Introdução à trigonometria

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<p>DESCRIÇÃO</p><p>Apresentação das linhas trigonométricas no triângulo retângulo, sua generalização no círculo trigonométrico e principais aplicações.</p><p>PROPÓSITO</p><p>Compreender e utilizar as definições e propriedades das linhas trigonométricas na resolução de problemas de deslocamento circular,</p><p>bem como na medição de distâncias e de ângulos em figuras em um plano.</p><p>PREPARAÇÃO</p><p>É útil dispor de papel, lápis, borracha e uma calculadora científica.</p><p>OBJETIVOS</p><p>MÓDULO 1</p><p>Definir linhas trigonométricas básicas no triângulo retângulo</p><p>MÓDULO 2</p><p>Calcular linhas trigonométricas de ângulos notáveis</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>MÓDULO 3</p><p>Definir linhas trigonométricas adicionais no triângulo retângulo</p><p>MÓDULO 4</p><p>Definir o conceito geral de arcos e ângulos</p><p>TRIGONOMETRIA – CONCEITOS INICIAIS</p><p>AVISO: orientações sobre unidades de medida.</p><p>Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de tecnologia e didáticas. No</p><p>entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos</p><p>e demais materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos números e das unidades.</p><p>MÓDULO 1</p><p> Definir linhas trigonométricas básicas no triângulo retângulo</p><p>LINHAS TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS NO TRIÂNGULO</p><p>RETÂNGULO</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>javascript:void(0)</p><p>TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO</p><p>Foto: stock.adobe.com</p><p>LINHAS TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS EM UM TRIÂNGULO</p><p>RETÂNGULO</p><p>UMA FORMA INTUITIVA DE INICIAR O ESTUDO DAS CHAMADAS LINHAS</p><p>TRIGONOMÉTRICAS É PARTIR DA SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS</p><p>TRABALHANDO COM SEUS ÂNGULOS INTERNOS.</p><p>É essa a estratégia que seguiremos. Vamos a ela!</p><p>A seguir, temos três triângulos retângulos encaixados, cujo ângulo comum possui medida</p><p>α</p><p>.</p><p>É fácil perceber, intuitivamente, que esses triângulos possuem a mesma forma, ou seja, são triângulos semelhantes. Na verdade, o</p><p>conhecido teorema da intersecção de Tales nos garante que, quando retas paralelas (</p><p>p1</p><p>,</p><p>p2</p><p>e</p><p>p3</p><p>) são cortadas por transversais (</p><p>t1</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>e</p><p>t2</p><p>), ficam determinados segmentos correspondentes proporcionais.</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>Então, “desencaixando” os triângulos retângulos, obtemos a seguir as igualdades que retratam as proporções iguais entre os lados</p><p>correspondentes dos três triângulos:</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>Razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo</p><p>α</p><p>e a medida da hipotenusa:</p><p>b</p><p>a</p><p>=</p><p>b ′</p><p>a ′ =</p><p>b ′′</p><p>a ′′</p><p>(1)</p><p>Razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo</p><p>α</p><p>, e a hipotenusa:</p><p>b</p><p>a</p><p>=</p><p>b ′</p><p>a ′ =</p><p>b ′′</p><p>a ′′</p><p>(2)</p><p>Razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo</p><p>α</p><p>, e o cateto adjacente a ele:</p><p>c</p><p>a</p><p>=</p><p>c ′</p><p>a ′ =</p><p>c ′′</p><p>b ′′</p><p>(3)</p><p>Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p>É INTERESSANTE PERCEBER QUE AS TRÊS PROPORÇÕES (1), (2) E (3) DEPENDEM</p><p>APENAS DO ÂNGULO</p><p>Α</p><p>. ENTÃO, FAZ SENTIDO IMAGINÁ-LAS COMO PROPRIEDADES ASSOCIADAS AO</p><p>ÂNGULO</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Α</p><p>E, É CLARO, DAR NOMES A TAIS RAZÕES!</p><p>Naturalmente há, ao todo, seis possíveis razões envolvendo os três lados de um triângulo retângulo (pense a respeito), mas as três</p><p>razões adicionais, que são o inverso das apresentadas, serão abordadas no módulo 3. Veja a terminologia utilizada:</p><p>Razão entre... que chamamos de... Notação</p><p>...o cateto oposto ao ângulo</p><p>α</p><p>e a hipotenusa</p><p>seno de</p><p>α</p><p>sen α</p><p>...o cateto adjacente ao ângulo</p><p>α</p><p>e a hipotenusa</p><p>cosseno de</p><p>α</p><p>cos α</p><p>...o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo</p><p>α</p><p>tangente de</p><p>α</p><p>tg α</p><p>Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p>EXEMPLO 1</p><p>Um triângulo retângulo possui um cateto e a hipotenusa com medidas 7 e 25 respectivamente. Determine o seno, o cosseno e a</p><p>tangente de seu menor ângulo agudo</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Uma primeira solução é calcular o outro cateto e usar as definições. Para isso, entretanto, teremos que lançar mão do famoso</p><p>teorema de Pitágoras, que é a receita perfeita, pois ele assegura que:</p><p>O quadrado (da medida) da hipotenusa é igual à soma dos quadrados (das medidas) dos catetos!</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim, fazendo</p><p>a</p><p>=25 e</p><p>b</p><p>=7, podemos calcular a medida do cateto</p><p>c</p><p>.</p><p>a2 = b2 + c2 ⇒ 252 = 72 + c2 ⇒ c2 = 252 – 72</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Há uma forma de calcular</p><p>c2</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>sem precisar calcular os quadrados ou usar uma calculadora: como</p><p>c2</p><p>é a diferença entre dois quadrados, podemos usar o produto notável. Lembra disso?</p><p>x2 − y2 = (x − y)(x + y)</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O produto notável assegura que:</p><p>A diferença entre os quadrados de dois números, x e y, é igual ao produto de sua soma pela sua diferença.</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Se você efetuar o produto, comprovará a relação.</p><p>Então, usando essa propriedade, obtemos:</p><p>c2 = 252 – 72 = (25 + 7)(25 – 7)</p><p>c2 = 32 ⋅ 18 = 64 ⋅ 9 = 82 ⋅ 32</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Logo,</p><p>c = 8 ⋅ 3 = 24</p><p>e podemos, então, calcular o seno e o cosseno de qualquer um dos ângulos agudos do triângulo retângulo dado.</p><p>Mas qual é o menor ângulo agudo?</p><p>Pense um pouco, analisando as figuras anteriores. Perceba que o menor ângulo agudo é o que se opõe ao menor lado (no caso</p><p>de um triângulo retângulo, um cateto, naturalmente). Assim, chamando o menor ângulo de α, obtemos:</p><p>sen α =</p><p>7</p><p>25</p><p>cosα =</p><p>24</p><p>25</p><p>e</p><p>tg α =</p><p>7</p><p>24</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INICIAIS</p><p> SAIBA MAIS</p><p>Como as linhas trigonométricas tratam de razões entre os lados de um triângulo retângulo, é possível estabelecer várias relações</p><p>algébricas entre elas!</p><p>Estudaremos a seguir duas dessas relações, chamadas de relações ou identidades trigonométricas. Vejamos:</p><p>As igualdades (4) e (5) a seguir são obtidas diretamente das definições de seno e cosseno:</p><p>sen α =</p><p>b</p><p>a</p><p>⇒ b = a ⋅ sen α</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>(4)</p><p>cosα =</p><p>c</p><p>a</p><p>⇒ c = a ⋅ cosα</p><p>(5)</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>Desse modo, parece natural relacionar os catetos</p><p>b</p><p>e</p><p>c</p><p>com a hipotenusa</p><p>a</p><p>, utilizando o teorema de Pitágoras:</p><p>a2 = b2 + c2</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Então, sucessivamente, obtemos:</p><p>a2 = b2 + c2</p><p>a2 = [ a ⋅ sen α ]2 + [ a ⋅ cos α ]2</p><p>a2 = a2 (sen α )2 + ( cos α )2</p><p>de (4) e (5)</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Mas como</p><p>a ≠ 0</p><p>[ ]</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>, chegamos à primeira das relações trigonométricas de interesse, que relaciona o seno e o cosseno de um mesmo ângulo.</p><p>sen2 α + cos2 α = 1</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p> ATENÇÃO</p><p>É importante perceber que essa relação não tem absolutamente nada de extraordinário, pois é simplesmente o teorema de Pitágoras</p><p>disfarçado, quando você escolhe a hipotenusa do triângulo retângulo medindo uma unidade! Percebeu? Quem seria o seno e o</p><p>cosseno, nesse caso, caso a hipotenusa do triângulo medisse 1 (uma unidade)? Naturalmente, os próprios catetos, certo?</p><p>Indo em frente e usando a definição de tangente, obtemos a segunda relação trigonométrica de interesse, que relaciona as três</p><p>razões estudadas, ou seja, o seno, o cosseno e a tangente de um mesmo ângulo.</p><p>tg a =</p><p>b</p><p>c</p><p>⇒ tg a =</p><p>a ⋅ sen a</p><p>a ⋅ cos a</p><p>de (4) e (5)</p><p>TG Α =</p><p>SEN Α</p><p>COS Α</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>EXEMPLO 2</p><p>No quadriculado, são marcados os ângulos agudos</p><p>α</p><p>,</p><p>β</p><p>e</p><p>δ</p><p>(respectivamente, alfa, beta e delta).</p><p>Calcule o seno, cosseno e tangente desses ângulos.</p><p>Loading</p><p>2π</p><p>3</p><p>rd,</p><p>3π</p><p>4</p><p>rd,</p><p>π</p><p>12</p><p>rd</p><p>e</p><p>π</p><p>15</p><p>rd</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Uma estratégia interessante para qualquer conversão de unidades pode ser exemplificada na conversão de</p><p>9km /h</p><p>para</p><p>m /s</p><p>(ou seja, uma velocidade dada em quilômetros por hora sendo convertida para metros por segundo). Funciona assim:</p><p>Se desejamos que</p><p>km</p><p>seja substituído por</p><p>m</p><p>, escrevemos a igualdade que liga as duas unidades, ou seja:</p><p>1km = 1000m</p><p>; mas também desejamos substituir a unidade de tempo hora por segundo:</p><p>1h = 60min = 60 (60s) = 3600s</p><p>.</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A seguir, simplesmente escrevemos a informação a ser convertida —</p><p>9km /h</p><p>substituindo cada unidade original em suas equivalentes. Assim:</p><p>9</p><p>km</p><p>h</p><p>= 9</p><p>1000m</p><p>3600s</p><p>=</p><p>9 ⋅ 1000</p><p>3600</p><p>⋅</p><p>m</p><p>s</p><p>= 2, 5m /s</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim, para a conversão de radiano para grau e vice-versa, basta ter em mente que:</p><p>360° = 2πrd ⇒ 360° ⋅ 1° = 2π ⋅ 1rd ⇒ 1° =</p><p>2π</p><p>360</p><p>rd ⇒ 1° =</p><p>π</p><p>180</p><p>rd</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Então, vamos à solução do item a.</p><p>a. 30°,45°,60°,75°,90° e 720°</p><p>30° = 30 ⋅ 1° = 30 ⋅</p><p>π</p><p>180</p><p>rd =</p><p>30π</p><p>180</p><p>rd =</p><p>π</p><p>6</p><p>rd</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Você percebe, então, que tudo se passa como se substituíssemos 1° por (</p><p>π</p><p>180</p><p>) rd</p><p>, certo?</p><p>Então, fica simples obter os demais resultados:</p><p>45 ∘ = 45 ⋅</p><p>π</p><p>180 =</p><p>π</p><p>4 rd 60 ∘ = 60 ⋅</p><p>π</p><p>180 =</p><p>π</p><p>3 rd</p><p>75 ∘ = 75 ⋅</p><p>π</p><p>180 =</p><p>5π</p><p>12 rd 90 ∘ = 90 ⋅</p><p>π</p><p>180 =</p><p>π</p><p>2 rd</p><p>720 ∘ = 720 ⋅</p><p>π</p><p>180 = 4πrd</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>b.</p><p>2π</p><p>3</p><p>rd,</p><p>3π</p><p>4</p><p>rd,</p><p>π</p><p>12</p><p>rd</p><p>e</p><p>π</p><p>15</p><p>rd</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Analogamente</p><p>2π</p><p>3</p><p>rd =</p><p>2π</p><p>3</p><p>⋅ 1rd =</p><p>2π</p><p>3</p><p>⋅</p><p>180</p><p>π</p><p>rd = 120°</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Desse modo, tudo se passa como se estivéssemos substituindo</p><p>1rd</p><p>por</p><p>180°</p><p>π</p><p>graus! Logo, obtemos:</p><p>3π</p><p>4</p><p>rd =</p><p>3π</p><p>4</p><p>⋅</p><p>180</p><p>π</p><p>= 135 ∘</p><p>π</p><p>12</p><p>rd =</p><p>π</p><p>12</p><p>⋅</p><p>180</p><p>π</p><p>= 15 ∘</p><p>π</p><p>15</p><p>rd =</p><p>π</p><p>15</p><p>⋅</p><p>180</p><p>π</p><p>= 18 ∘</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>MÃO NA MASSA</p><p>( )</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>1. SOMANDO-SE AS ABSCISSAS DAS EXTREMIDADES DOS ARCOS 315°, 480° E -300°, EM UMA</p><p>CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO 1, OBTEMOS:</p><p>A)</p><p>1</p><p>B)</p><p>2√3</p><p>3</p><p>C)</p><p>−1</p><p>D)</p><p>0</p><p>E)</p><p>√2</p><p>2</p><p>2. A PARTIR DA FIGURA INDICADA, UM DODECÁGONO, REGULAR, ANALISE AS SEGUINTES</p><p>ALTERNATIVAS:</p><p>IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB</p><p>(I) ORDENADA DE</p><p>P1</p><p>= ABSCISSA DE</p><p>P6</p><p>(II) ABSCISSA DE</p><p>P4</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>= ORDENADA DE</p><p>P7</p><p>(III) ORDENADA DE</p><p>P1</p><p>= ORDENADA DE</p><p>P4</p><p>= ABSCISSA DE</p><p>P7</p><p>(IV) ABSCISSA DE</p><p>P6</p><p>+ ABSCISSA DE</p><p>P7</p><p>= 0</p><p>PODEMOS AFIRMAR QUE NÚMERO DE ALTERNATIVAS VERDADEIRAS É IGUAL A</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 3</p><p>E) 4</p><p>3. NA FIGURA, OS PONTOS</p><p>P1</p><p>A</p><p>P12</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>FORMAM UM DODECÁGONO REGULAR. ANALISE AS AFIRMATIVAS DE (I) A (IV).