Centro de Massa e Gravidade

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MECÂNICA 
APLICADA
Ronei Stein
Cinética angular: 
centro de massa
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir centro de massa e centro de gravidade.
 � Identificar o centro de gravidade de objetos regulares e irregulares.
 � Reconhecer o comportamento do centro de gravidade no corpo 
humano.
Introdução
O centro de massa de um determinado corpo é um ponto que se com-
porta como se toda a massa contida nele estivesse concentrada sobre ele. 
Ou seja, o centro de massa consiste no ponto em que se pode admitir que 
a massa esteja concentrada — diferentemente do centro de gravidade, 
que consiste no ponto de aplicação da resultante das forças de gravidade 
que atuam em cada partícula de um sistema.
Nos campos gravitacionais uniformes, o centro de gravidade coincide 
com o centro de massa. Neste texto, você compreenderá um pouco mais 
sobre os conceitos relacionados a centro de massa e centro de gravidade, 
bem como aprenderá a identificar esses centros em objetos regulares e 
irregulares e conhecerá a importância do centro de gravidade no corpo 
humano. 
Centro de massa
Centro de massa (CM) é usado para facilitar o estudo do movimento dos cor-
pos rígidos, sendo um conceito da física mecânica, que estuda o movimento 
de uma forma geral. De acordo com Halliday e Resnick (2012), definimos o 
CM de um sistema de partículas (uma pessoa, por exemplo) para podermos 
determinar com mais facilidade o movimento do sistema. 
Uma bola arremessada para cima segue uma trajetória parabólica (Figura 1a). O CM de 
uma lâmpada jogada para cima com um movimento de rotação segue uma trajetória 
parabólica (Figura 1b), mas todos os outros pontos da lâmpada seguem trajetórias curvas 
mais complexas. Cada extremidade da lâmpada move-se em uma direção diferente, e 
as duas extremidades têm um movimento diferente do ponto do meio. No entanto, 
se olharmos o movimento da lâmpada mais de perto, veremos que há um ponto dela 
que se move em uma trajetória parabólica, mesmo que o resto da lâmpada não o faça.
Figura 1. CM de um sistema de partículas.
Fonte: Adaptada de ra2studio/Shutterstock.com; adaptada de pathdoc/Shutterstock.com.
Cinética angular: centro de massa2
De modo geral, o CM de um sistema de partículas é o ponto que se move 
como se: (1) toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto; 
(2) todas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto (HALLIDAY; 
RESNICK, 2012).
A massa de um objeto é uma medida de sua resistência a uma variação de sua velo-
cidade. Por exemplo, um carrinho empurrado ao longo do piso de um supermercado 
é mais difícil de parar quando está carregado do que quando está vazio. O sistema 
(carrinho mais sua carga) é mais massivo quando carregado. A massa é uma quantidade 
escalar e aditiva (KELLER; GETTYS; SKOVE, 1997). Isto é, se unirmos dois objetos de 
massas m1 e m2, a massa m12 do sistema composto será:
m12 = m1 + m2
O conhecimento em torno do conceito e dos valores e localização do CM 
são importantes em diversas situações que, muitas vezes, inclusive, fogem das 
áreas que imaginamos. Por exemplo, em nosso corpo, o CM fica na altura da 
coluna. Tendo conhecimento disso, sabe-se que é recomendado, ao levantar 
coisas mais pesadas, que os joelhos sejam flexionados, redistribuindo a massa 
e impedindo que o peso gerasse danos à coluna.
Para a física, ela ajuda a resolver a questão em torno dos corpos rígidos 
que têm um número de partículas infinitas, pois, sem esse conceito, haveria 
várias equações, ou seja, uma para cada partícula.
De acordo com Knight (2009), um objeto sem vínculo (por exemplo, um eixo 
fixo ou pivô), sobre o qual não existe uma força resultante exercida, gira em 
torno de um ponto especial chamado de CM. Este se mantém imóvel enquanto 
todos os outros pontos do objeto descrevem movimentos circulares em torno 
dele. O CM da Figura 2 modela o corpo como se este fosse constituído por 
partículas enumeradas pelo índice i = 1, 2, 3, ... A partícula i tem massa m1 e 
está localizada na posição (xi, y1). 
