Variáveis Aleatórias Multidimensionais

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AULA 9: Variáveis Aleatórias Multidimensonais
Cap. 5 do livro-texto do curso
Prof. Thiago Rezende 
Depto. Estatística - UFMG
Estatística e Probabilidade
http://www.est.ufmg.br/lst/
http://www.est.ufmg.br/lst/
Roteiro:
1. Vetores aleatórios;
2. Modelo probabilístico para um vetor aleatório;
3. Distribuições de probabilidade conjunta.
Termos e conceitos importantes:
 Distribuição bivariada
 Distribuição normal bivariada
 Média condicional
 Função de densidade de 
probabilidade condicional
 Função de densidade de 
probabilidade condicional
 Variância condicional
 Gráficos de contorno
 Correlação
 Covariância
 Funções gerais de variáveis 
aleatórias
 Independência
 Função densidade de 
probabilidade conjunta
 Função de densidade de 
probabilidade conjunta
 Funções lineares de variáveis 
aleatórias
 Distribuição de probabilidade 
marginal
 Distribuição multinomial
 Distribuição normal
 Distribuição de uma amo0stra 
aleatória simples com/sem 
reposição
Objetivos:
Após um estudo cuidadoso deste aula, você poderá fazer o seguinte:
Use funções de densidade de probabilidade conjunta e funções de densidade de 
probabilidade conjunta para calcular probabilidades.
Calcular distribuições de probabilidade marginal e condicional a partir de distribuições de 
probabilidade conjunta.
Interpretar e calcular covariâncias e correlações entre variáveis aleatórias.
Usar a distribuição multinomial para determinar probabilidades.
Entenda as propriedades de uma distribuição normal bivariada e seja capaz de desenhar
gráficos de contorno para a função de densidade de probabilidade.
Calcular médias e variância para combinações lineares de variáveis aleatórias e calcular 
probabilidades para combinações lineares de variáveis aleatórias distribuídas 
normalmente.
4
Introdução:
Introdução:
Introdução:
Introdução:
Introdução:
Introdução:
Introdução:
Conceito de Probabilidade Conjunta
 Algumas variáveis aleatórias não são independentes uma da outra, ou 
seja, elas tendem a estar relacionadas.
 O ozônio atmosférico urbano e o material particulado no ar tendem a 
variar juntos.
As velocidades dos veículos urbanos e as taxas de consumo de combustível 
tendem a variar inversamente.
O comprimento (𝑋) de uma peça moldada por injeção pode não ser 
independente da largura (𝑌). As peças individuais variarão devido à 
variação aleatória nos materiais e na pressão.
Uma distribuição de probabilidade conjunta descreverá o comportamento 
de várias variáveis aleatórias, digamos, 𝑋 𝑒 𝑌. O gráfico da distribuição é 
tridimensional: 𝑥, 𝑦 e 𝑓 (𝑥, 𝑦).
12
Eventos Probabilidade
MMM 1/8
FMM 1/8
MFM 1/8
MMF 1/8
MFF 1/8
FMF 1/8
FFM 1/8
FFF 1/8
x P(X = x)
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8
Total 1
Considere as seguinte variáveis aleatórias:
X = número de meninos
Y = 1, se primeiro filho é homem, Y = 0 se o primeiro filho é mulher
Z = número de vezes em que houve variação do sexo entre dois nascimentos 
consecutivos Qual a distribuição de probabilidade de X? e de 
Y? E de Z?
y P(y = y) z P(Z = z)
0 1/2 0 1/4
1 1/2 1 1/2
Total 1 2 1/4
Total 1
Distribuição Conjunta de 2 ou mais variáveis
Eventos Probabilidade x y z
MMM 1/8 3 1 0
FMM 1/8 2 0 1
MFM 1/8 2 1 2
MMF 1/8 2 1 1
MFF 1/8 1 1 1
FMF 1/8 1 0 2
FFM 1/8 1 0 1
FFF 1/8 0 0 0
(x,y) P(x,y) = P(X = x ∩ Y = y)
(0,0) 1/8
(1,0) 2/8
(1,1) 1/8
(2,0) 1/8
(2,1) 2/8
(3,1) 1/8
Total 1
Distribuição Conjunta de X e Y
Eventos Probabilidade x y z
MMM 1/8 3 1 0
FMM 1/8 2 0 1
MFM 1/8 2 1 2
MMF 1/8 2 1 1
MFF 1/8 1 1 1
FMF 1/8 1 0 2
FFM 1/8 1 0 1
FFF 1/8 0 0 0
(x,y,z) P(x,y,z) = P(X = x ∩ Y = y ∩ Z = z)
(0,0,0) 1/8
(1,0,1) 1/8
(1,0,2) 1/8
(1,1,1) 1/8
(2,0,1) 1/8
(2,1,1) 1/8
(2,1,2) 1/8
(3,1,0) 1/8
Total 1
Distribuição Conjunta de X,Y e Z
Uma maneira mais simples de representar as distribuições bivariadas (distribuições 
conjuntas de 2 variáveis) é através de tabelas de dupla entrada.
X
Y
0 1 2 3 Total
0 1/8 2/8 1/8 0 1/2
1 0 1/8 2/8 1/8 1/2
Total 1/8 3/8 3/8 1/8 1
Distribuição Conjunta de X e Y
Observe que na última coluna da tabela temos a distribuição de X e na última 
linha a distribuição de 𝑌.
x 0 1/8 2/8 1/8 Total
P(X = x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1
y 0 1 Total
P(Y = y) 1/2 1/2 1
Distribuições Marginais
Distribuição Conjunta de X e Y
X
Y
0 1 2 3 Total
0 1/8 2/8 1/8 0 1/2
1 0 1/8 2/8 1/8 1/2
Total 1/8 3/8 3/8 1/8 1
As distribuições de 𝑋 𝑒 𝑌 (margens da tabela) são chamadas distribuições marginais.
P(X = 0) = P(X = 0,Y = 0) + P(X = 0, Y = 1) = 1/8 + 0 = 1/8
P(X = 1) = P(X = 1,Y = 0) + P(X = 1, Y = 1) = 2/8 + 1/8 = 3/8
P(X = 2) = P(X = 2,Y = 0) + P(X = 2, Y = 1) = 1/8 + 2/8 = 3/8
P(X = 3) = P(X = 3,Y = 0) + P(X = 3, Y = 1) = 0 + 1/8 = 1/8
P( Y = 0) = P(Y = 0, X = 0) + P(Y = 0, X = 1) + P(Y = 0, X = 2) + P(Y = 0, X = 3) =1/2
P( Y = 1) = P(Y = 1, X = 0) + P(Y = 1, X = 1) + P(Y = 1, X = 2) + P(Y = 1, X = 3) =1/2
Sejam 𝑋 e 𝑌 duas variáveis aleatórias discretas assumindo os valores
𝑥1, 𝑥2, … e 𝑦1, 𝑦2, …. A função de probabilidade conjunta de 𝑋 e 𝑌 é definida,
para todos os possíveis pares de valores de 𝑋 e 𝑌 como:
𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑃({𝑋 = 𝑥} ∩ {𝑌 = 𝑦}) = 𝑃(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦)
Distribuições de Probabilidade marginais:




