Trigonometria no círculo trigonométrico

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DESCRIÇÃO
Generalização das linhas trigonométricas no círculo trigonométrico e principais aplicações.
PROPÓSITO
Compreender e utilizar as definições e propriedades das linhas trigonométricas no círculo
trigonométrico.
PREPARAÇÃO
É útil dispor de uma calculadora, papel, lápis e borracha.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Reconhecer as linhas trigonométricas seno, cosseno, tangente e secante no círculo trigonométrico
MÓDULO 2
Reconhecer as linhas trigonométricas cotangente e cossecante no círculo trigonométrico
MÓDULO 3
Identificar simetrias no círculo trigonométrico
MÓDULO 4
Resolver equações trigonométricas básicas
INTRODUÇÃO
O CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO: AMPLIANDO
CONCEITOS
AVISO: Orientações sobre unidades de medida
ORIENTAÇÕES SOBRE UNIDADES DE MEDIDA
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km). No
entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade (ex.:
javascript:void(0)
25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais materiais escritos por você devem seguir o
padrão internacional de separação dos números e das unidades.
MÓDULO 1
 Reconhecer as linhas trigonométricas seno, cosseno, tangente e secante no círculo
trigonométrico
INTRODUÇÃO
O SENO, COSSENO, TANGENTE E SECANTE
NO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
O CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
Já generalizamos os conceitos de ângulos e arcos. Agora, para estender as linhas
trigonométricas para qualquer ângulo ou arco, devemos refinar nossas pistas circulares
supondo que seu raio seja a unidade de medida de um sistema de eixos. Vejamos:
CARACTERÍSTICAS DO CÍRCULO
TRIGONOMÉTRICO
Em um sistema de eixos perpendiculares, de origem no ponto O(0; 0), traçamos um círculo cujo
raio é a unidade de medida do sistema de eixos ou seja, por construção, o raio tem medida 1.
Os pontos dos eixos que intersectam o círculo são normalmente designados pelas letras A, B, A’ e
B’: A(1; 0), A’(-1;0), B(0;1) e B’(0;-1), como mostra a figura.
O ponto A será, por convenção, a origem do traçado de nossos arcos e ângulos e adotaremos o
sentido horário como sentido negativo e o sentido oposto, chamado de sentido
trigonométrico, como sentido positivo.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
 ATENÇÃO
Note que, conhecido o ponto extremidade de um arco (ponto P da figura), não sabemos a sua
medida, pois há infinitos arcos côngruos, com origem em A e extremidade em P (ou seja, o arco
pode ter se desenvolvido dando um número qualquer de voltas completas antes de atingir o ponto
P).
A TRIGONOMETRIA AMPLIANDO SEUS
HORIZONTES
AS LINHAS SENO E COSSENO NO CÍRCULO
TRIGONOMÉTRICO
 COMENTÁRIO
Já definimos e estudamos as linhas trigonométricas para ângulos agudos de um triângulo
retângulo.
É interessante, agora que ampliamos o conceito de arcos e ângulos, que também sejam
generalizados os conceitos de seno, cosseno e demais linhas trigonométricas para arcos e
ângulos quaisquer.
Em essência, queremos dar sentido a expressões como sen 1200, cos 3000, tg - 5000 ,
sec 18000, cossec - 3000 e cot 3150 , por exemplo.
A generalização das linhas trigonométricas de um ângulo arbitrário é muito interessante e simples,
pois depende apenas das coordenadas – abscissa e ordenada, do ponto extremidade do arco ou
ângulo.
Vamos, então, generalizar a definição das linhas trigonométricas, começando pelo seno e pelo
cosseno de um arco:
O SENO E O COSSENO DE UM ARCO ARBITRÁRIO SÃO
DEFINIDOS, RESPECTIVAMENTE, PELA ORDENADA E PELA
ABSCISSA DE SUA EXTREMIDADE (PONTO P).
Mas se já conhecemos o que é o seno e o cosseno de um ângulo agudo para ângulos agudos,
essa nova definição tem que ser consistente com aquela!
( )
( ) ( )
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Vejamos:
Seno
O seno de um ângulo agudo foi definido como a razão entre o cateto oposto ao ângulo α e a
hipotenusa (raio); logo, a ordenada do ponto P coincide com o seno de α.
Logo:
sen α =
cateto oposto
hipotenusa =
PQ
Raio
sen α =
PQ
1 = PQ
sen α = ordenada do ponto P
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Cosseno
O cosseno de um ângulo agudo foi definido como a razão entre o cateto adjacente ao ângulo α
e a hipotenusa (raio); logo, a abscissa do ponto P coincide com o cosseno de α. Então:
cos 
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑂𝑄
1 = 𝑂𝑄
cos 𝛼 = 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑃
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 RESUMINDO
De fato, essa generalização é consistente com a definição inicial para ângulos agudos.
ANALISANDO OS SINAIS DO SENO E DO
COSSENO
Veja as figuras que se seguem, que ilustram o seno e o cosseno de arcos com extremidade em
um ponto P arbitrário. Note que nos triângulos retângulos das figuras indicadas, onde a
hipotenusa coincide com o raio, o teorema de Pitágoras garante que:
𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 = 1
O triângulos retângulos exibidos são obtidos “traçando” uma vertical a partir da extremidade P, até
o eixo horizontal. Os catetos desses triângulos representam, em módulo, os valores do seno
(ordenada de P) e do cosseno (abscissa de P) do arco 𝛼. E claro, dependendo do quadrante onde
se situa o ponto P, suas coordenadas serão positivas ou negativas (ou nulas).
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
\operatorname{sen} \alpha>0 \text { e } \cos \alpha>0
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
\operatorname{sen} \alpha>0 \text { e } \cos \alpha<0
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
\operatorname{sen} \alpha<0 \text { e } \cos \alpha<0
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
\operatorname{sen} \alpha<0 \text { e } \cos \alpha>0
Para completar a análise do seno e cosseno no círculo trigonométrico, a tabela indica os valores
de seno e cosseno de arcos com extremidades nos pontos A, B, A’ e B’:
Ponto extremidade Exemplo de arcos Seno Cosseno
A 0º; 360º; 720º 0 1
B 90º; - 270º; 450º 1 0
A’ 180º; -180º; 540º 0 -1
B’ 270º, -90º; -450º -1 0
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Tabela: Valores de seno e cosseno de arcos com extremidades nos pontos A, B, A’ e B’.
Elaborada por: Carlos Eddy Esaguy Nehab
EXEMPLO 1
 DICA
No círculo trigonométrico da figura estão marcados pontos extremidades de diversos arcos.
Calcule o seno e cosseno de cada um desses arcos, ficando atento ao fato de que, em qualquer
situação, está sempre presente o manjadíssimo triângulo retângulo, metade de um triângulo
equilátero! Ou seja, de lados com medidas 1 (hipotenusa) e catetos √3 / 2 e 1 / 2.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Uma vez determinado o ponto extremidade de um arco, a estratégia para desmistificar o cálculo do
seno ou cosseno do arco é traçar uma vertical a partir da extremidade do arco que, juntamente
com o raio do círculo trigonométrico (que mede 1), comporá um triangulo retângulo que é a chave
do cálculo.
Se os catetos desse triângulo retângulo forem conhecidos (neste caso valem √3 / 2 e 1 / 2), só há
duas questões a observar:
O triângulo retângulo está “em pé” ou “deitado”? Ou seja, qual cateto corresponde ao cosseno? O
maior ou menor cateto?
E qual o sinal adequado do seno ou do cosseno? Positivo ou negativo?
Compare, na tabela a seguir, quatro arcos marcados na figura acima, pertencente ao exemplo 1.
Arco
Seno:
cateto...
Sinal
Valor do
seno
Cosseno:
cateto...
Sinal
Valor do
cosseno
60º; -300º Maior + +√3 / 2 Menor + +1 / 2
150º;
-210º
Menor + +1 / 2 Maior - -√3 / 2
240º;
-120º
Maior - -√3 / 2 Menor - -1 / 2
330º; -30º Menor - -1 / 2 Maior + +√3 / 2
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Tabela: Arcos do exemplo 1.
Elaborada por Carlos Eddy Esaguy Nehab
A TANGENTE E A SECANTE NO CÍRCULO
TRIGONOMÉTRICO
Definidos o seno e o cosseno de um arco arbitrário, podemos de uma vez só generalizar a
definição de tangente, secante, cossecante e cotangente usando, simplesmente, as relações
trigonométricas já definidas para um ângulo agudo!
TANGENTE
\operatorname{tg} \alpha=\operatorname{sen} \alpha / \cos \alpha
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
COTANGENTE
\cot \alpha=\cos \alpha / \operatorname{sen}\alpha
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SECANTE
\sec \alpha=1 / \cos \alpha
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
COSSECANTE
\text { cossec } \alpha=1 / \cos \alpha
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas, desejamos enfatizar os aspectos geométricos na definição generalizada das demais linhas
trigonométricas sem pegar carona no algebrismo das relações mencionadas.
A TANGENTE: ONDE ESTÁ?
Como é possível visualizar/identificar a tangente e a secante de um arco qualquer, no círculo
trigonométrico? Veja, passo a passo:
PASSO 1
PASSO 2
PASSO 1 - EIXO DAS TANGENTES
Criamos o eixo das tangentes paralelo ao eixo dos senos e passando pelo ponto A, origem dos
arcos e ângulos.
O seno e o cosseno, já definidos, estão assinalados, bem como o ponto P, extremidade de um
arco qualquer, côngruo com o ângulo 𝛼.
PASSO 2 - CADÊ A TANGENTE?
Prolongando o raio OP até intersectar o eixo das tangentes, marcamos o ponto T. A tangente do
arco AP ou do ângulo 𝛼 é a ordenada do ponto T (ou seja, AT).
Note que os triângulos OPQ e OAT possuem a mesma forma.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Portanto, a razão entre os catetos maior e menor nos dois triângulos é a mesma.
