matemática bianchini - 9 ano

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MATEMÁTICA 
BIANCHINI
Componente curricular:
MATEMÁTICAEdwaldo Bianchini
MANUAL DO 
PROFESSOR
9o
ano
MANUAL DO PROFESSOR
9a edição
São Paulo, 2018
Componente curricular: MATEMÁTICA
Edwaldo Bianchini
Licenciado em Ciências pela Faculdade de Educação de Ribeirão Preto, da Associação de Ensino 
de Ribeirão Preto, com habilitação em Matemática pela Faculdade de Filosofia, 
Ciências e Letras do Sagrado Coração de Jesus, Bauru (SP). 
Professor de Matemática da rede pública de ensino do estado de São Paulo, 
no ensino fundamental e médio, por 25 anos.
MATEMÁTICA 
BIANCHINI
o
ano9
Coordenação geral: Maria do Carmo Fernandes Branco
Edição: Glaucia Teixeira 
Edição de conteúdo: Dário Martins de Oliveira, Patrícia Furtado
Assistência editorial: Juliana R. de Queiroz
Suporte administrativo editorial: Alaíde dos Santos
Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto gráfico: Andreza Moreira
Capa: Bruno Tonel, Mariza de Souza Porto
 Foto: Corredor cruzando a linha de chegada, 2009.
 Crédito: Paul Bradbury/Getty Images
Coordenação de arte: Aderson Assis 
Editoração eletrônica: Marcel Hideki
Edição de infografia: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen
Coordenação de revisão: Camila Christi Gazzani 
Revisão: Lygia Roncel, Míriam dos Santos, Salvine Maciel
Coordenação de pesquisa iconográfica: Sônia Oddi
Pesquisa iconográfica: Angelita Cardoso, Leticia Palaria
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, Marina M. Buzzinaro
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Impressão e acabamento: 
“Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas 
de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.”
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA.
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São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904
Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510
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2018
Impresso no Brasil
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Bianchini, Edwaldo
Matemática - Bianchini : manual do professor / 
Edwaldo Bianchini. – 9. ed. – São Paulo : Moderna, 
2018.
Obra em 4 v. de 6o ao 9o ano.
Componente curricular: Matemática.
Bibliografia.
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
18-16785 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964
III
CONHEÇA SEU MANUAL
41BIMESTRE 1
Potências nas 
medidas 
astronômicas, 
subatômicas e 
informáticas
Antes de trabalhar o quadro 
apresentado nesta página, 
retome com os alunos as po-
tências de base 10 com ex-
poente natural e expoente 
negativo. É um bom mo-
mento para verificar os 
conhecimentos que eles 
já construíram sobre esse 
assunto e sobre a notação 
científica. 
Aproveite o momento e ex-
plique que o prefixo “quilo” 
(ou “kilo”) indica que de-
vemos multiplicar a unida-
de tomada por 1.000, por 
exemplo:
• 1 quilômetro 5 
5 1.000 8 1 metro
• 1 quilograma 5 
5 1.000 8 1 grama
• 1 quilolitro 5 1.000 8 1 litro
Sendo assim, não devemos 
usar a palavra “quilo” como 
sinônimo de “quilograma”, 
como usualmente se faz. 
Pergunte aos alunos se já 
conheciam alguma unidade 
expressa com esses prefixos. 
É possível que alguns já te-
nham ouvido falar dos pre-
fixos micro (1 micrometro 5 
5 1026 metro) ou de giga e 
mega (nas unidades de in-
formática, como megabyte 
e gigabyte).
Complemente os estudos com 
a Sequência didática 2 – 
Potência com expoente 
fracionário e radicais, 
disponível no Manual 
do Professor – Digital. 
As atividades propostas 
permitem desenvolver de 
forma gradual e articulada 
objetos de conhecimento 
e habilidades da BNCC 
selecionados para este 
capítulo.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância 
entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.
Dados obtidos em: Inmetro. Disponível 
em: <http://www.inmetro.gov.br/
consumidor/pdf/Resumo_SI.pdf>. 
Acesso em: 20 jun. 2018.
côvado
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41CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Quando apontado para determinado 
ponto ou objeto, o medidor digital 
calcula a distância até ele.
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1 Potências nas medidas astronômicas, 
subatômicas e informáticas
O Sistema Internacional de Unidades (SI) tem uma história recente, se comparada à his-
tórica necessidade humana de medir, que vem desde a origem das civilizações. Antes, cada 
povo tinha seu próprio sistema de medidas, muitas vezes com unidades imprecisas, tendo por 
base o corpo humano (palmo, pé, côvado, jarda, passo etc.), o 
que criava muitos problemas, principalmente para o comércio.
O SI, sistema atual desenvolvido a partir do Sistema Métrico 
Decimal (SMD, França, 1799) e consolidado apenas em 1960 
com suas sete unidades de base, é mais complexo e diversifi-
cado do que o SMD. 
Visando atender a uma extensa gama de medidas para vá-
rias grandezas, há muitos prefixos no SI. Veja a tabela a seguir.
Nome Símbolo Fator pelo qual a unidade é multiplicada
yotta Y 1024 = 1.000.000.000.000.000.000.000.000
zetta Z 1021 = 1.000.000.000.000.000.000.000
exa E 1018 = 1.000.000.000.000.000.000
peta P 1015 = 1.000.000.000.000.000
tera T 1012 = 1.000.000.000.000
giga G 109 = 1.000.000.000
mega M 106 = 1.000.000
kilo ou quilo k 103 = 1.000
hecto h 102 = 100
deca da 10
deci d 1021 = 0,1
centi c 1022 = 0,01
mili m 1023 = 0,001
micro u 1026 = 0,000.001
nano n 1029 = 0,000.000.001
pico p 10212 = 0,000.000.000.001
femto f 10215 = 0,000.000.000.000.001
atto a 10218 = 0,000.000.000.000.000.001
zepto z 10221 = 0,000.000.000.000.000.000.001
yocto y 10224 = 0,000.000.000.000.000.000.000.001
Medida materializada. 
Metro padrão.
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112
Pense mais um 
pouco...
Uma resolução possível para 
a questão proposta consiste 
em determinar quantos por 
cento 12 é de 10, ou seja, 
calculamos a razão entre 
essas duas alturas. É impor-
tante que os alunos perce-
bam, inicialmente, que 12 é 
mais de 100% de 10, já que 
12 . 10. Fazer estimativas 
de resultados ajuda a detec-
tar valores inadequados.
12 
10
 5 120 
100
 5 120% (ou 1,2)
Logo, 12 é 120% de 10. Por-
tanto, devemos programar 
uma cópia com 120% de 
ampliação.
Discuta com os alunos o fato 
de que o acréscimo aplica-
do na altura de 10 cm para 
12 cm é 2 cm, o que corres-
ponde a 20% de 10 cm. Por 
isso, 120% correspondem à 
altura obtida após o acrés-
cimo.
Os alunos podem comprovar 
esses percentuais utilizando 
uma calculadora para fazer 
120% de 10 e 2% de 10. 
Explore também o cálculo 
mental, tomando por base 
que calcular 10% de um va-
lor equivale a dividir esse va-
lor por 10 e calcular 50% de 
um valor equivale a dividir o 
valor por 2. Assim, os alunos 
podem facilmente concluir 
que 10% de 10 é igual a 1 
(10 : 10 5 1) e como 20% é 
o dobro de 10%, 20% de 10 
deve ser 2.
Complemente os estudos com 
a Sequência didática 4 – 
Semelhança de triângulos 
e a Sequência didática 5 – 
Casos de semelhança de 
triângulos, disponíveis no 
Manual do Professor –Digital. 
As atividades propostas 
permitem desenvolver de 
forma gradual e articulada 
objetos de conhecimento 
e habilidades da BNCC 
selecionados para este 
capítulo.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes 
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, 
inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
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112 CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
Foto ampliadaFoto original
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Cachoeira do Prata, localizada na Chapada 
dos Veadeiros, Cavalcante (Goiás). (Foto de 
2017.)
Foto reduzida
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Ampliando ou reduzindo figuras 
em uma fotocopiadora, obtemos 
figuras semelhantes às originais. Figuras 
congruentes também são semelhantes.
Figuras semelhantes são aquelas que têm a mesma forma, mas 
não necessariamente o mesmo tamanho. 
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Em uma foto, a altura da imagem de João corresponde a 10 cm. Qual deve ser a porcentagem que 
devemos programar na fotocopiadora para que a altura de João, na cópia ampliada, seja de 12 cm?
Devemos programar uma cópia com 120%, isto é, 100% do original mais 20% de ampliação.
1 Figuras semelhantes
Quando uma imagem é projetada em uma tela de televisão, de cinema, de celular etc., o 
tamanho da imagem projetada geralmente é diferente do tamanho da imagem original, no 
entanto a forma é mantida. Assim, dizemos que a imagem que aparece na tela é semelhan-
te à original.
Além de cópias em tamanho original, as fotocopiadoras podem ampliar ou reduzir determi-
nada imagem; nesse caso, também se mantém a forma do original.
Para obter uma ampliação de, por exemplo, 50%, devemos programar essa máquina para 
fazer uma cópia de 150%, pois a ampliação deverá ser igual ao original (100%) aumentado 
de 50%. Se quisermos uma redução de 25%, devemos programar a máquina para 75%, que 
corresponde ao original (100%) diminuído de 25%.
62
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Resolver problemas envol-
vendo cálculos com núme-
ros reais.
• Determinar a razão en-
tre duas grandezas de es-
pécies diferentes, como: 
gramatura de papel, velo-
cidade média, densidade 
demográfica, entre outras.
• Resolver problemas envol-
vendo razões entre gran-
dezas de espécies diferen-
tes.
• Reconhecer relações de 
proporcionalidade entre 
duas grandezas.
• Resolver e elaborar proble-
mas envolvendo grandezas 
direta e inversamente pro-
porcionais.
• Resolver e elaborar proble-
mas por meio da regra de 
três.
• Aplicar a relação de pro-
porcionalidade na obten-
ção da medida de arcos de 
circunferência.
• Comparar gráficos de bar-
ras envolvendo cálculo de 
razões.
• Construir gráficos de bar-
ras e de colunas com base 
em pesquisa sobre expec-
tativa de vida.
Orientações gerais
Este capítulo trata do estu-
do de razões entre grande-
zas de naturezas diferentes 
e da proporcionalidade en-
tre grandezas. Trabalhamos 
com estratégias de resolu-
ção de problemas envolven-
do grandezas diretamente 
proporcionais, grandezas 
inversamente proporcio-
nais e suas aplicações, com 
procedimentos para proble-
mas que tenham a mesma 
estrutura e que envolvam a 
variação entre duas ou mais 
grandezas dependentes.
Exploramos a construção e a 
comparação de gráficos de 
barras e de colunas.
Sugestões de leitura
Aproveite o tema da abertura e discuta sobre grafites e pichações. Para a ampliação desse tema, sugerimos:
<https://sao-paulo.estadao.com.br/blogs/caminhadas-urbanas/pichacao-e-grafite-e-possivel-negar-veementemente-a-depredacao-
ilegal-e-abracar-incondicionalmente-a-arte-urbana/>;
<https://vestibular.uol.com.br/resumo-das-disciplinas/atualidades/afinal-qual-e-a-diferenca-entre-grafite-e-pichacao.htm>. Acessos em: 
30 ago. 2018.
Material Digital Audiovisual
• Videoaula: Ângulo inscrito e 
central na circunferência
Orientações para o 
professor acompanham o 
Material Digital Audiovisual
62 CAPÍTULO 3
3
Capítulo
Grandezas 
proporcionais
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Surgido nos anos 1970 
em Nova York (Estados 
Unidos), o grafite é uma 
forma de manifestação 
artística em espaços 
públicos com adeptos em 
vários países. O grafite 
brasileiro é considerado 
um dos melhores do 
mundo.
Se dois grafiteiros 
levam 10 dias para 
concluir um grande painel, 
com a ajuda de outros dois 
grafiteiros, igualmente 
hábeis, em quantos dias 
eles terminariam essa 
arte?
Em Soweto (África do Sul), grafiteiros produzem um retrato de Winnie 
Madikizela-Mandela, ex-esposa do presidente sul-africano Nelson Mandela. 
Ela faleceu em 2 de abril de 2018, com 81 anos. (Foto de 2018.)
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275BIMESTRE 4
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Reconhecer e utilizar os ele-
mentos e as relações métri-
cas nos polígonos regulares.
• Aplicar o teorema de Pitá-
goras na determinação de 
elementos de polígonos 
regulares inscritos em uma 
circunferência.
• Resolver e elaborar proble-
mas de aplicação do teore-
ma de Pitágoras envolven-
do polígonos regulares.
• Descrever algoritmo por 
escrito e por meio de flu-
xograma para a construção 
de um polígono regular. 
• Relacionar arcos de uma 
circunferência e ângulos 
centrais de polígonos re-
gulares inscritos nessa cir-
cunferência.
• Resolver problemas envol-
vendo área de um polígono 
regular, números reais, cál-
culo de áreas e volume, re-
lações de proporcionalidade 
no cálculo da área de um se-
tor circular, área de um cír-
culo, de uma coroa circular 
e de um setor circular.
• Analisar gráficos com ele-
mentos que induzem a 
erros de leitura e de inter-
pretação.
Orientações gerais
Ampliamos o trabalho sobre 
polígonos regulares e seus 
elementos ao apresentar 
as relações métricas entre 
elementos de um polígono 
regular e a circunferência a 
que ele está inscrito. 
Desenvolvemos o estudo de 
polígonos regulares com o 
uso da linguagem algébri-
ca, e questões de construção 
geométrica de figuras. Nas 
demonstrações mostramos a 
aplicação do teorema de Pitá-
goras e da proporcionalidade.
Tratamos da área de um po-
lígono regular, de um círculo 
e de suas partes; e do volu-
me de alguns sólidos geomé-
tricos. 
Amplie o trabalho da abertura perguntando aos alu-
nos que figuras geométricas podem ser lembradas no 
logotipo do Patrimônio Mundial. Espera-se que eles 
indiquem o quadrado e a circunferência (ou o círculo).
Peça aos alunos uma pesquisa sobre Patrimônio 
Mundial e outros Patrimônios Mundiais no Brasil.
Sugestões de leitura
Para enriquecer a pesquisa, sugerimos: 
<http://portal.iphan.gov.br/pagina/detalhes/24>;
<http://www.unesco.org/new/pt/brasilia/culture/world-heritage/
list-of-world-heritage-in-brazil/>. Acessos em: 10 set. 2018.
Orientações para o 
professor acompanham o 
Material Digital Audiovisual
Material Digital Audiovisual
• Áudio: Algoritmo para 
polígonos regulares
275CAPÍTULO 12
Logotipos, imagens onde vicejam criatividade e simplicidade, identificam 
instituições e empresas públicas ou privadas. Em muitos deles vemos circunferências 
e polígonos regulares.
O logotipo de Patrimônio Mundial (na parte inferior da imagem acima), desenhado pelo 
artista belga Michel Olyff e adotado como emblema oficial em 1978, demarca regiões ou 
áreas que a comunidade científica considera de fundamental importância para a humanidade.
12
Capítulo
Baía dos Porcos, em Fernando de Noronha. O arquipélago, pertencenteao estado de Pernambuco, foi declarado 
Patrimônio Mundial pela Unesco em 2001, como indica o logotipo reproduzido acima. (Foto de 2016.)
Polígonos regulares 
e áreas
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Este Manual do Professor está organizado em:
Orientações gerais – apresenta a visão geral da proposta desenvolvida e os fundamentos teórico -metodológicos da 
coleção.
Orientações específicas – traz a distribuição das seções especiais do livro do estudante, comentários sobre cada um 
dos capítulos e quadros com a correspondência entre conteúdos desenvolvidos, objetos de conhecimento e habilidades 
da Base Nacional Comum Curricular (BNCC). Ao final, encontram-se sugestões de atividades e, quando possível, textos 
complementares.
Orientações página a página – reproduz as páginas do livro do estudante em formato reduzido, acompanhadas de 
orientações, sugestões didáticas e comentários nas laterais e na parte inferior, em formato semelhante à letra U.
A estrutura permite localizar facilmente as orientações referentes aos assuntos da página e os recursos disponíveis 
no Manual do Professor – Digital. Veja a seguir. 
Livros e sites são 
indicados para 
aprofundar ou 
complementar o 
tema em estudo.
No início da página 
de abertura, 
encontram-se 
os Objetivos 
do capítulo e 
Orientações 
gerais sobre o 
desenvolvimento 
dos conteúdos 
trabalhados.
Sempre que 
oportuno, ícones 
sugerem os 
momentos para 
a utilização das 
Sequências didáticas 
e das Propostas de 
Acompanhamento 
da Aprendizagem, 
oferecidas 
no Manual do 
Professor – Digital.
As habilidades da 
BNCC trabalhadas 
são reproduzidas ao 
final da página.
A cada bimestre, um 
marcador sinaliza 
os Materiais Digitais 
Audiovisuais disponíveis 
no Manual do Professor 
– Digital. Esses materiais 
são acompanhados 
de uma ficha com 
orientações para o 
desenvolvimento da 
proposta com os alunos.
Na parte inferior da 
dupla de páginas, 
um marcador indica 
o bimestre sugerido 
para o trabalho 
com os capítulos. 
Essa organização 
bimestral está 
de acordo com 
os Planos de 
desenvolvimento 
propostos no 
Manual do 
Professor – Digital.
IVIVIV
Orientações gerais V
Apresentação ............................................................................................................ V
Visão geral da proposta da coleção .......................................................................... V
Objetivos gerais da coleção ................................................................................................... VI
Fundamentos teórico-metodológicos ...................................................................... VI
A importância de aprender Matemática ............................................................................ VI
A Matemática como componente curricular do Ensino Fundamental...................... VIII
BNCC e currículos ..................................................................................................................... X
Unidades Temáticas ................................................................................................................. XII
Propostas didáticas ................................................................................................................. XIII
Apresentação da coleção ......................................................................................... XV
Estrutura da obra ...................................................................................................................... XV
Organização geral da obra ..................................................................................................... XVI
Avaliação ................................................................................................................... XVI
A avaliação e as práticas avaliativas .................................................................................. XVI
Instrumentos de avaliação nas aulas de Matemática ................................................... XVIII
Formação continuada e desenvolvimento profissional docente .............................. XX
Instituições de estudos e pesquisas em Educação Matemática 
que mantêm publicações na área ........................................................................................ XX
Sugestões de leitura ................................................................................................................ XXI
Sugestões de sites ................................................................................................................... XXIV
Documentos oficiais ................................................................................................................ XXIV
Bibliografia consultada ............................................................................................. XXIV
Orientações específicas XXVII
Capítulo 1 – Números reais ....................................................................................... XXVIII
Capítulo 2 – Operações com números reais .............................................................. XXXI
Capítulo 3 – Grandezas proporcionais....................................................................... XXXII
Capítulo 4 – Proporcionalidade em Geometria ......................................................... XXXIV
Capítulo 5 – Semelhança ........................................................................................... XXXV
Capítulo 6 – Um pouco mais sobre Estatística ......................................................... XXXVI
Capítulo 7 – Equações do 2o grau .............................................................................. XXXIX
Capítulo 8 – Triângulo retângulo ............................................................................... XL
Capítulo 9 – Razões trigonométricas nos triângulos retângulos ............................. XLII
Capítulo 10 – Estudo das funções ............................................................................ XLIII
Capítulo 11 – Circunferência, arcos e relações métricas ......................................... XLIV
Capítulo 12 – Polígonos regulares e áreas ................................................................ XLV
Sugestões de atividades XLVII
Livro do estudante – Orientações página a página 1
SUMÁRIO
V
Apresentação
Professor(a),
Como material de apoio à prática pedagógica, este 
Manual traz, de maneira concisa, orientações e sugestões 
para o uso do livro do aluno como texto de referência, com 
o objetivo de subsidiar seu trabalho em sala de aula. Espe-
ramos que este material o(a) auxilie a melhor aproveitar e 
a compreender as diretrizes pedagógicas que nortearam 
a elaboração dos quatro livros desta coleção.
Este Manual também discute a avaliação da aprendi-
zagem sob a luz de pesquisas em Educação e Educação 
Matemática e em documentos oficiais. Além disso, oferece 
indicações de leituras complementares e sites de centros de 
formação continuada, na intenção de contribuir para a am-
pliação de seu conhecimento, sua experiência e atualização.
As características da coleção, as opções de abordagem, 
os objetivos educacionais a alcançar são também expostos 
e discutidos aqui.
Visão geral da proposta da 
coleção
Esta coleção tem como principal objetivo servir de 
apoio ao professor no desenrolar de sua prática didático-
-pedagógica e oferecer ao aluno um texto de referência 
auxiliar e complementar aos estudos.
Com base nos conteúdos indicados para a Matemática 
dos anos finais (6o ao 9o anos) do Ensino Fundamental e 
suas especificidades de ensino, a obra procura possibilitar 
ao aluno a elaboração do conhecimento matemático, visan-
do contribuir para a formação de cidadãos que reflitam e 
atuem no mundo, e subsidiar o trabalho docente, compar-
tilhando possibilidades de encaminhamento e sugestões 
de intervenção. Nesse sentido, atribui especial importância 
ao desenvolvimento de conceitos de maneira precisa e 
por meio de linguagem clarae objetiva, com destaques 
pontuais para as noções de maior importância.
As ideias matemáticas são apresentadas e desenvolvi-
das progressivamente, sem a preocupação de levar o aluno 
a assimilar a totalidade de cada conteúdo, isto é, sem a 
pretensão de esgotar o assunto na primeira apresentação. 
Ao longo da coleção, oferecemos constantes retomadas, 
não apenas visando à revisão, mas à complementação e 
ao aprofundamento de conteúdos. Acreditamos que, por 
meio de diversos contatos com as ideias e os objetos ma-
temáticos, o aluno conseguirá apreender seus significados.
Em relação à abordagem, a apresentação de cada 
conteúdo procura ser clara e objetiva, buscando situações 
contextualizadas e problematizadoras que possibilitem 
ao aluno uma aprendizagem significativa, assim como 
estabelecer relações da Matemática com outras áreas do 
saber, com o cotidiano, com sua realidade social e entre 
os diversos campos conceituais da própria Matemática.
Essa contextualização abarcou situações comuns, viven-
ciadas pelos jovens em seu cotidiano, e informações mais 
elaboradas, que costumam aparecer nos grandes veículos de 
comunicação. Assim, a obra tem por objetivo contribuir para a 
formação integral do aluno, de modo que, enquanto assimila 
e organiza os conteúdos próprios da Matemática, coloque 
em prática, sempre que possível, suas capacidades reflexiva 
e crítica, inter -relacionando tanto os tópicos matemáticos 
entre si quanto estes com os de diferentes áreas do saber. 
O intento é colaborar de maneira eficaz para a solidificação 
do conhecimento matemático e com o preparo do exercício 
da cidadania e da participação positiva na sociedade.
Na perspectiva mundial da permanente busca por me-
lhor qualidade de vida, a Matemática, sobretudo em seus 
aspectos essenciais, contribui de modo significativo para 
a formação do cidadão crítico e autoconfiante, com com-
preensão clara dos fenômenos sociais e de sua atuação na 
sociedade, com vistas a uma formação integral e inclusiva.
[...] a BNCC afirma, de maneira explícita, o seu compro-
misso com a educação integral. Reconhece, assim, que a 
Educação Básica deve visar à formação e ao desenvolvimento 
humano global, o que implica compreender a complexidade 
e a não linearidade desse desenvolvimento, rompendo com 
visões reducionistas que privilegiam ou a dimensão intelectual 
(cognitiva) ou a dimensão afetiva. Significa, ainda, assumir 
uma visão plural, singular e integral da criança, do adoles-
cente, do jovem e do adulto – considerando -os como sujeitos 
de aprendizagem – e promover uma educação voltada ao seu 
acolhimento, reconhecimento e desenvolvimento pleno, nas 
suas singularidades e diversidades. [...]
(Base Nacional Comum Curricular, 2017, p. 14.)
A ideia de educação inclusiva sustenta -se em um movi-
mento mundial de reconhecimento da diversidade humana 
e da necessidade contemporânea de se constituir uma escola 
para todos, sem barreiras, na qual a matrícula, a permanên-
cia, a aprendizagem e a garantia do processo de escolarização 
sejam, realmente e sem distinções, para todos.
(SÃO PAULO. Currículo da Cidade, 2017, p. 25.)
Na sequência, os conceitos teóricos são trabalhados 
entremeados por blocos de exercícios e, algumas vezes, 
por atividades de outra natureza em seções especiais. A 
distribuição das atividade em diferentes seções procura fa-
cilitar e flexibilizar o planejamento do trabalho docente, bem 
como possibilitar ao aluno desenvolver habilidades diversas.
ORIENTAÇÕES GERAIS
VIVI
As atividades também foram pensadas de acordo com 
o mesmo viés da exposição teórica, intercalando -se aos 
exercícios convencionais, importantes para formalizar e 
sistematizar conhecimentos, aqueles que associam os 
contextos matemáticos aos de outras áreas do conheci-
mento, que contemplam temas abrangendo informações 
de Biologia, Ecologia, Economia, História, Geografia, Políti-
ca, Ciências e Tecnologia.
A constante recorrência a imagens, gráficos e tabelas, 
muitos deles publicados em mídias atuais, tem por objeti-
vo estimular os alunos a estabelecerem conexões com o 
mundo em que vivem.
A obra procura trazer atividades que possibilitam a 
sistematização dos procedimentos e a reflexão sobre 
os conceitos em construção. Elas procuram abordar 
diferentes aspectos do conceito em discussão por meio 
de variados formatos, apresentando, quando possível, 
questões abertas, que dão oportunidade a respostas 
pessoais, questões com mais de uma solução ou cuja 
solução não existe. Da mesma maneira, há exercícios 
que estimulam a ação mental, promovendo o desenvol-
vimento de argumentações, a abordagem de problemas 
de naturezas diversas e as discussões entre colegas e em 
grupos de trabalho. O professor tem, então, uma gama 
de questões a seu dispor para discutir e desenvolver os 
conceitos matemáticos em estudo.
É importante reafirmar que, ao longo de toda a co-
leção, houve preocupação com a precisão e a concisão 
da linguagem. A abordagem dos conteúdos procurou ser 
clara, objetiva e simples, a fim de contribuir adequada-
mente para o desenvolvimento da Matemática escolar 
no nível do Ensino Fundamental. Além do correto uso 
da língua materna e da linguagem propriamente mate-
mática, procuramos auxílio da linguagem gráfica, com 
ilustrações, esquemas, diagramas e fluxogramas que 
auxiliem a aprendizagem pelas mudanças dos registros 
de representação.
Objetivos gerais da coleção
• Apresentar a Matemática, em seus diversos usos, 
como uma das linguagens humanas, explorando suas 
estruturas e seus raciocínios.
• Introduzir informações que auxiliem a apreensão de 
conteúdos matemáticos, com vistas à sua inserção 
em um corpo maior de conhecimentos e à sua apli-
cação em estudos posteriores.
• Possibilitar ao aluno o domínio de conteúdos ma-
temáticos que lhe deem condições de utilização 
dessa ciência no cotidiano e na realidade social, 
oportunizando o desenvolvimento do letramento 
matemático1.
• Propiciar, com o auxílio do conhecimento matemático, 
o desenvolvimento das múltiplas competências e 
habilidades cognitivas do aluno, preparando -o como 
pessoa capaz de exercer conscientemente a cidada-
nia e de progredir profissionalmente, garantindo uma 
formação integral e inclusiva.
• Desenvolver hábitos de leitura, de estudo e de or-
ganização.
Fundamentos teórico-
-metodológicos 
Vamos apresentar alguns temas relativos ao ensino 
de Matemática que norteiam as escolhas curriculares da 
coleção e se alinham às proposições da Base Nacional 
Comum Curricular (BNCC).
A importância de aprender Matemática
Partimos da proposição de que uma característica da 
Matemática é ser uma linguagem humana que, como forma 
linguística, tem o poder de decodificar, traduzir e expressar 
o pensamento humano, o que contribui para a formação 
integral do estudante.
O conhecimento matemático é necessário para todos os 
alunos da Educação Básica, seja por sua grande aplicação na 
sociedade contemporânea, seja pelas suas potencialidades 
na formação de cidadãos críticos, cientes de suas responsa-
bilidades sociais.
(BNCC, 2017, p. 263.)
A palavra matemática vem do grego mathematike. Em 
sua origem, estava ligada ao ato de aprender, pois signifi-
cava “tudo o que se aprende”, enquanto matemático, do 
grego mathematikos, era a palavra usada para designar 
alguém “disposto a aprender”. O verbo aprender era origi-
nalmente, em grego, manthanein; mas hoje o radical math, 
antes presente nas palavras ligadas à aprendizagem, pare-
ce ter perdido essa conotação e daí talvez resulte a ideia 
geral de que a Matemática é uma disciplina que lida apenas 
com números, grandezas e medidas e que se aprende na 
escola de forma compulsória.
1 Segundo a Matriz de Avaliação de Matemática do Pisa 2012 (disponível em: <http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/
marcos_referenciais/2013/matriz_avaliacao_matematica.pdf>; acesso em: 2 maio 2018):
Letramento matemático é a capacidade individual de formular, empregar e interpretar a matemática em uma variedade decontextos. 
Isso inclui raciocinar matematicamente e utilizar conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas para descrever, explicar e 
predizer fenômenos. Isso auxilia os indivíduos a reconhecer o papel que a matemática exerce no mundo e para que cidadãos construtivos, 
engajados e reflexivos possam fazer julgamentos bem fundamentados e tomar as decisões necessárias.
VI
http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/marcos_referenciais/2013/matriz_avaliacao_matematica.pdf
http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/marcos_referenciais/2013/matriz_avaliacao_matematica.pdf
Na realidade, a Matemática fornece ao indivíduo, além 
de uma linguagem para expressar seu pensamento, ferra-
mentas com as quais ele pode gerar novos pensamentos 
e desenvolver raciocínios, ou seja,
[…] a Matemática não é simplesmente uma disciplina, 
mas também uma forma de pensar. É por isso que a Mate-
mática, assim como a alfabetização, é algo que deveria ser 
tornado disponível para todos […].
(NUNES; BRYANT, 1997, p. 105.)
A Matemática, portanto, é algo que deve estar disponí-
vel a todo ser humano, para que possa fazer uso dela como 
uma de suas ferramentas de sobrevivência e convívio 
social, promovendo uma formação inclusiva.
Um ponto crucial a considerar é que as formas de pensar 
características da Matemática podem expandir -se para 
outros raciocínios, impulsionando a capacidade global de 
aprendizado. Ao lidar com a Matemática, fundamentamos o 
pensamento em um conjunto de axiomas, na geração e va-
lidação de hipóteses, no desenvolvimento de algoritmos e 
procedimentos de resolução de problemas — ferramentas 
aplicáveis a um conjunto de situações similares —, esta-
belecendo conexões e fazendo estimativas. Analisando 
situações particulares e inserindo -as na estrutura global, 
é possível construir estruturas de pensamento também 
úteis em situações não matemáticas da vida em sociedade.
A Matemática não se restringe apenas à quantificação de 
fenômenos determinísticos – contagem, medição de objetos, 
grandezas – e das técnicas de cálculo com os números e com 
as grandezas, pois também estuda a incerteza proveniente de 
fenômenos de caráter aleatório. A Matemática cria sistemas 
abstratos, que organizam e inter -relacionam fenômenos do 
espaço, do movimento, das formas e dos números, associados 
ou não a fenômenos do mundo físico. Esses sistemas contêm 
ideias e objetos que são fundamentais para a compreensão 
de fenômenos, a construção de representações significativas 
e argumentações consistentes nos mais variados contextos.
(BNCC, 2017, p. 263.)
Ao construir sua história, o ser humano tem modifi-
cado e ampliado constantemente suas necessidades, 
individuais ou coletivas, de sobrevivência ou de cultura. 
O corpo de conhecimentos desenvolvido nesse longo 
trajeto ocupa lugar central no cenário humano. No que 
diz respeito aos conhecimentos matemáticos, muitos 
continuam atravessando os séculos, enquanto outros 
já caíram em desuso. Há, ainda, outros que estão sendo 
incorporados em razão das necessidades decorrentes 
das ações cotidianas, como é o caso da Educação Fi-
nanceira. As novas práticas solicitam a ampliação e o 
aprofundamento desses conhecimentos.
Até algumas décadas atrás,“saber” Matemática impli-
cava basicamente dominar e aplicar as operações básicas: 
adição, subtração, multiplicação e divisão. Na atualidade, 
contudo, as pesquisas educacionais, as diretrizes peda-
gógicas oficiais e, em especial, a BNCC apontam para a 
necessidade de que em todos os anos da Educação Básica 
a escola trabalhe conteúdos organizados nas cinco Unida-
des Temáticas: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas 
e medidas e Probabilidade e estatística, tendo como refe-
rência o desenvolvimento das competências e habilidades 
descritas pela BNCC.
Na BNCC, competência é definida como a mobilização 
de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades 
(práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores 
para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do 
pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho.
(BNCC, 2017, p .8.)
Para entender a real importância da Matemática, basta 
pensar em nosso cotidiano. É fácil fazer uma longa lista de 
ações nas quais precisamos mobilizar os conhecimentos 
desse campo: calcular uma despesa para efetuar seu paga-
mento; examinar diferentes alternativas de crédito; estimar 
valores aproximados; calcular medidas e quantidades com 
alguma rapidez; compreender um anúncio ou uma notícia 
apresentados por meio de tabelas e gráficos; analisar 
criticamente a validade de um argumento lógico; avaliar 
a razoabilidade de um resultado numérico ou estatístico; 
decidir a sequência de passos necessários para resolver um 
problema; orientarmo -nos no espaço (para deslocamentos 
ou indicações de trajetórias), entre tantas outras situações.
Hoje sabemos da importância de o indivíduo aprender 
continuamente, durante toda a vida, para assimilar as in-
cessantes inovações do mundo moderno e, desse modo, 
realimentar seu repertório cultural. Em um ambiente mun-
dial cada vez mais competitivo e desenvolvido do ponto de 
vista tecnológico, é preciso tornar acessíveis a todas as 
pessoas as vantagens desses avanços. E é responsabilida-
de também da educação escolar levar o aluno a perceber 
criticamente a realidade, cuja interpretação depende da 
compreensão de sua estrutura lógica, do entendimento 
da simbologia adotada no contexto, da análise das infor-
mações veiculadas por dados numéricos, imagens, taxas, 
indexadores econômicos etc. Um indivíduo com poucos 
conhecimentos matemáticos pode estar privado de exer-
cer seus direitos como cidadão, por não ter condições de 
opinar em situação de igualdade com os demais membros 
da sociedade, nem de definir seus atos políticos e sociais 
com base em uma avaliação acurada da situação.
No ensino da Matemática, assumem grande importân-
cia aspectos como o estímulo a relacionar os conceitos 
matemáticos com suas representações (esquemas, 
diagramas, tabelas, figuras); a motivação para identificar 
no mundo real o uso de tais representações; o desafio à 
interpretação, por meio da Matemática, da diversidade das 
informações advindas desse mundo.
Podemos afirmar que a maior parte das sociedades de 
hoje depende cada vez mais do conjunto de conhecimento 
produzido pela humanidade, incluindo de maneira notável as 
contribuições da ciência matemática. Ao mesmo tempo, 
esse arcabouço cultural revigora -se incessantemente, com 
grande diversidade e sofisticação. Os apelos de um mundo 
VII
VIIIVIII
que se transforma em incrível velocidade, em uma cres-
cente variedade de domínios, constituem uma das razões 
mais significativas para o maior desafio dos educadores: 
preparar os jovens para uma atuação ética e responsável, 
balizada por uma formação múltipla e consistente.
Matemática acadêmica 3 Matemática escolar
No âmbito específico da Matemática, há muito mais 
conhecimento já estabelecido do que o que chega à sala 
de aula. A seleção desses conhecimentos -conteúdos e 
a maneira de apresentá -los aos estudantes exigem bom 
senso e uma série de estudos e adaptações.
Em sua formação inicial, na universidade, o futuro 
professor de Matemática tem contato simultâneo com 
a Matemática acadêmica e a Matemática escolar. No en-
tanto, em seu exercício profissional, o destaque será para 
a Matemática escolar; daí a relevância de procurarmos 
entender a distinção entre ambas.
De acordo com Moreira e David (2003), a Matemática 
acadêmica, ou científica, é o corpo de conhecimentos 
produzido por matemáticos profissionais. Nesse caso, as 
demonstrações, definições e provas de um fato e o rigor 
na linguagem utilizada ocupam papel relevante, visto que 
é por meio deles que determinado conhecimento é aceito 
como verdadeiro pela comunidade científica.
No caso da Matemática escolar, há dois aspectos fun-
damentais que modificam significativamente o papel do 
rigor nas demonstrações. O primeiro refere -se ao fato de a“validade” dos resultados matemáticos, que serão apresen-
tados aos estudantes no processo de ensino -aprendizagem, 
não ser colocada em dúvida; ao contrário, já está garantida 
pela própria Matemática acadêmica. O segundo aspecto diz 
respeito à aprendizagem; neste caso, o mais importante é o 
desenvolvimento de uma prática pedagógica que assegure 
a compreensão dos conteúdos matemáticos essenciais, 
assim como a construção de justificativas que permitam 
ao jovem estudante utilizá -los de maneira coerente e con-
veniente, tanto na vida escolar quanto na cotidiana, propi-
ciando o desenvolvimento das competências e habilidades 
para ele exercer a cidadania plena e atuar no mundo.
O pensador Jules Henri Poincar também discute a dife-
rença entre o rigor necessário e conveniente à Matemática 
científica e o rigor adequado a um processo educativo. Para 
ele, uma boa definição é aquela que pode ser entendida 
pelo estudante. 
Nesse contexto, a coleção procura harmonizar o uso da 
língua materna com a linguagem matemática, promovendo 
uma leitura acessível e adequada aos alunos dos anos 
finais do Ensino Fundamental. 
A Matemática como componente 
curricular do Ensino Fundamental
A importância de ensinar Matemática no Ensino Funda-
mental, conforme indica a BNCC, decorre também da con-
tribuição que a área representa na formação do cidadão. 
O Ensino Fundamental deve ter compromisso com o 
desenvolvimento do letramento matemático, definido como 
as competências e habilidades de raciocinar, representar, co-
municar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer 
o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução 
de problemas em uma variedade de contextos, utilizando 
conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. 
É também o letramento matemático que assegura aos alunos 
reconhecer que os conhecimentos matemáticos são fundamen-
tais para a compreensão e a atuação no mundo e perceber o 
caráter de jogo intelectual da matemática, como aspecto que 
favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, 
estimula a investigação e pode ser prazeroso (fruição).
O desenvolvimento dessas habilidades está intrinse-
camente relacionado a algumas formas de organização da 
aprendizagem matemática, com base na análise de situações 
da vida cotidiana, de outras áreas do conhecimento e da 
própria Matemática. [...]
(BNCC, 2017, p. 264.)
Diversos pesquisadores e profissionais ligados à Edu-
cação Matemática têm procurado sintetizar o papel social 
do ensino dessa área do conhecimento. Na literatura, 
segundo Ponte (2002), cabem ao ensino da Matemática 
quatro diferentes papéis:
• instrumento da cultura científica e tecnológica, 
fundamental para profissionais como cientistas, 
engenheiros e técnicos, que utilizam a Matemática 
em suas atividades;
• filtro social para a continuação dos estudos e seleção 
para as universidades;
• instrumento político, como símbolo de desenvolvi-
mento e arma de diversas forças sociais que utilizam 
as estatísticas do ensino da Matemática para seus 
propósitos;
• promotora do desenvolvimento dos modos de pensar 
a serem aplicados na vida cotidiana e no exercício da 
cidadania.
É evidente que cada um desses papéis serve a diferen-
tes interesses e finalidades. Contudo, considerando os 
indivíduos seres sociais, é o último desses papéis o mais 
importante e o que mais nos interessa. Como explica Ponte:
Incluem -se aqui os aspectos mais diretamente utilitários 
da Matemática (como ser capaz de fazer trocos e de calcular 
a área da sala), mas não são esses aspectos que justificam 
a importância do ensino da Matemática. São, isto sim, a 
capacidade de entender a linguagem matemática usada na 
vida social e a capacidade de usar um modo matemático de 
pensar em situações de interesse pessoal, recreativo, cultural, 
cívico e profissional. Em teoria, todos reconhecem que esta é 
a função fundamental do ensino da Matemática. Na prática, 
infelizmente, é muitas vezes a função que parece ter menos 
importância.
(Ibidem)
VIII
A função de promotora dos modos de pensar, porém, 
não se concretiza na prática somente por estar explicitada 
no currículo e nos programas.
O sistema de avaliação, os manuais escolares e a cultura 
profissional dos professores podem influenciar de tal modo 
as práticas de ensino que as finalidades visadas pelo currículo 
em ação, muitas vezes, pouco têm a ver com aquilo que é 
solenemente proclamado nos textos oficiais.
(Ibidem)
Ao discorrer sobre esses papéis, Ponte analisa em parti-
cular a função de filtro social – “a verdade é que este papel 
de instrumento fundamental de seleção tem pervertido a 
relação dos jovens com a Matemática” (ibidem) –, que pas-
sam a enxergá -la como obstáculo a ser transposto para a 
conquista de objetivos, em vez de entendê -la como aliada 
nesse processo. O pesquisador enfatiza a importância de 
identificar os fatores que originam o insucesso dos alunos em 
Matemática. Para ele, tais fatores estão relacionados com:
• a crise da escola como instituição, que se reflete na 
aprendizagem em geral e na Matemática em particular;
• aspectos de natureza curricular — tradição pobre de 
desenvolvimento curricular de Matemática;
• insuficiente concretização prática e caráter difuso 
das finalidades do aprendizado;
• o próprio fato de a Matemática constituir -se em ins-
trumento de seleção, o que, de imediato, desencanta 
e amedronta o aluno;
• questões ligadas à formação dos professores.
Em contrapartida, de acordo com a BNCC, podemos 
destacar que:
[...] Os processos matemáticos de resolução de proble-
mas, de investigação, de desenvolvimento de projetos e da 
modelagem podem ser citados como formas privilegiadas 
da atividade matemática, motivo pelo qual são, ao mesmo 
tempo, objeto e estratégia para a aprendizagem ao longo de 
todo o Ensino Fundamental. Esses processos de aprendiza-
gem são potencialmente ricos para o desenvolvimento de 
competências fundamentais para o letramento matemático 
(raciocínio, representação, comunicação e argumentação) 
e para o desenvolvimento do pensamento computacional.
(BNCC, 2017, p. 264.)
As atuais e inúmeras discussões na área educacional 
têm nos alertado sobre mudanças na forma de conceber a 
Educação Básica no mundo. No que diz respeito à Educação 
Matemática, podemos dizer que ela tem atravessado um 
grato momento de revitalização:
Novos métodos, propostas de novos conteúdos e uma 
ampla discussão dos seus objetivos fazem da Educação 
Matemática uma das áreas mais férteis nas reflexões sobre o 
futuro da sociedade.
(D’AMBRÓSIO, 2000.)
A BNCC preconiza a inclusão e a discussão de temas 
contemporâneos, como é o caso dos “direitos da criança e 
do adolescente” e “educação em direitos humanos”. 
Por fim, cabe aos sistemas e redes de ensino, assim como 
às escolas, em suas respectivas esferas de autonomia e compe-
tência, incorporar aos currículos e às propostas pedagógicas 
a abordagem de temas contemporâneos que afetam a vida 
humana em escala local, regional e global, preferencialmente 
de forma transversal e integradora. 
(BNCC, 2017, p. 19.)
A orientação de introduzir e interligar no âmbito esco-
lar temas dessa natureza traz efetivas possibilidades de 
expansão dos currículos, para além dos conteúdos das 
disciplinas tradicionais. Esses temas também podem ser 
abordados de acordo com a necessidade dos estudantes 
e da comunidade em que estão inseridos.
O importante é ter em vista que, por meio do trabalho 
com esses temas, é possível incluir as questões sociais 
nos currículos escolares. Dessa perspectiva, os conteúdos 
trabalhados ganham novo papel; o aprendizado da Mate-
mática, entre outras abordagens, concorre para a formação 
da cidadania e, consequentemente, para um entendimento 
mais amplo da realidade social.
Por compreender a importância desse trabalho, esta co-
leção procura, na medida do possível, incorporar e discutir al-
guns conteúdos matemáticos em contextos diversificados.
O papel do livro didático
Entendemos que, em geral,os recursos presentes em 
salas de aula não são suficientes para fornecer todos 
os elementos necessários ao trabalho do professor e 
à aprendizagem do aluno. Nesse caso, o livro didático 
desempenha um papel importante, assessorando nesse 
processo, como organização e encaminhamento da teoria 
e propostas de atividades e exercícios. Assim, o livro di-
dático contribui para o processo de ensino -aprendizagem 
e atua como mais um interlocutor na comunicação entre 
educador e educando.
Mas é preciso considerar que o livro didático, por mais 
completo que seja, deve ser utilizado intercalado com 
outros recursos que enriqueçam o trabalho do professor.
Concordamos com Romanatto (2004) quando diz que, 
partindo do princípio de que o verdadeiro aprendizado 
apoia -se na compreensão, não na memória, e de que so-
mente uma real interação com os alunos pode estimular o 
raciocínio e o desenvolvimento de ideias próprias em busca 
de soluções, cabe ao professor aguçar seu espírito crítico 
perante o livro didático.
Na organização desta coleção, os conceitos e ativida-
des foram concebidos e dispostos em uma sequência que 
garanta a abordagem dos conhecimentos matemáticos 
relativos aos anos finais do Ensino Fundamental, visando à 
IX
XX
ampliação dos conhecimentos básicos tratados nos anos 
iniciais do Ensino Fundamental, apresentando -os em capí-
tulos específicos e, depois, retomando -os e ampliando -os 
em volumes posteriores. Assim, os alunos podem resgatar 
os conhecimentos trabalhados anteriormente, ampliar os 
conceitos ao longo de seus estudos em Matemática do 6o ao 
9o anos e preparar -se para a continuidade no Ensino Médio.
As orientações deste Manual pretendem esclarecer 
intenções, objetivos e concepções das atividades que 
podem auxiliar o trabalho pedagógico do professor em 
seus encaminhamentos, intervenções e na ampliação e 
enriquecimento de seus conhecimentos matemáticos.
Caracterização da adolescência
Segundo o Estatuto da Criança e do Adolescente – Lei 
n o 8.069/1990: “Considera -se criança, para os efeitos 
desta Lei, a pessoa até doze anos de idade incompletos, 
e adolescente aquela entre doze e dezoito anos de idade.”
De acordo com a BNCC:
Os estudantes dessa fase inserem -se em uma faixa etária 
que corresponde à transição entre infância e adolescência, 
marcada por intensas mudanças decorrentes de transfor-
mações biológicas, psicológicas, sociais e emocionais. [...] 
ampliam -se os vínculos sociais e os laços afetivos, as possi-
bilidades intelectuais e a capacidade de raciocínios mais abs-
tratos. Os estudantes tornam -se mais capazes de ver e avaliar 
os fatos pelo ponto de vista do outro, exercendo a capacidade 
de descentração, “importante na construção da autonomia 
e na aquisição de valores morais e éticos” (BRASIL, 2010).
(BNCC, 2017, p. 58.)
