Prévia do material em texto

<p>CAPÍTULO VII Funções quadráticas I. Definição 107. Uma aplicação f de R em R recebe o nome de função quadrática ou do 2. grau quando associa a cada X E R o elemento (ax2 + bx + c) e R, em que a, b e C são números reais dados e a # Exemplos de funções quadráticas: - + 2 em que a = 1, b = -3, C = 2 2:) f(x) = 2x2 + 4x - 3 em que a = 2, b=4, C = -3 3:) - 1 em que a = -3, b=5, C = - 1 f(x) em que a = 1, b = C = -4 5:) = em que a = 2, b = 5, 6:) f(x) = -3x2 em que a = -3, b = 108. gráfico da função quadrática é uma parábola.( (*) (*) Isso é provado no volume de Geometria Analítica desta coleção. 1 Fundamentos de Matemática 137</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS Exemplos: Construir o gráfico de = y (-3, 8) (3,8) X = -3 8 -2 3 -1 (-2, 3) (2,3) -1 1 2 3 (-1, 0) (1, 0) X 3 8 (0, -1) 2:) Construir o gráfico de y = y (0, 1) X y = (-1,0) (1,0) X -3 -8 -2 -3 -1 (- 2, -3) (2,-3) 1 1 2 -3 3 -8 (-3, -8) (3,-8) EXERCÍCIOS 225. Construa os gráficos das funções definidas em R: a) d) y = - g) y = -3x2 - 3 b) e) y = x2 - 2x h) y = x2 - c) = f) y = - 2x2 - 4x 1 38 Fundamentos de Matemática Elementar 1</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS 226. Em que condições a função quadrática y + 2)x 1 está definida? 227. Determine uma função quadrática tal que f(-1) = -4, f(1) = 2 e f(2) 228. Seja f(x) = ax2 + bx + C. Sabendo que f(1) = 4, f(2) = e f(3) = -2, deter- mine o produto abc. III. Concavidade 109. A parábola representativa da função y quadrática y = ax2 + bx + C pode ter a con- cavidade voltada para "cima" ou voltada para "baixo". X Se a > a concavidade da parábola y está voltada para cima. Se a < a concavidade da parábola está voltada para baixo. X IV. Forma canônica 110. A construção do gráfico da função quadrática y = ax2 + bx + C com o auxílio de uma tabela de valores como foi feito no item anterior, torna-se às vezes um trabalho impreciso, pois na tabela atribuímos a X alguns valores inteiros e pode acon- tecer que em determinada função quadrática os valores de abscissa (valores de em que a parábola intercepta o eixo dos X ou a abscissa do ponto da parábola de maior ou menor ordenada, não são inteiros. Para iniciarmos um estudo analítico mais detalhado da função quadrática, va- mos primeiramente transformá-la em outra forma mais conveniente, chamada forma canônica. 1 Fundamentos de Matemática Elementar 1 39</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS = = b a b C = X ) Representando - 4ad por também chamado discriminante do trinômio do segundo grau, temos a forma canônica. 2a b - A V. Zeros 111. Os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax2 + bx + C são os valores de X reais tais que f(x) = e, portanto, as soluções da equação do segundo grau Utilizando a forma canônica, temos: + bx + C = A =0 = 2a b + VA 2a 2a 112. Número de raízes Observe que a existência de raízes reais para a equação do segundo grau ax2 + bx + C fica condicionada ao fato de VA ser real. Assim, temos três casos a considerar: 140 Fundamentos de Matemática Elementar I 1</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS A> a equação apresentará duas raízes distintas, que são: 2a 2a 2:) A = a equação apresentará duas raízes iguais, que são: -b 3:) A < sabendo que nesse caso VA R, diremos que a equação não apresenta raízes reais. Resumo - 2a 2a b ax2 + 2a não existem raízes reais. 113. Significado geométrico das raízes Interpretando geometricamente, di- y zemos que os zeros da função quadrática (-1,8) (5,8) são as abscissas dos pontos onde a pará- bola corta o eixo dos X. Exemplo: Construindo o gráfico da função - 4x + 3 podemos notar que a pa- (0,3) (4,3) rábola corta o eixo dos X nos pontos de abscissas 1 e 3, que são as raízes da (1, 0) (3, 0) equação x2 - X 1 Fundamentos de Matemática 141</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS EXERCÍCIOS 229. Determine os zeros reais das funções: a) = = b) f(x) = -x2 + 7x - 12 c) f(x) = 3x2 - 7x + 2 = d) = 2 j) = - e) = 4 k) f(x) = 2x2 - 4x = f) = I) = + 6 m) = g) = - n) f(x) -5x2 230. Uma empresa produz e vende determinado tipo de produto. A quantidade que ela consegue vender varia conforme o preço, da seguinte forma: a um preço y ela consegue vender X unidades do produto, de acordo com a equação y = que receita (quantidade vendida preço a vezes o de venda) obtida foi de R$ 1250,00, qual foi a quantidade vendida? 