</p><p>IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB</p><p>AS MEDIDAS, EM RADIANOS, DOS ARCOS COM EXTREMIDADE EM</p><p>(I)</p><p>P1</p><p>OU EM</p><p>P10</p><p>PODEM SER EXPRESSAS POR</p><p>KΠ +</p><p>Π</p><p>2</p><p>, K INTEIRO.</p><p>(II)</p><p>P1</p><p>,</p><p>P4</p><p>,</p><p>P7</p><p>OU</p><p>P10</p><p>PODEM SER EXPRESSAS POR</p><p>KΠ</p><p>2</p><p>, K INTEIRO.</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>(III)</p><p>P3</p><p>,</p><p>P6</p><p>,</p><p>P9</p><p>OU</p><p>P12</p><p>PODEM SER EXPRESSAS POR</p><p>K</p><p>Π</p><p>2</p><p>+</p><p>PI</p><p>4</p><p>, K INTEIRO.</p><p>(IV)</p><p>P1</p><p>,</p><p>P3</p><p>OU</p><p>P9</p><p>PODEM SER EXPRESSAS POR</p><p>2KΠ</p><p>3</p><p>, K INTEIRO.</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 3</p><p>E) 4</p><p>4. AS FIGURAS EXIBEM UMA “PISTA” CIRCULAR E AS DUAS SITUAÇÕES EM QUE DOIS ARCOS COM</p><p>MEDIDAS</p><p>Α</p><p>E</p><p>ΒLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>POSSUEM EXTREMIDADES COM A MESMA ABSCISSA.</p><p>SITUAÇÃO 1: OS ARCOS POSSUEM MESMA EXTREMIDADE — SÃO CÔNGRUOS.</p><p>SITUAÇÃO 2: AS EXTREMIDADES DOS ARCOS SÃO SIMÉTRICAS COM RELAÇÃO AO EIXO</p><p>HORIZONTAL.</p><p>IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB</p><p>SITUAÇÃO 1: NESTE CASO, O QUE DIFERENCIA OS ARCOS É APENAS QUANTAS VOLTAS</p><p>COMPLETAS CADA ARCO PERCORREU, OU SEJA, A DIFERENÇA ENTRE SUAS MEDIDAS DEVE SER</p><p>UM MÚLTIPLO DE UMA VOLTA:</p><p>Α– Β = 360° · K</p><p>ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL</p><p>SITUAÇÃO 2: SE AS EXTREMIDADES SÃO SIMÉTRICAS COM RELAÇÃO AO EIXO HORIZONTAL,</p><p>PODEMOS IMAGINAR QUE UM DOIS ARCOS PERCORREU CERTO NÚMERO DE VOLTAS E AINDA</p><p>“DEU UMA ESTICADA” DE UM ÂNGULO ; O OUTRO, NATURALMENTE, TAMBÉM PERCORREU</p><p>DETERMINADO NÚMERO DE VOLTAS, MAS ENTÃO VOLTOU, DE MARCHA À RÉ, O MESMO ÂNGULO</p><p>Α</p><p>. ENTÃO, AO SOMAR AS MEDIDAS DOS DOIS ARCOS, O ÂNGULO</p><p>Α</p><p>SE ANULA, E O RESULTADO É CERTA QUANTIDADE DE VOLTAS, ISTO É, A SOMA DOS ARCOS</p><p>TAMBÉM DEVE SER UM MÚLTIPLO DE UMA VOLTA:</p><p>Α + Β = 360° · K</p><p>ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL</p><p>OU SEJA, A CONDIÇÃO PARA QUE DOIS ARCOS POSSUAM EXTREMIDADES COM A MESMA</p><p>ABSCISSA É QUE SUAS MEDIDAS SATISFAÇAM À CONDIÇÃO Α ± Β = 360° · K PARA ALGUM INTEIRO</p><p>K</p><p>CONSIDERANDO A DISCUSSÃO ANTERIOR, CONSIDERE QUE DOIS ARCOS POSSUEM</p><p>EXTREMIDADES SIMÉTRICAS COM RELAÇÃO AO CENTRO DA “PISTA”. ASSINALE A OPÇÃO QUE</p><p>CORRESPONDE À CONDIÇÃO QUE DEVE SER SATISFEITA POR SUAS MEDIDAS,</p><p>Α</p><p>E</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Β</p><p>:</p><p>A) α - β = k · 180°, k inteiro par</p><p>B) α - β = k · 180°, k inteiro ímpar</p><p>C) α - β = k · 180°, k inteiro</p><p>D) α ± β = k · 180°, k inteiro</p><p>E) α ± β = k · 180°, k inteiro</p><p>5. UM COPINHO CÔNICO (COMO O USADO PARA BEBER CALDO DE CANA) É CONSTRUÍDO A PARTIR</p><p>DO SETOR CIRCULAR INDICADO DE ÂNGULO</p><p>Α</p><p>, GERANDO UM COPINHO DE 5CM DE RAIO E 12CM DE ALTURA.</p><p>IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB</p><p>A MEDIDA DE</p><p>Α</p><p>EM RADIANOS É</p><p>A)</p><p>5π</p><p>12</p><p>B)</p><p>10π</p><p>13</p><p>C)</p><p>2π</p><p>3</p><p>D)</p><p>5π</p><p>13</p><p>E)</p><p>13π</p><p>25</p><p>6. SEJA X A MEDIDA DE UM ARCO. DEFINIMOS S(X) = SOMA DA ABSCISSA COM A ORDENADA DA</p><p>EXTREMIDADE DO ARCO X.</p><p>ASSINALE O VALOR DA EXPRESSÃO:</p><p>∑K = 8</p><p>K = 1S(KΠ /4)</p><p>ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL</p><p>A) 0Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>B) 1</p><p>C) -1</p><p>D) 2</p><p>E) -2</p><p>GABARITO</p><p>1. Somando-se as abscissas das extremidades dos arcos 315°, 480° e -300°, em uma circunferência de raio 1, obtemos:</p><p>A alternativa "E " está correta.</p><p>A figura é autoexplicativa. Os tradicionais triângulos 30°/60°/90° e 90°/45°/90° presentes permitem escrever de imediato que:</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>315° ⇒</p><p>√2</p><p>2</p><p>480° ⇒ -</p><p>1</p><p>2</p><p>-300° ⇒</p><p>1</p><p>2</p><p>√2</p><p>2</p><p>+ -</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>√2</p><p>2</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>2. A partir da figura indicada, um dodecágono, regular, analise as seguintes alternativas:</p><p>( ) ( )</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>(I) Ordenada de</p><p>P1</p><p>= abscissa de</p><p>P6</p><p>(II) Abscissa de</p><p>P4</p><p>= ordenada de</p><p>P7</p><p>(III) Ordenada de</p><p>P1</p><p>= ordenada de</p><p>P4</p><p>= abscissa de</p><p>P7</p><p>(IV) Abscissa de</p><p>P6</p><p>+ abscissa de</p><p>P7</p><p>= 0</p><p>Podemos afirmar que número de alternativas verdadeiras é igual a</p><p>A alternativa "D " está correta.Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>(I) A ordenada de</p><p>P1</p><p>e a abscissa de</p><p>P6</p><p>são iguais em módulo, mas de sinal contrário. Logo, afirmativa incorreta.</p><p>(II) A abscissa de</p><p>P4</p><p>e a ordenada de</p><p>P7</p><p>são ambas negativas e em módulo iguais ao “cateto maior” dos triângulos retângulos; afirmativa correta.</p><p>(III) Afirmativa correta. Todos os valores positivos e, em módulo, iguais ao cateto menor.</p><p>(IV) Afirmativa correta, pois são valores simétricos.</p><p>3. Na figura, os pontos</p><p>P1</p><p>a</p><p>P12</p><p>formam um dodecágono regular. Analise as afirmativas de (I) a (IV).</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>As medidas, em radianos, dos arcos com extremidade em</p><p>(I)</p><p>P1</p><p>ou em</p><p>P10</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>podem ser expressas por</p><p>kπ +</p><p>π</p><p>2</p><p>, k inteiro.</p><p>(II)</p><p>P1</p><p>,</p><p>P4</p><p>,</p><p>P7</p><p>ou</p><p>P10</p><p>podem ser expressas por</p><p>kπ</p><p>2</p><p>, k inteiro.</p><p>(III)</p><p>P3</p><p>,</p><p>P6</p><p>,</p><p>P9</p><p>ou</p><p>P12</p><p>podem ser expressas por</p><p>k</p><p>π</p><p>2 +</p><p>pi</p><p>4</p><p>, k inteiro.</p><p>(IV)</p><p>P1</p><p>,</p><p>P3</p><p>ou</p><p>P9</p><p>podem ser expressas por</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>2kπ</p><p>3</p><p>, k inteiro.</p><p>A alternativa "E " está correta.</p><p>Todas as opções estão corretas:</p><p>(I) A expressão</p><p>kπ</p><p>“atinge” os pontos</p><p>P1</p><p>e</p><p>P7</p><p>, somando</p><p>π</p><p>2</p><p>.</p><p>(II) A expressão</p><p>kπ</p><p>2</p><p>representa um múltiplo de</p><p>π</p><p>2</p><p>rd</p><p>, ou seja, de 90°.</p><p>(III)Como a expressão</p><p>kπ</p><p>2</p><p>representa arcos com extremidade “no quadrado”</p><p>P1</p><p>,</p><p>P4</p><p>,</p><p>P9</p><p>e</p><p>P10</p><p>, qualquer expressão que some algum valor constante a essa expressão representará arcos com extremidades em um quadrado</p><p>“rodado” com relação ao quadrado anterior.</p><p>(IV) Note que</p><p>2π</p><p>3</p><p>rd</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>é, em graus, um múltiplo de 120°. Logo, as extremidades dos arcos formam um triângulo equilátero com vértices exatamente nos</p><p>pontos assinalados.</p><p>4. As figuras exibem uma “pista” circular e as duas situações em que dois arcos com medidas</p><p>α</p><p>e</p><p>β</p><p>possuem extremidades com a mesma abscissa.</p><p>Situação 1: Os arcos possuem mesma extremidade — são côngruos.</p><p>Situação 2: As extremidades dos arcos são simétricas com relação ao eixo horizontal.</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>Situação 1: Neste caso, o que diferencia os arcos é apenas quantas voltas completas cada arco percorreu, ou seja, a</p><p>diferença entre suas medidas deve ser um múltiplo de uma volta:</p><p>α– β = 360° · k</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Situação 2: Se as extremidades são simétricas com relação ao eixo horizontal, podemos imaginar que um dois arcos</p><p>percorreu certo número de voltas e ainda “deu uma esticada” de um ângulo ; o outro, naturalmente, também percorreu</p><p>determinado número de voltas, mas então voltou, de marcha à ré, o mesmo ângulo</p><p>α</p><p>. Então, ao somar as medidas dos dois arcos, o ângulo</p><p>α</p><p>se anula, e o resultado é certa quantidade de voltas, isto é, a soma dos arcos também deve ser um múltiplo de uma volta:</p><p>α + β = 360° · k</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Ou seja, a condição para que dois arcos possuam extremidades com a mesma abscissa é que suas medidas satisfaçam à</p><p>condição α ± β = 360° · k para algum inteiro k</p><p>Considerando a discussão anterior, considere que dois arcos possuem extremidades simétricas com relação ao centro da</p><p>“pista”. Assinale a opção que corresponde à condição que deve ser satisfeita por suas medidas,</p><p>α</p><p>e</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>β</p><p>:</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Perceba que se as extremidades dos arcos são simétricas com relação ao centro da “pista”, é porque um dos arcos, após ambos</p><p>“darem certo número de voltas” (não necessariamente iguais) ainda deu uma “esticada” de 180° com relação à posição final do outro.</p><p>Isto é, a diferença entre suas medidas deve ser uma quantidade ímpar de meias voltas.</p><p>5. Um copinho cônico (como o usado para beber caldo de cana) é construído a partir do setor circular indicado de ângulo</p><p>α</p><p>, gerando um copinho de 5cm de raio e 12cm de altura.</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>A medida de</p><p>α</p><p>em radianos é</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:</p><p>6. Seja x a medida de um arco. Definimos S(x) = soma da abscissa com a ordenada da extremidade do arco x.</p><p>Assinale o valor da expressão:</p><p>∑k = 8</p><p>k = 1S(kπ /4)</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>Basta perceber que os oito arcos incluídos no somatório são, dois a dois, simétricos com relação ao centro do círculo. Mas se os</p><p>arcos</p><p>α</p><p>e</p><p>β</p><p>têm extremidades simétricas com relação ao centro do círculo, S(α) + S(β) = 0. Logo, a soma desejada vale 0.</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>A alternativa correta é a letra A</p><p>GABARITO</p><p>TEORIA NA PRÁTICA</p><p>Dois robôs se movem em torno de uma pista circular com velocidades angulares constantes de 18 radianos por minuto e de 24</p><p>radianos por minuto.</p><p>Admita que ambos os robôs partam de um mesmo ponto em um mesmo instante. Determine em quanto tempo eles se cruzam, pela</p><p>primeira vez:</p><p>a) Caso se desloquem no mesmo sentido.</p><p>b) Caso se desloquem em sentidos opostos.</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>1. O POLÍGONO REGULAR DETERMINADO PELAS EXTREMIDADES DOS ARCOS DE MESMA ORIGEM,</p><p>CUJAS MEDIDAS SÃO EXPRESSAS POR</p><p>KΠ</p><p>4 +</p><p>3Π</p><p>12 , K INTEIRO, É UM</p><p>A) triângulo</p><p>B) hexágono</p><p>C) octógono</p><p>D) decágono</p><p>E) dodecágono</p><p>2. SUPONHA QUE A LINHA DO CARRETEL INDICADO, COMERCIALIZADO COM 100M DE LINHA, SEJA</p><p>ENROLADA DE FORMA QUE CADA VOLTA TENHA UM DIÂMETRO MÉDIO APROXIMADO DE 0,8CM.</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>QUANTAS VOLTAS, APROXIMADAMENTE, OS 100 METROS DE LINHA DARIAM NO CARRETEL?</p><p>A) 16</p><p>B) 32</p><p>C) 40</p><p>D) 48</p><p>E) 56</p><p>GABARITO</p><p>1. O polígono regular determinado pelas extremidades dos arcos de mesma origem, cujas medidas são expressas por</p><p>kπ</p><p>4 +</p><p>3π</p><p>12 , k inteiro, é um</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>A expressão</p><p>kπ</p><p>4 é um múltiplo inteiro de</p><p>π</p><p>4 rd = 45° . Logo determina 8 pontos no círculo trigonométrico. Se adicionarmos</p><p>3π</p><p>12 a</p><p>cada arco, apenas rodamos cada ponto extremo de 3π /12 rd (~54°), ou seja, continuaremos com um octógono “rodado”.</p><p>2. Suponha que a linha do carretel indicado, comercializado com 100m de linha, seja enrolada de forma que cada volta tenha</p><p>um diâmetro médio aproximado de 0,8cm.</p><p>Quantas voltas, aproximadamente, os 100 metros de linha dariam no carretel?</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Uma volta corresponde a</p><p>2 · π · r = 2π · 0, 4cm ≅ 2, 5cm</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Logo, a linha dá 100/2,5 voltas</p><p>CONCLUSÃO</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Este conteúdo teve como objetivo apresentar, simultaneamente, as linhas trigonométricas e uma discreta revisão de propriedades</p><p>básicas da geometria e de algebrismos usuais, que dão suporte ao seu desenvolvimento.