MEM 1 2 3 Lógica, Conjuntos, Relações, Funções e Logarítmos

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Matemática EM – Aulas 1 a 3
Lógica, Conjuntos, Relações, 
Funções e Logaritmos
Prof.: Fred Frydman
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Conteúdo Programático
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Matemática Ens. Médio
CESPE (3 provas)
Assunto # quest. ou itens
Financeira 14
Geom. Espacial 9
Matriz e S. Lineares 8
Geom. Plana 6
Funções 5
Logaritmos 5
Conjuntos 4
Geom. Analítica 3
Progressões 2
Trigonometria 2
Total 58
Assunto # questões
Combinatória 7
Financeira 6
Trigonometria 4
Geom. Espacial 4
Funções 4
Progressões 3
Geom. Plana 3
Logaritmos 2
Geom. Analítica 1
Conjuntos 1
Total 35
CESGRANRIO 
(3 últimas provas)
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Lógica
• Caiu esporadicamente, não 
concentrar os esforços
O que é importante saber:
• Equivalência de sentenças 
(tautologias)
• Negação de sentenças
Exemplos de proposições:
p = A casa é bonita
q = O muro é alto
Exemplos de sentenças:
~p A casa não é bonita
p ^ q A casa é bonita e o muro é alto
p v q A casa é bonita ou o muro é alto
p  q Se a casa é bonita, então o muro é alto
p ↔ q A casa é bonita se, e somente se, o muro é alto
~(p q) ???
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Lógica
Tabelas Verdade
p ^ q:
p v q:
p  q:
p ↔ q:
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Lógica
Principais Tautologias (Equivalência de Sentenças)
p  q:
~(p ^ q):
~(p v q):
~(p  q):
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Lógica
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Lógica
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Lógica
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Conjuntos
• Assunto com baixa 
frequência, mas geralmente 
presente nas provas
O que é importante saber:
• Diagrama de Venn, questões 
de união e interseção
• Fórmulas de qtde de 
elementos para 2 e 3 
conjuntos
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Conjuntos
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Conjuntos
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Conjuntos
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Conjuntos
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Relações e Funções
• Cai pouco, mas quase sempre 
presente
• Domínio desse assunto é 
fundamental para Cálculo
• Relação x função
• Domínio e Imagem
• Definição por recorrência
• Composta e inversa
• Quadrática
• Exponencial
• Logarítmica
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Relações
• Sejam A e B dois conjuntos. O produto cartesiano A x B é o conjunto dos 
pares ordenados, tais que:
• Uma Relação Binária de A em B é qualquer subconjunto do produto 
cartesiano A x B
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Relações
• Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, um exemplo de relação S de A em A:
• 𝑆 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 ≥ 2𝑥}
• Para uma relação S de A em B, definem-se:
• DS = 
• CDS = 
• ImS = 
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Relações
Classificação das Relações:
• Total:
• Sobrejetora:
• Injetora:
• Funcional:
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Relações
Propriedades das Auto-Relações A x A:
• Reflexividade:
• Simetria:
• Transitividade:
• Uma relação com as três propriedades acima é chamada de Relação de 
Equivalência
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Relações
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Funções
Uma Relação Total e Funcional AB é chamada de FUNÇÃO
• Todo elemento de A está relacionado a apenas um elemento de B
Determinação do Domínio de Funções Reais: 
Atentar para:
• Denominadores
• Raízes de índice par
• Logaritmos
• Algumas funções trigonométricas
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Funções
Exercício: determinar o domínio das funções abaixo
𝑎)
3𝑥
𝑥 − 1
𝑏)
3𝑥
𝑥 − 1
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Relações e Funções
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Funções
Exercício: classificar as funções abaixo em relação à sobrejetividade e 
injetividade (considerar CD = Reais):
𝑎) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 5 𝑏) 𝑔 𝑥 = −𝑥2 + 5𝑥 − 6
𝑐) ℎ 𝑥 =
1
𝑥
d) 𝑗 𝑥 = 𝑥3 + 5𝑥 − 6
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Funções
Definição por recorrência
• Exemplo 1: f(0) = 1 e f(n+1) = 2.f(n), para todo n natural
• Exemplo 2: f(1) = 1, f(2) = 1 e f(n+2) = f(n+1) + f(n), para todo natural não 
nulo
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Relações e Funções
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Funções
Função composta
• Para f(x) = 2x+1 e g(x) = 3x-2, determinar fog(x) e gof(x)
Função inversa
• Se g(x) = f-1(x), então fog(x) = gof(x) = x.