231. Resolva o sistema 117 232.a) Resolva a equação x2 - 3x - 4=0. b) Resolva o sistema 2x + xy = -8 = 233. Determine os zeros reais da função f(x) = 4. Solução Queremos determinar X E R tal que x4 - 3x2 4=0. Fazendo a substituição = vem: cuja solução é Z = 4 ou mas = então: e Logo, os zeros reais da função f(x) 4 são X = 2 e X = - 1 Fundamentos de Matemática Elementar</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS 234. Determine os zeros reais das funções: a) f(x) = x4 5x2 + 2 e) f(x) = 2x4 + 6x2 + 4 b) f(x) : 36 f) f(x) = - 3 c) = g) f(x) = 3x4 - 12x2 d) 4 h) f(x) 8 235. Determine os valores de m para que a função quadrática f(x) = + (2m 1)x + (m 2) tenha dois zeros reais e distintos. Solução Na função f(x) = + (2m - 1)x + (m - 2), temos: a = m, b = 2m - 1, C = m - 2 e A : 4m + 1 Considerando que a função é quadrática e os zeros são reais e distintos, então: a m # e A = 4m + ou seja: 4 236. Determine os valores de m para que a função quadrática f(x) = (m - 1)x2 + (2m + 3)x + m tenha dois zeros reais e distintos. 237. Determine os valores de m para que a equação do grau (m + 2)x2 + (3 - 2m)x + (m - 1) = tenha raízes reais. 238. Determine os valores de m para que a função f(x) = + 1) tenha um zero real duplo. 239. Determine os valores de m para que a equação x2 + (3m + 2)x + + m + 2) tenha duas raízes reais iguais. 240. Determine os valores de m para que a função - tenha zeros reais. 241. Determine os valores de m para que a equação - 2) não tenha raízes reais. 242.0 trinômio ax2 + bx + C tem duas raízes reais e distintas; a e são dois números reais não nulos. que se pode afirmar sobre as raízes do trinômio a x2 + + a 1 Fundamentos de Matemática Elementan 143</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS 243. Mostre que na equação do 2. grau ax2 + bx + C = 0, de raízes reais X1 e X2, temos para a soma S das raízes S = X1 + X2 = e para o produto P das 244. Na equação do 2. grau 2x2 5x - 1 = de raízes X1 e X2, calcule: a) X1 + X2 d) (X1)2 + (X2)2 b) e) f) X2 245. As raízes da equação 2x2 - 2mx + 3 = são positivas e uma é o triplo da outra. Calcule o valor de m. 246. As raízes da equação x2 + bx + 47 = são inteiras. Calcule o módulo da dife- rença entre essas raízes. 247. Se e S são as raízes da equação ax2 + bx + C = a # # 0, qual é o valor de 248. Determine o parâmetro m na equação x2 + mx + - m - 12 = de modo que ela tenha uma raiz nula e a outra positiva. 249. Dadas as equações x2 - 5x = sabe-se que uma das raízes da segunda equação é o dobro de uma das raízes da primeira equação. Sendo k # determine k. 250. Mostre que uma equação do 2. grau de raízes X1 e X2 é a equação x2 - Sx + P = em que S = X1 + X2 e P X1 251. Obtenha uma equação do segundo grau de raízes: a) 2 e -3 2 3 e) c) 0,4 e 5 252. Se a equação ax2 + bx + C = a # 0, admite as raízes reais não nulas X2, obtenha a equação de raízes: X2 a) (X1)2 e 1 d) e X2 144 Fundamentos de Matemática 1</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS 253. Determine m na equação 2(m - 1)x + m = para que se tenha X1 X2 = 4, em que X1 e X2 são as raízes da equação. X2 X1 254. trinômio f(x) tem por raízes a e b, a # e b # Qual é o trinômio cujas raízes são 255. Sejam me n dois números inteiros positivos tais que me n são ímpares consecutivos e m n = 1599. Indique o valor de m + n. VI. Máximo e mínimo 114. Definições Dizemos que o número E Im(f) é o valor máximo da função se, e somente se, y para qualquer y E Im(f). número tal que é chamado ponto de máximo da função. Dizemos que o número E Im(f) é o valor mínimo da função se, e somente se, y para qualquer y E Im(f). número tal que é chamado ponto de mínimo da função. y y V valor máximo ponto de mínimo XM X X ponto de máximo valor mínimo V 1 I Fundamentos de Matemática 145</p><p>FUNÇÕES 115. Teoremas I) Se a < a função quadrática y = ax2 + bx + C admite o valor máximo II) a > a função quadrática y = ax2 + bx + C admite o valor mínimo Demonstração: I) Consideremos a função quadrática na forma canônica: Sendo a < 0, o valor de y será tanto maior quanto menor for o valor da diferença Nessa (porque não depende de X; só depende constante de a, be c) e todo real. Então diferença valor X a assume o menor possível quando = ou seja, quando na expressão (1): = a 4a II) Prova-se de modo análogo. 116. Aplicações Na função real f(x) = - - temos: a = 4, = A = 144. Como a = 4 > a função admite um valor mínimo: = , em isto 146 Fundamentos de Matemática Elementar 1</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS Na função real = a Como a = a função admite um valor máximo: isto é: = 1 em VII. Vértice da parábola 117. O ponto V é chamado vértice da parábola representativa da função quadrática. EXERCÍCIOS 256. Determine os vértices das parábolas: a) 4 y = b) = = y 257. Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das funções abaixo, definidas em R. a) = y = b) y = -3x2 + 12x : c) y = 258. Determine valor de m na função real f(x) = 3x2 2x + m para que o valor mínimo 1 I Fundamentos de Matemática Elementar 147</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS 259. Determine o valor de m na função real f(x) = -3x2 + 2(m - 1)x + (m + 1) para que o valor máximo seja 2. 260. Determine o valor de m na função real f(x) = + (m - 1)x + (m + 2) para que o valor máximo seja 2. 261. Determine o valor de m na função real f(x) = (m - 1)x2 + (m + 1)x - m para que o valor mínimo seja 1. 262. Dentre todos os números reais de soma 8, determine aqueles cujo produto é máximo. Solução Indicando por X e Z esses números e por y o seu produto, temos: Como precisamos ficar com apenas uma das variáveis, X ou fazemos: e portanto: y = -x2 + 8x Como a = -1 < y é máximo quando: (-1) Substituindo em - X, vem Z = 4. Logo, os números procurados são 4 e 4. 263. Seja y = -x2 + 5x - 1. Dado que X varia no intervalo fechado [0, 6], determine o maior e o menor (ym) valor que y assume. 264. Dada f(x) = 2x2 + 7x - 15, para que valor de X a função atinge um máximo? 265. A parábola de equação y = -2x2 + bx + C passa pelo ponto (1, e seu vértice é o ponto de coordenadas (3, v). Determine V. 266. Dentre todos os números reais X e Z tais que 2x + Z = 8, determine aqueles cujo produto é máximo. 267. Dentre todos os retângulos de perímetro 20 cm, determine o de área máxima. 268. Dentre todos os números de soma 6, determine aqueles cuja soma dos quadrados é mínima. 269. Determine o retângulo de área máxima localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta y = -4x + 5. 148 Fundamentos de Matemática Elementar 1</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS dada uma folha de cartolina como na figura ao lado. Cortando a folha na linha pontilhada resultará um retângulo. Determi- 6 ne esse retângulo, sabendo que a área é máxima. . 8 271. Determine o retângulo de maior área contido num triângulo equilátero de lado 4 cm, estando a base do retângulo num lado do triângulo. 272. Num triângulo isósceles de base 6 cm e altura 4 cm está inscrito um retângulo. Determine o retângulo de área máxima, sabendo que a base do retângulo está sobre a base do triângulo. 273. Uma conta perfurada de um colar é enfiada em um arame fino com o formato da parábola y = - 6. Do ponto P de coordenadas (4, 10) deixa-se a conta deslizar no arame até chegar ao ponto Q de ordenada -6. Qual é a distância horizontal percorrida pela conta (diferença entre as abscissas de P e Q)? 274. Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um curral retangular. Para os outros lados iremos usar 400 metros de tela de arame, de modo a produzir área máxima. Qual é o quociente de um lado pelo outro? VIII. Imagem 118. Para determinarmos a imagem da função quadrática, tomemos inicialmente a função na forma canônica: A - ou seja, = 4a A Obtemos que + para qualquer X e R; então temos que considerar dois casos: caso a > a X + e, portanto: - 4a A 4a A 1 Fundamentos de Matemática 149</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS caso a portanto: 4a Resumindo: ou ainda: a>0 a<0 Exemplos: 1°) Obter a imagem da função f de R em R definida por f(x) = - 6. Na : temos: a = 6 logo: y A = e portanto: -2. Im(f) -2} 2 X -2 150 Fundamentos de Matemática Elementar I 1</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS Obter imagem da função f de R R definida por = a em Na temos: y logo: A 4 = - = 3 e portanto: 3 X 16 Como a temos: EXERCÍCIOS 275. Determine a imagem das funções definidas em R. 3x d) = 276. Determine m na função f(x) = 3x2 4x + m definida em R para que a imagem seja 2}. 277. Determine m na função f(x) definida em R para que a ima- gem seja Im 7}. 1 I Fundamentos de Matemática Elementar 151</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS IX. Eixo de simetria 119. Teorema "O gráfico da função quadrática admite um eixo de simetria perpendicular ao eixo dos X e que passa pelo vértice." Os pontos da reta perpendicular ao eixo dos X que passa pelo vértice da parábola obedecem à equação = todos os pontos dessa reta têm abscissa b Para provarmos que parábola tem eixo de simetria a na X = 2a mostrar que, dado um ponto A 2a b - r, com r E R, pertencente ao gráfico da função, existe B 2a r, y ) também pertencente ao gráfico da função. y A M B b r b b X 2a 2a 2a V Tomando a função quadrática na forma canônica: - e considerando que A b r, y pertence ao gráfico da função, temos: = = 2a b + A = 2a b provando que B 2a + r, também pertence ao gráfico da função. 