Esta coleção procura uma aproximação com os estudan-
tes dessa fase, seja na linguagem utilizada, seja na escolha 
de assuntos que possam despertar seu interesse. Um des-
ses momentos pode ser observado nas aberturas dos ca-
pítulos, nas quais são apresentadas situações que buscam 
aguçar a curiosidade dos alunos para o tema a ser tratado. 
Além disso, a coleção busca também facilitar a passagem 
de um ano para outro no processo de ensino -aprendizagem 
em Matemática, retomando conceitos, revisitando conheci-
mentos – como as quatro operações fundamentais e o es-
tudo das figuras geométricas –, ampliando e aprofundando 
conteúdos com novos aspectos, a fim de que os alunos se 
apropriem dos conceitos com a compreensão dos processos 
neles envolvidos, caso da ampliação do campo numérico 
(dos números naturais aos números reais).
Objetivos da formação básica para o Ensino 
Fundamental
Segundo o Parecer 11/2010 do Conselho Nacional de 
Educação/Câmara de Educação Básica sobre Diretrizes 
Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de 9 
(nove) anos, os objetivos para a formação básica relativos 
ao Ensino Infantil e Ensino Fundamental são:
• o desenvolvimento da capacidade de aprender, tendo como 
meios básicos o pleno domínio da leitura, da escrita e do 
cálculo;
• a compreensão do ambiente natural e social, do sistema 
político, das artes, da tecnologia e dos valores em que se 
fundamenta a sociedade;
• a aquisição de conhecimentos e habilidades e a formação 
de atitudes e valores como instrumentos para uma visão 
crítica do mundo;
• o fortalecimento dos vínculos de família, dos laços de 
solidariedade humana e de tolerância recíproca em que 
se assenta a vida social.
(Parecer 11/2010, p. 32.)
BNCC e currículos
A BNCC e os currículos estão em concordância com os 
princípios e valores que norteiam a Lei de Diretrizes e Bases 
da Educação Nacional (LDB) e as Diretrizes Curriculares 
Nacionais da Educação Básica (DCN).
A BNCC relaciona algumas ações que visam adequar 
suas proposições à realidade dos sistemas ou redes de 
ensino e das instituições escolares, considerando o con-
texto e as características dos alunos:
• contextualizar os conteúdos dos componentes curri-
culares, identificando estratégias para apresentá -los, 
representá -los, exemplificá -los, conectá -los e torná -los 
significativos, com base na realidade do lugar e do tempo 
nos quais as aprendizagens estão situadas;
• decidir sobre formas de organização interdisciplinar dos 
componentes curriculares e fortalecer a competência 
pedagógica das equipes escolares para adotar estratégias 
mais dinâmicas, interativas e colaborativas em relação à 
gestão do ensino e da aprendizagem;
• selecionar e aplicar metodologias e estratégias didático-
-pedagógicas diversificadas, recorrendo a ritmos diferen-
ciados e a conteúdos complementares, se necessário, para 
trabalhar com as necessidades de diferentes grupos de 
alunos, suas famílias e cultura de origem, suas comunidades, 
seus grupos de socialização etc.;
• conceber e pôr em prática situações e procedimentos para 
motivar e engajar os alunos nas aprendizagens;
• construir e aplicar procedimentos de avaliação formativa 
de processo ou de resultado que levem em conta os contex-
tos e as condições de aprendizagem, tomando tais registros 
como referência para melhorar o desempenho da escola, 
dos professores e dos alunos;
• selecionar, produzir, aplicar e avaliar recursos didáticos e 
tecnológicos para apoiar o processo de ensinar e aprender;
• criar e disponibilizar materiais de orientação para os 
professores, bem como manter processos permanentes 
de formação docente que possibilitem contínuo aper-
feiçoamento dos processos de ensino e aprendizagem;
• manter processos contínuos de aprendizagem sobre ges-
tão pedagógica e curricular para os demais educadores, 
no âmbito das escolas e sistemas de ensino.
(BNCC, 2017, p. 16 -17.)
X
Competências da BNCC
Visando assegurar as aprendizagens essenciais a que todo estudante da Educação Básica tem 
direito, a BNCC propõe o desenvolvimento de competências que vão além dos conteúdos mínimos a 
serem ensinados. 
As competências, já definidas anteriormente, são apresentadas como competências gerais – para 
nortear os currículos e as ações pedagógicas – e explicitadas pelas competências específicas de área, 
a serem desenvolvidas pelas diferentes áreas do currículo ao longo das etapas da escolarização. 
COMPETÊNCIAS GERAIS COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS DE MATEMÁTICA PARA 
O ENSINO FUNDAMENTAL
1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o 
mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, 
continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade 
justa, democrática e inclusiva.
2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria 
das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a 
imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar 
hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive 
tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais,das locais 
às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção 
artístico -cultural.
4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual -motora, como Libras, 
e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos 
das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e 
partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes 
contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e 
comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas 
práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e 
disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e 
exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.
6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar -se de 
conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações 
próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício 
da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, 
consciência crítica e responsabilidade.
7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, 
para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões 
comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência 
socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e 
global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, 
dos outros e do planeta.
8. Conhecer -se, apreciar -se e cuidar de sua saúde física e emocional, 
compreendendo -se na diversidade humana e reconhecendo suas 
emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar 
com elas.
1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto 
das necessidades e preocupações de diferentes culturas, 
em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, 
que contribui para solucionar problemas científicos e 
tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, 
inclusive com impactos no mundo do trabalho.
2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação 
e a capacidade de produzir argumentos convincentes, 
recorrendo aos conhecimentos matemáticos para 
compreender e atuar no mundo.
3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos 
dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, 
Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras 
áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à 
própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos 
matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança 
na busca de soluções.
4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos 
e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, 
de modo a investigar, organizar, representar e comunicar 
informações relevantes, para interpretá -las e avaliá -las crítica 
e eticamente, produzindo argumentos convincentes.
5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive 
tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver 
problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de 
conhecimento, validando estratégias e resultados.
6. Enfrentar situações -problema em múltiplos contextos, 
incluindo -se situações imaginadas, não diretamente 
relacionadas com o aspecto prático -utilitário, expressar 
suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes 
registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de 
texto escrito na língua materna e outras linguagens para 
descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).
7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, 
questões de urgência social, com base em princípios éticos, 
democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a 
diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, 
sem preconceitos de qualquer natureza.
8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando 
coletivamente no planejamento e desenvolvimento de 
pesquisas para responder a questionamentos e na busca de 
soluções para problemas, de modo a identificar aspectos 
consensuais ou não na discussão de uma determinada 
questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e 
aprendendo com eles.
9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, 
fazendo -se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos 
humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e 
de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, 
sem preconceitos de qualquer natureza.
10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, 
flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em 
princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
(Fonte: BNCC, 2017, p. 9 -10, 263.)
Ao longo dos conteúdos, são oferecidas diferentes oportunidades para o aluno interpretar, refletir, 
analisar, discutir, levantar hipóteses, argumentar, concluir e expor resultados de diversas maneiras, 
contribuindo para o desenvolvimento das competências. Esse trabalho é realizado em vários momentos 
da coleção, como nas secões Diversificando e Trabalhando a informação.
XI
XIIXII
Para garantir o desenvolvimento das competências 
específicas, unidades temáticas organizam diferentes 
objetos de conhecimento que, por sua vez, propõem um 
conjunto de habilidades a serem trabalhadas com os alu-
nos. As principais habilidades relacionadas ao conteúdo em 
estudo são indicadas nas páginas do Manual do Professor 
em formato U.
Unidades Temáticas
De acordo com a BNCC:
Ao longo do Ensino Fundamental – Anos Finais, os 
estudantes se deparam com desafios de maior complexida-
de, sobretudo devido à necessidade de se apropriarem das 
diferentes lógicas de organização dos conhecimentos relacio-
nados às áreas. Tendo em vista essa maior especialização, é 
importante, nos vários componentes curriculares, retomar 
e ressignificar as aprendizagens do Ensino Fundamental – 
Anos Iniciais no contexto das diferentes áreas, visando ao 
aprofundamento e à ampliação de repertórios dos estudantes. 
Nesse sentido, também é importante fortalecer a autonomia 
desses adolescentes, oferecendo -lhes condições e ferramentas 
para acessar e interagir criticamente com diferentes conhe-
cimentos e fontes de informação.
(BNCC, 2017, p. 58.)
A BNCC propõe cinco Unidades Temáticas: Números, 
Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade 
e estatística. Dessa forma, procura garantir o trabalho com 
a variedade de conhecimentos matemáticos ao longo do 
ano e orientar a formulação de habilidades a serem desen-
volvidas durante o Ensino Fundamental. 
Com base nos recentes documentos curriculares bra-
sileiros, a BNCC leva em conta que os diferentes campos 
que compõem a Matemática reúnem um conjunto de 
ideias fundamentais que produzem articulações entre eles: 
equivalência, ordem, proporcionalidade, interdependên-
cia, representação, variação e aproximação. Essas ideias 
fundamentais são importantes para o desenvolvimento do 
pensamento matemático dos alunos e devem se converter, na 
escola, em objetos de conhecimento. A proporcionalidade, 
por exemplo, deve estar presente no estudo de: operações com 
os números naturais; representação fracionária dos números 
racionais; áreas; funções; probabilidade etc. Além disso, essa 
noção também se evidencia em muitas ações cotidianas 
e de outras áreas do conhecimento, como vendas e trocas 
mercantis, balanços químicos, representações gráficas etc.
(Ibidem, p. 266.)
A proposta presente nesta coleção, aliada ao trabalho 
do professor em sala de aula, propicia a articulação das 
diferentes Unidades Temáticas, estabelecendo conexões 
entre elas e as outras áreas do conhecimento. A seguir, 
são apresentadas algumas possibilidades:
• conexões internas às próprias Unidades Temáticas de 
Matemática, relacionando seus diferentes campos. Por 
exemplo: unidades de medida, objeto de conhecimento 
da Unidade Temática Grandezas e medidas, podem 
estar articuladas com números racionais e porcen-
tagem, apresentadosna Unidade Temática Números 
(nas atividades propostas no capítulo 11 do 6o ano) e 
com relações algébricas, estudadas na Unidade Temá-
tica Álgebra (na seção Para saber mais, sob o título 
”A temperatura e a Álgebra”, no capítulo 5 do 6o ano);
• conexões que se referem a articulações possíveis com 
diversas áreas do conhecimento contempladas na cole-
ção. Situações desse tipo podem ser encontradas em “O 
RPG e os poliedros de Platão” na seção Diversificando 
(capítulo 10 do 7o ano) e em “O trapézio no telhado” na 
seção Para saber mais (capítulo 9 do 8o ano). 
Apresentamos, a seguir, as principais ideias relaciona-
das a cada Unidade Temática que nortearam a organização 
da coleção.
Números
As noções matemáticas fundamentais vinculadas a 
essa Unidade Temática são as ideias de aproximação, 
proporcionalidade, equivalência e ordem.
Nos anos finais do Ensino Fundamental são explorados 
diferentes campos numéricos, de modo que os alunos re-
solvam problemas com números naturais, números inteiros 
e números racionais, envolvendo as operações e fazendo 
uso de estratégias diversas, reconheçam a necessidade 
dos números irracionais e tomem contato com os núme-
ros reais, comparando, ordenando e relacionando esses 
números com pontos na reta numérica. Espera -se também 
que os alunos dominem cálculos com porcentagens, juros, 
descontos e acréscimos, incluindo o uso de tecnologias 
digitais. O pensamento numérico se completa, é ampliado 
e aprofundado com a discussão de situações que envolvem 
conteúdos das demais Unidades Temáticas.
Outro aspecto que se quer desenvolver nessa Unidade Te-
mática é o estudo de conceitos ligados à educação financeira 
dos alunos, como conceitos básicos de economia e finanças.
Álgebra
O foco dessa Unidade Temática é o desenvolvimento 
do pensamento algébrico, essencial na compreensão, re-
presentação e análise da variação de grandezas e também 
no estudo das estruturas matemáticas. Nos anos finais 
do Ensino Fundamental, os estudos de Álgebra retomam, 
aprofundam e ampliam a identificação de regularidades e 
padrões em sequências (numéricas ou não) e o estabeleci-
mento de leis matemáticas que expressem a interdependên-
cia entre grandezas e generalizações. Espera -se que o aluno 
crie, interprete e transite entre as diversas representações 
gráficas e simbólicas para resolver equações e inequações, 
desenvolvidas para representar e solucionar algum tipo de 
problema. É necessário que o aluno estabeleça conexões 
entre variável e função e entre incógnita e equação.
As ideias matemáticas fundamentais que os alunos 
precisam desenvolver nessa Unidade Temática são: equi-
valência, variação, interdependência e proporcionalidade.
XII
Além disso, a aprendizagem da Álgebra, assim como 
as de outros campos da Matemática, pode contribuir 
para o desenvolvimento do pensamento computacional. 
Destaca -se, assim, a importância da presença de algorit-
mos e fluxogramas como objetos de estudo nas aulas de 
Matemática nessa fase do aprendizado.
Geometria
O desenvolvimento do pensamento geométrico, ne-
cessário para avançar nas habilidades de investigação 
de propriedades, elaboração de conjecturas e produção 
de argumentos geométricos convincentes, está ligado 
ao estudo da posição e dos deslocamentos no espaço, 
das formas de figuras geométricas e relação entre seus 
elementos, temas dessa Unidade Temática. Além disso, o 
aspecto funcional também deve estar presente por meio 
do estudo das transformações geométricas, em especial a 
simetria, com ou sem o recurso de softwares de Geometria 
dinâmica.
Estão associadas a essa Unidade Temática as seguintes 
ideias matemáticas fundamentais: construção, represen-
tação e interdependência.
Nos anos finais do Ensino Fundamental, o ensino de 
Geometria deve consolidar e ampliar os conhecimentos 
construídos anteriormente – enfatizando -se a análise 
e produção de transformações, ampliações e reduções 
de figuras geométricas – para o desenvolvimento dos 
conceitos de congruência e semelhança. O raciocínio 
hipotético -dedutivo é outro ponto importante a se desta-
car; a realização de demonstrações simples pode contribuir 
para a construção desse tipo de raciocínio. Além disso, a 
articulação da Geometria com a Álgebra também deve ser 
ampliada com propostas que envolvam o plano cartesiano, 
objeto de estudo da Geometria analítica.
Grandezas e medidas
O estudo das medidas e das relações entre elas é o 
foco dessa Unidade Temática. Os anos finais do Ensino 
Fundamental devem retomar, aprofundar e ampliar as 
aprendizagens já realizadas. O estudo das relações mé-
tricas favorece a integração da Matemática com diversas 
áreas do conhecimento, assim como a articulação com as 
demais Unidades Temáticas, consolidando e ampliando a 
noção de número e promovendo a aplicação de noções 
geométricas e a construção do pensamento algébrico.
Nos anos finais do Ensino Fundamental, espera -se que 
os alunos reconheçam comprimento, área e abertura de 
ângulo como grandezas associadas a figuras geométricas, 
resolvam problemas com essas grandezas e obtenham 
grandezas derivadas como densidade e velocidade. Além 
disso, deve -se introduzir medidas de capacidade de ar-
mazenamento de computadores ligadas a demandas da 
sociedade moderna, ressaltando -se o caráter não decimal 
das relações entre elas.
Probabilidade e estatística
O intuito dessa Unidade Temática é desenvolver habi-
lidades necessárias para o exercício pleno da cidadania: 
coletar, organizar, representar, interpretar e analisar dados; 
descrever, explicar e predizer fenômenos com base em 
conceitos e representações.
Nos anos finais do Ensino Fundamental, em Estatística 
espera -se que o aluno seja capaz de planejar e elaborar 
relatórios com base em pesquisas estatísticas descritivas, 
incluindo medidas de tendência central, construir tabelas 
e tipos variados de gráfico.
Quanto ao estudo de Probabilidade, deve ser ampliado e 
aprofundado. Espera -se que os alunos façam experimentos 
aleatórios e simulações para comprovar resultados obtidos 
com o cálculo de probabilidades.
Propostas didáticas
Os tópicos a seguir destinam -se a oferecer suporte 
à discussão sobre as atuais tendências de ensino – que 
priorizam a globalidade da formação educacional, no sen-
tido de capacitar os jovens a atuar de forma positiva na 
sociedade – alinhadas à proposta da coleção e auxiliadoras 
do trabalho em sala de aula.
Conhecimentos prévios
Ao passar de um ano para outro de escolaridade, o 
aluno traz experiências, interpretações e conhecimentos 
acumulados sobre os conteúdos e temas tratados no ano 
anterior. Torna -se relevante considerar essa bagagem no 
processo de aprendizagem. Há algum tempo, pesquisas na 
área da educação reforçam a importância de considerar 
os conhecimentos prévios como forma de encaminhar o 
processo de aprendizagem para torná -lo significativo.
Para o desenvolvimento das habilidades previstas para o 
Ensino Fundamental – Anos Finais, é imprescindível levar 
em conta as experiências e os conhecimentos matemáticos já 
vivenciados pelos alunos, criando situações nas quais possam 
fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e 
qualitativos da realidade, estabelecendo inter -relações entre 
eles e desenvolvendo ideias mais complexas. Essas situações 
precisam articular múltiplos aspectos dos diferentes conteú-
dos, visando ao desenvolvimento das ideias fundamentais da 
matemática, como equivalência, ordem, proporcionalidade, 
variação e interdependência.
(BNCC, 2017, p. 296.)
A coleção apresenta momentos privilegiados para essa 
finalidade na abertura de cada capítulo. Os pequenos 
textos e as imagens selecionadas permitem discussões e 
troca de ideias que possibilitam levantar conhecimentos 
e experiências anteriormente elaborados sobre o tema.
XIII
XIVXIV
Resolução de problemas
O trabalho com a resolução de problemas é um dos 
destaques do ensino matemático contemporâneo. Para 
atender aos pressupostos de uma educação globalmen-
te formadora, o problemamatemático deve, sempre que 
possível, ser apresentado em um contexto desafiador, que 
faça sentido ao aluno. Ele possibilita a mobilização dos 
conteúdos estudados em busca de soluções e, sobretudo, 
abre espaço para a criação de estratégias pessoais e para 
a produção de novos conhecimentos.
Um problema matemático é visto como uma situação 
desafiadora que tem significado para o aluno e se define 
como tal não por sua forma, mas sim por sua relação com 
os saberes e o nível de conhecimento do aluno que deve 
pensar sobre ele. 
Na resolução de problemas, é importante que o aluno:
• elabore um ou vários procedimentos de resolução 
(por exemplo, realizar simulações, fazer tentativas, 
formular hipóteses);
• compare seus resultados com os de outros alunos;
• valide seus procedimentos.
Nesta coleção, procuramos diversificar as atividades 
e propor problemas variados, distribuídos entre os capítu-
los e, em especial, nas seções Pense mais um pouco... e 
Diversificando.
Uso de tecnologias
Os alunos estão inseridos na era digital e fazem uso 
frequente de tecnologia. Assim, a escola não pode ignorar 
esses importantes recursos e precisa trazê -los para a edu-
cação escolar. Para isso, o professor precisa se apropriar 
dessas ferramentas de modo que possa identificar tipos 
de software e formas de utilizá -los com os alunos. Vamos 
destacar a calculadora e o uso de softwares e aplicativos, 
entre as diversas possibilidades.
É importante salientar que, como instrumento de apoio 
ao processo de ensino -aprendizagem, a calculadora é 
somente mais um recurso auxiliar, não um substituto do 
exercício do raciocínio ou da capacidade analítica. O que 
propomos é o uso da calculadora de maneira consciente, 
de modo a contribuir para a reflexão dos conteúdos ma-
temáticos.
O uso da calculadora é sugerido na coleção como auxiliar 
na resolução de problemas. Das tecnologias disponíveis na 
escola, a calculadora é, sem dúvida, uma das mais simples 
e de menor custo. Ela pode ser utilizada como instrumento 
motivador na realização de atividades exploratórias e in-
vestigativas e, assim, contribuir para a melhoria do ensino.
Podemos tomar como orientação para o uso da calcu-
ladora em atividades matemáticas os seguintes aspectos:
• é um instrumento que possibilita o desenvolvimento 
de conteúdos pela análise de regularidades e padrões 
e pela formulação de hipóteses;
• é um facilitador da verificação e da análise de resul-
tados e procedimentos;
• sua manipulação e utilização são, em si, conteúdos 
a serem aprendidos.
Sugerimos que, inicialmente, o professor verifique o 
conhecimento que os alunos têm sobre o funcionamento 
da calculadora. O ideal é que a escola disponha de calcu-
ladoras simples, que ofereçam as funções básicas. Caso 
não seja possível disponibilizar uma calculadora para cada 
aluno, pode -se trabalhar em duplas ou de outra forma a 
critério do professor.
As atividades sugeridas pressupõem um uso simples da 
calculadora, o que poderá ser ampliado de acordo com as 
necessidades e os interesses de cada turma.
Outra possibilidade de aprofundar os conhecimentos ma-
temáticos com o auxílio de tecnologia é o uso de softwares 
e aplicativos, conforme a disponibilidade da escola. Por 
exemplo, no campo geométrico, softwares de Geometria 
dinâmica permitem a construção de retas paralelas e de 
retas perpendiculares, a investigação e a verificação de 
propriedades geométricas, entre outras possibilidades.
Trabalho em grupo
Quando orientado e praticado adequadamente, além 
de contribuir para o desenvolvimento da habilidade de 
interação e participação sociais, o trabalho em grupo 
auxilia no desenvolvimento de habilidades que depen-
dem do confronto e da partilha de ideias, pois oferece a 
oportunidade de provar resultados, testar seus efeitos, 
comparar diferentes caminhos de resolução e validar ou 
não o pensamento na busca de soluções.
Além de reforçar a aprendizagem conceitual, o trabalho 
em grupo contribui para o aprimoramento da evolução de 
procedimentos e atitudes, tanto em relação ao pensar 
matemático quanto em relação à dinâmica grupal.
Pesquisas acerca dos processos de aprendizagem indi-
cam que, mesmo com o exercício em grupo, acaba prevale-
cendo o aprendizado individual, o qual apenas se enriquece 
com as múltiplas contribuições geradas pelo trabalho grupal, 
pela interação entre diferentes formas de pensar.
De qualquer modo, reforçamos que o sucesso do tra-
balho em grupo depende notavelmente do planejamento 
e da supervisão pedagógica, respeitados os diferentes 
tipos de aprendiz. No intuito de colaborar com a atuação do 
professor em sala de aula, esta coleção preocupou -se em 
indicar, pontualmente, as atividades que mais possibilitam 
a exploração em grupo.
Outras possibilidades de trabalho
Como já exposto, entendemos o livro didático como 
apoio do trabalho pedagógico. Nessa perspectiva, o conhe-
cimento, a experiência e a autonomia profissional fazem 
do docente um coautor do material publicado. Assim, a 
XIV
despeito das propostas explícitas da coleção, o professor 
sempre poderá ampliar, complementar e inovar no de-
senvolvimento e nas discussões dos temas e atividades 
sugeridos, aproveitando as novas questões que emergem 
em sala de aula no desenrolar do estudo.
É sempre bom lembrar que o estímulo à imaginação e 
ao interesse dos alunos conta com uma gama de recursos 
didáticos, como: o trabalho com jogos ou com materiais ma-
nipulativos, vídeos e ferramentas da informática; a pesqui-
sa em livros paradidáticos, dicionários, periódicos (jornais, 
boletins, revistas de informação geral e especializada) e 
internet; ou a realização de feiras, gincanas e exposições.
Apresentação da coleção
Estrutura da obra
A coleção é composta de quatro livros do estudante e 
respectivos manuais do professor. O Manual do Professor 
de cada ano reúne livro impresso e materiais digitais com 
conteúdo complementar: Planos de desenvolvimento 
bimestrais, Sequências didáticas, Propostas de Acompa-
nhamento da Aprendizagem e Material Digital Audiovisual.
Cada livro do estudante é organizado em 12 capítulos. 
Cada capítulo enfatiza conteúdos que compõem os obje-
tos de conhecimento referentes a uma Unidade Temática 
descrita pela BNCC.
Sempre que possível, o capítulo traz conteúdos relacio-
nados a mais de uma Unidade Temática, como em proble-
mas de contagem relacionados a polígonos, no capítulo 10 
do 7o ano em “Combinatória dos polígonos”.
Um mesmo conceito é abordado por meio de diferentes 
enfoques, possibilitando que os alunos se apropriem dele, 
como no caso do conceito de frações e seus múltiplos 
significados, no capítulo 7 do 6o ano (fração como parte/
todo, como quociente e como razão), ou ainda o conceito 
de ângulo, no capítulo 6 do 6o ano (como reunião de duas 
semirretas de mesma origem e como giro).
Os capítulos de cada volume são compostos de:
• Desenvolvimento teórico
O desenvolvimento dos conteúdos propostos é acom-
panhado de diversificação de estratégias. Apresenta-
-se intercalado com atividades e seções especiais que 
ampliam e enriquecem o tema estudado.
• Blocos de atividades
As atividades presentes na coleção – distribuídas en-
tre Exercícios propostos, Exercícios complementares 
e atividades diferenciadas nas seções especiais – 
possibilitam o trabalho com as Unidades Temáticas 
e permitem integrações entre elas. Têm o intuito de 
estimular o raciocínio lógico, a argumentação e a 
resolução de problemas, além de propor temáticas 
atuais relevantes à faixa etária.
• Seções especiais
Distribuídas ao longo do capítulo, as seções de variados 
tipos complementam, ampliam e enriquecem o tema trata-
do e desafiam os alunos por meio das atividades propostas. 
Há pelo menos um tipo dessas seções em cada capítulo.
A seguir, apresentamos os principais elementos que 
compõem os capítulos e descrevemos as seções especiais 
que aparecem ao longo de cada volume da coleção.
• Abertura de capítulo: compreendida por uma imagem 
e pequeno texto motivadores dotema do capítulo. 
• Exercícios propostos: aparecem ao longo do desen-
volvimento teórico, trabalham aspectos importantes 
de cada conteúdo de maneira variada. Por exemplo, 
nos exercícios com indicação Hora de criar, os alunos 
são convidados a usar sua criatividade, imaginação, 
capacidade de argumentação e colaboração traba-
lhando em duplas ou em grupos.
• Exercícios complementares: ao final do capítulo, 
podem ser explorados de diversas maneiras pelo pro-
fessor, de acordo com suas necessidades didáticas. 
Podem servir de base para uma discussão em duplas 
ou em grupos, sintetizar o tema abordado, ser utiliza-
dos para autoavaliação ou ainda aproveitados como 
tarefa extraclasse ou como fonte de exercícios para 
uma recuperação paralela, entre outras aplicações.
• Seção Pense mais um pouco...: atividades e desafios 
de aprofundamento dos conteúdos desenvolvidos 
no capítulo, que solicitam do aluno um pensamento 
mais elaborado, exigindo a criação de estratégias 
pessoais de resolução.
• Seção Para saber mais: conteúdos e atividades que, 
fundamentados em contextos diversos, integram a 
Matemática a outras áreas do saber ou aos diferentes 
campos dela própria, como a História da Matemática. 
Geralmente é finalizada por Agora é com você!, que 
traz uma proposta de questões relacionadas ao tema 
exposto.
• Seção Trabalhando a informação: são trabalhados 
conteúdos de Probabilidade e Estatística, como 
interpretação e construção de tabelas e gráficos e 
cálculo de probabilidades.
• Seção Diversificando: atividades que relacionam o 
conteúdo trabalhado no capítulo a outros contextos, 
como jogos, aplicações e desafios.
Essa estrutura pretende ser organizadora do trabalho 
docente sem, contudo, tornar -se um entrave para alunos 
e professores. Por isso, os capítulos contemplam aspectos 
fundamentais a serem trabalhados com os alunos, mas 
permitem maleabilidade e flexibilidade em sua abordagem, 
na tentativa de facilitar o trabalho do professor no momen-
to em que ele precisar fazer as adaptações necessárias 
a cada turma.
XV
XVIXVI
Organização geral da obra
No quadro a seguir apresentamos a configuração dos doze capítulos em cada ano 
desta coleção:
6o ano 7o ano 8o ano 9o ano
Capítulo 1 Números Números inteiros Potências e raízes Números reais
Capítulo 2
Operações com números 
naturais
Números racionais
Construções geométricas 
e lugares geométricos
Operações com números 
reais
Capítulo 3
Estudando figuras 
geométricas
Operações com números 
racionais
Estatística e probabilidade Grandezas proporcionais
Capítulo 4 Divisibilidade Ângulos Cálculo algébrico
Proporcionalidade em 
Geometria
Capítulo 5 Um pouco de Álgebra Equações
Polinômios e frações 
algébricas
Semelhança
Capítulo 6
Um pouco de Geometria 
plana
Inequações
Produtos notáveis e 
fatoração
Um pouco mais sobre 
Estatística
Capítulo 7
Números racionais na 
forma de fração
Sistemas de equações Estudo dos triângulos Equações do 2o grau
Capítulo 8
Operações com números 
racionais na forma de 
fração
Simetria e ângulos
A Geometria 
demonstrativa
Triângulo retângulo
Capítulo 9
Números racionais na 
forma decimal e operações
Razões, proporções e 
porcentagem
Estudo dos quadriláteros
Razões trigonométricas 
nos triângulos retângulos
Capítulo 10 Polígonos e poliedros Estudo dos polígonos
Sistemas de equação do 
1o grau com duas 
incógnitas
Estudo das funções
Capítulo 11 Comprimentos e áreas Sobre áreas e volumes Área de regiões poligonais
Circunferência, arcos e 
relações métricas
Capítulo 12
Outras unidades de 
medida
Estudo da circunferência e 
do círculo
De áreas a volumes
Polígonos regulares e 
áreas
Avaliação
A avaliação e as práticas avaliativas
O cenário de ampla discussão sobre metodologias e práticas pedagógicas que se 
estabeleceu nos últimos anos de nossa história trouxe à tona pontos vitais para o 
surgimento de novas formas de pensar a educação: as concepções de avaliação da 
aprendizagem.
Quanto à importância da avaliação, tomamos emprestadas as palavras de Regina 
Pavanello e Clélia Nogueira:
Se há um ponto de convergência nos estudos sobre a avaliação escolar é o de que ela é es-
sencial à prática educativa e indissociável desta, uma vez que é por meio dela que o professor 
pode acompanhar se o progresso de seus alunos está ocorrendo de acordo com suas expectativas 
ou se há necessidade de repensar sua ação pedagógica. Quanto ao aluno, a avaliação permite 
que ele saiba como está seu desempenho do ponto de vista do professor, bem como se existem 
lacunas no seu aprendizado às quais ele precisa estar atento.
XVI
[…] Acreditamos que poucos educadores e educandos 
têm consciência de que a avaliação é um processo contínuo 
e natural aos seres humanos, de que os homens se avaliam 
constantemente, nas mais diversas situações, diante da ne-
cessidade de tomar decisões, desde as mais simples até as 
mais complexas.
(PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 30, 36.)
As divergências, contudo, têm início quando se pretende 
redefinir a avaliação escolar e os modos e graus de exigên-
cia desse processo. Podemos dizer que, por longo tempo, 
na maior parte da história da Educação Matemática, o 
que vigorou foi a chamada avaliação informativa:
Na prática pedagógica da Matemática, a avaliação tem, 
tradicionalmente, centrado -se nos conhecimentos especí-
ficos e na contagem de erros. É uma avaliação somativa, que 
não só seleciona os estudantes, mas os compara entre si e os 
destina a um determinado lugar numérico em função das 
notas obtidas. Porém, mesmo quando se trata da avaliação 
informativa, é possível ir além da resposta final, superando, 
de certa forma, a lógica estrita e cega do “certo ou errado”.
(Ibidem, p. 36 -7.)
Alguns autores, porém, concordam que mesmo na 
avaliação tradicional há algum espaço para uma busca 
mais consciente do processo formativo do aluno. As 
mesmas pesquisadoras, por exemplo, fazem a seguinte 
consideração:
Mesmo numa avaliação tradicional, na qual é solicitada 
ao aluno apenas a resolução de exercícios, é possível avançar 
para além da resposta final, considerando:
• o modo como o aluno interpretou sua resolução para 
dar a resposta;
• as escolhas feitas por ele para desincumbir -se de sua 
tarefa;
• os conhecimentos matemáticos que utilizou;
• se utilizou ou não a Matemática apresentada nas aulas; e
• sua capacidade de comunicar -se matematicamente, oral-
mente ou por escrito.
(BURIASCO, 2002, apud PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 37.)
Uma concepção de avaliação que tem se configurado 
nos últimos anos é a que se refere à avaliação formativa. 
Principalmente a partir da década de 1980, muitos es-
tudiosos têm feito importantes contribuições ao enten-
dimento que devemos ter sobre avaliação como processo, 
ação contínua. Entre esses pesquisadores, destacamos o 
trabalho de Luckesi (2001). Segundo o autor, a avaliação 
deve ser tomada como instrumento para a compreensão 
do estágio em que se encontra o estudante, tendo em 
vista a tomada de decisões, suficientes e satisfatórias, 
para avançar no processo de aprendizagem.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), divulgados 
desde fins dos anos 1990, colaboraram para a ampliação 
do olhar sobre as funções da avaliação. Destacam, por 
exemplo, a dimensão social e a dimensão pedagógica da 
avaliação.
No primeiro caso, a avaliação tem a função de, para os 
estudantes, informar acerca do desenvolvimento das 
potencialidades que serão exigidas no contexto social, 
garantindo sua participação no mercado de trabalho e na 
esfera sociocultural. Para os professores, a avaliação deve 
auxiliar na identificação dos objetivos alcançados, com 
a intenção de reconhecer as capacidades matemáticas 
dos educandos.
No segundo caso, a avaliação tem a função de informar 
os estudantes sobre o andamento da aprendizagem pro-
priamente dita, isto é, dos conhecimentos adquiridos, do 
desenvolvimento de raciocínios, dos valores e hábitos 
incorporados e do domínio de estratégias essenciais.
A BNCC, homologada em 2017, também preconizauma avaliação formativa:
[...] construir e aplicar procedimentos de avaliação 
formativa de processo ou de resultado que levem em conta 
os contextos e as condições de aprendizagem, tomando tais 
registros como referência para melhorar o desempenho da 
escola, dos professores e dos alunos; [...]
(BNCC, p. 17.)
Os instrumentos de avaliação (provas, trabalhos e re-
gistros de atitudes, entre outros) devem ser capazes de 
fornecer informações ao professor sobre as condições de 
cada estudante com relação à resolução de problemas, 
ao uso adequado da linguagem matemática, ao desenvol-
vimento de raciocínios e análises e à integração desses 
aspectos em seu conhecimento matemático. Devem 
também contemplar as explicações, justificativas e 
argumentações orais, uma vez que estas revelam aspec-
tos do raciocínio que muitas vezes não se evidenciam em 
avaliações escritas.
Para Charles Hadji (2001, p. 21), a avaliação formativa 
implica, por parte do professor, flexibilidade e vontade de 
adaptação e de ajuste. O autor ressalta que a avaliação que 
não é seguida da modificação das práticas pedagógicas 
tem pouca capacidade de ser formativa. Posição seme-
lhante é defendida pelas educadoras Pavanello e Nogueira:
É preciso reconhecer […] que o professor deve selecionar, 
dentre as informações captadas, apenas o que é realmente 
importante […]. Para isso, existem indicadores que, segun-
doVergani (1993, p. 155), podem nortear a observação pelo 
professor, entre os quais poderiam ser citados:
• o interesse com que o aluno se entrega às atividades 
matemáticas;
• a confiança que tem em suas possibilidades;
XVII
XVIIIXVIII
• sua perseverança, apesar das dificuldades encontradas;
• se formula hipóteses, sugere ideias, explora novas pistas 
de pesquisa;
• se avalia criteriosamente a adequação do processo que 
adotou ou a solução que encontrou;
• se reflete sobre a maneira de planificar uma atividade e 
de organizar seu trabalho;
• se pede ajuda em caso de dúvida ou de falta de conhe-
cimentos; e
• se comunica suas dificuldades e descobertas aos colegas, 
de maneira adequada.
No entanto, para que essas atitudes possam ser cultivadas 
pelo aluno, a prática pedagógica não pode mais se centrar 
na exposição e reprodução de conteúdos que só privilegiam 
a memorização e não o desenvolvimento do pensamento.
(PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 38 -39.)
Afinal, o que deve ser avaliado: conteúdos, habilidades, 
atitudes?
Tudo deve ser avaliado. O fundamental, porém, é saber 
como olhar, o que olhar e como analisar as coletas. Para 
isso, o professor pode recorrer a diversificados instrumen-
tos de coleta de informações, selecionando aqueles que 
permitam compor o melhor panorama da aprendizagem 
matemática de seus alunos.
Desse modo, as avaliações precisam ser planejadas, 
assim como qualquer situação de ensino. É fundamen-
tal estar sempre atento ao processo de avaliação sem 
perder de vista os objetivos e as expectativas para cada 
ano. Portanto, durante o uso de instrumentos avaliati-
vos, é importante considerar as habilidades propostas 
nos documentos curriculares, nos planos de ensino e os 
trabalhados na coleção.
Diante das diferentes concepções sobre como avaliar 
e com base nas ideias que a coleção assume, entende -se 
que a avaliação deve ser um processo contínuo durante o 
ano letivo, e não apenas momentos estanques, como ao 
final de cada bimestre, de modo que o desenvolvimento 
dos alunos seja acompanhado pelo professor e por ele 
próprio, e que intervenções possam ser feitas ao longo 
do caminho.
A organização da coleção em capítulos e o bloco de 
Exercícios complementares podem ser indicativos ou 
funcionar como ferramentas iniciais para a construção 
de momentos avaliativos.
Porém, ressalta -se a importância de complementar as 
atividades do livro com outros instrumentos para acom-
panhar os alunos em seu processo de aprendizagem.
Desse modo, destacam -se a seguir elementos a se 
considerar no processo avaliativo:
• o caráter processual, formativo e participativo da 
avaliação e sua forma contínua, cumulativa e diag-
nóstica; 
• a avaliação como oportunidade para professor e 
aluno refletirem e ajustarem o desempenho; 
• as diferentes estratégias e oportunidades para 
avaliação, não deixando de considerá -las também 
situações de aprendizagem;
• a importância de registros constantes dos avanços 
e dificuldades de observação e acompanhamento 
diário;
• diferentes propostas de avaliação de aprendizagem 
coerentes com visões atuais de avaliação (mediadora 
e dialógica, diagnóstica e formativa);
• instrumentos para registros como relatórios, portfó-
lios, tabelas, fichas, entre outros com critérios para 
avaliação.
Instrumentos de avaliação nas aulas 
de Matemática
Ao diversificar os instrumentos de avaliação e autoa-
valiação, o professor pode produzir momentos de apren-
dizagem e atender o maior número de alunos do grupo. 
Como sugestão, vamos apresentar aqui, resumidamente, 
um leque de modalidades de avaliação.
Autoavaliação: em primeiro lugar, o professor deve auxi-
liar os alunos a compreenderem os objetivos da autoavalia-
ção, fornecendo -lhes para isso um roteiro de orientação. Os 
alunos devem ser motivados a detectar suas dificuldades 
e a questionar as razões delas.
Prova em grupo seguida de prova individual: nesta 
modalidade, as questões são resolvidas em grupo e, em 
seguida, cada aluno resolve questões do mesmo tipo indivi-
dualmente. O intuito é colaborar para a metacognição, para 
que o aluno tenha consciência do próprio conhecimento, 
de suas potencialidades e dificuldades.
Testes -relâmpago: os testes -relâmpago normalmen-
te propõem poucas questões, uma ou duas apenas. Têm 
por objetivo não permitir que os alunos mantenham -se sem 
estudo durante longos períodos, de modo que se acumule 
uma grande quantidade de conteúdos. Esse recurso, além 
de manter os alunos atentos aos assuntos contemplados 
em aula, ajuda -os na familiarização com os processos 
avaliativos.
Testes e/ou provas cumulativas: este instrumento 
de avaliação traz à tona conteúdos trabalhados em 
momentos anteriores. Tal prática contribui para que os 
alunos percebam as conexões entre os conteúdos e a 
importância de usar os conhecimentos matemáticos de 
forma contínua.
Testes em duas fases: este tipo de teste, ou prova, é 
realizado em duas etapas:
XVIII
1a) a prova é realizada em sala de aula, sem a interfe-
rência do professor;
2a) os alunos refazem a prova dispondo dos comentários 
feitos pelo professor.
O sucesso desse instrumento depende de alguns 
fatores, como:
• a escolha das questões deve ser norteada pelos 
objetivos do teste;
• o conteúdo dos comentários formulados pelo profes-
sor entre as duas fases;
• a consciência, por parte dos alunos, de que a segun-
da fase não consiste em mera correção do que está 
errado, mas em uma oportunidade de aprendizagem.
As questões devem ser de dois tipos:
• as que requerem interpretação ou justificação, e 
problemas de resolução relativamente breve;
• as abertas, e problemas que exijam alguma investi-
gação e respostas mais elaboradas.
Resolução de problemas: chamamos de “problema ma-
temático” aquele que envolve um raciocínio matemático 
na busca por solução. Pode ser resolvido individualmente 
ou em grupo. A atividade de resolução de problemas deve 
envolver, entre outros fatores:
• a compreensão da situação -problema por meio de 
diferentes técnicas (leitura, interpretação, drama-
tização etc.);
• a promoção da criação de estratégias pessoais (não 
haver solução pronta);
• a identificação do problema e a seleção e mobilização 
dos conhecimentos matemáticos necessários para 
sua resolução;
• a avaliação do processo para verificar se, de fato, os 
objetivos estão sendo atingidos;
• a interpretação e verificação dos resultados, para 
que se avaliem sua razoabilidade e validade.
Mapa conceitual: durante a fase formal de avaliação, 
o professor pode solicitar aos alunos que construam o 
mapa conceitual sobre um tema já discutidoe explorado 
em aula. Este tipo de instrumento propicia a verificação 
da aprendizagem mais aberta e pode ser usado como 
autoavaliação.
Trabalho em grupo: para que o grupo trabalhe de fato 
como grupo, são fundamentais a orientação e o auxílio 
do professor no sentido de estimular os alunos a desem-
penharem novas funções em sala de aula, em colaboração 
com os colegas. Um incentivo para isso é o grupo receber 
uma única folha de papel com as atividades propostas, para 
que todos resolvam em conjunto. A questão a ser respon-
dida deve ser desafiadora, despertando a curiosidade e a 
vontade de resolvê -la.
Diálogos criativos: a proposta é que os alunos produzam 
diálogos matemáticos em que estejam inseridos concei-
tos e propriedades de determinado conteúdo.
Histórias em quadrinhos: nesta modalidade, os alunos 
criam histórias em quadrinhos para explorar os assuntos 
estudados em sala de aula. Esse é um recurso que, além 
de intensificar o interesse pela Matemática, permite ao 
professor a avaliação do conhecimento assimilado pelos 
alunos em contextos diversificados.
Seminários e exposições: são atividades que oferecem 
oportunidade para os alunos organizarem seu conhe-
cimento matemático e suas ideias sobre os assuntos 
explorados em aula, além de promover a desinibição e a 
autonomia dos alunos.
Portfólios: são coletâneas dos melhores trabalhos, que 
podem ser escolhidos pelos próprios estudantes. O pro-
fessor deve orientá -los e sugerir que selecionem, durante 
um período, as atividades de Matemática que preferirem 
e que justifiquem as suas escolhas.
É importante reforçar que um processo fecundo de ava-
liação deverá considerar, além dos instrumentos apropria-
dos, o estabelecimento de critérios de correção alicerçado 
em objetivos claros e justos. Chamamos a atenção para 
o tratamento que devemos dar ao “erro” nas atividades 
de Matemática. Ele deve ser analisado criticamente, de 
modo que forneça indícios de sua natureza e da correção 
do percurso pedagógico, para o (re)planejamento e a 
execução das atividades em sala de aula.
Encarados com naturalidade e racionalmente tratados, 
os erros passam a ter importância pedagógica, assumindo 
um papel profundamente construtivo, e servindo não 
para produzir no aluno um sentimento de fracasso, mas 
para possibilitar -lhe um instrumento de compreensão de 
si próprio, uma motivação para superar suas dificuldades e 
uma atitude positiva para seu futuro pessoal.
(PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 37.)
Por fim, a observação atenta e a percepção aguçada do 
professor também são relevantes no processo de avalia-
ção, no sentido de detectar as aprendizagens, que muitas 
vezes não são reveladas pelos instrumentos avaliativos 
escolhidos.
Seja qual for o instrumento utilizado, é fundamental 
que o professor estabeleça critérios de avaliação da 
aprendizagem matemática dos alunos para cada ano, 
tomando como referência as habilidades de Matemática 
para os anos finais do Ensino Fundamental. Desse modo, 
os objetivos de aprendizagem destacados no planeja-
mento do professor precisam ser explicitados para o 
aluno, para que ele compreenda aonde se quer chegar, 
tomando o cuidado de usar uma linguagem compatível 
com o seu entendimento.
XIX
XXXX
Formação continuada e 
desenvolvimento profissional 
docente
Assim como os estudantes precisam desenvolver 
habilidades e competências diversificadas, em sintonia 
com a época em que vivem, nós, professores, mais que 
outros profissionais, temos a máxima urgência e necessi-
dade de cuidar da continuidade de nossa formação e do 
consequente desenvolvimento profissional.
O que aprendemos na universidade e a experiência que 
adquirimos com a prática pedagógica não são suficientes 
para nos manter longe de atividades de formação. Pesqui-
sas e estudos no campo da Educação Matemática e áreas 
afins têm nos auxiliado a encontrar as respostas para as 
muitas dúvidas e angústias inerentes à profissão: “O que 
ensinar?”, “Por que ensinar?”, “Como ensinar?”…
O desenvolvimento profissional do professor deve ser 
entendido como um processo contínuo, que se dá ao longo 
de toda a vida profissional, não ocorre ao acaso, tampouco 
é espontâneo, mas resultado do processo de busca que 
parte das necessidades e dos interesses que surgem no 
percurso.
Na realidade, a formação profissional docente tem 
início na experiência como aluno e na formação acadê-
mica específica, do período de iniciação à docência, até 
edificar -se com a experiência profissional e os processos 
de formação continuada.
Lembramos que as ações de formação continuada po-
dem ser desenvolvidas por múltiplas modalidades, como 
leituras atualizadas, cursos, palestras, oficinas, seminários, 
grupos de estudos, reuniões e encontros com colegas na 
própria escola.
Para ampliar essa proposta, indicamos instituições de 
educação e algumas de suas publicações, organizamos su-
gestões de livros, sites e documentos oficiais que possam 
contribuir para um aprofundamento do conhecimento do 
professor e auxiliá -lo na ampliação das atividades propos-
tas no livro.
Instituições de estudos e pesquisas 
em Educação Matemática que mantêm 
publicações na área
• Associação de Professores de Matemática (APM/
Portugal). Promove anualmente encontros nacionais 
como o ProfMat e o Seminário de Investigação em 
Educação Matemática (Siem).
• Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática 
(Caem/USP). Promove a Virada Malba Tahan e publica 
a revista Malba Tahan.