x
y
)yY,xX(P)yY(P)y(p
)yY,xX(P)xX(P)x(p
Função Distribuição Acumulada de 𝑿 𝑒 𝒀

 

xa yb
XY bYaXPyYxXPyxF ),(),(),(
X
Y
0 1 2 3 Total
0 1/8 2/8 1/8 0 1/2
1 0 1/8 2/8 1/8 1/2
Total 1/8 3/8 3/8 1/8 1
Sejam 𝑋 𝑒 𝑌 duas variáveis aleatórias discretas assumindo os
valores 𝑥1, 𝑥2, … 𝑒 𝑦1, 𝑦2, … A função de distribuição conjunta de 𝑋 e 𝑌 é
dada por
Distribuição Conjunta de 𝑿 e 𝒀
2
1
)1,1()0,1()1,0()0,0(
),()1,1()1,1(
1 1

 
 
YXPYXPYXPYXP
bYaXPYXPF
a b
XY
Definição da função de probabilidade: Caso discreto 
A função de densidade de probabilidade conjunta de 2 variáveis
aleatórias discretas 𝑋 e 𝑌, denotada por 𝑓(𝑋, 𝑌) , satisfaz:
Barras:
Você usa seu telefone celular para verificar sua reserva de companhia aérea. O 
sistema da companhia aérea exige que você fale o nome da sua cidade de 
partida com o sistema de reconhecimento de voz.
Deixe 𝑌 indicar o número de vezes que você precisa indicar sua cidade de 
partida.
Deixe 𝑋 denotar o número de barras de intensidade do sinal no seu telefone 
celular.
Distribuição de probabilidade 
conjunta de X e Y. As células da tabela 
são as probabilidades. Observe que 
mais barras estão relacionadas a 
menos repetições.
Once
Twice
3 Times
4 Times
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
1
2
3
P
ro
b
ab
ili
ty
Cell Phone Bars
Gráfico de barras de
Número de repetições x 
barras de telefone celular1 2 3
1 0.01 0.02 0.25
2 0.02 0.03 0.20
3 0.02 0.10 0.05
4 0.15 0.10 0.05
x = number of bars 
of signal strength
y = number of 
times city 
name is stated
Média e variância do exemplo 
1 2 3 f (y ) = y *f (y ) = y 2*f (y ) =
1 0.01 0.02 0.25 0.28 0.28 0.28
2 0.02 0.03 0.20 0.25 0.50 1.00
3 0.02 0.10 0.05 0.17 0.51 1.53
4 0.15 0.10 0.05 0.30 1.20 4.80
f (x ) = 0.20 0.25 0.55 1.00 2.49 7.61
x *f (x ) = 0.20 0.50 1.65 2.35
x 2*f (x ) = 0.20 1.00 4.95 6.15
x = number of bars 
of signal strength
y = number of 
times city 
name is stated
𝐸 𝑋 = 2.35
𝑉(𝑋) = 6.15 – 2.352 = 6.15 – 5.52 = 0.63
𝐸 𝑌 = 2.49
𝑉(𝑌) = 7.61 – 2.492 = 7.61 – 6.20 = 1.41
Definida a função densidade de probabilidade conjunta 
(fdp): Caso contínuo
Função densidade de 
probabilidade conjunta para as 
variáveis aleatórias 𝑋 e 𝑌. A 
probabilidade de que (X, Y) esteja 
na região R é determinada pelo 
volume de 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) sobre a 
região R.
A função densidade de probabilidade conjunta para as variáveis 
aleatórias contínuas 𝑋 e 𝑌, denotada como 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦), satisfaz as 
seguintes propriedades:
Gráfico da Função densidade:
Função densidade de probabilidade conjunta para as 
variáveis aleatórias contínuas 𝑋 𝑒 𝑌 de diferentes 
dimensões de uma peça moldada por injeção.Observe a forma de cume estreita e assimétrica da fdp 
- indicando que valores pequenos na dimensão 𝑋 são 
mais prováveis de ocorrer quando pequenos valores 
na dimensão 𝑌 ocorrem.
Exemplo: Tempo de Acesso ao Servidor-1
Deixe a variável aleatória 𝑋 indicar o tempo (ms) para que um 
servidor de computador se conecte à sua máquina. Deixe 𝑌
indicar o tempo até que o servidor o autorize como um usuário 
válido. 𝑋 𝑒 𝑌medem a espera a partir de um ponto inicial 
comum (𝑥 < 𝑦). O intervalo de 𝑥 𝑒 𝑦 é mostrado aqui.
A função densidade de probabilidade 
conjunta de 𝑋 𝑒 𝑌 é diferente de zero 
na região sombreada onde 𝑥 < 𝑦.
Exemplo: Tempo de Acesso ao Servidor-2
• A função densidade de probabilidade conjunta é:
• Verificamos que ele se integra a 1 da seguinte 
maneira:
  0.001 0.002 0.002 0.001
0 0
0.002
0.001 0.003
0 0
,
0.003
0.002
1
0.003 1
0.003
x y y x
XY
x x
x
x x
f x y dxdy ke dy dx k e dy e dx
e
k e dx e dx
     
   
 
 
 
   
    
   
 
  
 
 
  
 
     
 
  0.001 0.002 6, for 0 and 6 10x y
XYf x y ke x y k       
Exemplo: Tempo de Acesso ao Servidor-2
Agora calcule uma probabilidade:
Região de integração para a 
probabilidade de 𝑋 <
1000 𝑒 𝑌 < 2000 estar 
sombreado.
   