\FRAC{A T}{O A}=\FRAC{Q P}{O Q} \RIGHTARROW
\FRAC{\OPERATORNAME{TG} \ALPHA}
{1(\OPERATORNAME{RAIO})}=\FRAC{\OPERATORNAME{SEN}
\ALPHA}{\COS \ALPHA} \RIGHTARROW
\OPERATORNAME{TG}
\ALPHA=\FRAC{\OPERATORNAME{SEN} \ALPHA}{\COS
\ALPHA}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a nova definição de tangente satisfaz a mesma propriedade já conhecida, como era de se
esperar!
E A SECANTE? ONDE ESTÁ?
A secante é o segmento OT, ou seja, em módulo, é a hipotenusa do triângulo OAT.
Veja que, por Pitágoras no triângulo OAT, temos:
12 + 𝑡𝑔 𝛼2 = sec 𝛼2 , OU SEJA,
1 + 𝑡𝑔2 𝛼 = 𝑠𝑒𝑐2 𝛼
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Também, usando semelhança entre os triângulos OAT e OQP, podemos concluir que:
\FRAC{O T}{O P}=\FRAC{O A}{O Q} \RIGHTARROW
\FRAC{\SEC \ALPHA}{1}=\FRAC{1}{\COS \ALPHA}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a secante assim definida (para ângulo e arcos quaisquer) também satisfaz às duas
relações que já conhecíamos!
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
O SINAL DA TANGENTE E DA SECANTE
O sinal da tangente está muito bem definido por ser a ordenada de um ponto, o ponto T. Se P
está no primeiro ou terceiro quadrante, o ponto T está no lado positivo do eixo das tangentes e
sua ordenada será positiva. Se P estiver no segundo ou quarto quadrante, o ponto T estará no
lado negativo do eixo das tangentes.
O sinal da secante não é tão imediato, é definido pela seguinte regra: se o vetor 
→
𝑂𝑃 e o vetor 
→
𝑂𝑇
têm o mesmo sentido, a secante é positiva; se tiverem sentidos opostos, a secante é negativa.
Assim, na figura, o ponto P, por exemplo, exibe um arco do segundo quadrante e, então, a
secante é negativa.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
 SAIBA MAIS
Compare essa regra com o sinal do cosseno, e perceba a coerência com o fato de que
𝑠𝑒𝑐𝛼 = 1
𝑐𝑜𝑠𝛼.
EXEMPLO 2
Analise os valores das tangentes e secantes de arcos múltiplos de 45° e de 30°.
MÚLTIPLOS DE 45°
Note que os dois triângulos indicados na figura após a tabela possuem catetos iguais a 1 e
hipotenusa √2.
Extremo em... Exemplos de arcos... Tg Sec
P1 0º; 360º 0 +1;
Extremo em... Exemplos de arcos... Tg Sec
P5 180º; -180º -1;
P2 45º; -315º
+1
+√2;
P6 225º; -135º -√2;
P3 90º;-270º
Não existem
P7 -90º;270º
P4 135º;-225º
-1
-√2;
P8 -45º; 315º +√2;
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Elaborado por Carlos Eddy Esaguy Nehab
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
MÚLTIPLOS DE 30°
Nesse caso, os dois possíveis triângulos mágicos possuem lados “1; √3 𝑒 2” ou “
1; √3 / 3 𝑒 2√3 / 3”.
Extremo
em…
Exemplos de arcos tg sec
P1 0º; 360º
0
+1
P7 180º; -180º -1
P2 30º; -330º
+√3 / 3
+2√3 / 3
P8 210º; -150º -2√3 / 3
P3 60º; -300º
+√3
+2
P9 150º; -120º -2
P4 90º; -270º
Não existem Não existem
P10 -90º; 270º
P5 120º; -240º
-√3
-2
P11 -60º; 300º +2
P6 150º; -210º
-√3 / 3
-2√3 / 3
P12 -30º; 330º +2√3 / 3
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Elaborado por Carlos Eddy Esaguy Nehab
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
MÃO NA MASSA
1. A SOMA 𝑠𝑒𝑛 2010° + 𝑐𝑜𝑠 ( - 750° ) VALE:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) -1 + √3
2
B) 0
C) 1 - √3
2
D) 1 + √3
2
E) -1 + √3
2
2. A SOMA 𝑠𝑒𝑐 1200° - 𝑡𝑔 ( - 405°) VALE:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) 0
B) -1
C) +1
D) -√3
3
E) √3
3
3. NA FIGURA, 𝛼 É UM ÂNGULO AGUDO E O POLÍGONO P1P2P3P4 É UM
QUADRADO. ENTÃO, INDEPENDENTEMENTE DO VALOR DE 𝛼, A SOMA
𝑠𝑒𝑛
^
𝐴𝑃1 + cos 
^
𝐴𝑃2 + sen 
^
𝐴𝑃3 + cos 
^
𝐴𝑃4 VALE:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB
A) 1
B) -1
C) 2
D) -2
E) 0
4. CALCULANDO ∑
𝑘 = 1
𝑘 = 12 [𝑠𝑒𝑛(𝑘𝜋6 ) + cos(𝑘𝜋6 )], OBTEMOS:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) √3
B) -√3
C) 1
D) -1
E) 0
5. SE X É O CONJUNTO cos 𝛼 + 𝑠𝑒𝑐 𝛼 | 𝛼 = 𝑘𝜋 / 6 𝑟𝑑, 𝑘, 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜, O MAIOR
VALOR DO CONJUNTO X VALE:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) 3 / 2
B) 3√3 / 2
C) 2√3 / 2
D) √3 + 1
E) 5 / 2
6. SE 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼, PODEMOS CONCLUIR QUE A MEDIDA DO ARCO 𝛼
PODE SER EXPRESSA POR:
A) 𝑘𝜋 / 2 + 𝜋 / 4, 𝑘 inteiro.
B) 2𝑘𝜋 + 𝜋 / 4, 𝑘 inteiro.
C) 𝑘𝜋 + 𝜋 / 4, 𝑘 inteiro.
D) 𝑘𝜋 ± 𝜋 / 4, 𝑘 inteiro.
E) 2𝑘𝜋 - 𝜋 / 4, 𝑘 inteiro.
GABARITO
1. A soma 𝑠𝑒𝑛 2010° + 𝑐𝑜𝑠 ( - 750° ) vale:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Se dividirmos 2010° por 360°, obtemos 2010° = 5 × 360° + 210°. Ou seja, um arco de 2010° dá 5
voltas e ainda dá uma esticada de mais 210°, ou seja, é côngruo com 210°. Já o arco 750° (isso
mesmo, usamos o valor positivo) é côngruo com 30° (verifique). Logo, -750° é côngruo com -30°.
Então:
$$ \operatorname{sen}\left(2010^{\circ}\right)+\cos
\left(-750^{\circ}\right)=\operatorname{sen}\left(210^{\circ}\right)+\cos \left(-30^{\circ}\right)=(-1 /
2)+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{1+\sqrt{3}}{2} $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A soma 𝑠𝑒𝑐 1200° - 𝑡𝑔 ( - 405°) vale:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
200° = 3× 360° + 120°. Então, 1200° é côngruo com 120°. Tem-se que: sec x= 1/ cos x, logo, sec
1200°= sec 120°= 1/cos 120º= -2 E 405° é côngruo com 45°, ou seja, -405° é côngruo com -45°.
Logo, tg (-405°) = tg (-45°) = -1.
Logo:
𝑠𝑒𝑐 1200 º - 𝑡𝑔( - 405 º ) = - 2 - ( - 1) = - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Na figura, 𝛼 é um ângulo agudo e o polígono P1P2P3P4 é um quadrado. Então,
independentemente do valor de 𝛼, a soma 𝑠𝑒𝑛
^
𝐴𝑃1 + cos 
^
𝐴𝑃2 + sen 
^
𝐴𝑃3 + cos 
^
𝐴𝑃4 vale:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
A alternativa "E " está correta.
Basta observar que, independentemente de 𝛼,
𝑠𝑒𝑛 
^
𝐴𝑃1 + sen 
^
𝐴𝑃3 = 0, assim como cos 
^
𝐴𝑃2 + cos 
^
𝐴𝑃4 = 0 porque em cada soma, os valores têm
sinais contrários.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Calculando ∑𝑘 = 1
𝑘 = 12 [𝑠𝑒𝑛(𝑘𝜋6 ) + cos(𝑘𝜋6 )], obtemos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
5. Se X é o conjunto cos 𝛼 + 𝑠𝑒𝑐𝛼 | 𝛼 = 𝑘𝜋 / 6 𝑟𝑑, 𝑘, 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜, o maior valor do conjunto X
vale:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
Note que os arcos múltiplos de 𝜋 / 6 𝑟𝑑 = 30° sempre definem o triângulo retângulo “giratório” de
catetos √3 / 2 𝑒 1 / 2. Apenas os valores positivos poderão conduzir ao maior valor de X. Como
𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 1 / cos 𝛼, temos: ou cos 𝛼 = √3
2 𝑒 sec 𝛼 = 2√3 / 3 ou, então, 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 12 e
𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 2.
Como √3 / 2 + 2 √3 / 3 ≅ 2,0 𝑒 1 / 2 + 2 = 2,5 segue-se que o maior valor da soma é 2,5.
6. Se 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼, podemos concluir que a medida do arco 𝛼 pode ser expressa por:
A alternativa "C " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Seja X o conjunto definido por:
𝑋 = { 𝑠𝑒𝑛 2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 | 𝛼 = 𝑘𝜋 / 4 + 𝜋 / 6, 𝑘 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Qual o número de elementos do conjunto X?
