Matemática Interligada Afim, Quadrática, Exponencial e Logaritmica (69)

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135
 74. Escreva as expressões na forma de um único loga-
ritmo.
a ) log 
3
 7 1 log 
3
 2 
b ) log 
2
 5 − log 
2
 9 
c ) 3 log 12 1 log 7 
d ) 2 log √―
 3 
 5 − 3 log √―
 3 
 10 
 75. Calcule.
a ) log 
7
 3 1 log 
7
 4 1 log 
7
7―
6
 − log 
7
 2 
b ) log 
6
 8 1 log 
6
 9 − log 
6
 2 
 76. Sabendo que logm 5 1,8 e logn 5 2,8, determine
log
4√
―
mn
3
 , com m e n reais positivos.
 77. Sendo loga 5 2 , logb 5 3 e logc 5 5 , determine o 
valor das expressões, com a, b e c reais positivos.
a ) log ( a ?? b ?? c )
b ) log 
a ?? b―
c
c ) log 
a3
?? c―
b
2
 
d ) log 
b
−3
―
c
2
?? a3
 
 78. Considerando log2 5 0,3 e log5 5 0,7 , determine:
a ) log 
2―
5
 
b ) log 25 
c ) log 32 
d ) log 200 
 79. Dados log
2
a 5 5 e 2log
2
b 5 6 , determine o valor 
de 
6√
―
a3
?? b , com a e b reais positivos.
 80. Se log
3√
―
x
4 − logx 5 1 , determine logx .
 81. Qual o valor de x na equação 
3( x 1 1 ) 5 3 ?? log4 1 2 ?? log√
―
5 − log32 ?
 82. (Uerj) Uma calculadora tem duas teclas especiais, 
A e B. Quando a tecla A é digitada, o número que 
está no visor é substituído pelo logaritmo decimal 
desse número. Quando a tecla B é digitada, o núme-
ro do visor é multiplicado por 5. Considere que uma 
pessoa digitou as teclas BAB, nesta ordem, e obteve 
no visor o número 10. Nesse caso, o visor da calcula-
dora mostrava inicialmente o seguinte número:
a ) 20
b ) 30
c ) 40
d ) 50
 83. Adotando log
5
4 5 0,86 , calcule o valor da expres-
são log
0,6( 27―
125 ) − log
5
16
2
.
 84. Sabendo que log4 5 A e que log7 5 B , calcule 
log3 136 em função de A e B .
 86. Expresse cada um dos logaritmos utilizando loga-
ritmo na base 10.
a ) log 
7
 13 b ) log 
3
 10 c ) log 
4,5
3―
2
 
 87. Considerando log2 5 0,30 , log3 5 0,48 e 
log5 5 0,70 , determine:
a ) log 
2
 15 
b ) log 
5
 30 
c ) log 
16
 3 
d ) log 
9
2―
5
 
e ) log 
6
 90 
f ) log 
15
√
―
 6 
 88. Sabendo que a e c são números reais, com a > 0 , 
c > 0 e c ≠ 1 , determine o valor de a na expressão 
log
2
c ?? log
c
4 ?? log
2
a 5 3 .
 89. O produto log
2
5 ?? log
25
8 é igual a:
a ) –3
b ) 0,5
c ) 
4―
3
 
d ) 1,45
e ) 
3―
2
 
 90. Determine o valor de n para que a igualdade 
n ?? log
3
2 5 log
9
4 1 log
27
8 1 log
81
16 seja verdadeira.
 85. (FGV-SP) O rendimento de um carro f lex (nú-
mero de quilômetros que percorre com um litro 
de combustível), que pode ser movido por uma 
mistura de álcool com gasolina em qualquer 
proporção, é dado pela função R( x ) 5 K ?? ax
quilômetros por litro, na qual K e a são núme-
ros reais positivos e x ( 0 < x < 1 ) é a porcenta-
gem de álcool misturado com gasolina.
Sabe-se que, abastecido com 100% de gasoli-
na, o rendimento é de 18 quilômetros por litro 
e que, com 100% de álcool, cai para 9 quilôme-
tros por litro.
Se, ao iniciar uma viagem, uma pessoa enche 
o tanque do carro com 50 litros de uma mistu-
ra de álcool com gasolina e chega ao seu des-
tino, depois de rodar 600 km , com o tanque 
praticamente vazio, qual a porcentagem de 
álcool na mistura?
Para os cálculos, utilize, se necessário, alguns 
dos valores do quadro abaixo:
n 2 3 7 10
log n 0,30 0,48 0,85 1
1
2
10
0
5
60%
3
 log 
3
 14 
 log 
2
 ( 
5―
9
 ) 
 log ( 12 
3
? 7 ) 
 log √―
 3 
 ( 
 5 
2
―
 10 
3
 ) 
 2,55 
− 25 
− 0,4 1,5 
 1,4 2,3 
 2 
3
− 
2―
3
− 0,44 
 3A 1 2B
n 5 3
aproximadamente 
3,93 
aproximadamente 
2,11 
aproximadamente 
0,33 
aproximadamente 
− 0,42 
aproximadamente 
2,51 
log 13
―
 log 7
1―
log 3
log 1,5
―
 log 4,5
 0,40 
e
a
 2 √
―
 2 
g21_scp_lt_1mat_c5_p130a139.indd 135g21_scp_lt_1mat_c5_p130a139.indd 135 8/26/20 9:14 AM8/26/20 9:14 AM
4
1
2
1
10 2 3 4
1
2
y f
x
–1
–2
4
1
2
110 2 3 4
1
2
y
g
x
–1
–2
136
Em uma função logarítmica:
• o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem são definidos, respectivamente, 
por: D ( f ) 5 R 
1
 