• Centro de Ensino de Ciências e Matemática (Cecimig/
UFMG)
• Centro de Estudos Memória e Pesquisa em Educação 
Matemática (Cempem/Unicamp)
• Departamento de Matemática do Instituto de Geo-
ciências e Ciências Exatas (IGCE) da Unesp/Rio Claro
• Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Mate-
mática (Gepem/RJ)
• Grupo de Pesquisa em Epistemologia e Ensino de 
Matemática (GPEEM/UFSC)
• Programa de estudos e pesquisas no ensino de Ma-
temática (Proem/PUC -SP)
• Laboratório de Ensino de Matemática da Universidade 
Federal de Pernambuco (Lemat/UFPE)
• Laboratório de Estudos de Matemática e Tecnologias 
da Universidade Federal de Santa Catarina (Lemat/
UFSC)
• Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) 
– regionais São Paulo, Minas Gerais, Bahia, Espírito 
Santo, Rio Grande do Sul, Rio de Janeiro etc. (A maioria 
das regionais mantêm publicações para professores.)
• Sociedade Brasileira de História da Matemática 
(SBHMat)
• Sociedade Brasileira de Matemática (SBM)
• Sociedade de Matemática Aplicada e Computacional 
(SBMAC)
Algumas publicações de associações e centros 
de Educação Matemática
• Bolema (Boletim de Educação Matemática) – publi-
cado pelo Departamento de Matemática do Instituto 
de Geociência e Ciências Exatas da Universidade Es-
tadual Paulista Júlio de Mesquita Filho (IGCE -Unesp), 
campus de Rio Claro. Disponível em: <http://www.
periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema>. 
Acesso em: 06 set. 2018.
• Boletins do Gepem – publicados pelo Grupo de 
Estudos e Pesquisas em Educação Matemática da 
Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ). 
Disponível em: <http://r1.ufrrj.br/gepem/>. Acesso 
em: 30 abr. 2018.
• Educação Matemática em Revista – publicada pela 
Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Dis-
ponível em: <http://www.sbem.com.br>. Acesso em: 
30 abr. 2018.
XX
http://www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema
http://www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema
http://r1.ufrrj.br/gepem/
http://www.sbem.com.br
• Revemat: Revista Eletrônica de Educação Matemática 
– publicada pelo Grupo de Pesquisa em Epistemolo-
gia e Ensino de Matemática (UFSC). Disponível em: 
<https://periodicos.ufsc.br/>. Acesso em: 30 abr. 2018.
• Revista Educação e Matemática e Revista Quadran-
te – publicadas pela Associação de Professores de 
Matemática de Portugal. Disponível em: <https://
wordpress.apm.pt/>. Acesso em: 30 abr. 2018.
• Revista de História da Educação Matemática – publi-
cada pela Sociedade Brasileira de História da Mate-
mática. Disponívelem: <http://histemat.com.br/>. 
Acesso em: 30 abr. 2018. 
• Revista do Professor de Matemática (RPM) – publicada 
pela Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível 
em: <http://www.rpm.org.br/>. Acesso em: 30 abr. 
2018.
• Revista Zetetiké – publicada pelo Centro de Estu-
dos Memória e Pesquisa em Educação Matemática 
(Unicamp). Disponível em: <https://www.cempem.
fe.unicamp.br/>. Acesso em: 30 abr. 2018.
Sugestões de leitura
Números
• A compreensão de conceitos aritméticos: ensino e 
pesquisa. Analúcia Schliemann; David Carraher (Orgs.). 
Campinas: Papirus, 1998.
• Materiais didáticos para as quatro operações. 5. ed. 
Virgínia Cardia Cardoso. São Paulo: Caem/USP, 2002.
• Números: linguagem universal. Vânia Maria P. dos 
Santos; Jovana Ferreira de Rezende (Coords.). Rio 
de Janeiro: Instituto de Matemática/UFRJ – Projeto 
Fundão, 1996.
• Repensando adição e subtração. Sandra Magina; Tâ-
nia M. M. Campos; Terezinha Nunes; Verônica Gitirana. 
São Paulo: Proem, 2001.
• Sobre a introdução do conceito de número fracionário. 
Maria José Ferreira da Silva. 1997. Dissertação (Mes-
trado) – Pontifícia Universidade Católica, São Paulo.
Álgebra
• Álgebra: das variáveis às equações e funções. Eliane 
Reame de Sousa; Maria Ignes Diniz. São Paulo: IME-
-USP, 1994.
• Aplicações da matemática escolar. D. Bushaw; M. Bell; 
H. O. Pollack. São Paulo: Atual, 1997.
• Aprenda Álgebra brincando. I. Perelmann. Curitiba: 
Hemus, 2001.
• Erros e dificuldades no ensino da Álgebra: o tratamen-
to dado por professoras de 7a série em aula. Renata 
Anastacia Pinto. 1997. Dissertação (Mestrado)  – 
Unicamp, Campinas.
• Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século 
XXI. Rômulo Campos Lins; Joaquim Gimenez. Campi-
nas: Papirus, 1997.
• Ressonâncias e dissonâncias do movimento pendular 
entre Álgebra e Geometria no currículo escolar brasi-
leiro. Ângela Miorin; Antonio Miguel; Dário Fiorentini. 
Zetetiké. Campinas: Unicamp, n. 1, 1993.
• Um estudo de dificuldades ao aprender Álgebra em 
situações diferenciadas de ensino em alunos da 6a 
série do Ensino Fundamental. Nathalia Tornisiello 
Scarlassari. 2007. Dissertação (Mestrado) – Unicamp, 
Campinas.
Geometria
• A Matemática das sete peças do Tangram. 3. ed. 
Eliane Reame de Souza; Maria Ignez S. V. Diniz; Rosa 
Monteiro Paulo; Fusako Hori Ochi. São Paulo: Caem/
USP, 2003.
• Aprendendo e ensinando Geometria. Mary M. Lind-
quist; Albert P. Shulte (Orgs.). São Paulo: Atual, 1994.
• Aprendendo e ensinando Matemática com geoplano. 
Gelsa Knijnik; Marcus Vinícius Basso; Renita Klüsener. 
Ijuí: Unijuí Editora, 1996.
• Ensino de Geometria no virar do milênio: investigações 
em Geometria na sala de aula. Eduardo Veloso; Helena 
Fonseca; João Pedro da Ponte; Paulo Abrantes (Orgs.). 
Lisboa: Defcul, 1999.
• Espaço e forma. Célia Maria C. Pires; Edda Curi; Tânia 
Maria M. Campos. São Paulo: Proem, 2000.
• Experiências com Geometria na escola básica: narrati-
vas de professores em (trans)formação. Adair Mendes 
Nacarato; Adriana A. M. Gomes; Regina Célia Grando. 
São Carlos: Pedro & Editores, 2008.
• Geometria na era da imagem e do movimento. Maria 
Laura M. Leite Lopes; Lílian Nasser (Coords.). Rio de 
Janeiro: Instituto de Matemática/UFRJ – Projeto 
Fundão, 1996.
• O abandono do ensino da Geometria no Brasil: causas 
e consequências. Regina Maria Pavanello. Zetetiké.
Campinas: Unicamp, n. 1, p. 7 -17, mar. 1993.
• O uso de quadriculados no ensino da Geometria. 4. ed. 
Fusako Hori Ochi; Rosa Monteiro Paulo; Joana Hissae 
Yokoya; João Kazuwo Ikegami. São Paulo: Caem/USP, 
2003.
• Por que não ensinar Geometria? Sérgio Lorenzato. 
Educação Matemática em Revista. Florianópolis: 
SBEM, n. 4, 1o sem. 1995.
Grandezas e medidas
• Medida e forma em Geometria: comprimento, área, 
volume e semelhança. Elon Lages Lima. Rio de Janeiro: 
SBM, 2011.
• Temas e problemas elementares. Eduardo Wagner; 
Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; Augusto 
Cezar de Oliveira Morgado. Rio de Janeiro: SBM, 2016. 
XXI
https://periodicos.ufsc.br/
https://wordpress.apm.pt/
https://wordpress.apm.pt/
http://histemat.com.br/
http://www.rpm.org.br/
https://www.cempem.fe.unicamp.br/
https://www.cempem.fe.unicamp.br/
XXIIXXII
Probabilidade e estatística
• A Probabilidade e a Estatística no Ensino Fundamen-
tal: uma análise curricular. Celi Aparecida Espasandin 
Lopes. 1998. Dissertação (Mestrado) – Unicamp, 
Campinas.
• Encontro das crianças com o acaso, as possibilida-
des, os gráficos e as tabelas. Anna Regina Lanner; 
Celi Aparecida Espasandin Lopes (Orgs.). Campinas: 
Unicamp, 2003.
• Tratamento da Informação para o Ensino Fundamental 
e Médio. Irene Maurício Cazorla; Eurivalda dos Santos 
Santana. Itabuna/Ilhéus: Via Litterarum, 2006.
• Tratamento da Informação: explorando dados es-
tatísticos e noções de probabilidade a partir das 
séries iniciais. Maria Laura M. Leite Lopes (Org.). Rio 
de Janeiro: UFRJ, 2005.
Resolução de problemas
• A arte de resolver problemas: um novo aspecto do 
método matemático. George Polya. Rio de Janeiro: 
Interciência, 1995.
• A resolução de problemas na Matemática escolar. 
Stephen Krulik; Robert E. Reys (Orgs.). São Paulo: 
Atual, 1997.
• Didática da resolução de problemas de Matemática. 
Luiz Roberto Dante. São Paulo: Ática, 1991.
• Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para 
as aulas de Matemática. 5. ed. Júlia Borin. São Paulo: 
Caem/USP, 2004.
• Ler, escrever e resolver problemas: habilidades bási-
cas para aprender Matemática. Kátia Stocco Smole; 
Maria Ignez Diniz. Porto Alegre: Artmed, 2001.
Educação matemática
• A Matemática e os temas transversais. Alexandrina 
Monteiro; Geraldo Pompeu Junior. São Paulo: Moder-
na, 2001.
• A Matemática na escola: aqui e agora. Délia Lerner de 
Zunino. Porto Alegre: Artmed, 1995.
• Aplicações de Vygotsky à educação matemática. 
Lúcia Moysés. Campinas: Papirus, 1997.
• Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. 
Cecília Parra; Irma Saiz (Orgs.). Porto Alegre: Artmed, 
1996.
• Educação matemática. Maria Aparecida Viggiani Bi-
cudo (Org.). São Paulo: Centauro, 2005.
• Educação matemática, leitura e escrita: armadilhas, 
utopias e realidade. Celi Espasadin Lopes; Adair Men-
des Nacarato (Orgs.). Campinas: Mercado de Letras, 
2009.
• Ensinar e aprender Matemática. Luiz Carlos Pais. Belo 
Horizonte: Autêntica, 2006.
• Ensino de Matemática na escola de nove anos: dú-
vidas, dívidas e desafios. Vinício de Macedo Santos. 
São Paulo: Cengage Learning, 2014.
• Escritas e leituras na Educação matemática. Adair 
Mendes Nacarato; Celi Espasandin Lopes (Orgs.). Belo 
Horizonte: Autêntica, 2005.
• Etnomatemática: currículo e formação de professo-
res. Gelsa Knijnik; Fernanda Wanderer; Cláudio José 
de Oliveira (Orgs.). Santa Cruz do Sul: Edunisc, 2004.
• Etnomatemática: elo entre as tradições e a moderni-
dade. Ubiratan D’Ambrosio. Belo Horizonte: Autêntica, 
2001.
• Fundamentos da didática da Matemática. Saddo Ag 
Almouloud. Curitiba: UFPR, 2007.
• Histórias e investigações de/em aulas de Matemáti-
ca. Dario Fiorentini; Eliane Matesco Cristovão (Orgs.). 
Campinas: Alínea, 2006.
• Investigações matemáticas na sala de aula. João 
Pedro da Ponte; Joana Brocardo; Hélia Oliveira. Belo 
Horizonte: Autêntica, 2003.
• Letramento no Brasil: habilidades matemáticas. Maria 
da Conceição F. R. Fonseca (Org.). São Paulo: Global, 
2004.
• Matemática e atualidade. Christiane Rousseau; Yvan 
Saint -Aubin. v. 1. Rio de Janeiro: SBM, 2015.
• Matemática em projetos: uma possibilidade. Celi 
Espasandin Lopes (Org.). Campinas: FE/Cempem/
Unicamp, 2003.
• Matemática escolar e Matemática da vida cotidiana. 
José Roberto B. Giardinetto. Campinas: Autores As-
sociados, 1999.
• Matemática, estupefação e poesia. Bruno D’Amore. 
São Paulo: Livraria da Física, 2012.
• Múltiplos olhares: Matemática e produção de conhe-
cimento. Jackeline Rodrigues Mendes; Regina Célia 
Grando (Orgs.). São Paulo: Musa, 2007.
• Para aprender Matemática. Sérgio Lorenzato. Campi-
nas: Autores Associados, 2006.
• Salade aula: um espaço de pesquisa em Matemática. 
Cristina Maranhão; Stella Galli Mercadante. São Paulo: 
Vera Cruz, 2006.
História da Matemática
• Análise histórica de livros de Matemática. Gert Schu-
bring. Campinas: Autores Associados, 2003.
• História concisa das matemáticas. Dirk J. Struik. Lis-
boa: Gradiva, 1998.
• História da Matemática. Carl B. Boyer. São Paulo: 
Edgard Blücher, 1996.
XXII
• História na educação matemática: propostas e de-
safios. Antônio Miguel; Maria Ângela Miorim. Belo 
Horizonte: Autêntica, 2004.
• História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo 
mitos e lendas. Tatiana Roque. Rio de Janeiro: Zahar, 
2012.
• História universal dos algarismos. Georges Ifrah. São 
Paulo: Nova Fronteira, 1997.
• Introdução à história da Educação matemática. An-
tonio Miguel; Maria Ângela Miorim. São Paulo: Atual, 
1998.
• Introdução à história da Matemática. Howard Eves. 
Campinas: Unicamp, 1997.
• Os números: a história de uma grande invenção. 
Georges Ifrah. São Paulo: Globo, 1989.
• Tópicos de história da Matemática para uso em sala 
de aula: Álgebra. John K. Baumgart. São Paulo: Atual, 
1992.
• Tópicos de história da Matemática para uso em sala de 
aula: Geometria. Howard Eves. São Paulo: Atual, 1992.
• Tópicos de história da Matemática para uso em sala 
de aula: Números e numerais. Bernard H. Gundlash. 
São Paulo: Atual, 1992.
• Tópicos de história da Matemática para uso em sala 
de aula: Trigonometria. Howard Eves. São Paulo: 
Atual, 1992.
Jogos
• Aprender com jogos e situações -problema. Lino de 
Macedo; Ana Lúcia S. Petty; Norimar C. Passos. Porto 
Alegre: Artmed, 2000.
• Jogos de matemática de 6o ao 9o ano. Kátia Stocco 
Smole; Estela Milani Diniz. Porto Alegre: Artmed, 2007.
• O jogo como espaço para pensar: a construção de 
noções lógicas e aritméticas. Rosely Palermo Brenelli. 
Campinas: Papirus, 1996.
• O jogo e a Matemática no contexto da sala de aula. 
Regina Célia Grando. São Paulo: Paulus, 2004.
• Os jogos e o lúdico na aprendizagem escolar. Lino de 
Macedo; Ana Lúcia S. Petty; Norimar C. Passos. Porto 
Alegre: Artmed, 2005.
Tecnologia
• A influência da calculadora na resolução de proble-
mas matemáticos abertos. Katia Maria de Medeiros. 
Educação Matemática em Revista. São Paulo: SBEM, 
n. 14, 2003.
• Ensinando com tecnologia: criando salas de aula 
centradas nos alunos. Judith H. Sandholtz; Cathy 
Ringstaff; David C. Dwyer. Porto Alegre: Artmed, 1997.
• Informática e Educação matemática. Marcelo de 
Carvalho Borba; Miriam G. Penteado. Belo Horizonte: 
Autêntica, 2003.
• Informática educativa: dos planos e discursos à sala 
de aula. Ramon de Oliveira. Campinas: Papirus, 1997.
• Prática pedagógica: ambientes informatizados de 
aprendizagem, produção e avaliação de software 
educativo. Celina Couto Oliveira; José Wilson Costa; 
Mércia Moreira. Campinas: Papirus, 2001.
• Projetos de trabalho em informática: desenvolvendo 
competências. Sônia Petitto. Campinas: Papirus, 
2003.
• Uso didático da calculadora no ensino fundamental: 
possibilidades e desafios. Juliana de Alcântara S. 
Rubio. 2003. Dissertação (Mestrado) – Unesp, Marília.
Avaliação
• Análise de erros: o que podemos aprender com as 
respostas dos alunos. Helena Noronha Cury. Belo 
Horizonte: Autêntica, 2007.
• Avaliação da aprendizagem escolar. Cipriano Carlos 
Luckesi. São Paulo: Cortez, 2001.
• Avaliação de aprendizagem e raciocínio em Mate-
mática: métodos alternativos. Vânia Maria Pereira 
dos Santos (Coord.). Rio de Janeiro: UFRJ – Projeto 
Fundão, 1997.
• Avaliação: da excelência à regulação das aprendiza-
gens. Philippe Perrenoud. Porto Alegre: Artmed, 1999.
• Avaliação desmistificada. Charles Hadji. Porto Alegre: 
Artmed, 2001.
• Avaliação mediadora: uma prática em construção da 
pré -escola à universidade. Jussara Hoffmann. Porto 
Alegre: Mediação, 2000.
• Currículo e avaliação: uma perspectiva integrada. 
Maria Palmira Castro Alves. Porto: Porto, 2004.
• Desafios reais do cotidiano escolar brasileiro: 22 
dilemas vividos por diretores, coordenadores e pro-
fessores em escolas de todo o Brasil. Katherine K. 
Merseth (Coord.). São Paulo: Moderna, 2018.
• O erro como estratégia didática: estudo dos erros 
no ensino da Matemática elementar. Neuza Bertoni 
Pinto. Campinas: Papirus, 2000.
• Sobre avaliação em Matemática: uma reflexão. Re-
gina Buriasco. Educação em Revista. Belo Horizonte: 
UFMG, n. 36, 2002.
XXIII
XXIVXXIV
Sugestões de sites
• Centro de Estudos Memória e Pesquisa em Educação 
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Disponível em: <http://www.sbembrasil.org.br/
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• Sociedade Brasileira de Matemática.
Disponível em: <http://www.sbm.org.br>. Acesso em: 
30 abr. 2018.
• Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Com-
putacional.
Disponível em: <http://www.sbmac.org.br/>. Acesso 
em: 30 abr. 2018. 
• Laboratório de Ensino de Matemática, Instituto de 
Matemática, Estatística e Ciência Computacional da 
Unicamp.
Disponível em: <http://www.ime.unicamp.br/lem>. 
Acesso em: 30 abr. 2018.
• Laboratório de Ensino de Matemática, Instituto de 
Matemática e Estatística da USP.
Disponível em: <http://www.ime.usp.br/lem/> Acesso 
em: 06 set. 2018. 
Documentos oficiais
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO – CONSELHO NACIONAL DE 
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• Plano Nacional de Educação (PNE) 2014 -2024: Linha 
de Base, 2015. 
• Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fun-
damental de 9 (nove) anos – Parecer CNE/CBE no 
11/2010
• Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais para a Edu-
cação Básica
• Parecer CNE/CEB no 07/2010
• Decreto no 9.099/2017
• Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) – terceiro 
e quarto ciclos do Ensino Fundamental – Introdução 
(cidadania, concepções de áreas, temas transversais, 
organização/gestão do trabalho escolar, adolescên-
cia, concepção de ensino e de aprendizagem)
• Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino 
Médio (PCNEM)
Bibliografia consultada
Livros, dissertações, artigos e documentos
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e Undime. 
Disponível em:<http://cnebncc.mec.gov.br/docs/
BNCC_Estudo_Comparativo.pdf>. Acesso em: 28 
maio 2018.
• Indagações sobre o currículo – Currículo e Avaliação.
Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/
arquivos/pdf/Ensfund/indag5.pdf>. Acesso em: 28 
maio 2018.
• Currículo da cidade – São Paulo (Conceitos na parte 
Introdutória de todos os cadernos e caderno especial 
para tecnologias para aprendizagem).
Disponível em: <http://portal.sme.prefeitura.sp.gov.
br/Portals/1/Files/47272.pdf>. Acesso em: 06 set. 
2018.
• Site de comunicação e mobilização social voltado 
para a educação brasileira (indicação do MEC em 
Reunião Técnica sobre materiais digitais).
Disponível em: <http://porvir.org/>. Acesso em: 28 
maio 2018.
XXVI
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/
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http://cnebncc.mec.gov.br/docs/BNCC_Estudo_Comparativo.pdf
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http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/Ensfund/indag5.pdf
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/Ensfund/indag5.pdf
http://portal.sme.prefeitura.sp.gov.br/Portals/1/Files/47272.pdf
http://portal.sme.prefeitura.sp.gov.br/Portals/1/Files/47272.pdf
http://porvir.org/
XXVII
ORIENTAÇÕES ESPECÍFICAS 
O livro do 9o ano é composto de doze capítulos em que se desenvolvem as cinco Unidades Temá-
ticas propostas pela BNCC: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e 
estatística, intercaladas e, sempre que possível, integradas, exploradas no corpo do texto explicativo 
e nas atividades. 
Com o intuito de complementar, ampliar e enriquecer o conteúdo desenvolvido, aparecem ao longo 
do livro as seções especiais: Para saber mais, Trabalhando a informação e Diversificando. A seguir, 
apresentamos a distribuição dessas seções no livro do 9o ano.
Para saber mais
Capítulo Título
Capítulo 1 (p. 21, 37)
O problema dos coelhos de Fibonacci e o número áureo
Espiral de Teodoro, Pitágoras ou Einstein
Capítulo 2 (p. 47) A história dos números irracionais
Capítulo 3 (p. 76, 83)
Medida de arcos de uma circunferência
Resolvendo problemas com o auxílio de um quadro
Capítulo 4 (p. 95, 101, 105)
Uma razão de ouro
Um pouco da história de Tales
Rumo ao teorema das bissetrizes dos ângulos internos de 
um triângulo
Capítulo 5 (p. 116, 127)
Construindo figuras semelhantes por homotetia
Construindo um pantógrafo
Capítulo 6 (p. 139) A Matemática e os jogos
Capítulo 7 (p. 157) Número de ouro
Capítulo 8 (p. 175) Triângulos pitagóricos
Capítulo 9 (p. 202, 206)
Ângulos da cidade maravilhosa
O teodolito
Capítulo 10 (p. 223, 234, 237, 250, 
252)
Função, um longo caminho na história da Matemática
Uso do computador: retas 
Proporcionalidade na função linear
Uso do computador: parábolas
Sistema de equações do 2o grau
Capítulo 12 (p. 289) Construção de polígono regular de n lados
Trabalhando a informação
Capítulo Título
Capítulo 1 (p. 22) Analisando uma reportagem com porcentagens múltiplas
Capítulo 2 (p. 59) Construindo e interpretando gráfico de linha
Capítulo 3 (p. 67, 84)
Comparando gráficos de barras
Construindo gráficos de barras e de colunas
Capítulo 4 (p. 108) Cartograma do Índice de Vulnerabilidade Social (IVS)
Capítulo 5 (p. 129) Um gráfico chamado pirâmide etária
Capítulo 6 (p. 140) Juros compostos
Capítulo 7 (p. 166) A leitura de um mapa, anamorfose geográfica
Capítulo 8 (p. 185) A representação de um relevo
Capítulo 9 (p. 211) Gráficos com distorção
Capítulo 11 (p. 272) Semicoroa circular
Capítulo 12 (p. 293) Atenção ao ler gráficos
XXVIII
Diversificando
Capítulo Título
Capítulo 1 (p. 39) Jogo do enfileirando
Capítulo 5 (p. 132) Câmara escura de orifício
Capítulo 8 (p. 192) Uma quase circunferência!
Capítulo 10 (p. 256) Cercando
Capítulo 12 (p. 303) Jogo do desenhe ou responda
Cada capítulo aborda objetos de conhecimento, entendidos como conteúdos, conceitos, processos, 
com a intenção de desenvolver as habilidades relacionadas a eles. Esses conhecimentos são articulados, 
retomados e ampliados a fim de proporcionar sua apropriação pelos alunos, considerando a aprendiza-
gem um processo contínuo e integrado.
Os conteúdos matemáticos são desenvolvidos de modo que as habilidades, as Unidades Temáti-
cas, as competências e outras áreas do conhecimento se articulem e se relacionem e são tratados na 
perspectiva das aprendizagens dos anos anteriores e posteriores. Assim, no livro do 9o ano do Ensino 
Fundamental, levamos em conta os objetivos de aprendizagem para o 8o ano, conforme proposto na 
BNCC, visando preparar os alunos para se apropriarem dos conhecimentos previstos para o Ensino Médio.
A seguir, são feitos comentários sobre cada capítulo e o que se pretende que os alunos desenvol-
vam neles. Os conteúdos trabalhados são relacionados aos objetos de conhecimento e às habilidades 
da BNCC. 
Há ainda textos complementares e sugestões de atividades, que possibilitam a ampliação do co-
nhecimento.
CAPÍTULO
CAPÍTULO 1
O que o encantador arranjo de pétalas numa rosa vermelha, o famoso quadro O Sacramento da 
Última Ceia, de Salvador Dalí, as magní�cas conchas espirais de moluscos e a procriação de coelhos 
têm em comum?
É difícil de acreditar, mas esses exemplos bem díspares têm em comum um certo número [...] o 
número áureo.
O número áureo ou número do ouro, representado pela letra grega ò [�], é um número real não 
racional, a sua escrita decimal nunca termina e nunca se repete, ò 5 1,6180339887... [...]
Fonte: LIVIO, Mario. Razão áurea. 3. ed. Rio de Janeiro: Record, 2008. p. 13.
1Números reais
Capítulo
Estrutura interna em espiral de uma concha de Nautilus.
11
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 IM
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S
1 Números reais
Neste capítulo, são desenvolvidos objetos de conhecimento da Unidade Temática Números. Nos 
conteúdos e atividades propostos, foram consideradas as aprendizagens dos anos anteriores, em es-
pecial do 8o ano (EF08MA03), relativas aos conjuntos numéricos estudados. 
Esse é um momento de ampliação dos conhecimentos desenvolvidos sobre números para apresentar 
os números irracionais e o conjunto dos números reais, na perspectiva de que a continuidade desse 
processo leve os alunos à apropriação da noção de número real. Para isso, apresentam-se conceitos e 
atividades que os conduzem nessa aprendizagem. 
Ao ampliar os conhecimentos que eles já têm sobre os números, espera-se prepará-los para a apro-
priação de outros tipos de número e para a ampliação dos conjuntos numéricos que serão estudados 
no Ensino Médio, como os números complexos.
Ainda na Unidade Temática Números, desenvolvem-se atividades que envolvem cálculos com porcen-
tagens e problemas que trabalham porcentagens com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos 
e a determinação de taxas percentuais.
Promove-se a articulação com a Unidade Temática Geometria ao apresentar uma verificação ex-
perimental do teorema de Pitágoras e aplicando esse teorema na localização de números irracionais 
XXIX
dados por raízes quadradas não exatas na reta real e na construção da espiral de Teodoro, Pitágoras 
ou Einstein.
A conexão com a Unidade Temática Probabilidade e estatística ocorre em atividade na qual se 
explora a interpretação de gráfico de colunas, retomando conhecimentos construídos em anos 
anteriores.
No Manual do Professor – Digital encontram-se sugestões de Planos de desenvolvimento para este 
bimestre. Neles há uma seleção de objetos de conhecimento, habilidades e práticas pedagógicas a 
serem utilizados ou adaptados de acordo com a sua realidade ou necessidade para o período.
Capítulo 1 – Números reais
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Reconhecimento de que, 
uma vez escolhida uma 
unidade de medida de 
comprimento, existem 
segmentos de reta cujo 
comprimento não é expresso 
por número racional
• A sequência de Fibonacci e o 
número áureo
• Reconhecimento de números 
irracionais e de números reais
• Localização de números 
irracionais na reta real
Necessidadedos números reais para medir 
qualquer segmento de reta
Números irracionais: reconhecimento e 
localização de alguns na reta numérica
(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez 
fixada uma unidade de comprimento, 
existem segmentos de reta cujo 
comprimento não é expresso por número 
racional (como as medidas de diagonais 
de um polígono e alturas de um triângulo, 
quando se toma a medida de cada lado 
como unidade).
(EF09MA02) Reconhecer um número 
irracional como um número real cuja 
representação decimal é infinita e não 
periódica, e estimar a localização de alguns 
deles na reta numérica.
• Revisão dos números 
racionais e ampliação dos 
conjuntos numéricos 
• Números racionais na forma 
de fração e na forma decimal
• Números quadrados 
perfeitos e o cálculo de raiz 
quadrada
• Raiz quadrada com 
aproximação decimal 
Potências com expoentes negativos e 
fracionários
(EF09MA03) Efetuar cálculos com números 
reais, inclusive potências com expoentes 
fracionários.
• Resolução e elaboração 
de problemas envolvendo 
números reais
• Construção da espiral de 
Teodoro, Pitágoras ou 
Einstein
Números reais: notação científica e 
problemas
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas 
com números reais, inclusive em notação 
científica, envolvendo diferentes operações.
• Cálculo de porcentagens 
sucessivas
Porcentagens: problemas que envolvem 
cálculo de percentuais sucessivos
(EF09MA05) Resolver e elaborar 
problemas que envolvam porcentagens, 
com a ideia de aplicação de percentuais 
sucessivos e a determinação das taxas 
percentuais, preferencialmente com o uso 
de tecnologias digitais, no contexto da 
educação financeira.
• Verificação experimental do 
teorema de Pitágoras
• Aplicação do teorema de 
Pitágoras na localização de 
números irracionais na reta 
real
Relações métricas no triângulo retângulo 
Teorema de Pitágoras: verificações 
experimentais e demonstração
Retas paralelas cortadas por transversais: 
teoremas de proporcionalidade e 
verificações experimentais
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas 
do triângulo retângulo, entre elas o 
teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, 
a semelhança de triângulos.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas 
de aplicação do teorema de Pitágoras 
ou das relações de proporcionalidade 
envolvendo retas paralelas cortadas por 
secantes.
XXX
Texto complementar
Fibonaccis Áureos
Examine novamente a sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ..., e 
desta vez vamos observar as razões dos números sucessivos (calculados aqui até a sexta casa decimal):
1 
1
 5 1,000000
2 
1
 5 2,000000
3 
2
 5 1,500000
5 
3
 5 1,666666
8 
5
 5 1,600000
13 
8
 5 1,625000
21 
13
 5 1,615385
34 
21
 5 1,619048
55 
34
 5 1,617647
89 
55
 5 1,618182
144 
89
 5 1,617978
233 
144
 5 1,618056
377 
233
 5 1,618026
610 
377
 5 1,618037
987 
610
 5 1,618033
Você reconhece esta última razão? À medida que avançamos na sequência de Fibonacci, a razão entre dois 
números sucessivos de Fibonacci oscila em torno da Razão Áurea (sendo alternadamente maior e menor), mas 
se aproxima cada vez mais dela. Se denotamos o n-ésimo número de Fibonacci como Fn e o seguinte como Fn 1 1, 
então descobriremos que a razão Fn 1 1 
Fn
 se aproxima da Razão Áurea ò quando n aumenta. Essa propriedade foi 
descoberta em 1611 (embora possivelmente um anônimo italiano o tenha feito antes) pelo famoso astrônomo 
alemão Johannes Kepler; entretanto mais de cem anos se passaram antes que a relação entre os números de 
Fibonacci e a Razão Áurea fosse provada (e, mesmo assim, não totalmente) pelo matemático escocês Robert 
Simson (1687-1768). Kepler, aliás, aparentemente topou com a sequência de Fibonacci por conta própria e não 
lendo o Liber abaci.
Mas por que os termos de uma sequência derivada do acasalamento de coelhos se aproximariam de uma 
razão definida por meio da divisão de uma linha? Para entender essa conexão, temos de voltar às espantosas 
frações contínuas [...]. Lembre-se de que vimos que a Razão Áurea pode ser escrita como:
ò 5 1 1
1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 ...
Em princípio, poderíamos calcular o valor de ò por uma série de aproximações sucessivas, na qual inter-
romperíamos as frações contínuas mais e mais adiante. Suponha que tentássemos fazer exatamente isso. Iríamos 
encontrar a série de valores lembrete:1sobre é igual a :b
a
a
bc m
1 5 1,00000
1 1
1
1
2 2,000001 5 5
1 1
1 , 00001 2
3 1 51 1 5 5
1
1 1 1
1
1
3
5 1,666661
1 1
5 5
1
1
1 1 1
1
1
1
5
8 1,600001
1
1 1
5 5
1
1
1
1 1 1
1
1
1
1
8
13 1,625001
1
1
1 1
5 5
XXXI
Em outras palavras, as aproximações sucessivas que encontramos para a Razão Áurea são exatamente 
iguais às razões dos números de Fibonacci. Não é de espantar então que, à medida que vamos para termos 
cada vez maiores na sequência, a razão tende para a Razão Áurea. Esta propriedade é descrita de maneira 
admirável no livro On Growth and Form (Sobre crescimento e forma), do famoso naturalista sir D’Arcy 
Wentworth Thompson (1860-1948). Ele escreve sobre os números de Fibonacci: “Sobre esses números 
famosos e fascinantes, um amigo matemático me escreve: ‘Todo o romance das frações contínuas, relações 
de recorrência linear, [...] recai sobre eles, e eles são uma fonte de curiosidade inesgotável. Como é inte-
ressante vê-los se esforçando para atingir o inatingível, a Razão Áurea, por exemplo; e esta é apenas uma 
entre centenas de relações desse tipo’.”. A convergência para a Razão Áurea, aliás, explica o truque mágico 
que descrevi [...]. Se você define uma série de números pela propriedade de que cada termo (começando 
com o terceiro) é igual à soma dos dois anteriores, então, independentemente dos dois números com os 
quais você tenha começado, desde que você avance suficientemente na sequência, a razão de dois termos 
sucessivos sempre se aproxima da Razão Áurea. 
Os números de Fibonacci, como a “aspiração” de suas razões – a Razão Áurea –, têm algumas propriedades 
realmente assombrosas. A lista de relações matemáticas que envolveu os números de Fibonacci é literalmente 
sem fim. Aqui apresentamos apenas um punhado delas.
LIVIO, Mario. Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente. Trad. 
Marco Shinobu Matsumura. Rio de Janeiro: Record, 2007.
CAPÍTULO
Reza a lenda que a descoberta dos irracionais causou tanto escândalo entre os gregos que o 
pitagórico responsável por ela, Hípaso, foi expulso da escola e condenado à morte. Não se sabe de 
onde veio essa história, mas parece pouco provável que seja verídica. [...]
Na verdade, a descoberta da incomensurabilidade representou uma nova situação que motivou 
novos desenvolvimentos matemáticos.
Fonte: ROQUE, Tatiana. História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos. 
Rio de Janeiro: Zahar, 2012. p. 124-26.
2
Capítulo
Detalhe de Escola de Atenas (1509-1511), de Rafael Sanzio. Pintura em reboco. 5 m 3 7,7 m. Na imagem, 
Pitágoras, sentado à esquerda, é observado por Parmênides, em pé, e Hipatia, ao fundo.
Operações com 
números reais
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40 CAPÍTULO 2
2 Operações com números 
reais
Neste capítulo, serão aprofundados os conhecimentos acerca das operações com os conjuntos 
numéricos, ampliando-as para o cálculo com radicais, com foco na Unidade Temática Números. Esse 
trabalho amplia e consolida conhecimentos construídos ao longo dos anos anteriores, em especial no 
8o ano (EF08MA01 e EF08MA02). Espera-se que as situações envolvendo tais conhecimentos possam 
subsidiar os que serão explorados no Ensino Médio, entre eles a história dos números irracionais e as 
propriedades de radicais.
O capítulo apresenta também articulação com temas das Unidades Temáticas Grandezas e medidas, 
no reconhecimento e emprego de unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito 
pequenas, e Probabilidade e estatística, na construção e interpretação de gráficos de linhas.
Capítulo 2 –Operações com números reais
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Surgimento do número 
irracional na história
• Reconhecimento de um 
número irracional
Necessidade dos números reais para 
medir qualquer segmento de reta
Números irracionais: reconhecimento e 
localização de alguns na reta numérica
(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez 
fixada uma unidade de comprimento, 
existem segmentos de reta cujo 
comprimento não é expresso por número 
racional (como as medidas de diagonais 
de um polígono e alturas de um triângulo, 
quando se toma a medida de cada lado 
como unidade).
(EF09MA02) Reconhecer um número 
irracional como um número real cuja 
representação decimal é infinita e não 
periódica, e estimar a localização de alguns 
deles na reta numérica.
XXXII
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Cálculo com potências de 
expoentes naturais e inteiros 
negativos
• Determinação de potências 
com expoente fracionário
• Cálculo com radicais
Potências com expoentes negativos e 
fracionários
(EF09MA03) Efetuar cálculos com 
números reais, inclusive potências com 
expoentes fracionários.
• Propriedades de radicais
• Operações envolvendo 
radicais
• Resolução de problemas 
envolvendo radicais
Números reais: notação científica e 
problemas
(EF09MA04) Resolver e elaborar 
problemas com números reais, inclusive 
em notação científica, envolvendo 
diferentes operações.
• Reconhecimento e emprego 
de unidades usadas para 
expressar medidas muito 
grandes ou muito pequenas
• Emprego de unidades 
de medida utilizadas na 
informática
Unidades de medida para medir distâncias 
muito grandes e muito pequenas 
Unidades de medida utilizadas na 
informática
(EF09MA18) Reconhecer e empregar 
unidades usadas para expressar medidas 
muito grandes ou muito pequenas, tais 
como distância entre planetas e sistemas 
solares, tamanho de vírus ou de células, 
capacidade de armazenamento de 
computadores, entre outros.
• Construção e interpretação 
de gráfico de linha
Leitura, interpretação e representação de 
dados de pesquisa expressos em tabelas 
de dupla entrada, gráficos de colunas 
simples e agrupadas, gráficos de barras e 
de setores e gráficos pictóricos
(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico 
mais adequado (colunas, setores, linhas), 
com ou sem uso de planilhas eletrônicas, 
para apresentar um determinado conjunto 
de dados, destacando aspectos como as 
medidas de tendência central.
CAPÍTULO
62 CAPÍTULO 3
3
Capítulo
Grandezas 
proporcionais
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B
E
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 E
V
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G
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Surgido nos anos 1970 
em Nova York (Estados 
Unidos), o grafite é uma 
forma de manifestação 
artística em espaços 
públicos com adeptos em 
vários países. O grafite 
brasileiro é considerado 
um dos melhores do 
mundo.
Se dois grafiteiros 
levam 10 dias para 
concluir um grande painel, 
com a ajuda de outros dois 
grafiteiros, igualmente 
hábeis, em quantos dias 
eles terminariam essa 
arte?
Em Soweto (África do Sul), grafiteiros produzem um retrato de Winnie 
Madikizela-Mandela, ex-esposa do presidente sul-africano Nelson Mandela. 
Ela faleceu em 2 de abril de 2018, com 81 anos. (Foto de 2018.)
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3 Grandezas proporcionais
Os conceitos e as atividades envolvendo o estudo de proporcionalidade entre grandezas são o 
foco deste capítulo, desenvolvendo a Unidade Temática Álgebra com os temas razão entre gran-
dezas de espécies diferentes, grandezas direta ou inversamente proporcionais e regra de três, 
ampliando os conhecimentos construídos em anos anteriores e em especial no 8o ano (EF08MA12 
e EF08MA13).
As articulações são feitas com a Unidade Temática Números por meio de cálculos e proble-
mas envolvendo números reais, com a Unidade Temática Geometria na seção Para saber mais, 
que trata de medida de arco de uma circunferência, e com a Unidade Temática Probabilidade e 
estatística na comparação de gráficos de barras e na análise de texto e construção de gráficos 
de barras e de colunas, temas das seções Trabalhando a informação, ampliando o trabalho feito 
em anos anteriores.
XXXIII
Capítulo 3 – Grandezas proporcionais
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Cálculos com números reais
Potências com expoentes negativos e 
fracionários
(EF09MA03) Efetuar cálculos com 
números reais, inclusive potências com 
expoentes fracionários.
• Resolução de problemas 
envolvendo cálculos com 
números reais 
Números reais: notação científica e 
problemas
(EF09MA04) Resolver e elaborar 
problemas com números reais, inclusive 
em notação científica, envolvendo 
diferentes operações.
• Determinação da razão 
entre duas grandezas de 
espécies diferentes, como por 
exemplo: gramatura de papel, 
velocidade média, densidade 
demográfica, entre outros
• Resolução de problemas 
envolvendo razões entre 
grandezas de espécies 
diferentes
• Cálculo de razões na 
comparação de gráficos de 
barras
Razão entre grandezas de espécies 
diferentes
(EF09MA07) Resolver problemas que 
envolvam a razão entre duas grandezas 
de espécies diferentes, como velocidade e 
densidade demográfica.
• Reconhecimento de relações 
de proporcionalidade entre 
duas grandezas
• Resolução e elaboração 
de problemas envolvendo 
grandezas direta e 
inversamente proporcionais
• Resolução e elaboração 
de problemas por meio da 
regra de três
Grandezas diretamente proporcionais e 
grandezas inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar 
problemas que envolvam relações de 
proporcionalidade direta e inversa entre 
duas ou mais grandezas, inclusive escalas, 
divisão em partes proporcionais e taxa 
de variação, em contextos socioculturais, 
ambientais e de outras áreas.
• Aplicação da relação de 
proporcionalidade na 
obtenção da medida de 
arcos de circunferência
Relações entre arcos e ângulos na 
circunferência de um círculo
(EF09MA11) Resolver problemas por meio 
do estabelecimento de relações entre 
arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos 
na circunferência, fazendo uso, inclusive, 
de softwares de geometria dinâmica.
• Construção de gráficos de 
barras e de colunas com 
base em pesquisa sobre 
expectativa de vida
Planejamento e execução de pesquisa 
amostral e apresentação de relatório
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa 
amostral envolvendo tema da realidade 
social e comunicar os resultados por 
meio de relatório contendo avaliação 
de medidas de tendência central e da 
amplitude, tabelas e gráficos adequados, 
construídos com o apoio de planilhas 
eletrônicas.
XXXIV
CAPÍTULO
91
4
Capítulo
Proporcionalidade 
em Geometria
CAPÍTULO 4
Paralelas e transversais, cruzando em feixes, compõem um cenário harmonioso 
nas construções humanas. E a perspectiva oferece aos nossos olhos a ideia de 
proporcionalidade e uma representação de infinitude. 
Estação de trem em Washington D.C. (Estados Unidos). (Foto de 2015.)
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4 Proporcionalidade em 
Geometria
O foco deste capítulo é a Unidade Temática Geometria ampliando-se o trabalho feito com propor-
cionalidade no capítulo anterior para o campo da Geometria. Esse estudo envolve também demonstrar 
e aplicar relações simples entre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, 
explorando demonstrações feitas no 8o ano (EF08MA14), e resolução de problemas de aplicação das 
relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes. 
Além desses conteúdos, abordam-se em seções especiais cálculos com números reais e porcenta-
gens, articulando-se com a Unidade Temática Números. 
Na articulação com a Unidade Temática Probabilidade e estatística, utiliza-se a leitura de texto e 
cartogramas, e com a Unidade Temática Álgebra, exploram-se situações que envolvem razões e rela-
ções de proporcionalidade.
No Manual do Professor – Digital encontram-se sugestões de Planos de desenvolvimento para este 
bimestre. Neles há uma seleção de objetos de conhecimento,habilidades e práticas pedagógicas a 
serem utilizados ou adaptados de acordo com a sua realidade ou necessidade para o período.
Capítulo 4 – Proporcionalidade em Geometria
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Cálculos com números reais
Potências com expoentes negativos e 
fracionários
(EF09MA03) Efetuar cálculos com 
números reais, inclusive potências com 
expoentes fracionários.
• Resolução de problemas 
envolvendo cálculos com 
números reais 
• Resolução de problemas 
envolvendo porcentagens e 
análise de cartograma
Números reais: notação científica e 
problemas
(EF09MA04) Resolver e elaborar 
problemas com números reais, inclusive 
em notação científica, envolvendo 
diferentes operações.
• Resolução de problemas 
envolvendo razões entre 
duas grandezas
• Determinação da razão entre 
dois segmentos de reta
• Reconhecimento e 
construção de retângulos 
áureos
• Resolução de problemas 
envolvendo segmentos 
proporcionais
Grandezas diretamente proporcionais e 
grandezas inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar 
problemas que envolvam relações de 
proporcionalidade direta e inversa entre 
duas ou mais grandezas, inclusive escalas, 
divisão em partes proporcionais e taxa 
de variação, em contextos socioculturais, 
ambientais e de outras áreas.
• Demonstração e aplicação 
de relações entre ângulos 
formados por retas 
paralelas cortadas por uma 
transversal
Demonstrações de relações entre os 
ângulos formados por retas paralelas 
intersectadas por uma transversal
(EF09MA10) Demonstrar relações simples 
entre os ângulos formados por retas 
paralelas cortadas por uma transversal.
XXXV
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Aplicação do teorema de 
Tales e de propriedades que 
decorrem desse teorema
• Resolução e elaboração 
de problemas que 
aplicam as relações 
de proporcionalidade 
envolvendo retas paralelas 
cortadas por secantes
Relações métricas no triângulo retângulo 
Teorema de Pitágoras: verificações 
experimentais e demonstração 
Retas paralelas cortadas por transversais: 
teoremas de proporcionalidade e 
verificações experimentais
(EF09MA14) Resolver e elaborar 
problemas de aplicação do teorema 
de Pitágoras ou das relações de 
proporcionalidade envolvendo retas 
paralelas cortadas por secantes.
CAPÍTULO
111CAPÍTULO 5
Uma mão desenha a outra, semelhante, que desenha a outra, igualmente semelhante... 
Criador e criatura: quem é quem na obra de Escher?
Também na natureza, a semente gera o fruto que gera a semente, que carrega em si as 
características de seu fruto: um ciclo a perpetuar a semelhança da espécie.
5
Capítulo
M. C. Escher. Drawing hands. 1948. Litografia. 33,2 cm 3 28,2 cm.
Semelhança
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5 Semelhança
Situações que desenvolvem a proporcionalidade também são o foco deste capítulo, que trata de 
semelhança e suas aplicações na Unidade Temática Geometria e que amplia e aprofunda os conheci-
mentos abordados no capítulo anterior. Esses temas são desenvolvidos visando dar suporte e garantir 
a continuidade dos estudos em Matemática para temas que serão trabalhados no Ensino Médio, como 
a Trigonometria.
A articulação com as Unidades Temáticas Números e Álgebra é feita, respectivamente, com a pre-
sença de cálculos com números reais e porcentagens e com relações de proporcionalidade.
Além disso, promove-se ainda a articulação com a Unidade Temática Probabilidade e estatística 
na seção Trabalhando a informação, que explora pirâmides etárias, ampliando o trabalho com gráficos 
dos anos anteriores, em especial o do 8 o ano (EF08MA27).
Capítulo 5 – Semelhança
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Cálculos com números reais
Potências com expoentes negativos e 
fracionários
(EF09MA03) Efetuar cálculos com 
números reais, inclusive potências com 
expoentes fracionários.
• Resolução de problemas 
envolvendo cálculos com 
números reais 
• Resolução de problemas 
envolvendo porcentagens
Números reais: notação científica e 
problemas
(EF09MA04) Resolver e elaborar 
problemas com números reais, inclusive 
em notação científica, envolvendo 
diferentes operações.