RESOLUÇÃO
ASSISTA AO VÍDEO PARA ENTENDER MELHOR.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. O VALOR DE 𝑠𝑒𝑛 900° + 𝑐𝑜𝑠 ( - 1020°) É:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) 0
B) 1
C) -1
D) 1/2
E) -1/2
2. INDIQUE O NÚMERO DE ELEMENTOS DO CONJUNTO
𝑋 = { 𝑠𝑒𝑐 𝛼 + 𝑡𝑔 𝛼 | 𝛼 = 2𝑘𝜋 / 3, 𝑘 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜}
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
GABARITO
1. O valor de 𝑠𝑒𝑛 900° + 𝑐𝑜𝑠 ( - 1020°) é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
$$ 900^{\circ}=2 \times 360^{\circ}+180^{\circ} \Rightarrow \operatorname{sen}
900^{\circ}=\operatorname{sen} 180^{\circ}=0 $$/span>
$$ 1140^{\circ}=3 \times 360^{\circ}+60^{\circ} \Rightarrow \cos \left(-1140^{\circ}\right)=\cos
\left(-60^{\circ}\right)=1 / 2 $$
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Indique o número de elementos do conjunto 𝑋 = { 𝑠𝑒𝑐 𝛼 + 𝑡𝑔 𝛼 | 𝛼 = 2𝑘𝜋 / 3, 𝑘 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
Observe que as extremidades dos arcos da forma 𝛼 = 2𝑘𝜋 / 3, 𝑘 inteiro estão expressas na figura
indicada (em graus).
Pontos com extremidade em P1
tangente = 0
secante = 1
soma = 1
Pontos com extremidade em P2
tangente = -√3
secante = -2 (cosseno = -1/2)
soma = -√3 - 2
Pontos com extremidade em P3
tangente = +√3
secante = -2 (cosseno = -1/2)
soma = +√3 - 2
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
MÓDULO 2
 Reconhecer as linhas trigonométricas cotangente e cossecante no círculo
trigonométrico
INTRODUÇÃO
GENERALIZANDO AS DEFINIÇÕES DAS
LINHAS TRIGONOMÉTRICAS
A TRIGONOMETRIA AMPLIANDO SEUS
HORIZONTES
AS LINHAS COTANGENTE E COSSECANTE NO
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
 COMENTÁRIO
Vamos finalizar a análise gráfica percebendo que o caso da cotangente e cossecante é
inteiramente análogo aos casos de tangente e secante analisadas no módulo anterior.
A figura a seguir exibe o eixo da cotangente, que é paralelo ao eixo dos cossenos e passa pelo
ponto B. Definimos, então, cotangente de 𝛼 como a abscissa do ponto T’, intersecção do
prolongamento de OP com o eixo das cotangentes. E a cossecante é representada pelo
segmento OT’.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Agora veja:
No triângulo OBT’, usando Pitágoras:
𝑂𝐵2 + 𝐵𝑇' 2
= 𝑂𝑇' 2
12 + 𝑐𝑜𝑡2 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2 𝛼
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Também, usando semelhança entre os triângulos OBT’ e QPO, podemos concluir que:
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 1
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑂𝑇'
𝑂𝐵 = 𝑂𝐵
𝑄𝑃 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛼
1 = 1
𝑠𝑒𝑛 𝛼
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 1
Quantas das alternativas indicadas representam arcos cuja cossecante não existe?
𝑘π / 2, 𝑘 inteiro
𝑘π, 𝑘 inteiro
2𝑘π, 𝑘 inteiro
𝑘π + π / 2, 𝑘 inteiro
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
A opção D está correta.
Observe que arcos cuja cossecante não existe possuem extremidades nos pontos A e A’. Portanto,
analisando as extremidades associadas a cada alternativa, são verdadeiras as alternativas I, II e
III.
Representa arcos com extremidade em A, A’, B e B’.
Representa arcos com extremidade em A e A’.
Representa arcos com extremidade em A.
Representa arcos com extremidade em B e B’.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Analise os valores das cotangentes e cossecantes de arcos múltiplos de 45° e de 30°.
MÚLTIPLOS DE 45°
Note que os dois triângulos indicados na figura após a tabela possuem catetos iguais a 1 e
hipotenusa √2.
Extremo em... Exemplos de arcos... cot Cossec
P1 0º; 360º Não existem
Extremo em... Exemplos de arcos... cot Cossec
P5 180º; -180º
P2 45º; -315º
+1
+√2;
P6 225º; -135º -√2;
P3 90º; -270º
0
1
P7 -90º; 270º -1
P4 135º; -225º
-1
+√2;
P8 -45º; 315º -√2;
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Elaborado por Carlos Eddy Esaguy Nehab
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
MÚLTIPLOS DE 30°
Neste caso, os dois possíveis triângulos mágicos possuem lados “1; √3 e 2” ou “1; √3 / 3 e
2√3 / 3”. Veja:
Extremo
em...
Exemplos de arcos cot cossec
P1 0º; 360º
Não existem Não existem
P7 180º; -180º
P2 30º; -330º
+√3
+2
P8 210º; -150º -2
P3 60º; -300º
+√3 / 3
+2 √3 / 3
P9 150º; -120º -2 √3 / 3
P4 90º; -270º
0
+1
P10 -90º; 270º -1
P5 120º; -240º
-√3 / 3
+2√3 / 3
P11 -60º; 300º -2√3 / 3
P6 150º; -210º
-√3
-2
P12 -30º; 330º +2
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Elaborado por Carlos Eddy Esaguy Nehab
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
RESUMINDO
Para concluir, eis a figura que consolida a visão geométrica de todas as seis linhas trigonométricas
de um arco ou ângulo arbitrário:
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab -->
Parece difícil?
Tente desenhá-la em três etapas, sem olhar as figuras anteriores, iniciando com o círculo
trigonométrico, seu centro O e o ponto P, extremidade de um arco 𝛼.
PASSO 1
PASSO 2
PASSO 3
PASSO 1 - SENO E COSSENO
Monte o triângulo retângulo OPQ, onde Q é a projeção da extremidade do arco sobre o
eixo horizontal – eixo dos senos.
Pitágoras aplicado no triângulo ∆OPQ ⇒ 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 = 1.
Semelhança entre os triângulos ∆OTA e ∆OPQ ⇒ 𝑡𝑔 𝛼 / 1 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 / 𝑐𝑜𝑠 𝛼.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PASSO 2 - TANGENTE E SECANTE
Monte o triângulo OAT, onde T é a interseção da linha OP com o eixo das tangentes.
Pitágoras aplicado no triângulo OAT ⇒ 1 + 𝑡𝑔2 𝛼 = 𝑠𝑒𝑐2 𝛼.
Semelhança entre os triângulos ∆OTA e∆OPQ ⇒ 𝑠𝑒𝑐 𝛼 / 1 = 1 / 𝑐𝑜𝑠 𝛼.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PASSO 3 - COTANGENTE E COSSECANTE:
Monte o triângulo OAT’, onde T’ é a interseção da linha OP com o eixo das cotangentes.
Pitágoras aplicado nos “catetos” cotangente e cossecante ⇒ 1 + 𝑐𝑜𝑡2 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2 𝛼.
Semelhança entre os triângulos ∆OTB e ∆OPQ ⇒ cos𝑠𝑒𝑐 𝛼 / 1 = 1 / 𝑠𝑒𝑛 𝛼.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. CALCULANDO 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 315° + 𝑐𝑜𝑡 90°, OBTEMOS:
A) 0
B) 1
C) -1
D) -√2
E) +√2
2. CONSIDERE UM ÂNGULO 𝛼, CUJA 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼) = 𝑥. SE cos𝛼 = 1
𝑥, A
COSSECANTE É IGUAL A:
A) 𝑥2
B) 𝑥
C) 𝑥√3
D) √3
2
E) √3
3
3. CALCULANDO 𝑐𝑜𝑡 1° + 𝑐𝑜𝑡 3° + 𝑐𝑜𝑡 5° + · · · · + 𝑐𝑜𝑡 359°,
ENCONTRAMOS:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) 0
B) 1
C) 2
D) -2
E) -1
4. UMA DAS ALTERNATIVAS INDICADAS NÃO PODE SER SATISFEITA POR
NENHUM ARCO 𝛼. ASSINALE-A.
A) |𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛼 | > | 𝑠𝑒𝑛 𝛼 |
B) |𝑠𝑒𝑐 𝛼 | > | 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛼 |
C) 𝑐𝑜𝑡 𝛼 > 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛼
D) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 < 𝑐𝑜𝑡 𝛼
E) |𝑐𝑜𝑡 𝛼 | < | 𝑠𝑒𝑛𝛼 |
5. AO ANALISAR OS POSSÍVEIS VALORES QUE A EXPRESSÃO
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 (2𝑘π / 3 + 𝜋 / 6), 𝑘 INTEIRO, ASSUME, PODEMOS OBTER QUANTOS
RESULTADOS DIFERENTES?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 7
6. O CONJUNTO DEFINIDO POR 𝑋 = { 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑘𝜋 / 4 | 𝑘 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 } É IGUAL A:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) { 0; 1 ; - 1 }
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) { 1; - 1; √2; - √2 }
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) { 1; - 1; √3; - √3 }
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) { - 1; 1; 2√3 / 3; - 2√3 / 3 }
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) { - 1; 1; - 2; 2 }
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
1. Calculando 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 315° + 𝑐𝑜𝑡 90°, obtemos:
A alternativa "D " está correta.
A solução é imediata:
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 315° = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 ( - 45°) = 1 / 𝑠𝑒𝑛 -45° = 1 / -√2
2 = - √2 
𝑐𝑜𝑡 90° = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utiliz
2. Considere um ângulo 𝛼, cuja 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼) = 𝑥. Se cos 𝛼 = 1
𝑥, a cossecante é igual a:
A alternativa "A " está correta.
Podemos reescrever 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼) = 𝑥, da seguinte forma:
cos 𝛼
𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 𝑥
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como cos 𝛼 = 1
𝑥, temos:
1
𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 𝑥∴𝑠𝑒𝑛𝛼 = 1
𝑥2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a cossecante é o inverso do seno, temos que:
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝛼 = 𝑥2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Calculando 𝑐𝑜𝑡 1° + 𝑐𝑜𝑡 3° + 𝑐𝑜𝑡 5° + · · · · + 𝑐𝑜𝑡 359°, encontramos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Basta observar que os pares de arcos de medidas 1° e 359°,3° e 357°,....,179° e 181° possuem
cotangentes simétricas (de sinais contrários). Logo, a soma vale zero.
