1Documento de Rhy Donato

Prévia do material em texto

Determinantes 
 As matrizes quadradas, estudadas anteriormente, podem ser associadas a um 
número real chamado “determinante”, que é calculado segundo regras que variam, de 
acordo com a ordem da matriz. Dessa forma toda matriz quadrada terá um determinante. 
Determinante de matrizes de primeira, segunda e terceira ordem 
 Veremos a seguir como obter os determinantes das matrizes até terceira ordem. 
Determinante de matrizes de primeira ordem 
 Dada uma matriz 𝐴 = [𝑎11] , de ordem 1, definimos o determinante de A, 
representado por det(A) ou |𝐴|, ao elemento 𝑎11 
𝑨 = [𝒂𝟏𝟏] → 𝐝𝐞𝐭(𝑨) = 𝒂𝟏𝟏 
 Assim, por exemplo, se A=[2], então det(a)= |𝐴| = 2 
 Fica claro que, quando a matriz é de ordem 1, o único elemento que a compõe 
é também o determinante dessa matriz. 
Determinante de matrizes de segunda ordem 
 Considerando-se uma matriz A, de ordem 2, o determinante de A é igual ao 
produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da 
diagonal secundária. 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
] 
Det(a) = 𝒂𝟏𝟏 . 𝒂𝟐𝟐 − 𝒂𝟏𝟐 . 𝒂𝟐𝟏 
 Por exemplo, se A = [
5 2
3 4
], então det(A) = |
5 2
3 4
| = 5.4 – 3.2 = 14 
Determinante de matrizes de terceira ordem 
 Considere uma matriz genérica quadrada A, de ordem 3: 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] 
 Definimos o determinante de A ao número dado por: 
Det(A) = 𝒂𝟏𝟏 . 𝒂𝟐𝟐 . 𝒂𝟑𝟑 + 𝒂𝟐𝟏 . 𝒂𝟑𝟐 . 𝒂𝟏𝟑 + 𝒂𝟑𝟏 . 𝒂𝟏𝟐 . 𝒂𝟐𝟑 - 𝒂𝟏𝟑 . 𝒂𝟐𝟐 . 𝒂𝟑𝟏 - 
𝒂𝟏𝟏 . 𝒂𝟐𝟑 . 𝒂𝟑𝟐 - 𝒂𝟏𝟐 . 𝒂𝟐𝟏 . 𝒂𝟑𝟑 
 Para exemplificar, observe o cálculo do determinante da matriz 
A = [
2 1 3
1 5 4
6 2 1
] 
Det(A) = 2.5.1 + 1.4.6 + 3.1.2 – 3.5.6 – 2.4.2 – 1.1.1 = -67 
 Uma forma mais simples de se visualizar os produtos anteriores e, assim, 
calcular com mais facilidade o valor do determinante de uma matriz de ordem 3, 
é utilizar a Regra de Sarrus. A Regra de Sarrus faz referência ao matemática 
francês Pierre Frédéric Sarrus (1798 – 1861) e é utilizada apenas no cálculo de 
determinantes de 3ª ordem. Acompanhe como podemos utilizar a regra: 
1- Considere novamente a matriz A anterior e de ordem 3: 
A = [
2 1 3
1 5 4
6 2 1
] 
2- Reescreva, ao lado da 3ª coluna, a 1ª e a 2ª colunas do determinante 
correspondente: 
A = |
2 1 3
1 5 4
6 2 1
|
2 1
1 5
6 2
 
3- Efetue os produtos em diagonal, mantendo o sinal dos resultados à direita 
e trocando o sinal dos resultados à esquerda. 
A = |
2 1 3
1 5 4
6 2 1
|
2 1
1 5
6 2
 
 -90-16-1 +10+24+6 
4- Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante 
associado à matriz dada 
Det(A) = -90-16-1+10+24+6 = -67