• Resolução de problemas 
envolvendo relações 
de proporcionalidade, 
ampliação e redução de 
figuras
• Determinação da razão 
de semelhança entre dois 
polígonos
Grandezas diretamente proporcionais e 
grandezas inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar 
problemas que envolvam relações de 
proporcionalidade direta e inversa entre 
duas ou mais grandezas, inclusive escalas, 
divisão em partes proporcionais e taxa 
de variação, em contextos socioculturais, 
ambientais e de outras áreas.
XXXVI
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Aplicação de relações entre 
ângulos formados por retas 
paralelas cortadas por uma 
transversal
Demonstrações de relações entre os 
ângulos formados por retas paralelas 
intersectadas por uma transversal
(EF09MA10) Demonstrar relações simples 
entre os ângulos formados por retas 
paralelas cortadas por uma transversal.
• Reconhecimento de 
polígonos semelhantes, 
em particular de triângulos 
semelhantes
• Construção de figuras 
semelhantes por homotetia
• Definição de semelhança de 
triângulos 
• Estudo e aplicação dos casos 
de semelhança de triângulos
• Resolução de problemas 
envolvendo semelhança de 
triângulos
Semelhança de triângulos
(EF09MA12) Reconhecer as condições 
necessárias e suficientes para que dois 
triângulos sejam semelhantes.
• Interpretação de pirâmides 
etárias
Planejamento e execução de pesquisa 
amostral e apresentação de relatório
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa 
amostral envolvendo tema da realidade 
social e comunicar os resultados por 
meio de relatório contendo avaliação 
de medidas de tendência central e da 
amplitude, tabelas e gráficos adequados, 
construídos com o apoio de planilhas 
eletrônicas.
CAPÍTULO
133CAPÍTULO 6
Lembrando esse ditado popular inglês, a BBC (British Broadcasting Corporation) propõe um 
desa�o sobre a probabilidade de o pastor de ovelhas acertar a previsão meteorológica com base no céu 
pela manhã, prevendo uma tempestade quando o céu está vermelho e nenhuma tempestade quando o 
céu está claro.
Dados obtidos em: BBC Brasil. Disponível em: <http://www.bbc.com/portuguese/geral-42286388>. Acesso em: 27 fev. 2018.
6
Capítulo
Rebanho de ovelhas pastando em colina durante o pôr do sol.
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Um pouco mais 
sobre Estatística
 Céu vermelho à noite, 
alegria do pastor... 
Céu vermelho pela 
manhã, alerta para 
o pastor. 
6 Um pouco mais sobre 
Estatística
Este capítulo amplia e aprofunda os conhecimentos sobre as medidas estatísticas tratadas no 8o 
ano (EF08MA25), assunto relativo à Unidade Temática Probabilidade e estatística. 
Os conhecimentos trabalhados neste capítulo constituem subsídios para a compreensão da conti-
nuidade dos estudos de Estatística no Ensino Médio.
Além disso, ainda nessa Unidade Temática, trabalha-se o cálculo de probabilidade na seção Para 
saber mais, ampliando conhecimentos desenvolvidos no 8o ano (EF08MA22).
Promove-se também a articulação com a Unidade Temática Números ao apresentar o cálculo de 
juros compostos envolvendo taxas percentuais.
http://www.bbc.com/portuguese/geral-42286388
XXXVII
Capítulo 6 – Um pouco mais sobre Estatística
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Cálculos de porcentagens 
no contexto de juros 
compostos
Porcentagens: problemas que envolvem 
cálculo de percentuais sucessivos
(EF09MA05) Resolver e elaborar 
problemas que envolvam porcentagens, 
com a ideia de aplicação de percentuais 
sucessivos e a determinação das taxas 
percentuais, preferencialmente com ouso 
de tecnologias digitais, no contexto da 
educação financeira.
• Resolução de problemas 
envolvendo cálculo de 
probabilidade
Análise de probabilidade de eventos 
aleatórios: eventos dependentes e 
independentes
(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos 
aleatórios, eventos independentes e 
dependentes e calcular a probabilidade de 
sua ocorrência, nos dois casos.
• Escolha do gráfico mais 
adequado para apresentar 
determinado conjunto de 
dados, destacando a análise 
de medidas estatísticas de 
tendência central
Leitura, interpretação e representação de 
dados de pesquisa expressos em tabelas 
de dupla entrada, gráficos de colunas 
simples e agrupadas, gráficos de barras e 
de setores e gráficos pictóricos
(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico 
mais adequado (colunas, setores, linhas), 
com ou sem uso de planilhas eletrônicas, 
para apresentar um determinado conjunto 
de dados, destacando aspectos como as 
medidas de tendência central.
• Reconhecimento e 
determinação de medidas 
estatísticas
• Análise de tabelas e gráfico 
pictórico
• Resolução e elaboração 
de problemas envolvendo 
medidas estatísticas
Planejamento e execução de pesquisa 
amostral e apresentação de relatório
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa 
amostral envolvendo tema da realidade 
social e comunicar os resultados por 
meio de relatório contendo avaliação 
de medidas de tendência central e da 
amplitude, tabelas e gráficos adequados, 
construídos com o apoio de planilhas 
eletrônicas.
Texto complementar
Educação Estatística no ensino básico: uma exigência do mundo do trabalho
[...]
Estatística e histórico
A Estatística é um segmento da Matemática Aplicada surgida nas questões de estado e governo. Daí o nome 
Estatística ser originário do termo latino status. Situações ocasionais como número de habitantes, quantidade 
de óbitos e nascimentos, quantidades produzidas e quantitativos das riquezas formaram os primórdios dos 
problemas que deram início ao pensamento estatístico.
Inicialmente, no século XVI, pensada pelos ingleses como uma ciência política, destinava-se a 
descrever características de um país, tais como população, área, riquezas e recursos naturais. Deste 
papel histórico, origina-se a sua função de caracterização numérica de uma série de informações 
populacionais. Com esta abordagem, o termo é utilizado no plural, como as “estatísticas de saúde”, 
as “estatísticas de mortalidade”, as “estatísticas do registro civil”, entre outras. (2)
A Estatística vista enquanto ciência só ocorreu a partir do século XVIII, nos registros do alemão Godofredo 
Achenwall**, ainda como catalogação não regular de dado. (3)
Os modelos estatísticos, enquanto modelos matemáticos aplicados, reúnem características de precisão na 
linguagem, adequados ao ambiente de informações rápidas.
A necessidade de expressar o grau de incerteza na ocorrência dos experimentos e de explicar o 
fato de duas experiências iguais poderem ter resultados diferentes leva ao reconhecimento da ra-
cionalidade probabilística em eventos da natureza. A pesquisa em probabilidade no século XVIII 
culmina com o notável trabalho de Pierre-Simon de Laplace, “Theorie Analitique de Probabilités”.
À luz da concepção do cientificismo, rapidamente amplia-se o domínio de abrangência do cálculo probabi-
lístico. Este se torna indispensável para lidar com dados relativos a temas de interesse social e econômico, como 
administração das finanças públicas, saúde coletiva, conduta de eleições e seguro de vida. Surgem as primeiras 
ideias do positivismo e Condorcet propõe uma “ciência natural da sociedade”, isto é, uma “matemática social” 
baseada no cálculo das probabilidades. (2)
XXXVIII
Ao abrirmos uma revista ou um jornal é quase impossível não encontrarmos alguma representação Estatística/
Matemática complementar aos textos, ilustrando ou sintetizando a comunicação, tornando a leitura mais atrativa 
e objetiva. Em muitos casos, os modelos estatísticos/matemáticos assumem a importância maior, ficando o texto 
como complemento ou restrito a observações.
Estatística e linguagem
Vale destacar que a simbologia matemática foi, e ainda é, um fator de evolução das ideias matemáticas que 
se desenvolveram lentamente ao longo de séculos. Essa evolução tomou por base dois objetivos permanentes:
1. tornar possível a comunicação matemática entre as pessoas, independentemente das nacionalidades e culturas;
2. simplificar a expressão das ideias e pensamentos matemáticos. Assim, a Matemática, como nenhuma ou-
tra ciência, conseguiu construir um conjunto universal de signos, moldando uma linguagem com códigos que 
atravessam idiomas e culturas. Dessa forma é possível, por exemplo, um matemático chinês escrever equações 
ou proposições que um matemático brasileiro entenderá com facilidade. Essa propriedade é utilizada pela Esta-
tística e passa a ser apropriada largamente pela informática, permeando as comunicações no mundo cibernético.
A evolução da Matemática fez surgir aplicações específicas, com linguagens e símbolos próprios, como foi o 
caso da matemática financeira, com sua constante evolução, e também da Estatística.
Com o avanço tecnológico, as exigências de sofisticadas competências para o mundo do trabalho e a facili-
dade oferecida pela informática, as pesquisas deixaram de acontecer apenas em ocasiões para se tornarem parte 
integrante e inseparável de nossas vidas em todos os instantes.
A partir dos anos 40, a pesquisa Estatística se volta para solucionar problemas envolvendo variados 
aspectos da inferência, cada um tendo a sua aplicação a situações específicas. Os testes de hipó-
teses para médias, variâncias e proporções, a teoria dos testes uniformemente mais poderosos, o 
processo de inclusão (exclusão) de variáveis nos modelos de regressão são algumas das formas de 
inferência de uso consagrado. (2)
O mundo corporativo*** passou a adotar a linguagem Estatística em suas rotinas operacionais exigindo dos 
profissionais conhecimentos e competências numéricas para o correto entendimento e produção de relatórios, 
tabelas, gráficos, diagramas e fluxogramas.
Na comunicação de massa, os programas de televisão com maior índice de audiência, além de serem totalmente 
direcionados a institutos de pesquisa, passaram a ter obrigatoriamente pesquisas interativas em suas pautas, na 
busca de uma permanente aproximação com o público. Contudo, diante desse ambiente saturado de informações, 
poucas pessoas questionam a forma como esses dados foram coletados, tratados e trabalhados até chegarem no 
formato “acabado” em que são apresentados. Isto é, o público tem sido consumidor de resultados de pesquisas da 
forma como se apresentam, sem a devida interpretação crítica e um entendimento do que se está “consumindo”.
Os meios de comunicação refletem também a facilidade que os modelos estatísticos oferecem para sintetização 
de informações. Por exemplo: uma medida de tendência central pode representar bem o perfil de uma popu-
lação, ou um histograma pode melhor apresentar um universo de dados. Existe um ditado em Matemática que 
diz: “Um gráfico bem construído equivale a mil palavras”. Essa nova linguagem passa a demandar das pessoas o 
entendimento e o domínio de novos códigos diferentes do “ler e escrever” tradicionais****. É nessa perspectiva 
que o mundo moderno caminha, com tecnologias voláteis, otimizando espaços, tempo, recursos, e fazendo uso 
intenso dos argumentos estatísticos.
Nesse contexto, a escola não pode ignorar essas novas linguagens tão presentes no mundo dos educandos.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais recomendam o trabalho com Estatística [grifo do autor] 
com a finalidade de que o estudante construa procedimentos para coletar, organizar, comunicar 
e interpretar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações, e que seja capaz de descrever e 
interpretar sua realidade, usando conhecimentos matemáticos. (4)
É fundamental que as práticas e os conteúdos ministrados em aula estejam em sintonia com as novas exigências 
do mundoem que vivemos, para que a educação não seja algo distante da vida dos alunos, mas, ao contrário, 
seja parte integrante de suas experiências para uma existência melhor.
** Godofredo Achenwall é considerado o pai da Estatística Moderna.
*** Mundo das organizações onde atuam os profissionais.
**** Referência à leitura escrita somente sem levar em conta o atendimento dos signos matemáticos e estatísticos.
(2) SZWARCWALD, Celia L.; CASTILHO, Euclides A. de. The paths of statistics and its incursions through epidemiology. Cadernos 
Saúde Pública, Rio de Janeiro, v. 8, n. 1, p. 5-21, jan./mar. 1992. ISSN 0102-311X.
(3) CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2002.
(4) LOPES, Celi Aparecida Espasandin; MORAN, Regina Célia Carvalho Pinto. A estatística e a probabilidade através das atividades 
propostas em alguns livros didáticos brasileiros recomendados para o ensino fundamental. In: CONFERÊNCIA INTERNACIONAL, 
EXPERIÊNCIAS E PERSPECTIVAS DO ENSINO DA ESTATÍSTICA: DESAFIOS PARA O SÉCULO XXI, 1, 1999, Florianópolis. Anais... 
Florianópolis: UFSC/PRESTA/ IASE, 1999. p. 167-174.
ROSETTI JÚNIOR, Hélio. “Educação Estatística no ensino básico: uma exigência do mundo do trabalho”. 
Revista Capixaba de Ciência e Tecnologia, Vitória, n. 2, p. 35-37, 1. sem. 2007. 
XXXIX
CAPÍTULO
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143CAPÍTULO 7
Oficialmente, o tablado de um ringue de boxe deve ser quadrado, com medida dos 
lados variável de 4,9 m a 7,0 m, mais uma borda mínima de 0,6 m. 
Se uma academia de esportes dispõe de uma superfície quadrada de 36 m2 para 
construir um ringue de boxe, o construtor deve resolver uma equação do 2o grau para 
determinar a medida dos lados desse ringue.
7
Capítulo
Anthony Joshua enfrenta Carlos Takam em luta de boxe realizada no Reino Unido. (Foto de 2017.)
Equações do 
2o grau
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7 Equações do 2o grau
Este capítulo tem foco em objetos de conhecimento da Unidade Temática Álgebra e amplia o estudo 
das equações, visando preparar os alunos para a continuidade de estudos de Álgebra neste volume, 
no capítulo 10, e para os estudos do Ensino Médio.
Os conteúdos e as atividades propostos exploram tipos variados de equações do 2o grau e sistemas 
do 2o grau, com base nos conhecimentos construídos no 8o ano (EF08MA08 e EF08MA09).
Neste capítulo, explora-se a Unidade Temática Geometria quando são utilizadas figuras geométricas 
para contextualizar os conceitos algébricos e a Unidade Temática Grandezas e medidas quando utiliza-
-se o cálculo de área e de volume nesses mesmos contextos em diversos momentos, como na seção 
Pense mais um pouco... da página 154.
Além disso, a articulação com a Unidade Temática Números é promovida na seção Diversificando, 
que envolve cálculo de porcentagem na leitura e análise de mapas.
No Manual do Professor – Digital encontram-se sugestões de Planos de desenvolvimento para este 
bimestre. Neles há uma seleção de objetos de conhecimento, habilidades e práticas pedagógicas a 
serem utilizados ou adaptados de acordo com a sua realidade ou necessidade para o período.
Capítulo 7 – Equações do 2o grau
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Resolução de problemas 
que envolvem relações 
de proporcionalidade que 
podem ser representados 
por uma equação polinomial 
do 2o grau
• Cálculo de porcentagens na 
leitura e análise de mapas
Grandezas diretamente proporcionais e 
grandezas inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar 
problemas que envolvam relações de 
proporcionalidade direta e inversa entre 
duas ou mais grandezas, inclusive escalas, 
divisão em partes proporcionais e taxa 
de variação, em contextos socioculturais, 
ambientais e de outras áreas.
• Resolução de equações do 
2o grau
• Resolução e elaboração de 
problemas que podem ser 
representados por equações 
polinomiais do 2o grau
Expressões algébricas: fatoração e 
produtos notáveis
Resolução de equações polinomiais do 2o 
grau por meio de fatorações
(EF09MA09) Compreender os processos 
de fatoração de expressões algébricas, 
com base em suas relações com os 
produtos notáveis, para resolver e elaborar 
problemas que possam ser representados 
por equações polinomiais do 2o grau.
• Resolução de problema 
envolvendo volume de cubo 
e equação do 2o grau
Volume de prismas e cilindros
(EF09MA19) Resolver e elaborar 
problemas que envolvam medidas de 
volumes de prismas e de cilindros retos, 
inclusive com uso de expressões de 
cálculo, em situações cotidianas.
XL
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169
8
Capítulo
Triângulo retângulo
Monumento a Pitágoras, ilha de Samos, Grécia. (Foto de 2017.)
Na ilha de Samos, 
na Grécia, há um 
monumento de 
bronze construído 
em homenagem a 
Pitágoras, filósofo 
reconhecido por 
inúmeras contribuições 
à Matemática. 
Edificada de modo a 
lembrar um triângulo 
retângulo, a figura de 
Pitágoras representa 
um de seus catetos.
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CAPÍTULO 8
8 Triângulo retângulo
Este capítulo tem foco na Unidade Temática Geometria, tratando do estudo do triângulo retângulo, 
aprofundando o teorema de Pitágoras, sua demonstração e variadas aplicações, assim como apresenta 
outras relações métricas existentes nesse triângulo.
O trabalho com este capítulo visa também embasar estudos que serão tratados no Ensino Médio.
Capítulo 8 – Triângulo retângulo
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Resolução de problemas 
que envolvam semelhança 
de triângulos e triângulos 
retângulos
Semelhança de triângulos
(EF09MA12) Reconhecer as condições 
necessárias e suficientes para que dois 
triângulos sejam semelhantes.
• Reconhecimento dos 
elementos de um triângulo 
retângulo
• Demonstração das relações 
métricas do triângulo 
retângulo
• Demonstração e aplicação 
do teorema de Pitágoras
Relações métricas no triângulo retângulo 
Teorema de Pitágoras: verificações 
experimentais e demonstração 
Retas paralelas cortadas por transversais: 
teoremas de proporcionalidade e 
verificações experimentais
(EF09MA13) Demonstrar relações 
métricas do triângulo retângulo, entre 
elas o teorema de Pitágoras, utilizando, 
inclusive, a semelhança de triângulos.
(EF09MA14) Resolver e elaborar 
problemas de aplicação do teorema 
de Pitágoras ou das relações de 
proporcionalidade envolvendo retas 
paralelas cortadas por secantes.
• Descrição de algoritmo por 
escrito para a construção de 
um quadrado com régua e 
compasso
Polígonos regulares
(EF09MA15) Descrever, por escrito e por 
meio de um fluxograma, um algoritmo 
para a construção de um polígono 
regular cuja medida do lado é conhecida, 
utilizando régua e compasso, como 
também softwares.
• Determinação da distância 
entre dois pontos no 
plano cartesiano e das 
coordenadas do ponto 
médio de um segmento de 
reta
Distância entre pontos no plano 
cartesiano
(EF09MA16) Determinar o ponto médio 
de um segmento de reta e a distância 
entre dois pontos quaisquer, dadas as 
coordenadas desses pontos no plano 
cartesiano, sem o uso de fórmulas, e 
utilizar esse conhecimento para calcular, 
por exemplo, medidas de perímetros e 
áreas de figuras planas construídas no 
plano.
• Representação gráfica de 
um relevo
Vistas ortogonais de figuras espaciais
(EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais 
de figuras espaciais e aplicar esse 
conhecimento para desenhar objetos em 
perspectiva.
XLI
Texto complementar
De São Paulo ao Rio de Janeiro com uma corda “ideal”
Tome uma corda esticada, unindo um ponto A de São Paulo a um ponto B do Rio de Janeiro. Suponha que 
a distância entre estes pontos A e B seja de exatamente 400 km. Tome outra corda com um metro a mais quea anterior, ou seja, com 400.001 metros, e fixe também suas extremidades nos pontos A e B. Ela ficará bamba. 
Levante esta corda pelo seu ponto médio formando um triângulo, conforme a figura 1:
A B
São Paulo Rio de Janeiro
a 5 400 km
h
a 1 1
2
figura 1
a 1 1
2
 
Pergunta-se:
i) A altura h deste triângulo formado será maior ou menor que um metro?
ii) O que ocorreria com a altura, se o triângulo formado fosse como o da figura 2?
aA B
b
figura 2
b 1 c 5 a 1 1
c
Por mais absurdo que possa parecer, caberia dentro do triângulo, no caso i), um prédio de forma retangular 
com 126 andares de altura e 50 quarteirões de comprimento!
Ao fazermos as contas, vemos que a altura h será aproximadamente 447 metros no caso i) e 0,99999 metros 
no caso ii), que são valores bem diferentes do imaginado.
Vejamos as soluções:
i) Pelo teorema de Pitágoras temos:
2
1
2 4
1 (2 1)h a a a5 1 2 5 12
2 28 8B B
Logo, 2
1 2 1h a5 1
Sendo a 5 400.000 m, temos .2 800 0011h 5 q 447 m.
A B
São Paulo Rio de Janeiro
50 quarteirões
126 andares
ii) Neste caso temos as relações 
b 1 c 5 a 1 1 (1)
b2 1 a2 5 c2 (2)
De (1) temos c 5 a 2 b 1 1, que, aplicado com (2), dá:
b 2 1 a 2 5 b 2 1 a 2 1 1 1 2a 2 2ab 2 2b
ou seja, 2ab 1 2b 5 2a 1 1. Logo, b 5 2a 1 1 
2a 1 2
Sendo a 5 400.000 m, temos b 5 800.001 
800.002
 0,999999 m.
Fazendo os gráficos de h e b como funções de a, temos:
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XLII
Para nossa surpresa:
h " Ü quando a " Ü,
b " 1 quando a " Ü.
Perplexos com a solução, ficamos a imaginar 
por que falha a nossa intuição. a
h(a)
1
2
a
b
1
2
1
DUARTE JÚNIOR, G. G. De São Paulo ao Rio de Janeiro com uma corda “ideal”. 
Revista do Professor de Matemática, São Paulo, v. 22, n. 1, p. 1-3. 1992.
CAPÍTULO
193CAPÍTULO 9
Construído no início do século XX, terceiro teleférico do mundo, o bondinho do Pão de 
Açúcar, no Rio de Janeiro, já transportou dezenas de milhões de pessoas.
O passeio tem duas etapas. Da praia Vermelha ao morro da Urca, com extensão 
de 575 m, eleva-se a 220 m de altitude. Deste ao morro Pão de Açúcar, com extensão de 
750 m, eleva-se a 396 m de altitude.
Aplicando-se as razões trigonométricas, podemos obter o ângulo de inclinação dos 
cabos de aço em cada etapa.
9
Capítulo
Teleférico do Pão de Açúcar, Rio de Janeiro. (Foto de 2016.)
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Razões trigonométricas 
nos triângulos 
retângulos
9 Razões trigonométricas nos 
triângulos retângulos
Este capítulo dá continuidade ao anterior, desenvolvendo agora as relações trigonométricas nos 
triângulos retângulos e suas aplicações na resolução das atividades, vinculadas à Unidade Temática 
Geometria, tendo como base a proporcionalidade e a semelhança de triângulos, tópicos já estudados 
em capítulos anteriores neste livro.
Os conhecimentos tratados neste capítulo constituem-se como subsídios para a compreensão de 
estudos a serem desenvolvidos no Ensino Médio.
Faz-se conexão com a Unidade Temática Probabilidade e estatística, por meio da análise de gráficos 
de linhas com distorção na seção Trabalhando a informação.
Capítulo 9 – Razões trigonométricas nos triângulos retângulos
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Aplicação da semelhança 
de triângulos para obtenção 
das razões trigonométricas 
em um triângulo retângulo
• Resolução de problemas 
que envolvem semelhança 
de triângulos e razões 
trigonométricas no 
triângulo retângulo
• Utilização da tabela de 
razões trigonométricas
Semelhança de triângulos
(EF09MA12) Reconhecer as condições 
necessárias e suficientes para que dois 
triângulos sejam semelhantes.
• Aplicação do teorema de 
Pitágoras na determinação 
das razões trigonométricas 
dos ângulos de 30°, 45° e 60°
Relações métricas no triângulo retângulo 
Teorema de Pitágoras: verificações 
experimentais e demonstração 
Retas paralelas cortadas por transversais: 
teoremas de proporcionalidade e 
verificações experimentais
(EF09MA14) Resolver e elaborar 
problemas de aplicação do teorema 
de Pitágoras ou das relações de 
proporcionalidade envolvendo retas 
paralelas cortadas por secantes.
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XLIII
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Análises de gráficos com 
distorção
Análise de gráficos divulgados pela mídia: 
elementos que podem induzir a erros de 
leitura ou de interpretação
(EF09MA21) Analisar e identificar, 
em gráficos divulgados pela mídia, os 
elementos que podem induzir, às vezes 
propositadamente, erros de leitura, como 
escalas inapropriadas, legendas não 
explicitadas corretamente, omissão de 
informações importantes (fontes e datas), 
entre outros.
CAPÍTULO
216 CAPÍTULO 10
Um corpo projeta-se no espaço em lançamento oblíquo!
Desprezada a resistência do ar, sob a ação de seu peso, ele fica sujeito à aceleração da 
gravidade e sua trajetória em relação à Terra é uma parábola.
O estudo desse fenômeno tem dois movimentos:
 � horizontal, descrito por uma função polinomial do 1o grau;
 � vertical, descrito por uma função polinomial do 2o grau.
10
Capítulo
Fotocomposição de giro com motocicleta realizado por Travis Pastrana em Londres (Inglaterra). (Foto de 2017.) 
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Estudo das 
funções
10 Estudo das funções
Os conceitos e as atividades ligados à Unidade Temática Álgebra, foco deste capítulo, utilizam como 
base os conhecimentos já construídos no capítulo 3 deste livro e nos anos anteriores, em especial no 
8o ano (EF08MA12). Exploram-se situações e resoluções de problemas que envolvem a variação de 
duas grandezas e a noção de função, estudando mais profundamente as funções polinomiais do 1o e 
do 2o graus.
O estudo de funções é ferramenta fundamental para a continuidade do trabalho com Matemática 
e outras áreas do conhecimento. Desse modo, espera-se que os conteúdos deste capítulo propiciem 
embasamento necessário para esse instrumental no Ensino Médio. 
Ainda na Unidade Temática Álgebra, o capítulo trata da representação gráfica das funções estudadas, 
explorando a análise e a construção de seus gráficos no plano cartesiano, e de problemas envolvendo 
valores máximos e valores mínimos de uma função polinomial do 2o grau.
No Manual do Professor – Digital encontram-se sugestões de Planos de desenvolvimento para este 
bimestre. Neles há uma seleção de objetos de conhecimento, habilidades e práticas pedagógicas a 
serem utilizados ou adaptados de acordo com a sua realidade ou necessidade para o período.
Capítulo 10 – Estudo das funções
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Conceituação e 
reconhecimento de 
função como relação de 
dependência unívoca entre 
duas grandezas
• Determinação da lei de 
formação de uma função 
e obtenção de valores que 
uma função assume
• Representação gráfica de 
uma função
• Estudo das funções 
polinomiais do 1o grau e do 
2o grau
Funções: representações numérica, 
algébrica e gráfica
(EF09MA06) Compreender as funções 
como relações de dependência unívoca 
entre duas variáveis e suas representações 
numérica, algébrica e gráfica e utilizar 
esse conceito para analisar situações que 
envolvam relações funcionais entre duas 
variáveis.
XLIV
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Identificação das relações 
de proporcionalidades em 
funções
Grandezas diretamente proporcionais e 
grandezas inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar 
problemas que envolvam relações de 
proporcionalidade direta e inversa entre 
duas ou mais grandezas, inclusive escalas, 
divisão em partes proporcionais e taxa 
de variação, em contextos socioculturais, 
ambientais e de outras áreas.
• Resolução de problemas 
envolvendo equações do 
2o grau no cálculo dos zeros 
de uma função quadrática
• Resolução de problemas 
envolvendo sistemas de 
equações do 2o grau 
Expressões algébricas: fatoraçãoe 
produtos notáveis
Resolução de equações polinomiais do 2o 
grau por meio de fatorações
(EF09MA09) Compreender os processos 
de fatoração de expressões algébricas, 
com base em suas relações com os 
produtos notáveis, para resolver e elaborar 
problemas que possam ser representados 
por equações polinomiais do 2o grau.
CAPÍTULO
257CAPÍTULO 11
Revelada pela lente fotográfica do artista, uma circunferência imaginária, espelhada na 
água tranquila do lago, pode surgir da simetria do arco da ponte.
11
Capítulo
Ponte do Diabo, Parque Kromlau, distrito de Görlitz Gablenzgasse, Alemanha. (Foto de 2017.)
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Circunferência, 
arcos e relações 
métricas
11 Circunferência, arcos e 
relações métricas
Neste capítulo, serão aprofundados os estudos relativos à Unidade Temática Geometria envolvendo 
relações com arcos de circunferência.
A Unidade Temática Números também está presente com atividades que abordam o reconhecimento 
do número irracional π e cálculo de porcentagens na seção Trabalhando a informação.
A conexão com a Unidade Temática Álgebra se concretiza por meio da resolução de problemas 
que envolvem a razão entre duas grandezas e a noção de proporcionalidade. Com a Unidade Temática 
Probabilidade e estatística, a conexão se dá por meio da seção Trabalhando a informação, que trata 
da análise de gráficos associados a semicoroas circulares.
Capítulo 11 – Circunferência, arcos e relações métricas
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Reconhecimento e 
determinação do número 
irracional π
Necessidade dos números reais para 
medir qualquer segmento de reta
Números irracionais: reconhecimento e 
localização de alguns na reta numérica
(EF09MA02) Reconhecer um número 
irracional como um número real cuja 
representação decimal é infinita e não 
periódica, e estimar a localização de alguns 
deles na reta numérica.
• Resolução de problemas 
envolvendo a razão entre 
duas grandezas
Razão entre grandezas de espécies 
diferentes
(EF09MA07) Resolver problemas que 
envolvam a razão entre duas grandezas 
de espécies diferentes, como velocidade e 
densidade demográfica.
XLV
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Resolução de problemas 
envolvendo relações de 
proporcionalidade no 
cálculo da medida de arcos
Grandezas diretamente proporcionais e 
grandezas inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar 
problemas que envolvam relações de 
proporcionalidade direta e inversa entre 
duas ou mais grandezas, inclusive escalas, 
divisão em partes proporcionais e taxa 
de variação, em contextos socioculturais, 
ambientais e de outras áreas.
• Determinação do 
comprimento de uma 
circunferência
• Relação entre arcos de 
circunferência e ângulos 
centrais
• Determinação do 
comprimento de arcos de 
circunferência e de sua 
medida angular
• Reconhecimento e 
aplicação das propriedades 
entre arcos e cordas de 
uma circunferência e das 
relações métricas em uma 
circunferência
Relações entre arcos e ângulos na 
circunferência de um círculo
(EF09MA11) Resolver problemas por meio 
do estabelecimento de relações entre 
arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos 
na circunferência, fazendo uso, inclusive, 
de softwares de geometria dinâmica.
• Análise de gráfico com 
semicoroa circular
• Comunicação de resultados 
de pesquisa por meio de 
tabela e gráfico
• Resolução de problemas 
envolvendo porcentagens e 
determinação de ângulos de 
setores circulares
Planejamento e execução de pesquisa 
amostral e apresentação de relatório
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa 
amostral envolvendo tema da realidade 
social e comunicar os resultados por 
meio de relatório contendo avaliação 
de medidas de tendência central e da 
amplitude, tabelas e gráficos adequados, 
construídos com o apoio de planilhas 
eletrônicas.
CAPÍTULO
275CAPÍTULO 12
Logotipos, imagens onde vicejam criatividade e simplicidade, identificam 
instituições e empresas públicas ou privadas. Em muitos deles vemos circunferências 
e polígonos regulares.
O logotipo de Patrimônio Mundial (na parte inferior da imagem acima), desenhado pelo 
artista belga Michel Olyff e adotado como emblema oficial em 1978, demarca regiões ou 
áreas que a comunidade científica considera de fundamental importância para a humanidade.
12
Capítulo
Baía dos Porcos, em Fernando de Noronha. O arquipélago, pertencente ao estado de Pernambuco, foi declarado 
Patrimônio Mundial pela Unesco em 2001, como indica o logotipo reproduzido acima. (Foto de 2016.)
Polígonos regulares 
e áreas
A
N
D
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IB
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A
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Ã
O
12 Polígonos regulares e áreas
Os conhecimentos abordados neste capítulo referem-se à Unidade Temática Geometria, ampliando 
o estudo dos polígonos regulares iniciado no livro do 8o ano (EF08MA16).
Além disso, o capítulo desenvolve assuntos vinculados à Unidade Temática Grandezas e medidas, 
oportunidade para que seja ampliado o trabalho com medidas de área (com a área de polígono regular 
e área de partes de um círculo) e medidas de volume, de modo a consolidar e aprofundar os conheci-
mentos construídos em anos anteriores, em especial no 8o ano (EF08MA19 e EF08MA21)
As conexões com as demais Unidades Temáticas estão presentes nas diversas atividades propostas 
no capítulo. A relação com a Unidade Temática Números se dá nos cálculos com números reais utilizados 
na determinação de volumes de prisma e de cone; a conexão com a Unidade Temática Álgebra aparece 
ao utilizar relações de proporcionalidade no cálculo da área de um setor circular; e a articulação com a 
Unidade Temática Probabilidade e estatística ocorre na seção Trabalhando a informação.
XLVI
Capítulo 12 – Polígonos regulares e áreas
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Resolução de problemas 
envolvendo números reais e 
cálculo de áreas e volume
Números reais: notação científica e 
problemas
(EF09MA04) Resolver e elaborar 
problemas com números reais, inclusive 
em notação científica, envolvendo 
diferentes operações.
• Resolução de problemas 
envolvendo relações de 
proporcionalidade no 
cálculo da área de um setor 
circular 
Grandezas diretamente proporcionais e 
grandezas inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar 
problemas que envolvam relações de 
proporcionalidade direta e inversa entre 
duas ou mais grandezas, inclusive escalas, 
divisão em partes proporcionais e taxa 
de variação, em contextos socioculturais, 
ambientais e de outras áreas.
• Relação entre arcos de uma 
circunferência e ângulos 
centrais de polígonos 
regulares inscritos nessa 
circunferência
Relações entre arcos e ângulos na 
circunferência de um círculo
(EF09MA11) Resolver problemas por meio 
do estabelecimento de relações entre 
arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos 
na circunferência, fazendo uso, inclusive, 
de softwares de geometria dinâmica.
• Aplicação do teorema de 
Pitágoras na determinação 
de elementos de polígonos 
regulares inscritos em uma 
circunferência
• Resolução e elaboração de 
problemas de aplicação 
do teorema de Pitágoras 
envolvendo polígonos 
regulares 
Relações métricas no triângulo retângulo 
Teorema de Pitágoras: verificações 
experimentais e demonstração 
Retas paralelas cortadas por transversais: 
teoremas de proporcionalidade e 
verificações experimentais
(EF09MA14) Resolver e elaborar 
problemas de aplicação do teorema 
de Pitágoras ou das relações de 
proporcionalidade envolvendo retas 
paralelas cortadas por secantes.
• Descrição de algoritmo 
por escrito e por meio de 
fluxograma para construção 
de um polígono regular 
Polígonos regulares
(EF09MA15) Descrever, por escrito e por 
meio de um fluxograma, um algoritmo 
para a construção de um polígono 
regular cuja medida do lado é conhecida, 
utilizando régua e compasso, como 
também softwares.
• Cálculo de áreas e volumes Volume de prismas e cilindros(EF09MA19) Resolver e elaborar 
problemas que envolvam medidas de 
volumes de prismas e de cilindros retos, 
inclusive com uso de expressões de 
cálculo, em situações cotidianas.
• Análise de gráficos com 
elementos que induzem 
a erros de leitura e 
interpretação
Análise de gráficos divulgados pela mídia: 
elementos que podem induzir a erros de 
leitura ou de interpretação
(EF09MA21) Analisar e identificar, 
em gráficos divulgados pela mídia, os 
elementos que podem induzir, às vezes 
propositadamente, erros de leitura, como 
escalas inapropriadas, legendas não 
explicitadas corretamente, omissão de 
informações importantes (fontes e datas), 
entre outros.
XLVII
Capítulo 1
Raiz quadrada aproximada
1. Sabendo que ,11 3 31- , calcule o valor aproximado 
de:
a) 44 b) 176 c) 396 d) .1 100
Respostas:
a) 44 5 4 118 5 4 8 11 5 2 8 3,31 5 6,62
b) 176 5 16 118 5 1116 8 5 4 8 3,31 5 13,24
c) 396 5 36 118 5 1136 8 5 6 8 3,31 5 19,86
d) .1 100 5 100 118 5 11100 8 5 10 8 3,31 5 33,1
2. Jogo do bingo das raízes
Número de participantes: 4 jogadores
Material necessário:
• 50 fichas de mesmo tamanho, numeradas de 1 a 50
• 1 lápis
• 4 cartelas do tipo
• Cada jogador deve montar sua cartela, sem que o outro 
veja, com nove números diferentes escolhidos dentre 
estes:
1 1,41 1,73 2 2,24 2,45 2,65 2,83 3 3,16
3,32 3,46 3,61 3,74 3,87 4 4,12 4,24 4,36 4,47
4,58 4,69 4,8 4,9 5 5,1 5,2 5,29 5,39 5,48
5,57 5,66 5,74 5,83 5,92 6 6,08 6,16 6,24 6,32
6,4 6,48 6,56 6,63 6,71 6,78 6,86 6,92 7 7,07
Regras:
• Colocar as fichas sobre a mesa com as faces numeradas 
viradas para baixo.
• Os participantes combinam a ordem dos jogadores.
• Cada jogador, na sua vez, pega uma ficha e a coloca sobre 
a mesa para que todos vejam o número sorteado.
• Em seguida, cada jogador calcula a raiz quadrada com 
aproximação de até duas casas decimais e procura esse 
valor na sua cartela para riscar.
• Se o jogador não tiver na cartela dele o valor obtido ou se 
ele errar o cálculo, não marca nada e aguarda a próxima 
rodada.
• As rodadas continuam até que alguém risque todos os 
números da sua cartela. Esse jogador será o vencedor.
Pensando na estrutura do jogo, respondam:
Entre as fichas numeradas, existe algum número que não 
pode ser utilizado no jogo? 
Resposta: Não, pois todos os números das fichas são racionais 
positivos e, portanto, têm raiz quadrada.
N
E
LS
O
N
 M
AT
S
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D
A
Capítulo 2
Cálculos com números reais
1. Números cruzados
4
1 2 3
5
10
6 7 8
9
11 12 13
14 15
,
,
Horizontais:
1. 102
2. 625
5. menor número primo entre 40 e 50
7. 202 1 152
9. 5,39 8 103
11. número decimal resultante da expressão: 
5 1 4 8 1022
12. 1.024 1212
14. Quantos anos da chegada dos portugueses ao Brasil 
comemorou-se no ano 2000?
15. (3 1 4)2 1 23
Verticais:
1. Está entre 100 e 121
3. número com três algarismos iguais
4. (14 2 1)2
6. Ano da chegada dos portugueses ao Brasil
8. 52 8 34
10. 20 8 289
11. (231,35) 9 (25, 7)
13. É o número que adicionado a 8 elevado ao quadrado re-
sulta em 9 elevado ao quadrado.
Resposta:
Horizontais:
1. 102 5 100
2. 625 5 25
5. números primos entre 40 e 50 p 41, 43 e 47; portanto, 
o menor número primo entre 40 e 50 é 41
7. 202 1 152 5 400 1 225 5 625
9. 5,39 8 103 5 5.390
11. 5 1 4 8 1022 5 5 1 0,04 5 5,04
JO
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
SUGESTÕES DE ATIVIDADES
XLVIIIXLVIII
12. 1.024 1212 5 32 2 11 5 21
14. 2.000 2 1.500 5 500
15. (3 1 4)2 1 23 5 72 1 8 5 49 1 8 5 57
Verticais:
1. 100 10e 1215 5 11 p número entre 10 e 11
3. 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888 ou 999
4. (14 2 1)2 5 132 5 169
6. 1.500
8. 52 8 34 5 25 8 81 5 2.025
10. 20 8 289 5 20 8 17 5 340
11. (231,35) 9 (25, 7) 5 5,5
13. x 1 82 5 92 ] x 5 92 2 82 ] 
 ] x 5 81 2 64 ] x 5 17
Assim, temos:
4
1
1
0 1
4
5
5
0
1
5
0
0
0
3
4
0
2
26
9 0
2
5
5
5
5
1
7
2 3
5
10
,
,
6 7 8
9
11 12 13
14 15
2. Jogo dos resultados alinhados
Número de participantes: 2 jogadores
Material necessário:
• 2 canetas de cores diferentes
• papel sulfite
Regras:
• Os jogadores devem fazer dois tabuleiros em uma folha 
de papel sulfite.
• Cada tabuleiro é formado por um retângulo dividido em 9 
retângulos menores (casas).
• Um dos tabuleiros deve ser preenchido conforme o modelo 
a seguir:
Subtraia Extraia a raiz 
de índice
Multiplique 
por
Multiplique 
por
 Multiplique 
por 1
Eleve ao 
expoente
Divida por Divida por Adicione
• Juntos, os dois jogadores devem escolher um único número 
para colocar em cada operação, assim como foi feito com 
o número 1 no retângulo do meio (que é valor fixo).
Esses números devem ser todos diferentes e escolhidos de 
250 a 50, do seguinte modo:
JO
S
É
 L
U
ÍS
 J
U
H
A
S
 91 número inteiro negativo
 92 números irracionais em forma de radical
 91 número racional negativo
 91 número quadrado perfeito
 93 números naturais quaisquer diferentes dos demais
• Cada jogador pega uma das canetas coloridas, escolhe 
outro número de 250 a 50 e escreve no papel sulfite. Tiram 
par ou ímpar para ver quem começa o jogo.
• Depois, um de cada vez escolhe uma casa do tabuleiro 
das operações (ainda não selecionada) e efetua a conta, 
na folha de sulfite, com o seu número. A seguir, escreve 
o resultado no outro tabuleiro, na casa correspondente à 
operação realizada.
• O quociente que não é inteiro deve ser expresso na forma 
de fração.
• A partir da segunda jogada de cada um, as operações 
são efetuadas com o resultado da operação anterior do 
próprio jogador.
• O jogador que errar a operação perde a vez e não pode 
marcar nada na casa.
• Vence o jogo quem primeiro conseguir alinhar três resulta-
dos na horizontal, na vertical ou na diagonal.
• Caso nenhum jogador consiga alinhar três resultados numa 
rodada, outros números devem ser escolhidos e o jogo 
reinicia com o mesmo tabuleiro das operações.
Pensem na estrutura do jogo e analisem a seguinte situação:
Lucas e Luana montaram um tabuleiro para jogar:
Subtraia 
 
5
Extraia a raiz 
de índice 
2
Multiplique por
3
Multiplique por
2
Multiplique 
por 
1
Eleve ao 
expoente 
3
Divida por 
20,5
Divida por 
1,44
Adicione 
210
a) Esse tabuleiro está dentro das especificações do jogo? 
Justifique.
b) Luana escolhe o número 8 e Lucas, o 213. Ele joga na pri-
meira vez. Depois de algumas jogadas, veja como está o 
jogo:
Luana Lucas
Início 8 213
1a jogada 8 1 (210) 5 22 13 3 13 32 8 52
2a jogada 2 1,44 2
1,44
25
18
2 9 52 52 2 9 2 513 3 ( 0,5) 26 3
3a jogada 2 3 5225
18
1 25
18
ainda vai jogar
XLVIII
213 3
Lucas
25
18
2
Luana
26 3
Lucas
25
18
2
Luana
22
Luana
É a vez de Lucas jogar. O que ele deve fazer? Na situação 
apresentada, Luana já ganhou o jogo? Justifique.
Respostas:
a) Sim, pois ele segue o modelo dado. Além disso, os oito 
números colocados foram escolhidos conforme as regras: 
um número inteiro negativo (210), dois números irracionais 
diferentes em forma de radical ( e3 2 ), um número racional 
negativo (20,5), um número quadrado perfeito (1,44) e outros 
três números naturais diferentes dos demais (5, 3 e 2).
b) Para impedir Luana de ganhar o jogo, Lucas deve escolher a 
casa “subtraia 5”, pois a casa ”extraia a raiz de índice 2” Luana 
não pode escolher (a raiz quadrada de um número negativo 
não é um número real).
Capítulo 3
Razão entre grandezas de naturezas 
diferentes
1. Neste ano, a produção de peixes de certa região foi estimada 
em 84.416 toneladas, distribuídas em 30.639 hectares.
a) Determine uma razão que expresse a produção estimada, 
em tonelada por hectare (t/ha). 
b) Segundo essas informações, quantas toneladas de peixes 
foram produzidas em cada 10 hectares? 
Respostas: a) 2,76 t/ha; b) 27,6 t
2. Uma folha de papel sulfite tamanho A4 tem lados medindo 
21 cm e 29,7 cm, respectivamente. Sabendo que a gramatura 
dessa folha é 90 g/m2, responda:
a) Qual é a massa de uma dessas folhas de papel sulfite? 
b) Qual é a massa de uma resma de folhas como essa? 
Respostas: a) 5,6133 g; b) 2.806,65 g
Uma resma correspondea 500 folhas de papel. Caso os alunos 
não saibam, peça a eles que pesquisem antecipadamente e 
socializem as informações coletadas.
Grandezas proporcionais
1. Ao preparar a ração para as cabras que cria, Rodolfo mistura 
sementes de soja com feno na razão de 1 para 2. Para 60 kg 
dessa mistura, quantos quilogramas de semente de soja serão 
utilizados?
Resposta: Devemos obter uma fração equivalente a 2
1 cuja 
soma dos termos seja 60:
...2
1
4
2
20
10
40
205 5 5 5 Logo, serão utilizados 20 quilogra-
mas de semente de soja.
Outra maneira de pensar seria montar o sistema:
y
x
x y
2
1
60
5
1 5
*
Regra de três
1. Toda semana, os veículos de uma empresa transportam para 
o aeroporto da cidade uma carga composta de pequenos 
volumes. Três furgões iguais precisam fazer, cada um deles, 
duas viagens ao dia, durante quatro dias, para que esse tra-
balho seja realizado. Recentemente, essa empresa adquiriu 
mais um furgão, idêntico aos outros três, para auxiliar nesse 
serviço. Sabendo que, atualmente, cada um dos furgões faz 
três viagens ao dia, calcule em quantos dias eles realizam 
todo o transporte.
Resposta: 2 dias
Capítulo 4
Aplicação do teorema de Tales
1. Verifique se as retas a, b e c são paralelas. Justifique sua 
resposta.
a
b
64
96
c
Resposta: Como 6
4
9
6
3
255 , temos que as retas a, b e c 
são paralelas.
2. Na figura, a // b // c, e as retas r, s e t são transversais.
12 20
30 x
r s t
c
b
a
y
24
Qual é o valor de x e de y?
Resposta: x 5 18 e y 5 36
Capítulo 5
Triângulos semelhantes
1. O :ABC e o :MNP abaixo são semelhantes.
C
NI
P
M
BHA
IL
U
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T
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 A
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A
D
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 P
IM
E
N
T
E
L
XLIX
LL
Determine a razão entre:
a) os lados AB e MN;
b) os lados AC e MP;
c) as alturas CH e PI; 
d) as áreas dos triângulos ABC e MNP. 
Respostas: a) 2
3 ; b) 2
3 ; c) 2
3 ; d) 4
9 
2. Considere a figura:
A BD
E
C
Se BC 5 20 cm, AC 5 24 cm, AD 5 12 cm e AE 5 12,6 cm, 
determine o perímetro do quadrilátero BCED.
Resposta: 54,6 cm
3. (UFRN) Considerando-se as informações constantes no 
triângulo PQR (figura abaixo), pode-se concluir que a altura 
PR desse triângulo mede:
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
3
3
3
4
R
P Q
Resposta: alternativa b
4. No triângulo abaixo, DE // AC e DF // BC. Sabendo que 
AB 5 27 cm, BE 5 6 cm e EC 5 12 cm, calcule, se possível, 
BD, DF e AC.