4. Uma das alternativas indicadas não pode ser satisfeita por nenhum arco 𝛼. Assinale-a.
A alternativa "A " está correta.
Note que cossecante e secante são sempre, em módulo, maiores ou iguais a 1. No entanto, seno
e cosseno, em módulo, são sempre menores ou iguais a 1. Então, a alternativa A não pode
ocorrer para nenhum arco.
5. Ao analisar os possíveis valores que a expressão 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 (2𝑘π / 3 + 𝜋 / 6), 𝑘 inteiro,
assume, podemos obter quantos resultados diferentes?
A alternativa "A " está correta.
ASSISTA AO VÍDEO PARA CONFERIR A
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO.
6. O conjunto definido por 𝑋 = { 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑘𝜋 / 4 | 𝑘 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 } é igual a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Observe que 𝑘𝜋 / 4, k inteiro são arcos cujas extremidades percorrem os pontos A, A’, B, B’ e as
“bissetrizes” dos quadrantes. Então, temos:
Em A e A’ não existe cossecante.
Em B e B’ as cossecantes valem +1 e -1.
Nos demais pontos extremidades a cossecante é o inverso de ±√2 / 2
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Determine condições a que o parâmetro real a deve satisfazer para que exista algum arco 𝛼 que
satisfaça à condição 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 𝑎2 – 3𝑎 + 1
RESOLUÇÃO
ASSISTA AO VÍDEO PARA CONFERIR A
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. O VALOR DE 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 750° + 𝑐𝑜𝑡𝑔 ( - 750°) É:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) 1 + √3
B) 1 - √3
C) 2 + √3
D) 2 - √3
E) 1 + √3
3
2. QUANTOS ELEMENTOS POSSUI O CONJUNTO:
𝑋 = { 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛼 | 𝛼 = 2𝑘𝜋 / 3, 𝑘 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜}?
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
GABARITO
1. O valor de 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 750° + 𝑐𝑜𝑡𝑔 ( - 750°) é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
Para conseguir determinar a cossecante e a cotangente desses números, vamos primeiro reduzir
seus valores, para que eles estejam entre 0° e 360°. Veja que 750° equivale a 2 voltas no círculo
trigonométrico mais 30°, veja:
2 x 360° + 30°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo: 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 (750°) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 (30°)
O mesmo raciocínio vale para o ângulo de -750°, todavia, contamos as voltas no sentido oposto,
sendo assim:
2 x (
-
360
)
°
+
30
°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo: 𝑐𝑜𝑡𝑔 ( - 750°) = 𝑐𝑜𝑡𝑔 ( - 30°)
Bem, agora que conseguimos encontrar os valores equivalentes dentro do círculo trigonométrico,
precisamos definir as identidades trigonométricas, perceba que o enunciado nos dá:
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 750° + 𝑐𝑜𝑡𝑔 ( - 750°)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que equivale a:
1
𝑠𝑒𝑛(750°) + cos -750°
𝑠𝑒𝑛( - 750°)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como já achamos os ângulos equivalentes, podemos reescrever da seguinte forma:
1
𝑠𝑒𝑛(30°) + cos -30°
𝑠𝑒𝑛( - 30°)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, perceba que a função cosseno é uma função par, logo: cos -30° = cos (30°), e que a função
seno é uma função ímpar, logo: 𝑠𝑒𝑛-30° = - 𝑠𝑒𝑛(30°)
Desta forma, podemos reescrever a expressão da seguinte forma:
1
𝑠𝑒𝑛(30°) + cos 30°
-𝑠𝑒𝑛(30°)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é igual a:
1
𝑠𝑒𝑛(30°) - cos 30°
𝑠𝑒𝑛(30°)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba que os denominadores são iguais, sendo assim, podemos reescrever como:
1 - cos 30°
𝑠𝑒𝑛(30°)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja que: cos 30° = √3
2 , e que: 𝑠𝑒𝑛30° = 1
2, substituindo, temos:
1 - √3
2
1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo MMC somente na parte de cima, temos:
2 - √3
2
1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Realizando a divisão de fração, temos:
2 - √3
2 × 2
1 = 2 - √3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja: 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐750° + 𝑐𝑜𝑡𝑔-750° = 2 - √3
2. Quantos elementos possui o conjunto: 𝑋 = { 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛼 | 𝛼 = 2𝑘𝜋 / 3, 𝑘 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜}?
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
Observe que as extremidades dos arcos da forma 𝛼 = 2𝑘𝜋 / 3, 𝑘 inteiro, estão expressas na figura
(em graus).
Pontos com extremidade em P1
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
Pontos com extremidade em P2
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛼 = + 2√3 / 3
Pontos com extremidade em P3
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛼 = - 2√3 / 3
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
MÓDULO 3
 Identificar simetrias no círculo trigonométrico
INTRODUÇÃO
A IMPORTÂNCIA DA PERCEPÇÃO
GEOMÉTRICA NA COMPREENSÃO DA
TRIGONOMETRIA
ARCOS COM EXTREMIDADES SIMÉTRICAS –
UMA GEOMETRIA MAROTA
Analisaremos as características que as medidas de dois arcos devem apresentar para que seus
pontos extremidades sejam coincidentes ou apresentem alguma simetria. Vamos à análise.
CONGRUÊNCIA – EXTREMIDADES COINCIDENTES
Se dois arcos são côngruos, ou seja, suas extremidades são coincidentes, podemos concluir que:
Os dois arcos dão um certo número de voltas completas e ambos, a seguir, se deslocam
mais um arco 𝛿. Ou seja:
P1: 𝛼 = 𝑘1 · 360° + 𝛿
P2: 𝛽 = 𝑘2 · 360° + 𝛿
Então, a diferença entre as medidas dos dois arcos 𝛼 e 𝛽 vale 𝛼 - 𝛽 = (𝑘1 – 𝑘2 ) · 360°,
ou seja: a diferença entre os arcos é um múltiplo de 360°.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Resumindo:
𝛼 E 𝛽 SÃO CONGRUENTES ⇔𝛼 - 𝛽 = 𝑘 . 360°, PARA ALGUM K
INTEIRO
SIMETRIA COM RELAÇÃO AO EIXO VERTICAL
(DOS SENOS)
Se dois arcos possuem extremidades simétricas com relação ao eixo vertical, podemos imaginar a
seguinte situação:
Arco com extremidade em P1
Pode dar um número qualquer de voltas completas e, além disso, mais uma esticadinha de mais
𝛿, ou seja:
P1: 𝛼 = 𝑘1 · 360° + 𝛿

Arco com extremidade em P2
Dá um número qualquer de voltas completas, estica até A’ e dá uma marcha à ré de 𝛿, ou seja:
P2: 𝛽 = 𝑘2 · 360° + 180° – 𝛿
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Logo,
𝛼 + 𝛽 = (𝑘1 + 𝑘2 ) · 360° + 180° + 𝛿 – 𝛿
𝛼 + 𝛽 = 𝑘 · 360° + 180°
𝛼 + 𝛽 = (2𝑘 + 1) · 180°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a soma das medidas dos dois arcos é um número ímpar de meias-voltas. Resumindo:
𝛼 E 𝛽 SÃO SIMÉTRICOS COM RELAÇÃO AO EIXO VERTICAL
⇔ 𝛼 + 𝛽 = (2𝑘 + 1) . 180°, PARA ALGUM K INTEIRO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SIMETRIA COM RELAÇÃO AO EIXO HORIZONTAL
(DOS COSSENOS)
Se dois arcos possuem extremidades simétricas com relação ao eixo horizontal, podemos
imaginar a seguinte situação:
Arco com extremidade em P1
Pode dar um número qualquer de voltas completas e, além disso, uma esticadinha de mais 𝛿, no
sentido trigonométrico (positivo), ou seja:
P1: 𝛼 = 𝑘1 · 360° + 𝛿

Arco com extremidade em P2
Dá um número qualquer de voltas completas e, ao final, dá uma marcha à ré de 𝛿, ou seja:
P2: 𝛽 = 𝑘2 · 360° – 𝛿
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Então,
𝛼 + 𝛽 = 𝑘1 · 360° + 𝛿 + 𝑘2 · 360° – 𝛿 = 𝑘 · 360°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja:
𝛼 E 𝛽 SÃO SIMÉTRICOS COM RELAÇÃO AO EIXO HORIZONTAL
⇔ 𝛼 + 𝛽 = 𝑘 . 360°, PARA ALGUM K INTEIRO.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SIMETRIA COM RELAÇÃO AO CENTRO DO
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
Se dois arcos possuem extremidades simétricas com relação ao centro do círculo trigonométrico,
podemos imaginar a seguinte situação:
Arco com extremidade em P1
Pode dar um número qualquer de voltas completas e dá uma marcha à ré de 𝛿; ou seja:
P1: 𝛼 = 𝑘1 · 360° - 𝛿

Arco com extremidade em P2
Dá um número qualquer de voltas completas, dá uma esticada de mais 180° e, finalmente, uma
marcha à ré de 𝛿, ou seja:
P2: 𝛽 = 𝑘2 · 360° + 180° – 𝛿
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Então,
𝛽 - 𝛼 = (𝑘2 . 360° + 180° - 𝛿) – (𝑘1 . 360° - 𝛿) 
𝛽 - 𝛼 = (𝑘2 – 𝑘1 ) . 360° + 180°
𝛽 - 𝛼 = 𝑘’ . 360° + 180°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, 𝛽 - 𝛼 (ou 𝛼 - 𝛽, é indiferente) vale 2𝑘’ + 1 · 180°, que é um número ímpar de meias-
voltas.
