Artigo 1 - Amabili Sena - Método de Romberg

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Método de Integração de Romberg 
 
 Amabili Sena dos Santos 
Universidade Estadual de Feira de Santana 
 
 
 Resumo ⎯ Os métodos numéricos é um algoritmo composto por 
um número finito de operações envolvendo apenas números. Com 
avanço da tecnologia, atualmente engenheiros e cientistas utilizam 
de softwares para a realização destes métodos, porém é necessário 
possuir conhecimentos teóricos para a execução deste. Existem 
alguns tipos de métodos, um deles é o método da integração, que se 
baseia na aproximação de integrais definidas, um desses é o Método 
da Integração de Romberg. O MatLab é um dos softwares que 
utilizamos para desenvolver e resolver esses tipos de método 
 
 
 Palavras-chaves ⎯ Integração, Romberg, Métodos Númericos, 
Software, algoritmo 
 
 Abstratc ⎯ Numerical methods is an algorithm composed of a 
finite number of operations involving only numbers. With advances 
in technology, engineers and scientists currently use software to 
carry out these methods, but it is necessary to have theoretical 
knowledge to implement this. There are some types of methods, one 
of them is the integration method, which is based on the 
approximation of definite integrals, one of them is the Romberg 
Integration Method. MatLab is one of the software we use to 
develop and solve these types of methods. 
 
Keywords ⎯ Romberg, Integration, Numerical Methods, 
software, algorithm 
 
INTRODUÇÃO 
 
Segundo (GILLAT; SUBRAMANIAN,2008), os métodos 
numéricos “são técnicas matemáticas usadas na solução de 
problemas matemáticos que não podem ser resolvidos ou que são 
difíceis de se resolver analiticamente.” 
A medida que a tecnologia dos computadores foi avançando, o uso 
de softwares se tornou comum para a realização destes métodos, 
porém para usarmos esses softwares, precisamos ter o conhecimento 
da teoria básica e fundamental desses métodos. 
 Um dos softwares que utilizamos é o MATLAB (abreviatura do 
inglês MATrix LABoratory - Laboratório de Matrizes) é um 
programa de computador otimizado para computação numérica de 
análise e visualização de dados. Surgiu como um programa para 
operações matemáticas sobre matrizes, mas com o passar dos anos 
foi sendo aperfeiçoado para um sistema computacional bastante útil 
e flexível (BECKER et al., 2010) 
 Neste artigo iremos analisar o Método da Integração de Romberg, 
que é um método de Integração Númericas. Os métodos da 
integração numéricas, aproximam valores de integrais definidas, 
eles podem ser divididos em abertos e métodos fechados e podem 
ser resolvidos com o emprego das fórmulas de Newton- Cotes O 
Método de Romberg é uma Fórmula de Newton-Cotes, ela avalia o 
integrante em pontos igualmente espaçados. Iremos discutir esse 
método ao decorrer deste artigo. 
 
MÉTODO DA INTEGRAÇÃO DE 
ROMBERG. 
 
Segundo GILLAT; SUBRAMANIAN (2008) a integração de 
Romberg é um esquema usado para melhorar a precisão do valor 
estimado de uma integral que emprega sucessivamente a fórmula de 
extrapolação de Richardson. O esquema usa uma série de 
estimativas iniciais da integral, que são calculadas com o método 
trapezoidal composto usando diferentes números de subintervalos. 
 
Para CHAPRA (2012) A integração de Romberg é uma técnica 
desenvolvida para produzir integrais numéricas eficientes de 
funções. 
 Ela é baseada em aplicações sucessivas da regra do trapézio; 
entretanto, mediante manipulações matemáticas, são obtidos 
resultados superiores com menos esforço. 
Sendo assim, a integração de Romberg é um algoritmo projetado 
para construir quadraturas de alta ordem de forma iterativa a partir 
do método dos trapézios. (UFRGS, 2020) O método possui a 
seguinte fórmula. 
 
 (1) 
 
 
Em geral, em que I j+1,k-1 and I j,k-1 são respectivamente as 
estimativas anteriores mais e menos precisas, e I j,k é a nova 
estimativa. 
 