</p><p>Ressaltamos que foram apresentadas duas soluções em diversos exemplos: uma, privilegiando a geometria do triângulo retângulo, e</p><p>outra, focada nas relações trigonométricas desenvolvidas. Esse duplo olhar é essencial para possibilitar a compreensão plena da</p><p>estreita relação entre a trigonometria e a geometria básica.</p><p>Não é exagero afirmar que o domínio dos conceitos deste estudo habilitam você a acompanhar os demais assuntos da trigonometria</p><p>sem dificuldade. Para isso, recomendamos que todos os exemplos sejam cuidadosamente analisados.</p><p>( )</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>--></p><p>AVALIAÇÃO DO TEMA:</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>WAGNER, E. et al. Trigonometria e números complexos. São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática, 2005.</p><p>DANTE, L. R. Matemática – contexto e aplicações: trigonometria. São Paulo: Ática, 2004.</p><p>EXPLORE+</p><p>Uma fonte inestimável de consulta se encontra no Portal da Matemática da OBMEP, onde você pode rever qualquer tema de seu</p><p>interesse.</p><p>CONTEUDISTA</p><p>Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>[MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Podemos supor que o segmento</p><p>u</p><p>indicado é a unidade de comprimento a ser utilizada.</p><p>• Linhas trigonométricas de</p><p>α</p><p>e</p><p>β</p><p>Nesse caso, os catetos do triângulo da figura valem 3 e 6 unidades, mas é necessário calcular a hipotenusa.</p><p>Então, se</p><p>x</p><p>é a medida da hipotenusa desse triângulo, temos, pelo velho Pitágoras:</p><p>x2 = 32 + 62 = 45</p><p>x2 = 9 ⋅ 5 ⇒ x = √9√5 = 3√5</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Logo, pela definição de seno, cosseno e tangente, obtemos:</p><p>sen α =</p><p>cateto oposto</p><p>hipotenusa</p><p>=</p><p>6</p><p>3√5</p><p>=</p><p>6</p><p>3√5</p><p>⋅</p><p>√5</p><p>√5</p><p>=</p><p>6√5</p><p>3 ⋅ 5</p><p>=</p><p>2</p><p>5√5</p><p>cos α =</p><p>cateto adjacente</p><p>hipotenusa</p><p>=</p><p>3</p><p>3√5</p><p>=</p><p>1</p><p>5√5</p><p>tg α =</p><p>cateto oposto</p><p>cateto adjacente</p><p>=</p><p>6</p><p>3</p><p>= 2</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>LINHAS TRIGONOMÉTRICAS DE</p><p>Δ</p><p>Como os catetos são iguais, esse triângulo é a metade de um quadrado cuja diagonal é a hipotenusa!</p><p>Então,</p><p>δ = 45°</p><p>e, pelo teorema de Pitágoras, o valor da hipotenusa vale</p><p>4√2</p><p>. Na verdade, de maneira geral, vale a seguinte propriedade decorrente de imediato do Pitágoras:</p><p> ATENÇÃO</p><p>Note que o cateto oposto ao ângulo</p><p>β</p><p>é o cateto adjacente ao ângulo</p><p>α</p><p>, e essa relação é recíproca. Como consequência, perceba a interessante propriedade: se dois ângulos são complementares (soma</p><p>de suas medidas igual a um ângulo reto — ), o seno de um dos ângulos é o cosseno do outro e vice-versa; além disso, a tangente</p><p>de um é o inverso da tangente do outro.</p><p>Daí decorre que:</p><p>cos β = sen α =</p><p>2</p><p>5√5</p><p>sen β = cos α =</p><p>1</p><p>5√5</p><p>tg β =</p><p>1</p><p>tg α</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p> SAIBA MAIS</p><p>Em qualquer quadrado, a medida de sua diagonal vale</p><p>√2</p><p>vezes a medida de seu lado.</p><p>Logo, temos:</p><p>tg δ = tg 45° = 1</p><p>(pois os catetos são iguais)</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>sen δ = cos δ =</p><p>3</p><p>3√2</p><p>=</p><p>3</p><p>3√2</p><p>⋅</p><p>√2</p><p>√2</p><p>=</p><p>√2</p><p>2</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>EXEMPLO 3</p><p>A figura indica uma situação típica do estudo da Física no ensino médio, quando analisamos, na mecânica, as forças que agem</p><p>sobre um bloco em cima de um plano inclinado.</p><p>É usual, nesses problemas, o enunciado fornecer como dado o seno do ângulo</p><p>α</p><p>, ângulo que o plano inclinado forma com a horizontal. E curiosamente, em mais de 70% dos casos, o valor usado é 0,6! Por que</p><p>será?</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>Então, vamos em frente com uma pergunta: sabendo que</p><p>sen α = 0, 6</p><p>, o que lhe parece mais simples?</p><p>Calcular</p><p>cosα</p><p>a partir da relação fundamental</p><p>sen2</p><p>α + cos2 α = 1</p><p>?</p><p>ou</p><p>Calcular</p><p>cosα</p><p>a partir dos lados de um triângulo retângulo, sendo</p><p>α</p><p>um dos ângulos?</p><p>Pois é. O velho Pitágoras parece ser o caminho mais rápido, pois bastaria dividir o cateto adjacente pela hipotenusa, certo?Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>SOLUÇÃO 1</p><p>Primeiro vamos à solução via Pitágoras, mas de um jeito bem diferente!</p><p>Como</p><p>sen α = 0, 6 =</p><p>6</p><p>10</p><p>=</p><p>3</p><p>5</p><p>, podemos imaginar que</p><p>α</p><p>é o ângulo agudo de um triângulo retângulo em que o cateto oposto vale 3 e a hipotenusa vale 5. Claro, podíamos escolher outros</p><p>valores desde que numerador (cateto oposto) dividido pelo denominador (a hipotenusa) valesse</p><p>3</p><p>5</p><p>.</p><p>Nesse caso, se escolhemos cateto oposto igual a 3 e hipotenusa igual a 5, sequer é necessário o teorema de Pitágoras para calcular</p><p>o outro cateto, pois o triângulo retângulo “3, 4, 5” é conhecidíssimo, ou seja, todos nós sabemos que a medida do outro cateto vale 4.</p><p>Portanto, se você se deparar com o seno ou cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo valendo 0,6 ou 0,8, lembre-se</p><p>de que tal triângulo só pode ser um múltiplo do manjado triângulo pitagórico “3, 4, 5”.</p><p>Concluindo: dividindo o cateto adjacente pela hipotenusa, obtemos</p><p>cosα =</p><p>4</p><p>5</p><p>= 0, 8</p><p>, e dividindo</p><p>cateto oposto pelo cateto adjacente, obtemos</p><p>tg α =</p><p>3</p><p>4</p><p>.</p><p>SOLUÇÃO 2</p><p>Utilizando a relação trigonométrica desenvolvida, a solução exigiria continhas mais trabalhosas (porque estaríamos aplicando, em</p><p>essência, o mesmo Pitágoras, mas usando números decimais ou frações). Veja:</p><p>sen2 α + cos2 α = 1 ⇒ 0, 62 + cos2 α = 1</p><p>⇒ cos2 α = 1 − 0, 36</p><p>⇒ cos2 α = 0, 64 =</p><p>64</p><p>100</p><p>⇒ cosα =</p><p>64</p><p>100</p><p>=</p><p>8</p><p>10</p><p>= 0, 8</p><p>⇒ tg α =</p><p>6</p><p>10</p><p>8</p><p>10</p><p>=</p><p>3</p><p>4</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>√</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>MÃO NA MASSA</p><p>1. NO TRIÂNGULO INDICADO, OS VALORES DOS SENOS DE</p><p>Α</p><p>E</p><p>Β</p><p>VALEM, RESPECTIVAMENTE</p><p>IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB</p><p>A)</p><p>√3</p><p>2</p><p>e</p><p>√37</p><p>2</p><p>B)</p><p>√2</p><p>2</p><p>e</p><p>√37</p><p>2</p><p>C)</p><p>√2</p><p>2</p><p>e</p><p>6</p><p>√37</p><p>37</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>D)</p><p>√2</p><p>e</p><p>2</p><p>√37</p><p>37</p><p>E)</p><p>√3</p><p>2</p><p>e</p><p>1</p><p>√37</p><p>2. SE A E B SÃO ÂNGULOS AGUDOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO, TAIS QUE</p><p>3 ⋅ SEN A − 2 ⋅ SEN B = 0</p><p>, PODEMOS CONCLUIR QUE</p><p>A)</p><p>tg a = 3</p><p>B)</p><p>tg a =</p><p>1</p><p>3</p><p>C)</p><p>tg a =</p><p>2</p><p>3</p><p>D)</p><p>tg a =</p><p>3</p><p>2</p><p>E)</p><p>tg a = 1</p><p>3. SE A TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO VALE 2, ENTÃO OS VALORES DE SEU SENO E DE SEU</p><p>COSSENO VALEM, RESPECTIVAMENTE</p><p>A)</p><p>√5</p><p>2</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>e</p><p>√5</p><p>3</p><p>B)</p><p>2</p><p>√5</p><p>3</p><p>e</p><p>√5</p><p>3</p><p>C)</p><p>√5</p><p>5</p><p>e</p><p>2√5</p><p>5</p><p>D)</p><p>√5</p><p>3</p><p>e</p><p>√5</p><p>4</p><p>E)</p><p>2√5</p><p>5</p><p>e</p><p>√5</p><p>5</p><p>4. A FIGURA ILUSTRA UM OCTÓGONO REGULAR NO QUAL É POSSÍVEL MOSTRAR (TENTE) QUE O</p><p>ÂNGULO Α VALE 22,5°. CALCULANDO A TANGENTE DE 22,5°, OBTEMOS:</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB</p><p>A)</p><p>2</p><p>B)</p><p>√2</p><p>C)</p><p>√5</p><p>D)</p><p>√2 + 1</p><p>E)</p><p>√2 − 1</p><p>5. SABENDO-SE QUE</p><p>Α</p><p>,</p><p>Β</p><p>E</p><p>Γ</p><p>SÃO ÂNGULOS AGUDOS E QUE</p><p>SEN Α =</p><p>5</p><p>13, COS Β =</p><p>2</p><p>3</p><p>E</p><p>SEN Γ =</p><p>7</p><p>13</p><p>, ASSINALE A OPÇÃO EM QUE OS ÂNGULOS ESTÃO EM ORDEM CRESCENTE.</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>A) α < β < γ</p><p>B) α < γ < β</p><p>C) β < α < γ</p><p>D) β < γ < α</p><p>E) γ < β < α</p><p>6. NO RETICULADO DA FIGURA, SÃO REPRESENTADOS OS ÂNGULOS</p><p>Α</p><p>,</p><p>Β</p><p>E</p><p>Γ</p><p>. ANALISE AS AFIRMATIVAS:</p><p>IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB</p><p>(I)</p><p>Β = 2Α</p><p>(II)</p><p>Α + Β > Γ</p><p>(III)</p><p>Α + Β < Γ</p><p>(IV)</p><p>Α + Β = Γ</p><p>QUANTAS SÃO VERDADEIRAS?</p><p>A) 0</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>B) 1</p><p>C) 2</p><p>D) 3</p><p>E) 4</p><p>GABARITO</p><p>1. No triângulo indicado, os valores dos senos de</p><p>α</p><p>e</p><p>β</p><p>valem, respectivamente</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Traçando a altura relativa ao vértice A, fica claro que formamos dois triângulos retângulos cujas hipotenusas</p><p>x = AB</p><p>e</p><p>y = AC</p><p>podem ser facilmente calculadas por Pitágoras:</p><p>x2 = 62 + 62 então, x = 6√2</p><p>y2 = 12 + 62 então, y = √37</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Logo, o cálculo dos senos dos ângulos</p><p>α</p><p>e</p><p>β</p><p>é imediato:</p><p>sen α =</p><p>cateto oposto</p><p>hipotenusa = x =</p><p>6</p><p>6√2</p><p>=</p><p>√2</p><p>2</p><p>sen β =</p><p>6</p><p>√37</p><p>=</p><p>6√37</p><p>37</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>2. Se a e b são ângulos agudos de um triângulo retângulo, tais que</p><p>3 ⋅ sen a − 2 ⋅ sen b = 0</p><p>, podemos concluir que</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Se a e b são ângulos agudos de um triângulo retângulo, então</p><p>sen a = cos b</p><p>e</p><p>cos a = sen b</p><p>.</p><p>Assim, a partir da igualdade</p><p>3 ⋅ sen a − 2 ⋅ sen b = 0</p><p>, temos</p><p>3 ⋅ sen a − 2 ⋅ sen b = 0</p><p>⇒</p><p>sen a</p><p>cosa</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>⇒ tg a =</p><p>2</p><p>3</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>3. Se a tangente de um ângulo agudo vale 2, então os valores de seu seno e de seu cosseno valem, respectivamente</p><p>A alternativa "E " está correta.</p><p>Uma primeira solução, atenta à geometria, é imaginar tal ângulo como um ângulo agudo de um triângulo retângulo com cateto oposto</p><p>= 2, e cateto adjacente = 1 (ora, afinal, o que é tangente?).</p><p>Então, a hipotenusa de tal triângulo, por Pitágoras, vale naturalmente</p><p>√5</p><p>. Como consequência, o seno desse ângulo vale</p><p>2</p><p>√5</p><p>e o cosseno</p><p>1</p><p>√5</p><p>(justifique).</p><p>É possível uma segunda solução, usando simplesmente as relações trigonométricas conhecidas:</p><p>SEN2 Α + COS2Α = 1</p><p>(I)</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>TG Α =</p><p>SEN Α</p><p>COS Α</p><p>(II)</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como tg α = 2 então, de (II), obtemos: sen α = 2 · cos α.</p><p>Mas se elevarmos ao quadrado essa igualdade, poderemos facilmente usar a relação fundamental (I) e concluir a solução.</p><p>4. A figura ilustra um octógono regular no qual é possível mostrar (tente) que o ângulo α vale 22,5°. Calculando a tangente</p><p>de 22,5°, obtemos:</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>A alternativa "E " está correta.</p><p>Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:</p><p>5. Sabendo-se que</p><p>α</p><p>,</p><p>β</p><p>e</p><p>γ</p><p>são ângulos agudos e que</p><p>sen α =</p><p>5</p><p>13, cos β =</p><p>2</p><p>3</p><p>e</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>sen γ =</p><p>7</p><p>13</p><p>, assinale a opção em que os ângulos estão em ordem crescente.</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Já observamos que ao menor ângulo agudo, corresponde ao menor seno. Calculemos, então, o seno de</p><p>β</p><p>:</p><p>sen2β + cos2β = 1</p><p>sen2β +</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>= 1 ⇒ sen2β = 1 -</p><p>22</p><p>32 =</p><p>5</p><p>9</p><p>sen β =</p><p>√5</p><p>3 ≅ 0, 8</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como sen α =</p><p>5</p><p>13 ≅ 0, 4; sen β ≅ 0, 8; e sen γ ≅</p><p>7</p><p>13 = 0, 5, a resposta correta é a alternativa B.