B
D
A C
E
F
27
6
12
Resposta: BD 5 9 cm; DF 5 12 cm. Não é possível determi-
nar AC, apenas podemos dizer que 9 , AC , 45 para que o 
triângulo ABC exista.
5. (Mackenzie-SP) Na figura, MNPQ é um losango. Se MT 5 12 e 
MS 5 6, o lado do losango mede:
a) 3.
b) 4.
c) 2.
d) 2
5 .
e) 2
7 .
IL
U
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P
S
Q
M
N
Resposta: alternativa b
6. O perímetro do polígono ABCDE é 150 cm e o lado AB mede 
20 cm. Determine o perímetro do polígono MNPQR, semelhan-
te ao primeiro e cujo lado MN, correspondente de AB, mede 
30 cm.
Resposta: 225 cm
Capítulo 6
Medidas estatísticas
1. Foi feita uma pesquisa com os moradores de uma rua sobre 
o número de pessoas que moram em cada casa. Observe o 
resultado no quadro abaixo.
3 8 5 2 3
4 3 2 3 4
3 2 1 4 5
3 5 4 2 5
Organize esses dados em ordem crescente e determine a 
média, a moda, a mediana e o desvio médio absoluto dessa 
distribuição.
Respostas: média 5 3,55; moda 5 3; mediana 5 3; desvio 
médio absoluto 5 1,205 
Capítulo 7
Equações do 2o grau incompletas
1. Faça um desenho que descreva cada situação e obtenha uma 
equação correspondente a cada uma.
a) Um retângulo tem área de 243 cm2 e a medida de seu lado 
maior é o triplo da medida do lado menor.
b) Um trapézio tem área de 384 cm2. A altura desse trapézio 
é o dobro da medida da base menor e é igual à medida da 
base maior.
c) Um triângulo de área 100 cm2 tem base e altura de mesma 
medida.
d) A área de um quadrado é numericamente igual ao dobro 
da medida de seu lado.
Respostas:
a) Desenhamos o retângulo:
243 cm2x
3x
N
E
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 M
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A
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 J
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 F
E
R
R
E
IR
A
L
Encontramos a equação correspondente a essa situação:
3x 8 x 5 243
3x2 5 243
b) Desenhamos o trapézio:
384 cm2
x
2x
2x
Encontramos a equação correspondente a essa situação:
( )x x x
3842
2 2 51 8
x x
2
2 3843 8 5
x
2 3846 5
2
3x2 5 384
c) Desenhamos o triângulo:
x
x
100 cm2
Encontramos a equação correspondente a essa situação:
x x
2 1008 5
x
2 1005
2
x2 5 200
d) Desenhamos o quadrado:
x
x
Encontramos a equação correspondente a essa situação:
x 8 x 5 2x
x2 5 2x
2. Resolva cada equação do exercício anterior e determine o 
valor desconhecido na situação correspondente.
Respostas: Como x é medida de lado ou de altura, x deve ser 
maior do que zero.
a) 3x2 5 243 
x2 5 81
x 5 69
Logo, nessa situação x 5 9 e 3x 5 27. 
b) 3x2 5 384
x2 5 128 5 64 3 2
IL
U
S
T
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A
Ç
Õ
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D
O
 J
O
S
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 F
E
R
R
E
IR
A
x 5 64 286
x 5 8 26
Logo, nessa situação x 5 8 2 e 2x 5 216 . 
c) x2 5 200
x2 5 100 8 2
x 5 10 206 8
x 5 2106
Logo, nessa situação x 5 1 20 .
d) x2 5 2x
x2 2 2x 5 0 
x(x 2 2) 5 0 
x 5 0 ou x 2 2 5 0
x 5 0 ou x 5 2
Logo, nessa situação x 5 2. 
Capítulo 8
Relações métricas em um triângulo retângulo
1. Observe o triângulo MNP a seguir.
6 cm
HM
P
4,5 cm
7,5 cm
N
Escreva no caderno todas as relações métricas para esse 
triângulo.
Resposta:
• 62 5 7,5 8 (MH)
• (4,5)2 5 7,5 8 (NH)
• (PH)2 5 (MH) 8 (NH)
• 6 8 4,5 5 7,5 8 (PH)
• (7,5)2 5 62 1 (4,5)2
2. Considere o triângulo do exercício anterior e determine:
a) a medida da projeção do cateto MP sobre a hipotenusa; 
b) a medida da altura relativa à hipotenusa; 
c) o perímetro do triângulo; 
d) a área do triângulo. 
Respostas: a) 4,8 cm; b) 3,6 cm; c) 18 cm; d) 13,5 cm
Capítulo 9
Relações trigonométricas no triângulo 
retângulo
1. Para substituir uma lâmpada queimada em uma luminária 
presa a uma parede, um eletricista apoiou nessa parede 
uma escada de 5 m de comprimento formando um ângulo 
de 40° com o chão. Represente a situação com um desenho 
e responda: a lâmpada que será trocada está a que altura 
aproximada do chão? (Se necessário, consulte a tabela de 
razões trigonométricas.) 
Resposta: A lâmpada está a uma altura de aproximadamente 
3,214 m do chão.
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2. Um observador, com 1,64 m de altura, vê uma luz no alto de uma 
torre de televisão sob um ângulo de 60°. Esse observador se 
encontra a 20 m do centro da base da torre, conforme mostra 
a figura abaixo. Determine a altura aproximada dessa torre.
60°
Resposta: aproximadamente 34,6 m
Capítulo 10
Função polinomial do 1o grau
1. Represente graficamente as funções dadas por:
a) y 5 x
b) y 5 2x
c) y 5 3x
Em seguida, responda:
I. Os gráficos têm um ponto em comum. Qual?
II. Comparando esses gráficos e considerando um valor real 
qualquer para a abscissa x, o que você pode afirmar a respeito 
das ordenadas dos pontos (x, x), (x, 2x) e (x, 3x)?
Respostas:
a) y
x
b) y
x
c) 
x
y
I. O ponto (0, 0).
II. Exemplo de resposta:
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Em (x, 2x), a ordenada é o dobro da ordenada em (x, x).
Em (x, 3x), a ordenada é o triplo da ordenada em (x, x). 
2. Represente os gráficos das funções dadas por:
a) y 5 –x
b) y 5 x
Em seguida, responda:
I. Os gráficos têm um ponto em comum. Qual?
II. Comparando os dois gráficos, é possível observar uma 
característica importante de simetria. Descreva-a.
Respostas:
a) y
x
b) y
x
I. O ponto (0, 0).
II. Exemplo de resposta: Os dois gráficos são simétricos em 
relação ao eixo das abscissas.
3. Faça o esboço dos gráficos das funções cujas leis são:
a) y 5 x
b) y 5 x 1 1
c) y 5 x 1 2
Em seguida, responda:
I. O que você pode afirmar sobre as retas que são os gráficos 
das três funções?
II. Comparando os gráficos e considerando um valor real qual-
quer para a abscissa x, o que é possível afirmar a respeito dasordenadas dos pontos (x, x), (x, x 1 1) e (x, x 1 2)? 
Respostas:
a) y
x
b) y
x
c) y
x
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I. São retas paralelas.
II. Exemplo de resposta: Em (x, x 1 1), a ordenada tem uma 
unidade a mais que a ordenada em (x, x). Em (x, x 1 2), a or-
denada tem duas unidades a mais que a ordenada em (x, x).
4. Observe os passos para construir o gráfico de y 5 3x 2 4 a 
partir de y 5 x:
y
y = x
x
(bissetriz do 1o quadrante)
y
y = x
y = 3x
x
y
y = x
y = 3x
y = 3x 2 4
x
Agora, faça o mesmo para as funções:
a) y 5 3
1 x 1 1
b) y 5 22x 1 2 2
3
Respostas:
a) y
y = x
x
 
y
y = x
x
y = x
1
3
 
y
y = x
x
y = x
1
3
y = x 1 2
1
3
b) y
y = x
x
 y
y = x
y = 22x y
x
 x y = 22x y
y = x
x
y = 22x 2
3
2
5. Considerando que M 5 600 8 0,03t 1 600 expressa o montante 
de uma aplicação de determinado capital a uma dada taxa em 
função do tempo t, em meses, determine:
a) o montante após 3 meses de aplicação;
b) o tempo de aplicação para se obter um montante de 
R$ 690,00;
c) o gráfico dessa função.
Respostas:
a) M 5 600 3 0,03 3 3 1 600 5 654
 O montante após 3 meses de aplicação é R$ 654,00.
b) 690 5 600 3 0,03t 1 600
 690 2 600 5 18t
 90 5 18t
 t 5 18
90
 t 5 5
O tempo de aplicação será 5 meses.
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LIII
LIVLIV
c) 
600
618
1 2 3
636
654
Montante (em reais)
Tempo (em meses)
Função polinomial do 2o grau
1. Considere funções do tipo y 5 (x 1 m)2. Por exemplo, vamos 
comparar os gráficos das funções definidas por:
y 5 x2, y 5 (x 1 1)2 e y 5 (x – 2)2 
021 2 x
y
y 5 (x 1 1)2
y 5 x2
y 5 (x 2 2)2
Em y 5 (x 1 1)2 o valor de x 5 21 exerce o mesmo papel que 
x 5 0 em y 5 x2, ou seja, torna y 5 0. Algo análogo acontece 
com x 5 2 em y 5 (x 2 2)2. Analisando todos os outros valores 
das abscissas, em comparação ao gráfico da função mais sim-
ples y 5 x2, podemos perceber que o gráfico de y 5 (x 1 1)2 
sofreu uma translação horizontal de 21 unidade (isto é, de 1 
unidade para a esquerda), enquanto o gráfico de y 5 (x 2 2)2 
sofreu uma translação horizontal de 1 2 unidades (ou seja, 
de 2 unidades para a direita). Evidentemente, para qualquer 
outro valor de m, a análise é semelhante.
Esboce o gráfico das funções abaixo, em papel milimetrado, 
explicando a maneira pela qual você obteve o gráfico, em 
comparação ao de y 5 x2:
a) y 5 (x 1 4)2
b) y 5 2 3(x 1 4)2
c) y 5 2 3(x 2 4)2
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Respostas:
233244255266277288299 222
2222
2233
2244
2255
2266
2277
2288
2299
44 55 66 77 88 9922211
2211
3311
0
44
55
66
77
88
99
33
22
11
x
yy y y 5 3(3(x 1 4)4)2
 a) y 5 ((x 1 4)4)4)2
y y y 5 xx2
c) y y 5 23(x 2 4)22
 b) b) b) y y 5 23(3(x 1 4)4)2
2. Vejamos como construir o gráfico de, por exemplo, 
y 5 22 5
2x 2
2
c m 1 3 (construindo vários gráficos interme-
diários a fim de entender os movimentos ocorridos) a partir 
do gráfico da função mais simples y 5 x2.
0 x
y
y 5 2 x 2 2
5
y 5 x 2 2
5
2
2
y 5 x 2
y 5 22 1 3x 2 2
5
2
y 5 22 x 2 2
5
2
• Primeiro, construímos o gráfico da função mais simples 
y 5 x2.
• Em seguida, o gráfico de y 5 5
2x 2
2
c m , a partir do gráfico 
de y 5 x2, realizando uma translação horizontal de 5
2 à 
direita.
• Depois, o gráfico de y 5 2 5
2x 2
2
c m , em que é possível vi-
sualizar a mudança de inclinação da curva provocada pelo 
fator 2, obtendo uma parábola “mais fechada”.
• Então, o gráfico de y 5 22 5
2x 2
2
c m , em que é possível 
visualizar a reflexão no eixo horizontal em relação ao 
gráfico anterior.
LIV
• Finalmente, o gráfico de y 5 2 5
2x 2
2
c m 1 3, por meio de 
uma translação vertical de 13 unidades, ou seja, uma trans-
lação vertical de 3 unidades para cima do gráfico anterior.
a) Construa o gráfico de y 5 22(x 2 1)2 1 2
3 a partir do gráfico 
de y 5 x2.
b) Construa o gráfico de y 5 x2 2 4x 1 4 a partir do gráfico 
de y 5 x2.
c) Construa o gráfico de y 5 x2 2 4x 1 5 a partir do gráfico de 
y 5 x2. Reescreva a expressão da função de outro modo, 
completando os quadrados.
Respostas:
a) 
x
y
442
11
2211
221 55 66 773311222233
2222
33
22
44
55
66
y = = y = y x2
y = ( = (y = (y x 2 1) 1)2
y 5 22(2(x 2 1) 1) 1)22
yy = 2( = 2(y = 2(y xx 2 1) 1)2
y 55 22(2(xx 2 1) 1)22 11 22
33
b) Podemos escrever y 5 x2 2 4x 1 4 da seguinte maneira: 
y 5 (x 2 2)2. Depois, seguir estes passos: 
x
y
42
1
21
21 5 6 73122
22
3
2
4
y 5 x2
y 5 (x 2 2)2
y 5 (x 2 1)2
c) Escrevendo y 5 x2 2 4x 1 5 de outro modo, temos: 
y 5 x2 2 4x 1 41 1. Então, podemos expressar y2 5 (x 2 2)2 1 
1 1.
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x
y
42
1
21
21 312223
2
y 5 x2
y 5 (x 2 2)2
y 5 (x 2 1)2
y 5 (x 2 2)2 1 1
Capítulo 11
Propriedades entre arcos e cordas 
1. Observe o quadrilátero inscrito na circunferência a seguir.
Sabendo que ,AB BC CD DAr r r
% % % %
 podemos afirmar que 
ABCD é um quadrado? Justifique.
O
C
B
D
A
Resposta: Sim, porque as cordas AB, BC, CD e DA determi-
nadas, respectivamente, pelos arcos AB , CBC DA, D e
% % % %
 são 
congruentes (pela 1a propriedade entre arcos e cordas).
2. Observe a figura:
O
A B
D
E
Classifique os triângulos AEO e BEO quanto aos ângulos, 
sabendo que AD BDr
% %
.
Resposta: Como AO 5 BO (medidas do raio da circunferên-
cia), temos que o triângulo AOB é isósceles. Desse modo, os 
ângulos da base desse triângulo são congruentes. Pela con-
gruência dos arcos, podemos concluir que os ângulos centrais 
AÔE e BÔE correspondentes a esses arcos, respectivamente, 
F
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LVILVI
também são congruentes. Ou seja, os triângulos AEO e BEO 
são congruentes pelo caso ALA. Sendo assim, concluímos 
que AE 5 EB. Logo, pela 2a propriedade entre arcos e cordas, 
concluímos que o diâmetro que contém DO é perpendicular 
à corda AB pelo seu ponto médio E. Portanto, os triângulos 
AEO e BEO são ambos triângulos retângulos. 
Capítulo 12
Cálculo de áreas
1. As áreas de dois círculos estão relacionadas entre si assim 
como 3 está para 2. O diâmetro do círculo menor mede 6 cm. 
Calcule:
a) a razão entre os diâmetros desses círculos;
b) a medida do diâmetro do círculo maior. 
Respostas: 
a) Indiquemos por D e d as medidas dos diâmetros dos círculos 
maior e menor, respectivamente. As áreas dos dois círculos 
estão relacionadas entre si assim como 3 está para 2, logo:
πR2
πr2
 5 3
2
, 
em que R e r são os raios dos círculos maior e menor, respec-
tivamente. Logo, podemos escrever:
Æ Æ ,r
R
d
D
d
D
2
3
2
2
3
2
325 5 52
2
2
2
2
2c
c m
m
 
sendo D e d os diâmetros dos círculos maior e menor, res-
pectivamente.
Portanto, Æ Æ .d
D
d
D
d
D
2
3
2
3
2
65 5 52
2
b) Sabendo que o diâmetro do círculo menor mede 6 cm, 
podemos calcular a medida D do diâmetro do círculo maior 
do seguinte modo:
Æ .D D 2
6
6
6
2
65 5
Logo, o diâmetro do círculo maior mede 3 6 cm.
2. Na circunferência a seguir, o raio mede 5 cm. O segmento BC é 
tangente à circunferência e OD é perpendicular a AC. Calcule: 
a) a medida de BC;
b) a área do triângulo ABC;
c) a medida da circunferência;
d) a área do círculo.
C
B
D
A
O
Respostas: 
a) Como OD é perpendicular a AC, sendo BC tangente à cir-
cunferência, então os segmentos BC e OD são paralelos. 
 Os triângulos :AOD e :ACB são semelhantes (AAA), pois:
• CAB é comum;
• AOD e ACB são correspondentes;
• ADO e ABC são correspondentes.
O triângulo :AOD é isósceles, pois AO 5 OD (raios da cir-
cunferência). Então o triângulo :ACB também é isósceles, 
com AC 5 BC. Como AC 5 AO 1 OC 5 10 (diâmetro da 
circunferência),então BC 5 10 cm.
b) Área do triângulo ABC: 
 At 5 BC AC
2
8 Æ At 5 Æ2
10 108 At 5 50 cm2
c) Medida da circunferência: C 5 2πr Æ C 5 2 8 3,14 8 5 Æ 
Æ C 5 31,4 cm
d) Área do círculo: AC 5 πr2 Æ AC 5 3,14 8 52 Æ AC 5 78,5 cm2
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Componente curricular: MATEMÁTICA
MATEMÁTICA 
BIANCHINI
9a edição
São Paulo, 2018
o
ano9
Edwaldo Bianchini
Licenciado em Ciências pela Faculdade de Educação de Ribeirão Preto, da Associação de Ensino 
de Ribeirão Preto, com habilitação em Matemática pela Faculdade de Filosofia, 
Ciências e Letras do Sagrado Coração de Jesus, Bauru (SP). 
Professor de Matemática da rede pública de ensino do estado de São Paulo, 
no ensino fundamental e médio, por 25 anos.
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Coordenação geral: Maria do Carmo Fernandes Branco
Edição: Glaucia Teixeira 
Edição de conteúdo: Dário Martins de Oliveira
Revisão técnica: Kauan Pastini Paula Leite
Assistência editorial: Francisco Mariani Casadore
Suporte administrativo editorial: Alaíde dos Santos
Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto gráfico: Everson de Paula, Adriano Moreno Barbosa
Capa: Bruno Tonel, Mariza de Souza Porto
 Foto: Corredor cruzando a linha de chegada, 2009.
 Crédito: Paul Bradbury/Getty Images
Coordenação de arte: Aderson Assis 
Editoração eletrônica: Grapho Editoração, Marcel Hideki
Edição de infografia: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen
Coordenação de revisão: Camila Christi Gazzani 
Revisão: Clara Altenfelder, Daniela Uemura, Erika Nakahata, Kátia Godoi, Lilian Xavier, Luciana Baraldi, 
Patricia Cordeiro
Coordenação de pesquisa iconográfica: Sônia Oddi
Pesquisa iconográfica: Angelita Cardoso, Leticia Palaria, Paula Dias
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, Marina M. Buzzinaro
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Denise Feitoza Maciel, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, Vitória 
Sousa
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Impressão e acabamento: 
“Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas 
de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.”
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Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho
São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904
Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510
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2018
Impresso no Brasil
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Bianchini, Edwaldo
Matemática - Bianchini / Edwaldo Bianchini. – 
9. ed. – São Paulo : Moderna, 2018.
Obra em 4 v. para alunos de 6o ao 9o ano.
Componente curricular: Matemática.
Bibliografia.
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
18-16603 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Iolanda Rodrigues Biode – Bibliotecária – CRB-8/10014
http://www.moderna.com.br
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APRESENTAÇÃO
Caro estudante,
Este livro foi pensado, escrito e organizado com o objetivo de 
facilitar sua aprendizagem.
Para tornar mais simples o entendimento, a teoria é apresentada 
por meio de situações cotidianas. Assim, você vai notar o 
quanto a Matemática faz parte do nosso dia a dia e nos permite 
compreender melhor o mundo que nos rodeia. 
Por isso, aproveite ao máximo todo o conhecimento que este livro 
pode lhe oferecer. Afinal, ele foi feito especialmente para você!
Faça dele um parceiro em sua vida escolar! 
O autor
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CONHEÇA SEU LIVRO
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82 CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 26 Se 9 metros de tecido custam R$ 117,00, então:
a) quanto custam 12,5 m desse tecido?
b) quantos metros é possível comprar com 
R$ 109,20? 
 27 Uma usina produz 350 litros de álcool com 
5 toneladas de cana-de-açúcar. Para produzir 
8.750 litros de álcool, são necessárias quantas 
toneladas de cana-de-açúcar ? 
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Um navio zarpou para uma viagem carregando alimentos suficientes para 30 dias. Entre passagei-
ros e tripulantes, havia 250 pessoas a bordo. Passados 6 dias, o navio atracou em um porto, onde 
10 passa geiros desembarcaram, desistindo da viagem. Para quantos dias foram suficientes os ali-
mentos restantes? 
 28 No rio que atravessa certa cidade, foram en-
contradas 3 toneladas de peixes mortos, em 
decorrência de um grande vazamento de uma 
indústria química. A prefeitura da cidade con-
tratou 45 funcionários de uma empresa de 
limpeza urbana, que, em 4 dias, retiraram do 
rio todos os peixes mortos.
a) Supondo que a prefeitura tivesse contratado 
mais 15 funcionários, de mesma produtivi-
dade, quantos dias seriam necessários para 
retirar do rio aquela quantidade de peixes?
b) Para evitar desastres ambientais como esse, 
que atitudes você acha que as empresas 
devem tomar ? 
c) Não jogar lixo na rua, separar materiais 
recicláveis e evitar o uso de automóvel para 
percorrer pequenas distâncias são peque-
nas atitudes que podem preservar o meio 
ambiente. Troque ideias com os colegas 
e façam uma lista de outras atitudes que 
podem ser tomadas para ajudar o planeta.
 29 Uma padaria produz 400 pães com 10 kg de 
farinha de trigo. 
a) Quantos pães ela produzirá com uma saca 
de 60 kg de farinha? 
b) Quantos quilogramas de farinha são neces-
sários para a produção de 750 pães?
 30 Para construir uma roda dentada com deter-
minada máquina, perdem-se 30 gramas de 
material. Depois de 10 dias utilizando essa 
máquina, que produz 150 rodas dentadas por 
dia, quantos quilogramas de material serão 
perdidos? 
 31 Um automóvel faz certo percurso em 4,5 horas 
com velocidade média de 80 km/h, consumin-
do 1 litro de etanol a cada 12 quilômetros.
a) Se a velocidade média fosse 90 km/h, esse 
percurso seria feito em quanto tempo? 
b) Desejando-se fazer esse percurso em 5 ho-
ras, qual deve ser a velocidade média do 
automóvel? 
 32 Uma torneira fornece 24 litros de água por 
minuto e enche um tanque em 45 minutos.
a) Duas torneiras iguais a essa encheriam o 
tanque em quantos minutos? 
b) Para encher o tanque em 15 minutos, se-
riam necessárias quantas dessas torneiras, 
sabendo que agora ele tem um vazamento?
 33 Em uma cidade, 600 ônibus transportam 
240.000 pessoas por dia. Para reduzir os gas-
tos, a prefeitura propôs retirar 200 ônibus de 
circulação.
a) Supondo que os usuários desses 200 ônibus 
passem a usar automóveis e que cada auto-
móvel transporte 4 pessoas por dia, quantos 
automóveis serão necessários?
b) O que você acha que acontecerá com o 
trânsito e o meio ambiente da cidade se a 
prefeitura de fato tomar essa medida?
 34 Hora de criar – Troque com um colega um 
problema, criado por vocês, sobre regra de três. 
Depois de cada um resolver o problema elabo-
rado pelo outro, destroquem para corrigi-los. 
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10 m
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131CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
 1 Classifique cada sentença abaixoem verdadei-
ra ou falsa e justifique as falsas. 
a) Todos os triângulos congruentes são seme-
lhantes. 
b) Todos os triângulos semelhantes são con-
gruentes.
c) Dois triângulos isósceles que têm os ângulos 
do vértice congruentes são semelhantes.
 3 (Enem) A sombra de uma pessoa que mede 
1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo mo-
mento, a seu lado, a sombra projetada de um 
poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra 
do poste diminuir 50 cm, a sombra da pessoa 
passará a medir: 
a) 30 cm.
b) 45 cm.
c) 50 cm.
d) 80 cm.
e) 90 cm.
 4 Os lados AB ACe de um triângulo medem, 
respectivamente, 35 cm e 42 cm. No lado AB , 
distante 10 cm de A, marca-se um ponto D. 
Por D traça-se uma paralela a BC , que encon-
tra AC no ponto E. 
a) Construa uma figura que ilustra a situação.
b) Determine as medidas de .AE ECe
Qual é o inteiro mais próximo da largura do 
rio, medida em metros? 
 2 (Covest-PE) A figura abaixo representa um rio 
cujas margens são retas paralelas.
Determine o comprimento da estrada JB 12.
 5 O esquema abaixo representa a relação entre 
quatro estradas.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
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 6 Os lados de um triângulo medem 15 cm, 20 cm 
e 25 cm. Calcule a medida dos lados de um 
triângulo semelhante a ele que tenha 45 cm 
de perímetro. 
 7 Veja na figura abaixo o procedimento usado 
por Marcos para descobrir a distância entre 
as árvores A e B próximas do lago.
Sabendo que a medida do passo de Marcos 
é 80 cm, determine a distância entre essas 
árvores, em metro. 
 9 Uma pessoa sobe uma rampa que tem 4 m 
de altura na parte mais alta. Após caminhar 
12,3 m sobre a rampa, ela nota que está a 1,5 m 
de altura em relação ao solo. Calcule quantos 
metros a pessoa ainda deve caminhar para 
atingir o ponto mais alto da rampa. 
 10 Na figura, o raio da cir cunferência menor 
me de 6 cm e o da maior mede 10 cm. Se 
XC1 5 12 cm e YC1 ⁄ ⁄ ZC2, determine a distân-
cia C1C2. 
 8 Os perímetros de dois triângulos semelhantes 
são 48 cm e 60 cm. As áreas deles são, res-
pectivamente, 96 cm2 e 150 cm2. O maior lado 
do triângulo maior mede 25 cm. Determine a 
medida do maior lado do triângulo menor.
Seu livro está organizado em 12 capítulos. A estrutura de cada capítulo é muito simples e 
permite localizar com facilidade os assuntos estudados, os exercícios e as seções enrique-
cedoras. Veja a seguir.
Página de abertura
O tema do capítulo é introduzido 
por meio de uma imagem 
motivadora e um breve texto.
Exercícios
O livro traz exercícios variados, organizados após os conteúdos na seção Exercícios 
Propostos e, ao final de cada capítulo, na seção Exercícios Complementares.
Hora de criar – Atividades 
em que você elabora um 
problema com base no 
assunto estudado.
Apresentação 
dos conteúdos
Os conteúdos são 
apresentados 
em linguagem 
clara e objetiva e 
acompanhados 
de exemplos 
e ilustrações 
cuidadosamente 
elaborados.
257CAPÍTULO 11
Revelada pela lente fotográfica do artista, uma circunferência imaginária, espelhada na 
água tranquila do lago, pode surgir da simetria do arco da ponte.
11
Capítulo
Ponte do Diabo, Parque Kromlau, distrito de Görlitz Gablenzgasse, Alemanha. (Foto de 2017.)
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Circunferência, 
arcos e relações 
métricas
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112 CAPÍTULO 5 SEMELHANÇA
Foto ampliadaFoto original
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Cachoeira do Prata, localizada na Chapada 
dos Veadeiros, Cavalcante (Goiás). (Foto de 
2017.)
Foto reduzida
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Ampliando ou reduzindo figuras 
em uma fotocopiadora, obtemos 
figuras semelhantes às originais. Figuras 
congruentes também são semelhantes.
Figuras semelhantes são aquelas que têm a mesma forma, mas 
não necessariamente o mesmo tamanho. 
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Em uma foto, a altura da imagem de João corresponde a 10 cm. Qual deve ser a porcentagem que 
devemos programar na fotocopiadora para que a altura de João, na cópia ampliada, seja de 12 cm?
1 Figuras semelhantes
Quando uma imagem é projetada em uma tela de televisão, de cinema, de celular etc., o 
tamanho da imagem projetada geralmente é diferente do tamanho da imagem original, no 
entanto a forma é mantida. Assim, dizemos que a imagem que aparece na tela é semelhan-
te à original.
Além de cópias em tamanho original, as fotocopiadoras podem ampliar ou reduzir determi-
nada imagem; nesse caso, também se mantém a forma do original.
Para obter uma ampliação de, por exemplo, 50%, devemos programar essa máquina para 
fazer uma cópia de 150%, pois a ampliação deverá ser igual ao original (100%) aumentado 
de 50%. Se quisermos uma redução de 25%, devemos programar a máquina para 75%, que 
corresponde ao original (100%) diminuído de 25%.
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258 CAPÍTULO 11 CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E RELAÇÕES MÉTRICAS
1 Circunferência e arcos de circunferência
Em muitas culturas agrícolas é empregado um sistema de irrigação chamado pivô central. 
Nesse sistema, a água é distribuída de maneira controlada, com economia e eficiência, por 
meio de uma tubulação que, apoiada em torres sobre rodas, dá voltas completas em torno 
de um dispositivo central.
Wassily Kandinsky. Círculos em um círculo. 1923. 
Óleo sobre tela. 98,7 cm 3 95,6 cm.
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Plantação com sistema de irrigação com pivô central. (Foto de 2015.)
Algumas figuras 
utilizadas nesta obra de 
arte também dão ideia 
de circunferência.
Os desenhos na 
plantação, feitos 
pelas torres sobre 
rodas, dão ideia de 
circunferência.
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dias. Entre passagei-
Supondo que os usuários desses 200 ônibus 
passem a usar automóveis e que cada auto-
móvel transporte 4 pessoas por dia, quantos 
automóveis serão necessários?
O que você acha que acontecerá com o 
trânsito e o meio ambiente da cidade se a 
prefeitura de fato tomar essa medida?
Hora de criar – Troque com um colega um Hora de criar – Troque com um colega um Hora de criar
problema, criado por vocês, sobre regra de três. 
Depois de cada um resolver o problema elabo-
rado pelo outro, destroquem para corrigi-los. 
trânsito e o meio ambiente da cidade se a 
prefeitura de fato tomar essa medida?
 34 Hora de criar – Troque com um colega um 
problema, criado por vocês, sobre regra de três. 
Depois de cada um resolver o problema elabo
rado pelo outro, destroquem para corrigi-los. 
trânsito e o meio ambiente da cidade se a 
prefeitura de fato tomar essa medida?
 34 Hora de criar – Troque com um colega um 
problema, criado por vocês, sobre regra de três. 
Depois de cada um resolver o problema elabo
rado pelo outro, destroquem para corrigi-los. 
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DIVERSIFICANDO
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39CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
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Jogo do enfileirando
Número de participantes: 2 a 4 jogadores
Material: 
• Vinte cartões numerados confeccionadoscom os números: 0, 2, 6, 7, 9, 28, 27, 24, 23, 
21, , , , , , , , , , .
2
1
3
1
3
2
8
7
8
3 1 2 3 16 25
• Quatro cartas de ação: uma de “ordem crescente”; uma de “ordem decrescente”; uma de 
“adição dos números”; e uma de “multiplicação dos números”.
• Dois saquinhos não transparentes: um para guardar os cartões numerados, outro para guar-
dar as cartas de ação. 
• Papel e lápis para resolver as operações.
Regras:
• Sem olhar os números, cada jogador pega cinco cartões numerados de dentro do saquinho.
• Depois, um dos jogadores tira uma carta de ação e deve colocá-la em cima da mesa para 
que todos a vejam e façam o que ela indica. Por exemplo, se sair a carta “ordem crescente”, 
cada jogador colocará em ordem crescente os cartões que pegou. Suponha que um dos jo-
gadores tenha os cartões 2, 23, 2 , 2
1 e 9; ele deverá colocá-los nesta disposição: 23, ,
2
1 
2 , 2 e 9. Então, anota-se o nome de quem terminou a tarefa em primeiro lugar e retira-se 
outra carta. 
• Para os cálculos com 2 e 3 , devem ser usados os valores aproximados 1,4 e 1,7, respec-
tivamente. Exemplo: 2 1 (23) 1 2 1 2
1 1 9 5 9,9.
• Vence o jogo aquele que ganhar o maior número de rodadas, isto é, concluir mais vezes as 
tarefas antes dos outros colegas. Caso nenhum jogador consiga executar as tarefas, reinicia-
-se o jogo. 
 1 Observe a ilustração ao lado 
e responda à questão. Quem 
ganhou esta rodada? Justifique.
 2 Formem grupos de 3 ou 4 colegas, modifiquem uma regra do jogo e troquem com outro grupo. Depois 
de jogar com a nova regra, escolham um representante para explicar a regra nova do outro grupo.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora é com você!
Diversificando
Esta seção oferece a você a 
oportunidade de entrar em 
contato com temas variados, 
em diferentes contextos e 
áreas do saber.
Para saber mais
É uma seção que 
traz textos sobre 
Geometria e 
História da 
Matemática 
para enriquecer 
e explorar diversos 
conteúdos 
matemáticos 
estudados.
Ícones da coleção
 Atividade em dupla 
ou em grupo
 Cálculo mental
 Calculadora
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
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Pense mais um pouco...
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205CAPÍTULO 9 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
1. Considerando que a figura ABCDE é um 
pentágono regular e H é o ponto médio 
da diagonal AC , calcule:
a) as medidas ( )ABCm W e ( );ABHm W 
b) as medidas aproximadas de ,AH AC 
e .AD 
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2. No início do capítulo 8 – Triângulo retângulo – vimos que o emblema da sociedade secreta 
formada pelos pitagóricos era um pentagrama.
a) Na figura abaixo, podemos perceber que as diagonais do pentágono regular formam o penta-
grama. Sendo AB 5 10 cm, calcule, a razão 
AB
AC
. 
b) Tendo por base o pentágono ABCDE do item 
a, também podemos obter o pentagrama, se 
prolongarmos os seus lados.
 Considerando o pentagrama ao lado, calcule:
• AJ • JE • 
AJ
JE
c) Na figura do item b, podemos traçar 
,FG ,GH ,HI IJ e JF e obter um novo 
pentágono regular.
 A partir da construção deste novo pen-
tágono, calcule: JF, JH e 
JF
JH
d) Copie a figura do item b e siga estes passos:
• trace o pentágono FGHIJ ; 
• prolongue os lados do pentágono FGHIJ para obter 
um pentagrama;
• trace as diagonais do pentágono A’B ’C ’D ’E ’ para 
obter um pentagrama.
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e) Reúna-se com um colega e façam o que se pede.
 As razões ,
AB
AC
AJ
JE
JF
JH
e são iguais a um mesmo número irracional, conhecido como número 
de ouro, do qual vocês já obtiveram um valor aproximado. Pesquisem a respeito desse número e 
façam um resumo de sua pesquisa. 
Pense mais um pouco...
Propõe atividades desafiadoras 
que permitem aprofundar 
conteúdos ao longo do 
capítulo.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
84 85CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS CAPÍTULO 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
BRASIL
IDH: 0,754
Expectativa de vida 
ao nascer: 74 anos
Mortalidade infantil 
(morte/mil nascidos): 17,5
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1.030 km
Construindo gráficos 
de barras e de colunas
Fred observou o infográfico ao lado e resol-
veu fazer um gráfico de barras para comparar a 
taxa de mortalidade infantil (dados estimados 
para 2017) dos países em destaque. Ele usou 
os dados de uma morte para cada mil nascidos.
Para o gráfico não ficar muito grande, Fred 
estabeleceu 10 cm de comprimento para a 
barra correspondente à maior porcentagem 
( Paquistão – 52,1 mortes/mil nascidos). A seguir, 
ele calculou o comprimento das outras barras 
por meio da regra de três. Observe dois cálculos 
que ele fez.
País Mortalidade infantil 
(morte/mil nascidos)
Comprimento 
da barra (cm)
Paquistão 52,1 10
Bangladesh 31,7 y
País Mortalidade infantil 
(morte/mil nascidos)
Comprimento 
da barra (cm)
Paquistão 52,1 10
Indonésia 22,7 x
Assim, as barras referentes à Indonésia e a Bangladesh ficaram com 
4,4 cm e 6,1 cm, respectivamente.
,
,
y31 7
52 1 10
5 ] 52,1y 5 317 ] y 5 ,52 1
731 q 6,1
,
,
x22 7
52 1 10
5 ] 52,1x 5 227 ] x 5 ,52 1
227 q 4,4
Dados obtidos em: CIA. Disponível em: <https://www.cia.gov/library/publications/
resources/the-world-factbook/rankorder/2102rank.html>. Acesso em: 01 dez. 2017.
Dados obtidos em: CIA. Disponível em: <https://www.cia.gov/library/publications/
resources/the-world-factbook/rankorder/2091rank.html>. Acesso em: 01 dez. 2017.
A POBREZA NO MUNDO
O IDH (Índice de 
Desenvolvimento Humano) 
é uma medida que classifica 
os países pelo seu nível 
de desenvolvimento com 
base em três dimensões: 
renda, educação e saúde. 
Veja no mapa o IDH e a 
situação de alguns países 
relativa a outros dois índices: 
a expectativa de vida ao 
nascer e a mortalidade 
infantil por mil nascidos.
PAQUISTÃO
IDH: 0,550
Expectativa de 
vida ao nascer: 
68,1 anos
Mortalidade 
infantil (morte/
mil nascidos): 52,1
QUÊNIA
IDH: 0,555
Expectativa de 
vida ao nascer: 
64,3 anos
Mortalidade 
infantil (morte/
mil nascidos): 37,1
BANGLADESH
IDH: 0,579
Expectativa de 
vida ao nascer: 
73,4 anos
Mortalidade 
infantil (morte/
mil nascidos): 31,7
CHINA
IDH: 0,738
Expectativa de 
vida ao nascer: 
75,7 anos
Mortalidade 
infantil (morte/
mil nascidos): 12,0
ÍNDIA
IDH: 0,624
Expectativa de 
vida ao nascer: 
68,8 anos
Mortalidade 
infantil (morte/
mil nascidos): 39,1
INDONÉSIA
IDH: 0,689
Expectativa de 
vida ao nascer: 
73 anos
Mortalidade 
infantil (morte/
mil nascidos): 22,7
ETIÓPIA
IDH: 0,448
Expectativa de 
vida ao nascer: 
62,6 anos
Mortalidade 
infantil (morte/
mil nascidos): 49,6
Baixo
Médio
Alto
Muito alto
IDH
Dados obtidos em: CIA. Disponível em: <https://www.cia.gov/library/publications/
resources/the-world-factbook/rankorder/2102rank.html>. Acesso em: 01 dez. 2017.
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 1 Calcule o comprimento das barras referentes aos outros países destacados no infográfico e faça o 
mesmo gráfico que Fred fez. 
 2 Elabore um gráfico de colunas comparando a expectativa de vida ao nascer desses países. (Sugestão: 
deixe a coluna maior com 10 cm de altura.) 
 3 Comparando os países destacados no infográfico, responda: o país com a maior taxa de mortalidade 
infantil é o que tem o menor IDH? Escreva uma explicação para isso. 
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora quem trabalha é você!
Trabalhando a informação
Esta seção permite que você 
trabalhe com informações 
apresentadas em diferentes 
linguagens.
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289CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES E ÁREAS
Agora é com você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
 1 Seguindo as etapas descritas por Lizandra, escolha um número n de lados e construa em uma 
folha avulsa um polígono regularcom lados medindo 6 cm. 
 2 Construa novamente o polígono da atividade 1 mudando o item 8 para “Girar no sentido 
anti-horário ae graus e voltar para o item 5.” 
PARA SABER MAIS
Construção de polígono regular de n lados
Lizandra precisa programar um tear eletrônico para compor contornos de polígonos 
regulares na fabricação de tecidos. 
Veja as etapas do programa que ela elaborou para a máquina seguir, também descritas 
no fluxograma. 
1. Definir o comprimento L cm do lado do polígono.
2. Definir o número n de lados do polígono, n > 3.
3. Definir o número k 5 1.
4. Calcular a medida °a n
360
5e do ângulo externo.
5. Bordar em linha reta caminho com L cm.
6. Fazer k 5 k 1 1.
7. Se k . n, desligar a máquina. 
8. Girar no sentido horário ae graus e voltar para o 
item 5.
Fluxograma
Definir L cm; n > 3; k 5 1.
Bordar L cm em linha reta.
Fazer k 5 k 1 1.
Fazer a n
360°
5e .
Desligar a 
máquina.
não
sim
não
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Girar ae no sentido horário.
Tear eletrônico 
usado na indústria 
têxtil para a 
produção de 
tecidos com 
padrões criados por 
computador.
https://www.cia.gov/library/publications/resources/the-world-factbook/rankorder/2102rank.html
https://www.cia.gov/library/publications/resources/the-world-factbook/rankorder/2091rank.html
https://www.cia.gov/library/publications/resources/the-world-factbook/rankorder/2102rank.html
6
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 Números reais 11
1. A história dos números ................................................................................................ 12
Números naturais ............................................................................................................ 12
Números inteiros ............................................................................................................. 13
Números racionais .......................................................................................................... 14
Representações dos números racionais ................................................................ 16
Da forma decimal para a forma de fração ............................................................. 18
Para saber mais – O problema dos coelhos de Fibonacci 
e o número áureo .................................................................................................................... 21
Trabalhando a informação – Analisando uma reportagem 
com porcentagens múltiplas ............................................................................................ 22
2. Números quadrados perfeitos .................................................................................. 24
3. Raiz quadrada de números racionais não negativos ...................................... 26
Cálculo da raiz quadrada pela decomposição em fatores primos ............... 27
Raiz quadrada aproximada .......................................................................................... 29
Raiz quadrada com aproximação decimal ............................................................. 30
4. Números irracionais e números reais .................................................................... 32
5. Reta real ............................................................................................................................. 33
Localização exata de alguns números irracionais na reta real ..................... 34
Para saber mais – Espiral de Teodoro, Pitágoras ou Einstein ............................ 37
Diversificando – Jogo do enfileirando ........................................................................... 39
CAPÍTULO 2 Operações com números reais 40
1. Potências nas medidas astronômicas, subatômicas e informáticas ...... 41
2. Potência com expoente fracionário e radicais .................................................. 45
Para saber mais – A história dos números irracionais .......................................... 47
3. Propriedades dos radicais .......................................................................................... 48
1a propriedade .................................................................................................................. 48
2a propriedade .................................................................................................................. 49
3a propriedade .................................................................................................................. 50
4a propriedade .................................................................................................................. 50
4. Adição algébrica com radicais .................................................................................. 52
1a forma ............................................................................................................................... 52
2a forma ............................................................................................................................... 52
5. Multiplicação e divisão com radicais ..................................................................... 53
Multiplicação com radicais .......................................................................................... 53
Divisão com radicais ....................................................................................................... 54
6. Potenciação e radiciação com radicais ................................................................. 56
Potenciação ....................................................................................................................... 56
Radiciação com radicais ................................................................................................ 56
Racionalização de denominadores ........................................................................... 57
Trabalhando a informação – Construindo e interpretando 
gráfico de linha ......................................................................................................................... 59
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CAPÍTULO 3 Grandezas proporcionais 62
1. Razão entre grandezas de naturezas diferentes ............................................. 63
Gramatura de um papel ................................................................................................ 63
Velocidade média ............................................................................................................ 63
Densidade demográfica ................................................................................................ 64
Consumo médio ............................................................................................................... 64
Densidade absoluta de uma matéria ...................................................................... 64
Trabalhando a informação – Comparando gráficos de barras ......................... 67
2. A proporcionalidade entre grandezas ................................................................... 69
3. Grandezas diretamente proporcionais .................................................................. 72
Para saber mais – Medida de arcos de uma circunferência .............................. 76
4. Grandezas inversamente proporcionais ............................................................... 78
5. Regra de três simples ................................................................................................... 80
Para saber mais – Resolvendo problemas com o auxílio 
de um quadro ...........................................................................................................................83
Trabalhando a informação – Construindo gráficos de 
barras e de colunas ............................................................................................................... 84
6. Regra de três composta .............................................................................................. 86
CAPÍTULO 4 Proporcionalidade em Geometria 91
1. Razão entre dois segmentos ..................................................................................... 92
Para saber mais – Uma razão de ouro .......................................................................... 95
2. Feixe de paralelas ........................................................................................................... 97
3. Teorema de Tales ............................................................................................................ 99
Para saber mais – Um pouco da história de Tales .................................................. 101
Consequências do teorema de Tales ...................................................................... 102
Para saber mais – Rumo ao teorema das bissetrizes dos 
ângulos internos de um triângulo .................................................................................. 105
Trabalhando a informação – Cartograma do Índice de 
Vulnerabilidade Social (IVS) ............................................................................................... 108
CAPÍTULO 5 Semelhança 111
1. Figuras semelhantes .................................................................................................... 112
Polígonos semelhantes ................................................................................................. 113
Para saber mais – Construindo figuras semelhantes por homotetia .......... 116
2. Semelhança aplicada a triângulos .......................................................................... 118
Teorema fundamental da semelhança ................................................................... 119
3. Casos de semelhança de triângulos ...................................................................... 121
Caso ângulo-ângulo (AA) .............................................................................................. 122
Caso lado-ângulo-lado (LAL) ....................................................................................... 123
Caso lado-lado-lado (LLL) ............................................................................................. 124
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Para saber mais – Construindo um pantógrafo ....................................................... 127
Trabalhando a informação – Um gráfico chamado pirâmide etária .............. 129
Diversificando – Câmara escura de orifício ................................................................ 132
CAPÍTULO 6 Um pouco mais sobre Estatística 133
1. Recordando as medidas de tendência central .................................................. 134
2. Medida de dispersão – desvio médio absoluto .................................................. 136
Para saber mais – A Matemática e os jogos .............................................................. 139
Trabalhando a informação – Juros compostos ....................................................... 140
CAPÍTULO 7 Equações do 2o grau 143
1. Equações do 2o grau com uma incógnita ............................................................. 144
Raízes de uma equação do 2o grau .......................................................................... 146
2. Resolvendo equações do 2o grau ............................................................................ 148
Equações do 2o grau incompletas ............................................................................ 148
Equações do 2o grau completas ............................................................................... 150
3. A fórmula resolutiva de uma equação do 2o grau ............................................ 155
Para saber mais – Número de ouro ................................................................................ 157
4. Estudando as raízes de uma equação do 2o grau ............................................. 160
Relações de Girard .......................................................................................................... 162
Composição de uma equação do 2o grau .............................................................. 164
Trabalhando a informação – A leitura de um mapa, 
anamorfose geográfica ....................................................................................................... 166
CAPÍTULO 8 Triângulo retângulo 169
1. Um pouco de História ................................................................................................... 170
2. Teorema de Pitágoras .................................................................................................. 170
Elementos de um triângulo retângulo .................................................................... 170
Enunciando o teorema de Pitágoras ....................................................................... 172
Demonstrando o teorema de Pitágoras ................................................................. 172
Para saber mais – Triângulos pitagóricos ................................................................... 175
3. Aplicações do teorema de Pitágoras ..................................................................... 177
Relacionando as medidas da diagonal e do lado de um quadrado .............. 177
Relacionando as medidas da altura e do lado de um 
triângulo equilátero ........................................................................................................ 178
4. Relações métricas em um triângulo retângulo ................................................. 180
Projeções ortogonais ..................................................................................................... 180
Relações métricas .......................................................................................................... 181
Outra demonstração do teorema de Pitágoras .................................................. 183
Trabalhando a informação – A representação de um relevo ............................ 185
5. O teorema de Pitágoras no plano cartesiano ..................................................... 187
Diversificando – Uma quase circunferência! ............................................................. 192
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 Céu vermelho à noite, 
alegria do pastor... 
