Equações e Funções Quadráticas

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Substituindo (III) em (I), vem:
De (II), vem:
4x, + x, = 5 =>• x, = 1 => x. = 4 
1 . 4 = k + 3 => k = 1
As raízes de uma função quadrática são os valores de x (abscissa) para os quais 
y = ax- + bx + c = 0, ou seja, são as abscissas dos pontos em que a parábola intercepta 
o eixo dos x.
Voltando aos exemplos 1,2 e 3, temos:
1 O gráfico de f(x) = xz - 5x + ó corta o eixo dos x nos pontos (3, 0) e (2, 0).
2 O gráfico de f(x) = 4x2 - 4x + 1 toca o eixo dos x no ponto ̂ ' , o j.
3 O gráfico de f(x) = 2x: + 3x + 4 não intercepta o eixo dos x.
Vejamos, por curiosidade, como são os três respectivos gráficos:
B Q B O G O G O O B
17 Determine m para que a função dada por f(x) = x2 - 3x + m tenha duas raízes reais e distintas.
18 Determine p a fim de que o gráfico de f(x) = 2x‘ + x + (p - 1) não intercepte o eixo das abscissas.
19 Determine os valores de m para que a função quadrática definida por f(x) = x 2 + (3m + 2)x + (n r + m + 2 ) tenha um zero real duplo.
20 Determine os valores de m para que a equação mx2 + (2m - l)x + (m - 2) = 0 não tenha raízes reais.
fUNÇAO OUADRATlCA
21 Mostre que para qualquer valor real n ã o n u lo de m a equaçãomx2 + 2x + —-— = 0 lem uma raiz real dupla, m
22 Mostre que para qualquer valor real não n u lo de m a função quadráiica f(x) = mx’ - 2mx + 3m não apresenta raízes reais.
23 Para que valores d e p a equação px2 + (p + 1 )x + (p + 1) = 0 tem um zero real duplo? Determine, em cada caso, tal raiz.
24 Na equação do 2° grau 2x2 - 5x - 1 = 0. de raízes .v, e .v,, calcule:a) x, + x , b) x, • x , c) —— + —x, x2
25 Em relação à questão anterior, calcule:a.) x f + x-7 b) --------1------- c) x? + x?
* X 2 X !Sugestão: a' + b* = (a + b) • (a2 - ab + lr)
26 As raízes da equação 2x2 - 2mx + 3 = 0 são positivas e uma é o triplo da outra. Calcule o valor de ni.
27 A diferença entre raízes da equação 2x*’ + 3x — m = 0 é igual a —L . Calcule o valor de m.
28 (Punec-MG) Qual é o valor de m na equação x 2 - Cm + 5)x + m + 1 = 0 , para que as raízes sejam simétricas?
29 Determine o parâmetro rn na equação x2 + mx + (nr — m — 12) = 0, de modo que ela lenha uma raiz nula e a outra positiva.
30 As raízes da equação x2 - 2px + 8 = 0 são positivas e uma é o dobro da outra. Qual é o valor de p '
31 Mostre que uma equação do 2" grau de raízes .v, e .v2 é a equação x 2 - Sx + P = 0. em que S = x, + x2 e P = x, • x 2.
32 Obtenha uma equação do 2” grau de raízes:a) 2 e -3 b) * e — j - c) 0,4 e 5
33 Obtenha uma equação do 2" grau de raízes:a) 1 + yJ5 e 1 - y!ò b) ^5 e 2q5
m a t c m At ic a - ç iCnC ia l a p l iç a ç iH s
O Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de 
mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto 
de máximo V.
Nosso objetivo é obter as coordenadas do ponto V, chamado vértice da parábola. 
Vamos retomar a fórmula da função quadrática e escrevê-la de outra forma:
y = ax2 + bx + c = a [x 2 + — x + — I = 
v a a j
= a
= a
x i b x + J 2 Va 4a" ) 4a
( - T X +
= a
KJ - (»±J-
bJ 
4a2
b2 - 4ac
b2
4a- t )
4a-
Observando esta última forma, podemos notar que a, b - e — — são constantes.
2a 43
Apenas x è variável. Dai:
* se a > 0, então o valor minimo de y ocorre quando ocorrer o valor mínimo para 
AH i r ) ^ :como(x ' 2a ) ésempre
1 maior ou igual a zero, seu valor mínimo
ocorre quando x -t- = C, ou seja, quando x = - - 2 - ; nesta situação, o valor mínimo
2a 2a
de y é y = a 0 - 4a‘
A
4a
h in ç Aü q u a o r At ic a