3Cinética angular: centro de massa
Figura 2. Rotação em torno do centro de massa.
Fonte: Knight (2009, p. 343).
y
ycm
xcm
yi
xi
x0
0
Centro de massa
Partícula i de
massa m1
Logo, o CM está localizado na posição:
xcm =
1
M ∑mi xi =i
m1x1 + m2x2 + m3 x3 + ...
m1 + m2 + m3 + ...
ycm =
1
M ∑mi yi =i
m1y1 + m2y2 + m3 y3 + ...
m1 + m2 + m3 + ...
Knight (2009) apresenta um exemplo bastante simples. Imagine que uma bola de 500 g 
e outra de 2,0 kg estão ligadas por uma haste de massa desprezível e comprimento 
de 50 cm (Figura 3).
m1 = 2,0 kg
x1 = 0 x2 = 0,50 m
x
xcm
m2 = 500 g
r1 r2
Figura 3. Determinação do centro de massa.
Fonte: Knight (2009, p. 343).
Cinética angular: centro de massa4
Dessa forma, pede-se:
a) Onde se encontra o CM?
b) Qual é o módulo de velocidade de cada bola, se elas rodam em torno do CM a 
40 rpm?
Resposta:
a) Utilizando a equação a seguir, pode-se encontrar o CM:
Xcm = (m1x1 + m2x2) / m1 + m2
Logo:
Xcm = (2,0 kg)(0,0)m + (0,50 kg)(0,50m) / (2,0 kg + 0,50 kg) = 0,10 m.
Nesse caso, ycm = 0 porque todas as massas se encontram sobre o eixo x. O CM 
localiza-se a 20% mais próximo da bola de 2,0 kg do que da bola de 0,5 kg.
b) Cada bola gira em torno do seu CM. Os raios dos círculos descritos são r1 = 0,10 m 
e r2 = 0,40 m. As velocidades tangenciais são dadas por (vi)1 = riW, porém essa 
equação requer que W esteja em rad/s, sendo a conservação:
W = 40 rev/min × 1min/60s × 2πrad/1 rev = 4,19 rad/s
Consequentemente:
(v1)t = r1W = (0,10 m) (4,19 rad/s) = 0,42 m/s
(v2)t = r2W = (0,40 m) (4,19 rad/s) = 1,68 m/s
Observações: o CM é mais próximo da bola mais pesada do que da mais leve. Isso era 
de se esperar, pois xcm é uma média ponderada das posições das massas constituintes. 
Mas a massa menor é mais rápida por estar mais afastada do eixo de rotação.
Centro de gravidade
As leis de Kepler proporcionam uma descrição da forma como os planetas se 
movem, mas não fornecem nenhuma indicação sobre por que o fazem desse 
modo, e não de outro. Depois da formulação das leis de movimento, a segunda 
contribuição de Newton foi a formulação da lei da gravitação universal. Esta lei 
prevê a interação atrativa entre dois corpos, planetas ou pequenas partículas, 
que produz um movimento que está de acordo com a descrição dada pelas 
leis de Kepler (ALONSO; FINN, 1999).
5Cinética angular: centro de massa
Veja, a seguir, as três leis de Kepler que tratam dos movimentos dos planetas.
1. Os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do sol, que ocupa um dos focos 
da elipse.
2. As áreas varridas pelo segmento imaginário que une o centro do sol ao centro do 
planeta são proporcionais aos tempos gastos em varrê-las.
3. O quadrado do período de revolução dos planetas é proporcional ao cubo de sua 
distância média do sol.
O centro de gravidade (CG) pode ser definido como o único ponto de um 
corpo ao redor do qual todas as partículas de sua massa estão igualmente dis-
tribuídas. Um corpo pode ser considerado composto por pequenos segmentos. 
O peso resultante desse corpo corresponde ao somatório das forças-peso que 
atuam em cada um desses segmentos. O local onde é aplicada a resultante 
das forças-peso é o CG.
Na física, o CG (também chamado de baricentro de um corpo, em algumas bibliografias) 
é o ponto em que pode ser considerada a aplicação da força de gravidade de todo 
o corpo formado por um conjunto de partículas. Essas partículas são atraídas para o 
centro da Terra, cada qual com sua força-peso. CG, portanto, é o ponto em que se 
pode equilibrar todas essas forças de atração.