Resumindo:
𝛼 E 𝛽 SÃO SIMÉTRICOS COM RELAÇÃO AO CENTRO DO
CÍRCULO ⇔ 𝛼 - 𝛽 = (2𝑘 + 1) · 180°, PARA ALGUM K INTEIRO.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 1
Dentre as expressões:
𝑘 · 180° + 90°, 𝑘 inteiro
𝑘 · 360° + 90°, 𝑘 inteiro
𝑘 · 360° ± 90°, 𝑘 inteiro
𝑘 · 180° ± 90°, 𝑘 inteiro
Quantas representam os arcos 𝛼, tais que | 𝑠𝑒𝑛 𝛼 | = 1?
A) Nenhuma
B) 1
C) 2
D) 3
E) Todas
| 𝑠𝑒𝑛 𝛼 | = 1 ⇒ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = ± 1, ou seja, as extremidades dos arcos 𝛼 devem ser ou o ponto B ou
B’ do círculo trigonométrico. Logo, o arco 𝛼 pode dar um número qualquer de voltas e, a seguir, ir à
frente +90° ou para trás,-90°. Dito de outra forma, pode dar um número ímpar de meias-voltas –
atingindo A ou A’ e, a seguir, esticar mais 90°. Logo, as expressões (I), (III) e (IV) são verdadeiras!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Assinale a condição para que um arco do intervalo [0°; 360°], satisfaça à desigualdade
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 > 2.
Ora, se 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 2, então 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = ½ e, no intervalo [0°; 360°], isso ocorre em 𝑥 = 30° e 150°.
Ora, se 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 > 2 então 0 < 𝑠𝑒𝑛 𝑥 < ½, no intervalo [0°; 360°], os arcos desejados estão na
união dos intervalos 00 ; 300 ∪ 1500 ; 1800
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE
INTRODUÇÃO
A expressão redução ao primeiro quadrante consiste nas técnicas para expressar as linhas
trigonométricas de arcos do tipo 180° ± 𝛼, 90° ± 𝛼, 𝛼 ± 270° e assemelhados, em função das
linhas trigonométricas de 𝛼.
EXEMPLO 3
 COMENTÁRIO
Neste exemplo, exibimos uma técnica para reduzir ao primeiro quadrante um arco dado.
Dado o arco 𝜋 - 𝛼, medido em radianos. Então, devemos expressar o seno e o cosseno do arco
𝜋 - 𝛼 em função do seno e do cosseno do arco 𝛼.

Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
A figura mostra o arco 𝛼, com extremidade no ponto P (poderia ser escolhido em qualquer
quadrante).
Desejamos, a seguir, marcar o arco 𝜋 - 𝛼. Para isso, na figura, marcamos o arco 𝜋.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab


Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
A seguir, na figura, subtraímos (andamos de marcha à ré) o arco 𝛼, para obtermos a extremidade
do arco 𝜋 - 𝛼, o ponto 𝑃’ .
Para determinar a relação entre o seno e o cosseno de 𝛼 e de 𝜋 - 𝛼, explicitamos, na figura, os
triângulos retângulos associados ao seno e cosseno de ambos os arcos.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab

Então, é imediato perceber que 𝑠𝑒𝑛 (𝜋 - 𝛼) e 𝑠𝑒𝑛 𝛼 são iguais (tamanho dos catetos) e mesmo
sinal. Os cossenos de 𝛼 e de 𝜋 - 𝛼 são iguais em módulo (mesmos catetos) e sinais contrários.
Ou seja:
𝑠𝑒𝑛 (𝜋 - 𝛼) = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑒 𝑐𝑜𝑠 (𝜋 - 𝛼) = - 𝑐𝑜𝑠 𝛼
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 4
Reduza ao primeiro quadrante 𝑠𝑒𝑛 (3𝜋 / 2 - 𝛼) e 𝑐𝑜𝑠 (3𝜋 / 2 - 𝛼)
Observe, na figura, a marcação do arco 3𝜋 / 2 e, a seguir, a marcha à ré do arco 𝛼 obtendo o arco
3𝜋 / 2 - 𝛼
Note que, observando os triângulos retângulos associados aos arcos 𝛼 e 3𝜋 / 2 - 𝛼, obtemos:
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = - 𝑠𝑒𝑛 (3𝜋 / 2 - 𝛼)
Sinais contrários, mas catetos iguais (mesmo módulo).
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = - cos (3𝜋 / 2 - 𝛼)
Também sinais contrários, mas catetos iguais (mesmo módulo).
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TRIÂNGULOS MÁGICOS “RODANDO”
Os exemplos anteriores sugerem que arcos da forma 𝑘𝜋 / 2 ± 𝛼 ou 𝛼 ± 𝑘𝜋 / 2 são o caso geral dos
quais 2 𝜋 - 𝛼, 𝜋 / 2 - 𝛼, 3𝜋 / 2 - 𝛼, 𝛼 - 2𝜋 etc. são alguns exemplos.
E a figura a seguir mostra inúmeras situações que exibem os triângulos retângulos associados ao
arco 𝛼 e a arcos do tipo “𝑘𝜋 / 2 ± 𝛼” ou “𝛼 ± 𝑘𝜋 / 2” – por exemplo, 𝜋2 - 𝛼, 𝜋2 + 𝛼, 𝜋 - 𝛼, 𝜋 + 𝛼, 3𝜋2 + 𝛼,
3𝜋
2 + 𝛼, 2𝜋 - 𝛼 etc.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Assim, o seno ou cosseno de qualquer um desses arcos é igual, em módulo, ao seno ou ao
cosseno de 𝛼, com mesmo sinal ou sinal contrário.
 RESUMINDO
Seno ou cosseno de qualquer uma dessas expressões é igual a +𝑠𝑒𝑛 𝛼 ou -𝑠𝑒𝑛 𝛼 ou + cos 𝛼 ou
- cos 𝛼, pois ou o cateto é o mesmo, ou é o e o sinal ou é o mesmo ou é o sinal contrário.
MÃO NA MASSA
1. O VALOR DE 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 460° + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 620° É:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) 1
B) 2
C) -1
D) -2
E) 0
2. SE AS MEDIDAS DE DOIS ARCOS SÃO TAIS QUE SUA SOMA 𝛼 + 𝛽 VALE
90°, PODEMOS AFIRMAR QUE:
A) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = - 𝑐𝑜𝑠 𝛽
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 1 / 𝑐𝑜𝑠 𝛽
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 𝛽
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 𝑠𝑒𝑛 𝛼+ 1 / 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. CONSIDERE OS CONJUNTOS DE ARCOS: 𝑋 = { 𝑘𝜋 / 12 | 𝑘 é 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 } E
𝑌 = { 𝑚𝜋 / 8 | 𝑚 é 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜}. PODEMOS CONCLUIR QUE AS EXTREMIDADES
DOS ARCOS DO CONJUNTO INTERSEÇÃO 𝑋∩ 𝑌 DETERMINAM:
A) Um quadrado
B) Um triângulo equilátero
C) Um hexágono regular
D) Um octógono regular
E) Pentágono regular
4. SE 𝛼 E 𝛽 NÃO SÃO ARCOS CÔNGRUOS E POSSUEM EXTREMIDADES EM
P1 E P2, RESPECTIVAMENTE, ANALISE AS ALTERNATIVAS CUJA
CONDIÇÃO GARANTE QUE 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 = 0:
(I) SE P1 E P2 SÃO PONTOS SIMÉTRICOS COM RELAÇÃO AO EIXO DOS
COSSENOS.
(II) SE P1 E P2 SÃO PONTOS SIMÉTRICOS COM RELAÇÃO AO CENTRO DO
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO.
(III) SE A DIFERENÇA ENTRE AS MEDIDAS DE 𝛼 E 𝛽 FOR IGUAL À MEIA-
VOLTA.
(IV) SE P1 E P2 SÃO PONTOS SIMÉTRICOS COM RELAÇÃO AO EIXO DOS
SENOS.
PODEMOS CONCLUIR QUE AS AFIRMATIVAS VERDADEIRAS SÃO:
A) Apenas I e III
B) Apenas I, II e III
C) Apenas IV
D) Nenhuma
E) Todas
5. CONSIDERE AS SEGUINTES AFIRMATIVAS:
I. 𝑐𝑜𝑠 (𝜋 - 𝛼) = - 𝑐𝑜𝑠 𝛼
II. 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 - 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼
III. 𝑐𝑜𝑠 (𝜋 / 2 + 𝛼) = - 𝑠𝑒𝑛 𝛼
IV. 𝑐𝑜𝑠 (𝜋 / 2 - 𝛼) = 𝑠𝑒𝑛 𝛼
SÃO VERDADEIRAS:
A) Todas
B) Apenas I e II
C) Apenas I e III
D) Apenas I, II e III
E) Apenas II, III e IV
6. AS EXTREMIDADES DOS QUATRO ARCOS 𝛼, 𝛽, 𝛾 E 𝛿 DETERMINAM UM
QUADRADO NO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO, EM QUE NENHUM DOS
VÉRTICES SE SITUA NOS PONTOS A(1; 0), B(0; 1), A’(-1; 0) E B’(0; -1).
CONSIDERE AS AFIRMATIVAS:
I. 𝑡𝑔 𝛼 + 𝑡𝑔 𝛽 + 𝑡𝑔 𝛾 + 𝑡𝑔 𝛿 = 0
II. 𝑐𝑡𝑔 𝛼 + 𝑐𝑜𝑡 𝛽 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛾 +   𝑐𝑜𝑡 𝛿 = 0
III. 𝑠𝑒𝑐 𝛼 + 𝑠𝑒𝑐 𝛽 + 𝑠𝑒𝑐 𝛾 + 𝑠𝑒𝑐 𝛿 = 0
IV. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛾 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛿 = 0
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
ENTÃO, AS ÚNICAS AFIRMATIVAS QUE PODEMOS GARANTIR SEREM
VERDADEIRAS, SÃO:
A) I e III
B) II e IV
C) I e IV
D) II e III
E) III e IV
GABARITO
1. O valor de 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 460° + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 620° é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
Observe que 460° = 360° + 100° 𝑒 620° = 360° + 280°, ou seja, os arcos 460° e 620° são
simétricos com relação ao centro do círculo trigonométrico. Logo, possuem cossecantes
simétricas (porque seus senos são simétricos, se preferir pensar dessa forma.). Desse modo,
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 460° + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 620° = 0
2. Se as medidas de dois arcos são tais que sua soma 𝛼 + 𝛽 vale 90°, podemos afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
Veja que, se 𝛼 + 𝛽 = 90°, então, os “triângulos sen/cos” associados aos arcos são iguais, com um
“em pé” e o outro “deitado”. Faça uma figura usando um exemplo numérico, por exemplo 𝛼 = 30°
ou 120° . Então, a resposta correta é que o seno de um deles é o cosseno do outro, ou seja, opção
D.