Céu vermelho pela 
manhã, alerta para 
o pastor. 
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 Razões trigonométricas nos 
triângulos retângulos 193
CAPÍTULO 9
1. Primeiras razões trigonométricas ........................................................................... 194
Seno de um ângulo agudo ........................................................................................... 195
Cosseno e tangente de um ângulo agudo ............................................................ 196
2. Tabela de razões trigonométricas .......................................................................... 199
Para saber mais– Ângulos da cidade maravilhosa ............................................... 202
3. Resolução de problemas que envolvem triângulos retângulos ................. 202
Para saber mais – O teodolito .......................................................................................... 206
4. Razões trigonométricas dos ângulos de 45°, 30° e 60° ................................. 208
Razões trigonométricas do ângulo de 45° ............................................................ 208
Razões trigonométricas do ângulo de 30° ............................................................ 209
Razões trigonométricas do ângulo de 60° ............................................................ 209
Trabalhando a informação – Gráficos com distorção ........................................... 211
CAPÍTULO 10 Estudo das funções 216
1. Conceito de função ....................................................................................................... 217
Para saber mais – Função, um longo caminho 
na história da Matemática ................................................................................................. 223
Gráfico de uma função .................................................................................................. 224
Como reconhecer o gráfico de uma função ......................................................... 226
2. Função polinomial do 1o grau .................................................................................... 229
Gráfico de uma função polinomial do 1o grau ...................................................... 230
Variação de uma função polinomial do 1o grau ................................................... 233
Para saber mais – Uso do computador: retas .......................................................... 234
Estudo do sinal de uma função polinomial do 1o grau ..................................... 235
Para saber mais – Proporcionalidade na função linear ........................................ 237
3. Função polinomial do 2o grau .................................................................................... 238
Gráfico de uma função polinomial do 2o grau ...................................................... 239
Zeros de uma função polinomial do 2o grau ......................................................... 243
Coordenadas do vértice da parábola ...................................................................... 245
Valor máximo e valor mínimo de uma função polinomial do 2o grau .......... 246
Construção do gráfico de uma função polinomial do 2o grau ....................... 248
Para saber mais – Uso do computador: parábolas................................................. 250
Estudo do sinal de uma função polinomial do 2o grau ..................................... 251
Para saber mais – Sistema de equações do 2o grau ............................................. 252
Diversificando – Cercando .................................................................................................. 256
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CAPÍTULO 11 Circunferência, arcos e relações métricas 257
1. Circunferência e arcos de circunferência ............................................................ 258
Comprimento de uma circunferência ...................................................................... 259
Arco de circunferência .................................................................................................. 262
Propriedades entre arcos e cordas de uma circunferência ........................... 265
2. Triângulo retângulo inscrito em uma circunferência ..................................... 266
3. Relações métricas em uma circunferência ......................................................... 268
Trabalhando a informação – Semicoroa circular ..................................................... 272
CAPÍTULO 12 Polígonos regulares e áreas 275
1. Relações métricas nos polígonos regulares ....................................................... 276
Retomando o estudo de polígonos regulares ...................................................... 276
Quadrado inscrito ............................................................................................................ 277
Hexágono regular inscrito ............................................................................................ 280
Triângulo equilátero inscrito ....................................................................................... 283
2. Área de um polígono regular ..................................................................................... 285
3. Área de um círculo.......................................................................................................... 287
Para saber mais – Construção de polígono regular de n lados ........................ 289
Área de uma coroa circular .......................................................................................... 290
Área de um setor circular ............................................................................................. 291
Trabalhando a informação – Atenção ao ler gráficos .......................................... 293
4. Volume de alguns sólidos ........................................................................................... 295
Calculando a área total da superfície de alguns sólidos ................................. 295
Fazendo experiências com volumes ........................................................................ 297
Diversificando – Jogo do desenhe ou responda ...................................................... 303
Respostas .................................................................................................................................. 304
Lista de siglas .......................................................................................................................... 311
Sugestões de leitura para o aluno ................................................................................ 311
Bibliografia ................................................................................................................................ 312
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11BIMESTRE 1
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Retomar os números ra-
cionais e reconhecer a am-
pliação dos conjuntos nu-
méricos.
• Representar números ra-
cionais na forma de fração 
e na forma decimal.
• Identificar e determinar dí-
zimas periódicas.
• Identificar números qua-
drados perfeitos.
• Calcular raiz quadrada 
exata de um número racio-
nal não negativo.
• Calcular raiz quadrada 
com aproximação decimal.
• Reconhecer números irra-
cionais e números reais.
• Verificar experimentalmen-
te o teorema de Pitágoras.
• Localizar números irracio-
nais na reta real.
• Resolver e elaborar proble-
mas de contagem envol-
vendo números reais.
• Calcular porcentagens su-
cessivas.
• Analisar texto de reporta-
gem e gráfico de barras.
Orientações gerais
Este capítulo retoma e am-
plia a evolução da ideia de 
número ao longo da história 
e sua aplicação para aten-
der às necessidades do ser 
humano no que se refere 
à sua organização social e 
à compreensão dos fenô-
menos da natureza. Desse 
modo, o capítulo revisa os 
números racionais e apre-
senta os números irracionais 
e o conjunto dos números 
reais; trata da reta real e da 
localização de números irra-
cionais nela com o auxílio de 
triângulos retângulos e do 
teorema de Pitágoras; res-
gata a noção de quadrados 
perfeitos e explora cálculos 
com raízes quadradas de nú-
meros racionais não negati-
vos (exatas e comaproxima-
ção). Além disso, o capítulo 
também explora o cálculo 
de porcentagens sucessivas. 
O tema motivador da aber-
tura do capítulo é o núme-
ro áureo, que será explo-
rado no desenvolvimento 
do capítulo no contexto da 
sequência de Fibonacci. 
Material Digital Audiovisual
• Áudio: Racionais ou 
irracionais? Quem tem mais?
Orientações para o 
professor acompanham o 
Material Digital Audiovisual
CAPÍTULO 1
O que o encantador arranjo de pétalas numa rosa vermelha, o famoso quadro O Sacramento da 
Última Ceia, de Salvador Dalí, as magní�cas conchas espirais de moluscos e a procriação de coelhos 
têm em comum?
É difícil de acreditar, mas esses exemplos bem díspares têm em comum um certo número [...] o 
número áureo.
O número áureo ou número do ouro, representado pela letra grega ò [�], é um número real não 
racional, a sua escrita decimal nunca termina e nunca se repete, ò 5 1,6180339887... [...]
Fonte: LIVIO, Mario. Razão áurea. 3. ed. Rio de Janeiro: Record, 2008. p. 13.
1Números reais
Capítulo
Estrutura interna em espiral de uma concha de Nautilus.
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A história dos 
números
Para introduzir o trabalho 
com este capítulo, proponha 
atividades em grupo que 
motivem os alunos a mo-
bilizar seus conhecimentos 
acerca dos números naturais 
e das características do siste-
ma de numeração decimal. 
Eles podem:
• elencar as características 
do sistema de numeração 
decimal;
• dizer de onde ele surgiu, 
como foi difundido e o 
motivo de sua supremacia 
em relação aos demais sis-
temas das civilizações an-
tigas;
• dizer qual o uso de um nú-
mero natural;
• caracterizar o conjunto dos 
números naturais;
• discutir as limitações das 
operações com números na-
turais; entre outras coisas.
Em seguida, cada grupo 
apresenta suas conclusões 
aos demais. No final, faça um 
fechamento com os alunos, 
em uma roda de conversa.
Complemente os estudos com 
a Sequência didática 1 – 
Raiz quadrada, disponível no 
Manual do Professor – Digital. 
As atividades propostas 
permitem desenvolver de 
forma gradual e articulada 
objetos de conhecimento 
e habilidades da BNCC 
selecionados para este 
capítulo.
Sugestões de 
leitura
Para ampliar o trabalho da abertura 
com os alunos, sugerimos:
<http://pt.wahooart.
com/@@/5ZKEQ2-Salvador-Dali-
O-Sacramento-da-%C3%9Altima-
Ceia>;
<http://www.portal.famat.ufu.br/
sites/famat.ufu.br/files/Anexos/
Bookpage/Famat_rev is ta_11_
artigo_05.pdf>;
<https://escolakids.uol.com.br/
numero-de-ouro.htm>. Acessos em: 
20 ago. 2018.
Para enriquecer o trabalho com 
números reais, sugerimos o livro:
GUELLI, Oscar. A invenção dos 
números. São Paulo: Ática, 2010. 
(Coleção Contando a história da 
Matemática).
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes 
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
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12 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
1 A história dos números
Desde a invenção da escrita, há cerca de 4 mil anos, o ser humano começou a usar símbolos 
para representar quantidades como resultado da contagem de objetos: quantidade de aves 
que criava, de peixes que pescava, de cereais que colhia etc.
Os babilônios, por exemplo, muitos 
séculos antes de Cristo, empregavam 
símbolos em forma de cunha para re-
presentar números:
 � Uma cunha “em pé” ( ) representa-
va o número 1 e podia ser repetida 
até nove vezes.
 � Uma cunha “deitada” ( ) repre-
sentava o número 10 e podia ser 
repetida até cinco vezes.
Esses símbolos eram impressos em 
tábuas de argila, como a da foto ao 
lado.
Números naturais
Números naturais são números que expressam o resultado de uma contagem.
O conjunto dos números naturais, representado por N, pode ser indicado por:
Com os números naturais, efetuamos qualquer adição ou multiplicação. As subtrações, no 
entanto, só serão possíveis quando o minuendo for maior ou igual ao subtraendo, e as divisões, 
quando o dividendo for múltiplo do divisor.
Veja exemplos de operações impossíveis de ser realizadas só com números naturais:
a) a subtração 6 2 7 (não há número natural que adicionado a 7 resulte em 6);
b) a divisão exata 8 9 5 (não há número natural que multiplicado por 5 resulte em 8). 
Os números naturais não são suficientes para representar todas as situações do dia a dia.
Com eles, não é possível representar, por exemplo, temperaturas abaixo de zero grau Celsius 
nem a medida do comprimento do nosso palmo em metro.
Para atender a situações como essas, foram criados os números racionais. Veja exemplos. 
23; 5
1 ; 20,7; 0,333...; 2 2
9
N 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Outros povos, como os egípcios e os romanos, tinham seus próprios símbolos e suas próprias 
regras para registrar quantidades.
Atualmente, a maioria dos povos adota o sistema de numeração decimal, composto de 
dez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), denominados algarismos indo-arábicos.
Tábua de argila da civilização babilônica, do período entre 1800 a.C. 
e 1600 a.C. Universidade Columbia, Nova York (Estados Unidos).
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http://pt.wahooart.com/@@/5ZKEQ2-Salvador-Dali-O-Sacramento-da-%C3%9Altima-Ceia
http://pt.wahooart.com/@@/5ZKEQ2-Salvador-Dali-O-Sacramento-da-%C3%9Altima-Ceia
http://pt.wahooart.com/@@/5ZKEQ2-Salvador-Dali-O-Sacramento-da-%C3%9Altima-Ceia
http://pt.wahooart.com/@@/5ZKEQ2-Salvador-Dali-O-Sacramento-da-%C3%9Altima-Ceia
http://www.portal.famat.ufu.br/sites/famat.ufu.br/files/Anexos/Bookpage/Famat_revista_11_artigo_05.pdf
http://www.portal.famat.ufu.br/sites/famat.ufu.br/files/Anexos/Bookpage/Famat_revista_11_artigo_05.pdf
http://www.portal.famat.ufu.br/sites/famat.ufu.br/files/Anexos/Bookpage/Famat_revista_11_artigo_05.pdf
http://www.portal.famat.ufu.br/sites/famat.ufu.br/files/Anexos/Bookpage/Famat_revista_11_artigo_05.pdf
https://escolakids.uol.com.br/numero-de-ouro.htm
https://escolakids.uol.com.br/numero-de-ouro.htm
13BIMESTRE 1
Exercícios propostos
Para este bloco de exercí-
cios, os alunos podem se 
reunir em duplas. A troca 
de ideias favorece o levan-
tamento de hipóteses e a 
argumentação. Socialize as 
respostas, validando-as com 
os alunos. 
Os exercícios abordam as li-
mitações matemáticas das 
subtrações e da divisão com 
números naturais e, assim, 
antecipam o próximo tópico 
no qual essas limitações são 
superadas com a ampliação 
dos conjuntos numéricos. 
Converse com os alunos so-
bre alguns exemplos coti-
dianos em que os números 
naturais não podem ser apli-
cados.
Pense mais um 
pouco...
Nesta seção, os alunos en-
contram questionamentos 
que requerem o uso de no-
ções intuitivas sobre análi-
se combinatória. Convém 
avaliar se há necessidade de 
abordá-los de maneira con-
creta, usando objetos físicos, 
confeccionados por eles, 
para representar os objetos 
fictícios que contextualizam 
os enunciados. É importante 
pedir a eles que façam re-
presentações esquemáticas 
das resoluções. Depois, caso 
nenhuma das representa-
ções se aproxime da árvore 
de possibilidades, apresen-
te-a como outra opção de 
resolução para a primeira 
questão e sugira aos alunos 
que a utilizem nas demais.
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13CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
 1 Identifique, entre as operações a seguir, quais 
não podem ser realizadas apenas com números 
naturais. alternativas b, e, g, h
a) 3 1 7 c) 0 2 0 e) 3 9 7 g) 8 9 3
b) 5 2 235 d) 7 2 0 f) 3 8 7 h) 7 9 10
 2 Responda às questões abaixo.
a) Por que é impossível efetuara divisão 
exata 7 9 3 dispondo apenas de números 
naturais?
b) E 3 2 7? Por que é impossível efetuá-la? 
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Reúna-se com um colega e façam o que se pede.
1. Uma sorveteria oferece 4 sabores de sorvete e 2 tipos de cobertura, todos dietéticos, que 
podem ser servidos em 2 tipos de pote. De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode 
escolher um sabor de sorvete dietético, uma cobertura dietética e um pote? 16 maneiras
2. Paola esqueceu os dígitos que formam a placa de seu carro. A única informação que consegue 
lembrar é que a placa é formada por quatro algarismos distintos. Quantas possibilidades dife-
rentes de placas Paola pode formar? 5.040 possibilidades (10 8 9 8 8 8 7 5 5.040) 
Números inteiros
Os números inteiros foram os primeiros números relativos (positivos ou negativos) criados 
pelo ser humano, em decorrência de necessidades impostas pelo comércio e de situações 
cotidianas que exigiram a representação de quantidades em relação ao referencial zero.
a) porque não há número natural que multiplicado 
por 3 dê 7
b) porque não há número natural que adicionado 
a 7 dê 3
125 wC 
(25 graus Celsius 
acima de zero)
225 wC 
(25 graus Celsius 
abaixo de zero)
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Veja exemplos em que recorremos aos números inteiros.
a) Nos termômetros, para indicar temperaturas abaixo de zero grau Celsius (números ne-
gativos) ou acima de zero grau Celsius (números positivos). O referencial é 0 °C.
14
Orientações
Peça aos alunos que listem 
outros exemplos de utiliza-
ção de números positivos e 
de números negativos. Po-
dem surgir, por exemplo: 
nos painéis de elevadores, 
para registrar dívidas ou sal-
dos negativos em extratos 
bancários, altitude de mon-
tes e profundidades (con-
siderando o nível do mar 
como referência), gols mar-
cados e gols sofridos por um 
time em uma partida, entre 
outros. 
O trabalho com os números 
inteiros pode ser semelhan-
te ao sugerido com os nú-
meros naturais. Proponha 
aos alunos que caracterizem 
o conjunto dos números in-
teiros antes da leitura do 
texto desta página. Retome 
as ideias de antecessor e de 
sucessor, de oposto e de mó-
dulo de um número inteiro, 
além da inclusão dos núme-
ros naturais no conjunto dos 
números inteiros.
Sugira também que discu-
tam sobre as limitações das 
operações com os números 
inteiros, retomando a po-
tenciação com expoente in-
teiro negativo.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes 
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
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14 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
Com a criação do conjunto dos números inteiros, tornou-se possível efetuar subtrações em 
que o minuendo é menor que o subtraendo. Por exemplo: (6 2 7 5 21) e (0 2 3 5 23).
Os números inteiros, no entanto, não são suficientes para representar o resultado de qual-
quer divisão. Por exemplo: (10 9 3) e [(25) 9 7].
Z 5 {..., 25, 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
números naturais
Números racionais 
Observe os números abaixo.
1,25 0,777... 213 20,75
Eles são exemplos de números racionais, pois podem ser escritos na forma de fra ção 
b
a 
com um número inteiro no numerador e um número inteiro não nulo no denominador. Veja.
1,25 = 4
5 0,777... = 9
7 213 = 2 1
13 20,75 = 2 4
3
b) Para descrever a movimentação bancária de uma conta, se o saldo é credor (números 
positivos) ou devedor (números negativos). O referencial é o saldo zero (nem credor nem 
devedor).
O titular dessa conta tinha, ao final do dia 22 de março, saldo devedor de R$ 30,00, isto é, 
devia ao banco R$ 30,00.
O conjunto dos números inteiros, representado por Z, pode ser indicado por:
Z 5 {..., 23, 22, 21, 0, 11, 12, 13, ...}
Movimentação de conta-corrente (valores em reais)
Dia Histórico Débito Crédito Saldo
22/3 saldo anterior 170,00
22/3 cheque 900392 2200,00 2130,00
22/3 depósito 1100,00 230,00
Dados fictícios.
Os sinais 1 e 2 à esquerda dos números passam a indicar a posição que eles ocupam em 
relação ao zero, quando organizados em ordem crescente ou decrescente: os números me-
nores do que zero são negativos e os maiores do que zero, positivos.
Como os números inteiros não negativos (0, 11, 12, 13, …) comportam-se como os números 
naturais, tanto na ordenação como nas operações, esses números passarão a ser indicados 
simplesmente por 0, 1, 2, 3, 4, …
Por esse motivo, podemos dizer que qualquer número natural é um número inteiro:
15BIMESTRE 1
Orientações
Explore a necessidade dos 
números racionais em situa-
ções de medição. Proponha 
na lousa uma ampliação do 
quadro apresentado no livro 
do estudante para identifi-
carem onde marcar o “X”. 
Retome a reta numérica e 
proponha a localização de 
números naturais, números 
inteiros negativos e núme-
ros racionais na forma de 
fração. Se julgar necessário, 
mostre alguns exemplos an-
tes de pedir aos alunos que 
façam atividades sobre esse 
tema.
Exercícios propostos
Aproveite o exercício 5 para 
explorar a noção de contra-
exemplo, esclarecendo que 
é útil para corroborar a fal-
sidade das sentenças, mas 
não serve como prova das 
sentenças verdadeiras.
No exercício 6, destaque a 
diferença das expressões 
“de 1 a 9” e “entre 1 e 9”:
• de 1 a 9, inclui o 1 e o 9: 1, 
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9;
• entre 1 e 9, exclui o 1 e o 9: 
2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8.
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15CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
Observe o quadro abaixo, com alguns exemplos de números racionais.
Número natural Número inteiro Número racional
3 X X X
28 X X
3
1 X
20,3 X
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Agora, veja como podemos representar alguns números racionais na reta numérica.
Q
b
a a b b 0, com e inteiros e5 %) 3
21 0 1 2— 3
42 — 1
22 — —1
5
8
5
Com os números racionais podemos representar o resultado da divisão de quaisquer dois 
números inteiros, com o divisor não nulo. O conjunto dos números racionais, representado 
por Q, pode ser indicado por: 
 5 Identifique as sentenças falsas e justifique com 
um exemplo.
a) Todo número natural é inteiro. verdadeira
b) Todo número inteiro é racional. 
c) Todo número natural é racional. 
d) Todo número que pode ser escrito na forma 
de fração de inteiros é racional. verdadeira
e) Todo número natural é um número inteiro 
positivo. 
f) Todo número inteiro é natural.
g) Todo número racional é inteiro.
verdadeira
verdadeira
Falsa, pois zero não é um número 
inteiro positivo.
 3 Enquanto um avião sobrevoa a uma altitude de 
5,8 km, um submarino está a uma profundidade 
de 0,24 km.
a) Represente essas medidas com números 
relativos e explique qual foi o referencial 
utilizado. 15,8 km; 20,24 km; nível do mar
b) Os números que aparecem no enunciado 
(5,8 e 0,24) são números racionais? Eles 
estão escritos na forma de fração?
sim; não, eles estão escritos na forma decimal
 4 Entre os números a seguir, quais são inteiros?
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FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2 20
10
2 4
12
1
3
2 3
2
1 12
4
 6 Junte-se a um colega e respondam quantos 
números inteiros existem:
a) entre dois números inteiros consecutivos;
b) entre 1 e 9, entre 21 e 1, entre 29 e 9;
c) entre 0 e 10, entre 0 e 100, entre 0 e 
1.000.000. 9; 99; 999.999
nenhum
7; 1; 17
10
20
4
12e2 1
5. f) Falsa, pois, por exemplo, 21 não é um número natural.
 g) Falsa, pois, por exemplo, 0,5 não é número inteiro.
16
Pense mais um 
pouco...
A seção pretende retomar o 
conceito de média aritméti-
ca (que será visto novamen-
te no capítulo6) para tratar, 
de maneira informal e pro-
pedêutica, de um conceito 
fundamental no estudo dos 
conjuntos numéricos: o con-
junto dos números racionais 
é um conjunto denso.
Explore as diferentes repre-
sentações de um número ra-
cional e a conversão de uma 
para a outra: a forma de 
fração e a forma decimal. Se 
julgar adequado, retome a 
forma percentual, associada 
a frações centesimais.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes 
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
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16 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
Número racional Algumas representações
22 9
18
2 22,0
4
1
16
4 0,25
11
4
22
8 0,3636…
25,3 10
53
2 25,300
15
32 2
15
2 2,1333…
6 2
12 6,000
JO
S
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No quadro a seguir, há algumas representações fracionárias e decimais de alguns números 
racionais.
Muitos números racionais podem ser representados por uma fração decimal, isto é, de 
denominador 10, 100, 1.000 etc., como os números abaixo.
Representações dos números racionais
Com essa breve retomada sobre a necessidade de ampliar os conjuntos numéricos, pode-
mos constatar que os algarismos indo-arábicos servem para representar todos os números 
que constituem esses conjuntos.
Notamos, também, que há mais de uma representação possível para todos os números 
racionais: a fracionária, mais antiga, e a decimal, bem mais recente.
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Reúna-se com um colega e façam o que se pede.
a) Calculem os números racionais:
• a, que é a média aritmética de 3 e 7; 5
• b, que é a média aritmética de 3 e a ; 4
• c, que é a média aritmética de 3 e b; 3,5
• d, que é a média aritmética de 3 e c. 3,25
b) Representem os números racionais 3, a, b, c, d e 7 em uma mesma reta numérica.
c) As médias aritméticas de dois números obtidas no item a estão entre esses dois números? sim
d) É possível calcular os números e, f, g, h, …, que sejam as médias aritméticas, respectivamente, 
de 3 e e, de 3 e f, de 3 e g, de 3 e h e assim por diante?
• Considerando os itens acima, use sua intuição para dizer quantos números racionais existem 
entre 3 e 7 e quantos números racionais existem entre dois números racionais distintos quaisquer. 
Pense mais um pouco...
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3
3,5
3,25
4 5 7
b)
frações decimais
2 10
20
2 52 4
1
100
25
5 ,5 3 10
53
2 52 , .
.6 000 1 000
6 000
5
Espera-se que os alunos 
respondam a�rmativamente.
Espera-se que os alunos respondam que existem in�nitos números racionais.
17BIMESTRE 1
Exercícios propostos
Os exercícios 7 e 8 articu-
lam-se para levar os alunos a 
elaborarem, com suas pala-
vras, um regra prática para 
escrever frações decimais na 
forma decimal.
No exercício 10, eles devem 
perceber que, no item a, 
obterão a dízima periódica 
7,55555..., já que em 2,444... 
haverá sempre 4 na parte 
decimal, indefinidamente, e 
em 5,111... haverá sempre 1, 
levando a parte decimal da 
soma desses dois números 
ser sempre 5, indefinida-
mente.
Nos exercícios 11 e 12, usa-
mos a calculadora para ex-
plorar a dízima periódica. 
O texto teórico anterior 
explica as duas representa-
ções dos números racionais: 
a decimal (em particular a 
dízima periódica) e a fracio-
nária.
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17CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
Já os números 11
4 e 15
32 não podem ser representados por uma fração decimal. No entanto, 
eles podem ser escritos na forma decimal.
Note que nas representações 0,3636… e 2,1333… as reticências indicam infinitas casas 
decimais e periódicas. Por exemplo: em 0,3636…, as reticências indicam que 36, chamado 
de período, continua se repetindo para sempre. Já em 2,1333…, temos uma representação 
decimal periódica de período 3.
A representação decimal periódica recebe o nome de dízima periódica.
Uma dízima periódica pode ser escrita abreviadamente, colocando-se um traço sobre o 
período. Veja a representação abreviada de algumas dízimas periódicas.
a) 2,555… 5 ,2 5 c) 1,2777… 5 ,1 27 e) 28,612612… 5 ,8 6122
b) 20,1313… 5 ,0 132 d) 0,21888… 5 ,0 218 f) 4,0979797… 5 ,4 097
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 8 Observando os resultados do exercício an-
terior, estabeleça a relação existente entre a 
quantidade de zeros do denominador de uma 
fração decimal e a quantidade de casas após 
a vírgula na representação decimal dessa 
fração. 
 7 Escreva a representação decimal das frações 
a seguir.
a) 10
35 3,5 c) 100
7
2 e) 100
542
b) 100
28 0,28 d) .10 000
321
2 f) .1 000
12
20,07
20,0321
5,42
0,012
8. A quantidade de zeros no 
denominador de uma fração 
decimal é igual à quantidade 
de casas após a vírgula na 
representação decimal dessa fração.
 10 Adicionando os dois números de cada item, 
obtemos outro número na forma de dízima 
periódica. Determine em cada caso essa dízima 
periódica na forma abreviada.
a) 2,444… e 5,111… ,7 5
b) 2,5 e 3,222… ,5 72
 11 Em uma calculadora, aperte as teclas mostra-
das abaixo.
a) Para o último algarismo do número que 
aparece no visor, sua calculadora faz algum 
arredondamento?
b) Represente o número obtido na forma de 
fração. 
22
3
A resposta depende 
da calculadora utilizada.
 12 Usando uma calculadora, faça o que se pede.
a) Escreva o número que aparece no visor 
após apertar estas teclas: 3,66666...
b) Reserve esse resultado na memória aditiva, 
apertando a tecla M� .
c) Escreva o número que aparece no visor 
após apertar estas teclas: 1,66666...
d) Para subtrair o resultado do item c do re-
sultado do item a, basta apertar as teclas 
M� da memória subtrativa e MRC , que 
recupera o último resultado da memória. 
Escreva o número que aparece no visor. 2
e) Efetue 9
20
9
47
2 e, em seguida, com uma 
calculadora, confira o resultado. 23
f) Calcule o valor da expressão: 
 5,222… 2 2,222… 3 IL
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 9 Represente cada fração na forma decimal.
a) 5
2 0,4 c) 3
11 3,666... e) 90
11
2
b) 
6
5 d) 
8
45
2 25,625 f) 
25
52
0,8333...
20,1222...
2,08
0,13636...2 23 4 5
3 93 4 5
5 91 4 5
18
Da forma decimal 
para a forma de 
fração
Esta página pode ser traba-
lhada com os alunos organi-
zados em duplas. Algumas 
duplas podem fazer a leitura 
do 1o caso, enquanto outras 
leem o 2o caso. Depois, sor-
teie um aluno do grupo de 
duplas que trabalhou com 
um dos casos e outro do gru-
po do outro caso para irem à 
lousa explicar o que foi dis-
cutido em sua dupla. Nesse 
momento, as demais duplas 
que exploraram o caso apre-
sentado podem ajudar na 
explicação do colega.
Em seguida, proponha ati-
vidades a cada dupla, re-
lativas ao caso que não foi 
trabalhado, para determina-
rem a forma fracionária de 
números racionais dados na 
forma decimal pelo processo 
explicado na lousa. 
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes 
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
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18 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
2o caso: Quando o número tem infinitas casas decimais, como o número 0,55555…, proce-
demos do seguinte modo.
 � Primeiro, chamamos o número 0,55555… de x, obtendo a igualdade:
x 5 0,55555…
 � Em seguida, multiplicamos os dois membros por 10, chegando a uma nova igualdade:
10x 5 5,5555…
 � E, finalmente, subtraímos a primeira igualdade da segunda, membro a membro, obtendo:Logo: 0,55555... 5 9
5
Nesse caso, os dois membros da primeira igualdade foram multiplicados por 10. De modo 
geral, eles devem ser multiplicados por uma potência de 10 conveniente (10, 100, 1.000, …), 
a fim de se deslocar a vírgula para a direita do primeiro período.
10x 2 x 5 5,555… 2 0,555…
9x 5 5
x
9
9
9
5
5
x 9
5
5
Note no segundo membro 
da equação que, ao multiplicar 
0,55555 por 10, a vírgula se 
deslocou para a direita do 
primeiro período. Assim, a parte 
decimal permaneceu a mesma.
Da forma decimal para a forma de fração
Já trabalhamos com a transformação de um número escrito na forma de fração para a forma 
decimal. Para isso, basta efetuar o algoritmo da divisão, como neste exemplo.
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S
Agora, vamos ver como transformar um número na forma decimal para a forma de fração.
1o caso: Quando o número tem finitas casas decimais, a leitura dele fornece uma boa indi-
cação de como expressá-lo na forma de fração.
Veja alguns exemplos.
a) 0,2 5 dois décimos 5 10
2
leitura
um zero
uma casa decimal
b) 5,325 5 cinco inteiros, trezentos e vinte e cinco milésimos 5 .5 1 000
325 
leitura
três casas decimais três zeros
10
0
5
0,25
1 5 1 9 5 5 0,2
19BIMESTRE 1
Orientações
Reproduza o exemplo na 
lousa, explorando os passos 
com os alunos. Peça a eles 
que antecipem o que deve 
ser feito e por quê. A justifi-
cativa do processo mostra o 
grau de entendimento que 
os alunos têm do procedi-
mento.
Sugestão de leitura
Para enriquecer o trabalho com 
frações geratrizes, sugerimos:
<http://matematicamentecontando.
blogspot.com/2010/04/fracao-
geratriz-e-uma-pergunta-0999-e.
html>. Acesso em: 20 ago. 2018.
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98
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19CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
Logo: 2,3737... 5 99
235
100x 2 x 5 237,3737... 2 2,3737...
99x 5 235
x
99
99
99
235
5
x 99
235
5
 � Subtraindo a primeira igualdade da segunda, membro a membro, temos:
Note no segundo membro que, 
ao multiplicar 2,373737 por 100, a 
vírgula se deslocou para a direita 
do primeiro período. Assim, a parte 
decimal permaneceu a mesma.
A fração irredutível 
que gera uma dízima 
periódica é chamada de 
fração geratriz.
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Veja outro exemplo com o número 2,373737…
 � Chamando 2,373737… de x, obtemos a igualdade x 5 2,373737…
 � Multiplicando os dois membros dessa igualdade por 100, obtemos uma nova igualdade: 
100x 5 237,3737…
Agora, veja o caso da dízima composta 6,8424242... com um algarismo (8) após a vírgula, 
além do período 42.
 � A partir da igualdade x 5 6,8424242... devemos obter duas outras igualdades em que, no 
segundo membro, as partes decimais sejam iguais. Dessa forma, na subtração de uma 
pela outra, essas partes decimais se anulam. 
 � Como há um algarismo (8) após a vírgula que não faz parte do período, multiplicamos 
ambos os membros por 10 e depois por 1.000: 
10x 5 68,424242... e 1.000x 5 6842,424242...
 � Subtraindo a primeira igualdade da segunda, membro a membro, temos: 
 1.000x 2 10x 5 6.842,424242... 2 68,424242...
 990x 5 6.842 2 68 5 6.774
 990x 5 6.774
 x 5 .
990
6 774 
 x 5 .
165
1 129 fração geratriz
Portanto, temos: 6,8424242... 5 .
165
1 129 .
As partes decimais 
são iguais e 
se anulam.
http://matematicamentecontando.blogspot.com/2010/04/fracao-geratriz-e-uma-pergunta-0999-e.html
http://matematicamentecontando.blogspot.com/2010/04/fracao-geratriz-e-uma-pergunta-0999-e.html
http://matematicamentecontando.blogspot.com/2010/04/fracao-geratriz-e-uma-pergunta-0999-e.html
http://matematicamentecontando.blogspot.com/2010/04/fracao-geratriz-e-uma-pergunta-0999-e.html
http://matematicamentecontando.blogspot.com/2010/04/fracao-geratriz-e-uma-pergunta-0999-e.html
20
Exercícios propostos
No exercício 16, comente 
com os alunos o significado 
de números primos entre si: 
aqueles cujo máximo divi-
sor comum é 1, ou seja, não 
há fatores primos comuns a 
esse grupo de números. Se-
gue uma possível resolução 
desse exercício:
• Note que se x 
y
 5 2,555..., 
x 
y
 é uma geratriz da dízi-
ma 2,555... . 
• Além disso, como x e y são 
primos entre si, a fração x 
y
 
é irredutível, ou seja, não 
pode ser simplificada.
• Assim, para determinar x e 
y, precisamos determinar a 
fração geratriz irredutível 
dessa dízima. Fazendo:
2,555... 5 a, temos:
a 5 2,555... 
10a 5 25,555...
10a 2 a 5 
5 25,555... 2 2,555...
9a 5 23
a 5 23 
9
 (que é uma fração 
irredutível)
• Logo, x 5 23 e y 5 9.
Pense mais um 
pouco...
Aparentemente despreten-
siosa, a seção tem um aspec-
to interessante e lúdico que 
pode ser explorado: o nú-
mero de ouro (1,618033...) 
e a sequência de Fibonacci. 
A sequência de expressões 
dada converge para o nú-
mero de ouro. Apresen-
te também aos alunos a 
sequência de Fibonacci (1, 1, 
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 
...) e mostre que o valor de 
cada expressão é uma fra-
ção cujo numerador e deno-
minador são números conse-
cutivos dessa sequência: 
3 
2
, 5 
3
, 8 
5
, 13 
8
, ...
Sugestão de leitura
Um bom livro para consulta sobre o 
assunto é:
LIVIO, Mario. Razão áurea. Rio de 
Janeiro/São Paulo: Record, 2007. 
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20 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
 16 Dividindo um número x por um número y, 
obtém-se 2,555… Determine o valor de x e 
de y, sabendo que eles são números primos 
entre si. x 5 23 e y 5 9
 17 Hora de criar – Escreva o número 7 como:
a) a soma de dois números racionais na forma 
de fração;
b) a diferença de dois números racionais na 
forma decimal, cada um com duas casas 
decimais;
c) a soma de duas dízimas periódicas.
 18 Em uma caixa, há sete bolas numeradas de 
1 a 7. Márcio retira três bolas consecutivas, 
sem recolocá-las na caixa, para representar 
um número A. O número retirado na primeira 
bola representará as unidades de A; o número 
da segunda bola representará os décimos de 
A; e o da terceira bola, os centésimos.
a) Márcio retirou os números 6, 4 e 2, nessa 
ordem. Qual é o número A formado nesse 
caso? Indique-o por uma fração irredutível.
b) Se, em seguida, Márcio retirar mais três 
bolas, qual é o maior número A possível que 
poderá ser formado com a retirada dessas 
bolas? E o menor? 7,53; 1,35
A
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 13 Escreva as frações irredutíveis que represen-
tam: o número 0,36, o número 0,04 e a adição 
0,36 1 0,04. ; ;
25
9
2
1
5
2
5
 14 Expresse os números abaixo na forma de fração.
a) 3,444… 9
31
b) ,12 52 
9
113
2
c) ,0 45 
11
5
d) 20,31222... 
900
281
2
 15 Determine a fração irredutível que representa 
o valor de cada expressão a seguir.
a) , ,0 2 0 31 15
8
 
b) , ,0 27 2 31 
18
47
c) , ,0 38 1 451 
45
83
d) , 81 8
17
2 
9
2
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
respostas possíveis: a) 
2
13
2
1
1 ; b) 9,42 2 2,42; c) , ,4 8 2 11
6,42; 
50
321
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Observe as expressões abaixo.
Calcule o valor das expressões dadas e, seguindo o padrão, escreva a quarta expressão e calcule 
seu valor.
1
2
1
1 1
1 2
1
1
1
1
1
1
1 2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 2
1
1
1
1
8
13
1
1
1
1
5
2
3
3
5 5
8
Habilidades trabalhadas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
21BIMESTRE 1
Para saber mais
A seção explora a sequência 
de Fibonacci. A questão 3 
do Agora é com você! pro-
picia aos alunos ligar a se-
quência ao número de ouro, 
ampliando o trabalho da se-
ção Pense mais um pouco... 
anterior.
Se julgar conveniente, peça 
previamente aos alunos que 
pesquisem sobre a sequên-
cia de Fibonacci e suas apli-
cações, o que poderá contri-buir com o desenvolvimento 
dessa seção na sala de aula.
Sugestões de leitura
Para enriquecer seu trabalho, 
sugerimos também:
<http://www.rc.unesp.br/biosferas/
Art0075.html>;
<ht tp : / /www.ue l .b r / c ce /mat /
geometrica/artigos/ST-15-TC.pdf>. 
Acessos em: 20 ago. 2018.
Um homem pôs um par de coelhos em um lugar cercado por todos os lados por um muro. 
Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir deste par em um ano se, supostamente, todo 
mês cada par dá à luz um novo par, que é fértil a partir do segundo mês? 
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21CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
O problema dos coelhos de Fibonacci e o número áureo
Leonardo de Pisa (c. 1170-1240), conhecido como Fibonacci, publicou em 1202 o famoso 
livro Liber Abaci (Livro do ábaco), em que explicou a notação indo-arábica que usamos hoje.
No capítulo XII, ele propôs o seguinte problema, que originou a sequência de Fibonacci:
O que nos interessa apresentar aqui é a sequência de Fibonacci. Por isso, vamos apenas 
iniciar a resolução dos primeiros passos do problema. 
Observe a figura na qual um coelho grande representa um par de coelhos maduros (fér-
teis) e um coelho pequeno representa um par de coelhos jovens (que não procriam).
• Vamos começar com um par de coelhos jovens.
• Esse par amadurece durante o 1o mês. 
• Após o 1o mês, o 1o par dá à luz outro par, assim 
ficamos com 2 pares.
• Após o 2o mês, o par maduro dá à luz outro par 
jovem, enquanto o par de filhotes amadurece. 
Assim ficam 3 pares.
• Após o 3o mês, cada um dos 2 pares maduros dá 
à luz outro par, e o par de filhotes amadurece. 
Temos agora 5 pares.
• Após o 4o mês, cada um dos 3 pares maduros dá 
à luz outro par, e os 2 pares de filhotes crescem. 
Agora temos 8 pares.
• Após o 5o mês, temos 1 par de filhotes de cada 
um dos 5 pares adultos, mais 3 pares crescendo. 
Total: 13 pares.
PARA SABER MAIS
Já podemos observar a sequência de números de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... 
Dados obtidos em: LIVIO, Mario. Razão áurea. 3. ed. Rio de Janeiro: Record, 2008. p. 116.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
 1 Compare a soma de dois números consecutivos da sequência com o número seguinte.
 2 Quais são os próximos quatro números da sequência? 
 3 Com os onze números (n1, n2, n3, n4, ...) da sequência agora conhecidos, calcule a razão de um 
número pelo termo anterior com aproximação até a terceira casa após a vírgula. Consulte a 
abertura do capítulo e diga de qual número os quocientes obtidos se aproximam.
Espera-se que o aluno obtenha 21, 34, 
55 e 89.
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amadurece 
procria 
n
n
1
2 5 1,000; n
n
2
3 5 2,000; n
n
3
4 5 1,500; n
n
4
5 5 1,667; n
n
5
6 5 1,600; n
n
6
7 5 1,625; n
n
7
8 5 1,615; n
n
8
9 5 1,619; 
n
n
9
10 5 1,618; n
n1
10
1 5 1,618. Aproximam-se do número áureo.
Espera-se que o aluno perceba que a soma é igual ao próximo número da sequência.
Agora é com você!
Habilidade trabalhada: (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e 
não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.
http://www.rc.unesp.br/biosferas/Art0075.html
http://www.rc.unesp.br/biosferas/Art0075.html
http://www.uel.br/cce/mat/geometrica/artigos/ST-15-TC.pdf
http://www.uel.br/cce/mat/geometrica/artigos/ST-15-TC.pdf
22
Trabalhando a 
informação
A seção trata da análise e 
interpretação de textos vei-
culados pela imprensa, que 
constituem habilidades es-
senciais para o exercício ple-
no da cidadania.
Explore os elementos desta-
cados na reportagem. Res-
salte a inserção de imagens 
e gráficos (entre outros ele-
mentos) tão comum nesses 
textos, que também podem 
ser usados para comunicar 
as informações. Outro ele-
mento frequente nessas no-
tícias são as porcentagens. 
Saber interpretá-las e lidar 
com elas é outra habilidade 
fundamental.
Leia o texto com os alunos e 
pergunte: “Por que essa dis-
crepância tão grande entre 
os índices porcentuais que 
indicam a elevação do preço 
das tarifas?”.
Interprete com eles o gráfi-
co de colunas duplas. Como 
obter esses “19 pontos 
porcentuais acumulados”? 
Qual o seu significado? Em 
princípio, os alunos podem 
pensar em adicionar as por-
centagens de cada órgão e 
determinar a diferença. Dei-
xe que eles verifiquem isso, 
com o auxílio de uma calcu-
ladora, e observem que não 
obtêm a diferença de “19 
pontos”.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes 
fracionários. 
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações. 
(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a 
determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Aeroporto Internacional de Guarulhos (São Paulo). (Foto de 2017.)
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22 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
Analisando uma reportagem com porcentagens múltiplas
A imprensa independente e livre é muito importante para a construção de uma sociedade de-
mocrática e justa. Porém, esse papel vai além da elaboração e divulgação de matérias jornalísticas. 
Ele só se completa quando o receptor compreende a informação.
Essa compreensão se dá com uma leitura atenta de todas as formas que um jornalista usa 
para veicular a notícia (texto, foto, ilustração, tabela, gráfico etc.). Além de compará-la com outras 
fontes sobre o mesmo tema, é preciso analisar a sua coerência interna, se uma das formas citadas 
não contradiz outra.
E a Matemática 
ajuda a 
compreender uma 
notícia de jornal?
Sim. A seguir, 
vamos analisar uma 
matéria veiculada em 
um site da internet.
Ao contrário do que se esperava quando a Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) permitiu que as com-
panhias aéreas passassem a vender passagens que não dão direito a despachar bagagem, o preço das tarifas 
tem subido desde que as empresas começaram a adotar a prática. Entre junho e setembro, essa alta chegou a 
35,9%, segundo dados da FGV. De acordo com levantamento do IBGE, entretanto, a elevação foi mais mo-
derada, de 16,9%. [...]
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Após cobrança por bagagem, preço das passagens aéreas sobe no País
Título
Texto
De acordo com índice de preços da FGV, tarifas aumentaram 35,9% entre junho e setembro; dados do IBGE 
indicam alta de 16,9%; Ministério da Justiça vai averiguar pesquisa da Abear que mostra queda nos valores
Subtítulo
23BIMESTRE 1
Orientações
Reproduza na lousa o cál-
culo de um aumento de 
6,9% e de um decréscimo de 
15,2%. Discuta com eles a 
porcentagem que se obtém 
de cada valor inicial em re-
lação ao montante. No caso 
do acréscimo, esse montan-
te deve ser uma porcenta-
gem maior do que 100% 
(ou na forma decimal, deve 
ser maior do que 1). No caso 
do decréscimo, o montante 
corresponde a uma parte 
menor do que o valor inicial, 
ou seja, uma porcentagem 
menor do que 100% (ou um 
valor menor do que 1). Espe-
ra-se que eles compreendam 
também que o percentual 
negativo indica que houve 
um decréscimo.
Desse modo, peça aos alu-
nos que mostrem como ob-
ter o percentual relativo ao 
montante de cada mês e re-
gistrá-los na forma decimal, 
obtendo os fatores do pro-
duto indicado para fornecer 
o percentual acumulado de 
junho a setembro. Assim, 
no caso do IBGE, eles devem 
compreender que:
• em junho houve acréscimo 
de 6,9%, ou seja, 0,069, 
que significa que deverão 
obter índice maior do que 
1 (ou um percentualmaior 
do que 100%): 1,069;
• em julho houve acréscimo 
de 5,7%, o que significa 
que também deverão ob-
ter índice maior do que 1, 
isto é: 1,057;
• em agosto, o percentual 
215,2% indica que houve 
um decréscimo de 15,2%, 
o que significa que deve-
rão obter índice menor 
do que 1, isto é: 0,848 
(1 2 0,152);
• em setembro houve acrés-
cimo de 21,9%, o que sig-
nifica que deverão obter 
índice maior do que 1, isto 
é: 1,219.
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23CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
Os números da FGV e do IBGE, 
porém, mostram queda apenas em 
agosto, de 2,07% e 15,16%, respecti-
vamente. A divergência de 13 pon-
tos porcentuais entre os índices de 
agosto revela a complexidade que 
as enti dades enfrentam para cal-
cular o preço médio das passagens 
e as diferentes metodologias ado-
tadas por cada uma – é também 
sobre a metodologia adotada que 
o Ministério da Justiça questionou 
a Abear. [...]
Como vemos, o próprio texto se encarrega de explicar que há divergência por conta de diferentes 
metodologias adotadas pela Fundação Getúlio Vargas (FGV) e pelo Instituto Brasileiro de Geografia 
e Estatística (IBGE). Afora essa questão, podemos analisar se, para cada uma dessas instituições, 
a porcentagem total é coerente com as porcentagens parciais.
Por exemplo, o IBGE diz que entre junho e setembro houve uma alta de 16,9%, para as variações 
percentuais mensais e sucessivas de 16,9%, 15,7%, 215,2% e 121,9%.
Sabemos que um aumento de 6,9% sobre um valor x leva a um novo valor (montante) igual a 
(100% 1 6,9%)x = (106,9%)x = 1,069x
E que um decréscimo de 15,2% sobre um valor y leva a um novo valor (montante) igual a 
(100% 2 15,2%)y = (84,8%)y = 0,848y
Para saber a variação referente aos dois primeiros meses, basta multiplicar 1,069 por 1,057 e 
temos aproximadamente 
1,13 = 1 1 0,13 = 100% 1 13%,
ou seja, as altas sucessivas de 6,9% e 5,7% representam uma alta de 13%.
Logo, para os quatro meses, calculamos: 
1,069 8 1,057 8 0,848 8 1,219 = 1,168 = 100% 1 16,8%
Comparando o nosso resultado aproximado 16,8% com o total 16,9% dado no subtítulo, pode-
mos considerar a matéria como sendo coerente.
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Agora quem trabalha é você!