1000 2000
1000 2000
0.002 0.001
0
1000 0.002 4
0.001
0
1000
0.003 4 0.001
0
3 1
4
1000, 2000 ,
0.002
0.003
1 1
0.003
0.003 0.001
XY
x
y x
x
x
x
x x
P X Y f x y dxdy
k e dy e dx
e e
k e dx
e e e dx
e e
e

 
 

  
 

  
 
  
 
 
  
 
 
     
    
    
 
 


 0.003 316.738 11.578 0.915

  
Distribuições de probabilidade marginal (discreta)
Para uma fdp conjunta discreta, existem distribuições 
marginais para cada variável aleatória, formadas pela 
soma da fdc conjunta sobre a outra variável.
28
   
   
X
y
Y
x
f x f xy
f y f xy




1 2 3 f (y ) =
1 0.01 0.02 0.25 0.28
2 0.02 0.03 0.20 0.25
3 0.02 0.10 0.05 0.17
4 0.15 0.10 0.05 0.30
f (x ) = 0.20 0.25 0.55 1.00
x = number of bars 
of signal strength
y = number of 
times city 
name is stated
A partir do exemplo anterior, a fdp 
conjunta é mostrada em verde 
enquanto as duas fdps marginais são 
mostradas em azul.
Distribuições de probabilidade marginal (contínua)
• Em vez de somar uma fdp conjunta discreta, integramos 
uma fdp conjunta contínua.
• As fdp’s marginais são usados para fazer declarações de 
probabilidade sobre uma variável.
• Se a função densidade de probabilidade conjunta de 
variáveis aleatórias 𝑋 𝑒 𝑌 é 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦), as funções de 
densidade de probabilidade marginal de 𝑋 𝑒 𝑌 são:
Exemplo: Tempo de Acesso ao Servidor-1
Para as variáveis aleatórias 
vezes nos exemplos 
anteriores, encontre a 
probabilidade de que 𝑌
exceda 2000.
Integre a fdp conjunta 
diretamente usando a figura 
para determinar os limites.
     
2000
0 2000 2000
2000 , ,
Dark region left dark region right dark region
XY XY
x
P Y f x y dy dx f x y dy dx
     
     
   
 
   
Exemplo: Tempo de Acesso ao Servidor-1
Como alternativa, encontre a fdp marginal e integre-a 
para encontrar a probabilidade desejada.
 
 
0.001 0.002
0
0.002 0.001
0
0.001
0.002
0
0.001
0.002
3 0.002 0.001
0.001
1
0.001
6 10 1 for 0
y
x y
Y
y
y x
y
x
y
y
y
y y
f y ke
ke e dx
e
ke
e
ke
e e y
 
 




  


 
 
 
 
 
  
 
   


   
 
2000
3 0.002 0.001
2000
0.002 0.003
3
2000 2000
4 6
3
2000
6 10 1
6 10
0.002 0.003
6 10 0.05
0.002 0.003
Y
y y
y y
P Y f y dy
e e dy
e e
e e


  
 
 

 

 
  
    
      
         
 
    
 


Média e variância de uma distribuição marginal
As médias 𝐸 (𝑋) e 𝐸(𝑌) são calculados a partir das 
distribuições marginais discretas e contínuas.
Distribuição Condicional:
Distribuições de Probabilidade Condicional
Do Exemplo anterior
P(Y=1|X=3) = 0.25/0.55 = 0.455
P(Y=2|X=3) = 0.20/0.55 = 0.364
P(Y=3|X=3) = 0.05/0.55 = 0.091
P(Y=4|X=3) = 0.05/0.55 = 0.091
Soma = 1.00
1 2 3 f (y ) =
1 0.01 0.02 0.25 0.28
2 0.02 0.03 0.20 0.25
3 0.02 0.10 0.05 0.17
4 0.15 0.10 0.05 0.30
f (x ) = 0.20 0.25 0.55 1.00
x = number of bars 
of signal strength
y = number of 
times city 
name is stated
Observe que há 12 probabilidades condicionais em 𝑋 e mais 12 
probabilidades condicionais em 𝑌.
Lembre-se que:
Distribuições Condicionais
Qual a probabilidade de 2 filhos serem homens dado que dado que o 
primeiro filho é do homem?
𝑃(𝑋 = 2| 𝑌 = 1) = 𝑃(𝑋 = 2 ∩ 𝑌 = 1) / 𝑃(𝑌 = 1) = (2/8) / (1/2)
= 1/2
Dado 𝑌 = 1, qual a probabilidade de observarmos os outros valores de 𝑋?
𝑃(𝑋 = 0| 𝑌 = 1) = 𝑃(𝑋 = 0 ∩ 𝑌 = 1) / 𝑃(𝑌 = 1) = 0 / (1/2) = 0
𝑃(𝑋 = 1| 𝑌 = 1) = 𝑃(𝑋 = 1 ∩ 𝑌 = 1) / 𝑃(𝑌 = 1) = (1/8) / (1/2) = 1/4
𝑃(𝑋 = 3| 𝑌 = 1) = 𝑃(𝑋 = 3 ∩ 𝑌 = 1) / 𝑃(𝑌 = 1) = (1/8) / (1/2) = 1/4
x 0 1 2 3 Total
P(X = x |Y = 1) 0 1/4 1/2 1/4 1
Distribuição Condicional de 𝑿 dado 𝒀 = 𝟏
x 0 1 2 3 Total
𝑃(𝑋 = 𝑥 |𝑌 = 0) 1/4 1/2 1/4 0 1
Distribuição Condicional de 𝑿 dado 𝒀 = 𝟎
Esperança e variâncias condicionais
Dado que o primeiro filho é mulher, qual o número esperado de filhos 
homens?
𝐸(𝑋 | 𝑌 = 0) = (0 𝑥 ¼) + (1 𝑥 ½) + (2 𝑥 ¼) + ( 3 𝑥 0) = 1
E se o primeiro filho é homem?
𝐸(𝑋 | 𝑌 = 1) = (0 𝑥 0) + (1 𝑥 ¼) + (2 𝑥 ½) + ( 3 𝑥 1/4) = 2
Definição: A esperança condicional de 𝑋 dado 𝑌 = 𝑦 é definida por
  )yY|xX(Px)yY|X(E
x 0 1 2 3 Total
P(X = x |Y = 0) 1/4 1/2 1/4 0 1
P(X = x |Y = 1) 0 1/4 1/2 1/4 1
Distribuições Condicionais de 𝑿 dado 𝒀 = 𝒚
Qual a Variância de 𝑿 dado 𝒀 = 𝟎?
 
 
4/1)X(DP
2
11
2
3)X(VAR
2
3)0x9()
4
1x 4()
2
1x 1()
4
1 x 0()0Y|X(E
0Y|X(E)0Y|X(E
)0Y|xX(P)0Y|X(Ex)0Y|X(VAR
2
22
2




 
Função densidade de probabilidade condicional
Dadas 2 variáveis aleatórias contínuas 𝑋 𝑒 𝑌 com função densidade
de probabilidade conjunta 𝑓𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦) , a função densidade de
probabilidade condicional de 𝑌 dado 𝑋 = 𝑥 é
Que satisfaz as seguintes propriedades:
Exemplo: Probabilidade Condicional
No Exemplo anterior, determine a fdp condicional para 𝑌 dado 𝑋 = 𝑥.
 