1 52 Fundamentos de Matemática Elementar I 1</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS X. Informações que auxiliam a construção do gráfico 120. Para fazermos o esboço do gráfico da função quadrática f(x) = ax2 + bx + C, buscaremos, daqui para frente, informações preliminares, que são: b gráfico é uma parábola, cujo eixo de simetria é a reta X = perpendi- 2a cular ao eixo dos X. Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima. Se a < a parábola tem a concavidade voltada para baixo. Zeros da função: Se a parábola intercepta o eixo dos X em dois pontos distintos: ( - -b - A P1 2a , ) ( - b + VA e P2 2a , Se a parábola tangencia o eixo dos X no ponto P ( 2a b , . Se A < a parábola não tem pontos no eixo dos X. Vértice da parábola é o ponto V ( b A que é máximo se a < ou 2a 4a é mínimo se a > Seguem os tipos de gráfico que podemos obter: y y y a 0 a > 0 a > 0 e e e A 0 A=0 A < 0 V P2 X V X I V y y y V P2 V X X V X a < 0 a < 0 a 0 e e e A>0 A = 0 A 0 1 Fundamentos de Matemática Elementar 153</p><p>FUNÇÕES EXERCÍCIOS 278. Faça o esboço do gráfico da função = - 3. Solução Concavidade Como a = 1 > a parábola tem a concavidade voltada para cima. Zeros da função ou Os pontos no eixo X são P1(1, 0) e Vértice - 4 2a e 4a A -4 = - o vértice é V(2,-1). Gráfico y Observe que a parábola sempre inter- cepta o eixo y. Para determinarmos onde o faz, basta lembrar que o ponto situado no eixo y tem abscissa nula, logo y(O) é, o ponto no eixo y é (0,3). (0,3) (4,3) Determinado o ponto onde a parábola corta o eixo y, podemos determinar ou- tro ponto (4, 3) da parábola, simétrico a (0,3) em relação à reta X = 2 (eixo de (1,0) (3,0) X simetria da parábola). (2,-1) 154 Fundamentos de Matemática Elementar 1</p><p>FUNÇÕES 279. Faça o esboço do gráfico da função - Solução Concavidade Como a = - -1 < a parábola tem a concavidade voltada para baixo. Zeros da função A parábola admite um único ponto no eixo X, que é Vértice Considerando que a parábola admite um único ponto no eixo X, então esse ponto é o vértice da parábola. Gráfico y (2,0) (0,-4) de (4, -4) : 280. Faça o esboço do gráfico da função = Solução Concavidade Como a = 1 > parábola tem concavidade voltada para cima. a a 2 Zeros da função A A raízes reais. A parábola não tem pontos no eixo dos X. 1 I Fundamentos de Matemática Elementar 1 55</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS Vértice temos: A = - -1. Como vértice é V Gráfico y (-1, -2) (0,1) X 281. Construa o gráfico cartesiano das funções definidas em R: = e) b) = f) = c) = d) y = -3x2 + 6x - 3 282. No gráfico ao lado estão representadas três y parábolas, 1, 2 e 3, de equações, respecti- vamente, y = y = bx2 = cx2. Qual é 1 2 3 a relação entre a, 0 X 156 Fundamentos de Matemática Elementar I 1</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS 283. gráfico do trinômio do grau ax2 - 10x + C é o da figura: y 5 0 X -9 Determine a e C. Solução b 10 2a 2a 4a A 4a - 4 16 Resposta: 284. A figura abaixo é o gráfico de um trinômio do segundo grau. y 3 -1 2 X Determine o trinômio. Solução -(16a2 - 4ac) = 12a = 4a 16a 4c = -12 1 I Fundamentos de Matemática 157</p><p>FUNÇÕES Como X2 = (já utilizado em (1)) Temos, ainda: = C = - -5a (por simetria, a outra raiz Substituindo (3) em (2), vem: 4a + 5a = -3 => a 1 = Portanto: b Então, o trinômio 3 5 285. Se f: R R a função definida por f(x) = ax2 + bx + C, cujo gráfico é dado abai- XO, sendo a, b, C R. Determine o valor de a. y 1 2 3 4 X -1 -2 286. Determine a função g(x) cujo gráfico é o simétrico do gráfico da função f(x) = em relação à reta y = 3. Esboce o gráfico. 287. Os gráficos de duas funções quadráticas g e h interceptam-se nos pontos X1, como mostra a figura. Se g(x) = ax2 + bx + C e h(x) = + ex + f, y a área da região sombreada, na figura, é dada h por - f(X1), em que + e-b x2 + (f-c)x. Q 2 P Nessas condições, qual é a área A da região sombreada, no caso em que g(x) = x2 + h(x) X X1 g 1 58 Fundamentos de Matemática Elementar 1</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS XI. Sinal da função quadrática 121. Consideremos a função quadrática C e vamos resolver o problema: "para que valores de temos: a) f(x) > b) f(x) < c) f(x) Resolver esse problema significa estudar o sinal da função quadrática para cada X R. Na determinação do sinal da função quadrática, devemos começar pelo cálculo do discriminante no qual três casos distintos podem aparecer: a) A < b) c) Vejamos