O Método de Integração de Rombergé o processo que combina 
sistematicamente integrações de ordem inferior para obter 
estimativas cada vez mais precisas. 
 
A ideia central do método de Romberg, consiste em usar a 
extrapolação de Richardson para construir métodos de maior ordem 
a partir dos métodos dos trapézios. A seguir temos um exemplo com 
a utilização do método, foi retirado do livro Métodos Númericos 
Aplicados com MatLab para engenheiros e cientistas, ed 3 
 
APLICAÇÃO DO MÈTODO 
 
Exemplo 1- Uma aplicação do Método de 
Integração de Romberg 
 
>> f=@(x) 0.2+25*x-200*x.^2+675*x.^3-
900*x.^4+400*x.^5; 
>> romberg(f,0,0.8) 
ans = 
1.6405 
function [q,ea,iter]=romberg(f 
unc,a,b,es,maxit,varargin) 
% romberg: Integração de Romberg 
% q = romberg(f unc,a,b,es,maxit,p1,p2,...): 
% Integração de Romberg. 
% entrada: 
% func = nome da função a ser integrada 
% a, b = limites de integração 
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=F%C3%B3rmula_de_Newton-Cotes&action=edit&redlink=1
Danilo Gonçalves
1-justificar o texto (formatação
2-não introduziu o tema, nesse aspecto foi bastante superficial no último parágrafo.
Danilo Gonçalves
a explicação foi muito superficial
% es = erro relativo desejado (padrão = 
0.000001%) 
% maxit = número máximo de iterações (padrão 
= 30) 
% pl,p2,... = parâmetros adicionais usados 
por func 
% saída: 
% q = estimativa da integral 
% ea = erro relativo aproximado (%) 
% iter = número de iterações 
if nargin<3,error('são necessários pelo menos 
3 argumentos de 
entrada'),end 
if nargin<4|isempty(es), es=0.000001;end 
if nargin<5|isempty(m axit), maxit=50;end 
n = 1; 
I(1,1) = trap(f unc,a,b,n,varargin{:}); 
iter = 0; 
while iter<maxit 
iter = iter+1; 
n = 2^iter; 
I(iter+1,1) = trap(f unc,a,b,n,varargin{:}); 
for k = 2:iter+1 
j = 2+iter-k; 
I(j,k) = (4^(k-1)*I(j+1,k-1)-I(j,k-1))/(4^(k-
1)-1); 
end 
ea = abs((I(1,iter+1)-
I(2,iter))/I(1,iter+1))*100; 
if ea<=es, break; end 
end 
q = I(1,iter+1); 
 
Exemplo 1: Aplicação do Método da Integração de Romberg no 
MatLab 
 
CONCLUSÃO 
O uso de softwares facilita o entendimento e o discernimento dos 
métodos numéricos, porém seu uso deve ser fundamentado nos 
conhecimentos teóricos que são primordiais. O método da 
Integração de Romberg é um projeto usado para aprimorar a 
precisão do valor estimado de uma integral, para entende-lo é 
necessário ter um conhecimento prévio de outros métodos de 
interação. O uso de software facilita a leitura e o entendimento 
direto do método 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
[1] BECKER, A. J.; SILVA, D. M. I.; DIAS, F. H. S.; PINHEIRO, L. K. 
Noções Básicas de Programação em MATLAB. Santa Maria, 2010. 68 
[2] Chapra, Steven C. Métodos numéricos aplicados com MATLAB para 
engenheiros e cientistas; ed. 3. 
[3] Gilat, AmosPozo. Métodos numéricos para engenheiros e cientistas uma 
introdução com aplicações usando o MATLAB / Amos Gilat, Vish 
Subramaniam ; tradução Alberto Resende de Conti. – Dados eletrônicos. 
– Porto Alegre : Bookman, 2008. 
[4]Método de Romberg. UFRGS Disponível em: 
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-py/in-
metodo_de_romberg.html. Acesso em 26.set.2021 
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-py/in-metodo_de_romberg.html
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-py/in-metodo_de_romberg.html