 
 
  
0.001 0.002
0.002
0.001
0.002
0.001
0.003
0.001 0.002
0.003
0.002 0.002
0.002
0.002
0.003 for 0
,
0.003
0.002 for 0
x y
X
x
y
x
x
x
x
x y
XY
Y x x
X
x y
f x k e dy
e
ke
e
ke
e x
f x y ke
f y
ef x
e x y

 






 

 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
    

Exemplo: Probabilidade Condicional
Agora encontre a probabilidade de 𝑌 exceder 2000, dado que 𝑋 = 1500:
 
 
 
1500
2000
0.002 1500 0.002
2000
0.002
3
2000
4
3 1
2000 1500
0.002
0.002
0.002
0.002 0.368
0.002
Y
y
y
P Y X
f y dy
e
e
e
e
e e


 




 


 
 
 
 
 
   
 


A fdp condicional não é zero na 
linha sólida na região sombreada.
Exemplo: Fdp discretas condicionais
Fdps discretas condicionais podem ser mostrados como tabelas.
1 2 3 f (y ) = 1 2 3
1 0.01 0.02 0.25 0.28 0.036 0.071 0.893 1.000
2 0.02 0.03 0.20 0.25 0.080 0.120 0.800 1.000
3 0.02 0.10 0.05 0.17 0.118 0.588 0.294 1.000
4 0.15 0.10 0.05 0.30 0.500 0.333 0.167 1.000
f (x ) = 0.20 0.25 0.55
1 0.050 0.080 0.455
2 0.100 0.120 0.364
3 0.100 0.400 0.091
4 0.750 0.400 0.091
Sum of f(y|x) = 1.000 1.000 1.000
f(x|y) for y = Sum of 
f(x|y) =
y = number of 
times city 
name is stated
x = number of bars 
of signal strength
Média e variância de variáveis aleatórias condicionais
• A média condicional de 𝑌 dada 𝑋 = 𝑥, denotada como 𝐸(𝑌|𝑥) ou
𝜇𝑌|𝑥 é:
• A variação condicional de 𝑌 dada 𝑋 = 𝑥, denotada como 𝑉(𝑌|𝑥) ou
𝜎2𝑌|𝑥 é:
       
2
2 2
Y x Y x Y x Y x
y yV Y x y f y dy y f y       
Esperança Condicional:
Exemplo: Média Condicional e Variância
Nos exemplos anteriores, qual é a média condicional para 𝑌, 
dado que 𝑥 = 1500? Integrar por peças.
   
  
0.002 1500 0.002 3 0.002
1500 1500
0.002 0.002
3
15001500
0.002
3 3
1500
3
1500 0.002 0.002
0.002
0.002 0.002
1500
0.002
0.002 0.002 0.002
0.002
y y
y y
y
E Y X y e dy e y e dy
e e
e y dy
e
e e
e
 
 
  



    
  
   
    
  
   
  
  

 

  
 
3
3
3
3
1500
0.002 0.002 0.002
0.002 2000 2000
0.002
e
e
e
e



 
 
 
 
  
 
Se o tempo de conexão for de 1500 ms, o tempo esperado para ser autorizado é de 
2000 ms.
Exemplo:
Para as variáveis aleatórias discretas no Exercício anterior, 
qual é a média condicional de 𝑌 dada 𝑋 = 1?
1 2 3 f (y ) =
1 0.01 0.02 0.25 0.28
2 0.02 0.03 0.20 0.25
3 0.02 0.10 0.05 0.17
4 0.15 0.10 0.05 0.30
f (x ) = 0.20 0.25 0.55 y*f(y|x=1) y2*f(y|x=1)
1 0.050 0.080 0.455 0.05 0.05
2 0.100 0.120 0.364 0.20 0.40
3 0.100 0.400 0.091 0.30 0.90
4 0.750 0.400 0.091 3.00 12.00
Sum of f(y|x) = 1.000 1.000 1.000 3.55 13.35
12.6025
0.7475
y = number of 
times city 
name is stated
x = number of bars 
of signal strength
O número médio de tentativas dadas uma barra é 3,55 com variação de 
0,7475.
Funções de Variáveis Aleatórias:
Funções de Variáveis Aleatórias:
Funções de Variáveis Aleatórias:
Variáveis aleatórias independentes
Lembrando: Dois eventos A e B são Independentes se 𝑃(𝐴 | 𝐵) = 𝑃(𝐴)
ou de forma equivalente 𝑃(𝐵 | 𝐴) = 𝑃(𝐵)
Como consequência: 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵)
Definição: Duas variáveis aleatórias discretas X e Y assumindo os valores x1,x2,... e y1,y2,... 
são independentes se 
𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖| 𝑌 = 𝑦𝑖) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) para todo par de valores (𝑥𝑖, 𝑦𝑖)
ou similarmente se
𝑃(𝑌 = 𝑦𝑖 | 𝑋 = 𝑥𝑖) = 𝑃(𝑌 = 𝑦𝑖) para todo par de valores (𝑥𝑖, 𝑦𝑖)
O condição de independência acima por ser estendida para mais de 2 variáveis.
As variáveis aleatórias discretas 𝑋, 𝑌 e 𝑍 são independentes se, e somente se, 
𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑗, 𝑍 = 𝑧𝑘) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) 𝑃(𝑌 = 𝑦𝑗) 𝑃(𝑍 = 𝑧𝑘)
para todo par de valores (𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 𝑧𝑘)
Condição alternativa de independência: Duas variáveis aleatórias discretas X e Y são 
independentes se e somente se 𝑃(𝑌 = 𝑦𝑖 ∩ 𝑋 = 𝑥𝑖) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) 𝑃(𝑌 = 𝑦𝑖)
para todos pares de valores (𝑥𝑖, 𝑦𝑖)
𝑋 = número de meninos
𝑌 = 1, se primeiro filho é homem, 𝑌 = 0 se o segundo filho é mulher
X
Y
0 1 2 3 Total
0 1/8 2/8 1/8 0 1/2
1 0 1/8 2/8 1/8 1/2
Total 1/8 3/8 3/8 1/8 1
𝑿 e 𝒀 são independentes?
𝑃(𝑋 = 0 , 𝑌 = 0) = 1/8 ≠ 𝑃(𝑋 = 0) 𝑃(𝑌 = 0) = (½ ) 𝑥 (1/8) = 1/16
Portanto 𝑋 e 𝑌 não são independentes.
Exemplo
𝑋 – salário do esposo
𝑌 – salário da esposa
𝑥
𝑦
100 200 300 Total
100 0,30 0,05 0,05 0,40
200 0,05 0,25 0,10 0,40
300 0,00 0,05 0,15 0,20
Total 0,35 0,35 0,30 1
𝑃(𝑋 = 100, 𝑌 = 300) = 0 ≠ 𝑃(𝑋 = 100) 𝑥 𝑃(𝑌 = 300) = 0,35 𝑥 0,2 = 0,07
Portanto, 𝑋 e 𝑌 são dependentes.
𝑋 – salário do esposo
𝑌 – salário da esposa
𝑥
𝑦
100 200 300 Total
100 0,14 0,14 0,12 0,40
200 0,14 0,14 0,12 0,40
300 0,07 0,07 0,06 0,20
Total 0,35 0,35 0,30 1
Observe que 𝑃(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) 𝑃(𝑌 = 𝑦) para todo par (𝑥, 𝑦)
Portanto, 𝑋 𝑒 𝑌 são independentes.
Exemplo
Distribuição de um função de 2 variáveis aleatórias
𝑋 – salário do esposo 𝑌 – salário da esposa
𝑥
𝑦
100 200 300 Total
100 0,30 0,05 0,05 0,40
200 0,05 0,25 0,10 0,40
300 0,00 0,05 0,15 0,20
Total 0,35 0,35 0,30 1
Qual a distribuição do salário do casal 𝑍 = 𝑋 + 𝑌?
Distribuição conjunta de X e Y
𝑧 200 300 400 500 600
P(Z = z)
p(100,100) 
= 0,30
p(100,200) + 
p(200,100) =
0,10
p(300,100) + 
p(100,300) +
P(200,200) = 
0,30
p(200,300) +
p(300,200) =
0,15
p(300,300) =
0,15
Distribuição do produto de 𝑿 e 𝒀
𝑊 = 𝑋𝑌
𝒘 𝑷(𝑾 = 𝒘)
10.000 p(100,100) = 0,30
20.000 p(100,200) + p(200,100) = 0,10
30.000 p(100,300) + p(300,100) = 0,05
40.000 p(200,200) = 0,25
60.000 p(200,300) + p(300,200) = 0,15
90.000 p(300,300) = 0,15 
Qual o valor esperado de 𝒁 = 𝑿 + 𝒀?
𝒛 200 300 400 500 600
𝑷(𝒁 = 𝒛)
p(100,100)= 
0,30
p(100,200) + 
p(200,100) =
0,10
p(300,200)+
p(300,100)+
p(200,200) = 
0,30
p(200,200) +
p(300,200) =
0,15
p(300,300)=
0,15
 