como prosseguir em cada caso. caso: A < Se A < então Da forma canônica, temos: a positivo (não negativo) positivo Isso significa que a função f(x) = ax2 + bx + C, quando A < tem o sinal de a para todo X E R, ou melhor: a<0 A representação gráfica da função f(x) = ax2 + bx + C, quando A < vem confirmar a dedução algébrica. X 1 Fundamentos de Matemática 1 159</p><p>FUNÇÕES Exemplos: = 2x + 2 apresenta a = concluímos que: A = a = concluímos que: caso: A = 0 Da forma canônica, temos: positivo (não negativo) positivo então Isso significa que a função f(x) ax2 + bx + C, quando A = 0, tem o sinal de a para todo X1 2a zero duplo de f(x), ou melhor: A representação gráfica da função f(x) = ax2 + bx + C, quando A=0, vem confirmar a dedução algébrica. X f(x) X Fundamentos de Matemática</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS Exemplos: f(x) tem um zero e, como a = 1>0, concluímos: 1 = A = 82 -4(-2) . (-8) = então f(x) tem um zero duplo para X1 = a = -2 < concluímos: - {2} = caso: A>0 Da forma canônica, temos: b a X 2a Lembramos que a fórmula que dá as raízes de uma equação do segundo grau é: = , é, 2a 2a fica evidente que a forma canônica se transforma em: - sinal de a f(x) depende dos sinais dos fatores - X1) e - X2). Admitin- do X1 temos que: X X1 X2 1) , temos: X - X1 < e a X X2 <0 + - - 1 I Fundamentos de Matemática 161</p><p>FUNÇÕES X1 X X2 , temos: X1 e a < + + X1 X2 X 3) , temos: - e a X + + + Isso significa que: sinal de f(x) é o sinal de a para todo X, tal sinal de f(x) é o sinal de -a para todo X, tal que X1 < X < Em resumo: f(x) tem o f(x) f(x) tem o sinal de a sinal de a 0 0 gráfico da função f(x) = ax2 + bx + C, quando A > vem confirmar a dedu- ção algébrica. f(x) < 0 f(x) < 0 X2 X Exemplos: - - = f(x) tem dois zeros reais e distintos: -b 2a - 2 = = = 162 Fundamentos de Matemática Elementar I 1</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS e, como a = concluímos que: para ou para ou para f(x) -2x2 + 3x + 2 apresenta A 2 = 25; logo f(x) tem dois zeros reais e distintos: -3+5 -4 : 2 1 2a -3 -4 5 e, como a = - concluímos que: 1 f(x) < para ou 2 1 f(x) = para X = ou X = 2 2 1 para < X < 2 2 EXERCÍCIOS 288. Estude os sinais de cada uma das funções do exercício 281. 289. Quais as condições de X para que a expressão ax2 + bx + C, em que - 4ac > estritamente positiva? 290. Qual é a condição necessária e suficiente para que o trinômio do 2. grau f(x) = ax2 + bx + C tenha sinal constante em R? 1 Fundamentos de Matemática 163</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS XII. Inequação do 2° grau 122. Se a # 0, as inequações ax2 + + e ax2 + são denominadas inequações do grau. Resolver, por exemplo, a inequação: ax2 é responder à pergunta: "existe X real tal que f(x) = ax2 + bx + C seja positiva?". A resposta a essa pergunta se encontra no estudo do sinal de f(x), que pode, inclusive, ser feito através do gráfico da função. Assim, no nosso exemplo, dependen- do de a e de podemos ter uma das seis respostas seguintes: a>0eA<0 a>0eA>0 X X X S=R X 164 Fundamentos de Matemática Elementar 1</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS EXERCÍCIOS 291. Resolva a inequação Solução Considerando = - temos y - então, f(x) > Como a inequação é f(x) > vem: S=R X 292. Resolva a inequação - Solução - temos y a = = duplo b então: { = Como a inequação é f(x) 0, vem: 1 293. Resolva a inequação - Solução Considerando = + 2, temos 1 os = então: 1 Fundamentos de Matemática 165</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS 1 para X ou y 2 f(x) para = 2 ou X = X = 2 1 f(x) > para <x<2 1 2 2 2 X Como a inequação é f(x) vem: S X 2 294. Resolva as inequações em R: a) b) c) 3 d) j) - e) k) f) X 4 > 295. Para que valores de X - 296. Se A = - 3x + e - 4x + 3 > determine A B. 297. - C - C. 298. Sejam p(x) = x2 - 5x + 6 e q(x) a é um número real e p(a) < qual é a condição que deve satisfazer q(a)? 299. Qual é uma condição suficiente para que a expressão y = - 4 represen- te uma função? 1 166 Fundamentos de Matemática Elementar 1</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS 300. Resolva a inequação - - - R. Solução Analisando os sinais dos fatores, temos: -1 2 + - + + - + + X - Fazendo o quadro-produto, vem: -1 1 2 3 + - - + + X - - + + - - + + - 301. Resolva, em R, as inequações: a) - b) c) - d) e) - f) - 302. É dada a - Determine: a) os pontos de interseção do gráfico da função com o eixo das abscissas; b) o conjunto dos valores de X para os quais y 303. Dentre os números inteiros que são soluções da inequação - é o maior? 