Identificação do centro de gravidade
Nas figuras geométricas regulares, o CM coincide com o centro geométrico 
(centroide), no encontro dos eixos de simetria. Assim, conhecendo-se as 
dimensões da figura, é possível calcular o CM. Em um corpo homogêneo, o 
CG coincide com o centro geométrico. 
Cinética angular: centro de massa6
O CM é um ponto quese comporta como se toda a massa de um corpo estivesse 
concentrada sobre ele, conforme pode ser observado na Figura 4. O seu cálculo 
depende da distribuição da massa do corpo. 
Figura 4. Localização do centro de massa.
Fonte: Adaptada de K Satdamrong/Shutterstock.com.
Mas como exatamente se calcula o CM? Em figuras planas homogêneas, 
utiliza-se a seguinte regra: o CM de uma figura plana homogênea localiza-se 
sobre o seu eixo de simetria. Porém, caso um determinado corpo apresentar 
dois eixos de simetria, o CM estará na intersecção entre eles. De modo geral, 
o eixo de simetria refere-se a uma linha que divide um corpo em duas partes 
iguais ou simétricas. Dessa forma, tem-se:
 � para retângulos — o CM fica sobre os eixos de simetria que dividem 
ao meio a altura (h) e a base (b). Para calcular o CM, basta dividir a 
altura e a base por dois.
 � para círculos — o CM fica localizado exatamente no centro da circun-
ferência, uma vez que o eixo de simetria do círculo é uma reta que vai de 
uma de suas extremidades à outra, passando exatamente pelo seu centro.
 � em triângulos — pelo fato de a base do triângulo retângulo ser mais 
larga, a maior parte de sua massa encontra-se na parte inferior. O CM 
do triângulo retângulo localiza-se a um terço de sua altura e base.
7Cinética angular: centro de massa
A fim de facilitar o entendimento, a Figura 5 apresenta o CM de algumas 
formas regulares.
Figura 5. CM das principais figuras regulares.
C
CM CM
CM
h
h
b
b
b/2
h/2
h/
3
b/3
Quando se trata de figuras planas, o CM deve ser calculado de forma 
individual para cada figura. Ou seja, inicialmente, deve-se encontrar o CM e, 
após, somar os mesmos. Para isso, devemos adotar um sistema de referência, 
conforme demonstrado na Figura 6.
Figura 6. Exemplo de centro de massa de uma figura composta.
y
x
CM1 CM2
Observando a Figura 6, percebe-se que ela é composta por um quadrado e 
um triângulo retângulo. Teixeira (2018) menciona que, após adotar o sistema 
de referência (x,y), se deve considerar o CM de cada uma das figuras. Nesse 
Cinética angular: centro de massa8
caso, adotou-se o índice 1 para o quadrado e 2 para o triângulo. Para calcular 
as coordenadas do CM da figura inteira, deve-se somar as coordenadas das 
figuras individuais, por meio da equação:
CCM = (m1X1 + m2X2)/(m1 + m2) YCM = (m1Y1 + m2Y2)/(m1 + m2)e
A posição do CG de um objeto depende da distribuição do peso deste. 
Para um objeto de formato regular (cubo, círculo, etc.), o CG está localizado 
no centro geométrico do objeto. Para um objeto de formato irregular, o CG 
pode estar dentro ou fora deste, conforme mencionado por Watkins (2014).
Imagine que a peça apresentada na Figura 7 seja feita de concreto, sendo que o seu 
peso específico é igual a 2.500 kg/m3. Como podemos calcular o CG desta peça?
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
1
T1
T2
Figura 7. Cálculo do centro de gravidade de uma figura irregular.
Fonte: Barbosa (2017).
