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6. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Equações exponenciais são aquelas em que a in-
cógnita aparece no expoente de uma ou mais bases 
positivas e diferentes de 1. Veja alguns exemplos:
4x 5 32 5
1
3
81
x




1
525 5x 1 x 22x 5 2x 1 12
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES 
EXPONENCIAIS SIMPLES
Vamos primeiramente resolver equações exponen-
ciais que podem ser transformadas numa igualdade 
de potências de mesma base.
Para resolvê-las, usamos o fato de que a função 
exponencial é injetora, ou seja, para a . 0 e a Þ 1, temos:
ax1 5 ax2 ⇔ x
1
 5 x
2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Resolva as equações:
a) 3x 2 1 5 81 d) 1
59
1
27
x 1
b) 5
1
2
4
x
3



 e) 50,75
9
16
x
c) 2x2 2 3x 2 4 5 1
Resolução 
a) Vamos transformar a equação dada numa 
igualdade de potências de mesma base:
 3x 2 1 5 81 ⇒ 3x 2 1 5 34
 Igualando os expoentes, temos:
 x 2 1 5 4 (equação do 1o grau em x) ⇒ x 5 5
 Verificação: x 5 5 ⇒ 3x 2 1 5 35 2 1 5 34 5 81
 S 5 {5}
b) 5 5 5
2 2
1
2
4 2 4 2 2
x
3 1
x
1
3 x 2
1
3( ) ( )


 ⇒ ⇒ ⇒
 5 2 5 52
22 2 x
2
3
x
2
3
x
2
3⇒ ⇒ ⇒
 25S
2
3






 PARA REFLETIR: 
Faça a verificação do item b.
c) Como 1 5 20, podemos escrever 5
2 22 2x 3 x 4 02
.
 x2 2 3x 2 4 5 0 (equação do 2o grau em x)
 D 5 25
 x' 5 4 e x" 5 21
 S 5 {21, 4}
d) 1
1
1
5 5 5
29
1
27
3
1
3
3 3x 1 2
x 1
3
2x 2 3( )⇒ ⇒ ⇒
 ⇒ 2x 1 2 5 23 ⇒ 2x 5 23 2 2 ⇒ 
 ⇒ 2x 5 25 ⇒ 52x
5
2
 5 2S
5
2






e) 5 5 50,75
9
16
75
100
9
16
3
4
3
4
x
x x 2
2
⇒



 ⇒



 ⇒
 5 5
3
4
3
4
x 2
x 2
⇒







 ⇒ 
 S 5 {2}
2. Calcule x e y no sistema de equações




5 1
3 9
1
9
x y
x y
5
? 5
1
.
Resolução 
5x 1 y 5 1 ⇒ 5x 1 y 5 50 ⇒ x 1 y 5 0
3x ? 9y 5 
1
9
 ⇒ 3x ? 32y 5 322 ⇒ 3x 1 2y 5 322 ⇒ 
⇒ x 1 2y 5 22
Os valores de x e y serão obtidos resolvendo-se 
o sistema do 1o grau: 
1 5
1 25
5 52
x y 0
x 2y 2
x 2 e y 2



⇒
S 5 {(2, 22)} 
RAÍZES DA EQUAÇÃO 2X 5 X2
Quantas raízes tem a equação 2x 5 x2? 
É fácil observar que 2 e 4 são duas raízes, pois: 
x 5 2 ⇒ 22 5 22 e x 5 4 ⇒ 24 5 42
Para saber se há mais alguma raiz, podemos utilizar os gráficos das 
funções y 5 2x e y 5 x2 e verificar quantos são seus pontos comuns.
Além dos valores x 5 2 e x 5 4, podemos verificar que existe mais 
um valor de x, negativo, para o qual se tem 2x 5 x2.
Esse problema mostra que, em alguns casos, o processo gráfico é 
mais vantajoso que o algébrico.
x
y
0
4
16
y 2x
y x2
2 4
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
CAPêTULO 6 • FUNÇÃO EXPONENCIAL 185
Contexto e Aplicacoes Matematica_U3_C6_166a199.indd 185 8/22/18 1:57 PM
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Resolva as seguintes equações no universo dos nú-
meros reais:
a) 3 ? 4x 1 1 5 96
b) 2x 1 2 1 2x 2 1 5 18
c) 22x 2 9 ? 2x 1 8 5 0
Resolução 
a) 3 4 96 4
96
3
4 32x 1 x 1 x 1⇒ ⇒ ⇒1 1 1
? 5 5 5 
 1
1
1
5 5 52 2 2 2 2x 2 52
x 1
5 2 x 2 5( )⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 
 25 5 52x 5 2 2x 3 x
3
2
⇒ ⇒ ⇒ 
 5S
3
2