304. Determine os valores de X E R que satisfazem a inequação O. 1 Fundamentos de Matemática 167</p><p>FUNÇÕES 305. Seja A o conjunto solução, em R, da inequação (x2 - 5x) Determine A. 2x2 + 306. Resolva a inequação R. Solução Analisando os sinais do numerador e do denominador, temos: 1 -1 2 + - - + + X 0 2 X - - + + - Fazendo o quadro-quociente, vem: 1 -1 0 2 2 X + - - + + - - + + f(x) - + - + g(x) -1 0 1 2 2 = - 1 < X 2 X > 307. Resolva, em R, as inequações: 4x2 + X - 5 - a) e) - 10 2x2 + 4x + 5 b) f) < -2 3x2 + 7x + 2 x2 + 2x 6x2 + 12x + 17 g) -1 -2x2 + 7x - 5 2x2 + 3x - 2 > 1 1 68 Fundamentos de Matemática Elementar I 1</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS 308. Determine, em R, o conjunto solução das inequações: X -2 1 f) 309. Tomando como conjunto universo o conjunto U=R- {1}, resolva a inequação 310. Dada f: R definida por f(x) = -x2, resolva a inequação: 311. Responda: a) que se pretende dizer quando se pede para achar o domínio de uma f(x) igualada a uma expressão em x? b) Determine, R, domínio da função = . em o 15 312. Ache domínio da y = 6 em R. o 313. Determine o conjunto igual a 314. Qual é a condição para que y = , y real, seja definida? 315. Resolva as inequações: - b) -5x c) - 6 d) - 2 e) f) - + 6 + 3x 4 316. Resolva os sistemas de inequações: b) 1 Fundamentos de Matemática Elementar 169</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS 317. Considere as desigualdades: 4y + 3x 12, y. Classifique as proposições abaixo em verdadeiras (V) ou falsas (F): a) conjunto de soluções das desigualdades é limitado no plano (x, y). b) valor máximo da variável X satisfazendo as desigualdades é 4. c) conjunto de soluções das desigualdades não é limitado no plano (x, y). d) valor mínimo da variável y satisfazendo as desigualdades é 3. e) valor máximo da variável y satisfazendo as desigualdades é 3. 318. Assinale as proposições verdadeiras (V) e as proposições falsas (F) nos itens abaixo. O conjunto solução do sistema - é: I - - X < - d) R 2 3 < X < 319. Resolva a inequação x4 - 5x2 + 4 em R. Solução Fazendo - 320. Resolva, em as inequações: a) x4 - 10x2 + 9 - - c) x4 + 8x2 - 9 < - - - - 170 Fundamentos de Matemática Elementar I 1</p><p>FUNÇÕES 321. Determine m de modo que a função quadrática f(x) = mx2 + (2m - 1)x + (m + 1) seja positiva para todo X real. Solução Devemos ter simultaneamente = - = - - - - - 4m = -8m + 2:) > Como as condições são simultâneas, concluímos que: m 322. Determine m para que se tenha para a) - - f) - - g) mx2 + (m - 2)x + m - h) + (m + 3)x + m i) <0 e) j) - 1>0 323. Determine m para que se tenha 1 < 2 para Solução Considerando que x2 é positivo para qualquer X real, multiplica- mos ambos os membros de x2 mantendo a desigualdade. Então: -x2 (m - 1)x - 1 < Devemos ter A < portanto: Resposta:</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS 324. Determine m para que se tenha para < > m mx - 2 < 2 325. Qual é o conjunto de valores de p para os quais a inequação é verdadeira para qualquer X pertencente a R? 326. Qual é a condição para que a desigualdade x2 - 2(m + 2)x + m + seja verificada para todo número real x? X - a X + a < , para todo X # qual é a condição que a satisfaz? + 1 x2 328. Determine os valores de m E R para os quais o domínio da função 1 = é o conjunto dos reais. - mx m 329. Para que a função real f(x) = em que X e k são reais, seja defi- nida para qualquer valor de X, qual deve ser o valor de k? XIII. Comparação de um número real com as raízes da equação do 2° grau 123. Comparar o número real a às raízes reais X1 X2 da equação do 2. grau ax2 + bx + C = é verificar se: a está à esquerda de X1 2:) a está entre as raízes (X1 a está à direita de X2 (X1 X2 < a é uma das raízes = = X2); sem calcular as raízes. Sendo f(x) = ax2 + bx + C uma função quadrática, cuja regra de sinal já discu- timos neste capítulo, temos que: 1 172 Fundamentos de Matemática Elementar I 1</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS a) se a estiver à esquerda de X1 ou à direita de X2, o produto a f(a) é positivo, isto é: a (coeficiente de x2) e + ba + C têm o mesmo sinal. f(x) f(x) X b) se a estiver entre as raízes o produto a f(a) é negativo, isto é: a e f(a) têm sinais opostos. f(x) a f(a) X c) se a é zero de f(x), então a f(a) = pois f(a) Resumo Conhecendo a posição de a em relação às raízes reais X1 e X2 de f(x) = 0, temos que: IV) ou a 1 I Fundamentos de Matemática Elementar 173</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS Observemos que nos casos I, III e IV o discriminante é A > enquanto no caso temos A > O. Inversamente, conhecendo o sinal do produto a . que conclusão podemos tirar da existência de raízes reais da equação f(x) = e qual a posição de a em re- lação às mesmas raízes? É o que veremos em seguida. 