Resposta:
Calculando o CG de cada figura conhecida, é possível determinar o CG da peça irre-
gular por meio da média ponderada dos CGs de cada uma (V1, V2, V3 e V4). Calculando 
o volume e as massas, tem-se:
V1 = 2 ∙ 1 ∙ 1 = 2m³ = 2 ∙ 2,500kg/m³ = 5.000 kg 
V2 = 1 ∙ 2 ∙ 1 = 2m³ = 2 ∙ 2,500kg/m³ = 5.000 kg 
V3 = 1,5 ∙ 2 ∙ 1 = 3m³ = 3 ∙ 2,500kg/m³ = 7.500 kg 
V4 = 3 ∙ 1 ∙ 1 = 3m³ = 3 ∙ 2,500kg/m³ = 7.000 kg 
Total: 25.000 kg
9Cinética angular: centro de massa
Cálculo do CG:
X = (M1 ∙ 0,5 + M2 ∙ 2,0 + M3 ∙ 4 + M4 ∙ 4,5) / (25.000) = (2.500 + 10.000 + 30.000 + 
41.250) / 25.000 = 3,35
Y = (M1 ∙ 1 + M2 ∙ 0,5 + M3 ∙ 0,75 + M4 ∙ 1,5) / (25.000) = (5.000 + 2.500 + 5.625 + 
11.250) / 25.000 = 0,975
Logo, a peça de concreto de formato irregular tem CG em relação à sua borda 
esquerda de: X = 3,35 e altura Y = 0,975.
Centro de gravidade no corpo humano
De acordo com Watkins (2014), o corpo humano é composto de vários seg-
mentos ligados por articulações, sendo que cada um deles contribui para o 
peso total do corpo. O movimento dos segmentos do corpo em relação a outro 
altera a distribuição do peso. Porém, em qualquer postura corporal, o corpo se 
comporta como se o seu peso total estivesse concentrado em um único ponto, 
chamado de centro de gravidade (CG). Dessa forma, o CG se aplica a todos 
os objetos, sejam eles animados ou inanimados.
Ou seja, sabendo-se que o corpo é continuamente atraído pela gravidade, 
e que ele pode sustentar-se em qualquer postura, é necessária uma força 
antigravitacional feita pelos músculos. A resultante entre essas duas forças 
opostas chama-se centro de gravidade corporal (BIENFAIT, 2000).
Como visto anteriormente, o CG se refere a um ponto onde está concen-
trada toda a massa do corpo, porém sem que seu comportamento mecânico 
seja alterado. O corpo humano tem formato irregular, sendo que o CG está 
intimamente ligado ao equilíbrio corporal, podendo ser definido como: 
 � o ponto exato em que o corpo poderia ser teoricamente rodado livre-
mente em todas as direções; 
 � o centro em torno do qual o corpo deveria ter o mesmo peso;
 � o ponto de interseção dos três planos cardinais do corpo: o sagital, o 
frontal e o transverso.
Cinética angular: centro de massa10
O equilíbrio corporal é hoje uma das capacidades físicas mais estudadas. Os estudos 
direcionados a esse tema buscam identificar as causas dos desequilíbrios, a preven-
ção de quedas, as estratégias de manutenção da postura e a interação dos sistemas 
sensoriais envolvidos na estabilidade (LEMOS; TEIXEIRA; MOTA, 2009).
Quando todos os segmentos do corpo estão combinados, e o corpo é dado 
como um único objeto sólido na posição anatômica, o CG fica aproximadamente 
anterior à segunda vértebra sacral. A posição precisa do CG para uma pessoa 
depende de suas proporções e tem a magnitude igual ao peso da mesma.
Por exemplo, Watkins (2014) menciona que o CG em um adulto do sexo 
masculino, na posição de pé, está localizado dentro do seu corpo, perto do 
umbigo, ou seja, em aproximadamente 54% de sua estatura, quando medido a 
partir do chão e exatamente entre a parte da frente e a parte de trás do corpo. 
Mas o mesmo autor menciona que o movimento do tronco, que representa 
aproximadamente 50% do peso corporal, provavelmente resultará em grandes 
mudanças, quando ocorre a completa flexão do tronco, fazendo com que o 
CG fique localizado fora do corpo.
No instante em que se procura levantar um objeto do chão, o centro de 
gravidade ou de equilíbrio do organismo são modificados, obrigando um 
grupo de músculos a se contraírem e outros a se relaxarem para permitir que o 
corpo fique nessa posição, sem cair. A cada instante, o corpo humano executa 
seguidamente inúmeros movimentos, obrigando a coluna (vértebras, discos, 
articulações) e os músculos a uma ação constante de equilíbrio.
Em relação ao CG no corpo humano, é importante destacar as seguintes 
afirmações.
 � O CG é o único ponto de um corpo ao redor do qual todas as partículas 
de uma massa estão igualmente distribuídas.
