Progressões Geométricas - Definição e Fórmulas

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Aluno: ______________________________________________
Série: 2º Ano do Ensino Médio – 2º Bimestre 
Turma: 2001
Assunto: Progressões Geométricas 
Aula 1
Progressões Geométricas
Definição 
Progressões Geométricas é uma sequência de movimentos não nulos em que cada termo posterior, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado de razão da progressão. 
Classificação de uma PG.
Numa PG (, , , ..., ).
Um termo qualquer representado por (n indica a posição desse termo). Assim:
· é o primeiro termo
· é o segundo termo
· é o terceiro termo
.
.
.
· é o enésimo termo
O termo antecedente a é indicado por -1 e o consequente por +1.
O quociente constante entre um termo e o seu antecedente é denominado e representado por q.
Uma P.G é:
Crescente quando:
q>1 e ou 0<q<1 e 
Decrescente quando:
q>1 e e 
Oscilante quando:
q<0
Constante quando:
q = 0 e 
Não crescente quando:
q = 0 e 
Não decrescente quando:
q = 0 e 
Consequências da Definição
· Em toda P.G, sendo q e , o quociente entre qualquer termo e seu antecedente é igual a razão:
q = 
· Toda a P.G, qualquer termo é média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente:
Fórmula do Termo Geral de uma P.G.
.
Fórmula da soma dos termos de uma P.G limitada
 = , q 0
Limite da Soma dos termos de um P.G Convergente 
 = , < 1
Exercícios Resolvidos 
Questão 1
A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18, 54...). Determine o 8º termo dessa progressão.   
Solução:
A Razão da Progressão Geométrica (P.G) é q = = 3:
A fórmula do termo geral é:
 = . 
 = 2 x 
 = 2 x 2187
 = 4374
Questão 2
(Vunesp – SP – Adaptado)
Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas deverão ser empilhadas respeitando a seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Por exemplo:
Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª pilha.
Solução:
A Razão da Progressão Geométrica (P.G) é q = = 2:
A fórmula do termo geral é:
 = . 
 = 1 x 
 = 
 = 2048
Portanto, na 12ª pilha teremos 2048 tábuas.
Questão 3
Sabendo que uma PG tem  = 4 e razão q = 2, determine a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão. 
Solução:
 = = = = 4092
 = 4092
Questão 4
Qual é o décimo quinto termo da PG (1, 2, 4, 8, …)?
a) 10000
b) 12584
c) 16384
d) 20384
e) 22004
Solução:
Alternativa C
A Razão da Progressão Geométrica (P.G) é q = = 2:
A fórmula do termo geral é:
 = . 
 = 1 x 
 = 1 x 
 = 16384
Questão 5
Se x – 1, x + 1 e 3x – 1 são, nesta ordem, os três primeiros termos de uma PG crescente, calcular a expressão do termo geral dessa progressão.
Solução:
Aplicando a média geométrica de uma P.G, temos que:
(x+1)² = (x - 1)(3x – 1)
x² + 2x +1 = 3x² -3x – x +1
-2x² = -6x dividindo por (-2)
x² - 3x = 0
x= 0 ou x = 3
Substituindo x = 0, temos que:
PG (x - 1, x + 1, 3x - 1)
(0 -1, 0 + 1, 3 x 0 - 1)
(-1, 1, -1) q = -1 não é uma P.G crescente. 
Substituindo x = 3, temos que:
PG (x - 1, x + 1, 3x - 1)
(3 - 1, 3 + 1, 3 x 3 - 1)
(2, 4, 8), q = 2
Portanto, termo geral é  = .
Questão 6
Determine a soma dos termos da PG infinita na qual o primeiro termo é 10 e a razão é .
A PG em questão é: 
(10, 5, , ...)
Na fórmula da soma dos termos da PG infinita, teremos:
	 = 
 = = = = = 10 x = = 
Exercícios Propostos
Questão 1
Determine o décimo termo de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 2 e a razão é 3.
a) 10
b) 29
c) 30
d) 39366	
e) 130000
Questão 2
O oitavo termo de uma PG é 256 e o quarto termo dessa mesma PG é 16. Calcule seu primeiro termo.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Questão 3
Considerando a PA de razão 2 e primeiro termo igual a 2, e a PG que possui mesma razão e mesmo primeiro termo, qual a diferença entre o décimo termo da PG e o décimo termo da PA?
a) 20
b) 1028
c) 1208
d) 1228
e) 1004
Questão 4
(PUC/RJ – 2017)
Os termos da soma S = 4 + 8 + 16 + ... + 2048 estão em progressão geométrica.
Assinale o valor de S.
a) 4092
b) 4100
c) 8192
d) 65536
e) 196883
Questão 5
Calcule o valor de x, tal que (x-3; x+1; 2.x+3) formam uma PG.
Questão 6
Encontre a soma dos termos da PG (1; 0,5; 0,25; 0,125; …).
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