H0 : µ = 12; versus Ha : µ ≠ 12;
e a região crítica será
12.3 Teste para Média com Variância
Desconhecida
58
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média com variância desconhecida
Um exemplo
Sendo o desvio padrão desconhecido, usaremos o estimador
e a quantidade t.
Sendo H0 verdadeira
logo
12.3 Teste para Média com Variância
Desconhecida
59
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média com variância desconhecida
Um exemplo
Logo,
valores obtidos tabela da distribuição t-Student com 4 
graus de liberdade.
12.3 Teste para Média com Variância
Desconhecida
60
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média com variância desconhecida
Um exemplo
Sendo, e calculamos o valor 
padronizado 
Como , decidimos pela rejeição da hipótese nula, 
ou seja,
A doença tem influência no consumo renal médio de oxi-
gênio ao nível de 1%.
12.3 Teste para Média com Variância
Desconhecida
61
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média com variância desconhecida
Intervalo de confiança para µ com variância desconhecida
Supondo que uma amostra aleatória X1 , ..., Xn obtida de 
uma população com distribuição Normal e média e variân-
cia desconhecidas, temos que
Fixando um coeficiente de confiança γ(0 < γ < 1) e utilizan-
do a tabela de distribuição t-Student com n - 1 graus de 
liberdade, podemos obter tγ/2 tal que
que nos dá o intervalo de confiança....
12.3 Teste para Média com Variância
Desconhecida
62
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média com variância desconhecida
Intervalo de confiança para µ com variância desconhecida
Intervalo de confiança
12.3 Teste para Média com Variância
Desconhecida
63
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média com variância desconhecida
Intervalo de confiança para µ com variância desconhecida
continuando um exemplo
No último exemplo, rejeitamos a hipótese nula. Vamos es-
tabelecer um intervalo de confiança para a média popula-
cional. No exemplo foram obtidos e .
Com γ = 0,90 obtemos da tabela da distribuição t-Student 
com 4 graus de liberdade o valor tγ/2 = 2,132. Assim,
12.3 Teste para Média com Variância
Desconhecida
64
inferência estatística - testes de hipóteses I
teste para média com variância desconhecida
Caso não Normal
Neste caso é necessário utilizar técnicas não-paramétricas 
para realizar o teste da média;
Uma abordagem é considerar uma amostra suficientemente 
grande, usando o Teorema Central do Limite.
65
Conteúdo:
12.1 Introdução
12.2 Teste para a Média 
 Populacional
12.3 Teste para a Média com 
 Variância Desconhecida
Professores:
Otton Teixeira da Silveira Filho
Regina Célia Paula Leal Toledo
Aula 12
Inferência Estatística - Testes de Hipóteses