</p><p>6. No reticulado da figura, são representados os ângulos</p><p>α</p><p>,</p><p>β</p><p>e</p><p>γ</p><p>. Analise as afirmativas:</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>(I)</p><p>β = 2α</p><p>(II)</p><p>α + β > γ</p><p>(III)</p><p>α + β < γ</p><p>( )</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>(IV)</p><p>α + β = γ</p><p>Quantas são verdadeiras?</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:</p><p>GABARITO</p><p>TEORIA NA PRÁTICA</p><p>Determine o valor da soma</p><p>S =</p><p>α = 89 ∘</p><p>∑</p><p>α = 1 ∘</p><p>(sen α − cos β)</p><p>, ou seja</p><p>S = (sen 1° − cos 1°) + (sen 2° − cos 2°) + ⋯ + (sen89° − cos 89°)</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>1. ASSINALE A AFIRMATIVA VERDADEIRA:</p><p>A) O seno de 43° é igual ao cosseno de 57°.</p><p>B) O seno de 41° é igual ao cosseno de 49°.</p><p>C) Em ângulos agudos, quanto maior o seno, menor o ângulo.</p><p>D) Em ângulos agudos, quanto maior o ângulo, maior o cosseno.</p><p>E) A tangente de 85° é menor do que 2.</p><p>2. SABENDO-SE QUE O COSSENO DE UM ÂNGULO AGUDO VALE</p><p>1</p><p>100 , DETERMINE O SENO DESSE</p><p>ÂNGULO.</p><p>A)</p><p>99</p><p>100</p><p>B)</p><p>√99</p><p>100</p><p>C)</p><p>1</p><p>√99</p><p>D)</p><p>√99</p><p>100</p><p>E)</p><p>3√1111</p><p>100</p><p>GABARITO</p><p>1. Assinale a afirmativa verdadeira:</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Note que os ângulos 41° e 49° somam 90°. Então, são ângulos agudos de um triângulo retângulo. Logo, pela própria definição de</p><p>seno e cosseno, o seno de um é o cosseno do outro!</p><p>2. Sabendo-se que o cosseno de um ângulo agudo vale</p><p>1</p><p>100 , determine o seno desse ângulo.</p><p>A alternativa "E " está correta.</p><p>Uma solução é a utilização da relação trigonométrica básica sen2 α + cos2 α = 1</p><p>sen2 α +</p><p>1</p><p>100</p><p>2</p><p>= 1</p><p>sen2 α = 1 -</p><p>1</p><p>10000 =</p><p>9999</p><p>10000</p><p>sen α =</p><p>√9√1111</p><p>100 =</p><p>3√1111</p><p>100</p><p>( )</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Outra solução é pensar em um triângulo retângulo com um cateto igual a 1 e hipotenusa igual a 100. Nesse caso, Pitágoras e a</p><p>definição de seno conduzem a outra possível solução.</p><p>MÓDULO 2</p><p> Calcular linhas trigonométricas de ângulos notáveis</p><p>TRIGONOMETRIA – DOIS TRIÂNGULOS ESPECIAIS</p><p>ÂNGULOS NOTÁVEIS</p><p>Foto: stock.adobe.com</p><p>A GEOMETRIA DO QUADRADO E DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO</p><p>VAMOS DAR ÊNFASE À GEOMETRIA DO QUADRADO E DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO,</p><p>EMBORA JÁ A TENHAMOS ABORDADO, SUPERFICIALMENTE, EM EXEMPLOS</p><p>ANTERIORES. ENFATIZAREMOS AS CARACTERÍSTICAS DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO.</p><p>EXEMPLO</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>No triangulado, são indicados os ângulos agudos</p><p>φ</p><p>e</p><p>θ</p><p>(phi e teta). Calcule o seno, o cosseno e a tangente desses ângulos.</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>Como o triângulo dado é equilátero, seus três lados são iguais! Então, seus ângulos internos valem 60°, pois a soma dos três vale</p><p>180°, lembra? Como consequência,</p><p>φ = 60°</p><p>e</p><p>θ = 30°</p><p>.</p><p>Note, pelo triangulado, que a hipotenusa do triângulo retângulo vale 6 unidades e, naturalmente, o cateto menor vale 3 unidades.</p><p>Calcularemos o outro cateto, tentando fazê-lo de uma maneira simples e mais geral: ou seja, não vamos nos prender aos dados do</p><p>triangulado, mas vamos chamar a medida do cateto menor de</p><p>x</p><p>e, como consequência, a hipotenusa vale</p><p>2x</p><p>. Se designarmos a medida do outro cateto por</p><p>y</p><p>, por Pitágoras, obtemos:</p><p>(2x)2 = x2 + y2 ⇒ y2 = 3x2 ⇒ y = x√3</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Então, chegamos a uma propriedade de imensa utilidade, que permite, dentre outras facilidades, o cálculo do seno e do cosseno de</p><p>30° e de 60°, ou seja:</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p> SAIBA MAIS</p><p>Em um triângulo retângulo de ângulos 30° e 60°, a medida do cateto maior é sempre</p><p>√3</p><p>vezes a medida do cateto menor, e a medida da hipotenusa é o dobro da medida do cateto menor.</p><p>Assim, calcular as linhas trigonométricas de 30° e 60° fica banal. Veja:</p><p>sen30 ∘ = cos60 ∘ =</p><p>x</p><p>2x</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>cos30 ∘ = sen30 ∘ =</p><p>x√3</p><p>2x</p><p>=</p><p>√3</p><p>2</p><p>tg30 ∘ =</p><p>x</p><p>x√3</p><p>=</p><p>√3</p><p>3</p><p>tg60 ∘ =</p><p>1</p><p>tg30 ∘ =</p><p>x√3</p><p>x</p><p>= √3</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>LINHAS TRIGONOMÉTRICAS DE ÂNGULOS NOTÁVEIS</p><p>DESDE O ENSINO FUNDAMENTAL, NOS DEPARAMOS COM OS ÂNGULOS 30°, 60° E 45°</p><p>QUE, COMO ANALISAMOS, FAZEM PARTE DO MUNDO DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO —</p><p>CUJA METADE É UM TRIÂNGULO RETÂNGULO DE</p><p>30°</p><p>60°</p><p>(TRIÂNGULO RETÂNGULO COM ÂNGULOS DE 30°, 60° E 90°) — E DO MUNDO DO</p><p>QUADRADO — CUJA METADE É UM TRIÂNGULO RETÂNGULO ISÓSCELES (VEJA</p><p>MÓDULO ANTERIOR).</p><p>Claro que, com o prosseguimento do estudo de trigonometria, outros ângulos importantes também serão abordados, como 15°; 75°;</p><p>22,5° (metade de 45°, cuja tangente já calculamos anteriormente, lembra?); 18°; 36°; 54°, e assim por diante.</p><p>Mas convém fazer uma tabela, embora banal, sobre o que já descobrimos:</p><p>30° 45° 60°</p><p>Seno √1</p><p>2</p><p>√2</p><p>2</p><p>√3</p><p>2</p><p>Cosseno √3</p><p>2</p><p>√2</p><p>2</p><p>√1</p><p>2</p><p>Tangente</p><p>1</p><p>√3</p><p>1 √3</p><p>1Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p> VOCÊ SABIA</p><p>Se você dominar a geometria das figuras a seguir, não precisará decorar nada... ou quase nada! Mas basta conhecer as definições</p><p>de seno, cosseno e tangente e os manjados valores em função de</p><p>x</p><p>das medidas da hipotenusa e dos catetos desses triângulos.</p><p>Veremos, ao longo de exemplos, outras geometrias interessantes, que possibilitam o cálculo de linhas trigonométricas de outros</p><p>ângulos importantes.</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>EXEMPLO</p><p>O quadrado e o triângulo equilátero da figura possuem um lado em comum.</p><p>Determine o seno e cosseno do ângulo</p><p>α</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Observe que o triângulo ADE é isósceles, pois possui dois lados iguais.</p><p>Como o ângulo D mede 150° (90°+ 60°), o ângulo</p><p>α</p><p>vale 15° (justifique).</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Note, também, que o triângulo DFE é o triângulo retângulo clássico de</p><p>30°</p><p>60°</p><p>ou seja:</p><p>Se a é a medida de seu lado,</p><p>FE =</p><p>a</p><p>2</p><p>e</p><p>DF =</p><p>a√3</p><p>2</p><p>. Pitágoras nos fornece a hipotenusa AE:</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>AE2 = AF2 + FE2</p><p>AE2 = a +</p><p>a√3</p><p>2</p><p>2</p><p>+</p><p>a</p><p>2</p><p>2</p><p>AE = a√2 + √3</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em determinadas situações, expressões com radicais duplos, como a do exemplo, podem ser reescritas usando apenas radicais</p><p>simples.</p><p>EXPERIMENTE ELEVAR AO QUADRADO AS EXPRESSÕES</p><p>√2 + √3 E</p><p>√6 + √2</p><p>2</p><p>E VOCÊ VERÁ QUE AS EXPRESSÕES SÃO IGUAIS.</p><p>ENTÃO,</p><p>AE = a√2 + √3 = a</p><p>√6 + √2</p><p>2</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>LOGO,</p><p>( ) ( )</p><p>( )</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>sen15 ∘ =</p><p>EF</p><p>AE</p><p>=</p><p>1/2</p><p>√6 +√2</p><p>2</p><p>=</p><p>√6 − √2</p><p>4</p><p>e</p><p>cos15 ∘ =</p><p>AF</p><p>AE</p><p>=</p><p>2 +√3</p><p>4</p><p>√6 +√2</p><p>2</p><p>=</p><p>√6 + √2</p><p>4</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem</p><p>horizontal</p><p> EXEMPLO</p><p>Quando nos deparamos com uma expressão do tipo</p><p>√7 + 4√3</p><p>, a pergunta natural é: será que</p><p>7 + 4√3</p><p>é quadrado de alguém? A “adivinhação” não é tão complicada assim, pois uma soma</p><p>a + b</p><p>ao quadrado resulta em</p><p>(a2 + b2) + 2ab</p><p>. Então, se</p><p>7 + 4√3</p><p>tem pretensão de ser quadrado, provavelmente o</p><p>4√3</p><p>é o dobro do primeiro pelo segundo, ou seja, o “2ab”.</p><p>Logo, sempre experimentam possibilidades meio óbvias: será que</p><p>a = 2</p><p>e</p><p>b = √3</p><p>ou então</p><p>a = 1eb = 2√3</p><p>funcionam? Experimente!</p><p>De fato,</p><p>(2 + √3)2</p><p>vale</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>7 + 4√3</p><p>, logo:</p><p>√(7 + 4√3) = 2 + √3</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Evidente que sempre é possível realizar uma “quase adivinhação” dessa forma. Mas claro, há uma maneira sistemática de descobrir</p><p>uma possível solução, sem adivinhações, por meio de uma “formuleta”.</p><p>FORMULETA</p><p>Veja que a igualdade</p><p>√A ± √B =</p><p>A + C</p><p>2</p><p>±</p><p>A − C</p><p>2</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>, se</p><p>A2 – B = C2</p><p>, é sempre válida. Eleve ao quadrado para confirmar.</p><p>Então, se</p><p>A2– B</p><p>é um quadrado, as expressões</p><p>A + C</p><p>2</p><p>e</p><p>A − C</p><p>2</p><p>só possuem radicais simples.</p><p> EXEMPLO</p><p>Veja:</p><p>√7 + 4√3 = √A + √B</p><p>para</p><p>A = 7</p><p>e</p><p>B = 48</p><p>.</p><p>√ √</p><p>√</p><p>√</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Logo,</p><p>A2 – B = 49– 48 = 1</p><p>e, então,</p><p>C = 1</p><p>.</p><p>Substituindo na “fórmula mágica”, obtemos:</p><p>A + C</p><p>2</p><p>+</p><p>A − C</p><p>2</p><p>=</p><p>7 + 1</p><p>2</p><p>+</p><p>7 − 1</p><p>2</p><p>= 2 + √3</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p> DICA</p><p>Para fixar esses artifícios algébricos, pratique com os radicais indicados:</p><p>a)</p><p>√3 + 2√2 = √3 + √8</p><p>b)</p><p>√7 − 4√3</p><p>c)</p><p>√3 + 2√2</p><p>d)</p><p>1 + 3 + √13 + 4√3</p><p>UTILIZAÇÃO DA TRIGONOMETRIA</p><p>AQUI VAMOS INVESTIGAR AS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS 36° E 54°.</p><p>PARA ISSO, INVESTIGAREMOS MAIS UM POLÍGONO: O PENTÁGONO REGULAR!</p><p>Começaremos observando que há dois triângulos isósceles que possuem um ângulo interno igual a 36°, ou seja, os triângulos cujos</p><p>ângulos internos são 36°/36°/108°, e os triângulos cujos ângulos internos são 36°/72°/72°. Como veremos, ambos são identificáveis</p><p>“no interior” de um pentágono. Mas uma propriedade surpreendente dessas duas famílias de triângulos é que a razão entre o maior</p><p>e o menor de seus lados é a famosa razão áurea, representada pela letra grega</p><p>ϕ</p><p>(Phi maiúsculo, chamado de “phizão”), cujo valor é:</p><p>ϕ =</p><p>√5 + 1</p><p>2</p><p>≅ 1, 618</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>√ √ √ √</p><p>√ √</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Claro, há um “phizinho”, o inverso de Phi, indicado pela letra grega</p><p>φ</p><p>(phi minúscula), razão entre o menor e o maior dos lados dos mencionados triângulos, cujo valor é:</p><p>ϕ =</p><p>√5 − 1</p><p>2</p><p>≅ 0, 6118</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E AÍ, PERCEBEU? NÃO?</p><p>VEJA!</p><p>Φ − Φ = 1</p><p>Então, a partir das próximas figuras, vamos desenvolver uma sequência de argumentos para provarmos as afirmações</p><p>anteriores. Você está convidado — sutilmente convidado —, a se certificar que compreende cada um dos passos que se</p><p>seguem.</p><p>O ângulo central do pentágono vale</p><p>72°</p><p>360°</p><p>5</p><p>= 72°</p><p>.</p><p>Logo, os ângulos inscritos assinalados possuem medida igual à metade, ou seja, 36°.</p><p>( )</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>O triângulo isósceles em rosa possui ângulos 36°/72°/72°, e o triângulo isósceles em amarelo, 36°/36°/108°.</p><p>Observe que no interior do pentágono identificam-se três “tamanhos” de triângulos de 36°/72°/72°.</p><p>Mas há apenas dois tamanhos diferentes de triângulos de 108°/36°/36°.</p><p>Agora, vamos aos “finalmentes”:</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>• Os triângulos ABD e BDC possuem ângulos internos de 36°/72°/72°. Logo, são semelhantes.</p><p>• Então, podemos afirmar que seus lados maiores são k vezes seus lados menores, ou seja, se</p><p>EC = CD = x</p><p>, então</p><p>AC = BC = BD = k ⋅ x</p><p>. Claro, não sabemos qual o valor de k! Justamente desejamos provar que é o famoso “phizão”!