Matematicas Simplificadas-286

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CAPÍTULO 14
 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
831
Si se realiza el producto de (2) y (4); (1) y (3) se tiene:
(cos a)(cos b) = OB
OC
?
OC
OD
 = OB
OD
 … (7)
 (sen a)(sen b) = CE
CD
?
CD
OD
 = CE
OD
 = AB
OD
 … (8)
Al restar (8) de (7):
(cos a)(cos b) – (sen a)(sen b) = OB
OD 
– AB
OD
;
Se obtiene cos (a + b)
cos (a + b) = (cos a)(cos b) – (sen a)(sen b)
Para obtener tan (a + b), se emplean identidades básicas: 
tan (a + b) =
sen
cos
 
 
α β
α β
+( )
+( )
; tan (a + b) = 
sen cos sen cos
cos cos sen
α β β α
α β α
( )( )+ ( )( )
( )( ) − ( ))( )sen β
Si se divide entre (cos a)(cos b) ? 0, entonces,
 tan (a + b) = 
sen cos sen cos
cos cos
cos
α β β α
α β
α
( )( )+ ( )( )
( )( )
( ) ccos sen sen
cos cos
β α β
α β
( ) − ( )( )
( )( )
 = 
sen cos
cos cos
sen cos
cos
α β
α β
β α
α
( )( )
( )( )
+ ( )( )
( ) ccos
cos cos
cos cos
sen sen
β
α β
α β
α β
( )
( )( )
( )( )
− ( )( ))
( )( )cos cosα β
;
 tan (a + b) = 
sen
cos
sen
cos
sen
cos
sen
α
α
β
β
α
α
( )
( ) +
( )
( )
−
( )
( ) ⋅1
ββ
β
( )
( )cos
 = 
tan tan
tan tan
α β
α β
+
− ⋅1
Finalmente se deduce que: 
tan ( + ) =
tan + tan
1 − tan tan
Para obtener las identidades trigonométricas de la diferencia se emplean las identidades de los ángulos negativos en 
función de ángulos positivos, es decir:
sen (– x) = – sen (x) cos (– x) = cos (x) tan (– x) = – tan (x)
Por tanto: 
 sen (a + b) = (sen a)(cos b) + (sen b)(cos a)
Se cambia b por – b y se obtiene:
 sen (a – b) = (sen a)(cos(–b)) + (sen (–b))(cos a)
 sen (a – b) = (sen a)(cos b) – (sen b)(cos a)
De una manera semejante se realiza la diferencia para las demás funciones trigonométricas y se obtiene:
 cos (a – b) = (cos a)(cos b) + (sen a)(sen b)
 
tan ( – ) =
tan – tan
1 + tan tan
 14 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
832
Resumen de fórmulas
Identidades trigonométricas de la suma de ángulos:
 sen (a + b) = (sen a)(cos b) + (sen b)(cos a)
 cos (a + b) = (cos a)(cos b) – (sen a)(sen b)
 
tan ( + ) =
tan + tan
1 − tan tan
Identidades trigonométricas de la diferencia de ángulos:
 sen (a – b) = (sen a)(cos b) – (sen b)(cos a)
 cos (a – b) = (cos a)(cos b) + (sen a)(sen b)
 
tan ( – ) =
tan – tan
1 + tan tan
Valor de una función trigonométrica para la suma y la diferencia de ángulos 
Los valores de las funciones trigonométricas de ángulos notables se emplean para obtener el valor de una función 
cuyo ángulo se pueda descomponer en una suma o diferencia.
Obtén el valor de sen 
π π
4 6
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ .
Solución
Al aplicar la identidad para el seno de la suma de ángulos, se determina que:
sen π π
4 6
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 = sen 
π
4
 cos 
π
6
 + cos 
π
4
 sen 
π
6
 = 2
2
3
2
2
2
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 =
6
4
2
4
+ 
 =
6 2
4
+
Calcula el valor exacto de tan (90°– 60°).
Solución
Se aplica la identidad de la tangente de la diferencia de ángulos y se obtiene:
tan (90°– 60°) = tan tan
tan tan
90 60
1 90 60
° − °
+ ° °
 
La tan 90° no está defi nida, por consiguiente, se multiplica la identidad tan
tan tan
tan tan
( )a b a b
a b
− = −
+1
 por la unidad 
expresada como 1 =
ctg
ctg
a
a
tan
tan tan
tan tan
ctg
ctg
( )a b
a b
a b
a
− =
−
+
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟1 aa
a a b a
a a b
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
−
+
tan ctg tan ctg
ctg tan tan ctgga
Por identidades tan a ctg a = 1, entonces:
tan
tan ctg
ctg tan
tan ctg
c
( )
(
a b
b a
a b)
b a
− =
−
+
=
−1
1
1
ttg tana b+
Sustituyendo a = 90°, b = 60° y posteriormente los valores de ctg 90° = 0 y tan60 3° = , se obtiene como resultado:
tan
tan ctg
ctg tan
( )90 60
1 60 90
90 60
1° − ° =
− ° °
°+ °
= − (( )( )3 0
0 3
1 0
3
1
3
1
3
3
3+
= − = = =. 3
3
22
1
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
 CAPÍTULO 14
 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
833
Expresa en función de x la identidad cos x
3
2
π −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Solución
Se aplica la identidad del coseno de la diferencia de ángulos: 
cos(a – b) = cos a cos b + sen a sen b
Se obtiene:
cos x
3
2
π −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = cos cos x sen sen x
3
2
3
2
π π+ = (0) cos x + (– 1)sen x
 = 0 – sen x
 = – sen x
Resulta que, cos x
3
2
π −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = – sen x
3
Aplica las identidades de suma o diferencias de ángulos y determina el valor de las siguientes funciones trigonométricas:
 1. sen
π π
2 6
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 
5. sec π π−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
4 
9. tan
π π
4
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 2. cos
3
4 3
π π−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 
6. cos(270° – 45°) 10. ctg 2
7
4
p p−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 3. sen(45° + 60°) 7. ctg
π π
2 3
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 4. tan(45° + 90°) 8. csc
π π
4
3
2
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Expresa en función del ángulo indicado las siguientes expresiones:
11. sen θ π+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
6 
15. csc
π α
3
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 
19. tan(3p – a)
12. cos x
3
4
π −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 
16. ctg
π β
4
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 
20. sen
3
4
π θ−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
13. sen(2p + b)
 
17. cos x −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
8
3
π
14. tan x
π
2
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 
18. sec(p + 2v)
 EJERCICIO 43
 Ú Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
Aplicación de las funciones trigonométricas 
de la suma y la diferencia de ángulos
Para determinar el valor de una función trigonométrica de determinados ángulos, éstos se descomponen como la suma 
o la diferencia de dos ángulos notables.