Verifique se há coerência entre o total divulgado pela FGV com as variações entre junho e setembro de 
2017. 35,8% é próximo de 35,9%; logo, os dados da FGV são coerentes
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Gráfico Texto
Divergentes
Diferença entre índices de preços de passagens chega a 19 pontos 
porcentuais no acumulado de junho a setembro
Fonte: DYNIEWICZ, Luciana. Após cobrança por bagagem, preço das passagens aéreas sobe no País. Estadão, 
12 out. 2017. Disponível em: <http://economia.estadao.com.br/noticias/geral,apos-cobranca-por-bagagem-
preco-das-passagens-aereas-sobe-no-pais,70002041735>. Acesso em: 05 maio 2018.
FONTES: IBGE E FGV INFOGRÁFICOS/ESTADÃO
Inflação das passagens
IBGE
FGV
EM PORCENTAGEM
6,9 5,7
JUNHO JULHO AGOSTO SETEMBRO
–15,2
21,9
13,0
8,8
–2,1
12,8
http://economia.estadao.com.br/noticias/geral,apos-cobranca-por-bagagem-preco-das-passagens-aereas-sobe-no-pais,70002041735
http://economia.estadao.com.br/noticias/geral,apos-cobranca-por-bagagem-preco-das-passagens-aereas-sobe-no-pais,70002041735
24
Números quadrados 
perfeitos
Retome com os alunos a no-
ção de quadrado perfeito 
e a fatoração de números 
naturais. Para decidir se um 
número é ou não quadrado 
perfeito, eles devem com-
preender que o algarismo 
das unidades do número 
pode dar pistas. Ressalte 
que:
12 5 1 62 5 36
22 5 4 72 5 49
32 5 9 82 5 64
42 5 16 92 5 81
52 5 25 102 5 100
Assim, um número quadra-
do perfeito só pode termi-
nar em 1, 4, 9, 6, 5 e zero. 
Os quadrados perfeitos com 
final:
• 1 se obtêm apenas com ba-
ses terminadas em 1 ou 9 
(12 5 1 e 92 5 81);
• 4, apenas com bases termi-
nadas em 2 ou 8 (22 5 4 e 
82 5 64);
• 5, apenas com bases termi-
nadas em 5 (52 5 25);
• 6, apenas com bases termi-
nadas em 4 ou 6 (42 5 16 e 
62 5 36);
• 9, apenas com bases termi-
nadas em 3 ou 7 (32 5 9 e 
72 5 49);
• zero, além do próprio 
zero, são potências de 
base 10 com expoente par: 
100 5 102, 10.000 5 (100)2 
etc., ou são produtos de 
quadrados perfeitos por 
essas potências de base 10: 
900 5 9 8 100; 
160.000 5 16 8 10.000 etc.
Também é importante reco-
nhecerem os quadrados per-
feitos de 1 a 100: 1, 4, 9, 16, 
25, 36, 49, 64, 81 e 100. A 
identificação de quadrados 
perfeitos ou dos mais próxi-
mos de um número natural 
dado é a base para o cálculo 
de raízes quadradas.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários. 
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações. 
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24 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
2 Números quadrados perfeitos
Se um número natural é a segunda potência de outro número natural, ele é chamado de 
quadrado perfeito. Então, um quadrado perfeito pode ser escrito como quadrado de outro 
número natural.
Observe alguns exemplos.
a) 4 é quadrado perfeito, pois 4 5 22.
b) 81 é quadrado perfeito, pois 81 5 92.
O número 32 não é quadrado perfeito, pois ele não é quadrado de nenhum número natural. 
Observe que 32 está entre dois quadrados perfeitos:
25 , 32 , 36,
em que 25 5 52, 36 5 62, e entre 5 e 6 não há nenhum número natural.
Assim, é muito simples produzir quadrados perfeitos; basta escolher um número natural 
e elevá-lo ao quadrado. Por exemplo, 12 é um número natural; então, 122 5 144, que é um 
quadrado perfeito.
Veja o que acontece quando decompomos 12 e 144 em fatores primos.
Observe que 144 tem o dobro de fatores primos de 12:
 � 12 tem 2 fatores iguais a 2 e 1 fator igual a 3;
 � 144 tem 4 fatores iguais a 2 e 2 fatores iguais a 3. 
Podemos verificar se um número é quadrado perfeito decompondo-o em fatores primos e 
verificando se a quantidade de cada um desses fatores é par.
Note que todos os expoentes dos fatores são pares. Então, 324 é um quadrado perfeito.
12
6
3
1
2
2
3
2 fatores iguais a 2
1 fator igual a 3
144
72
36
18
9
3
1
2
2
2
2
3
3
4 fatores iguais a 2
2 fatores iguais a 3
O número 324 é 
quadrado perfeito?
Vamos verificar. Decompondo 324 
em fatores primos, temos:
324 5 22 8 34
324
162
81
27
9
3
1
2
2
3
3
3
3
2 fatores iguais a 2
4 fatores iguais a 3
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25BIMESTRE 1
Orientações
Explore com os alunos a de-
composição em fatores pri-
mos como mais um processo 
de reconhecimento de qua-
drados perfeitos, principal-
mente para números maio-
res que 100.
A associação de um núme-
ro quadrado perfeito com 
a possibilidade de obter 
um quadrado com a mes-
ma quantidade de quadra-
dinhos dá significado ao 
aprendizado desse tema. 
Forneça malhas quadricula-
das e peça aos alunos que 
representem os quadrados 
perfeitos de 1 a 100 pelo 
respectivo quadrado que 
pode ser formado.
Exercícios propostos
O exercício 21, ao propor 
aos alunos que imaginem 
uma figura e apliquem a 
reversibilidade da potencia-
ção, antecipa o cálculo da 
raiz quadrada que será visto 
a seguir.
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25CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
Veja como podemos encontrar o número que gerou o quadrado perfeito 324:
324 5 22 8 34 5 22 8 (32)2 5 (2 8 32)2 5 182
Então, podemos dizer que 324 é quadrado perfeito, porque existe o número natural 18, que 
elevado ao quadrado resulta em 324.
Note que 72 tem um número ímpar de fatores iguais a 2. Então, 72 não é um quadrado 
perfeito.
Podemos representar geometricamente um número quadrado perfeito. Por exemplo,com 
36 quadradinhos iguais é possível formar um quadrado maior, porque 36 é um número qua-
drado perfeito.
E o número 72, é 
quadrado perfeito?
Vamos verificar. Decompondo 
72 em fatores primos, temos:
ímpar
72 5 23 8 32
72
36
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9
3
1
2
2
2
3
3
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Veja que, com 8 quadradinhos iguais, não é possível formar um quadrado maior, pois 8 não 
é quadrado perfeito.
6 linhas
6 quadradinhos em cada linha
total de quadradinhos: 6 8 6 5 6 2 5 36
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 19 Determine os quadrados perfeitos entre 100 
e 200. 121, 144, 169 e 196
 20 Efetuando a decomposição em fatores primos, 
verifique entre os números a seguir quais são 
quadrados perfeitos. alternativas a, c, e, f
 21 Com 144 quadradinhos iguais e justapostos, 
Fernando pode cons truir um quadrado maior. 
Quantos quadradinhos há em cada linha desse 
novo quadrado? 12 quadradinhos
a) 225
b) 360
c) 441
d) 480
e) 576
f) 784
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26
Exercícios propostos
No exercício 23, proponha 
outros grupos de números: 
333, 333, (33)3 e 333.
Nesse caso, nenhum deles é 
quadrado perfeito porque 
não há como expressá-los 
como uma potência de ex-
poente 2:
• 333 tem final 3, logo não é 
quadrado perfeito;
• 333 5 (3 8 11)3 não dá para 
ser expresso como potên-
cia de expoente 2;
• (33)3 5 39 5 38 8 3 não dá 
para ser expresso como po-
tência de expoente 2 por 
causa do fator 3;
• 333 5 33 8 11 não dá para ser 
expresso como potência de 
expoente 2.
Raiz quadrada de 
números racionais 
não negativos
Estendemos a relação de po-
tências de expoente 2 com a 
formação de quadrados para 
bases racionais positivas, asso-
ciando agora à noção de área 
do quadrado. 
Inicialmente, retome com 
os alunos o cálculo de raízes 
quadradas exatas de núme-
ros inteiros não negativos, 
usando como base o que foi 
visto anteriormente sobre 
os quadrados perfeitos. Por 
exemplo:
• 144 é um quadrado perfei-
to porque 122 5 144; então, 
podemos dizer que a raiz 
quadrada de 144 é 12, isto 
é, o número que elevado ao 
quadrado resulta em 144 é 
o 12.
• 200 não é um quadrado 
perfeito (200 5 2 8 100, 
mas 2 não é quadrado per-
feito). Isso significa que 
não há número natural 
que elevado ao quadrado 
dê 200, ou seja, 200 não 
tem raiz quadrada exata.
• 400 é quadrado perfei-
to, pois é 4 8 100, ou seja, 
pode ser expresso por 
(2 8 10)2. Isso significa que 
o número 20 elevado ao 
quadrado resulta em 400; 
então, podemos dizer que 
a raiz quadrada de 400 é 
20, isto é, o número que 
elevado ao quadrado re-
sulta em 400 é o 20.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes 
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
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26 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
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Com três algarismos iguais a 2, obtemos os 
números:
Agora, respondam:
a) Qual é o maior desses números?
b) Quais destes números são quadrados 
perfeitos: 222, (22)2 ou 222? Justifiquem a 
resposta.
 24 Hora de criar – Troque com um colega um 
problema, criado por vocês, sobre quadrados 
perfeitos. Depois de cada um resolver o pro-
blema elaborado pelo outro, destroquem para 
corrigi-los. Resposta pessoal.
 22 Com quantos quadradinhos iguais posso cons-
truir um quadrado maior que tenha 8 quadra-
dinhos justapostos em cada linha?
 23 Junte-se a um colega e leiam o texto a seguir. 
Vamos usar três algarismos iguais para formar 
alguns números. A única operação que pode 
ser utilizada é a potenciação. Ao usar três al-
garismos iguais a 1, obtemos os números:
3 Raiz quadrada de números racionais 
não negativos
Quando calculamos o quadrado de um número natural, estamos determinando um número 
quadrado perfeito. Por exemplo:
152 5 225
Nesse caso, podemos dizer:
 � 225 é o quadrado de 15;
 � 15 é a raiz quadrada de 225, que indicamos da seguinte maneira: 15 5 225
Isso ocorre com qualquer número racional não negativo. Observe alguns exemplos.
b) ,1 44 5 1,2, pois (1,2)2 5 1,44 
c) 132 5 169; então, 13 5 169
222 222
222^22h2
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
a) 5
2
25
4
5
2
e o 25
4 é o quadrado de 5
2
5
2 é a raiz quadrada de 25
4 , isto é, 25
4
5
2
5
É fácil verificar que o maior desses números 
é 111, pois (11)1 5 11 5 1; 111 5 11 e 111 5 1.
111
111
^11h1
111
Da mesma maneira que representamos os números quadrados perfeitos pela quanti dade de 
quadradinhos que formam um quadrado maior, também podemos relacionar o quadrado de um 
número racional não negativo à área de uma região quadrada cujo lado tem a medida repre-
sentada por esse número (em determinada unidade de medida).
64 quadradinhos
222 5 4.194.304
Todos, pois 222 5 (211)2, (22)2 5 24 
e 222 já está na forma de quadrado perfeito.
27BIMESTRE 1
Orientações
Para o cálculo de raiz qua-
drada, podemos usar o 
procedimento de situar o 
número dado entre quadra-
dos perfeitos terminados 
em zero (para facilitar) e 
descobrir possibilidades de 
números para serem as raí-
zes. Calculando o quadrado 
dessas possíveis raízes, com-
provamos qual é o número 
procurado, caso ele exista 
(ou seja, se a raiz quadrada 
for exata). Por exemplo:
• Qual é a raiz quadrada de 
576? O problema se resu-
me a procurar um número 
que elevado ao quadrado 
dê 576.
Vamos situar o 576 entre 
dois quadrados perfeitos 
(terminados em zeros para 
facilitar):
400 , 576 , 900
 ^ ^
 202 302
Então, se a raiz quadrada 
de 576 for exata, ela é um 
número entre 20 e 30. Mas 
como 576 tem final 6, as 
únicas possibilidades de isso 
ocorrer é termos bases com 
final 4 ou 6, isto é, temos 
as possibilidades 24 ou 26. 
Como 400 é mais próximo 
de 576, vamos testar primei-
ro o 24: 24 8 24 5 576. Pode-
mos concluir que 24 elevado 
ao quadrado dá 576, isto é, 
a raiz quadrada de 576 é 24.
Comente com os alunos 
que, caso a raiz quadrada 
procurada seja de um núme-
ro racional positivo expresso 
na forma de fração, pode-
mos trabalhar com o nume-
rador e o denominador se-
paradamente para depois 
montar a fração que será a 
raiz quadrada procurada. Se 
esse número racional estiver 
expresso na forma decimal, 
fazemos sua representação 
na forma de fração e segui-
mos o que já foi exposto.
Sugestão de leitura
Sugerimos o vídeo a seguir para ampliar esse procedimento: 
<https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/calculando-raiz-quadrada-um-numero.htm>. Acesso em: 20 ago. 2018.
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27CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
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Uma região quadrada com área igual a 144 m2 tem o lado medindo 
12 m, pois 122 5 144.
Então, 12 5 144 .
Assim, para encontrar a medida c do lado de um quadrado, sabendo 
que sua área é A, basta encontrar a raiz quadrada de A.
c 5 A , pois c2 5 A
Acompanhe as situações a seguir.
 � No estudo que faremos, vamos sempre nos referir à área da região poligonal simplesmente 
por área do polígono. Por exemplo, a área de uma região quadrada será denominada área do 
quadrado.
Observação
Situação 1
A área de uma plantação, que tem a forma de um qua-
drado, é 256 m2. Para determinar a medida do lado dessa 
plantação, temos de encontrar 256 , pois c2 5 256.
Como o número c gera o quadrado perfeito 256, ele 
pode ser encontrado ao decompor 256 em fatores primos. 
Assim, podemos escrever:
Portanto, o lado da plantação mede 16 m.
256 5 28 5 (24)2 5 162
c
Situação 2
1 4 4 m2
1 2 m 
Cálculo da raiz quadrada pela decomposição 
em fatores primos
Já vimos que, para identificar um número quadradoperfeito, verificamos se ele tem uma 
quantidade par de cada um de seus fatores primos.
Isso também nos permite encontrar o número que gerou o quadrado perfeito. Esse número 
gerador é a raiz quadrada do quadrado perfeito dado. 
Veja um exemplo.
225 é quadrado perfeito, pois 225 5 32 8 52 5 (3 8 5)2 5 152
número par de fatores
Então, 225 5 152 e, portanto, 15 5 225 .
Esse procedimento constitui um meio de determinar a raiz quadrada de um número qua-
drado perfeito.
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/calculando-raiz-quadrada-um-numero.htm
28
Orientações
Apresente o procedimento 
da decomposição em fatores 
primos como outro modo 
de determinar as raízes qua-
dradas exatas de números 
racionais envolvidos. Por 
exemplo:
• 12
1 5 ?
Veja que 1 5 12 e 25 5 52. 
Assim, podemos concluir 
que 1 
25
 5 5
1 2` j . Logo:
25
1 5 1 
5
• ,0 2116 5 ?
Como o número racional 
está na forma decimal, va-
mos expressá-lo na forma de 
fração:
0,2116 5 2.116 
10.000
. Assim, 
precisamos procurar o nú-
mero que elevado ao qua-
drado resulta em 2.116 
10.000
. 
Sabemos que 10.000 5 (100)2. 
Então, precisamos decom-
por o número 2.116 como 
fatores primos e expressá-lo 
com uma potência de expo-
ente 2, se possível.
2.116 5 4 8 529 5 4 8 23 8 23 5 
5 2.116 5 22 8 232 5
5 (2 8 23)2 5 462
Fazendo a verificação, te-
mos: 
46 8 46 5 2.116 (pode ser fei-
to na calculadora)
Sendo assim, podemos con-
cluir que 2.116 
10.000
 5 100
46 2
c m . 
Logo:
,0 2116 5 .
.
10 000
2 116 5
5 46 
100
 5 0,46
Fazendo a verificação final: 
0,46 8 0,46 5 0,2116 (pode 
ser feito na calculadora)
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes 
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
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28 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
Agora, para dar mais um exemplo, vamos determinar 576 . Ao decompor 576 em fatores 
primos, obtemos:
576 5 26 8 32 5 (23 8 31)2 5 242
Como 576 5 242, concluímos que 576 5 24.
Observe que 24 decomposto em fatores primos (24 5 23 8 31) apresenta metade dos fatores 
primos de 576.
Assim, de modo prático, podemos dizer 
que, para extrair a raiz quadrada de números 
quadrados perfeitos, primeiro decompomos 
o número em fatores primos; em seguida, 
dividimos cada expoente por 2; e, finalmente, 
efetuamos a multiplicação obtida.
Veja mais alguns exemplos.
a) 8 8
625
36
5
2 3
5
2 3
25
6
5 55 4
2 2
2
b) 8 8
8 88, . ,12 96 100
1 296
2 5
2 3
2 5
2 3
10
4 9
10
36 3 65 5 5 5 5 52 2
4 4 2 2
Nesse caso, 
decompomos o numerador 
e o denominador em 
fatores primos e, em 
seguida, calculamos a raiz 
quadrada de cada um deles.
E para calcular 
a raiz quadrada 
de números 
fracionários?
 26 Extraia a raiz quadrada de cada número a 
seguir pela decomposição em fatores primos.
a) 256 16 d) 729 27
b) 196 14 e) 1.600 40
c) 484 22 f) 1.024 32
 25 Justifique cada igualdade abaixo.
a) ,0 64 5 0,8 (0,8)2 5 0,64
b) 82 30 21 5 25 8 3 (25 8 3)2 5 210 8 32
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
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 27 (Unirio-RJ) O valor de 
15 32 25 812 1 2 é: alternativa c
a) 1. c) 3. e) 5.
b) 2. d) 4.
 28 Um paliteiro de base quadrada tem a forma da 
figura abaixo. Sabendo que a soma das áreas 
das faces laterais do paliteiro é igual a 162 cm2 
e que a área de todas as faces é 202,5 cm2, 
determine a medida a do lado da base desse 
paliteiro. a 5 4,5 cm
a
Dizemos “extrair a raiz 
quadrada” porque, nesse 
procedimento, é como se 
extraíssemos do radical as 
bases das potências com 
expoente dois.
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29BIMESTRE 1
Exercícios propostos
O exercício 27 pode ser feito 
em duplas, pois a troca de 
experiências aumenta o re-
pertório de estratégias dos 
alunos. Comente que devem 
resolver primeiro as raízes 
quadradas. Assim, devem 
começar por 81 :
15 32 25 812 1 2 5
15 32 25 95 2 1 2 5
15 32 165 2 1 5
15 32 45 2 1 5
15 365 2 5
15 65 2 5
5 9 5 3 (alternativa c)
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29CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 30 Ivan vai construir uma pipa colorida na forma 
de quadrado. Para isso, ele recortou um qua-
drado de papel azul com área igual a 2.500 cm2, 
três quadrados de papel amarelo de área igual 
a 900 cm2 cada um, e dois retângulos de papel 
vermelho de 20 cm por 30 cm. Qual será a 
medida do lado dessa pipa? 80 cm
 29 Usando a decomposição em fatores primos, 
calcule a raiz quadrada de:
a) 
576
25 ; 
24
5 c) 
.1 225
64 ; 
35
8
b) 0,01; 0,1 d) 19,36. 4,4 N
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 31 O piso de um salão na forma de um quadrado 
é coberto com 10.800 lajotas retangulares de 
40 cm por 30 cm. Determine:
a) a área do salão; 1.296 m2
b) as dimensões do salão. 36 m por 36 m
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
Raiz quadrada aproximada
Os números quadrados perfeitos têm como raiz quadrada um número natural que ele va do 
ao quadrado reproduz o número dado.
Veja o que acontece quando queremos extrair a raiz quadrada de um número que não é 
quadrado perfeito. Para exemplificar, vamos calcular a raiz quadrada do número 31. 
O número 31 está compreendido entre os números quadrados perfeitos 25 e 36.
25 , 31 , 36
Então, 31 deve estar compreendida entre 25 e 36 .
25 31 36, ,
Como 25 5 5 e 36 5 6, temos:
5 31 6, ,
Dizemos, então, que:
 � 5 é a raiz quadrada aproximada por falta, a menos de uma unidade, do número 31;
 � 6 é a raiz quadrada aproximada por excesso, a menos de uma unidade, do número 31.
Em geral, considera-se raiz quadrada aproximada de um número não quadrado perfeito a raiz 
quadrada aproximada por falta, a menos de uma unidade. Indica-se que 5 é a raiz quadrada 
aproximada por falta de 31, escrevendo-se:
31 57
(Lemos: “a raiz quadrada do número trinta e um é aproximadamente igual a cinco”.)
 32 Considerando o número 110, responda.
a) Entre quais números quadrados perfeitos ele está compreendido? 100 e 121
b) A raiz quadrada desse número está com preendida entre quais números naturais? 10 e 11
c) Qual é a raiz quadrada por falta, a menos de uma unidade? 10
30
Exercícios propostos
O exercício 35, além do uso 
da calculadora, tem como 
objetivo o experimento da 
estimativa.
Apresentar métodos dife-
rentes para fazer cálculos ou 
resolver problemas é uma 
estratégia enriquecedora. 
Sugestão de leitura
Para um procedimento diferente que 
pode ser trabalhado com os alunos, 
veja o site:
<https://waldexifba.wordpress.
com/material-de-apoio/ensino-
medio/potenciacao-e-radiciacao/
ca l cu lo -de- ra i zes -quadradas -
aproximadas/>. Acesso em: 20 ago. 
2018.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja 
representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.
(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
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30 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
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Raiz quadrada com aproximação decimal
A seguir, vamos aprender a calcular a raiz quadrada de um número que não é quadrado 
perfeito com aproximação decimal.
Como exemplo, vamos considerar o número 2. Qual é o número racional que elevado ao 
quadrado resulta em 2? Veja.
1 não pode ser, pois 12 5 1
2 não pode ser, pois 22 5 4
Dessa forma, 2 é um número compreendido entre 1 e 2 1 2 2, ,` j.
Como não existe nenhum número inteirocujo quadrado dê 2, dizemos que 1 é a raiz qua-
drada aproximada do número 2.
Vamos procurar um número com uma casa decimal cujo quadrado seja mais próximo de 2.
(1,1)2 5 1,21 , 2
(1,2)2 5 1,44 , 2
(1,3)2 5 1,69 , 2
(1,4)2 5 1,96 , 2
(1,5)2 5 2,25 . 2
 33 Qual é o menor número natural que deve-
mos subtrair de 640 para obter um número 
quadrado perfeito? E qual é a raiz quadrada 
aproximada de 640 por falta, a menos de uma 
unidade? 15; 25
 34 No século XX, qual foi o único ano represen-
tado por um número quadrado perfeito? E no 
século XXI, qual será o ano? 1936; 2025
Como também não existe número com uma casa decimal cujo quadrado seja igual a 2, 
concluímos que 2 é um número compreendido entre 1,4 e 1,5.
Nesse caso, dizemos que a raiz quadrada aproximada do número 2 com uma casa decimal 
é igual a 1,4 e escrevemos 2 7 1,4.
 35 Faça estimativas para obter o valor aproxi-
mado de:
a) 51 q 7
b) 50 8 51 q 350
c) 200 8 51 q 1.400
Como você pode comprovar os resultados que 
obteve? resposta possível: 
com uma calculadora
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
21
2
1 < < 22
21
2
1 , 4 1 , 5
1, 4 , , 1 , 52
https://waldexifba.wordpress.com/material-de-apoio/ensino-medio/potenciacao-e-radiciacao/calculo-de-raizes-quadradas-aproximadas/
https://waldexifba.wordpress.com/material-de-apoio/ensino-medio/potenciacao-e-radiciacao/calculo-de-raizes-quadradas-aproximadas/
https://waldexifba.wordpress.com/material-de-apoio/ensino-medio/potenciacao-e-radiciacao/calculo-de-raizes-quadradas-aproximadas/
https://waldexifba.wordpress.com/material-de-apoio/ensino-medio/potenciacao-e-radiciacao/calculo-de-raizes-quadradas-aproximadas/
https://waldexifba.wordpress.com/material-de-apoio/ensino-medio/potenciacao-e-radiciacao/calculo-de-raizes-quadradas-aproximadas/
https://waldexifba.wordpress.com/material-de-apoio/ensino-medio/potenciacao-e-radiciacao/calculo-de-raizes-quadradas-aproximadas/
31BIMESTRE 1
Orientações
Reproduza os exemplos na 
lousa, destacando as etapas 
com os alunos. Verifique se 
eles compreendem os passos 
de cada etapa. 
Amplie o trabalho propon-
do outros exemplos. Depois, 
peça a alguns alunos que ve-
nham à lousa mostrar o pro-
cedimento que utilizaram. 
Incentive o uso de estraté-
gias próprias e a descrição 
do processo.
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31CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
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Vamos tentar uma aproximação maior, com duas casas decimais, para 2 .
(1,41)2 5 1,9881 , 2
(1,42)2 5 2,0164 . 2
Logo, 2 é um número compreendido entre 1,41 e 1,42.
Então, podemos dizer que a raiz quadrada aproximada do número 2 com duas casas deci-
mais é igual a 1,41 e escrevemos 2 7 1,41.
Se prosseguirmos, encontraremos a raiz quadrada aproximada de 2 com quantas casas 
decimais desejarmos, sem, entretanto, encontrar um número decimal cujo quadrado dê 2.
Veja outros exemplos.
a) Calcule a raiz quadrada do número 58 com duas casas decimais.
 Assim, a raiz quadrada de 58 com duas casas decimais é 7,61. Escrevemos 58 7 7,61.
 7 é a raiz quadrada aproximada de 58.
 7,6 é a raiz quadrada aproximada com uma casa decimal do número 58.
21
1 , 4 1 1 , 4 2
2
1, 41 , , 1 , 4 22
72 5 49 , 58
82 5 64 . 58
Então, 7 , 58 , 8.
(7,61)2 5 57,9121 , 58
(7,62)2 5 58,0644 . 58
Então, 7,61 , 58 , 7,62.
(7,1)2 5 50,41 , 58
(7,2)2 5 51,84 , 58
(7,5)2 5 56,25 , 58
(7,6)2 5 57,76 , 58
(7,7)2 5 59,29 . 58
Então, 7,6 , 58 , 7,7.
b) Calcule a raiz quadrada do número 7,2 com uma casa decimal.
 O número 7,2 está compreendido entre os quadrados perfeitos 4 e 9. Então:
 ,4 7 2 9, , , ou seja, 2 , ,7 2 , 3
 A raiz quadrada de 7,2 é um número compreendido entre 2 e 3.
 Vamos começar testando 2,5.
 (2,5)2 5 6,25 , 7,2
 (2,6)2 5 6,76 , 7,2
 (2,7)2 5 7,29 . 7,2
 Assim, a raiz quadrada do número 7,2 com uma casa decimal é 2,6. Escrevemos ,7 2 7 2,6.
32
Exercícios propostos
Neste bloco, espera-se que 
os alunos mobilizem os co-
nhecimentos construídos 
acerca de raiz quadrada 
aproximada. Ele pode ser 
proposto para os alunos re-
solverem em duplas. Sociali-
ze as diferentes estratégias 
que surgirem. 
Os exercícios 41 e 42 pro-
põem o udo da calculadora 
como instrumento de pes-
quisa e de validação de re-
sultados.
Pense mais um 
pouco...
Nesta seção, incentive os 
alunos a obterem o resul-
tado apenas com base na 
observação da igualdade 
informada, sem efetuar ou-
tros cálculos. Espera-se que 
eles percebam (mentalmen-
te) que:
• como 745,29 5 74.529 
100
 e 
.74 529 5 273, temos 
que: ,745 29 5 273 
10
 5 
5 27,3
• como 7.452.900 5 74.529 8 
8 100 e .74 529 5 273, 
temos que: . .7 452 900 5 
5 273 8 10 5 2.730
Números irracionais e 
números reais
Ainda nesta página, inicia-
mos a apresentação dos nú-
meros irracionais, por meio 
da análise da forma decimal 
de números com vírgula que 
não sejam dízimas periódicas.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja 
representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.
(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
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32 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
 36 Verifique se 1,7 pode ser considerado uma raiz 
aproximada de 3. sim
 37 Entre os números 3,87 e 3,88, qual deles se 
aproxima mais de 15 ? 3,87
 38 Qual é o número com uma casa decimal que 
representa a raiz quadrada aproximada de 265?
16,2
 39 Calcule a raiz quadrada aproximada com uma 
casa decimal de:
a) 572 23,9 c) 42,55 6,5
b) 28,19 5,3 d) 12,6 3,5
 40 Com uma calculadora, encontre a raiz quadra-
da aproximada com duas casas decimais de: 
a) 88 9,38 b) .8 800 93,80
 41 Com uma calculadora, mas sem usar a tecla 
, encontre a raiz quadrada aproximada com 
duas casas decimais:
a) 410 20,24
b) .1 715 41,41
c) .1 999 44,71
d) .3 500 59,16
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
4 Números irracionais e números reais
Considere o número 0,101112…
Observando a formação desse número, vamos supor que podemos dar continuidade à 
sua parte decimal do seguinte modo: 0,10111213…; 0,1011121314…; e assim por diante.
Como a representação decimal desse número tem infinitas casas decimais e não é pe rió-
di ca, não podemos obter sua forma de fração; logo, esse número não é racional.
Imagine que, para continuar escrevendo esse número, devemos acrescentar sempre um 
algarismo 5 aos grupos de 5 separados por 2:
0,525525552555525555525555552...
seis cincos
cinco cincos
 42 Agora, usando a tecla da calculadora, 
determine as raízes quadradas do exercício 
anterior e verifique se os resultados obtidos 
nele estão de acordo com os novos resultados.
c) . .6 000 000 e) .1 000 31,62
d) 6 2,44 f) .100 000 316,22
2.449,48
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Sabendo que 2732 = 74.529, calcule:
a) ,745 29 27,3 b) . .7 452 900 2.730
quatro cincos
três cincos
dois cincos
um cinco
Agora, veja este outro número: 0,52552555255552...
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33BIMESTRE 1
Orientações
Ressalte aos alunos que o 
conjunto dos números reais 
é composto de todos os nú-
meros racionais (incluindo-se 
aí todos os números inteiros) 
e por todos os números irra-
cionais. Por isso, não há nú-
mero racional que não seja 
número real, assim como 
não há número irracional 
que não seja número real; 
então todo número real ou 
é um número racional ou é 
um número irracional.
Para ampliar esse assun-
to, trabalhe com os alunos 
questões deste tipo:
• Cite um número inteiro 
que seja real e outro que 
não seja número real. 
Espera-se que os alunos 
percebam que qualquer 
número inteiro será um 
número real e que nãohá 
número inteiro que não 
seja também número real.
• Cite um número real que 
não seja inteiro. Neste 
caso, espera-se que os 
alunos percebam que há 
“muitos” números reais 
que não são inteiros. Po-
dem considerar qualquer 
número racional não in-
teiro (como 0,5 por exem-
plo) ou qualquer número 
irracional (como 5 , por 
exemplo).
• Cite um número real que 
não seja inteiro nem racio-
nal. Neste caso, os alunos 
devem perceber que somen-
te os números irracionais sa-
tisfazem essa condição.
• Cite um número real que 
não seja racional mas seja 
inteiro. Espera-se aqui que 
eles percebam que não 
existe um número real nes-
sas condições, já que todo 
número inteiro é também 
número racional.
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33CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
A representação desse número também não é decimal exata nem periódica. Portanto, esse 
número não pode ser escrito na forma de fração. Logo, não é um número racional.
Com esses exemplos, percebemos que existem números que não são representados nem 
por uma forma decimal exata (com um número finito de casas decimais), nem por uma dízima 
periódica. Portanto, não podem ser escritos na forma de fração, isto é, na forma 
b
a com a e b 
inteiros e b i 0; logo, não são números racionais. Esse tipo de número é chamado de número 
irracional.
Agora, veja a representação decimal dos números 2 e 3 com sete casas decimais.
2 7 1,4142135 e 3 7 1,7320508
Por maior que seja o número de casas decimais usadas para representar esses números, 
nunca vamos encontrar para eles uma representação decimal exata ou periódica. Portanto, 
não há frações que os representem. Por isso, dizemos que 2 e 3 são números irracionais. 
Também é irracional toda raiz quadrada de um número natural que não seja quadrado perfeito, 
assim como toda raiz quadrada de fração positiva irredutível cujo numerador e denominador 
não seja quadrado perfeito.
Além do número π, que já conhecemos do cálculo do comprimento da circunferência, e do 
número ò, visto na abertura deste capítulo, também são irracionais raízes cúbicas, quartas, 
quintas etc. cujos radicandos não podem ser escritos como potências de expoentes respec-
tivamente iguais a três, a quatro, a cinco etc.
Como exemplo de números irracionais, temos:
, , , , ,5 6 8
10
3 2 93 5
A união do conjunto dos números racionais (no qual estão contidos o conjunto dos números 
naturais e o conjunto dos números inteiros) com o conjunto dos números irracionais forma um 
novo conjunto chamado conjunto dos números reais, representado por R.
5 Reta real
Já vimos como representar números inteiros em uma reta.
025 24 23 22 21 1 2 3 4
20 , 5 021 1 1 , 51
8
— 1
4
— 1
2
—
Da mesma forma, vimos como representar números racionais em uma reta. Na reta abaixo, 
repre sen ta mos alguns números racionais.
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34
Orientações
A completude da reta real 
precisa ser compreendida 
pelos alunos. Trace uma reta 
numérica na lousa e pergun-
te: “Associando cada núme-
ro natural a um ponto dessa 
reta, sobram pontos sem as-
sociação?”. Espera-se que os 
alunos percebam que sim, 
pois há os números inteiros 
negativos que também po-
dem ser associados a pon-
tos da reta numérica e não 
estão contemplados no con-
junto dos números naturais.
Localize alguns números 
inteiros negativos na reta 
numérica desenhada e per-
gunte: “Associando cada 
número inteiro (o zero, os 
positivos e os negativos) a 
um ponto dessa reta, so-
bram pontos sem associa-
ção?”. Nesse caso, eles po-
dem perceber que sim ao 
recordar que também asso-
ciamos os números racionais 
não inteiros (como 1,5 e 
20,5) a pontos da reta nu-
mérica e esses números não 
estão contemplados no con-
junto dos números inteiros.
Localize, então, alguns nú-
meros racionais não intei-
ros (na forma de fração e 
na forma decimal) para que 
eles percebam que a reta 
numérica não estava com-
pleta e pergunte: “E agora, 
associando cada número 
racional (inteiros e não in-
teiros) a um ponto dessa 
reta, sobram pontos sem 
associação?”. Como sabem 
da existência dos números 
irracionais (como o caso de 
2 ), devem intuir que esses 
números têm pontos da reta 
numérica associados a eles. 
Comente que os “buracos” 
na reta numérica ao repre-
sentarmos todos os núme-
ros racionais são totalmente 
preenchidos quando faze-
mos a representação dos nú-
meros irracionais. Por isso, 
essa reta numérica completa 
será chamada de reta real.
Isso ficará mais evidente 
quando os alunos verificarem 
a localização exata dos nú-
meros irracionais dados por 
raízes quadradas não exatas 
de números racionais positi-
vos, que veremos a seguir.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e 
não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.
(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
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34 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
Vamos representar na reta real o número irracional 2 .
Já vimos que 2 é um número que está entre 1,4 e 1,5; logo, sua localização aproximada 
na reta real é:
Assim, sabendo a aproximação decimal de uma raiz quadrada não exata, podemos deter-
minar sua posição aproximada na reta real.
Localização exata de alguns números irracionais
na reta real
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1 , 51 , 4
10
2
Observação
 � Qualquer ponto da reta real tem um único número real correspondente e todo 
número real tem um único ponto correspondente na reta.
ca
te
to
hipotenusa
cateto
Os triângulos retângulos têm uma propriedade muito especial: com quadrados construídos 
sobre os catetos, sempre é possível construir quadrado sobre a hipotenusa.
A representação de todos os números racionais e irracionais, isto é, 
dos números reais, preenche a reta numérica. A essa reta chamamos 
de reta real.
O teorema que estudaremos a seguir vai nos ajudar a determinar a posição exata de 2 e 
de outros números irracionais na reta real.
Você já sabe que o triângulo retângulo é aquele que tem um ângulo interno reto. O maior 
lado desse triângulo é chamado de hipotenusa, e os demais, de catetos.
Como sabemos, é impossível representar todos eles, pois, entre dois números racionais, 
existe uma infinidade de outros números racionais. Mesmo que isso fosse possível, os pontos 
que representariam esses números não seriam suficientes para cobrir toda a reta numérica. 
Faltariam ainda os pontos correspondentes aos números irracionais para completá-la.
35BIMESTRE 1
Orientações
Apresentamos de maneira 
informal e lúdica o teorema 
de Pitágoras.
Providencie modelos das pe-
ças que montam o quadrado 
sobre a hipotenusa. Reúna 
os alunos em duplas e pro-
ponha a atividade antes de 
mostrar a solução apresen-
tada no livro do estudante. 
Destaque os elementos de 
um triângulo retângulo: 
• ângulo interno reto com 
lados chamados de cate-
tos;
• o lado maior, oposto ao ân-
gulo reto, é a hipotenusa.
Depois de concluírem a 
montagem do quadrado so-
bre a hipotenusa, combine 
com os alunos que o triân-
gulo retângulo usado para o 
“quebra-cabeça” tem cateto 
menor medindo c, cateto 
maior medindo b e hipote-
nusa medindo a. Então, per-
gunte:
• Quanto mede o lado do 
quadrado roxo, colocado 
sobre o cateto menor? E o 
lado do quadrado verde, so-
bre o outro cateto? 
Espera-se que os alunos 
identifiquem a medida do 
lado de cada quadrado com 
a respectiva medida do ca-
teto onde foram colocados. 
Assim, o quadrado roxo tem 
lado de medida c (e área 
c2), e o quadrado verde tem 
lado de medida b (e área b2). 
• Quanto mede o lado do 
quadrado montado sobre 
a hipotenusa?
Os alunos devem identificar 
que o lado dessequadrado 
tem mesma medida que a 
hipotenusa do triângulo, ou 
seja, mede a e tem área a2.
• O que podemos dizer sobre 
a área do quadrado mon-
tado sobre a hipotenusa?
Espera-se que eles percebam 
que, como esse quadrado 
foi montado com peças dos 
quadrados roxo e verde, a 
área do quadrado maior 
deve ser a soma das áreas 
dos quadrados roxo e verde, 
ou seja: b2 1 c2 5 a2.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo 
comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando 
se toma a medida de cada lado como unidade).
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a 
semelhança de triângulos.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo 
retas paralelas cortadas por secantes.
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35CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
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Note que a área do quadrado formado sobre a 
hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados 
construídos sobre os catetos.
Então, ao indicar por c e b as medidas dos catetos 
e por a a medida da hipotenusa, podemos escrever:
Essa relação, chamada de teorema de Pitágoras, 
vale para qualquer triângulo retângulo e será usada 
para determinar a posição de alguns números irracio-
nais na reta real.
Área de cada 
quadrado construído 
sobre os catetos.
Área do quadrado 
construído sobre 
a hipotenusa.
a 2 5 b 2 1 c 2
2
1
3
4
5
1
2 3
5
4
a
b
c
Na primeira figura a seguir, temos um quadrado (pintado de roxo) sobre um cateto e outro 
(pintado de verde) sobre outro cateto. Vamos decompô-los de modo conveniente para formar 
um quadrado sobre a hipotenusa. Observe.
36
Orientações
Se julgar necessário, relem-
bre a construção de uma 
reta perpendicular a uma 
reta dada passando por um 
ponto dessa reta. Depois, 
reproduza a construção do 
segmento de medida 2 na 
lousa, pedindo aos alunos 
que justifiquem cada pas-
so. Por exemplo, pergunte 
o que garante que o tercei-
ro lado do triângulo mede 
2 , quando tomamos 1 
como medida dos dois la-
dos perpendiculares desse 
triângulo. Espera-se que os 
alunos citem a relação tra-
balhada anteriormente, co-
nhecida como teorema de 
Pitágoras.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem 
segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de 
um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar 
a localização de alguns deles na reta numérica.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo 
retas paralelas cortadas por secantes.
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36 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
O valor procurado é um número positivo que elevado ao quadrado resulta em 2. Esse nú-
mero é 2 . Logo: a 5 2 .
Então, para representar 2 na reta, basta construir um triângulo retângulo de catetos 
medindo 1 unidade e transferir a medida da hipotenusa para a reta. Veja.
3. Com centro em O e abertu-
ra OB, marcamos o ponto C.
1. Por A, traçamos BA r= , 
tal que BA 5 1.
2. Unimos O com B e obte-
mos OB 5 2 .
1
1
O A r
B
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1
1
O A
B
rA
1
1
B
C
2
2
2
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Por exemplo, se quisermos representar 2 
na reta real, construímos um triângulo retângulo 
com a hipotenusa medindo 2 . Observe.
1
1
a
a2 5 b2 1 c2
a2 5 12 1 12
a2 5 1 1 1
a2 5 2
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Agora, vamos representar 3 na reta numérica. Para isso, basta construir um triângulo 
retângulo de catetos 2 e 1. A hipotenusa medirá 3 unidades de comprimento.
1
y
2 
y 2 5 2
2` j 1 12
y 2 5 3
y 5 3
Aproveitando o segmento que representa 2 , construímos na reta numérica o segmento 
que mede 3 .
Na calculadora, obtemos 3 q 1,73. Repare que 3 fica entre 2 e o ponto médio do seg-
mento de extremos 1 e 2.
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1
1 1
– 1 10 2
2
2
3
3
Basta transportar 
sobre a reta para a 
esquerda, a partir 
do zero, o segmento 
que mede 3 .
Como eu faço 
para encontrar o 
– 3 na reta?
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A
37BIMESTRE 1
Exercícios propostos
Possível figura para o exer-
cício 44. 
1
0 1 2 5√
Para o exercício 48: 
• construção de 20 u: triân- 
gulo retângulo de catetos 
medindo 4 u e 2 u, e hipo-
tenusa 20 u;
4 u
2 u
20 u√
• construção de 27 u: triân- 
gulo retângulo de catetos 
5 u e 1 u, hipotenusa 26 
u; triângulo retângulo de 
catetos 26 u e 1 u, hipo-
tenusa 27 u.
5 u
1 u
26 u√
27 u√
• retângulo de 20 u por 
27 u: 
20 u√
27 u√
• construção de 3 u: triân-
gulo retângulo de catetos 
1 u e 1 u; triângulo retân-
gulo de catetos 2 u e 1 u:
1 u
1 u 2 u√ 3 u√
• construção de 5 u: análoga ao 
exercício 44. 
• retângulo de 2 5 u por 3 3 u. 
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37CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
a) Encontre o valor de x. 17
b) Esse número é racional ou irracional?
c) Usando uma calculadora, represente esse 
número na forma decimal aproximada, com 
duas casas decimais. 4,12
b) irracional
 45 Considere o triângulo retângulo abaixo, cujas 
medidas dos lados estão indicadas em uma 
mesma unidade de comprimento.
4
1
x
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 46 Na figura abaixo, foi representado o número 
10 na reta numérica. Explique por que essa 
construção está correta. Resposta pessoal.
0 21 3
O
A
1
B C
1 0
a) Qual é o número irracional que representa 
o comprimento desse escorregador? 13
b) Qual é o comprimento aproximado desse 
escorregador em centímetro? 360 cm
 48 Com régua e compasso, trace um segmento 
de 20u e outro de 27u, sendo u 5 2 cm. 
Construa um retângulo que tenha essas me-
didas. Construa outro retângu lo que tenha 
por medidas 2 5 u e 3 3 u. Por sobreposição, 
compare as áreas dos retângulos encontrados e 
compare os produtos 20 8 27 e 52 8 33 .
construção de �gura; os produtos são iguais
 47 A figura abaixo representa um escorregador 
cujo comprimento, em metro, foi indicado 
por x.
2 m 
3 m 
x
 43 Escreva o número irracional que está repre-
sentado na reta pela letra m.
2 2
021
1
m
 44 Construa, com auxílio de régua e compasso, 
um triângulo retângulo com um cateto de 
2 unidades de comprimento sobre uma reta 
numérica e outro cateto de 1 unidade de com-
primento. Determine a medida da hipotenusa 
desse triângulo e localize na reta numérica o 
número que expressa a medida da hipotenusa 
desse triângulo. 5 ; construção de �gura
Espiral de Teodoro, Pitágoras ou Einstein
Uma das mais famosas espirais, construída 
com triângulos retângulos, é conhecida pelos 
nomes de três grandes personalidades: Teodo-
ro de Cirene, Pitágoras e Albert Einstein. 
Sua construção tem início com um 
triângulo retângulo isósceles com catetos 
de 1 unidade, prossegue com outros triân-
gulos retângulos que têm um cateto de 1 
unidade e outro cateto com a medida da 
hipotenusa do triângulo anterior. Com ela, 
obtemos segmentosde medidas iguais a 
, , , , ,2 3 4 2 5 65 ...
Veja como fica a construção de uma des-
sas espirais até 17 .
PARA SABER MAIS
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11
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1
1
1
1
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1
1
1
1
234
5
6
7
8
9
1 0
1 1 1 2 1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
38
Agora é com você!
Veja a seguir uma possível 
figura para a questão desta 
seção: 
3 
u
1 u
1
11
1
1
1
1
1
9√
8√
7√
6√
5√
4√ 3√
2√
1√
Exercícios 
complementares
Este bloco de exercícios ex-
plora os principais concei-
tos estudados no capítulo. 
Espera-se que os alunos mo-
bilizem os conhecimentos 
construídos, percebendo se 
ainda têm alguma dificul-
dade.
Uma possível figura para o 
exercício 14 é a que segue:
1
0
2
22
2
5
5 29√52√
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Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja 
representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.
(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo 
retas paralelas cortadas por secantes.
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38 CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
 1 Identifique as sentenças falsas e dê um exem-
plo para justificá-las.
a) Todo número inteiro é natural.
b) Todo número racional é inteiro.
c) Todo número racional é real.
d) Todo número irracional é real.
 2 Considere A 5 3
2 2 ,1 4 e B 5 0,7 2 0,777... 
Determine A 9 B. 10
 3 Dadas as dízimas periódicas 2,555… e 0,222…, 
determine:
a) a soma delas, escrevendo o resultado na 
forma abreviada; ,2 7
b) o produto delas, escrevendo o resultado na 
forma de fração. 
81
46
 4 Justifique por que ,4 84 5 2,2. (2,2)2 5 4,84
 6 Qual é o menor número pelo qual devemos 
multiplicar 25 8 34 8 53 8 7 para obter um núme-
ro natural que seja quadrado perfeito? 595
 7 Sendo A 5 33 8 5 8 7 e B 5 3 8 5 8 7, calcule a 
raiz quadrada de A 8 B. 315
 8 Um terreno tem a forma de um quadrado, e sua 
área é igual a 231,04 m2. Calcule o perímetro 
desse terreno. 60,8 m
 9 (PUC-RJ) O valor de , ...2 777 é: 
a) 1,2. d) um número entre 2
1 e 1.
b) 1,666... e) 3,49.
c) 1,5.
alternativa b
 10 (PUC-RJ) O valor de 
, ...
, ...
0 111
1 777
 é: 
a) 4,444... c) 4,777... e) 3
4 .
b) 4. d) 3.
alternativa b
a) Falsa, 21 não é natural.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1. b) Falsa, 
2
1 não é número inteiro.