3. Considere os conjuntos de arcos: 𝑋 = { 𝑘𝜋 / 12 | 𝑘 é 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 } e 𝑌 = { 𝑚𝜋 / 8 | 𝑚 é 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜}.
Podemos concluir que as extremidades dos arcos do conjunto interseção 𝑋∩ 𝑌
determinam:
A alternativa "D " está correta.
ASSISTA AO VÍDEO PARA CONFERIR A
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO.
4. Se 𝛼 e 𝛽 não são arcos côngruos e possuem extremidades em P1 e P2, respectivamente,
analise as alternativas cuja condição garante que 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 = 0:
(I) Se P1 e P2 são pontos simétricos com relação ao eixo dos cossenos.
(II) Se P1 e P2 são pontos simétricos com relação ao centro do círculo trigonométrico.
(III) Se a diferença entre as medidas de 𝛼 e 𝛽 for igual à meia-volta.
(IV) Se P1 e P2 são pontos simétricos com relação ao eixo dos senos.
Podemos concluir que as afirmativas verdadeiras são:
A alternativa "B " está correta.
Basta notar que para que 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 = 0, as cossecantes devem ser simétricas (de
sinais contrários). Então, como cossecante é o inverso do seno, as ordenadas de P1 e de P2
devem ser iguais em módulo, mas de sinais contrários. Apenas as afirmativas II, III e IV garantem
essa situação geométrica.
5. Considere as seguintes afirmativas:
I. 𝑐𝑜𝑠 (𝜋 - 𝛼) = - 𝑐𝑜𝑠 𝛼
II. 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 - 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼
III. 𝑐𝑜𝑠 (𝜋 / 2 + 𝛼) = - 𝑠𝑒𝑛 𝛼
IV. 𝑐𝑜𝑠 (𝜋 / 2 - 𝛼) = 𝑠𝑒𝑛 𝛼
São verdadeiras:
A alternativa "A " está correta.
Analisando a figura, perceba que todas as afirmativas são verdadeiras.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
6. As extremidades dos quatro arcos 𝛼, 𝛽, 𝛾 e 𝛿 determinam um quadrado no círculo
trigonométrico, em que nenhum dos vértices se situa nos pontos A(1; 0), B(0; 1), A’(-1; 0) e
B’(0; -1). Considere as afirmativas:
I. 𝑡𝑔 𝛼 + 𝑡𝑔 𝛽 + 𝑡𝑔 𝛾 + 𝑡𝑔 𝛿 = 0
II. 𝑐𝑡𝑔 𝛼 + 𝑐𝑜𝑡 𝛽 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛾 +   𝑐𝑜𝑡 𝛿 = 0
III. 𝑠𝑒𝑐 𝛼 + 𝑠𝑒𝑐 𝛽 + 𝑠𝑒𝑐 𝛾 + 𝑠𝑒𝑐 𝛿 = 0
IV. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛾 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛿 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, as únicas afirmativas que podemos garantir serem verdadeiras, são:
A alternativa "E " está correta.
Imaginando quatro arcos com extremidade 𝑃𝛼 , 𝑃𝛽 , 𝑃𝛾 𝑒 𝑃𝛿 , determinando um quadrado,
analise a figura a seguir, onde está também explicitado o eixo das tangentes.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
É fácil perceber que as tangentes de α e γ são IGUAIS assim como as tangentes de β e δ. Logo, a
soma desses 4 valores não pode valer zero. E como as cotangentes são os inversos das
tangentes, a soma de seus 4 valores também não vale zero. A soma só valeria zero se o quadrado
tivesse lados paralelos aos eixos, o que não ocorre porque suas extremidades, pelo enunciado,
não podem ser A, A’, B e B’. Já os senos e cossenos, os inversos da secantes e cossecantes
desses arcos são simétricos, aos pares! Logo, a soma das secantes e das cossecantes valem
zero.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Resolver uma equação trigonométrica na variável x é determinar todos os arcos x que a tornam
uma proposição verdadeira. Assim, determine a solução da equação trigonométrica
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = cos 2𝑥 . 
RESOLUÇÃO
ASSISTA AO VÍDEO PARA ENTENDER MELHOR.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE OS ARCOS 5𝜋 / 2 + 𝛼 E 5𝜋 / 2 - 𝛼, CONFORME MOSTRA A
FIGURA, ONDE 𝛼 É UM ARCO ARBITRÁRIO.
IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB
PODEMOS CONCLUIR QUE:
A)
A) 𝑐𝑜𝑠 (5𝜋 / 2 + 𝛼) = - 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑒 𝑠𝑒𝑛 (5𝜋 / 2 - 𝛼 ) = - 𝑐𝑜𝑠 𝛼
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 𝑐𝑜𝑠 (5𝜋 / 2 - 𝛼) = - 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑒 𝑠𝑒𝑛 (5𝜋 / 2 - 𝛼 ) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 𝑐𝑜𝑠 (5𝜋 / 2 + 𝛼) = - 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑒 𝑠𝑒𝑛 (5𝜋 / 2 + 𝛼 ) = - 𝑐𝑜𝑠 𝛼
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 𝑐𝑜𝑠 (5𝜋 / 2 - 𝛼) = - 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑒 𝑠𝑒𝑛 (5𝜋 / 2 - 𝛼 ) = - 𝑐𝑜𝑠 𝛼
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
E)
E) 𝑐𝑜𝑠 (5𝜋 / 2 - 𝛼) = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑒 𝑠𝑒𝑛 (5𝜋 / 2 + 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
2. CALCULANDO EM FUNÇÃO DAS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS DO ARCO
𝛼, OS VALORES DE 𝑐𝑜𝑡 (𝜋 / 2 + 𝛼) E COSSEC (𝜋 / 2 - 𝛼), ENCONTRAMOS,
RESPECTIVAMENTE:
A)
A) 𝑡𝑔 𝛼 𝑒 𝑠𝑒𝑐 𝛼
B)
B) -𝑡𝑔 𝛼 𝑒 𝑠𝑒𝑐 𝛼
C)
C) 𝑡𝑔 𝛼 𝑒 - 𝑠𝑒𝑐 𝛼
D)
D) -𝑡𝑔 𝛼 𝑒 - 𝑠𝑒𝑐 𝛼
E)
E) 𝑡𝑔 𝛼 𝑒 𝑠𝑒𝑐 𝛼
GABARITO
1. Considere os arcos 5𝜋 / 2 + 𝛼 e 5𝜋 / 2 - 𝛼, conforme mostra a figura, onde 𝛼 é um arco
arbitrário.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Podemos concluir que:
A alternativa "E " está correta.
Os catetos horizontais, cossenos de 5𝜋 / 2 + 𝛼 e 5𝜋 / 2 - 𝛼, possuem mesmo módulo que o cateto
vertical, correspondente ao módulo do seno do arco 𝛼. Análise análogapara os senos de 5𝜋 / 2 + 𝛼
e 5𝜋 / 2 - 𝛼.
2. Calculando em função das linhas trigonométricas do arco 𝛼, os valores de 𝑐𝑜𝑡 (𝜋 / 2 + 𝛼) e
cossec (𝜋 / 2 - 𝛼), encontramos, respectivamente:
A alternativa "B " está correta.
A figura mostra que a opção correta é a opção B.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Usando as identidades trigonométricas e somas de arcos, temos:
Para 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜋2 + 𝛼:
𝑐𝑜𝑡𝑔𝜋2 + 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝜋2 + 𝛼
𝑠𝑒𝑛𝜋2 + 𝛼 = cos 𝜋2 ⋅ cos 𝛼 - 𝑠𝑒𝑛𝜋2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝛼)
𝑠𝑒𝑛𝜋2 ⋅ cos 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛𝛼cos 𝜋2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como: cos 𝜋2 = 0 e 𝑠𝑒𝑛𝜋2 = 1, temos que:
𝑐𝑜𝑡𝑔𝜋2 + 𝛼 =
𝑐𝑜𝑠𝜋2 + 𝛼
𝑠𝑒𝑛𝜋2 + 𝛼 = -𝑠𝑒𝑛(𝛼)
cos 𝛼 = - 𝑡𝑔(𝛼)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝜋2 + 𝛼:
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝜋2 + 𝛼 = 1
𝑠𝑒𝑛𝜋2 + 𝛼 = 1
𝑠𝑒𝑛𝜋2 ⋅ cos 𝛼 + cos 𝜋2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝛼
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como: cos 𝜋2 = 0 e 𝑠𝑒𝑛𝜋2 = 1, temos que:
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝜋2 + 𝛼 = 1
𝑠𝑒𝑛𝜋2 + 𝛼 = 1
cos 𝛼 = sec (𝛼)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, temos: -𝑡𝑔(𝛼) e sec (𝛼)
MÓDULO 4
 Resolver equações trigonométricas básicas
INTRODUÇÃO
A TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO
A LEI DOS SENOS
INTRODUÇÃO
No estudo das relações envolvendo os elementos de um triângulo arbitrário, é natural investigar as
eventuais relações entre as medidas de seus lados e de seus ângulos.
A trigonometria se faz naturalmente útil à geometria, uma vez que relacionar ângulos e lados diz
respeito, direta ou indiretamente, à definição básica das linhas trigonométricas.
Vejamos, então, como essa análise será desenvolvida!
Dado um triângulo de vértices XYZ e lados opostos x, y e z, respectivamente, desejamos
pesquisar relações entre esses 6 (seis) elementos.