* , CD ( f ) 5 R e Im ( f ) 5 R. 
• o gráfico não toca o eixo y, encontrando-se todo à direita desse eixo, pois, para todo 
correspondente de y, temos x [ R 
1
 
* . Essa curva corta o eixo x no ponto ( 1, 0 ) . 
O gráfico de uma função logarítmica pode apresentar os seguintes aspectos:
 x ff (( xx )) 5 log 
2
 x g (( xx )) 5 log 
 
1
 ― 
2
 
 x 
 
1
 ― 
4
 − 2 2
 
1
 ― 
2
 − 1 1
1 0 0
2 1 − 1 
4 2 − 2 
a ) De acordo com o gráfico de cada uma das funções ( f e g), à medida que aumentamos 
os valores de x, o que acontece com os valores correspondentes de y?
b ) Para cada função, o que podemos observar em relação ao valor da base do logaritmo?
Se a > 1 a função é crescente: 
 x 
1
 < x 
2
 ⇔ log 
a
 x 
1
 < log 
a
 x 
2
 
Vamos definir função logarítmica.
Chamamos função logarítmica 
toda função f : R 
1
 
* → R , definida 
por f ( x ) 5 log 
a
 x ou y 5 log 
a
 x , com 
a > 0 e a ≠ 1 .
Gráfico da função logarítmica
 Função logarítmica
Veja como construir o gráfico de duas funções logarítmicas cujas leis de forma-
ção são dadas por f ( x ) 5 log 
2
 x e g ( x ) 5 log 
 
1
 ― 
2
 
 x . Para isso, atribuímos alguns valores 
a x e obtemos os valores correspondentes de f ( x ) e g ( x ) .
Se 0 < a < 1 a função é decrescente: 
x 
1
 < x 
2
 ⇔ log 
a
 x 
1
 > log 
a
 x 
2
 
1. f ( x ) 5 log 
7
 x 
2. h ( x ) 5 log x 
3. j ( x ) 5 log 
0,75
 x 
4. r ( x ) 5 log 
 √ 
―
 15 
 x 
y
x
1
x
2
0 1
log
a 
x
2
log
a 
x
1
x
y
x
1
x
2
0
1
log
a 
x
2
log
a 
x
1
x
• Note que o domínio da 
função logarítmica é o in-
tervalo ]0, 1 ∞[ , pois sempre 
podemos determinar o ex-
poente, isto é, o logaritmo 
de qualquer número real 
positivo, em qualquer base 
positiva diferente de 1.
• Existem funções escritas 
como f ( x ) 5 b ?? log 
a
 x , com 
b [ R , que são obtidas da 
função logarítmica. Nesse 
caso, são funções do tipo 
logarítmica.
Após os alunos anali sa-
rem o gráfico, diga-lhes 
que, no caso da função 
f, ao aumentarmos os 
valores de x, os valores 
correspondentes de y 
também aumentam, 
logo, f é uma função 
crescente. Já para 
a função g, ao 
aumentarmos os 
valores de x, os valores 
correspondentes 
de y diminuem, 
logo, g é uma 
função decrescente. 
Verifique ainda se eles 
perceberam que a base 
do logaritmo de f é um 
número maior do que 1, 
e a base do logaritmo 
de g é um número 
maior do que 0 e menor 
do que 1.
Comente com os alunos que, como D ( f ) 5 R 
1
 
* , 
existem infinitos valores para x e, consequentemente, 
infinitos pares ordenados. Assim, podemos unir os 
pontos do gráfico da função conforme está indicado.
No caso da função f , a base é maior do que 1 e na função g, a base está entre 0 e 1.
função f : aumentam; função g: diminuem
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
er
g
io
 L
. F
ilh
o
g21_scp_lt_1mat_c5_p130a139.indd 136g21_scp_lt_1mat_c5_p130a139.indd 136 8/26/20 9:14 AM8/26/20 9:14 AM