</p><p>• Mas o triângulo ABD é semelhante ao triângulo BDC. Então, se</p><p>y = AB = AD = k ⋅ x + x = k ⋅ BD = k2x</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Logo, segue-se que</p><p>k ⋅ x + x = k2x</p><p>e, então, como</p><p>x ≠ 0</p><p>, obtemos a famosa equação:</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>k2 − k − 1 = 0</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Cuja raiz positiva é exatamente o “phizão”:</p><p>ϕ =</p><p>√5 + 1</p><p>2</p><p>≅ 1, 618</p><p>.</p><p>Ou seja, nos triângulos 36°/36°/108° e 36°/72°/72°, o lado maior é</p><p>ϕ</p><p>vezes o lado menor. Olhe a figura outra vez, lembrando que k é o</p><p>ϕ</p><p>. Agora sim, o objetivo do nosso exemplo. Calcule seno e cosseno de 36° e de 54°:</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Veja a figura que explicita a relação entre os catetos do triângulo retângulo azul, metade de um triângulo 36°/36°/108°.</p><p>Perceba então que agora podemos calcular as linhas trigonométricas de 36° e 54°:</p><p>cos 36° =</p><p>cateto adjacente</p><p>hipotenusa</p><p>cos 36° =</p><p>x ϕ</p><p>2</p><p>x</p><p>=</p><p>ϕ</p><p>2</p><p>=</p><p>√5 − 1</p><p>4</p><p>= sen 54°</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>Usando, por exemplo, a relação fundamental</p><p>sen236° + cos236° = 1</p><p>, obtemos:</p><p>cos36 ∘ =</p><p>√10 − 2√5</p><p>4</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Usando o outro triângulo, 36°/72°/72°, obtemos o seno e o cosseno de 18° e de 72°.</p><p>Veja o caminho das pedras:</p><p>sen18 ∘ = cos72 ∘ =</p><p>x</p><p>2</p><p>xϕ</p><p>=</p><p>1</p><p>2ϕ</p><p>=</p><p>φ</p><p>2</p><p>=</p><p>√5 − 1</p><p>4</p><p>cos18 ∘ = sen72 ∘ = 1 −</p><p>φ</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>√10 + 2√5</p><p>4</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>√ ( )</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>AMPLIANDO A TABELA DAS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS DE</p><p>ÂNGULOS NOTÁVEISO</p><p>É interessante observar que as linhas trigonométricas dos diversos ângulos ditos notáveis podem simplesmente ser memorizadas ou,</p><p>se você não consegue memorizar nada e prefere entender como os valores podem ser calculados, aí vai:</p><p>Triângulo sen Valor Cos</p><p>45°</p><p>x</p><p>x√2</p><p>=</p><p>√2</p><p>2</p><p>45°</p><p>30°</p><p>x</p><p>2x</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>60°</p><p>60°</p><p>x√3</p><p>2x</p><p>=</p><p>√3</p><p>2</p><p>30°</p><p>54°</p><p>xϕ</p><p>2</p><p>x</p><p>=</p><p>ϕ</p><p>2</p><p>=</p><p>√5 + 1</p><p>4</p><p>36°</p><p>36°</p><p>Cateto menor</p><p>⇒</p><p>Pitágoras...</p><p>√10 − 2√5</p><p>4</p><p>54°</p><p>18°</p><p>x</p><p>2</p><p>xϕ</p><p>=</p><p>1</p><p>2ϕ</p><p>=</p><p>φ</p><p>2</p><p>=</p><p>√5 − 1</p><p>4</p><p>72°</p><p>72° Cateto maior</p><p>⇒</p><p>Pitágoras...</p><p>18°</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>√10 + 2√5</p><p>4</p><p>tg 15° =</p><p>x</p><p>2x + x√3</p><p>= 2 - √3</p><p>tg 75° =</p><p>1</p><p>2 -√3</p><p>= 2 + √3</p><p>1/2</p><p>quadrado</p><p>+ 1/2</p><p>triângulo</p><p>equilátero</p><p>Hipotenusa</p><p>⇒</p><p>Pitágoras</p><p>sen 15° =</p><p>√6 -√2</p><p>4 = cos 75°</p><p>cos 15° =</p><p>√6 +√2</p><p>4 = sen 75°</p><p>Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p>MÃO NA MASSA</p><p>1. SABENDO-SE QUE A E B SÃO ÂNGULOS AGUDOS TAIS QUE</p><p>SEN A =</p><p>4</p><p>5</p><p>E</p><p>SEN B =</p><p>8</p><p>17</p><p>, DETERMINE O VALOR DA EXPRESSÃO:</p><p>TG A + TG A</p><p>1 - TG A · TG B</p><p>ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL</p><p>A)</p><p>15</p><p>14</p><p>B)</p><p>17</p><p>16</p><p>C)</p><p>17</p><p>32</p><p>D)</p><p>130</p><p>42</p><p>E)</p><p>120</p><p>13</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>2. A “ALTURA” DO HEXÁGONO REGULAR DA FIGURA VALE 6 UNIDADES DE COMPRIMENTO. QUAL O</p><p>VALOR DE SUA “LARGURA”?</p><p>IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB</p><p>A)</p><p>4</p><p>B)</p><p>3√2</p><p>C)</p><p>4√3</p><p>D)</p><p>3√3</p><p>E)</p><p>9</p><p>2</p><p>3. A FIGURA SUGERE QUE VOCÊ “OLHE” UMA BARRA VERTICAL SEGUNDO OS ÂNGULOS DE</p><p>VISADA DE 30° E 45°. SE OS PONTOS DE VISADA DISTAM 10M, QUAL A ALTURA</p><p>H</p><p>DA BARRA VERTICAL?</p><p>IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB</p><p>A)</p><p>10m</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>B)</p><p>10√3m</p><p>C)</p><p>5m</p><p>D)</p><p>5(√3 − 1)m</p><p>E)</p><p>5(√3 + 1)m</p><p>4. DADA A FIGURA, DETERMINE A TANGENTE DO ÂNGULO</p><p>Α</p><p>, ENTRE A DIAGONAL AG DO CUBO E A DIAGONAL EG, DA FACE EFGH.</p><p>IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB</p><p>A)</p><p>√2</p><p>3</p><p>B)</p><p>√2</p><p>2</p><p>C)</p><p>√2</p><p>4</p><p>D)</p><p>√3</p><p>4</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>E)</p><p>√3</p><p>3</p><p>5. DADO O CUBO INDICADO, DETERMINE A TANGENTE DE</p><p>Α</p><p>, ÂNGULO ENTRE PLANO DEFINIDO PELOS PONTOS D, E E G E PELA FACE EFGH.</p><p>IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB</p><p>A)</p><p>√2</p><p>3</p><p>B)</p><p>√3</p><p>3</p><p>C)</p><p>√2</p><p>D)</p><p>√2</p><p>4</p><p>E)</p><p>√3</p><p>6</p><p>6. NA FIGURA, ABCD É UM RETÂNGULO E OS ÂNGULOS</p><p>Α</p><p>Loading</p><p>[MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>E</p><p>Β</p><p>SÃO MARCADOS COMO INDICADO:</p><p>Α = ∠ABEEΒ = ∠EBF</p><p>IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB</p><p>SUPONHA QUE A UNIDADE DE MEDIDA SEJA O SEGMENTO BF (OU SEJA, BF = 1).</p><p>AGORA, ANALISANDO A FIGURA, PERCEBA, SUCESSIVAMENTE QUE:</p><p>∠DEF = Α</p><p>∠BFC = Α + Β</p><p>BE = COS Β</p><p>EC = SEN Α</p><p>AE = BE SEN Α = SEN Α ⋅ COS Β</p><p>ED = EF COS Α = SEN Β ⋅ COS Α</p><p>BC = SEN (Α + Β)</p><p>AD = SEN Α ⋅ COS Β</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>ED = SEN Α ⋅ Β + SEN Β ⋅ COS Α</p><p>ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL</p><p>PERCEBA QUE AD=ED E, ENTÃO, A ESTRATÉGIA DESENVOLVIDA PERMITE QUE CALCULEMOS O</p><p>VALOR DO SENO DE</p><p>Α + Β</p><p>EM FUNÇÃO DAS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS</p><p>Α</p><p>E</p><p>Β</p><p>, OU SEJA,</p><p>SEN (Α + Β) = SEN Α · COS Β + SEN Β · COS Α</p><p>ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL</p><p>OBSERVE QUE ESSA EXPRESSÃO SUGERE QUE O SENO DA SOMA,</p><p>SEN (Α + Β)</p><p>, NÃO É IGUAL À SOMA DOS SENOS,</p><p>SEN Α + SEN Β</p><p>.</p><p>PARA PERCEBER ISSO, BASTA NOTAR, POR EXEMPLO, QUE:</p><p>SEN (30° + 30°) = SEN 60°, MAS</p><p>SEN 30° + SEN 30° =</p><p>1</p><p>2 +</p><p>1</p><p>2 = 1.</p><p>ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL</p><p>PORÉM, SABEMOS TAMBÉM DE OUTROS ERROS USUAIS, POR EXEMPLO:</p><p>(A + B)2 ≠ A2 + B2 E</p><p>√A + B ≠ √A + √B</p><p>ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL</p><p>FINALMENTE, O PROPÓSITO DO EXERCÍCIO: QUAL O VALOR DE</p><p>SEN 75°</p><p>?</p><p>A)</p><p>√2 +√3</p><p>2</p><p>B)</p><p>√2 +√3</p><p>4Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>C)</p><p>1 +√3</p><p>2</p><p>D)</p><p>1 +√2</p><p>2</p><p>E)</p><p>√6 +√2</p><p>4</p><p>GABARITO</p><p>1. Sabendo-se que a e b são ângulos agudos tais que</p><p>sen a =</p><p>4</p><p>5</p><p>e</p><p>sen b =</p><p>8</p><p>17</p><p>, determine o valor da expressão:</p><p>tg a + tg a</p><p>1 - tg a · tg b</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A alternativa "E " está correta.</p><p>Temos do enunciado as seguintes informações:</p><p>sen a =</p><p>4</p><p>5</p><p>e</p><p>sen b =</p><p>8</p><p>17</p><p>Temos também que a expressão que deve ser calculada é:</p><p>tg (a) + tg (a)</p><p>1 - tg (a) · tg (b)</p><p>Podemos rearrumar o numerador, para obter:</p><p>2 · tg (a)</p><p>1 - tg (a) · tg (b)</p><p>Agora precisamos mergulhar na jornada para encontrar</p><p>tg (a)</p><p>e</p><p>tg b</p><p>.</p><p>Para encontrar o valor da tangente de a, precisamos conhecer tanto o</p><p>sen (a)</p><p>como o</p><p>cos (a)</p><p>. Para achar o</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>cos (a)</p><p>vamos usar a relação fundamental da trigonometria, veja:</p><p>sen2 (a) + cos2 (a) = 1</p><p>→</p><p>sen2 4</p><p>5</p><p>+ cos2 (a) = 1</p><p>→</p><p>cos2 (a) = 1 − (</p><p>4</p><p>5</p><p>)2</p><p>→</p><p>cos2 (a) = 1 −</p><p>16</p><p>25</p><p>→</p><p>cos2 (a) =</p><p>25 − 16</p><p>25</p><p>→</p><p>cos2 (a) =</p><p>9</p><p>25</p><p>Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:</p><p>cos (a) =</p><p>3</p><p>5</p><p>Agora que sabemos o valor do cosseno, podemos encontrar a</p><p>tg (a)</p><p>da seguinte forma:</p><p>tg (a) =</p><p>sen(a)</p><p>cos(a)</p><p>=</p><p>4</p><p>5</p><p>3</p><p>5</p><p>=</p><p>4 × 5</p><p>3 × 5</p><p>=</p><p>4</p><p>3</p><p>Para encontrar o</p><p>cos (b)</p><p>vamos ter que realizar novamente os mesmos passos, veja:</p><p>sen2 (b) + cos2 (b) = 1</p><p>→</p><p>sen2 8</p><p>17</p><p>+ cos2 (b) = 1</p><p>→</p><p>cos2 (b) = 1 − (</p><p>8</p><p>17</p><p>)2</p><p>→</p><p>cos2 (b) = 1 −</p><p>64</p><p>289Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>→</p><p>cos2 (b) =</p><p>289 − 64</p><p>289</p><p>→</p><p>cos2 (b) =</p><p>225</p><p>289</p><p>Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:</p><p>cos (b) =</p><p>15</p><p>17</p><p>Agora que sabemos o valor do cosseno, podemos encontrar a</p><p>tg (a)</p><p>da seguinte forma:</p><p>tg (b) =</p><p>sen(b)</p><p>cos(b)</p><p>=</p><p>8</p><p>17</p><p>15</p><p>17</p><p>=</p><p>8 × 17</p><p>15 × 17</p><p>=</p><p>8</p><p>15</p><p>Agora que sabemos que</p><p>tg (a) =</p><p>4</p><p>3</p><p>e que</p><p>tg (b) =</p><p>8</p><p>15</p><p>, podemos calcular a expressão:</p><p>2 × tg(a)</p><p>1 − tg(a) × tg(b)</p><p>Subtituindo temos:</p><p>2 ×</p><p>4</p><p>3</p><p>1 −</p><p>4</p><p>3 ×</p><p>8</p><p>15</p><p>=</p><p>120</p><p>13</p><p>2. A “altura” do hexágono regular da figura vale 6 unidades de comprimento. Qual o valor de sua “largura”?</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Em um problema que envolve um hexágono regular, é um pecado capital não traçar suas diagonais que passam por seu centro.</p><p>Como o hexágono se decompõe em seis triângulos equiláteros iguais, devemos tirar partido da figura clássica já abordada, em que</p><p>dividimos um triângulo equilátero ao meio.</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>Analisando o triângulo retângulo em destaque, percebe-se imediatamente que sua altura é a metade da altura do hexágono. Daí,</p><p>x√3 = 3</p><p>, ou seja,</p><p>x = √3</p><p>. Logo, a “largura” do hexágono corresponde ao dobro do lado do triângulo equilátero, ou seja,</p><p>4√3</p><p>.</p><p>Perceba que essa solução sequer utilizou as linhas trigonométricas desenvolvidas, muito embora tenhamos usado uma figura aqui</p><p>repetida e utilizada para calcular os senos, cossenos e tangentes dos ângulos de 30° e 60° (e 45°)!</p><p>Seria, portanto, um pouco fora de propósito usar as linhas trigonométricas neste problema, uma vez que elas foram calculadas</p><p>exatamente a partir desses triângulos! Logo, fomos à fonte!</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>3. A figura sugere que você “olhe” uma barra vertical segundo os ângulos de visada de 30° e 45°. Se os pontos de visada</p><p>distam 10m, qual a altura</p><p>h</p><p>da barra vertical?</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy NehabLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>A alternativa "E " está correta.</p><p>Da definição de tangente, podemos escrever:</p><p>h</p><p>x = tg 45° = 1 ⇒ h = x</p><p>h</p><p>10 + x = tg 30° =</p><p>√3</p><p>3 ⇒</p><p>x</p><p>10 + x = √3/3</p><p>3x - x√3 = 10√3 x =</p><p>10√3</p><p>3 -√3</p><p>x =</p><p>10√3</p><p>3 -√3</p><p>·</p><p>3 +√3</p><p>3 +√3</p><p>= 5 √3 + 1</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>4. Dada a figura, determine a tangente do ângulo</p><p>α</p><p>, entre a diagonal AG do cubo e a diagonal EG, da face EFGH.</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Observando o triângulo retângulo AEG, a tangente do ângulo</p><p>α</p><p>é, naturalmente,</p><p>tg α =</p><p>AE</p><p>EG</p><p>.</p><p>( )</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Ora, o cateto EG é a diagonal do quadrado EFGH. Portanto,</p><p>EG = a√2</p><p>. E o cateto AE é a própria aresta do cubo: a. Então, por Pitágoras, podemos calcular a diagonal do cubo AG.</p><p>Assim tg α =</p><p>AE</p><p>EG =</p><p>a</p><p>a√2</p><p>=</p><p>√2</p><p>2</p><p>5. Dado o cubo indicado, determine a tangente de</p><p>α</p><p>, ângulo entre plano definido pelos pontos D, E e G e pela face EFGH.</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:</p><p>6. Na figura, ABCD é um retângulo e os ângulos</p><p>α</p><p>e</p><p>β</p><p>são marcados como indicado:</p><p>α = ∠ABEeβ = ∠EBF</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>Suponha que a unidade de medida seja o segmento BF (ou seja, BF = 1).