Como veremos, há duas propriedades importantes, chamadas de Lei dos Senos e Lei dos
Cossenos.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
LEI DOS SENOS
Vamos relembrar, rapidamente, duas propriedades da geometria para criar um clima com a
trigonometria.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
PRIMEIRA PROPRIEDADE
Todo triângulo possui um círculo circunscrito, que passa simultaneamente pelos seus três
vértices.
O centro O desse círculo é chamado de circuncentro e é a interseção das mediatrizes do
triângulo – retas perpendiculares aos lados, e passando pelos seus pontos médios.

Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
SEGUNDA PROPRIEDADE
Todos os ângulos inscritos em um círculo e que subentendem (enxergam) a mesma corda XY
possuem mesma medida 𝛼.
Tal arco é chamado de arco capaz do ângulo 𝛼. Intuitivamente, se você “estiver” no arco XZ
assinalado, você vê a corda XZ sempre sob o mesmo ângulo 𝛼.
E, se XZ for um diâmetro, 𝛼 = 90°
Agora, “os finalmentes”!
No triângulo ao lado, traçando o diâmetro que passa pelo vértice 𝑋 e pelo centro O, obtemos
o ponto 𝑌’.
Os ângulos ∠𝑌 e ∠𝑌’ são iguais porque subentendem a mesma corda (XZ).
Como 𝑋𝑌’ é diâmetro, o triângulo 𝑋𝑌’𝑍 é retângulo.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Então:
𝑠𝑒𝑛 𝑌’ = 𝑠𝑒𝑛 𝑌 = 𝑦
2𝑅, 
𝑦
𝑠𝑒𝑛 𝑌 = 2𝑅
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, se a razão entre um lado (y, nesse caso) e o seno de seu ângulo oposto (Y) é igual ao
diâmetro do círculo inscrito, podemos concluir, de forma geral, que:
EM QUALQUER TRIÂNGULO XYZ,
𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑋 = 𝑦
𝑠𝑒𝑛 𝑌 = 𝑧
𝑠𝑒𝑛 𝑍 = 2𝑅
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
OU SEJA, OS LADOS DE UM TRIÂNGULO SÃO PROPORCIONAIS
AOS SENOS DOS ÂNGULOS OPOSTOS.
E A RAZÃO DESSA PROPORCIONALIDADE É EXATAMENTE O
DIÂMETRO DE SEU CÍRCULO CIRCUNSCRITO.
EXEMPLO 1
Em um triângulo ABC, sabe-se que AB = 4cm e A = 45° e B = 30°. Calcule a medida do lado CA.
Analisemos a Lei do Senos, por exemplo, a igualdade:
𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑋 = 𝑦
𝑠𝑒𝑛 𝑌
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Percebe-se que ocorrem dois pares de lado-ângulo e, então, o conhecimento de um par lado-
ângulo, além também de um dos elementos do segundo par lado-ângulo, permite calcular o
outro elemento do segundo par.
Neste exemplo, com os dados, podemos esboçar uma figura:
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Então, como desejamos b, devemos utilizar o par b-B e como dispomos dos dados do par a-A,
naturalmente devemos utilizá-lo também.
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴 = 𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵 ⇒ 4
𝑠𝑒𝑛 45° = 𝑏
𝑠𝑒𝑛 30° ⇒ 𝑏 = 4 × 1 / 2
√2 / 2
= 2√2𝑐𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Um triângulo está inscrito em um círculo de raio igual a 6cm. Então, se um de seus ângulos
internos vale 120°, determine o lado oposto a este ângulo.
Ora, a Lei dos Senos relaciona diretamente um par lado-ângulo e o diâmetro do círculo
circunscrito!
Então, de 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑋 = 2𝑅, obtemos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 120° = 2 × 6 ⇒ 𝑥 = √3
2 × 2 × 6 = 6√3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A LEI DOS COSSENOS
INTRODUÇÃO
A Lei dos Cossenos é uma propriedade que também permite relacionar os lados e ângulos de um
triângulo, mas diferentemente da Lei dos Senos, que relaciona dois pares lado-ângulo, a lei dos
cossenos relaciona os três lados do triângulo e mais um de seus ângulos.
 SAIBA MAIS
A prova da Lei dos Cossenos exige menos conhecimento de geometria básica, pois só é
utilizado o Teorema de Pitágoras e a definição de cosseno.
A LEI DOS COSSENOS
Veja o caso de um triângulo acutângulo.
Dado um triângulo XYZ, desejamos obter uma relação que envolva os três lados x, y e z, do
triângulo.
Então, traçando a altura relativa ao vértice Y, definimos os segmentos m e n em que o lado y
fica dividido.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Daí, Pitágoras nos dois triângulos retângulos fornece:
𝑧2 = 𝑚2 + ℎ2
𝑥2 = 𝑛2 + ℎ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Subtraindo essas igualdades, e observando que 𝑛 = 𝑦 – 𝑚, obtemos:
𝑥2 – 𝑧2 = 𝑛2 – 𝑚2 
𝑥2 – 𝑧2 = 𝑦 – 𝑚2 – 𝑚2
𝑥2 – 𝑧2 = 𝑦2 – 2𝑦 ·𝑚
𝑥2 = 𝑦2 + 𝑧2 – 2𝑦 ·𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note, entretanto, que 𝑐𝑜𝑠 𝑋 = 𝑚 / 𝑧. Então, obtemos:
𝑥2 = 𝑦2 + 𝑧2 – 2 . 𝑦 . 𝑧 . 𝑐𝑜𝑠𝑋
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que, se o ângulo X vale 90°, o cosseno de 90° é igual a 0 e a expressão se torna o
Teorema de Pitágoras!
 RESUMINDO
A Lei dos Cossenos pode ser entendida como uma generalização do Teorema de Pitágoras,
quando o triângulo não é retângulo.
Essa propriedade pode ser formulada da seguinte forma:
O QUADRADO DE UM LADO DE UM TRIÂNGULO É IGUAL À
SOMA DOS QUADRADOS DOS OUTROS DOIS LADOS,
SUBTRAINDO-SE O DOBRO DO PRODUTO DESTES DOIS
OUTROS LADOS, PELO COSSENO DO LADO OPOSTO.
EXEMPLO 3
Sabendo-se que um triângulo possui lados de medidas 5, 6 e 7m, calcule o cosseno de seu
menor ângulo interno.
Ora, o menor ângulo interno corresponde ao menor lado, ou seja, 5. Usando ao Lei dos
Cossenos, obtemos:
52 = 62 + 72 – 2 · 6 · 7 · 𝑐𝑜𝑠 𝑋 ⇒ 𝑐𝑜𝑠 𝑋 = 36 + 49 - 25
2 · 6 · 7 = 5 / 7
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 4
Um terreno triangular possui dois lados iguais a 100m e 150m e um ângulo entre dois de
seus lados é de 60°. Determine a medida do terceiro lado. Obs: o ângulo entre os lados
dados não é 60°.
Como o enunciado não informa a qual lado está associado o ângulo de 60°, há duas
possíveis situações, como mostram as figuras.
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
Podemos utilizar, nos dois casos, a Lei dos Cossenos. Vejam:
CASO 1
1002 = 𝑥2 + 1502 – 2 · 𝑥 · 150 · 𝑐𝑜𝑠 60° 
10.000 = 𝑥2 + 22.500 -150𝑥 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, recaímos em uma equação do segundo grau!
𝑥2 – 150 𝑥 + 12.500 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando o discriminante da equação, obtemos:
∆ = -1502 – 4 · 1 · 12.500 < 0, ou seja, essa alternativa não leva a nenhuma solução!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para perceber que a primeira situação é impossível, pense na altura do primeiro triângulo
que vale
150 × 𝑐𝑜𝑠 30° = 150 × √3 / 2 ≅ 130𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas é impossível a altura ser maior do que o outro lado, que vale 100m.
CASO 2
𝑥2 = 1002 + 1502 – 2 · 100 · 150 × 𝑐𝑜𝑠 60°
𝑥2 = 10.000 + 22.500 – 2 · 100 · 150 · 1 / 2
𝑥2 = 10.000 + 22.500 – 15.000 = 17.500
Logo, 𝑥 ≅ 132𝑚
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. NA FIGURA, AC VALE 10CM E 𝛼 = 45°. DETERMINANDO O DIÂMETRO DO
CÍRCULO CIRCUNSCRITO AO TRIÂNGULO ABC, OBTEMOS:
IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB
A) 5√2
B) √2 / 8
C) 10√2
D) 2√5
E) 20
2. EM UM TRIÂNGULO ABC SÃO DADOS: BC = 7, AB = 5 E Â = 60°.
CALCULANDO A MEDIDA DO LADO AC, ENCONTRAMOS:
A) √65
B) 8
C) 2√17
D) 5√2
E) 9
3. NA FIGURA, BC MEDE 12CM, Â = 120° E SABE-SE QUE O LADO AB É O
TRIPLO DO LADO AC.
ENTÃO, A MEDIDA DO LADO AC, VALE:
IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB
A) √13
B) √39 / 2
C) 2√13
D) 2√39 / 13
E) √26
4. EM UM TRIÂNGULO ABC, BC = 16, AB = 14 E AC = 10. DETERMINE O
COSSENO DO ÂNGULO QUE A MEDIANA RELATIVA AO VÉRTICE B FORMA
COM O LADO BC.
A) 9√201
134
B) 9
134
C) √201
67
D) 9√3
67
E) 50
67
5. A FIGURA EXIBE UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO E UM QUADRADO COM
UM LADO EM COMUM. JUSTIFICANDO O FATO DO ÂNGULO 𝛼 MEDIR 15°,
CALCULE COS 15° .
IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB
A) √6 - √2
4 = √2√3 - 1
4 = √2 - √3
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) √6 + √2
4 = √2√3 + 1
4 = √2 + √3
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) √3 + 1
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) √3 - 1
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) √3 - 1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. DESEJAMOS CONSTRUIR UMA PONTE SOBRE UM RIO. A FIGURA
REPRESENTA UM ESBOÇO DO TERRENO REALIZADO COM UM
TEODOLITO.