• Para que exista a função inversa de uma função f, a mesma deve ser 
bijetora
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Funções
Exercício: encontrar a função inversa das funções abaixo:
𝑏) 𝑦 =
𝑥 − 5
𝑥 + 2
𝑎) 𝑦 = 2𝑥 − 3
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Relações e Funções
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Funções
Função par e função ímpar:
• Par: f(x) = f(-x) / Ímpar: f(x) = -f(-x)
Função quadrática f(x) = a.x² + b.x + c
• Concavidade da parábola:
• Número de raízes:
• Interseção com eixo y:
• Vértice da parábola:
• Soma e produto das raízes:
• Forma fatorada da função:
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Funções Quadráticas
Exercício: determinar os intervalos que f(x) é maior ou igual a 0:
𝑎) 𝑓 𝑥 =
𝑥2 − 5𝑥 + 6
−𝑥2 − 𝑥 + 12
b) 𝑓 𝑥 =
𝑥2 − 8𝑥 + 16
−𝑥2 + 𝑥 − 10
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Funções Quadráticas
Exercício: determinar m para que a equação abaixo possua duas raízes 
positivas distintas
𝑚𝑥2 + 2. 𝑚 − 3 𝑥 + 𝑚 + 1 = 0
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Funções Quadráticas
Exercício: determinar as funções correspondentes aos gráficos abaixo:
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Funções Quadráticas
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Funções Quadráticas
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Funções Quadráticas
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Funções Quadráticas
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Funções Quadráticas
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Funções Quadráticas
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Função Exponencial
Função cuja variável encontra-se no expoente de uma base positiva
• Domínio = Reais
• Imagem = Reais positivos
𝑎 > 1 0 < 𝑎 < 1
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Equações e Inequações Exponenciais
Resolver os exemplos a seguir:
7𝑥−2 − 7𝑥−1 + 7𝑥 = 301 25𝑥 − 5𝑥+1 = 500 3𝑥 + 3−𝑥+2 = 10
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Equações e Inequações Exponenciais
Resolver os exemplos a seguir:
3.
2
3
𝑥
< 2.
3
2
𝑥−
1
2
2𝑥−8 >
1
2
𝑥²
.
1
2
𝑥
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Equações e Inequações Exponenciais
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Equações e Inequações Exponenciais
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Logaritmos
Definição:
Condições de existência:
• 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1
• 𝑏 > 0
log𝑎 𝑏 = 𝑐 ↔ 𝑎𝑐 = 𝑏
Exemplos:
• log3 27 =
• log6 1 =
• log7 7 =
• log5
1
25
=
• log2 5 =
Logaritmos especiais:
• log10 𝑘 = log 𝑘
• log𝑒 𝑘 = l𝑛 𝑘 (logaritmo neperiano)
• e = 2,718281828...
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Logaritmos
Propriedades:
• log𝑎 1 = 0
• log𝑎 𝑎 = 1
• 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏
• log𝑎 𝑏
𝑐 = 𝑐. log𝑎 𝑏
• log𝑎 𝑏. 𝑐 = log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐
• log𝑎
𝑏
𝑐
= log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐
• log𝑎 𝑏 =
log𝑐 𝑏
log𝑐 𝑎
(mudança de base)
• colog𝑎 𝑏 = − log𝑎 𝑏
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Logaritmos
Exercício: considerando que log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, calcule:
• log 8 =
• log 5 =
• log2 3 =
• log 24 =
• log 15 =
• log4 18 =
• 2,510 =
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Logaritmos
Exercício: esboçar o gráfico de log y 
em função de log x na equação 
abaixo: (log 2 = 0,3)
• 20. 𝑦3 = 5. 𝑥2
Exercício: Quantos algarismos tem o 
número 5100 ?
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Logaritmos
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Função Logarítmica
Gráficos de funções logarítmicas e exponenciais
• Domínio = Reais positivos
• Imagem = Reais
𝑎 > 1
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Equações e Inequações Logarítmicas
A estratégia para resolução de equações logarítmicas pode ser resumida 
em 3 passos:
1. Estabelecer o Domínio da equação
2. Manipular os termos até todos os logaritmos estarem na mesma base
3. Definir a relação final entre os logaritmandos:
• Se log𝑎 𝑏 = log𝑎 𝑐, então b = c.
• Se log𝑎 𝑏 > log𝑎 𝑐, então b > c, se a > 1.
• Se log𝑎 𝑏 > log𝑎 𝑐, então b < c, se a < 1.
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Equações e Inequações Logarítmicas
Exercício: resolver as equações e inequações a seguir:
log 𝑥−3𝑥 − 1 = 2 2. log3 𝑥 − 1 = 1 + log3 7 − 𝑥 log1
2
3𝑥 − 4 ≥ −2
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Logaritmos
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Logaritmos
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Logaritmos decimais
• Conhecendo os valores de logaritmos na base 10, é possível calcular 
logaritmos em qualquer base, usando a regra de mudança de base.
• Para calcular o log de um número qualquer, deve-se colocar o número 
em notação científica:
• O primeiro termo será sempre um número inteiro, que recebe o nome 
de característica.
• O segundo termo será sempre um número entre 0 e 1, que recebe o 
nome de mantissa tábua de logaritmos
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Logaritmos decimais
Calcular os logaritmos abaixo:
• log 800
• log 0,006
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Gabarito
Slide 7 E Slide 29 E Slide 50 C
Slide 8 C Slide 34 D Slide 51 C
Slide 9 C Slide 35 E Slide 52 B
Slide 11 D Slide 36 D Slide 53 C
Slide 12 C Slide 37 E Slide 54 D
Slide 13 C Slide 38 C Slide 55 D
Slide 14 B Slide 39 A Slide 59 D
Slide 20 E Slide 43 B e C Slide 60 E-E-C
Slide 23 E Slide 44 D
Slide 26 A Slide 49 D
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Bons estudos!
Frederico Frydman
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