 
 
375)300,300(600
)200,300()300,200(500
)300,100()100,300()200,200(400
)100,200()200,100(300
)100,100(200
)600(600)500(500 
)400(400)300(300)200(200)()(







YXP
YXPYXP
YXPYXPYXP
YXPYXP
YXP
ZPZP
ZPZPZPzZzPZE
z

  






yx
y xx y
x yx y
x y
YEXEyypxxp
yxpyyxpx
yxypyxxp
yxpyxYXE
)()()()(
),(),(
),(),(
),()()(

x y
yxpyxhYXhE ),(),()),((
Seja 𝑋 e 𝑌duas variáveis aleatórias discretas e 
𝐻(𝑋, 𝑌) uma função de 𝑌
Então,
Considere 𝒏 variáveis aleatórias discretas 𝑿𝟏,𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏
𝐸(𝑋1+ 𝑋2, …+ 𝑋𝑛) = 𝐸(𝑋1) + 𝐸(𝑋2)…+ 𝐸(𝑋𝑛)
Exemplo: 𝑋1,𝑋2, … , 𝑋𝑛 variáveis aleatórias independentes bernoulli com parâmetro 𝑝
𝐸 𝑋1 + 𝑋2, …+ 𝑋𝑛 = 𝑝 + 𝑝 + … .+ 𝑝 = 𝑛𝑝,
que é o valor esperado de uma distribuição 𝐵(𝑛, 𝑝).
Qual o valor esperado de W = XY?
w P(W = w)
10.000 p(100,100) = 0,30
20.000 p(100,200) + p(200,100) = 0,10
30.000 p(100,300) + p(300,100) = 0,05
40.000 p(200,200) = 0,25
60.000 p(200,300) + p(300,200) = 0,15
90.000 p(300,300) = 0,15 
E(XY) = 10.000 x 0,30 +
20.000 x 0,10 +
30.000 x 0.05 +
40.000 x 0,25 + 
60.000 x 0,15 +
90.000 x 0,15 = 
39.000
Introdução:
Introdução:
Independência de Variáveis Aleatórias
Independência de variável aleatória significa que o conhecimento dos 
valores de 𝑋 não altera nenhuma das probabilidades associadas aos 
valores de 𝑌.
𝑋 𝑒 𝑌 variam independentemente.
A dependência implica que os valores de 𝑋 são influenciados pelos 
valores de 𝑌.
Se 𝑿 e 𝒀 são variáveis independentes, 𝑬(𝑿𝒀) = 𝑬(𝑿) 𝑬(𝒀)
 





y x
x y
x y
YEXExxpyyp
ypxpxy
yxpxyXYE
)()()()( 
)()( 
),( )(
Entretanto, 𝑬(𝑿𝒀) = 𝑬(𝑿) 𝑬(𝒀) não implica em 
independência de 𝑿 e 𝒀.
Variáveis Aleatórias Independentes
Em uma operação de moldagem 
de plástico, cada peça é 
classificada de acordo com as 
especificações de cor e 
comprimento.