</p><p>Agora, analisando a figura, perceba, sucessivamente que:</p><p>∠DEF = α</p><p>∠BFC = α + β</p><p>BE = cos β</p><p>EC = sen α</p><p>AE = BE sen α = sen α ⋅ cos β</p><p>ED = EF cos α = sen β ⋅ cos α</p><p>BC = sen (α + β)</p><p>AD = sen α ⋅ cos β</p><p>ED = sen α ⋅ β + sen β ⋅ cos α</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Perceba que AD=ED e, então, a estratégia desenvolvida permite que calculemos o valor do seno de</p><p>α + β</p><p>em função das linhas trigonométricas</p><p>αLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>e</p><p>β</p><p>, ou seja,</p><p>sen (α + β) = sen α · cos β + sen β · cos α</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Observe que essa expressão sugere que o seno da soma,</p><p>sen (α + β)</p><p>, não é igual à soma dos senos,</p><p>sen α + sen β</p><p>.</p><p>Para perceber isso, basta notar, por exemplo, que:</p><p>sen (30° + 30°) = sen 60°, mas</p><p>sen 30° + sen 30° =</p><p>1</p><p>2 +</p><p>1</p><p>2 = 1.</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Porém, sabemos também de outros erros usuais, por exemplo:</p><p>(a + b)2 ≠ a2 + b2 e</p><p>√a + b ≠ √a + √b</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Finalmente, o propósito do exercício: qual o valor de</p><p>sen 75°</p><p>?</p><p>A alternativa "E " está correta.</p><p>sen 75 ∘ = sen 45 ∘ + 30 ∘ = sen 45 ∘ cos 30 ∘ + sen 30 ∘ cos 45 ∘ =</p><p>=</p><p>√2</p><p>2</p><p>⋅</p><p>√3</p><p>2</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>⋅</p><p>√2</p><p>2</p><p>=</p><p>(√6 + √2)</p><p>4</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>GABARITO</p><p>TEORIA NA PRÁTICA</p><p>1. A figura indica um triângulo equilátero e um quadrado com um lado em comum. Determine a medida do ângulo</p><p>∠AEC</p><p>, bem como suas linhas trigonométricas seno, cosseno e tangente</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>1. A FIGURA MOSTRA UM HEXÁGONO REGULAR E UM QUADRADO COM UM LADO EM COMUM.</p><p>ENTÃO, A TANGENTE DO ÂNGULO</p><p>Α</p><p>VALE</p><p>FONTE: SHUTTERSTOCK</p><p>A) √3</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>B) 2√3</p><p>C) 3√2</p><p>D) √3 - 1</p><p>E) √3 + 1</p><p>2. NA FIGURA, TRAÇAMOS AS DIAGONAIS DE UM PENTÁGONO REGULAR DE LADO IGUAL A 1,</p><p>CRIANDO OUTRO PENTÁGONO REGULAR. SE</p><p>Φ</p><p>É A RAZÃO ÁUREA, QUAL A MEDIDA DE CD?</p><p>IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB</p><p>A)</p><p>1</p><p>Φ</p><p>B) Φ - 1</p><p>C) Φ2</p><p>D)</p><p>1</p><p>Φ2</p><p>E) Φ2 - 1</p><p>GABARITO</p><p>1. A figura mostra um hexágono regular e um quadrado com um lado em comum. Então, a tangente do ângulo</p><p>α</p><p>vale</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Fonte: ShutterStock</p><p>A alternativa "E " está correta.</p><p>Como é solicitada a tangente de um ângulo, não importa a medida do lado do quadrado. Você pode trabalhar literalmente (se quiser</p><p>chamar a medida do lado de x), ou atribuir qualquer valor, por exemplo 2 (porque se houver necessidade de dividir por 2, isso evita</p><p>frações).</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>Veja, na figura, o tradicional triângulo de 30°/60° (justifique as informações da figura) e, como consequência:</p><p>tg α =</p><p>cateto oposto</p><p>cateto adjacente =</p><p>2 +√3 +√3</p><p>2 = √3 + 1</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>2. Na figura, traçamos as diagonais de um pentágono regular de lado igual a 1, criando outro pentágono regular. Se</p><p>Φ</p><p>é a razão áurea, qual a medida de CD?</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>AB é Phi vezes AC, e AC é Phi vezes DC, pois nos triângulos ABC e ADC (que possuem ângulo de 36°), o maior lado é Phi vezes o</p><p>menor. Logo, DC =</p><p>1</p><p>Φ2 .</p><p>MÓDULO 3</p><p> Definir linhas trigonométricas adicionais no triângulo retângulo</p><p>DEMAIS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS</p><p>MAIS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Foto: stock.adobe.com</p><p>LINHAS TRIGONOMÉTRICAS ADICIONAIS: SECANTE, COSSECANTE</p><p>E COTANGENTE</p><p>AS DEFINIÇÕES DE SENO, COSSENO E TANGENTE, CONFORME ESTUDAMOS, SE</p><p>BASEARAM EM TRÊS DAS RAZÕES ENVOLVENDO OS LADOS DE UM TRIÂNGULO</p><p>RETÂNGULO, DO QUAL O ÂNGULO</p><p>Α</p><p>É ÂNGULO AGUDO.</p><p>No entanto, há seis possíveis razões envolvendo os dois catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo, três das quais são</p><p>exatamente o inverso das três linhas trigonométricas já estudadas, ou seja, o inverso do seno, do cosseno e da tangente. A figura a</p><p>seguir ilustra as três razões já estudadas e as três novas razões e seus nomes:</p><p>a cossecante de</p><p>α =</p><p>a</p><p>b</p><p>, o inverso do seno de</p><p>α =</p><p>b</p><p>a</p><p>a secante de</p><p>α =</p><p>a</p><p>c</p><p>, o inverso do cosseno de</p><p>α =</p><p>c</p><p>a</p><p>a cotangente de</p><p>α =</p><p>c</p><p>b</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>, o inverso da tangente de</p><p>α =</p><p>b</p><p>c</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>Linhas básicas Linhas adicionais</p><p>sen α =</p><p>b</p><p>a</p><p>a</p><p>b</p><p>=</p><p>cossecante</p><p>cossec α =</p><p>1</p><p>sen α</p><p>cos α =</p><p>c</p><p>a</p><p>a</p><p>c</p><p>=</p><p>secante</p><p>sec α =</p><p>1</p><p>cos α</p><p>tg α =</p><p>b</p><p>c</p><p>c</p><p>b</p><p>=</p><p>cotangente</p><p>cot α =</p><p>1</p><p>tg α</p><p>Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p>EXEMPLO:</p><p>Calcule a secante, cossecante e cotangente de 45°, 30° e 60°.</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Pela definição das linhas trigonométricas secante, cossecante e cotangente, obtemos:</p><p>cossec45 ∘ =</p><p>1</p><p>sen45 ∘ =</p><p>1</p><p>√2</p><p>2</p><p>=</p><p>2</p><p>√2</p><p>= √2 = sec45 ∘</p><p>(por quê?)</p><p>cot45 ∘ =</p><p>1</p><p>tg45 ∘ =</p><p>1</p><p>1</p><p>= 1</p><p>cossec30 ∘ =</p><p>1</p><p>sen30 ∘ =</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>= 2 = sec60 ∘</p><p>(por quê?)</p><p>sec30 ∘ =</p><p>1</p><p>cos30 ∘ =</p><p>1</p><p>√3</p><p>2</p><p>=</p><p>2√3</p><p>3</p><p>= cossec60 ∘</p><p>( )</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>(por quê?)</p><p>cot30 ∘ =</p><p>1</p><p>tg30 ∘ =</p><p>1</p><p>√3</p><p>3</p><p>= √3 = tg60 ∘</p><p>(por quê?)</p><p>cot60 ∘ =</p><p>1</p><p>tg60 ∘ =</p><p>1</p><p>√3</p><p>=</p><p>√3</p><p>3</p><p>= tg30 ∘</p><p>(por quê?)</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>MAIS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p>DO ESTUDO DAS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS — SENO, COSSENO E</p><p>TANGENTE —, DESENVOLVEMOS DUAS RELAÇÕES ALGÉBRICAS INICIAIS:</p><p>SEN2 Α + COS2 Α = 1</p><p>E</p><p>TG Α =</p><p>SEN Α</p><p>COS Α</p><p>.</p><p>Mas as linhas trigonométricas secante, cossecante e cotangente, pela sua própria definição, já estabelecem mais três relações</p><p>banais:</p><p>cossec α =</p><p>1</p><p>sen α</p><p>sec α =</p><p>1</p><p>cos α</p><p>cot α =</p><p>1</p><p>tg α</p><p>Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p>Entretanto, a partir da relação fundamental</p><p>sen2 α + cos2 α = 1</p><p>(teorema de Pitágoras disfarçado), podemos obter mais duas relações interessantes, dividindo-a por</p><p>cos2 α</p><p>e</p><p>sen2 α</p><p>:</p><p>Veja:</p><p>sen2 α + cos2 α</p><p>cos2 α</p><p>=</p><p>1</p><p>cos2 α</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>sen2 α</p><p>cos2 α</p><p>+</p><p>cos2 α</p><p>cos2 α</p><p>=</p><p>1</p><p>cos2 α</p><p>sen α</p><p>cos α</p><p>2</p><p>+ 1 =</p><p>1</p><p>cos α</p><p>2</p><p>tg2 α + 1 = sec2 α</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Analogamente, dividindo por</p><p>sen2 α</p><p>, obtemos a relação</p><p>cot2 α + 1 = cossec2 α</p><p>.</p><p>Então, consolidando as seis relações trigonométricas desenvolvidas, temos:</p><p>sen2 α + cos2 α = 1 tg2 α + 1 = sec2 α cot2 α + 1 = cossec2 α</p><p>cotα =</p><p>1</p><p>tg α</p><p>secα =</p><p>1</p><p>cos α</p><p>cossec α =</p><p>1</p><p>sen α</p><p>Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p>PRIMEIRAS IDENTIDADES</p><p>Imagem: stock.adobe.com</p><p>O estudo das linhas trigonométricas exigem, frequentemente, certo domínio de manipulação algébrica básica. Por exemplo,</p><p>fatoração de expressões, inclusive fracionárias e, em especial, os produtos notáveis básicos.</p><p>Então, vamos rever alguns procedimentos para recuperar a capacidade de trabalhar com expressões algébricas mais elaboradas.</p><p>ALGEBRISMO BÁSICO: UMA NECESSIDADE NA TRIGONOMETRIA!</p><p>AS PROPRIEDADES DA COMUTATIVIDADE E ASSOCIATIVIDADE DAS OPERAÇÕES DE</p><p>ADIÇÃO E DE MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS REAIS, BEM COMO A PROPRIEDADE DA</p><p>( ) ( )</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>DISTRIBUTIVIDADE DA MULTIPLICAÇÃO COM RELAÇÃO À ADIÇÃO SÃO ESSENCIAIS</p><p>PARA O DESENVOLVIMENTO DOS PRODUTOS NOTÁVEIS, ESSENCIAIS PARA</p><p>ADQUIRIRMOS UM MÍNIMO DE DOMÍNIO ALGÉBRICO.</p><p>Vejamos um resumo dessas propriedades, envolvendo as operações usuais entre números reais:</p><p>COMUTATIVIDADE</p><p>Da soma:</p><p>a + b = b + a</p><p>Do produto:</p><p>a ⋅ b = b ⋅ a</p><p>ASSOCIATIVIDADE</p><p>Da soma:</p><p>a + (b + c)</p><p>= (a + b) + c</p><p>= a + b + c</p><p>Do produto:</p><p>a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c = abc</p><p>DISTRIBUTIVIDADE</p><p>(do produto com relação à soma)</p><p>Esquerda:</p><p>a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c</p><p>Direita:</p><p>(a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c</p><p>Sem dúvida, a distributividade é peça chave no desenvolvimento dos produtos notáveis, pois tudo começa na propriedade:</p><p>(p + q) ⋅ (r + s) = (p + q) ⋅ r + (p + q) ⋅ s = (p ⋅ r + q ⋅ s) + (q ⋅ r + q ⋅ s)</p><p>= p ⋅ r + p ⋅ s + q ⋅ r + q ⋅ s</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p> SAIBA MAIS</p><p>Ou seja, para multiplicar duas somas:</p><p>(p + q)</p><p>e</p><p>(r + s)</p><p>, simplesmente multiplicamos “todo mundo do lado esquerdo” por “todo mundo do lado direito”, e sequer interessa a ordem final das</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>javascript:void(0)</p><p>javascript:void(0)</p><p>javascript:void(0)</p><p>parcelas, pois, felizmente, vale a comutatividade e, além disso, a associatividade, que permite não usar parênteses para especificar a</p><p>ordem em que as adições (ou multiplicações) são realizadas.</p><p>Essa simplíssima propriedade gera inúmeros produtos notáveis fundamentais para o desenvolvimento de “algebrismos” diversos.</p><p>Veja a seguir alguns produtos notáveis básicos. Procure justificar, no desenvolvimento de cada um deles, a cada passagem, qual</p><p>dentre as propriedades de comutatividade, associatividade ou distributividade estão sendo utilizadas.</p><p>Produto de duas somas</p><p>Multiplica todo mundo por todo mundo</p><p>(p + q)(r + s) = (p + q) ⋅ r + (p + q) ⋅ s</p><p>= (pr + qs) + (qr + qs)</p><p>= pr + ps + qr + qs</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem</p><p>horizontal</p><p>Quadrado de uma soma</p><p>Soma dos quadrados mais o duplo</p><p>produto</p><p>(a + b)2 = (a + b) (a + b)</p><p>= a2 + ab + b2 + ba</p><p>= a2 + b2 + 2ab</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem</p><p>horizontal</p><p>Quadrado de uma diferença</p><p>Soma dos quadrados menos o duplo</p><p>produto</p><p>(a – b)2 = (a – b)(a – b)</p><p>= a2 – ab – ba − b2</p><p>= a2 + b2 – 2ab</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem</p><p>horizontal</p><p>Produto de soma por diferença</p><p>Diferença entre os quadrados</p><p>(a + b)(a – b) = (a + b)(a – b)</p><p>= a2 – ab + ba – b2</p><p>= a2 – b2</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem</p><p>horizontal</p><p>Soma de cubos</p><p>(a + b) (a2 – ab + b2) =</p><p>= a3 – a2b + ab2 + ba2 – ab2 + b3</p><p>= a3 + b3</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem</p><p>horizontal</p><p>Diferença entre cubos</p><p>(a – b)(a2 + ab + b2) =Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>= a3 + a2b + ab2 + ba2 – ab2 + b3</p><p>= a3 – b3</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem</p><p>horizontal</p><p>Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p>Naturalmente, as primeiras identidades que relacionam as seis linhas trigonométricas são as seis relações já estudadas, aqui</p><p>repetidas:</p><p>sen2 α + cos2 α = 1 tg2 α + 1 = sec2 α cot2 α + 1 = cossec2 α</p><p>cotα =</p><p>1</p><p>tg α</p><p>secα =</p><p>1</p><p>cos α</p><p>cossec α =</p><p>1</p><p>sen α</p><p>Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p>A seguir, vamos analisar outras relações.