124. Teorema 1 Se a f(a) < o trinômio f(x) = ax2 + bx + C tem zeros reais e distintos e a está compreendido entre eles. Demonstração: Se fosse A teríamos: a f(a) a, a E R, o que é absurdo, pois contraria a hipótese a < Concluímos, então, que A > isto é, f(x) tem dois zeros, X1 e X2, reais e dis- tintos. 2:) Se o real a estiver à esquerda de X1 ou à direita de X2 ou for um zero de f(x), teremos a o que contraria a hipótese Concluímos, então, que a está compreendido entre X1 e Exemplo: Comparar o número 1 às raízes da equação 3x2 - 5x Temos a 3, a = 1 e f(x) = 3x2 - 5x + 1; então: a = = Conclusão: 125. Teorema 2 então a está à esquerda de X1 ou à direita de Hipótese e Tese ou a 174 Fundamentos de Matemática Elementar 1</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS Demonstração: a X2, então o que contradiz a hipótese a > O. que também contradiz a hipótese > Concluímos que a X2 ou X1 X2 < a. Observação: Notemos que, 2 garante que a mas não indica se a está à esquerda desse intervalo ou à direita dele (X1 X2 < a). Para verificarmos qual dessas duas situações está ocorrendo, deve- mos comparar a com um número qualquer que esteja entre as raízes. Para facilitar os cálculos, vamos utilizar o número S : = 2a b que é a média aritméti- ca das raízes X1 e X2, pois: X1 + 2 X2 2 S Calculando S 2 2a b temos duas possibilidades a examinar: se a < S 2 então a está à esquerda S 2 e, consequentemente, à esquer- da de S X1 X2 2 X2 S X 2 se a > S então a está à direita de S 2 e, consequentemente, à direita de S X1 X2 a > X1 X2 < a 2 S a X 2 Exemplos: Comparar o número 1 às raízes da equação 3x2 + 4x - = a - = S b 2 = < = a 2 2a 3 1 Fundamentos de Matemática Elementan 1 75</p><p>FUNÇÕES 2:) Comparar o número às raízes da equação 4x2 - = S = = > 2 2a 4 126. Resumo Se f(x) = ax2 + bx + C apresenta zeros reais X1 e a é um número real que vai ser comparado a X1 e X2, temos: a é uma das raízes S a se a < c) 2 S a se a > 2 EXERCÍCIOS 330. Determine m de modo que o número 1 esteja compreendido entre as raízes da equação: - : Solução Considerando f(x) = Para que aconteça X1 < 1 < X2, em que X1 e X2 são as raízes de + (m - - - m] < Resposta: 0 < m < 1. 176 Fundamentos de Matemática Elementar I 1</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS 331. Determine m de modo que o número a esteja compreendido entre as raízes da equação: a) b) - 1)x2 + (2m + 1)x + m = e a = -1 - c) + (m - 1)x + (m + 2) = e a = d) - 332. Determine os valores de m na equação x2 + (m - 2)x + 1 - m = de modo que o número real 2 esteja compreendido entre as raízes. 333. Determine m para que a equação (m - 2)x2 - 3mx + (m + 2) = tenha uma raiz positiva e outra negativa. 334. Determine o menor valor inteiro de k para que a equação 2x2 + kx + k - 5 = tenha duas raízes de sinais opostos, sendo a negativa a de maior valor absoluto. 335. Determine m de modo que a equação - (2m + 1)x + 2 + m = tenha raízes reais tais que - -1 < Solução Considerando f(x) = - (2m + 1)x + 2 + m. Para que aconteça -1 < X1 < X2, em que X1 e X2 são as raízes reais de - devemos ter: S Analisando separadamente cada condição: - (2m + 1) (-1) + 2 + > => a f(-1) 3 m m ou m > 4 1 4 S > - 1 2m > - 1 2m 1 2m > 2m + 1 4m + 1 + > 1 m < ou m > 4</p><p>FUNÇÕES Representando os valores encontrados sobre um eixo. 4 0 1 m (A=0) 4 m S 4 0 o m Como as três condições são simultâneas, fazendo a interseção dos in- tervalos acima, vamos encontrar: ou < m é a resposta. 336. Determine m de modo que a equação (m - 3)x2 + 2(m - 2)x + m + 1 = tenha raízes reais tais que 1. 337. Determine m de modo que a equação 2m - 2 = tenha raízes reais tais que 338. Determine m de modo que a equação do grau - 2(m + 1)x + m + 5 = tenha raízes reais tais que X2 < 2. 339. Determine m para que a equação do 2. grau 2(m + 1)x + m + 5 : tenha raízes reais tais que X1 340. Determine m para que a equação do 2. grau 3x2 - 2(m + 2)x + - 6m + 8 tenha raízes reais tais que X1 <1<x2<4. 341. Determine m para que a equação do 2. grau (2m + 1)x2 + 2x + m + 1 tenha raízes reais tais 342. Determine m para que a equação do 2. grau (3m - 2)x2 + 2mx + 3m = tenha uma única raiz entre 343. Determine m para que a equação do grau - 2(m - 1)x m - 1 : tenha uma única raiz entre - 1 e 2. 