 � O CG nos homens refere-se a 56 a 57% do total da altura (S2) e nas 
mulheres cerca de 55%.
 � As constituições físicas e a distribuição do peso interferem no CG.
 � As crianças e os adolescentes apresentam um CG mais alto.
 � O deslocamento do CG é proporcional à massa do corpo afetada, logo 
uma mudança na posição anatômica deslocará o CG.
11Cinética angular: centro de massa
De acordo com Knoplich (2009), no CG, a soma dos movimentos devido 
ao peso de todas as partes do corpo é igual a zero, atingindo um equilíbrio. 
O equilíbrio do corpo é obtido quando está em repouso ou num movimento 
em contrabalanço de outro conjunto de forças ou movimentos. O conceito de 
equilíbrio está baseado na segunda lei de Newton, que diz que todas as forças 
e todos os movimentos devem ser balanceados com outros equivalentes para 
não movimentar um corpo. Portanto, quando o corpo está em equilíbrio, diz-se 
que ele está balanceado.
Existem alguns experimentos que podem ser realizados no corpo humano, a fim de 
ilustraro CG. Veja alguns deles a seguir.
 � Fique de pé bem junto a uma parede, tente levantar os calcanhares e manter-se 
desse jeito. Você verá que isso não é possível.
 � Encoste o ombro em uma parede, tente levantar a perna mais afastada e  manter-se 
nessa posição. Por meio dessa experiência, é possível perceber que o equilíbrio 
exige um deslocamento do corpo que mantenha a vertical passando pelo CG e 
pela base de apoio do corpo.
 � Tocar os pés com as mãos sem dobrar os joelhos, com o corpo junto a uma parede, 
é impossível.
Bienfait (2000) menciona que a postura inadequada produz deslocamen-
tos no eixo de gravidade do corpo, resultando na sobrecarga de músculos 
e articulações. Quando a musculatura da estática permanece longo tempo 
em desequilíbrio, uma série de forças anormais começa a atuar sobre todo o 
corpo. Essas forças causam compressões, torções e estiramentos de músculos, 
articulações, ligamentos e fáscias, gerando vários desconfortos (dor, câim-
bras, enrijecimentos, contraturas e fadiga) com repercussão imediata sobre a 
harmonia e eficiência dos movimentos nas regiões afetadas.
Cinética angular: centro de massa12
ALONSO, M.; FINN, E. Física. Portugal: Escolar, 1999.
BARBOSA, J. Importância da identificação do “CG” da peça na “movimentação de carga”. 
Consultoria Engenharia, 31 mai. 2017. Disponível em: <https://consultoriaengenharia.com.
br/seguranca-ocupacional/importancia-da-identificacao-do-centro-de-gravidade-da- 
peca-na-movimentacao-de-carga/>. Acesso em: 9 ago. 2018.
BIENFAIT, M. As bases da fisiologia da terapia manual. São Paulo: Summus, 2000.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos de física: mecânica. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2012. v. 1.
KELLER, F. J.; GETTYS, W. E.; SKOVE, M. J. Física. São Paulo: Makron Books, 1997. v. 1.
KNIGHT, R. Física 1: uma abordagem estratégica. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009.
KNOPLICH, J. Movimento do corpo: centro de gravidade. Concurso e Fisioterapia, 2009. 
Disponível em: <http://www.concursoefisioterapia.com/2009/04/movimentos-do- 
corpo-centro-de-gravidade.html>. Acesso em: 9 ago. 2018.
LEMOS, L. F. C.; TEIXEIRA, C. S.; MOTA, C. B. Uma revisão sobre CG e equilíbrio corporal. 
Revista Brasileira de Ciência e Movimento, v. 17, n. 4, p. 83-90, 2009.
TEIXEIRA, M. M. Centro de massa. Brasil Escola, 2018. Disponível em <https://brasilescola.
uol.com.br/fisica/centro-massa.htm>. Acesso em: 9 ago. 2018.
WATKINS, J. Estrutura e função do sistema musculoesquelético. Porto Alegre: Artmed, 2014.
Leitura recomendada
HEWITT, P. G. Fundamentos da física conceitual. Porto Alegre: Bookman, 2009.
Cinética angular: centro de massa14