</p><p>EXEMPLO 1</p><p>Mostre que:</p><p>a)</p><p>sec a + cossec a</p><p>sen a + cos a</p><p>= tg a + cot a</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>b)</p><p>sen a + cos a</p><p>sen a − cos a</p><p>=</p><p>tg a + 1</p><p>tg a − 1</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>SOLUÇÃO</p><p>a)</p><p>sec a + cossec a</p><p>sen a + cos a</p><p>=</p><p>1</p><p>cos a +</p><p>1</p><p>sen a</p><p>sen a + cos a</p><p>=</p><p>sen a + cos a</p><p>sen a ⋅ cos a</p><p>sen a + cos a</p><p>=</p><p>1</p><p>sen a ⋅ cos a</p><p>=</p><p>sen2a + cos2a</p><p>sen a ⋅ cos a</p><p>=</p><p>sen a</p><p>cos a</p><p>+</p><p>cos a</p><p>sen a</p><p>= tg a + cot a</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>b)</p><p>sen a + cos a</p><p>sen a − cos a</p><p>=</p><p>sen a + cos a</p><p>sen a ⋅ cos a</p><p>sen a − cos a</p><p>sen a ⋅ cos a</p><p>=</p><p>tg a + 1</p><p>tg a − 1</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>EXEMPLO 2Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Mostre que:</p><p>sec3a + tg3a = sec a ⋅ tg a ⋅ (sec a + tg a) + (sec a − tg a)</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Parece ser mais simples iniciar o desenvolvimento pelo lado direito, visto que a expressão do lado esquerdo é compacta.</p><p>seca ⋅ tga ⋅ (seca + tga) + (seca − tga) =</p><p>= sec2α ⋅ tgα + seca ⋅ tg2a + seca − tga =</p><p>= sec2a ⋅ tga − tga + seca ⋅ tg2a + seca =</p><p>= tga sec2a − 1 + seca tg2a + 1 =</p><p>= tga tg2a + seca sec2α =</p><p>= tg3α + sec3α</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>MÃO NA MASSA</p><p>1. SE A É UM ÂNGULO AGUDO E SEN</p><p>A = 1/10</p><p>, O VALOR DE</p><p>(SEC A + TG A)2 − (SEC A − TG A)2</p><p>ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL</p><p>É:</p><p>A)</p><p>1</p><p>100</p><p>B)</p><p>3</p><p>100</p><p>C)</p><p>1</p><p>250</p><p>D)</p><p>4</p><p>999</p><p>E)</p><p>99</p><p>250</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>2. SE A É UM ÂNGULO AGUDO CUJA TANGENTE VALE 2, QUAL O VALOR DE</p><p>SEN A + COS A + TG A + COT A + SEC A + COSSEC A?</p><p>ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL</p><p>A)</p><p>21√5</p><p>10 +</p><p>5</p><p>2</p><p>B)</p><p>21√5</p><p>5 +</p><p>5</p><p>2</p><p>C)</p><p>3√5</p><p>10 +</p><p>1</p><p>2</p><p>D)</p><p>√5</p><p>10 +</p><p>5</p><p>2</p><p>E)</p><p>√5</p><p>10 1 +</p><p>√5</p><p>2</p><p>3. A EXPRESSÃO SEN 6A + COS6 A A É IDÊNTICA A:</p><p>A) 1 – 2 (sen a · cos a)2</p><p>B) 1 + 2 (sen a · cos a)2</p><p>C) 1 – 3 (sen a · cos a)2</p><p>D) 1 + 3 (sen a · cos a)2</p><p>E) 2 – (sen a · cos a)2</p><p>4. SE A É UM ÂNGULO AGUDO, ENTRE QUAIS VALORES DEVE VARIAR O NÚMERO REAL B PARA QUE</p><p>SEJA POSSÍVEL A IGUALDADE SEN A + COS A = B PARA ALGUM ÂNGULO</p><p>Α</p><p>?</p><p>USE A SEGUINTE PROPRIEDADE:</p><p>DADOS DOIS NÚMEROS REAIS X E Y, SABE-SE QUE SUA MÉDIA ARITMÉTICA É MAIOR OU IGUAL A</p><p>SUA MÉDIA GEOMÉTRICA E A IGUALDADE APENAS SE VERIFICA SE X = Y.</p><p>A)</p><p>−1 e + 1</p><p>B)</p><p>−2 e + 2</p><p>C) -</p><p>1</p><p>2</p><p>e +</p><p>1</p><p>2</p><p>( )</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>D)</p><p>−2 e + 2</p><p>E) -√2 e √2</p><p>5. MAIS UMA GEOMETRIA ÚTIL! NA FIGURA, O RAIO DO CÍRCULO VALE 1 E ESTÃO MARCADOS OS</p><p>ÂNGULOS</p><p>Α</p><p>E</p><p>2Α</p><p>(POR QUE</p><p>∠COD</p><p>É O DOBRO DE</p><p>∠BAD</p><p>?)</p><p>IMAGEM: CARLOS EDDY ESAGUY NEHAB</p><p>USANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS NO TRIÂNGULO ACD, OBTEMOS:</p><p>AD2 = AC2 + CD2</p><p>, OU SEJA:</p><p>(2COS Α)2 = (1 + COS 2Α)2 + SEN 2Α2</p><p>ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL</p><p>DESENVOLVENDO ESSA EXPRESSÃO, OBTEMOS:</p><p>1 + COS 2Α = 2COS2Α</p><p>ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL</p><p>( )</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>TAL EXPRESSÃO PERMITE QUE CALCULEMOS O COSSENO DE</p><p>Α</p><p>CASO O COSSENO DE 2</p><p>Α</p><p>SEJA CONHECIDO! ISSO É PARTICULARMENTE ÚTIL, POR EXEMPLO, PARA CALCULAR O COSSENO</p><p>DE 15° A PARTIR DO COSSENO DE 30°, E O COSSENO DE 22,5° A PARTIR DO COSSENO DE 45°, E</p><p>ASSIM POR DIANTE.</p><p>ASSIM, CALCULANDO O COSSENO DE 15°, OBTEMOS:</p><p>A)</p><p>1</p><p>4</p><p>B)</p><p>√2</p><p>4</p><p>C)</p><p>√3 + 1</p><p>2</p><p>D)</p><p>√6 +√2</p><p>4</p><p>E)</p><p>√6 + 2</p><p>4</p><p>6. SABENDO-SE QUE A É UM ÂNGULO AGUDO E QUE COS A =</p><p>M2 - 1</p><p>M2 + 1</p><p>EM QUE</p><p>M</p><p>É UM NÚMERO REAL, PODEMOS CONCLUIR QUE O VALOR DE</p><p>TG Α</p><p>É</p><p>A)</p><p>2m</p><p>m2 – 1</p><p>B)</p><p>m2</p><p>m2 + 1</p><p>C)</p><p>1</p><p>m2 + 1</p><p>D)</p><p>m2</p><p>m2 + 1</p><p>E)</p><p>m2 - 1</p><p>m2 + 1</p><p>GABARITO</p><p>1. Se a é um ângulo agudo e sen</p><p>a = 1/10</p><p>, o valor de</p><p>(sec a + tg a)2 − (sec a − tg a)2</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>é:</p><p>A alternativa "E " está correta.</p><p>Usando o produto notável</p><p>X2 – Y2 = (X + Y)(X– Y)</p><p>, obtemos:</p><p>(sec a + tg a) 2– sec a – tg a)2 =</p><p>[(sec a + tg a) + (sec a – tg a)]. [(sec a + tg a) - (sec a – tg a)] =</p><p>2sec a. 2tg a = 4sec a . tg a =</p><p>4sen a</p><p>cos2 a</p><p>Ora, cos2 a = 1 - sen2a = 1 -</p><p>1</p><p>100 =</p><p>99</p><p>100</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Logo, a expressão dada vale 4</p><p>1</p><p>10</p><p>99</p><p>100 =</p><p>99</p><p>250</p><p>2. Se a é um ângulo agudo cuja tangente vale 2, qual o valor de</p><p>sen a + cos a + tg a + cot a + sec a + cossec a?</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>Podemos calcular todas as linhas trigonométrica de a ou, alternativamente, tentar desenvolver a expressão dada e verificar se nos</p><p>conduz a uma expressão mais compacta.</p><p>Assim, se tg a=2, pense em um triângulo retângulo de catetos 1 e 2. A hipotenusa valerá</p><p>√5</p><p>. Logo, sen a =</p><p>2</p><p>√5</p><p>=</p><p>2√5</p><p>5 e cos a =</p><p>1</p><p>√5</p><p>=</p><p>√5</p><p>5 .</p><p>Desse modo, somar todas as linhas trigonométricas é uma solução razoável, pois cot a =</p><p>1</p><p>tg a =</p><p>1</p><p>2 , sec a =</p><p>1</p><p>cos a = √5 e</p><p>cossec a =</p><p>1</p><p>sen a =</p><p>√5</p><p>2</p><p>Então:</p><p>sen a + cos a + tg a + cot a + sec a + cossec a =</p><p>2√5</p><p>5 +</p><p>√5</p><p>5 + 2 +</p><p>1</p><p>2 + √5 +</p><p>√5</p><p>2 =</p><p>5</p><p>2 + 21</p><p>√5</p><p>10</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Se desenvolvemos a expressão original, no entanto, não observamos grande vantagem nesse caso. Veja:</p><p>Soma = sen a + cos a +</p><p>sen a</p><p>cos a +</p><p>cos a</p><p>sen a +</p><p>1</p><p>cos a +</p><p>1</p><p>sen a =</p><p>Soma =</p><p>sen2a · cosa + cos2a · sen a + sen2a + cos2a + sen a + cos a</p><p>sen a · cos a</p><p>=</p><p>sen a · cos a · ( sen a + cos a ) + 1 + ( sen a + cos a )</p><p>sen a · cos a</p><p>=</p><p>( sen a · cos a + 1 ) ( sen a + cos a ) + 1</p><p>sen a · cos a =</p><p>2√5</p><p>5 ·</p><p>√5</p><p>5 + 1</p><p>2√5</p><p>5 +</p><p>√5</p><p>5 + 1</p><p>2√5</p><p>5 ·</p><p>√5</p><p>5</p><p>(</p><p>( )( )</p><p>( ) ( )</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>=</p><p>7</p><p>5</p><p>3√5</p><p>5 + 1</p><p>2</p><p>5</p><p>=</p><p>5</p><p>2</p><p>21√5</p><p>25 + 1 =</p><p>21√5</p><p>10 +</p><p>5</p><p>2</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>3. A expressão sen 6a + cos6 a a é idêntica a:</p><p>A alternativa "C " está correta.</p><p>Fazendo x = sen2a e y = cos2a, a expressão fornecida se torna x3 + y3, que é um conhecido produto notável!</p><p>x3 + y3 = x + y x2 – xy + y2</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Mas podemos escrever x2 – xy + y2 em função de (x + y)2!</p><p>Confira: x2 – xy + y2 = (x + y)2 - 3xy</p><p>Logo,</p><p>x3 + y3 = x + y x2 – xy + y2 = x + y x + y)2– 3xy</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize</p><p>a rolagem horizontal</p><p>Então:</p><p>sen2 a + cos2 a sen2a + cos2a 2 – 3 · sen a · cos a = 1 – 3 · sen x · cos x)2</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>4. Se a é um ângulo agudo, entre quais valores deve variar o número real b para que seja possível a igualdade</p><p>sen a + cos a = b para algum ângulo</p><p>α</p><p>?</p><p>Use a seguinte propriedade:</p><p>Dados dois números reais x e y, sabe-se que sua média aritmética é maior ou igual a sua média geométrica e a igualdade</p><p>apenas se verifica se x = y.</p><p>A alternativa "E " está correta.</p><p>Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:</p><p>5. Mais uma geometria útil! Na figura, o raio do círculo vale 1 e estão marcados os ângulos</p><p>α</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( )[( ]</p><p>( )[ ( ) ( )] (</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>e</p><p>2α</p><p>(por que</p><p>∠COD</p><p>é o dobro de</p><p>∠BAD</p><p>?)</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>Usando o teorema de Pitágoras no triângulo ACD, obtemos:</p><p>AD2 = AC2 + CD2</p><p>, ou seja:</p><p>(2cos α)2 = (1 + cos 2α)2 + sen 2α2</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Desenvolvendo essa expressão, obtemos:</p><p>1 + cos 2α = 2cos2α</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Tal expressão permite que calculemos o cosseno de</p><p>α</p><p>caso o cosseno de 2</p><p>α</p><p>seja conhecido! Isso é particularmente útil, por exemplo, para calcular o cosseno de 15° a partir do cosseno de 30°, e o</p><p>cosseno de 22,5° a partir do cosseno de 45°, e assim por diante.</p><p>Assim, calculando o cosseno de 15°, obtemos:</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>Pela sugestão no enunciado, fazendo α = 15°, obtemos 2cos2 15° = 1 + cos30°</p><p>( )</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Logo, 2cos2 15° = 1 + 3/2, ou seja, cos 15° =</p><p>√2 +√3</p><p>2 . Note, entretanto, que esse radical é igual a</p><p>√6 +√2</p><p>4 (eleve ao quadrado para</p><p>verificar a igualdade!).</p><p>6. Sabendo-se que a é um ângulo agudo e que cos a =</p><p>m2 - 1</p><p>m2 + 1</p><p>em que</p><p>m</p><p>é um número real, podemos concluir que o valor de</p><p>tg α</p><p>é</p><p>A alternativa "A " está correta.</p><p>Naturalmente, a já conhecida solução geométrica é a mais interessante. Supomos que a é um ângulo interno de um triângulo</p><p>retângulo em que o cateto adjacente vale m2 – 1 e hipotenusa igual a m2 - 1. Usando Pitágoras, calculamos o outro cateto x.</p><p>m2 + 1 2 = m2 – 1)2 + x2 ⇒ x = 2m</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Então,</p><p>tg a =</p><p>cateto oposto</p><p>cateto adjacente</p><p>=</p><p>2m</p><p>m2 + 1</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Mas podemos ir pelo caminho mais trabalhoso das “formuletas”:</p><p>cos a =</p><p>m2 - 1</p><p>m2 + 1</p><p>⇒ sec a =</p><p>m2 + 1</p><p>m2 - 1</p><p>⇒ tg2a = sec2a - 1 =</p><p>m2 + 1</p><p>m2 - 1</p><p>2</p><p>- 1 =</p><p>m2 + 1</p><p>2</p><p>- m2 - 1</p><p>2</p><p>m2 - 1</p><p>2</p><p>=</p><p>2m2 · 2</p><p>m2 - 1</p><p>2</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como</p><p>sec a</p><p>não é negativa, a alternativa correta é a letra A.</p><p>GABARITO</p><p>TEORIA NA PRÁTICA</p><p>Mais uma geometria sinistra, no eneágono regular, útil na solução de problemas envolvendo os ângulos 20°, 40° e 80°, bem como</p><p>seus complementares 70°, 50° e 10°.</p><p>Mostre que</p><p>sen 20° + sen 40° = sen 80</p><p>°</p><p>( ) (</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>1. SENDO A E B NÚMEROS REAIS E X UM ÂNGULO AGUDO, SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO</p><p>A · COS X – B · SEN X)2 + A · SEN X – B · COS X)2</p><p>ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL</p><p>ENCONTRAMOS:</p><p>A) a · b</p><p>B) a2 + b2</p><p>C) a + b</p><p>D) ab · (a + b)</p><p>E)</p><p>a</p><p>b +</p><p>b</p><p>a</p><p>( (</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>2. CALCULANDO</p><p>COS 22, 5°</p><p>, ENCONTRAMOS:</p><p>A)</p><p>√2</p><p>4</p><p>B)</p><p>√2 -√2</p><p>2</p><p>C)</p><p>√2 + 1</p><p>4</p><p>D)</p><p>√2 +√2</p><p>2</p><p>E)</p><p>√1 +√2</p><p>2</p><p>GABARITO</p><p>1. Sendo a e b números reais e x um ângulo agudo, simplificando a expressão</p><p>a · cos x – b · sen x)2 + a · sen x – b · cos x)2</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>encontramos:</p><p>A alternativa "B " está correta.</p><p>Usando os produtos notáveis X – Y 2 e (X + Y)2</p><p>(a · cos x - b · sen x)2 + (a · sen x - b · cos x)2 =</p><p>a2 · cos2x - 2ab · cos x sen x + b2 · sen2 x +</p><p>a2 · sen2x + 2ab · sen x cos x + b2 · sen2 x =</p><p>a2 sen2x + cos2x + b2 sen2x + cos2x = a2 + b2</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>2. Calculando</p><p>cos 22, 5°</p><p>, encontramos:</p><p>A alternativa "D " está correta.