178 Fundamentos de Matemática 1</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS XIV. Sinais das raízes da equação do 2° grau 127. Estudar os sinais das raízes de uma equação do 2. grau é comparar o núme- ro zero às raízes X1 e X2 da equação dada. Podem ocorrer três situações: as raízes são positivas Neste caso, temos: X2 ou = X1 X2 X 0 X De acordo com a teoria anterior, temos: S e e > 2 Notemos que, = a em que P = C o produto das raízes da equação do grau. em que = b é das raízes da equação do grau. a soma a Assim sendo, uma equação do grau tem raízes positivas somente se: isto é, se as raízes forem reais, com produto positivo e soma positiva. as raízes são negativas Neste caso, temos: X1 ou = X1 X2 0 X X 1 Fundamentos de Matemática 1 79</p><p>FUNÇÕES De acordo com a teoria anterior, temos: S A e > Isso também pode ser escrito assim: as raízes têm sinais opostos Neste caso, temos: De acordo com a teoria anterior, temos: ou P<0 128. Aplicação Determinar os valores de m na equação do 2. grau: (m - 1)x2 + (2m + 1)x + m=0 para que as raízes reais sejam distintas e positivas. Como a equação é do grau, devemos ter, inicialmente, e, se as raízes são distintas e positivas então: A > (pelo fato de as raízes serem reais e distintas) e S > (pelo fato de as raízes serem positivas). Analisando cada condição: A = - m = 1 1 = 8 8 m = b 1 S > 0 2 1 1 <m<1 m 2 a C m 0 1 m m<0oum>1 1 Fazendo a interseção das três condições, vem < m < que é a resposta. 8 180 Fundamentos de Matemática 1</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS EXERCÍCIOS 344. Determine m de modo que a equação do grau (m + 1)x2 + 2(m + 1)x + m - 1= tenha raízes negativas. 345. Determine m de modo que a equação do grau (m + 1)x2 + 2x + m tenha raízes positivas. 346. Determine m de modo que a equação do grau (m - tenha raízes de sinais opostos. 347. Determine m de modo que a equação do 2. grau (m - 1)x2 + admita raízes negativas. 348. Determine m de modo que a equação do 2. admita raízes de sinais opostos. 349. Determine m de modo que a equação do grau - (2m admita raízes positivas. 350. Determine o menor valor inteiro de k para que a equação 2x2 + tenha duas raízes de sinais opostos, sendo a negativa a de maior valor absoluto. 351. Considere o conjunto A = {y E II tal que Responda: a) Qual o número de equações do tipo x2 + 2mx + n = com b) Dentre as equações obtidas no item a, quantas têm raízes reais e distintas? c) Dentre as equações com raízes reais e distintas, quantas têm raízes positivas? 352. A equação + 1)x - 2m + 5 = admite raiz negativa para qual condição sobre m? 353. Sejam p e q reais; se a equação do segundo grau em X: tem duas raízes reais, X1 e X2, qual é o sinal dessas raízes? 1 Fundamentos de Matemática 181</p><p>RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS Capítulo VII 225.a) 221. S = b) c) = X S = e) = b) y 222. = b) c) y 223.a) = b) = 2} c) = X d) f) S = 1 Fundamentos de Matemática Elementar 285</p><p>RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS e) 226.m -2 227.f(x) = 1 228.abc = -70 b) X c) X = d) Não R. f) = = X h) Não existe R. k) I) = m) Não existe R. n) g) y 230.50 X = {(3, 232.a) S = {-1,4} b) = 234.a) b) c) X = = d) X = = e) Não existe h) f) Não existe XER. g) h) 236. 237.m X 238.m = 286 Fundamentos de Matemática Elementar I 1</p><p>RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 239. m 257. b) = 12 240. < c) Xm = 1 = 242. São as mesmas de ax2 + bx + C, multi- plicadas por f) b) 258. m = 2 155 c) -5 f) 259. m = -2 ou = 1 260. m = -1 = 261. Não existe m E R. 246. x2l = 46 263. = f(6) = -7 247. 264. Não tem máximo, porque a > O. 248. 265. V = 8 249. k = 6 266. X = 2 e z = 4 251. a) X 6 = 267. quadrado de lado 5 cm b) 4x2 4x 3 = 268. 3 e 3 c) x2 5,4x 2 = 269. retângulo de lados d) x2 - = e) 270. retângulo de lados 4 cm e 3 cm 252. a) - 2ac)x + = 271. retângulo de lados 2 cm e cm b) cx2 + bx + a = 272. retângulo de lados 2 cm e 3 cm c) acx2 - 2ac)x + ac = 273.4 d) + 3abc)x + = 274.2 253. m = -2 + ou m -2 V6 254. = 275. a) Im = b) 4} = 80 c) Im = 256. V(O, -4) d) = 16} b) e) e) Im = 25 c) f) f) Im = 1 I Fundamentos de Matemática Elementar 287</p><p>RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 276.m 10 3 e) = 277.m = V 10 m = - V10 281. a) X (0,-3) (1,-4) f) y b) (0,2) X Y 2 2 3 ) X 4 g) c) y X 9 16 X d) h) y (1,0) (-1, X X 3 0, 288 Fundamentos de Matemática Elementar I 1</p><p>RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS deve estar entre as raízes) 285.a = 2 = y 294.a) S = b) 6 c) = 3 y=3 d) 2 0 1 X g) f(x) 287.A = 9 288. a) x2 = x2 b) X real c) 298.20 d) 301. b) = e) 3 c) 2 d) = = f) g) e) = f) 1 I Fundamentos de Matemática Elementar 289</p>