1 if the part conforms to color specs
0 otherwise 
1 if the part conforms to length specs
0 otherwise 
X
Y


A Figura (a) mostra probabilidades 
marginais e conjuntas, 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) =
𝑓𝑋 (𝑥) ∗ 𝑓𝑌 (𝑦)
A Figura (b) mostra as 
probabilidades condicionais, fY | x = 
fY (y)
Propriedades da Independência
Para variáveis aleatórias 𝑋 e 𝑌, se alguma das seguintes 
propriedades for verdadeira, as outras também serão 
verdadeiras. Então, 𝑋 e 𝑌 são independentes.
Faixa retangular para (𝑿, 𝒀)
• Um intervalo retangular para 𝑋 𝑒 𝑌 é uma condição necessária, mas 
não suficiente, para a independência das variáveis.
• Se o intervalo de 𝑋 𝑒 𝑌 não for retangular, o intervalo de uma variável 
será limitado pelo valor da outra variável.
• Se o intervalo de 𝑋 𝑒 𝑌 for retangular, uma das propriedades 
anteriores deve ser demonstrada para provar a independência.
Exemplo: Variáveis Aleatórias Independentes
Suponha que no exemplo anterior seja modificado para 
que o PDF conjunto seja:
• X e Y são independentes? O produto dos fdps 
marginais é igual ao fdp conjunta? Sim por inspeção.
• Encontre esta probabilidade:
  6 0.001 0.002, 2 10 for 0 and 0.x y
XYf x y e x y     
  6 0.001 0.002
0
0.001
2 10
0.001 for 0
x y
X
x
f x e dy
e x

  

 
 
   6 0.001 0.002
0
0.002
2 10
0.002 for y 0
x y
Y
y
f y e dx
e

  

 
 

    
 1 2
1000, 1000 1000 1000
1 0.318
P X Y P X P Y
e e 
     
   
Exemplo: Dimensões usinadas
Deixe as variáveis aleatórias 
𝑋 𝑒 𝑌 denotarem os comprimentos 
de 2 dimensões de uma peça 
usinada. Suponha que 𝑋 𝑒 𝑌 sejam 
independentes e normalmente 
distribuídos. Encontre a 
probabilidade desejada.
     
   
10.4 10.6, 3.15 3.25 10.4 10.6 3.15 3.25
10.4 10.5 10.6 10.5 3.15 3.2 3.25 3.2
0.05 0.05 0.06 0.06
2 2 0.833 0.833 0.568
P X Y P X P Y
P Z P Z
P Z P Z
         
      
        
   
        
X Y
Mean 10.5 3.2
Variance 0.0025 0.0036
Normal
Random Variables
Exemplo: Mais de duas variáveis aleatórias
• Muitas dimensões de uma peça usinada são medidas rotineiramente 
durante a produção. 
• Deixe as variáveis aleatórias 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3𝑒 𝑋4 denotarem os 
comprimentos das quatro dimensões de uma peça.
• O que aprendemos sobre fdps conjuntas, marginais e condicionais em 
duas variáveis se estende a muitas (𝑝) variáveis aleatórias.
Função de densidade de probabilidade conjunta redefinida
A função densidade de probabilidade conjunta para variáveis 
aleatórias contínuas X1, X2, X3, …Xp, denotada como
satisfaz as seguintes propriedades:
 
1 2 3 ... 1 2 3, , ,...,
px x x x pf x x x x
Exemplo: Vida útil do componente
Em uma montagem eletrônica, deixe 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 𝑒 𝑋4
denotar a vida útil de 4 componentes em horas. A fdp 
conjunta é:
Qual é a probabilidade de o dispositivo operar mais de 1000 
horas?
O fdp conjunto é um produto de fdps exponenciais.
𝑃(𝑋1 > 1000, 𝑋2 > 1000, 𝑋3 > 1000, 𝑋4 > 1000)
= e-1-2-1.5-3 = e-7.5 = 0.00055
  1 2 3 4
1 2 3 4
0.001 0.002 0.0015 0.00312
1 2 3 4, , , 9 10 for x 0x x x x
X X X X if x x x x e     
Exemplo: Probabilidade como uma proporção de 
volumes
• Suponha que o fdp conjunto das variáveis aleatórias contínuas 
𝑋 𝑒 𝑌 seja constante na região 𝑥2 + 𝑦2 = 4. O gráfico é um bolo 
redondo com raio de 2 e altura de 1 / 4𝜋.
• Um círculo redondo de raio 1 é cortado do centro do bolo, a região 
𝑥2 +𝑦2 = 1.
• Qual é a probabilidade de que um pedaço de bolo selecionado 
aleatoriamente venha da ronda central?
• O volume do bolo é 1. O volume da rodada é 𝜋 × 1 / 4𝜋 = ¼.
• A probabilidade desejada é ¼.
Média e variância de uma fdp conjunta
A média e a variação do 𝑋𝑖 podem ser determinadas a 
partir do fdp marginal ou da fdp conjunta da seguinte 
maneira:
Exemplo:
• Existem 10 pontos 
nesta fdp discreta 
conjunta.
• Observe que
• 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3 = 3
• Listar a fdp marginal 
de 𝑋2
Distribuições de Probabilidade Condicional
• As distribuições de probabilidade condicional podem 
ser desenvolvidas para várias variáveis aleatórias pela 
extensão das idéias usadas para duas variáveis 
aleatórias.
• Suponha 𝑝 = 5 e desejamos encontrar a distribuição 
condicional em 𝑋4 𝑒 𝑋5.
Independência com múltiplas variáveis
O conceito de independência pode ser estendido a várias 
variáveis.
Se as variáveis aleatórias são independentes se, e somente se, 
Exemplo:
• mostramos que uma variável aleatória binomial negativa com 
parâmetros 𝑝 e 𝑟 pode ser representada como uma soma de 𝑟
variáveis aleatórias geométricas 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑟, cada uma com o 
parâmetro 𝑝.
• Como os testes binomiais são independentes, 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑟 são 
variáveis aleatórias independentes.
Exemplo: Espessura da camada
Suponha que 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 representem a espessura em µ𝑚 de um 
substrato, uma camada ativa e uma camada de revestimento 
de um produto químico. Suponha que essas variáveis sejam 
independentes e normalmente distribuídas com parâmetros e 
limites especificados, conforme apresentado.
X1 X2 X3
Mean (μ) 10,000 1,000 80
Std dev (σ) 250 20 4
Lower limit 9,200 950 75
Upper limit 10,800 1,050 85
P(in limits) 0.99863 0.98758 0.78870
Note the index pattern P(all in limits) = 0.77783
Normal
Random Variables
Que proporção do produto 
atende a todas as especificações?
Resposta: 0.7783, produto de 3 
camadas.
Qual das três espessuras tem a 
menor probabilidade de atender 
às especificações?
Resposta: a camada 3 tem menos 
prob.
Covariância:
Covariância:
Introdução:
Exemplo:
Exemplo:
Variância da soma de v.a.’s:
Coeficiente de correlação:
Coeficiente de correlação:
Exemplo:
Exemplo:
Exemplo:
Introdução:
Exemplo:
Covariância de 2 V.A.’s:
Covariância de 2 V.A.’s: (Exemplo)
Covariância de 2 V.A.’s: (Exemplo)
e
Covariância
• A covariância é uma medida da relação entre duas 
variáveis aleatórias.
Primeiro, precisamos descrever o valor esperado de 
uma função de duas variáveis aleatórias. Seja 
ℎ(𝑋, 𝑌) a função de interesse.
Exemplo: (Função de 2 V.A.’s)
Figura 5-12 Distribuição articular 
discreta de 𝑋 𝑒 𝑌.
Tarefa: Calcule 𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑋)(𝑌 − 𝜇𝑌)] = 
covariância
x y f(x, y) x-μX y-μY Prod
1 1 0.1 -1.4 -1.0 0.14
1 2 0.2 -1.4 0.0 0.00
3 1 0.2 0.6 -1.0 -0.12
3 2 0.2 0.6 0.0 0.00
3 3 0.3 0.6 1.0 0.18
1 0.3 0.20
3 0.7
1 0.3
2 0.4
3 0.3
μX = 2.4
μY = 2.0M
ea
n
covariance =
Jo
in
t
M
ar
gi
n
al
Covariância
Figura 5-13 Distribuições de probabilidade conjunta e o sinal de cov 
(X, Y). Observe que a covariância é uma medida do relacionamento 
linear. Variáveis com covariância diferente de zero são 
correlacionadas.
Exemplo: Covariância intuitiva
A distribuição de probabilidade do Exemplo 5-1 é mostrada.
Por inspeção, observe que as probabilidades maiores 
ocorrem quando 𝑋 𝑒 𝑌 se movem em direções opostas. Isso 
indica uma covariância negativa.
1 2 3
1 0.01 0.02 0.25
2 0.02 0.03 0.20
3 0.02 0.10 0.05
4 0.15 0.10 0.05
x = number of bars 
of signal strength
y = number of 
times city 
name is stated
Exemplo: Covariância e Correlação
Determine a 
covariância e 
correlação.
x y f(x, y) x-μX y-μY Prod
0 0 0.2 -1.8 -1.2 0.42
1 1 0.1 -0.8 -0.2 0.01
1 2 0.1 -0.8 0.8 -0.07
2 1 0.1 0.2 -0.2 0.00
2 2 0.1 0.2 0.8 0.02
3 3 0.4 1.2 1.8 0.88
0 0.2 1.260
1 0.2 0.926
2 0.2
3 0.4
0 0.2
1 0.2
2 0.2
3 0.4
μX = 1.8
μY = 1.8
σX = 1.1662
σY = 1.1662St
D
ev
correlation =
Jo
in
t
M
ar
gi
n
al
covariance =
M
ea
n
Note the strong 
positive correlation.
Figura 5-14 Distribuição 
articular discreta, f (x, y).
Exemplo:
Calcule a correlação.
x y f(x, y) x*y*f
1 7 0.2 1.4
2 9 0.6 10.8
3 11 0.2 6.6
1 0.2 18.8 = E(XY)
2 0.6 0.80 = cov(X ,Y )
3 0.2 1.00 = ρXY
7 0.2
9 0.6
11 0.2
μX = 2
μY = 9.0
σX = 0.6325
σY = 1.2649
Jo
in
t
M
ea
n
St
D
ev
M
ar
gi
n
al
s
Using Equations
 5-14 & 5-15
Figura 5-15 Distribuição articular 
discreta. A inclinação dos pontos 
de conexão da linha é 
irrelevante.
Independência implica ρ = 0
• Se 𝑋 𝑒 𝑌 são variáveis aleatórias independentes,
• 𝜎𝑋𝑌 = 𝜌𝑋𝑌 = 0
• ρXY = 0 é necessário, mas não uma condição suficiente para a 
independência.
A Figura 5-13d (x, y traça como um círculo) fornece um exemplo.
A Figura 5-13b (x, y representa um quadrado) indica independência, 
mas um padrão não retangular indica dependência.
Exemplo: Independência implica covariância zero
Figura. Uma 
distribuição de junta 
planar.
 