</p><p>O exercício Mão na Massa 5 sugere uma expressão extremamente útil: 1 + cos 2α = 2 · cos2 α, que possibilita o cálculo do cosseno</p><p>de um ângulo caso seja conhecido o cosseno de seu dobro.</p><p>Então</p><p>1 + cos 45° = 2 · cos2 22, 5°</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>( (</p><p>( )</p><p>( ) ( )</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Logo</p><p>1 +</p><p>√2</p><p>2 = 2 · cos2 22, 5° ⇒ cos 22, 5° =</p><p>√2 +√2</p><p>2</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>MÓDULO 4</p><p> Definir o conceito geral de arcos e ângulos</p><p>TRAJETÓRIAS EM PISTAS CIRCULARES</p><p>ARCOS E ÂNGULOS – AMPLIANDO CONCEITOS</p><p>Foto: stock.adobe.com</p><p>Antes de iniciar este módulo, fica aqui um desafio: descubra o que é e qual o funcionamento básico de um teodolito e de um</p><p>sextante, instrumentos relacionados, basicamente, à medição de ângulos.</p><p>PISTA CIRCULAR – UMA METÁFORA</p><p>Nos contatos iniciais com ângulos (e com arcos), aprendemos, primeiramente, ângulos agudos e, posteriormente, ângulos cuja</p><p>medida era no máximo uma volta, 360°! No entanto, é extremamente útil ampliarmos o conceito de ângulo e/ou arco, como mostra a</p><p>situação que se segue:</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p> EXEMPLO</p><p>Dois corredores estão percorrendo uma pista circular, mas um deles deu uma volta completa, e o outro, duas voltas completas</p><p>(no mesmo sentido). Embora a origem e extremidade dessas duas trajetórias sejam as mesmas, certamente, são duas trajetórias</p><p>diferentes.</p><p>Assim, os dois arcos e/ou ângulos que estão associados às duas trajetórias deveriam ter medidas diferentes! Claro, gostaríamos de</p><p>dizer que um percorreu um arco ou ângulo de setecentos e vinte graus (720°), e o outro, de apenas trezentos e sessenta graus</p><p>(360°).</p><p>ESSE EXEMPLO JUSTIFICA A CONVENIÊNCIA DE SE GENERALIZAR OS CONCEITOS</p><p>DE ARCOS E DE ÂNGULOS PARA ALÉM DE UMA VOLTA, PARA ALÉM DE 360°. E MAIS:</p><p>SE VOCÊ TAMBÉM DESEJA DISTINGUIR O SENTIDO DO PERCURSO DE CADA</p><p>CORREDOR, É ÚTIL CONVENCIONAR UM SINAL PARA IDENTIFICAR O SENTIDO.</p><p>Na figura a seguir, em ambos os casos, os dois arcos AOB possuem mesma origem e extremidade e, embora sejam arcos diferentes,</p><p>pois refletem trajetórias diferentes, são chamados de arcos côngruos.</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>Curiosamente, a origem dessa palavra é latina — congruere: con (significa idem) + gruere (significa correr). Parece que há milênios</p><p>já estavam pensando em dois sujeitos correndo em volta de uma pista.</p><p>E se escolhermos as orientações de percurso indicadas na figura, convencionaremos que as medidas dos dois arcos valem + 270° e</p><p>-90°, você concorda?</p><p> SAIBA MAIS</p><p>Observação sobre notações</p><p>É comum usar notações diferentes para arcos, ângulos e para suas medidas. Assim, por exemplo:</p><p>• O “arco AOB” pode ser representado por</p><p>^</p><p>AOB</p><p>(com uma curva em cima ou um grande circunflexo)</p><p>• O “ângulo AOB” como</p><p>AÔB</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>(com um circunflexo no vértice do ângulo) ou</p><p>∠AOB</p><p>• A medida de um arco ou ângulo como</p><p>m(</p><p>^</p><p>AOB)</p><p>,</p><p>m(AÔB)</p><p>ou</p><p>m(∠AOB)</p><p>.</p><p>Na prática, entretanto, essa notação fica tão maçante e pesada, que é comum identificarmos um ângulo ou arco com sua medida. Do</p><p>tipo: “considere o” ângulo A = 90°, o que sem dúvida pode ser inadequado tecnicamente, pois 90° não é um ângulo, mas sua</p><p>medida. Pela simplicidade, contudo, é o que usaremos livremente.</p><p>EXEMPLO 1</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>Na figura, dividimos a circunferência em oito partes iguais. Determine a medida do menor arco</p><p>(menor trajetória) em cada sentido,</p><p>que se inicia no ponto A e termina em cada ponto subsequente: B, C, D...</p><p>Na figura, como exemplo, já explicitamos</p><p>AÔB</p><p>(ou</p><p>∠AOB</p><p>, cuja medida é</p><p>360° ÷ 8 = 45°</p><p>).</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Como os arcos com as mesmas extremidades podem representar trajetórias diferentes, e em cada um dos dois sentidos, é simples</p><p>observar as medidas desejadas. Veja!</p><p>Extremidade do arco</p><p>→</p><p>B C D E F G H A</p><p>Sentido positivo 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°</p><p>Sentido negativo -315° -270° -225° -180° -135° -90° -45° 0°</p><p>Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p>EXEMPLO 2</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>O ângulo/arco de medida +90° possui extremidade no ponto B, conforme mostra a figura. Entretanto, naturalmente há infinitos arcos/</p><p>ângulos com origem em A e extremidade em B.</p><p>Depende, é claro, de quantas voltas foram dadas pela extremidade do arco antes de “parar” em B.</p><p>A pergunta é: como se poderia criar uma expressão que representasse as medidas de todos esses arcos?</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Podemos imaginar que a “viagem” de A até “parar” em B pode ter sido direta ou após um número qualquer de voltas — por exemplo,</p><p>k</p><p>voltas, sendo</p><p>k</p><p>um inteiro qualquer negativo ou positivo.</p><p>Então, a medida de tal arco/ângulo pode assumir os valores que se seguem (expressos em graus):</p><p>k = 0 0 ⋅ 360° + 90° = 90°</p><p>k = ± 1 1 ⋅ 360° + 90° = 450° ( − 1) ⋅ 360° + 90° = − 270°</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>k = ± 2 2 ⋅ 360° + 90° = 810° ( − 2) ⋅ 360° + 90° = − 630°</p><p>k = ± 3 3 ⋅ 360° + 90° = 1170° ( − 3) ⋅ 360° + 90° = − 990°</p><p>... ... ...</p><p>Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p>Representando tais valores – medidas destes ângulos, sob a fora de conjunto — podemos escrever:</p><p>[α | α = k ⋅ 360° + 90°</p><p>,</p><p>k inteiro</p><p>].</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Mas é usual, para a representação ficar mais leve, escrevermos simplesmente a expressão</p><p>k ⋅ 360° + 90°</p><p>,</p><p>k inteiro</p><p>.</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>EXEMPLO 3</p><p>A figura indicada mostra oito pontos igualmente espaçados. Em cada item, estabeleça uma expressão que represente a totalidade</p><p>das medidas dos arcos e/ou ângulos que possuam extremidade(s) no(s) ponto(s) indicado(s):</p><p>a. A ou A'</p><p>b. B</p><p>c. B ou B'</p><p>d. A, B, B' ou A'</p><p>e. C1 ou C2 (use o item b)</p><p>f. C1 ou C3 (use o item a)</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>SOLUÇÃO</p><p>A forma mais adequada de criar “intuição” nesse tipo de problema é começar sempre com pequenos exemplos numéricos para que,</p><p>a seguir, seja possível determinar um padrão, uma “lei de formação.</p><p>Como veremos, há várias possíveis soluções para cada item e, naturalmente, algumas bem criativas e interessantes.</p><p>PONTOS A OU A’</p><p>Se a extremidade do arco “parar” no próprio ponto A, significa que foi dada certa quantidade de voltas completas. Então, uma</p><p>expressão das medidas dos arcos apenas para o ponto A é imediata:</p><p>k ⋅ 360°</p><p>ou</p><p>360° ⋅ k</p><p>, k inteiro.</p><p>Mas para atingir o ponto A’, é necessário dar uma “esticada” de mais 180°, concorda? Então, uma das soluções poderia ser expressa</p><p>como:</p><p>k ⋅ 360°</p><p>ou</p><p>k ⋅ 360° + 180°</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Mas essa expressão contém um “ou”, isolando as respostas do caso A e do caso A’. Seria possível, pensando um pouco mais, obter</p><p>uma expressão mais compacta, que inclua tanto as medidas dos arcos com extremidade em A quanto em A’?</p><p>Eis a forma maliciosa de raciocinar: pense que a extremidade do arco “para” a cada meia-volta percorrida.</p><p>Se a quantidade de meias-voltas for par, onde a extremidade “parou”? Em A ou em A’?</p><p>E se a quantidade de meias-voltas for ímpar?</p><p>Ou seja, para “parar” em A, existe uma quantidade par de meias-voltas. Para parar em A’, uma meia-volta a mais, portanto, um</p><p>número ímpar de meias-voltas. Então, uma resposta maliciosa é, por exemplo:</p><p>m ⋅ 180°, m inteiro</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>PONTO B</p><p>Nesse caso, basta imaginar que a extremidade dá uma quantidade qualquer de voltas e, depois, uma “esticada” até B, ou seja, se</p><p>desloca mais 90°. Como consequência, uma possível resposta é</p><p>k ⋅ 360° + 90°</p><p>, k inteiro.</p><p>PONTOS B OU B'</p><p>Nesse caso, fica a seu cargo compreender as três soluções indicadas. Vá dando valores às variáveis inteiras que você chega lá!</p><p>1ª solução:</p><p>k ⋅ 360° ± 90°</p><p>, k inteiro</p><p>2ª solução:</p><p>m ⋅ 180° + 90°</p><p>, m inteiro</p><p>3ª solução:</p><p>p ⋅ 90°</p><p>, p inteiro e ímpar</p><p>PONTOS A, B, B' OU A'</p><p>Você concorda que esses pontos estão espaçados de 90°? Pois é.</p><p>Analise a solução</p><p>k ⋅ 90°</p><p>,k inteiro e diga se não é uma bela resposta!</p><p>Outra ótima solução é</p><p>k ⋅ 180° + 90°</p><p>, k inteiro, concorda?</p><p>Agora, é claro, os demais itens e) e f) ficam de presente para você.</p><p>A UNIDADE DE MEDIDA RADIANO</p><p>Foto: stock.adobe.com</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>O PROCESSO DE MEDIR UMA GRANDEZA PRESSUPÕE A ESCOLHA DE UMA UNIDADE</p><p>COM A QUAL A GRANDEZA POSSA SER COMPARADA, POIS MEDIR É COMPARAR!</p><p>Assim, aprendemos diversas unidades de medidas lineares: além do metro e seus múltiplos e submúltiplos, já ouvimos falar ou</p><p>usamos unidades como polegada, pé, milha, légua e assim por diante. Da mesma forma, a unidade mais usada para medir ângulos</p><p>e/ou arcos é, como sabemos desde cedo, o grau, que se origina na divisão do ângulo de uma volta em 360 partes iguais. Porém, é</p><p>importante conhecermos uma outra unidade de medida de arcos e ângulos: o radiano.</p><p>MAS, ENTÃO, EM QUANTAS PARTE DIVIDIMOS O ÂNGULO DE UMA VOLTA PARA</p><p>OBTERMOS UM ÂNGULO DE UM RADIANO?</p><p>Pois é, muito esquisito! Em aproximadamente 6,3 partes... E se fizermos isso, vamos obter um ângulo de aproximadamente 57°</p><p>(quase 60°)! Mas essa é apenas parte da história, pois este tal de “aproximadamente 6,3 partes” não veio do nada. Na verdade,</p><p>dividimos o ângulo de uma volta em exatamente</p><p>2π</p><p>partes (duas Pi partes) — isso mesmo, o famoso</p><p>π</p><p>, que como sabemos, vale aproximadamente 3,14159.</p><p> SAIBA MAIS</p><p>O comprimento de uma circunferência é aproximadamente o triplo de seu diâmetro. Na verdade, é um pouco mais: 3,14... vezes</p><p>seu diâmetro. Claro, o 3,14 é uma aproximação para o tal do Pi (</p><p>π</p><p>).</p><p>Como consequência, há até uma “formuleta” bem conhecida: o comprimento de uma circunferência vale</p><p>2 ⋅ π ⋅ r</p><p>(ou como eu prefiro escrever,</p><p>2 ⋅ r ⋅ π</p><p>, pois, assim, o 2r é o diâmetro e o</p><p>π</p><p>é o tal do “aproximadamente 3 (o triplo)...”. Fica mais natural de se lembrar, não é mesmo? Então, um ângulo de uma volta, se</p><p>medido em graus, possui 360°, e se medido em radianos, possui</p><p>2π ≈ 6, 3</p><p>radianos. Desse modo, 1 radiano (abreviamos 1rd) é um ângulo subentendido por um arco de aproximadamente 57°, cujo</p><p>comprimento é exatamente igual ao raio.</p><p>EXEMPLO 4</p><p>A figura exibe uma circunferência de raio</p><p>r</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>, um ângulo</p><p>α</p><p>e um arco de comprimento</p><p>ℓ</p><p>. Mostre que quando o comprimento do arco</p><p>ℓ</p><p>for igual ao raio r, então o ângulo</p><p>α</p><p>mede, exatamente, um radiano.</p><p>Lembre-se de que, por definição, um ângulo de um radiano é o ângulo obtido quando dividimos a circunferência em</p><p>2π</p><p>partes.</p><p>Imagem: Carlos Eddy Esaguy Nehab</p><p>SOLUÇÃO</p><p>Ora, é sabido (e mais do que razoável) que o comprimento de um arco é proporcional à medida de seu ângulo</p><p>α</p><p>! Por exemplo, se você dobrar o ângulo, dobra o comprimento do arco.</p><p>Então, como o comprimento da circunferência é dado por</p><p>2 ⋅ π ⋅ r</p><p>, podemos escrever a proporção:</p><p>l</p><p>2πr</p><p>=</p><p>α(em radianos)</p><p>2π radianos</p><p>⇒</p><p>r</p><p>2πr</p><p>=</p><p>α radianos</p><p>2π radianos</p><p>⇒ α = 1rd</p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>EXEMPLO 5</p><p>Converta os ângulos cuja medida está indicada na unidade radiano em grau e os que estão expressos em grau, em radiano.</p><p>a. 30°,45°,60°,75°,90° e 720°</p><p>Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js</p><p>b.</p>