 5 Sendo x 5 28 8 52, calcule a raiz quadrada de x.
80
 11 Os catetos de um triângulo retângulo medem 
12 cm e 5 cm.
a) Calcule a medida da hipotenusa. 13 cm
b) Essa medida é um número racional ou irra-
cional? racional
 12 Os catetos de um triângulo retângulo medem 
6 cm e 2 cm.
a) Calcule a medida da hipotenusa. 40 cm
b) Essa medida é um número racional ou irra-
cional? irracional
c) Determine a medida da hipotenusa com 
uma casa decimal. 6,3 cm
 13 Qual número irracional está representado na 
reta pela letra a? 26
 14 Represente na reta real os números 29 e 2 5 .
construção de �gura
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Com régua e esquadro, construa uma espiral como essa até obter 9 . Depois, confira se essa me-
dida se iguala de fato a 3 unidades usadas por você. construção de �gura
3 m
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 15 Para saber a altura de um poste, Alexandre 
encostou nele uma escada de 15 m de com-
primento, de modo que ela ficou apoiada no 
chão a 3 m do poste. Qual a altura aproximada 
desse poste? 14,6 m
Agora é com você!
0
1
5
a
39BIMESTRE 1
Diversificando
Veja uma variação do jogo 
proposta nesta seção. No 
material, mudamos as cartas 
de ação, que passam a ser: 
“quadrado da soma”, “soma 
dos quadrados”, “multiplica-
ção dos números” e “adição 
dos números”. Nas regras, 
alteramos a quantidade de 
cartões numerados que cada 
jogador deve pegar: em vez 
de quatro, inicialmente cada 
jogador pega apenas dois 
cartões numerados. 
Um dos objetivos dessa va-
riação do jogo é levar os 
alunos a perceber a diferen-
ça entre quadrado de uma 
soma [(a 1 b)2] e soma de 
dois quadrados (a2 1 b2).
Na questão 2 do Agora é 
com você!, peça aos alu-
nos que escrevam a nova 
regra de forma clara e ob-
jetiva para que os colegas 
consigam entendê-la, pois 
o representante terá de ex-
plicá-la a todos no final da 
atividade.
DIVERSIFICANDO
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39CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS
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Jogo do enfileirando
Número de participantes: 2 a 4 jogadores
Material: 
• Vinte cartões numerados confeccionados com os números: 0, 2, 6, 7, 9, 28, 27, 24, 23, 
21, , , , , , , , , , .
2
1
3
1
3
2
8
7
8
3 1 2 3 16 25
• Quatro cartas de ação: uma de “ordem crescente”; uma de “ordem decrescente”; uma de 
“adição dos números”; e uma de “multiplicação dos números”.
• Dois saquinhos não transparentes: um para guardar os cartões numerados, outro para guar-
dar as cartas de ação. 
• Papel e lápis para resolver as operações.
Regras:
• Sem olhar os números, cada jogador pega cinco cartões numerados de dentro do saquinho.
• Depois, um dos jogadores tira uma carta de ação e deve colocá-la em cima da mesa para 
que todos a vejam e façam o que ela indica. Por exemplo, se sair a carta “ordem crescente”, 
cada jogador colocará em ordem crescente os cartões que pegou. Suponha que um dos jo-
gadores tenha os cartões 2, 23, 2 , 2
1 e 9; ele deverá colocá-los nesta disposição: 23, ,
2
1 
2 , 2 e 9. Então, anota-se o nome de quem terminou a tarefa em primeiro lugar e retira-se 
outra carta. 
• Para os cálculos com 2 e 3 , devem ser usados os valores aproximados 1,4 e 1,7, respec-
tivamente. Exemplo: 2 1 (23) 1 2 1 2
1 1 9 5 9,9.
• Vence o jogo aquele que ganhar o maior número de rodadas, isto é, concluir mais vezes as 
tarefas antes dos outros colegas. Caso nenhum jogador consiga executar as tarefas, reinicia-
-se o jogo. 
 1 Observe a ilustração ao lado 
e responda à questão. Quem 
ganhou esta rodada? Justifique.
 2 Formem grupos de 3 ou 4 colegas, modifiquem uma regra do jogo e troquem com outro grupo. Depois 
de jogar com a nova regra, escolham um representante para explicar a regra nova do outro grupo.
A menina, pois colocou os 
cinco números na ordem 
certa, como pedia a carta 
de ação.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora é com você!
40
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
• Compreender o surgimento 
dos números irracionais, re-
conhecê-los e manipulá-los.
• Representar geometrica-
mente números irracionais 
usando régua e compasso.
• Explorar potências de 10 e 
a notação científica.
• Reconhecer e empregar uni-
dades usadas para expressar 
medidas muito grandes ou 
muito pequenas.
• Empregar unidades de me-
dida utilizadas na infor-
mática.
• Resolver problemas envol-
vendo cálculos com potên-
cias de expoentes naturais 
e inteiros negativos.
• Determinar potências com 
expoente fracionário. 
• Efetuar cálculos com nú-
meros reais. 
• Estudar e aplicar as pro-
priedades de radicais.
• Simplificar radicais. 
• Efetuar operações envol-
vendo radicais.
• Racionalizar expressões 
contendo radicais no de-
nominador.
• Resolver e elaborar pro-
blemas com números re-
ais envolvendo diferentes 
operações. 
• Construir e interpretar grá-
fico de linha. 
Orientações gerais
Neste capítulo, ampliamos o 
trabalho com números reais 
iniciado no capítulo ante-
rior, com o foco nas opera-
ções potenciação e radicia-
ção. O conceito de número 
irracional é complexo para 
os alunos. O contatocom 
ele em situações variadas 
amplia o conhecimento já 
construído sobre números 
irracionais e, assim, consoli-
da a aprendizagem dos nú-
meros reais. 
Sugestões de leitura
Para ampliar a discussão da abertura deste capítulo, sugerimos:
<https://rmu.sbm.org.br/wp-content/uploads/sites/27/2018/03/n47_Artigo02.pdf>;
<http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/incomens.htm>. Acessos em: 15 ago. 2018.
Reza a lenda que a descoberta dos irracionais causou tanto escândalo entre os gregos que o 
pitagórico responsável por ela, Hípaso, foi expulso da escola e condenado à morte. Não se sabe de 
onde veio essa história, mas parece pouco provável que seja verídica. [...]
Na verdade, a descoberta da incomensurabilidade representou uma nova situação que motivou 
novos desenvolvimentos matemáticos.
Fonte: ROQUE, Tatiana. História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos. 
Rio de Janeiro: Zahar, 2012. p. 124-26.
2
Capítulo
Detalhe de Escola de Atenas (1509-1511), de Rafael Sanzio. Pintura em reboco. 5 m 3 7,7 m. Na imagem, 
Pitágoras, sentado à esquerda, é observado por Parmênides, em pé, e Hipatia, ao fundo.
Operações com 
números reais
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40 CAPÍTULO 2
https://rmu.sbm.org.br/wp-content/uploads/sites/27/2018/03/n47_Artigo02.pdf
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/incomens.htm
41BIMESTRE 1
Potências nas 
medidas 
astronômicas, 
subatômicas e 
informáticas
Antes de trabalhar o quadro 
apresentado nesta página, 
retome com os alunos as po-
tências de base 10 com ex-
poente natural e expoente 
negativo. É um bom mo-
mento para verificar os 
conhecimentos que eles 
já construíram sobre esse 
assunto e sobre a notação 
científica. 
Aproveite o momento e ex-
plique que o prefixo “quilo” 
(ou “kilo”) indica que de-
vemos multiplicar a unida-
de tomada por 1.000, por 
exemplo:
• 1 quilômetro 5 
5 1.000 8 1 metro
• 1 quilograma 5 
5 1.000 8 1 grama
• 1 quilolitro 5 1.000 8 1 litro
Sendo assim, não devemos 
usar a palavra “quilo” como 
sinônimo de “quilograma”, 
como usualmente se faz. 
Pergunte aos alunos se já 
conheciam alguma unidade 
expressa com esses prefixos. 
É possível que alguns já te-
nham ouvido falar dos pre-
fixos micro (1 micrometro 5 
5 1026 metro) ou de giga e 
mega (nas unidades de in-
formática, como megabyte 
e gigabyte).
Complemente os estudos com 
a Sequência didática 2 – 
Potência com expoente 
fracionário e radicais, 
disponível no Manual 
do Professor – Digital. 
As atividades propostas 
permitem desenvolver de 
forma gradual e articulada 
objetos de conhecimento 
e habilidades da BNCC 
selecionados para este 
capítulo.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância 
entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.
Dados obtidos em: Inmetro. Disponível 
em: <http://www.inmetro.gov.br/
consumidor/pdf/Resumo_SI.pdf>. 
Acesso em: 20 jun. 2018.
côvado
passo
pé
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41CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Quando apontado para determinado 
ponto ou objeto, o medidor digital 
calcula a distância até ele.
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1 Potências nas medidas astronômicas, 
subatômicas e informáticas
O Sistema Internacional de Unidades (SI) tem uma história recente, se comparada à his-
tórica necessidade humana de medir, que vem desde a origem das civilizações. Antes, cada 
povo tinha seu próprio sistema de medidas, muitas vezes com unidades imprecisas, tendo por 
base o corpo humano (palmo, pé, côvado, jarda, passo etc.), o 
que criava muitos problemas, principalmente para o comércio.
O SI, sistema atual desenvolvido a partir do Sistema Métrico 
Decimal (SMD, França, 1799) e consolidado apenas em 1960 
com suas sete unidades de base, é mais complexo e diversifi-
cado do que o SMD. 
Visando atender a uma extensa gama de medidas para vá-
rias grandezas, há muitos prefixos no SI. Veja a tabela a seguir.
Nome Símbolo Fator pelo qual a unidade é multiplicada
yotta Y 1024 = 1.000.000.000.000.000.000.000.000
zetta Z 1021 = 1.000.000.000.000.000.000.000
exa E 1018 = 1.000.000.000.000.000.000
peta P 1015 = 1.000.000.000.000.000
tera T 1012 = 1.000.000.000.000
giga G 109 = 1.000.000.000
mega M 106 = 1.000.000
kilo ou quilo k 103 = 1.000
hecto h 102 = 100
deca da 10
deci d 1021 = 0,1
centi c 1022 = 0,01
mili m 1023 = 0,001
micro u 1026 = 0,000.001
nano n 1029 = 0,000.000.001
pico p 10212 = 0,000.000.000.001
femto f 10215 = 0,000.000.000.000.001
atto a 10218 = 0,000.000.000.000.000.001
zepto z 10221 = 0,000.000.000.000.000.000.001
yocto y 10224 = 0,000.000.000.000.000.000.000.001
Medida materializada. 
Metro padrão.
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http://www.inmetro.gov.br/consumidor/pdf/Resumo_SI.pdf
http://www.inmetro.gov.br/consumidor/pdf/Resumo_SI.pdf
42
Orientações
Explore as unidades apre-
sentadas. Proponha aos 
alunos que pesquisem mais 
sobre elas. Ressalte que o 
parsec é uma unidade de 
referência na Astronomia, 
mais frequente que o ano-
-luz. No entanto, sua expli-
cação não é intuitiva.
Se julgar adequado, promo-
va uma discussão sobre os 
conteúdos pesquisados pe-
los alunos.
Sugestões de leitura
Para enriquecer o trabalho, sugeri-
mos os sites:
<http://www.iag.usp.br/siae98/
astroleis/estrelas.htm>;
<http://www.observatorio.iag.usp.
br/index.php/mencurio/curiodefin.
html>;
<http://astro.if.ufrgs.br/dist/>. 
Acessos em: 15 ago. 2018.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes 
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância 
entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.
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42 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
O tema medidas é muito amplo; por isso vamos nos restringir aqui à medida de comprimento 
cuja unidade de base é o metro (m), definido como o comprimento do trajeto percorrido pela 
luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de segundo.
O metro, como as demais unidades de base, tem múltiplos e submúltiplos dados por prefi-
xos. Por exemplo: “quilo-” (do grego khílioi,ai,a ‘mil, milhar ’ ): um quilômetro (1 km) 5 mil metros 
(103 m); “mili-” (do francês Millième, milésimo): um milímetro (1 mm) 5 um milésimo de metro 
(1023 m). 
No entanto, os prefixos da tabela conjugados com as unidades de base ainda são insufi-
cientes ou inconvenientes para determinadas situações.
Na Astronomia e na Astrobiologia, o estudo do Universo indica a necessidade de outras 
unidades de medida fora do SI, que são: 
 � Unidade Astronômica (UA): a distância média entre a Terra e o Sol, 1 UA = 1,5 8 1011 m;
 � ano-luz (AL): a distância que a luz percorre em 1 ano, 1 AL q 9,5 8 1015 m q 63.241 UA;
 � parsec (pc): a unidade astronômica de distância que equivale a uma paralaxe anual estelar 
de um segundo; assim, 1 pc = 3,26 anos-luz q 206.165 UA.
Exoplaneta descoberto recentemente 
tem mais água doque a Terra
Cientistas afirmam que o planeta é diferente 
de tudo o que já foi estudado
Os astrônomos confirmaram que o exoplaneta GJ 1214b, 
encontrado em 2009, é formado em grande parte por água, 
assim como a Terra. Chamado de “Super Terra” pelos cientistas, 
a água e as altas temperaturas de sua superfície podem criar um 
ambiente propício à vida. O exoplaneta (está fora do Sistema 
Solar) GJ 1214b está relativamente perto da Terra, localizado 
a 40 anos-luz de distância. [...]
Fonte: EXOPLANETA descoberto recentemente tem mais água do que a Terra. Galileu, s/d. Disponível em: 
<http://revistagalileu.globo.com/Revista/Common/0,,ERT295972-17770,00.html>. Acesso em: 07 maio 2018.
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Representação artística do exoplaneta 
GJ 1214b transitando na frente de sua 
estrela. Elementos sem escala e fora de 
proporção. Cores-fantasia.
http://www.iag.usp.br/siae98/astroleis/estrelas.htm
http://www.iag.usp.br/siae98/astroleis/estrelas.htm
http://www.observatorio.iag.usp.br/index.php/mencurio/curiodefin.html
http://www.observatorio.iag.usp.br/index.php/mencurio/curiodefin.html
http://www.observatorio.iag.usp.br/index.php/mencurio/curiodefin.html
http://astro.if.ufrgs.br/dist/
http://revistagalileu.globo.com/Revista/Common/0,,ERT295972-17770,00.html
43BIMESTRE 1
Orientações
Contrapondo com o traba-
lho anterior, de medidas 
muito grandes, explore ago-
ra com os alunos a utilização 
de medidas extremamente 
pequenas. 
Tratamos ainda nesta pá-
gina as unidades ligadas à 
área de informática, sobre 
as quais provavelmente os 
alunos têm maior conheci-
mento.
Sugestões de leitura
Para enriquecimento e ampliação 
desse estudo, sugerimos:
<http://www.poli.usp.br/fr/comu 
nicacao/noticias/destaques/arquivo-
em-foco/623-nanotecnologia-a-outra-
face-da-moeda.html>;
<https://meuartigo.brasilescola.
uol.com.br/fisica/nanociencia-nano 
tecnologia-manipulacao-materia-
atomo-atomo.htm>. Acessos em: 
15 ago. 2018.
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43CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Na outra ponta das atividades científicas está a nanotecnologia. 
Certa vez, o físico Eric Drexler disse: “A próxima grande revolução na ciência será tão pequena 
que você não vai enxergá-la nem com microscópio. Os efeitos, porém, serão devastadores”. 
Nela, como o próprio nome sugere, são trabalhadas medidas extremamente pequenas, para 
o desenvolvimento de produtos com tamanho inferior a 100 nanômetros. 
Veja o prefixo nano na tabela da página 41: 1 nanômetro é a unidade de comprimento equi-
valente à bilionésima parte de um metro, ou 1029 m (símbolo: nm).
Diferentemente da Astronomia, a nanotecnologia não criou novas unidades de medida.
Pesquisadores em Sergipe testam 
a nanotecnologia para cura do câncer
O câncer é a segunda principal causa de morte no Brasil. 
É  uma doença de grande incidência, alta mortalidade e de 
difícil tratamento, havendo um constante interesse social na 
busca por terapias mais eficientes. Com o objetivo de desen-
volver uma formulação mais eficaz, pesquisadores estão de-
senvolvendo em Sergipe um estudo que propõe o tratamento 
inovador através da nanotecnologia.
Fonte: SOARES, José Rivaldo. Pesquisadores em Sergipe testam a nanotecnologia para cura do câncer. 
Comunicação VIP, 13 mar. 2017. Disponível em: <http://comunicacaovip.com.br/pesquisadores-em-
sergipe-testam-nanotecnologia-para-cura-do-cancer/>. Acesso em: 13 nov. 2017.
Hoje vivemos no mundo da informática.
A informática tem unidades próprias, mas empresta do SI a nomenclatura dos prefixos:
 � byte (B) é a menor unidade de armazenamento;
 � kilobyte (KB) equivale a 210 ou 1.024 bytes; 1 KB = 210 B;
 � megabyte (MB) equivale a 210 ou 1.024 kilobytes; 1 MB = 210 KB = 220 B;
 � gigabyte (GB) equivale a 210 ou 1.024 megabytes; 1 GB = 210 MB = 230 B;
 � terabyte (TB) equivale a 210 ou 1.024 gigabytes; 1 TB = 210 GB = 240 B;
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Representação artística de microsseringa em 
glóbulo vermelho do sangue. Elementos sem 
escala e fora de proporção. Cores-fantasia.
Representação de um código de programação de software.
http://www.poli.usp.br/fr/comunicacao/noticias/destaques/arquivo-em-foco/623-nanotecnologia-a-outra-face-da-moeda.html
http://www.poli.usp.br/fr/comunicacao/noticias/destaques/arquivo-em-foco/623-nanotecnologia-a-outra-face-da-moeda.html
http://www.poli.usp.br/fr/comunicacao/noticias/destaques/arquivo-em-foco/623-nanotecnologia-a-outra-face-da-moeda.html
http://www.poli.usp.br/fr/comunicacao/noticias/destaques/arquivo-em-foco/623-nanotecnologia-a-outra-face-da-moeda.html
http://www.poli.usp.br/fr/comunicacao/noticias/destaques/arquivo-em-foco/623-nanotecnologia-a-outra-face-da-moeda.html
http://www.poli.usp.br/fr/comunicacao/noticias/destaques/arquivo-em-foco/623-nanotecnologia-a-outra-face-da-moeda.html
https://meuartigo.brasilescola.uol.com.br/fisica/nanociencia-nanotecnologia-manipulacao-materia-atomo-atomo.htm
https://meuartigo.brasilescola.uol.com.br/fisica/nanociencia-nanotecnologia-manipulacao-materia-atomo-atomo.htm
https://meuartigo.brasilescola.uol.com.br/fisica/nanociencia-nanotecnologia-manipulacao-materia-atomo-atomo.htm
https://meuartigo.brasilescola.uol.com.br/fisica/nanociencia-nanotecnologia-manipulacao-materia-atomo-atomo.htm
https://meuartigo.brasilescola.uol.com.br/fisica/nanociencia-nanotecnologia-manipulacao-materia-atomo-atomo.htm
http://comunicacaovip.com.br/pesquisadores-em-sergipe-testam-nanotecnologia-para-cura-do-cancer/
http://comunicacaovip.com.br/pesquisadores-em-sergipe-testam-nanotecnologia-para-cura-do-cancer/
http://comunicacaovip.com.br/pesquisadores-em-sergipe-testam-nanotecnologia-para-cura-do-cancer/
44
Orientações
Amplie o trabalho com po-
tências de 10 envolvendo 
expressões que contenham 
tais potências, por exemplo:
• 5,4 8 102 1 3,5 8 103 5 
5 5,4 8 102 1 3,5 8 10 8 102 5 
5 5,4 8 102 1 35 8 102 5 
5 (5 ,4 1 35) 8 10 2 5 
5 40,4 8 102 5 4.040
• 0,002 8 105 8 25 8 1022 5 
5 2 8 1023 8 105 8 25 8 1022 5 
5 (2 8 25) 8 (1023 8 105 8 1022) 5 
5 50 8 100 5 
5 50 8 1 5 50
• 24 8 102 
1,2 8 103
 5 24 8 102 
12 8 1021 8 103
 5 
5 2 8 102 
1 8 102
 5 2
• 0,5 8 1022 
0,005 8 103
 5 
5 5 8 1021 8 1022 
5 8 1023 8 103
 5 
5 1023 5 0,001
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes 
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância 
entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.
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44 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Os fatores de conversão que definem os prefixos no SI são potências de 10: 
 � 10 ou 1021 para os três primeiros múltiplos e para os três primeiros submúltiplos. 
Por exemplo:
a) para transformar 75 m em dam, fazemos 75 m 5 75 8 1021 dam 5 7,5 dam;
b) para transformar 75 cm em mm, fazemos 75 m 5 75 8 10 mm 5 750 mm.
 � 103 (1.000) ou 1023 (0,001) para os demais prefixos. 
Por exemplo:
a) para transformar 41.852 metros em terâmetro (Tm), fazemos: 
41.852 m = 41.852 8 1023 8 1023 8 1023 8 1023 Tm = 4,1852 8 1028 Tm;
b) para transformar 0,29 metro em nanômetro, fazemos:
0,29 8 103 8 103 8 103 m = 0,29 8 109 nm = 290.000.000 nm = 2,9 8 108 nm
Os fatores de conversão que definem os prefixos na informática são potências de base 2: 
 � 210 (1.024) para transformar uma unidadepara a unidade imediatamente inferior;
 � 2210 (1.02421) para transformar uma unidade para a unidade imediatamente superior.
Fonte: FREIRE, Raquel. Disco de vidro pode guardar arquivos com até 360 TB “para sempre”. Techtudo, 
17 fev. 2016. Disponível em: <http://www.techtudo.com.br/noticias/noticia/2016/02/disco-de-vidro-
pode-guardar-arquivos-com-ate-360-tb-para-sempre.html>. Acesso em: 13 nov. 2017.
Note que 103 q 210, pois 103 = 1.000 e 210 = 1.024 q 1.000. 
Por estarem mais acostumadas a trabalhar e a fazer estimativas com potências de base 10, 
na prática, é comum as pessoas arredondarem 1.024 para 1.000 e dizerem que 1 GB = 1.000 MB. 
Mas observe que arredondamentos acumulados geram erros grandes. 
Por exemplo, ao arredondar 1 ZB por fatores 103, obtemos:
1 ZB = 1024 B = 1.000.000.000.000.000.000.000.000 B
Porém, o valor correto é quase 21% maior:
1 ZB = 280 B = 1.208.925.819.614.629.174.706.176 B
Disco de vidro pode guardar arquivos 
com até 360 TB “para sempre”
Pesquisadores da Universidade de Southampton, no 
Reino Unido, anunciaram uma unidade de disco que pode 
armazenar dados, como documentos e obras de arte, ‘para 
sempre’. O dispositivo, que consiste em um pequeno vidro 
nanoestruturado e tem gravação a laser, é capaz de guardar 
360 TB por até 13,8 bilhões de anos.
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 � petabyte (PB) equivale a 210 ou 1.024 terabytes; 1 PB = 210 TB = 250 B;
 � exabyte (EB) equivale a 210 ou 1.024 petabytes; 1 EB = 210 PB = 260 B;
 � zettabyte (ZB) equivale a 210 ou 1.024 exabytes; 1 ZB = 210 EB = 270 B;
 � yottabyte (YB) equivale a 210 ou 1.024 zettabytes; 1 YB = 210 ZB = 280 B.
Disco digital criado na Universidade de 
Southampton, no Reino Unido. (Foto de 2016.)
http://www.techtudo.com.br/noticias/noticia/2016/02/disco-de-vidro-pode-guardar-arquivos-com-ate-360-tb-para-sempre.html
http://www.techtudo.com.br/noticias/noticia/2016/02/disco-de-vidro-pode-guardar-arquivos-com-ate-360-tb-para-sempre.html
http://www.techtudo.com.br/noticias/noticia/2016/02/disco-de-vidro-pode-guardar-arquivos-com-ate-360-tb-para-sempre.html
45BIMESTRE 1
Exercícios propostos
Apresentamos a seguir a 
resolução do exercício 5, 
em que vamos utilizar as se-
guintes relações: 
• 1 AL q 63.241 UA
• 1 ano-luz q 9,5 8 1015 m
• Como 1 m 5 1023 km, te-
mos que:
• 1 ano-luz q 
q 9,5 8 1015 8 1023 km
• 1 ano-luz q 9,5 8 1012 km
Desse modo: 
Via Láctea
• 100 mil anos-luz 5 
5 100 8 103 anos-luz 5 
5 105 anos-luz 
105 AL q 105 8 9,5 8 1012 km 
105 AL q 9,5 8 1017 km
• 105 AL q 105 8 6,32 8 104 UA 
105 AL q 6,32 8 109 UA
Andrômeda
• 22 8 104 
AL q 22 8 104 8 9,5 8 1012 km 
22 8 104 AL q 209 8 1016 km 
22 8 104 AL q 2,09 8 1018 km
• 22 8 104 
AL q 22 8 104 8 6,3241 8 104 UA 
22 8 104 AL q 1,39 8 1010 UA
• 2,9 milhões AL 5 
5 2,9 8 106 AL 2,9 8 106 
AL q 2,9 8 106 8 9,5 8 1012 km 
2,9 8 106 
AL q 2,755 8 1019 km
• 2,9 8 106 
AL q 2,9 8 106 8 6,3241 8 104 UA 
2,9 8 106 AL q 1,83 8 1011 UA
Grande Nuvem de Maga-
lhães
• 7 8 104 AL q 6,65 8 1017 km 
• 7 8 104 AL q 4,43 8 109 UA
• 2 8 105 AL q 1,9 8 1018 km 
• 2 8 105 AL q 1,26 8 1010 UA
Pequena Nuvem de Maga-
lhães
• 1,4 8 104 AL q 1,33 8 1017 km 
• 1,4 8 104 AL q 8,85 8 108 UA
• 1,68 8 105 AL q 1,6 8 1018 km 
• 1,68 8 105 AL q 1,06 8 1010 UA
R a i o d a ó r b i t a
r 5 0, 05 n m
Ó r b i t a d o
e l é t r o n
E l é t r o n :
ca r g a 2e
ma s s a m
v e l o ci d a d e v
 
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45CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 1 Usando uma calculadora, dê a distância 
aproximada, em quilômetro, entre a Terra e o 
exoplaneta GJ 1214b, que está fora do Sistema 
Solar. aproximadamente 
380.000.000.000.000 km
 2 No átomo de hidrogênio de Bohr, o elétron 
anda ao redor de um próton central, em uma 
órbita circular com aproximadamente 0,05 nm 
de raio. Qual é a medida desse raio em metro? 
 5 “A constelação em que vivemos, a Via Láctea, [...] 
tem a forma de espiral achatada com cerca de 
100 mil AL de diâmetro e 200 bilhões de estrelas 
 3 Até quantos megabytes um disco de vidro pode 
guardar? até 3,6 8 108 MB
 4 Considere o erro cometido ao se praticar ar-
redondamentos da base 2 para a base 10 nas 
unidades usadas na informática. 
a) Qual é o erro percentual que se comete ao 
arredondar 1 KB para 1.000 B, substituindo 
210 por 103? 2,4%
b) Qual é o erro percentual que se comete, subs-
tituindo-se 280 por 1024, ao arredondar 1 ZB 
para 1.000.000.000.000.000.000.000.000 B?
• Andrômeda – 220 mil AL de diâmetro e a uma 
distância de 2,9 milhões AL.
• Grande Nuvem de Magalhães – 70 mil AL de 
diâmetro e a uma distância de 200 mil AL.
• Pequena Nuvem de Magalhães – 14 mil AL de 
diâmetro e a uma distância de 168 mil AL.”
Fonte: Almanaque Abril 2015. São Paulo: 
Abril, 2015. p. 171. 
Use uma calculadora e escreva em notação 
científica, na unidade quilômetro e na Unidade 
Astronômica, as medidas aproximadas descri-
tas no texto anterior.
5. Via Láctea: 9,5 8 1017 km; 6,32 8 109 UA; Andrômeda: 2,09 8 1018 km; 1,39 8 1010 UA; 2,76 8 1019 km; 
1,83 8 1011 UA; Grande Nuvem de Magalhães: 6,65 8 1017 km; 4,43 8 109 UA; 1,9 8 1018 km; 1,26 8 1010 UA; 
Pequena Nuvem de Magalhães: 1,33 8 1017 km; 8,85 8 108 UA; 1,6 8 1018 km; 1,06 8 1010 UA
 6 Hora de criar – Troque com um colega um 
problema, criado por vocês, sobre medidas 
de comprimento (de Astronomia ou de na-
notecnologia). Depois de cada um resolver o 
problema elaborado pelo outro, destroquem 
para corrigi-los. Resposta pessoal.
 7 Hora de criar – Troque com um colega um 
problema, criado por vocês, sobre medidas 
de armazenamento no campo da informática. 
Depois de cada um resolver o problema elabo-
rado pelo outro, destroquem para corrigi-los. 
5 8 10211 m
aproximadamente 20,9%
Resposta 
pessoal.
2 Potência com expoente fracionário e radicais
Já estudamos potência com expoente fracionário tendo por base números racionais, em 
que relacionamos potenciação e radiciação. 
Consideramos a definição: se bn = a, então b = an , com n natural não nulo e b > 0.
[...], faz parte do Grupo Local. Três das galáxias 
do Grupo Local são visíveis a olho nu:  
Em outras palavras, dizemos que 
um número b, não negativo, é igual à 
raiz enésima de um número a quando 
esse número b elevado a n, número 
natural e não nulo, é igual ao número a.
Esta é uma boa 
hora para recordar a 
nomenclatura. 
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 M
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C
C
O
Representação 
da Via Láctea.
46
Orientações
Se julgar necessário, retome 
o cálculo de raízes exatas e 
as propriedades da poten-
ciação com expoente inteiro.
Para ampliar o trabalho com 
os exemplos do boxe Ob-
servação, peça aos alunos 
que expressem os resultados 
obtidos em forma de uma 
única potência, como no pri-
meiro item. Assim, espera-se 
que eles utilizem a igualda-
de: a a5mn n
m
 (com a real 
positivo, m inteiro e n natu-
ral não nulo). Desse modo, 
temos:
• 2 2
2 2
5 5
5 5
3 5
2
3
1 5
2
3
1
15
28 5
2
^ ^h h
• 
2
10 10
10
5 5
5 5
1
1 7
2 2
8 22
2
7
2 2
7
2 2
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46 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Como já estudamos, (73)2 = 76. Então, pela definição acima, podemos dizer que 73 é a raiz 
quadrada de 76, isto é, 73 = 762 . Como 3 5 2
6 , temos 72
6
627 5 .
Também observamos que (72)3 = 76. Portanto, podemos dizer que 72 é a raiz cúbica de 76, 
isto é, 72 = 763 . Como 2 5 3
6 , temos 7 753
6
63 .
As relações que estabelecemos nos exemplos 
acimase referem apenas aos expoentes das 
potências e aos índices das raízes. Ou seja, no 
lugar da base 7, podemos considerar qualquer 
número real positivo.
Assim, podemos ampliar esse estudo para potência com expoente fracionário tendo por 
base números reais. Veja.
 � (s3)2 5 s6
Aplicando a definição para raiz quadrada, s3 5 s62 ou s 5 s2
6
62 .
 � 5 55
3 4 12` `j j: D
Aplicando a definição para raiz quarta, temos 5 55
3 124` `j j ou 5 554
12 124` `j j .
Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número 
natural não nulo, temos: a a5n
m
mn .
Observações
 � Dando nome aos símbolos:
 � a b5n (lemos: “raiz enésima de a é igual a b”)
 � O sinal é chamado de radical. No entanto, usamos esse mesmo sinal para indicar a raiz 
quadrada de um número a.
a b5n
radicando
índice raiz
Observação
 � As propriedades válidas para as potências de expoente inteiro são válidas para as potências 
de expoente fracionário que tenham base positiva. Por exemplo:
• 8s s 5 s 5 s3
2
4
1
3
2
4
1
12
11
1
• 2 2 25 5
83 3
2 5
3
3 3
2
5
3
3 5
2
` ` `j j j< F
• 910 10 10 105 52
3 5
2
3 5
2
7
2 2` ` ` `j j j j
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ID
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Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes 
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
47BIMESTRE 1
Exercícios propostos
No exercício 12, espera-se 
que os alunos percebam que, 
na prática, basta dividir o ín-
dice do radical e o expoente 
do radicando por um divisor 
comum. Essa é uma oportu-
nidade para anteciparem in-
formalmente a propriedade 
dos radicais.
Para saber mais
A seção destaca a importân-
cia histórica da descoberta do 
número irracional 2 no cál-
culo da medida da diagonal 
de um quadrado de lado 1.
Habilidades trabalhadas: (EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo 
comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando 
se toma a medida de cada lado como unidade).
(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar 
a localização de alguns deles na reta numérica.
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47CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 8 Escreva na forma de potência com expoente 
fracionário.
a) ,8 145 ,8 1 5
4
 c) 
7
16
4
e o 
7
1 6
4
e o
b) s3 s 2
3
 d) 89 3` j 8 9
3
` j
 9 Represente na forma de radical.
a) s 2
1
 s c) 3 4
1
` j 34
b) ò 5
6
 ò65 d) (5)0,5 5 5512
 10 Reduza a uma só potência, usando as proprie-
dades das potências.
a) 87 73
1
4
1
` `j j 7 12
7
` j
b) 97 73
1
4
1
` `j j 7 12
1
` j
c) 10 3
1 2
9
` j< F 10 2
3
` j
d) s 16
1 2
1
e o
 s 4
1
 11 Calcule.
a) 2
4a k 2 c) s105 s2
b) ,0 512 3
1
 0,8 d) 27 3
2
` j 3
 12 Reúna-se com um colega e façam o que se 
pede.
• Representem cada radical abaixo na forma 
de potência com expoente fracionário.
• Simplifiquem, se possível, a fração do ex-
poente da potência obtida.
• Representem a potência com expoente sim-
plificado na forma de radical.
• Comparem cada radical dado com o res-
pectivo radical obtido. Escrevam uma regra 
prática para simplificar um radical, quando 
possível.
a) s612 s c) 5
136
9
e o e) 2
s24
8
e o
b) ,1 7714 ,1 7 d) ò1218 ò23 f) s1812
5
13
3
2 e o 2
s3
s3
A história dos números irracionais
O conceito de número real passou por transformações significativas até chegar à forma 
como o conhecemos hoje. Em sentido mais prático, pode-se dizer que a ideia de medida 
implica noção de número real. Para tentar compreender a motivação que desencadearia a 
noção de número real, precisamos pensar quando surgiu a necessidade da ideia de números 
irracionais fnúmeros que não podem ser expressos na forma q
p
, com p e q inteiros e q % 0p. 
Essa ideia teve origem, provavelmente, em contextos geométricos na Grécia antiga. 
Para os pitagóricos, o conceito de número era o que para nós são os números naturais, e 
as razões eram, então, somente estabelecidas entre números naturais.
Não se tem certeza a respeito da descoberta de razões irracionais, mas é certo que, para 
os gregos clássicos, foi muito difícil aceitá-las.
O filósofo grego Aristóteles (384-322 a.C.) provou, no século IV a.C., que a diagonal do 
quadrado com seu lado estabelece uma razão irracional, ou seja, um número irracional. 
Essa é a prova mais antiga que se conhece para a característica irracional da diagonal 
do quadrado em relação ao seu lado. Ela envolve, teoricamente, números irracionais e, 
portanto, amplia a ideia original grega de número.
PARA SABER MAIS
48
Para saber mais
Para enriquecer o trabalho 
com a seção, apresente al-
guns números irracionais 
notáveis: retome o número 
π e o número de ouro e co-
mente sobre o número de 
Euler (e). 
Sugestões de leitura
Para complementar o trabalho, su-
gerimos: <http://www.teses.usp.
br/teses/disponiveis/48/48134/
tde-23082012-092642/pt-br.php>. 
Acesso em: 15 ago. 2018.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem 
segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de 
um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar 
a localização de alguns deles na reta numérica.
(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
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48 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
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Do ponto de vista geométrico, dois segmentos estabelecerão uma razão, represen tada 
por um número racional, se for possível encontrar um pequeno segmento que meça am-
bos os segmentos dados, ou seja, que caiba um número inteiro de vezes em cada um dos 
segmentos dados originalmente.
Por exemplo, considere os segmentos AB , CD e EF abaixo.
Note que o segmento EF cabe 8 vezes no segmento AB e 3 vezes no segmento CD , o 
que implica que os segmentos AB e CD estabeleçam uma razão de 8 para 3, ou, em termos 
numéricos, o número racional 3
8 .
Inicialmente, os gregos não concebiam a existência de segmentos 
para os quais tal medida não existisse, o que resultaria numerica-
mente em nú meros irracionais, como no quadrado ao lado, em que 
a razão entre a diagonal e seu lado é 2 .
Essas razões irracionais foram descobertas provavelmente por 
algum pitagórico, entre 500 a.C. e 375 a.C. Uma vez que na escola 
pitagórica os números naturais e suas razões formavam a essência de todas as coisas, uma 
descoberta dessa natureza deve ter gerado grande crise. 
Tudo isso constituiu um importante passo na formação do número real.
Essas razões irracionais refletiram-se posteriormente no que viriam a ser os números 
irracionais, ampliando o conceito de número na Grécia e contribuindo para a construção da 
ideia de número real, que foi sendo gra dual mente esclarecida.
3 Propriedades dos radicais
1a propriedade
Considerando o radical 533 , temos: 5 5 5 55 5 533 3
3
1 .
Da mesma maneira: 5 5544 e ( )52 33 5 25, mas ( )52 44 5 5, pois: 
(25)4 5 (25) 8 (25) 8 (25) 8 (25) 5 625 e 6254 5 5.
Ao calcular ( )52 33 , extraímos uma raiz de índice ímpar de um númeronegativo, ou seja, 
12523 . O resultado é um número negativo, 25, pois (25)3 5 2125.
A B
u u u u u u u u
C
u u u
D E
u
F
1
1
2
http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/48/48134/tde-23082012-092642/pt-br.php
http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/48/48134/tde-23082012-092642/pt-br.php
http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/48/48134/tde-23082012-092642/pt-br.php
49BIMESTRE 1
Orientações
Para trabalhar com as pro-
priedades de radicais, or-
ganize a turma em grupos. 
Cada grupo estudará uma 
das propriedades (haverá 
grupos trabalhando com 
a mesma propriedade). 
Depois, escolha um repre-
sentante para explicar a 
propriedade aos demais, 
criando novos exemplos. Ao 
final, faça um fechamento 
coletivo na lousa.
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98
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49CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
2a propriedade
Observe o cálculo abaixo.
Entretanto, ao calcular ( )52 44 , extraímos a raiz de índice par de um número positivo, isto 
é, 6254 , que é 5, pois 54 5 625.
De modo geral:
 � se n é um número natural ímpar, então ann 5 a, sendo a um número real;
 � se n é um número natural par não nulo, então ann 5 OaO, sendo a um número real.
Veja alguns exemplos.
a) 233 5 2
b) ( )22 33 5 22
c) 52 5 o5o 5 5
d) ( )52 2 5 o25o 5 5
Observação
 � Quando o radicando for uma potência de expoente par que tenha na base uma expressão 
literal que represente um número real, vamos admitir que o radicando assume apenas valores 
reais iguais a zero ou maiores que zero.
Assim:
• x x544 Admitindo que x > 0.
• ( )x3 52 2 5 3x 2 5 Admitindo que 3x 2 5 > 0, ou seja, x > 
3
5 .
Assim: 3 3 35 599812 8 412 4 23
Dividindo-se o índice e o expoente do radicando por um mesmo número natural maior 
que zero, o valor do radical não se altera, ou seja:
a a5 99mn m pn p
sendo a um número real positivo, m um número inteiro, n um número natural não nulo 
e p divisor de m e n.
Essa propriedade nos permite simplificar certos radicais, isto é, transformá-los em radicais 
mais simples e equivalentes aos radicais dados.
3812 5 3 12
8
 5 3 3
2
 5 323
Escrevemos a expressão 
na forma de raiz.
Escrevemos a expressão 
na forma de potência.
Simplificamos a 
fração do expoente.
50
Orientações
É importante os alunos per-
ceberem que as proprieda-
des desenvolvidas têm por 
base a definição de expoen-
te fracionário e as proprie-
dades da potenciação.
Se julgar necessário, amplie 
os exemplos na lousa, pe-
dindo a alguns alunos que 
apliquem a propriedade 
envolvida, em situações va-
riadas:
• 32 66 ^ h 5 |23| 5 3
• 377 5 3
• 366 5 |3|
• 32 77 ^ h 5 23
• 5 5 55 514 2 214 22 7||
Do mesmo modo, podemos 
escrever:
5 5 55 522 214887 17
Assim, os alunos se prepa-
ram para a redução dos ra-
dicais ao mesmo índice.
• 3 5 3 5
3 5
8 5 8 5
5 8 5
4 2 4 2
2 2 2^ h
5 32 8 5 5 45
• 512 0 45
12 50 45
3 4 2 25 5 9
3 2 5
3 2 5
5 8 5
5 8 8 5
5 8 8 8 8 8 5
5 8 8 5
5 5 5 5
3 3 3
3
3
3 3 33
33 33 33
5 3 8 2 8 5 5 30
Desse modo, é possível eles 
perceberem que podem 
aplicar mais de uma proprie-
dade, o que os auxiliará na 
obtenção do resultado das 
operações envolvidas.
Outra atividade que pode 
ser desenvolvida com os alu-
nos é a apresentação de ex-
pressões para escreverem na 
forma de um único radical, 
aplicando as propriedades 
estudadas, como nos exem-
plos:
• 2 10 38 583 3 3 
602 10 35 8 8 53 3
• 
10
2 3
10
2 38 5 8 5
3
3 3
3 
10
6
5
35 53 3
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes 
fracionários.
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
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bi
da
. A
rt
. 1
84
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C
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 9
.6
10
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19
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19
98
.
50 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Como exemplo, vamos simplificar os radicais a seguir.
c) 1256 5 536 5 5 99 3 36 3 5 5
Decompomos 125 
em fatores primos.
Dividimos o índice e 
o expoente por 3.
3a propriedade
Observe os cálculos abaixo.
 � 8 8 8 8( )3 5 3 5 3 5 3 55 5 52
1
2
1
2
1
 � 8 8 8 8, , ( , ) ,3
7 6 5 3
7 6 5 3
7 6 5 3
7 6 55 5 54
4
1
4
1
4
1
4 4e eo o
Veja os exemplos.
a) 8 8, ,5 8 3 5 8 353 3 3 b) 8 87 4
5 7 4
5
55 5 5
Veja os exemplos.
a) 7
2
7
2
5 b) 5
3
5
3
53
3
3
4a propriedade
Observe o cálculo abaixo.
3
2
3
2 2
3
2
5 5 5
2
1
2
1
2
1
3
e o
a) 2
1
2
1
2
1
5 5
9
912
9 9 3
12 3
3
4e e eo o o Dividimos o índice e o expoente por 3, que é divisor de 12 e de 9.
b) , , ,3 7 3 7 3 75 5991520 15 520 5 34 Dividimos o índice e o expoente por 5, que é divisor de 20 e de 15.
Em geral, sendo a e b números reais positivos e n um número natural não nulo, temos:
8a bn 5 8a bn n
radical de 
um produto
produto dos 
radicais
Em geral, sendo a e b números reais positivos, com b i 0, e n um número natural 
não nulo, temos:
b
an 5 
b
a
n
n
radical de um 
quociente
quociente 
dos radicais
51BIMESTRE 1
Exercícios propostos
Neste bloco de exercícios, os 
alunos têm a oportunidade 
de aplicar as propriedades 
de radicais e verificar sua 
utilização.
Apresentamos a seguir a re-
solução dos itens do exercí-
cio 13.
a) 10 10 10 105 5 533 13
3
b) ,1 7 175 544 4
4
 
5 1,71 5 1,7
c) 6
5
6
55 5
2 2
2
` `j j 
6
5
6
55 5
1` j
d) 2 2 2 25 5 5144 4
4
Aproveite o exercício 15 
para verificar se os alunos 
ainda têm alguma dificulda-
de com relação à fatoração. 
Segue uma possível resolu-
ção para esse exercício:
a) 3210 5 2510 5 2
b) 276 5 336 5 3
c) A maneira mais direta 
seria perceber que 0,36 5 
5 (0,6)2. No entanto, há ou-
tros caminhos, como:
,0 364 5 36 108 24 2 5
5 6 1082 24 2 5
5 6 108 24 224 5
5 6 8 1021 5 6 108 12 5
5 ,0 6
d) Uma maneira possível 
seria escrever 
0,216 5 216 8 1023, fatorar 
o número 216 e proce-
der como no item c. Mas 
também podemos escrever 
0,216 na forma de fração:
,0 2166 5 .1 000
2166 5
5 8 125
8 27
8
86 5 125
276 5 
5 5
3
3
3
6 5 5
3 3
6 c m 5
5 5
3 5 ,0 6
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19
98
.
51CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Com base nas propriedades que acabamos de estudar, é possível simplificar certos radicais 
tirando fatores do radicando.
Como exemplo, vamos simplificar os radicais a seguir.
a) 8 8850 2 5 2 5 2 5 5 25 5 5 52 2
b) 8 8 8 8 8 824 2 3 2 2 3 2 2 3 2 6 2 65 5 5 5 53 2 2
c) 
8 8
64
625
64
625
2
5 5
2
5 5
4
5 5
5 5 5 53
3
3
63
33
2
33 3 3
Da mesma forma que podemos tirar fatores do radicando, podemos fazer o inverso, ou seja, 
introduzir fatores externos no radicando. Veja alguns exemplos.
a) 82 5 2 55 2
b) 83 5 3 553 33
c) 82 18 2 1854 44
d) 87 7 7 7 75 523 3 23 53
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 13 Calcule:
a) 1033 10 c) 6
5
2
e o 
6
5
b) ,1 744 1,7 d) 244 2
 14 Simplifique os radicais.
a) 569 523 c) 1136 11
b) 32015 343 d) 7218 79
 15 Decomponha o radicando em fatores primos 
e simplifique os radicais.
a) 3210 2
b) 276 3
c) ,0 364 ,0 6
d) ,0 2166 ,0 6
 16 Simplifique os radicais, sa bendo que a > 0, 
x > 0, y > 0 e m > 0.
a) a36 a c) y69 y23
b) x1520 x34 d) m1012 m56
 17 Transforme em um produto de radicais.
a) 84 5 84 5
b) 82 33 82 33 3
c) 87 104 87 104 4
 20 Introduza nos radicais os fatores externos em 
cada caso.
a) 2 5 82 52 d) 3
2 5 8
3
2 5
2
2
b) 3 23 83 233 e) ,0 2 23 ( , ) 80 2 233
c) 8 82 3 102 3 f) 2 34 82 344
( ) 8 82 3 102 3 33
 19 Simplifique os radicais.
a) 8 2 2 d) 8 82 3 57 5 44
b) 827 53 3 53 e) 1623 3 63
c) 275 2 45 f) 83 43 126 16 276
30 244
 18 Represente como um quociente de radicais.
a) 5
2 
5
2
 b) 5
183 
5
18
3
3
 c) 9
25
9
2
5
5
52
Adição algébrica