     
4 2
2 2
0 0
24 3
2
0 0
4
2
0
4
3
0
1
16
1
16 3
1 8
16 3
1 1 64 32
6 3 6 3 9
32 4 8
0
9 3 3
XY
E XY x y dx dy
x
y dy
y dy
y
E XY E X E Y
 
  
 
 
  
  
 
  
 
 
    
  
  
   
 


 
 
4 2
2
0 0
24 3
0 0
4
2
0
4 2
2
0 0
24 2
2
0 0
4
3
0
1
16
1
16 3
1 8 1 16 4
16 2 3 6 2 3
1
16
1
16 2
2 1 64 8
16 3 8 3 3
E X x ydx dy
x
y dy
y
E Y xy dx dy
x
y dy
y
 
  
 
 
  
  
   
      
   
 
  
 
 
  
  
 
    
  
 

 

Distribuições conjuntas comuns
• Existem duas distribuições conjuntas comuns:
- Distribuição de probabilidade multinomial (discreta), uma extensão 
da distribuição binomial;
- Distribuição de probabilidade normal bivariada (contínua),uma 
extensão de duas variáveis da distribuição normal. Embora existam, 
não lidamos com mais de duas variáveis aleatórias.
• Existem muitas distribuições de probabilidade conjunta menos 
conhecidas e personalizadas, como você já viu.
Distribuição de Probabilidade Multinomial
• Suponha que um experimento aleatório consista em uma série 
de 𝑛 ensaios. Assuma isso:
• O resultado de cada tentativa pode ser classificado em uma 
das 𝑘 classes.
• A probabilidade de um teste resultar em um dos 𝑘 resultados é 
constante, denotada como 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑘.
• Os ensaios são independentes.
• As variáveis aleatórias 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘 denotam o número de 
resultados em cada classe e têm uma função multinomial de 
distribuição e massa de probabilidade:
Exemplo: Canal Digital
Dos 20 bits recebidos em um canal digital, 14 são de 
excelente qualidade, 3 são bons, 2 são justos, 1 é 
ruim. A sequência recebida foi 
EEEEEEEEEEEEEEGGGFFP.
A probabilidade dessa sequência é 
0,6140,330.0820,021 = 2,708 * 10-9
No entanto, o número de maneiras diferentes de 
receber esses bits é muito!
O resultado combinado é uma distribuição multinomial.
x P(x)
E 0.60
G 0.30
F 0.08
P 0.02
20!
2,325,600
14!3!2!1!