SABENDO-SE QUE A DISTÂNCIA ENTRE P (ONDE ESTÁ O TEODOLITO) E R
VALE 200 M E OS ÂNGULOS EM P E R ESTÃO ASSINALADOS NA FIGURA,
CALCULE A DISTÂNCIA ENTRE OS PONTOS P E Q.
QUAL A DISTÂNCIA ENTRE OS PONTOS P E Q?
IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB
A) 400√2
B) 200√2
C) 150√2
D) 100√2
E) 50√2
GABARITO
1. Na figura, AC vale 10cm e 𝛼 = 45°. Determinando o diâmetro do círculo circunscrito ao
triângulo ABC, obtemos:
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
A alternativa "C " está correta.
A Lei dos Senos informa: a razão entre os lados de um triângulo e o seno do lado oposto é
constante e igual aos diâmetros do círculo circunscrito:
Logo, 2R = 𝐴𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝐵 = 10
√2 / 2
= 10√2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Em um triângulo ABC são dados: BC = 7, AB = 5 e  = 60°. Calculando a medida do lado
AC, encontramos:
A alternativa "B " está correta.
Observe que  é o ângulo oposto ao lado BC, que é conhecido, e um dos outros lados, AB,
também é conhecido. Então, a Lei dos Cossenos permite determinar o lado desconhecido:
𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 – 2 ·𝐴𝐵 ·𝐴𝐶 · 𝑐𝑜𝑠Â ⇒ 49 = 25 + 𝐴𝐶2 – 2 · 5 ·𝐴𝐶 · 1 / 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Recaímos na equação do segundo grau 𝐴𝐶2 - 5 ·𝐴𝐶 – 24 = 0 que possui uma única raiz
positiva:
𝐴𝐶 = +5 + √25 - 4 · 1 · ( - 24)
2 · 1 = 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Na figura, BC mede 12cm, Â = 120° e sabe-se que o lado AB é o triplo do lado AC.
Então, a medida do lado AC, vale:
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
A alternativa "D " está correta.
Fazendo 𝐴𝐶 = 𝑥 e 𝐴𝐵 = 3𝑥, a Lei dos Cossenos aplicada ao lado AC fornece:
122 = 3𝑥2 + 𝑥2 – 2 · (3𝑥) · 𝑥 · 𝑐𝑜𝑠 120°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo cos 120° = -1/2, obtemos de imediato que 13𝑥2 = 12, ou seja:
𝑥 = 𝐴𝐶 = √12 / 13 = 2√39 / 13
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Em um triângulo ABC, BC = 16, AB = 14 e AC = 10. Determine o cosseno do ângulo que a
mediana relativa ao vértice B forma com o lado BC.
A alternativa "A " está correta.
As medianas de um triângulo são os segmentos que unem um vértice ao ponto médio do
lado oposto. Então, faça uma figura e chame o ponto médio do lado AC de M. Desejamos,
então, o ângulo entre BM e BC.
Observe a estratégia a ser usada:
Se a medida da mediana for conhecida – o segmento BM, a Lei dos Cossenos aplicada
ao triângulo BMC permite calcular o cosseno do ângulo MBC, solicitado.
Mas, é possível calcular BM se for usada a Lei dos Cossenos no triângulo MBC.
Será necessário dispor do cosseno do ângulo C, que, entretanto, pode ser calculado
pela Lei dos Cossenos no próprio triângulo original.
Então, lá vamos nós:
a) cos C:
142 = 102 + 162 – 2 · 10 · 16 · 𝑐𝑜𝑠 𝐶 ⇒ 𝑐𝑜𝑠 𝐶 = 1 / 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
b) BM:
𝐵𝑀2 = 𝐵𝐶2 + 𝐴𝑀2 – 2 ·𝐵𝐶 ·𝐴𝑀 · 𝑐𝑜𝑠 𝐶
𝐵𝑀2 = 162 + 52 – 2 · 16 · 5 · (1 / 2)
𝐵𝑀2 = 201 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
c) Ângulo 𝛼 entre AB e BM
𝑀𝐶2 = 𝐵𝑀2 + 𝐵𝐶2 - 2 ·𝐵𝑀 ·𝐵𝐶 · 𝑐𝑜𝑠 𝛼
25 = 201 + 256 – 2 · √201 · 16 · 𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 27 / √201 = 9√201
134
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5. A figura exibe um triângulo equilátero e um quadrado com um lado em comum.
Justificando o fato do ângulo 𝛼 medir 15°, calcule cos 15° .
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
A alternativa "B " está correta.
ASSISTA AO VÍDEO PARA CONFERIR A
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO.
6. Desejamos construir uma ponte sobre um rio. A figura representa um esboço do terreno
realizado com um teodolito.
Sabendo-se que a distância entre P (onde está o teodolito) e R vale 200 m e os ângulos em P
e R estão assinalados na figura, calcule a distância entre os pontos P e Q.
Qual a distância entre os pontos P e Q?
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
A alternativa "D " está correta.
Se ∠ 𝑅 = 30 º e ∠ 𝑃 = 105 º , o valor de ∠ 𝑄 = 45 º .
Observe, então, que temos um par de ângulo-lado conhecido (45° e 200m) e um par de
interesse, que contém o ponto R (pois desejamos exatamente o lado oposto).
Então, pela Lei dos Senos,
𝑃𝑄
𝑠𝑒𝑛 𝑅 = 𝑃𝑅
𝑠𝑒𝑛 𝑄 ⇒ 𝑃𝑄
𝑠𝑒𝑛 30° = 200
𝑠𝑒𝑛 45° ⇒ 𝑃𝑄 = 100√2
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GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
A figura exibe um terreno onde os ângulos de visada ∠ACB, ∠BCD e ∠ABC valem
respectivamente 30°, 60° e 30° e as distâncias entre B e C valem 150m e a distância entre CD
vale 100m.
Qual o valor da distância entre A e B?
Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab
RESOLUÇÃO
ASSISTA AO VÍDEO PARA ENTENDER MELHOR.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. EM UM PARALELOGRAMO ABCD, SABEMOS QUE AB MEDE 8CM, AD
MEDE 6CM E O ÂNGULO DAB MEDE 135°. DETERMINE A MEDIDA DE SUA
DIAGONAL BD.
A) 8√5 + √2
B) 2√13 + 12√3
C) √21 + 12√5
D) 2√12 + 12√5
E) 2√25 + 12√2
2. EM UM QUADRILÁTERO ABCD INSCRITO EM UM CÍRCULO DE RAIO
IGUAL A 10CM, SABEMOS QUE: ∠ 𝐷𝐴𝐶 = 30° E 𝐵𝐷 = 5√2 𝑐𝑚.
DETERMINAR O MAIOR VALOR POSSÍVEL DO ÂNGULO ∠𝐵𝐶𝐷.
A) 45°
B) 30°
C) 120°
D) 135°
E) 150°
GABARITO
1. Em um paralelogramo ABCD, sabemos queAB mede 8cm, AD mede 6cm e o ângulo DAB
mede 135°. Determine a medida de sua diagonal BD.
A alternativa "E " está correta.
Faça uma figura e perceba que, para calcular a diagonal desejada, basta aplicar a Lei dos
Cossenos no triângulo DAB:
𝐷2 = 62 + 82 – 2.6 · 8 · 𝑐𝑜𝑠 135° 
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𝐷2 = 62 + 82 – 2.6 · 8 · ( - √2 / 2) 
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𝐷2 = 100 + 48√2 = 4(25 + 12√2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
𝐷 = 2√25 + 12√2
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2. Em um quadrilátero ABCD inscrito em um círculo de raio igual a 10cm, sabemos que:
∠ 𝐷𝐴𝐶 = 30° e 𝐵𝐷 = 5√2 𝑐𝑚. Determinar o maior valor possível do ângulo ∠𝐵𝐶𝐷.
A alternativa "D " está correta.
Note que ∠ 𝐷𝐵𝐶 = 30°. Então, pela Lei dos Senos, temos:
𝐷𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝐷𝐴𝐶 = 2𝑅 = 𝐵𝐷
𝑠𝑒𝑛 𝐵𝐶𝐷
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2 · 10 = 5√2
𝑠𝑒𝑛 𝐵𝐶𝐷 𝑠𝑒𝑛 𝐵𝐶𝐷 = √2 / 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, 𝐵𝐶𝐷 = 45° ou 𝐵𝐶𝐷 = 135°.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A abordagem adotada, construtiva, dialógica e intuitiva, objetivou apresentar a
generalização das linhas trigonométricas, apoiando-se fortemente na geometria do círculo
trigonométrico.
O uso sistemático de metáforas no texto, além do apoio geométrico, certamente, ajuda o
aluno a internalizar com mais facilidade os assuntos abordados.
Recomendamos fortemente que todos os exemplos sejam cuidadosamente analisados, pois
são utilizados para desenvolver a cognição geométrica necessária para internalizar os
conceitos apresentados.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
DANTE, L. R. Matemática – Contexto e Aplicações: Trigonometria. São Paulo: Ática, 2004.
WAGNER, E. et al. Trigonometria e Números Complexos. São Paulo: Sociedade Brasileira de
Matemática, 2005.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste conteúdo, pesquise:
Uma fonte indispensável de consulta encontrada no endereço do “Portal da Matemática da
OBMEP”, onde você pode rever qualquer tema de seu interesse.
Ficam aqui dois desafios:
Procure descobrir o que é um triângulo esférico – na Wikipédia, por exemplo ‒ e trave
contato com noções da trigonometria e geometria esférica, em que – acredite ‒ a soma
dos ângulos internos de um triângulo esférico não vale 180°.
Procure relembrar o que é latitude e longitude e como localizar através de ângulos a
posição de uma localidade na superfície da Terra. Afinal, a Terra é esférica.
CONTEUDISTA
Carlos Eddy Esaguy Nehab