b) 2x 1 2 1 2x 2 1 5 18 ⇒ 2x ? 22 1 2x ? 221 5 18 (pro-
priedade am 1 n 5 am ? an)
 Fazendo 2x 5 y, temos:
 ⇒ ⇒y 4 y
1
2
18 4y
y
2
18? ? 5 51 1
 ⇒ 8y 1 y 5 36 ⇒ 9y 5 36 ⇒ y 5 4
 2x 5 y e y 5 4 ⇒ 2x 5 4 ⇒ 2x 5 22 ⇒ x 5 2
 S 5 {2}
c) 22x 2 9 ? 2x 1 8 5 0 ⇒ (2x)2 2 9(2x) 1 8 5 0 (pro-
priedade 2mn 5 (2m)n)
 Fazendo 2x 5 y, temos:
 y2 2 9y 1 8 5 0 (equação do 2o grau em y)
 D 5 49
 y' 5 8 e y" 5 1
 Como 2x 5 y, temos:
 
5 5 5
5 5 5
2 8 2 2 x 3
2 1 2 2 x 0
x x 3
x x 0
⇒ ⇒
⇒ ⇒




 S 5 {0, 3}
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS COM ARTIFÍCIOS DE CÁLCULO
Algumas equações exigem artifícios de cálculo para serem solucionadas. Observe a seguir.
EXERCÍCIOS
37. Resolva as seguintes equações exponenciais na 
incógnita x no universo dos números reais:
a) 2x 5 64 g) 24x 2 x2
 5 8 
b) 3x 2 2 5 9 h) (10x)1 2 x 5 0,000001 
c) 5x2 2 2x 5 125 i) 2
53
1
27
2 x 
d) 2
510
1
10
1 x j) 3x 2 5 5 271 2 x
e) 52 4
x( ) k) 
2
1
5
1
2
8
x 4
x 2
2



 
f) (0,5)2x 5 21 2 3x l) 52
1
32
x5 
38. Sabe-se que f(x)
4
5
4x x2




2
5 e g(x) 5 (0,8)3(x 1 1). 
Calcule os valores de a para que se tenha 
f(a) 5 g(a).
39. Qual é o valor de x que torna verdadeira a sen-
tença 2 2 8 2 2x 4 6
? 5 ? ? ? x
11
12
5
40. Se 
1
1
5
5
3 1
2 2
x y
x 2y




, qual é o valor de x 2 y? 
41. Dado o sistema 
2
1
5
5
5
1
125
3 243
x y
x y




, calcule o valor 
de (x ? y)3. 
42. Descubra qual par (x, y) é a solução do sistema




4 8
1
4
9 27 3
x y
x 2y
? 5
? 5
. 
43. Qual é o ponto comum aos gráficos de
f(x) 5 4x 2 1 e g(x) 5 2x? 
44. Resolva as equações exponenciais:
a) 2 ? 3x 2 2 5 162 c) 5 ? 2x2 2 4 5 160 
b) 3 ? 5x 2 1 5 75 d) 10 ? 2x 1 3 5 10 
45. Resolva as seguintes equações:
a) 2x 2 3 1 2x 2 1 1 2x 5 52 
b) 7x 1 7x 2 1 5 8 
c) 4 ? 2x 1 2x 2 1 5 72 
d) 
2
1 521
3 1
3
1
x
x
 