  14 3 2 1
1 2 3 4
20!
14, 3, 2, 1 0.6 0.3 0.08 0.02 0.0063
14!3!2!1!
P x x x x     
Exemplo: Canal Digital
Consulte novamente o Exemplo anterior.
Qual é a probabilidade de 12 bits serem E, 6 bits 
serem G, 2 serem F e 0 serem P?
  12 6 2 0
1 2 3 4
20!
12, 6, 2, 0 0.6 0.3 0.08 0.02 0.0358
12!6!2!0!
P x x x x     
Médias e Variâncias Multinomial 
As distribuições marginais do multinomial são binomiais.
Se 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘 têm uma distribuição multinomial, as distribuições de 
probabilidade marginal de 𝑋𝑖 são binomiais com:
𝐸 𝑋𝑖 = 𝑛𝑝𝑖 𝑒 𝑉(𝑋𝑖) = 𝑛𝑝𝑖(1 − 𝑝𝑖)
Exemplo: Distribuições de Probabilidade Marginal
Consulte novamente o Exemplo anterior. As classes agora 
são {G}, {F} e {E, P}. Agora, o multinomial muda para:
Exemplo: Distribuição Normal Bivariada
Anteriormente, discutimos as duas dimensões de uma peça moldada 
por injeção como duas variáveis aleatórias (𝑋 𝑒 𝑌). Que cada 
dimensão seja modelada como uma variável aleatória normal. Como 
as dimensões são da mesma parte, elas normalmente não são 
independentes e, portanto, correlacionadas.
Agora, temos cinco parâmetros para descrever a distribuição normal 
bivariada:
𝜇𝑋, 𝜎𝑋, 𝜇𝑌, 𝜎𝑌, 𝜌𝑋𝑌
Distribuição normal bivariada: (definição)
 
 
      
2
2 2
2 22
1
, ; , , , ,
2 1
21
2 1
for and .
u
XY X X Y Y
X Y
X X Y Y
X X Y Y
f x y e
x x y y
u
x y
    
  
    
   


    
   
   
       
0, ,
Parameter limits: 1 1
0, ,
x x
y y
 

 
    
  
    
Papel da Correlação
Figura 5-17 Estas ilustrações mostram as formas e linhas de contorno de 
duas distribuições normais bivariadas. A distribuição esquerda possui 
variáveis aleatórias X, Y independentes (ρ = 0). A distribuição correta possui 
variáveis aleatórias X, Y dependentes com correlação positiva (ρ> 0, na 
verdade 0,9). O centro das elipses do contorno é o ponto (μX, μY).
Exemplo: Distribuição normal bivariada padrão
Figura 5-18 Este é um normal bivariado padrão porque suas médias 
são zero, seus desvios padrão são um e sua correlação é zero, pois 
X e Y são independentes. A função de densidade de probabilidade 
conjunta é:
Distribuições marginais da normal bivariada
Se 𝑋 𝑒 𝑌 têm uma distribuição normal bivariada com 
função de densidade de probabilidade conjunta 
𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦; 𝜎𝑋, 𝜎𝑌, 𝜇𝑋, 𝜇𝑌, 𝜌), as distribuições de 
probabilidade marginal de 𝑋 𝑒 𝑌 são normais com 
médias 𝜇𝑋 𝑒𝜇𝑌; 𝜎𝑋𝑒𝜎𝑌, respectivamente.
Figura 5-19 As funções de densidade de probabilidade marginal de 
uma distribuição normal bivariada são simplesmente projeções da 
junta em cada um dos planos do eixo. Observe que a correlação (𝜌) 
não tem efeito nas distribuições marginais.
Distribuições Condicionais da Articulação Normal
Se 𝑋 𝑒 𝑌 têm uma distribuição normal bivariada com 
densidade de probabilidade 
conjunta 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦; 𝜎𝑋, 𝜎𝑌, 𝜇𝑋, 𝜇𝑌, 𝜌), a distribuição de 
probabilidade condicional de 𝑌, dada 𝑋 = 𝑥, é 
normal com média e variância da seguinte forma:
 
 2 2 21
Y
Y XY x
X
YY x
x

   

  
  
 
Correlação de variáveis aleatórias normais bivariadas
Se 𝑋 𝑒 𝑌 têm uma distribuição normal bivariada com função de 
densidade de probabilidade conjunta 
𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦; 𝜎𝑋, 𝜎𝑌, 𝜇𝑋, 𝜇𝑌, 𝜌),
a correlação entre 𝑋 e 𝑌 é 𝜌.
Correlação e independência normais bivariadas
• Em geral, a correlação zero não implica independência.
Mas, no caso especial que 𝑋 𝑒 𝑌 têm uma distribuição normal 
bivariada, se 𝜌 = 0, então 𝑋 𝑒 𝑌 são independentes. 
Exemplo: Peça moldada por injeção
 As dimensões das peças moldadas por injeção têm os parâmetros 
apresentados e são representados graficamente como mostrado.
 A probabilidade de 𝑋 𝑒 𝑌 estarem dentro dos limites é o volume no 
PDF entre os valores-limite.
 Este volume é determinado pela integração numérica - além do 
escopo deste texto.
X Y
Mean 3 7.7
Std Dev 0.04 0.08
Correlation
Upper Limit 3.05 7.80
Lower Limit 2.95 7.60
Bivariate 
0.8
Figura 5-3
Amostra Aleatória simples com/sem reposição: 
Se dispomos de uma amostra aleatória simples com/sem reposição de tamanho 𝑛 (𝑋1, … ,
𝑋𝑛), então:
i) 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = 𝑖=1
𝑛 𝑓𝑋𝑖 𝑥𝑖 , (independência, i.)
ii) 𝑓𝑋𝑖 𝑥𝑖 =𝑓𝑋1 𝑥𝑖 ; ∀𝑋𝑖 , (identicamente distribuída, i.d.)
Isto é, uma amostra aleatória é independente e identicamente distribuída (i.i.d). Portanto, 
a distribuição de probabilidade de uma amostra aleatória simples com/sem reposição de 
tamanho 𝑛 (𝑋1, … , 𝑋𝑛) pode ser escrita como
𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = 𝑖=1
𝑛 𝑓𝑋𝑖 𝑥𝑖 = 𝑖=1
𝑛 𝑓𝑋1 𝑥𝑖 .
Distribuição conjunta para variáveis i.i.d contínuas com 
distribuição 𝑵(𝜽, 𝝈𝟐):
i.i.d.
ASSISTA O VÍDEO DE COMO CALCULAR PROBABILIDADES 
COM DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS 
Links: https://youtu.be/upPTaYDEEV8
Distribuições Conjuntas:
Link: https://youtu.be/MB854F7dCAE
Aula até o tópico de Independência.
Exercícios Resolvidos:
https://youtu.be/upPTaYDEEV8
https://youtu.be/47ljNthBSEk
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