46. Resolva:
a) 32x 1 2 ? 3x 2 15 5 0 d) 
1
2 5
9 3
4
3 0
x
x
b) 22x 1 1 1 3 ? 2x 1 1 5 8 e) 2 53
9
3
8x
x
c) 4x 1 2 2 3 ? 2x 1 3 5 160 
47. Na sequência 1, 3, 9, 27, 81, ..., das potências in-
teiras de 3, dizemos que 81 é o 5o termo. Que 
termo é o número 2 187? 
UNIDADE 3 • FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA186
Contexto e Aplicacoes Matematica_U3_C6_166a199.indd 186 8/22/18 1:58 PM
7. INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Desigualdades como as seguintes são chamadas 
inequações exponenciais:
3x 2 1 > 27 ,25 5x <8
1
16
x
x
Para resolvê-las, devemos nos lembrar de que a 
função exponencial f(x) 5 ax é crescente para a . 1 e 
decrescente para 0 , a , 1.
f(x) 5 ax com a . 1
função crescente
x
y
am
an
0 n m
(0, 1)
Il
u
s
tr
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ç
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: 
B
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n
c
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iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Observe que:
am , an ⇔ m , n e am . an ⇔ m . n
Neste caso, em que a . 1, o sentido da desigualda-
de é conservado.
f(x) 5 ax com 0 , a , 1
função decrescente
x
y
am
an
0m n
(0, 1)
Neste caso, temos:
am , an ⇔ m . n e am . an ⇔ m , n
Ou seja, sendo 0 , a , 1, o sentido da desigualda-
de é invertido.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Resolva as inequações no universo dos números 
reais:
a) 2x 1 7 , 32 d) 
2
.
1
2
1
2
x x 22








b) 10x 2 3 . 1 e) 4 , 2x 1 1 < 32
c) 
1
1
>
1
2
4
x 1
x 3


 f) , <
21
9
9 3x 1 x 
Resolução 
a) 2x 1 7 , 32 ⇒ 2x 1 7 , 25 → desigualdade de 
potências de mesma base 
 a 5 2 ⇒ a . 1 (mantém-se o sentido da desi-
gualdade)
 x 1 7 , 5 ⇒ x , 5 2 7 ⇒ x , 22
x
22
 S 5{x [ R | x , 22}
b) 10x 2 3 . 1 ⇒ 10x 2 3 . 100 → desigualdade de 
potências de mesma base
 a 5 10 ⇒ a . 1 (mantém-se o sentido da desi-
gualdade)
 x 2 3 . 0 ⇒ x . 3
x
3
 S 5{x [ R | x . 3}
c) > >
1
1 2 1 11
2
4 (2 ) (2 ) 2
x 1
x 3 1 x 1 2 x 3


 ⇒ ⇒
 >
2 2 1) 2 2x 1 2 x 6⇒ ⇒
 a 5 2 ⇒ a . 1 (mantém-se o sentido da desi-
gualdade) 
 2x 2 1 > 2x 1 6 ⇒ 2x 2 2x > 6 1 1 ⇒
 ⇒ 23x > 7 ⇒ 3x < 27 ⇒ x < 
7
3
2
x
2
7
3
 PARA REFLETIR: 
Resolva esse exercício escrevendo 4x 1 3 em potência 
de base 
1
2
 e verifique que se obtém o mesmo 
 resultado. 
d) Como já temos uma desigualdade com potên-
cias de mesma base, podemos escrever:
 5 , ,a
1
3
0 a 1⇒ (troca-se o sentido 
 da desigualdade)
 x2 2 x , 2 ⇒ x2 2 x 22 , 0 
 x2 2 x 2 2 5 0
 D 5 9 . 0
 x' 5 2 e x" 5 21
x
21 2
2
1 1
 S 5 {x [ R | 21 , x , 2}
CAPêTULO 6 • FUNÇÃO EXPONENCIAL 187
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